4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА"

Transcript

1 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи одговор на питање да ли се и под којим условима, на основу резултата извођења експеримента, може одредити одговарајућа вероватноћа посматраног случајног догађаја. Одговор на ово питање, важно у теорији вероватноће и статистици, дају тзв. закони великих бројева, о којима ће бити речи у поглављу које следи. Најпре ће бити детаљније описани Бернулијева шема независних понављања експеримената и Гаусова крива, без којих развој теорије вероватноће и статистике не би био могућ. У трећем делу поглавља ће бити изложен Бернулијев закон великих бројева и дата формулација Борел-Кантелијевог закона. Локална и интегрална теорема Моавр-Лапласа, без доказа, су дате у четвртом делу поглавља. На основу ових теорема могуће је приближно одредити биномне вероватноће у случају када су вредности броја велике, а Пуасоново решење за ретке догађаје је дато на крају поглавља.

2 Основе вероватноће 4.. БЕРНУЛИЈЕВА ШЕМА НЕЗАВИСНИХ ПОНАВЉАЊА ЕКСПЕРИМEНАТА Изузетно важну улогу у теорији вероватноће, њеној примени и развоју статистике, одиграла је једна класа експеримената познатих под именом Бернулијеви (Beroulli) експерименти или класа независних понављања експеримента. Одређивање вероватноћа случајних догађаја везаних за Бернулијеве експерименте представља тзв. Бернулијев проблем. Претпоставимо да je један експеримент могуће поновити неограничено пута. При томе се мисли да је могуће остварити неограничено пута један исти комплекс услова. Сваки пут кад се оствари тај комплекс услова, посматрани случајни догађај А се може остварити или не. Резултат експеримента, при томе, у једном понављању не утиче на резултате експеримента у осталим понављањима. Рећи ћемо да су понављања експеримента међусобно независна. Поред тога, предпоставља се да је у сваком понављању експеримента вероватноћа остварења догађаја А иста. Наведимо неколико примера таквих експеримената. Пример. Правилни новчић се баца неограничено пута и бележи се број појављивања,,писма. Може се посматрати да ли постоји гранична вредност за релативну фреквенцију појављивања,,писма кад неограничено расте број бацања новчића (понављања експеримента) и, уколико постоји, колико износи. Пример. Машина аутоматски обрађује производ са вероватноћом погрешне обраде једнаком p. Ако се у великој серији од 0000 или комада појави велики број неправилно обрађених комада, да ли то значи да се поузданост машине променила? Пример 3. Зна се да је међу свим порођајима проценат близанаца једнак р. Ако се у једној клиници у коју долазе породиље изабране на случајан начин нађе 000 породиља, колики се може очекивати број близанаца? Пример 4. У статистичком скупу од N елемената, 00 p % има одређено својство, док преосталих 00 ( p)% нема то својство. На случајан начин се из посматраног скупа бира један елемент и бележи се да ли он има посматрано својство или не. При томе се претпоставља да се извлачење врши са враћањем, тј. сваки пут се извучени елемент враћа у посматрани скуп, па се поново из целог скупа бира следећи елемент. Може нас занимати да одредимо вероватноћу да ће међу извучених елемената бити тачно са посматраним својством. Може нас, на пример, интересовати и вероватноћа догађаја да се количник / (релативна фреквенција појављивања елемента са посматраним својством) разликује од p за не више од једног унапред датог броја. Специјално нас може интересовати чему ће тежити количник / када број извлачења тежи бесконачности. У свим наведеним примерима описани су експерименти у којима се посматра случајни догађај А, који се у једном извођењу експеримента остварује са вероватноћом p и не остварује са вероватноћом q = p. Низ независних понављања таквог експеримента представља тзв. Бернулијев експеримент.

3 4. Закон великих бројева Означимо са број понављања посматраног експеримента. Најједноставнији и најинтересантнији проблем је одређивање вероватноће да ће се у понављања експеримента посматрани догађај А реализовати тачно пута. То значи да се у преосталих ( ) понављања догађај А неће реализовати. При томе је један одређени број из скупа бројева {0, l,,..., }. Означићемо ту вероватноћу са P (). Пре него пређемо на одређивање вероватноће P () у општем случају, посматрајмо следећи пример: Претпоставимо да се у једној кутији налази 5 сијалица и да је вероватноћа да је сијалица исправна једнака за све сијалице и износи 0,95. Одредимо вероватноћу да се у кутији налазе тачно три исправне и две неисправне сијалице. Случајни догађај А који посматрамо у појединачном извођењу,,експеримента је догађај:,,сијалица је исправна, а супротан догађај је A :,,сијалица је неисправна. При томе је p = 0. 95, q = 0. 05, а број понављања експеримента је једнак броју сијалица, тј. = 5. Тражена вероватноћа је P 5 (3). Ако за сваку сијалицу придружимо A или A, онда ће се догађај да међу пет сијалица буду три исправне реализовати ако се реализовала једна од могућности писања низа од пет словних места у којима је на 3 места слово А, а на два места слово A. Једна од могућности је, на пример, низ AA A A A. Вероватноћа да се оствари овај низ је једнака 3 0,95 0,05 0,95 0,05 = 0,95 0,05, 0,95 јер су догађаји у овом низу независни. Оваквих могућих низова има укупно 0. То су. AAA A A 6. A A A A A. AA A A A 7. A AA A A 3. A A AA A 8. A A A AA 4. A AAA A 9. A A A AA 5. AA A A A 0. A A AAA. Сваки од ових низова има исту вероватноћу и она је једнака 3 0,95 0,05. Наведени низови се међусобно искључују јер се у једном пакету од 5 сијалица може реализовати тачно један од њих. Дефинисани догађај да се међу 5 изабраних сијалица налази тачно 3 неисправне, према томе, реализује се кад се реализовао један од наведених низова. Зато је његова вероватноћа једнака збиру вероватноћа сваког од њих, тј. P5 (3) 0, = 0 0,95. На сличан начин се могу одредити и вероватноће P 5 5 (0), P5 (l), P5 (), P5 (4), P (5). 3

4 Основе вероватноће Посматрајмо, сада, општи случај. Ако се пута понавља експеримент, одредимо вероватноћа да ће се догађај A реализовати у понављања, а у преосталих ( ) неће. Сваком извођењу експеримента приписаћемо слово А или A, зависно од тога да ли се догађај А реализовао или није. На тај начин ћемо, низу од понављања експеримента придружити низ од словних места, који је састављен од слова А и A. Посматрани догађај ће се реализовати ако се реализује низ у коме ће на места бити слово А, а на преосталих ( ) места A. Вероватноћа сваког таквог низа је једнака: због независности догађаја. p q Са друге стране, сви ти низови се међусобно искључују, јер једном Бернулијевом експерименту од понављања одговара тачно један од тих могућих низова у којима се посматрани догађај А реализовао пута. Таквих различитих низова има онолико колико има могућности да се од словних места изабере места на која се ставља слово A, (на преостала места се ставља A ), а тај број је једнак: C = =!! ( )! где је: Низ вероватноћа: ( 0 ), P ( ), P ( ) P..., P ( ) p q = p q =!!( )! је низ биномних вероватноћа и представља вероватноће да се у Бернулијевом експерименту догађај А реализује тачно пута, при чему је =0,,,...,. Биномне вероватноће P ( ) имају мале вредности за велики број. Неке вредности вероватноће за = 50 и p = су дате у Табели 4.. Највећа вероватноћа 3 једнака је 0,78. (За = 50и p = 0, 5, највећа вероватноћа је мања од 0,08.) Из Табеле 4.. види се да биномне вероватноће расту до извесне вредности, а затим опадају. 4

5 4. Закон великих бројева P () P () ,000 0,0033 0,057 0,0470 0,0879 0,077 0, ,78 0,080 0,090 0,0704 0,033 0,0059 0,000 Табела 4.. Биномне вероватноће за = 50и p =. 3 Значи да ће се за неку вредност добити највећа вредност биномних вероватноћа. Интересује нас која је то вредност. Биномне вероватноће за и ( +) су:! P ( ) = p!( )! q! P ( + ) = p ( + )!( )! + q Њихов количник је број P( + ) P( ) = + p q (4.5) Ако је овај количник већи од један, значиће да са порастом бинома вероватноћа расте. То ће бити случај кад је односно кад је За + p q p q > p q количник (4.5) је мањи од један, што значи да ће за опадати. > p qбиномне вероватноће Ако је ( p q) цео број, количник биномних вероватноћа за ( p q + ) и ( p q) биће једнак P ( p q + ) ( p q) = P ( p q) p q + p q 5

6 Основе вероватноће Односно P ( p q + ) = P ( p q) На основу изложеног се може закључити: Ако p q није цео број, онда је број понављања у којима се реализује случајан догађај А са највећом вероватноћом, једнак: = [ p q] + при чему је [ ] ознака за највећи цео број који није већи од p q. Ако је p q цео број, онда постоје две вредности које су највероватније, а то су вредности: = p q + = p q + За те вредности, биномне вероватноће су међусобно једнаке, и веће су од свих осталих вероватноћа. 6

7 4. Закон великих бројева 4.. ГАУСОВА КРИВА У примени теорије вероватноће велику улогу има функција позната под именом Гаусова крива (Gauss) или Гаус- Лапласова крива (Laplace) која се често зове и закон вероватноћа Нормалне расподеле. Гаусова крива је крива дата функцијом ( x) = e π која је дефинисана за свако реално x из интервала ( + ) Функција ( x) x φ (4.),. φ је симетрична функција која има максимум у тачки x = 0. Максимална вредност ове функције је Превојне тачке функције ( x) Поред тога је φ ( 0) = 0, π Φ су тачке x = ± у којима функција има вредност φ ( ± ) = e 0, 40. π ( x) 0 lim φ =, x + ( x) 0 lim φ =. x Гаусова крива је приказана на слици 4.. Слика 4.. Гаусова крива φ ( x) Површина између криве φ ( x) и осе x је једнака интегралу и има вредност једнаку јединици, тј. + φ ( x) dx 7

8 Основе вероватноће Вредности функције ( x) + x π e dx = (4.3) φ дају се табеларно, најчешће за вредности x из интервала [0; 3,99]. За x = 3,99 функција има вредност 0,000, а за вредности x веће од φ x има мале вредности које су практично једнаке 0. 3,99 функција ( ) На основу Гаусове криве, дефинисана је тзв. функција Нормалне расподеле Φ ( z) чије су вредности дате табеларно и која служи за одређивање површине између φ x и осе x у неком произвољном интервалу [a; b]. криве ( ) Дефиниција 4.. Функција Нормалне расподеле Φ ( z) дефинисана је за свако z (, + ) једначином Φ z z x z dx = e ( ) = φ ( x) π и представља површину између криве φ ( x) и осе x у интервалу (, z] dx. Графички приказ преко површине функције φ ( x) дат је на слици 4.. Слика 4.. Функција Нормалне расподелe приказана као површина Функција Нормалне расподеле Φ ( z) је монотоно растућа функција која има хоризонталне асимптоте у=0, када х -, и y =, када х. Графички је приказана на слици Слика 4.3. Функција Φ ( z) Φ дате су табеларно за позитивне вредности z. Због симетрије Гаусове криве, важи: Вредности функције нормалне расподеле ( z) ( z) = Φ( z) Φ

9 што није тешко проверити, на основу дефиниције (4.). 4. Закон великих бројева У табелама функције Нормалне расподеле најчешће су дате вредности функције за z из интервала [0; 3,49]. За вредности веће од 3,49 функција Ф практично има вредност. Да би одредили површину између Гаусове криве и осе x у произвољном b Φ z. Важи: интервалу ( a, ] користимо функцију ( ) P = e dx π b a x = Φ ( b) Φ( a) Слика 4.4. Приказ површине и функције φ ( z) Најчешће се посматра симетрични интервал [ z, z] φ ( x) и осе x, у том интервалу једнака је z x P = e π z dx = Φ ( z) Тако се добија да је површина у интервалу (, ] а у интервалу (, ] : док је за интервал ( 3, 3] P = 0,686 = 68,3%, P = 0,9544 = 95,4%, P = 0,9974 = 99,7%,. једнака: што значи да се 99,7% од укупне површине између Гаусове криве ( x). Површина између функције φ и осе x, налази у интервалу (-3; 3] док је изван тог интервала свега 0,03% те површине. 9

10 Основе вероватноће 4.3. БЕРНУЛИЈЕВ И БОРЕЛ-КАНТЕЛИЈЕВ ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Посматраћемо Бернулијеву шему независних понављања експеримента са случајним догађајем А и вероватноћом p реализације догађаја А у сваком понављању. Посматрајмо следећи проблем: Ако се пута понавља експеримент, да ли је између релативне фреквенцијое остварења посматраног догађаја и вероватноће p може уочити нека зависност? Одговор на постављено питање дао је J. Beroulli ( године) у познатом делу Ars Cojectadi објављеном 73. године. Бернулијеве резултате уопштио је Моавр (Abraham De Moivre) 78. године, а затим је Лаплас (Pierre S. Laplace) 8. године дао најопштију формулацију одговора на постављено питање. Ради бољег разумевања правог значења ових резултата, размотримо прво Бернулијеву формулацију. Означимо са X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А. Ако се експеримент понови пута X ће узети једну вредност из низа могућих вредности 0 Догађај D { X = } { 0,,,...,} = је случајни догађај који се у Бернулијевом експерименту реализује са вероватноћом Количник P!!( )! ( ) = P{ X = } = p q (4.4) је фреквенција остварења догађаја А у пута поновљеном експерименту. X (4.4) Фреквенција остварења догађаја А може узети једну вредност из низа могућих вредности {0,,,..., }. X Догађај D` = = је случајни догађај који се у Бернулијевом експерименту реализује са вероватноћом датом изразом (4.4). Интересује нас разлика између фреквенције (4.4) и вероватноће p. Посматрајмо апсолутну вредност те разлике. X p. (4.43)

11 4. Закон великих бројева Ако експеримент поновимо пута, разлика (4.43) ће узети неку вредност из интервала [0; ]. Шта се дешава са разликом када се повећава број понављања експеримента? Изаберимо произвољно мали позитиван број ε и посматрајмо догађај да ће разлика (4.43) бити већа од тога броја, тј. посматрајмо догађај X D = p > ε, (4.44) и одредимо вероватноћу остварења овог догађаја у понављања експеримента. или кад је Догађај D ће се остварити кад је (Види слику 4..). ( ) X > p + ε (4.45) ( ) X < p ε (4.46) Слика 4.. Вероватноћа догађаја датог изразом (4.45) је једнака збиру биномних вероватноћа { X > ( p + )} = P ( i) P ε (4.47) при чему је r најмањи цео број који је већи од производа ( p + ε ). Могуће је показати да је посматрана вероватноћа ограничена са горње стране тако да је P i= r p + ε + q ε. (4.48) ε { X > ( p + )} < P ( r) ( ) + q Када број понављања експеримента неограничено расте, израз на десној страни (4.8) остаје ограничен. Из дефиниције биномних вероватноћа се закључује да је: Следи да је P ( r) 0 lim = { X > ( p + ε )} 0 lim P =,, (4.49) На сличан начин се може утврдити да је гранична вредност вероватноће догађаја датог изразом (4.46) такође једнака нули, тј. да је Из наведеног следи да је: { X < ( p ε )} 0 lim P =. (4.50)

12 Основе вероватноће одакле следи: X lim P p > ε = 0, Теорема 4.. (Бернулијева теорема). Вероватноћа да ће фреквенција остварења догађаја А одступити од његове вероватноће p за вредност мању од произвољно малог броја ε тежи јединици кад број понављања експеримента неограничено расте.тј. X lim P{ p ε} = Теорема 4.. представља Бернулијев закон великих бројева. (4.5) Ако је број понављања довољно велики, теорема тврди да је скоро сигурно да ће разлика релативне фреквенције остварења догађаја А и његове вероватноће бити произвољно малa. То значи да се на основу релативне фреквенције може скоро са сигурношћу утврдити вероватноћа неког случајног догађаја. Тек када је доказан овај закон, било је могуће прихватити дефиницију емпиријске вероватноће и на тај начин, експерименталним путем, одређивати вероватноће случајних догађаја. Овај закон одиграо је пресудну улогу у развоју и примени теорије вероватноће, односно у развоју статистике, јер је тек његовим доказивањем постало јасно да постоје законитости код појава и процеса које нису детерминистичког карактера, тј. код појава и процеса стохастичког карактера. Са развојем теорије вероватноће утврђене су и општије формулације закона великих бројева. Са становишта одређивања самог појма вероватноће и њeнe суштине, интересантно је уопштење које су дали Борел и Кантели и које је познато под називом јаки закон великих бројева, а гласи: Ако је X број експеримента у којима се случајни догађај А остварио, вероватноћа да ће гранична вредност фреквенција остварења догађаја А, када се број понављања експеримената неограничено повећава, бити једнака вероватноћи p је једнака јединици, тј. X P{ lim = p} = (4.5) Закони дати изразима (4.5) и (4.5) потпуно описују фундаментално својство случајности које је могуће проучавати преко вероватноће.

13 4. Закон великих бројева 4.4. МОАВР-ЛАПЛАСОВО РЕШЕЊЕ БЕРНУЛИЈЕВОГ ПРОБЛЕМА У разматрањима Бернулијевог експеримента и закона великих бројева остао је нерешен проблема израчунавања биномних вероватноћа за велике вредности и. Било би пожељно да се утврди начин приближног рачунања ових вероватноћа, али тако да буде обезбеђена жељена прецизност. Решења за овај проблем први је дао Моавр за случај када је p = 0,5, а затим је Лаплас то решење уопштио и за произвољне вредности p. Та решења дата су у Теоремама 4.3 и 4.4. Теорема 4.3. (Локална теорема Моавр-Лапласа): Нека је вероватноћа остварења неког догађаја А у сваком од независних понављања једног експеримента једнака p, (0 < p < ), и нека је X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А. Означимо са { = } P X вероватноћу да ће се догађај А реализовати пута. Тада је низ { = } = ( ) pqp X pqp униформно конвергентан за свако за које се (4.38) p pq налази у неком коначном интервалу. При томе је (4.39) ( p) pq p lim pqp ( ) = e = φ π pq где је функција φ ( x) Гаусова крива. (4.55) Из теореме 4.3. непосредно следи: Биномне вероватноће P () за довољно велико имају приближне вредности P( ) ( x). pq φ при чему је (4.56) p x = pq А функција φ ( x) ја Гаусова крива 3

14 Основе вероватноће (4.57) 4 φ( x) = e π x односно закон вероватноћа Нормалне расподеле. Приближне вредности биномних вероватноћа дате преко Гаусове криве изразом (4.55) су боље што је веће. Међутим, чак и за релативно мале вредности приближне вредности су довољно добра апроксимација. Теорема 4.4. (Интегрална теорема Моавр-Лапласа). Нека је X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А, а p вероватноћа његовог остварења у сваком понављању, (0 < p < ). Тада ће вероватноћа да се вредност (4.58) X p pq нађе у интервалу (a,b] тежити интегралу тј. тада је π b a x e dx = φ( x) dx b b b x X p (4.59) lim P a < b = e dx φ( x) dx =. pq π a a Интегрална теорема Моавр-Лапласа има веома широку примену у одређивању вероватноћа различитих догађаја везаних за Бернулијеву шему независних понављања једног експеримента. На основу граничне вредности дате у теореми 4.4 можемо приближно одређивати збирове биномних вероватноћа. Наиме, из (4.59) следи да је за довољно велико b X p (4.6) P a < b φ( x) dx pq a Пошто је вероватноћа на левој страни (4.6) једнака збиру одговарајућих биномних вероватноћа, то значи да је b a (4.6) P ( ) φ( x) dx при чему збир иде по од ( p a pq) до ( p + b pq). Интеграл на десној страни (4.6) и (4.6) може се одредити преко таблица за функцију Нормалне расподеле Φ ( z). Вероватноћа у (4.6) је приближно једнака (4.63) X p P a < b Φ( b) Φ( a) pq тј. P ( ) Φ( b) Φ( a) a

15 4. Закон великих бројева 4.5. ПУАСОНОВО РЕШЕЊЕ ЗА РЕТКЕ ДОГАЂАЈЕ Одређивање биномних вероватноћа P ( ) у Бернулијевој шеми независних понављања експеримента није сасвим једноставно за велике бројеве. Моавр- Лапласова теорема омогућава да се приближно одреде посматране вероватноће за случај када p и pq расту и кад. Међутим, постоје случајеви када је Моавр-Лапласова апроксимација незадовољавајућа. За те случајеве користи се једина апроксимација која је математички много једноставнија од претходне. Пуасон је дао формулу која представља веома добру апроксимацију биномних вероватноћа за ретке догађаје, тј. за догађаје чија вероватноћа реализације у једном извођењу је мала. Означимо са λ производ λ = p, при чему је број понављања експеримента, а p вероватноћа реализације догађаја А у сваком понављању експеримента. Тада се биномне вероватноће могу написати у облику: (4.74). P ( ) λ λ lim P ( ) = e +! Израз (4.74) омогућава да се изврши апроксимација биномних вероватноћа. Ако је довољно велико, а p мало, тако да је вредност производа p мала ( p <0), тада се биномне вероватноће могу приближно одређивати по формули: λ λ (4.76.) P ( ) = e,! при чему је λ = p. 5

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Монте Карло Интеграциjа

Монте Карло Интеграциjа Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014. Садржај Предговор 4 1. Уводни део 5

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАКСИМОВИЋ ТАЊА Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе МАСТЕР РАД Ментор: др. Александар Липковски Београд 2015. Садржај Увод

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010.

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010. УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА август 2010. I. УВОД Сврха овог Упутства је да помогне оператерима који управљају опасним материјама, како да одреде да

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4)

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 Основни појмови o испаравању 3.2 Кружење воде у природи У атмосфери водена пара затвара један круг који је познат под именом кружење воде или

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад Универзитет у Београду Математички факултет МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад студент: Данка Николић ментор: доцент др Небојша Икодиновић Београд, 2016. Садржај Предговор... 1 1. Уводни

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ПЕТНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 3

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања

Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања Универзитет у Београду Математички факултет Марија Ивановић Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања Дипломски мастер рад Б е о г р а д 0 Ментор: Проф др Ђорђе Дугошија Математички факултет у Београду

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

Математика лутрије. Математика лутрије I

Математика лутрије. Математика лутрије I Математика лутрије Ови текстови су настали спорадичним сакупљањем и дјелимичним обрађивањем. Извори су наведени тамо гдје је то било могуће, односно гдје се аутор текста истих могао и сјетити. Неки наводи

Διαβάστε περισσότερα

8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА. Увод

8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА. Увод 8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА Увод До сада смо видели да је све што постоји сачињено од свега мање од сто различивих супстанци, које називамо хемијским елементима. Видели смо такође да је свака од тих малобројних

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника Струја 1 Електрична струја Кад год се наелектрисања крећу, јавља се електрична струја Струја је брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника ΔQ I Δtt Јединица за струју у SI систему

Διαβάστε περισσότερα