Obr. 12: Elektromechanický systém jednoduchého elektromotora.

Transcript

1 I τ S l B r ψ φ R U Obr. 12: Elektromechancký systém ednoduchého elektromotora Moment sly od ednosmerného elektromotora Označme s ednotkový vektor τ v smere prúdu v pravom ramene Potom celkový moment sly vzhl adom na os otáčana, pôsobac na prúdový závt bude ( ) D = 2 r li(t) τ B (227) = 2I(t)l τ( r B) = 2I(t)lrB cos(φ) τ (228) Zberače sú postavené tak, aby vždy ked e cos(φ) < zmenl prúd polartu tak, aby výsledný moment sly bol vždy kladný a dochádzalo k pretáčanu. Znamená to, že úloha zberačov e postavt funkcu do absolútne hodnoty, t.. D = 2I(t)lrB cos(φ) τ. (229) A v tomto tvare e ale motor neefektívny, nakol ko pre φ π/2,3π/2,... e D. Preto sa využíva vac závtov, vzáomne posunutých o fázu Δα, D = N 2I(t)lrB cos(φ nδα) τ. (23) n=1 Numercky sa možno presvedčt, že pre vel ké N e moment sly motora praktcky nezávslý od aktuálneho natočena φ. Lmtný prípad N, Δα, NΔα = π možno získat a pramou ntegrácou zavedením α = nδα, Δα = Δnπ/N, D = 2I(t)lrB τ N π = 2I(t)lrB τ N π π π dα cos(φ α) (231) dα sn(α) (232) = 4 NI(t)lrB τ = KI(t) (233) π Tento výsledok sa často používa pr stavaní dynamckých modelov zahŕňaúcch ednosmerný elektromotor. V týchto problémoch treba rešt dynamku manpulátora spolu s dynamkou elektrckých obvodov, s pohybovou rovncou pre prúd U Z = RI(t) + dφ dt. (234) 36

2 kde U Z e napäte na zdro, R e celkový odpor obvodu, Φ e časovo premenný magnetcký tok. Magnetcký tok má samondukčnú čast, L(t)I(t), kde L(t) ndukčnost motora, a čast pochádzaúcu z permanentného magnetu, B mag d S. L(t) sa pr pohybe motora môže ment s časom, čo modfkue slovým účnok externého pol a magnetu B mag. Magnetcký tok zachytený n-tým závtom e Φ n (t) = B d S = BScos(ψ nδα) = BScos(φ π/2 nδα) = BSsn(φ nδα) (235) a eho príspevok k ndukovanému napätu bude U n = sgn d dt Φ n(t) = sgnbscos(φ nδα) φ. (236) Kvôl zberačom bude znamenko tohto napäta v obvode vždy, ked e cos(φ nδα) < zmenené, čo e značené symbolom sgn. Toto opät vytvára absolútnu hodnotu z funkce cos( ), Opät môžeme získat lmtu hustého vnuta, U nd = n U n = BS cos(φ nδα) φ. (237) = BS φ N π U n = BS cos(φ nδα) φ = (238) π n dα cos(φ α) (239) = BS φ 2N π = K φ, (24) kde sme využl, že 2rl = S. Energetcké blanca v elektro-mechanckom systéme Výskyt dentcke konštanty pr ndukovanom napätí a pr momente sly motora e prncpálne dôležtý - práca, ktorú koná motor e W M = dtd φ. Táto musí súvset s energou ktorú dodá batéra. Z rovnce (234) nádeme pre túto energu, W bat = dtu Z I(t) = dtri 2 (t) + dtu nd I(t). (241) Použtím výsledku (24) nádeme W bat = dtri 2 (t) + dtk φi(t) = dtri 2 (t) +W M, (242) kde prvý člen predstavue ohmcké straty v obvode a druhý e presne práca konaná motorom. Pohybové rovnce ednosmerného elektromotora Je dôležté s uvedomt, že úplné modelovane mechanckého systému s motorm predstavue vlastne paralelné rešene ne len dynamky mechanckých ale a elektrckých stupňov vol nost. Napríklad náš tu študovaný problém predstavuú prepoené dferencálne rovnce pre uhol pootočena elektromotora a prúd v radacom obvode, I M φ(t) = KI(t) D Z (q (t)), (243) U Z (t) = RI(t) + K φ(t) (244) kde D Z (q (t)) ndkue moment zát aže motora, ktorý môže závset od d alších stupňov vol nost a teda vyžadovat d alše dferencálne rovnce. V tomto ednoduchom prípade možno prúd pramo vyadrt z 2. rovnce čo elmnue problém rešena dvoch rovníc. Často e však nutné uvážt a samo-ndukčnost závtov, čo vede k výskytu prve derváce prúdu v 2. rovnc a teda k skutočnému systému dvoch prepoených dferencálnych rovníc. 37

3 3.8 Energetcká blanca v formalzme Lagrangeových rovníc Budeme uvažovat systém N hmotných bodov, s polohovým vektorm r, nachádzaúc potencálovom pol charakterzovanom celkovou potencálnou energou týchto bodov U( r 1,..., r N ). Navac, nech na každý hmotný bod pôsobí a nepotencálová sla F. Tento systém nech obsahue N v holonómnych väzeb tak že na eho pops postačí M zovšeobecnených súradníc q. Ako už veme, teto spĺňaú Lagrange-Eulerove rovnce d = Q, = 1,...,M (245) dt q q Prácu, ktorú za čas T vykoná nepotencálová sla Q (nak predstavuúcu zmes nepotencálových síl Q = r F q ) nádeme podl a rovnce??, t.. vynásobením Lagrange-Eulerových rovníc s q a ntegrovaním cez čas T, ( d dt ) q. = W, = 1,...,M (246) dt q q (Nasledovné nebolo odprednášané, ale pre úplnost dskus o energetcke blanc) Celková práca nepotencálových síl sa získa súčtom takýchto rovníc, ( d W nepot = dt ) q (247) dt q q Pretože Lagrangeova funkca e funkcou všetkých súradníc a ch rýchlostí platí, ( d dt L(q 1,...,q M ; q 1,..., q M ) = q + ) q q q pomocou čoho dostaneme pre celkovú prácu nepotencálových síl, ( d W nepot = dt ) q (248) dt q q (( ) d = dt q + ) q dt dl (249) dt q q dt ( ) = dt d dt q L t=t t= (25) q Ked že prvý člen e q q = = = E k q q = q ( ) 1 v 2 m v 2 v dq q dt ( ) 1 v 2 m v 2 r dq q dt ( ) 1 2 m v 2 q (251) (252) (253) ( ) ( 1 = v 2 m v 2 d r 1 dt = v 2 m v ) v 2 (254) ( 1 = v 2 m v ) v 2 ( = m v 2) = 2E k, (255) a L = E k U, nádeme vyadrene zákona zachovane energe pre mechanckú sústavu, W nepot = (E k +U) t=t t= (256) 38

4 3.9 Varačný prncíp a Lagrangeove rovnce Matematcké mnmum z funkconálne analýzy y f(x) g(x) S[f(x)] δ f(x) x S[g(x)] Obr. 13: Funkconál S[ ] prradí funkc f (x) číslo na reálne os. Ak e spotý, tak dvom blízkym funkcám f (x) a g(x) v zmysle zavedene mery, prradí dve blízke čísla na reálne os. Rozdel g(x) f (x) = δ f (x) možno chápat ako malú zmenu funkce f (x). Analogcky defníc reálne funkc N reálnych premenných, ktorá predstavue zobrazene f (x) : x R N R (257) sa zavádza a poem funkconálu, ktorý prrad ue funkc (napr. reálne premenne x defnovane na ntervale x (a,b)) reálne číslo (Obr. 13), S[ f (x)] : f (x) R. (258) Ak by sme nebral spoté x R, ale M vybraných dskrétnych hodnôt {x } M =1 (vzorkovane reálne os), potom sa na funkconál môžeme pozerat ako na funkcu mnohých reálnych premenných { f } M =1, S( f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x N )) = S( f 1, f 2,..., f N ). Defníca (258) sa nalepše demonštrue na konkrétnom príklade. Príklad: Nech S[ ] prradí l ubovol ne kvadratcky ntegrovatel ne funkc f (x) na ntervale (, 1) reálne číslo pomocou predpsu S[ f (x)] = 1 k{ f (x )} 2 dx, (259) a teda S[ ] e funkconál. Podobne ako e to v matematcke analýze funkce reálne premenne, možno zavest pomy ohrančena, spotost (Obr.??) a derváce. Pre ne e potrebné mat zavedenú meru na množne funkcí, t.. poem vel kost funkce f (x), aby sme mohl hovort o dvoch funkcách vzdalených od seba o ε. Exstuú vaceré užtočné mery funkcí, edna z nabežneších e b a f (x ) 2 dx. (26) Množna funkcí obohatená takýmto pomom mery (alebo vel kost č normy) sa nazýva a prestor L 2 (a,b). Dve funkce f (x) a g(x) sa potom považuú za blízke, rsp. v ε okolí ak f (x) g(x) = b a ( f (x ) g(x )) 2 dx ε (261) Poem derváce funkconálu e dôležtý a pre naše účely a naznačíme s tu eho zavedene bez nároku na matematckú presnost. 39

5 Varáca funkconálu e rozšírením pomu dferencálu funkce N reálnych premenných. Tento dferencál d f predstavue lneárne zobrazene, ktoré N malým prírastkom Δx 1,...,Δx N, pr fxovane hodnote x ktorá v dferencály predstavue parameter, prradí zodpovedaúc prírastok funkce f (x) 2 d f = f x (x)dx. (262) Podobne, varáca funkconálu e lneárny funkconál, ktorý male zmene funkce δ f (x) (Obr.??) prradí zodpovedaúcu zmenu pôvodného funkconálu, δs[ f (x)] = S[ f (x) + δ f (x)] S[ f (x)] = v(x )δ f (x )dx (263) prčom ntegrueme cez oblast defníce funcke f (x). Zavedenú funkcu pod ntegrálom v(x δs[ f (x)] ) = δ f (x ) (264) nazývame funkconálna derváca. Opät, nalepše e demonštrovat poem varáce na vyšše uvedenom príklade funkconálu. Príklad: δs[ f (x)] δ f (x ) = 2k f (x ) (265) Ako? Nech δ f (x) e malá zmena f (x) potom δs[ f (x)] = S[ f (x) + δ f (x)] S[ f (x)] =... = b a 2k f (x)δ f (x)dx (266) Funkconál môže nadobúdat extrém vo funkc f e (x) ak e eho varáca v okolí teto funkce nulová δs[ f e (x)] =, (267) nakol ko v tomto prípade sa pr male zmene funkce f (x) = f e (x) + δ f (x) hodnota funkconálu nemení. Táto podmenka e ekvvalentná rovnost nule funkconálne derváce δs δ f (x) = (268) f (x)= fe (x) čo typcky predstavue (funkconálnu, napr. dferencálnu) rovncu pre funkcu f e (x) Matematcká forma varačného prncípu pre Lagrangeove pohybové rovnce Lagrangeove pohybové rovnce možno získat z podmenky extrému funkconálu S[q (t)] = T dt L(q (t ), q (t ))dt, (269) t.. funkconálu daného ntegrálom Lagrangeove funkce cez čas, počas ktorého študueme pohyb, pr dane počatočne a konečne hodnote stupňov vol nost, t.. z podmenky δs[q (t)] = δl(q 1(t),..., q N (t)) δq (t) =, = 1,...,N (27) 2 Zobrazene v tom zmysle, že napr. fxované x = (x,y) = (1,2) prradí k dx = (dx,dy) = (.1,.1) hodnotu d f =.1 + f (x,y).1. (1,2) (1,2) f (x,y) x y 4

6 kde L(q 1,q 2,...,q M, q 1, q 2,..., q N ) e Lagrangeova funkca N zovšeobecnených súradníc q a k nm patracm N zovšeobecnených rýchlostí q. Tento funkconál sa vo fyzke nazýva a účnok. Uvedomme s, že pr zavedení (269) chápeme tento ako funkconál len q (t); q (t) sú už od nch odvodené závslé velčny. Hl adame varácu funkconálu S[ ], δs[q(t)] = lm = = δq(t) T T {S[q(t) + δq(t)] S[q(t)]} (271) dt ( L(q(t ) + δq(t ), q(t ) + δ q(t ) ) ( dt q δq(t ) + ) q δ q(t ) T dt ( L(q(t ), q(t )) ) (272) (273) kde sme v poslednom kroku využl fakt, že δq(t) e malá zmena, a preto môžeme v e okolí rozvnút Lagrangeovu funkcu do Taylorovho radu a ponechat len konštantný a lneárny člen. V poslednom výraze v druhom člene prevedeme ntegrácu per-partes, δs[q(t)] = = T T dt { q δq(t ) dt ( q d dt q ) δq(t ) + d ( q dt ( d dt ) δq(t ) + [ q δq(t ) ] T )} q q(t ) (274) (275) Nakol ko počatočná a konečná hodnota stupňa vol nost, q() a q(t ) sú pevne dané, uvažovaná varáca δq() = a δq(t ) = a preto posledný člen v rovnc (275) e nulový. Nakol ko až na teto okraové podmenky môžu byt δ q(t) l ubovolné, no prtom musí byt varáca (275) v extréme nulová, musí pre extremálnu traektóru q e (t) platt rovnca q d =, (276) dt q v ktore asne rozoznávame Lagrange-Eulerovu rovncu. Tento výsledok e všeobecný pre l ubovol ný funkconál v tvare (269), no v špecálnom prípade, ak e L = E K U pre systém tt, kde E K e celková knetcká energa a U celková potencálna energa, potom sa daná formuláca týka formuláce mechanky systému deálne tuhých teles Klascké varačné problémy Rotačné telesá s mnmálnym povrchom. Uvažume teleso, ktoré vznkne rotácou okolo os x funkce h(x) na ntervale x (x 1,x 2 ). Zauíma nás, aká má byt táto funkca, aby bol povrch výsledného obektu mnmálny ak h(x 1 ) = h 1 a h(x 2 ) = h 2 sú dané. Vyadríme s povrch telesa pre danú funkcu h(x), x2 S[h(x)] = dx2πh(x) (h ) (277) x 1 Extrém funkconálu nádeme z Lagrange-Eulerove rovnce, L(h,h ) = 2πh(x) (h ) (278) h L = 2π (h ) (279) h L = 2πh(x)h (x) (28) (h )

7 s výslednou rovncou d h(x)h (x) (h dx (h ) ) =. (281) Prekvapvo, táto rovnca má analytcké rešene (pomocou Hamltonove funkce...) ( ) x + c2 h(x) = c 1 cosh, (282) kde konštanty c 1 a c 2 sú určené súradncam koncových bodov, h(x 1 ) = h 1 a h(x 2 ) = h 2. Tvar zaveseného lana. Druhou úlohou e nást tvar lana so známou hmotnost ou na ednotku dĺžky µ, celkovou dĺžkou l, ktoré vsí v homogénnom gravtačnom pol, prčom eho konce sú uchytené v dvoch bodoch ktorých vzdalenost x1 2 + y2 1 < l. Velčna, ktorá bude nadobúdat extrém - mnmum - e celková potencálna energa lana, U = dlµgh(l), (283) kde h(l) e výška, v ktore sa nachádza element lana s dĺžkou dl. Tento ntegrál po krvke môžeme parametrzovat pomocou horzontálne súradnce x a výšky v ktore sa lano nachádza h(x), prčom element dĺžky bude (dh ) 2 dl = + 1dx. (284) dx Na kraoch x = a x = x 1 e poloha lana predpísaná, h() =, h(x 1 ) = y 1. Samotné funkce h(x) nemôžu byt celkom l ubovolné, ale také, aby celková dĺžka lana bola l, t.. musa spĺňat podmenku x1 (h (x)) 2 + 1dx l = (285) Túto bočnú podmenku zahrneme k problému hl adana mnma potencálne energe pomocou metódy Lagrangeových multplkátorov, takže nakonec hl adáme extrém funkconálu { ( x1 )} δ dx ((h (x)) 2 + 1)µgh(x) λ ((h (x)) 2 + 1)dx l =, (286) kde λ e Lagrangeov multplkátor zaručuúc predpísanú dĺžku lana l. Na posledný výraz sa môžeme pozret ako na Lagrangeovu funkcu c 1 L(h(x),h (x)) (287) kde x zodpovedá času a h stupňu vol nost v našom doterašom používaní Lagrangeovho formalzmu. Zodpovedaúca Lagrange-Eulerova rovnca potom nadobúda tvar d dx h h = (288) dl dh = µg (h ) (289) dl dh = (µgh λ) d dh (h ) = µgh λ (h ) h (29) 42

8 s výslednou dferencálnou rovncou pre h(x), d µgh λ dx (h ) h µg (h ) =. (291) A táto rovnca má analytcké rešene (podobná ako vyšše), tento krát v tvare ( ) x + c2 µgh(x) = λ + c 1 cosh, (292) kde tr konštanty λ,c 1 a c 2 sú určené súradncam koncových bodov, h() = a h(x 1 ) = y 1, a požadovanou dĺžkou lana l. Brachstochrona. Posledný problém prestavue otázku traektóre po ktore sa pohybue bod v homogénnom gravtačnom pol z pokoa a výšky h = na h = d < tak aby u prešel za nakratší čas. Je rešením e krvka zvaná cykloda, no pre krátkost času sa tu týmto problémom zaoberat nebudeme Lagrangeova funkca pre mechatroncké systémy Uvažume elektroncký obvod pozostávaúc z kondenzátora a cevky - vnuta na motore, ktorý e prepoený s mechanckým motorom. Ukážeme s, že dynamka takéhoto systému e taká, aby nábo na kondenzátore Q(t) a uhol otočena φ(t) predstavoval extrém pre funkconál postavený z Lagrangeove funkce L(φ, φ,q, Q) = 1 2 I φ 2 + K Qφ L Q 2 1 Q 2 2 C c 1 (293) kde I e moment zotrvačnost motora, K e konštanta vystupuúca v momente sly od ednosmerného motora (233), C e kapacta kondenzátora a L ndukčnost motora. Posledné dva členy sú analógou rozdelu knetcke a potencálne energe v mechanke - v tomto prípade e to rozdel energe elektrckého pol a v kondenzátore a magnetckého pol a v motore. Lagrange-Eulerova rovnca pre φ nám dá už známu rovncu, I φ K Q = (294) Uvážením že Q = I(t), elektrcký prúd, nachádzame že táto rovnca zodpovedá prve z rovníc (243). Rovncu pre nábo nádeme rovnako l ahko, Q L = Q C, Q L = Kφ + L Q, d dt Q L = K φ + L Q (295) takže výsledná rovnca e K φ + L Q + Q C =. (296) Táto zodpovedá Krchhofovému zákonu pre tento obvod, t.. de o rovncu zodpovedaúcu (244). Z tohto ednoduchého príkladu vdet, že sly, ktoré sa z hl adska čsto mechancke sústavy zdal byt nepotencálové, môžu byt zahrnuté do Lagrangeovho formalzmu ak rozšírme počet stupňov vol nost, prčom teto zd aleka nemusa byt len geometrckým stupňam vol nost. Zároveň s všmnme, že konštanta K v oboch rovncach e nevyhnutne tá stá ne len z hl adska energetcke blance, ako sme vdel už skôr, ale vychádza pramo z edného nterakčného člena medz geometrckým a elektrckým stupňom vol nost v Lagrangeove funkc v tvare ΔL = K Qφ. 43