Развој уређених алгебарских структура Development of Ordered Algebraic Structures

Transcript

1 DM BL Naučno društvo matematičara Banja Luka Banja Luka Mladena Stojanovića 2 Broj: /11 Datum: Subjekt: Djelimičmi izvještaj o realizaciji projekta Сходно одредбама уговора о реализацији пројекта Развој уређених алгебарских структура Development of Ordered Algebraic Structures Научно друштво математичара Бања Лука подноси Министарству науке и технологије Републике Српске парцијални извјештај о реализацији пројекта.. 0. Реализација пројекта IMVI / Научно друштво математичара Бања Лука ЈИБ: Рачун код Volskbank BH, Филијала Бања Лука: Бања Лука, Младена стојановића 2 051/ Носиоци пројекта: IMVI (International Mathematical Virtual Institute) Регистрован код Министарства под бројем 23 / 2008 посредством Naučnog društva matematičara Banja Luka - Научног друштва математичара Бања Лука 2. Име, презиме и научно звање руководиоца пројекта: др Душко Јојић доцент универзитета Природно-математички факултет, Универзитет у Бањој Луци 3. Подаци о истраживачком тиму који судјелује у извођењу пројекта: 4.1. Др Даниел А. Романо, редовни професор универзитета 4.2. Др Милован Винчић, ванредни професор универзитета 4.3. Др Душко Јојић, доцент универзитета 4.4. Др Душко Богданић, асистент 4.5. Мр Биљана Сукара Ћелић, виши асистент 4.6. Мр Владимир Телебак, асистент, студент докторских студија (Београд)

2 4. Циљ и кратак садржај пројекта: За дати анти-уређени скуп (алгебарску структуру) (X,=,,α) есенцијално је да знамо да ли постоји нека релација коеквиваленције q на X таква да је X/q такође анти-уређен скуп (алгебарска структура). Ово питање игра важну улогу у студијама структура анти-уређених скупова (и алгебарских структура). Слједеће питање се појављује природно: Ако је (X,=,,α) један анти-уређен скуп (алгебарска структура) а q нека релација коеквиваленције (анит-конгруенције) на X, да ли је фактор-скуп (факторска алгебарска структура) X/q такође анти-уређен скуп (алгебарска структура истог типа)? Требало би да анти-уређење на X/q буде релација Θ на X/q дефинисана на слједећи начин Θ = {(xq,yq) X/q : (x,y) α}. Међутим, то се не дешава. Задатак овог пројекта је да установимо зашто је то тако и да пронађемо (ако то буде могуће) минимална ограничења на анти-уређене скуповње (алгебарске структуре) која ће обезбијеђивати да факторски скуп (факторска алгебарсдка структура) буде анти-уређена. Друго природно питање које се појављује је: Да ли постоји релација коеквиваленције q на X за коју је X/q поново антиуређен скуп такав да природно пресликавање π : X X/q буде реверзно изотоно? Концепт квази-антиуређења у маематику увео је Д.А.Романо у његовом раду D.A.Romano: Coequality Relation; Bull. Soc. Math. Banja Luka, 3(1996), 1-36 и касније са сарадницима истраживао његове особине. 5. Област истраживања којој припада пројект: Математика Mathematical Subject Classification: Primary: 03F65, Secondary: 03E04, 06F99, 06A02, 08A02, 08A30, 20M10 6. Датум почетка и завршетка пројекта: Приједлог пројекта са: 7.(а) Предметом истраживања: Алгебарске системе у математику увео је руски математичар Малтсев године. Под тим се, у првој апроксимацији, подразумјева алгебарска структура са једном, или више, релација на њој. Предмет овог истраживања су Малтсеви алгебарски системи у неким специјалним случајевима: Алгебарска структура ће бити полугрупа и/или алгебра са релацијом различитости, а специјалне релације које ће се изучавати су парови компатибилних релација: (1) еквиваленција и коеквиваленција; (2) уређење и анти-уређење; и (3) квази-уређење и квази-антиуређење. Релација коеквиваленције q детерминише фамилију S/q строго конзистентних подскупова алгебарске стуктуре S. Природно је да се постављају слједећа питања: Питање А: Ако је структура S релациона структура са релацијом R а q нека релација коеквиваленцције на S, да ли тада на структури S/q постоји релација R/q таква да је функција π : S S/q изотони хомоморфизам? Питање Б: Ако је у горњем случају релација R квази-антиуређења (антиу-ређења), то јест конзистентна и котранзитивна (и линеарна) релација на структури S, које особине има релација R/q?

3 Будући да знамо да одговор на горња питање није увијек афирмативан, постаљају се слједећа питања: Питање В: Наћи потребне и довољне услове које треба наметнути на учеснике питања А и Б тако да, у тим случајевима, одговор буде афирмативан. Питање Г: У случајевима афирмативних одговора на питања А и Б истражити проблем јединствености. Ако одговор на питање А не даје јединствену егзистенцију релације R/q, тада пронаћи фамилију релација које испуњавају услове постављене питањем А. На крају, истраживање ће дати неке одговоре на слједеће питање: Питање Д: Какве су фамилије објеката, и какве су њихове међусобне везе, чији елементи су одговори на горе поставњена питања. 7.(б) Подударности предмета истраживања са конкурсним истраживачким темама Пројект координатор је мишљења да је предмет пројектног истраживања врло добро усклађен са истраживачком темом конкурса који се односи на слободне теме по избору истраживачког тима 7.(в) Представом хипотеза: Математичка истраживања, која ће бити урађена овим пројектом, су углавном базирана на дедуктивном закључивању на бази Математичке логике, Теорије скупова и Опште алгебре као претходних дисциплина. Свака од овдје поменутих теорија има своје нелогичке аксиоме (које не спадају у аксиоматски систем Математичке логике и које морају бити независне од аксима Математичке логике) а правила закључивања су Modus ponens и опште правило Универзалне генрерализације преузете из Математичке логике. Бишоповска конструктивна математика базирана је на Конструктивној (Интуиционистичкој) логици, т.ј. логици добијеној од Класичне логике изостављањем Принципа искључења трећег. Дакле, у Конструктивној алгебри, осим овдје поменутог Принципа искључења трећег не примејњује се ни Аксиом избора из Теорије скупова. Према томе, од посебног интереса је да ће се овим истраживањем показати, у неколико примјера, да је иако без примјене Зорнове леме (једног еквивалента Аксиома избора) ипак могуће конструисати максималан елемент неких решетака које ће бити у центру нашег интересовања у овом истраживању. 7.(г) Однос научних метода за постизање жељеног циља: Методе које ће се примјењивати су: (1) дедукција, (2) аналогија и (3) ефективна конструкција. Дакле, постојање објеката, који ће бити предметом изучавања у овом истраживању, биће обезбјеђено ефективним конструкцијама. Ово последње га чини специфичним. 7.(д) Очекиваним резултатима и њиховим значајем за развој науке: Истраживање алгебарских структура са релацијама даће одговоре на питања о генералисаним уређеним алгебарским структурама. Посебна пажња биће посвећена добијању (неких) теорема изоморфизама између сличних релационих алгебарских структура, посебно у случајевом конкретних релација као што су релација анти-уређења и/или квази-антиуређења. Истраживачки тим очекује да ће се истраживањем установити карактеристике међусобне везе између решетке квази-антиуређења и решетке одговарајућих фамилија класа тих квази-антиуређења. Истрживачки тим је мишљења да сваки резултата научног рада треба да буде научни чланак публикован у научним часописима доступним међународној математичкој јавности, те тако постану

4 баштина опште математичке културе. Тиме се, бар као претпоставка, појављује могућност да добијени резултати утичу на даљи развој теорија унутар изабраних математичких области. 8. ИЗВЈЕШТАЈ О ПРОДУКЦИЈИ Октобар Јуни Публиковани нучни чланци у часописима међународног значаја Чланци су публиковани у математичким часописима који се редовно приказују и реферишу у слиједећих пет реферативних журнала за математику: Mathematical Review, ISSN (USA), Current Mathematical Publications, ISSN (USA), Math.Sci.Net (USA) Zentralblat fur Mathematik (EU), i Реферативный журнал Математика ISSN (Rusija). Сем тога, часописи се редовно реферишу и/или индексирају у бар једној од слиједећих међународних база научних чланака: Directory of Open Access Journals (Sweden), Ulrich s Periodicals Directory (USA), EBSCO (USA), Driver Wiki (EU), SerialsSolutuons (USA), Intute (UK), Science Citation Index Expanded (SCIE) - Thomson Reuters, SCOPUS (EU), Index Copernicus International (Poland), J-Gate (India) i nekim drugim međunarodnim bazama. [14] Duško Bogdanić: Graded blocks of group algebras with dihedral defect groups; Colloquium Mathematicum, ISSN (p), ISSN (o), 122(2011), [13] Daniel A.Romano: On Retract Extension of Ordered Set A Constructive Point of Views, International Journal of Mathematical Archive, ISSN , 2(6)(2011), [12] Daniel A.Romano: Extensions of Ordered Sets A Constructive Point of Views; International Journal of Mathematical Archive, ISSN , 2(6)(2011), [11] Daniel A.Romano: A Review of Isomorphism Theorems of Anti-ordered Sets and Semigroups with Apartness; Research Journal of Pure Algebra (RJPA), ISSN , 1(3)(2011), [10] Daniel A.Romano: Dedekind partial grupoids for anti-ordered sets, Bulletin of International Mathematical Virtual Institute, ISSN , Vol. 1(2011), [9] Daniel A.Romano: On a particular condition for regular coequality relations; General Mathematics Notes, ISSN , Vol. 2(1)(2011), [8] Daniel A. Romano: The Lattice of Regular Coequalities; Miskolc Math. Notes, ISSN (p), ISSN (o), 11(2)(2010), [7] Daniel A.Romano: Some Characterizations of Filed Product of Quasi-antiorder Relations; Acta Universitatis Apulensis, Seria Mathematics and Informatics, ISSN , 23 (2010), [6] Daniel A. Romano and Milovan Vinčić: On Commuting Property of Filed Product of Coequality Relations; Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, ISSN , 6(1)(2010),

5 8.2. Публиковани научни чланци у зборницима радова са националних састанака [5] Daniel A.Romano: A Remark on Mapping between Relational Systems; Proceedings of the 12 th Serbian Mathematical Congress (August 28 September 03, 2008), Department of Mathenmatics, University Novi Sad, 2011, [4] Daniel A. Romano: An Anti-order Relation on Factor- Semigroup Induced by a Consistent Subset; Spomenica akademika Veselina Perica, Academy of Science and Art of the Republic of Srpska, Department of Natural- Mathematical and Technical Sciences, Book 15, Banja Luka 2011, Одбрањен мастер рад [3] Владимир Телебак: Комбинаторне теореме о конвексним скуповима; Мастер рад (ментор: Проф. др Синиша Врећица) Математички факултет Београд, (Комисија: Проф. др Раде Живалјевић предсједник, Проф. др Синиша Врећица, Доц. др Душко Јојић), 29. Јуни Саопштења на националним састанцима [2] Duško Jojić i Vladimir Telebak: Complexes of directed trees; Prva matematička konferencija Republike Srpske, Pale [1] Milovan Vinčić: Tri dokaza obrata jednakosti paralelograma; Prva matematička konferencija Republike Srpske, Pale Руководилац пројекта Доц. др Душко Јојић, с.р.