Математика и језик, II

Transcript

1 ISSN (p) , ISSN (o) X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA Vol. VII (2015), Broj 13, Stručni rad Математика и језик, II Данијела Митровић Универзитет у Источном Сарајеву, Педагошки факултет Бијељина, Бијељина, Семберских ратара б.б., Босна и Херцеговина Сажетак: Jeзик математике је универзалан и математика омогућава да се неки проблем представи и реши помоћу симбола, бројева и операција. Језик математике није увек формалан и за разумевање одређених дефиниција, теорема исказа неопходно је неформално познавање природног језика. Циљ рада је приказати повезаност говорног језика и математичког језика. У раду су приказани хомоними, као и примери двосмислености речи истог облика, а различитог значења. Математика има атрибуте језика, али је за њено разумевање неопходно познавање говорног језика. Решавање великог броја проблема и ситуација с којима се људи сусрећу у свакодневном животу и професионалном контексту захтева одређен ниво познавања математике, као и језика математике. Кључне речи и фразе: језик математике, симболи, формални и неформални језик, проблем Аbstract. Mathematics is a universal language and mathematics makes it possible to present a problem and solve by using symbols, numbers and operations. Language mathematics is not always formal and understanding of certain definitions, theorems testimony is necessary informal understanding natural language. The aim is to show the connection between spoken language and mathematical language. The paper presents homophones, as well as examples of ambiguity say the same shape, but with different meanings. Mathematics has the attributes of the language, but for its understanding necessary knowledge of the spoken language. Addressing a large number of problems and situations that people encounter in everyday life and professional context demands a certain level of knowledge of mathematics, as well as the language of mathematics. Key words and phrases. mathematics, symbols, formal and informal language, problem Mathematics Subject Classification (2010) Math. Didactic Classification (2010): Увод Још пре поласка у школу деца се упознају са математичким појмовима. На питање: Колико имаш година?, већина деце ће руком показати колико има, без додатног објашњавања речима. Од најранијег доба користе се разни математички знаци који су међународно разумљиви. Језик математике је универзалан и обухвата свима разумљиво записивање математичких садржаја.

2 У математици се користе разне дефиниције, теореме, искази и за разумевање истих неопходно је познавање природног језика. Математика омогућава да се неки проблем или неко питање представи и реши помоћу неких бројева, симбола и операција. У сваком језику постоје речи које се исто изговарају, а имају различито значење. За разумевање математике је важно да искази, дефиниције буду јасно, и прецизно дефинисане без двосмисленог значења речи. У овом истраживању је показано да математика има свој формални језик, али за њено потпуно разумевање потребно је познавање и неформалног језика. Језик математике Поред говорног језика у математици се користи разни математички знаци-симболи, а све то заједно чини језик математике. Тај језик је универзалан и омогућава једноставно и свима разумљиво записивање математичких садржаја. Творац математичког језика је немачки математичар и филозоф Лајбниц. Слика 1. Готфрид Вилхелм Фрајхер (барон) фон Лајбниц ( ) У математици, Лајбниц је истраживао идеју о универзалном математичко логичком језику заснованом на бинарном систему. Супротно од Лајбницове идеје, све машине за рачунање које су касније конструисане користе бинарни систем за рачунање. Језик математике садржи: Константе: 1, 2, 3,...,π, е,...; Варијабле x, y,..., a, b,..., α, β,...; Функвионалне симболе: (n N, i N); Релацијске симболе: (n N, i N); Логичке везе: (коњукција), (дисјункција), (импликација), (еквиваленција), (негација); Квантификаторе: (квантификатор универзалности), (квантификатор егзистенције); Знаке интерпункција: (тачка),, (зарез), : (усправна двотачка), ; (тачка-зарез);... (три водоравне тачке), (узвичник); Специјалне ознаке (заграде): 14

3 (,);, ; [,]; {,}. Коришћењем ових елемената математичког језика дефинишу се терми / изрази и реченице / формуле на слиједећи начин: Терми су: (a) Варијабле и константе (ако постоје). (б) Aко је f k-аргументно функцијско слово, а t 1,..., t k терми, тада је низ симбола f(t 1,..., t k ) такође терм. (в) Терми се праве коначном применом правила (а) и (б) ове дефиниције, и других терма, осим ових, нема. На пример, у аритметици, сабирање, у ознаци '+', и множење, у ознаци ' ', су функционални симболи дужине 2. Тако су и низови симбола x+2, y 3, према претходној дескрипцији, такође терми. Aтом (или елементарна формула) се описује на следећи начин: (a) Терми су атоми; и (б) Ако је P k-aргументно предикатско слово дужине k, a t 1,..., t k терми, тада је низ симбола P(t 1,..., t k ) такође елементарна формула. (в) Других елементарних формула осим оних који се добијају коначном применом правила (а) и (б) обе дефиниције, нема. Сада можемо дефинисати појам формула, у нашем језику, на следећи начин: (a) Атоми су формуле. (б) Ако су B и C формуле, тада су низови симбола (B C), (B C), (B C), (B C), B, такође формуле (B и C зовемо подформулама ). (в) Ако је B формула, a x варијабла, тада су низови симбола ( x)b, ( x)b такође формуле (B се назива подформула). (г) Других формула, осим оних које се добијају коначном применом правила (a)-(в) ове дефиниције, нема. Уобичајени начин представљања предиката који имају један број аргумената / места је тзв. 'префикс'нотација: p(x), q(x,y), r(x,y,z) и тако даље. У математичкој пракси само се предикати дужине два пишу у компактној 'инфикс' нотацији (на пример, пише се x = y уместо, како би требало, =(x,y)). Подсетимо се, ради примера: Једнакост је предикат дужине два који задовољава слиједеће аксиоме ( x)(x = x), (рефлексивност) ( x)( y)(x = y y = x), (симетричност) ( x)( y)( z)(x = y y = z x = z), (транзитивност) ( x)( y)(x = y f(x) = f(y)), f је функционално слово (екстензивност за функције) ( x)( y)(p(x) x = y p(y)), p jе предикатско слово (eкстензиовност за предикате) Maтематика нам је омогућила да неко питање преведемо на неки специјални језик (симболе, једнакости,...), што значи да математика има атрибуте језика. Овде постоји разлика од једноставног превода полазног питања на пример с српског на руски или енглески језик. На основу сваког од 15

4 таквих превода, може се реконструисати полазни текст и садржај полазног питања, с друге стране, при таквом преводу мења се запис, а питање остаје. Прелазећи на математички текст, тј. на математички запис, ми се у потпуности лишавамо могућности да се вратимо на конкретно специјално питање, ако смо изгубили његов полазни текст. Али зато добијамо одређено математичко питање (овде је то решавање система једначина), које ће кад буде решено, одговорити на наше полазно специјално питање и на сва слична питања истовремено. Математичари налазе начине (методе) решавања система једначина и многих других проблема, који на први поглед нису интересантни ни за кога осим самих математичара. У ствари, као и бројеви, они опслужују огромну сферу конретних објеката и појава. Дакле, математика најчешће даје не само специјални језик (на којем се настоји записати питање које се појавило, одбацујући и све другостепено по важности), него такође и метод за решавање чисто математичког проблема које се појављује. Решивши га, поред осталог, добија се одговор и на специјално питање које је постављено. Хомоними у језику математике Анализирајући истраживања аустралијских истраживача Adams, T.L., Thangata, F., & King, C.(2005) часописа Digest 2/2010 за разумевање математичких термина неопходно је разумевање термина свакодневним говором. У речнику сваког језика постоје хомоними речи које се исто изговарају а имају различто значење. У следећој табели су приказани примери енглеских речи које се користе у математици и речи које се исто изговарају али имају друго значење. Математички термини на енглеском arc (лук) pi (пи-слово грчког алфабета) plane (раван) serial (серијски) sine (синус) sum (сума) Хомоними ark (ковчег) pie (пита) plain (равница) cereal (житарице) sign (знак) some (неколико) Табела 1. Математички термини и хомоними (Adam, Thangata, & King, 2005) Ови аутори су дали неколико закључака који помажу студентима за боље разумевање математичког речника: Неопходно је да студенти имају могућност да виде, чују, кажу и напишу математичке речи у контексту, Подршка студентима да математичке појмове прикажу кроз дијаграме, слике како би их лакше разумели. Проблеми се могу јавити и код речи које се користе за четири основне математичке операције. Анализирајући речи које се односе на сабирање, одузимање, множење и дељење могу се наћи неразумевања. На пример, израз колико се често користи када се мисли на дељење ( Колико петица има број 25? ). Међутим када се постави питање Колико је између 5 и 25 година, исказ се не односи на дељење већ разлику. Израз колико се може користити за било коју операцију, али прва асоцијација се односи на поделу. Математика има атрибуте језика, иако технички није природни или неформални људски језик, али она јесте формални вештачки конструисан језик. За разуевање математике неопходно је коришћење природног неформалног језика. У математици се у сваком језику, па и у енглеском користе речи у свакодневној употреби. Неки примери су дати у следећој табели 2. Математички изрази на енглеском angle (угао) Свакодневна употреба Point of view (тачка гледишта) 16

5 concrete (конкретан, бетон) figure (фигура) odd (непаран) order (ред) volume (обим) Hard substance used in paving (чврста супстанца за асфалтирање) Shape of an object (облик објекта) strange (чудан) place in request (место у захтеву) sound level (ниво звука) Табела 2. Математичке речи и њихова свакодневна употреба Математички објекат је замишљен (идеалан) објекат. Реални су модели и симболи којима се обележавају математички објекти. Математички појам је свака замисао о битним карактеристикама математичког језика. У истраживању Вилијама Лату говори се о речима са више значења у математичким контекстима која су извор конфузије и неразумевања за студенте. На пример реч квадрат, има разне математичке конотације, на пример: површине, четири једнаке странице, број или математичка имовина. Поред речи која имају више значења у истом истраживању се говори да за неке математичке термине као што су : апсолутна вредност, стандардна девијација нема еквивалентне функције у активностима људи и да учење коришћења математичких речи мора да се уради и у оквиру појединих математичких контекста. Формални и неформални језик математике Математика је као језик, иако технички то није природни језик или неформални људски језик, али формално то је вештачки конструисан језик. Важно је да се користи природни свакодневни језик за учење формалног језика математике. Понекад се наилази на проблеме који када се користе уобичајене речи, као формални део математике, и долази до конфликта и неразумевања употребе и коришћења исте или сличне речи. Истраживања су показала да језик математике никад није у потпуности формалан. У математици основу чине изрази, теореме, искази, дефиниције. Да би се разумео исказ, то није могуће само помоћу симбола, операција, већ и помоћу говорног, природног језика. Исказ није само идеја појединца, већ изражава идеје које произилазе из претходног коришћења. (Barwell, 2013). Према истраживању Барвела које је обухватало истраживање ученика који говоре само француски или само енглески језик и њихово разумевање геометријских фигура, у овом случају полигона, односно многоулова. Они су имали то графички представљено и требали су сами да класификују геометријске фигуре у групе, и на крају је наставник природним језиком објаснио дефиницију многоугла. Закључак овог истраживања је да ученици треба да науче формални математички језик као део учења математике, али то не значи да нестаје неформални језик, нити да је математика више формални језик. За разумевање математике, неопходно је познавање и формалног и неформалног језика. (Barwell, 2013). Истраживање Eule Ewing Monroe показује да се мењају методе преноса математичких знања математике и у складу са променама олакшава се наставнику да боље пренесе знање. Такође овде се говори о томе да деца још пре поласака у школу уче формални и неформални језик математике. На пример ако питате дете од две, три, четири или пет година: Колико имаш година?, дете ће руком одговорити, односно подићи онај број прстију колико има година без објашњавања речима. (Monroe, 1996). Математичка писменост Математички писмен појединац може успешно решити математички задатак приказан кроз неку ситуацију из стварности. Појединац притом пролази кроз процес математизације, изван математичке 17

6 и унутарматематичке контексте те свеобухватне идеје, а за успешно и целовито решење заданог проблема, он треба поседовати бројне математичке способности. Како би се те способности могле идентификовати и испитати, OECD/PISA(међународна процена знања и вештина ученика) показује неколико карактеристичних математичких способности (компетенција). Математичко мишљење и закључивање. Ова способност укључује постављање питања карактеристичних за математику (Постоји ли..? Ако да, колико? Како ћемо пронаћи..?); познавање врста одговора које математика нуди за наведена питања; разликовање различитих врста изјава (дефиниција, теорема, хипотеза, примера итд.); разумевање и баратање распоном и границама даних математичких концепата. Математичко аргументирање. Ова способност укључује разумевање шта је то доказивање и како се оно разликује од осталих врста математичког закључивања; праћење и испитивање разноврсних математичких аргумената; поседовање осећаја за хеуристику (Шта се може, а шта се не може догодити и зашто?); креирање и изражавање математичких аргумената. Комуникација. Ова компетенција укључује способност изражавања математичких садржаја на разне начине у усменом, писаном и другом визуалном облику; као и разумевање туђих радова и изјава изражених на исти начин. Моделирање. Ова способност укључује математизацију, тј. превођење ситуације из реалности у математичке структуре; интерпретирање математичких модела у оквирима контекста или стварности; рад с математичким моделима; промишљање, анализу и критички став према моделима и њиховим решењима; промишљање о процесима моделирања. Постављање и решавање проблема. Ова способност укључује постављање, формулисање и дефинисање разних врста проблема и решавање разних математичких проблема на многе начине. Презентовање. Ова способност укључује декодирање, кодирање, превођење, разликовање и интерпретирање различитих облика презентовања математичких објеката и ситуација. Коришћење симбола, формалног и техничког језика и операција. Ова способност укључује декодирање и интерпретацију симболичког и формалног језика, те разумевање његове везе са природним језиком; превођење из природних језика у симболички / формални језик; разумевање изјава и израза који садрже симболе и формуле; коришћење варијабли, једначина, рачунање. Коришћење алата и технологија. Ова способност укључује познавање и коришћење разних помоћи и алата (укључујући алате информационе технологије) који могу помоћи при математичким активностима; познавање ограничења таквих помоћи и алата. Да би био математички писмен, појединцу су потребне све ове особине на разним висинама. Гледано са становишта математичког језика, други аспект је декодирање и интерпретација симболичког и формалног језика и разумевање његових односа с природним језиком. На пример у задатку Јелена живи 2 км далеко од школе, а Марко 5км. Колико далеко Јелена и Марко живе једно од другога?, се тражи да се ситуација из стварног живота преведе у математички језик, потом да се развије математички модел и да се провери да ли се решење проблема подудара са контекстом почетног питања. Закључак Математика није језик, али има атрибуте језика и она нам је омогућила да питање неког проблема преведемо на неке симболе и операције које су међународно разумљиве и које могу довести до решења проблема. Математика је интернационални предмет. Ову дисциплину одликују јединствени корени, везани за Еуклидову теорију бројева и геометрију, као и јединствени симболички језик. Развој примењене математике, технологије и науке од математике у доброј мери позајмљују симболички језик. Схватање и решавање великог броја проблема и ситуација с којима се људи сусрећу у свакодневном животу и професионалном контексту захтева одређен ниво познавања математике, математичког резоновања и коришћење математичких алата, односно превођење на математички језик. 18

7 Примена математике подразумева употребу математичког резоновања и математичких концепата, процедура и чињеница и алата како би се дошло до математичког решења. Оно укључује извођење рачуна, манипулисање алгебарским изразима и једначинама или другим математичким моделима, анализирање информације на математички начин из дијаграма, графика, развијање математичких описа и објашњења и коришћење математичке алате како би се решио проблем. У математици се користи симболички, формални и технички језик. Али истраживање овог рада је показало да за разумевање математике поред формалног језика неопходно је објашњење појмова на неформалном природном језику. Коришћење симболичког, формалног и техничког језика и операција: укључује разумевање, интерпретацију, манипулисање и коришћење симболичких ираза у математичком контексту (укључујући аритметичке изразе и операције) у складу са математичким конвенцијама и правилима. Оно такође укључује разумевање и коришћење формалних конструката заснованим на дефиницијама, правилима и формалних система као и коришћење алгоритама. Литература [1] Barwell, R. (2013): Formal and informal language in mathematics classroom interaction: a dialogic perspective, In Lindmeier, A. M. & Heinze, A. (Eds.). Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 2, pp ) Kiel, Germany: PME. [2] Abedi, J. and C. Lord (2014): The Language Factor in Mathematics Tests, Applied Measurement in Education, 14(3): [3] Monroe, E.E. (1996): Language and Mathematics: A Natural Connection for Achieving Literacy, Reading Horizons, 36(5): [4] Adams, T.L., Thangata, F., & King, C. (2005). Weigh to go! Exploring mathematical language. Mathematics Teaching in the Middle School, 10(9): [5] Viliami F. Latu: Language Factors that affect Mathematics Teaching and Learning of Pasifika Students, In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, & A. McDonough (Eds.), Building connections: Research theory and practice. Proceedings of the 28 th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp ). Melbourne: Mathematics Education Research Group of Australia. [6] Сајт прегледан [7] Сајт прегледан