Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина
|
|
- Κάλλιστος Βασιλόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Метода мреже за Дирихлеове проблеме Метода мреже се приближно решавају диференцијалне једначине тако што се диференцијална једначина трансформише у систем алгебарских једначина чије је решавање једноставније. Формирамо мрежу у првом квадранту xoy координатног система. x = x 0 + ih, i = 0, ±1, ±2, y = y 0 + kl, k = 0, ±1, ±2, Није обавезно да су кораци h и l међусобно једнаки. Вредности функције u = u(x, y) у чворовима мреже, означена са u ik = u(x o + ih, y o + kl) одређујемо на следећи начин: У сваком унутрашњем чвору узећемо да је ( u x ) ik док се вредности на границама добијају као Аналогно се апроксимира и други извод: u i+1,k u i 1,k, ( u 2h y ) u i,k+1 u i,k 1 2l ik ( u x ) u i+1,k u i,k ik h ( u y ) u i,k+1 u i,k л ik ( 2 u x 2) u i+1,k 2u i,k + u i 1,k h 2 ik ( 2 u y 2) u i,k+1 2u i,k + u i,k 1 l 2 ik Решавамо проблем Δu = 2 u + 2 u x 2 y u(x, y) = φ(x, y), 2 = f(x, y), (x, y) G (x, y) G Парцијални извод мењамо са u i+1,k 2u ik +u i 1,k h 2 + u i,k+1 2u ik +u i,k 1 l 2 = f ik, f ik = (x i, y k ) Ако израз помножимо са h 2 и узмемо да је h = l добија се да једначина u i+1,k + u i 1,k + u i,k+1 + u i,k 1 4u ik = h 2 f ik Грешка се одређује по формули R ik h2 6 M 4 где је M 4 = mx { 4 u 4 x, 4 u y 4 }
2 Пример: Решити следећи проблем на мрежи: Δu = 2 u + 2 u x 2 y u(x, y) = φ(x, y), 2 = 0, (x, y) G (x, y) G Добија се следећи систем једначина u 01 + u 21 + u 10 + u 122 4u 11 = 0 u 02 + u 22 + u 11 + u 13 4u 12 = 0 u 03 + u 23 + u 12 + u 14 4u 13 = 0 u 11 + u 31 + u 20 + u 22 4u 21 = 0 u 12 + u 32 + u 21 + u 23 4u 22 = 0 u 13 + u 33 + u 22 + u 24 4u 23 = 0 Дакле, добили смо 6 једначина а имамо 12 непознатих. Користимо сада услове на границама: u i0 = 0 (i = 1,2,3), u 0j = 0 (j = 1,2,3) u 14 = u 24 = u 34 = Решавањем система добија се да је u 11 = 714, u 21 = 982, u 12 = 1875, u 13 = 4286, u 23 = 5268, u 22 = 2500.
3 Решавање граничних задатака на произвољно задатим областима Нека је област G круг. Тада се тачке мреже које се не налазе на граници области одређују следећим апроксимацијама Односно k+1 = u A + u B k u A u Ah δ 1 +h δ 1, u k+1 Ch = u c + u D k u C δ δ 2 h 2 u Ah = δ 1u B +hu A δ 1 +h, u Ch = δ 2u D hu C δ 2 h Пример: Решити проблем мреже Δu = 2 u + 2 u x 2 y 2 = 0, (x, y) G u(x, y) = x 2 y 2, (x, y) G где је G = {(x, y), x 2 + y 2 = 16}. Решење: Приметимо да су функције f и φ симетричне у односу на пправе Оx, Oy, x = y, x = y те се проблем своди на ¼ круга. Направићемо прво мрежу са кораком h = 2 и одредимо тачке које се налазе на границама: A(4,2) M( 12, 2), u A = u M = = 48 (u B = u B, u M = u M ) C(4,0), u c = 0, u C = u C Решавамо систем у унутрашњим тачкама (,, c, d): 4 4 h 2 = u C 2c 2 h 2 + h 2 = 0 2c + u M 2c + um h 2 + h 2 = 0 2c 2 h u C h 2 = 0 Решавањем система добија се да је = 24, = 24, c = 36. Понављамо поступак са двоструко мањим кораком. Прво одредимо вредности функције у чворовима који се налазе на граници.
4 A(4,1), u A = 15 B(4,2), u B = 48 C ( 3 4, 3 4 ), u C = 63 Понављајући поступак, слично одрећујемо вредности функције у унутрашњим чворовима (,, c, d, e, f). Добија се да је = 26, = 20, c = 27, d = 28, e = 27, f = 44. Сада се вредности у граничним тачкама могу одредити презизније, односно: Слично за тачку B δ A = MA = 4 15 = 0.13 u (1) A = u M + e u M δ A h δ A = δ B = NB = 4 12 = 0.6 u (1) B = u N + f u N δ B h δ B = Oдносно, u (1) A = u (1) A = 13, u (1) B = u (1) B = 49, u C = 73. Вредности функције u у чворовима мреже се могу приказати табелом Пример за вежбу: Решити претходни проблем ако је област G огранична следећим функцијама 2y = 1 4x 2, y = 0, x = 0 и ако је вредност функције на границама дефинисана са u x=0 = 0, u y=0 = (1 4x 2 )x, u 2y=1 4x 2 = 12xy 2. Узети да је корак h = 0.1.
5 Метода мреже за задатке параболичког типа Решавамо следећи проблем u t = 2 2 u x 2 При ограничењима u(x, 0) = f(x), (0 < x < s) и граничним условима u(0, t) = φ(t), u(s, t) = ψ(t). Дискретизујемо проблем на мрежи са корацима h и τ Увођењем смене τ = 2 t полазни проблем добија облик u t = 2 u x 2 Како је t 0 и 0 x s формирамо следећу мрежу: x = ih (i = 0,1,2, ), t = jl (j = 0,1,2,.. ) Узимајући да је x i = ih, t j = jl и u(x i, t j ) = u jt приближна вредност функције у унутраљим чворовима се добија по формули ( 2 u x 2) u i+1,j 2u i,j + u i 1,j h 2 ij Односно Заменом у полазни задатак добија се да је u i,j+1 u i,j l u i,j u,ij 1 l ( u t ) u i,j+1 u i,j ij l ( u t ) u i,j u,ij 1 ij l = u i+1,j 2u i,j + u i 1,j h 2 = u i+1,j 2u i,j + u i 1,j h 2 Па ако се узме да је σ = l h2 добија се следећа итеративна формула u i,j+1 = (1 2σ)u ij + σ(u i+1,j + u i 1,j ), (1 + 2σ)u i,j σ(u i+1,j + u i 1,j ) u i,j 1 = 0 Ако се решава следећи проблем u t = u + F(x, t) x2 Тада је рекурентна формула облика u i,j+1 = (1 2σ)u ij + σ(u i+1,j + u i 1,j ) + lf ij Користи се оцена грешке u u T 4 (M M 3) h 2 за σ = 1/2, односно u u T 72 (1 3 M M 6) h 4 за σ = 1/6 где су M i = mx { i u t i }, i = 2,3, M i = mx { i u }, i = 4,6 xi
6 Пример: Решити следећи проблем u t = 2 u x 2 При ограничењима u(x, 0) = sin (πx), (0 x 1), u(0, t) = 0, u(1, t) = 1 (0 t 0.25). Узети да је σ = 0.5. Решење: Нека је h = 0.1. Потребно је одредити вредности функције u за x = ih, i = 0,1,2,,10. Како је σ = h2 = 0.5 следи да је l = 0.05 (t = lj, j = 0,1,2,3,4,5). Из услова следи да је u 0j = 0, u 10,j = 0, j = 0,1,..,5 (прва и последња колона) и u i,0 = sin(πx i ), i = 0,,10. (прва врста). За i = 1,10 i j = 1,4 користи се итеративна формула u i,j+1 = 1 2 (u i+1,j + u i 1,j ) l >> NumResvnjePrcijlnihJednProlickogTip u = u_tcno = rzlik = Поређења ради, у последње две врсте налазе се тачне вредности функције u (x, t) = e π2t sin (πx) као и апсолутна разлика u u. Иначе, ако применимо оцену грешке, како је f (4) (x) = π 4 sin(πx), добија се да је М 1 = π 4, па је u u π 4 h 2 = Ако погледамо последњи ред видећемо да грешка заиста јесте маља од 0,0081. NumResvnjePrcijlnihJednProlickogTip.m % Numericko resvnje prcijlnih jedncin prolickog tip % resvmo prolem olik % du/dt = d^2u/dx^2 + F(x,t) % u(x,o) = f(x) % u(0,t) = psi(t) % u(s,t) = ksi(t) % z x \in [0,1] i t \in (0,0.25] % Diskretizujemo zdtk s korcim h=0.1 i l=0.05 % h = 0.1; l = 0.005; f sin(pi.*x); F 0; psi 0; ksi 0; X = [0:h:1]; T = [0:l:0.025];
7 n = length(x); m = length(t); u = zeros(m,n); sigm = 0.5; for i = 1:n u(1,i)=f(x(i)); for j=1:m u(j,1) = psi(t(j)); for j = 1:m u(j,n) = ksi(t(j)); for j= 2:m for i = 2:n-1 u(j,i) = 1/2*(u(j-1,i+1)+u(j-1,i-1)); u utcno exp(-pi^2.*t).*sin(pi.*x); u_tcno = utcno(x,0.025) rzlik = s(utcno(x,0.025)-u(6,:)); rzlik Пример за вежбу: Наћи приближно решење једначине u t = 2 u + 2x + t x2 При ограничењима u(x, 0) = sin (πx), (0 x 1), u(0, t) = 0, u(1, t) = 1 (0 t 0.25). Узети да су кораци h = 0.1 и l = 0.05.
8 Метода мреже за задатке хиперболичког типа Решавамо следећи проблем 2 u t 2 = 2 u 2 x 2 При ограничењима u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = Φ(x) (0 x s) и граничним условима u(0, t) = φ(t), u(s, t) = ψ(t). Дискретизујемо проблем на мрежи са корацима h и τ Увођењем смене τ = 2 t полазни проблем добија облик 2 u t 2 = 2 u x 2 Како је t 0 и 0 x s формирамо следећу мрежу: x = ih (i = 0,1,2, ), t = jl (j = 0,1,2,.. ) Узимајући да је x i = ih, t j = jl и u(x i, t j ) = u jt приближна вредност функције у унутрашњим чворовима полазни проблем се може дискретизовати на следећи начин u i,j+1 2u i,j + u i,j 1 l 2 = u i+1,j 2u i,j + u i 1,j h 2 Односно, означавајући са α = l/h ( α 1)добија се итеративна формула u i,j+1 = 2u ij u i,j 1 + α 2 (u i+1,j 2u ij + u i 1,j ) Користи се оцена грешке u u h2 [(M 12 4h + 2M 3 )T + T 2 M 4 ] где су M k = mx { k u t k, u k xk }, k = 3,4. За граничне услове користи се следећа апроскимација u i1 u i0 = Φ(x l i ) = Φ i где су за j = 0, j = 1 u i0 = f i и u i1 = f i + lφ i. Грешка рачуна не сме бити већа од u i1 u i1 αh 2 M 2 где је M 2 = mx { 2 u t 2, 2 u x 2 } Слично, за j = 0, j = 1 може да се користи и следећа апросксимација u i0 = f i и u i1 = 1 2 (f i 1 + f i+1 ) + lφ i. Грешка рачуна не сме бити већа од u i1 u i1 h4 M h3 M 6 3 где је M k = mx { k u t k, u k xk }, k = 3,4.
9 Пример: Решити следећи проблем 2 u t 2 = 2 u x 2 При ограничењима u(x, 0) = 0.2x(1 x) sin(πx), u t (x, 0) = 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 1. Решење: Нека је h = l = Потребно је одредити вредности функције u за x = ih, t = jl, i, j = 0,1,2,,10. Из услова следи да је u i0 = f i, u i1 = 1 2 (f i+1 + f i 1 ) (прва и друга колона). Даље се користи рекурентна веза (α = 1) u i,j+1 = 2u ij u i,j 1 + α 2 (u i+1,j 2u ij + u i 1,j ) >> NumResvnjePrcijlnihJednHiperolickogTip u = Будући да је решење симетрично за x (0.5,1) нисам штампала остале колоне. NumResvnjePrcijlnihJednHiperolickogTip.m % Numericko resvnje prcijlnih jedncin hiperolickog tip % resvmo prolem olik % d^2u/dt^2 = * d^2u/dx^2 (kd je =1) % u(x,o) = f(x) % u_t(x,0)=fi(x) % u(0,t) = psi(t) % u(s,t) = ksi(t) % z x \in [0,1] i t \in (0,0.5] % Diskretizujemo zdtk s korcim h=0.05 i l=0.05 % h = 0.05; l = 0.05; f 0.2.*x.*(1-x).*sin(pi.*x); fi 0; psi 0; ksi 0; X = [0:h:1]; T = [0:l:0.5]; n = length(x) m = length(t) u = zeros(m,n); for i = 1:n
10 u(1,i)=f(x(i)); for j=1:m u(j,1) = psi(t(j)); for j = 1:m u(j,n) = ksi(t(j)); for i = 2:n-1 u(2,i) = 1/2*(f(X(i+1))+f(X(i-1))); lph =1; for j = 2:m-1 for i = 2: n-1 u(j+1,i) = 2*u(j,i)-u(j-1,i)+lph*(u(j,i+1)-2*u(j,i)+u(j,i-1)); u(:,1:11) Пример за вежбу: Наћи приближно решење једначине 2 u t 2 = u x 2 При ограничењима u(x, 0) = x(π x), u t (x, 0) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, (0 t 0.25). Узети да су кораци h = 0.1 и l = 0.05.
11 Метода Галеркина Решавамо следећи проблем y + p(x)y + q(x)y = Γ[y] α 0 y() + α 1 y () = Γ [y] β 0 y() + β 1 y() = Γ [y] Нека је на сегменту [, ] дат низ међусобно ортогоналних полинома u 0 (x), u 1 (x), u n (x), u i (x)u j (x)dx = 0, i j u 2 i (x)dx 0. За коначни скуп базисних функција {u i (x)} (i = 0,1,, n) треба да важи Γ [u o ] = A, Γ [u 0 ] = B док за u i (x), i = 1,2,, n важи Γ [u i ] = 0, Γ [u i ] = 0. Решење полазног проблема се сада може записати као y(x) = u(x 0 ) + n i=1 c i u i (x) где се коефицијенти c i oдређују тако да се за грешку R(x, c 1, c 2,, c n ) = L[u 0 ] + n c i L[u i ] f(x) минимизује вредност интеграла R 2 (x, c 1, c 2,, c n )dx. Дакле, коефицијенти c i се могу одредити као решење система Односно, као решење система n i=1 u k (x)r(x, c 1,, c n )dx = 0, k = 1,2,, n c i u k (x)l[u i ]dx i=1 = u k (x){f(x) L[u 0 ]}dx Пример 1: Методом Галеркина одредити решење следећег проблема y y cos(x) + ysin(x) = sin(x) При ограничењима y( π) = y(π) = 2 Решење: На посматраном сегменту ([ π, π]) систем ортогоналних полинома је следећег облика u 0 (x) = 2 u 1 (x) = sin(x) u 2 (x) = cos(x) + 1 u 3 (x) = sin(2x) u 4 (x) = cos(2x) 1 Стога решење датог проблема тражимо у облику y(x) = u 0 (x) + c 1 u 1 (x) + c 2 u 2 (x) + c 3 u 3 (x) + c 4 u 4 (x) L[u 0 ] = 2 sin(x) ( (2) (2) cos(x) + 2 sin(x) = 2 sin(x)) L[u 1 ] = sin(x) cos(2x) ((sin(x) (sin(x)) cos(x) + sin(x) sin(x) = sin(x) cos (2x)) L[u 2 ] = sin(x) cos(x) + sin(2x) L[u 3 ] = 1 2 cos(x) 4 sin(2x) 3 2 cos(3x) L[u 4 ] = 1 2 sin(x) 4 cos(2x) cos(3x) f(x) L[u 0 ] = sin(x) Обележимо са ik = u k (x)l[u i ]dx и са k = u k (x){f(x) L[u 0 ]}dx
12 Решавањем интеграла добија се π 1 = sin 2 (x)dx = π π 2 = 3 = 4 = 0 π 11 = sin 2 (x)dx = π π 12 = π, 13 = 0, 14 = π 2 Решавањем система добија се да је π 21 = 0, 22 = cos 2 (x)dx = π, 23 = π 2, 24 = 0 π π 31 = 0, 32 = sin 2 (x)dx = π, 33 = 4π, 34 = 0 π π 41 = cos 2 (x)dx = π, π c 1 c c 4 = 1 c c 3 = 0 c 2 4c 3 = 0 c 1 + 4c 4 = 0 42 = 0, 43 = 0, 44 = 4π y(x) = sin(x) sin2 (x) (c 1 = 8 7, c 2 = c 3 = 0, c 4 = 2 7 ) Поређења ради, тачно решење је y(x) = e sin (x) + 1 Пример 2 (II начин решавања) Методом Галеркина одредити решење следећег проблема y + y + x = 0 При ограничењима y(0) = y(1) = 0 Решење: На посматраном сегменту орогонални полиноми су u 0 (x) = 0, u 1 (x) = x(1 x), u 2 (x) = x 2 (1 x). Дакле, решење проблема се тражи у облику y(x) = c 1 x(1 x) + c 2 x 2 (1 x) = x(1 x)(c 1 + c 2 x) За овако дефинисано решење и грешку R(x, c 1, c 2 ) = 2c 1 + c 2 (2 6x) + x(1 x)(c 1 + c 2 x) + x важи: 1 (x x 2 )R(x, c 1, c 2 )dx = 0 Решавањем интеграла добија се систем Чије решење је 0 1 (x 2 x 3 )R(x, c 1, c 2 )dx = c c 2 = c c 2 = 1 20
13 c c 2 = 7 41 Дакле, приближно решење проблема је y(x) = x(1 x) ( sin(x) x) док је тачно решење y(x) = x sin(1) Пример за вежбу Решити следећи проблем применом Галеркинове методе y y cos(x) + ysin(x) = cos(2x), y( π) = y(π) = 2 Метода колокације Слично као за методу Галеркина, решење проблема се тражи као линеарна комбинација полинома који су међусобно ортогонални у односу на задати сегмент [, ], y(x) = u(x 0 ) + n i=1 c i u i (x). Kоефицијенти c i oдређују се тако да се за грешку R(x, c 1, c 2,, c n ) = L[u 0 ] + n c i L[u i ] f(x) важи у тачкама колокације x k. R (x k, c 1, c 2,, c n )dx = 0 Пример Методом колокације одредити решење следећег проблема y + (1 + x 2 )y + 1 = 0 при ограничењима y( 1) = y(1) = 0 ако су тачке колокације x 0 = 0, x 1 = 1 2. Решење: На посматраном сегменту орогонални полиноми су u 0 (x) = 0, u 1 (x) = 1 x 2, u 2 (x) = x 2 (1 x 2 ). Дакле, решење проблема се тражи у облику y(x) = c 1 (1 x 2 ) + c 2 x 2 (1 x 2 ) За овако дефинисано решење и грешку R(x k, c 1, c 2 ) = 2c 1 + c 2 (2 12x 2 ) + (1 + x 2 )[c 1 (1 x 2 ) + c 2 (x 2 x 4 )] + 1 добија се систем R(x 0, c 1, c 2 ) = 1 c 1 + 2c 2 = 0 R(x 1, c 1, c 2 ) = c c 2 = 0 чије је решење c 1 = 0.957, c 2 = i=1 Пример за вежбу Методом колокације решити проблем y = 2x + y 2, y(0) = y(1) = 0 у тачкама колокације 0,25 и 0,75.
14 Поред описаних области на колоквијум долазе и Метода узастопних апроксимација и метода дегенерисаних језгра. Помоћ око извода и интеграла функција у Матлабу. Нека је f sin (x). Треба да израчунамо f (x)f(x)dx Да би одредили други извод функције f најпре је преведемо на симболичку наредбом f2 = sym(f) потом са f2 = diff(diff(f2))) одредимо други извод функције f и онда је наредбом f2 = mtlfunction(f2) вратимо на облик који имају анонимне функције како би, даље, наредбом integrl(@(x)f2(x). f(x),, ) одредили вредност интеграла (на сегменту [,] ) производа две функције (f и f2).
2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
Διαβάστε περισσότεραПоложај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
Διαβάστε περισσότεραb) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
Διαβάστε περισσότεραСИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
Διαβάστε περισσότεραХомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
Διαβάστε περισσότεραпредмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
Διαβάστε περισσότερα2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Διαβάστε περισσότεραСеминарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
Διαβάστε περισσότεραРотационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Διαβάστε περισσότερα7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
Διαβάστε περισσότεραналазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
Διαβάστε περισσότεραПрви корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
Διαβάστε περισσότεραОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
Διαβάστε περισσότεραTестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραАнализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
Διαβάστε περισσότερα1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике
Διαβάστε περισσότερα6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
Διαβάστε περισσότεραг) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Διαβάστε περισσότερα5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Διαβάστε περισσότεραF( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ
НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F
Διαβάστε περισσότεραОсцилације система са једним степеном слободе кретања
03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)
Διαβάστε περισσότεραВаљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:
Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни
Διαβάστε περισσότεραМатематички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља
Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/
Διαβάστε περισσότεραTAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
Διαβάστε περισσότεραИспитвање тока функције
Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном
Διαβάστε περισσότεραВисока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић
Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је
Διαβάστε περισσότερα(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.
Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону
Διαβάστε περισσότεραПовршине неких равних фигура
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com
Διαβάστε περισσότερα1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно
Διαβάστε περισσότεραПредмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Διαβάστε περισσότερα2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
Διαβάστε περισσότεραСкрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.
Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА
РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,
Διαβάστε περισσότερα1. Функција интензитета отказа и век трајања система
f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани
Διαβάστε περισσότερα6.5 Површина круга и његових делова
7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност
Διαβάστε περισσότεραI Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ
Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена
Διαβάστε περισσότερα7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
Διαβάστε περισσότεραОснове теорије вероватноће
. Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића
Διαβάστε περισσότεραОд површине троугла до одређеног интеграла
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање
Διαβάστε περισσότεραПримена првог извода функције
Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први
Διαβάστε περισσότεραЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
Διαβάστε περισσότεραРЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004
РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу
Διαβάστε περισσότεραТангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)
Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.
Διαβάστε περισσότερα8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραУпутство за избор домаћих задатака
Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета
Διαβάστε περισσότεραДр Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.
Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραРешења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да
Διαβάστε περισσότεραЕнергетски трансформатори рачунске вежбе
16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним
Διαβάστε περισσότερα6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно
Διαβάστε περισσότεραПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.
Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [
Διαβάστε περισσότεραЈедна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије
Рекурзија Једна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије Рекурзивна функција (неформално) је функција која у својој дефиницији има позив те
Διαβάστε περισσότεραСлика 1 Ако се са RFe отпорника, онда су ова два температурно зависна отпорника везана на ред, па је укупна отпорност,
Температурно стабилан отпорник састоји се од два једнака цилиндрична дела начињена од различитих материјала (гвожђе и графит) У ком односу стоје отпорности ова два дела отпорника ако се претпостави да
Διαβάστε περισσότεραОзнаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2
Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότεραАксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
Διαβάστε περισσότερα4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
Διαβάστε περισσότεραВектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Διαβάστε περισσότεραКоличина топлоте и топлотна равнотежа
Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина
Διαβάστε περισσότεραШтампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика
Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике
Διαβάστε περισσότερα6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
Διαβάστε περισσότεραСкупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић
Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових
Διαβάστε περισσότεραУНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И
УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...
Διαβάστε περισσότεραI Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )
Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P
Διαβάστε περισσότερα4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА
4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи
Διαβάστε περισσότεραCook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12
Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 07. Вишефазне електричне системе је патентирао српски истраживач Никола Тесла
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Метода коначних елемената
Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан
Διαβάστε περισσότεραДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА
Универзитет у Београду Математички факултет Virul Librry of Fculy of Mhemics - Uiversiy of Belgrde elibrry.mf.bg.c.rs ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА Мастер рад студент: Петар Чукановић
Διαβάστε περισσότερα3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
Διαβάστε περισσότεραМонте Карло Интеграциjа
Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότεραСлика 1. Слика 1.2 Слика 1.1
За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика
Διαβάστε περισσότεραТеорија друштвеног избора
Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних
Διαβάστε περισσότεραМАСТЕР РАД. Увођење полинома у старијим разредима основне школе. Математички факултет. Универзитет у Београду. Студент: Милица Петровић.
Математички факултет Универзитет у Београду МАСТЕР РАД Увођење полинома у старијим разредима основне школе Студент: Милица Петровић Београд, 2016. Ментор: проф. др Александар Липковски, ред. проф. Чланови
Διαβάστε περισσότεραМихаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ
Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότερα8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези
Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραL кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)
L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραУ н и в е р з и т е т у Б е о г р а д у Математички факултет. Семинарски рад. Методологија стручног и научног рада. Тема: НП-тешки проблеми паковања
У н и в е р з и т е т у Б е о г р а д у Математички факултет Семинарски рад из предмета Методологија стручног и научног рада Тема: НП-тешки проблеми паковања Професор: др Владимир Филиповић Студент: Владимир
Διαβάστε περισσότερα10.3. Запремина праве купе
0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка
Διαβάστε περισσότεραЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ
УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор
Διαβάστε περισσότερα8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: PI регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје
Регулација електромоторних погона 8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје Увод Simulik модел На основу упрошћеног блок дијаграма
Διαβάστε περισσότεραКРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије
ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραМатематика Тест 3 Кључ за оцењивање
Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότερα