BŪVJU TEORIJAS PAMATI

Transcript

1 BŪVJU TEORIJAS PAMATI Pamatjēdzieni: (atkārtojumam, turpmākam plānam)) nedeformējami ķermeņi, to mehānika (teorētiskā mehānika), cieti deformējami ķermeņi, to mehānika: pieņēmumi (hipotētiski) - materiāla nepārtrauktība, viendabība, izotropija, nedeformēts stāvoklis u.c. (sk. tālāk) modeļi - stieņi, plātnes, čaulas, masīvi ķermeņi * «Materiālu pretestības» modeļi - stieņi, stieņu sistēmas * literatūra Aprēķina shēma statikas nosacījumi, ģeometriskā nemainība * Ārējie spēki (slodzes un iedarbes), t.i., slodzes, klimatiskās, termiskās u.c.iedarbes) ārējo spēku veidi - pēc darbības ilguma, iedarbības veida, iedarbības laukuma, sadalījuma u.c. balstu reakcijas - pēc balstu tipa * 1

2 Iekšējie spēki spēki, kas pretojas ārējiem spēkiem un to izraisītām deformācijām jebkurā konstrukcijas punktā, vai šķērsgriezumā Kāpēc par to jādomā? stiprības jēdziens atbildot uz jautājumiem: cik lieli ir šie iekšējie spēki katrā materiāla punktā? cik lielus iekšējos spēkus materiāls var izturēt? kā nodrošināties pret pēkšņu sabrukumu? iekšējo spēku (materiāla daļiņu) pretestības izpausme: ko izrāda elementārlaukumiņš * ko izrāda viss šķērsgriezums * kādā virzienā? * rezultējošie spēki šķērsgriezumā statiskā līdzsvara princips un šķēluma princips iekšējo spēku noteikšanā rezultējošo spēku N, M, Q definējumi: N ass spēks (aksiālspēks, normālspēks, garenspēks) šķēlumā, kas vienāds ar.. M lieces moments šķēlumā, kas vienāds ar.. Q šķērsspēks (cirpes, bīdes spēks) šķēlumā, kas vienāds ar.. 2

3 Šķēluma metode iekšējo spēku noteikšanai: ar šķēlumu, kurā jānosaka iekšējie spēki, iedomāti sadala stieni divās daļās; lai saglabātos stieņa nepārtrauktība, pieņem, ka šķēluma vietā darbojas saites rezultējošo spēku darbības virzienā; apskata vienas (izvēlētās) daļas līdzsvaru, otru domās atmetot. Atmestās daļas ietekmi aizvieto ar iedomāto saišu reakcijām, t.i., iekšējiem spēkiem; raksta līdzsvara vienādojumus, no kuriem iegūst iekšējo spēku vērtības: N = P xi Q y = P yi Q z = P zi i i i M y = z σda M z = y σda M x = ρ τda attēlā : df vietā da 3

4 Spriegumi: spēki uz katru laukuma vienību (intensitāte) p = lim A 0 F A - t.s. spiediens iekš. spriegums vektoriāls lielums, jo tam ir skaitliska vērtība un virziens normālais spriegums σ = lim A 0 N = dn A da praksē vai N = σ da = σ A (ievērojot Sen Venāna, Berulli principus un σ = N A vienmērīgu sprieguma sadalījumu) mērvien.! Piem., pa asi slogotā stienī Normālais spriegums būs vienmērīgi sadalīts pa šķērsgriezumu, ja ārējā spēka darbības līnija ies caur šķērsgriezuma smaguma centru. Pretējā gadījumā jāievēro ekscentritātes efekti (sk. tālāk) 4

5 Piem., pa asi slogotā stienī Piem., ja slodzes darbības līnija nesakrīt ar šķērsgriezuma smaguma centru, jārēķinās ar papildus piepūli lieces momentu 5

6 tangenciālais (bīdes, cirpes) spriegums τ = lim A 0 Q A = dq da Q y = τ y da = τ y A vai τ y,z = Q y,z Q z = τ z da = τ z A jeb Q A σ b = F D t 6

7 spriegums liecē σ = M W - atkarīgs no šķērsgriezuma ģeometriskās formas, (sk. tālāk) pilnais spriegums p = σ 2 + τ 2 stiprības robeža un pieļaujamie spriegumi Stiprības robeža būvmateriāliem ir ļoti atšķirīga un to nosaka eksperimentāli (EN standarti) Reālās konstrukcijās nedrīkst pieļaut, ka spriegumi sasniedz faktisko stiprības robežu, tāpēc inženieraprēķinos tiek noteikti t.s. pieļaujamie spriegumi, pie kuriem ir garantēta drošība spriegumu sadalījums stieņa šķērsgriezumos kā redzams svarīgi noskaidrot! 7

8 Deformācijas - ķermeņa formas un izmēru izmaiņa (relatīvs jēdziens!) elastīgas deformācijas «Materiālu pretestības» kursa pamatā (lineāri, nelineāri elatīgas deformācijas un diagrammas) plastiskas (paliekošas deformācijas) «Plastiskuma teorija» (stingi plastiskas, elastīgi plastiskas deformācijas un diagrammas) R.Huka definējumā (1676) «Ut tensio sic vis»: l = k P kur k proporcionalitātes koeficients Proporcionalitāti var attiecināt gan uz sākotnējo garumu (l), gan uz šķērsgriezuma laukumu (A), tad l = P l E A l l = 1 P E A ε = σ E σ = ε E Reāliem materiāliem piemīt atšķirīgas deformējamības īpašības. T.Jungs (1807) ieveda moduļa «E» jēdzienu, ko musdienās sauc par Junga, jeb elastības moduli. Kā redzams, E mērvienība Pa. Stiepti elastīgi materiāli deformējas ne tikai garenvirzienā, bet arī šķērsvirzienā. Attiecību «šķ.virz.def. / garenvirz.def.» sauc par Puasona koeficientu. To nosaka eksperimentāli. Robežvērtības ir 0.. 0,5. Dažu materiālu deformatīvās īpašības parādītas 1.tabulā: 8

9 Standartparauga pārbaude stiepē 9

10 Standartparauga pārbaude stiepē: - diagramma «spēks-pārvietojums» LIF Instron

11 Dažu materiālu deformatīvās īpašības (orientējošas vērtības) 1.tabula Materiāls Elastības modulis E, MPa Puasona koeficients Dimants Būvtērauds ,33 Alumīnijs ,35 Koks šķiedru virzienā šķērsām šķiedrām Betons ,167 Oglekļaplasti ,05 0,4 Neilons

12 Būvju aprēķina metodes Aprēķina mērķis stiprība, noturība, stingums! Vēsturiski izmantotas 3 metodes: - pēc pieļaujamiem spriegumiem; - pēc pieļaujamām slodzēm; - pēc robežstāvokļiem. Pēc pieļaujamiem spriegumiem: σ σ = σ B k σ σ B k - pieļaujamais spriegums - robežspriegums (pēc stiprības vai noturības) - drošības koeficients, kas garantē materiāla stiprības rezervi pie slodzes varbūtēja pieauguma, aprēķina neprecizitātes u.c. faktoriem; Pēc pieļaujamām slodzēm līdzīga metode, piemērota vairāk dzelzsbetona, betona un mūra konstrukcijām. Abu metožu galvenais trūkums viens koeficients pie vairākiem rezultātus ietekmējošiem faktoriem (materiāla, slodzes nenoteiktības, aprēķina, konstruēšanas neprecizitātēm u.c. ) 12

13 Pēc robežstāvokļiem ar aprēķinu novērš jebkāda veida būves sabrukšanu, kā arī nederīgumu normālai ekspluatācijai. Tāpēc izdala 2 iespējamo robežstāvokļu grupas: - pēc nestspējas zuduma; - pēc normālas ekspluatācijas (lietojamības) neiespējamības Pie 1.grupas robežstāvokļiem ieskaita: vispārējas vai lokālas formas zudumu, visāda veida materiāla, savienojumu sabrukumu, nepieļaujamas svārstības u.c. Pie 2.grupas robežstāvokļiem ieskaita stāvokļus, pie kuriem ir apgrūtināta vai neiespējama būves normāla ekspluatācija sakarā ar lielām izliecēm, sānsverēm, svārstībām, plaisām u.c. Parasti vispirms pārbauda būvi pēc 1.robežstāvokļa, tad pēc 2.robežstāvokļa, bet daudzos gadījumos noteicošie ir tieši 2.grupas robežstāvokļu nosacījumi. Pieņēmumi un hipotēzes Būvēs tiek izmantoti materiāli ar ļoti atšķirīgām īpašībām tāpēc stieņu mehānikā jābalstās uz idealizētām īpašībām Pamatpieņēmumi saistībā ar materiāla elastību un plastiskumu (sk.attēlu) (var izdalīt dažādus aprēķina modeļus - ideāli elastīgu, lineāri elastīgu, nelineāri elastīgu, stingi plastisku, elastīgi plastisku u.c.) 13

14 Papildus pieņēmumi saistībā ar: - materiāla nepārtrauktību; - materiāla viendabīgumu (arī attiecībā uz betona, koksnes izstrādājumiem); - materiāla izotropiju vai anizotropiju (piem., koksne); - spriegumu neesamību materiālā pirms slogošanas; - spēku darbības neatkarības principu; - plakanā šķēluma principu (Bernulli); - Sen-Venāna principu, saskaņā ar kuru iekšējos spēkus nosaka, neievērojot ārējo spēku pielikšanas vietu un veidu 14

15 Balstreakciju noteikšana stieņu sistēmās Statiskās slodzes: (mērvienības!) - koncentrēts spēks (skaitliska vērtība, virziens, pielikšanas punkts) - spēka moments ; - izkliedēta slodze (vienmērīgi izkliedēta, lineāri mainīga izkliedēta u.c., slodzes moments) - spēkpāris, tā moments 15

16 Balsta reakcija - spēks/moments, kas vienmēr vērsts pretēji ārējās slodzes/iedarbes virzienam Balstreakcijas arī ārējie spēki, kuri parasti vispirms jāaprēķina! Balstu tipi - un atbilstošās reakcijas. Balsti kopumā raksturo gan ģeometrisko nemainību, gan statisko noteicamību Aprēķinos balstu tipus vizuāli attēlo ar saišu palīdzību; katras saites reakcija reprezentē balstreakciju 16

17 Spēku sistēmas līdzsvara nosacījumi līdzsvara vienādojumi Vienkāršās siju tipa konstrukcijās (brīvi balstītas pārseguma sijas, kopnes) balstreakcijas parasti nosaka ar vienādojumiem, kas dod neatkarīgus (ar vienu nezināmo) atrisinājumus, piem., M A = 0 M B = 0 Y i = 0 Dažkārt nākas izmantot 3 momentvienādojumus, piem., trīslocīklu arkas, kopnes, rāmji M A = 0 M B = 0 M C = 0 Ja ar 3 līdzsvara vienādojumiem plaknē nevar noteikt visas balstreakcijas, jāizmanto papildvienādojumi. Šādu papildvienādojumu sastādīšanu un atrisināšanu skaidro būvmehānikas nodaļa «Statiski nenoteicamu sistēmu aprēķina metodes» 17

18 Materiālu mehāniskās īpašības Svarīgākās mehāniskās īpašības ar eksperimentu: - pamatgrupas - plastiski, trausli (- mazoglekļa tēr., varš; - spec. tērauds, čuguns, akmens, stikls, ķieģeļi) - kvantitatīvās īpašības - elastība, plastiskums, stiprība, cietība - pēc deformācijas veida stiepē, spiedē, cirpē, vērpē, liecē Piemērs mazoglekļa tērauda stiepes diagramma: - spec. slogošanas iekārtas (vadība, datu reģistrēšana, rezultātu apstrāde, vizualizācija) - tipiska diagramma (asu apzīmējumi, raksturīgie punkti diagrammā) - proporcionalitātes robeža s p = P p / A - elastības robeža - «tecēšanas» stadija s T = P T / A 18

19 Standarta stiepes tests BUVK pētnieciskajā laboratorijā A = 1,5 cm 2 σ = 62 1,5 = 41,33 kn cm 2 19

20 - «nocietināšanās» stadija (izmaiņas kristāliskajā režģī) - galējā stiprības robeža (B) - stiprības robeža mazoglekļa tēr. - s T = P T / A Plastiskuma raksturojums. Uzkalde - drošības apsvērumi - triecienstigrība δ = l pal l 100% (standartizēti paraugi ) l/d = 10 l/d = 5 - materiāli, kuriem «tecēšanas» robeža neizteikta - tiek pieņemta nosacīta robeža s 0,2 - paliekošās deformācijas; uzkaldes pozitīvās, negatīvās sekas 20

21 Trauslu materiālu īpašības stiepē - stiprība tiek pieņemta vienāda ar spriegumu pārraušanas brīdī Stiprības raksturojumi spiedē mazoglekļa tērauds diagramma līdzīga, kā stiepē; tecēšanas robeža iezīmējas, paraugs saplacinās, stiprības robežu nevar definēt būtiski nodalīt «īsu» paraugu no «gara» parauga!! trausliem materiāliem (akmens, čuguns) diagramma līdzīga, kā stiepē, tikai daudz augstākas graujošās slodzes; Materiālu sabrukšanas process plastiskiem materiāliem pārrāvums notiek cirpē pa ~ 45 o virsmām; trausliem materiāliem daļiņu atraušanās rezultātā procesu būtiski ietekmē berze starp virsmām Sk. failu «Test» Turpmāk kā noteikt materiālu īpašības ar netiešajām (negraujošām) metodēm? 21

22 Materiālu īpašību noteikšana ar netiešajām (negraujošām) metodēm Materiāla mehānisko īpašību noteikšana ar «vesera metodi» Materiāla cietības «HB» noteikšana pēc Brineļa metodes (iespiežot lodīti): HB = 2 P π D ( D D 2 d 2 ) σ u = 0.35 HB Materiāla cietības «RH» noteikšana pēc Rokvela metodes, kā arī «VH» pēc Vikersa metodes notiek līdzīgi, tikai lodītes vietā tiek izmantots dimanta konuss vai piramīda. 22

23 Materiāls Konstrukciju materiālu galvenie mehāniskie raksturojumi * «Tecēšanas» robeža s y, MPa Stiprības robeža stiepē s ut, MPa Stiprības robeža spiedē s uc, MPa Būvtēraudi (LVS EN ) Čuguns Alumīnija sakausējumi Priede šķiedru virzienā Betons Ķieģeļi Stikls ,5 Pieļaujamie spriegumi sk. LVS EN

24 Piem., būvtēraudiem pieļaujamos spriegumus sauc par aprēķina pretestībām R d, R d = f y γ M vai R d = f u γ M kur f y stiprība pēc tecēšanas (yielding) robežas f u - stiprība pēc pārraušanas (ultimate) robežas stiepē piem., g M materiāla pretestības drošuma koeficients, g M0 = 1 šķērsgriezuma pretestībām, visām tērauda klasēm g M0 = 1,25 skrūvsavienojuma pretestībai Standarts, tērauda klase EN Būvtēraudu robežstiprību nominālās vērtības t < 40 mm Elementa biezums t, mm 40 mm < t < 80 mm f y, f u, f y, f u, N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 S S S

25 Stiepti un spiesti stieņi Aksiālspēks centrāli slogotā stienī / normālspriegumu noteikšana (sk. 8.slaidu) Piem.:... tālāk σ = N A ε = σ E ja ε - no mērījumiem: σ = ε E Stieņa pagarinājuma / saīsinājuma noteikšana izvedums.. l = N l E A ja A vai N - mainīgi pa stieņa garumu, l nosaka summējot pa posmiem E A - praksē sauc par stieņa stingumu stiepē/spiedē Stieņa stiprības pārbaude: stiepē N t N trd spiedē N c N crd kur, piem., tērauda stienim: N trd = A f y N crd = A f y Stieņa šķērsgriezuma noteikšana: izejot no N t = N trd A cal = N t f y piem. F = N t = 100 kn A cal = = 4.25 cm2 d cal = 2.33 cm 2 25

26 Spriegums stieņa slīpos šķēlumos: Stieņa asij perpendikulāros šķēlumos tikai normālie spriegumi. Ja šķēlums nav perpendikulārs asij jārēķinās gan ar normāliem, gan ar tangenciāliem spriegumiem (aprēķina ērtībai divas komponentes) A = A cos jeb A = A / cos p = σ cos jeb dalot komponentēs: σ α = p α cosα = σ cosα cosα = σ cos 2 α τ α = p α sinα = σ cosα sinα = 0,5 σ sin 2 α Pilnais spriegums: p α = σ α 2 + τ α 2 Galvenie secinājumi: σ max - normālā šķēlumā (šķērsgriezumā) τ max = 0,5 σ max slīpā šķēlumā (pret normālo) Piem.: α = 30 0 A = 5 cm 2 σ = 10 kn A p cm 2 = = 26

27 Stieņa šķērsgriezuma laukuma ģeometriskie raksturotāji Plakanas figūras laukuma smaguma centrs un statiskais moments Statiskā momenta jēdziens: S x = y da S y = x da ja laukums veidots no vienkāršām figūrām: S x = y i A i S y = x i A i A A jeb S x = A y c S y = A x c un x c = S y / A y c = S x / A ja novelk asis caur šķēluma smagumcentru, S x = 0 vai S y = 0, tāpēc tās sauc par centrālām asīm Galvenie secinājumi: - simetriskām figūrām smaguma centrs atrodas uz simetrijas ass, piem... - simetriskām figūrām laukuma statiskais moments pret simetrijas asi = 0 - statisko momentu mērvienības mm 3, cm 3 27

28 Šķēluma laukuma inerces momenti Aksiālā inerces momenta jēdziens: I x = y 2 da I y = x 2 da Galvenie secinājumi: - aksiālie inerces momenti vienmēr > 0; 0 - inerces momentu mērvienības mm 4, cm 4 Centrbēdzes inerces momenta jēdziens: I xy = x y da Galvenie secinājumi: - centrbēdzes inerces momenti vienmēr > 0; < 0; = 0 - simetriskām figūrām laukuma centrbēdzes inerces moments pret divām savstarpēji perpendikulārām centrālajām asīm, no kurām viena ir simetrijas ass = 0 - centrbēdzes inerces momentu mērvienības mm 4, cm 4 Polārā inerces momenta jēdziens: I p = ρ 2 da tā kā ρ 2 = x 2 + y 2 tad var pierādīt, ka I p = I x + I y 28

29 Šķēluma laukuma inerces momenti pret savstarpēji paralēlām asīm Ja asīs x 1 un y 1 ģeometriskie raksturojumi ir zināmi, jaunās asīs: x 2 = x 1 + b y 2 = y 1 + a 2 2 I x2 = y 2 da I y2 = x 2 da Ja asis x 1 un y 1 ir centrālās (novilktas caur smagumcentru), tad var iegūt sakarības: I x2 = I x1 + a 2 A I y2 = I y1 + b 2 A I x2 y2 = I x1 y1 + a b A Vispārējā gadījumā saliktai figūrai (no «i» figūrām) nosaka smagumcentra koordinātes, caur šo punktu novelk asis x 0 un y 0, tad minētās sakarības izskatīsies šādi: I x0 = ( I xi + a i 2 A i ) I y0 = ( I yi + b i 2 A i ) I x0 y0 = ( I xi yi + a i b i A i ) kur I xi, I yi, I xi yi - inerces momenti pret atsevišķo figūru «pašasīm»; a i, b i - attālumi starp atsevišķo figūru asīm x i, y i un visa šķērsgriezuma centrālajām asīm x 0, y 0. Jāievēro, ka nogriežņu a i un b i zīmes nosaka koordinātu asīs x 0, y 0 29

30 Šķēluma laukuma inerces momenti pie asu pagriešanas x α = y sinα + x cosα y α = y cosα x sinα var pierādīt, ka I xα = I x cos 2 α + I y sin 2 α - I xy sin 2α I yα = I x sin 2 α + I y cos 2 α + I xy sin 2α Summējot: I xα + I yα = I x + I y - tātad perpendikulāru asu pagrieziens nemaina inerces momentu summu Centrbēdzes in. mom. pagrieztajās asīs I xα yα = 0,5 (I x I y ) sin 2α + I xy cos 2α 30

31 Tā kā aksiālie in. mom. ir mainīgi, bet to summa nemainās, asu pagriešanas rezultātus var attēlot grafiski: - ja vienam no aksiāliem mom., piem., I x max - turklāt I xy = 0 tad I y min un šādā stāvoklī asis var saukt par galvenajām asīm (asu sākums smagumcentrā) bet inerces momentus par galvenajiem inerces momentiem Praktiski lai noteiktu galveno asu stāvokli pie zināmām vērtībām I x, I y, I xy nepieciešams noteikt tādu pagrieziena leņķi, pie kura I xα yα = 0 0,5 (I x I y ) sin 2α g + I xy cos2α g = 0 no kurienes 2I xy tg2α g = I x I y Ir pierādīts, ka galveno inerces momentu vērtības ir ekstremālas: I max/min = 0,5 I x + I y 0,5 I x I y I xy 2 tad I xy tgα 1 = I max I y I xy tgα 2 = I min I y 31

32 Piemērs 32

33 33

34 Laukuma pretestības moments W x = I x y max W y = I y x max taisnstūrim W x = b h h = b h2 6 W y = h b2 6 riņķim W x = W y = π d d = π d3 32 Piemēri sk. tālāk 34

35 35

36 36

37 Spiestu stieņu noturība Tievi un gari stieņi arī pie centrāli pieliktas slodzes mēdz izliekties, pareizāk teikt zaudē formas noturību, turklāt šādā stāvoklī stieņa nestspēja (pretestība spiedē) strauji samazinās līdz nullei. Šādu nenoturīgu stāvokli sauc arī par ļodzi. Slodzi, pie kuras parādās noturības zaudēšanas pazīmes, sauc par kritisko slodzi. Sākotnējās formas noturību var zaudēt arī citi konstrukciju elementi. Piemēram, ja vertikāli slogotai sijai nav sāniska balstījuma, pie kritiskās slodzes tā var strauji zaudēt netspēju - savērpjoties, jeb sāniski izkļaujoties. Skaidrs, ka spiesta stieņa noturības zaudēšana nav pieļaujama un ekspluatācijas slodzei vienmēr jābūt zemākai par kritiskā spēka vērtību. Jāpzinās arī, ka jebkura veida nepilnības konstruktīvajā shēmā (sākotnējs liekums, ekcentritāte u.c.) būtiski samazina kritisko spēku. Praksē kritiskā spēka noteikšanai izmanto sakarības, kuru pamatā ir t.s. Eilera formula stienim ar šarnīrveida nostiprinājumiem abos galos (sk.att.): P kr = π2 E I l 2 37

38 Izejas pieņēmums stieņa liektās ass dif. vienādojums: (sk.tālāk) d 2 y dx 2 = M E I pēc integrēšanas y = A cos kx + B sin kx 0 kur M = P y k 2 = P E I vienādojumu analizējot: pie x = 0 A = 0 ; pie x = l B sin kl = 0 jeb sin kl = 0 jeb sin ( l P E I ) = 0 l P E I = n π n = 1, 2, 3, Zemākā slodzes vērtība būs pie n = 1 no kurienes P kr = π2 E I l 2 Pie cita veida stieņa galu nostiprinājumiem kur l red = μ l μ = 1 μ = 0,5 μ = 2 μ = 0,7 P kr = π2 E I l red 2 - abos galos locīklas - abos galos iespīlējums - iespīlējums vienā galā - iespīlējums vienā galā, locīkla otrā galā 38

39 Kritiskais spriegums σ kr = P cr A = π2 E I l 2 ja A i min = I min A λ = l i min σ kr = π 2 E λ 2 (Eilera hiperbola) Eilera f-la ir pielietojama tikai pie nosacījuma, ka σ kr σ prop λ π 2 E σ prop no kurienes - robežvērtība, līdz kurai Eilera f-la pielietojama λ rob = π E σ prop Piemēram, ja būvtēraudam σ prop = 20 kn / cm 2 λ rob = π Ja λ < λ rob - kritiskais spriegums pārsniedz proporcionalitātes robežvērtību, tātad Eilera formula nedod pareizu risinājumu = 101,8 Būvkonstrukciju kursos tiks izskatītas sakarības (saskaņā ar EC), lai varētu pareizi novērtēt spiestu stieņu noturību. 39

40 Piemēram, tērauda spiestiem elementiem: N xed < N byrd N xed < N bzrd Līknes izvēle: N byrd = c y A f y c funkcija no: - nosacītā lokanuma l - izkļaušanās līknes tipa, - nepilnību faktora a N bzrd = c z A f y Nepilnību faktori atbilstoši līknēm:

41 41

42 Stieņu liece Liektu stieni sauc par siju (tīras lieces, šķērslieces jēdziens) Sijas reālā un aprēķina shēma. Statiskā līdzsvara princips Sijas balstu veidi Siju daudzveidība, terminoloģija, ģeometriskā nemainība, statiskā noteicamība Iekšējo spēku (piepūļu) noteikšana sijas šķēlumā, epīru konstruēšana Definējumi Zīmju likumi Vienādojumu rakstīšana Balstreakcijas, to kontrole Epīru konstruēšana Epīru pazīmes Rezultātu kontrole 42

43 Balstreakcijas, to kontrole Epīru konstruēšana Epīru pazīmes Rezultātu kontrole... par aprēķinu šķēlumos «z».. 43

44 Normālspriegumi liektās sijās Normālspriegumus šķērsgriezumā izsauc tikai lieces moments (sk. 7.slaidu). Neitrālā slāņa, neitrālās ass jēdziens (reizē centrālā un galvenā ass) Pieņēmums par plakaniem šķērsgiezumiem sijai deformējoties (Bernulli hipotēze) Spēkā Huka likums 44

45 Pie minētajiem nosacījumiem pierādīts, ka normālo spriegumu var noteikt jebkurā attālumā «y» no neitrālās ass pēc sakarības: σ = M y I Praksē par sijas stiprību spriež pēc maksimāliem normāliem spriegumiem, tāpēc: Praksē ērtāk I / y max definēt kā laukuma pretestības momentu W, t.i. σ max = M max y max I σ max = M max W Trīs galvenie uzdevumi: - stiprības pārbaude M Ed M Rd - šķērsgriezuma noteikšana W cal M f y pie σ max = f y - pieļaujamās slodzes noteikšana M max = W y f y kur M max = f (P, q) 45

46 Bīdes spriegumi liektās sijās Bīde šķērsvirzienā asij Bīde garenvirzienā asij Bīdes spriegumus izsaka vispārējā gadījumā: τ = dm dz 1 I b h/2 y da y bet, tā kā integrālis izsaka laukuma statisko momentu un šķērsspēks ir lieces momenta atvasinājums τ = Q S x I b - t.s. Žuravska formula Taisnstūra šķērsgriezumam Q, I, b ir konstanti, tāpēc sprieguma izmaiņu pa šķēluma augstumu nosaka tikai y attālums no neitrālās ass ja S x = b 0,5 h y 0,5 h + y 2 = 0,5 b (0,25 h 2 y 2 ) τ = Q 2 I (0,25 h2 y 2 ) - kvadrātiskā parabola ja y = h / 2, = 0; ja y = 0, τ = τ max = 1,5 Q A 46

47 Sijas izlieces noteikšana Inženieraprēķinu praksē svarīgi noteikt ne tikai spriegumstāvokli, bet arī sijas izlieci. To pieņemts izteikt kā relatīvu lielumu attiecību «izliece/laidums». Skaitliski šī attiecība tiek uzdota atbilstoši sijas nozīmīgumam, arhitektoniskām u.c. prasībām; visbiežāk robežās 1/ /600 no laiduma. Biežāk izmantotie risinājumi: - izmantojot sijas liektās ass diferenciālvienādojumu - izmantojot Mora teoriju un tās praktiskās metodes Liektās ass diferenciālvienādojums Sijai izliecoties jāatšķir divu veidu deformācijas: lineārās (izlieces) un leņķiskās deformācijas Divbalstu sijai, kas slogota simetriski: y = y max ir laiduma vidū, bet y = 0 virs balstiem; j = j max virs balstiem, bet j = 0 laiduma vidū Liektās ass vienādojums: y = f (x), t.i., izliece ir funkcija no abscisas koordinātes uz «x» ass Kā zināms, funkcijas pirmais atvasinājums ir pieskares leņķa tangenss dy dx = tgφ jeb dy dx φ šķērsgriezuma pagrieziena leņķis ir vienāds ar sijas elastīgās līnijas pirmo atvasinājumu pēc abscisas x. 47

48 Apzīmējot: r sijas liekuma rādiuss; 1 / r sijas liekums; ds sijas ass elementārā daļa var izmantot zināmas sakarības: ds = ρ dφ 1 ρ = dφ ds tā kā j (radiānos) ir mazs lielums, var pieņemt, ka ds dx tad 1 ρ dφ dx = d( dy dx ) dx = d2 y dx 2 jeb 1 ρ = d2 y dx 2 sijas liekums ir aptuveni vienāds ar sijas elastīgās līnijas otro atvasinājumu Pieņemot, ka 1 / r ir proporcionāls lieces momentam M : 1 ρ = M E I jeb E I d2 y dx 2 = M Iegūto izteiksmi sauc par sijas liektās ass diferenciālvienādojumu 48

49 Piemērs vienmērīgi slogota divbalstu sija lieces moments M = q l x 2 q x2 2 dif. vienādojums: E I y`` = q l x 2 q x2 2 integrējot: E I y` = q l x2 4 q x3 6 + C E I y = q l x3 12 q x Cx + D uz balstiem y = 0, tad pie x = 0, D = 0 pagrieziena leņķis: E I y` = q l x2 4 q x3 6 + q l 3 24 x = l, C = q l3 24 E I y = q l x3 12 q x q l 3 24 x uz balstiem, pie x = 0, x = l, φ = ± laiduma vidū, pie x = l/2, y max = q l3 24 E I 5 q l E I 49

50 Pārvietojumu noteikšana stieņu sistēmās. Vispārīgā metode balstīta uz enerģētiskiem principiem (spēku iespējamā darba principiem): Izejas pieņēmumos divas spēku grupas: Ārējo spēku (iespējamais) darbs = iekšējo spēku darbam F k km = 0 s N k N m E A ds + M k M m ds + E I 0 s 0 s Q k Q m G A ds Saskaņā ar Mora teoriju, pirmo spēku grupu aizvieto ar F k = 1. Tādā gadījumā km = 0 s N k N m E A ds + M k M m ds + E I 0 s 0 s Q k Q m G A ds kur N k M k Q k - iekšējo spēku funkcijas t.s. sistēmas palīgstāvoklī N m M m Q m - iekšējo spēku funkcijas t.s. sistēmas slogojuma stāvoklī E A E I G A - stingums, atbilstoši - stiepē, liecē, bīdē 50

51 Metodika pārvietojumu noteikšanai saskaņā ar Mora teoriju: N F M F Q F 1) raksta izteiksmes slogojuma stāvoklī - kā funkcijas no «x» N 1 M 1 Q 1 2) raksta izteiksmes palīgstāvoklī - kā funkcijas no «x» turklāt lineāra pārvietojuma noteikšanai F k = 1 pieliek meklētā pārvietojuma vietā un virzienā turklāt leņķiska pārvietojuma noteikšanai M k = 1 pieliek meklētā pārvietojuma vietā un virzienā Sijās, rāmjos parasti ignorē Q un N ietekmi uz pārvietojumiem (izliecēm), tāpēc: 1F = 0 l M 1 M F E I Kopnēs parasti ignorē M un Q ietekmi uz pārvietojumiem (stieņos tikai aksiālspēki), tāpēc: 1F = dx N 1 N F E A dx Arkveida konstrukcijās parasti ievēro visus trīs iekšējo spēku faktorus, tāpēc: 0 l 1F = 0 s N 1 N F E A ds + 0 s M 1 M F E I ds + 0 s Q 1 Q F G A ds 51

52 Piemērs pārvietojuma noteikšanai saskaņā ar Mora teoriju: M F = q x2 2 M 1 = - 1 x 1F = 0 l M 1 M F E I dx = 1 E I 0 l x q x 2 2 dx = q l4 8 E I 52

53 Praktiski paņēmieni pārvietojumu noteikšanai stieņu sistēmās Taisnu stieņu gadījumā palīgstāvokļa epīra vienmēr būs lineāra (taisna līnija). Uz tāda priekšnoteikuma balstīts t.s. «epīru reizināšanas» paņēmiens. Praksē plaši pazīstama Vereščagina formula: 1F = 0 l M 1 M F E I dx = Ω y E I kur Ω - lieces momenta epīras laukums, ko nosaka slogojuma stāvoklī; y ordināte palīgstāvokļa epīrā, kas noteikta zem laukuma Ω smaguma centra (mēdz būt apgrūtināta smagumcentra izskaitļošana u.c.) Piemēri izlieces noteikšanai vienkāršās sijās 53

54 Daudzos gadījumos Vereščagina formulas vietā izdevīgāk lietot Simpsona formulu: - izkliedētas slodzes gadījumā w = - koncentrētu slodžu gadījumā w = L (a a` + 4 c c` + b b`) 6EI L (2 a a` + 2 b b` + a b` + b a`) 6EI Secinājumi: Simpsona formulas lietošana atbrīvo no figūru smagumcentra noteikšanas, jo nogriežņi c un c` ir epīru ordinātes posma vidū. Ja abās epīrās katrā integrēšanas apgabalā ir lineāri posmi (taisnes), tad pietiek ar ordinātu vērtībām posmu galos. Tas redzams otrā formulā. 54

55 Spiesti liekta stieņa stiprības pārbaude. No spiedes spēka F sijas šķērsgriezumos rodas papildus lieces moments. Lielākās izlieces w vietā papildmoments būs: M = F w Summārās izlieces w noteikšanai var izmantot sijas liektās ass diferenciālvienādojumu un tā integrēšanu, bet praksē pietiekoši precīzu atrisinājumu dod sinusoidāla līkne. Tad: w = w 0 1 F kur w 0 = FL3 48EI F cr (ja viens koncentrēts spēks vidū) (ja spiedes vietā stiepe, formulā + zīme) F cr - kritiskais Eilera spēks, ko nosaka pret neitrālo sijas asi (lielākā inerces momenta asi) Lielākie spiedes normālie spriegumi būs augšējā plauktā: σ max = F A + M W + Fw W 55