4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА
|
|
- Λυσιστράτη Πυλαρινός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи одговор на питање да ли се и под којим условима, на основу резултата извођења експеримента, може одредити одговарајућа вероватноћа посматраног случајног догађаја. Одговор на ово питање, важно у теорији вероватноће и статистици, дају тзв. закони великих бројева, о којима ће бити речи у поглављу које следи. Најпре ће бити детаљније описани Бернулијева шема независних понављања експеримената и Гаусова крива, без којих развој теорије вероватноће и статистике не би био могућ. У трећем делу поглавља ће бити изложен Бернулијев закон великих бројева и дата формулација Борел-Кантелијевог закона. Локална и интегрална теорема Моавр-Лапласа, без доказа, су дате у четвртом делу поглавља. На основу ових теорема могуће је приближно одредити биномне вероватноће у случају када су вредности броја велике, а Пуасоново решење за ретке догађаје је дато на крају поглавља.
2 Основе вероватноће 4.. БЕРНУЛИЈЕВА ШЕМА НЕЗАВИСНИХ ПОНАВЉАЊА ЕКСПЕРИМEНАТА Изузетно важну улогу у теорији вероватноће, њеној примени и развоју статистике, одиграла је једна класа експеримената познатих под именом Бернулијеви (Beroulli) експерименти или класа независних понављања експеримента. Одређивање вероватноћа случајних догађаја везаних за Бернулијеве експерименте представља тзв. Бернулијев проблем. Претпоставимо да je један експеримент могуће поновити неограничено пута. При томе се мисли да је могуће остварити неограничено пута један исти комплекс услова. Сваки пут кад се оствари тај комплекс услова, посматрани случајни догађај А се може остварити или не. Резултат експеримента, при томе, у једном понављању не утиче на резултате експеримента у осталим понављањима. Рећи ћемо да су понављања експеримента међусобно независна. Поред тога, предпоставља се да је у сваком понављању експеримента вероватноћа остварења догађаја А иста. Наведимо неколико примера таквих експеримената. Пример. Правилни новчић се баца неограничено пута и бележи се број појављивања,,писма. Може се посматрати да ли постоји гранична вредност за релативну фреквенцију појављивања,,писма кад неограничено расте број бацања новчића (понављања експеримента) и, уколико постоји, колико износи. Пример. Машина аутоматски обрађује производ са вероватноћом погрешне обраде једнаком p. Ако се у великој серији од 0000 или комада појави велики број неправилно обрађених комада, да ли то значи да се поузданост машине променила? Пример 3. Зна се да је међу свим порођајима проценат близанаца једнак р. Ако се у једној клиници у коју долазе породиље изабране на случајан начин нађе 000 породиља, колики се може очекивати број близанаца? Пример 4. У статистичком скупу од N елемената, 00 p % има одређено својство, док преосталих 00 ( p)% нема то својство. На случајан начин се из посматраног скупа бира један елемент и бележи се да ли он има посматрано својство или не. При томе се претпоставља да се извлачење врши са враћањем, тј. сваки пут се извучени елемент враћа у посматрани скуп, па се поново из целог скупа бира следећи елемент. Може нас занимати да одредимо вероватноћу да ће међу извучених елемената бити тачно са посматраним својством. Може нас, на пример, интересовати и вероватноћа догађаја да се количник / (релативна фреквенција појављивања елемента са посматраним својством) разликује од p за не више од једног унапред датог броја. Специјално нас може интересовати чему ће тежити количник / када број извлачења тежи бесконачности. У свим наведеним примерима описани су експерименти у којима се посматра случајни догађај А, који се у једном извођењу експеримента остварује са вероватноћом p и не остварује са вероватноћом q = p. Низ независних понављања таквог експеримента представља тзв. Бернулијев експеримент.
3 4. Закон великих бројева Означимо са број понављања посматраног експеримента. Најједноставнији и најинтересантнији проблем је одређивање вероватноће да ће се у понављања експеримента посматрани догађај А реализовати тачно пута. То значи да се у преосталих ( ) понављања догађај А неће реализовати. При томе је један одређени број из скупа бројева {0, l,,..., }. Означићемо ту вероватноћу са P (). Пре него пређемо на одређивање вероватноће P () у општем случају, посматрајмо следећи пример: Претпоставимо да се у једној кутији налази 5 сијалица и да је вероватноћа да је сијалица исправна једнака за све сијалице и износи 0,95. Одредимо вероватноћу да се у кутији налазе тачно три исправне и две неисправне сијалице. Случајни догађај А који посматрамо у појединачном извођењу,,експеримента је догађај:,,сијалица је исправна, а супротан догађај је A :,,сијалица је неисправна. При томе је p = 0. 95, q = 0. 05, а број понављања експеримента је једнак броју сијалица, тј. = 5. Тражена вероватноћа је P 5 (3). Ако за сваку сијалицу придружимо A или A, онда ће се догађај да међу пет сијалица буду три исправне реализовати ако се реализовала једна од могућности писања низа од пет словних места у којима је на 3 места слово А, а на два места слово A. Једна од могућности је, на пример, низ AA A A A. Вероватноћа да се оствари овај низ је једнака 3 0,95 0,05 0,95 0,05 = 0,95 0,05, 0,95 јер су догађаји у овом низу независни. Оваквих могућих низова има укупно 0. То су. AAA A A 6. A A A A A. AA A A A 7. A AA A A 3. A A AA A 8. A A A AA 4. A AAA A 9. A A A AA 5. AA A A A 0. A A AAA. Сваки од ових низова има исту вероватноћу и она је једнака 3 0,95 0,05. Наведени низови се међусобно искључују јер се у једном пакету од 5 сијалица може реализовати тачно један од њих. Дефинисани догађај да се међу 5 изабраних сијалица налази тачно 3 неисправне, према томе, реализује се кад се реализовао један од наведених низова. Зато је његова вероватноћа једнака збиру вероватноћа сваког од њих, тј. P5 (3) 0, = 0 0,95. На сличан начин се могу одредити и вероватноће P 5 5 (0), P5 (l), P5 (), P5 (4), P (5). 3
4 Основе вероватноће Посматрајмо, сада, општи случај. Ако се пута понавља експеримент, одредимо вероватноћа да ће се догађај A реализовати у понављања, а у преосталих ( ) неће. Сваком извођењу експеримента приписаћемо слово А или A, зависно од тога да ли се догађај А реализовао или није. На тај начин ћемо, низу од понављања експеримента придружити низ од словних места, који је састављен од слова А и A. Посматрани догађај ће се реализовати ако се реализује низ у коме ће на места бити слово А, а на преосталих ( ) места A. Вероватноћа сваког таквог низа је једнака: због независности догађаја. p q Са друге стране, сви ти низови се међусобно искључују, јер једном Бернулијевом експерименту од понављања одговара тачно један од тих могућих низова у којима се посматрани догађај А реализовао пута. Таквих различитих низова има онолико колико има могућности да се од словних места изабере места на која се ставља слово A, (на преостала места се ставља A ), а тај број је једнак: C = =!! ( )! где је: Низ вероватноћа: ( 0 ), P ( ), P ( ) P..., P ( ) p q = p q =!!( )! је низ биномних вероватноћа и представља вероватноће да се у Бернулијевом експерименту догађај А реализује тачно пута, при чему је =0,,,...,. Биномне вероватноће P ( ) имају мале вредности за велики број. Неке вредности вероватноће за = 50 и p = су дате у Табели 4.. Највећа вероватноћа 3 једнака је 0,78. (За = 50и p = 0, 5, највећа вероватноћа је мања од 0,08.) Из Табеле 4.. види се да биномне вероватноће расту до извесне вредности, а затим опадају. 4
5 4. Закон великих бројева P () P () ,000 0,0033 0,057 0,0470 0,0879 0,077 0, ,78 0,080 0,090 0,0704 0,033 0,0059 0,000 Табела 4.. Биномне вероватноће за = 50и p =. 3 Значи да ће се за неку вредност добити највећа вредност биномних вероватноћа. Интересује нас која је то вредност. Биномне вероватноће за и ( +) су:! P ( ) = p!( )! q! P ( + ) = p ( + )!( )! + q Њихов количник је број P( + ) P( ) = + p q (4.5) Ако је овај количник већи од један, значиће да са порастом бинома вероватноћа расте. То ће бити случај кад је односно кад је За + p q p q > p q количник (4.5) је мањи од један, што значи да ће за опадати. > p qбиномне вероватноће Ако је ( p q) цео број, количник биномних вероватноћа за ( p q + ) и ( p q) биће једнак P ( p q + ) ( p q) = P ( p q) p q + p q 5
6 Основе вероватноће Односно P ( p q + ) = P ( p q) На основу изложеног се може закључити: Ако p q није цео број, онда је број понављања у којима се реализује случајан догађај А са највећом вероватноћом, једнак: = [ p q] + при чему је [ ] ознака за највећи цео број који није већи од p q. Ако је p q цео број, онда постоје две вредности које су највероватније, а то су вредности: = p q + = p q + За те вредности, биномне вероватноће су међусобно једнаке, и веће су од свих осталих вероватноћа. 6
7 4. Закон великих бројева 4.. ГАУСОВА КРИВА У примени теорије вероватноће велику улогу има функција позната под именом Гаусова крива (Gauss) или Гаус- Лапласова крива (Laplace) која се често зове и закон вероватноћа Нормалне расподеле. Гаусова крива је крива дата функцијом ( x) = e π која је дефинисана за свако реално x из интервала ( + ) Функција ( x) x φ (4.),. φ је симетрична функција која има максимум у тачки x = 0. Максимална вредност ове функције је Превојне тачке функције ( x) Поред тога је φ ( 0) = 0, π Φ су тачке x = ± у којима функција има вредност φ ( ± ) = e 0, 40. π ( x) 0 lim φ =, x + ( x) 0 lim φ =. x Гаусова крива је приказана на слици 4.. Слика 4.. Гаусова крива φ ( x) Површина између криве φ ( x) и осе x је једнака интегралу и има вредност једнаку јединици, тј. + φ ( x) dx 7
8 Основе вероватноће Вредности функције ( x) + x π e dx = (4.3) φ дају се табеларно, најчешће за вредности x из интервала [0; 3,99]. За x = 3,99 функција има вредност 0,000, а за вредности x веће од φ x има мале вредности које су практично једнаке 0. 3,99 функција ( ) На основу Гаусове криве, дефинисана је тзв. функција Нормалне расподеле Φ ( z) чије су вредности дате табеларно и која служи за одређивање површине између φ x и осе x у неком произвољном интервалу [a; b]. криве ( ) Дефиниција 4.. Функција Нормалне расподеле Φ ( z) дефинисана је за свако z (, + ) једначином Φ z z x z dx = e ( ) = φ ( x) π и представља површину између криве φ ( x) и осе x у интервалу (, z] dx. Графички приказ преко површине функције φ ( x) дат је на слици 4.. Слика 4.. Функција Нормалне расподелe приказана као површина Функција Нормалне расподеле Φ ( z) је монотоно растућа функција која има хоризонталне асимптоте у=0, када х -, и y =, када х. Графички је приказана на слици Слика 4.3. Функција Φ ( z) Φ дате су табеларно за позитивне вредности z. Због симетрије Гаусове криве, важи: Вредности функције нормалне расподеле ( z) ( z) = Φ( z) Φ
9 што није тешко проверити, на основу дефиниције (4.). 4. Закон великих бројева У табелама функције Нормалне расподеле најчешће су дате вредности функције за z из интервала [0; 3,49]. За вредности веће од 3,49 функција Ф практично има вредност. Да би одредили површину између Гаусове криве и осе x у произвољном b Φ z. Важи: интервалу ( a, ] користимо функцију ( ) P = e dx π b a x = Φ ( b) Φ( a) Слика 4.4. Приказ површине и функције φ ( z) Најчешће се посматра симетрични интервал [ z, z] φ ( x) и осе x, у том интервалу једнака је z x P = e π z dx = Φ ( z) Тако се добија да је површина у интервалу (, ] а у интервалу (, ] : док је за интервал ( 3, 3] P = 0,686 = 68,3%, P = 0,9544 = 95,4%, P = 0,9974 = 99,7%,. једнака: што значи да се 99,7% од укупне површине између Гаусове криве ( x). Површина између функције φ и осе x, налази у интервалу (-3; 3] док је изван тог интервала свега 0,03% те површине. 9
10 Основе вероватноће 4.3. БЕРНУЛИЈЕВ И БОРЕЛ-КАНТЕЛИЈЕВ ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Посматраћемо Бернулијеву шему независних понављања експеримента са случајним догађајем А и вероватноћом p реализације догађаја А у сваком понављању. Посматрајмо следећи проблем: Ако се пута понавља експеримент, да ли је између релативне фреквенцијое остварења посматраног догађаја и вероватноће p може уочити нека зависност? Одговор на постављено питање дао је J. Beroulli ( године) у познатом делу Ars Cojectadi објављеном 73. године. Бернулијеве резултате уопштио је Моавр (Abraham De Moivre) 78. године, а затим је Лаплас (Pierre S. Laplace) 8. године дао најопштију формулацију одговора на постављено питање. Ради бољег разумевања правог значења ових резултата, размотримо прво Бернулијеву формулацију. Означимо са X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А. Ако се експеримент понови пута X ће узети једну вредност из низа могућих вредности 0 Догађај D { X = } { 0,,,...,} = је случајни догађај који се у Бернулијевом експерименту реализује са вероватноћом Количник P!!( )! ( ) = P{ X = } = p q (4.4) је фреквенција остварења догађаја А у пута поновљеном експерименту. X (4.4) Фреквенција остварења догађаја А може узети једну вредност из низа могућих вредности {0,,,..., }. X Догађај D` = = је случајни догађај који се у Бернулијевом експерименту реализује са вероватноћом датом изразом (4.4). Интересује нас разлика између фреквенције (4.4) и вероватноће p. Посматрајмо апсолутну вредност те разлике. X p. (4.43)
11 4. Закон великих бројева Ако експеримент поновимо пута, разлика (4.43) ће узети неку вредност из интервала [0; ]. Шта се дешава са разликом када се повећава број понављања експеримента? Изаберимо произвољно мали позитиван број ε и посматрајмо догађај да ће разлика (4.43) бити већа од тога броја, тј. посматрајмо догађај X D = p > ε, (4.44) и одредимо вероватноћу остварења овог догађаја у понављања експеримента. или кад је Догађај D ће се остварити кад је (Види слику 4..). ( ) X > p + ε (4.45) ( ) X < p ε (4.46) Слика 4.. Вероватноћа догађаја датог изразом (4.45) је једнака збиру биномних вероватноћа { X > ( p + )} = P ( i) P ε (4.47) при чему је r најмањи цео број који је већи од производа ( p + ε ). Могуће је показати да је посматрана вероватноћа ограничена са горње стране тако да је P i= r p + ε + q ε. (4.48) ε { X > ( p + )} < P ( r) ( ) + q Када број понављања експеримента неограничено расте, израз на десној страни (4.8) остаје ограничен. Из дефиниције биномних вероватноћа се закључује да је: Следи да је P ( r) 0 lim = { X > ( p + ε )} 0 lim P =,, (4.49) На сличан начин се може утврдити да је гранична вредност вероватноће догађаја датог изразом (4.46) такође једнака нули, тј. да је Из наведеног следи да је: { X < ( p ε )} 0 lim P =. (4.50)
12 Основе вероватноће одакле следи: X lim P p > ε = 0, Теорема 4.. (Бернулијева теорема). Вероватноћа да ће фреквенција остварења догађаја А одступити од његове вероватноће p за вредност мању од произвољно малог броја ε тежи јединици кад број понављања експеримента неограничено расте.тј. X lim P{ p ε} = Теорема 4.. представља Бернулијев закон великих бројева. (4.5) Ако је број понављања довољно велики, теорема тврди да је скоро сигурно да ће разлика релативне фреквенције остварења догађаја А и његове вероватноће бити произвољно малa. То значи да се на основу релативне фреквенције може скоро са сигурношћу утврдити вероватноћа неког случајног догађаја. Тек када је доказан овај закон, било је могуће прихватити дефиницију емпиријске вероватноће и на тај начин, експерименталним путем, одређивати вероватноће случајних догађаја. Овај закон одиграо је пресудну улогу у развоју и примени теорије вероватноће, односно у развоју статистике, јер је тек његовим доказивањем постало јасно да постоје законитости код појава и процеса које нису детерминистичког карактера, тј. код појава и процеса стохастичког карактера. Са развојем теорије вероватноће утврђене су и општије формулације закона великих бројева. Са становишта одређивања самог појма вероватноће и њeнe суштине, интересантно је уопштење које су дали Борел и Кантели и које је познато под називом јаки закон великих бројева, а гласи: Ако је X број експеримента у којима се случајни догађај А остварио, вероватноћа да ће гранична вредност фреквенција остварења догађаја А, када се број понављања експеримената неограничено повећава, бити једнака вероватноћи p је једнака јединици, тј. X P{ lim = p} = (4.5) Закони дати изразима (4.5) и (4.5) потпуно описују фундаментално својство случајности које је могуће проучавати преко вероватноће.
13 4. Закон великих бројева 4.4. МОАВР-ЛАПЛАСОВО РЕШЕЊЕ БЕРНУЛИЈЕВОГ ПРОБЛЕМА У разматрањима Бернулијевог експеримента и закона великих бројева остао је нерешен проблема израчунавања биномних вероватноћа за велике вредности и. Било би пожељно да се утврди начин приближног рачунања ових вероватноћа, али тако да буде обезбеђена жељена прецизност. Решења за овај проблем први је дао Моавр за случај када је p = 0,5, а затим је Лаплас то решење уопштио и за произвољне вредности p. Та решења дата су у Теоремама 4.3 и 4.4. Теорема 4.3. (Локална теорема Моавр-Лапласа): Нека је вероватноћа остварења неког догађаја А у сваком од независних понављања једног експеримента једнака p, (0 < p < ), и нека је X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А. Означимо са { = } P X вероватноћу да ће се догађај А реализовати пута. Тада је низ { = } = ( ) pqp X pqp униформно конвергентан за свако за које се (4.38) p pq налази у неком коначном интервалу. При томе је (4.39) ( p) pq p lim pqp ( ) = e = φ π pq где је функција φ ( x) Гаусова крива. (4.55) Из теореме 4.3. непосредно следи: Биномне вероватноће P () за довољно велико имају приближне вредности P( ) ( x). pq φ при чему је (4.56) p x = pq А функција φ ( x) ја Гаусова крива 3
14 Основе вероватноће (4.57) 4 φ( x) = e π x односно закон вероватноћа Нормалне расподеле. Приближне вредности биномних вероватноћа дате преко Гаусове криве изразом (4.55) су боље што је веће. Међутим, чак и за релативно мале вредности приближне вредности су довољно добра апроксимација. Теорема 4.4. (Интегрална теорема Моавр-Лапласа). Нека је X број понављања експеримента у којима се реализовао догађај А, а p вероватноћа његовог остварења у сваком понављању, (0 < p < ). Тада ће вероватноћа да се вредност (4.58) X p pq нађе у интервалу (a,b] тежити интегралу тј. тада је π b a x e dx = φ( x) dx b b b x X p (4.59) lim P a < b = e dx φ( x) dx =. pq π a a Интегрална теорема Моавр-Лапласа има веома широку примену у одређивању вероватноћа различитих догађаја везаних за Бернулијеву шему независних понављања једног експеримента. На основу граничне вредности дате у теореми 4.4 можемо приближно одређивати збирове биномних вероватноћа. Наиме, из (4.59) следи да је за довољно велико b X p (4.6) P a < b φ( x) dx pq a Пошто је вероватноћа на левој страни (4.6) једнака збиру одговарајућих биномних вероватноћа, то значи да је b a (4.6) P ( ) φ( x) dx при чему збир иде по од ( p a pq) до ( p + b pq). Интеграл на десној страни (4.6) и (4.6) може се одредити преко таблица за функцију Нормалне расподеле Φ ( z). Вероватноћа у (4.6) је приближно једнака (4.63) X p P a < b Φ( b) Φ( a) pq тј. P ( ) Φ( b) Φ( a) a
15 4. Закон великих бројева 4.5. ПУАСОНОВО РЕШЕЊЕ ЗА РЕТКЕ ДОГАЂАЈЕ Одређивање биномних вероватноћа P ( ) у Бернулијевој шеми независних понављања експеримента није сасвим једноставно за велике бројеве. Моавр- Лапласова теорема омогућава да се приближно одреде посматране вероватноће за случај када p и pq расту и кад. Међутим, постоје случајеви када је Моавр-Лапласова апроксимација незадовољавајућа. За те случајеве користи се једина апроксимација која је математички много једноставнија од претходне. Пуасон је дао формулу која представља веома добру апроксимацију биномних вероватноћа за ретке догађаје, тј. за догађаје чија вероватноћа реализације у једном извођењу је мала. Означимо са λ производ λ = p, при чему је број понављања експеримента, а p вероватноћа реализације догађаја А у сваком понављању експеримента. Тада се биномне вероватноће могу написати у облику: (4.74). P ( ) λ λ lim P ( ) = e +! Израз (4.74) омогућава да се изврши апроксимација биномних вероватноћа. Ако је довољно велико, а p мало, тако да је вредност производа p мала ( p <0), тада се биномне вероватноће могу приближно одређивати по формули: λ λ (4.76.) P ( ) = e,! при чему је λ = p. 5
Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
Διαβάστε περισσότερα7. Модели расподела случајних променљивих ПРОМЕНЉИВИХ
7. Модели расподела случајних променљивих 7. МОДЕЛИ РАСПОДЕЛА СЛУЧАЈНИХ ПРОМЕНЉИВИХ На основу природе појаве коју анализирамо, често можемо претпоставити да расподела случајне променљиве X припада једној
Διαβάστε περισσότερα1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
Διαβάστε περισσότεραналазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
Διαβάστε περισσότερα7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
Διαβάστε περισσότεραг) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Διαβάστε περισσότεραСИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
Διαβάστε περισσότεραTестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραКРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
Διαβάστε περισσότεραпредмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
Διαβάστε περισσότεραb) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
Διαβάστε περισσότερα6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
Διαβάστε περισσότερα2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Διαβάστε περισσότεραАКТУАРСТВО. Предавања 2. мр Наташа Папић-Благојевић
АКТУАРСТВО Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић АКТУАРСКЕ ОСНОВЕ ОСИГУРАЊА Актуарска математика личног осигурања - обрачун тарифа животног осигурања. Актуарска математика имовинског осигурања - обрачун
Διαβάστε περισσότεραУпутство за избор домаћих задатака
Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
Διαβάστε περισσότεραЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
Διαβάστε περισσότεραПоложај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
Διαβάστε περισσότεραАнализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
Διαβάστε περισσότερα2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
Διαβάστε περισσότερα2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Διαβάστε περισσότερα1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно
Διαβάστε περισσότερα5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Διαβάστε περισσότερα8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραСкупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић
Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА
РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,
Διαβάστε περισσότερα10.3. Запремина праве купе
0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка
Διαβάστε περισσότεραРотационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Διαβάστε περισσότεραАксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
Διαβάστε περισσότεραМАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић
Διαβάστε περισσότεραОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
Διαβάστε περισσότεραПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА
ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике
XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће
Διαβάστε περισσότερα6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно
Διαβάστε περισσότερα6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
Διαβάστε περισσότεραВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни
Διαβάστε περισσότεραТангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)
Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.
Διαβάστε περισσότερα4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότερα6.5 Површина круга и његових делова
7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност
Διαβάστε περισσότερα3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότερα7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραИспитвање тока функције
Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном
Διαβάστε περισσότεραCook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12
Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма
Διαβάστε περισσότεραПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a
Διαβάστε περισσότεραХомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике
Διαβάστε περισσότεραI Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
Διαβάστε περισσότεραЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група
ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем
Διαβάστε περισσότεραПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.
Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [
Διαβάστε περισσότεραУНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И
УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...
Διαβάστε περισσότεραTAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
Διαβάστε περισσότεραСеминарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
Διαβάστε περισσότερα(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.
Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону
Διαβάστε περισσότεραЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним
Διαβάστε περισσότεραЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним
Διαβάστε περισσότεραОснове теорије вероватноће
. Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића
Διαβάστε περισσότεραСлика 1. Слика 1.2 Слика 1.1
За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика
Διαβάστε περισσότεραМАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4
МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :
Διαβάστε περισσότεραОд површине троугла до одређеног интеграла
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање
Διαβάστε περισσότερα4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима
50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?
Διαβάστε περισσότερα1 Неодрђеност и информациjа
Теориjа информациjе НЕОДРЂЕНОСТ И ИНФОРМАЦИJА Неодрђеност и информациjа. Баца се фер новичић до прве поjаве писма. Нека jе X случаjна величина коjа представља броj потребних бацања. Наћи неодређеност случаjне
Διαβάστε περισσότεραСваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.
IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита
Διαβάστε περισσότεραВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА
ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег
Διαβάστε περισσότεραПовршине неких равних фигура
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραПримена првог извода функције
Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први
Διαβάστε περισσότεραКоличина топлоте и топлотна равнотежа
Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина
Διαβάστε περισσότεραI део ТЕОРИЈА ВЕРОВАТНОЋЕ Глава 1
ПРЕДГОВОР... 1 УВОД...3 1. Предмет теорије вероватноће... 3 2. Преглед историјског развоја теорије вероватноће... 5 I део ТЕОРИЈА ВЕРОВАТНОЋЕ Глава 1 ВЕРОВАТНОЋА СЛУЧАЈНОГ ДОГАЂАЈА... 13 1.1. Случајни
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала
Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја
Διαβάστε περισσότεραВисока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић
Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је
Διαβάστε περισσότεραВектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије
ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ
Διαβάστε περισσότεραПредмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Διαβάστε περισσότεραВаљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:
Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине
Διαβάστε περισσότεραТеорија друштвеног избора
Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних
Διαβάστε περισσότερα6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23
6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Београду. Математички факултет. Мастер рад. Тема: Геометријски случајни процеси
Универзитет у Београду Математички факултет Мастер рад Тема: Геометријски случајни процеси Ментор: Проф др Слободанка Јанковић Кандидат: Радојка Станковић дипл математичар Београд 2012 Садржај Садржај
Διαβάστε περισσότεραТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ
ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР - 12. ДЕЦЕМБАР 2010. ГОДИНЕ http://puzzleserbia.com/ ДРУГА НЕДЕЉА (6.12. - 12.12.) 7. СУДОКУ АЈНЦ 8. ПЕНТОМИНО УКРШТЕНИЦА 9. ШАХОВСКЕ
Διαβάστε περισσότεραF( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ
НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραОзнаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2
Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима
Διαβάστε περισσότεραПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ
ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације
Διαβάστε περισσότεραI Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )
Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P
Διαβάστε περισσότεραТеорија одлучивања. Циљеви предавања
Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Διαβάστε περισσότεραМатематички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља
Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/
Διαβάστε περισσότεραРешења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да
Διαβάστε περισσότερα