3.4 Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής

Transcript

1 .4 Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής. Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο κλειστό διάστημα [α, β], αραγωγίσιμη στο ανοιτό διάστημα (α, β) και ικανοοιεί τη σέση f(α) f(β), τότε υάρει ένας τουλάιστον ραγματικός αριθμός ξ(α, β) τέτοιος, ώστε να ισύει f() ξ, δηλαδή η f έει μία τουλάιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α, β), άρα η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα τουλάιστον σε ένα σημείο.. Γεωμετρική Ερμηνεία του θεωρήματος Rolle Η γεωμετρική ερμηνεία του φαίνεται στα εόμενα σήματα y c f(a)=f(β) y f (ξ)= O a β x y f (ξ )= O a β x f(a)=f(β) f (ξ )= O α ξ ξ β x Δηλαδή υάρει τουλάιστον ένα ξ(α, β) τέτοιο ώστε η εφατομένη της γραφικής αράστασης της f στο σημείο Μ (ξ, f(ξ)) να είναι αράλληλη στον άξονα.. Παρατηρήσεις για το Θ. Rolle ) Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α, β] (άρα θα είναι και συνεής στο [α, β] ), για να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle αρκεί να ισύει f(α) f(β). ) Το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle δεν ισύει κατ ανάγκη. Δηλαδή αν η αράγωγος μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού της f δεν σημαίνει ότι ληρούνται αναγκαία οι υοθέσεις του θεωρήματος Rolle. ) Αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υάρει η εξίσωση f (ξ) ή f (ξ) αυτό είναι μία ρώτη ένδειξη ότι για τη λύση της άσκησης θα κάνουμε ρήση του θεωρήματος Rolle για την f ή την f. 4) Αν μας ζητούν να αοδείξουμε ότι υάρει ξ(α, β) έτσι ώστε f (ξ) c ή f (ξ) c όου c σταθερά, τότε μορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g() f () c ή την h() f () c ή να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g() f() c ή την h() f () c c. 5) Στις σέσεις τις μορφής f() g()f() ολλαλασιάζουμε με e f () e g()f() e f(). G() G() G() έουμε G() e, όου G() g(), έτσι θα 4. Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού (Θ. Μ. Τ.) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο κλειστό διάστημα [α, β] και αραγωγίσιμη στο ανοιτό διάστημα (α, β), τότε υάρει ένας τουλάιστον ραγματικός αριθμός ξ(α, β) τέτοιος, ώστε να f(β) f(α) f(α) f(β) ισύει f(ξ) βα αβ ΣΕΛ. 4

2 5. Γεωμετρική Ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Γεωμετρικά το θεώρημα υοδηλώνει ότι υάρει ένα τουλάιστον σημείο M(ξ, f(ξ)) της C f, όου η εφατομένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία η οοία ερνάει αό τα σημεία A(α, f(α)) και B(β, f(β)) (και εομένως έει κλίση f(β) f(α) λab βα ΣΕΛ. 4 f(β) y f(a) f(ξ) Α Μ(ξ,f(ξ)) Β O α ξ β x 6. Παρατηρήσεις για το Θ. Μ. Τ. ) Το Θ. Rolle είναι ειδική ερίτωση του Θ.Μ.Τ. Η εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στην f μας δίνει αντίστοια συμεράσματα για την f (ξ). ) Αν ερμηνεύσουμε το Θ.Μ.Τ. στη Φυσική, σημαίνει ότι κατά την ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού στο ρονικό διάστημα t, t υάρει μία τουλάιστον ρονική στιγμή t (t, t ) τέτοια ώστε η ταύτητα του κινητού να ισούται με την μέση ταύτητα του. ) Αν για μία συνάρτηση f ισύουν οι ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [α, β] και ειλέον : i) f(α) f(β) τότε υάρει ξ (α, β) με f (ξ) ου σημαίνει ότι η εφατομένη της γραφικής αράστασης της f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) έει συντελεστή διεύθυνσης θετικό, άρα σηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα. ii) f(α) f(β) τότε υάρει ξ (α, β) με f (ξ) ου σημαίνει ότι η εφατομένη της γραφικής αράστασης της f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) έει συντελεστή διεύθυνσης αρνητικό, άρα σηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα. f(β) f(α) 4) Αν σε μια σέση υάρει ο λόγος ή η διαφορά f(β) f(α) τότε ρησιμοοιούμε το βα f(β) f(α) Θ.Μ.Τ. στην f. Είσης : f(ξ) f (ξ) β α f(α) f(β) βα 5) Αν μία σέση εριέει f( ), f ( ),..., f ( κ) με,,..., κ (α,β) και ισύουν για την f οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α, β] τότε συνήθως εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. κ φορές σε κατάλληλα υοδιαστήματα του [α, β]. 6) Αν μία συνθήκη εριέει μόνο f( ), f ( ) με, (α,β) και ισύουν για την f οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α, β] τότε συνήθως εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. στα αβ διαστήματα [α, μ],[μ, β] όου μ το μέσο του διαστήματος [α, β]. 7) Αν για μία συνάρτηση f ισύουν οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α, β] και ειλέον : f(β) f(α) i) f γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε f(α) f (β), ενώ αν βα f(β) f(α) ii) f γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε f(β) f (α). βα 8) Το Θ.Μ.Τ. δεν ρησιμοοιείται συνήθως για την είλυση εξισώσεων. Εξαίρεση αοτελούν ορισμένες εξισώσεις όως για αράδειγμα η ) Όταν θέλουμε να δείξουμε μια διλή ανισότητα εξετάζουμε αν μορούμε να την f(β) f(α) μετασηματίσουμε σε ισοδύναμη της μορφής κ λ και έειτα εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. βα στην f στο [α, β].

3 Παραδείγματα. Αν ένα σώμα κινούμενο άνω σε ένα άξονα διέρεται αό το σημείο Α τη ρονική στιγμή t και ειστρέφει στο Α τη ρονική στιγμή t, τότε υάρει ρονική στιγμή t μεταξύ των t, t ου η ταύτητα είναι μηδέν. Λύση : Αν S(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού τότε αρατηρούμε ότι S(t) είναι συνεής, αραγωγίσιμη και S(t ) S(t ), άρα για τη συνάρτηση S ισύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [t, t ], οότε υάρει ρονική στιγμή t (t, t ) τέτοια ώστε S (t ) δηλαδή η ταύτητα του κινητού γίνεται.. Να λύσετε την εξίσωση Λύση : Η εξίσωση έει ροφανείς ρίζες τις και. Παρατηρούμε ότι δεν μορούμε με την μονοτονία ή με το θεώρημα Rolle να βρούμε αν έει και άλλες ρίζες. Ορίζουμε συνάρτηση f(κ) κ, κ και θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [6, 7] και [8, 9], αφού η f είναι συνεής στα διαστήματα [6, 7], [8, 9] και αραγωγίσιμη στα (6, 7), (8, 9) με f(κ) κ (). Άρα υάρουν ξ (6, 7) και ξ (8, 9) τέτοια, ώστε : f(7) f(6) f(9) f(8) f(ξ ) f(7) f(6) και f(ξ ) f(9) f(8) Όμως f(7) f(6) f(9) f(8) εφόσον , οότε : () f(ξ ) f (ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ή ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Εομένως η εξίσωση έει μοναδικές ρίζες τις,.. Θεωρούμε την αραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f. α) Αν f(9) f() να αοδείξετε ότι υάρουν αριθμοί,, (,9) τέτοιοι ώστε f ( ) f ( ) 4f ( ). β) Αν 4f(9) f() f() f(7) να αοδείξετε ότι υάρουν αριθμοί ξ, ξ, ξ (,9) τέτοιοι ώστε f (ξ ) f (ξ ) 4f (ξ ). Λύση : α) Το μήκος του διαστήματος [, 9] είναι 9 8. Χωρίζουμε το διάστημα [, 9] σε τρία υοδιαστήματα των οοίων τα μήκη να είναι ανάλογα των συντελεστών,, 4 της ζητούμενης σέσης. Είναι : , 8 8 6, Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα αό τα διαστήματα [, 5], [5, ] και [, 9] αφού η f είναι αραγωγίσιμη στο (, 9), συνεής στο [, 9]. Εομένως θα υάρουν : f(5) f() f(5) f() (, 5) τέτοιο ώστε να ισύει f( ) f ( ) 5 () και f() f(5) f() f(5) (5,) τέτοιο ώστε να ισύει f( ) f ( ) 5 () και f(9) f() f(9) f() (,9) τέτοιο ώστε να ισύει f( ) 4f ( ) 9 () ΣΕΛ. 4

4 Με ρόσθεση κατά μέλη των (), () και () και αφού f() f(9) ροκύτει η ζητούμενη f ( ) f ( ) 4f ( ) β) Τα δεδομένα υοδεικνύουν διαμέριση του διαστήματος [, 9] στα υοδιαστήματα [, 7], [7, ], [, 9] όου εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την f, αφού είναι αραγωγίσιμη στο (, 9), συνεής στο [, 9]. Εομένως θα υάρουν : f(7) f() f(7) f() ξ (, 7) τέτοιο ώστε να ισύει f(ξ ) f (ξ ) 7 6 f() f(7) f() f(7) ξ (7,) τέτοιο ώστε να ισύει f(ξ ) f (ξ ) 7 6 (4) και f(9) f() 4f(9) 4f() (5) και ξ (,9) τέτοιο ώστε να ισύει f(ξ ) 4f (ξ ) (6) και 9 6 Με ρόσθεση κατά μέλη των (4), (5) και (6) και αφού 4f(9) f() f() f(7) ροκύτει η ζητούμενη f (ξ ) f (ξ ) 4f (ξ ). 4. Για μια συνάρτηση f υοθέτουμε ότι : Είναι συνεής στο διάστημα [, ). Είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). f() α) Αν g(), δείξτε ότι g () για κάθε (, ). β) Δείξτε ότι : f(α ) α f(α) α f() για α. Λύση : α) Για κάθε, είναι : f() f () f() g() f () f() f () f() Όμως ισύει για την f στο διάστημα [, ] το Θ. Μ. Τ., οότε : f() f() f() f(ξ), για κάοιο ξ(, ). f() Εομένως g() f () f () f (ξ). Εειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και ξ, έουμε f(ξ) f () f () f (ξ) f () f (ξ) δηλαδή g() f () f (ξ) στο (, ), ου σημαίνει ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). β) Εειδή α και g () στο (, ), η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οότε : f(α ) f(α) f() α α g(α ) g(α) g() f(α ) αf(α) α f() α α Ασκήσεις 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β] και 4 φορές αραγωγίσιμη στο (α, β) και ισύει f(α) f(β) f(γ) με γ (α,β), τότε υάρει (α,β) με Α. f (4) ( ) Β. f( ) Γ. f () ( ) Δ. Κανένα αό τα ροηγούμενα 7. Δίνεται η f με εδίο ορισμού το R έτσι ώστε f() για κάθε R, τότε η εξίσωση f() έει : Α. το ολύ ρίζα Β. το ολύ ρίζες Γ. καμία ρίζα Δ. το ολύ ρίζες ΣΕΛ. 44

5 7. Έστω μια συνάρτηση f για την οοία ισύουν οι υοθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [α, β]. Τότε θα υάρει ξ (α, β), ώστε η εφατομένη της C f στο (ξ, f(ξ)) Α. Να είναι αράλληλη με τον άξονα y y Β. Να έει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν Γ. Να έει συντελεστή διεύθυνσης ένα Δ. Να είναι αράλληλη με την ευθεία y Ε. Να μην ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης 7. Το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για την συνάρτηση f() ln, για κάθε,, εξασφαλίζει ένα ξ μεταξύ των, ώστε να ισύει : Α. ln ξ Β. ln Γ. ln( ) ( ) ξ ξ Δ. ln ξ( ) Ε. ln( ) ξ( ) 74. Στη στήλη Α γράφονται συναρτήσεις. Στη στήλη Β γράφονται τα σημεία ου ροκύτουν αό την εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής για κάθε συνάρτηση. Να κάνετε, την αντιστοίιση. Στήλη Α Στήλη Β Συνάρτηση και διάστημα Σημείο ου ροκύτει Α. f() 4, [, ] Β. f(), [, ] Γ. f() ln, [, e] Δ. f(x), [, ].. e. e e Αάντηση : Α Β Γ Δ 75. Μια συνάρτηση f έει εδίο ορισμού το διάστημα [α, β]. Το Θεώρημα Μέσης Τιμής ισύει για την f, όταν Α. Η f είναι συνεής στο [α, β] Β. Η f έει ίσες τιμές στα σημεία α και β Γ. Η f είναι αραγωγίσιμη στο (α, β) Δ. Η f είναι συνεής στο (α, β) Ε. Η f είναι αραγωγίσιμη στο (α, β) και συνεής στα α και β 76. Αν η f είναι αραγωγίσιμη στο (α, β), συνεής στο [α, β] και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στο [α, β] θα έουμε : f(β) f(α) Α. Υάρει το ολύ ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). βα f(β) f(α) Β. Υάρει τουλάιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). βα f(β) f(α) Γ. Υάρει ακριβώς ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). βα f(β) f(α) Δ. Δεν υάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). βα f(β) f(α) Ε. Υάρουν το ολύ δύο ξ (α,β) τέτοια ώστε f(ξ). βα ΣΕΛ. 45

6 77. Για την συνάρτηση f() 4, [, ], το λήθος των αριθμών ξ (, ) ου ροκύτουν αό το θεώρημα της μέσης τιμής είναι Α. τουλάιστον τρεις Β. ακριβώς ένας Γ. τουλάιστον δυο Δ. ακριβώς δυο Ε. κανένας 78. Το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση εξασφαλίζει την ύαρξη ενός αριθμού κ R, ώστε να ισύει Α. e α β e κ (α β) Β. e α e β κ (α β) Γ. e α e β e κ (α β) Δ. e α e β e κ (β α) Ε. e α e β (α β) κ f() e 79. Δίνεται η συνάρτηση f() c, με εδίο ορισμού το [α, β]. Το λήθος των σημείων ξ(α, β) ου ροκύτουν αό το θεώρημα του Rolle είναι Α. Β. Γ. το ολύ Δ. κανένα Ε. άειρο 7. (Διαγωνισμός ΑΣΕΠ Δεκέμβριος ) Θεωρούμε τον εριορισμό της αραβολής f() στο διάστημαα,β. Αν γ, f(γ), γ (α,β) είναι το σημείο στο οοίο η εφατόμενη της f() γίνεται αράλληλη της ευθείας ου ενώνει τα σημεία α, f(α) και β, f(β), τότε: βα βα βα βα α) γβ β) γα γ) γα δ) γβ 4 7. Να αρακτηρίσετε καθεμία αό τις αρακάτω ροτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R και f(α) f(β), α, β R, α β, τότε ισύει f () για κάθε (α, β).. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R και R, τότε για κάθε R με υάρει ξr ώστε f() f( ) f (ξ)( ).. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β] και αραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α) f(β), τότε υάρει μόνο ένα ξ(α, β) ώστε f(α) f(β) f (ξ) (α β). 4. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β], αραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) και f(α) f(β), τότε υάρει τουλάιστον ένα σημείο εσωτερικό του διαστήματος [α, β], στο οοίο η εφατομένη του διαγράμματος της f είναι αράλληλη στον άξονα. 5. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β] και αραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), τότε υάρει ένα τουλάιστον σημείο (α, β) στο οοίο η εφατομένη της C f είναι αράλληλη στην ευθεία ου διέρεται αό τα σημεία (α, f(α)), (β, f(β)). 6. Αν f είναι μια ολυωνυμική συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο διαδοικών ριζών της f, υάρει τουλάιστον μια ρίζα της f. 7. Αν f είναι μια ολυωνυμική συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο διαδοικών ριζών της f, υάρει το ολύ μια ρίζα της f. 8. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β], τότε υάρει εφατομένη της C f στο Α (, f( )), με (α, β), με συντελεστή διεύθυνσης f(α) f(β) λ β α 9. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β], τότε ισύουν οι υοθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής για την f.. Για την συνάρτηση του σήματος, υάρει τουλάιστον ένα σημείο Μ (ξ, f(ξ)) της C f με ξ(α, β), όου η εφατομένη της f, να είναι αράλληλη με την ΑΒ. ΣΕΛ. 46

7 . Υάρουν συναρτήσεις για τις οοίες ισύει το συμέρασμα του θεωρήματος Rolle, ωρίς να ισύουν (όλες) οι υοθέσεις του θεωρήματος.. Αν για μια συνάρτηση f εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α, β], τότε εφαρμόζεται και το θεώρημα μέσης τιμής, στο ίδιο διάστημα.. Για την συνάρτηση f ισύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα [, ]. 4. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη τότε, υάρει κλειστό διάστημα [α, β], στο οοίο η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του θεωρήματος Rolle. 5. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και f() για κάθε [α,β], τότε η συνάρτηση f είναι στο [α, β]. 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β] με f(α) f(β), τότε υάρει τουλάιστον ένα (α,β) έτσι ώστε f( ) ή η f δεν αραγωγίζεται στο (α, β). 7. Έστω η συνάρτηση f :[α,β] [α,β] ου ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [α, β], τότε και η συνάρτηση g() (f f)() ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [α, β]. 8. Δεν μορεί ταυτόρονα στο ίδιο διάστημα Α [α,β] να ισύουν το Θεώρημα του Rolle και το θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f. 9. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιμες στο διάστημα [α, β] με f(α) g(α) και f(β) g(β), τότε υάρει (α,β) ώστε στα σημεία Α, f( ) και Β, g( ) οι εφατόμενες είναι αράλληλες.. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R με άειρες ρίζες, τότε η f έει και αυτή άειρες ρίζες.. Αν η συνάρτηση f με εδίο ορισμού το [α, β] είναι αραγωγίσιμη και f() για κάθε (α,β), τότε η εξίσωση f() έει το ολύ μια ρίζα στο [α, β].. Αν η συνάρτηση f με εδίο ορισμού το R έει συνεή αράγωγο και f(4) f(5) f(), τότε υάρει τουλάιστον ένα (4, 5) τέτοιο ώστε f( ).. Η f είναι συνεής στο R. Αν δεν υάρει εφατομένη αράλληλη στην ΑΒ όου Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)) τότε η f δεν είναι αραγωγίσιμη σε κάοιο ξr. 4. Η f είναι αραγωγίσιμη στο R. Αν f(α) f(β) για κάοια α,βr, με α β, τότε οωσδήοτε υάρει εφατομένη της C f ου σηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα. 5. Το Θεώρημα Μέσης Τιμής εφαρμόζεται για την f στο διάστημα [α, β] μόνο όταν η f είναι γνησίως μονότονη στο [α, β]. f(β) f(α) 6. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε f(β) f (α). βα 7. Αν για κάοιο ξ (α,β) είναι f(ξ) τότε f(β) f(α). β α 8. Το Θ.Μ.Τ. είναι μια ειδική ερίτωση του Θεωρήματος Rolle. 9. Αν f αραγωγίσιμη στο (α, β) και συνεής στο [α, β] με f(α) f(β) τότε f(ξ) για κάθε ξ (α,β).. Αν f(α) f(γ) και f(β) για κάοιους ραγματικούς α β γ και f αραγωγίσιμη στο R τότε υάρουν ξ,ξ (α, γ) τέτοια ώστε τα f(ξ ), f (ξ ), να είναι ετερόσημα. Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ΣΕΛ. 47

8 7. Να εξετάσετε αν ισύει το θεώρημα Rolle για τις αρακάτω συναρτήσεις :, αν, αν α) f() β) f() 8, αν, αν 7. Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο R, η οοία έει δυο τουλάιστον ρίζες. α) Να αοδείξετε ότι μεταξύ δυο ριζών της f() εριέεται τουλάιστον μια ρίζα της f (). β) Αν η f () έει δυο τουλάιστον ρίζες, να αοδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοικών ριζών της εριέεται το ολύ μια ρίζα της f(). γ) Αν η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο R και έει τρείς ρίζες τότε η f έει δύο τουλάιστον ρίζες και η f τουλάιστον μία. δ) Γενικότερα, αν μία συνάρτηση f είναι ν-φορές αραγωγίσιμη (νν με ν ) και έει ν ρίζες τότε η f (ν) (νιοστή αράγωγος) έει μία τουλάιστον ρίζα. 74. α) Να αοδείξετε ότι αν f () για κάθε R τότε η f έει το ολύ μία ρίζα. β) Αν f () για κάθε R τότε η f έει δύο το ολύ ρίζες. κ λ, 75. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς κ, μ, λ, μ αν ισύουν για την f οι υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ]. Α: κ, λ, μ 76. Δίνεται η συνάρτηση f() ημ. Να αοδείξετε ότι : Για την f ισύουν οι υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ]. Η εξίσωση ημ συν έει μία τουλάιστον ρίζα στο (, ). 77. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ln, έει το ολύ μία ρίζα. 78. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση 4 (α ) (α β) α β, με α, β R έει μια τουλάιστον ρίζα στο διάστημα (, ). 79. Αν α, β, γ R με α β γ να δείξετε ότι η εξίσωση 5 ρίζα στο διάστημα (, ). 4 α β γ έει μια τουλάιστον 7. Για τη συνάρτηση διάστημα, διάστημα,. συν, f(), και να δείξετε ότι η εξίσωση να εξετάσετε αν ισύει το Θεώρημα του Rolle στο εφ έει μία τουλάιστον ρίζα στο 7. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο [, ] με f() και τότε υάρει τουλάιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε g(ξ). g() f()( 4), 7. Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση f στο υάρει τουλάιστον ένα ξ, ΣΕΛ. 48, έτσι ώστε έτσι ώστε f(ξ) συνξ. f f(). Να δείξετε ότι

9 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f() e, R και g() e, R. Να αοδείξετε ότι οι C f, C g έουν ένα μόνο κοινό σημείο το οοίο βρίσκεται άνω στον άξονα y y. 74. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο (, ). 75. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση 5 ( 5 6)εφ, κ, κ Ζ έει τουλάιστον μία ημ συν έει μόνο δύο ρίζες στο [, ]. 76. Δίνεται συνάρτηση f με εδίο ορισμού το R, δύο φορές αραγωγίσιμη, έτσι ώστε να διέρεται αό τα σημεία O(, ), A(, ), B(, ) και η συνάρτηση g() f() κ λ. α) Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισύει για την συνάρτηση g(x) το Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα [, ], [, ]. β) Να δείξετε ότι υάρει τουλάιστον ένα ξ(, ), έτσι ώστε f (ξ) Δίνεται η συνάρτηση f() ( )συν. Να δείξετε ότι : α) Η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα β) Η εξίσωση σφ έει τουλάιστον μια ρίζα στο διάστημα,.,. 78. Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση f με εδίο ορισμού το (, ) έτσι ώστε να ισύει f() f(e) (). Να δείξετε ότι υάρει τουλάιστον ένα ξ (,e) έτσι ώστε e ln ξ f (ξ) lnξ (). Υόδειξη: f () 79. Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση f με εδίο ορισμού το R, έτσι ώστε f() e f() (). Να δείξετε ότι υάρει τουλάιστον ένα ξ(, ) τέτοιο ώστε f (ξ)f(ξ) (). Υόδειξη: e f() 74. Δίνεται συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο, ώστε να ισύει : f(ξ) 4ξ ημξ. 74. Να εξετάσετε αν ισύουν οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση και άρτια. Να δειτεί ότι υάρει ξ (, ) ΣΕΛ. 49 f() 5 στο διάστημα [, ]. α) Αν ισύουν να βρείτε ξ(, ) τέτοιο ώστε f (ξ) f() f(). β) Να δείξετε ότι η εφατομένη ευθεία της C f στο σημείο Μ(ξ, f (ξ)), είναι αράλληλη στην τέμνουσα της C, ευθεία ε : y 4. f, 74. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να αοδείξετε ότι η f ικανοοιεί τις υοθέσεις του, θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [, ] και να βρείτε τα σημεία ξ(, ) για τα οοία ισύει f() f() f(ξ).

10 74. Δίνεται συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο [, 5] με f(), f(5). Να δείξετε ότι : α) Υάρει εφατομένη (ε) της C f τέτοια ώστε να είναι αράλληλη στην διοτόμο του ου τεταρτημορίου. β) Υάρουν ξ, ξ (,5) τέτοια ώστε f(ξ ) f (ξ ) Δίνεται συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο R και f γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι : f( ) f( 7) f( ) f( 5) για κάθε R Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιμη στο [, ] με f(), f(), f() διαδοικά ακέραια ολλαλάσια του λ R. Να δείξετε ότι : α) Υάρουν δύο τουλάιστον ρίζες της εξίσωσης f () λ. β) Υάρει σημείο Α(μ, f (μ)) τέτοιο, ώστε η εφατομένη της Cf στο Α να είναι αράλληλη στον Για μια συνάρτηση f ισύει στο [α, β] το θεώρημα Rolle. Να δείξετε ότι υάρουν αριθμοί ξ, ξ του διαστήματος (α, β) τέτοια ώστε f(ξ ) f (ξ ) Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και f(γ) f(α) f(β) με α γ β. Να αοδείξετε ότι : α) υάρουν ξ, ξ (α,β), τέτοια ώστε f(ξ ) f (ξ ). β) υάρει (α,β), τέτοιο ώστε f( ) Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές αραγωγίσιμη στο R. Ειλέον η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αοδείξετε ότι για τρεις ραγματικούς αριθμούς α, β και γ με α β γ ισύει : (γ β) f(α) (β α) f(γ) (γ α) f(β) Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιμη στο [, e]. Αν η C f διέρεται αό την αρή των αξόνων και f() f(e) (), με f() f(e). Να δείξετε ότι : α) Υάρουν δύο τουλάιστον ρίζες της εξίσωσης f() στο [, e). β) Η εξίσωση f() έει μία τουλάιστον ρίζα στο (, e). γ) Αν f (e) α κλ όου α (κ, λ), κ, λr. Υάρει ξ(, e) τέτοιο ώστε f (ξ). 75. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο (, ) και ισύει ότι : α) Υάρει ένα τουλάιστον β) Υάρει ένα τουλάιστον f() f να αοδείξετε ξ, τέτοιο ώστε f ξ ξ. Υόδειξη: g() f ξ, τέτοιο ώστε συν ξ ξ. Υόδειξη: f() ημ( ) 75. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη, αραγωγίσιμη και θετική σ ένα διάστημα Δ. Αν η f() συνάρτηση g() () είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ να αοδείξετε ότι για κάθε α,βδ f() f(β) lnf(β) lnf(α) f (α) με α β ισύει. f(β) βα f(α) ln(συνα) ln(συνβ) β) Αοδείξτε ότι εφα εφβ, α β. βα ΣΕΛ. 5

11 75. Θεωρούμε συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο (α, β) και συνεής στο [α, β]. α) Αν f (α) = f (β), να δείξετε ότι υάρουν εφατόμενες (ε ) και (ε ) της γραφικής αράστασης της f οι οοίες σηματίζουν με τον άξονα ισοσκελές τρίγωνο. β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(α, f(α)), Β(β, f(β)), Γ(γ, f(γ)) όου γ(α, β), είναι ορθογώνιο στο Γ, να δείξετε ότι υάρουν ρ, ρ (α,β) με f(ρ ) f (ρ ). 75. Μια συνάρτηση f έει εδίο ορισμού το διάστημα Δ [, ] και ισύει f() και f(). Η συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα Δ και αραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. α) Να αοδείξετε ότι υάρει (,), τέτοιο ώστε f( ). β) Να αοδείξετε ότι υάρουν ξ, ξ (,), τέτοια ώστε f(ξ ) f (ξ ) Να βρείτε τις τιμές του ραγματικού αριθμού λ για τις οοίες ισύει λ λ λ λ Μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] με f() και f(). Να αοδείξετε ότι υάρουν αριθμοί,,, τέτοιοι ώστε :. f( ) f ( ) (Υόδειξη : υάρει κ[, ] με f(κ) ) α) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση e e e έει δύο τουλάιστον ετερόσημες ρίζες ( ) ρ, ρ (,). β) Θεωρούμε τη αραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη στο R συνάρτηση g τέτοια ώστε : g(ρ ) g(ρ ), όου ρ, ρ οι ρίζες του ροηγουμένου ερωτήματος. Να αοδείξετε ότι η ρ ρ εξίσωση g() έει μία ακριβώς ραγματική ρίζα. γ) να δείξετε ότι υάρει ξ (,) τέτοια ώστε : g(ξ) ξ g(ξ) Δίνεται η συνάρτηση f() log. α) Να εξετάσετε αν ισύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο [, ] για την συνάρτηση f. 9 loge β) Να δείξετε ότι υάρει ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ. log 758. Να αοδειθεί ότι : ημ(α h) ημα hσυνα, όου ΣΕΛ. 5 α αh α) Δίνεται η συνάρτηση f() ( α) μ ( β) ν, μ, ν θετικοί ακέραιοι. Να αοδείξετε ότι υάρει να μβ ξ (α, β) τέτοιο ώστε ξ (Υόδειξη: Rolle στο (α, β) ) μ ν β) Να αοδείξετε ότι το αραάνω ξ ωρίζει το διάστημα [α, β] σε λόγο μ, δηλαδή ισύει ν ξ α μ. βξ ν 76. H συνάρτηση f είναι δυο φορές αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και οι αριθμοί f(α), f(β) είναι, με τη σειρά ου δίνονται, διαδοικοί όροι αριθμητικής ροόδου. α β α β f fα f f β α) Να αοδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι ίσοι. αβ αβ α β β) Να αοδείξετε ότι η δεύτερη αράγωγος της f μηδενίζεται σ ένα τουλάιστον σημείο. αβ f,

12 76. Έστω f μια αραγωγίσιμη συνάρτηση στο R για την οοία ισύει f(α ) f(α), α R. Δείξτε e ότι: α) για την g() f() e εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α, α]. β) υάρει ξ(α, α) ώστε f(ξ) f(ξ) 76. Έστω αβ (α, βr). Θεωρούμε τη συνάρτηση f ου είναι συνεής στο [α, β] και αραγωγίσιμη στο (α, β) για την οοία ισύει : βf(α) αf(β) ().Να αοδείξετε ότι : f() α) για τη συνάρτηση g() ισύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [α, β]. f( ) β) υάρει (α,β) τέτοιο ώστε : f() γ) η εφατομένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f στο σημείο αό την αρή των αξόνων. A, f( ) ερνάει 76. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ln α όου α e, έει μόνο μία ρίζα στο R, η οοία βρίσκεται στο διάστημα, e Να δειθεί ότι η εξίσωση 5 4 μ έει για κάθε μr μία το ολύ ρίζα στο (, ) Έστω η συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιμη στο [α, β] με α β, με f() και f(α) f(β). Δείξτε ότι υάρει ξ(α, β) ώστε : α) Η εξίσωση f () f() έει μοναδική ρίζα την ξ στο διάστημα (α, β) β) Η εφατομένη της C f στο ξ, f(ξ) διέρεται αό την αρή των αξόνων Δείξτε ότι η εξίσωση α β αβ, (α, βr) έει μία τουλάιστον ρίζα στο διάστημα (, ). (Υόδειξη: Εφαρμόστε Rolle στην αρική συνάρτηση f() α β (α β) c ) Η συνάρτηση f είναι συνεής στο [, ] και αραγωγίσιμη στο (, ) με f() και f()5. Να αοδείξετε ότι υάρει ξ(, ) τέτοιο ώστε f (ξ) ξ Δύο αθλητές σε αγώνα 4 μέτρων τερματίζουν ταυτόρονα. Δείξτε ότι κάοια ρονική στιγμή της διαδρομής είαν την ίδια ταύτητα. Θεωρήστε s(t) την αόσταση των δύο αθλητών Κάοιος διάνυσε την αόσταση Αθήνα Πύργος ου είναι km σε 4 h ώρες. Να αοδείξετε ότι κάοια ρονική στιγμή η ταύτητά του ήταν 8 km/h. 77. Δίνεται η δύο φορές αραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [, ] με f (). α) Να βρείτε τον ραγματικό αριθμό λ, ώστε για την συνάρτηση g() λ f() f () να ισύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ]. β) Να αοδείξετε ότι υάρει ξ (,) f(ξ) f() f()., ώστε f() 77. Έστω η συνάρτηση g() ( α)( β) e, όου f() αραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α, β]. α β ξ Να αοδείξετε ότι υάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). (ξ α)(ξ β) ΣΕΛ. 5

13 77. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f() f()( ), όου f() είναι δύο φορές αραγωγίσιμη συνάρτηση με f() f(). Να αοδείξετε ότι α) υάρουν, (,) με, ώστε f( ) g( ) και f ( ) g( ) β) υάρει ξ (, ) τέτοιο ώστε f() f (ξ). 77. Έστω μια συνάρτηση f συνεής στο [α, β] με α, β και αραγωγίσιμη στο (α, β). Αν ισύει ότι β f(α) α f(β), να αοδείξετε ότι υάρει ένα τουλάιστον ξ (α,β) με ξf (ξ) f(ξ) Έστω η συνάρτηση g() f()(ημ συν), όου f αραγωγίσιμη συνάρτηση με f(). α) Να αοδείξετε ότι υάρει ένα τουλάιστον εφ β) Να δειθεί ότι f( ) f( ). εφ, τέτοιο ώστε : g( )., Αν f, g είναι δύο αραγωγίσιμες συναρτήσεις με f(), lnf(α) lnf(β) g(β) g(α), α β, να αοδείξετε ότι υάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ) f(ξ) g(ξ) Αν f, g είναι δύο αραγωγίσιμες μη μηδενικές συναρτήσεις με f(α) g(β), α β, να αοδείξετε ότι υάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ) g(ξ). f(ξ) g(ξ) 777. Αν f() στο [α, β], να αοδείξετε ότι υάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(α) f(ξ) f(ξ). ξβ 778. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές αραγωγίσιμη στο [, ] με f() f(). 5f() f() α) Να αοδείξετε ότι υάρει τουλάιστον ένα (,), ώστε f( ). 8 β) Έστω ότι το. ) Να αοδείξετε ότι υάρουν, (,), με, ώστε 5f ( ) f ( ). ) Έστω α,βr και για την συνάρτηση h() f() α β εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στα διαστήματα, και,. Να αοδείξετε ότι α β. ) Να αοδείξετε ότι υάρει τουλάιστον ένα ξ (,), ώστε f(ξ) f() f() (Α ΔΕΣΜΗ ) Έστω η συνάρτηση f :[α,β] R, η οοία είναι συνεής στο [α, β], αραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α)β, f(β)α. α) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() έει μία τουλάιστον ρίζα στο (α, β). β) Να αοδείξετε ότι υάρουν ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) f (ξ ) 4. ΣΕΛ. 5

14 .5 Συνέειες Θ. Μ. Τ. Μονοτονία Ακρότατα Θ. Fermat. Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεής σε ένα διάστημα Δ. Αν f() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.. Πόρισμα Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες και συνεείς σε ένα διάστημα Δ. Αν f () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υάρει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισύει : f() g() c. Παρατηρήσεις ) Γεωμετρική Ερμηνεία του αραάνω ορίσματος : Αν οι γραφικές αραστάσεις των f και g έουν σε οοιοδήοτε ου ανήκει στο Δ αράλληλες εφατόμενες, τότε η γραφική αράσταση της μίας ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση, δηλαδή αράλληλα ρος τον y y, της άλλης γραφικής αράστασης κατά c μονάδες, ρος τα άνω αν c ή ρος τα κάτω αν c. ) Το αραάνω θεώρημα καθώς και το όρισμά του ισύουν σε διάστημα και όι σε ένωση διαστημάτων. ) Αν για μια συνάρτηση f ισύει : f() κ f(), για κάθε R, και κr σταθερά τότε υάρει κ c R σταθερά έτσι ώστε f() c e, για κάθε R. Σόλιο : Για κ ισύει η ισοδυναμία : f() f() f() c e R, όου cr σταθερά 4) Αν ισύει : f() g() με Δ Δ, τότε : f() g() c αν Δ και f() g() c αν Δ. 5) Αν f() f () c e f() e f () ce e f() ce G() g() G() G() G() Αν f() g() f() e f () e g() f() e f() Αν f() f() c f() f() c f() (ce ) e e e Αν f() f () c f () f() c (ροηγούμενη ερίτωση) Αν f() f () φ() f() f () φ() f () φ() Αν Αν f()g() f()g() f() g() g() f() f() f()φ() f (), f() φ() φ() f() f() f() f() f() f()φ() f (), f() φ() lnf() φ() f() f()g() f()g() g ()φ(), g() φ() φ() Αν ΣΕΛ. 54

15 4. Μονοτονία Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f, η οοία είναι συνεής σε ένα διάστημα Δ. Αν f() σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε f γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f() σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε f γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 5. Παρατηρήσεις για τη μονοτονία ) Το αραάνω θεώρημα ισύει σε διάστημα και όι σε ένωση διαστημάτων και το αντίστροφο του δεν ισύει. Για αράδειγμα η f() είναι γνησίως αύξουσα αλλά f(). ) Για τη μονοτονία της f στο [α, β] μας ενδιαφέρουν η συνέεια της f στο [α, β] και το ρόσημο της f στο (α, β). 6. Τοικό Μέγιστο Ελάιστο (Ορισμοί) Μια συνάρτηση f, με εδίο ορισμού A, θα λέμε ότι αρουσιάζει στο Α τοικό μέγιστο, όταν υάρει δ, τέτοιο ώστε f() f( ) Α δ, δ. Το λέγεται θέση ή σημείο τοικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοικό μέγιστο της f. Ανάλογα ορίζεται το τοικό ελάιστο. 7. Παρατηρήσεις στα τοικά ακρότατα f() f( ) ) Αν η ανισότητα ισύει για κάθε A, τότε, η f αρουσιάζει στο Α ολικό μέγιστο ή αλά μέγιστο, το f( ). Ανάλογα έουμε ολικό ελάιστο ή αλά ελάιστο. ) Τα τοικά μέγιστα και τοικά ελάιστα της f λέγονται τοικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οοία η f αρουσιάζει τοικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοικών ακροτάτων. Το μέγιστο και το ελάιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή αλά ακρότατα αυτής. ) Ένα τοικό μέγιστο μορεί να είναι μικρότερο αό ένα τοικό ελάιστο. Αν μια συνάρτηση f αρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο αό τα τοικά μέγιστα, ενώ αν αρουσιάζει, ελάιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο αό τα τοικά ελάιστα. Το μεγαλύτερο όμως αό τα τοικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι άντοτε μέγιστο αυτής. Είσης το μικρότερο αό τα τοικά ελάιστα μίας συνάρτησης δεν είναι άντοτε ελάιστο της συνάρτησης. 8. Θεώρημα Fermat Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο και είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε : f( ). 9. Παρατηρήσεις στο Θ. Fermat ) Το θεώρημα Fermat ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής : H ισότητα f( ) σημαίνει ότι η εφατομένη της γραφικής αράστασης της f στο σημείο Α, f( ) όου η f() αρουσιάζει τοικό ακρότατο, είναι αράλληλη ρος τον άξονα Ο. ) Το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισύει, δηλαδή : υάρει ερίτωση για μία αραγωγίσιμη συνάρτηση f να έουμε f( ), αλλά η f να μην αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο. Αν στο Δ η C f δέεται οριζόντια εφατομένη δεν σημαίνει ότι υορεωτικά η f αρουσιάζει ακρότατο στο Δ. Για αράδειγμα, η συνάρτηση f(). ΣΕΛ. 55

16 ) Αν για κάθε Δ ισύει f (), τότε η f δεν έει ακρότατα. 4) Αν το σημείο είναι άκρο του διαστήματος Δ, η f αρουσιάζει στο τοικό ακρότατο και η f είναι αραγωγίσιμη στο, τότε γενικά δεν αληθεύει ότι f( ). Για αράδειγμα, η συνάρτηση f(), [, ], αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο σημείο όμως f ()4. 5) Θέσεις τοικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f ου είναι συνεής σ ένα διάστημα Δ, είναι : Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οοία η αράγωγος της f μηδενίζεται και αλλάζει ρόσημο εκατέρωθεν του σημείου. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οοία η f δεν αραγωγίζεται και αλλάζει ρόσημο εκατέρωθεν του σημείου. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο εδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οοία η f δεν αραγωγίζεται ή η αράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.. Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οοίο όμως η f είναι συνεής. ) Αν f () στο (Βλέε Σήματα ) α, και f () στο ) Αν f () στο α, και f () στο (Βλέε Σήματα 4) ) Αν η f () διατηρεί ρόσημο στο α,, β, β, τότε το και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β). (Βλέε Σήματα 56). f( ) είναι τοικό μέγιστο της f., β, τότε το f( ) είναι τοικό ελάιστο της f., τότε το f( ) δεν είναι τοικό ακρότατο ΣΕΛ. 56

17 . Παρατηρήσεις ) Για να δείξουμε ότι : α) f() μ, για κάθε Δ αρκεί να δείξουμε ότι το μ είναι η μέγιστη τιμή της f στο Δ. β) f() ε, για κάθε Δ αρκεί να δείξουμε ότι το ε είναι η ελάιστη τιμή της f στο Δ. ) Αν θέλουμε να δείξουμε ότι f() (ή f() ), τότε μορούμε να ρησιμοοιήσουμε την μονοτονία της f ή να βρούμε ότι η f έει ελάιστο το α (ή μέγιστο το α αντίστοια). ) Αν μας ζητείται να δείξουμε ότι f() g() (ή f() g() ), τότε θέτουμε h() f() g() ή βρίσκουμε μια ροφανή ρίζα της εξίσωσης h() και την μονοτονία της h ή βρίσκουμε τα ακρότατα της h. 4) Αν για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι : α) Έει ελάιστο ε και f(), τότε θα είναι ε. β) Έει μέγιστο μ και f(), τότε θα είναι μ. 5) Αν f αραγωγίσιμη συνάρτηση στο (α, β) και στο (α,β) η f αρουσιάζει ακρότατο τότε έουμε f( ) (Θεώρημα Fermat), έτσι η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ, f( ). Παραδείγματα. α) Έστω f : (α, β) R συνάρτηση, γνησίως μονότονη και συνεής. Αν η f είναι αραγωγίσιμη στο (α,β) με f( ) και η f είναι συνεής στο f( ) τότε : η f αραγωγίζεται στο f( ) και ισύει f f ( ). f() β) Δίνεται η συνάρτηση f() e, να βρείτε τον αριθμό f (). Λύση : α) Αφού η f είναι συνεής και γνήσια μονότονη τότε το σύνολο τιμών f(α, β) θα είναι ανοικτό διάστημα. Έστω το ανοικτό διάστημα (γ, δ). Θέτουμε y f( ). Έστω y (γ, δ) με y y. Αφού η f είναι υάρει μοναδικό (α, β) ώστε y f(). Είναι. Αφού η f είναι συνεής, αν y y τότε f (y) f (y ). f (y) f (y ) Έτσι έουμε : lim lim lim yy yy f() f( ) f() f( ) f() f( ) lim f ( ) Άρα η f αραγωγίζεται στο y f( ) με f (y ) f f( ). f( ) f ( ) ΣΕΛ. 57

18 β) Το εδίο ορισμού της f είναι Df R. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, αφού f() e R, άρα η f είναι, οότε αντιστρέφεται. Έουμε f() e f() και f () e f (). Άρα η f αραγωγίζεται στο f() με f f() f () f (). Έστω μια αραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R, για την οοία ισύει f() και ( )f () 5 6 (), για κάθε R. Να βρείτε τον τύο της f. Λύση : Για κάθε, αό την (), έουμε : 5 6 ( )( ) () f () f () f () f () c, Άρα : f() όου c, cr c, Αό f(), έουμε : c c Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεής στο, συνεώς έουμε : f() lim f() lim f() lim c lim c 4 c 4 c c c c Λόγω της συνέειας της f, αίρνουμε : f() lim f() lim, Άρα f(), Τελικά, ο τύος της συνάρτησης είναι : f(), R, ημ. Να λυθεί η εξίσωση : e ημ Λύση : ημ ημ e ημ e ημ () Θεωρούμε τη συνάρτηση f() e, R. Παρατηρούμε ότι f (), οότε η () γράφεται : f(ημ) f(ημ) f() () Η f είναι αραγωγίσιμη για κάθε R, ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f() e, R, οότε, f (), για κάθε R άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της R, συνεώς. Άρα αό τη σέση () και εειδή η f είναι, ισοδύναμα ροκύτει ότι : ημ k, kz. 4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f() 9 4, 4, και τα ακρότατα. Λύση : f() 6 9, 4,. Λύνουμε : Είναι : ως ρος τη μονοτονία f() 6 9 ( ) ΣΕΛ. 58

19 Που έει ρίζες τους αριθμούς και. Είσης οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [4, ] είναι : f(), f() 9, f(4)6 και f() οότε έουμε τον αρακάτω ίνακα μεταβολών ημ ημ 5. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση : Για να έει νόημα ραγματικού αριθμού το δεύτερο μέλος της ανίσωσης ρέει. Η ανίσωση ισοδύναμα μετασηματίζεται ως ακολούθως : ημ ημ ημ ημ ημ ημ () Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ημ, R. Η f είναι αραγωγίσιμη για κάθε R, ως άθροισμα αραγωγίσιμων στο R, με f() συν, R, συνεώς f (), για κάθε R, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Αό τη σέση () έεται ότι : f f( ) f( ) ( ) Άρα η δοθείσα ανίσωση ισύει για τα (, ) (, ]. 6. Έστω μια αραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β] R, η οοία ικανοοιεί τις σέσεις : f() () για κάθε [α, β] f(α) f(β) f(γ) (), όου γ(α, β) Να αοδείξετε ότι υάρει (α,β) τέτοιο, ώστε f( ). Λύση : Η συνάρτηση f ως αραγωγίσιμη στο [α, β], θα είναι και συνεής στο [α, β], οότε θα ισύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαίστης Τιμής, άρα θα ισύει : m f() Μ για κάθε [α, β]. Αν υοθέσουμε ότι η ελάιστη τιμή της συνάρτησης είναι m f(α), τότε αό τη σέση () έουμε: f(γ) m f(β), οότε λόγω της σέσης () ροκύτει ότι f(γ) m ου είναι άτοο. Αν υοθέσουμε ότι η ελάιστη τιμή της συνάρτησης είναι m f(β), τότε αό τη σέση () έουμε: f(γ) f(α) m, οότε λόγω της σέσης () ροκύτει ότι f(γ) m ου είναι άτοο. Άρα η συνάρτηση f θα αρουσιάζει ελάιστο σε εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού της, εομένως ισύουν οι ροϋοθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οότε f( ). Ασκήσεις 78. Αν c,c R και η συνάρτηση f είναι ορισμένη και αραγωγίσιμη στο R* με f() για κάθε R*, να ειλέξετε οια αό τις αρακάτω σέσεις ισύει : Α. f() Β. f() ln c Γ. f() ln c ln c, ln c, Δ. f() Ε. f() ln( ) c, c, ΣΕΛ. 59

20 78. Για την αραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f ο ίνακας τιμών της f είναι Η γραφική αράσταση της f μορεί να είναι η Α. Β. Γ. Δ. Ε. 78. Σε κάθε σέση της στήλης Α να αντιστοιίσετε ένα γράφημα αό την στήλη Β. (οι συναρτήσεις είναι αραγωγίσιμες στο R ). Στήλη Α Στήλη Β Α. (f() g()). Β. (f() g()) Αάντηση : Γ. (f(x) g(x)). Α Β Γ Δ. Δ. (f() g()), για και (f() g()), για Μια συνάρτηση συνεής και γνησίως μονότονη στο R θα έει Α. καμία ρίζα Β. μία το ολύ ρίζα Γ. ακριβώς μια ρίζα Δ. δυο τουλάιστον ρίζες Ε. κανένα αό τα αραάνω ΣΕΛ. 6

21 784. Δίνεται η γραφική αράσταση της αραγώγου f μιας συνάρτησης f. α) Να συμληρώσετε τον ίνακα για την μονοτονία της f: β) Να σεδιάσετε μια ιθανή γραφική αράσταση της f Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο R και είναι δυο φορές αραγωγίσιμες σ αυτό. Αν f () g () για όλα τα R, οια αό τις αρακάτω συνθήκες ρέει να ισύει ειλέον, ώστε f() g(), για όλα τα R ; Α. f και g συνεείς στο R Β.f() g() Γ. f () g(x) c Δ. f () g () Ε. δεν ρειάζεται να ροστεθεί άλλη συνθήκη 786. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιμες στο R, να αντιστοιίσετε κάθε σέση της στήλης Α σε μια ισοδύναμή της αό τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. f () g() Β. f() g() Γ. f (). f() g() c. f() g() c. 4. f() g c f() c 4 Αάντηση : Α Β Γ Δ Δ. f () g () 5. f() g() c 6. f() c 787. H αράγωγος της f της συνάρτησης f είναι ένα ολυώνυμο τρίτου βαθμού. Η f έει Α. τρία ακριβώς τοικά ακρότατα Β. ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάιστο Γ. τουλάιστον τρία τοικά ακρότατα Δ. ένα μόνο τοικό μέγιστο και ένα τοικό ελάιστο Ε. τρία το ολύ τοικά ακρότατα 788. Το διάγραμμα C f της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο σήμα. Τότε είναι λάθος ότι Α. Το σημείο (, ) είναι τοικό ελάιστο της f Β. Το σημείο (, ) είναι τοικό μέγιστο της f Γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] Δ. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ] και [, ) Ε. Το σημείο (, ) είναι τοικό μέγιστο της f ΣΕΛ. 6

22 789. Η γραφική αράσταση C f μιας συνάρτησης f είναι αυτή ου φαίνεται στο σήμα. α) η εξίσωση f () έει λύση Α. Β. Γ. Δ. Ε. 4 β) Η ανίσωση f () έει λύση το διάστημα Α. (, ] Β. [, ) Γ. [, 4] Δ. (,] Ε. [4, ) γ) Η ανίσωση f () έει λύση το διάστημα Α. (, ] Β. [, ) Γ. [, 4] Δ. (,] Ε. [4, ) 79. Η γραφική αράσταση C f της αραγώγου μιας συνάρτησης φαίνεται στο αρακάτω σήμα. Η γραφική αράσταση της f μορεί να είναι : Α. Β. Γ. Δ. Ε. καμία αό τις ροηγούμενες 79. Η συνάρτηση f έει γραφική αράσταση την C f ου φαίνεται στο σήμα. Ισύει Α. f (), για κάθε R Β. η f () έει δυο ρίζες Γ. η f (), για κάθε R Δ. f (), για κάθε R Ε. δεν είναι δυνατόν να ροκύψει κάοιο συμέρασμα για την f. 79. Αν η συνάρτηση f με εδίο ορισμού το (, ) έει αράγωγο την f () ln, τότε για την μονοτονία ισύει ΣΕΛ. 6

23 79. Στο σήμα φαίνεται η γραφική αράσταση μιας αραγωγίσιμης συνάρτησης f. H γραφική αράσταση της f μορεί να είναι : Α. Β. Γ. Δ. Ε. καμία αό αυτές 794. Η γραφική αράσταση C f της αραγώγου μιας συνάρτησης φαίνεται στο αρακάτω σήμα. Τότε ισύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Β. η f είναι γνησίως φθίνουσα μόνο στο [, ) Γ. η f έει τοικό μέγιστο το σημείο Δ. η f έει τοικό ελάιστο το σημείο Ε. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R 795. Το διάγραμμα C f της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο αρακάτω σήμα. Τότε δεν ισύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] Β. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ] Γ. η f έει τοικό ελάιστο στο σημείο με Δ. η f έει τοικό μέγιστο στο σημείο με Ε. η f έει τοικό μέγιστο στο σημείο με 796. Στο διλανό σήμα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων υ και υ ου δείνουν τις ταύτητες δυο αυτοκινήτων σε σέση με το ρόνο t. Τότε ισύει Α. υ (t) υ (t) κατά τη διάρκεια του ρώτου λετού Β. υ (t) υ (t) μετά το ρώτο λετό Γ. υ (t) υ (t) μετά το ρώτο λετό Δ. κατά τη ρονική στιγμή t η ειτάυνση των δύο κινητών είναι ίδια Ε. κάθε ρονική στιγμή έουν την ίδια ειτάυνση ΣΕΛ. 6

24 797. Η συνάρτηση, της οοίας η γραφική αράσταση δίνεται στο σήμα, έει λήθος τοικών ακροτάτων : Α. Β. Γ. 4 Δ. 5 Ε Μια συνάρτηση συνεής στο R και η οοία έει ετερόσημα τοικά ακρότατα, θα έει Α. καμία ρίζα Β. μία το ολύ ρίζα Γ. μια τουλάιστον ρίζα Δ. το ολύ τρεις ρίζες Ε. δυο τουλάιστον ρίζες 799. Το διάγραμμα C f της δεύτερης αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο αρακάτω σήμα. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. (,] Β. [, ] Γ. [, ) Δ. R Ε. (, ] 8. Η αραγωγίσιμη συνάρτηση f έει εδίο ορισμού το διάστημα (α, β] και f () για κάθε (α, β]. Τότε Α. η f έει δύο ακρότατα Β. η f δεν έει ακρότατα Γ. η f έει ολικό μέγιστο Δ. η f έει ολικό ελάιστο Ε. η f έει ολικό μέγιστο και ολικό ελάιστο 8. Αν για τις αραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f, g ισύει f () g (), R, τότε Α. f() g() c Β. f() g() c Γ. f() g() c Δ. f() g() c Ε. f() g() c 8. Αν f() 5 4 5, τότε η εξίσωση f() έει Α. καμία ρίζα στο R Β. μια το ολύ ρίζα στο R Γ. μια μόνο ρίζα στο R Δ. δυο τουλάιστον ρίζες στο R Ε. τρεις τουλάιστον ρίζες στο R 8. Έστω μια συνάρτηση f, συνεής στο κλειστό διάστημα [α, β]. Τότε οι θέσεις των ιθανών ακροτάτων είναι Α. μόνο οι ρίζες της f Β. μόνο τα σημεία όου η f δεν αραγωγίζεται Γ. μόνο τα άκρα του εδίου ορισμού της Δ. μόνο οι ρίζες της f και τα άκρα Ε. οι ρίζες της f, τα σημεία όου η f δεν αραγωγίζεται και τα άκρα του εδίου ορισμού της. 84. Στα σήματα έουμε τις γραφικές αραστάσεις των f και f αντίστοια. Να σεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f. 85. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R και γνησίως φθίνουσα, τότε Α. f (), για κάθε R Β. f (), για κάθε R Γ. f (), για κάθε R Δ. f (), για κάθε R Ε. η f () δεν διατηρεί σταθερό ρόσημο στο R. ΣΕΛ. 64

25 86. Έστω μια συνάρτηση f, η οοία αρουσιάζει τοικά και ολικά ακρότατα, τότε Α. κάθε τοικό μέγιστο είναι μεγαλύτερο αό κάθε τοικό ελάιστο Β. δεν υάρει τοικό ελάιστο ου να είναι μεγαλύτερο αό κάοιο τοικό μέγιστο Γ. το μέγιστο είναι μεγαλύτερο αό το ελάιστο Δ. Το ελάιστο είναι μεγαλύτερο αό το μέγιστο Ε. το μέγιστο είναι μικρότερο αό κάθε τοικό ελάιστο 87. Να αρακτηρίσετε καθεμία αό τις αρακάτω ροτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν για μια συνάρτηση ισύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος του Fermat, τότε υάρει ώστε η εφατομένη της C f στο (, f( )) να είναι αράλληλη με τον άξονα.. Αν f() ( ), τότε το είναι θέση ολικού ελαίστου.. Για την συνάρτηση f(),,, υάρει μόνο ένα ακρότατο. 4. Για την συνάρτηση f() ημ, R, υάρει τουλάιστον ένα τοικό ελάιστο μεγαλύτερο αό κάοιο τοικό μέγιστο. 5. Δίνεται μια συνεής συνάρτηση f, με f() για 7. Αν f() 5, τότε μορεί να ισύει f(6) Η συνάρτηση f() ημ e,, αρουσιάζει τοικό ελάιστο στο 7. Αν. 6, τότε η f δεν μορεί να έει τοικά ακρότατα. f() e 8. Αν για την συνάρτηση f ισύει f (), R, τότε f(), R. 9. Μια εριοδική συνάρτηση f μορεί να έει ένα μόνο τοικό ακρότατο.. Αν για μια αραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, ισύει f() e ημ4, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.. Η συνάρτηση του σήματος έει θετική αράγωγο για κάθε (, ). Σ Λ. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R, και η γραφική αράσταση της f είναι αυτή του σήματος, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Σ Λ. Στο σήμα φαίνεται η γραφική αράσταση της f μιας συνάρτησης f. Τότε η f έει δυο τουλάιστον θέσεις τοικών ακροτάτων. Σ Λ 4. Αν το διάγραμμα C f της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διλανό σήμα, τότε η f έει ακρότατο στο. 5. Αν το διάγραμμα C f της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διλανό σήμα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Σ Λ ΣΕΛ. 65

26 6. Αν το διάγραμμα C f της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διλανό σήμα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 7. Αν η γραφική αράσταση της αραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διλανό σήμα, τότε η f έει ακρότατο στο. Σ Λ 8. Αν η γραφική αράσταση της αραγώγου f μιας συνάρτησης f είναι αυτή του σήματος, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 9. Οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιμες στο εδίο ορισμού τους. Αν σ ένα σημείο αρουσιάσουν και οι δύο τοικό μέγιστο, τότε και η συνάρτηση f g, εφόσον ορίζεται, θα αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο.. Αν μια άρτια συνάρτηση έει στο τοικό ελάιστο, τότε στο θα έει τοικό μέγιστο.. Αν για την συνάρτηση f ου είναι αραγωγίσιμη στο R, ισύει f (5), τότε η f αρουσιάζει οωσδήοτε τοικό ακρότατο στο 5.. Για την συνάρτηση f(),, ισύει f() για κάθε. Εομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ), (, ).. Αν μια αραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, τότε θα ισύει f() για κάθε R. 4. Αν μια αραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, τότε θα ισύει f(). 5. Ένα τοικό μέγιστο μιας συνάρτησης f, μορεί να είναι μικρότερο αό ένα τοικό ελάιστο της f. 6. Μια συνάρτηση f μορεί να έει τοικό ακρότατο και σε σημείο, στο οοίο δεν είναι συνεής. 7. Αν μια συνάρτηση f αρουσιάζει ακρότατο στο, τότε ισύει f( ). 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β], τότε ιθανά ακρότατα της f είναι : i) τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οοία η f μηδενίζεται ii) τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οοία η f δεν αραγωγίζεται iii) τα άκρα του [α, β]. 9. Αν f() ( ), τότε το σημείο είναι θέση τοικού ακρότατου της f.. Αν f(), τότε το σημείο είναι τοικό ακρότατο της f.. Αν f(), τότε η εξίσωση f() έει το ολύ μια ρίζα.. Αν f() 5 6, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ].. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο [α, β], αραγωγίσιμη στο (α, β) με f(α) f(β) και f (), για κάθε [α, β], τότε η εξίσωση f() έει μια μόνο ρίζα στο (α, β). 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο [α, β], τότε κρίσιμα σημεία της f είναι τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οοία η f μηδενίζεται και τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οοία η f δεν αραγωγίζεται. 5. Αν για μια συνάρτηση f ισύει f() για κάθε R, τότε η εξίσωση f() έει το ολύ μια ρίζα στο R. ΣΕΛ. 66

27 6. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο [α, β], f(α) f(β) και f () για κάθε [α, β], τότε η εξίσωση f() έει μόνο μια ρίζα στο (α, β). 7. Υάρουν συναρτήσεις ορισμένες στο R οι οοίες έουν άειρα τοικά ακρότατα. 8. Αν η f έει μόνο μια ρίζα, τότε η f θα έει το ολύ δυο ρίζες. 9. Αν για την συνάρτηση f ισύει f () για R, τότε η γραφική αράσταση της f είναι μια ευθεία. 4. Αν η f έει μόνο μια ρίζα, τότε η ολυωνυμική f έει δύο ακριβώς τοικά ακρότατα. 4. Ένα τοικό ελάιστο μιας συνάρτησης f, είναι άντοτε μικρότερο αό κάθε τοικό μέγιστο της ίδιας συνάρτησης. 4. Το μικρότερο αό τα τοικά ελάιστα μιας συνάρτησης f (εφόσον υάρουν), είναι άντοτε και ελάιστο της f. 4. Μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα Δ, με f () για κάθε Δ, δεν αρουσιάζει ακρότατα στο Δ. 44. Μια συνεής και σταθερή συνάρτηση στο [α, β] αρουσιάζει ακρότατο σε κάθε σημείο του διαστήματος [α, β]. 45. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο Δ (α, ) (, β) και ισύει f() για κάθε Δ, τότε η f είναι σταθερή στο Δ. 46. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, και διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε έουν ίσες αραγώγους. 47. Αν η συνάρτηση f είναι συνεής στο [α, β] και αραγωγίσιμη στο (α, β),με f(β) f(α) f() για κάθε (α, β), τότε η εξίσωση f(), έει μόνο βα μια ρίζα στο (α, β). 48. Αν f() g() τότε f() g(). 49. Αν f() αραγωγίσιμη στο (α, β) και γνήσια αύξουσα στο [α, β], τότε f() για κάθε (α, β). 5. Αν f() για κάθε R, τότε τα σημεία Α(, ) και Β(, 4) δεν ανήκουν και τα δύο στη γραφική αράσταση της f. 5. Αν f(), τότε η μόνη συνάρτηση ου έει την f αράγωγο είναι η g(). 5. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιμες στο διάστημα Δ και ισύει f() g() c, για κάθε Δ, τότε στα σημεία των C f και C g με την ίδια τετμημένη, οι εφατόμενες είναι αράλληλες. 5. Αν η f είναι ορισμένη στο R και f() για κάθε (,) (, ), τότε η f είναι σταθερή στο R. 54. Αν η f είναι αραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R, τότε η f είναι σταθερή στο R. 55. Αν οι f, g είναι αραγωγίσιμες στο R με f() g() για κάθε R και οι C f, C g τέμνονται σε ένα τουλάιστον σημείο, τότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. 56. Αν f()g() f()g() για κάθε R και f() για κάθε R, τότε υάρει cr ώστε g() c f() για κάθε R. 57. Αν f() για κάθε R, τότε η γραφική αράσταση της f είναι ευθεία. 58. Αν f() f() για κάθε R, τότε υάρει cr τέτοιο ώστε : f() e c για κάθε R. 59. Αν f() και f() f() για κάθε R, τότε : f() e. 6. Για κάθε R, ισύει η ισοδυναμία : f() g() f () g(). 6. Αν f () συν για κάθε R, τότε υάρει cr τέτοιο ώστε : f() ημ c για κάθε R. 6. Αν ( ) f () ln( ) για κάθε, τότε υάρει cr τέτοιο ώστε : f() ln ( ) c. ΣΕΛ. 67

28 6. Αν f() g () για κάθε R, τότε υάρουν c,cr τέτοιοι ώστε : (f g)() c c για κάθε R Αν f (e ) 5 για κάθε R, τότε υάρει cr ώστε : f(e ) c για κάθε R. 65. Αν f για κάθε, τότε υάρει cr ώστε : f() c για κάθε R. 66. Αν f() g() για κάθε R, τότε υάρει κr ώστε : f() g() κ για κάθε R. 67. Αν f() g() για κάθε R, τότε f() g() για κάθε R. 68. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεείς και δύο φορές αραγωγίσιμες στο Δ (, ) (, ) με f() g () για κάθε Δ, τότε : g() c c, (, ) f() g() c c 4, (, ) 69. Αν f() στο (α, β) και η συνάρτηση f είναι συνεής στο [α, β], τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β]. 7. Η μονοτονία μιας συνάρτησης f, εξαρτάται αό το ρόσημο της f σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος. 7. Έστω μια συνεής συνάρτηση f :[α,β] R. Αν η f είναι αραγωγίσιμη στο (α,β), τότε : Αν η f είναι συνεής στο (α, β) και f(), για κάθε (α, β), τότε η εξίσωση f(), έει ακριβώς δύο ρίζες στο (α, β). 7. Έστω μια συνεής συνάρτηση f :[α,β] R. Αν η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο (α, β), τότε: Αν f(), για κάθε (α, β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β). 7. Έστω μια συνεής συνάρτηση f :[α,β] R. Αν η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο (α, β), τότε: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β], τότε f(), για κάθε (α, β). 74. Αν f, f συνεείς στο Δ και ισύει f() f (), για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση g() f () f() με είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 75. Η συνάρτηση f() συν ημ,,, είναι γνησίως φθίνουσα στο,. 76. Αν f συνεής στο R και f() f (), για κάθε R τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 77. H συνάρτηση f() e είναι γνησίως αύξουσα στο R. 78. Η συνάρτηση f με f() ημ 5, όου, συν γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. 79. Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι αρουσιάζει στο Α, τοικό μέγιστο, όταν υάρει δ, τέτοιο ώστε f() f( ) για κάθε Α ( δ, δ). 8. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο άκρο α, τότε συνεάγεται άντα ότι f(α). 8. Αν μια συνάρτηση f αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο (α,β), τότε ισύει άντα ότι f( ). 8. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο διάστημα [α, β], αραγωγίσιμη στο (α, β) και f() για κάθε (α,β), τότε η f έει ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β). 8. Το μεγαλύτερο αό τα τοικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι άντοτε μέγιστο της συνάρτησης. ΣΕΛ. 68 Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ

29 84. Αν η συνάρτηση f έει συνεή ρώτη αράγωγο και ισύει f(), για κάθε (α,β) τότε η δεν έει ακρότατα στο (α, β). 85. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και ισύει f() για κάθε (α,β) τότε τα ακρότατα της είναι τα f(α) και f(β). 86. Αν για τη συνάρτηση f ισύει f( ) f ( ), τότε το είναι άντοτε θέση τοικού ακροτάτου της f. 87. Αν f() g() R και αραγωγίσιμες, τότε f() g() R. 88. Αν f() R και f() συνεής στο R, τότε f γνήσια μονότονη στο R. 89. Αν f() R * και f() συνεής στο R, με f () R *, τότε η f() αρουσιάζει μέγιστο (ολικό) στο. 9. Αν f(): α,β R με f() για κάθε α,β, τότε η f δεν έει ακρότατα. 9. Αν f() g() R, τότε f() g() c R, όου c σταθερά. 88. Δίνεται συνάρτηση f : R R αραγωγίσιμη στο R, για την οοία ισύει : f () f() για κάθε R και f(). Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() e f() είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύος της f. 89. Να βρείτε τον τύο της f : Δ R, στις αρακάτω εριτώσεις : ) f() 6, Δ R, με f() 5 ) f(), Δ R, με f() e ) f() e συν, Δ R, με f () και f() 4) f() συν, Δ R, με f() 5) f(), Δ (, ), με f() 6) f() συν ημ, Δ R, με f 7) f() e (ημ συν), Δ R, με f() ημ συν 8) f(), Δ (, ), με f συν. 8. Να βρείτε την αραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, ) R, για την οοία ισύει : e f () f() f(), για κάθε και f() e. Α: f() 8. Να βρείτε τη συνάρτηση f η οοία είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο, με f ln, f 4 και τέτοια ώστε f() για κάθε, συν. Α: f() ln(συν) 8. Να βρείτε τη συνάρτηση f() ου είναι αραγωγίσιμη στο R, για την οοία ισύουν οι σέσεις : f() και f () f() ( συν) f() ημ για κάθε R. Α: f() ( συν)e 8. Έστω συνάρτηση f : R R, για την οοία ισύει : f( ) (), για κάθε R. Αν f(), να βρείτε τον τύο της f. Α: f() 7 6 ΣΕΛ. 69