S.VLASE, H.TEODORESCU, L. SCUTARU V.GUIMAN, V.MUNTEANU, A.STANCIU, R.PURCAREA CINEMATICA SI DINAMICA. CULEGERE DE PROBLEME

Transcript

1 S.VLASE, H.TEODOESCU, L. SCUTAU V.GUIMAN, V.MUNTEANU, A.STANCIU,.PUCAEA CINEMATICA SI DINAMICA. CULEGEE DE POBLEME

2 efeent ştiinţifi: pof.univ.d.ing. Gheoghe Deliu Desiee CIP Biblioteii ţionle oâniei VLASE, SOI Culegee de poblee de eniă / Soin Vlse, Hoţiu Teodoesu-Dăghiesu, Mi Luiniţ Sutu,... - Bşov : Infoet, 9. ISBN I. Teodoesu-Dăghiesu, Hoţiu II. Sutu, Mi Luiniţ 5 Consilie editoil: d. Doin Liăndoiu 9 - Editu INFOMAKET Editu I FOMAKET Edituă edittă de C CSIS u n.98 O.P. - C.P.6 - BAŞOV Tel./F: (68) ISB

3 S.VLASE, H. TEODOESCU-DĂGHICESCU, M.L. SCUTAU, V. GUIMA, V. MU TEA U, A. STA CIU,. PUCĂEA CINEMATICĂ şi DINAMICĂ. Culegee de poblee Editu I FOMAKET

4

5 CUPINS CAPITOLUL I CINEMATICA PUNCTULUI ATEIAL.. CAPITOLUL II CINEMATICA IGIDULUI.. 7 CAPITOLUL III MISCAEA ELATIVĂ A PUNCTULUI MATEIAL.. 99 CAPITOLUL IV APLICAŢIILE TEHNICE ALE CINEMATICII... CAPITOLUL V DINAMICA PUNCTULUI MATEIAL... 9 CAPITOLUL VI MOMENTE DE INEŢIE.. 6 CAPITOLUL VII DINAMICA IGIDULUI... 9 CAPITOLUL VIII DINAMICA SISTEMELO DE IGIDE CAPITOLUL IX VIBAŢIILE SISTEMELO MECANICE... ANEXA I CALCUL VECTOIAL SI MATICEAL.. 9 i

6 .. Vetoi. Noţiuni fundentle Opeţii u vetoi Adune vetoilo Su doi vetoi Su i ulto vetoi Popietăţile suei vetoile Desopunee unui veto...5. Sădee doi vetoi Popietăţi le eglităţilo vetoile în e p sue si difeenţe Desopunee unui veto după doi vetoi oplni u el Înulţie unui veto u un sl Vetoi oplni line independenţi si line dependenţi Desopunee unui veto după tei vetoi neoplni Vetoi neoplni line independenţi si line dependenţi... Condiţiile în e tei vetoi u eteităţile în linie deptă su ptu vetoi u eteităţile în elsi pln..... Podusul sl doi vetoi.... ii

7 ... Definiţie si popietăţi.... epezentăi lgebie.... Podusul vetoil doi vetoi 5... Definiţie si popietăţi epezentăi lgebie Podusul it tei vetoi..... Definiţi podusului it si popietăţi epezentăi lgebie...5. Dublul podus vetoil tei vetoi Apliţii le lulului vetoil Vetoul de poziţie l unui punt..6.. Deteine deptei supot unei foţe... Eeiţii Mtie Noţiuni fundentle Opeţii u tie Su două tie Înulţie unei tie u un sl Podusul două tie Inves unei tie Sistee linee Tnspus unei tie... 5 iii

8 ...7. epezente tielă podusului vetoil Vetoi si vloi popii pentu tie pătte Mtie otogonle Unele popietăţi le opeţiilo u tie Mtie opuse 59.9.Funţii de tie Consideţii genele Czul tielo sietie 6 ANEXA II VECTOI SI VALOI POPII.. 6. Mtie oentelo de ineţie otţi elo Moentul de ineţie l unui op în pot u o ă Dieţii de ete pentu oentele de ineţie z de ineţie 7.6. Popietăţi le dieţiilo piniple de ineţie Elipsoidul de ineţie 7 BIBLIOGAFIE iv

9 CAPITOLUL I CINEMATICĂ şi DINAMICĂ CI EMATICA PU CTULUI MATEIAL.. Un punt teil se işă după lege: A ost A sint y B os t B sin t Se e tietoi, vitez şi eleţi puntului teil. ezolve: Pentu fl tietoi v tebui să eliină tipul din ele două elţii. Sisteul line în A B ofeă soluţi: Aos t Bsin t y os t B sin t B unde A B A B A A y os t şi sin t : Ave dei: os ( B A y) ; sin ( B A y) t Întuât: os t sin t ezultă: ( B A y) ( B A y) B t su: ( ) ( ) ( ) B y A B A B y A A

10 Culegee de poblee e epezintă euţi unei elipse. Mtie estei foe păttie este: ( ) ( ) A A A B B A A B B A B B. Poble de vloi popii: ( ) ( ) λ λ A A A B B A A B B A B B su: ( )( ) ( ) B A B A A A B B λ λ dă seiele elipsei: / ; / λ λ b unde λ şi λ sunt soluţiile euţiei de gdul doi obţinute. Sisteul line oogen: ( ) ( ) sin os λ λ A A A B B A A B B A B B dă înline elo elipsei fţă de sisteul de oodonte Oy: ( ) ( ) ; A B B A B B tg A B B A B B tg λ λ Cele două e, deteinte de unghiuile şi espetive, sunt pependiule înte ele şi foeză un nou siste de oodonte OXY fţă de e elips tietoie e fo: Y X λ λ su: λ λ Y X

11 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Coponenetele vitezei sunt: v v y ( A t A os t) sin ( B t B os t) sin de unde se pote obţine vloe vitezei: v v v y. Coponentele eleţiei sunt: ( A os t A sin t) ( B os t B sin t) y y şi du vloe eleţiei: ( y ). elţiile de definiţie le spţiului se i pot sie: unde: ( ) os t ϕ ( ) y os t ϕ A A ; tgϕ ; A B B ; A B tgϕ B Vitez v fi dtă tuni de elţiile: v i eleţi: ( t ϕ ) ; v ( ϕ ) t sin y sin

12 Culegee de poblee ( t ϕ ) ; ( ϕ ) os y os t.. Euţiile petie le unui punt teil în işe sunt: t e ; βt. Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi utilizând sisteul de oodonte pole. ezolve: Eliină tipul t înte ele două elţii: t de β unde e β. Tietoi este dei o spilă logitiă. Ave: ezultă: t ; e t ; β e ;. v t e ; Vetoul viteză: v v e v v t βe. ( e βe ) t e e e vloe: v e t β. Unghiul făut de viteză u z vetoe este: tg v β,. v ( v ) t Aeleţi e oponentele:

13 t e ( β ) [( β ) e βe ] ; e e t t CINEMATICĂ şi DINAMICĂ βe t ( β ) β e ( β ) Unghiul făut de eleţie u vetoul de poziţie l puntului β tg β (, ) t. ρ t.. Un o se deplseză tăgând de eteitte puntului C unei funii, teută după un sipete i B, elltă eteitte funiei fiind legt l un ăuio e se deplseză pe o pltfoă oizontlă. Ştiind ă vitez u e legă oul este onstntă şi eglă u u şi ă difeenţ de nivel dinte pltfoă şi eteitte C funiei este h, se ee să se deteine vitez v ăuioului şi eleţi s (fig..). Fig.. ezolve: Din figuă ezultă ut ; h u t h. y 5

14 Culegee de poblee Vitez ăuioului este: dy v dei dt Aeleţi ăuioului este: u t v su u t h v u. h dv dei dt u h su ( u t h ) u h. ( h ).. O ptiulă se deplseză în linie deptă u vitez 5 v t s. Să se deteine poziţi estei l t 6s, dă l,. De seene, să se deteine eleţi ând. ezolve: Din d 5 v, ezultă d v dt ; d dt dt ; ( ) d 5 dt ; ( ) d s t s 5t t, s 5t. Dă t 6s s,7. s s t t 5dt, 6

15 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Cu dv dv d dv v. dt d dt d dv d 5 ezultă ă: ( ) ( ) ( ) Pentu, ezultă 6 s..5. Aeleţi unui punt teil în işe etilinie este dtă t s. Dă o şi v o s l t pin elţi ( ) să se deteine vitez puntului teil şi poziţi estui l t 6s. De seene să se deteine spţiul totl pus de puntul teil în est intevl de tip. o ezolve: Din elţi dv dt, pin intege ezultă: v v o dv t to ( t) dt ; v v t t t t ; v t t o o o L oentul t 6 s ezultă: v s. Pute sie: d v dt d ( t t )dt, s 6 ( t t ) d dt, 7

16 Culegee de poblee 6 t t s t s 67, d s s Mişe unui punt pe supfţ unui on iul dept este definită în oodonte pole pin: ρ h t tg, π t, unde este seiunghiul l vâf l onului şi h este distnţ u e puntul se idiă l o otţie în juul ei Oz onului (fig..6). Să se deteine odulul vitezei şi eleţiei puntului obil, l oie oent t. Fig..6 ezolve: Fiind vob de un on iul dept, ve: ρ tg z ezultând: z ρ h t tg Coponentele vitezei sunt: v ρ ρ h tg ; v ρ h t tg( π) ; v z z h, i odulul vitezei v fi: v h tg π t ose. 8

17 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Coponentele eleţiei sunt: h t ( π) ; h t tg( π) ρ tg i odulul eleţiei v fi: ( π ) h tg π t. z elţi dinte şi z este π. h ;, z.7. Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi pentu un punt le ăui euţii de işe în oodonte teziene sunt: λ e os ; y y e λ sin ; unde, y z şi λ sunt petii onstnţi. e λ z z, ezolve: Tietoi este desisă pin euţiile petie dte. Pentu obţine infoţii supliente despe ubă vo eliin petul din euţii ( ) euţiile petie se siu sub fo: ( t t) λ λ e os ; ( ) e os ; λ λ y y e sin ; ( y y) e sin ; λ λ z z e ; ( z) e z, ;. Sie Apoi se idiă l pătt tote ele tei euţii, piele două se dun şi tei se sde din este, ezultând euţi: 9

18 Culegee de poblee ( ) ( y y ) ( z z ). Euţi obţinută epezintă un on pe e se înfăşoă elie oniă u elţiile dte. Coponentele vetoului viteză sunt: v v y v z dei: v λ λ λ e os e sin ; λ λ y λ e sin e os ; e e λ z λ, λ i odulul estei este v [ ( λ os sin) i ( λ sin os) jλ ] e λ. y z λ Coponentele vetoului eleţie, ţinând se ă t, sunt: dei: y [ λ sin ( λ ) os] [ λ os ( λ ) sin] λ e ; λ y e ; e λ z z λ, {[ λ sin ( λ ) os] i [ λ os ( λ ) sin] j λ } λ e i odulul estei este ( λ ) λ λ e.,

19 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.8. B AC de lungie eglă u l ( l> ) este tiultă în A de nivel OA şi tee pin puntul fi B (fig..8). Ştiind ă nivel OA se oteşte fţă de O şi e lege spţiului unghiul ϕ t, se e să se deteine: ) vitez puntului C; b) eleţi puntului C; ) z de ubuă tietoiei puntului C. (fig..8) Fig..8 ezolve: ) Coodontele puntului C în pot u sisteul de efeinţă Oy sunt: t t os t l sin ; y sin t l os. Coponentele pe ele sisteului de efeinţă pentu vitez puntului C sunt: t v sin t l os ; t v y y os t l sin. dei odulul vitezei este: v C l t v v y l sin.

20 Culegee de poblee b) Coponentele eleţiei puntului în sisteul de efeinţă Oy sunt: t os t l sin ; t y y sin t l os. Măie eleţiei puntului C este: C l l t y sin. 6 ) z de ubuă ρ C se deteină u elţi: ρ C v C ν C. Aeleţi τ C dv dt ezultă ă: d dt τ C (eleţi tngenţilă) este: l t l sin l t l os t l sin. ν C şi în finl t l os l l t sin 6 l t 6 l sin

21 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ρ C vc ν C 6 6 l l 96 t l l sin t t l sin l sin 6 l sin t.9. Să se luleze, în oodonte pole, în pln, epesi v şi să se deduă, u jutoul estei z de ubuă tietoiei. În ptiul să se i unghiul pol ăsuă tipului. ăspuns: ( ).. Euţiile işăii unui punt uând o elie înfăşută pe un to, sunt: t., ψ t ; ϕ t. Să se deteine poieţi vitezei şi eleţiile puntului înt-o poziţie sitută înt-un siste de oodonte tooidle ( t., t. ). os t os t ; ăspuns: ( ) ( ) ψ os t sin t ; ϕ ( os t) sin t.

22 Culegee de poblee.. Un punt teil M se deplseză pe b OA în işe unifoă ponind din O u vitez v, s. B OA de lungie eglă u se oteşte fţă de O după lege spţiului unghiul, πt. Se e să se deteine oponentele vitezei şi eleţiei puntului teil juns în poziţi A. ăspuns: v ρ v; v,π vt ; (,π) vt ρ ;, π v ; 8 v A, 7 s; A,657 s... Clulţi tietoi unui punt M l unui siste bielă-nivelă, vitez şi eleţi. Se dă: ϕ π t. Fig... Apliţie: l 6, MB l, (fig..). ezolve: OA AM AM ; osϕ i sinϕ j ; AM l osϕ i l sinϕ j ;

23 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 j l i l ϕ sinϕ os. Euţiile petie de işe e puntului M vo fi: : sin ; os ϕ ϕ l y l de unde pin eliine petului vibil ϕ ezultă euţi tietoiei: l y l. Înlouind vloile ezultă: y dei o elips pottă l sisteul de oodonte Oy u seiele şi (fig...b). Fig...b

24 Culegee de poblee Vitez se deteină pin deive vetoului de poziţie în pot u tipul: v l ϕ sinϕ ; vy y l ϕ osϕ : dϕ Ştiind ă ϕ π t, ϕ vitez devine: d t v π l sinϕ ; vy y π l osϕ : i odulul vitezei este: ( sin ϕ ϕ) v M π l l os. 9 Aeleţi se deteină deivând vetoul viteză în pot u tipul: y l ϕ sinϕ l ϕ osϕ y l ϕ osϕ l ϕ sinϕ. ;.. Să se deteine euţi nlitiă tietoiei, vitez şi eleţi unui punt l unei depte e se ostogoleşte, făă lunee, pe un e de ză (fig...) (evolvent eului). 6

25 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezolve: Se lege petu ineti unghiul făut de z OT u vetil. Ave: TM AT. OT TM ( sin i os j) ( os i sin j) (sin os ) i (os sin ) j. Euţiile petie le evolventei sunt dei: (sin os ) y (os sin ) Fig... Evolvent eului Coponentele vitezei vo fi: v v y (os os sin ) sin y ( sin sin os ) os, i vitez se obţine din elţi: 7

26 Culegee de poblee de unde: v y v. ( ) Aeleţi v fi dtă de: y sin sin os y os os sin u vloe dtă de: ( ). Lungie ului de evolventă este: vdt dt d s ( pesupus ). Unghiul făut de vetoul viteză u vetil este dt de: Fig...b. Popietăţile evolventei 8

27 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ de unde: ezultă: v tgβ tg, v β. y - vitez este pependiulă pe TM (plelă u OT) (ve v TM ); - e vloe TM, unde nott : v TM Puntul M de pe deptă se opotă dpdv l vitezei (instntneu) şi u ve o işe iulă pe un e de z TM u entul în T, u vitez unghiulă. Dă y de unde: (sin os ) (os sin ) ( ) ( y ) ( ) OM. t, tuni:.. Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi unui punt de pe peifei unei oţi de ză e se ostogoleşte făă lunee pe plnul oizontl (fig...). 9

28 Culegee de poblee ezolve: Luă petu vibil unghiul. Vetoul de poziţie l puntului M de pe peifei oţii, după e est s- ostogolit u unghiul, este dt de elţi: OM OA AC CM i u oponentele: j sin i os j ( sin ) y ( os ) e epezintă euţiile petie le iloidei (petul fiind unghiul ). Vitez v fi dtă de elţiile: v v y ( os ) y sin Fig... Ciloid u vloe:

29 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v y ( ) ( os os sin ) ( ) ( os ) ( ) sin v sin Vloe iă vitezei se obţine pentu / π / dei π. Fig...b. Gfiul vloii vitezei Coponentele eleţiei puntului sunt dte de elţiile: y i vloe de: ( os ) sin y sin os ( ) ( os os sin ) ( ) (sin os ) sin( os os) ( ) ( os ) ( ) sin sin sin

30 Culegee de poblee de unde: sin sin Lungie ului de iloidă este: ds y dt s vdt sin dt sin d ( os ) s 8sin L o ostogolie opletă eului spţiul pus de puntul teil este: π L 8sin 8. Unghiul făut de viteză u oizontl este: v sin os y y sin π tgβ tg tg( ) v os sin π dei: β. (pentu [ ;π ]) u eepţi zului ând sin /, / π, π. În est z: ( ) ; y, dei v. În puntele π unghiul făut de viteză u oizontl pezintă disontinuitte:

31 tg β π li tg ; β ; π < π CINEMATICĂ şi DINAMICĂ tg β li tg ; β π > π π ; Gfiul unghiului de înline vitezei în funţie de unghiul de ostogolie este dt în fig.... În zul în e onsideă ă ot se ostogoleşte u viteză onstntă popietăţi: t tuni v şi u uătoele ) vetoul v este pependiul pe AM şi egl în odul u AM. Înt-devă tuni (fig...d): β π / ( π ) / / AM sin( / ) şi v AM [ ( os ) i sinj][ sin os i sin [ ( os )sin os sin sin ] v sin AM Fig... j]

32 Culegee de poblee ezultă ă puntul M de pe peifei oţii se opotă d.p.d.v. l vitezei şi u disul s- oti u vitez unghiulă în juul puntului A Fig...d. Intepete geoetiă (vitez unghiulă işăii pe o iloidă defineşte viţi în tip unghiului ) (fig...d). b) Vetoul e dieţi zei MC şi este egl u MC : sin sin ; y y os os MC sin i os j dei: i y j ( sin i os j) MC. Puntul M de pe peifei oţii se opotă, d.p.d.v. l eleţiei şi u s- iş pe peifei eului de ză, u viteză onstntă (fig...d). Dă puntul teil se găseşte în inteioul unui e e se ostogoleste se obţine iloid suttă

33 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ (fig...e) şi dă se găseşte pe eteioul lui, fând op oun u eul se obţine iloid lungită (fig...f). Fig...e Fig...f.5. ) Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi unui punt l unui e obil e se ostogoleşte pe eteioul unui e fi (epiiloid). 5

34 Culegee de poblee b) Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi unui punt l unui e obil e se ostogoleşte pe inteioul unui e fi (hipoiloid) (fig..5.). Fig..5.. Epiiloid şi hipoiloid ezolve: ) Dă un e obil deză se ostogoleşte peste un e fi de ză ve ATTM, dei. Euţiile petie le tietoiei sunt: ( )sin sin( ) ( )sin sin ( y ( )os os( ) ( )os os ( Pin deivăi suesive se obţin epesiile vitezei şi eleţiei. Pentu viteză ve elţiile: v ( ) [os os( ) ] ) ) 6

35 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v y y ( ) [ sin sin( ) ]. Lungie ului de epiiloidă se obţine, pin lul, l 8( ). b) Dă eul obil de ză se ostogoleşte în inteioul eului de ză ve, din eglitte ATTM,, i euţiile petie le tietoiei sunt: ( )sin sin( ) ( )sin sin( ) y ( )os os( ) ( )os os( ) de unde, pin deivăi, se obţin vitez şi eleţi: v ( ) [os os( ) ] v y y ( ) [ sin sin( ) ] Lungie ului de hipoiloidă, l o otţie opletă, este: l 8( ). Fig..5.b. Epiiloid şi hipoiloid pentu zul / 7

36 Culegee de poblee Fig..5.. Epiiloid şi hipoiloid pentu zul / Fig..5.d. Epiiloid şi hipoiloid pentu zul / Fig..5.e. Epiiloid şi hipoiloid pentu zul /5 8

37 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ În fig..5.b-e sunt epezentte epiiloide şi hipoiloide pentu difeite vloi le potului /..6. Să onsideă un e obil e se ostogoleşte pe un e fi de eeşi ză (fig..6). Să se deteine tietoi, vitez şi eleţi unui punt de pe eul obil. Vo epi vetoul de poziţie l puntului M: Fig..6. Mişe pe dioidă OM OA AB BM i ( os i sin j) ( os i sin j) ( os os ) i (sin sin ) j S- folosit obsevţi ă ABMO este tpez isoel. ezultă: os os ; y sin sin ; y ( os os ) ( os ) ; ( os ) ( os) os, diă euţi dioidei. Coponentele vitezei vo fi: (sin sin ); 9

38 Culegee de poblee y (os os ) i vloe: v ( os ) 6 sin v sin ; π ;, i oponentele eleţiei: (sin sin ) (os os ), y (os os ) ( sin sin ).7. Să se deteine vitez şi eleţi unui punt e se işă pe o elie ilindiă (fig..7.). ezolve: Euţiile petie le eliei ilindie u ps onstnt sunt: os; y sin; z tg Pin deive se obţin oponentele vitezei şi eleţiei:

39 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ. ; sin os ; os sin. ; os ; sin tg z y tg z v y v v z y z y de unde: ( ) ( ). / os / os v tg z y v ( ) ( ). os / os / tg Lungie ului de elie este dtă de elţi: Fig..7.. Mişe pe elie ilindiă Fig..7.b

40 Culegee de poblee s ds vdt dt β. os os β.8. Să se deteine işe unui punt teil pe o elie ilindiă utilizând oodontele pole. ezolve: Vetoul de poziţie se pote sie (vezi fig..7.): e tg ρ. Aşd vitez şi eleţi ezultă, pin deivăi suesive: v e z ( e tg ) e e tg. ρ.9. Să se deteine z de ubuă iloidei, evolventei, eliei ilindie şi dioidei. ezolve: Se v folosi elţi v ρ şi se v onside v t (întuât z de ubuă nu tebuie să depindă de tip). Se obţine: i) pentu iloidă:

41 v sin ; ρ 6 sin os v os ; 6 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ; sin ii) pentu evolventă v ; v ; ( ) ;. ρ ( ) ; ρ. iii) pentu elie ilindiă: iv) v ; v ; os. os ρ pentu dioidă:. (os os ) ; y ( sin sin ); ( os ) (5 os ) ; v os ; 56 sin ρ (5 os ) os

42 Culegee de poblee 6 sin ( os ) sin ρ 8 sin. 6 sin 8sin sin 6 sin 9.. Să de deteine vitez şi eleţi unui punt flt în işe iulă utilizând oodontele teziene (fig..). Fig.. Fig.. ezolve: Coodontele teziene le puntului teil flt în işe pe e sunt: os ; y sin, de unde, pin deive, se obţine suesiv: sin ; y os ;

43 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ u sin os ; y os sin, v v şi ( ). Dă t, işe se nueşte işe iulă unifoă. Notând ezultă t. Dă > işe este unifo eletă, i dă < işe este unifo întâzită. Notând şi εt ε se obţine lege spţiului t... Să de deteine vitez şi eleţi unui punt flt în işe iulă utilizând oodontele pole (fig..). ezolve: În oodonte pole (fig..) se sie: ; v e ; v ; e e e ; u oponentele: ;... Să de deteine vitez şi eleţi unui punt flt în işe iulă utilizând oodontele ntule (fig..). ezolve: În oodonte ntule (fig..) ve: 5

44 Culegee de poblee ( ) s AM v s ; v s τ τ τ s s ; ν ρ τ ν τ tg. ν ; Fig.... Să se deteine vitez u e se işă opul B dă opul A se işă u vitez onstntă u. Fig.. 6

45 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ CAPITOLUL II CI EMATICA IGIDULUI.. Tob de blu unei şini de idit, în figu., este ntentă pint-un enis el-otă eltă. Cunosând d s, n f, z 6,,5, să se deteine vitez geutăţii Q, peu şi sensul filetului şuubului pentu geutte să ue. Fig.. ezolve: Anlizând sensuile vitezelo unghiule le elului şi espetiv el l oţii elte (ipus de oboâe geutăţii Q), se onsttă ă filetul tebuie să fie pe stâng. Se unoşte ă n f z unde este 7

46 Culegee de poblee vitez unghiulă oţii elte. După înlouii se obţine d / s. Vitez geutăţii Q v fi: 6 V Q,5,5 / s... Să se deteine potul de tnsitee l edutoului plnet din figu.. Se unos zele oţilo, espetiv nueele de dinţi. ezolve: Se obsevă ă işe stelitului este plnă şi ă entul său instntneu de otţie I se flă în puntul de tngenţă l eului de ule l stelitului u eul de ule l oonei fie. Se deseneză poi distibuţi de viteze pe ot entlă şi pe stelitul. Pleând de l distibuţi de viteze pe stelit, ezultă ă vitez puntului B este eglă u juătte din vitez puntului A. Fig.. 8

47 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Atuni eistă uătoele elţii: v A ; v A I A ; va v B I B ; v B OB ( ). În bz esto elţii potul de tnsitee devine: i, ( ) ( z z ) z z z unde epezintă odulul oţilo dinţte, stfel ă dietul eului de ule este D z, i z estui este z. z,.. Pentu enisul difeenţil l unui utoobil e puge un vij, să se deteine: ) vitez unghiulă instntnee stelitului în pot u osei utoobilului; b) eleţi unghiulă stelitului în pot u elşi epe. Se unos: vitez utoobilului v 6 h s; z vijului ; etentul utoobilului B,5; z oţii d,5; potul înte z edie pinionului plnet şi stelitului p : s :,figu.,. ezolve: Se luleză i întâi vitezele unghiule de otţie popie oţilo, (fig..,b). 9

48 Culegee de poblee B v,75 p v d /,5 d d B v,75 p v 7d /,5 d d s ; s. b. Fig... Având în vedee ă vitezele peifeie le puntelo de pe euile edii le plnetelo sunt popoţionle u vitezele unghiule p şi espetiv p, se găses uşo(fig..6,b) ă vitez de otţie entului stelitului în juul ei punţii otoe este edi vitezelo puntelo A şi B,

49 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v C (v A v B ), ee e ondue l vitez unghilă oonei, p p 7 d / s. Se pote obsev ă stelitul e o işe de peisie egultă, opusă dint-o işe de peesie odtă u oon, în juul ei Oz şi o otţie popie, în juul ei Oz, fţă de oonă. Vo ve dei: p p în e vitez unghiulăde otţie stelitului în juul ei popii, se v găsi din distibuţi de viteze epezenttă în figu.6,b fiind: v v Fig... A B p p p p p p p s s s 7 6d / s

50 Culegee de poblee În epeul solid u Oyz, vetoul viteză unghiulă instntnee se v sie: j 6d / s, în tip e vitez unghilă de peesie v fi desigu jd s. ezultă u, eeleţi unghiulă stelitului: ε ( j) ( 6 ) i d s. / p /.. Pl din figu. se işă în plnul O y. Cunosând ă v o 8d / s, v y A / s şi v y B / s, să se deteine: ) vitez unghiulă plăii; b) vitezele puntelo O,A şi B; ) oodontele entului instntneu de otţie. ezolve:, b) Se siu i întâi elţiile de distibuţie Eule: v A v OA v OB v B ; ; e vo gene ptu euţii sle: A v v ; y A v v ; y Fig..

51 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ B v v ; y B v v. y Soluţiile sisteului de euţii sunt: d / s ; v y o / s; v A 6 / s ; v B / s. Au se pot sie vetoii viteză ăutţi stfel: v o 8i j / s; v A 6i j / s; v B i j / s. ) Coodontele entului instntneu de otţie în epeul obil vo fi: y v V 8 ; y..5. Un on iul dept de înălţie h şi ză se ostogoleşte făă lunee pe un pln, vând vâful fit în puntul O (fig..5). Să se luleze vitez unghiulă onului, ând vitez entului Fig..5

52 Culegee de poblee eului de bză l onului este unosută şi onstntă (v C t.). ezolve: Fie o vitez unghiulă de otogolie onului pe plnul oizontl şi vitez unghuilă în juul ei onului. Vetoul viteză unghiulă ezultnt v fi: o, ( os i sin j) ( sin) os o Vitez entului bzei onului este: OC OC hos os i sin j hsin v C unde ( ). Înlouind se obţine: h os os i sin j u odulul V C h os. v C ( ) v vc h De ii ezultă vitez unghiulă. h os h C Cu onul se ostogoleşte făă lunee, OI este ă instntnee de otţie dei v I. i j h vi OI y z os os sin sin i os j z z ( os sin). Se obţine dei: z sin şi y tg. ezultă: y v h C vc sin hsin os h.

53 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.6. Se onsideă enisul din figu, l e nivel OA se oteşte u vitez unghiulă s. Să se deteine vitezele puntelo A, B şi C, de seene vitezele unghiule le eleentelo enisului. Se unos: OA; AB8; BC5; 5. ezolve: Vitez puntului A este v A OA8/s. Centul instntneu de otţie l bielei AB se deteină idiând pependiule pe supoţii vetoilo viteză găsindu-se puntul I ăutt, fig b. v A şi v B, l inteseţi lo Vitez unghiulă instntnee Ω bielei AB se luleză u V A elţi: Ω. I A Din onsideente geoetie ezultă: I AK AB AD A, os os i: ADOA sin > AK77,5. Fig..6. 5

54 Culegee de poblee 77,5 8 I A 89,6; Ω,89d / s.,866 89,6 Clulând vitez puntului B în pot u I se obţine: v B Ω I B, unde I B(OAI A)sin 6,8 Fig..6.b stfel ă ezultă: v B,89 6,857,957,9/s. Centul instntneu l oţii se găseşte în I, i vitez unghiulă instntnee este: 57,9 Ω v B, IB 5 Ω,86d / s. I B 5 Vitez puntului C v fi: 6

55 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v C Ω IC, IC IB BC IB BC os 5, dei v C,86 55/s..7. Pes din figuă este dottă u un şuub difeenţil ; ele două filete u sensui invese şi psul h, espetive h.unghiul glisieei este. Să se fle vitez glisieei, dă âneul fe n otţii pe inut. Fig..7 ăspuns: v h h 6 n tg 7

56 Culegee de poblee.8. Un utoobil se işă spe dept u o viteză onstntă de 5/h. Deteinţi vitezele puntelo A, B şi C de pe peifei oţii, dă ule este pefetă (făă lunee), fig..8. ăspuns: v A 7,77 / s; v B 9,6 / s; v C 6,8 / s Fig ot din figu.9 uleză făă lunee pe un pln oizontl, desiind un e de ză şi făând o otţie opletă în juul ei Oz, u o viteză onstntă înt-un tip τ. Deteinţi: )vetoul eleţie 8

57 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 unghiulă ε; b) vitez şi eleţi puntului A; ) euţiile onuilo lui Poinsot. ăspuns: ) ; i τ π ε b) ; ; i j i V A A τ π τ π Fig..9 Conul polodi (oid obilă): ; z y

58 Culegee de poblee Conul hepolodi (oid fiă): y z... În enisul difeenţil u stelit din figu. oţile plnete şi se otes în elşi sens, u vitezele unghiule 5d /. şi s d /. Să se deteine: ) vitez unghiulă stelitului dublu - s ; b) vitez unghiulă bţului pot-stelit ; ) eleţi unghiulă stelitului dublu -. Fig.. ăspuns: ) j 7,5d / s; b) jd / ; s 5

59 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) ε 5i d / ; s.. Un eenti eeutt sub fo unui dis de ză, se oteşte în juul unui e tee pin O după lege φφ(t). Eentiul pune în işe tij AB, ăei ă tee pin puntul O. Să se deteine vitez puntului B dă eentiitte OCe, i l oentul iniţil φ(fig..). osϕ ăspuns: e v e sinϕ ϕ. sin ϕ e Fig.. 5

60 Culegee de poblee.. Sfe de ză ρ, unui vito u fiţiune (fig..) este Fig.. pusă în işe de otţie de ol de ză,5, fită pe elşi u ot dinţtă oniă de ză,8. ot este ntentă de ot onduătoe e se oteşte după lege φ (t)t -t d. Consideându-se ă ol nu luneă pe sfe, să se deteine: )eleţi puntului M situte pe sfe, l tipul tse după înepee işăii; b)vitez unghiulă şi eleţi unghiulă sfeei dă o, β6 o, i l oentul iniţil φ,,6. ăspuns: ) M,/s ; b) ; ε,5d/s. 5

61 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.. O b de lungie L se işă stfel înât pătul A gliseză pe O u vitez onstntă v, i B pe O y. Să se deteine vitez unghiulă şi eleţi unghiulă bei, vitez şi eleţi puntului Fig... Fig...b B şi entoidele bei (bz şi ostogolitoe) (Poble lui Cdn) (fig...). ezolve: i) Soluţie nlitiă. Coponentele vitezei pe ele sisteului de efeinţă obil sunt: dtă de elţi: v B v v vos ; v y vsin i. Vitez puntului B este A AB ( v L os) i L sin j deoee: ABL sin i L os j, 5

62 Culegee de poblee Condiţi vitez puntului B să fie oienttă după Oy dă: v. Pin deive se obţine eleţi unghiulă bei: L os v v sin sin. L os L os ε v B v L sin j L sin vtg j L os B A ε AB AB ε ( Lsin i Los j) ( Lsin i L os j) Lε os L sin i (Lε sin L os ) j ( ) v ( Lε sin L os ) j j L os Coodontele C.I.. în pot u sisteul obil de oodonte vo fi: vsin ξ v y L os sin Lsin ; v L os v v os L η L os ( os ). v L os Eliinând petul înte ele două elţii ţinând se de epesi: os sin se obţine euţi ostogolitoei: ( ) η l L ξ, diă euţi unui e u entul în entul bei şi u z eglă u juătte din lungie bei. Coodontele C.I.. în pot u sisteul de efeinţă fi vo fi dte de: 5

63 ξ L sin ξ os η sin Lsin η ξ sin η os L os. CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Se eliină pin idie l pătt şi dune şi se obţine euţi bzei sub fo: ξ, η L di un e de z L şi u entul în oigine O. În tipul işăii eul obil se ostogoleşte făă lunee pe eul fi (fig...b). ; ii) Soluţie seinlitiă. Duând pependiulele pe vetoii viteză în puntele A şi B se obţine puntul I. Coodontele estui în sisteul fi de efeinţă sunt: ξ sin ; η os. Dă se poieteză I pe L L ele sisteului obil de oodonte se obţine: ξ AI ' IAsin Lsin os ; η AI " IAos Los, diă ezulttele obţinute l puntul i). Ţinând se ă v A v IA L os se obţine vitez unghiulă. iii) Soluţi geoetiă. În zul onstuţiei de l puntul ii), figu O AIB este un deptunghi. Fţă de b unghiul I este întotdeun dept. Puntul I se v fl tuni pe eul iusis deptunghiului de dietu AB L. Distnţ O I AB t. digonle le deptunghiului şi tuni fţă de sisteul de efeinţă fi puntul I se iş pe eul de ză eglă u O I L şi u entul în O. 55

64 Culegee de poblee.. Să se deteine bz şi ostogolitoe pentu biel din enisul bielă-nivelă (fig...). Fig... ezolve: Euţiile petie le bzei sunt: AC C os l osβ os l ( / y l IC C tg Dă ţine se de elţiile: AI / os ; BI AI C se obţin şi euţiile petie le ostogolitoei: BI os( β ) y BI sin( β ). ; ) sin 56

65 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pezentă sevenţ MATLAB e elizeză onstuţi gfiă bzei şi ostogolitoei. % z nivelei; % l lungie bielei; % l (lf) unghiul vibil de ottiei l nivelei; % be (bet) unghiul fut de biel u oizontl *sin(l)l*sin(be); % dte de inte: %.;l.; l/l; % % Constuti peti bzei si ostogolitoei % fo i::; % l(i-)*pi/8; bet(i)sin(l*sin(l));bebet(i); Fig...b. Bz şi ostogolitoe pentu bielă % Clulul distntei pistonului ft de oigine d(i), oodontelo % CI in sisteul fi (i), y(i), oodontelo CI in sisteul % obil de oodonte (i), y(i) si epezente lui (i) si y(i) in % sisteul fi de oodonte pentu o pozitie enisului 57

66 Culegee de poblee % deteint de unghiul lfpi/6; % d(i)*os(l)l*os(be); (i)d(i); y(i)(i)*sin(l)/os(l); BI(i)/os(l)-; (i)bi*os(lbe); y(i)bi*sin(lbe); besin(l*sin(pi/6)); f(i)*os(pi/6)(i)*os(-be)-y(i)*sin(-be); yf(i)*sin(pi/6)(i)*sin(-be)y(i)*os(-be); end % % epezente gfi bzei si ostogolitoei % hold off plot(,y); hold on; plot(f,yf); % % epezente enisului pentu lfpi/6; % fo i::; (i)/*(i-)*os(pi/6);y(i)/*(i-)*sin(pi/6); b(i)*os(pi/6)l/*(i-)*os(be);yb(i)*sin(pi/6)-l/*(i- )*sin(be); end plot(,y);plot(b,yb); is([ ]) 58

67 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.5. ) Loul geoeti l puntelo pentu e vitez şi eleţi sunt doi vetoi olinei este un e nuit eul infleiunilo. b) Loul geoeti l puntelo pentu e vitez şi eleţi sunt doi vetoi pependiuli este un e nuit eul de ebusent. (Ceuile lui Besse) ezolve: Se deonsteză ele două popietăţi în felul uăto: Epesi vitezei unui punt este: v v, i eleţiei: ε. Condiţi vetoii viteză şi eleţie să fie olinei evine l pune ondiţi: v, i ondiţi ei doi vetoi să fie pependiuli evine l: v. Efetuând lulele se obţine, în bele zui, euţi unui e..6. O bă de lungie L se işă înt-o vitte ilindiă u vitez pătului spijinit onstntă v A v. Să se deteine bz şi ostogolitoe bei şi vitez unghiulă şi eleţi unghiulă. Să se deteine vitez şi eleţi puntului B. o 59

68 Culegee de poblee Fig..6 ezolve: Centul instntneu de otţie I se flă l inteseţi pependiulelo pe dieţi vitezelo în puntele oespondente. Vitez puntului de pe bă, e vine în ontt u puntul fi B este în lungul bei. Tiunghiul deptunghi ABI este insiptibil înt-un e l ăui dietu este O IO AO B, u entul în O. Ţinând se de este elţii, se stbileşte ă bz este un e u entul în O şi z. Mi depte distnţ AI este eglă, în oie poziţie, u dietul eului de spijin. Dei distnţ AI i ostogolitoe este tot un e entul în A şi z. Pentu deteine nlitiă entoidelo, se lege sisteul de oodonte fi O y, sisteul de oodonte obil (solid legt de bă) Oy şi unghiul petu vibil în tip. Euţiile petie le bzei sunt: 6

69 y IO IO ` os os sin sin de unde eliinând petl se obţine euţi bzei y, diă un e u entul în O şi ză. Euţiile petie le ostogolitoei sunt: AB os y AC sin Eliinând petul se obţine euţi ostogolitoei y diă un e u entul în O şi z. Pentu deteine vitezei unghiule se ţine se ă: v o IA de unde: v o dei ε. Vitez puntului B se deteină u elţi: vo v B IB sin sin vo sin. şi e dieţi după b AB. Pentu detein eleţi sie: B A ε AB AB ε ( os i os sin j) ( os i os sin j) CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 6

70 Culegee de poblee ( ε os sin os ) i ( ε os os sin) j v o v o os i os sin j. şi e vloe: B vo os. Puntul A este polul eleţiilo..7. Un unghi dept se işă în plnul său, stfel înât eteitte A luneă pe odontelo, i ltu MC tee eeu pin puntul B, situt pe O l distnţ de O. Se ştie ă AM. ) Să se deteine bz şi ostogolitoe, dă AMOB (fig..7). b) Să se deteine vitez şi eleţi unghiulă bei otite dă puntul A luneă de- lungul peetelui u vitez onstntă v. ezolve: ) Puntul I, entul instntneu de otţie, ezultă l inteseţi nolelo pe MB şi OA (e u dieţiile vitezelo puntelo A şi B). Se obsevă ă: D: y A osϕ ; A AM M AM O ytgϕ ; deoee O M DB ytgφ, dei: de unde: y ( ytgϕ) osϕ ; osϕ y ( sinϕ) 6

71 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig..7 ezultă de seene, osϕ OD DB ytgϕ tgϕ sinϕ sinϕ Euţiile petie le bzei vo fi dei: y sinϕ osϕ ( sinϕ) ; Pentu eliin petul φ vibil sote din pi euţie sinϕ şi din dou euţie os y ϕ. os ϕ : sin ϕ : 6

72 Culegee de poblee idiând l pătt ele două elţii şi dunând, obţine: y de unde ezultă euţi bzei: y ). Bz este dei o pbolă ( u foul în B şi petul. În vedee deteinăii euţiei ostogolitoei, se obsevă ă: osϕ os os MB IC AI ϕ ϕ sinϕ ; ID y y IB osϕ osϕ ( sinϕ) L fel şi în zul bzei se eliină petul ϕ şi se obţine euţi ostogolitoei: (y ) e epezintă o pbolă u dietoe MC, foul în A şi petul. b) Vitez puntului A e vloe: v IA. ezultă: sinϕ v ( sinϕ). Aeleţi unghiulă pote fi obţinută u pin deive: v ϕ osϕ v ε ( sinϕ)osϕ..8. Să se deteine entoid fiă şi entoid obilă bei AB de lungie l din figu.8. 6

73 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig..8.. Bz şi ostogolitoe ezolve: Soluţie geoetiă: duând pependiule pe viteze în A şi B se obţine puntul I (entul instntneu de otţie). Ptulteul O AIB este insiptibil (dou unghiui depte) în eul de dietu IO. În tipul işăii bei unghiul AIB oespunde eluişi segent AB, dei dietul O I l eului este este onstnt. Dei ostogolitoe este un e de dietu O I: l l O I (teoe sinusului). sin( π β ) sinβ Bz este un e de ză ăâne l distnţă onstntă Soluţie seinlitiă: I O, întuât, în tot tipul işăii, puntul I O I fţă de puntul O. Se vo sie oodontele entului instntneu de otţie fţă de ele două 65

74 Culegee de poblee sistee: y l sin l osod; OD ; l os tgβ l os l sin CI ; CI ; y l sin tgβ l sin tgβ l os tgβ idiând l pătt este epesii şi dunându-le ebu u ebu se obţine euţi entoidei fie: ( tg β) l l l y ; y tg β sin β tg Dei entoid fiă este un e de ză sisteului de e fi O y. l sinβ β u entul în oigine Coodontele entului instntneu de otţie fţă de sisteul obil sunt: în e: BI os ; y BI sinβ l os BI BC CI l sin tgβ l l sin os os tgβ l l os sin ; tgβ sin sin l l l y l sin os tgβ tgβ ( os ). idiând l pătt şi dunând elţiile ebu u ebu se pote eliz o gupe onvenbilă teenilo obţinuţi stfel înât: l l l l y. tgβ tg β 66

75 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ su: l l l y tgβ sin Centoid obilă este un e de ză β l u entul în puntul O şi e sinβ Fig..8.b. Distibuţi vitezelo tee pin puntele I, A, B şi O. Distibuţi vitezelo pentu b e luneă pe peeţi este dtă în fig..8.b..9. Să se deteine bz şi ostogolitoe işăii plne bei OA din figuile.9. şi.9.b. Cpătul O se deplseză pe oizontlă u vitez v o, 67

76 Culegee de poblee b spijinindu-se în piul z pe o supfţă ilindiă de ză, i în l doile z pe un pg de înălţie h. Fig..9. Fig..9.b ăspuns: Pentu piul z: AB ; tg AB ; os sin AB os y IB ; sin sin AB IA ; tg tg y AB. tg După eliine petului se obţine: ( y ) (bz); y (ostogolitoe). 68

77 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig..9 Pentu l doile z: h AB ; sin O B h tg ; AB h y IB ; sin sin hos IA IB os ; sin h y AB. sin 69

78 Culegee de poblee Fig..9.d După eliine petului se obţine: hy h (bz); ( y ) y h (ostogolitoe)... B etilinie PQ este tiultă în A de b OA, e se oteşte fţă de O u vitez unghiulă şi se ezeă tot tipul isăii pe uhi fiă B (fig..). Ştiind ă OAOBl şi APl, se e să se deteine: 7

79 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) entoidele işăii bei PQ; b) vitez puntului P. ăspuns: ) Euţi bzei este: ( l) l y ; l euţi ostogolitoei: y l. l b) v P os sin. Fig.... B otită ABD u unghiul dept în B se deplseză în pln vetil stfel înât ăâne penent ezetă de puntul fi O şi de ilindul fi O de ză. Consideând distnţ OO eglă u l, să se deteine bz şi ostogolitoe (fig...). spuns: Euţi bzei: l l y ; euţi ostogolitoei: ( ) y l (fig...b). 7

80 Culegee de poblee Fig.. b.. O bă se işă în pln stfel înât pătul A luneă tot tipul pe peetele vetil, i b tee tot tipul pin puntul B (fig..). Să se deteine bz şi ostogolitoe şi să se epezinte distibuţi vitezelo. Fig.. ăspuns: AB ; os 7

81 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ AB AI os os BI AI sin sin os BI sin tg y Euţi bzei: ; BI os tg y. AB os sin y BI. os ezultă euţi ostogolitoei: ; y sin os ( os ) ( ) os.. Se dă enisul bielă nivelă din fig.. unde OAABL. Să se deteine bz şi ostogolitoe bielei AB. ezolve: Dă I este C.I.. obţinut pin duee pependiulelo pe vitezele în B şi C, se obsevă ă tiunghiul ACI este deptunghi şi AB BC BI. ezultă tuni: 7

82 Culegee de poblee y AI os L os AI sin Lsin Pin idie l pătt şi dune se obţine: ( ) y L dei bz este un e u entul în puntul A şi de ză L. Fig.. Unghiul IBC este unghi eteio şi este egl u. Atuni vo ve: IB os L os y IB sin L sin 7

83 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pin idie l pătt şi dune se obţine: ( ) y L dei ostogolitoe este tot un e u entul în B şi de ză L... Să se deteine lege de tnsitee pentu enisul dni din fig... onsideând otţi finlă o suesiune de tei otţii plne. ezolve: Lege de tnsitee pentu un enis dni în fig. este dtă de: tnϕ tnϕ os Fig... Tnsisi dniă obţinută utilzându-se foulele din geoeti sfeiă. În ele e ueză foul pezenttă nteio v fi dedusă utilizându-se popietăţilo vetoilo şi vloilo popii pentu o tie otogonlă. Cu notţiile din fig.. se pote sie: 75

84 Culegee de poblee 76 os sin sin os ] [ s s [ ] os sin sin os s s [ ] os sin sin os s s unde s- nott:, os ; sin s et. Mtiele ] [, ] [, ] [ epezintă tiele otogonle de otţie e f teee de l un siste lol de efeinţă l ltul i tie e fe tnsfoe de l sisteul tşt de boele de inte şi sisteul tşt de boele de ieşie este: ] ][ ][ [ ] [ s s s s s s s s s s s s s s Condiţi {} ] [ s e T să fie veto popiu pentu tie ] [ este : {} {} e e λ ] [ su: s s s s s s s s s s s s s s s Efetuând lulele, ezultă:

85 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 77 s s s ( ) ( ) s s s s s ( ) s s s s Din pi euţie se dedue iedit: s t t De ii ezultă: ; s s s s s s s. Intoduând este vloi în euţi dou din siste, se obţine: s s s s s s s s su: s s s s s s su înă: s s s s D: ( ) ( ) s s s. Atuni, dă notă: δ s s s, δ s

86 Culegee de poblee 78 se obţine: π δ s s u soluţi onvenbilă: γ π Obţine tuni şi: δ s s s s s s s s. Pentu detein lege de tnsitee vo sie piul invint l tiei ] [ : os s s s e e i i. Dă fe înlouiile, se obţine: os s s. ezultă: s s, de unde: os tg tg. Vitez unghiulă fuii onduătoe fţă de sisteul de efeinţă z y O este:

87 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 79 { } ] [ ] [ T Vitez unghiulă uii fţă de fuă în sisteul z y O este: { } os sin os sin. Dă se deiveză t obţinut nteio, se obţine: t su: s s s s s t t Cu notţi: s s s se obţine: dei: { } os sin. Deivând lege de tnsitee tnsisiei dnie, se obţine:

88 Culegee de poblee su: Cu notţi: b s s s s ezultă: b şi se obţine şi vitez bsolută uii dnie u elţi: s { } { } { }..5. otţiile spţile sunt neouttive. ezolve: Un eeplu deonsteză fiţi făută în titlu. Astfel să denui, pentu siplitte, ele O, Oy, Oz espetiv u, şi. Atuni, dă fe două otţii suesive, de 9 o, pi în juul ei şi dou în juul noii e, se obţine opul şezt în fig., figu de sus dept. Dă fe două otţii de 9o i întâi în juul ei şi poi în juul ei se obţine opul şezt în fig..5., jos dept. Cele două poziţii le opului sunt, în od evident, difeite. Să fe şi lulul: 8

89 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 8 os sin sin os ] [ π π π π ; π π π π β os sin sin os ] [ ; ] ][ [ ] [ β β ; Fig..5.

90 Culegee de poblee 8 β β ] ][ [ ] [ ; ] [ ] [ β β Pentu pi suesiune de otţii, unghiul de otţie este dt de: [ ] os ϕ t, în juul ei e e petii dietoi deteinţi de euţiile: e e e su, dă se lege e : e e e. Aestă ă v fi dei deteintă de vetoul: { } e e e u Pentu dou suesiune de otţii, unghiul de otţie este dt de: [ ] os ϕ t dei l fel în piul z, d în juul ei e e petii dietoi deteinţi de euţiile: e e e

91 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ su, dă se lege e : e e. Aestă ă v fi dei deteintă de vetoul: { u } e e e Fig.5.b Cei doi vetoi în juul ăo e lo otţi finită { u } espetiv { u } sunt dei difeiţi, unghiul de otţie fiind în bele zui, o..6. Se dă plelipipedul OABCDEFG de ltui OA l, OC l, OE l e în tipul işăii se oteşte u vitez unghiulă 8

92 Culegee de poblee în juul uhiei OC, i puntul O e vitez v / s diijtă dupî digonl OG ( fig..6). Se ee să se luleze vitez puntului D şi să se stbilesă uţi ei instntnee işăii elioidle. ezolve: Se lege sisteul de e din figuă, u oigine în O şi ele diijte după uhiile plelipipedului. Fţă de est siste de efeinţă se pote sie: j, De unde z, y. Vesoul dieţiei OG este: u OG ( i j ), Fig..6 De unde ezultă: 8

93 Adiă: v u i u j u, v u; v y u; v z u. CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Vitez de lunee în lungul ei instntnee işăii eliodle este: v v i u şi este diijtă în sensul ei Oy. Euţi eei instntnee işăii elioidle este: u z u u su u, diă o deptă plelă u Oy, dei şi u. u z Vitez puntului D, utilizând foul genelă, este: i j v D v OD u i u j u l l ( u l) i u j u. Vitez puntului D i pote fi lultă înt-o işe elioidlă în juul ei instntnee işăii elioidle. Se lege pentu est oigine noului siste de efeinţă puntul O ' de unde instntnee înţepă plnul OAFE şi ele plele u ele iniţile. Fţă de sisteul iniţil puntului O ' e oodontele u ' ; y ' ; u z'. Fţă de noul 85

94 Culegee de poblee siste de efeinţă puntul D e oodontele y' y y' l ; D D D este: z' ' D u D ' ; u zd z' l. Pin ue vitez puntului D v D v i O' D u j u ( u l) i u j u i j l u l Adiă elşi ezultt. Se pote veifi invinţ poieţiei vitezei pe supotul vetoului : v D u..7. Un igid u un punt fi efetueză o işe dtă pin euţiile π petie : ψ pt ; ϕ t;. Se ee să se luleze vitez unghiulă, instntnee de otţie, oidele, eleţi unghiulă (fig..7) ezolve: Din euţiile petie ezultă ψ p ; ϕ ;. 86

95 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Coponentele vitezei unghiule pe ele sisteului de efeinţă obil sunt: Fig.7. π ψ sin sinϕ osϕ p sin sin t p sin t π y ψ sin osϕ sinϕ p sin ost p ost π p z ϕ ψ os p os. Coponentele vitezei unghiule pe ele sisteului de efeinţă fi sunt: 87

96 Culegee de poblee π osψ ϕ sin sinψ sin sin pt π sinψ ϕ sin osϕ sin os pt y π ϕ ψ os p os p. z Modulul vitezei unghiule este: sin pt os pt y z y z p p. Euţiile ei instntnee de otţie fţă de sisteul obil euţiile petie le onului polodi (oid obil) sunt: y y z z Adiă: y z p sin t p ost p. () Euţiile ei instntnee de otţie fţă de sisteul fi euţiile petie le onului hepolodi (oid fiă) sunt: y y z z sin pt y os pt z. (b) p Unghiuile fote de instntnee de otţie u ele elo două sistee de efeinţă sunt: 88

97 os os os os os os (, O) ; p p sin t sin pt p (, O ) ; p p y (, Oy) ; p p ost p y (, Oy ) ; p os pt p z (, Oz) ; p p p z (, Oz ) ; p p p CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Coponentele eleţiei unghiule ε pe ele sisteului de efeinţă obil sunt: ε p ost; ε y y p sin t; ε z z. Coponenetele eleţiei unghiule ε pe ele sisteului de efeinţă fi sunt: ε p os pt; ε y y p sin pt; ε z z. Modulul eleţiei unghiule este: 89

98 Culegee de poblee y z y z ε ε ε ε ε ε ε p. Unghiuile făute de supotul eleţiei unghiule ε u ele sisteelo de efeinţă sunt: os ε ( ε, O) ost osϕ; os( ε, O ) os pt os ; ε ε ψ ε os ε y ( ε, Oy) sin t sinϕ; ε os ε y ( ε, Oy ) sin pt sin ; ψ ε z z ( ε, Oz ) ; os( ε, ) ε os ε ε Oz. ε Intepetând este ezultte se vede ă vetoul ε este oientt după lini noduilo O. Pentu lul euţi onului polodi se eliină tipul înte euţiile (). Pentu est se foeză două euţii pin egle piului pot u ultiul şi l doile pot u ultiul, diă: p sin t ; pz idiând l pătt şi însuând ezultă: p y z p. p y ost. pz Pentu lul uţi onului hepolodi se poedeză l fel şi se obţine y z ( p). 9

99 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.8. O ol oni unui ulent il se ostogoleşte făă lunee pe o le de ule de seene oniă, otindu-se u vitez unghiulă onst în juul ei de sietie ăii de ule onie. Conul din e se pote onside ă fe pte ol, e unghiul de vâf şi înălţie OC. z bzei i olei este e epezintă le de ule este tg. Unghiul l vâf l onului β. Se e să se deteine: vitez entului C l bzei i olei, instntnee de otţie, oidele (fiă şi obilă), vitez unghiulă olei peu şi vitez şi eleţi unui punt M de pe peifei bzei i olei, ăui poziţie este definită de unghiul fot de z CM u dietul bzei i e este pependiul pe (fig..8). ezolve: Pentu să se elizeze ostogolie făă lunee, onuile se eeută u vâful O oun şi plst pe de otţie. În est fel puntul O este fi. Deoee ol se ostogoleşte făă lunee pe le de ule onul dis fi), genetoe AA O epezintă loul geoeti l puntelo de viteză nulă, diă este instntnee de otţie. Se lege sisteul fi O yz, unde Oz epezintă în juul ăei se efetueză işe de otţie de ntene olei (u vitez unghiul ); plnul O y este pependiul pe Oz ; O ezultă din inteseţi plnului pependiul pe Oz u plnul definit în oentul iniţil de Oz şi olei OC ; Oy ezultă din ondiţi sisteul să fie dept. 9

100 Culegee de poblee Se lege sisteul obil Oyz, unde Oz epezintă de sietie olei: plnul Oy este plel u bz olei; O se lege plel u CM ; Oy ezultă pentu sisteul să fie dept. Lini noduilo O ezultă din inteseţi plnuilo O y şi Oy. Unghiuile lui Eule sunt: unghiul de peesie ψ (se ăsoă în plnul O y ); unghiul de ottie popie ϕ (se ăsoă în plnul Oy); unghiul de nutţie (se ăsoă în plnul Oz z ). Dietul DE este plel u O şi ue DCM ϕ. Lini noduilo O este pependiulă pe plnul Oz C. A Oy fe unghiul ψ u plnul Oz C. Se vede ă unghiul de nutţie e vloe β onst De unde. Fig..8 9

101 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pentu lulul odulului vitezei unghiule bsolute se epiă vitez puntului C (entul bzei i olei) în işe de ntene în juul ei Oz şi u jutoul ei instntnee de otţie OA (fig..8). Unde v C ezultă OC' CC" OC ' sin şi CC " sin. sin. sin ψ ϕ v Unde în zul de fţă. Vetoul ψ este diijt după Oz, i ϕ după Oz. Apliând teoe sinusului ezultă (fig..8). sin ϕ sin ψ ( ) sin sin de unde: ψ sin ( ) sin( ) sin ϕ. sin sin Ţinând se de este ezultte iese ă ol efetueză o işe de peesie egultă. Coponenetele vetoului pe ele tiedului obil se luleză u foulele: ψ sin sinϕ osϕ sin sinϕ ψ sin osϕ sinϕ sin osϕ y 9

102 Culegee de poblee ( ) sin z ϕ ψ os sin ot g sin sin os Coponentele vetoului pe ele sisteului fi se luleză u foulele: y ( ) sin osψ ϕ sin sinψ sin ( ) sin sinψ ϕ sin osϕ sin sin ϕ ψ os ( ) os sin z. Coponentele vetoului ε ε sin y y sin ε. z z sin sinψ sin osψ ε pe ele sisteului obil sunt ( ) sin osϕ sin ( ) sin sinϕ sin Aoid fiă (onul hepolodi) este onul e epezintă le de ule, i oid obilă (onul polodi) este onul din e fe pte ol. Euţiile oidei obile sunt în zul de fţă sinϕ y osϕ z ot g Euţiile oidei fie în zul de fţă se siu: sin y ( ) sin sinψ sin( ) sin osψ sin sin( ) os z. 9

103 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pentu lulul vitezei şi eleţiei puntului M se siu oodontele estui fţă de sisteul obil: Vitez puntului M este: v M OM sin sinϕ os M ; y ; z. i j ϕ M [ osϕ i ( sinϕ) j osϕ ] sin. Aeleţi puntului M este: M M ε OM ( OM) i j sin( ) sin sinϕ sinϕ. sin i j sin sinϕ sinϕ. osϕ ( osϕ) osϕ Obsevtie: dă pln oizontl. β π d poble se edue l işe onului pe un.9. Să se epezinte distibuţi vitezelo şi eleţiilo l işe de otţie u ă fiă. ezolve: A instntnee de otţie este dt de: 95

104 Culegee de poblee v λ λ dei este Oz. A instntnee de otţie este în est z o ă penentă de otţie, diă în tot tipul işăii poziţi ei v ăâne neshibtă. Vitez iniă puntelo de pe instntnee este: v v. in elţi obţinută nteio v d ne tă ă tote puntele igidului e u elşi veto distnţă d fţă de de otţie, u elşi veto viteză. D este punte sunt situte pe o deptă plelă u de otţie. Dei pute foul uătoe popiette: - ulţie puntelo situte pe o deptă plelă u de otţie (u elşi veto distnţă d ) u elşi veto viteză. Altă popiette e ezultă din estă elţie este: - vitezele se găses înt-un pln pependiul pe de otţie. elţi e dă odulul vitezei v d ne peite să foulă dou popiette âpului de viteze: - ulţie puntelo situte l eeşi distnţă d fţă de ă u eeşi vloe vitezei. Su: tote puntele situte pe un ilindu iul dept vând ă de ottie u eesi vloe vitezei. Altă popiette e deivă din estă elţie este: - vitezele sunt diet popoţionle u distnţ l de otţie. Aeste popietăţi ne peit să vizuliză distibuţi de viteze în fig

105 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig..9.. Distibuţi vitezelo în işe de otţie u ă fiă elţiile obţinute nteio pentu eleţii: ε d d şi ε d ne peit să foulă, l fel în zul vitezelo, uătoele popietăţi: - ulţie puntelo situte pe o deptă plelă u de otţie (u elşi veto distnţă d ) u elşi veto eleţie. - ulţie puntelo situte l eeşi distnţă d fţă de ă u eeşi vloe eleţiei; su: tote puntele situte pe un ilindu iul dept, vând de otţie, u eeşi vloe eleţiei; -eleţiile sunt diet popoţionle u distnţ l de otţie; 97

106 Culegee de poblee - eleţiile se găses înt-un pln pependiul pe de otţie. Aeste popietăţi ne peit să vizuliză distibuţi de eleţii în fig..9.b. Unghiul făut de eleţie u tngent l tietoie este dt de τ ε elţi: tg β. ν Fig..9.b 98

107 CAPITOLUL III CINEMATICĂ şi DINAMICĂ MIŞCAEA ELATIVĂ A PU CTULUI MATEIAL.. Un du deptunghiul (BC OD ) se oteşte u onst. în juul ei lgăelo AF geneând un ilindu (fig..). În elşi tip pe ltu CD un punt M de libe u eleţi g. Se ee vitez şi eleţi puntului M l un oent dt. ezolve: Sisteul fi este btiul u lgăele A şi F. Sisteul obil este dul e efetueză o işe de otţie în juul ei AF. Mişe eltivă este işe etilinie lui M pe CD. Mişe de tnspot este efetută de M iobilizt pe du, diă o işe iulă u z şi vitez unghiulă. Mişe bsolută este işe lui M fţă de btiu. Fig.. 99

108 Culegee de poblee Studiul vitezelo. Vitez eltivă este vitez ădeii libee v gt şi veto v gt. OM H d) i în sisteul Vitez de tnspot este [( )] j v t obil de oodonte u vloe Vitez bsolută este pependiuli: v v v t. v vt gt j şi u ( v ) şi j ( t v v vt şi este upinsă înt-un pln tngent l ilindu în M. g t v ) sunt Studiul eleţiilo. Aeleţi eltivă este g u vloe g. Aeleţi de tnspot este: ε OM OM j. t şi e oponentele pependiule: ( ; ε ). t tn tτ ( ) ( ) i Aeleţi Coiolis este nulă deoee vetoii şi v sunt pleli. Aeleţi bsolută este: g i, t şi este upinsă înt-un plnul spiei. Modulul eleţiei este: tn g... Un du ABCD, e e poţiune BC seiiulă de ză, se oteşte u onst. în juul ei lgăelo AD, geneând o sfeă. În elşi tip pe poţiune seiiulă dului se işă un punt M, u vitez u t după eidin (fig..,). Se e vitez şi eleţi puntului M.

109 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezolve: Sisteul de efeinţă fi este btiul u lgăele A şi D. Sisteul de efeinţă obil este dul, e efetueză o işe de otţie u vitez unghiulă în juul ei AD. Mişe eltivă este işe de iulă lui M u vitez u pe un e de ză OM (pe du). Mişe de tnspot este işe u işe lui M fit pe du, diă pe un e de ză O M sin sin t, entul fiind O, u vitez unghiulă. Mişe bsolută este işe lui M fţă de btiu. Fig.. Studiul vitezelo. Vitez eltivă este: v u ; v u sin u os i. Vitez de tnspot este: v t O M sin ; sin j v t.

110 Culegee de poblee Vitez bsolută este (fig.., ): v v vt u sin u os i sin j fiind upinsă înt-un pln tngent l sfeă în M şi e odulul: v v vt u sin, deoee ele două viteze sunt pependiule. Studiul eleţiilo. Aeleţi eltivă este oponent entipetă eleţiei l işe pe e (oponent tngenţilă este zeo întuât puntul se işă u viteză onstntă) şi este oienttă dinspe M spe O. E e oponentele după OM: u n şi după tngent l eul eidin în M dei: u τ, n su, vetoil: u ; u. τ u u sin i sin. Aeleţi de tnspot e o oponentă entipetă, după dieţi zei eului MO, tn O M sin şi o oponentă tngenţilă t τ ezultă: O M ε. ( O M ; τ O M ε ) tn su vetoil: t sin t

111 t sin i. Aeleţi Coiolis este t CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v v şi e supotul pependiul pe plnul dului, sensul din figu.,b şi epesi: u sin u os i u os. C Modulul este ( ) j u π t v sin t (, v ) sin u os. C Aeleţi bsolută este deoee u t t, şi e odulul sin. u t t os u sin.. Un punt teil se işă u viteză onstntă u de- lungul unei ode unui e fltă l distnţ s de entu. Ceul se oteşte în juul entului u vitez unghiulă onstntă. Să se deteine vitez şi eleţi bsolute le puntului teil l un oent dt. ezolve: Uăind figu.. se pote sie: s d s sin i os d( os i sin j). De seene, ε, ( j ). t, Fig...

112 Culegee de poblee d ut. Vitez şi eleţi oiginii sisteului obil fţă de sisteul de efeinţă fi sunt nule. Se pot obţine u uşuinţă vitez bsolută şi eleţi bsolută puntului teil, pliându-se foulele unosute de l işe eltivă puntului. Fig...b Fi.. Pe o plă deptunghiulă ABCD se deplseză de l A l C un punt teil M u o lege oă spţiului s,sin pt, []. Pl ABCD este eleent oponent l enisului plelog (fig...), l e nivel se oteşte vând lege spţiului unghiulϕ t [d]. Ştiind ă 6 π π A O π p, O A O B BC, se ee să se deteine vitez şi eleţi bsolută puntului M l oentul t seunde. ezolve: Deivând s se obţine, l t : π π π π π 5π s, p os pt os t os,57 /s,

113 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ π π π π π 5π s, p sin pt sin t sin,7 /s Fig... Clulă şi: s, 7 l oentul ts. Pentu işe de otţie bei π ϕ ( t ) d; O A eleentele inetie sunt: π ϕ d/s ; ε ϕ d/s. 6 Pl ABCD eeută o işe de tnslţie iulă, tote puntele u eeşi viteză şi eeşi eleţie. Vitez unghiulă şi eleţi unghiulă plăii sunt 5 t s este : nule. Vitez bsolută puntului M l oentul v v vt, o o şi unde: s( os i sin j),6i,785 j v π π vt v A O A ϕ OA os i sin j,785 j Dei,i,865 j, diă v,979 / s. v t s este: t C o o s os i sin j,7i, Aeleţi bsolută puntului M l oentul, în e ( ) j,6i.

114 Culegee de poblee ν ϕ O A şi t A o o ( os6 i sin 6 j),i,7 j C deoee t,659i,6 j diă, / s. Dei, (işe de tnspot este o tnslţie).,.5. Puntul M se deplseză pe iufeinţ seieului de dietu AB u lege de işe s,π t, ponind l oentul iniţil din poziţi A (fig..5.). Cunosând lege de işe disului fiind ϕ, 8π t,d, O A O B, şi,6, să se deteine vitez şi eleţi bsolută le puntului l oentul t. s Fig..5 6

115 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.6. Pe biel enisului bielă nivelă din figu.6. se deplseză inelul M, AM s t,t. Clulţi vitez bsolută şi eleţi bsolută după lege ( ) inelului, dă l tipul [ t s sisteul oupă poziţi din fig..6. Se unos: d / s ]; ε [d/s ]; o, o < AOB 9, OA,. ăspuns: v M 77,7 / s ; 95,9 / s. M Fig O plă iulă de ză, se oteşte fţă de O vând lege spţiului unghiul ( t),π t. ϕ Pe plă se deplsezăun punt teil M, de l O l A vând lege spţiului s ( t),πt. Să se deteine vitez şi eleţi bsolută puntulu teil în poziţi A (fig..7.). L oentul iniţil pl se găseşte în poziţi din figuă. Fig..7 ăspuns: ( ),6 s ; ( ). v A / A, / s 7

116 Culegee de poblee.8. Aul de e AB de ză se oteşte în juul ei Oz u o viteză unghiulă onstntă. Un punt teil M se deplseză pe dis de l A l B u o viteză onstntă în odul şi eglă u u. Se ee să se deteine vitez şi eleţi bsolută puntului M înt-o poziţie oee definită de unghiul, dă ul AB se găseşte în oentul espetiv în plnul yoz; se v ptiuliz pentu şi π / (fig..8.). Fig..8 v M os ăspuns: ( ) ( ) u ; u M u sin os os pentu, pentu / ( ) ( ) ; v ( M ) u ; ( ) π, v ( M ) u ; M u sin u u ; ( M ) u..9. Un dis O de ză se oteşte în plnul său fţă de tiulţi fiă O u vitez unghiulă onstntă în figu.9. Un punt teil M se delseză pe ul de e M M după lege spţiului unghiul t ( onstnt). Ştiind ă l oentul iniţil l işăii dietul O M O fost oizontl, se e să se deteine:) vitez de tnspot puntului M şi vloile unghiului Fig..9 8

117 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ pentu e est este oliniă u vitez eltivă; b) vitez bsolută puntului M; ) pentu e vloe vitezei unghiule, eleţi bsolută e dieţi M O şi e este vloe eleţiei bsolute în est z? v t şi π ; ăspuns: ) os, b) ( )( ) v ; ) os ; ( os)... Stelitul de ză l unui enis plnet se ostogoleşte făă lunee pe inteioul supfeţei ilindie de ză, fiind legt u nivel OC de lungie ăui viteză unghiulă este onstntă. Pe dis se flă un obil Q e e o işe iulă unifoă de- lungul iufeinţei, în sens o, u vitez onstntă u (fig..). Să se deteine vitez şi eleţi puntului Q ând est este în ontt u supfţ fiă, diă în A. Apliţie nueiă: d / s, u, / s,. Fig.. ăspuns: v / s;. 9

118 Culegee de poblee.. Un punt teil oboă pe genetoe unui on ponind din vâful estui u vitez onstntă u. Conul se oteşte în juul ei u vitez unghiulă onstntă. Să se deteine vitez şi eleţi bsolută puntului teil l un oent dt. Se unos înlţie onului H şi unghiul l vâf. ezolve: Anlizând figu. se pot sie elţiile: d sin i ( H d os) undei sini os j, ezultă: d sin sini d sin os j ( H d os). În ontinue: u usini uos v usin sini usin os j uos Fig... Vitez unghiulă v fi:, eleţi unghiulă ε, i eleţi eltivă u. Vitez şi eleţi oiginii sisteului obil fţă de sisteul de efeinţă fi sunt nule. Se pot obţine u u uşuinţă vitez şi eleţi bsolută puntului teil.

119 CAPITOLUL IV CINEMATICĂ şi DINAMICĂ APLICAŢIILE TEH ICE ALE CI EMATICII.. Să se ezolve nliti enisul ptulte (fig..). ezolve: Pentu ezolve enisului (fig..) se v pli etod euţiilo de ontu. Menisul este definit de un singu ontu i euţi de înhidee pentu enis v fi: AB BC CD DA. Dă se poieteză euţi pe ele două e le sisteului de efeinţă, u notţiile din figuă, se obţine: l osϕ l l sinϕ l osϕ l sinϕ l osϕ l sinϕ Cele două elţii tebui să funizeze unghiuile ϕ şi ϕ funţie de lungiile belo şi unghiul eleentului onduăto ϕ. Poble este destul de difiil de ezolvt nliti însă în oentul de fţă dispune de subutine delul sufiient de putenie e să ne sigue soluţi. În zul unei bodăi nlitie se ezolvă suesiv tiunghiuile ABD şi BCD. Dă se noteză u ϕ ; ϕ ; ϕ vitezele unghiule le belo espetive se obţin, pin deive, elţiile: sinϕ l sinϕ l sinϕ l l osϕ l osϕ l osϕ Fig..

120 Culegee de poblee su: os sin os os sin sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ l l l l l de unde ezultă vitezele unghiule le belo BC şi CD: ) sin( ) sin( ϕ ϕ ϕ ϕ l l ; ) sin( ) sin( ϕ ϕ ϕ ϕ l l. Pin deive se obţin elţiile e ne ofeă eleţiile unghiule le belo: os sin os sin os sin ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε l l l l l l sin os sin os os os ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε l l l l l l de unde se obţin, pin lul, ε şi ε. Ave: os sin os os sin sin ϕ ϕ ε ε ε ϕ ϕ ϕ ϕ l l l l l sin os sin os sin os ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ l l l sin os ) ( sin ) ( sin sin os os sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ε l l l l sin os ) ( sin ) ( sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ l l.. Să se ezolve nliti enisul bielă nivelă (fig..). Pentu enisul bielă-nivelă din fig.., euţiile de ontu vo fi: ' ' A A CA BC AB de unde, pin poieţie pe ele două e, se obţine:

121 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ os l osϕ C sin l sinϕ elţie e dă, în u lulelo, pe C şi φ: sin sin ϕ l sin C os l l Pentu detein vitez unghiulă şi vitez ulisei euţiilo de ontu: sin l sinϕ vc osϕ l osϕ. ezultă iedit: os os ; vc ( sin ). l osϕ tgϕ Fig... v C se deiveză ele două poieţii le Fig...b Fig...

122 Culegee de poblee Gfiele vitezei unghiule bielei şi vitezei linee ulisei sunt pezentte în fig...b şi.., unde s- onsidet vitez unghiulă nivelei onstntă. Pint-o nouă deive se obţin elţiile e ne du eleţiile: os ε sin l osϕ ε l sinϕ C, sin ε osl sinϕ ε l osϕ e ne ofeă u uşuinţă ε şi os sin ε ε t l osβ l osβ C în funţie de eleente unosute: sinβ osβ tε u C ( sin lt sinβ ) ε. ( sin lt sinβ lu osβ ) Atenţie! Dă se utilizeză unghiul β în lo de unghiul φ în euţiile de ontu, tuni se obţine deivă β elţie e ezultă u uşuinţă dă β ϕ π şi ţine se ă ϕ. Câtev ube de bielă pentu enisul bielă nivelă sunt pezentte în ele e ueză. /l. /l. Fig...d Fig...e.

123 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ /l. /l.6 Fig...f Fig...g.. Să se studieze ineti işe difeenţilului onsidet un enis u două gde de libette. ezolve: ) Dă tote eleentele se işă tuni ve enisul difeenţil popiu-zis. În est z distibuţi vitezelo este pezenttă în fig... A pesupus ă ot entlă e o işe de otţie în sens o u vitez unghiulă i ot e o işe de otţie u vitez unghiulă. Ave v, v. Consideând figu, se pot sie elţiile de seăne înte tiunghiui: v v, de unde ezultă poziţi entului instntneu de otţie pentu ot : 5

124 Culegee de poblee v v v. Fig... Din seăne: v v ezultă v : v, v v. elţi: v ( ) ne dă vitez unghiulă stelitului : v v v. Pute obţine şi din elţi nivelei utiliză elţi: v de unde: v v H ( ) v /. Pentu fl vitez unghiulă 6

125 v v H. ( ) CINEMATICĂ şi DINAMICĂ elţi înte vitezele unghiule le eleentelo e se otes este dtă de: ) (su z z ) z z ). H ( H ( O le i elegntă de obţine soluţi este de d întegului enis o işe invesă stfel înât unul din eleente să fie fi. Spe eeplu, dă dă o işe de otţie u vitez unghiulă, tuni oon dinţtă se v fl în epus, nivel v ve vitez unghiulă H, ot entlă v ve vitez unghiulă i stelitul doi vitez unghiulă. În est z distibuţi vitezelo devine e din fig.. i ezolve se fe pe bz elţiilo dej studite... Să se efetueze studiul ineti l enisului difeenţil siplu din figu. în e s-u făut notţiile: ot entlă inteioă; stelitul; ot entlă eteioă; H bţul pot-stelit. Studiul se v fe în uătoele zui: ) se fieză bţul pot-stelit(fig...b); b) se fieză ot (fig...); ) se fieză ot (fig...d). ezolve: ) Dă fiă nivel se obţine un enis u oţi dinţte u e fie (fig...). Distibuţi de viteze este în est z e din figuă. Pe bz estei distibuţii se siu elţiile: v ; v, 7

126 Culegee de poblee z de unde:. z. b. Fig..,,b z Ave şi elţi ( z z z). Atuni ezultă:, z z z z i potul de tnsitee v fi dt de: i,. z. d. Fig...,d 8

127 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ b) ot fiă. În est z distibuşi de viteze este epezenttă în figu..d. Pe bz estei distibuţii se pote sie: v ; v H ( ), z de unde: H, i potul de tnsitee ( ) ( z z ) este dt de: i, H H ( z z z ). ) ot fiă (nivel este eleent onduăto). Pe bz distibuţiei de viteze din figu..b se pote sie: v H ( ) ; v ( ), H ( ) H ( z z ) de unde:. ( ) ( z z ) potul de tnsitee este: i H, H ( z z z z )..5. În figu.5 este epezenttă she de ţione ilindilo de doze l o pesă de etude plilo din şhii. Se ee epesi vitezei unghiule ilindilo de doze, ştiind ă eşti sunt oili u oţile dinţte O şi O. Se unos:,,,, şi ABl. ezolve: Pentu tnsisi u uele se obţine 9

128 Culegee de poblee Spţiul pus de puntul B este: s B os l. sin l su dezvoltând în seie se obţine: s B os l sin sin l 8l Fig..5

129 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Dă se onsideă do piii tei teeni din epesi spţiului ezultă pentu vitez puntului B epesi: v ds B sin sin sin sin. dt l l B Deoee v C v B ezultă în finl: v C sin sin. l.6. Fie ontjul din figu.6, în e se unoşte tuţi osoului (M) fiind n 6 ot/in, dietul său d, peu şi vloile zelo oţilo 5,,, 5, 5 5. Să se deteine vitez de ue opului (C). ezolve: Vitez unghiulă osoului v fi: πn πd / s. Vitez unghiulă oţii se deteină din ondiţi: d d π, de unde d / s. Vitez unghiulă oţii ezultă din ondiţi de eglitte vitezei puntului A de pe ot u vitez puntului A de pe ot stfel: v A π πd / s. Ţinând ont de ondiţi îndeplinită de vitezele unghiule le oţilo şi înte e tnsitee işii se elizeză pin ue se pote sie:

130 Culegee de poblee 8π π d / s. 5 Fig..6 Vitez de ue opului (C) v fi: v C 8π 5 5 π / s..7. Să se peizeze e fel de filet tebuie să ibă şuubul din tnsisi pezenttă în figu.7 (pe stâng oi pe dept) dă se ipune geutte Q să ue, i sensul de otţie l şuubului este el indit pe figuă. Să se deteine de seene vitez geutăţii Q. Se dă: n f ; z 9; n 6ot / in; 5; 5; z ; z ; z 5 8; 5.

131 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig..7 ezolve: Filetul şuubului tebuie să fie pe dept. Pentu deteine vitezei geutăţii Q tebuie să se fle uătoele ăii inetie: πn 6π πd / s; f f n n z z π d / s πd / s z z z πd / s z

132 Culegee de poblee z π z 5 z5 5 d / s; z 5 v Q π 5 z5 π / s..8. O pnă tiunghiulă, u unghiuile l bză egle u, se ezeă pe două piese A şi B, e se işă etiliniu u vitezele v şi v. Să se deteine vitez v penei şi unghiul β pe e est îl fe u vetil(fig..8). ăspuns: v v v v v os os ; tgβ v v v v tg Fig..8

133 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.9. Pis din figu.9 se deplseză în linie deptă pe un pln după lege s(t),t(5-t). Pe estă pisă se spijină pătul A l unei be OA de lungie,, tiultă în O. Deteinţi vitez unghiulă şi eleţi unghiulă bei l tipul t s, dă l est oent β 6 o, i o. Fig..9 ăspuns:,7d / s; ε,d / s... Să se studieze ineti eniselo difeenţile duble din figu. în uătoele zui: ) bţul pot-stelit fi; b) ot fiă; ) ot fiă. 5

134 Culegee de poblee z z ăspuns: ) ; z z b) ( )( ) ; H z z z z z z ) H ( z z )( z z ). z z Fig.... Cunosând sensul de otţie l otoului () (fig..) şi ă oţile (6) uă pe plnul înlint ostogolindu-se făă lunee, să se peizeze: ) sensul filetului şuubului el; b) vitez entului C l oţilo (6), în işe de egi ând tuţi otoului este n ot / in. Sunt f unosute: z ; z ; z ; z ; z 6; z 5 6; n ; 5 ; 6 ; 6. ăspuns: ) filetul şuubului el () este pe dept; 6

135 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ b) v C,95 /s. Fig.... Motoul eleti () (fig..) junge l tuţi de egi n 8 ot / inîn seunde. Cunosând: z 8; z 6; z ; z 8; n f ; z5 5; 5 ; 6 ; 6, să se deteine: ) sensul filetului şuubului el (), stfel înât seifbitul Q să ue; b) spţiul pus de seifbitul Q în seunde de l ponie. ăspuns: ) filetul şuubului el () este pe dept; b) s,65. 7

136 Culegee de poblee Fig.. 8

137 Cpitolul V CINEMATICĂ şi DINAMICĂ DI AMICA PU CTULUI MATEIAL 5.. Să se deteine lege de işe pentu un punt teil de să, unt în âp gvitţionl, de l înălţie h u vitez v e fe u oizontl unghiul. Condiţiile iniţile l t sunt: ; v os ; y tt t t h; y v sin t t t ; t z ; z. tt tt ezolve: Euţiile de işe sunt: ; y g; z. de unde: ; yg; z. Se obţine u uşuinţă: C; y gt C z C. şi lege de işe: ; 9

138 Culegee de poblee Ct C ; y gt C z Ct C6. t C ; 5 Punând ondiţiile iniţile ezultă vloile onstntelo de intege: C v os ; C v sin ; C ; C ; C5 h; C6. Dei euţiile petie le tietoiei sunt: vtos; y h vtsin gt ; z. e epezintă euţi petiă unei pbole e se găseşte în plnul z (tietoi este o ubă plnă). Eliinând petul t înte piele două euţii se obţine: t v os Fig. 5.. Aune în âp gvitţionl dei euţi pbolei v fi:

139 g y h tg. v os CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Să lulă u âtev eleente teistie le işăii în âp gvitţionl: ) Dut işăii Făând y se obţine: su: de unde: h vtsin gt gt v t sin h t, v sin± v g sin gh Convine pobleei nui soluţi pozitivă: t v sin v g sin gh Pute sie: t t u t unde: t u v sin g epezintă tipul de ue i v sin gh t g

140 Culegee de poblee epezintă tipul de oboâe, luul e v fi deonstt în ontinue l pt.. b) Băti (distnţ OA) A sin sin os os v v gh v t v. g g Să pune ondiţi băti să fie iă: d A d Efetuând tote lulele ezultă în finl: sin v ( gh v ) de unde ezultă vloe unghiului e elizeză iul. Se obţine, după efetue lulelo oespunzătoe, vloe iă bătăii: v gh v ( gh v ) v gh A v g ( gh v ) g. ( v gh) A ţinut se ă ve: v gh os sin ( v gh) şi obţine după efetue lulelo : v v gh g

141 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) Înălţie iă se obţine punând ondiţi nulăii oponentei vitezei după Oy: v sin gt ezultă tipul de ue: t u v sin g şi înălţie iă: H v sin h vtu sin gtu h. g d) Vitez în puntul de ontt u solul se obţine intoduând t în foulele oponentelo vitezei: v v y v v os t., sin gt v sin. gh (oponent vitezei după O este, în tot tipul işăii, onstntă). ezultă: va v vy v gh elţi se pute obţine i uşo utilizând teoe onsevăii enegiei. Unghiul făut de viteză u oizontl în oentul tingeii solului este dt de: tgβ v v sin gh A v v sin Ay

142 Culegee de poblee d) Pbol de sigunţă (fig.5..b) epezintă înfăşuătoe ubelo tietoiei, onsideând unghiul petu şi enţinând pe v onstntă în odul. Pentu o detein se eliină petul înte euţiile: y dy d ( ) ; Dei, în zul nostu : y h tg v şi: g sin os v os Din dou elţie se obtine: g os Fig.5..b. Pbol de sigunţă tg v g şi intoduând în pi elţie pusă sub fo: se obţine: g y h tg v v g y h g v ( tg ) dei o pbolă.punând y se obţine: de unde: v g h g v

143 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ v v gh g diă puntul în e pbol de sigunţă inteseteză oizontl este puntul de bătie iă. Fig.5... Aune de l nivelul solului Cz ptiul. Dă puntul teil se ună de l nivelul solului, se v intodue h în tote elţiile obţinute i sus i ezulttele devin: Tietoi: y g tg v os Dut işăii: v sin t ; t u t g Băti: b A v sin g Băti iă: 5

144 Culegee de poblee π ; v g Înălţie iă: H v sin g Pbol de sigunţă: y v g g v 5.. Să se deteine işe unui punt teil flt l pătul unei be tiulte. (pendulul siplu - legătuă biltelă). ezolve: În est z, neinteesând eţiune din legătuă, se v utiliz teoe enegiei inetie. În puntul el i de jos l tietoiei, puntul teil v ve o viteză v, dei o enegie inetiă E : Fig. 5.. Legătu biltelă E v. Înt-un lt punt de pe e, de eeplu A, v ve ltă viteză, i iă v şi o enegie inetiă E: v E. 6

145 Luul eni totl l foţelo gvitţionle v fi: CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( OA OB) ( ) L g hg A Bg g os Teoe enegiei inetie v deveni: v v gl ( os) de unde v ezult vitez puntului teil în A: v v gl ( os) Pentu viteze iniţile i ii deât v gl ( os) puntul teil se v opi îninte de junge în puntul el i de sus l eului după e se v întoe, vând o işe osiltoie în juul poziţiei iniţile. Unghiul e v detein poziţi în e se opeşte oentn puntul, dei şi plitudine işăii este obţinut din elţi de i sus: os gl v gl v gl Pentu ve osilţii este nees < π dei os >, de unde ezultă: v < gl Dă v > gl puntul teil v puge în elşi sens eul, în bsenţ feăilo făă să se opesă. Mişe v fi iulă. În zul în e v gl vitez se v nul în puntul el i de sus l tietoiei. În ele e ueză vo ăt ă est luu se întâplă după un tip infinit de lung. Ţinând se de elţiile: 7

146 Culegee de poblee ve: ds v şi ds ld dt T dt ds v v ld gl l g ( ) os v gl d sin Integl obţinută este o integlă eliptiă şi în genel nu e soluţie nlitiă. ezulttul estui lul v epezent un sfet din peiod osilţiilo puntului teil în işe s pe e (v detein peiod osilţiilo pendulului siplu). În zul liită ând v gl şi π se obţine: π l d T g os Cu shibe de vibilă sin u ezultă: T l du g u l g u ln u e l liită tinde ăte infinit. Puntul teil se v popi de poziţi finlă înt-un tip infinit de lung făă o tinge niiodtă. Mişe v ve un te siptoti. (Miile osilţii le pendulului). În zul în e plitudine osilţiilo este iă, este pot fi studite u uşuinţă dă se fe poiţi, destul de bună până l unghiui de, d, ă unghiul 8

147 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ este egl u sinusul lui. În est z euţiile de işe le puntului teil vo fi: G sin t G os unde lε l t. Din pi euţie, în poiţi sin se obţine: g l su unde s- nott g / l. Soluţi estei euţii este de fo: ( ) os t Constntele de intege şi se deteină din ondiţiile iniţile. Peiod iilo osilţii este: T π π l g 5.. Un punt teil, legt u un fi, se işă pe iufeinţ unui e sub ţiune gvitţiei. Să se deteine işe estui punt. (Pendulul siplu - Legătu uniltelă). ezolve. Pesupune legătu eliztă u fi, în figu 5.. Euţiile de işe sunt: 9

148 Culegee de poblee v G os S ν G sin τ Înulţind euţi dou u se obţine: ( G sin ) su pin intege: G os C Constnt C se deteină din ondiţiile iniţile. Se pesupune ă l oentul t ve v v o şi π /. ezultă: o Fig.5.. Legătu uniltelă(u fi) v v C. Pentu unghiui ii se pote onside osiltoie oniă: g sin şi işe v fi su: g de unde: os t ( ϕ). Tensiune în fi este dtă de elţi: v S G os. Din onseve enegiei ezultă: v v g ( os).

149 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Atuni: v v g i tensiune din fi v fi: ( os) v v S G os g g, ( os) ( os) Tensiune devine nulă în oentul în e: v g ( os) de unde: g v os. g Se pot tge uătoele onluzii: dă g v > pendulul v eeut osilţii;. dă g v ezultă π /, i pendulul v ve işe peiodiă l liită; g v dă < <, dei v > g şi g g v 5 tensiune v deveni zeo înt-un punt din juătte supeioă eului şi v u o despindee de pe e l oentul S ută de o işe în âpul gvitţionl; Eistă un punt în e eţiune se nuleză. În estă poziţie puntul teil v păăsi legătu, i işe se v efetu pe o pbolă şi fost nliztă l işe în âp gvitţionl.

150 Culegee de poblee dă v > 5g tuni S şi pendulul se v iş în ontinuu pe e (işe iulă). 5.. Un punt teil luneă din vâful unei lote sfeie. Să se deteine: ) euţi de işe puntului teil; b) eţiune nolă N l un oent dt, îninte puntul teil să păăsesă supfţ sfeei; ) puntul B în e opul v păăsi sfe; d) loul (puntul C) unde puntul teil v întâlni oizontl. Fig.5. ezolve: ) Euţiile de işe pentu puntul teil, în oodonte ntule, sunt: τ ν G t G n

151 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ unde G t G sin şi G n G os sunt oponentele tngenţile şi nole le geutăţii. ezultă g sin g os Pi euţie, e este o euţie difeenţilă de odinul doi, epezintă lege de işe puntului: g sin Dă înulţi şi l dept şi l stâng u se obţine: g sin e ofeă o integlă piă işăii: Cg os Condiţiile iniţile: t, thet, thetdot ofeă onstnt de intege Se pote obţine: C g dei: d dt g( os ) g ( os ) e este o euţie difeenţilă u vibile sepbile: d g ( os ) Se pote sie: dt

152 Culegee de poblee t d g ( os ) Nu eistă o piitivă pentu funţi de sub integlă, integl fiind de tip elipti şi putând fi ezolvtă nuei. b) din euţi dou de ehilibu ezultă: g os Ţinând se ă l puntul ) lult g ( os ) ezultă pentu : : g g os g os ( os ) g( os ) ) în oentul despindeii eţiune devine zeo ( ), ee e ondue l ondiţi: g ( os ) de unde, dă se noteză u * unghiul l oentul espetiv: os *. d) Coodontele puntului de despindee B sunt:

153 y B B os * sin * ; 5 ( os* ) CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Vitez puntului teil în tipul despindeii pote fi lultă utilizân teoe onsevăii enegei enie în âp gvitţionl: de unde: E A E B v g g os * B v B g( os *) g Mişe v fi o une în âp gvitţionl i tietoi v fi o pbolă Tietoi unui punt teil, sub ţiune unei foţe, este elie ilindiă elie este onstntă ρ t ; z tg. Vitez puntului în işe pe estă işe (diniă invesă). v o. Să se deteine foţ F e deteină ezolve: Euţiile de işe le puntului teil sunt: ( ρ ρ ) F ( ρ ρ ) F z F z ρ 5

154 Culegee de poblee Întuât ρ t ve ρ ρ şi tuni elţiile se siplifiă: ρ F ; ρ F ; z F z ρ Mi depte să folosi popiette ă vitez de işe pe elie este onstntă. Ave: dei: ezultă: ( ρ) ( ρ ) ( ) v o z tg os v os o t ; v os o F ; ρ F ; F z Aeste sunt foţele e siguă işe pe elie puntului teil, u ondiţi l oentul iniţil est să ibă vitez iniţilă v o e s fă un unghi de înline u tngent l eul de ză Un op de în âp gvitţionl, ponind din epus. Se onsideă ă ezistenţ eului este popoţionlă u vitez eului. Să 6

155 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ să studieze işe opului în est z dă fo legii de ezistenţă din pte eului este: ρsv unde este oefiientul de ezistenţă e depinde de fo opului, ρ este densitte eului, S este seţiune tnsveslă opului pependiulă pe dieţi vitezei, i v vitez opului. ezolve: Lege de işe pentu op se pote sie: su: z G z unde s- nott: ρsv g G v g u G u. ρs Odinul euţiei difeenţile pote fi edus dă se sie: dv dv dz z dt dz dt dv v dz ezultă euţi difeenţilă u vibile sepbile: u soluţi: dv v gdz ( u v ) u ln gz ( u v ) C u Dă fiă oigine în poziţi de lnse puntului, u oiente în jos, ondiţi iniţilă evine l t, z, v. ezultă: 7

156 Culegee de poblee ln u C şi tuni pi integlă pote fi sisă: ln gz ( u v ) ln u u v gz su ln u u u de unde: gz v u e u. Se pote fe obsevţi ă dă z eşte teenul gz u e tinde ăte, dei vitez nu v pute depăşi vitez liită u. Adiă un op în ădee îşi ăeşte vitez până l un oent dt, după e se v iş u vitez onstntă u G. Mi de pte, se pote sie: ρs su: dz dt u u dz e u gz u e gz dt Intege euţiei difeenţile u vibile sepbile pote ofei lege işăii. Intege nueiă este e i potivită pentu ezolve pobleei. 8

157 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5.7. Un punt teil luneă făă fee înt-un jgheb de fo elui din fig.5.7. Să se deteine lege de işe puntului teil pe, eţiune ând z vetoe puntului fe unghiul u oizontl, înălţie de l e tebuie lnst puntul, h, stfel înât să jungă în puntul el i de sus l eului de ză. ezolve: Euţiile de ehilibu dini sunt: X : G sin F Y y : G os Ulti euţie dă: g os. i ; Fig.5.7 Peînulţită u se obţine: 9

158 Culegee de poblee g os de unde, pin intege ezultă: g sin C. Constnt de intege se obţine din ondiţiile iniţile. Luă oentul iniţil oentul în e puntul teil se găseşte în π puntul B, şi notă u o deivt în el oent. ezultă: o g C o dei: C g i pi integlă euţiilo de işe se v sie: g sin g o de unde: su: o g( sin ) d g o dt ( sin ) ezultă o euţie difeenţilă u vibile sepbile: o d g ( sin ) dt 5

159 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ e este o integlă de tip elipti, integbilă nui nuei. eţiune nolă N pote fi lultă făă efetu integl: F i g G sin o ( sin ) G sin Puntul teil se v despinde de e în puntul în e N, dei: ( sin ) o g o g sin. g Condiţi sin ne dă liitele înte e tebuie să se fle pentu puntul să se despindă de e: o o g g. ezultă: g g o 5 C să flă înălţie de l e tebuie lnst puntul teil să jungă în D pune ondiţi π /. ezultă: o g dei g o 5, su vo o 5g. g Din ondiţi enegi potenţilă în A să se tnsfoe în enegie inetiă în B ezultă: E A E B v 5g gh o 5

160 Culegee de poblee de unde: 5 h Să se integeze euţi de işe pentu un punt teil în zul în e foţ depinde nui de tip. ezolve: Euţi de işe X( t) pote fi integtă obţinându-se : şi poi: t ( t) X dt t vo t t dt X( t) dt vo( t t ) t t 5.9. Să se integeze euţi de işe pentu un punt teil în zul în e foţ depinde nui de viteză. ezolve: Euţi de işe este: X ( ) 5

161 Se noteză dv dt v şi v vo. Euţi devine: X( v) CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Cu ondiţiile iniţile: l t t ve v v, euţi difeenţilă este o euţie u vibile sepbile, obţinându-se : v v dv X t ( v) t dt t t De ii, după intege (dă est pote fi efetută), se obţine dependenţ t t(v). Se pote poed şi în felul uăto; se sie : d vdt vdv X( v) de unde, pin intege, tinând ont de ondiţi iniţilă (t ), se obţine: d v v vdv X ( v) ezultă şi o epezente petiă (v) şi t t(v) 5.. Să se integeze euţi de işe pentu un punt teil în zul în e foţ depinde nui de poziţie. ezolve: Euţi de işe este: X ( ) Teoe enegiei inetie ne dă : 5

162 Culegee de poblee d Xd de unde, pin intege şi ţinând se de ondiţiile iniţile, se obţine: ezultă: v v X u ϕ ( ) v d dt ± X. Atuni: ϕ ( ) ( ) d ( ) dϕ( ) e epezintă o euţie difeenţilă u vibile sepbile. Senul funţiei este deis de senul vitezei iniţile v o. Dă est este, sensul deplsăii şi ipliit senul este dt de dieţi foţei. Se obţine: ± d ϕ ( ) t t Dei, dependenţ lui t funţie de. Dă este posibil să invesă elţi obţinută ve şi funţie de t. 5.. Un on vând unghiul l vâf se oteşte în juul ei sle u vitez unghiulă o onstntă, figu 5.. Un punt teil M de s se pote depls pe genetoe onului. Să se deteine poziţi de epus eltiv (înălţie h) puntului teil M şi 5

163 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ eţiune peetelui. Fig.5. ăspuns: h g tg ; o g. sin 5.. Inelul M u s egl u se pote depls pe b iulă, netedă AB. Dă supotul OO AB se oteşte u viteză unghiulă onstntă, se ee să se deteine poziţi de ehilibu dini inelului (unghiul ) şi eţiune nolă pentu estă poziţie (fig. 55

164 Culegee de poblee 5.). Fig.5. g ăspuns: os ;. 5.. B O se oteşte în pln vetil în juul puntului O u o viteză unghiulă onstntă d s. Dă puntul, opul de diensiuni neglijbile şi de s este plst l o distnţă l 5 fţă de puntul O, se ee să se deteine oefiientul de fee µ pentu poziţi de ehilibu dini şi eţiune nolă pe bă ând 5 (fig. 5.). ăspuns: µ, ; M, 75g. 56

165 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig Aul iul de ză se oteşte în juul ei vetile O u viteză unghiulă onstntă. Un inel (M) de diensiuni neglijbile Fig.5. 57

166 Culegee de poblee şi de să se deplseză făă fee pe est. Se ee să se deteine vitez eltivă inelului M şi eţiune ului înt-o poziţie oee definită de unghiul. L oentul iniţil M se flă în M o ( ) şi e vitez v o (fig. 5.). ăspuns: v g( os) vo sin vo g( os ) sin v os şi ν Un punt teil M de s se pote iş făă fee în plnul Oz e se oteşte u viteză unghiulă onstntă în juul ei vetile Oz. Să se studieze işe eltivă estui punt, ştiind ă în oentul iniţil se flă în M o (, y, z ) vând vitez eltivă iniţil eglă u zeo şi să se deteine eţiune plnului (fig. 5.5). o ăspuns: z h - euţi tietoiei eltive; g h t - eţiune plnului. 58

167 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig Un tub OB se oteşte în plnul oizontl, în juul unei e vetile e tee în eteitte O, u vitez unghiulă onstntă. În inteioul tubului se deplseză de l M spe B un punt teil M de s. În oentul iniţil puntul se flă în M (OM), vitez s în pot u tubul fiind nulă. Să se deteine lege de işe puntului, peu şi eţiune tubului. ăspuns: y t t ( e ) - lege de işe; t t ( e ) g - eţiune tubului. 59

168 Culegee de poblee Fig.5.6 6

169 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Cpitolul VI MOME TE DE I EŢIE 6.. B onsidetă e s şi lungie L (figu 6.). Nu e ipotnţă fo seţiunii u ondiţi să fie onstntă. Dă oigine ei se lege în entul bei se obţine: L d d d L L L L L L unde s- nott d / Ld. Dă ( ) tee pin pătul bei se obţine, odifiând oespunzăto liitele de intege: L. L Fig.6. B oogenă Fig.6. Sfe plină 6

170 Culegee de poblee 6.. Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu o sfeă plină de să şi ză (figu 6.).. ezolve: Sfe onsidetă e s şi z. Dtoită sietiei yy zz şi y yz z. ezultă: yy zz ( y z ) d ( z ) d ( y ) d ( y z ) d d. O Clulă O. Eleentul de să d este les o ojă sfeiă de ză şi de gosie d e e voluul: dv π d şi s: d d π d π d. V π dei: d d. 5 ezultă: [ ] d O. 5 6

171 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu o sfeă golă. ezolve: Sfe e z eteioă, z inteioă şi s. Se obţine: 5 5 unde şi sunt sele sfeelo de ze şi. Ave: - ; ( ) V V V π ; ( ) ; V V ( ) V V ; ( ) ; [ ] ( ) O. În zul unei supfeţe sfeie, dei ând, se obţine pin teee l liită: [ ] O. Fig.6. Sfe golă

172 Culegee de poblee 6.. Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu un plelipiped deptunghi. ezolve: Plelipipedul e ltuile, b, şi s. Dtoită plnelo de sietie le plelipipedului se pote sie:. y yz z Ave, de seene : zo Oy ; yy Oy zz yoz yoz zo ;. Fig.6... Plelipiped deptunghi Dei lul oentele ile de ineţie evine l lul oentele plne de ineţie. Astfel: dz z d z Oy În od nlog se luleză: b ; zo. yoz z dz. Moentele entifugle de ineţie sunt nule, plelipipedul vând tei plne de sietie. V ezult tie oentelo de ineţie sub fo: 6

173 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ b O. b [ ] Fig.6... Plă deptunghiulă Fig.6..b. Bă de seţiune deptunghiulă Czui ptiule. ) pl plnă de foă deptunghiulă. Vo eist elţiile << şi << b. Atuni pentu tie oentelo de ineţie se pote onside vlbilă epesi poitivă: b O. b [ ] b) bă u seţiune deptunghiulă. Eistă elţiile: << şi b <<. Se obţine: O. [ ] 65

174 Culegee de poblee 6.5. Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu un ilindu iul dept. Fig.6.5. Alegee eleentelo de volu pentu evite lulului uno integle tiple Soluţie: Dtoită sietiei ilindie ve:. Vo lul zz e se yy pote obţine u uşuinţă dă se onsideă un eleent de volu tip ţevă de gosie d (fig.6.5.b): ( y ) d d d d zz A lult nteio s voluului eleent: d πdh πhd d. V π H Mi depte, pute sie: 66

175 ( y z ) d ( z ) CINEMATICĂ şi DINAMICĂ d ( y ) yy d z d zz Oy ăâne de lult oentul de ineţie pln. Oy. Pentu est se lege un eleent de volu eleent(dis), obţinut pin seţione ilindului u două plne plele, pependiule pe ilindului (fig.6.5.b). Ave: Oy H H z d z dz H z dz H H Ms voluului eleent d este: d π dz π dz V π H Atuni, vo pute sie: H dz yy zz Oy H Din onsideente de sietie i tie oentelo de ineţie este: y yz z [ ] O H H Czui ptiule: ) dis H << 67

176 Culegee de poblee 68 [ ] O b) bă ilindiă H >> [ ] H H H O 6.6. Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu un tub ilindi de să u z eteioă şi z inteioă. Soluţie: V V ; V V H H ( )H V V V ; π Fig. 6.6

177 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ [ ] O yy ( ) ( ) ( ) H H zz ( ) ( ) ( ) ( ) H ( ) H ( ) Pentu un ilindu gol, u s distibuită nui pe peifeie,. [ ] O H H 6.7. Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu un on ul dept, fţă de un siste de oodonte u oigine sitută în entul bzei. 69

178 Culegee de poblee Soluţie: zz d zz d dz d dv π dz V π H H H z d dz H ; ; dz d H H H H zz dz d ; ( y z ) d ( z ) d ( y ) yy d z d zz Oy ( H z) z d z dz z Oy dz H H H H ( H z Hz z ) dz H ; yy H Fig.6.7 ; 7

179 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ H H O. [ ] Moentele entifugle sunt nule întuât onul dite plnele de sietie Oz şi yoz Să se deteine tie oentelo de ineţie pentu o seisfeă. Soluţie: Fig.6.8. zz d dz d d zz ( z ) dz 5 ; Oy yy zz Oy dz z d z z zz Oy 5 5 ( z ) dz ; 7

180 Culegee de poblee [ ] O Să se deteine oentul de ineţie l unui segent sfei fţă de s de sietie. Soluţie: π y d; y. V ezultă: π V π V ( ) d 5 5 ( ) ( ) 5 Fig.6.9 Czui ptiule: ) b) ; ; ; ; π 8 π 5 π 96 π 5 5 π ) ; (lot sfeiă); 96 π d) ; (sfe întegă);

181 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Să se deteine oentele ile de ineţie pentu un tunhi de on u zele bzelo ( ),, > şi înălţie H. Soluţie: H H H H H ; H H H ;H H H ( ) ( ) H H H V V V π π π ( ) ( ) π π H H V V ; ; ( ) ( ) ( ) ( ) H ( ) ( ) ( ) ( )( ) yy H ( ) 5 5 zz Fig.6.

182 Culegee de poblee Pentu ve sietie sfeiă tebuie : de unde: 5 5 ( ) ( ) H 5 5 ( ) ( )( ) 5 5 ( ) ( ) H 6 ( ). 6.. ) Dă un op e două plne de sietie nepependiule, tuni oie ă pependiulă pe dept deteintă de inteseţi elo două plne este o ă piniplă de ineţie (sietie ilindiă). b) Dă un op e tei plne de sietie nepependiule, tuni oie ă este ă piniplă de ineţie. Soluţie: ) Alege ( π ) ( ) Oz unde π ( π ) şi ( ) O ( π ); OX ( ) dei ( ) XOz π sunt plnele de sietie şi π ( ) π Oz şi π. Sieti eistentă ipune tie oentelo de ineţie să ibă fo: [ ] O z yy în sisteul de efeinţă Oyz şi fo: zz z Fig.6. 7

183 [ ] O z în sisteul de efeinţă OXYz. yy z zz CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Mtie e fe teee de l sisteul Oyz l sisteul de efeinţă OXYz este: s s, [ ] unde s- nott os şi s sin. Ave dei: T [ ] [ ] [ ][ ] O O s ( ) yy yy s ( ) s s yy z s yy s zz. Eglând ele două epesii obţinute pentu [ O], pin identifie ezultă ; : i tie oentelo de ineţie în oie yy z siste u Oz ( π ) ( ) [ ] π O. v fi: Elipsoidul de ineţie v fi un elipsoid de otţie şi spune ă ve sietie ilindiă. b) Fie Oz ( π ) ( ) şi O z ( π ) ( ) ve: π π. Fţă de sisteul Oyz 75

184 Culegee de poblee 76 [ ] O, i fţă de O''y'z' ve: [ ] O. Utilizând ezulttul obţinut l ) în est z vo ve sietie ilindiă, dei: şi. Invinţii tiei oentelo de ineţie sunt: I I I Din ele tei elţii pute epi pe în tei odui: ( ) u soluţi: ;. Dă notă u { } [ ] T e γ β vesoul ei O, ve: { } [ ]{ } ( ) e e O T γ γ β întuât: γ β. D dei. ezultă: [ ] [ ] E O

185 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ şi v fi eeşi oiu lege sisteul de efeinţă. Înt-devă, în sisteul bit les O*y* z* ve: * * T * * T * [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ E][ ] [ E]. O O Oie ă v fi ă piniplă de ineţie i elipsoidul de ineţie v fi o sfeă (sietie sfeiă). 6.. ) Să se deteine ulţie puntelo din spţiu pentu e tie oentelo de ineţie lultă pentu un igid pezintă sietie ilindiă. b) Să se deteine ulţie puntelo din spţiu pentu e tie oentelo de ineţie pezintă sietie sfeiă. 6.. Pentu ubul de ltu să se onstuisă elipsoidul de ineţie înt-unul din olţui. Soluţie: Cubul este plelipipedul deptunghi u ltuile egle b, dei în entul de să tie oentelo de ineţie v fi: [ ] C M 6 Pin tnslţi de oodonte obţine, pliând teoe lui Steine:,, în unul din olţui, se 77

186 Culegee de poblee 78 [ ] 6 M M O M Euţi teistiă: λ λ λ ne dă: λ λ, ; Moentele piniple de ineţie vo fi:. ; 6,, M M M M λ λ Pentu λ λ se obţine vetoul popiu {v } din sisteul: { } e e e u două euţii independente: e e e e e e Fig.6.. Constuţi elipsoi-dului de ineţie pentu ub

187 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ e îpeună u ondiţi de noe: e e e e un din soluţii: e e e T dei: { v } { } Pentu λ λ ezultă o singuă euţie independentă: e e e. Pentu o ezolv lege spe eeplu e e e îpeună u e e e dă, luând e : > dei: e 6 6 ; e ; e v. 6 T { } { } Vetoul {v } îl lege din ondiţi tiedul fot din {v },{v }, {v } să fie dept. Ave: v v v i T { } { } v. Fţă de sisteul Oyz elipsoidul de ineţie este: 8 [ y z] 8 y j 8 z 79

188 Culegee de poblee su: ( y z ) 6( y yz z) 8 i fţă de sisteul pinipl de odonte OXZY: X Z [ X Y Z] Y su: ( ) X Y Z (elipsoid de otţie). Obsevă ă l deteine elui de-l doile veto popiu, est pote fi les bit în plnul pependiul pe { v } (ondiţi e e e ). Aest luu efletă sieti ubului fţă de OX ( pi ă piniplă de ineţie)., 6.. Pentu optie de sfeă de ză din figuă să se deteine oentele piniple de ineţie şi elipsoidul de ineţie fţă de sisteul Ozy. Să se deteine puntele din spţiu pentu e tie oentelo de ineţie pezintă sietie sfeiă. Fig. 6.. Clulul oen-telo de ineţie pentu un seto de sfeă Soluţie: Utilizând oodontele sfeie: ρ sin osϕ; y ρ sin sin; z ρ os dv ddydz dρddϕ ρ sindρddϕ 8

189 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ lulă oentele de ineţie plne, e vo fi egle: yoz zo. 5 Oy ezultă: şi nlog: 5 Oy zo, yy zz 5 Dă fe integăile obţine şi: dei: [ ] 5π y yz z, π π O, 5π π unde este s opului. Euţi teistiă: πλ πλ πλ e soluţiile π ; λ π dei oentele piniple de ineţie sunt: 5π λ, 5π π 57 ( π ).5 ; ( ). Sisteul line: πλ e πλ e πλe 8

190 Culegee de poblee pentu λ λ ofeă euţiile independente: e e e e e e e îpeună u ondiţi: e e e dă: e e e ± v. Pentu λ λ T Alege vetoul popiu not: { } [ ] ezultă o singuă euţie independentă: e e e l e se dugă ondiţi de noe. Alegând spe eeplu e e se obţine, luând e > : e 5 5 ;e ; e T dei: { v } [ ] 5 5 Pentu λ λ, se pune ondiţi tiedul fot u {v },{v }, {v } să fie dept. ezultă: T { v } [ ] Elipsodul de ineţie pott l sisteul Oyz v fi: su: π [ y z] π y πz 8

191 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 8 ( ) ( ) z yz y z y π Fţă de sisteul de oodonte u vesoii {v }, {v }, {v }, euţi elipsoidului v fi: [ ] Z Y X Z Y X π π π su: ( ) ( )( ) Z Y X π π (elipsoid de otţie). A OX este ă de sietie ilindiă. Mtie oentelo de ineţie în entul de să,, C v fi: [ ] π π π π C. π π π π Cu > ezultă două punte în e eistă sietie sfeiă şi nue: π π ± ± 8 5 5,.

192 Culegee de poblee 6.5. Să se deteine, pentu un ilindu iul dept, puntele pentu e oentele de ineţie pezintă sietie sfeiă su ilindiă. ezolve: Efetuând tnslţi: O (,y,z), ve: [ ] O M MH M My Mz ( y z ) M MH My M Myz ( y z ) M Mz Myz M ( ) y Dă doi să ve sietie sfeiă tebuie oentele entifugle să fie nule, dei: y y z z şi oentele ile să fie egle, dei: M MH M Piele tei euţii u sisteul de soluţii: M MH M ( y z ) M( z ) M ),z ; b )y,z ; ) ; y ; Pentu zul b), din l doile siste, se obţine: M MH M MH M M M dei ; y ;H. Dei, dă ilindul e înlţie H, pezintă sietie sfeiă şi oie ă e tee pin entul de să este ă piniplă de ineţie. Moentele piniple de ineţie vo fi: 8

193 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ yy zz M Dă ; z se obţine: M MH My M MH de unde y ;H (eeşi soluţie). M My Fig Elipsoizii de ineţie pentu ilindii u înălţii difeite Dă, y se obţine: M MH de unde ezultă: z H Mz M MH ( H ) Mz M Dă H < eistă două punte S şi S de sietie sfeiă: S,, H ; S,, H

194 Culegee de poblee Dă H > nu ve punte de sietie sfeiă ( < ) z. Figuă (fig.5.) elipsoizii de ineţie în zuile H ; H > ; H < Să se onstuisă elipsoizii de ineţie pentu uătoele opui: ) ub, sfeă, tetedu egult, b) ilindu, plelipiped deptunghi u două uhii egle, ) bă, fţă de sistee de efeinţă plste în entul de să,. Fig Cub, sfeă, tetedu egult Soluţie: ) Cubul, sfe, tetedul egult u sietie sfeiă fţă de entul de să dei oentele de ineţie piniple egle. Mtie oentelo de ineţie este: C [ ] dei elipsoidul de ineţie v fi o sfeă 86

195 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( y z ) b) Cele două opui u sietie ilindiă, dei tie oentelo de ineţie v fi: [ ] C Elipsoidul de ineţie v fi un elipsoid de otţie. Fig. 6.6.b. Elipsoizii de ineţie pentu opui u sietie ilindiă ) Plsând Oz de- lungul bei, ve: [ ] C dei elipsoidul de ineţie degeneeză înt-un ilindu: ( y ) Fig

196 Culegee de poblee Să se deteine puntele de sietie sfeiă pentu onul iul dept. Soluţie: În entul de să C l onului H,, C tie oentelo de ineţie este: [ ] [ ] [ ] 6 6 H H M H H M D M O C H H M. ezultă Oz fiind ă de sietie ilindiă. Puntele de sietie sfeiă sunt dte de elţi: ± ± H H M H z, Astfel: dă > H, diă H < ve două punte de sietie sfeiă;

197 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ H dă sietie sfeiă;, diă H entul de să este punt de H dă < ;, diă H > nu ve punte de sietie sfeiă Să se luleze oentele ile de ineţie pentu pboloidul de otţie yz, ăginit de plnul y. Copul e s. Fig Pentu pis din figu 6.9, de să, să se deteine oentele ile de ineţie şi oentul entifugl y. 89

198 Culegee de poblee Fig Să se deteine oentul de ineţie eni,, l tiunghiului din figu 6. utilizându-se teoe lui Steine şi oentul de ineţie l deptunghiului. ezolve: Epesi oentelo de ineţie fţă de G este: ( ) ( ) bh ρ ; ρbh ρbh Pentu deteine oentului de ineţie fţă de O tebuie făută uătoe obsevţie: - tnslţi elo din poziţi O, pentu tiunghi, se fe în două etpe: Fig. 6. 9

199 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) tnslţi ei G în poziţi G, se fe pin popiee de entul de geutte l tiunghiului, dei oentul de ineţie sde; b) tnslţi din poziţi G în poziţi O e lo pin îndepăte de entul de să l tiunghiului, dei oentul de ineţie eşte. ( ) ( ) bh ρ h 6 bh 7 bh ρ h bh bh ρ 8 bh ρ Obsevţie: Moentul de ineţie l tiunghiului fţă de G este juătte vloe din el l deptunghiului, deoee eptize selo elo două tiunghiui, obţinute duând digonl păttului, fţă de G este eeşi. 6.. Un dis oogen de să şi ză este ontt înlint u unghiul fţă de plnul nol l de otţie AB e tee pin entul său de geutte G. Să se deteine oentul de ineţie entifugl z. ezolve: Dă se i lege un siste de efeinţă G y z, oientt după ele de sietie le disului, oentele de ineţie potte l Fig. 6. 9

200 Culegee de poblee sisteul fţă de sisteul Gyz se vo epi, în funţie de oentele de ineţie fţă de sisteul G y z, pin elţi Dă: T [ ] [ ][ ] [ ] Oyz O' y' z' T T T {} e [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} ' e e ' e e ' e T T T {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} e ' e e ' e e ' e T T T e ' e e ' e e ' e e e e [ ] e e e [{} e {} e {} e ]; [ ][ ] T [ E] se pote sie e T {} e [ ']{} e Pentu zul nostu ptiul ve: [ ] e e y. z O' y' z' y yz y. z În zul de fţă osinuşii dietoi vo ve vloile: o e, e os( 9 ) sin, os y yz z z o o e os9, e os9, o ( 9 ) sin e os, e os. Pin ue: z os sin z sin os sin os( ). z 9

201 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Ţinând se ă:, ezultă z, z sin os sin Tij, de lungie l şi să, este tiultă în A de pies, de să, în işe de tnslţie u vitez u (fig.6.). Când tij fe un unghi, u vetil dusă pin A, e vitez unghiulă. Să se deteine enegi inetiă nsblului. ezolve: Tij e o işe pln plelă, dei enegi inetiă este: E v G G. Vitez puntului G se opune din Fig. 6. vitez de tnspot u şi vitez eltivă v l. Din tiunghiul vitezelo (fig..8) se obţine: v u v uv os. G Pe de ltă pte 9

202 Culegee de poblee l l l G A l Înlouind este dte obţine l E os u ul u l u os. 6. l Pies e işe de tnslţie, dei enegi inetiă ei este: u E. Enegi inetiă nsblului v fi : E E E, E 6 ( ) u l l u os. 6.. Să se deteine enegi inetiă sisteului fot din piston, bielă şi nivelă (fig.6.). ezolve: Enegi inetiă pistonului este: pistonului. E Mv, M fiind s Enegi inetiă nivelei OB, de oent de ineţie o, fţă de Fig. 6. 9

203 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ei de otţie e tee pin, vând vitez unghiulă, este: fiă. E, deoee nivel e o işe de otţie u ă Biel vând o işe pln- plelă, enegi inetiă bielei este: E, I fiind oentul de ineţie l bielei în pot u plelă u de otţie şi e tee pin entul instntneu de otţie I, i vitez unghiulă bielei în juul puntului I. Enegi inetiă totlă v fi: I - E i E i I I Mv. v şi I se pot epi în funţie de ; pentu puntul A se pote sie: v va I IA, Vitez butonului nivelei (puntul B) este: v B OB IB ; OB OB ezultă: I, şiv I IA. IB IB Cu este se obţine: I E OB IA OB. M o I IB IB 95

204 Culegee de poblee 6.. O plă deptunghiulă de să g, vând gosie onstntă (iă în pot u elellte diensiuni), este sudtă l pe un vetil e se oteşte u o viteză unghiulă π d / s. Să se deteine enegi inetiă. o 5 ezolve: Pentu pute lul enegi inetiă, vo detein oentul de ineţie l plăii în pot u de otţie (espetiv u z-z) şi unghiuile pe e est le foeză u ele z,y,, stfel: în e M A M b b M y y y y zz M A M A M A M b b Mb M ( y ) d ( y ) [ ddy y ddy] b / b / b / / d dy d b / / b / / A da dy M ( b ), şi b, (fig.6.), i ( z, ) os Fig. 6.. y y z z ( z, ) β os y 96

205 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( z, ) γ os z Astfel înât elţi: zz β γ β βγ γ yy zz y yz z devine i ( b ) ( b ) b E π 8 ( b ) ( b ) (,, ) 59, Sisteul de be sudte din figu 6.5 se oteşte u vitez unghiulă în juul ei O. Dă fiee tonson este de lungie şi să, deteinţi enegi s inetiă. ezolve: Enegi inetiă totlă v fi o suă de enegii: E E ; i i E ; ( ) ( ) ( ) ( ) Fig

206 Culegee de poblee ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 8, E 8, E,66., Un dis igid iul de să g şi o ză, uleză înt-un e de ză b pe un pln oizontl, făă lunee. Dă de otţie popie disului OC se oteşte în juul ei vetile z u vitez unghiulă π d /, s lulţi enegi inetiă disului. Fig

207 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezolve: Mişe disului este o otţie u punt fi, enegi inetiă în est z v ve epesi: E T { } [ ]{ }. o Vitez unghiulă, în zul estei işăi, e dept supot instntnee de otţie A.I..- e tee pin şi I (puntul de ontt dinte otă şi pln). Mişe disului se fe u vitez unghiulă, în zul işăii de peesie şi u în zul işăii de otţie popie., { } epesi lui în funţie de se obţine u jutoul b tg b tg : Epesi tiei oentelo de ineţie fţă de ele e te pin entul disului este [ ] yy zz M Pentu deteine tiei oentelo de ineţie fţă de se pliă elţi lui Steine M M 99

208 Culegee de poblee [ ] M M b M M b M Se luleză poi [ ]{ } M M b M M b M M M b M şi ezultă [ ] M M b M E

209 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( 6b ) 9,87. b M b M π Pentu sisteul de be din figu 6.7, e se oteşte u vitez unghiulă în juul ei O, se ee să se deteine vetoul oent ineti. Fig. 6.7 ezolve: Moentul ineti în işe de otţie u ă fiă se epiă tiel: y z K O y yy yz; z zy zz { } [ ]{ } Pin ue: K ( i j ) y z. Dinte tote ele ptu be singu e e oentele de ineţie entifugle z şi z difeite de zeo este b (): y z ( ) d ρ zd ρ d ρ ydρ d 8, ( )

210 Culegee de poblee - l estui siste de be fost lult, pentu deteine enegiei inetie, în dul pobleei n ,i,5 j,5 ( ) oţile otoe le unui utoobil u, l un oent dt, ondiţiile inegle de deenţă stfel înât un ptineză pe lo în tip e elltă este iobilă. Cunosând: viteză unghiulă oţii e ptineză (fig. 6.8); zele edii le oţilo plnete, espetive stelitului ; oentele de ineţie şi zz le stelitului în yy pot u un epe solid u est, să se deteine enegi inetiă unui pinion stelit. Fig. 6.8

211 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezolve: Se obsevă i întâi ă işe bsolută stelitului supeio este o otţie u punt fi () şi, pin ue, enegi s inetiă se v sie: E C [ ] y z yy y zz z Obsevând ă instntnee de otţie stelitului supeio ( AI ) este tngentă l onul de ule l oţii plnete obile şi ă işe stelitului este o peesie egultă opusă dint o otţie de tnspot odtă u oone difeenţilului şi o otţie popie stelitului, vo pute sie în e ; j; l ; l. Dei, vitez unghiulă stelitului v fi: l j Au, enegi inetiă stelitului se v sie E l yy. zz l

212 Culegee de poblee l E yy ZZ. l yy. E zz 6.9. Să se fle oentul de ineţie l unei linii teile oogene fânte e uăeşte ele tei uhii difeite le unui ub u ltu l, în pot u e uneşte petele liniei, dă s estei este. ăspuns: l /. 6.. Deteinţi oentul de ineţie l juătăţii de ilindu fţă de. M l ăspuns: B otită ABD, oogenă, de să M se oteşte u o viteză unghiulă în juul ei z (fig. 6.). Se e să se deteine:

213 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ). Moentele de ineţie ile zz şi zz ( zz este ă entlă plelă u z); b). Enegi inetiă şi ipulsul bei ABD. ăspuns: ),9 zz M ;,8 M z, 9. zz b) E,75 M şi H,89M. şi (,77; y, ) Fig.6. b 6.. Se onsideă enisul din figu 6., lătuit din nivelele C l tiultă de b AB l, onsidete be oogene de geutăţi G espetive G. Ptinele A şi B sunt identie vând eeşi geutte Q. Ştiind ă ACCBl şi ă nivel C se oteşte u vitez onstntă, se ee să se deteine enegi inetiă enisului. 5

214 Culegee de poblee ăspuns: l E G ( G Q). g 6.. Copul din figu 6. este fot din b oogenă OA de lungie eglă u 8, de geutte G şi un e din teil de ză şi geutte G. Ştiind ă în poziţie iniţilă () opul este în epus şi se oteşte în pln vetil în juul tiulţiei din, se e să se deteine: ). oentul de ineţie pol,, l opului; b). enegi inetiă în poziţi () şi luul eni efetut l deplse din poziţi () în poziţi (). ăspuns: ) G 8, g ( ) ; b) G E G,665 g ; L 6Gsin. Fig. 6.. Fig. 6. 6

215 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 6.. Aflţi epesi enegiei enie sisteului de linii teile oogene u onfiguţi igidă din figu 6., tuni ând sisteul se oteşte în juul ei A B e fe u oizontl unghiul de o 6, dă poziţi de ehilibu stti stbil este lută efeinţă, i s întegului siste este. [ ]/ ( 7). E ăspuns: ( 6π 5) ( π ) g( os) π 6.5. Copul oogen din figu 6.5 de densitte ρ, este fot din inelul de ze, şi înălţie eglă u,5 şi din onul plin de ză bzei şi înălţie. Copul se oteşte fţă de ă ( ) u viteză şi se e să se deteine enegi inetiă, ipulsul totl şi oentul ineti fţă de ( ). ăspuns: E πρ Fig. 6.5 [,5,96,75( ),5 ]; H πρ (,8,5 ); K πρ [,85,8,5 ( ),5 ]. 7

216 Culegee de poblee 6.6. Dint-un ilindu oogen de ză este sos un lt ilindu de ză /. Aele ilindilo sunt plele, i distnţ dinte ele este / (vezi figu 6.6). Să se deteine enegi eniă ilindului ând est se ostogoleşte făă lunee pe un pln oizontl, dă poziţi de efeinţă este e oespunzătoe ehilibului stbil, peu şi tosoul ipulsuilo estui ilindu în pot u ijloul ei sle. Fig. 6.6 ăspuns: E ( /) [ ( 77 8 os) / 8 g( os) ]; H ( ) ( /) 5 os τ O H K ( O / 8 )(9 os ) 8

217 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Cpitolul VII DI AMICA IGIDULUI 7.. Se onsideă o bă de lungie eglă u L e se ună stfel înât l oentul iniţil entul de să l ei se găseşte l înălţie H fţă de sol şi e o viteză v e fe unghiul u oizontl (fig.7.). Dă l une b e o viteză unghiulă studieze işe bei după une. o, să se ezolve: Euţiile de işe vo fi: C y C g C Fig.7.. Bă untă în âp gvitţionl Soluţie: Euţiile de işe vo fi: 9

218 Culegee de poblee C y C g C După intege, ţinând se de ondiţiile iniţile: C v os y C gt v C vtos gt yc v t sin tsin Dei b se v oti u vitez unghiulă onstntă o, i entul se v iş l fel un punt teil unt în âp gvitţionl (dă se neglijeză ezistenţ eului). 7.. Se onsideă o bă de lungie eglă u L, e se spijină făă fee u un păt pe un pln oizontl i u elăllt pe plnul vetil şi ăei i se dă duul. Să se studieze işe estei be. ezolve: După upee legătuilo, teoe Fig.7... Bă în işe pln plelă

219 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ipulsului şi oentului ineti du: C y C G Lsin L os Coodontele entului de geutte sunt: y C C Lsin; L os. Se obţine, pin deive: şi: C y C C y C ezultă: L os L sin L os L sin L sin L os ( L sin L os ) ( L os L sin ). g Intoduând şi în euţi tei, se obţine: L gl sin su: L glsin dei: ( sin os ) sin L ( os sin ) os ( ) glsin. L Înulţind eglitte u se obţine:

220 Culegee de poblee ( L ) gl sin elţie e peite deteine unei integle pie: ( L ) glos C Constnt C se deteină din ondiţiile iniţile. Să pesupune ă, l oentul t, ; (b pleă din epus, din poziţi definită de unghiul ). Atuni: ( L ) gl os C de unde: C gl os, i euţi devine: ( L ) gl( os os ) e epiă teoe enegiei inetie. ezultă: ( os ) g os L de unde se pote sote: d dt Condiţi gl ( os ) os L due l [, π ]. Euţi obţinută este o euţie difeenţilă u vibile sepbile: d gl os L ( os ) dt e este o integlă eliptiă e nu e soluţie nlitiă. Pin intege nueiă, se pote obţine dependenţ ( t). Ţinând ont ă:

221 glsin şi L CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( os ) g os L vo pute detein eţiunile şi făă ezolv euţiile de işe: g L sin L [ sin ( os os ) os ] ( L os L os os ) os g L os os L L g Fig. 7..b. Menis u două ulise (legătuă biltelă) L g L L g sin L [ sin os ( os os ) sin ] ( os os ) ezultă ă, pentu deteine eţiunilo, este sufiient să unoşte o integlă piă euţiilo de işe. Dă se onsideă o bă oogenă de seţiune onstntă, tuni: ( L ) L

222 Culegee de poblee şi sin ε g ; L g g g L ( 9os 6os os ) ; ( sin os os sin ) ( os os ) Pentu os oso ezultă dei b se despinde de peete. După despindee euţiile de işe se odifiă întuât s-u odifit legătuile. ezulttele ăân vlbile şi dă petele bei nu se pot despinde de ele două depte pe e luneă (legătuile sunt biltele). Situţi pote fi eliztă tehni pin tşe două ulise petelo bei (fig. 7.). În est z, eţiunile pot deveni negtive i b v ve o işe peiodiă ( un pendul fizi u i osilţii). Peiod esto osilţii, T, se obţine: o d gl L ( os os ) T Obsevţie. Siee tielă peite o pezente i elegntă pobleei. Astfel, euţiile de işe pot fi sise: C y C G L sin L os

223 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 Condiţiile inetie vo lu fo: os sin sin os L L L L y C C Dă se înlouies este ondiţii în euţiile de işe se v obţine: os sin os sin sin os L L G L L L L Deoee foţele de legătuă sunt otogonle u deplsăile deteinte de legătui, poietă euţiile de işe pe dieţi deplsăilo vitule optibile u legătuile (oefiientul lui ). Se v obţine: [ ] os sin sin os sin os L L L L L L [ ] os sin sin os L L G L L su, după efetue lulelo: ( ) sin gl L.

224 Culegee de poblee 7.. Să onsideă o bă de lungie eglă u L, e se spijină pe un pln oizontl, făă fee şi ăei îi dă duul. Ne popune să studie işe estei be. Fig.7.. B e luneă libeă pe un pln oizontl, făă fee ezolve: Se lege sisteul de efeinţă fi în figu 7. u O y teând pin entul de să. Condiţiile iniţile vo fi: C şi C, i unghiul de înline l bei este. ( t to ) ( t to ) Euţiile de işe sunt: C y C G L C sin Ţinând se de ondiţiile iniţile, ezultă: în tot tipul C işăii, dei b de stfel înât entul său de să ăâne în tot tipul işăii pe eeşi vetilă. Uăind figu, se pote sie: L L y C os ; sin L y C ; L y sin C os. 6

225 ezultă: L L y C G sin os G şi înlouindu-l pe se obţine: L L C sin os sin Gsin e dite integl: L sin C G os C CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Ţinând se de ondiţiile iniţile şi ezultă C G os dei: C L sin G ( os os ) Conluziile tse pentu nteio ăân vlbile. Dă legătu u solul este biltelă (se elizeză pint-o ulisă) işe bei v fi osiltoie. 7.. Să se studieze işe unui op otund pe un pln înlint. ezolve: i) Centul de să oinide u entul de sietie. Se onsideă un ilindu de geutte G e se ostogoleşte pe un pln înlint e fe unghiul u oizontl. Cilindul v oboî sub ţiune geutăţii, pe plnul înlint. Dă nu eist nii un fel de 7

226 Culegee de poblee fee, tuni ilindul lune sub ţiune oponentei G sin geutăţii, dei v ve eleţi g sin. Dă pe o foţă de deenţă înte ilindu şi pln, notând u T estă foţă, e v işo pe de o pte oponent G sin, i pe de ltă pte v detein ostogolie disului. Teoe ipulsului desie işe entului de să: G sin T, i teoe oentului ineti, plită în entul ilindului dă: T ε unde ε este eleţi unghiulă ilindului, i este oentul de ineţie l opului fţă de o ă e tee pin entul de să, pependiulă pe pln. Pot eist i ulte odui posibile de işe ilindului: ) Cilindul se ostogoleşte făă lunee pe plnul înlint (Fig.7.,): v ; ε. Euţiile de işe se pot sie: Fig.7... ostogolie unui ilindu oogen pe un pln înlint 8

227 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ G sin T T ) ostogolie făă lunee b) ostogolie u lunee Fig.7..b. Cineti işăii unui ilindu pe plnul înlint de unde pin dune: dei: G sin g sin. Foţ de deenţă este: T g sin Aest od de işe v eist dă: T µ µ G os diă tât tip ât foţ de fee înte ilindu şi pln este infeioă foţei liită de fee l lunee. Înlouind T se obţine: 9

228 Culegee de poblee de unde: g sin µ g tg µ. os Dă se noteză u ϕ unghiul de fee, ondiţi se sie: tg tgϕ tgϕ'. su: ϕ' unde: ϕ tg tgϕ '. Dă ondiţi este stisfăută, se elizeză ostogolie puă. b) Dă > ϕ' ilindul se ostogoleşte u lunee (Fig.7.. b). Notând u u vitez de lunee ilindului, vitez entului de să v fi: v u. Pin deive se obţine: u ε. Deoee ilindul luneă, foţ de fee v fi, onfo legilo feăii, T µ µ G os. Euţiile de işe devin:

229 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ G sin µ G os µ G os u dei eleţi entului de să este: g ( sin µ os ) i eleţi de lunee: µ g os u ) Dă eistă fee de ostogolie, i est este e, i pote eist un od de işe l opului şi nue ilindul pote lune făă să se ostogolesă. În est z ε, T µ µ G os, i lege de işe este: dei: G sin µ G os ( sin µ os ) g. ii) Centul de să nu oinide u entul de sietie.dă ilindul nu este oogen tuni entul de să se v găsi l distnţ e de entul ilindului (fig.7..). În est z euţi de oente sisă în entul ilindului, e nu e entul de să, se v odifi în felul uăto: Fig.7... Centul de geutte nu oinide u entul ilindului

230 Culegee de poblee C ε G sin e os G ose sin T su: ( ) T C ε Gesin. Dă işe este de ostogolie făă lunee, tuni euţiile de işe vo fi: G sin T ε e T C G sin C ( ) Aeleţi entului de să se obţine u elţi:. C o ε OC OC u: OC e(sin i os j ). Coponent după dieţi işăii este: C ε ε eos esin. Pin dune se obţine: su: e ε G sin G sin C ( ) ( e os ) esin ( e os ) Gsin Gesin( ) esin. Pin înulţie u se obţine: su: ( e os ) G sin Ge sin de unde: C C ( ) esin (( eos ) ) Gd sin eos( ) ( ) d C dt dt

231 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( e os ) C C G sin eos( ) ( ) unde C este o onstntă de intege e depinde de ondiţiile iniţile. Dă onsideă, spe eeplu, ă l oentul iniţil ;, se obţine: dei: o ( sin e ( )) C G os o ( e os ) C G [ ( ) sin e( os( ) os( ))] o e este o euţie difeenţilă de odinul întâi u vibile sepbile. o o Eeplu În zul ) obţinut pentu eleţi entului de să unui op otund e se ostogoleşte făă lunee, epesi: g sin Fig. 7..d. ostogolie difeitelo figui geoetie pe un pln înlint

232 Culegee de poblee Să onsideă uătoele zui: ilindul plin, ilindul gol, sfe plină, sfe golă, on, e se ostogoles pe un pln înlint (fig. 7..d). Ne popune să vede e din opui junge i epede l bz plnului. Copul Moentul de Aeleţi potul ineţie / Cilindu plin Cilindu gol Sfeă plină Sfeă golă Con 5 5 g sin, 666 g sin, 5 5g sin 5, g sin, g sin 5, 769 Aeleţi unui punt teil pe un pln înlint este: Atuni: g sin.

233 Ave: CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 ; ; ; ; > >. 5 > > > Lege spţiului în est z t s dă: oboâe plnului pot fi odonţi în felul uăto: t < t <. 5 < t < t < t t s t dei tipii de 7.5. Să se studieze işe unui op otund pe un pln înlint dă se onsideă fee de ostogolite. ezolve: Se onsttă, în ptiă, ă eleţi pe e o pătă un op e se ostogoleşte pe un pln înlint, este i iă deât e lultă pin elţiile nteioe. Dtoită defoăii opului şi lto uze, puntul de ontt teoeti l ilindului nu oinide u puntul unde ţioneză eţiune nolă N. Aest v ţion i îninte u distnţ s. În est z euţiile de işe vo fi: d u G sin T T s ε G os v ezult: ) în zul ostogoliii pue: 5

234 Culegee de poblee de unde: G sin T T G os s sin s G os Fig.7.5. Fee de ostogolie în zul unui ilindu s G sin os s G sin os T Condiţi de ostogolie T µ dă: s G os s sin os s os µ os 6

235 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ s tg µ s b) în zul ostogoliii u lunee: de unde: T µ µ G os G sin µ G os µ G os G oss ε g ε ( sin µ os ) G os µ s şi eleţi de lunee este: G u ε g µ s ( sin µ os ) ) în zul ând ostogolie este îpiedită, i opul v lune se pote sie: u: G sin µ G os g ( sin µ os ) Pentu est vo tebui îndeplinite ondiţiile: G os µ ε s 7

236 Culegee de poblee dei: T sg os µ G os sg os su: µ s 7.6. Să se studieze işe oţii tse. ezolve: Se onsideă un ilindu de să, oent de ineţie şi z ts, în entu, de o foţă oizontlă onstntă F. Euţiile de işe vo fi: F T T ε unde este eleţi entului de să l ilindului, ε eleţi unghiulă, T foţ de deenţă. Şi în est z tebuie studite, dă nu eistă fee de ostogolie, două situţii: ) ostogolie făă lunee: ε. Euţiile de işe devin: F T T 8

237 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig.7.6. ot tsă Euţiile de işe devin: F T T de unde pin dune: dei: şi: F T F F ostogolie făă lunee e lo tât tip ât T µ, diă: su: F µ G F µ G. 9

238 Culegee de poblee Cu lte uvinte, ot tsă se v ostogoli, făă lune, tât tip ât foţ F nu depăşeşte vloe lultă i sus. În oentul în e estă vloe este depşită, este vlbil zul uăto. b) ostogolie u lunee Dă ondiţi sisă nu este îndeplinită, tuni odtă u ostogolie oţii e lo şi lunee. În est z işe devin: F µ G µ G ε Condiţiile inetie du. T µ G, i euţiile de v u unde v este vitez entului, vitez unghiulă ilindului, u vitez de lunee. Pin deive ezultă: u ε. Atuni eleţi entului de să este: F µ G F µ g i eleţi de lunee: F G u ε µ g µ >, ondiţie e este îndeplinită dă foţ F nu stisfe nteioă Să se studieze işe oţii otoe ezolve: ot este supusă unui oent oto e fe să pă o foţă T înte otă şi plnul oizontl, e v populs ot spe

239 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ îninte. În zul işăii unifoe, oentul estei foţe lult în entul oţii O, v tebui să ehilibeze oentul oto M. Dă işe este eletă euţiile de işe vo fi: T M T ε. L fel l ot tsă, ineti işăii ipune studiee două zui: ) ostogolie făă lunee: ε, de unde: ezultă: dei: T M T M M M T Aest od de işe e lo dă M µ. g T µ, diă: diă tât tip ât foţ de eţiune T este infeioă foţei liită de lunee. Fig ot otoe

240 Culegee de poblee b) ostogolie u lunee În est z deenţ este uptă, foţ T devine eglă u foţ liită de fee T µ G (şi indifeent de vloe oentului nu pote depăşi estă vloe) i euţiile de işe devin: µ G M µ G ε. Dă se noteză u u vitez de lunee, tuni ondiţi inetiă ăâne u ε, de unde: µg M G u ε µ g µ > Aest z v ve lo tuni ând oentul oto v depăşi vloe: M Fig.7.7.b. Gfiul eleţiei entului de să şi l eleţiei de lunee µ g. ezultă ă, în bsenţ difeenţilului, oiât de iă fi fee, un utovehiul v tebui să îninteze (în elitte i eistă foţ e se opune deplsăii vehiulului, povenind de l onttul elollte oţi

241 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ u solul şi e pute nul estă foţă iă µ g ). L utovehiulele e tebuie să se deplseze în ondiţii gele de teen, sunt utilizte difeenţile u bloe, e f poble işăii oţilo otoe (independente) să se eduă, după bloe difeenţilului, l poble studită. Studiul işăii unui difeenţil (siste u două gde de libette) este i oplit i în est z pote eist situţi în e o otă v ptin în tip e elltă se v opi oplet şi utovehiulul nu se v pute depls. Pobleă popusă. Un ilindu de ză e se oteşte în juul ei u o viteză unghiulă o, este pus pe un pln oizontl, oefiientul de fee l lunee fiind µ. Să se deteine oentul în e ilindul se v ostogoli făă lunee pe plnul oizontl şi distnţ pusă de entul de geutte l ilindului până în el oent Un ilindu de ză, să şi înălţie H se oteşte în juul ei AB u viteză onstntă (fig. 7.8). Să se deteine eţiunile dinie Z A şi Z B. ezolve: În poziţi iniţilă sisteul de efeinţă obil Ozy oinide u sisteul de efeinţă fi O z y. Fţă de sisteul de efeinţă OXYZ tie oentelo de ineţie pentu un ilindu fost lultă şi e fo:

242 Culegee de poblee [ ] C H H Fig otţi unui ilindu în juul unei digonle În sisteul Oyz tie oentelo de ineţie v fi: unde: [ ] [ ][ ][ ] T C S- nott: C [ ] [ i j ] s s

243 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 H H sin s ; H os. Atuni: [ ] H H s H s s H H s s H H s s C Întuât les entul de să pe de otţie, teoe ipulsului ne v d euţiile de ehilibu: B A B A X X Z Z A neglijt geutte ilindului. Teoe oentului ineti ne v d: ( ) ( ) b Z Z s B A ( ) ( ) ( ) b X X s s B A ε ε unde s- nott:

244 Culegee de poblee H ;. Euţi dou ne dă ε, t, luu pe e l- pesupus de l îneput, diă oentul e fe să otesă ilindul este egl u oentul ezistent. Euţi tei ne dă: X A X B e îpeun u X X obţinută din teoe ipulsului ne dă: X X. A B A B Din pi euţie de l teoe ipulsului ezultă Z Z şi intoduând în pi euţie de l teoe oentului ineti, se obţine: Z A Z B s ( ) H b b. Dei eţiunile Z A şi Z B obţinute în sisteul de efeinţă obil, legt de ilindu, sunt egle şi de sens opus. Aeste se vo oti, odtă u sisteul de efeinţă. Lgăele A şi B vo fi înăte u este A B Fig.7.8.b. eţiunile otitoe eţiuni, d l fiee oent de tip vo fe lt unghi u vetil. Dă este unghiul de otţie l sisteului de efeinţă 6

245 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ obil fţă de sisteul de efeinţă fi, vo ve oponentele eţiunii în sisteul de efeinţă fi: X X A B Z Z A A sin; sin; Z Z B A Z Z A A os os Se obsevă dă, dei H, diă dă ilindul pezintă sietie sfeiă, tuni eţiunile dinie Z A şi Z B sunt egle u zeo. Lgăele nu vo fi soliitte în est z. Dă se onsideă şi geutte ilindului G, est v ţion suplient, înăând în od egl ele două lgăe. Atuni: X X A B Z Z A A sin; sin; G ZA Z A os; G ZB Z A os 7.9. O plă tiunghiulă de diensiuni şi b şi de densitte supefiilă ρ se oteşte în juul unei ltui u vitez unghiulă onstnt (fig.7.9). Să se deteine eţiunile e p în lgăele A şi B. Solutie: Fig.7.9. Plă tiunghiulă în işe de otţie 7

246 Culegee de poblee 8 A B A C C C Z G Y Y z y ε b C ; b y C ; z C. { } { } T Se sie teoe oentului ineti: ( ) B zz yz yz yy zz yz yz yy Y b G ε su: ( ) B yz yy zz yz yz yy Y b G ε de unde: ( ) B yz Y b G ε zz.

247 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezultă: Y B b yz G ; Y A Y B y C b G yz b 7.. Să se studieze işe pendulului fizi. Se nueşte pendul fizi un igid e se pote oti în juul unei e oizontle Oz şi este supus ţiunii geutăţii popii (fig.7.). ezolve: Euţi e dă lege de işe unui igid u fiă: zz M O, devine în zul est: zz Glsin unde G g este geutte opului, l distnţ înte puntul de suspensie şi entul de geutte (în plnul Oy). Euţi se i pote sie: unde g sin l' l' Fig.7... Pendulul fizi zz. Euţi obţinută este identiă u euţi de işe l pendulului teti de lungie l. Din estă uză, pendulul 9

248 Culegee de poblee teti de lungie l se nueşte pendulul siplu sinon l pendulului fizi onsidet. Pentu osilţii ii euţi de işe devine: g l' u peiod:, sin, dei T l' l π π. g g zz Pentu osilţii i e vlbilă teoi dezvolttă l pendulul teti. Dă C este oentul de ineţie fţă de entul de să, teoe lui Steine dă: de unde: zz C l zz C l l l" l > l unde s- nott: l l C l". l Deoee l > l se pote lu pe dept OG un punt O, stfel înât G să se găsesă înte O şi O. Puntul O fiind situt l distnţ l eglă u lungie pendulului sinon fţă de puntul O, v ve eeşi işe şi pendulul teti de lungie l. Puntul Fig.7..b. Dependenţ lui l de l

249 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ O se nueşte entu de osilţie, i puntul O entu de suspensie. Cele două depte plele u Oz teând pin O şi pin O se nues espetiv de suspensie şi de osilţie. Epesi lui C i l' l l pote fi epezenttă gfi. Lungie pendulului l sinon pezintă un ini egl u i pentu l i. 7.. Să se deteine tipul în e ilindul plin din figu 8de ză, geutte G şi oent de ineţie în pot u s se opeşte dă în oentul în e olele A şi B se bloheeză vitez unghiulă ilindului este o. Se i unoşte oefiientul de fee l lunee dinte ilindu şi ole µ. Fig.7.

250 Culegee de poblee ezolve: Asup ilindului ţioneză uătoele: G geutte popie; N şi N eţiunile olelo; T şi T - foţele de fee dinte ilindu şi ole. Moentul ineti l ilindului în pot u O este unde: G g. Moentul foţelo eteioe în pot u O este ( ) M o T µ. T Apliând teoe oentului ineti ezultă d dt µ ( ) Din teoe de işe entul de să ezultă: ( ) T sin sin o G os T ; y sin sin T os T os. o K o ; y deoee entul O este fi (otţie u ă fiă). o ( ) µ ( ) sin G os ; ( ) µ ( ) os sin. Eliinând epesi ( ) ezultă G ; ( µ ) os şi înlouind în teoe oentului ineti ve d dt µ G ( µ ) os ;

251 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ G g d dt µ G ( µ ) os d gµ. dt ( µ ) os Integând epesi ezultă f o gµ ( µ ) os şi deoee obţine: f ( µ ) t o os. gµ ; 7.. În pătul D l unui fi inetensibil, înfăşut pe disul (A) de ză, ţioeză foţ P sub unghiul, fţă de oizontlă. Disul (A) de ză este solid u disul B de ză, e se ostogoleşte pe un pln oizontl. Întegul nsblu e s P g şi z de ineţie ρ (fig. 7.). Deteinţi unghiul i pentu e opul se otogoleşte făă lunee, dă oefiientul de fee de lunee este µ,. ezolve: Se pliă teoeele ipulsului şi oentului ineti, după e se epezintă foţele de legătuă şit (l liit F T µ ). H ; v o Pos µ () H ; P Psin () y Fy

252 Culegee de poblee i K o M o ; o P T () Din elţi () ezultă P Psin P( sin), e înlouită în () ne dă eleţi entului de să. Fig.7. (os µ µ sin)g () elţi() se i sie: ρ ε P µ (5) Înlouind în (5) ρ, P g, ε şi N, su os µ µ sin µ µ sin, µ ( sin) os. (6) t t Înloiund sin şi os t t ezultă, unde t tg,

253 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ de unde t t t tg µ µ (7) Pentu:, µ, ; tg 79; i o. 7.. O eisfe de geutte G şi ză este lăstă libeă din epus în poziţi indită în figu 7... Adiţând e se ostogoleşte făă să lunee pe pln oizontl, se ee să se deteine:. vitez unghiulă eisfeei după e est s- otit u 9 ; b. eţiune nolă supfeţei în est oent. ) b) Fig.7. 5

254 Culegee de poblee ezolve: ) Obsevând ă feăile se neglijeză este pefebil să se plie teoe enegiei inetie. Ave tuni: E ; E ; E L, şi E o v o, ; G L G 8 Dă se ţine ont ă o G 5 g G g 8 5 şi vitez entului de să este OC v 5 IC ; 8 8 teoe enegiei inetie se v sie: G 5 g G 9 g 6 G 5 G ; g 6 8 5g de unde:. După intoduee foţelo eteioe dte de legtuă şi de ineţie, se sie ehilibul esto onfo pinipiului lui d Alebet (fig. 7.). Se obsevă în poziţi dou eleţi unghiulă ε este nulă, stfel înât tosoul foţelo de ineţie în entul de să se edue l ezultnt esto 6

255 G g i F u o o o elşi otiv ( ε ). Ave şd: CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ν τ în e τ o ; din o ν vo o OC OC şi din euţi de ehilibu: 5 8 g 5 g ; ezultă G i F 5 9 G G G. 7.. Aptul PO-55 pentu tte pe le ustă seinţelo onstă dint-o tobă ilindiă, e se oteşte eenti u jutoul unei nivele. Cunosând diensiunile (fig. 7.) şi geutte tobei înăte peu şi fptul ă otţi se fe u n ot/in, să se luleze eţiunile dinie din legătuile A şi B. ezolve:se stbileşte sisteul de oodonte din figuă invibil legt u tob şi se figueză eţiunile. Apliă euţiile sle le işăii igidului u ă fiă. ε y X X o o A X B ε y Y Y Y o Z Z A Z B o A B ε z yz M ly A 7

256 Culegee de poblee ε M lx yz zε M z. z y A În est siste, ţinând se de dtele din pobleă şi de poziţi tobei din figuă, fe uătoee înlouii: ε ; ; X G ; Y o Z ; (sietie fţă de plnul Oy) yz M ; G l ; M. M y z Fig.7. Se obţine: X X G ; A B l G X Al, z 8

257 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ de unde: X X A B Se vede ă G G z z l l ; X A este oientt în sens ont elui din figuă şi X A > ee e este oet ţinând se ă eţiune sttiă ( ε ) şi eţiune diniă l z sensui onte (se sd) în B. X B u elşi sens(se dună) în A şi Este deseene evident ă după o otţie u 8 tobei situţi se inveseză şi ve X B > X A. Pentu lulul oentului de ineţie entifugl elţi: z sin ; z se foloseşte unde şi sunt oentele piniple (entle în zul nostu) fţă de ele piniple entle şi. ( h ) G g ; G g ; z X A ( h ) sin G ; g ( h ) sin G G ; gl 9

258 Culegee de poblee X B ( h ) sin G G. gl 7.5. Pentu opuile oogene din figu 7.5, deteinţi peiod iilo osilţii. Fig.7.5 ezolve: ) Pentu b de lungie din figu 7.5., deteinţi peiod iilo osilţii este: l o T π π π π g M OC g M g g 5

259 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ b) Pl păttă de ltuă, (fig. 7.5.b) osileză în juul ei pependiule în O pe plnul ei. V ve peiod iilo osilţii T M l z π π π π g M OC g M g g ) Pentu pl din figu 7.5. vând fo unui tiunghi ehiltel de ltuă, se obţine: 5 l z 5 T π π π π g M OC g g g 7.6. Aboele otit l unui oto onoilindi u dee itenă e doi volnţi inedtii A şi B de ză,5. Consideând ă geutte netonului boelui p N este onenttă l distnţ h, fţă de de otţie O z, să se deteine geutăţile P A şi P B le sele e tebuie ontte l peifei volnţilo pentu ehilib sisteul dă,6 şi b,. ezolve: Tiedul de efeinţă se lege în ş fel înât otul boelui să fie onţinut în plnul Oz. Aest pln v fi pln de sietie, pin ue, y o şi z. 5

260 Culegee de poblee Fig.7.6 Dă notă geutte întegului siste u P ve: P G p h P ; z h. P g Geutăţile pentu ehilibe P A şi P B, fiind ontte în plnul Oz, u odontele nule: y y. A B Pot fi sise ondiţiile pentu ehilibe diniă selo: P P P ; G A A B B PA PB z Az A B zb. g g Tinând se ă sele supliente pentu ehilibe sunt ontte l peifei volnţilo, ezultă: z, z şi (pentu A senul plus euţiile nu u soluţie). ezolvând sisteul elo două euţii de i sus obţine: ( b ) h P A P 8, b B A B 5

261 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ h P B P 6. b Pin dăuge esto se se obţine ehilibe diniă boelui şi Oz devine piniplă entlă de ineţie, făă fi. ă de sietie sisteului O sfeă oogenă plină, de să şi ză este onttă pe ul OA şi se ezeă pe un pln oizontl, în figu. Centul de să C l sfeei se deplseză pe un e de ză u vitez unghiulă onstntă, în tip e sfe se ostogoleşte făă lunee pe plnul oizontl. Aul OA este tiult sfei în puntul O. Fee de ostogolie se neglijeză. Să se deteine eţiunile din tiulţi O şi din ezeul B. Fig.7.7 5

262 Culegee de poblee ezolve: Se pliă teoe tosoului: d dt d dt În e: ' '' ( v ) o ; ; ' '' ( ) M M o o o ' - ezultnt foţelo efetiv plite '' - ezultnt foţelo de legătuă, '' ' G ; X Y Z o o o B ; ' M o M '' o ' M o - oentul ezultnt în O l foţelo efetiv plite Gi ; '' M o - oentul ezultnt în O l foţelo de legătuă, Bi ; v o i ; j o j ; o - tensoul oentelo de ineţie fţă de puntul O e tie soită o 5 [ ] yy ( ) zz 5 ( ) 5 5

263 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 55 [ ] o. Au se luleză oentul ineti o o K ; { } K o. Deivt oentului ineti în pot u tipul v fi ) ( ) ( ε o o o o dt d K în e: i o ε Ave şd: [ ]{ } ε o ; ) ( j i o ;

264 Culegee de poblee { } K O evenind l euţiile (O) şi poietându-le pe ele epeului obil Oyz solid u sfe, obţine sisteul de euţii X o, Y o G B, Zo, 6 5 Cu soluţiile ( G) X o ; Y o ; 5 B G 5 ; Z o B O otă de geutte P şi ză sitută înt-un pln vetil, oteşte în juul ei AB u vitez unghiulă onstntă. În elşi tip, AB se oteşte în juul vetilei u vitez unghiulă onstntă. Se ee să se deteine eţiunile din lgăele A şi B, dă AB (fig. 7.8). 56

265 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ezolve: Fig.7.8 Foul oentului foţelo din legătui: z M ( ) os o z z Devine, ţinând se de fptul ă şi 9, M ( ); o pin ue z M. o z Cuplul giosopi este egl u oentul de unde: M ; o A B z A z B ; P g z. M o, ezultă dei: eţiunile din lgăele A şi B poduse de uplul giosopi vo ve epesiile: 57

266 Culegee de poblee 58 g p g p p p A A ' ; g p g p p p B B ' Copul din figuă este lătuit din două be oogene OA şi BD sudte în A vând fiee s,, eglă u 8 g. Copul se oteşte în pln vetil în juul tiulţiei O. Stiind ă în oentul ând b OA tee pin poziţi oizontlă opul e e viteză unghiulă d/s, se ee să se deteine eţiune din O în estă poziţie (fig. 7.9.). b Fig.7.9 În figu 7.9.b s-u epezentt foţele e ţioneză sup opului şi tosoul foţelo de ineţie în entul de să (C) l opului. Euţiile sle de ehilibu dini sunt:

267 y i i M ; X ; Y zi( o) o ; o ε Din euţi () se obţine: în e g ( ) g g o o ε o, o o l o şi l l 7l o l 8g Atuni ε. 7l Din euţi () ezultă: ε g CINEMATICĂ şi DINAMICĂ o, ( ) o o o, o. X o o 96. Din euţi () ezultă: Y ( g ) ε g diă Y o o o 7 7 ( g ε o ) g g g, 7 Y o, 5. ezultă în finl eţiune totlă din tiulţi O: o X o Yo, 9. ( ) ( ) 7.. O bă de geutte G şi lungie l este lăstă să osileze libe din poziţie iniţilă de epus (fig. 7.). Se e legile işăii şi eţiunile dinie din tiulţie. 59

268 Culegee de poblee Fig.7. ezolve: Se pliă teoe oentului ineti fţă de de otţie e tee pin tiulţie K o M o. Moentul ineti este K. o o z deivt s în pot u tipul este K o l Gl zε ε ε. g Moentul foţelo fţă de eeşi ă este M o l G osϕ. Epesi teoeei devine: Gl l ε G osϕ şi se obţine lege eleţiei unghiule g 6

269 g ε osϕ. l Lege vitezei unghiule se obţine pin intege: d d dϕ g ε osϕ, dt dϕ dt l dϕ g d osϕdϕ, dt l g d osϕdϕ, l dei ϕ g sinϕ, l g sinϕ. l CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pentu dteine eţiunilo din tiulţie l fel se pliă teoe ipulsului fţă de entul de să l bei H F. Ipulsul igidulul este H v G, i deivt s în pot u tipul ν τ H G ( G G ). ezultnt foţelo este F G o G X o Yo. ν τ Epesi teoeei devine: ( ) G X Y. G Pentu epie eţiunii se poieteză estă elţie pe ele sisteului de efeinţă: l l ( osϕ ε sinϕ) X o l l ( sinϕ ε osϕ) Yo G. G o o 6

270 Culegee de poblee Înlouind epesiile vitezei şi eleţiei unghiule se obţin eţiunile dinie: şi X o 9 G sin ϕ Y o G G(sin ϕ os ϕ). 6

271 CAPITOLUL VIII CINEMATICĂ şi DINAMICĂ DI AMICA SISTEMELO DE IGIDE 8.. Se dă sisteul din fig. 8. în e se unos: s opului,, oentul de ineţie l ilindului, şi z lui, s, oentul de ineţie şi zele,, le osoului ilindi. Se ee să se nlizeze işe estui siste. Se neglijeză fee de ostogolie. ezolve: Teoeti pot eist două zui de işe le sisteului: ostogolie oţii pe bă su ostogolie oţii obintă u lunee. ) ostogolie puă. În est z osoelul se v ostogoli, făă lune, pe b oizontlă şi ţinând se de fiul e siguă legătuă dinte opui şi e e eeşi viteză lineă de- lungul lui l un oent dt, se vo pute sie ondiţiile inetie, e legă vitezele: v ; v ( - ) ; su, sub fo optă: v v v v 6

272 Culegee de poblee Fig.8... Sisteul de opui inetie Fig.8..b. Legătui Cu v s- nott vitez sei, u vitez unghiulă ilindului, u v vitez entului de să osoelului i u vitez unghiulă lui. Dă elţiile sise se deiveză în pot u tipul se vo obţine legătuile dinte eleţii: ε ε unde notţiile sunt evidente. Poble se pote ezolv pin i ulte etode: 6

273 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 65 i) Utilizând teoeele fundentle le diniii, se vo pute sie elţiile: S G ) ( ε S S ε T S S T su: S - T T S S (S S G ) ε ε Fig.8... Sepe sisteului în păţi oponente Dă se ţine se de ondiţiile inetie se obţine:

274 Culegee de poblee 66 S - T T S S (S S G ). Peînulţind elţi tielă obţinută u: ] [ se obţine: ] [ S - T T S S (S S G ) ] [. După efetue înulţiilo tiele se v obţine: ] ) ( ) ( [ G foţele de legătuă eduându-se. Se noteză u: ] ) ( ) ( [ ed

275 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ s edusă întegului siste l odul de işe l piului op. De ii elţi nteioă devine: de unde: ed G G. ed Fig.8..d. ostogolie u lunee Copul de să v ve o işe unifo eletă. b) ostogolie şi lunee. În est z opul se v ostogoli şi în elşi tip v lune de- lungul bei. Sisteul v ve două gde de libette. În est z ondiţiile inetie vo fi: v ; v u ( ) ; v u. Fând lulele se obţine: 67

276 Culegee de poblee 68 v ; u v ; u v v, su, onentt: u v v v Deivând elţi sisă în pot u tipul se obţine: u ε ε Euţiile de işe ăân ele stbilite nteio u singu obsevţie ă în est z foţ de deenţă T tinge vloe iă T µ G. Înlouind eleţiile în funţie de eleţiile elo două oodonte independente lese se obţine: S - T T S S (S S G u )

277 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 69 Peînulţind sisteul de euţii u tie: se v obţine: u S - T T S S (S S G ) Făând lulele se obţine: ) ) ) ) ) ) ) ) G G u ( ( ( ( ( ( ( ( µ e epezintă un siste de două euţii u două neunosute, eleţii şi ăui ezolve nu ipliă poblee deosebite. ii) Dă se utilizeză pinipiul lui D'Alebet euţiile de işe devin euţii de ehilibu stti, după intoduee foţelo şi oentelo de ineţie (fig..5):

278 Culegee de poblee G i S F Fig.8..e. Anliz inetosttiă sisteului i ( S S) M i S - T - M T S i F Dă se intodu epesiile foţelo şi oentelo de ineţie: F i ; ε se v obţine: G S M i ; M i ε ; F i, ( S S) ε S -T - ε T S elţii e oinid u ele obţinute l pt. i). Din est punt ezolve devine identiă u zul i). iii) Dă nu inteeseză foţele de legătuă se pote pli teoe enegiei inetie: 7

279 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 dl de sub fo i utilă pentu lule: dt dl dt de. Metod este vlbilă nui în zul sisteelo u un singu gd de libette întuât dispune de o singuă elţie. Enegi inetiă sisteului este: v v E ] [ v v v v. Dă se ţine se de ondiţiile inetie se obţine: ] [ v E ed v. Se obţine: v dt de ed. Luul eni eleent l foţelo eteioe este G d dl, de unde:

280 Culegee de poblee dl G v. dt ezultă ed v Gv de unde se obţine u uşuinţă eleţi: G. ed Fig.8..f iv) În zul sisteelo u un singu gd de libette se pote utiliz şi pinipiul luului eni vitul. Astfel luul eni vitul l foţelo eteioe şi de ineţie l o deplse optibilă u legătuile v fi: dl ( G d M d M d F d i F ) elţiile dinte deplsăile eleente sunt: i i 7

281 d d d d d. CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Înlouind în este elţii foţele şi oentele de ineţie u epesiile lo se v obţine: (G ) d ε d ε d d Deplse d fiind bită se pote siplifi şi ţinând se de legătuile dinte eleţii se v obţine în finl epesi eleţiei opului de să e fost dej lultă pin lte etode. 8.. Se dă sisteul din fig. 8.. în e se unos: s opului,, oentul de ineţie şi z lui, oentul de ineţie l ilindului şi z s, s, oentul de ineţie şi z le ilindului. Se ee să se nlizeze işe sisteului. ezolve: Se vo onside ele două odui de işe pe e le pote ve sisteul: ) ostogolie puă. În est z ilindul se v ostogoli, făă lune, pe plnul oizontl şi ţinând se de fiul e siguă 7

282 Culegee de poblee legătuă dinte opui şi e e eeşi viteză lineă de- lungul lui l un oent dt, se vo pute sie ondiţiile inetie, e legă vitezele: v ; v ; v ; v, su, sub fo optă: v v v Fig.8... Sisteul de opui Cu v s- nott vitez sei, u vitez unghiulă ilindului, u vitez unghiulă ilindului, u v vitez entului de să ilindului i u vitez unghiulă lui. Dă elţiile 7

283 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 75 sise se deiveză în pot u tipul se vo obţine legătuile dinte eleţii: ε ε ε unde notţiile sunt evidente. i) Utilizând teoeele fundentle le diniii, se vo pute sie elţiile: S S G ε S S ε S S ε T S Fig.8..b. Legătui inetie

284 Culegee de poblee 76 T S su: T S T S S S S S S S G ε ε ε D se ţine se de ondiţiile inetie se obţine: T S T S S S S S S S G Fig.8... Anliz inetosttiă sisteului

285 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 77 Peînulţind elţi tielă obţinută u ] [ se obţine: ] [ T S T S S S S S S S G ] [ După efetue înulţiilo tiele se v obţine: ] [ G foţele de legătuă eduându-se. Se noteză u: ed s edusă întegului siste l odul de işe l piului op. De ii elţi nteioă devine: G ed de unde: ed G.

286 Culegee de poblee 78 b) ostogolie şi lunee. În est z opul se v ostogoli şi în elşi tip v lune de- lungul plnului oizontl. Condiţiile inetie vo fi: În est z ondiţiile inetie vo fi: v ; v ; u v ; u v. Făând lulele se obţine: u v - v v Deivând elţi sisă în pot u tipul se obţine: Fig.8..d

287 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 79 u - ε ε ε Euţiile de işe ăân ele stbilite nteio u singu obsevţie ă în est z foţ de deenţă T tinge vloe iă T µ G. Înlouind eleţiile în funţie de eleţiile elo două oodonte independente lese se obţine: T S T S S S S S S S G u - Peînulţind sisteul de euţii u tie:, se v obţine:

288 Culegee de poblee 8 u - T S T S S S S S S S G Făând lulele se obţine: G G u µ de unde: G G u µ u: Notţiile sunt ele de l pitolul peedent.

289 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 8 ii) Dă se utilizeză pinipiul lui D'Alebet euţiile de işe devin euţii de ehilibu stti, după intoduee foţelo şi oentelo de ineţie (fig.8..e): i i i i i F T S M T S M S S M S S F S S G Dă se intodu epesiile foţelo şi oentelo de ineţie: F i ; ε M i ; ε M i ; ε M i ; F i, se v obţine: T S T S S S S S S S G ε ε ε Fig.8..e

290 Culegee de poblee 8 Din est punt ezolve devine identiă u zul peedent. iii) Dă nu inteeseză foţele de legătuă se pote pli teoe enegiei inetie: dl de sub fo i utilă pentu lule: dt dl dt de. Enegi inetiă sisteului este: v v E ] [ v v v v. Dă se ţine se de elţiile inetie se obţine: ] [ v v E ed Se obţine: v dt de ed.

291 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Luul eni eleent l foţelo eteioe este dl G d de unde: dl G v. dt ezultă: ed v Gv de unde se obţine u uşuinţă eleţi: G. ed iv) Să ezolvă poble utilizând pinipiul luului eni vitul. Luul eni vitul l foţelo eteioe şi de ineţie l o deplse optibilă u legătuile v fi: dl (G d i i i i i F ) d Md M d M d F Legătuile dinte deplsăile eleente sunt: d d d d d d Înlouind este elţii foţele şi oentele de ineţie u epesiile lo se v obţine: d d d (G ) d ε ε ε d. 8

292 Culegee de poblee Deplse d fiind bită se pote siplifi şi ţinând se de legătuile dinte eleţii se v obţine în finl epesi eleţiei opului de să e fost dej lultă pin lte etode. 8.. Se dă sisteul din fig. 8.. în e se unos: s opului, ; oentul de ineţie l osoului şi zele sle, ; s, oentul de ineţie şi zele, le osoului. Se ee să se nlizeze işe sisteului. Fig.8.. Fig.8..b ezolve: Dă se ţine se de fiele e siguă legătuile dinte opui se pot sie elţiile dinte vitezele linee şi unghiule le difeitelo opui: v ; ( ) ; v, 8

293 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 85 su, sub fo optă: ) ( ) ( v v v. Cu v s- nott vitez sei, u vitez unghiulă ilindului, u v vitez entului de să ilindului i u vitez unghiulă lui. Dă elţiile sise se deiveză în pot u tipul se vo obţine legătuile dinte eleţii: ) ( ) ( ε ε, unde notţiile sunt evidente. L fel l elellte două poblee studite nteio se vo utiliz i ulte etode de nliză: i) Utilizând teoeele fundentle le diniii, se vo pute sie elţiile: S G Fig.8... Sepe sisteului în oponente

294 Culegee de poblee 86 ε S S ε S S G S S, su: G S S S S S S S G ε ε Dă se ţine se de ondiţiile inetie se obţine: ) ( ) ( G S S S S S S S G Peînulţind elţi tielă obţinută u: ] ) ( ) ( [ se obţine: ) ( ) ( ) ( ) ( [

295 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 87 ) ( ) ( [ G S S S S S S S G După efetue înulţiilo tiele se v obţine: ) ( ) ( ) ( G G, foţele de legătuă eduându-se. Se noteză u: ) ( ) ( ed s edusă întegului siste l odul de işe l piului op. De ii se obţine: G G ed ( ) de unde: G G ed ( ) Condiţi sisteul să se işte în sensul onsidet de noi în pobleă şi nu în sens inves este : ( ) G G. Dă elţi nu este espettă tuni ot v oboî i opul v u.

296 Culegee de poblee ii) Dă se utilizeză pinipiul lui D'Alebet euţiile de işe devin euţii de ehilibu stti, după intoduee foţelo şi oentelo de ineţie (fig. 8..d): G S S i S F i S M i S M i S S G F. Dă se intodu epesiile foţelo şi oentelo de ineţie: F i ; ε se v obţine: G S S S M i ; M i ε ; F i, S ε ε S S S G, elţii e oinid u ele obţinute nteio. Din est punt ezolve devine identiă u zul peedent. iii) Dă nu inteeseză foţele de legătuă se pote pli teoe enegiei inetie: de dl sub fo i utilă pentu lule: Fig.8..d. Anliz inetosttiă sisteului 88

297 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 89 dt dl dt de. Enegi inetiă sisteului este: v v E ] [ v v v v. Dă se ţine se de ondiţiile inetie se obţine: ) ( ) ( ] ) ( ) ( [ v E ed v. Se obţine: v dt de ed. Luul eni eleent l foţelo eteioe este: d G G d dl, de unde: v G G v G v G v dt dl ( ). ezultă:

298 Culegee de poblee 9 v G G v v ed ( ) de unde se obţine u uşuinţă eleţi: G G ed ( ) iv) Să ezolvă poble utilizând pinipiul luului eni vitul. Luul eni vitul l foţelo eteioe şi de ineţie l o deplse optibilă u legătuile v fi: ) ( d F M d d M d F G dl i i i. elţiile dinte deplsăile eleente este: d d d d d ) ( ) ( Înlouind în este elţii foţele şi oentele de ineţie u epesiile lo se v obţine: ) ( ) ( ) d d d d (G ε ε Deplse d fiind bită se pote siplifi şi ţinând se de legătuile dinte eleţii se v obţine în finl epesi eleţiei opului de să e fost dej lultă pin lte etode.

299 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 8.. Să se deteine eleţi ilindului e se ostogoleşte şi luneă pe plnul înlint din fig.8... Fig.8.. Cilindul, fiind ţinut de ăte fi, v lune pe supfţ plnului înlint. Asup ilindului vo ţion foţele din fig.8... Sie teoeele fundentle: su: G sin ST ST ε G sin ST. ε ST Condiţiile inetie se siu: ε / v, dei ε su: Dă înloui este ondiţii în euţiile de işe se obţine: 9

300 Culegee de poblee G sin ST / ST şi dă le peînulţi u [ / ] se obţine: Fig.8..b. Condiţiile inetie / [ / ] [ / ] su: G sin T, unde: T µ G os. ezultă eleţi: G sin ST ST G sin T Să se deteine eleţi opului de să din fig

301 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig.8.5. şi b Fig.8.5. Se vo pli teoeele fundentle pentu fiee din opui: su: SG ε S S sin Sµ os SG G ε M S 9

302 Culegee de poblee 9 os sin S M G S G S S S S G µ ε ε Legătuile du elţiile înte viteze: v v su: / / v v v şi / / ε ε ezultă: os sin / / S M G S G S S S S G µ Pin peînulţie u: [ ] / / se obţine: [ ] / / / / [ ] os sin / / S M G S G S S S S G µ. Dă se f înulţiile, se obţine:

303 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 95 µ os sin G G G M dei: os sin G G G M µ 8.6. Să se deteine eleţi opului de să din fig Fig.8.6. şi b Fig.8.6.

304 Culegee de poblee 96 Se vo pli teoeele fundentle pentu fiee din opui: S G S S ε S S ε S S ε G S su: G S S S S S S S S G ε ε ε. Legătuile du elţiile înte viteze: v v su: / / / v v v şi / / / ε ε ε ezultă: / / / G S S S S S S S S G

305 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 97 Pin peînulţie u: [ ] / / / se obţine: [ ] / / / / / / [ ] / / / G S S S S S S S S G. Dă se f înulţiile, se obţine: G G dei: G G 8.7. Să se deteine eleţi opului de să din fig Se vo pli teoeele fundentle pentu fiee din opui: sin S G T ε S S ε

306 Culegee de poblee 98 G S su: sin G S S S T S G ε ε Fig.8.7. şi b Fig.8.7. Legătuile du elţiile înte viteze: v v su:

307 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 99 / / / v v v şi / / / ε ε ε ezultă: / / / G S S S S S S S S G Pin peînulţie u: [ ] / / / se obţine: [ ] / / / / / / [ ] / / / G S S S S S S S S G. Dă se f înulţiile, se obţine: G G dei:

308 Culegee de poblee G G 8.8. Menisul bielă-nivelă. Ne popune să deteină euţiile de işe pentu un enis bielă nivelă. Fig.8.8. Menisul bielă nivelă Se du: - z nivelei; l lungie bielei; poziţi entului de să l nivelei fţă de puntul A; b poziţi entului de să l bielei fţă de puntul B. Condiţii inetie (legătui olonoe): ; sin ; os y C C ; sin sin ; os os β β b y b C C

309 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ C os l osβ ; sin l sinβ ; Dă se deiveză ulti elţie se obţine: os l β sinβ su, dă se ţine se ă: ; β ε ε ; ; ezultă: os l osβ os su: t l osβ şi: de unde: ε os sin lε osβ l sinβ ε os sin ε t l osβ l osβ sinβ osβ tε u Atuni piele elţii, deivte, vo d: C sin ; y C os; ( sin bt sin ) ; C sin b sinβ β ( os osβ) y C os b osβ bt ; ( sin sinβ) C sin l sinβ lt su, înt-o siee onvenbilă pentu lulele uătoe:

310 Culegee de poblee { } sin sin os os sin sin os sin β β β A lt t bt bt y y C C C C C Dă se deiveză înă o dtă ondiţiile inetie, se v obţine: ; os sin ε C ; sin os ε y C ( ) ( ) ; sin sin os sin sin os sin os sin β β ε β β β ε ε bu bt bt b b C ( ) ( ) ; os sin sin os os sin os sin os β β ε β β β ε ε bu bt bt b b y C ( ) ( ) ; os sin sin os os sin os sin os β β ε β β β ε ε lu lt lt l l y C su: os sin sin os sin sin sin sin os sin os sin sin os os sin sin os sin β β β β β β ε β β β ε ε lu lt u bu bt bu bt lt t bt bt y y C C C C C su în siee optă: { } { } { } ε A A

311 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Euţiile de işe Pot fi obţinute în i ulte odui. Dă se pliă teoeele fundentle pentu igid, onsideându-se enisul fiind opus din tei igide, se v pute sie: Pentu b AB se obţin două euţii din teoe ipulsului şi un onsideând teoe oentului ineti; B A C B A C Y Y y X X ε os sin os sin Y X Y X M B B A A C Pentu b BC se obţine nlog: C B C C B C Y Y y X X β β β β ε os sin os sin l Y l X l Y l X B B C C C Culis C v ve o işe de tnslţie etilinie, dei se v pute sie: C C X F. Dă se siu tote euţiile gupte se obţine: C C C C C C C y y ε ε

312 Culegee de poblee C B B C C C B C B B B A A B A B A X F b Y b X b l Y b l X Y Y X X Y X Y X M Y Y X X β β β β os sin )os ( )sin ( )os ( )sin ( os sin Fig.8.8.b. Sepe sisteului în păţile oponente su, dă se ţine se de ondiţiile inetie: ) os sin sin os sin sin sin sin os sin os sin sin os os sin sin os sin ( β β β β β β ε β β β lu lt u bu bt bu bt lt t bt bt C C

313 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 C C B B A A Y X Y X Y X b l b l b b F M )os ( )sin ( os sin )os ( )sin ( os sin β β β β Dă ţine se de notţiile nteioe, se pote sie sub foă guptă: [ ]{ } { } ( ) { } { } { } [ ]{ } Q Q Q A A et leg et ε unde notţiile sunt evidente. Luul eni l foţelo de legătuă Luul eni l foţelo de legătuă pote fi sis: { } { } { } { } { } [ ] { } { }{ } dt Q A dt Q A q dt Q Q dl leg leg T T leg T leg T δ D, ve elţi: { } { } leg T Q A [ ] lt t bt bt β β β sin sin os os sin sin os sin C C B B A A Y X Y X Y X b l b l b b )os ( )sin ( os sin )os ( )sin ( os sin β β β β

314 Culegee de poblee 6 C C B B A A T Y X Y X Y X b l t bt lt b l t bt bt bt bt bt β β β β β β β β β )os ( os os sin sin )sin ( sin sin os os os ) os ( os sin sin sin )sin ( sin os os sin sin [ ] β β os os os os l t Y X Y X Y X Y X Y X Y X tl C C B B A A C C B B A A T Vetoul { } leg Q epezintă tosoul foţelo de legătuă genelizte, oespunzătoe oodontelo genelizte onsidete. ezultă euţi de işe: )] os sin sin )( sin sin ( ) os sin sin )( os os ( ) sin sin os )( sin sin ( os sin os sin [ ] ) sin sin ( ) os os ( ) sin sin ( os sin [ β β β β β β β β β ε β β β lu lt lt tu bu bt bt bu bt bt lt t bt bt C C C ) sin sin ( β lt F M Dă se efetuză lulele, se obţine: ) os( [ t bt t b C C β ) os( ) os( ( [ ] ) sin sin ( β β ε β bu bt lt

315 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ bt sin( β ) b t osβ b tu) C tu ( sin lt sinβ )( sin lt sinβ lu osβ )] M Dă se noteză: [ ( ) F ( sin lt sinβ ) T { A} [ ]{ A} [ bt os( β ) '( ) ( bt T { A} [ ]{ A} C t C b ( sin lt sinβ ) os( β ) bu os( β ) bt sin( β ) b t t ] ; os β b tu C tu ( sin lt sinβ )( sin lt sinβ lu osβ )] ( sin sinβ) M ( ) M F lt se obţine euţi de işe sub fo: ( ) '( ) M ( ) eţiunile se pot detein în est z u uşuinţă. Teoe enegiei inetie Fiind un siste u un gd de libette se pote pli teoe enegiei inetie şi se obţine: E sin os sin bt sinβ os bt osβ t sin lt sinβ T C C sin os sin bt sinβ os bt osβ t sin lt sinβ 7

316 Culegee de poblee 8 ) ( ) ) sin sin ( ) os( ( β β lt t bt t b E C C Luul eni vitul l foţelo eteioe este: ( ) [ ] β d M d lt F M d F d M dl C ) ( sin sin Ave: sin sin os os sin sin os sin sin sin os os sin sin os sin ε β β β β β β lt t bt bt lt t bt bt dt de C C T os sin sin os sin sin sin sin os sin os sin sin os os sin sin os sin β β β β β β β β β lu lt u bu bt bu bt lt t bt bt C C T )] os sin sin )( sin sin ( ) os ) sin( ) os( ) os( ( [ ] ) sin sin ( ) os( [ β β β β β β β ε β β lu lt lt tu tu b t b bt bu bt lt t bt t b dt de C C C şi dă ţine se de teoe enegiei inetie pusă sub fo: dt dl dt de, după siplifie u ezultă elţi obţinută nteio ând utilizt teoeele fundentle le diniii.

317 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pinipiul luului eni vitul Fig.8.8. δl M F i δ δ F δ C F i y δy C C F δ i i C F δy i i y M δβ Fδ C C M δ i ; δ C ( sin lt sinβ ) δ ; δ C sin δ ; δ y C ; δ ( β) δ os δ ( os β) δ C sin bt sin ; δy C bt os ; δβ t δ ; F δl M y y i i i ; F y y C; F C ; F y C ; i C M i i ε ; C ε C C i M ; F C ; δ F ( sin lt sinβ ) δ C( sin) δ ( os) δ εδ C ( sin bt sinβ) δ ( os bt osβ) δ ε tδ ( sin lt sinβ ) δ δl [ M F ( sin lt sinβ ) ( ε sin os)( sin) ( ε os sin)( os) ε [( sin bt sinβ) ε ( os bt sinβ bu sinβ) ]( sin sinβ) [( os bt osβ) ε ( sin bt sinβ bu osβ) ]( os osβ) bt bt C 9

318 Culegee de poblee [( os lt osβ) ε ( sin lt sinβ lu osβ) ]( sin lt sinβ )] δ ε t Se obţin, în finl, elţiile deteinte nteio pin lte etode Să se sie, utilizând euţiile lui Lgnge, euţiile de işe le unui punt teil de să, e luneă, făă fee, în inteioul unui de iloidă. Fig.8.9 ezolve: Euţiile petie le iloidei sunt, pentu sisteul de oodonte din figuă: ( sin) ; ( os) Coponentele vitezei sunt: ( ) y. os ; y sin. De unde se obţine enegi inetiă: ( ) T os. Enegi potenţilă este: ( os) V gy g, i lgngenul L T V ezultă: ( os) ( os) L g.

319 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pentu deteine euţiilo de işe se pliă euţiile lui Lgnge. Se obţine: L ( os) i euţiile de işe devin: ( os) sin sin ; L sin g sin, g. Dă fe shibe de funţie: se obţine: u os du dt sin ; d u sin os dt Euţi de işe devine, în nou vibilă:. d u u dt g unde s- nott:. Peiod işăii este: T π π. g Puntul teil osileză în juul poziţiei de ehilibu stti u peiod u e un pendul siplu teti de lungie l osileză în juul vetilei (pendulul iloidl).

320 Culegee de poblee 8.. Să de deteine euţiile de işe două opui de se şi, legte pin esote vând eesi onstnt elsti. Fig.8. Enegi inetiă sisteului este: T. Enegi potenţilă, uultă în esote, este: ) ( V. Lgngenul devine: ) ( V T L ( ) L ; ) ( L ; L ; L. Euţiile de işe devin: su:

321 CAPITOLUL IX CINEMATICĂ şi DINAMICĂ VIBAŢIILE SISTEMELO MECA ICE 9.. Să se deteine pulsţi popie le sisteului eni din fig. 9.. Fig.9. ezolve: L defoe esotului u lungie δ sipetele se oteşte u unghiul δ i s v oboî u distnţ δ. Ave elţiile inetie: δ δ ; δ δ Dă le deivă în pot u tipul obţine elţiile înte viteze: v ; v şi înte eleţii:..

322 Culegee de poblee. ; ε ε Vo pute sie teoeele fundentle pentu sipete şi pentu s e oboă. Pentu sipete, teoe oentului ineti dă: S S ε unde foţ S este eglă u foţ elstiă e pe în esot: F S e Pentu s teoe ipulsului ne dă: S G Cele două euţii pot fi sise îpeună: S S G ε ; su: S S G ε ε ; δ δ dei: / / ε ; / δ δ δ. Euţiile de işe devin:

323 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 / / S S G. Dă se peînulţeşte sisteul u: [ ] / se eliină tensiune în fi S şi se obţine euţi: [ ] [ ] / / / / G su: G, u pulsţi popie: p. 9.. Să se deteine pulsţi popie sisteului eni din fig.9.. ezolve: Cilindul e o işe pln-plelă (de otţie şi de tnslţie entului). Euţiile de işe vo fi: S S G S S ε

324 Culegee de poblee Fig.9.. Pentu ilindul vo ve: ε S S Pentu ilindul legt de esot vo pute sie: S Fe T ε S T Fe unde '' F e. Euţiile de işe se pot sie gupt: 6

325 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 '' '' T S T S S S S S S S G ε ε ε Condiţiile inetie pot fi sise sub fo: ; ) ( ; ; ' δ δ δ δ δ δ δ. '' ; δ δ δ δ δ Fig.9..b de unde:

326 Culegee de poblee 8 ) /( ) /( / / δ δ δ δ δ δ Pin deive se obţin vitezele şi eleţiile: ) /( ) /( / / v v v ; ) /( ) /( / / ε ε ε Euţiile de işe devin: ) /( ) /( ) /( ) /( / / T S T S S S S S S S G. Pin peînulţie u se obţine:

327 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 ) ( 6 ) ( ) ( G ezultă pulsţi popie: ) ( ) ( ) ( 6 p. 9.. Să se nlizeze o tnsisie (spe eeplu o utie de viteze) shetiztă în fig Soluţie: Întuât se onsideă legătu dinte volntul şi igidă ( inf ), tnsisi pote fi edusă l tei volnţi, dei l Fig.9... Siste elsti u tei gde de libette

328 Culegee de poblee un siste u tei gde de libette. Anliz estui siste se v fe gdt. i) Euţiile de işe În fig.9.. este pezentt sisteul elsti şi îpăţie lui în subsistee u un singu gd de libette. Vo fe notţiile: i ; ' i ; ( ' ' ' i i ) unde i şi i sunt potele de tnsitee deteinte de ele două ngenăi eteioe. Atuni, utilizând euţiile lui d Alebet, euţi de işe pentu volntul din subsisteul este: i M M e M (9.. ) unde M este oentul oto, e nteneză sisteul în ' işe, ( ϕ ϕ ) ( ϕ i ) M e ϕ este oentul elsti e pe în eleentul de legătuă înte volntul şi volntuţii şi i M i ϕ este oentul dto ineţiei l otţie l volntului. În est z euţi (9.. ) se i pote sie: Unghiul ( ϕ i ) ϕ ϕ M ' ϕ l volntului u z ' devine, pin deultiplie, ' unghiul ϕ i ϕ ϕ '. Pentu nu opli foulele

329 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ onsidet ă oentul de ineţie l volntului u z ' este zeo, dei est volnt nu v ju nii un ol în euţiile de işe, vând do o senifiţie inetiă. Euţi de işe pentu volntul u z (fig.9..b) este: su: i i M e M e M ϕ ( ϕ i ϕ ) ϕ ϕ i i i Moentul M e devenit, în vitute fptului ă foţ tngenţilă în ngene se păsteză ( F F ), i M : F F t t Fig.9..b. Tnsitee işăii pin ngene t t e M e ' M ' e

330 Culegee de poblee ' ' e e e im M M Pentu volntul l teile se pote sie: i e M M M i i su: M i i i i ϕ ϕ ϕ Cele tei euţii foeză sisteul de euţii difeenţile: ) ( ) ( ) ( ) ( M i i i i i i i i M i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ su, în foă tielă: M M i i i i i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ii) Model ehivlent

331 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pe bz fig.9.. şi nlizei făute nteio pentu sisteul elsti dt se pote fe figu sisteului ehivlent (fig.9..), lătuit din tei volnţi legţi pin eleente elstie. iii) Modul de işe igidă Dă sisteul se opotă un igid, tuni odul de işe igid este: ϕ ϕ ϕ ϕ i i Este ntul să potă işe tutuo volnţilo l işe piului volnt pin noile funţii: Fig.9..

332 Culegee de poblee ϕ ϕ ϕ i i de unde ezultă şi dependenţ: ϕ ϕ ϕ i i În est z euţiile de işe devin: i i M M i i i i i i i i i i i Pentu tnsfo şi foţele şi oentele în spţiul deteint de noile oodonte independente [ ] se peînulţes euţiile u:

333 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 T i i se obţin noile euţii: i M M i i i i i i Modelul teti ehivlent este pezentt în fig.9..d. iv) Siule nueiă Fig.9..d

334 Culegee de poblee 6 Pentu un lul nuei să lege uătoele vloi pentu eleentele e defines sisteul: i i i ; ; ; ; Cu este vloi euţiile de işe pătă fo: 5 i M M Mtie diniă este: [ ] [ ] [ ] 5 K p v) Vloi popii Euţi teistiă este: [ ] [ ] ) det( E p (su [ ] [ ] ) det( K ). ezultă: 5 λ λ λ unde s- nott: λ. ezultă euţi:

335 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 9 λ λ λ u soluţiile: 7 ; ; λ λ λ De ii ezultă pulsţiile popii: 7 vi) Vetoii popii (oduile popii de vibţie) Pentu pi vloe popie v ezult odul de işe igidă din sisteul line oogen: { } 5 e e e Dă se lege e se obţine pentu piul od de işe: { } Φ Pentu dou pulsţie popie ezultă sisteul: { } e e e

336 Culegee de poblee 8 Dă se lege e se obţine l doile od de işe: { } Φ,5 În sfâşit, pentu tei vloe popie 7 ezultă sisteul: { } 5 5 e e e din e ezultă l teile od de işe: { } Φ,5 Mtie odlă v fi: [ ] Φ,5,5 vii) Coodonte nonie Să fe teee l oodontele nonie pin tnsfoe: [ ] Φ,5,5 q q q q q q Fig.9..e.Moduile de işe

337 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 Coefiienţii tieli i sisteului de euţii în oodonte nonie sunt: [ ] [ ] [ ][ ] Φ Φ 7 7,5 7 \ \ M M T ; [ ] [ ] [ ][ ] Φ Φ 5 7,5 \ \ K K T ; { } [ ] Φ i M M Q T. În noile oodonte nonie euţiile de işe vo ve fo: ' ' ',5 5 7,5 7 7,5 7 M M M M M M q q q q q q unde: ' i M M. Sisteul pote fi sis în fo ltentivă: ;,5 ; 7 ' ' M M q q M M q M M q q 7 7 ' viii) oe ineţilă

338 Culegee de poblee Dă pune ondiţi tie odlă notă să espete elţi: [ ] [ ][ ] [ ] E M M T M Φ Φ ezultă pentu tie odlă notă ineţil: [ ] [ ][ ] Φ Φ 7 7,5 7,5,5 M M,9,58,785,597,785,9,65,785 i) Mtie spetlă Euţiile de işe în spţiul oodontelo nonie, u no ineţilă, devin: ),9(,58,65 ),785( 7 ' ' ' M M M M M M j q q q q q q su: { } [ ]{ } { } Q q q \ \ Ω unde [ ] \ \ Ω este tie spetlă.

339 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) O soluţie nueiă Să lege spe eeplifie s p. ezultă pentu tie spetlă: [ ] Ω 6,5, \ \ Soluţi sisteului în oodonte nonie este: ) os(6,5 ) os(, ϕ ϕ t q t q q t q q q q Soluţi sisteului în oodontele odelului ehivlent este: { } Φ q M ] [ ( ) ) os(6,5 ) os(,,9,597,9 ) os(,,58,65,785,785,785 ϕ ϕ ϕ t q t q q t q q t q q t q Cele şse onstnte de intege se deteină din ondiţiile iniţile:. ; t t

340 Culegee de poblee ezultă sisteul: şi:,785q,785q,785q,785q,785q,785q,65q,597q,58q 5,6q 5,79q 7,79q osϕ osϕ osϕ sinϕ sinϕ sinϕ,9q,9q 6,q 6,q osϕ osϕ sinϕ sinϕ Din est siste de şse euţii u şse neunosute ezultă q, ϕ. q, q, q, ϕ, i) Siste petubt Dă sisteul este petubt de un uplu oto onstnt M u de işe devine: { q } { q} g d făă uplu ezistent, euţi 7 Teând l nou funţie vetoilă:,785,9 7,785,65,9 { q ˆ} { q},65 { q},875,

341 sisteul devine din nou nepetubt: u soluţi: { q ˆ } { qˆ } q ˆ qˆ qˆ 7 os( t ϕ t 7,85 q t q q os( t ϕ ) q ) 7,85. CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Pi soluţie epezintă işe de igid e, în lips unui oent ezistent, este unifo eletă, i elellte două epezintă osilţii onie ăo suppunee ofeă işe volnţilo. Se v pute dei sie: [ Φ ] M q q t 7,85 q os( t ϕ os( t ϕ t q ),875 ), i) Tnsitee petubţiilo Să onsideă tnsitee unei petubţii de l oto, de fo: { M } os5t şi unei petubţii de l şin de luu de fo:

342 Culegee de poblee { } t M os ' Să onsideă sisteul de euţii not ineţil: { } { } t t q q os,9,58,785 os5,9,65,785 7 u soluţi ptiulă foţtă: t t q q q p os,9,58,785 6 os5,9,65, Aestă soluţie se v suppune peste soluţi sisteului oogen deteintă nteio. Constntele de intege se vo detein pentu soluţi opusă din soluţi oogenă şi soluţi ptiulă. ii) Câtul yleigh

343 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Se vo poi vloile popii utilizând âtul zleigh. Pentu piul od de işe se lege vetoul popiu sub fo: { Φ } T ] [ ezultă pi vloe popie: T { Φ} [ K]{ Φ} T { Φ } [ M]{ Φ } Al doile od popiu îl lege sub fo: { Φ } T [ ] i vloe popie ezultă din elţi: T { Φ } [ K]{ Φ } T { Φ } [ M]{ Φ } [ ] [ ] 5 de unde, s e oinide u vloe obţinută lulând et ezulttul. Pentu lul poitiv tei vloe popie se v lege vetoul popiu sub fo: ezultă: { Φ } T [ ] 5

344 Culegee de poblee 6 { } [ ]{ } { } [ ]{ } [ ] [ ] Φ Φ Φ Φ M K T T dei: 6, s fţă de ezulttul et 6,5, dei şi în est z o poie deosebit de bună. iii) pote l işe igidă Este ntul în studiul sisteului să intodue o oodontă e să desie işe igidă sisteului. Vo ipune estă oodontă să espete ondiţi oentul ineti totl l sisteului să fie egl u oentul ineti l tnsisiei onsidete igidă şi otindu-se u unghiul. Dei: ϕ ϕ ϕ i i de unde: i i

345 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 De seene se vo intodue oodontele şi e să epezinte işe eltivă volnţilo în pot u işe igidă: ϕ ϕ i ϕ ϕ i i dei: ' ' ' ϕ ϕ ϕ i i i i i u: ' ' ' ; ;. ezultă: ' ' ' ' ' ' ' ' ] [ ϕ ϕ ϕ L i i i i i i i i i i i i i Dă se f lulele se obţine:

346 Culegee de poblee 8 L L T ) ( ) ( ] ][ [ ] [ * * * * * * u * i, * i şi: * ] ][ [ ] [ L K L T unde: * i. Euţiile de işe devin: { } ) ( ) ( * * * * * * * * Ultiile două euţii sunt uplte ineţil (dini) şi deuplte elsti (stti). 9.. Se onsideă un boe otit, e e l unul din pete un otizo, e pote fi odelt înt-un siste u se onentte

347 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 în fig.9... Euţiile vibţiilo libee neotizte le sisteului sunt: { } [ ]{ } { } ] [ ϕ ϕ K unde: ] [ Fig.9... Modelul unui boe otit

348 Culegee de poblee ] [ K { } ] [ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ T Dă se onsideă şi influenţ otizoului de vibţii, euţiile de işe le vibţiilo libee sunt: { } { } [ ]{ } { } ] [ ] [ ϕ ϕ ϕ K C u: ] [ C Sisteul: { } { } ]) [ ] ([ Φ i i M K

349 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ofeă oduile popii de işe epezentte în fig. 9..b. Se obsevă ă oduile de vibţie le boelui sunt deuplte u odul de işe l otizoului (l doile od de işe igidă). Fig.9..b. Moduile de vibţie le boelui otit Euţi: det( [ K] [ M] ) ofeă pulsţiile popii în bsenţ otizăii. Pentu utoionul OMAN u oto D5 vetoul pulsţiilo popii, lult, este: { } [ ]

350 Culegee de poblee 9.5. Fenoenul de bătăi. Să onsideă două pendule uplte elsti (fig.9.5.). Euţiile de işe vo fi: glsin ( ) glsin ( ) Pentu osilţii ii se pote onside: sin, sin. Neglijând s belo ve şi: este ipoteze euţiile de işe devin: L gl L ; L. În Pentu siplifie lulelo să onsideă: gl. ezultă: g L L L Fig Pendule uplte L g L L

351 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Să notă i depte: ; L p L g p o. Cu estă notţie euţiile de işe vo pute fi sise: { } { } { } p p p p p p o o Euţi teistiă: p p p p p p o o ofeă iedit pulsţiile popii le sisteului: ; p p p o o. Pentu pi vloe popie piul veto popiu este dt de sisteul oogen: e e p p p p de unde, dă se lege e se obţine: e e Aestă işe popie epezintă o osilţie sisteului şi u ele două pendule fi legte pint-o bă igidă tiultă l pete şi osil u pulsţi popie L g p o / ( fi un singu pendul).

352 Culegee de poblee Pentu dou vloe popie se obţine: e e p p p p u soluţi: e e. Este un od de işe sieti diă ele două pendule vo osil, u eeşi pulsţie, d în ontfză (poziţi unui se obţine din poziţi eluillt pin oglindie). Soluţi genelă devine: ( ) ) os( os ϕ ϕ t A t A Constntele de intege,,, ϕ ϕ A A ezultă din ondiţiile iniţile: t ; t e du l sisteul line: os os ϕ ϕ A A Fig.9.5.b. Condiţii iniţile

353 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 sin sin sin ϕ ϕ ϕ A A Pentu siplifie lulelo să luă: şi (sisteul poneşte din epus din poziţi din fig.9.5.b). Se v obţine: A A şi ϕ ϕ. În este ondiţii ăspunsul sisteului este: ) os os ( t t t t t t sin sin os os Fenoenul de bătăi. În zul în e L g L << pe fenoenul de bătăi. Atuni ând e plitudine iă pe teisti de odule e plitudine nulă şi eipo. Dă se noteză: o o o p p p p σ

354 Culegee de poblee 6 ( ) o o o o o o o p p p p p p p p p p p δ se pote sie: t t B t t A t t t t σ σ δ σ δ σ )sin ( )os ( sin sin os os * * unde t t B t t A δ δ sin ) ( ; os ) ( * * sunt plitudini vibile în tip (odule) le osilţiilo u pulsţi σ. Pseudopulsţi fenoenului osilnt este: p o T π σ şi p p T o π δ peiod elui odulto. Peiodele vo fi în potul: p o p T T δ σ Fig.9.5..

355 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ee e fe ele două teistii să se sepe fote bine. Pin ue upljul elsti slb elizeză un tnsfe de enegie înte ele două pendule, enegi sisteului onsevându-se pe nsblu În ele e ueză se pezintă un siste u volnţi u ui sietie (fig.9.6.) şi subsisteul e v ve eleşi odui popii întegul siste: Fig Siste u volnţi u ui sietie Fig.9.6.b. Subsisteul u vibţii popii egle u le sisteului sieti 7

356 Culegee de poblee Dă se luleză vloile popii pentu subsisteul (S ) se onsttă ă este se egăses pin pulsţiile popii le sisteului ifit sieti. Sugestiv pentu pezente ezulttelo este epezente oduilo popii de vibţie pentu sisteul ifit şi unde se pot identifie zuile în e vibţiile popii le subsisteului (S ) oinid u ele le sisteului (S). În este zui oduile de işe le elo două subsistee (S ) vo egle şi de sens ont i elellte se onentte vo fi în epus. 8

357 9 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ

358 Culegee de poblee Fig Moduile popii de vibţie pentu sisteul ifit sieti din fig..9. Fig.9.6.d. Moduile popii de vibţie pentu sisteul (S ) sieti din fig. 9.6.b 9.7. Modelul unui utoion. Gdul de sietie l unui stfel de siste este destul de edus şi din estă uză o singuă pulsţie popie pentu sisteul sieti v oinide u un din pulsţiile sisteului genel. Diensiunile sisteului sunt dte în fig

359 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 Fig Modelul teti l unui utovehiul u două punţi (utoion) Se vo onside oodontele independente genelizte T q q q q ] [ } { 7 K definite după u ueză: ' ' ; ' ; ; ; '' ; ' ; β β β q q q q q q q Cineti sisteul ne v d elţiile e eistă înte oodontele puntelo piniple, sise în funţie de oodontele genelizte independente: ; ; q E q q E q A q

360 Culegee de poblee 5 ; ; q E q q E q A q ; q E q q E q A q ; q E q q E q A q Foţele e p în uile e siguă suspensi şi în pneui sunt: ; ( 5 ) ' f ; ( 6 ) ' f ; ( 7 ) ' f ; ) ( ' 8 ' f ; ( ) 5 ' 5 f ; ( ) 6 ' 6 f ; ( ) 7 ' 7 f ; ( ) 8 ' 8 f Se pote sie: { } q A ] [ } { unde tie ] [A este dtă de:

361 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 5 ] [ E E E E E A E A E A E A A Euţiile de işe pentu păţile oponente le sisteului sunt dte de: ) ( ) ( ) ( ) ( C ' ' ) ( ) ( ' ' ' ' ) ( ) ( ' ' ' ' ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A ) ( ) ( ) ( ) ( E E E E β β ] ' ) ( [ ] ' ) ( [ ' ' E E β β ] ' ) ( [ ] ' ) ( [ ' ' ' ' E E β β

362 Culegee de poblee Fig.9.7.b. Desopunee sisteului în păţile oponente Dă se v ţine se de ondiţiile inetie sise nteio se v obţine: C ' '' ' ' ( ') ' ( A) ' '' ( ' ) ' ' ( A) A( A ' '' ) β β E( Eβ Eβ ' Eβ '') 5

363 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 55 ' ') ( ' ' β β β β E E E ) ( ' ' ') ( ' ' ' ' E A E E C β β β Dă, în ontinue, se vo fe notţiile: '' ' '' ' ] [ β β β M ') ( ') ( ') ( ') ( ] [ E E E E E E E A A A A A K euţiile difeenţile le vibţiilo libee le sisteului sunt dte de: { } { } { } ] [ ] [ q K q M. Dă se ţin se de vloile ele le petilo e p în euţii pentu utoionul OMAN 85, se pot lul vloile

364 Culegee de poblee popii şi oduile popii de vibţie. După efetue lulelo u pogul de lul MATLAB se obţine odlă fo:,7,956,956 [ Φ] pentu tie În ontinue se vo epezentte oduile popii de vibţie le selo suspendte şi nesuspendte le utovehiului. În est z gdul de sietie este săzut şi se nifestă nui în zul ultiului od de vibţie e este identi u el l sei nesuspendte (punte igidă), dă este studit septe. 56

365 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig Moduile popii de vibţie pentu un siste sieti 57

366 Culegee de poblee Să onsideă u sisteul u sietii din fig După u se vede pe figuă pot fi izolte două ui identie. Luă pentu oentele de ineţie vloile ; ; ; 5 ; 7 ; ; şi pentu onstntele elstie ; ; 7 ; ; ; 5 ; ; Se noteză p /. Se obţin pentu pulsţiile popii vloile: 85 p, 75 p, 8 p, 5 p, 8 p, 69 p, 667 p, p, 97 p, 78 p, 659 p, 9 p. Fig Un siste u sietii

367 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 59 Mtie odlă ezultă, după efetue lulului:,,,,58,,7,,,,,,,,,8,,9,,,,6,66,5,8,9,,9,7,7,,,,,5,6,,,,,,8,5,,,,,,5,,,,,8,8,,6,,5,,,,,,58,,7,,,,,,,,,8,,9,,,,6,66,5,8,9,,9,7,7,,,,,5,6,,7,7,9,,,,,,5,8,9,5,7,7,9,,,,,,5,8,9,5,,,5,,5,59,6,5,,,,7,,,5,,5,59,6,5,,,,7 Cu este vloi se pot epezent vetoii popii (fig h.) Fig.9.8.b. Desopunee în subsistee

368 Culegee de poblee Fig.9.8. Fig.9.8.d Fig.9.8.e 6

369 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Fig.9.8.f Fig.9.8.g Fig.9.8.h 6

370 Culegee de poblee Dă se fe lulul vloilo popii se obţine se obţine spetul 75 p, 5 p, 69 p, 97 p, 659 p i tie odlă oespunzătoe v fi:,58,69 [ Φ ],,6,,,87,,,,8,8,8,7,9,,,5,9,9,6,,6,56,7 Moduile popii de vibţie în est z sunt epezentte în fig. 9.8.i. Fig.9.8.i 6

371 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Să onsideă u sisteul din fig.9.8.j, e odeleză sisteul dt iniţil, luând u un siste siplifit, e nu i pezintă sietii, d e v ve eleşi pulsţii popii şi eişi vetoi popii şi sisteul iniţil. Dă se luleză pulsţiile popii pentu est siste se obţine: 85 p, 8 p, 8 p, 667 p, p, 78 p, 9 p. Mtie oduilo popii este dte de:,5,69,9,,,,7,8,6,8,,5,,,,,9,,,,5,,8,5,5,,,5,,9,,5,,7,,56,,,6,,56,7,7,5,7,9,,9, Fig.9.8.j. Sisteul siplifit 6

372 Culegee de poblee Fig.9.8. Fig.9.8.l Fig Fig.9.8.n. 6

373 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 65 Eeplul pezentt ilusteză popietăţile pezentte şi deonstte nteio Să se deteine tie de ineţie pentu sisteul din fig.9.9. Fig.9.9 Vo poni de l epesi enegiei inetie sisteului, e este: [ ] E Condiţiile inetie du elţi: ( ) dei. Se pote sie:

374 Culegee de poblee 66 ; [ ] E [ ] dei tie ineţilă este: [ ] M 9.. Să se deteine tie ineţilă pentu sisteul de oţi dinţte în gene din fig. 9.. Soluţie: oţile dinţte şi ngeneză pin dntu onsidetă elstiă ( ). Notând u,, vitezele unghiule le oţilo, şi ve:

375 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 67 [ ] E Fig.9.. Pute onside i ulte zui: ) Dă onsideă dntu şi b e legă volnt şi pefet igide ( ) sisteul e un gd de libette, intuât: ;, dei:

376 Culegee de poblee 68 E ( ) ( ) ed Mtie selo epezintă în est z un oent de ineţie edus l sisteului. b) Consideă dntu pefet igidă ( ). Sisteul v ve în est z două gde de libette. Vo ve o singuă ondiţie pentu viteze: potă işe volntului tei l işe volntului pin neunosut ϕ l dt de: * ϕ ϕ dei * ϕ ϕ

377 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 69 * ϕ epezintă unghiul u e s- oti volntul l o otţie ϕ lui, dă pesupune upljul dinte oţile şi igid. Ave şi: * Dei: * ezultă: [ ] * * E [ ] * * Mtie de ineţie este în est z:

378 Culegee de poblee 7 [ ] ) Dă vo onside şi dntu elstiă, tuni elţi nu se i păsteză, i, şi devin independente. potă işe volnţilo şi l volntul u elţiile: * ϕ ϕ şi * ϕ ϕ ezultă noile oodonte independente: * ϕ ϕ ; * ϕ ϕ ; Dei: * ; *. Ave: * * ezultă:

379 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 [ ] Sisteele ehivlente pentu zuile ), b), ) sunt epezentte i jos. Fig.9..b 9.. Să se deteine tie de ineţie pentu sisteul din figu 9.. Fig.9.

380 Culegee de poblee 7 Soluţie: Sisteul e ptu gde de obilitte, fiee gd vând posibilitte de tnslţie şi otţie independente. Ave: [ ] v v v v E Dă sisteul se ostogoleşte pu ve legătui înte vitezele unghiule şi ele linie: v ; v dei: v v v v. Mtie selo devine: [ ] M Dei: [ ] M.

381 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 7 Dă ele două opui u pe lângă ostogolie şi lunee pute lu neunosute vitezele linie şi luneăile în loul vitezelo unghiule. Ave: v v Dei: v v v v [ ] M [ ] M

382 Culegee de poblee 9.. Să se deteine tie de elstiitte pentu siste lătuit din tei volnţi din fig.9.. Fig.9. G I p κ ( tosiune) ; l el ij M M M el M κ( ϕϕ) M el M M κ( ϕϕ) κ ( ϕϕ) M el M M κ ( ϕϕ) κϕ el ji M M M el el el [ ϕ ϕ ϕ ] κ κ κ κ κ κ ϕ κ ϕ κ κϕ 9.. Să se deteine tie de elstiitte pentu pl din figu 9.. 7

383 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 75 ezolve: Pl e s şi oentele de ineţie y, fţă de ele y C C, e te pin puntul C şi sunt plele u lntuile b şi ( C - entul de să) F F F F F e e e e el κ κ κ κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F M e e e e el κ κ κ κ κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b F F b F F M e e e e ely κ κ κ κ κ Coodontele,,, nu sunt independente, pl igid ipunând o legătuă înte ele. Le epiă în funţie de,, C. Ave: * ; * * * C C Inves: * b C ; * b C ; * b C ; * b C ; * b C ; * b C. ezultă:

384 Culegee de poblee F ; el C M el M ely ; b. F M M [ ] el el ely b K. b C ; 9.. Să se deteine euţiile de işe pentu uătoe tnsisie u tei volnţi: Fig.9. ) Utilizând euţiile lui d Alebet: 76

385 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 77 e i e e i e i M M M M M M M u ; ; ; ϕ ϕ ϕ M M M i i i ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ M M e e ezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ su: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ b) Enegi inetiă sisteului este: ( ) [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ E C Enegi potenţilă v fi: ( ) ( ) ϕ ϕ κ ϕ ϕ κ P E ( ) ϕ ϕ κ ϕ ϕ κ ϕ κ ϕ κ κ ϕ κ [ ] ϕ ϕ ϕ κ κ κ κ κ κ κ κ ϕ ϕ ϕ. Utilizând euţiile lui Lgnge se obţine:

386 Culegee de poblee 78 ϕ ϕ ϕ ϕ E dt d C ; ϕ E P dt d ; şi: ϕ ϕ ϕ ϕ E P ; ϕ E C. A utilizt ezulttul: dă [ ] A este sietiă şi { } [ ]{ } X A X U T tuni [ ]{ } X A X U. ezultă eleşi euţii de işe l puntul ). ) Pentu est eeplu este onvenbil să tee l lte oodonte independente. Tnsisi v efetu o işe de nsblu, de igid, i volnţii vo eeut işăi eltive unul fţă de elăllt. Pentu işe de igid ste ntul să lege un unghi stfel înât oentul ineti l tnsisiei onsidetă igidă, să oinidă u oentul ineti l volnţilo în işe, dei: ϕ ϕ ϕ I

387 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 79 În est z pute lu şi: ϕ ϕ ϕ bstţie făând de o onstntă bită e v epezent unghiul l oentul iniţil şi pe e o luă eglă u zeo. oţiile eltive este ntul să le epiă pin noile oodontele, stfel înât: ϕ ϕ ϕ ϕ Dei ve shibe de funţie: ' ' ' ϕ ϕ ϕ unde ' ' ' Şi inves: [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' ϕ ϕ ϕ L I I I I I I I I Ave: [ ] [ ][ ] L L T ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

388 Culegee de poblee 8 ( ) ( ) I şi [ ] [ ][ ] K K L K L T În noile oodonte sisteul devine: [ ] [ ][ ] L L T ( ) ( ) { } K K I I şi se deupleză în: e indiă o işe unifoă t şi în sisteul: ( ) ( ) K K Sisteul este uplt ineţil şi deuplt elsti (stti).

389 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Ne popune să deteină euţi de işe pentu s pinsă pin esotui identie u onstnt elstiă / (Modelul eieului). Soluţie: Utiliză euţiile lui d Alebet: { } ey e F F. Fig.9.5 { } { } { } { } v u l u l v u v v u t ε v u F F ey e ezultă:

390 Culegee de poblee 8 v u v u v u ε κ l l ε 9.6. B AB eeută o işe pln plelă. Puntul O e oodontele ( ) Y X,. Yj X i v o. Vitez unghiul este onsidetă onstntă, dei ε. Fig.9.6

391 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 8 { } { } [ ]{ } { } s u s u Y X u u v v ~ u: sin os s { } { } [ ]{ } { } ( ) ( ) s u u L s u L Y X u u L v v ~ { } { } { } ( ) ( ) s u u Y u s u X v v v T { } { } { } ( ) [ ] ( ) [ ] s u u L Y u u L X v v v T ( ) Y X s Y s u X u E dt d C ( ) Y X s Y s u X u E dt d C ( ) u Y X s u E C ( ) ( ) u L Y X s u E C ( ) u u E P κ ; ( ) u u u E P κ ; ( ) u u u E P κ. ezultă euţiile de işe: v u v u L Y X s s

392 Culegee de poblee 9.7. Vo detein tie de fleibilitte utilizând etod oefiienţilo de influenţă: Fig.9.7 δ δ δ M E I d M M 9 d E I M E I d 9 l E I 7 8 l E I l E I l [ H ] 8 E I 8 E I [ K ][ H] 5l

393 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 85 { } [ ] l E I y y K F el ; { } y y F i { } { } { } F F i Dei: y y l E I y y 9.8. Să se studieze vibţiile tnsvesle le unui utovehiul. Fig.9.8.

394 Culegee de poblee Soluţie: i. Înt-o piă poiţie se pot onside nui vibţiile tnsvesle le sei utovehiulului. Autovehiulul uăeşte, u jutoul oto, pin inteediul oţilo, pofilul duului ( ( t) ) su:. Euţi de işe v fi: ( ) ( ) κ κ κ F( t) Sisteul e pulsţi popie: t. oogene: Ae os( tϕ) κ şi soluţi euţiei Soluţi se stinge pid în tip dtoită otizoelo şi ăspunsul sisteului pote fi bine poit pin soluţi ptiul p. ii. Un odel i bun, ei în onsidee işe de tngj utovehiulului se obţine onsideând bele punţi suspendte pe eleente elstie. Euţiile de işe sise în entul de să, vo fi: ( ) κ ( ) ( ) ( ) κ κ ( ) κ b( ) ( ) b( ) 86

395 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 87 L b ; L. Cele două euţii pot fi sise gupt: b b b b b b b b I κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ iii. Cuple şi deuple oodontelo În ele e ueză vo ilust ipotnţ legeii oodontelo în siee euţiilo de işe. Pentu siplifie pezentăii vo neglij otizăile.. Pentu zul ii. dă ezultă euţiile de işe: b b b b I κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ. Cuple oodontelo se fe pin eleetele nedigonle le tiei de igiditte b κ κ. Cupljul se nueşte stti su elsti. b. Cz ptiul. Dă b κ κ tuni sisteul devine:

396 Culegee de poblee b b Euţiile sunt deuplte tât stti â şi dini; sisteul se spge în două euţii independente.. Alege un punt P stfel înât o foţă vetilă plită în est punt podue nui o işe de tnslţie. Din ondiţi oentul ezultnt în P să fie nul în zul stti, obţie: ( e) ( b e) b ( )e şi e P ( e) ; P ( b e) Euţiile de işe sise în entul de să sunt: Su D: ( e ) κ ( ) κ ( ) P C κ b ( ) κ ( ) P e C C b b e şi înlouind pe şi obţine: P ( κ κ ) P κ b( b e) κ ( e) b e P κ I P e κ b P κ P κ κ b κ Soţând din pi euţie e şi intoduând în dou, obţine: 88

397 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 89 ( ) ( ) ( ) [ ] b e b e e e P P P P κ κ κ κ κ κ κ κ Su: ( ) ( ) b e b e I e e P P P κ κ κ κ κ κ κ κ Cuple oodontelo se fe pin tie de ineţie. d. Cuplj stti şi dini. Alegând puntul pentu e sie deplse difeit de P şi C euţiile sunt uplte tât stti şi dini. iv. Pentu un studiu i oplet tebuie lute în onsidee igidităţile pneuilo. Sisteul v ve ptu gde de libette. Euţiile de işe devin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b κ κ κ κ κ κ κ κ Ţine se ă: L b ; L. Obţine euţi de işe:

398 Culegee de poblee 9 b b L I L I L L b κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ b b κ κ Înulţind dou euţie u, espetiv b şi dunîndu-le l pt, obţine două euţii e vo înloui euţiile tei şi ptu. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b L I b L I b b b b b L I L I b κ κ κ κ Sisteul devine: L L L L L I b L I b L I L I b κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ

399 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 L L L L κ κ Se obsevă ă dă b sisteul se deupleză în două sistee independente ( îpăţit e. ş u L şi eodont euţiile în suesiune,,,). L I L I b M LLL LLL M κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ M LLL LLL M LLL M LLL LLL M κ κ potul b ε se nueşte oefiient de eptize sei suspendte şi e ipotnţă sup vibţiilo utoobilului. Dă ε tuni vibţiile utoobilului, după u vzut, pot fi

400 Culegee de poblee eduse l vibţii vetile, făă işăi unghiule de tngj, putând fi studite pe odele siplifite, u două gde de libette. v. Un odel e studiză işăile de uliu (otţie în juul ei longitudinle) e pezentt în figuă. Pot fi iginte odele e să studieze işăi i oplee : - osilţii pe dieţi longitudinlă (osilţii ile su zvânii); - osilţii în juul ei vetile (giţii su otii). 9

401 ANEXA I CINEMATICĂ şi DINAMICĂ CALCUL VECTOIAL ŞI MATICEAL.. Vetoi. oţiuni fundentle În eniă p ăii e nu pot fi teizte nui pin ăsu lo (ăii sle) i u nevoie şi de lte tibute pentu le defini şi nue dieţie, sens su punt de pliţie (fi su obil). Aeste epezintă o ultitudine de ăii : foţele e ţioneză sup unui punt teil su sup unui solid, vitezele, eleţiile, oentul foţei, et. Aeste ăii sunt nuite ăii vetoile. O ăie vetoilă este definită de un eleent nou, vetoul, e onţine ăsu elei ăii (eleent iteti) l e se dugă dieţi şi sensul (eleente geoetie). Dieţi şi sensul sunt definite u un singu uvânt fiind oiente vetoului. ezultă dei ă vetoul se epezintă geoeti pint-un segent, oientt. Dieţi pe e v ţion ăie vetoilă este dtă de dept Fig.. supot segentului, sensul este o ăie bină indită geoeti pint-o săgetă l eteitte segentului i ăsu (vloe nueiă pozitivă) este dtă de lungie segentului, e se epezintă l o nuită să onvenbil lesă. otţi vetoilo: notţiile pentu vetoi sunt difeite, în funţie de bodăile (geoetiă su lgebiă) peu şi în funţie de utoi. 9

402 Culegee de poblee Câtev notţii s-u înetăţenit şi sunt pezentte în ontinue. Pentu ă vetoul este epezentt geoeti pint-un segent oientt, el e o oigine să o nui A şi o eteitte, să o nui B. În est z vetoul se noteză: AB u o săgetă. Pi liteă v indi oigine i e de- dou elltă eteitte. Dă nu sunt nuite eteităţile, vetoii se pot not pint-o liteă u săgetă:, b, u, su pint-o liteă u bă:, b, u,. Uneoi se enunţă l bă şi se noteză u liteă îngoştă:, b, u,. Dă se utilizeză epezentăile lgebie se i noteză vetoii sub fo: { } { b},{ u},{ },. otţi pentu odulul vetoilo (ăie su intensitte): odulul se noteză în zul lgebei. Astfel odulul vetoului AB este AB, pentu vetoii, b, u, odulele vo fi, espetive:, b, u, su, i siplu, b, u,. Uneoi, pentu siee, b, u, se utilizeză, b, u,. O lsifie vetoilo: în eniă, pentu teiz un veto e pe înt-un nuit tip de poblee, sunt neese dte supliente. Astfel s- juns l lsifie vetoilo în uătoele tei lse: - vetoi legţi sunt vetoii pentu e poziţi puntului de pliţie este deteintă. Fig... Vesoul unui veto 9

403 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Puntul de pliţie pote fi fi (oentul unei foţe fţă de un punt) su obil (vitez unui punt pe tietoie); - vetoi luneătoi sunt vetoii l ăo punt de pliţie pote să se găsesă oiunde pe dept supot vetoului, făă efetul eni sup opului să se shibe. Vetoii luneătoi sunt foţele e ţioneză sup unui igid, vetoii viteză unghiulă. - vetoii libei sunt vetoii l ăo punt de pliţie nu este supus nii unei estiţii, dei pote fi onsidet oie punt l spţiului. Un eeplu este uplul de foţe, deoee puntul său de pliţie pote fi lut oiunde în spţiu i ăie, dieţi şi sensul ăân neshibte. Eglitte vetoilo: Definiţie. Doi vetoi sunt egli dă u elşi odul, dieţie şi sens, ei putând fi şezţi pe eeşi deptă su pe depte plele. Eglitte se epiă pin senul lgebi. Spe eeplu: b su b su { } { b}. Vetoii egli situţi pe depte plele se nues vetoi ehipolenţi i opeţi pin e un veto este utt pint-o tnslţie pe o deptă plelă u supotul vetoului se nueşte opeţie de ehipolenţă. Dă doi vetoi u elşi odul, eeşi dieţie şi sensui difeite, ei se nues de sens ont su opuşi i est luu se epiă pin elţi: b. Doi vetoi e nu u elşi odul d u eeşi dieţie se nues vetoi olinei, indifeent de sens. 95

404 Culegee de poblee Vesoul unui veto: Dă se dă un veto oee, onstui un lt veto u de eeşi dieţie şi sens u, ăui ăie să fie eglă u unitte: u. Vetoul u se nueşte vetoul unitte su vesoul vetoului. Dă s- făut estă legee, oie veto oline u se pote epi u jutoul lui b λu. Aă: Dă pe o deptă oee les un sens pozitiv, o oigine şi o unitte de lungie spune ă definit o ă. Vetoul ei este vetoul unitte situt pe e, l ăui sens oinide u sensul pozitiv l ei... Opeţii u vetoi... Adune vetoilo... Su doi vetoi. Se onsideă doi vetoi şi b în spţiu. Se tnspotă pint-o ehipolenţă vetoii înt-un punt O oee l spţiului şi se onstuieşte plelogul fot u eşti doi vetoi. Digonl estui plelog se nueşte su vetoilo şi b. Vetoii şi b se nues oponente le lui i vetoul 96 Fig... Adune doi vetoi se nueşte veto ezultnt (su ezultnt) l vetoilo dţi. Opeţi geoetiă pin e se onstuieşte vetoul suă potă nuele de egul plelogului. egul de dune e bză epeientlă şi este onsidetă o ioă în zul în e vetoii sunt foţe. Din punt b

405 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ de vedee geoeti vetoul se pote obţine şi punând l eteitte vetoului, vetoul b, vetoul ezultând tei ltuă tiunghiului stfel fot. Dă se onsideă egul de dune ăttă se onsttă iedit ă se pote sie: b b diă dune doi vetoi este o opeţie outtivă.... Su i ulto vetoi Opeţi de suă se pote geneliz în od ntul în zul în e ve de fe u i ulţi vetoi. Să onsideă vetoii,, K n. Cu vetoii,, onstui vetoul suă s, tnspotându-l pe l eteitte lui, poi onstui vetoul suă s, s tnspotându-l pe l eteitte lui s (fig.a.). Pin induţie tetiă se pote obţine vetoul s n fiind su: n K n. s În onseinţă ezultă ă vetoul suă se obţine onstuind poligonul stâb lătuit din vetoii,, K n, segentul oientt u oigine, Fig... Su i ulto vetoi în oigine lui şi eteitte în eteitte lui n fiind vetoul 97

406 Culegee de poblee ezultnt ontuului poligonl. s s K n n. Poedeul se nueşte egul Pentu n vetoi să ibă suă nulă v tebui dei poligonul onstuit u eşti să fie înhis. În ptiul, în zul tei vetoi ondiţi eşti să ibă suă nulă este, punând fiee veto u oigine în eteitte elui peedent, să se foeze un tiunghi. Deoee tiunghiul este o figuă plnă, tebuie ei tei vetoi să fie oplni. În zul suei doi vetoi b, întuât ei tei vetoi foeză un tiunghi, se pote sie ineglitte tiunghiului sub fo unosută: b (.) În zul unui ontu poligonl stâb genet de n vetoi şezţi unul l eteitte eluillt, ineglitte pote fi geneliztă sub fo: s K K n n (.) Ave eglitte nui dă vetoii sunt olinei şi u elşi sens.... Popietăţile suei vetoile Su vetoilo e uătoele popietăţi: Adune vetoilo este outtivă. Aest luu fost ătt tuni ând fost definită su. ezultă ă odine în e se fe însue i ulto vetoi este indifeentă, diă ve: b b b b b (.) Adune vetoilo este soitivă. Dă se epezintă gfi, se onsttă iedit ă ve: 98

407 ( b) ( b ) (.) Su vetoilă este distibutivă fţă de înulţie u un sl. Se vo onside vetoii, b,, d, su lo s b d (fig..6) şi su vetoilo s' b d. Su s se obţine onstuind lini poligonlă OABCD u vetoii dţi, su fiindod. Se onstuies vetoii: OA' OA, OB' OB b OC' OC, OD' OD d CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Poligonele OABCD şi O A B C D sunt seene vând ltuile plele şi potul ltuilo oologe elşi, dei şi OD' OD ( b d ). D: OD' OA' A' B' B' C' C' D' b d Fig..5. Asoitivitte dunăii Copând ele două epesii pentu OD ' ezultă: ( b d) b d Fig..6 (.5) ţionentul ăâne vlbil şi dă poligonul din fig..6 este stâb. 99

408 Culegee de poblee... Desopunee unui veto ) Desopunee după două dieţii e deteină un pln plel u vetoul. Să onsideă două depte ( ) şi ( ). Fie O oigine vetoului i A eteitte lui. Mută pin plelis ele două depte în puntul O. În est z, în ipotezele din enunţ, ele două depte şi vetoul dt se vo găsi în elşi pln (fig..7). ezultă ă poble se v edue în est z l ee de găsi doi vetoi u oigine în O, de- lungul deptei ( ) şi de- lungul deptei ( ) stfel înât su lo să fie vetoul dt. Ţinând se ă egul de dune doi vetoi este dtă de egul plelogului, v tebui să onstui un plelog, u ltuile pe deptele ( ) şi ( ), şi e să ibă digonl hi vetoul. Pentu est pin puntul A e epezintă eteitte vetoului se vo due plele l ele două depte ( ) şi ( ). Se obţine plelogul OA AA le ăui ltui OA şi OA epezintă toi vetoii ăutţi şi. Dă ele două depte ( ) şi ( ) sunt pependiule tuni şi epezintă poieţiile otogonlele le lui pe ele două depte (după ele două dieţii). Fig..7 Desopunee unui veto după i ult de două dieţii e se găses în elşi pln este nedeteintă (diă eistă o infinitte de desopunei le unui veto după tei dieţii în pln). Aest luu se

409 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ pote deonst fote siplu dă se i pe un din dieţii o oponentă bită şi dă se desopune vetoul dt din e se sde oponent bită după elellte două dieţii. b) Desopunee unui veto după tei dieţii neplele în spţiu Se noteză u O, Oy şi Oz ele tei dieţii onuente după e doi să desopune vetoul u oigine în O. Dă ele tei dieţii sunt oee în soţiu, le pute ut, pint-un plelis, în O. Pentu fe desopunee se poedeză în odul uăto: Deptele OA şi OA deteină un pln ăui inteseţie u plnul Oy este dept Ot. Se pote desopune u vetoul după dieţiile Oz şi Ot stfel înât: OA OB OB. Mi depte, vetoul OB e se găseşte în plnul Oy pote fi desopus după dieţiile O şi Oy stfel înât: OB OA OA. ezultă tuni ă vetoul pote fi desopus în od uni după ele tei dieţii dte stfel înât: OA OA OA Dă ele tei dieţii sunt ele de oodonte le tiedu otogonl ele tei poieţii se nues poieţiile otogonle le vetoului pe ele tei e. Fig..8. Desopunee unui veto după tei dieţii

410 Culegee de poblee Dă oponentele,, sunt onsidete ltuile unui plelipiped tuni vetoul dt este digonl estui plelipiped. Desopunee unui veto după i ult de tei dieţii e nu se găses în elşi pln este nedeteintă. ) epezente lgebiă vetoilo În ele e ueză vo fi pezentte noţiunile de lul vetoil tât în epezente geoetiă ât şi în e lgebiă întuât pliţiile pot fi bodte i siplu uneoi în epezente geoetiă i lteoi în e lgebiă. Astfel, dă se vo onside tei vesoi i, j, u eeşi oigine, pependiuli doi âte doi, e indiă dieţi şi sensul elo O,Oy, Oz, eşti vo fo un siste de oodonte otogonl. (fig..9). Dă se onsideă un veto oee, est pote fi desopus după ei tei vesoi, putându-se sie: i j (.6) y z Fig..9. Coponentele unui veto în pot u un siste de oodonte otogonl dept Măiile,, potă nuele de oponentele vetoului în y z pot u sisteul de oodonte otogonl Oyz. Menţionă ă se pote onside şi un siste de oodonte e să nu fie otogonl pentu fe desopunee vetoului dt d, în ele e ueză,

411 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ deoee în pliţii este utilizt pope elusiv sisteul otogonl, efeie se v fe l est, dă nu se speifiă ltev. În est z vetoul dt se pote sie şi sub fo ),, ( z y su: { } z y (.7) pin indie oponentelo sle. În est z su doi vetoi pote fi definită în felul uăto: dă b unde ),, ( z y şi ),, ( z y b b b b tuni vetoul v fi vetoul e e oponentele:. ; ; z z z y y y b b b În siee tielă: { } { } { } z z y y z y z y z y b b b b b b b (.8) Cu estă definiţie suei doi vetoi, e se v edue l i ulte sue de nuee ele, tote popietăţile suei ătte nteio se deonsteză uşo Sădee doi vetoi Definiţie. A săde vetoul b din vetoul însenă găsi vetoul e dunt l b să de : b. Sădee vetoilo se noteză u senul - : b (.9). Geoeti, opeţi de sădee pote fi eeuttă în două odui:

412 Culegee de poblee - pentu plelogul u digonl şi o ltuă b l e se unoşte unghiul dinte şi b v tebui să onstui ltu plelogului, onstuţie e se obţine iedit, unind eteităţile vetoilo b şi şi poi duând pin vâful lui o plelă l b şi pin eteitte lui o plelă l. Dieţi lui se obţine din ondiţi b însut u să de. Se pote sie: BA OA OB, (elţi lui Chsles), diă vetoul difeenţă e oigine eteitte vetoului săzăto şi eteitte, eteitte vetoului desăzut. - se pote sie b ( b) diă se dună u vetoul ( b ), (fig..). Algebi, sădee se pote sie: b b y yby y by (.) z z bz z bz { } { } { b} diă oponentele difeenţei sunt egle u difeenţ oponentelo elo doi vetoi. Fig... Sădee doi vetoi...6. Popietăţi le eglităţilo vetoile în e p sue şi difeenţe

413 Dă este dtă eglitte CINEMATICĂ şi DINAMICĂ b, se pote dun un veto în bele păţi şi se obţine tot o eglitte vetoilă. Fiind dtă eglitte b, se pot săde în bele păţi le ei elşi veto şi se obţine tot o eglitte. Din ele două popietăţi ezultă ă înt-o eglitte vetoilă se pot tee unii teeni dint-o pte eglităţii în elltă, u sen shibt, în oie eglitte lgebiă. Dă ve eglităţile vetoile b şi b, este pot fi dunte su săzute teen u teen şi se obţin tot eglităţi vetoile Desopunee unui veto după doi vetoi oplni u el A desopune un veto unosut după doi vetoi b şi evine l desopune vetoul după dieţiile definite de vetoii b şi putându-se sie: OA OA OA. Aeste oponente pot fi epite funţie de vetoii b şi (fig..) după elţii de fo: OA b ; OA n întuât oponentele sunt vetoi olinei u Fig... Desopunee vetoii b şi. ezultă: unui veto după doi vetoi b n (.) 5

414 Culegee de poblee ezultă ă oie veto se pote desopune după doi vetoi oplni u el. Dă ei doi vetoi nu sunt olinei, desopunee este uniă. Dă vetoii sunt olinei desopunee este nedeteintă. elţi sisă se pote due l o foă oogenă dă se i: β γ ; n. În est z elţi (. ) pote fi sisă sub fo: βb γ (.) e epezintă ondiţi tei vetoi să se găsesă în elşi pln. elţiile sise tă ă, dă sunt dţi tei vetoi oplni, oie din ei pote fi epit o obinţie lineă elollţi doi. Algebi, elţi (. ) se pote sie: y y βb βb βb y y γ γ γ y y (.) Confo teoiei sisteelo linee oogene, eistă, β, γ nenuli e veifiă sisteul, dă şi nui dă deteinntul sisteului se nuleză: y z b b b y z y z (.) e epezintă ondiţi tei vetoi să se găsesă în elşi pln (O olonă deteinntului este o obinţie lineă de elellte două). Teoeă. Desopunee unui veto dt după lţi doi vetoi, oplni u el, este uniă. 6

415 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Dă se pesupune ă eist două desopunei ve: b n şi ' b n' u ' ; n n'. Dă se sd este două elţii se obţine: ( ' ) b ( n n' ) u ( n n' ) ( ' ) su: b ( n n' ) ( ' ) λ λ, diă b şi sunt olinei, ee e ontzie ipotez. Se pote ăt fote uşo ă şi zuile ' ; n n' şi ' ; n n' ontzi ipotez, de unde ăâne do: ' ; n n' diă desopunee este uniă. Teoeă. Condiţi neesă şi sufiientă pentu tei vetoi să fie oplni este înte ei să eiste elţi (.) su (.). Dă se onsideă vetoii, b şi oplni tuni se pote desopune după eillţi doi vetoi şi se pote sie: (ondiţi este neesă). b n eipo, elţi sisă nteio tă ă este su doi vetoi olinei u b, espetiv, diă este un veto opln u eşti (ondiţi este sufiientă) Înulţie unui veto u un sl Să onsideă un veto şi slul λ. Pin definiţie podusul dinte un veto şi un sl λ este un veto b, oline u, e elşi sens u dă λ este pozitiv şi sens ont dă λ este negtiv şi e odulul egl u λ. Se sie: 7

416 Culegee de poblee b λ (.5)...9. Vetoi oplni line independenţi şi line dependenţi Deoee înte doi vetoi neolinei şi b nu pote eist o elţie lineă (dă λb su βb vetoii fi olinei, ont ipotezei), se spune ă doi vetoi neolinei sunt line independenţi. Să onsideă u tei vetoi e se găses în elşi pln. Deoee înte ei eistă elţi (.) su (.) ezultă ă înte ei eistă o dependenţă lineă. Din est otiv ei se nues line dependenţi. Dă se onsideă doi vetoi neolinei, b şi, oie veto opln u ei se pote epi sub fo (.) su (.). Dei u jutoul esto doi vetoi se pote epi oie lt veto opln u ei. Aeşti vetoi se nues vetoi fundentli.... Desopunee unui veto după tei vetoi neoplni Se onsideă dt un veto şi ne popune să-l sie su tei vetoi olinei espetiv u vetoii b,, d, e nu sunt oplni. Pentu est se du ei tei vetoi, pint-o ehipolenţă, înt-un punt O l spţiului, e este eteitte vetoului. Se desopune după dieţiile OB, OC, OD şi se obţin oponentele OA, OA, OA, dei: OA OA OA. 8

417 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Întuât OA, OA, OA, sunt olinei espetv u b,, d, se pote sie: OA b, OA n, OA pd. Atuni ezultă: b n pd (.6) Dă se fe notţi: β /, nγ /, p δ / se obţine: β b γ δ d (.7) Teoeă. Desopunee unui veto după tei vetoi neoplni este uniă. Se pesupune ă eistă două desopunei distinte: b n pd şi ' b n' p' d. Pin sădee ezultă: ' b n n' p p' (.8) Dă ( ) ( ) ( )d Fig... Desopunee unui vetoi după tei vetoi ', n n', p p' ezultă, onfo elţiei peedente, ă ei tei vetoi b,, d sunt oplni, ee e ontzie ipotez. Dă ', n n', p p', onfo el. (.7) v ezult: n n' p p' ( ) ( )d 9

418 Culegee de poblee diă şi d sunt olinei, ee e de seene este ont ipotezei. Czuile în e nui n n' su nui p p' se tteză nlog şi du l viole ipotezelo. ezultă ă ăâne do zul în e ', n n', p p' diă desopunee este uniă.... Vetoi neoplni line independenţi şi line dependenţi Dă ve tei vetoi neoplni b,, d înte ei nu pote eist o elţie lineă de fo: β b γ δ d ăi estă elţie teizeză tei vetoi oplni. Se spune ă ei tei vetoi neoplni sunt linei independendenţi. Dă ve un nsblu de ptu vetoi, înte ei v eist elţi (.5) su (.6) e tă ă unul dinte ei este o obinţie lineă elollţi tei. Din est otiv ei se nues line dependenţi. Dă se lege un gup de tei vetoi neoplni (linei independenţi), u jutoul lo se pote epi oie lt veto din spţiul u tei diensiuni. De ee eşti vetoi se nues vetoi fundentli.... Condiţiile în e tei vetoi u eteităţile în linie deptă su ptu vetoi u eteităţile în elşi pln Dă, făă deonstţie, două teoee e defines ondiţiile în e tei vetoi u eteităţile în linie deptă su ptu vetoi u eteităţile în elşi pln.

419 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Teoe I. Condiţi neesă şi sufiientă pentu eteitte vetoului OC să se găsesă pe dept AB este în elţi de dependenţă d nb p să ve n p. Teoe II. Condiţi neesă şi sufiientă pentu eteitte vetoului OD d să se găsesă în plnul ABC este în elţi de dependenţă nb să ve n.... Podusul sl doi vetoi... Definiţie şi popietăţi Se onsideă doi vetoi şi b şi se defineşte o opeţie înte ei doi vetoi u ezultt în ulţie nueelo ele stfel: Definiţie. Se nueşte podus sl doi vetoi şi b nuăul e ezultă din podusul odulelo elo doi vetoi, înulţit u osinusul unghiului dinte ei. Podusul sl se noteză u un punt: b bos(, b ). Podusul sl e uătoele popietăţi: Podusul sl este nul dă: ) unul din vetoi este nul su b) dă ei doi vetoi sunt pependiuli. Deonstţi piei popietăţi este iedită. Pentu deonstţi elei de- dou, dă se onsideă foul în e pe osinusul unghiului dinte ei doi vetoi, deoee vetoii sunt pependiuli, est osinus este zeo şi dei şi ezulttul este zeo;

420 Culegee de poblee Păttul unui veto în pot u opeţi podus sl este egl u odulul păttului. Dă se pliă foul şi se ţine se ă unghiul dinte ei doi ftoi i podusului este, în est z, zeo, ezultă iedit: os ( ) (.9) Podusul sl este outtiv. Deonstţi deuge iedit din foul de definiţie podusului sl. Podusul sl este distibutiv l înulţie unui veto u un sl. Deonstţi deuge siplu dă se ţine se ă şi λ sunt olinei şi de seene b şi dei: λ b sunt olinei, os(, b) os( λ, b ) os(, λb ) Atuni, din foulele de definiţie, ezultă siplu: λ ( b) ( λ b) ( λb) (.) Podusul sl doi vetoi este egl u odulul unui dinte ei, înulţit u poieţi eluillt pe dieţi piului veto. Popiette ezultă dă se uăeşte fig... Ave: b b (, b) [ bos(, b) ] p b deoee: p b b os(, b) b os (.). În od nlog: b p (.) b Dă, făă deonstţie, uătoul ezultt: podusul sl este distibutiv fţă de dune vetoilo. Ave: Fig... Poieţi unui veto pe un l doile ( b ) b (.)

421 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Dă se ţine se de popiette peedentă, se pote sie iedit: ( b ) ( d ) b d b d diă egul de înulţie două polinoe se păsteză. Se pote sote, de seene, fto oun. Podusul sl doi vetoi nu se shibă dă unui dinte vetoi i se dugă un veto pependiul pe elăllt. Să onsideă doi vetoi şi b şi un l teile veto u pependiul pe. Ave dei: u. Atuni: ( b u ) b u b ee e deonsteză popiette. În ontinue să onsideă un tiedu otogonl Oyz e e vesoii elo i, j,. Eistă elţiile, deosebit de ipotnte în epezente lgebiă vetoilo: π i j j i os, j j, i i ( ) ( j) ( ) os i (.)... epezentăi lgebie Dă se onsideă epezente (.6) vetoilo şi b tuni se pote sie:

422 Culegee de poblee ( ) z z y y z z y z z z y y y y z y z y z y b b b b j b i b j b j b i j b i b j i b i b b j b i b j i b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( (.5) diă podusul sl este dt de su poduselo oponentelo elo doi vetoi. În siee tielă ve: { } { } [ ] z z y y z y z y T b b b b b b b b. Condiţi doi vetoi să fie pependiuli se v sie, dă se doptă estă epezente: z z y y b b b (.6) Măie unui veto se obţine, dă se onsideă înulţie unui veto u el însuşi, din elţi: ( ) z y (.7) de unde: z y (.8) În siee tielă: { } { } z y T Unghiul dinte doi vetoi se obţine din elţi: ), os( z y z y z z y y b b b b b b b b b (.9) Vesoul unei dieţii. Se onsideă o deptă ) ( e fe u ele tei e le unui siste de oodonte otogonl unghiuile β, şi γ şi să

423 onsideă un veto CINEMATICĂ şi DINAMICĂ u oientt de- lungul estei depte. Coponetele lui după ele tei e vo fi egle u poieţiile lui pe ele tei e, espetiv: u u os, u y u osβ, u z u osγ Să onsideă u vesoul deptei dte, fie u o. Aest veso se obţine îpăţind vetoul u l ăie lui, dei: u u o i os j osβ osγ (.) u În siee tielă ve: os u o osβ (.) osγ { } Deoee u o este veso, ezultă iedit: os os β os γ (.).... Podusul vetoil doi vetoi... Definiţie şi popietăţi Se onsideă doi vetoi şi b şi se defineşte o opeţie înte ei doi vetoi u ezultt în ulţie vetoilo, nuită podus vetoil. Definiţie. Fiind dţi vetoii OA, b OB se defineşte opeţi, nuită podus vetoil l elo doi vetoi, e le soiză un veto OC deteint în felul uăto: ) este pependiul pe plnul deteint de vetoii dţi (est luu îi deteină dieţi); 5

424 Culegee de poblee b) pe nol l pln se lege un sens stfel un obsevto, e st u pul în est sens, să vdă otţi de l OA l OB în sens tigonoeti diet (inves elo de esoni). Metod de deteine sensului se i nueşte şi egul bughiului dept: dă se onsideă un bughiu u elie deptă, şi se oteşte est stfel înât Fig... Definie podusului vetoil să due OA peste OB pe duul el i sut, sensul este deteint de sensul işăii de tnslţie bughiului. ) ăie vetoului este eglă u i plelogului onstuit pe vetoii OA şi OB. ezultă dei bsin(, b) i( OAB). Podusul vetoil se noteză u senul : b. În ontinue sunt enuete âtev din popietăţile podusului vetoil. Podusul vetoil este nul dă unul dinte ei doi vetoi este nul su dă ei doi vetoi u eeşi dieţie. Înt-devă, dă în epesi odulului podusului vetoil se onsideă ă unghiul dinte ei doi vetoi este zeo, tuni sinusul estui unghi este zeo, dei şi odulul podusului vetoil este zeo. În ptiul podusul vetoil l unui veto u el însuşi este zeo. Plelisul doi vetoi. Doi vetoi vo fi pleli dă podusul lo vetoil este egl u zeo. Aest luu este evident dă se v ţine se ă unghiul dinte ei doi vetoi pleli este 6

425 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ zeo, dei şi sinusul estui unghi, e pe în foul odulului podusului vetoil, este zeo. Aestă popiette peite teste situţiilo în e doi vetoi sunt pleli. Podusul vetoil nu este outtiv. Să onsideă podusele b şi b. Vetoul ezultnt în ele două zui e eeşi dieţie, fiind oientt după o deptă pependiulă pe ei doi vetoi d sensuile vo fi difeite. Dă due pe peste b pe duul el i sut obţine un sens i dă îl due pe b peste pe duul el i sut obţine un sens ont. Întuât odulii elo doi vetoi sunt egli ezultă ă se pote sie: b b su b b (.). Podusul vetoil este distibutiv fţă de înulţie u un sl. Deonstţi deuge siplu dă se ţine se ă şi olinei şi de seene b şi λ sunt λ b sunt olinei. În est z unghiul dinte şi b şi unghiul dinte λ şi b su şi λb este elşi dei şi sinusul estui unghi v fi elşi în tote ele tei zui. ezultă: ( b) ( λ) b ( λb) λ (.). Podusul vetoil dinte doi vetoi ăâne neshibt tuni ând vâful unui veto se işă pe o deptă plelă l elăllt veto (fig..5). Să onsideă plelogul OABM genet de vetoii şi b şi plelogul OA p B p M p genet de vetoii şi b p. Vetoul b p s- obţinut utând vâful lui b după o deptă plelă u. Cele două pleoge u eeşi ie întuât u eeşi bză, şi eeşi înălţie. ezultă ă odulul podusului 7

426 Culegee de poblee vetoil în ele două zui este elşi. Întuât dieţi şi sensul nu se odifiă pin deplse vâfului lui b după o deptă plelă u ezultă ă vetoul podus vetoil este elşi în ele două zui, dei nu se odifiă l deplse vâfului unui din vetoi după o deptă plelă u elăllt. Podusul vetoil este distibutiv fţă de dune vetoilă. Deoee deonstţi, făă fi difiilă, este i lungă, nu o dă. Se v pute dei sie: ( b ) b (.5). Folosind popiette peedentă se pote sie podusul vetoil două sue de vetoi. Ave: ( b) ( d) d b b d. Fig..5. Invinţ podusul vetoil l deplse eteităţii unui veto după o deptă egul de înulţie ăâne eeşi l polinoe u deosebie ă odine ftoilo în podus nu este bită i în fiee teen l dezvoltăii piul fto tebuie să pţină piei pnteze i l doile fto tebuie să pţină elei de- dou pnteze. Podusul vetoil nu se shibă dă l unul din vetoi dună un lt veto plel u l doile veto l podusului. Înt-devă dune l unul din vetoi unui lt veto plel u elăllt due l obţinee unui veto ăei eteitte se găseşte pe plel l piul veto ezultă tuni onfo unei popietăţi 8

427 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ 9 nteioe (dă plibă vâful unui veto pe o deptă plelă u elăllt) ă podusul vetoil nu se shibă. Dă se onsideă un tiedu otogonl u vesoii j i,,, dă se ţine se de unghiuile dinte ele de oodonte şi de dieţi şi sensul vetoilo ezultnţi, se pote sie: j j i i şi: j i i j j i,, (.6) Un tiedu otogonl pentu e sunt vlbile elţiile de i sus potă nuele de tiedu otogonl dept. Dă pe e de- tei ă sensul este definit de elţi j i spune ă ve un tiedu otogonl stâng. În genel, în ontinue se vo utiliz tiede otogonle depte dă nu se speifiă ltev.... epezentăi lgebie Să onsideă u doi vetoi şi b definiţi pin oponentele lo: b j b i b b j i z y z y, Ţinând se de egulile de înulţie vesoilo elo, se pote sie: ( ) ( ) b j b i b j i b z y z y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b j b i b j b j j b ji b i b j i b i i b z z y z z z y y y y z y ( ) ( ) ( ) b b j b b i b b y y z z y z z y dei oponentele vetoului vo fi dte de epesiile: y y z z z y y z z y b b b b b b ; ; (.7) Siboli, podusul vetoil pote fi epezentt pin deteinntul:

428 Culegee de poblee z y z y b b b j i b. Mtiel, pentu epezente unui podus vetoil, se intodue tie ntisietiă soită vetoului : ] [ y z y z şi tuni podusul vetoil este epezentt de podusul tiel: { } y y z z y z z y z y y z y z b b b b b b b b b b ] [ (.8)... Podusul it tei vetoi... Definiţi podusului it şi popietăţi Se onsideă tei vetoi,b şi. Podusul it l esto tei vetoi este un sl d, definit de obinţi: ( ) b d (.9) Podusul it e o senifiţie geoetiă inteesntă. Să onsideă ei tei vetoi,b şi. Ei vo fo un plelipiped OBDCA B D C.Modulul podusului vetoil ) ( b, ş u s- ătt nteio, epezintă i plelogului OBDC, i vetoul podus vetoil este vetoul OM, pependiul pe plnul deteint de vetoii b şi. Să due u pependiul din A pe OM. A A este pependiulă pe OM şi v ezult ă OA este înălţie

429 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ plelipipedului. Atuni podusul sl dinte OM şi v ve o vloe eglă u podusul dinte OM şi poieţi lui pe OM diă OA diă o vloe eglă u podusul dinte i plelogului bzei şi înălţie plelipipedului, dei v fi egl u voluul plelipipedului. Podusul it pote fi pozitiv su negtiv în funţie de oiente tiedului fot u ei tei vetoi dţi. Dă oiente estui tiedu este pozitivă podusul it este pozitiv şi dă oiente este negtivă, podusul it este negtiv. ezultă: podusul it tei vetoi epezintă, în vloe bsolută, voluul plelipipedului onstuit pe eşti vetoi onsideţi dept uhii. Popietăţi le podusului it: Podusul it tei vetoi ăâne nehibt dă se peută iul ftoii săi, diă ve: ( b ) b ( ) ( b ) (.) ezulttul se pote deonst uşo dă se ţine seă ă ele tei poduse epezintă voluul plelipipedului onstuit u ei tei vetoi uhii, i senul este elşi în ele tei zui întuât oiente tiedelo se enţine. Podusul it nu se shibă dă se peută înte ele senele şi, diă: Fig..6. Podusul it tei vetoi ( b ) ( b ) (.)

430 Culegee de poblee ezulttul se deonsteză siplu, dă se ţine se ă podusul sl este outtiv şi dă se foloseşte popiette enţiontă nteio pin e se spune ă podusul it nu se shibă dă se peută iul înte ei ftoii. Deoee vloe podusului it depinde nui de ei tei vetoi şi de oiente tiedului definit de ei, indifeent de senul e se pune înte ei su, s- onvenit să se noteze podusul it şi sub fo: ( b ) ( b ) ( b ) [ b ] (.) Dă se shibă înte ei doi ftoi i podusului it, est îşi shibă senul: ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) (.) Podusul it este nul dă unul dinte ftoi este nul su dă ei tei vetoi sunt oplni. Piul z este evident. Pentu l doile z se v obsev ă dă ei tei sunt oplni, plelipipedul onstuit u ei e voluul nul, dei şi podusul it este nul. Un z ptiul,des întâlnit în ptiă este ând doi vetoi i podusului sunt olinei, dei ei tei vetoi sunt oplni. Dei, dă oie doi vetoi i podusului it sunt olinei, podusul it este nul.... epezentăi lgebie Dă se onsideă vetoii i j, b b i b j b şi y z y z i j şi se efetueză lulele se obţine pentu epesi y z podusului it:

431 y z y z z y z y CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( b) b b b b b b (.) Aestă epesie este toi deteinntul tiei vând dept linii oponentele vetoilo,b şi dei se pote sie: y y y z ( b) b b b (.5) z z Dă sie podusul it sub estă foă tote popietăţile enunţte nteio se deonsteză iedit dă se ţine se de popietăţile deteinnţilo. y z z y..5. Dublul podus vetoil tei vetoi Dă se onsideă vetoii,b şi, dublul podus vetoil l esto tei vetoi este vetoul d : d ( b ) (.6) În ele e ueză dă, făă deonstţie (e nu pune poblee d este i lboiosă), piniplul ezultt efeito l dublul podus vetoil. Astfel, dublul podus vetoil d pote fi desopus după dieţiile vetoilo b şi sub fo: ( ) b ( b) d ( b ) (.7) Dublul podus vetoil este nul dă unul dinte ftoi este nul, dă vetoii b şi sunt olinei su dă vetoul este pependiul pe plnul deteint de vetoii b şi. Deonstţi este iedită.

432 Culegee de poblee..6. Apliţii le lulului vetoil..6.. Vetoul de poziţie l unui punt Să onsideă un punt M în spţiu şi să lege un punt fi O fiind oigine spţiului. Să onstui vetoul OM. Poziţi puntului M este oplet deteintă de vetoul stfel onstuit. Vetoul OM se nueşte vetoul de poziţie l puntului M. Poziţi puntului M este deteintă dei dă se unoşte dieţi ei OM, ăie segentului OM şi oiente estui pe dept onsidetă. În pliţii, pentu deteine vetoilo se pot utiliz difeite sistee de oodonte (teziene, ilindie, pole, sfeie, ntule, et) în e vetoii sunt definiţi pin oponente sle. Aeste oponente defines în od univo vetoul de poziţie, dei şi poziţi puntului M Deteine deptei supot unei foţe Să onsideă unosute foţ F şi oentul ei fţă de un punt M O (fig..7), (ve F M O ). Ne popune să deteină supotul foţei. Pentu est, din euţi vetoilă F M, tebuie să deteină soluţi. Pe oponente, elţi se v sie: su: yz zy M zx Z M Y yx M O Oy Oz ; ; ; Fig..7. Supotul unei foţe O

433 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ X Y Z Z Y M X y M z M Se onsttă uşo ă deteinntul sisteului este zeo: X Y Z Z Y X O Oy Oz (.8) dei sisteul nu e o soluţie uniă. Dă onsideă piele două euţii euţii piniple, se obţine ă deteinntul teisti este egl u zeo: Z X Y Z M M M O Oy Oz Z( XM O 5 YM Oy ZM Oz ) Z ( M ) în vitute fptului ă oentul şi foţ sunt doi vetoi pependiuli. ezultă ă ve un siste nedeteint de două euţii u tei neunosute. Geoeti, ele două euţii epezintă plne ăo inteseţie ne v d o deptă, e este supotul foţei. O ltă etodă de deteine supotului foţei este e vetoilă. Astfel dă euţi vetoilă: F (.9) M O o înulţi vetoil, l stâng, u F se obţine: F F F M, ( ) O de unde ţinând se de egul de dezvolte dublului podus vetoil, ve: F F F ezultă: ( ) F M O. O

434 Culegee de poblee F M O ( F) F F F (.5) Întuât în bz onsideţiilo nteioe văzut ă nu tote oponentele vetoului sunt independente, se pote lege petu epesi: ( F ) λ F şi obţine: F M O λf (.5) F Euţi obţinută epezintă o deptă, e e dieţi foţei şi tee pin puntul de oodonte: F M O d (.5) Vetoul d F epezintă distnţ de l oigine l deptă (este pependiul pe foţă - povine dint-un podus vetoil - dei şi pe dept supot şi în plus ând λ v ezult ă eteitte lui pţine deptei). Dei supotul foţei e euţi: d λf (.5) su pe oponente: d y d z d z y λx ; λy; λz; (.5) Pin eliine petului λ dept se pote pune şi sub fo: d X y d Y y z d Z z (.55) 6

435 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.. Eeiţii. Dă sunt dţi vetoii,b şi să se deonsteze ă eistă elţi: ( b ) b ( ) ( b ). Dă ve ptu vetoi, b, şi d să se te ă ve elţi: ( b ) ( d ) b d b d. Dă se du, b, şi d să se te ă ve elţi: ( b ) ( d ) ( b d ) ( b ) d ( d) b ( db ). Fie vetoii,b şi neoplni. Să se te ă dă: ( b ) ( d ) ( b ) ( b ) tuni vetoii şi sunt pependiuli. 5. Să se te ă: ( b ) ( b ) ( b ) b 6. Să se te ă: [( b ) ( b )( ) ] ( b ) 7. Să se te ă ve desopunee: [( b ) ( ) ] ( b)[ ( ) b ( b ] ( b ) ) 8. Dă i, bi, i ( i,, ) sunt nuee ele să se te ă vetoii: 7

436 Culegee de poblee u u u ( b ( b ( b sunt oplni. ) i ( ) i ( ) i ( ) j ( ) j ( ) j ( b ) b ) b ) Indiţie: Dă se sie podusul it l elo tei vetoi sub foă de deteinnt se onsttă ă est este zeo, dei vetoii sunt olinei. 9. Dă se du vetoii,b şi neoplni, să se luleze podusul it l vetoilo: ( b ), ( b ),( ) şi să intepeteze geoeti ezulttul. ăspuns: P ( b ). Dă se du vetoii,b şi neoplni, să se luleze podusul it l vetoilo: ( b ), ( b ),( ) ăspuns: P.. Din dezvolte în două odui difeite podusului ( b )( u) să se deduă oponetele lui u după dieţiile vetoilo,b şi, pesupuşi neoplni. ăspuns: u [( b u) ( u) b ( b u ) ] ( b) 8

437 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ. Dă se du vetoii,b şi neoplni se onstuies u eşti vetoii uăto: u, v şi w în felul u ( b ), v b ( ), w ( b ). Să se te ă: ) u v v w w u ( b )( b ) b) P ( uvw) Fig..8.. Să se sie euţi deptei pentu uătoele zui: ) tee pin puntul M ) şi e dieţi dtă de vetoul ; o ( o b) tee pin puntele A ) şi B ); ( A ) tee pin oigine şi e dieţi dtă de vetoul. ( B ezolve: ) M fiind un punt oee pe dept ( ) ăuttă, ve (fig..8): M M o λ u λ. elţi pote fi sisă: su: o λ, λ o λ, λ Dă se onsideă vetoii (, y, z),, y, z ) şi,, ) 9 o ( o o o definiţi pin oodontele teziene, euţi deptei i fo: λ ; y y λ ; z z λ, o o y o z λ ( y z

438 Culegee de poblee su, dă se eliină petul λ : o y y y o z z Dă se înulţeşte elţi vetoilă deptei l dept u se obţine: Se noteză b o (b este un o veto pependiul pe dei z o Fig..9. b ). Atuni euţi vetoilă deptei se pote sie sub fo: b (u b ) b) Vetoul AB B A este oline u dept (fig..9), dei dă M este un punt oee de pe deptă, se pote sie: M M o λ AB, λ, su λ ) su înă: λ ( A ) o o B ( B A Dă se onsideă vetoii, y, z ),, y, z ) definiţi pin A ( A A A B ( B B B oodontele teziene, euţi deptei i fo: o λ( B A); y yo λ( yb ya); z zo λ( zb z A), λ su, dă se eliină λ : B o A y y y B o y A z z z B o z A Dă poni u de l elţi vetoilă pe e o înulţi vetoil l dept u su: B se obţine: B A A ( ) ( ) A B A A B

439 ( ) B A A B CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ) Se i l puntul peedent (puntul A oinide u oigine O) şi se obţine B În est z. B A indiă dieţi deptei dei λ şi tuni: B. Să se sie euţi unei depte plele u O sisteului de oodonte. ăspuns: i b u b jβ. 5. Să se sie ondiţi tei punte să fie olinee. ezolve: Fie puntele A, B şi C. Condiţi ele să fie olinee se sie sub fo: AC µ AB su: λ ). Dă se înulţeşte elţi l stâng vetoil u B C A A ( B A se obţine: ( ) ( ) su înt-o foă sietiă: A B B C C A B A C A 6. ) Să se sie euţi plnului π e tee pin puntele A ), B( ), C( ). Apliţie nueiă:,,5), (,,), (,,5 ); ( A B C A( B C b) Să se sie euţi plnului π e tee pin puntul A i nol e dieţi dtă de vetoul ;

440 Culegee de poblee ) Ce este ondiţi puntele ) ( ), ( ), ( ), ( D C B A D C B A să fie oplne. ezolve: ) Ave elţiile (fig..): ; B A AB A AM. Un veto pependiul pe pln v fi pependiul pe vetoii AM AC AB ; ;. Dă se noteză u n nol l pln AC AB n A C C B B A tuni tebuie să ve: n AM su: ( )( ) ( ) [ ] A C A B A După dezvoltăi se obţine: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] A C A B A A C A B su: ( ) [ ] C B A A C C B B A su: [ ] C B A n Apliţie nueiă: j i j i n [ ] C B A dei euţi plnului v fi: Fig..

441 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ ( ) 5 8 j i su: 5 8 z y. b) Dă n este vetoul nol l pln, el este pependiul pe oie veto din pln, diă: ( ) n A su n n A. În zul nostu A. ) Fie A C C B B A n un veto nol l plnul definit de A,B,C (vezi puntul ). Dă D se flă în pln, tebuie să ve: ( ) n A D su: [ ] C B A D n Ave: [ ] [ ] C B A A C C B B A D su: [ ] [ ] [ ] [ ] B A D A D C D C B C B A 7. Să se ezolve euţi vetoilă b. ezolve: Dă se peînulţeşte euţi u vetoul se obţine: ( ) b su, pin dezvolte dublului podus vetoil: ( ) b

442 Culegee de poblee de unde: b λ u ( ) λ. b 8. Să se te ă d dept b ( b ). b epezintă distnţ de l oigine l b ezolve: Euţi b e soluţi: λ. Dă λ vetoul : b d λ uneşte oigine u un punt de pe deptă şi este pependiul pe deptă, întuât d, dei epezintă vetoul ăui odul e distnţ de l oigine l deptă. 9. Să se deteine euţi plnului e tee pin oigine şi este pependiul pe vetoul. ezolve: În poble 5.b se i şi se obţine:. Dă se onsideă plnele de oodonte yoz, zo, Oy ele vo ve espetiv, euţiile: i ; j ;. A

443 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ. Să se sie fo vetoilă euţiei unui pln e inteseteză ele în puntele A (,,), B(,,), C(,, ). b ezolve: Euţi plnului pin tăietui este în est z: yb z Dă se onsideă vetoii sie: n. i yj z şi n i bj se pote. Să se sie euţi plnului e onţine dept b, ( b ) şi puntul o (fig..). ezolve: ezolvând euţi deptei se obţine: b λ Fig.. 5

444 Culegee de poblee Puntul D pentu e λ pţine plnului: b D Un veto nol l pln v fi dt de: b n ( D o ) D o b o Dă sie euţi plnului sub fo (vezi 5.b): n n o şi intodue n se obţine: ( b ) b ( ) o o. Să se sie euţi unui pln pependiul pe Oz şi tee pin puntul A. ezolve: A z A. Să se deteine puntul de inteseţie înte plnul şi dept b,( b ). Apliţie: (,, ), (,, ), b (,, ),. ezolve: Se peînulţeşte euţi deptei, vetoil, u. Se obţine: ( ) b Dă se dezvoltă dublul podus vetoil se obţine: de unde: ( ) ( ) b 6

445 b ( ) Pentu vloile dte se obţine: b i ; ( ) ; 5 i j I. CINEMATICĂ şi DINAMICĂ. Să se deteine puntele de inteseţie le deptei b, ( b ) u plnele de oodonte. Apliţie: (,, ); b(,,). ezolve: Pentu inteseţi u plnul yoz ( i ), se peînulţeşte euţi deptei u i. Se obţine: i i ( ) b Dă se dezvoltă dublul podus vetoil, se obţine: ( i) ( i) i b, b i ( i) i b Oy. i i i ( ) ( ) ( ) În od nlog se obţin elellte două inteseţii. Pentu vloi dte se obţine: i b j ; j b i ; b i i ; j ezultă: Oy zo j i. ;( ) ( ) ; ; yoz i ; ( ). 7

446 Culegee de poblee 5. Să se deteine dept de inteseţie plnelo: ; (fig..). ezolve: Dă se sie dept sub fo: b, ( b ), vetoul v pţine elo două plne. Dă şi sunt pependiule pe ele două plne, se pote sie:. ăâne de deteint b. Euţi deptei este, dă se unoşte : ( ) b. Dezvoltându-se dublul podus vetoil, ezultă: ( ) ( ) b. Dă se ţine se de elţiile de definiţie plnelo, se obţine: b ezultă euţi deptei de inteseţie: ( ) Fig.. 6. Să se deteine inteseţi plnelo,,. ezolve: În onfoitte u poble peedentă, dept de inteseţie pielo două plne este: ( ) e tebuie intesettă u plnul:. 8

447 CINEMATICĂ şi DINAMICĂ Se peînulţeşte vetoil euţi deptei u. Se obţine, după dezvolte dublului podus vetoil: ( ) ( )( [ ] ( ) ( ) ) de unde ezultă puntul de inteseţie: I ( ) ( ) ( ) [ ] 7. Să se deteine distnţ de l un punt B ) l plnul (fig..). ( B ezolve: Fie A piioul pependiulei din B pe pln. Ave: su: λ. B A Dă se înulţeşte estă elţie sl u se obţine: λ ( ) B A De ii: B A B λ. Măie distnţei este: B d AB λ. Fig.. AB λ 8 Să se deteine distnţ de l puntul A ) l dept (fig..). ( A b 9