CAPITOLUL 1 VECTORI ÎN PLAN ŞI SPAŢIU

Transcript

1 CPITOLUL VECTORI ÎN PLN ŞI SPŢIU In um pugeii estui pitol: veţi tuliz noţiune de veto lie, veţi dispune de o fundmente teoetiă noţiunii de veto lie pe z xiomtiii lui Hilet, veţi tuliz piniplele opeţii u vetoi liei, veţi înţelege menismul de plie lgeei vetoile în geometie, veţi ve un set de demonstţii vetoile uno ezultte impotnte de geometie plnă şi în spţiu CONSIDERŢII GENERLE În esenţă, geometi este studiul popietăţilo figuilo (mulţimilo de punte) din spţiu est nu este o disiplină mtemtiă înhisă (sufiientă sieşi) ş um nii mtemti în nsmlu nu este stfel, i s- ontut şi dezvoltt înt-un efot de modele lumii fizie şi există în vitute inteonexiunilo ei u lte disipline mtemtie peum şi pe z uno evenii l modelăi din e în e mi fidele le uno fenomene din lume înonjuătoe Un dinte ele mi impotnte noţiuni geometie ete în mod speil pentu model situţii din lume fiziă este e de veto lie Osevţii simple tă ă există măimi fizie e sunt omplet teizte de măsu lo (un numă el) De exemplu, tempetu unui op, lungime unei e, supfţ unei foi de tlă, ezistenţ unui onduto ş Pe de ltă pte, există măimi fizie pentu ăo teize ompletă sunt neese şi lte elemente stfel, pentu desie foţ u e loomotiv ţioneză sup unei gnitui de vgone, teuie să peizăm intensitte ei (un numă el), d şi dieţi şi sensul ei de ţiune semănăto teuie să poedăm pentu desiee vitezei şi eleţiei unui op în mişe şd, există măimi fizie e neesită şi lte tiute deât măsu lo şi nume dieţie şi sens semene măimi se numes măimi vetoile, i ele teizte omplet de un numă se numes măimi sle Modelul geometi potivit pentu măimile vetoile este dt de vetoii liei Idee de dieţie este modeltă de o fmilie (fsiol) de depte plele înte ele în sensul ă putem ept intuitiv ă două su mi multe opui mişându-se pe depte plele u eeşi dieţie de deplse Pe o deptă dtă un moil se pote depls în două sensui: de l stâng spe dept osevtoului su inves Este ntul să spunem ă două moile se mişă în elşi sens numi dă se deplseză pe eeşi deptă su pe depte plele, simultn de l stâng spe dept osevtoului su inves Număul soit unei măimi vetoile pote fi epezentt pin lungime unui segment Cele spuse până um sunt âtev dinte numeosele situţii ptie şi onsideţii teoetie e u ondus l noţiune de veto lie pent noţiune de veto lie nu ăspunde diet oietului geometiei, e ezultând dint-o ompunee de teistii le uno figui geometie simple: segment, deptă De e se studiză estă noţiune şi spetele onexe u e l geometie? Ită âtev gumente:

2 Vetoi în pln şi spţiu Noţiune de veto lie, model geometi pentu numeose spete le elităţii, este un instument impotnt de plie geometiei în ptiă, diet su pin intemediul lto diipline ştiinţifie Vetoii liei şi opeţiile u ei ofeă o le de expim unit şi elegnt noţiuni şi ezultte de geometie Studiul tnsfomăilo geometie şi geometi nlitiă enefiiză enom de folosie vetoilo Clulul u vetoi liei pote fi folosit în ezolve uno poleme de geometie, unele hi fote ezistente l o ode dietă Se voeşte uent de metod vetoilă metodă de ezolve polemelo de geometie Stutu lgeiă mulţimii vetoilo liei ofeă un model (stt) pentu noţiune, poil e mi impotntă mtemtiii ontempone, de spţiu lini (numit uneoi şi vetoil) peste un âmp oee Teminologi legtă de vetoi s- extins şi sup lto domenii le mtemtiii, ofeind ăi uşoe de înţelegee şi intepete uno ezultte fote stte tât pede ât şi învăţe noţiunii de veto lie idiă o seie de difiultăţi Ele se dtoeză, pe de o pte, fptului ă ingedientele neese în edifie noţiunii de veto sunt pinte noţiunile fundmentle în geometie Dă este sunt lăste pe sem intuiţiei elevilo, pofesoul teuie să se sigue ă ele există în poximtiv eeşi fomă în minte tutuo elevilo şi să le fixeze înt-o teminologie unită, folosită în mtemti-ştiinţă Dă se îneă expliite lo, se onsumă un timp lung u efiienţă edusă, pentu ă nu toţi elevii simt neesitte estei expliităi şi dtoită idităţii povote de stingenţ logiă pe e o pesupune o semene expliite Pe de ltă pte, după um vom vede în definiţi fomlă de mi jos, vetoul lie este o lsă de ehivlenţă în pot u o nume elţie de ehivlenţă în sens lgei Deşi poedeul de e noi oiete mtemtie pin "ftoize" este fote des utilizt în mtemtiă, el nu este pe esiil elevilo Cls de ehivlenţă este o mulţime fomtă din elemente e înt-un sens ine peizt sunt pe piio de eglitte Oie dinte ele pote epezent ls de ehivlenţă în totlitte, diă este un epezentnt l ei, şi oiând un epezentnt pote fi înlouit pin ltul Opeţiile de oie ntuă u este lse de ehivlenţă se edu l opeţii simile u elemente din ele (epezentnţi) şi totdeun teuie să lifiăm e se întâmplă l inteshime epezentnţilo Opeţi este oet definită dă nu depinde de epezentnţi Posiilitte de înloui oiând un element l unei lse de ehivlenţă u un ltul din eeşi lsă ofeă vntje semnifitive, d pote tomi estă inteshime epezentnţilo dă o nume nesigunţă elevilo e nu u înţeles esenţ definiii pin lse de ehivlenţă (ftoize) Cedem ă estă modlitte de definie meită în ontinue fi nliztă de psihologispeilişti în poleme de învăţe vând în vedee difiultăţile menţionte şi impotnţ studiului noţiunii de veto peiem ă sttegi optimă este de intodue noţiune de veto şi opeţiile u vetoi înt-o mnieă nefomlă, pin onsideţii geometie simple, pe z intuiţiei spijinită de o teminologie speifiă, mi întâi în pln şi poi în spţiu

3 3 Cpitolul NOŢIUNE DE VECTOR LIER Înepem pin minti o definiţie fomlă noţiunii de veto lie poi vom nliz difiultăţile idite de pede ei Pentu evit lungie estui text, intoduem de l îneput vetoii în spţiu Idee de studi întâi zul pln este impusă de neesităţi de simplitte Numim segment oientt o peehe odontă (, ) de punte din spţiu Vom not (, ) pin Dă şi vom spune ă este oigine, i este extemitte segmentului oientt =, tuni se v numi segment oientt nul Dept se numeşte dept supot segmentului oientt Spunem ă segmentele oientte şi CD u eeşi dieţie dă deptele lo supot u eeşi dieţie (dei sunt plele su oinid) Relţi " ve eeşi dieţie" este o elţie de ehivlenţă pe mulţime segmentelo oientte din spţiu Pe z xiomelo gupei l II- din xiomti lui Hilet, se intodue noţiune de oiente deptei şi se tă ă oie deptă e două şi numi două oientăi [4, p9] Un se numeşte pozitivă, elltă negtivă fix o oiente evine l peiz o semideptă [ O pe dept în disuţie Un segment oientt nenul pe o deptă oienttă este pozitiv (negtiv) oientt dă semidept [ este pozitiv (negtiv) oienttă Fie două segmentele oientte şi CD nenule de eeşi dieţie Dă deptele lo supot oinid, diă vem = = CD, fixând o oiente pe dept, vom spune ă şi CD u elşi sens su sunt l fel oientte d sunt mele pozitiv su negtiv oientte Dă şi CD se flă pe depte plele, vom spune ă u elşi sens dă extemităţile lo şi D se flă în elşi semipln detemint de dept oiginilo C Se tă (demonstţie plitiosă, u nliz numeose zui) ă elţi " ve elşi sens" este o elţie de ehivlenţă pe mulţime segmentelo oientte din spţiu eptăm ă tote segmentele oientte nule u eeşi dieţie şi elşi sens, ehivlent dieţi şi sensul unui segment oientt nu sunt deteminte Lungime unui segment oientt nenul este pin definiţie lungime segmentului () su distnţ de l l Segmentele oientte nule u lungime zeo Este evident ă elţi " ve eeşi lungime" este o elţie de ehivlenţă pe mulţime segmentelo oientte din spţiu Spunem ă două segmente nenule sunt ehipolente dă u eeşi dieţie, elşi sens şi eeşi lungime Convenim ă segmentele nule sunt ehipolente înte ele Se veifiă uşo ă elţi de ehipolenţă este o elţie de ehivlenţă pe mulţime segmentelo oientte din spţiu (e este în fond onjunţi logiă tei elţii de ehivlenţă) Clsele de ehivlenţă în pot u elţi de ehipolenţă se numes vetoi liei Cls de ehipolenţă segmentului oientt se noteză u şi se iteşte vetoul Uneoi, vetoii liei se noteză pin,,,, u, v, Vetoul se noteză pin O Eglitte u = e menie de pune în evidenţă un epezentnt l lsei de ehipolenţă u Evident ă CD dă şi numi dă este ehipolent u CD Dei putem sie O = = = Se ştie şi se demonsteză uşo ă oie două lse de ehivlenţă în pot u o elţie de ehivlenţă sunt disjunte su oinid Siee u = v itită "vetoul u este egl u vetoul v " e semnifiţi de eglitte de mulţimi Eglitte u = O spune ă u este, de fpt, vetoul nul

4 Vetoi în pln şi spţiu 4 Osevăm ă două segmente oientte şi DC le ăo depte supot sunt depte plele distinte, sunt ehipolente dă şi numi dă uten odontă de punte,, D, C fomeză vâfuile unui plelogm vem stfel o definiţie fote simplă ehipolenţei Totuşi e nu inlude zul segmentelo oientte olinie, e teui ttt sept Pentu evit est luu se pote folosi un tifiiu intodus în [3, p6]: este ehipolent u DC, dă există un segment oientt EF înât utenele odonte de punte,, F, E şi D, C, F, E să fie vâfuile două plelogme Se onsttă ă două segmente oientte nenule MN şi PQ sunt ehipolente dă şi numi dă segmentele MQ şi NP u elşi mijlo vem stfel o ltă definiţie simplă ehipolenţei, folosită în [7, p 73]: Segmentele oientte nenule şi DC sunt ehipolente dă segmentele C şi D u elşi mijlo Ultimele două definiţii le elţiei de ehipolenţă sunt fote simple şi folosie lo eonomiseşte mult timp, d numi definiţi dtă iniţil supinde fidel poesul de modele e dt ezultt noţiune de veto lie Celellte două sunt simpifiăi de ntuă logiă, utile în expunee suintă suietului, eventul pentu unosătoi, d de vloe didtiă edusă Ele p u totul tifiile şi hi dă înepem u un dinte ele, teuie să punem în evidenţă şi ehivlenţ u definiţi dtă iniţil ş um se şi poedeză în luăile itte Evident ă în pede noţiunii de veto lie teuie să folosim o vintă "didtiztă" definiţiei fomle dtă mi sus Suliniem ă oie stfel de didtize teuie să se menţină fote pope de esenţ definiţiei fomle, pentu evit înţelegee tunhită su hi flsă estei noţiuni, efet geu de oett în nii de studii univesite şi e pote fet plie estei noţiuni l înteg ei vlenţă L o nliză tentă definiţiei fomle vetoului lie onsttăm ă spetele difiile sunt dte de elţi " ve elşi sens" (definiţie omplită, demonstţie lungă, idă) şi de înţelegee te vetoului lie, o lsă de segmente ehipolente Relţi " ve elşi sens" pote fi lăstă pe sem intuiţiei elevilo spijinită eventul de unele desene în e să pă setui de segmente de elşi sens şi segmente de sensui difeite mintim ă în [6] estă elţie este teută pe sem tnslţiei, poedeu disutil pentu ă intuie tnslţiei pe mi difiilă deât intuie existenţei două sensui (oientăi) opuse pe o deptă Difiultte înţelegeii vetoului o lsă de segmente ehipolente pote fi sumonttă pint-o opeţie pelilă u elţii de ehivlenţă simple, pentu e, eventul, lsele să fie u numă finit de elemente su să potă fi desise omplet înt-un mod inteesnt De exemplu, pe mulţime numeelo întegi lsele de onguenţă modulo sunt fomte din numee întegi pe şi espetiv numeele întegi impe Continuăm u osevţi ă dt un veto u = şi O un punt oee din spţiu, există un punt X înât u = OX Pe estă le se pot pune în evidenţă oiâţi epezentnţi u oigine pesisă i unui veto Vom spune ă doi vetoi se numes olinii dă u eeşi dieţie Tei su mi mulţi vetoi se numes oplni dă dieţiile lo sunt plele u un pln fix Ehivlent, există un pln în e putem desen epezentnţi i lo est pln nu este uni El pote fi înlouit u oie ltul plel u el

5 5 Cpitolul 3 FUNDMENTRE XIOMTICĂ NOŢIUNII DE VECTOR LIER Noţiune de veto (lie) în spţiu îngloeză noţiuni segment, segment oientt, lungime unui segment, dieţie unei depte, deptă oienttă, segmente de elşi sens Tote este noţiuni pătă un onţinut lipsit de oie ehivo în oie un dinte xiomtizăile modene le geometiei eulidiene vem în vedee îndeosei xiomtize fomultă de D Hilet (899) şi xiomtize dtotă lui G ikoff (93) şi lăsăm deopte xiomti lui Eulid, păintele metodei xiomtie în geometie, pentu ă est nu se oupă expliit de oiente deptei, de odine pe deptă şi de xiome de ontinuitte Ne vom limit l geometi eulidină (geometi în e se eptă postultul lui Eulid) făă igno ă există şi lte geometii: hipeoliă, eliptiă, fină, onfomă, poietivă Sistemul xiomti l lui Hilet pentu geometi în spţiu est sistem e tei noţiuni pime: punt, deptă, pln şi tei elţii fundmentle: pţine su de inidenţă, situt înte pentu punte, onguenţă pentu segmente şi unghiui, e sunt desies de 0 de xiome împăţite în 5 gupe: - xiome de ptenenţă su inidenţă (I I8), - xiome de odine (II II4), - xiome de onguenţă (III III5), - xiom plelelo (IV), - xiome de ontinuitte (V V) Notţii: - pentu punte:,, C,, L, M, N,, - pentu depte:,,,, - pentu plne: α, β, γ,, - pentu elţi de ptenenţă: ;, α, - pentu elţi fi înte : C itită este înte şi C, - pentu elţi de onguenţă: 3 xiomele de ptenenţă I Fiind dte două punte există el puţin o deptă l e ele să pţină, I Fiind dte două punte distinte există el mult o deptă l e ele să pţină, I3 Fiind dtă o deptă există el puţin două punte e să pţină ei, I4 Fiind dte tei punte, există el puţin un pln l e ele să pţină; l oie pln pţine el puţin un punt, I5 Fiind dte tei punte stfel înât să nu existe nii o deptă l e ele să pţină, există el mult un pln l e ele să pţină, I6 Dă două punte pţin unui pln şi unei depte, tuni oie punt e pţine deptei pţine şi plnului, I7 Dă l două plne le pţine un punt tuni mi există un punt e le pţine, I8 Există ptu punte stfel ă nu există nii un pln l e ele să pţină este xiome se pot efomul folosind elţii deivte peum ele de mi jos stfel două su mi multe (el puţin tei) punte se numes olinie dă pţin unei depte şi se numes oplne dă pţin unui pln Două depte distinte l e pţin el puţin un punt (u un punt omun) se numes sente Tei su mi multe depte se numes onuente dă există un punt e le pţine (omun tutuo)

6 Vetoi în pln şi spţiu 6 Dă puntele unei depte pţin unui pln se spune ă dept este onţinută în el pln În spiitul deplin l metodei xiomtie, noţiunile pime de punt, deptă, pln nu u nii un onţinut onet, dei nii el intuitiv pe e înlinăm să-l odăm Cu lte uvinte în demonstţiile teoemelo e umeză nu vem voie în pinipiu să folosim figuile geometie u e suntem oişnuiţi Teoem Oie fi două punte distinte, există ext o deptă l e ele să pţină, nottă Teoem Oie fi tei punte neolinie,, C există ext un pln l e ele să pţină, nott ( C) Teoem 3 Pentu două depte distinte d şi d există el mult un punt omun lo, nott d d Teoem 4 Pentu două plne distinte α şi β există numi umătoele două posiilităţi: ) nu există nii un punt e să le pţină (se spune ă plnele α şi β sunt plele şi se noteză α β ), ) există o deptă onţinută în mele plne (nottă pin α β ) Teoem 5 Pentu o deptă d şi un pln α există umătoele tei posiilităţi: ) nu există nii un punt e să pţină deptei d şi plnului α (se spune ă d şi α sunt plele şi se noteză d α ), ) există un punt omun deptei şi plnului, ) dept d este onţinută în plnul α (se noteză d α ) Teoem 6 Pentu oie pln α există un punt e nu-i pţine Teoem 7 Oie fi o deptă d, există un punt e nu-i pţine Teoem 8 Dtă o deptă d şi un punt e nu-i pţine, există ext un pln e onţine d şi l e pţine Teoem 9 Pentu oie depte sente există ext un pln e le onţine Teoem 0 Pentu oie pln α există el puţin tei punte e să-i pţină Osevţie este teoeme du poziţiile eltive unei depte fţă de un pln şi două plnepede esto teme se pote fe păstând influenţ şi spiitul metodei xiomtie Eventul xiomele se numes popietăţi le puntelo, deptelo şi plnelo 3 xiomele de odine Se onsideă elţi fi înte pentu punte, nottă C u pivie l e se intodu xiomele: II Dă C tuni puntele sunt olinie şi C, II Pentu oie două punte, există C stfel înât C, II3 Dinte tei punte distinte le unei depte, el mult unul se flă înte elellte două, II4 (Psh) Fie puntele,, C distinte e nu pţin eleşi depte şi o deptă d e nu onţine pe nii unul dinte ele Dă dept d onţine un punt înte şi tuni e onţine un punt situt fie înte şi C fie înte şi C ii se impune figu: d d C C

7 7 Cpitolul Se numeşte segment o peehe neodontă de punte, şi se noteză () su () şi se numes extemităţile segmentului Puntele P u popiette P se numes inteioe segmentului i ele e nu u estă popiette (şi nu sunt extemităţi) se numes exteioe segmentului Un tiplet neodont de punte neolinie,, C se numeşte tiunghi şi se noteză C, C, ;,, C se numes vâfui i segmentele ( ), ( C)(, C) se numes ltui le C xiom II ne tă ă elţi fi înte este simetiă După xiom II există punte exteioe unui segment xiom II4 se efomuleză stfel: dt un C şi o deptă d e nu tee pin nii unul din vâfuile sle, dă d onţine un punt inteio unei ltui, tuni mi onţine un punt inteio unei dinte elellte ltui Exemple de onseinţe tipie: Teoem Oie segment onţine el puţin un punt inteio Demonstţie Fie segmentl (C) Există D e nu pţine deptei C şi după xiom II există E înât -D-E eişi xiomă ne tă ă există F înât E-C-F Dept FD tie (C) în inteio, după xiom lui Psh Rezultă ă oie segment e el puţin un punt inteio şi un punt exteio şi ă oie deptă e el puţin 4 punte Teoem Fiind dte tei punte olinie, el puţin unul este situt înte elellte două Demonstţie Fie C şi C ătăm ă C E D exteio înât D E CE u D F u E F C G E u CD G u G E D F EF u CG E F C FC u ED C C Cu xiom II3 ezultă ă dinte tei punte olinie unul şi numi unul se flă înte elellte două Teoem 3 O deptă e nu tee pin nii unul din vâfuile unui tiunghi nu pote tăi în inteio tote ltuile tiunghiului Demonstţie Fie P, Q, R olinie u P Q R Consideăm PR şi C e tie PR în inteio, P şi R în exteio, ee e ontzie II4 P R Q C Teoem 4 Mulţime puntelo unei depte este împăţită de un punt O în două sumulţimi nevide şi disjunte: = P P O şi = { P O P O P { } su } { } unde este un lt punt l deptei Mulţimile şi se numes semidepte de oigine O Dtă o deptă în pln, spunem ă două punte, e nu-i pţin sunt de o pte şi de lt ei dă dept inteseteză segmentul ( ) înt-un punt inteio şi spunem ă sunt de eeşi pte deptei în z ont Teoem 5 O deptă împte mulţime puntelo plnului e nu-i pţin în două lse disjunte şi nevide stfel înât două punte din eişi lsă sunt de o pte

8 Vetoi în pln şi spţiu 8 deptei i două punte din lse difeite sunt de o pte şi de lt deptei Fie un punt e nu pţine deptei C = { P Q înât Q P } C = { P / Q înât Q P } π = C C { } C şi C se numes semiplne deteminte de Dept se numeşte muhie su fontieă semiplnului Se numeşte unghi o peehe neodontă de semidepte h, k u eişi oigine Se noteză h,k ( ) 33 Relţi şi xiomele de onguenţă Pe mulţime S segmentelo şi pe mulţime U unghiuilo se intodue elţi de onguenţă, nottă, definită impliit pin xiomele de onguenţă: III Dt un segment şi o semideptă h ' de oigine ' există el puţin un punt ' pe h' u ' ' Pentu oie segment vem III Dă ' ' şi " ", tuni ' ' " " III3 Fie tipletele de punte (,, C) şi ( ', ', C' ) u C şi ' ' C' Dă ' ', C 'C' tuni C 'C' III4 Dt un unghi ( h, k) şi o semideptă h ', în unul din semiplnele definite de h' există o semideptă uniă k ' de eişi oigine u h ' înât ( h ', k' ) ( h, k) Pentu oie ( h, k) vem ( h, k) ( k, h) şi ( h, k) ( h, k) III5 Dă două tiunghiui C şi ' ' C' stisf ' ', ˆ ˆ ', C 'C' tuni ˆ ˆ', C ˆ C ˆ' Se tă ă elţi de onguenţă pe mulţime segmentelo este o elţie de ehivlenţă şi ă puntul din III este uni Se defineşte onguenţ tiunghiuilo, se stiles zuile de onguenţă Umeză unghiui depte, tiunghiui deptunghie, onguenţă, teoem unghiului exteio, ineglităţi în tiunghi şi tote ezulttele de geometie sintetiă upinse în pogm gimnzilă de geometie 34 Relţi de plelism şi xiom de plelism Pe mulţime D deptelo din pln se intodue elţi de plelism stfel: = φ Rezultă imedit ă estă elţie este simetiă Teoem Pint-un punt exteio unei depte tee el puţin o plelă l e deptă Demonstţie Fie D şi Pependiul din pe inteseteză în Notăm pin dept pin pependiulă pe ătăm ă (pin eduee l sud) Dă = { C}, tuni pin C m ve două pependiule pe, fls Uniitte pependiulei dint-un punt pe o deptă su înt-un punt l deptei este onseinţă gupei III- de xiome

9 9 Cpitolul Din demonstţie ezultă ă două depte distinte pependiule pe eişi deptă sunt plele Două depte tăite de o sentă fomeză unghiuile din figuă: C u denumiile:(,5), (,6), (3,7), (4,8) unghiui oespondente (3,6), (4,5) ltene intene (,8), (,7) ltene extene (3,5), (4,6) intene de eişi pte sentei (,7), (,8) extene de eişi pte sentei Dă în un din pimele 8 peehi vem unghiui onguente, tuni fiee din elellte este fomtă din unghiui onguente i ultimele 4 peehi sunt fomte din unghiui suplimente De exemplu ˆ 5ˆ ezultă 3ˆ 7ˆ ( suplimente), ˆ 6ˆ (idem), 4ˆ 8ˆ ( opuse l vâf), et Teoem Dă două depte u popiette ă tăite de o sentă pe onguenţă înte unghiuile unei peehi de unghiui de mi sus tuni deptele sunt plele Demonstţie Dă în figu de mi sus deptele, sunt onuente în C, onguenţ ˆ 5ˆ ontzie teoem unghiului exteio xiom plelelo Pint-un punt exteio unei depte se pote due el mult o plelă l e deptă Teoem 3 Pint-un punt exteio unei depte se pote due o singuă plelă l e deptă Teoem 4 Dă două depte sunt plele tuni oie deptă e inteseteză un dinte ele o inteseteză şi pe elltă şi fomeză u ele i) unghiui oespondente onguente, ii) unghiui ltene intene onguente, iii) unghiui ltene extene onguente, iv) unghiui intene şi de eişi pte sentei suplimente, v) unghiui extene şi de eişi pte sentei suplimente Demonstţie Pin eduee l sud se junge l ontziee xiomei plelelo Relţi de plelism nu este eflexivă dei nu este o elţie de ehivlenţă Definim o elţie de plelism în sens lg nottă pin stfel su = Se tă ă est este o elţie de ehivlenţă estă elţie de ehivlenţă împte mulţime D deptelo din pln în lse de ehivlenţă numite dieţii Dieţi { } {} δ = D 4 δ deptei este mulţime = { D } δ su Noţiune de dieţie în pln este esenţilă pentu definie vetoilo în pln Pentu definie vetoilo în spţiu vem nevoie de noţiune de dieţie în spţiu

10 Vetoi în pln şi spţiu 0 Pe mulţime D S deptelo în spţiu intoduem elţi de plelism:, sunt oplne şi nu u nii un punt omun,, DS Fie dept şi un punt Există un pln uni α e onţine şi În est pln există o plelă l e tee pin şi după xiom plelelo onfom Teoemei 3 est este uniă Dept este plelă u ând sunt pivite depte în spţiu este gument ne pemite să înlouim xiom plelelo de mi sus u umătoe fomă: Oie fi un punt şi o deptă d există o deptă oee uniă e onţine şi este plelă u d Intoduem şi pe mulţime DS elţi de plelism în sens lg: oinide u su Relţi de plelism în sens lg este o elţie de ehivlenţă Reflexivitte şi simeti ei sunt evidente Pentu demonste tnzitivităţii vem nevoie de definiţii şi teoeme suplimente Spunem ă dept d este plelă u plnul α şi siem d α dă fie d α fie d şi α nu u nii un punt omun Plnele α şi β sunt plele şi siem α β dă fie oinid fie nu u nii un punt omun Teoem 5 Dept este plelă u plnul α dă şi numi dă există o deptă α înât Demonstţie Dă există α u să demonstăm ă α Pesupunem pin eduee l sud ă şi α u un singu punt omun Pin există o uniă plelă ' l, e este onţinută în α Uniitte ne ondue l = ', e ontzie fptul ă şi α u un singu punt omun Dă α vom ăt ă pin oie punt α tee o deptă α u În situţi α şi popiette e lo u = Dă α şi, uni plelă u pin v ju olul deptei Fie um situţi α = φ Puntul şi dept detemină un pln β şi β α = Dept est tee pin, este onţinută în α şi este plelă u pentu ă ltfel m ve α φ Cool Dă α şi un pln β pin inteseteză α după o deptă tuni β Cool Dă α şi α, plel pin l dept este inlusă în α Cool 3 Dă dept este plelă u plnele distinte α şi β tuni fie α β fie α β este o deptă plelă u dept Teoem 6 Relţi de plelism deptelo este tnzitivă Demonstţie Fie şi Consideăm do zul în e deptele,, sunt distinte şi ttăm numi zul în e deptele,, nu sunt în elşi pln (neoplne) Fie α plnul detemint de şi i β plnul detemint de şi Consideăm pe un punt C e împeună u v detemin un pln γ Dei γ = ( C,) Fie dept de inteseţie plnelo γ şi β est este plelă u şi din xiom de plelism ezultă ă e oinide u dept Dei este plelă u Clsele de ehivlenţă le elţiei de plelism în sens lg pe mulţime deptelo în spţiu se numes dieţii (în spţiu) Dieţi unei depte DS este δ = { } { } u DS

11 Cpitolul Se pote ăt ă elţi de plelism în sens lg plnelo este o elţie de ehivlenţă Clsele de ehivlenţă le elţiei de plelism în sens lg pe mulţime plnelo se numes dieţii plne 35 xiomele de ontinuitte V (xiom lui himede-eudoxiu) Dte două segmente ( ) şi (CD ) (u finit de punte,,, n, n stfel i), 3,, n ii) n n CD iii) su = n n C D ), pe semidept [ există un numă n n n Mi sut: dte segmentele şi CD 0, u CD <, n N înât ncd > V Fie pe dept un şi infinit de segmente înhise [ ], [ ],, [ n n ], stfel înât [ ] [ ] [ n n ] tuni există el puţin un punt X stfel înât X [ n n ], n N Teoem Dă şiul din xiom V stisfe şi ondiţi ă pentu oie segment PQ, n N stfel ă n n < PQ, tuni puntul X este uni Măsu segmentelo Fie mulţime S segmentelo din spţiu Se numeşte măsuă segmentelo, soită unui segment unitte [OU], o pliţie m : S R u popietăţile: i) S, m ( ) 0 şi m ( ) = 0 = ii), CD S înât CD tuni m ( ) = m( CD) iii),, C stfel înât C, m ( ) m( C) = m( C) iv) m( OU ) = Teoem Dt un segment OU 0, există o pliţie uniă m u popietăţile i) iv) Demonstţi existenţei este omplită, d se zeză esenţil pe xiomele V şi V Se tă ă şi inves CD impliă m ( ) = m( CD) şi se osevă ă m : S R nu este injetivă Teoem Dt un numă R, există un segment S stfel înât m ( ) = în pot u unitte fixtă OU Fie m u unitte OU şi m ' u unitte O'U' tuni m ' = m m' OU, S () ( ) ( ) ( )

12 Vetoi în pln şi spţiu ( ) m' Înt-devă, dă definim f : S R pin f ( ) =, se veifiă uşo ă f m( OU ) stisfe i) iv), diă f este o măsuă u unitte OU şi dei uniitte f = m () Conseinţă Dă m este o măsuă, oie ltă măsuă este de fom m ' = m u = m' ( OU ) Intoduem distnţ înte punte pin definiţi d (, ) = m( ) Notăm u P mulţime puntelo d : P P R e popietăţile: i) d(, ) 0,, şi d (, ) = 0 = ii) d (, ) = d(, ),, iii) d (, C) d(, ) d(, C),,, C Teoem 3 se flă înte şi C d (, ) d(, C) = d(, C) Demonstţie C m ( ) m( C) = m( C) d (, ) d(, C) = d(, C) Se foloses fimţii e nu u fost menţionte nteio Teoem 4 Fie d o deptă oee şi puntele, d distinte Există o funţie ijetivă f : d R, f ( M ) = xm e e popietăţile: i) x = 0, x > 0, d( P Q) = x x = f ( Q) f ( P) ii) P Q d,, Q P Funţi f se numeşte sistem de oodonte pe d d, = x = m ) Se pote lu unitte de măsuă dei m = Cu ( ) ( ( ) ( ) fixt, numit oigine pe d şi nott de oiei u O, şi m =, se numeşte punt unitte nott E Vloe f ( M ) = xm se numeşte sis puntului M Oţinem stfel x numeelo e este oigine metodei nlitie şi dei geometiei nlitie 4 OPERŢII CU VECTORI În mod oişnuit, l nivelul şolii de ultuă genelă, opeţiile de dune doi (su mi mulţi) vetoi, de înmulţie unui veto u un numă el şi de podus sl doi vetoi sunt sufiiente pentu iluste metodei vetoile de ezolve polemelo de geometie Podusul vetoil doi vetoi este mult mi nees l fiziă şi, în onseinţă, este intodus în pogm nlitiă de fiziă Opeţiile menţionte se pot defini diet, geometi su pin intemediul oodontelo ([6], [5], []) În zul definiţiei geometie se utilizeză epezentnţi i vetoilo şi teuie să ne siguăm ă opeţiile definite, ezulttele lo, nu depind de legee elo epezentnţi Folosie oodontelo nu elimină estă veifie onsumtoe de timp, i o înlouieşte u veifie fptului ă definie opeţiilo nu depinde de legee sistemului de oodonte (spet voit ignot în unele mnule) estă independenţă opeţiilo u vetoi de sistemul se oodonte les se pote po uneoi şi indiet, făă lule ([6], p 57)

13 3 Cpitolul Expeienţ de ompunee două foţe e ţioneză pe dieţii difeite ondue l "egul plelogmului" de dune doi vetoi Este pefeil să definim mi întâi dune doi vetoi după "egul tiunghiului" e e un te unit în sensul ă "pinde" şi zul vetoilo olinii în elşi enunţ Fie doi vetoi u şi v şi un punt fixt Sunt uni deteminte puntele şi C înât u = şi v = C Definim sum u v = C, diă C = C Dă desenăm, oţinem fig, ele două situţii fiind oespunzătoe espetiv zuilo u, v neolinii şi olinii u v v u C u v v u C Fig Expliăm modul de oţinee sumei: şezăm su depunem vetoul v u oigine în extemitte vetoului u şi definim u v vetoul detemint de oigine lui u şi extemitte lui v De fpt, este opeţii le fem u epezentnţi i vetoilo, d fomulăm stfel pentu suge independenţ de epezentnţi In ontinue teuie să ne înteăm e se întâmplă dă shimăm puntul Fie dei ' Sunt univo deteminte puntele ' şi C ' înât u = ' ' şi v = 'C' şi, onfom egulii intoduse, teuie să punem u v = 'C' Pentu definiţi dunăii să fie oetă, teuie să vem ' C' = C est luu ezultă uşo folosind fptul ă tiunghiul C este onguent u tiunghiul ' ' C' În situţi de oliniitte, elşi luu ezultă mult mi simplu Odine în e se du popietăţile opeţiilo de dune vetoilo teuie să fie e uzulă în xiomti spţiului lini (vetoil) stt ) ( u v) w = u ( v w) (soitivitte) ) u O = O u = u (O este element neutu) 3) Oie fi u există un veto nott u înât u ( u) = ( u) u = O ( u se numeşte opusul lui u ) 4) u v = v u (omuttivitte), oie fi vetoii u, v, w soitivitte ezultă imedit, pe z unei figui, stfel: u =, v = C, w = CD ( u v ) w = ( C) CD = C CD = D, u ( v w) = ( C CD) = D = D Clitte de element neutu l lui O ezultă stfel: u O = = = u, O u = = = u Demonstţi simplă soitivităţii dunăii este un lt vntj "egulii tiunghiului" Dă u = definim u = şi dei u ( u) = = = O Cu u = CD oţinem = DC u u = CD DC = CC = O u şi ( )

14 Vetoi în pln şi spţiu 4 Pentu demonst 4) osevăm ă pentu u = şi v = C vem u v = C, i u v = D şi u = DE oţinem v u = E Tiunghiuile C şi DE sunt onguente (zul LUL: ltuă, unghi, ltuă) de unde ezultă C E, fig u C v D u v u Fig v nliz situţiei de oliniitte vetoilo u şi v se fe sept şi se pote popune elevilo Figu ne tă ă vetoul sumă u v pote fi epezentt şi o digonlă plelogmului onstuit pe âte un epezentnt l vetoilo u şi v u eeşi oigine, digonl e pleă din Cum un semene plelogm există numi ând u şi v sunt neolinii, umeză ă semene epezente vetoului sumă este posiilă numi în est z şi dei "egul plelogmului" de dune doi vetoi funţioneză numi ând ei sunt neolinii Se pote imgin o degenee plelogmului pin "tutie" lui pe, pentu inlude vetoii olinii, d este, totuşi, de pefet "egul tiunghiului" pentu dune vetoilo olinii Difeenţ doi vetoi se defineşte dune pimului u opusul elui de l doile: u v = u ( v) Cele două eguli de dune ondu l epezentăile din fig 3, ) şi ) pentu vetoul difeenţă u v u v v v v u v ) ) ) Fig 3 u u u v v v u u v Totuşi, în ptiă, se pefeă folosie epezentăii lui u v în fig 3, ), diă elltă digonlă plelogmului în e m figut sum u v Evident ă estă epezente este posiilă (oetă) Popiette de soitivitte dunăii ne siguă ă e sens sum u u un, n > 3 vetoi Pote fi evidenţită şi "egul poligonului" pentu epezente vetoului sumă u = u u u n, n > 3 (fig 4) estă egulă este o genelize "egulii tiunghiului"

15 5 Cpitolul u u u u u u u u3 u 3 Fig 4 u n Pentu pliţiile în geometie se eomndă fixe fomulei: = O O u punte dte şi O un punt oee Cu O fixt şi numind O, O, OC,, OM, vetoi de poziţie i puntelo,, C,, M, fţă de O putem folosi fomule de tipul C = OC O, M = OM O,, în dept fiind difeenţ înte vetoul de poziţie l extemităţii şi vetoul de poziţie l oiginii segmentului oientt e epezintă vetoul din stâng Suliniem ă putem sie, C = OC O = O'C O' u O' O, după um ezultă din O = OO' O' şi OC = OO' O' C Constuţi e ne- ondus l plelogmul din fig pote fi investă Fiind dt un veto epezentt pin C, onsideăm pin două depte distinte, difeite de C d situte în elşi pln e onţine pe C Duem pin C plele l ele două depte şi deteminăm puntele şi D Dă punem u = şi v = D oţinem C = u v Spunem ă m desompus vetoul C sumă vetoilo u şi v Desompunee est nu este, evident, uniăe este de mi miă vloe Vom eveni l stfel de desompunei mi jos Fie λ un numă el difeit de zeo şi un veto u Pin definiţie, λu este un veto, numit podusul lui u u λ, e e eeşi dieţie u u, elşi sens u u pentu λ > 0 şi sens ont lui u pentu λ < 0, i măime s este λ înmulţit u lungime lui u Dă λ = 0 su u = O punem λ u = O Vom not u u măime (lungime, nom) vetoului u Dei λu = λ u Consttăm ă estă definiţie nu utilizeză epezentnţ i vetoilo în uză Totuşi, onsidee lo înt-un desen pote ontiui l fixe definiţiei Din nou este de pefet odine în e se du popietăţile esenţile le opeţiei de înmulţie unui veto u un nou numă el să fie e folosită în definiţi spţiului lini (vetoil) stt 5) λ ( u v) = λu λv, 6) ( λ µ ) u = λu µ u, 7) ( λµ ) u = λ( µ u), 8) u = u, oie fi vetoii u, v şi numeele ele λ, µ Numeele ele teizeză măimile numite sle Din est motiv ele însele se numes uneoi sli şi se voeşte de înmulţie unui veto u un sl

16 Vetoi în pln şi spţiu 6 Demonstţi popietăţii 5) se oţine pe z teoemei lui Thles Popietăţile 6) şi 7) se veifiă diet pin folosie definiţiei, ee e impliă lue în onsideţie numeose situţii povote de ompe slilo în uză u zeo Popiette 8) este evidentă Reţinem de semene ă ( ) u = u ; λ u = O şi u O, impliă λ = 0 ; λ u = O şi λ 0 impliă u = O Putem defini şi împăţie u un numă el difeit de zeo u înmulţie u invesul elui numă, u lte uvinte, putem onside potul = u Vom λ λ evit totuşi folosie temenului "împăţie" 0 Osevăm ă vetoul u u = e lungime şi este de elşi sens şi eeşi u dieţie u u El se numeşte vesoul vetoului u 0 Reţinem ă u = u u După um m văzut, vetoul v = λu e eeşi dieţie u u, dei v şu u sunt olinii Reipo, dă doi vetoi u şi v sunt olinii, onsideând u = şi v = C, C ezultă v = λu u λ = Opeţiile u vetoi intoduse până um du sens expesiei λ u λ u λ n u n u λ, λ,, λn numee ele, numită ominţie liniă vetoilo u, u,, un Repezente geometiă ominţiei linie λ u µ v = w ondue l fig 5 D C µ v v u λ u Fig 5 Refăând onstuţi din fig 5, în sens inves, oţinem desompunee unui veto după două dieţii plele u un pln fixt Mi peis, fie un veto w Desenăm un epezentnt C Pin, înt-un pln fixt e onţine dept C, duem două depte distinte difeite de C Plele pin C l ele două depte detemină puntele şi D, înât C = D (fig 5) Dă dăm dieţiile elo două depte, D pin dieţiile vetoilo u şi espetiv v, tuni = λu şi D = µ v u λ, µ numee ele şi, dei w = λu µ v Desompunee lui w stfel oţinută este uniă dă u şi v neolinii sunt stfel u, v, w să fie oplni Reţinem dei ă dă tei vetoi sunt oplni tuni oie dinte ei se pote expim o ominţie liniă elollţi doi (u unii sli eventuli nuli) şi eipo est ezultt este semnifitiv ând ne oupăm numi de mulţime vetoilo dint-un pln El ne spune ă este sufiient să se de doi vetoi neolinii pentu -i detemin pe toţi eillţi din pln (ominţii linie de ei doi dţi) Se spune ă ei doi vetoi neolinii fomeză o ză Există evident mi multe ze de vetoi în pln, d tote u elşi numă de vetoi :

17 7 Cpitolul În spţiu situţi este difeită în sensul ă vem nevoie de tei vetoi neoplni pentu detemin pe toţi eillţi Înt-devă, fie u = O, v = O, w = OC tei vetoi neoplni şi un l ptule, oee z = OD În fig 6, plnul pin D plel u plnul (O) inteseteză dept OC în C', i plel pin D l OC inteseteză plnul (O) în D' D C C' ' D' O Fig 6 ' Rezultă ă z = OD = OC' OD' D OC ' este olini u OC, i OD ' este în plnul vetoilo O şi O, dei z = λu µ v νw Spunem ă m desompus z după tei dieţii neoplne din spţiu Pentu unghiul doi vetoi u =, v = C se i pin definiţie unghiul C ˆ su C ˆ Din teoem unghiuilo u ltui espetiv plele ezultă ă l o înlouie epezentnţilo vetoilo u şi v se oţine un unghi onguent u ˆ C, dei unghiul doi vetoi nu depinde de epezentnţi şi pote fi nott pin / u, v su ( u ^,v Măime ( ) unghiului doi vetoi este înte 0 şi 80, vloile exteme fiind onvenite pentu doi vetoi olinii de elşi sens şi espetiv doi vetoi olinii de sens opus Podusul sl doi vetoi este număul el ( ^ u v = u v os u, v ) Evident ă est numă nu depinde de epezentnţii vetoilo u şi v El pote fi pozitiv, negtiv şi devine nul tuni şi numi tuni ând u = O su v = O, su unghiul vetoilo u şi v e măsu de 90 Cum dieţi vetoului nul este nedetemintă, putem onveni ă e este pependiulă pe oie ltă dieţie şi fomulăm ezulttul de nule podusului sl doi vetoi stfel: u v = 0 u v Pimele popietăţi le podusului sl teuie să fie ele folosite în definie podusului sl în spţii linie stte ) ( u u ) v = u v u v, u ( v v ) = u v u v, ( λ u) v = λ( u v), u( λ v) = λ( u v), ) u v = v u, 3) u 0, u eglitte pentu şi numi pentu u = O Popietăţile ) şi 3) sunt imedite În ) eglităţile din dept ezultă din ele din stng pe z popietăţii ) Demonstţi eglităţilo ) stâng neesită mi multe onsideţii ([3, p 7-30]) pe e noi le omitem ii este onsideţii sunt esiile elevilo (poieţi otogonlă unui segment pe o deptă, măime estei poieţii ş), d soliită mult timp ee e ne oligă să le omitem şi l lsă Ele devin mi simple dă ne limităm l vetoi in pln )

18 Vetoi în pln şi spţiu 8 lătui de popietăţile de mi sus, e ne spun în fond ă podusul sl este o fomă iliniă, simetiă şi pozitiv definită, teuie să mi dăugăm: 4) u v > 0 0 < θ < 90 şi u v < 0 90 < θ < 80 ( θ = / ( u, v )), 5) u = u (efomule popietăţii 3)), u v os u ^, v =, 6) ( ) u v u v u v u v u v, 7) (ineglitte Cuhy-unikowski), 8) 9) u v u v = ( u v ) (identitte plelogmului) Din 5) şi 6) ezultă ă măime unui veto şi unghiul doi vetoi se expimă pin poduse sle este se iu definiţii în spţii stte u podus sl după e în pelil se demonsteză 7) în modul umăto: ( u λv ) 0, λ el u λuv λ v 0, λ el euţi în λ e ădăini omplexe su dule ( u v) u v 0 u v u v Evident ă în situţi nostă ptiulă este pefeilă odine 6) - 7), d dă timpul ne pemite putem să dăm şi demonstţi lgeiă de mi sus e sugeeză o metodă genelă de stili ineglităţi stfel în lo să folosim numi un pătt, putem onside n numee ele,,, n;,,, n şi sum de pătte: ( λ ) ( n λ ) 0, λ el n n λ nn λ n ( ) ( ) ( ) 0, λ el disiminntul euţiei în λ este 0 nn n n,,, n;, n oie fi numeele,,, Ultim ineglitte potă de semene numele de ineglitte Cuhy-unikowski Ineglitte 8) ezultă lgei din 7) şi geometi din ineglitte tiunghiulă E se genelizeză: ') 8 u u un u u un, n Demonstţi ineglităţii mi genele se fe pin induţie su diet folosind fptul ă lungime unui segment este mi sută deât lungime oiăei linii poligonle înhise din spţiu u oigine şi extemitte în petele segmentului Tte geometiă opeţiilo u vetoi shiţtă mi sus, soliită un timp e u geu pote fi găsit în pogmă, hi dă folosim onsistent intuiţi şi omitem unele demonstţii O polemă e pe este ă nu vem gumente de omite demonstţii pentu ă ele nu depăşes nivelul de înţelegee l elevilo Nu putem fi mulţumiţi ând ei eptă, din ţiuni fomle, ă ( u u ) v = u v u v (ş-i l numee!)

19 9 Cpitolul 5 PLICŢII LE VECTORILOR ÎN GEOMETRIE Mulţime vetoilo din spţiu S nottă V este un spţiu lini (vetoil) de dimensiune 3 O ză s este fomtă din oie tei vetoi neoplni Sus pliţiilo lulului u vetoi este dtă de stutu fină lui S soită 3 spţiului lini V mintim: O mulţime e stutuă de spţiu fin soită unui spţiu lini V peste un âmp oee K dă există o pliţie π : V, ( P, Q) π( P, Q) u popietăţile: ) P, Q, R : π( P, Q) π( Q, R) = π( P, R) ) O ϕ : V stfel înât pliţi O P ϕ ( P) ( O P), O = π, să fie ijetivă Dă ) şi ) ezultă: π( P, P) = 0, π( P, Q) = π( Q, P) ; pentu oie P şi v V există şi este uni Q înât π( P, Q) = v ; pentu oie P pliţi ϕ P : V, ϕp ( Q) = π( P, Q) este ijeţie Spţiul S e stutu de spţiu fin soită lui V dtă de pliţi π : S S V, ( ) = π(, ) =, m văzut mi sus ă e lo () C = C (elţi lui Chsles) şi se veifiă imedit ă () pliţi : S V, 3 ϕ O M ϕo ( M ) = OM 3 3 este ijeţie pentu oie O S Puntul O se fixeză şi se numeşte oigine, z în e OM se numeşte veto de poziţie l puntului M, nott şi pin M Din elţi lui Chsles deduem uşo ă (3) MN = N M, elţie de ză în pliţiile geometie le lulului u vetoi Relţi (3) e lo pentu oie lt punt O' Înt-devă, O ' N O' M = O' O ON ( O' O OM ) = ON OM = MN Căutăm ehivlenţe vetoile le uno noţiuni pime şi noţiuni deivte din xiomti lui Hilet Fie, două punte distinte Ele pţin l o deptă d şi numi l un Un punt M d vetoii M şi M sunt olinii su vetoii M şi sunt olinii su λ R înât M = λ su λ R M = λ şd u λ viil în R, euţi (4) = λ( ), λ R, ne dă vetoii de poziţie tutuo puntelo de pe dept Se spune ă (4) este euţi vetoilă deptei Puntul se oţine pentu λ = 0 i pentu λ = înât ( )

20 Vetoi în pln şi spţiu 0 Condiţi de oliniitte puntelo,, M sisă în fom M ( λ) λ = 0 şi vând în vedee ă olul lui M pote fi jut şi de puntele, ne ondue l onluzi ă puntele,, M sunt olinie vetoii,, M sunt lini independenţi În genel, un punt G se numeşte entu de geutte puntelo,,, n u pondeile λ, λ,, λ n, λ λ λn =, dă G = λ λ λ n Condiţi de oliniitte puntelo M,, sisă în fom M = ( λ) λ ne tă ă M este entul de geutte puntelo, Rezultă ă puntele M,, sunt neolinie nii unul dinte ele nu este entu de geutte l elollte două Fiind dt un punt şi un veto u există o singuă deptă e onţine şi un epezentnt l vetoului u (se foloseşte xiom plelelo) În estă detemine deptei se foloseşte numi dieţi vetoului u n u Un punt M pţine estei depte vetoul M este olini u u înât M = t u Euţi (5) = t u, t R ne dă vetoii de poziţie pentu tote puntele de pe dept detemintă de şi u t R Se spune ă (5) este euţi vetoil-pmetiă deptei deteminte de un punt şi de dieţi unui veto u Fie,, C tei punte neolinie Există un pln α şi numi unul e le onţine Un punt M α oplni su vetoii M,, C sunt oplni su vetoii M,, C sunt λ, µ R înât M = λ µ C su λ, µ R înât ( ) µ ( ) M = λ C Rezultă ă euţi (6) = λ( ) µ ( C ), λ, µ R, dă vetoii de poziţie tutuo puntelo din plnul α est se numeşte euţi vetoilă plnului α detemint de tei punte neolinie Euţi (6) teizeză plnul pin tei punte neolinie şi pote fi lută definiţie plnului Cu estă definiţie plnului şi u definiţi deptei dtă de (4), popietăţile din xiomele I6 şi I7 se pot demonst după um umeză Fie, punte distinte e pţin unui pln α ătăm ă tote puntele deptei pţin plnului α Puntele deptei u vetoii de poziţie de fom t( ), t R i ele le plnului α u vetoii de poziţie de fom ( ) µ ( ) λ C,

21 Cpitolul ( λ, µ ) R, unde C este un punt e nu pţine deptei Se onsttă ă ele două fome oinid pentu λ = t şi µ = 0, dei puntele deptei sunt onţinute în plnul α Fie plnele distinte α şi β e u un punt omun Pesupunem ă α este detemint de puntele,, C i β este detemint de puntele, D, E Vetoii de poziţie i puntelo din plnul α u fom ( ) ( C ) i ei i puntelo din plnul β u fom ( D ) d( E ) Plnele α şi β u un punt omun dă există,, d peehile ( ) şi ( ) înât să iă lo () ( ) ( C ) = ( D ) d( E ) legem nouă oigine spţiului puntul Eglitte ( ) ( ) C = D d E devine Puntele D şi E nu pot fi mele în plnul α pentu ă um Fie D α tuni α β, C, D sunt vetoi lini independenţi şi putem sie E = λ µ C νd u λ şi µ nesimultn nule Înlouind E în ( ) şi folosind din nou lini independenţ vetoilo oţinem λd = 0, µ d = 0, ν d = 0 Dă ν = 0, E α şi dei plnele α şi β mi u un punt omun, C, D, Dă ν 0, l doile punt omun l plnelo α şi β este dt de peehile,, υ µ λ, dă λ 0, espetiv,,, dă µ 0, u şi ite λ υ µ Umeză de ii ă ele două plne u hi o deptă omună Fie un punt şi doi vetoi neolinii u şi v este elemente detemină uni un pln e tee pin şi onţine epezentnţi i vetoilo u şi v El onţine şi epezentnţi i vetoilo de fom u 3 v, vetoi e fomeză un suspţiu lini în V de dimensiune est suspţiu se mi numeşte şi dieţie plnă Un punt M pţine plnului detemint de şi de dieţi plnă ( u, v ) λ, µ înât M = λu µ v şd vetoii de poziţie puntelo din est pln sunt de fom (7) = λu µ v, ( λ, µ ) R Euţi (7) se numeşte euţi vetoil-pmetiă plnului detemint de şi u, v dieţi plnă ( ) 3 Fie tei punte neolinie M,, u Umăind sensul vetoilo M şi M onsttăm ă M este inteio segmentului ( ) diă M, dă şi numi dă există M un numă el λ < 0 stfel M = λm vem λ = Consideând un punt O M oee din S, elţi (8) M = λm este ehivlentă u O λo OM =, λ λ Condiţi λ este impusă de ondiţi Pentu =, M oinide u mijloul segmentului λ ( )

22 Vetoi în pln şi spţiu Puntele exteioe segmentului ( ) sunt teizte de vloile λ (, ) 0 Puntul se oţine pentu λ = 0 i din eglitte M = / λm se onsttă ă puntul se oţine pentu λ λ Cu sustituţi µ =, λ, elţi (8) devine λ (9) OM = ( µ ) O µ O, µ R şi ezultă ă M este inteio segmentului ( ) dă şi numi dă [ 0,] µ Euţi (9) se pote folosi pentu veifi dă o sumulţime (figuă) F din S este onvexă nume dă din ondiţi, F ezultă ă puntele M de veto de poziţie OM dt de (9) u µ [ 0, ] pţin lui F, pentu oie, F, tuni F este onvexă Din onsideţiile de l şi ezultă ă deptele şi plnele sunt mulţimi onvexe Osevţii ) Condiţi M = λm se pote înloui u fom ehivlentă M = k M u k = λ şi tuni puntele inteioe segmentului ( ) sunt teizte de ondiţi k > 0 i ele exteioe de ondiţi k,0 u k Relţi (8) pătă, u estă onvenţie, fom ( ) O ko ( 8' ) OM =, k k k Fomul (9) se menţine u µ = k ) Uneoi este onvenil să definim potul două segmente oientte şi CD, C D, nott fiind egl u dă ele două segmente oientte u elşi sens şi CD CD egl u dă ele u sensui onte CD M Cu estă onvenţie λ = şi vom spune ă puntul M împte segmentul () în M potul λ (pentu ă ) fimţiile gupei II- de xiome lui Hilet pot fi tnsise vetoil după um umeză Condiţi C se sie în fom =, 0, (0) ( ) C ( ) Cu =, esiem (0) în fom = ( ) C şi onsttăm ă e lo şi C Fiind dte puntele, u, există C înât C Este sufiient să luăm =, u > 0 Dte tei punte distinte,, C C u C ( ) două Fie fixte tuni le unei depte, el mult unul se flă înte elellte, C = ( ) u ( 0, ) C C dei ( 0, ) şi C Rezultă = ( ) C pesupunem ă e lo u ( 0, ) Înlouind C u expesi de mi sus, după lule oţinem ( )( ) = 0, dă Să

23 3 Cpitolul eglitte imposiilă pentu ă ( ) şi = ( )( ) < 0 Pentu veifi vetoil ă e lo fimţi din xiom lui Psh vom fe un mi ool e ne v d onus un ezultt impotnt de geometie Fie un tiunghi C şi puntele M C, N C, P e împt segemntele ( C ), ( C),() espetiv în potele α, β, γ Ne înteăm în e ondiţie sup esto pote puntele M, N, P sunt olinie vem: M, N, P sunt olinie există λ el înât MN = λnp ( OP ON ) ON OM = λ ( OC βo O αoc O γo λ) λ 0 β α γ = C, vetoii O, O, OC sunt lini independenţi şi elţi oţinută e lo dă şi numi dă oefiienţii lo sunt zeo şd oţinem ă puntele M, N, P sunt olinie există λ el înât () Dă legem O înât să nu pţină plnului ( ) β( γ)( λ) ( β) ( ) ( ) λγ α γ = 0 ( λ)( α) α( β) λ = 0 = 0 γ Din euţi dou oţinem λ =, γ 0, α vloe e intodusă în γ( α) elellte două euţii ne ondue l onluzi ă ele u lo dă şi numi dă αβγ = Folosind noţiune de pot două segmente oientte, estă onluzie se pote efomul stfel: Teoem lui Menelos Fie C şi puntele M C, N C, P Puntele M, N, P sunt olinie dă şi numi dă M NC P () = MC N P În podusul αβγ = putem ve ) toţi ftoii pozitivi, z în e puntele M, N, P sunt espetiv exteioe segmentelo ( C ), ( C), ( ) su ) doi ftoi negtivi şi unul pozitiv, z în e două din ele tei punte M, N, P sunt pe ltuile C şi l teile nu este pe ltu oespunzătoe i pe pelungie ei Refomulăm este onsideţii stfel: fie o deptă d e nu tee pin nii unul din vâfuile C Dă d onţine M ( C)( α < 0) tuni fie N = d C este înte C şi ( β < 0) fie P = d este înte şi est este ext xiom lui Psh Existenţ el puţin unui dinte punte N su P este sigută de xiom plelelo Dă puntul N nu există, după teoem lui Thles există P şi se flă înte şi L fel se poedeză dă nu există puntul P În legătuă u poziţiile puntelo M, N, P, geometi ămân de nlizt zuile ) puntele M, N, P sunt espetiv pe ltuile tiunghiului C şi ) un punt este pe o ltuă şi două sunt pe pelungiile ltuilo soiem puntelo deptele M, N şi CP numite şi eviene

24 Vetoi în pln şi spţiu 4 Vetoii de poziţie i puntelo deptei M sunt de fom αc t, α t R, ei i puntelo deptei N sunt de fom C β t, t R i ei i β puntelo deptei CP sunt de fom γ C t C, t R este depte sunt γ onuente dă există t, t, t înât să vem: α β (3) ( ) C ( ) C t t = t t = ( t ) α β C legem oigine O înât să nu pţină plnului ( ) γ C t γ Lini independenţ vetoilo,, C ne tă ă elţi (3) este ehivlentă u sistemul β t = t = t β γ γ ( 3' ) t = t = t α γ α t = t = t α β Deptele M, N şi CP sunt onuente dă şi numi dă sistemul ( 3' ) e soluţie uniă ( t, t, t ) Se onsttă uşo ă est e lo dă şi numi dă αβγ = Oţinem stfel Teoem lui Cev Fie C şi puntele M C, N C, P Deptele M, N, CP sunt onuente dă şi numi dă M NC P (4) = MC N P Teoemele lui Menelos şi Cev sunt utile în demonste oliniităţii tei punte, espetiv onuenţei tei depte 4 Ne oupăm de isetoele unghiuilo unui tiunghi O le posiilă de ode este să demonstăm sinteti teoem isetoei e ne v d potul în e piioul isetoei împte ltu opusă Siem poi euţiile isetoelo şi ătăm ă isetoele inteioe u un punt omun I i âte două exteioe u un inteioă sunt onuente în puntele I, I, I, espetive Vom folosi o ode difeită în e teoem isetoei v pe o onseinţă, luând punt de plee un fpt mi simplu: în om digonlele sunt şi isetoe le unghiuilo omului Pentu C notăm de oiei lungimile ltuilo pin = C, = C, =

25 Cpitolul 5 Consideăm vesoii şi C desenţi în vâful Sum lo C se deseneză pe isetoe inteioă unghiului pentu ă plelogmul onstuit u ei este om (de ltuă ) şi înt-un om digonlele sunt şi isetoe şd vetoii de poziţie i puntelo isetoei inteioe din sunt de fom C t Simil, vetoii de poziţie i puntelo isetoei inteioe din sunt de fom C s este două isetoe inteioe se inteseteză R s t, înât să iă lo (5) C C s s s t t t = Cum C,, pot fi leşi lini independenţi, elţi (5) este ehivlentă u ( ' 5 ) = = = s t t s s t Sistemul de euţii ( ' 5 ) în neunosutele t şi s e soluţi uniă t =, s = Rezultă ă isetoele inteioe din şi se inteseteză în puntul I de veto de poziţie C I = Pint-un lul simil onsttăm ă isetoele inteioe din şi C se inteseteză tot în I şi dei putem spune ă isetoele inteioe le unui tiunghi sunt onuente Euţi isetoei exteioe din este = C su = estă isetoe se inteseteză u isetoe inteioă din în puntul de veto de poziţie I C I = şi se tă ă pin est punt tee şi isetoe exteioă pin C isetoe inteioă din u ele exteioe din şi C se inteseteză în puntul u I C I = i isetoe inteioă din C u ele

26 Vetoi în pln şi spţiu 6 exteioe din şi se inteseteză în puntul I u I = C Revenim l isetoe inteioă din E inteseteză dept C dă există C t, s R înât t = ( s) s C estă eglitte este ehivlentă u un sistem în t, s (pe e nu-l siem) e e soluţie uniă t =, s = Se onsttă ă s ( 0, ) dei puntul E de inteseţie dinte isetoe inteioă şi dept C există şi se flă pe ltu C, diă este inteio segmentului ( C ) şi e vetoul de poziţie de fom C, e pin ompţie u λ C ondue l vloe λ = şd λ E E e lo eglitte = e ondue l teoem isetoei: = EC EC C Simil, se onsttă ă isetoe exteioă din inteseteză dept C înt-un E' punt E ' înât C E' su E' C şi e lo eglitte =, elţie e E' C epezintă vesiune teoemei isetoei pentu isetoe exteioă din 5 Teoem lui Sylveste estă teoemă ne ofeă pilejul de tee în evistă o onfiguţie geometiă impotntă înt-un tiunghi, numită onfiguţi eul lui Eule Fie un tiunghi C Notăm pin H otoentul său, pin G entul său de geutte şi pin O entul eului iumsis estui tiunghi Demonstăm sinteti popoziţi: Simetiile otoentului H fţă de mijloele ltuilo C se flă pe eul iumsis tiunghiului şi sunt espetiv dimetl opuse vâfuilo tiunghiului Fie D simetiul lui H fţă de mijloul l ltuii C (Fig ) ezultă ă ptulteul HCD este plelogm (digonlele se tie în păţi egle) C ' H G O ' ' C D

27 7 Cpitolul Dei DC este onguent u HC D HC este suplement u  Umeză ă DC este suplement u Â, diă ptulteul DC este insiptiil, dei D este pe eul iumsis C Osevăm ă CD este onguent u CH e este omplement u ˆ Rezultă ă D este unghi dept şd D este dimetl opus vâfului În HD, segmentul O' este linie mijloie Dei O' = H Pe de ltă pte, în OC, ' este linie mijloie şi dei O ' = O OC O ( ) Teoem lui Sylveste În oie C, e lo elţi (6) OH = O O OC, unde O este entul eului iumsis (6) Înt-devă, pe z elţiilo de mi sus vem Pentu G vem C i H este otoentul C O OC = H = OH O şi dei 3 G = C legem oigine în S entul eului iumsis O Rezultă 3 OG = O O OC şi pe z teoemei lui Sylveste, oţinem (7) 3 OG = OH şd e lo fimţi: Puntele O, G, H sunt olinie (situte pe dept lui Eule) Putem tnsfom (7) stfel: OH = GH GO = 3OG GH = OG şi umeză onluzi ă G este înte O şi H şi împte segmentul OH în potul, diă G este pe ( OH ) l de O şi de H 3 3 Revenim l metod sintetiă Fie ', ', C' mijloele ltuilo tiunghiului C,,, C piioele înălţimilo şi ", ", C" mijloele segmentelo H, H, CH, espetiv e lo popoziţi: Puntele ', ', C',,, C, ", ", C" sunt pe elşi e numit eul lui Eule Pentu demonstţie fixăm de exemplu puntele ', ', C' şi ătăm pe ând ă elellte punte se flă pe eul ( ' ' C') stfel ptulteul ' ' C' este tpez isosel ( ' C' C, C' = medină în tiunghi deptunghi şi ' ' = linie mijloie), dei este insiptiil Simil se poedeză pentu şi C În ptulteul ' ' " C' vem C ' " H (linie mijloie) şi dei C' " C Pe de ltă pte ' C' C (linie mijloie) şi dei C' " C' ', diă ' C' " este dept În ontinue, " ' CH (linie mijloie), dei " ' i ' ' Rezultă " ' ', diă " ' ' este dept Pin ume ptulteul ' ' " C' este insiptiil Simil se poedeză u " şi C" şd ele nouă punte sunt onilie Osevţi ă " C' ' este dept ne tă ă ' " este dimetu în eul elo nouă punte Ptulteul H 'O" este plelogm ( O" este linie mijloie în HD ) Rezultă ă ' " (digonl) tee pin mijloul lui OH Conhidem ă entul ω l eului elo nouă punte este pe dept lui Eule, mijloul segmentului OH Se pote ontinu u desopeie lto popietăţi le estei onfiguţii (f [Tin Llesu])