Teoretická mechanika

Transcript

1 Univerzita Komenského, Bratislava Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Teoretická mechanika Bratislava, 4 B. Rabatin

2 Obsah Úvod Matematický aparát teoretickej mechaniky. Einsteinova sumačná konvencia Základné operácie s vektormi podl a Einsteinovej sumačnej konvencie Diferenciálny operátor, divergencia, gradient a rotácia Príklady na vektorový a diferenciálny počet v Einsteinovej sumačnej konvencii Vektorové identity Diferenciálne operátory Gauss-Ostrogradského veta* Kelvin-Stokesova veta* Mechanika sústavy viazaných hmotných bodov. d Alembertov - Lagrangeov princíp Väzby, väzbové rovnice Aktívne sily, reakčné sily väzieb Nezávislé väzby, dimenzia konfiguračného priestoru Princíp virtuálneho posunutia D Alambertov - Lagrangeov princíp Lagrangeove rovnice II. druhu Zovšeobecnené súradnice, Lagrangeove rovnice II. druhu Zákony zachovania Zákon zachovania energie Princíp najmenšieho účinku Matematické okienko do variačného počtu Účinok, princíp extremálneho účinku Hamiltonove rovnice Legendrova transformácia Hamiltonove rovnice Poissonove zátvorky Ďalšie aplikácie Lagrangeovského a Hamiltonovského prístupu v mechanike Potenciálna energia a sila* Zovšeobecnená potenciálna energia* Nepotenciálová zložka sily a jej výkon* Fázový priestor Kvalitatívne riešenie Hamiltonových rovníc* Liouvilleova veta* Škálovanie Problém dvoch telies Malé kmity Príklady z malých kmitov sústavy Perióda kmitov anharmonického oscilátora** Pohyb v neinerciálnej vzt ažnej sústave Vol ný pád telesa na rotujúcu zem Tuhé teleso Kinetická a rotačná energia tuhého telesa, moment zotrvačnosti Steinerova veta* Veta o kolmých osiach* Kinematika vol ného sférického zotrvačníka ii

3 OBSAH Eulerove rovnice pre rotáciu tuhého telesa, Eulerove uhly Ďalšie príklady** Úvod do mechaniky kontinua a hydrodynamiky 5 4. Všeobecná pohybová rovnica kontinua Kvapaliny Tok ideálnej kvapaliny, Eulerova rovnica Rovnica kontinuity Tok ideálnej nestlačitel nej kvapaliny Hydrostatika Stacionárne tečenie nevírového pol a, Bernoulliho rovnica Tok viskóznej kvapaliny, Navier-Stokesova rovnica Ďalšie príklady z hydrodynamiky riešitel né analyticky** Niečo o numerických simuláciách** Pružné kontinuum Tenzor deformácie Hookov zákon Hookov zákon pre homogénne a izotrópne kontinuum Objemová dilatácia Homogénne a izotrópne pružné kontinuum, Lamého rovnica Vlny v pružnom kontinuu a v kvapalinách Vlny v izotropnom pružnom kontinuu Vlny v ideálnej kvapaline iii

4 Úvod Napriek tomu, že je celý tento text chápaný ako okrajový doplnkový materiál, bez ktorého sa predmet teoretická mechanika bez problémov zaobíde, som mal celý čas nutkanie napísat o týchto záležitostiach čo najviac a čo najzaujímavejšie. Mnohokrát už počas písania ba aj po napísaní a pri následnej kontrole som sa prichytil ako uvažujem, čo všetko by sa ešte dalo doplnit, čo všetko tu ešte nie je a kol ko zaujímavých príkladov a demonštrácii by sa mohlo v tomto texte ešte nachádzat. Tieto myšlienky treba v istom okamihu rázne stopnút, ináč sa zo stranového textu za istý čas stane 5 stranový, následne stranový, potom 3 stranový a kto ovláda inžiniersku indukciu, dôjde ku divergencii jeho rozsahu s časom idúcim do nekonečna ešte že žijeme obmedzený čas. Užitočná fráza, ktorú som si zopakoval, najmä pri kontrole a diskusii tohto textu s inými l ud mi bola, že predsa mojím ciel om nie je,,spasit svet. V opačnom prípade by hrozilo, že už i tak dlhý text nadobudne formu zbierky toho, čo považujem za zaujímavé, no s časom a rozsahom rastúcim nad všetky medze by sa text nenávratne vzd aloval od sylabu a myšlienky tohto predmetu. Napriek ráznym pokusom priškrtit moje vyčíňanie sa stalo, že nie všetky veci tu spísané sa naozaj aj skúšajú, ba dokonca vôbec spomínajú na prednáške. V takom prípade sú príslušné časti označené hviezdičkou daná čast je užitočná a vyžaduje sa ako všeobecná vedomost ku skúške, poprípade dvoma hviezdičkami keby tu daná dvojhviezdičková čast nebola, vôbec nič by sa nestalo. Po tomto podivnom úvode k úvodu by sme mohli prejst ku serióznemu úvodu, ktorý aj spomenie, o čom predmet vlastne bude. O čom je vlastne teoretická mechanika? Čitatel má možno po absolvovaní predmetu mechanika pocit, že vie všetko vypočítat a nič v mechanike mu už problém nerobí. Opak je pravdou, tí pozornejší museli postrehnút, že celá mechanika je v podstate t ažko univerzálne obsiahnutel ná oblast problémov, no tam, kde existuje istá algoritmizácia riešenia mechanických problémov, je dobré ju nájst a naučit sa ju používat. Týmto rozhodne nechceme naznačovat, že kurzom teoretická mechanika je už vyriešený každý problém a druh problému v mechanike. Dalo by sa povedat, že napriek zložitosti a kráse týchto algoritmov, sme pokryli len istý zlomok toho, čo všetko by sa ešte mohlo dat vyriešit. Šikovnému čitatel ovi nič nebráni zobrat do ruky pero, d alej stavat na týchto odvodeniach vlastné úvahy a pokúsit sa riešit d alšie mechanické problémy, ktoré samozrejme nemôžu byt všetky zaradené do jediného jednosemestrálneho kurzu. Od predmetu mechanika sa líši hlavne prístupom k jednotlivým mechanickým problémom. Jednou z hlavných výhod teoretického prístupu k mechanike je samotné ošetrovanie väzieb pohybu. V klasickom prístupe k mechanike je potrebné pre každú väzbu napr. kyvadlo viazané paličkou ku stene uvažovat sily, ktoré dané teleso udržujú na dráhe, ktorú táto väzba určuje. Toto môže byt vo všeobecnosti vel mi obtiažne. Ukazuje sa, že hl adat tieto sily v skutočnosti nie je potrebné, stačí poznat väzbové rovnice a tzv. aktívne sily, ktoré sú v systéme prítomné. Prvý prístup, v ktorom nepotrebujeme poznat priamo sily väzieb je d Alambertov - Lagrangeov princíp, ktorý sa ale ukáže byt nie vel mi vhodný na riešenie praktických problémov mechaniky. Obsahuje totiž viac rovníc, ako je na riešenie nutné. Ako d alšie sa využije nájdenie takej parametrizácie, ktorá spĺňa väzbové rovnice a hlavným výstupom budú Lagrangeove rovnice. V d alšej časti tohto kurzu sa budeme venovat Hamiltonovým rovniciam, ktoré za cenu zdvojnásobenia počtu rovníc znížia ich rád. Hamiltonián sa objavuje hlavne v kvantovej mechanike, avšak je užitočné sa s ním oboznámit už teraz. V nasledujúcej kapitole sa venujeme neinerciálnym vzt ažným sústavám a problémom týkajúcich sa tuhých telies. V poslednej časti pokračujeme témou o kontinuu, kde sa pozrieme na kvapaliny a elastické kontinuum. Pri kvapalinách opustíme známe vody Lagrangeovského opisu systému a využijeme Eulerov opis, čo však nakoniec prinesie svoj úžitok. Pri všetkých týchto témach sa naučíme aktívne používat Einsteinovu sumačnú konvenciu a rôzne pomôcky skracujúce zápis, čo šetrí miesto a zdravý rozum v odvodeniach. Tento aparát je vel mi užitočný aj ku d alším predmetom teória relativity, kde sa indexová matematika privedie do úplne inej úrovne, poprípade teória elektromagnetického pol a a iné a fyzik sa bez neho určite nezaobíde avšak každý človek má inú hranicu straty zdravého rozumu. Aj ked je možné všetky odvodenia prejst kompletne bez používania tohto aparátu, je vel mi silno odporúčané si ho rýchlo osvojit, ked že jeho krása a výhody d aleko prevyšujú tých pár hodín námahy.

5 Matematický aparát teoretickej mechaniky V tomto učebnom texte budeme používat rôzne značky, skratky a konvencie, ktoré majú za ciel skrátit, zjednodušit a zintuitívnit zápisy, ktoré budeme používat. Je dobré pri odvodení mnohých vektorových rovníc pracovat len s jednou komponentou naraz. Ak sa dajú tieto odvodenia robit všeobecne pre i-tu komponentu, budeme to tak robit. Namiesto vektora A tak budeme napr. pre jeho i-tu zložku písat A i. V texte budeme taktiež hojne využívat koncepciu vol ných a sčítacích indexov, ktorá má názov Einsteinova sumačná konvencia.. Einsteinova sumačná konvencia Jednoduchý popis tejto konvencie je, že ak sa vo výraze obajví nejaký index dvakrát, automaticky to implikuje sumáciu. Takýto index budeme volat sčítací. Vyvstáva otázka, aké sú hranice sumácie, čo ak mám vo výraze jeden index len jedenkrát a čo ak mám vo výraze jeden index viac než dva razy? Ak máme vo výraze index, ktorý sa tam nachádza len jedenkrát, ide o tzv. vol ný index, teda výsledok výrazu závisí od konkrétnej vol by indexu čo za neho dosadíme. Najlepšie sa na túto otázku odpovedá v príkladoch. Ak sa vo výraze nachádza niektorý index viac než dvakrát, ide o nezmysel, teda o preklep aspoň čo sa týka Einsteinovej sumačnej konvencie, ako taká nepozná, čo je výraz s troma rovnakými indexami. Ak sme si vedomí, že tie tri indexy majú opodstatnenie, sumu ručne pripíšeme. Čo sa týka hraníc sumácie, poväčšinou sa sumuje od po 3, ak sa nachádzame v priestore R 3, no hranice závisia od konkrétnej situácie v prípade poriadneho značenia sa dajú hranice dobre určit a nebýva s tým problém... Základné operácie s vektormi podl a Einsteinovej sumačnej konvencie Symboly δ ij a ε ijk Výraz δ ij sa nazýva Kroneckerova delta popr. Kroneckerov delta symbol. Ako na prvý pohl ad vidno, sú v ňom práve dva rôzne indexy, každý z nich použitý len jedenkrát, teda oba sú vol né teda výsledok závisí od ich vol by, čo za ne konkrétne dosadíme. Ked že sú oba vol né, očakáva sa, že doplníme, čo je výsledkom výrazu δ ij pre konkrétne i a j. Definícia znie jednoducho: {, i = j δ ij =., i j. Táto definícia naozaj určí hodnotu výrazu δ ij pre akékol vek i a j, ktoré si vymyslíme. Ďalšiu prácu s týmto symbolom uvidíme na praktických príkladoch, no jeden si môžeme dovolit už teraz: δ ii = δ +δ +δ 33 = ++ = 3.

6 .. EINSTEINOVA SUMAČNÁ KONVENCIA Výraz ε ijk je Levi-Civitov symbol, je to úplne antisymetrický tenzor. Je zdĺhavé definovat tento výraz pre každé i, j a k i,j,k 3, ale platí, že ε 3 = a navyše pri výmene akýchkol vek dvoch indexov sa znamienko zmení na opačné: ε 3 = ε ijk = ε jik = ε kji = ε ikj.3 Z tejto definície je jednoduché odvodit, že ak sa pri Levi-Civitovom symbole zhodujú aspoň dva indexy, celý výraz je nulový. Napr.: Davis Cup identita Platí vel mi dôležitá a často využívaná identita : Báza R 3 ε 3 = ε 3 = ε 3 = ε 3 = ε 33k = ε ijk ε mnk = δ im δ jn δ in δ jm.4 V trojrozmernom Euklidovskom priestore existuje pravouhlá pravotočivá báza. Táto báza je tvorená troma vektormi jednotkovej dĺžky, ktoré sú navzájom kolmé. Zvyčajne sa označujú i, j a k jednotkový vektor v smere osi x, v smere osi y a v smere osi z. Pre potreby Einsteinovej sumačnej konvencie je dobré, ak miesto vektorov i, j a k používame označenia e, e a e 3. Potom e bude jednotkový vektor v smere osi x, e v smere osi y a e 3 v smere osi z. Zjavná výhoda je, že tieto označenia majú v sebe index, ak teda napíšeme vektor e i, myslí sa tým i-ty bázický vektor teda vo výraze ostane jediný vol ný index, ktorý má takú úlohu, že ak sa chceme už konkrétne spýtat,,ktorý? tak si za i dosadíme konkrétne číslo. Vektor a jeho vyjadrenie Majme vektor a, ktorý je z R 3. Jeho zložky budú: a = a a.5 a 3 Ak teda budeme chciet vyjadrit nejakú zložku vektora a no bez bližšej špecifikácie, použijeme označenie a i. Vyjadrenie tohto vektora pomocou bázy e i už používame to, čo sme práve zaviedli, teda báza e i znamená pravotočivá pravouhlá báza, z ktorej sa sústredíme na jej i-tu komponentu bez bližšieho určenia, čo je to vlastne i je suma: 3 a = a e +a e +a 3 e 3 = a i e i No v zmysle Einsteinovej sumačnej konvencie si okamžite uvedomíme, že sumu pred výrazom môžeme zmazat, čo nám niekedy môže náramne skrátit výrazy, s ktorými pracujeme: i= a = a i e i.6 Je zrejmé, že index i je len sčítací - na ňom výsledok nezávisí tak ako v prípade určitého integrálu výsledok nezávisí na tom, či integračnú premennú pomenujeme x, t, alebo u, výsledok bude závisiet len od hraníc a tvaru funkcie. Rovnako dobre by sme mohli napísat : a = a j e j, alebo a = a k e k, alebo a = a c e c,... Ktorá dostala názov podl a konvencie: každý vol ný index s každým vol ným indexom. 3

7 .. EINSTEINOVA SUMAČNÁ KONVENCIA Skalárny súčin Ak teraz máme dva vektory, a a b a vektor b má zložky označené b i, teda analogicky k prvému prípadu, ked sme označovali vektor a, ich skalárny súčin je daný výrazom: a b = a b +a b +a 3 b 3 = teda podl a Einsteinovej sumačnej konvencie píšeme: 3 a i b i i= a b = a i b i.7 Štvorec dĺžky vektora a potom vypočítame ako skalárny súčin s tým istým vektorom: a = a a = a i a i.8 Dobré by bolo zistit, ako interagujú Kroneckerova delta a výraz, ktorý má v sebe jeden z indexov tohto symbolu. Skúsme, čo dá súčin a i s δ ij : a i δ ij = a δ j +a δ j +a 3 δ 3j Toto zdanlivo nikam neviedlo, avšak je treba si uvedomit, že pre konkrétne j len jeden z výrazov na pravej strane je nenulový pretože Kroneckerova delta je rovná nule, ak sa jej dva indexy nezhodujú a j môže byt rovné len jedinému číslu. Konkrétne ktorý? No predsa ten, ktorý trafil číselne j, teda z troch sčitancov ostane jediný, a to a j : a i δ ij = a j.9 V praxi teraz vidíme, že výsledok niečoho, čo má jeden vol ný index j lebo i je sčitací index je zas niečo, čo má v sebe jeden vol ný index a tým je j. Toto je dobrá intuitívna pomôcka na overenie správnosti výrazov, ktoré sme počítali - ak sa nezhodujú vol né indexy toho, čo počítame s tým, čo sme dostali, niekde je chyba. Skalárny súčin teraz môžeme napísat ešte trochu inak, pomocou delta symbolu: a b = a i δ ij b j. Ked že symbol delta funguje tak, že,,skočí na cudzí index a premení ho na dostupný vol ný tak, ako sme videli v príklade a i δ ij = a j, tak si môže vybrat, či v tomto prípade delta skočí na a i, alebo na b j, výsledok nebude závisiet od tejto vol by ani nemôže - lebo i a j je sú v tomto prípade sčítacie indexy, výsledok od nich nezávisí: Vektorový súčin a i δ ij b j = a j b j = a i b i = a b Vektorový súčin sa už vyjadruje trochu zložitejšie, budeme na to potrebovat ε ijk tak ako sme na skalárnysúčinpotrebovaliδ ij, čovšakneboloúplnenutné. Jezvykomzvýrazov, ktorésúvektory poprípade viacrozmerné tenzory, vyjadrovat len i-tu zložku poprípade ij-tu zložku v prípade matice, ijk-tu zložku,... v prípade viacerých rozmerov. Potom i-ta zložka vektorového súčinu vektorov a a b sa počíta nasledovne: a b = ε ijk a j b k. i Tento fakt sa dá overit ručne v prípade každej zložky vektorového súčinu. Ešte predtým si treba uvedomit, že ked za i dosadíme konkrétne číslo napr., tak ohl adom j a k sa má zmysel zaoberat len ak i j k i, pretože inak ε ijk aj tak dá nulu vid definícia ε ijk.3. 4

8 .. EINSTEINOVA SUMAČNÁ KONVENCIA Môžeme sa presvedčit o správnosti vyjadrenia vektorového súčinu pomoou Levi-Civitovho symbolu: a b a b a b 3 = ε jk a j b k = ε 3 a b 3 +ε 3 a 3 b = a b 3 a 3 b = ε jk a j b k = ε 3 a b 3 +ε 3 a 3 b = a 3 b a b 3 = ε 3jk a j b k = ε 3 a b +ε 3 a b = a b a b Ak by sme z nejakého dôvodu chceli počítat celý vektorový súčin ako vektor, teda nie po zložkách, je to možné - poznáme totiž i-tu zložku vektora, ktorý počítame, takže k nemu stačí pripísat i-ty bázický vektor: a b = e i ε ijk a j b k... Diferenciálny operátor, divergencia, gradient a rotácia Pomocou indexovej notácie je v kartézskej súradnicovej sústave definovaný operátor i nabla ako výraz x i, čo sa v nasledujúcich prípadoch ukáže byt opodstatnené. V nasledujúcich častiach považujeme výraz x i za i-tu zložku polohového vektora r v kartézskych súradniciach, teda x = x, x = y, x 3 = z. Divergencia Divergencia je operátor, ktorý sa štandardne aplikuje na vektorovú funkciu vektor a jej symbolický zápis je skalárny súčin: F = x, x, F x 3 F = F + F + F 3.3 x F x x 3 3 Tu vidno, že ak sme výraz x i označili ako i, potom skalárny súčin s vektorovou funkciou dá presne ten výsledok, aký od divergencie očakávame: Gradient F = i F i = F i x i = F x + F x + F 3 x 3.4 Gradient sa púšt a na skalárnu funkciu ale sú prípady, ked gradient aplikujeme na vektor, výsledkom je vektor v prípade, ak ho aplikujeme na vektor, výsledkom bude tenzor - matica a jej symbolický zápis je nasledovný: f = f x, f x, f x 3 V tomto prípade prísne sledujme indexovú notáciu, k čomu nás dovedie: Rozpísané vektorovo: čo je to, čo sme od gradientu očakávali. f f = f f e i =, x i x i = f x i f x, f x

9 .. EINSTEINOVA SUMAČNÁ KONVENCIA Gradient pustený na vektor by sme počítali nasledovne: Jeho výsledkom je matica: F ij = F j x i.7 F F F x x x 3 F F F F = x x x 3 F 3 F 3 F 3 x x x 3 Nič nám však nebráni definovat gradient vektora opačne: F Jeho výsledkom je iná matica transponovaná k tej pôvodnej: F F F 3 x x x F F F F 3 = x x x F F F 3 x 3 x 3 x 3 ij.8 = F i x j.9. Ak v priebehu nejakých odvodení narazíme na gradient vektora, bude vždy zrejmé, o ktorý prípad sa jedná poprípade dostaneme oba vyššie prípady v súčte, čo je ale necitlivé na zámenu indexov i a j, vd aka symetrii. Rotácia Rotácia je operátor, ktorý sa aplikuje na vektor a počíta sa ako vektorový súčin: F. Potom i-ta zložka rotácie F sa počíta pomocou Levi-Civitovho symbolu ε ijk : Výsledkom je vektor: F = ε ijk F k x j e i = F i = ε ijk F k x j. F3 F F e + F 3 F e + F e 3.3 x x 3 x 3 x x x 6

10 .. PRÍKLADY NA VEKTOROVÝ A DIFERENCIÁLNY POČET V EINSTEINOVEJ SUMAČNEJ KONVENCII. Príklady na vektorový a diferenciálny počet v Einsteinovej sumačnej konvencii.. Vektorové identity Začneme dôležitými a menej dôležitými identitami, ktoré súvisia so skalárnym a vektorovým súčinom. Všimneme si, že zakaždým, ked chceme napísat skalárny alebo vektorový súčin, skontrolujeme, či už vo výraze nemáme indexy, aké sme zamýšl ali použit - ak áno, premeníme sčítacie indexy za nové, aby sme predišli viac než dvom rovnakým indexom vo výraze. a b = ε ijk a j b k = ε ikjb k a j = b a i }{{} i ε ikj a b c = a i ε ijk b j c k = c k ε kij a i b j = b j ε jki c k a i = a b c [ ] a b c = ε ijk a j b c i = a j c j b i a j b j c i = k [ a c = a b = b a = c a b = b c a = ε ijk a j ε klm b l c m = ε ijk ε lmk a j b l c m DC = δ il δ jm δ im δ jl a j b l c m = ] b a b c i = a b c = a c b a b c Tu sa pozastavíme nad tým, že chvíl u predtým, ako sme chceli napísat ε ijk a j b k ε ijk c j d k sa zháčime a všimneme si, že takto by sme mali niektoré indexy až štyrikrát, preto výraz zmeníme na ε ijk a j b k ε imn c m d n. Samostatne sú oba pravdivé ε ijk a j b k je i-ta zložka a b, aj ε ijk c j d k je i-ta zložka c d, no ked ich chceme zlúčit spolu, je nutné indexy premenovat : a b c d = a b i }{{} ε ijk a j b k c d = ε ijk a j b k ε imn c m d n = i }{{} ε imn c m d n DC = ε jki ε mni a j b k c m d n = δ jm δ kn δ jn δ km a j b k c m d n = a j c j b k d k a j d j b k c k = a b c d = a c b d a d b c Predtým, než sa pustíme do kapitoly o diferenciálnych identitách, zavedieme označenie, ktoré mnohokrát ušetrí miesto a rovnice sa budú dat písat do jedného riadku - miesto výrazu derivácie podl a i-tej súradnice x i budeme používat výraz i. 7

11 .. PRÍKLADY NA VEKTOROVÝ A DIFERENCIÁLNY POČET V EINSTEINOVEJ SUMAČNEJ KONVENCII.. Diferenciálne operátory Sem patria všetky lahôdky typu divergencia, gradient a rotácia v rôznych kombináciach násobného aplikovania, kde možných spôsobov je nekonečne vel a. f F = i f F i = F i i f +f i F i = f F = F f +f F F G = i ε ijk F j G k = ε ijk G k i F j +ε ijk F j i G k = G k ε kij i F j F j ε jik i G k = F G = G F F G [ ] f g = i f g = g i f +f i g = f g = g f +f g i [ ] F G = if j G j = G j i F j +F j i G j i F G = F G+ G F Skalárny súčin,, je teraz chápaný ako súčin matíc: F G+ G F = F F F 3 F F F 3 3 F 3 F 3 F 3 G G G 3 G G G 3 + G G G 3 3 G 3 G 3 G 3 Gradient skalárneho súčinu má ešte iné, krajšie vyjadrenie. Jeho dôkaz pozostáva v rozpísaní oboch strán a v manuálnom overení pravdivosti tvrdenia bez dôkazu - odvodenie by obsahovalo isté umelé kroky: F G = F G+ G F + F G + G F [ f F ] = ε ijk j f F k = ε ijk F k j f +ε ijk f j F k = ε ijk f j F k ε ikj F k j f i = f F = f F F f [ F G ]i = ε ijk j F G = ε ijk j ε kmn F m G n = ε ijk ε mnk G n j F m +F m j G n = k [ ] [ ] G F F G F F F 3 = δ im δ jn δ in δ jm G n j F m +F m j G n = G j j F i [ }{{ } ] G F i {}}{ G i j F j + F i j G j [ } {{} ] F G {}}{ F j j G i i = F G = F G G F + G F F G Výraz G F chápeme nasledovne: G F = Gj j F i e i = G +G +G 3 3 F = i G F +G F +G 3 3 F G F +G F +G 3 3 F G F 3 +G F 3 +G 3 3 F 3 i 8

12 .. PRÍKLADY NA VEKTOROVÝ A DIFERENCIÁLNY POČET V EINSTEINOVEJ SUMAČNEJ KONVENCII F = i ε ijk j F k = ε ijk i j F k = ε ijk i j F k +ε ijk i j F k }{{} ε jik j i F k i j F k = {}}{ ε ijk i j F k +ε jik j i F k = i j F k ε ijk ε ijk = F = [ ] f = ε ijk j f = ε ijk j k f = analogicky = i k f = f = i i f = i i f f = f Operátor voláme Laplaceov operátor, púšt a sa na skalárnu funkciu alebo na vektorovú funkciu po zložkách a v kartézskych súradniciach vyzerá nasledovne: f = f =,, 3 3 [ F ]i = ε ijk j F f g F f = f = f + f f k = ε ijk j ε kmn m F n = ε ijk ε mnk j m F n = = δ im δ jn δ in δ jm j m F n = i j F j j j F i = F = F F = i i j F j = j i i F j = F = i f i g = i g i f+f i i g = f g = f g g f = f i i g g i i f = f i i g g i i f = F = = f g + f g = i f i g g i f i g i f+ i f i g = i f i g g i f = f g g f = f g g f f g = i i f g = i [ i f g] = i g i f +f i g = = i g i f+g i i f + i f i g+f i i g = f g = f g + f g +g f Táto čast sa snažila ukázat stručnost narábania s Einsteinovou sumačnou konvenciou. Kto by neveril, môže si skúsit dané výrazy rozpisovat pre jednotlivé zložky a používat sumy. Existuje mnoho d alších identít, na niektoré narazíme pri odvodeniach v mechanike viazaných hmotných bodov, tuhom telese, mechanike kontinua a hydrodynamike. 9

13 .. PRÍKLADY NA VEKTOROVÝ A DIFERENCIÁLNY POČET V EINSTEINOVEJ SUMAČNEJ KONVENCII V neskorších kapitolách budeme hojne využívat dve vety prerábajúce oblast integrovania: Gaussovu a Stokesovu popr. Greenovu vetu...3 Gauss-Ostrogradského veta* Nech V R 3 je uzavretá a ohraničená množina, ktorá má po častiach hladkú hranicu V S a vektorové pole F je spojite diferencovatel né. Potom platí veta : F dv = F ds.4 V Najprv sa pozrime na l avú stranu; podintegrálna funkcia je skalárna a je výsledkom divergencie vektorového pol a, je teda možné ju napísat ako i F i. Pravá strana je už plošný integrál II. druhu, teda násobíme vektorové pole v danom bode s diferenciálom plochy, čo však možno napísat ako: S F d S = F nds kde n je normálový vektor plochy hranice v danom mieste. Celú Gaussovu vetu môžeme prepísat ako: i F i dv = F i ds i.5 V V prípade pol a vyššieho rádu tenzorového, alebo v prípade viacerých indexov zmotaných na l avej strane alebo pravej strane, ak začíname od plošného integrálu je recept nasledovný: pozri sa, na ktorý index skáče derivácia napr. i-ty, ked ho nájdeš, zmaž deriváciu a diferenciál dv a pripíš príslušnú zložku diferenciálu plochy ds i a integrál zmeň z objemového na plošný...4 Kelvin-Stokesova veta* Nech C = D je kladne orientovaná, po častiach hladká, jednoduchá uzavretá krivka a nech D je plocha ohraničená touto krivkou a vektorové pole F je spojite diferencovatel né. Potom platí veta 3 : F ds = F d l.6 D Podobným postupom možno danú vetu napísat v indexoch: ε ijk j F k ds i = F i dl i.7 D S C C Divergence theorem 3 Curl theorem

14 Mechanika sústavy viazaných hmotných bodov Pripomíname, že vo všetkých výrazoch odteraz budeme používat Einsteinovu sumačnú konvenciu - pre každý index, ktorý uvidíme vo výraze dvakrát v súčine, napríklad a i b i si pred ním predstavíme sumu čiže z a i b i by vzniklo: N i= a ib i = a b. V prvých výrazoch tejto kapitoly pripomenieme sumačnú konvenciu pridaním sumy do zátvorky, neskôr je treba túto konvenciu spoznat automaticky.. d Alembertov - Lagrangeov princíp.. Väzby, väzbové rovnice Každá väzba, ktorú v sebe system má, je obyčajne určená rovnicou: Φ i r, r,..., r n, r, r,..., r n,t =. kde Φ i r, r,..., r n, r, r,..., r n,t je vo všeobecnosti funkcia času, polôh a rýchlostí hmotných bodov v sústave, ktorú skúmame. Množinu bodov, ktoré spĺňajú väzbové rovnice budeme nazývat konfiguračný priestor M. Príklad: Majme v rovine xz y = jeden hmotný bod hmotnosti m a polohou r, ktorý je však viazaný na kružnicu s polomerom R so stredom v bode [,,]. Vieme, že rovnica takejto kružnice je: x +z = R Druhé obmedzenie, ktoré máme je fakt, že pohyb sa koná v rovine xz, teda: y = Vieme, že väzbové rovnice sú tvaru Φ i r,..., r n, r,..., r n,t =, teda naše väzbové rovnice budú vyzerat nasledovne: Φ r, r,t = x +z R = Φ r, r,t = y= Systém, ktorý sme práve popisovali má aj meno, označuje sa ako rovinné matematické kyvadlo. Vieme, že na hmotný bod r určite pôsobí sila F = m g = m r. Avšak takýto opis by viedol ku pohybu po parabole, ked že v tejto rovnici nie je zohl adnená práve sila, ktorá udržuje hmotný bod na danej kružnici vieme, že by to v skutočnosti bola dostredivá sila.

15 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP.. Aktívne sily, reakčné sily väzieb Zaved me teraz vo všeobecnosti dve zložky sily, ktoré pôsobia na body v systéme. Jedna zložka budú aktívne sily F a, teda také sily, ktoré ostanú prítomné aj po tom, čo by sme si odmysleli väzby teda pri rovinnom matematickom kyvadle je aktívna sila jedine gravitačná, pretože táto sila ostane, aj ked bod nebude viazaný na kružnicu. Ďalej zavedieme reakciu väzieb F r, čo sú práve sily, ktore udržujú hmotné body na trajektóriach určených väzbovými rovnicami. Platí: F = F a + F r. Samotné väzbové rovnice by mali byt nezávislé. V praxi to znamená, že žiadnu skupinu väzieb nemôžeme vylúčit bez toho, aby sme nestratili informáciu o konfiguračnom priestore v príklade matematického kyvadla nemôžeme vylúčit druhú rovnicu y =, pretože takýto pohyb by sa konal na celom valci a nielen na kružnici. Zároveň pripúšt ame len,,slušné väzby napríklad väzba x + y + z = nie je slušná, pretože aj ked je len jedna, jej riešením je jediný bod x = y = z =. Presné definovanie tejto záležitosti by v tomto momente ničomu neprospelo...3 Nezávislé väzby, dimenzia konfiguračného priestoru Za týchto predpokladov platí, že dimenziu konfiguračného priestoru vypočítame ako rozdiel dimenzie priestoru, v ktorom uvažujeme pohyb hmotných bodovpre N hmotných bodov potrebujeme 3N premenných na ich opis, teda dimenzia tohto priestoru je 3N a počtu väzbových rovníc. Ak máme N hmotných bodov a počet nezávislých, slušných väzbových rovníc je k, potom dimenziu konfiguračného priestoru n vypočítame ako: n = 3N k.3 Odteraz sa budeme zaoberat len väzbami, ktoré sú holonómne, teda také, ktoré závisia len od r a nie od r, popr. vyšších derivácii, alebo explicitne od času. Uvažujme teraz všeobecný prípad, kedy máme N hmotných bodov r, r,... až r N. Ich hmotnosti sú m, m,... až m N. Pre tieto hmotné body platí: m r = F m r = F. m N rn = F N Polohy r, r,..., r N chápeme ako N bodov v 3D: Definujme jedinú polohu r: r = x,y,z r = x,y,z. r N = x N,y N,z N r = r, r,..., r N = x,y,z,x,y,z,...,x N,y N,z N.4 Túto polohu r chápeme ako jeden hmotný bod v 3N D. Teraz jednoducho definujeme konfiguračný priestor M: M = { r; i: i k : Φ i r = }.5 M R 3N k M R 3N

16 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP Analogicky ku r definujeme rýchlost v: v = r, r,..., r N = ẋ,ẏ,ż,ẋ,ẏ,ż,...,ẋ N,ẏ N,ż N.6 Hybnost p bude: p = p,..., p N = m r,...,m N rn = m ẋ,m ẏ,m ż,m ẋ,...,m N ẏ N,m N ż N.7 Sila F: F = F, F,..., F N.8 V tejto pruhovanej konvencii platí zákon sily: F = p.9 Pre nezávislé väzby Φ, Φ, až Φ k platí, že hodnost Jacobiho matice J ij i k, j N: J ij = Φ i x j je maximálna možná, teda hj = minrj,sj = mink,3n a to v každom bode r, ktorý spĺňa tieto väzbové rovnice. Pripomíname, ako vyzerá Jacobiho matica J: Φ Φ Φ Φ Φ x y z x z N Φ Φ Φ Φ Φ J = x y z x z N Φ k Φ k Φ k Φ k Φ k x y z x z N 3

17 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP..4 Princíp virtuálneho posunutia Predstavme si teraz, že sa nachádzame v takom bode r, ktorý naozaj spĺňa väzbové rovnice, teda patrí do konfiguračného priestoru M. Posuňme sa do bodu r+δ r, ktorý taktiež spĺňa väzbové rovnice, teda platí: i : i k : Φ i r = Φ i r +δ r =. Orientačný obrázok k situácii: 3N r- r - r - + r- M Rozviňme výraz Φ i r +δ r do Taylorovho radu v okolí bodu r ked že hodnotu δ r pokladáme za malú: 3N Φ i r +δ r = Φ i r+ Φ i δ r j +O δ r r j j= kde O δ r je zvyšok radu, ktorý sa vzhl adom na malost δ r mení len málo a teda je možné ho zaned- bat. Ak operátor r označíme ako i i 3N, potom druhý vyraz v Taylorovom rozvoji bude i 3N j= Φi δ r j j, teda skalárny súčin gradientu i-tej väzbovej funkcie s virtuálnym posunutím v 3ND zároveň už zanedbáme zvyšok radu, ktorý sa nemení do prvého rádu zmeny malej hodnoty δ r: Φ i r +δ r = Φ i r+ Φ i δ r Za predpokladu, že sa naozaj uspokojíme s dvoma členmi Taylorovho rozvoja, potom člen Φ i δ r musí byt rovný nule, pretože oba body r aj r +δ r spĺňajú väzbové rovnice, teda použitím. musí platit : Φ i r = Φ i r +δ r = = Φ i δ r =. 4

18 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP Tento výsledok bude ešte dôležitý. Rozoberme si teraz samotnú reakčnú silu F r. Na to, aby udržala bod na konfiguračnom priestore M, musí platit, že táto sila bude kolmá na dotyčnicu ku konfiguračnému priestoru. V tomto prípade viac napovie obrázok: 3N r - r - - F r M Platí teda, že skalárny súčin virtuálneho posunutia s touto reakčnou silou je nulový: F r δ r =,. teda že skalárny súčin virtuálneho posunutia s celkovou silou bude rovný skalárnemu súčinu virtuálneho posunutia s aktívnou silou, čo znamená, že prácu koná len aktívna zložka sily, ktorá na bod pôsobí: Z.9 a.3 vyplýva: Čo možno prepísat ako: F δ r = F a δ r.3 p δ r = F δ r = F a δ r.4 p F a δ r =.5 5

19 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP..5 D Alambertov - Lagrangeov princíp Z práve odvodených výsledkov a z väzbových rovníc dostávame D Alambertov - Lagrangeov princíp: p F a δ r = Φ i r δ r = Φ i r =.6 Vzhl adomnato,žeindexibežíoddok,d Alembertov-Lagrangeovprincípzahŕňak +rovníc. Toto sa ukazuje byt vel mi neefektívne, ak narastá počet bodov zároveň s počtom väzbových rovníc. Príkladom by bol opis pohybu tuhého telesa, kde na každý nový bod, ktorý v telese uvažujeme, musíme uvažovat aj väzbovú rovnicu ktorá povie, že v prípade rotácie tento bod rotuje okolo jedinej osi spolu so všetkými ostatnými bodmi a d alšiu väzbovú rovnicu, ktorá udržuje vzdialenosti medzi každými dvoma bodmi. Je jasné, že d Alembertov - Lagrangeov princíp je v tomto prípade a v mnohých iných len t ažko aplikovatelný - vzniká vel ké množstvo d alších rovníc, ktoré v konečnom dôsledku dávajú opis niečoho, čo vôbec nepotrebujeme virtuálne posunutia. Na nasledujúcom jednoduchom príklade demonštrujeme neefektívnost tohto princípu. Príklad: rovinné matematické kyvadlo. V systéme je jediný hmotný bod r s hmotnost ou m viazaný na kružnicu so stredom v bode [,,] a polomerom l dĺžka kyvadla, ktorá leži v rovine xz, pričom y =. Jediná aktívna sila je gravitačná v smere z. Toto sú všetky potrebné informácie na výpočet nasledujúcich výrazov potrebných na zostavenie sústavy rovníc: p = mẋ,ẏ,ż = p = mẍ,ÿ, z F a =,, mg Φ = x +z l Φ = y Φ = x,,z Φ =,, δ r = δx,δy,δz T Samotná sústava rovníc: δx.6 I. = ẍ, ÿ, z +g δy = a δz δx x,, z δy = b δz.6 II. = δx,, δy = c δz { x +z l = d.6 III. = y = e.7 6

20 .. D ALEMBERTOV - LAGRANGEOV PRINCÍP Z.7cvyplýva, žeδy = pohybsakonálenvrovinexz, tedasústavanepripúšt avirtuálneposunutie v smere y. Z.7 b vyplýva xδx+zδz =. Ak δy =, potom z.7 a vyplýva ẍδx+ z +gδz =. Maticový zápis oboch výsledkov naraz je teraz užitočnejší: ẍ z +g δx = x z δz Vieme, že táto rovnost má byt splnená vždy, pre každé δx a δz, ktoré vyhovujú virtuálnym posunutiam v rámci konfiguračného priestoru M. Potom však musí platit, že determinant tejto sústavy je rovný nule: z +g ẍ x z =! Spolu s prvou väzbovou rovnicou dostávame takéto rovnice: ẍz x z +g = x +z = l.8 Jednou z možností, ako sa dopracovat k nejakému výsledku je vhodne zvolit súradnicovú sústavu. V tomto prípade zvolíme polárnu sústavu r, ϕ takú, že pre ϕ = dostaneme vol ne visiace kyvadlo. Ked že kyvadlo má konštantnú dĺžku, tak r = l a môžeme písat : x lsinϕ y = z l cosϕ Vidíme, že pri takto zvolených suradniciach sú automaticky splnené obe väzbové rovnice. Vypočítajme ẍ a z: x = lsinϕ ẋ = lcosϕ ϕ ẍ = lsinϕ ϕ +lcosϕ ϕ z = lcosϕ ż = lsinϕ ϕ z = lcosϕ ϕ +lsinϕ ϕ Z rovnice.8 I. rovnica.8 II. je splnená automaticky teda dostávame: [ lsinϕ ϕ +lcosϕ ϕ ] [ lcosϕ] lsinϕ [ lcosϕ ϕ +lsinϕ ϕ+g ] = l ϕ [ cos ϕ+sin ϕ ] lgsinϕ = ϕ+ g l sinϕ = Toto je naozaj správna rovnica rovinného matematického kyvadla. Vidíme, že počas jej odvodenia sme museli použit rôzne kroky a postupy, ktoré sa nedajú univerzálne algoritmicky opísat, avšak vo výsledku dostávame rovnicu pre jedinú premennú ϕ. Intuícia nám teda vraví, že z piatich rovníc by stačila jedna vo vhodnej kombinácii, aby sme sa dopracovali k rovnakému výsledku. Kl účový rozdiel medzi piatimi rovnicami d Alembertovho- Lagrangeovho princípu a jedinou výslednou rovnicou je, že zatial čo pôvodne sme dovol ovali virtuálnym posunutiam íst v ktoromkol vek smere a jeho správnost určili až samotné rovnice, v priebehu výpočtu sme zistili, že existujú súradnice parametrizácia, ktoré sú akoby,,šité na mieru a poskytujú práve tol ko vol nosti, kol ko je v systéme treba, teda pre žiaden uhol ϕ sa nedostaneme mimo kružnice, na ktorej sa deje pohyb, no zároveň rozumným spôsobom opíše celú kružnicu. Za pomoci zovšeobecnenia myšlienky súradníc ušitých na mieru väzbovým rovniciam odvodíme Lagrangeove rovnice, ktorých počet je rovný počtu stupňov vol nosti systému. 7

21 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU. Lagrangeove rovnice II. druhu.. Zovšeobecnené súradnice, Lagrangeove rovnice II. druhu Ako sme už naznačili, často platí, že pre náš systém existujú také súradnice, ktoré sú preň ako šité na mieru, pre matematické kyvadlo to bol napríklad uhol ϕ. Predpokladajme, že taká parametrizácia existuje, teda existuje n súradníc q takých, že automaticky platí: Φ i r = Φ i rq =, i; i n, teda rovnica.6 III. je automaticky splnená definitoricky. Pomocou Taylorovho rozvoja počítajme δ r: δ r = rq +δq,q +δq,...,q n +δq n rq,q,...,q n = n r r r r = rq,q,...,q n +δq +δq + +δq n rq,q,...,q n = δq i q q q n Spočítajme teraz výraz v.6 II. pre a-tu väzbovú funkciu: 3N i= Φa n Φa δr i = r i q j j,k= 3N qj i= r i r i q k } {{ } =δ jk n δq k = j= i= Φa q j δq j! = Vieme, že pre akékol vek q je každá väzbová rovnica rovná nule pretože q parametrizujú kofiguračný priestor tak, aby to platilo, čo ale znamená, že vzhl adom na zovšeobecnené súradnice q je každá väzbová rovnica konštantou konkrétne rovnou nule, čo sa inak dá napísat tak, že Φ a =, teda výraz vyššie je q j identicky rovné nule. To ale znamená, že rovnica.6 II. taktiež bez námahy automaticky platí a ostáva už len rovnica.6 I.: p F a δ r n = 3N i= j= p j a rj F j δq i = Vieme, že táto rovnost platí pre každý vektor δq. Potom neostáva nič iné, len že zvyšok musí byt rovný nule ak je skalárny súčin x y rovný nule pre každé x, potom platí, že y = : δq : p j a rj F j δq i = = i; i n : p j a rj F j = 8

22 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Roznásobme zátvorku a výraz s aktívnymi silami presuňme na druhú stranu. Označme tento výraz ako Q i q - zovšeobecnené sily: r j 3N p j = r q Fa j j.9 i q j= i }{{} Q i q Pravá strana je tým vybavená, v l avej si všimneme, že prvý súčinitel je nederivovaný podl a času, kým druhý je, čo sa dá prepísat ako časová derivácia súčinu dvoch funkcií, od ktorej odpočítame opačnú kombináciu derivovania podl a času : Výraz: má fyzikálny rozmer: Výraz: Má rozmer: r j p j = d dt rj d p j p j dt rj r j p j. [ ] rj p j = Js [q i ] = J [ q i ]. [ d dt d dt rj rj p j. p j ] = J [q i ]. Intuícia nám vraví, že ak má niečo jednotku Joule na jednotku i-tej zovšeobecnenej súradnice, jedna z možností je, že výraz je parciálnou deriváciou energie podl a zovšeobecnenej súradnice. Ked že výrazy na l avej strane sa skladajú z polôh a aj z hybností, je pravdepodobné, že pôjde o kinetickú energiu sústavy k tomuto tušeniu prispieva aj fakt, že aktívne sily sme presunuli na pravú stranu - potenciálna energia by sa mohla skrývat iba v aktívnych silách. Nájdime teda kinetickú energiu sústavy: Nájdime E kin q i : E kin q i = = N k= N k= E kin = N m k v k = N r k m k r k q a q b q a q b k= k= m k r k q a r k q b δ ia q b + q a δ ib = m k r k r k q b q b = N k= m k rk r k = N k= N k= Vidíme, že výraz, ktorý sme dostali, zodpovedá výrazu.. [ r k m k r k q b + r k r ] k q a = q b q a p k r 3N k r j = p j = r j p j q j= i Odteraz už neuvádzame pomocné sumy, pre správne rozpísanie výrazov s dvoma zhodnými indexami stačí použit Einsteinovu sumačnú konvenciu a danú sumu si tam domysliet. Namiesto parciálnej derivácie podl a času použijeme výraz tf, pre deriváciu podl a i-tej kartézskej súradnice použijeme i f. 9

23 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Spočítajme E kin : E k = N r k m k r k + r k r k q a q b = q a q b q a q b k= [ = N rk r k m k q a q b + ] rk r k q b q a = q a q b q k= } {{ }}{{} i q b q } {{ }}{{ a } rk r q k rk r a q k b q a q b N rk N = m k rk q a = p k r k N = p k d rk 3N d rj = p j = d rj q a dt dt dt k= k= k= Dostali sme výraz zhodný s.. Z.9 a predošlých výpočtov vyplýva nasledujúca rovnost : d T T = Q i q. dt q i kde T sme označili celkovú kinetickú energiu sústavy. Vel mi dôležitá poznámka: tento vzt ah platí len vtedy, ak použijeme predpoklad, že parciálna derivácia q podl a q je nulová, teda tieto veličiny na sebe nezávisia môžu sa menit nezávisle od seba. V odvodení. sme tento fakt skryto predpokladali z toho vyplýva, že ani q nezávisí r a tak d alej, všetky kombinácie výrazov, kde jeden je bodkovaný a druhý nie je. Tento predpoklad sa zdá byt vzhl adom na situáciu trochu zvláštny, pretože človek sa zamyslí a povie si - ved počkaj, však ked mením funkciu polohy, potom aj funkcia rýchlosti sa musí menit! To je síce pravda, lenže po prvé fakt, že q q = môžeme brat ako postulát, za ktorého pravdivosti platí aj. a po druhé, všetky funkcie, v ktorých vystupuje q aj q môžeme chápat ako funkciu dvoch okienok plus d alšie okienko za čas: f q, q f,. Jej derivácia podl a niektorého okienka teda nesúvisí s inými okienkami a opačne. Niekoho by mohlo pri závislosti q od q napadnút vytvárat nezmyselné ret azce vzájomných parciálnych derivácii: f [q q,t, qq,t,tq, q] = f q q + f q q q + f t t q Tento prístup však pripomína skôr totálnu deriváciu, preto sa dohodneme, že v prípade parciálnej derivácie si budeme všímat jedine explicitné závislosti a derivácie budeme vykonávat slepo podl a okienok: f [ q q,t, q q,t,t q, q ] = f q, q,t f,, j= f q = f, f q = f, f t = f Koniec-koncov, vyžadovat od parciálnej derivácie, aby menila len tú svoju premennú nie je až také zvláštne, na totálne zmeny boli vymyslené totálne derivácie. Na tento princíp musíme pamätat aj pri všetkých nasledujúcich odvodeniach, teda akékol vek parciálne derivovanie podl a niektorej z premenných bude ignorovat ostatné premenné, pokial nie je prítomná explicitná závislost. Príklad explicitnej závislosti: f [q, q,t] = sinq q +qt; f q = cosq+t, f q = q, f t = q Prípad implicitnej závislosti. Pri totálnej derivácii najprv zderivujeme funkciu podl a okienok ignorujeme ostatné okienka a zderivujeme okienko podl a času pridáme nad okienko bodku a pamätáme, že ṫ = : f [q, q,t] = e qt + qt = f [ q, q, t ] = f t =, df dt = f dq q dt + f d q q dt + f t = f q p j q + f q q = eq q + q

24 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Počas odvodenia sme došli k užitočnému postupu, ako sa dá vypočitat kinetická energia sústavy, pokial máme zadanú parametrizáciu q: T T T n q T = N r k m k r k q i q j = T T T n q... q, q,..., q n q j k= }{{} T T n T n T nn q n ij T ij = N k= m k r k r k q j.3 Podstatnou myšlienkou d alších odvodení je, že častokrát platí, že sila F a je potenciálová. Nutnou aj postačujúcou podmienkou potenciálovosti sily F a je : F a i a j = F x j x i Potom sa táto sila dá napísat pomocou gradientu nejakej funkcie Uq - potenciálnej energie: a F i = F a j Fa = U x j x i Pre zovšeobecnené sily Q i q môžeme písat : Q i q = F a r = U r = U r j r j = U Použitím tohto výsledku z. dostávame: d dt d T dt q i T d dt T q i T = Q i q T = U q i T U = Predpokladáme, že potenciálna energia U nezávisí od iných parametrov, ako su zovšeobecnené súradnice. Potom platí U = a môžeme písat : q i T U d dt q i T U = Ak teraz zavedieme funkciu zvanú Lagrangián L = T U, teda rozdiel kinetickej a potenciálnej energie sústavy, tak dostávame výsledné Lagrangeove rovnice II. druhu: d L L =.4 dt q i Toto platí len pre sily a k nim prislúchajúce potenciály, ktoré v sebe obsahujú len súradnice. Sily, ktoré v sebe obsahujú aj čas a poprípade vyššie derivácie polôh, môžu mat zovšeobecnenú potenciálnu energiu, ale nebude to tak vždy. Ak by sme totiž aj silu závislú od rýchlostí počítali len ako F i = i U, dostali by sme, že trecia sila F i = kẋ i by mala mat potenciál U = kẋ i x i, čo však nie je pravda, ako uvidíme neskôr.

25 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Príklad: dvojné rovinné matematické kyvadlo. Takýto systém sa skladá z dvoch hmotných bodov v rovine xz y =. Prvý hmotný bod r hmotnosti m je zavesený na nehmotnej paličke počiatok v [,,] dĺžky l. Na ňom je zavesená druhá nehmotná palička dĺžky l, na ktorej konci je umiestnený druhý hmotný bod r hmotnosti m. Na celý systém pôsobí homogénne tiažové pole v smere z. Nákres: z y l m,r x l,r m g Na opísanie každého stavu tohto systému sú potrebné len dva parametre - uhly ϕ a ϕ. Parametrizácia prvého hmotného bodu je jednoduchá: l sinϕ r = l cosϕ Polohu druhého hmotného bodu opíšeme takmer rovnako, akurát stred druhej kružnice s polomerom l nebude v [,,], ale tam, kde leží polohový vektor r : r = r + l sinϕ = l sinϕ +l sinϕ l cosϕ l cosϕ l cosϕ Na výpočet kinetickej energie potrebujeme poznat rýchlosti oboch bodov: v = r l cosϕ ϕ cosϕ = = ϕ l l sinϕ ϕ sinϕ v = r = l cosϕ ϕ +l cosϕ ϕ l sinϕ ϕ +l sinϕ ϕ Kinetická energia sústavy: T = m v + m v = = m ϕ l + m ϕ l +m ϕ ϕ l l cosϕ ϕ + m ϕ l

26 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU T = m ϕ ϕ l +m l m l l cosϕ ϕ ϕ m l l cosϕ ϕ m l ϕ Potenciálnuenergiuspočítameakosúčetjednotlivýchpotenciálnychenergiíobochbodov,m gh +m gh, kde h a h sú výšky bodov r a r oproti počiatku [,,]: U = m gh +m gh = m gl cosϕ m g[l cosϕ +l cosϕ ] Lagrangián L tejto sústavy bude: = L = T U ϕ ϕ m l +m l m l l cosϕ ϕ m l l cosϕ ϕ m l +m gl cosϕ +m g[l cosϕ +l cosϕ ] ϕ Výsledným produktom budú dve Lagrangeove rovnice, každá za jeden stupeň vol nosti. d L L = dt ϕ ϕ d L L = dt ϕ ϕ Ich výsledný tvar nebudeme kvôli ich zložitosti uvádzat nie je však t ažké ich získat, ak má človek dostatok miesta. Vo výsledku je to sústava dvoch nelineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu, ktoré samozrejme nie je možné riešit analyticky a ktoré vykazujú silné chaotické správanie teda ich časový vývoj pohybu vel mi citlivo závisí od počiatočných podmienok. Môže sa zdat, že sme si vyjadrením pohybových rovníc tejto sústavy nijako nepomohli, faktom však ostáva, že bez aparátu Lagrangeových rovníc by bolo samotné vyjadrenie vel mi obtiažne. Vo fyzike sa za dôležitý medzivýsledok považuje už len samotné napísanie pohybových rovníc, ich analytické riešenie častokrát nie je možné. Čo sa týka nejakej časti analytického riešenia, občas vieme uhádnut, čo by systém mal robit za určitých podmienok - napríklad vieme, že dvojné rovinné matematické kyvadlo vie pokojne stát, ak ho nebudeme dráždit, v tom prípade ϕ = ϕ =. Túto podmienku samozrejme výsledné rovnice určite spĺňajú, no takýto pohyb je značne triviálny. Podobné,,tipy, ktoré chceme preverit analytickým výpočtom sa nazývajú,,ansatz an educated guess- kvalifikovaný odhad, teda uhádneme čast riešenia, dosadíme ho do pohybových rovníc, z ktorých nám potencionálne ešte môže vyjst nejaká podmienka na parametre, ktoré si v ansatzi určíme. Ako príklad na tento princíp dobre poslúži sférické matematické kyvadlo. ϕ 3

27 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Príklad: sférické matematické kyvadlo. Sférické matematické kyvadlo je sústava pozostávajúca z jediného hmotného bodu r hmotnosti m v gravitačnom poli, ktorý je viazaný na sféru s polomerom l so stredom [,,] zavesený na paličku dĺžky l, ktorá je ukotvená v počiatku súradnicovej sústavy. Ako zovšeobecnené súradnice tu poslúžia uhly ϕ a θ. Uhol θ bude odklon paličky od osi z ked kyvadlo vol ne visí, tak θ =, uhol ϕ bude uhol, ktorý zviera priemet polohy r do roviny xy s kladným zmyslom osi x. Viac napovedia obrázky: z y x l m,r z y l Bod r teda bude v súradniciach ϕ a θ vyzerat nasledovne: r = lsinθcosϕ l sinθ sinϕ l cosθ lsin x Vektor rýchlosti v vypočítame ako r: Kinetická energia T: v = r lcosθcosϕ θ lsinθsinϕ ϕ = lcosθsinϕ θ +lsinθcosϕ ϕ lsinθ θ T = m v = m r = ml θ +sin θ ϕ 4

28 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Potenciálna energia U: Lagrangián sústavy bude: U = mgh = mglcosθ L = T U = ml θ +sin θ ϕ +mglcosθ Rovnica pre súradnicu θ: d dt L θ L θ = Rovnica pre súradnicu ϕ: θ sinθ ϕ + g l sinθ = d dt L L ϕ ϕ = sinθ θ ϕ+sin θ ϕ = Tieto rovnice predstavujú znova sústavu nelineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu, ktoré sa nedajú riešit analyticky, ale môžeme skúmat konkrétny ansatz, ktorý nás zaujíma. Zaujímavé by napríklad bolo zistit, či existuje riešenie v tvare θ = θ = konšt., ϕ = ωt. Ansatz sa overuje dosadením do všetkých rovníc, ktoré máme k dispozícii nie do Lagrangiánu!. Ďalšie úpravy ukážu, či je systém schopný konat taký druh pohybu, poprípade aj dostaneme podmienku, aké musia byt parametre, aby taký pohyb sústava mohla vykonávat pri tomto ansatzi sme bližšie nešpecifikovali, kol ko presne je ω a θ, takže očakávame, že nám tuto informáciu rovnice láskavo podajú. Dosadením dostaneme tieto rovnice: sinθ cosθ ω + g l sinθ = = Z druhej rovnice sme sa takto nič nedozvedeli, platí automaticky, čo znamená, že druhá rovnica ani nepožaduje nejaké špeciálne podmienky ohl adom ω a θ - je splnená automaticky pre každý pohyb, ktorý má konštantné θ a časovo lineárne premenné ϕ. Predpokladajme, že θ nie je ani, ani π, zároveň nech m aj l sú kladné. Potom prvá rovnica hovorí nasledovné: g = lcosθ ω = ω = g lcosθ Čo sme to vlastne dostali? Skúmali sme, či dokáže dakéto kyvadlo konat ustálený pohyb po kružnici v istej výške nad rovnovážnou polohou tak, že θ ostáva konštantná a ϕ s časom lineárne narastá bod sa otáča dookola rovnomerne. Zistili sme, že takýto pohyb je možný a navyše sme dostali aj podmienku, kedy je táto rovnováha splnená. Jednak systém môže takýto pohyb konat len ak < θ < π aby ω bola reálna konštanta, zároveň sme aj dostali presný vzt ah medzi θ a ω ak l a g sú dané. Navyše sme zistili, že tento vzt ah neobsahuje hmotnost m, čo znamená, že hmotnost bodu na paličke nemá vplyv na takýto rovnomerný pohyb po kružnici. Ďalšiu vec, ktorú vidíme zo vzt ahu pre θ a ω je, že ked sa θ blíži ku π, ω musí narastat nad všetky medze do nekonečna, aby mohla taká rovnováha nastat. Toto ale úplne vystihuje našu intuitívnu predstavu o takomto druhu pohybu - každý, kto sa už snažil roztočit guličku na šnúrke si musel všimnút, že čím rýchlejšie točí šnúrkou, tým vyššie sa dvihne gulička, no nikdy nedosiahne do takej výšky, aby šnúrka kmitala v jednej rovine. 5

29 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU Ďalší zaujímavý ansatz tohto problému je prípad, kedy ϕ = ϕ = konšt., pričom na θ nenakladáme nijakú podmienku, teda nemôžeme predpokladat, že by nejaká a tým pádom aj všetky d alšie časová derivácia θ bola nulová. Vtedy z pohybových rovníc dostaneme: θ + g l sinθ = = Ako vidíme, druhú rovnicu náš ansatz znovu vôbec nezaujíma - je pravdivá. Prvá rovnica je vlastne rovnica rovinného matematického kyvadla. Naozaj, pri konštruovaní tohto ansatzu sme mali na mysli prípad, kedy sa kyvadlo, napriek tomu, že je sférické, bude kývat len v jednej rovine, preto ϕ = ϕ. Na θ sme nekládli žiadnu podmienku t.j. systém si mohol robit čo uznal za vhodné v medziach konštantného ϕ a systém si povedal, že najvšeobecnejší pohyb, aký bude θ robit, je pohyb rovinného matematického kyvadla. Túto rovnicu je možné analyticky riešit pomocou eliptického integrálu prvého druhu dostaneme závislost tθ a Jacobiho amplitúdnej funkcie am dostaneme závislost θt. Tento systém, narozdiel od lineárneho harmonického oscilátora má viac možností ako sa správat v závislosti od energie, ktorú mu na začiatku udelíme. Ak má málo energie, bude kmitat v okolí rovnovážnej polohy vtedy sa zvykne písat sinθ θ a jeho časový vývoj bude takmer zhodný s lineárnym harmonickým oscilátorom aspoň prvých pár periód. Ak mu udelíme presne tol ko energie, aby vládal vystúpit do rovnovážnej polohy navrchu gule vtedy celková energia T +U bude rovná potenciálnej energii U v bode navrchu gule, časový vývoj θ bude uhol, ktorý sa bude exponenciálne pomaly blížit k hodnote π, no teoreticky sa do tejto polohy nikdy nedostane. Ďalšou možnost ou je prípad, kedy je energia o niečo nie ovel a vyššia ako energia potrebná na vystúpanie do vratkej rovnovážnej polohy - vtedy bude bod obiehat kružnicu nerovnomernou uhlovou rýchlost ou, teda θ bude rást, ale nie lineárne pohyb je periodický, avšak θ už nie je periodická funkcia času. Ak bude energia ovel a väčšia ako energia potrebná na vystúpanie do vratkej rovnovážnej polohy, potom tento pohyb bude znovu pohyb po kružnici, avšak θ bude takmer lineárne rastúca funkcia času - kyvadlo si skoro ani nevšimne, že sa mu nejako mení potenciálna energia, pretože táto bude zanedbatel ná oproti kinetickej vtedy platí, že T U, teda E = T +U T. Všetky tieto prípady sú zahrnuté v špeciálnych Jacobiho funkciách, teda pri určitých hodnotách energie, alebo pri konkrétnych zanedbaniach sa tieto prípady dajú nájst vo výslednom časovom vývoji θ, no ak aj tieto funkcie nepoznáme, tieto prípady sa dajú overit ansatzmi. Jednu z hlavných výhod Lagrangeových rovníc sme už načrtli - je ňou samotný počet rovníc, ktorý je presne taký, aký je počet stupňov vol nosti v systéme. Ďalšou nespornou výhodou je, že z Lagrangiánu sa dajú priamo odčítat zákony zachovania ktoré môžu značne ul ahčit rozbor výsledných rovníc. 6

30 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU.. Zákony zachovania Zákony zachovania 3 sú nespornou výhodou konštrukcie lagrangiánu a rovníc, ktoré z neho vyplývajú. Lagrangián je vo všeobecnosti funkcia zovšeobecnených súradníc, zovšeobecných rýchlostí a času. Takú súradnicu, ktorá nebude vstupovat do Lagrangiánu explicitne t.j. ked napíšeme Lagrangián a jedno písmenko, ktoré by v ňom mohlo byt, v ňom nie je budeme nazývat cyklickou. Platí teda: Lq,...,q n, q,..., q n,t = Lq,..., q i,...,q n, q,..., q n,t = L = = q i je cyklická súradnica Odvod me si, aký to má vlastne význam, napíšme teda pohybovú rovnicu pre i-tu zovšeobecnenú súradnicu q i : d L = dt q i Výrok, ktorý dostávame tvrdí, že totálna časová derivácia výrazu L q i je rovná nule. To ale znamená, že samotný výraz je časovo nepremenný, teda konštantný: d L = = L = konšt. dt q i q i Výraz L q i budeme nazývat zovšeobecnená hybnost p i, ktorej význam pochopíme hlbšie až neskôr, pri Hamiltonových rovniciach - zatial nám stačí, že ak i-ta zovšeobecnená poloha je cyklická, potom i-ta zovšeobecnená hybnost p i, sa v čase zachováva. Ked že potenciálna energia nezvykne obsahovat rýchlost, táto parciálna derivácia sa vzt ahuje zrejme na kinetickú energiu. Zaujíma nás teda výraz: U L q = i T = q i q i Z odvodení vieme, čomu je rovná kinetická energia, počítame teda výraz: T = q i q i T ab q a q b = T abδ ia q b + q a δ ib = T ib q b + T ai q a = T bi q b + T ai q a = T ai q a V poslednom kroku sme využili, že matica T ab je symetrická, čo vidno z definície.3, teda T ab = T ba. Ešte sme nespomenuli, čo to znamená, ak náhodou do Lagrangiánu nevstupuje zovšeobecnená rýchlost q i. Overme si, čo sa v tom prípade stane: L q i = Za tejto podmienky sa z pohybovej rovnice vykl uje: d L L = dt q i L = To ale znamená, že ani zovšeobecnená súradnica q i nesmie vystupovat v Lagrangiáne explicitne. Ak sa teda v lagrangiáne nachádza zovšeobecnená súradnica q i a zovšeobecnená rýchlost q i sa v ňom nenachádza, niečo je zle. 3 Mimochodom, miesto pojmu,,zachovávajúca sa veličina conserved quantity sa občas používa výraz,,integrál pohybu integral of motion. 7

31 .. LAGRANGEOVE ROVNICE II. DRUHU..3 Zákon zachovania energie Nerozobrali sme poslednú možnost, ktorá nám ostala - cykličnost času t, teda fakt, že čas t explicitne nevystupuje v Lagrangiáne. Tieto odvodenia sú platné len pre potenciálne energie, v ktorých nevystupuje explicitne žiadna zovšeobecnená rýchlost. Za týchto predpokladov platí: L t = U q i = Pozrieme sa na to, aký to má pre nás dôsledok. Počítajme totálnu časovú deriváciu: dl dt = L = L i + L q i + q i q L t Z Lagrangeovej rovnice pre i-tu súradnicu vieme: Môžeme teda písat : L = d L dt q i L = L q i q i + d dt L q i q i Na pravej strane spoznáme totálnu deriváciu: d L q i = L i + d L q i dt q i q i q dt q i Teda L bude: Rozoberme si výraz L q i q i : L = d dt L q i q i.5 L q i = q i T ab q a q b q i = q i T abδ ia q b + q a δ ib q i = T ib q b q i + T ai q a q i = T ab q a q b = T Potom z.5 dostaneme: L = d dt T = T = T L = T T U = T + U = Ė = L = = Ė = = E = konšt..6 t teda vyšlo nám tvrdenie, že ak čas explicitne nevstupuje do Lagrangiánu, potom sa energia v čase zachováva. 8

32 .3. PRINCÍP NAJMENŠIEHO ÚČINKU.3 Princíp najmenšieho účinku.3. Matematické okienko do variačného počtu Čokol vek, čo funkcii fx priradí číslo sf budeme volat funkcionál. Môže ním byt napr. funkcionál operujúci na funkciách definovaných v bode x = a jeho hodnota bude sf = f. Týmto každej funkcii f definovanej v bode priradíme jej funkčnú hodnotu v bode. Ďalším funkcionálom, ktorý sa nám priam ponúka, je nejaký určitý integrál - napr. funkcionál operujúci na funkciách integrovatel ných na množine,, ktorý potom každej funkcii fx priradí číslo - hodnotu určitého integrálu v hraniciach od po : sf = ˆ fxdx Takto máme priam nekonečne vel a zaujímavých funkcionálov, ktoré sú prakticky využitel né aj vo fyzike, ako sa uvidí neskôr: f fa sf b a fxdx. Predstavmesinapr. l ubovol núfunkciufxnaintervalea,b. Dĺžkutejtofunkcievypočítamepomocou funkcionálu: l b af = ˆ a b + df dx dx Vieme, že najkratšia spojnica dvoch bodov je úsečka. Preto bude l pre danú dvojicu a a b minimálne a to bude platit pre každú dvojicu a a b práve vtedy, ked je funkcia f je lineárna. Avšak nájst univerzálny spôsob minimalizácie funkcionálu pre takéto typy problémov je vo všeobecnosti t ažká úloha. Iný príklad by bola tzv. brachystochróna. Predstavme si l ubovol nú krivku y = fx, po ktorej sa môže bez trenia kĺzat korálka. Ak by sme skúšali rôzne tvary kriviek, zistili by sme, že korálky pustené z určitého bodu x = a dorazia do bodu x = b v rôznych časoch. Ak je čas potrebný na skĺznutie minimálny, táto krivka bude brachystochróna. Tento problém sa tiež dá zakódovat do reči funkcionálu a jeho minimalizácie. Použijeme pri tom už známy fakt, že infinitezimálna dĺžka kúsku krivky v bode x je: ds = + dy dx dx Rýchlost korálky v bode x bude infinitezimálna trajektória ds, podelená infinitezimálnym časom dt, za ktorý túto trajektóriu korálka prejde: v = ds dt Teraz použijeme zákon zachovania energie: = dt = v ds E k +E p = konšt. Zadefinujme, že y =, teda potenciálna energia m g y bude nulová. Na začiatku korálka stojí, takže aj kinetická energia bude nulová. Krivka, po ktorej pôjde korálka, bude zrejme záporná, ak y = aby platil zákon zachovania energie. Nech je teda naša funkcia yx kladná a krivka teda bude opisovaná pomocou funkcie yx. Potom potenciálna energia bude m g yx. 9

33 .3. PRINCÍP NAJMENŠIEHO ÚČINKU Použijeme zákon zachovania energie: Z toho dostávame výraz je dt: E k +E p = = mv mgy = v = gy dt = dy + v ds = dx dx gy Celkový čas, ktorý bude korálka potrebovat na skĺznutie po krivke, bude daný nasledujúcim výrazom: T b ay = ˆ b a dt = ˆ a b + dy dx dx gy Vidíme, že sme znovu dostali integrálny výraz, ktorý obsahuje funkciu y a jej deriváciu. Každej takejto funkcii priradíme pri istej dvojici bodov a, b číslo T čas, ktoré reprezentuje istú vlastnost danej krivky a to konkrétne ako rýchlo sa po nej korálka skĺzne. Ďalší typický variačný problém je krivka iného druhu, zvaná ret azovka. Predstavme si, že máme v priestore dva body, na ktoré zavesíme tenučký dokonale ohybný drôt s rozložením hustoty λ. Platí teda: dm = λds = λ Potenciálna energia daného kúsku drôtu bude: du = dmgy = λgy + dy dx dx + dy dx dx Tentoraz sa poloha tvar drôtu zrejme ustáli v stave, kedy má čo najnižšiu celkovú potenciálnu energiu danú v tvare: E p = ˆ b a du = ˆ a b λgy + dy dx dx Vidíme, že problém znovu vedie na extremalizáciu takéhoto funkcionálu. Doteraz sme zakaždým došli k výrazu typu: ˆ b a Ly,y,xdx kde L je nejaká funkcia premennej x, funkcie y a jej derivácie, ktorá nám prirodzene vyšla pri odvodzovaní tohto integrálu. Riešenie pre funkciu y sme mohli dostat minimalizáciou tohto integrálu. Táto úloha vyzerá vel mi obtiažne, hlavne ked nevieme, čím začat napr. by nám mohlo napadnút dosadzovat do integrálu rôzne funkcie a skúšat, kedy nám vyjde čo najmenšie číslo pre akékol vek hranice. Teraz odvodíme metódu, akou sa možno dopracovat k výslednej funkcii, ktorá minimalizuje daný integrál. Zaved me teda označenie: S[y] = ˆ b a Ly,y,xdx Predstavme si teraz, že máme nejakú funkciu yx. Zaved me maličkú odchýlku od tejto funkcie, δy. Pre všelijaké možné výchylky teda dostávame rôzne funkcie y = δy, ktoré sa od funkcie y líšia len o málo. Všetky však vychádzajú z toho istého bodu v [a,ya] a končia v tom istom bode [b,yb], preto teda platí δa = δb =. 3

34 .3. PRINCÍP NAJMENŠIEHO ÚČINKU Skúmajme hodnotu S pre takúto funkciu trošku zmenenú oproti pôvodnej: S[y +δy] = ˆ b a L y +δy,y +δy,x dx Ked že δy je vel mi malé spomeňme si na virtuálne posunutie v prvej kapitole, podintegrálnu funkciu môžeme rozvinút do prvého rádu Taylorovho radu: S[y +δy] = ˆ b a { Ly,y,x+ L } L δy + y y δy dx Chceme sa dopátrat k tomu, čo musí platit, ked sme práve našli tú našu správnu funkciu, ktorá minimalizuje výraz S. To ale znamená, že zmena tohto výrazu S sa nemení v ráde δy, ak jeho argument čiže funkciu zmeníme len o malú hodnotu δy - je to v podstate úplná analógia k extrému hladkej funkcie reálnej premennej, ktorá má extrém v tých bodoch, v ktorých je funkcia necitlivá na zmenu premennej do jej prvého rádu - inak povedané, jej prvá derivácia je rovná nule. Tu nemôžeme privel mi hovorit o deriváciách pretože y je funkcia, no stále sa môžeme pozriet na výraz S [y +δy] S [y], ktorý v podstate pripomína diferenciál S, ak y berieme ako premennú: S[y +δy] S[y] = ˆ b a { Ly,y,x+ L y = ˆ b a } L δy + y δy dx } { L L δy + y y δy Druhý výraz pod integrálom doplníme nasledovne: L L y δy = y δy Z rozdielu S [y +δy] S [y] tak dostaneme: S[y +δy] S[y] = ˆ b a {[ L y dx L y δy ] } L y δy dx ˆ b a ˆ b a Ly,y,xdx = L y δy dx V druhom integráli, ked že integrujeme deriváciu funkcie, je primitívna funkcia priamo L y δy. Výsledok tohto integrálu teda bude: ˆ b a L y δy dx = L y δy Samozrejme, využili sme fakt, že δya = δyb =. Prvý integrál napíšeme krajšie: S[y +δy] S[y] = ˆ b a b a = L δyx y d dx Musí samozrejme platit, že pre také y, ktoré minimalizujú číslo S, je tento výraz nulový. No to má platit pre každé δyx, čo môže byt splnené len ak druhá čast v zátvorke pod integrálom je nulová: δyx ˆ b a L δyx y d dx L y L y dx dx = = L y d dx L y = Túto rovnicu nazývame Eulerova rovnica, ktorá je vo všeobecnosti diferenciálna rovnica druhého rádu. Takétodiferenciálnerovnicenajednoznačnériešeniepotrebujúokrajovépodmienky,napr.: ya = Y a yb = Y b, poprípade počiatočné podmienky, určujúce ya a y a. 3

35 .3. PRINCÍP NAJMENŠIEHO ÚČINKU Ako príklad môžeme skúsit vyriešit problém pre najkratšiu cestu. Funkcia L definujúca tento problém bola: dy L = + dx Takúto funkciu by sme mali dosadit do Eulerovej rovnice a riešt. Ešte kým sa pustíme do bezhlavého derivovania uvedomíme si, že v L nevystupuje explicitne y, čo ale znamená, že z Eulerovej rovnice ostane: d y = = y dx = C = konšt. +y +y Túto rovnicu však vieme jednoducho riešit : y = C = +y y = C = y = kx+q C Konštanty k a q možno vybrat tak, aby boli splnené okrajové, alebo počiatočné podmienky. Teraz vel mi sugestívne pod seba napíšeme Eulerovu rovnicu a inú rovnicu, ktorú sme doteraz už vel akrát používali: d L dx y L y = d L dt q L q = Pozorný čitatel si všimne istú podobnost, ktorá je v skutočnosti vel mi významná. Podl a jednoduchej schémy zameníme symboly: L L y q y q x t V skutočnosti sú tieto dve rovnice úplne totožné po zámene symbolov. Pred chvíl ou sme však tvrdili, že Eulerovu rovnicu rieši taká funkcia y, ktorá extremalizuje príslušný funkcionál a opačne, funkcie, ktoré extremalizujú funkcionál zároveň riešia Eulerove rovnice. Presne rovnaký princíp môžeme aplikovat na Lagrangeove rovnice a príslušný funkcionál budeme označovat jeho pravým menom - účinok..3. Účinok, princíp extremálneho účinku Úplne analogicky definujme funkcionál pre Lagrangián, ktorý budeme nazývat účinok a označíme ho sugestívne S, ako analógiu ku S: S[q] = Posledná skladačka do schémy teda bude: ˆ b a ˆ tb Ly,y,xdx t a Lq, q,tdt ˆ tb S[y] S[q] t a Lq, q,tdt 3

36 .3. PRINCÍP NAJMENŠIEHO ÚČINKU Teraz môžeme sformulovat princíp extremálneho účinku nasledovne: účinok S[q] je extremálny na takých trajektóriach qt, ktoré si príroda sama vybrala. Zároveň platí, že tieto qt sú riešeniami Lagrangeových rovníc. Ak do Lq, q, t dosadíme také q, ktoré nám vyjde z riešenia Lagrangeových rovníc, potom účinok S[q] bude necitlivý na zmenu v prvom ráde δq. Inak povedané, účinok S[q] má extrém tam, kde je riešenie Lagrangeových rovníc v q. Systém extremalizuje účinok Systém beží podl a Lagrangeových rovníc Ešte spomenieme, že z hl adiska účinku sa úlohy delia na variačné, teda také, pre ktoré účinok existuje a nevariačné, pre ktoré účinok neexistuje. 33

37 .4. HAMILTONOVE ROVNICE.4 Hamiltonove rovnice Odvodenie Hamiltonových rovníc bude vychádzat z Lagrangeových rovníc II. druhu, ešte predtým si však dovolíme uviest matematickú poznámku o Legendrovej transformácii..4. Legendrova transformácia Predstavme si, zatial bez zjavnej motivácie, že by sme chceli istým zvláštnym spôsobom definovat transformáciu súradníc, ktoré máme k dispozícii: x,x,,x n Zaved me funkciu L, závislú od súradníc x i, na ktorú zatial nenaložíme žiadne predpoklady okrem možnosti diferencovatel nosti tejto funkcie podl a jednotlivých súradníc. Radi by sme teraz získali súradnice y,y,,y n podl a nasledovnej definície: Symbolicky túto transformáciu naznačíme nasledovným diagramom: y i = L x i.7 x L yx, ktorý symbolicky značí transformáciu súradníc x i pomocou funkcie L. Radi by sme teraz poznali transformáciu, ktorá by previedla súradnice y i spät na x i. Ešte radšej by sme boli, ak by bola takáto transformácia realizovatel ná za pomoci nejakej funkcie H premenných y,y,,y n, o ktorej platí: Symbolicky: x i = H y i.8 y H xy, Ukazuje sa, že funkcia, ktorá spĺňa túto podmienku, je nasledujúceho tvaru: Zderivovaním takto vybranej funkcie H podl a y i dostaneme: Hy = x i yy i L[xy].9 H x j = y j +x i L x j x j x j = y j y j +x i = x i y i y i x j y i y i y i }{{} =y j Vidíme, že funkcia H spĺňa presne to, čo od nej požadujeme. 34

38 .4. HAMILTONOVE ROVNICE Majme teraz súradnice x,x,,x n a z,z,,z n z ktorých chceme transformovat len x i na y i. Máme teda funkciu Lx,y, o ktorej platí: x,z L y,z Teda stále zdanlivo bezo zmeny až na prítomnost iných premenných vo funkcii L, okrem x platí: y i = L x i Aj k takejto transformácii by sme si priali nájst funkciu H, ktorá analogicky zabezpečí transformáciu opačným smerom, bezo zmeny súradníc z: y,z H x,z x i = H y i Funkcia H má kupodivu rovnaký tvar ako predtým a spĺňa rovnakú podmienku: Presvedčíme sa o tom úplne rovnako ako v predošlom prípade. Skúmajme teraz diferenciál funkcie H podl a vzt ahu.3: Hy,z = x i y,zy i L[xy,z].3 dh = x i dy i + y i dx i L dx x i i L dz i = x i dy i L dz i z }{{} i z i =y idx i Zároveň ale môžeme nájst diferenciál H podl a premenných x i a z i : dh = H y i dy i + H z i dz i Teraz porovnáme, čo stojí pri jednotlivých diferenciáloch a dostaneme dva dôležité výsledky: x i = H y i L z i = H z i.3 Ten prvý nás vlastne utvrdil v tom, že funkcia H naozaj robí to, čo má na to bola skonštruovaná. Druhý výsledok nám zatial nič rozumného nehovorí, no bude dôležitý neskôr. 35

39 .4. HAMILTONOVE ROVNICE.4. Hamiltonove rovnice Vychádzajme z Lagrangeových rovníc. Za funkciu L si 4 zoberme Lagrangián nejakej sústavy Lq, q,t. Ako i-tu zovšeobecnenú hybnost, p i, označme parciálnu deriváciu Lagrangiánu L podl a i-tej zovšeobecnenej rýchlosti q i : q, q,t p i L q i.3 L q,p,t Vidíme, že úlohu x tu prebrala vlastne zovšeobecnená rýchlost q, ktorá sa transformuje na zovšeobecnenú hybnost p, pričom zovšeobecnené súradnice q a čas t ostávajú nemenné, prebrali teda úlohu z. Funkciu, ktorá transformuje hybnost spät na zovšeobecnenú rýchlost, a ktorú budeme volat Hamiltonián sústavy, bude podl a.3 definovaná nasledovne: Z.3 dostávame: H q i p i L.33 H = L Sústava teda spĺňa Hamiltonove rovnice: q i = H p i H t = L t L = ṗ i = ṗ i = H q i = H p i ṗ i = H.34 Príklad: rovinné matematické kyvadlo v Hamiltonových rovniciach. Ako vieme z predošlých príkladov, Lagrangián tejto sústavy je: Pre Hamiltonián z.33 dostávame: Hamiltonove rovnice: Lϕ, ϕ,t = ml ϕ +mglcosϕ H = ϕ ml ϕ }{{} p ϕ [ ] ml ϕ +mglcosϕ p ϕ = ml ϕ = ϕ = p ϕ ml = H = p ϕ ml mglcosϕ ϕ = p ϕ ml ṗ ϕ = mglsinϕ 4 Ako sme už sugestívne v matematickej poznámke naznačili označením funkcie písmenkom L. 36

40 .4. HAMILTONOVE ROVNICE Ako vidíme, tieto rovnice sú očividne dve. Obe spolu, ako sústava diferenciálnych rovníc sú ekvivalentné rovnici rovinného matematického kyvadla: ϕ+ g l sinϕ = Zároveň však vidíme, že derivácie, ktoré sa v Hamiltonových rovniciach objavujú, sú nanajvýš prvého rádu narozdiel od Lagrangeových rovníc. Ich riešeniami sú okrem zovšeobecných súradníc aj zovšeobecnené hybnosti. Všeobecne platí, že Hamiltonových rovníc je dvojnásobok oproti Lagrangeovým rovniciam, no ich rád derivácie je zredukovaný na prvý. V priebehu odvodenia Hamiltoniánu to je funkcia, v ktorej už nevystupuje žiadna súradnica derivovaná podl a času sme museli upravit tvar samotnej funkcie tak, aby sa v ňom neobjavilo ϕ. Tento postup sa dá vyjadrit všeobecne. O Lagrangiáne vieme, že sa pre potenciálnu energiu závislú len od zovšeobecnených súradníc dá zapísat v tvare: L = T ij q i q j Uq Z.3 vieme, čomu je rovná i-ta zovšeobecnená hybnost : Túto hybnost dosadíme do.33: p i = L q i = T ij q j H = p j q j L = T ij q i q j L = T T U = T +U = E Dostali sme dôležitý výsledok vyjadrujúci, že Hamiltonián je vlastne rovný celkovej energii sústavy. Vyjadrime si ešte raz Hamiltonián, tentoraz len pomocou zovšeobecnených rýchlostí a súradníc: H = T ij q i q j L = T ij q i q j T ij q i q j +U = T ij q i q j +U Budeme hl adat spôsob, ako vyjadrit jednotlivé zovšeobecnené rýchlosti pomocou zovšeobecnených hybností: Hamiltonián tak prejde na tvar: p i = T ij q j = q i = T ij p j H = T ij q i q j +U = T ij T ik p k T lj p l +U Matica T ij je symetrická. Z toho vyplýva, že aj matica T ij je symetrická, teda platí: T ij = T ji = T ij = T ji Vrát me sa teda k Hamiltoniánu, kde túto symetriu využijeme: H = T ij T ik T lj p kp l +U = T ji = T T jk T }{{} p lj kp l +U = =δ jk T ik }{{} =T T jk T lj p kp l +U = T kl p kp l +U Dostávame teda tvar Hamiltoniánu, ktorý vieme vyjadrit ak poznáme maticu kinetickej energie, T: Hq,p = T kl p kp l +Uq 37

41 .4. HAMILTONOVE ROVNICE.4.3 Poissonove zátvorky Majme danú funkciu f zovšeobecnených súradníc, zovšeobecnených hybností a času. Počítajme jej časovú deriváciu totálnu: f q,p,t = f t + f q i + f ṗ }{{} i = f H p i }{{} t + f f H p i p i = H = H p i Objekt v gul atej zátvorke nazveme Poissonovou zátvorkou: {f,h} H p i f f p i H.35 Analogicky Poissonova zátvorka z dvoch l ubovol ných funkcií, f a g, je definovaná nasledovne: {f,g} f g p i g f p i.36 Je zrejmé, že ak vo funkcií f nevystupuje explicitne čas t, potom jej časová derivácia je rovná Poissonovej zátvorke Hamiltoniánu s danou funkciou: f q,p, t = f = {f,h} Poissonova zátvorka dvoch rovnakých funkcií je nulová: Poissonova zátvorka {q i,p j } je rovná δ ij : {f,f} = f p i f f p i f = {q i,p j } = q k p j p k p k p j q k = δ ij čo je jedna, ak je sústava opísaná len jednou zovšeobecnenou súradnicou a hybnost ou. Ak Poissonove zátvorky chápeme ako operátor, ktorý z priestoru funkcií vyberie dve a priradí im tretiu funkciu, potom takýto operátor je bilineárny: {f +λg,h} = {f,h}+λ{g,h} {f,g +λh} = {f,g}+λ{f,h} Poissonove zátvorky sú taktiež antisymetrické zmenia znamienko po výmene argumentov: {f,g} = {g,f} V tomto vidiet analógiu s vektorovým súčinom, ktorý po výmene argumentov vektorov tiež zmení znamienko. Ďalšiu analógiu uvidíme v takzvanej Jacobiho identite, ktorú poissonove zátvorky, tak ako aj vektorový súčin, spĺňajú: {{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g} = Poissonove zátvorky majú svoju analógiu v kvantovej mechanike, kde namiesto nich používame komutátor [Â, ˆB] = ˆB ˆBÂ, kde  a ˆB sú operátory. Komutátor tiež spĺňa Jacobiho identitu a komutátor operátora polohy a operátora hybnosti je rovný i, [ˆx, ˆp x ] = i. 38

42 3 Ďalšie aplikácie Lagrangeovského a Hamiltonovského prístupu v mechanike 3. Potenciálna energia a sila* 3.. Zovšeobecnená potenciálna energia* Doteraz sme sa zaoberali len aktívnymi silami, ktoré závisia explicitne len od polohy a k nim prislúchajúcimi potenciálmi, ktoré taktiež závisia len od polohy. Ukážeme si, že aj niektoré sily, ktoré závisia od vyššej derivácie polohy, popr. času, je možné opísat potenciálom a to dokonca aj vtedy, ak nie sú potenciálové. Najprv však musíme poupravit výpočet potenciálu, ak má závisiet aj od zovšeobecnených rýchlostí a času, nielen od zovšeobecnených súradníc. Podl a. pre Q i závislé aj od času a zovšeobecnených rýchlostí píšeme: d T T = Q i q, q,t dt q i Nech je teraz dané Q i q, q,t opísatelné jedinou funkciou U q, q,t tak, že stále platí L = T U a zároveň platí pre toto L pohybová rovnica pre q i : d L L = dt q i d T U T U = dt q i d T d U T U = dt q i dt q i d T T = d U U dt q i dt q i q }{{ i } =Q iq, q,t U q, q,t Q i q, q,t = + d U q, q,t 3. dt q i Vhodným príkladom na takúto silu je Lorentzova elektromagnetická sila, daná predpisom: F = Q E + v B Nie sú potenciálové v zmysle, že krivkový integrál II. druhu v ich poli závisí od výberu krivky. 39

43 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* To, či je táto sila potenciálová v zmysle, že krivkový integrál II. druhu v poli tejto sily nezávisí od krivky, po ktorej integrujeme, sa dá l ahko preverit. Tento fakt je totiž ekvivalentný tomu, že krivkový integrál po niektorej uzavretej krivke nevýjde nulový. Počítajme teda taký krivkový integrál po niektorej bližšie nešpecifikovanej uzavretej krivke: C C F d l = Q F d l = Q C C d l E + v B E d l+q C d l v B Na integrál E d l máme jednoduchý liek, je ním Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie. Problém môže robit druhý integrál, prepíšme si výraz d l v B do indexov a upravujme: d l v B = dl i v B = dl i ε ijk v j B k = B k ε kij dl i v j = B d l v i Avšak tento výraz je identicky rovný nule, pretože v každom bode krivky je rýchlost hmotného bodu, ktorý sa po nej pohybuje, dotyčnicou k tejto krivke. No rovnaký smer má aj diferenciál tejto krivky, teda platí: d l v = d l v = Druhý integrál je týmto vybavený, je identicky rovný nule. Ostáva nám výraz: F d l = Q E d l C Tu využijeme spomínaný Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie, ktorý vraví: elektromotorické napätie je dané zápornou časovou zmenou toku magnetického pol a. Zapísané v reči matematiky: E d l = d B ds dt S V tomto kroku sa zdanlivo vzdialime od práve počítaného výrazu a pozrieme sa na jednu z maxwellových rovníc: C B = Toto platí vždy, za každých okolností, teda to nás oprávňuje zaviest vektor A, magnetický potenciál, ktorý bude spĺňat rovnicu: S B = A 3. Je tomu tak preto, lebo divergencia rotácie je vždy identicky rovná nule: A Vrát me sa k počítanému výrazu, kde využijeme 3.: E d l = d A ds dt S S 4

44 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* V tejto chvíli začína byt zrejmé, že časovo premenné magnetické polia už nebudú generovat potenciálové sily. Dokončime odvodenie - na l avú stranu použijeme Kelvin-Stokesovu vetu: E d l = E ds S S Tento výraz dáme do rovnosti s magnetickým indukčným tokom a využijeme vetu o derivovaní parametrického integrálu: S ˆˆ E ds = d A ds dt = A ds S t S Všetko presunieme na l avú stranu a vložíme pod jeden integrál: ˆˆ S E + A ds t = S Toto má ale platit pre každú plochu S, čo môže byt splnené len vtedy, ak vnútro integrálu je rovné nule: E + A t = Ešte výraz upravíme tak, že vložíme E aj ta pod operátor rotácie: E + A = 3.3 t Okrem faktu, že Lorentzova sila je vo všeobecnom prípade nekonzervatívna, dostávame vel mi zaujímavý výsledok. Pre úplne všeobecné polia E a B už neplatí, že rotácia E je nulová. Platí však rovnaký vzt ah, ak k nej pripočítame opravný člen - práve časovú zmenu magnetického potenciálu. Preto teraz môžeme zaviest potenciál φ tak, aby platilo: E + A t = φ 3.4 Potom rovnica 3.3 bude automaticky splnená: E + A t = φ = φ = Podl a 3. a 3.4 môžeme napísat potenciál Lorentzovej sily, o ktorého platnosti s využitím 3.4 sa presvedčíme na pár nasledujúcich riadkoch: U r, r,t = Q φ r A Podl a 3. má teda pre tento potenciál v súradniciach x i, ẋ i platit : [ ] F i = Q E i + r B?= U + d i x i dt U ; kde U = Q ẋ i φ r A 4

45 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* Túto rovnost teraz overíme: U = Q φ x i x r A = Q φ ẋ j A j = Q φ A j +Qẋ j i x i x i x i φ d U = Q d dt ẋ i dt [ ẋ i φ v A Q φ x i = Q ] = Q d dt Q da i dt i = QE i +Q A i t ] [ ẋ i φ ẋ j A j = Q A i t Q A i x j ẋ j = Q d dt δ ija j = Q da i dt U + d U = Q E i + A i x i dt ẋ i t +ẋ A j j A i x i t A [ i Aj ẋ j = Q E i +ẋ j A ] i x j x i x j Ostáva nám jeden nevyjasnený výraz v zátvorke. Počítajme r B = r A : r B B j = A j = ε jab A b x a = ε A b A b A k A i ikjẋ k B j = ε ikj ε jab ẋ k = δ ia δ kb δ ib δ ka ẋ k = ẋ k ẋ k i x a x a x i x k ] = r B = [ r A Ak = ẋ k A i i i x i x k teda daný nevyjasnený výraz je presne to, čo má na tom mieste stát, výraz U + d U dáva i-tu zložku x i dt ẋ i Lorentzovej sily: čím je dôkaz zavŕšený. U + d U [ ] = Q E i + r B = F i x i dt ẋ i i 4

46 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* Ďalšia silu, ktorej sa pokúsime nájst zovšeobecnenú potenciálnu energiu, bude trecia sila. Jej predpis v kartézskych súradniciach je: F = k r = F i = kẋ i ; k > 3.5 Odvodenie spravíme všeobecnejšie, a to pre zovšeobecnené súradnice a rýchlosti. Ukazuje sa, že prepis trecej sily Q i q bude o trochu zložitejší: k k k n q k k k n q... Q = = Q i = k ij q j ; k ij je kladne definitná a symetrická matica k n k n k nn q n 3.6 Vo všeobecnosti nepredpokladáme, že po zavedení parametrizácie konfiguračného priestoru, bude nad alej platit, že pri pohybe v smere niektorej zo súradníc q i bude trecia sila pôsobit presne opačne. Avšak, môžeme si byt istí, že ak platí 3.6, tak najhoršie, čo nás môže z hl adiska odporu stretnút, je vo všeobecnosti nanajvýš lineárny vzt ah medzi zovšeobecnenými rýchlost ami q a trecou silou Q. Pre takúto silu by sme radi napísali potenciálnu energiu U, ktorá je vo všeobecnosti závislá na zovšeobecnených súradniciach, rýchlostiach a čase a podl a 3. preň bude platit : U + d U = k ij q j dt q i O tomto potenciáli zatial nič nevieme, pod me si teda rozpísat l avú stranu rovnice: U + t + q U j + q j = U + U + U q j + U! j = k ij q j = Q i q q j q j q i t q i q j q i q j q i q Vidíme, že vzhl adom na to, že Q i má závisiet len od q, člen, pri ktorom stojí q j musí byt nulový: U q j q i! = O čom nám vlastne hovorí táto podmienka? Hovorí, že druhá parciálna derivácia potenciálnej energie podl a zovšeobecnených rýchlostí dá nulu. To však znamená, že samotná potenciálna energia musí závisiet od zovšeobecnených rýchlostí nanajvýš lineárne: U q j q i! = = U q, q,t! = a i q,t q i +bq,t Vd aka tejto podmienke vypadne neželaný člen, ktorý obsahoval q j. Ďalšie pozorovanie, ktoré urobíme, sa bude týkat časových závislostí: U + U + U q j = a j q j b + a i t q i q j q i t + a i ai q j = a j q j + a i q j q j t b Q i má byt funkciou q, no dva posledné členy už nemajú šancu byt funkciou q pretože a i aj b sú funkciami q a t. Musí teda platit, že tieto členy sú nulové: a i t = = a iq,t = a i q; b = = bq,t = bt To, že matica k ij je kladne definitná môžeme intuitívne nahliadnut z analógie s trecou silou v kartézskych súradniciach. Ak by sa to nepodarilo, ešte existuje argument, ku ktorému dôjdeme neskôr. Jej symetriu tiež pol ahky ukážeme neskôr. 43

47 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* V hre ostane jediný člen: Avšak toto je problém. Výraz na l avej strane: je totiž antisymetrická matica, pretože platí: ai a j! q j = k ij q j q j ã ij = a i q j a j ã ij = ã ji, čo okrem iného znamená, že ã = ã = ã 33 =. Avšak pre maticu k ij platí: k ij = k ji, čo je v priamom rozpore s ã ij. 3 Presvedčili sme sa, že neexistuje potenciálna energiaani zovšeobecnená, ktorá by vedela v sebe zahrnút treciu silu. Tento fakt je nám motiváciou ku d alšiemu paragrafu, kde si povieme niečo o tom, ako narábat s nepotenciálovými silami v Lagrangeových rovniciach. 3 Túto neexistenciu sme ukázali len pre Lagrangián, ktorý má štruktúru L = T U = T ab q a q b U q, q,t. Existuje taká štruktúra Lagrangiánu, že problém hmotného bodu v odporovom prostredí zapísaný v tomto Lagrangiáne bude mat svoju pohybovú rovnicu ekvivalentnú s Newtonovou v tvare: d L L = dt q i L ahko sa ukáže, že Lagrangián pre jednu časticu v smere x, ktorý vedie na pohybovú rovnicu s odporovým členom, je v tvare: [ ] L = e γ t m T U = e γ t m mẋ Ux Takýto tvar Lagrangiánu vedie na pohybovú rovnicu v tvare: mẍ = U x γẋ Tento Lagrangián ale závisí od času explicitne a nie je tvaru T U. 44

48 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* 3.. Nepotenciálová zložka sily a jej výkon* V predošlom paragrafe sme si na príklade o trecej sile ukázali, že neexistuje taká zovšeobecnená potenciálna energia, ktorá by v sebe zahŕňala takúto silu. Na tento problém z hl adiska Lagrangeových rovníc existuje jednoduché riešenie. Predpokladajme, že máme silu, ktorá sa dá napísat ako súčet potenciálovej a nepotenciálovej časti. Môžeme rovno rátat s tým, že potenciálova čast závisí len od zovšeobecnených súradníc a dá sa vyjadrit pomocou gradientu nejakého potenciálu: Q i = U + Q i Ukážeme si, na aký tvar prejdú pohybové rovnice s takouto silou. Z. dostávame: d T T = Q i = U + dt q i q Q i i Znovu zaved me Lagrangián, tentoraz ako rozdiel kinetickej energie a potenciálnej energie potenciálovej zložky sily, L = T U. Z tejto rovnice teda dostaneme 4 : d T T + d U + U = dt q i dt q }{{ i q Q i } i = d T U T U = dt q i q Q i i d L L = dt q i q Q i 3.7 i Budeme situáciu znovu skúmat za predpokladu, že čas nevstúpi explicitne do Lagrangiánu. Platí: Za tejto podmienky skúmajme výraz Q i q i : Q i q i = d dt L t = L q i q i L q i 3.8 Tento výraz je v platný zmysle Einsteinovej sumačnej konvencie - vezmeme Lagrangeovu rovnicu pre prvú zovšeobecnenú súradnicu, prenásobíme ju prvou zovšeobecnenou rýchlost ou a k nej pripočítame druhú rovnicu prenásobenú druhou zovšeobecnenou rýchlost ou atd. Urobíme užitočné pozorovanie: d dt L q i q i Toto využijeme v 3.8: = d L dt q i Q i q i = d dt q i + L q i q i = d dt L q i = d q i dt L q i L i q i q i q L q i L i L q i 3.9 q i q i q 4 Pripomíname, že táto štruktúra nie je povinná. Nikto nediktuje, ktorú konkrétnu čast síl musí človek zahrnút do U - ak je vyjadrovanie potenciálu danej sily príliš zložité, nič nebráni v presunutí celej sily teda aj potenciálovej časti na pravú stranu. Dôvodom, prečo sa tieto rovnice nenechali v tvare., je úzky súvis medzi Lagrangeovými rovnicami v tvare: a účinkovým integrálom z Lagrangiánu. d L L = dt q i 45

49 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* Teraz počítajme totálnu časovú deriváciu L: dl dt = L = L t + L q i + L i = L q i + L i q i q q i q No presne tento výraz sa nachádza so záporným znamienkom v 3.9: d L q i L i L q i = d L q i dt q i q i q q }{{ i dt q L 3. } i = L L q i sme narazili už niekol kokrát: Na výraz d dt d dt q i L q i q i = d [ dt q i Teda z rovnice 3. dostávame: Q i q i = d L q i dt q i T ab q a q b q i ] = d dt T ib q b q i = d dt T = T L = T T U = T + U = Ė Ė = Q i q i 3. Vzt ah Ė = Q i q i vlastne udáva výkon nepotenciálovej zložky sily. Ak je sila nepotenciálová, potom sa pri nevstupovaní času do Lagrangiánu nezachováva energia to je prípad Ė =, ale dostávame vzt ah pre výkon. Vrát me sa teraz k príkladu o trecích silách. V podstate empiricky sme došli k tvrdeniu, že trecie sily možno reprezentovat lineárnou formou: Q i = k ij q j Ak sa pokúsime nájst výkon trecej sily pre jednu časticu, podl a 3. dostaneme celá sila sa v tomto prípade ukryje do nepotenciálovej časti, preto Q i = Q i : P = Q i q i = k ij q j q i Lenže tento výkon musí mat logicky vždy zápornú hodnotu až na prípad, ked sú všetky zovšeobecnené rýchlosti nulové statický prípad. Ak by to tak nebolo, dostali by sme prípad, ked sa systém nejakým spôsobom pohybuje, no výkon je kladný energia narastá, alebo nulový nestráca sa, čo neznie pravdepodobne. Vzhl adom na to, že výkon P je daný kvadratickou formou k ij q j q i a platí, že je záporný práve vtedy, ked aspoň jedna zo zovšeobecnených rýchlostí q nie je nulová, potom táto kvadratická forma je záporne definitná. To ale znamená, že matica tejto formy je záporne definitná. Touto maticou je k ij, teda samotná matica k ij musí byt kladne definitná. Samotné odvodenie symetrie matice k ij vyplýva ako priamy dôsledok definície.9 zovšeobecnených síl: Q i = F a j Vieme, že v kartézskych súradniciach je naša trecia sila vyjadrená v tvare pre nejakých N bodov, vo všeobecnosti s rôznymi koeficientami trenia: r j F k = K k rk kde F k je trecia sila k-teho hmotného bodu v sústave, k N, K k je jeho trecí koeficient a r k jeho rýchlost. 46

50 3.. POTENCIÁLNA ENERGIA A SILA* Potom z.9 dostávame: Q i = F k r k = Označme teraz: N k= K k rk r k = N k= N k= rk K k q m r k = q m K k r k r k q j k ij Potom trecia sila v zovšeobecnených súradniciach prejde na tvar: N k= K k r k q m r k q m kde k ij spĺňa symetriu5 : N k= K k r k r k q j = Q i = k ij q j N k= K k r k q j r k = k ij = k ji 5 Symetria je splnená pre najjednoduchší prípad, kedy sme predpokladali, že trecia sila pre každý hmotný bod v nejakej sústave hmotných bodov je závislá len lineárne od rýchlosti daného hmotného bodu: F i = K ij ẋ j Ďalší predpoklad bol, že K ij = Kδ ij, teda trecia sila pôsobí v smere opačnom voči smeru pohybu hmotného bodu r F r. Existujú samozrejme aj zložitejšie koncepty trenia. Napríklad teleso, ktoré sa pohybuje v tekutom prostredí, je brzdené trením, ktoré pre vysoké hodnoty Reynoldsovho čísla závisí od druhej mocniny rýchlosti pohybu telesa voči prostrediu. Pre také trenie však linearita nemôže byt splnená už len z princípu kvadratického odporu. 47

51 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR 3. Fázový priestor Pokial sme pracovali s Lagrangeovými rovnicami, mali sme definovaný konfiguračný priestor, v ktorom mali súradnice q dovolené sa pohybovat. Ked sme prešli ku Hamiltonovým rovniciam, zdvojnásobil sa počet premenných, ktoré vstupujú do týchto rovníc. Pre tieto premenné zavedieme pojem fázového priestoru, čo je priestor, v ktorom majú dovolené hýbat sa práve zovšeobecnené súradnice a zovšeobecnené hybnosti. 3.. Kvalitatívne riešenie Hamiltonových rovníc* Predstavme si, kvôli jednoduchosti, že náš systém je opísaný práve jednou zovšeobecnenou súradnicou ϕ. Fázový priestor teda bude rovina, kde na jednej osi bude aktuálna hodnota ϕ a na druhej hodnota p ϕ. Tieto súradnice majú vyhovovat Hamiltonovým rovniciam, samozrejme aj s počiatočnými podmienkami. Do fázového priestoru sa nám počiatočná podmienka premietne existenciou nejakého ϕ a p ϕ - stav systému v čase t = alebo inom počiatočnom čase t. Z tohto bodu môžeme vychádzat d alej. Hamiltonove rovnice nám totiž jednoznačne hovoria, ktorým smerom vo fázovom priestore sa máme pohnút d alej, aby sme tým sledovali reálny opis systému. Všeobecne, ak sa v čase t nachádzame v bode [ϕt,p ϕ t], potom Hamiltonove rovnice diktujú, kde budeme v čase t+dt o kúsok neskôr: ϕ = H p ϕ = dϕ = H p ϕ dt = ϕt+dt = ϕt+ H p ϕ dt ṗ ϕ = H ϕ = dp ϕ = H ϕ dt = p ϕt+dt = p ϕ t H ϕ dt Rovnakú úvahu môžeme použit na prípad, kedy by sme sa pýtali, kde bol systém v čase t dt, ak v čase t teraz je v bode [ϕt,p ϕ t]? Odpoved na túto otázku sa skrýva tiež v Hamiltonových rovniciach a ide vlastne o obrátenie smeru času, teda dt zameníme za dt a pozrieme sa, kde sme boli o kúsok skôr. To ale znamená, že tvarom Hamiltonových rovníc a zadanými počiatočnými podmienkami je automaticky určená trajektória vo fázovom priestore, po ktorej sa bude pohybovat súradnica ϕ a jej hybnost p ϕ, pričom táto trajektória je parametrizovaná časom 6. Pre rôzne počiatočné podmienky tak dostávame rôzne krivky, ktoré sa navzájom nepretínajú 7. Každá krivka opisuje možné chovanie systému pri nejakej konkrétnej počiatočnej podmienke, čo budeme nazývat fázový, alebo Hamiltonovský tok 8. Ak do jedného fázového priestoru zakreslíme vel a kriviek pre vel a rôznych počiatočných podmienok, takýto obrázok sa nazýva fázový portrét. Uvedieme si dva nateraz zaujímavé fázové portréty - jeden pre lineárny harmonický oscilátor, druhý pre rovinné matematické kyvadlo. Lagrangián lineárneho harmonického oscilátora kmitajúceho v smere osi z bez pôsobenia iných síl napr. gravitácie má nasledovný tvar: Lz = mż kz Z toho vyplýva, že Hamiltonián tejto sústavy bude: Hz,p = p m + kz 6 Toto nie je t ažké si uvedomit - v každom čase t máme totiž jednoznačne z počiatočnej podmienky určenú hodnotu ϕt a p ϕt. To ale znamená, že ked sa pohybujeme v čase t, bod [ϕt,p ϕt] sa vo fázovom priestore pohybuje po istej krivke určenej práve Hamiltonovými diferenciálnymi rovnicami - inak povedané, súradnica a jej hybnost sa pohybujú po krivke parametrizovanej časom. 7 Pre dve rôzne počiatočné podmienky možno dostat totožné trajektórie vo fázovom priestore. Čo sa nemôže stat, že by sa dve krivky pretínali, spájali, ani rozdel ovali - musela by totiž nastat situácia, kedy sa bod z daného miesta vo fázovom priestore pohne do viacerých smerov naraz, čo však nie je možné pretože tento smer je jednoznačne určený Hamiltonovými rovnicami v príslušnom čase t. 8 Hamiltonian flux 48

52 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Hamiltonove rovnice pre ż a ṗ: ż = p m ṗ = kz Tieto rovnice sa dajú našt astie vyriešit analyticky pre pz, zp poprípade implicitne 9 nasledovným postupom: ż = p m = dz = m pdt = dt = mdz p ṗ = kz = dp = kzdt = dt = dp kz mdz = dp / kz p kz m kzdz = /ˆ m pdp kz + p m = C Pokúsme sa interpretovat tento výsledok. Na l avej strane máme vlastne súčet potenciálnej energie a kinetickej energie tu má zovšeobecnená hybnost naozaj zmysel hybnosti p = m ż. No tento súčet sa ale rovná celkovej energii, teda integračná konštanta je vlastne celková energia a teraz vidíme, že musí byt nezáporná: kz + p m = E Za týchto podmienok teraz môžeme nakreslit fázový portrét vo fázovom priestore - na horizontálnu os nanesieme hodnoty z, na vertikálnu p. Je jasné, že tento portrét bude tvorený sústrednými elipsami, kde hlavná a vedl ajšia os závisia od tuhosti k, hmotnosti m a celkovej energie oscilátora E. Toto E je nakoniec len škálovací parameter jeho zväčšením/zmenšením sa zväčší/zmenší celá elipsa, bezo zmeny pomeru dĺžok hlavnej a vedl ajšej poloosi. 9 Implicitným riešením nazveme také, v ktorom nemáme k dispozícii priamo funkciu y = fx, alebo x = f y, no máme k dispozícii implicitnú závislost x a y určenú nejakou funkciou Fx, y nasledovne: Fx,y = Ak bod x,y spĺňa funkčnú závislost Fx,y =, za daných podmienok, o ktorých hovorí veta o implicitne zadanej funkcii, existuje v okolí tohto bodu funkčná závislost xy, alebo yx. Existencia ešte nehovorí nič o tom, že by sme takú funkciu vedeli napísat explicitne. 49

53 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Nasledujúci graf ilustruje fázový portrét pre lineárny harmonický oscilátor kmitajúci v smere osi z, pričom jeho hmotnost je kg a jeho tuhost je.5nm : Fázový portrét 3.: Lineárny harmonický oscilátor 5

54 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Prvý príklad, znázornenie fázového portrétu pre lineárny harmonický oscilátor, bol vel mi jednoduchý, pretože sústavu ktorá ho opisuje, je možné riešit analyticky. Mnohokrát sa stáva, že systém, ktorého správanie by sme radi poznali, nie je riešitel ný analyticky v elementárnych funkciách, v niektorých prípadoch dokonca ani v kvadratúrach. Druhý príklad, rovinné matematické kyvadlo, vieme riešit v kvadratúrach. Problém je však v tom, že neexistuje elementárna funkcia, ktorá by tento pohyb opisovala. Pre ilustráciu tejto potiaže sa naozaj pokúsime riešit diferenciálnu rovnicu rovinného matematického kyvadla. Lagrangián tejto sústavy je: L = T U = ml ϕ +mglcosϕ Vidíme, že v ňom explicitne nevystupuje čas, teda platí zákon zachovania energie: E = T +U = ml ϕ mglcosϕ = konšt. Rovnaký tvar by sme dostali, ak by sme upravovali rovnicu rovinného matematického kyvadla: ϕ+ g / l sinϕ = ϕ = dϕ dt ϕ ϕ+ g /ˆ l sinϕdϕ dt = dt Počítame oba integrály: ˆ ˆ ϕ ϕdt P.P. = ϕ ϕ ˆ ϕ ϕdt = ˆ ϕ ϕdt = ϕ sinϕ dϕ ˆ dt dt = sinϕdϕ = cosϕ ˆ ϕ ϕdt+ g ˆ sinϕ dϕ l dt dt = C ϕ g / l cosϕ = C ml ml ϕ mglcosϕ = Cml = konšt. ml ϕ mglcosϕ = E 3. Vidíme, že sme dostali rovnaký tvar, ako zo zákona zachovania energie. Pod me sa pozriet na riešenie tejto rovnice. Riešit rovnicu v kvadratúrach znamená nájst integrálne vyjadrenie pre ϕt zadané implicitne: ˆ ϕ ˆ t fϕ dϕ = gτdτ, ϕ t kde tento tvar pri možnom nájdení primitívnej funkcie ku f ako Fϕ = fϕdϕ a ku g Gt = gtdt implicitne zadáva tvar ϕt. Niekedy je možné nájst aj explicitný tvar: Fϕ Fϕ = Gt G = ϕt = F [Gt+Fϕ G] Mnohokrát však rovnicu nevieme riešit v kvadratúrach, čo môže znamenat, že napr. nevieme separovat premenné. Druhý problém sa skrýva v samotnej integrácii, no ak už máme riešenie v kvadratúrach, zvyčajne sa to pokladá za úspech. Integrály totiž možno spol ahlivými metódami riešit numericky, kdežto hl adat riešenie diferenciálnych rovníc najmä nelineárnych je t ažšia úloha. 5

55 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Vo fyzike býva zvykom, že žiadnu rovnicu neriešime v takom tvare, v akom sme ju napísali aj s fyzikálnymi konštantami a príslušnými rozmermi. Každú rovnica, ktorú chceme riešit, je dobré priviest do bezrozmerného tvaru - jednak samotné premenné, ktoré sú predmetom riešenia, budú mat bezrozmerný tvar a taktiež rôzne konštanty, ktoré v nej vystupovali, sa všelijako šikovne zakryjú. Budeme demonštrovat proces, ktorým privedieme rovnicu3. na jej bezrozmerný tvar. Vychádzame zo zákona zachovania energie pre rovinné matematické kyvadlo - dôvod je ten, že je to obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu, čo je ovel a lepšie, ako mat rovnicu druhého rádu v skutočnosti človek rieši radšej rovnice s čím menším rádom, čo je aj dôvod, prečo sú zákony zachovania tak obl úbené a hojne využívané. Rovnicu napíšeme tak, aby nulová potenciálna energia bola pre ϕ =, teda ked vol ne visí: ml ϕ +mgl[ cosϕ] = E Vidíme, že na pravej strane vystupuje celková energia kyvadla. Prirodzenou snahou pri oddimenzionalizovaní rovnice je prepísat dôležito vyzerajúce konštanty pomocou iných konštánt, ktoré v nej tiež vystupujú. Jeden z nápadov, ktoré môže človek dostat ked sa pozrie na celkovú energiu E, že ju vyjadrí pomocou hmotnosti m, gravitačného zrýchlenia g a dĺžky kyvadla l. Skutočne, výraz mgl má jednotku energie a je to vel mi prirodzená konštanta vzhl adom na situáciu, ktorú riešime. Kvôli tomu, aby neskôr vyšla rovnica v príjemnejšom tvare, použijeme hodnotu mgl. Celá podstata tejto úvahy teda bude tkviet v nasledujúcom vzt ahu: E = mglε V tejto rovnici je zachytená myšlienka, že celková energia sústavy ktorá je pri zadaných počiatočných podmienkách už naveky konštantná sa dá vyjadrit ako nejaký reálny bezrozmerný kladný násobok potenciálového rozdielu medzi spodnou a vrchnou polohou kyvadla. Dosad me teda takto vyjadrenú energiu do rovnice: ml ϕ +mgl[ cosϕ] = mglε l 4g ϕ + [ cosϕ] = ε Teraz oceníme, že sme miesto E vzali mglε, platí totiž vzt ah: Člen ϕ [ cosϕ] = sin ϕ prirodzene nájdeme aj v prvom výraze na l avej strane: / mgl l 4g ϕ = l g Prepíšeme rovnicu pomocou polovičného uhla ϕ: l g ϕ ϕ +sin ϕ = ε Natíska sa samozrejme prirodzená substitúcia daného polovičného uhla: ϕ = Φ = l g Φ +sin Φ = ε 3.3 5

56 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR V rovnici stále vystupujú konštanty g a l, avšak stále máme k dispozícii ešte jeden šikovne skrytý parameter s rozmerom - čas. Naozaj, prvý člen obsahuje deriváciu podl a času a teda rozmer času musí tiež v prvom člene vyskočit. Znovu sa ponúka prirodzený argument - môže existovat také T konštantné, že potom akýkol vek časový interval reálneho času t bude bezrozmerným násobkom tohto T. Inak zapísané: t = T τ = dt = T dτ Potom sa nám mierne upraví pravidlo pre derivovanie funkcií závislých od t: ξ = dξ dt = T dξ dτ = T ξ Toto pravidlo spolu s danou substitúciou použijeme v rovnici 3.3: l g Φ +sin Φ = ε T Okamžite vidíme celkom vhodný výber konštanty T čo je takmer perióda malých kmitov kyvadla: l T = g = Φ +sin Φ = ε 3.4 Táto rovnica po daných spätných substitúciach opisuje rovinné matematické kyvadlo, no matematicky sa s ňou pracuje ovel a lepšie - nemusíme totiž rozmýšl at, kol ko je g, l, m a E tak, aby sme kreslili pekné obrázky. Substitúcie tento problém vyriešili za nás. Rovnicu d alej upravujeme: Φ = ε sin Φ [ Φ = ε ] ε sin Φ Φ = dφ dτ = ε ε sin Φ ε dφ ε sin Φ εˆ / dτ ε ε sin Φ /ˆ = dτ ˆ dφ = dτ ε sin Φ Môžeme si gratulovat - práve sa nám podarilo vyriešit rovnicu v kvadratúrach, čo však vôbec neznamená, že si jej riešenie vieme predstavit v skutočnosti nám z tohto tvaru nie je známe takmer nič - ku všeobecnému riešeniu je ešte dlhá cesta. Ukážeme však ešte omnoho viac, závislost Φτ vyjadríme explicitne, no tiež nám to vel a nepovie. Kvôli explicitnému vyjadreniu budeme musiet siahnut po nejakej matematickej knihe s eliptickými integrálmi, kde nájdeme nasledovnú definíciu : ˆ x dt Fx,k k sin t 53

57 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Pravá strana našej rovnice v kvadratúrach tak bude rovná τ a l avá bude vyjadritelná pomocou tejto funkcie F : ˆ ε = k dφ = F ε sin Φ F Φ, Φ, ε = ετ +F F Φ, ε Φ, ε ε 3.5 Dostali sme implicitné vyjadrenie Φt. Pre explicitné musíme poznat funkciu F, ktorou je Jacobiho amplitúdna funkcia, ktorá spĺňa celkom logickú podmienku inverznosti funkcie3 : u = FΦ,k = F u,k = Φ = amu,k Naša funkcia Φt teda bude vyjadritel ná explicitne za pomoci Jacobiho amplitúdnej funkcie v nasledovnom tvare: u = FΦ, = Φτ = F u, ε ε [ ετ Φτ = am +F Φ,, ε ] ε 3.6 Ako iste vidíme, z tohto tvaru vlastne nič nevidíme. Z daného vyjadrenia aj ked explicitného sme v skutočnosti získali vel mi málo. Ak máme poruke dobrý plotter grafov s implementovanými eliptickými integrálmi a ich inverznými funkciami, môžeme si skúsit dat vykreslit danú rovnicu pre rôzne ε čo vel mi zásadne mení vývoj pohybu kyvadla v čase a Φ vývoj kyvadla mení len okrajovo, v podstate vyjadruje počiatočnú polohu kyvadla. Ak taký plotter poruke nemáme, táto rovnica nám nehovorí vôbec nič. Bolo by teda dobré použit inú metódu, pomocou ktorej pohodlne nahliadneme do daného systému bez explicitného riešenia jeho rovníc. Tou je práve kreslenie Hamiltonovského toku vo fázovom priestore čo je teraz celkom dobre možné, vzhl adom na to, že jeho rozmer je. Volanej eliptický integrál prvého druhu. Je vhodné poznamenat, že zápisov tejto funkcie existuje viac: ˆ ϕ Fϕ,k = Fϕ k dt = Fsinϕ;k = k sin t 3 V tomto okamihu sa nebudeme zaujímat, či je, ako funkcia Fx,k, tak aj funkcia am prostá - postačí nám fakt, že výsledná funkcia am, napriek tomu, že nie je pre každé k injektívna prostá, dáva dobré výsledky o priebehu otáčania kyvadla v čase. Analógiu môžeme vidiet vo funkcii sínus a jej inverznej cyklometrickej funkcie arkus sínus. Sínus nie je prostá funkcia, napriek tomu sme schopní riešit rovnicu lineárneho harmonického oscilátora implicitne najprv v kvadratúrach a d alej pomocou výpočtu integrálu v podobe: x arcsin = ωt = xt = x sinωt, x teda problémy s tým, že by funkcia am alebo sínus nebola prostá, prísne vzaté neberieme do úvahy. Koho by zaujímali definičné obory, ohl adom funkcie Fx,k rýchlo vidíme, že pre k > je výraz nedefinovaný komplexný pre niektoré x R vidíme analógiu s funkciou arcsin, ktorá nie je definovaná pre x >. Naopak, funkcia am bez dôkazu, je pre k > periodická, pre k = neperiodická, nepárna, asymptoticky sa blížiaca k hodnote π a pre < k < neperiodická, rastúca. 54

58 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Otázkou teda je:,,ako riešit pohybové rovnice bez riešenia pohybových rovníc?. Mohli by sme sa vrátit ku Hamiltonovým rovniciam pre rovinné matematické kyvadlo a skúsit z nich pre rôzne parametre zostrojit fázový portrét, no natíska sa lepšia možnost. Máme totiž k dispozícii bezrozmernú rovnicu 3.4: Φ +sin Φ = ε Ked že zovšeobecnená hybnost pre súradnicu ϕ je úmerná ϕ, tak je možné povedat, že Φ rovnako dobre poslúži namiesto zovšeobecnenej hybnosti a Φ namiesto zovšeobecnenej súradnice ϕ 4. Na horizontálnu os teda budeme značit súradnicu Φ, na vertikálnu Φ. Ešte pripomenieme, že situácia sa v uhle ϕ opakuje s periódou π, v uhle Φ sa teda opakuje s periódou π. Situáciu si teraz rozdelíme na tri prípady, po kvalitatívnom vyšetrení všetkých troch nakoniec nakreslíme aj fázový portrét. Prvý prípad, ε. Čím je vlastne tento prípad taký zaujímavý? Podmienka ε vlastne hovorí o tom, že energia oscilátora je vel mi malá oproti potenciálovému rozdielu medzi najvyšším a najnižším bodom do ktorého sa kyvadlo môže dostat teraz sa nám škála, ktorú sme zaviedli na začiatku, vel mi hodí. To ale znamená, že samotné kyvadlo sa pohybuje okolo spodnej hodnoty - ked že energie má len tol ko, aby sa ledva kývalo okolo Φ =. Za týchto podmienok môžeme zanedbat nelineárnost funkcie sinφ a nahradit ju priamo argumentom. Dostaneme: Φ +Φ = ε Tým sme vlastne dostali rovnicu kružnice s malým polomerom ε. A presne taký pohyb bude kyvadlo opisovat vo fázovom priestore. Niečo nám to nápadne pripomína - lineárny harmonický oscilátor. Naozaj, v prvom priblížení malých kmitov je kyvadlo lineárny harmonický oscilátor. Tento fakt sa dá ukázat ako z rovnice 3.5, tak aj z 3.6. V rovnici 3.5 použijeme fakt, že Φ, tým pádom aj < α < Φ je zanedbatel ná oproti a teda sinα môžeme zamenit za α a z príslušného parametrického integrálu dostaneme: Φ Φ ˆ Φ dα εˆ dα dα Φ ε ε sin α εˆ = = arcsin = τ ε ε α α Φτ = εsinτ = Φ τ = εcosτ = Φ +Φ = ε Kto by si dal tú prácu a naozaj vykreslil funkciu am ετ, ε, dostal by podobný graf tvarom naozaj podobný funkcii sínus: Graf funkcie 3.: Φτ pre ε =. 4 Komu by sa táto argumentácia nevidela, môže skúsit doviest Hamiltonove rovnice do bezrozmerného tvaru a zistí, že to, čo sme tvrdili v tejto argumentácii kvalitatívne, bude zodpovedat skutočnosti. Ciel om kreslenia fázového portrétu nie je presne aj s jednotkami zaznačit škály, na ktorých sa premenné pohybujú v oboch osiach, ale kvalitatívne naznačit charakter pohybu v sústave. 55

59 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Druhý prípad, ε =. Tento prípad už nemá nič spoločné s lineárnym harmonickým oscilátorom, takýto pohyb je totiž neperiodický. Podmienka ε = hovorí o tom, že kyvadlo má mat presne tol ko celkovej energie, aby sa akurát vyšplhalo na vrchol kružnice, kde ϕ = π a Φ = π. Nech už tento pohyb začína odkial kol vek okrem vrcholu, jeho priebeh sa s časom rastúcim do nekonečna asymptoticky blíži ku hodnote Φ = π. Toto riešenie sa skrýva aj v rovnici 3.4: Φ +sin Φ = ε = Φ = sin Φ = cos Φ Φ = ±cosφ; Φ π Vo fázovom portréte sa teda bod snaží po takejto čiare dostat až do bodu, kde Φ = a Φ = π, no reálne tam dôjde v nekonečnom čase. Presné riešenie v čase je vyjadritel né v elementárnych funkciách bez dôkazu: Asymptotika tohto riešenia pre τ je: Φτ = arctane τ π Φτ = arctane τ π = π e τ +O e τ ; τ Vidíme teda, že kyvadlo sa naozaj exponenciálne pomaly blíži k vrcholu kružnice všetky d alšie členy už klesajú k nule rýchlejšie, ako e τ. Grafom tohto časového vývoja je funkcia podobná arctanτ, no jej asymptotika je exponenciálna arctanτ má asymptotiku π/ /τ pre τ : Graf funkcie 3.3: Φτ pre ε = 56

60 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Tretí prípad, ε. > a ε. Situácia je pre ε l ahšie nahliadnut elná - ak je celková energia kyvadla ovel a väčšia, ako potenciálový rozdiel medzi spodnou a vrchnou polohou, možno povedat, že dominantný člen bude Φ. Je tomu tak preto, lebo člen sin Φ sa mení len v intervale,, ak je teda ε vel ké napr., druhý člen zaváži naozaj málo. Čím väčšie je teda ε, tým,,konštantnejšie je Φ. Fyzikálne sa v tomto prípade deje to, že kyvadlo sa zakaždým pretoči cez vrchol - čim väčšie je ε, tým menej cíti, že sa mu vôbec mení potenciálna energia a tým viac sa tento pohyb podobá na rovnomerný pohyb po kružnici a člen Φ sa blíži ku konštante Φ ε. Pohyb je v premennej Φ neperiodický. V elementárnych funkciách sa dá opísat len prípad ε, vtedy Φτ = ετ. Zaujímavý bude zrejme ten, kde ε bude len o trochu viac ako a potom ten, kde ε : Graf funkcie 3.4: Φτ pre ε =.. Môžeme si všimnút, že energia ledva stačí na pretočenie kyvadla cez vrchol, ktoré v tom momente značne spomalí - len s t ažkost ou sa pretočí Graf funkcie 3.5: Φτ pre ε = 4. Tentoraz je energia kyvadla o dost väčšia, ako potenciálový rozdiel medzi spodným a vrchným bodom. Vidíme, že vývoj Φ a teda aj ϕ v čase je takmer lineárna funkcia, kyvadlo si teda ledva,,všimne, či je v spodnej, alebo vrchnej polohe. 57

61 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Ešte raz ukážeme postupné zvyšovanie ε z vel mi malej hodnoty až po. Pre porovnanie dokreslíme aj kmity lineárneho harmonického oscilátora s rovnakou frekvenciou uvažovaných malých kmitov. Uvedieme taktiež prípad ε >.. = Sin = am,.3 _ =. = = = =.99 = =. 8 =

62 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Samotný fázový portrét zostrojíme z čiastkových informácii o jednotlivých limitných prípadoch: ε = Φ +Φ = ε ε = = Φ = ±cos Φ ε = Φ = ε Tam, kde nepoznáme presný tvar, v mysli extrapolujeme medzi známymi tvarmi, alebo si dáme vykreslit tzv. contour map funkcie Φ +sin Φ = ε. Táto metóda dáva jednoznačne najlepšiu predstavu o fázovom toku: Fázový portrét 3.6: Rovinné matematické kyvadlo. Energia ε sa mení od fialová po béžová. 59

63 3.. FÁZOVÝ PRIESTOR Do takýchto obrázkov sa zvyknú kreslit aj šípky, aby bolo jasné, ktorým smerom sa tok pohne z daného miesta fázového priestoru tento smer odpovedá skutočnej snahe kyvadla zväčšit /zmenšit súradnicu Φ, resp. Φ: Vektorové pole 3.7: Fázový portrét s vektorovým pol om pre rovinné matematické kyvadlo. V rovnovážnej polohe Φ,Φ a v okolí vrchnej polohy Φ ± π,φ sú šípky malé, pretože v týchto miestach je pohyb pomalší zaniká v oboch polohách. 6