Način dostopa (URL):

Transcript

1 Bojn Kuzm ZAPISKI IZ PREDAVANJ - FOURIEROVA ANALIZA (Zbirk Izbrn poglvj iz mtemtike, št. 8 Urednic zbirke: Petruš Miholič Izdl in zložil: Knjižnic z tehniko, medicino in nrvoslovje TeMeN, Univerz n Primorskem Primorski inštitut z nrvosloven in tehnične vede Koper Fkultet z mtemtiko, nrvoslovje in informcijske tehnologije TeMeN, 9 Vse prvice pridržne Koper, 9 CIP - Ktložni zpis o publikciji Nrodn in univerzitetn knjižnic, Ljubljn 5(75.8(.34. KUZMA, Bojn Zpiski iz predvnj. Fourierov nliz [Elektronski vir] / Bojn Kuzm. - El. knjig. - Koper : Knjižnic z tehniko, medicino in nrvoslovje - TeMeN, 9. - (Zbirk Izbrn poglvj iz mtemtike ; št. 8 Nčin dostop (URL: ISBN

2 Ô Þ ÔÖ Ú Ò ¹ ÓÙÖ ÖÓÚ Ò Ð Þ Ó Ò ÃÙÞÑ ÃÓÔ Ö ¾¼¼ ½

3 Ã Þ ÐÓ ½ ÈÖ ÓÚÓÖ ¾ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ¾º½ Î ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÔÖÓ Ù ØÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Ð Ù Ò ÔÖ ÔÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º½ ÃÓÑÔÐ Ò Þ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º¾ Ê ÞÚÓ Ò ÖÙ ÒØ ÖÚ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ê ÞÚÓ Ó»Ð ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÒÓÐ ÒÓ Ø Ö ÞÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º â Ò Ò ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ¾ º½ ÍÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÃÓÒÚÓÐÙ Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 ½ ÈÖ ÓÚÓÖ ÈÖ Ù Ó Þ Ô Ó Ò Ø Ð ÓØ ØÙ ÔÖ ÔÓÑÓ ØÙ ÒØÓÑ ÔÖ ÔÖ Ñ Ø Ò Ð Þ ÁÁÁ Ò Ò Ð Þ Áκ Î ÐÓÔÙ Ø Ú ÔÖ Ñ ØÓÚ Þ Ø ÖÓ Ô Ð Ø ÒÓÚ Ó Ñ ØÖ Ò ÔÖÓ ØÓÖ ÙÒ Ú ÔÖ Ñ ÒÐ Ú ÑÒÓ ÓØ ÖÒ ÒØ Ö Ð ÓÙÖ ÓÖÓÚÓ Ò Ð ÞÓ Ö ÚÙÐ ÔÐÓ Ú Ò ÔÓÐ Ö ÚÙÐ Ò Ñ Ø Ö ÔÐÓ ÓÚÒ Ñ ÒØ Ö Ð º ÈÖ Ù Ó Þ Ö ÔÓ Ú Ò ÓÙÖ ÖÓÚ Ò Ð Þ º ÃÓÐ ÓÖ Ñ ÔÓÞÒ ÒÓ Ð Ó Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ò Ù Ð Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð º Ì ÓÒ ÔØ ÔÓ Ò ÒÓÚ ÒÔÖº Ú Ù Ò Ù ½¼ ÓØ ØÙ Ú ¾ º ÌÙ Ñ Ñ Ó ÐÓ Ð Ð Ø Ø Ù Ñ Ö ØÚ Ú Ò ÓÐ Ó Ñ Ò Ñ Ö ÓØ Ú Þ Ö Ó ÈÐÓ Ú º Î Ò Ó Ø Ö Ú ÒÓ Ò Ð Ó Þ Ò ÞÖ ØÖ ØÚ Ò Ð Ñ Ô ÔÖ ÑÐ ØÙ ÔÖ Ò ÐÓ Ø ÓÖ Ø Ò ÞÒ Þ Ò Ñ Þ Ö Ú Ò º Î Ñ Ú ÔÓ Ù Ø Ö Ø Ñ Ø Ñ Ó ØÙ Þ Ö Ó Ð ÚÓ Ò Ñ Òº Ó Ò ÃÙÞÑ

5 ¾ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ¾º½ Î ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÔÖÓ Ù ØÓÑ Ç Ð ÑÓ ÔÖÓ ØÓÖ R º Î Ò Ñ Ò ÑÓ ÞÓ Þ Ú Ú ØÓÖ Ú e : (, e : (, Ø ÔÖ ÚÓ ÓØÒ Ò ÓÐö Ò º Î ÖÙ Ú ØÓÖ x (α, α Ð Ó Ò Ô ÑÓ ÓØ x α e + α e º,Α Α,Α x Α,Α Α e e, e, Α, ËÐ ½ Î R Ñ ÑÓ ÞÓ Þ ÔÖ ÚÓ ÓØÒ Ú ØÓÖ Ú e, e º Ò ÙÒ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò º Î ÖÙ Ú ØÓÖ x R â Ú Ø Ú Ð α i Ð Ó Ó ÑÓ ØÙ ÔÓÑÓ Ó Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø α x,e Ò α x,e ØÓÖ x x,e e + x,e e. ½µ ÈÓ Ó ÒÓ Ð Ó Ò Ö ÑÓ ØÙ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ R n º Æ ÔÓ Ó Ò Ô ÓÑÓ Ò Ö Ð ØÙ Ú Ò ÓÒ ÒÓ¹Ö Þ öò ÔÖÓ ØÓÖ Ò ½º Æ Ó X Ö Ð Ò Ú ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÔÖÓ Ù ØÓÑ, : X X Rº Î ØÓÖ x,y X Ø ÔÖ ÚÓ ÓØÒ Ð ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ µ x,y º ÅÒÓö Ú ØÓÖ Ú S X ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ø Ñ x,y Þ ÔÓÐ Ù Ò Ö ÞÐ Ò Ú ØÓÖ x,y Sº

6 ËÔÓÑÒ ÑÓ Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ö ÐÒ Ñ Ú ØÓÖ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÖ Ð Ú Þ Ð ¹ ØÒÓ ØÑ λx + µz,y λ x,y + µ z,y º x,y y,x º x,x Ò Ò Ú Ð Ò Ø Ò Ó Ø Ó x Ò ÐÒ Ú ØÓÖº ÃÓØ Ø Ó Ò Ó ÔÓ Ð Ó ÔÖÚ ØÓ Ú ÑÓ,x ØÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÚÓ ÓØ Ò Ò ÔÓÐ Ù Ò ÖÙ Ú ØÓÖº Ú Ú ØÓÖ Ò Ö ÑÓ Ò ÓÚÓ ÒÓÖÑÓ ÔÖ Ô ÓÑ x : x,x º ÈÖ Ú ÑÓ Ú ØÓÖ x ÒÓÖÑ Ö Ò Ð ØÙ ÒÓØ µ Ò ÓÚ ÒÓÖÑ Ò º Ò ÑÓ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ø Ñ S X ØÓ Þ ÓÐ Þ ÒÓÖÑ Ö Ò Ú ØÓÖ Úº Ì ÑÙ Ö ÑÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñº Ð ¾º Î R ÒÔÖ Ŝ : {,e,e } ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ø Ñ Ò Ô ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Òº ÑÙ Ó ÚÞ Ñ ÑÓ Ò ÐÒ Ú ØÓÖ Ô ÔÓ Ø Ò ÐÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Òº Ò ÑÓ Ñ ÑÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ S : {e,...,e n,... } ØÓ Þ ÓÒ ÒÓ Ð Ø ÚÒÓ Ò ÓÒ ÒÓ Ú ØÓÖ Úº ÈÓÐ Ù Ò ÑÙ Ú ØÓÖ Ù x X ÔÖ Ö ÑÓ Ø Ú Ð Ã Ò Ð ØÒÓ Ø Ñ Ó Ó ÒØ α k α k : x,e k R. Ð º Î ÔÖÓ ØÓÖÙ R ÑÒÓö S : {e,e } ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñº ÁÞ ½µ Ò È Ø Ó¹ ÖÓÚ ÞÖ Ú ÑÓ x α e + α e α + α x,e + x,e e S x,e Ô ÚÞ Ð ÖÙ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ ÒÔÖ Ŝ : {e } Ô Ò Ó Ð Ò Þ Ú Ú ØÓÖ xº ÃÓÒ ÓÒ Ú ÒÔÖº Þ x : e Ú Ð x ØÓ e S x,e x,e x º Ë Ú ØÓ ÔÖ Ñ Ö ÐÓ Þ ØÓ Ö Ñ ÑÓ Ú Ŝ ÔÖ Ñ ÐÓ Ô ÖÓÑ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ú ØÓÖ Ú Ò Ø ÚÐ Ó ÞÓ ÔÖÓ ØÓÖ R µº Å Ð Ò ÓÑÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ S Ö Ú ÒÓ Ú Ð Ò Ñ ÒÓÚ Ð ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñº Æ ÔÓ Ó Ò ÓØ Ú Þ ÓÖÒ Ñ ÔÖ Ñ ÖÙ Ú Ð Ú Ú Ñ Ú ØÓÖ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙº ÓÑÓ ØÓ Ð Ó ÙØ Ñ Ð Ð ÔÓÑ ÑÓ Þ ÔÓ ÔÐÓ ØÚ Ó È Ø ÓÖÓÚ ÞÖ Ä Ñ È Ø ÓÖÓÚ ÞÖ µº Ó Ú ØÓÖ v,...v k Ô ÖÓÑ ÔÖ ÚÓ ÓØÒ v + + v k v + + v k.

7 Ó Þº k Ñ ÑÓ v + v v + v,v + v v i,v j i,j v,v v,v v + v. Ú Ú ØÓÖ Ú Ò Ô ÑÓ w : v Ò w : v + + v k º Ì Ú Ø ÔÖ ÚÓ ÓØÒ Ò Ð Ó Ò Ð Ù ÑÓ Þ Ò Ù Ó Ò kº Ë Þ Ú Ó Ò Ò ÐÒÓ Ò Ö ÚÒÓ Ø Ú ÐÓ n Ò Ö ÑÓ Ú ØÓÖ y n : n α k e k n x,e k e k. Î Ð Ð Ä Ñ º Î ØÓÖ y n Ò z n : x y n Ø ÔÖ ÚÓ ÓØÒ º Ó Þº z n,y n x,y n y n,y n n α k x,e k y n n n α k α k e k, Ö ÑÓ Ú Þ Ò ÚÖ Ø ÙÔÓÖ Ð È Ø ÓÖÓÚ ÞÖ y n Ú ÓØ Ô ÖÓÑ ÔÖ ÚÓ ÓØÒ Ú ØÓÖ Úº ÈÓ Ð º S : {e,...,e n,... } X Ø ÚÒÓ Ò ÓÒ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ú Ð ÐÓÚ Ò Ò Ó Ø α k x,e k x ( x X. Ó Þº ÁÞ Ö ÑÓ ÔÓÐ Ù ÒÓ Ò Ö ÚÒÓ Ø Ú ÐÓ nº Ã Ö Ø Ú ØÓÖ y n Ò z n : x y n ÔÖ ÚÓ¹ ÓØÒ n n x y n + z n y n α k e n α k Î Ð Ñ Ø n Ð Ú ØÖ Ò Ú ÒÓ Ú ÑÙ Ú Ó Ò Ø º x α k º ÈÓ ÒÓ Ù Ó ÒÓ Ó Ð Ò Þ Ú Ú ØÓÖ xº ÃÓØ Ò Ñ ö ÔÖ Ò Þ Ð Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò ÑÙ Ø ÑÙ S Ò Ñ Ò ÒÓ Ò Ú ØÓÖ ÓÞº Ò ÑÓÖ ÑÓ Ú Ö Þ Ö Ø Ó Ú ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ º ØÓ Ñ ÐÒ Ø Ð Ò

8 Ò º ÅÒÓö S {e,...,e n,... } X Ô ÖÓÑ ÔÖ ÚÓ ÓØÒ ÒÓÖÑ Ö Ò Ú ¹ ØÓÖ Ú ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ð ÃºÇºÆºËºµ Ú Ð È Ö Ú ÐÓÚ ÒØ Ø Ø Þ Ú Ú ØÓÖ x X x x,e k ÇÔÓÑ º ÃÓØ Ú ÑÓ Þ Ó Þ ÔÖ Ò ÔÓ Ð Ø x y n z n Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓØ Ó n º Å Ð ÖÙ ÔÓÚ ÒÓ lim n x,e k e k lim n y n xº â Ö x,e k e k x Æ ÐÓ º à ØÓ ÒÓ ÔÓÑ Ò Þ ÔÓÖ Ú ØÓÖ Ú y n Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓØ Ú ØÓÖ Ù x Ê Ø Úº Æ Ö Ø Ó ØÓ ÔÓÑ Ò Þ Ú ε > Ð Ó Ò ÑÓ Ø Ó Ø Ú ÐÓ N Þ Ú Ò n > N Ú Ð y n x < ε Ç Ð ÑÓ Ú Ñ Ð Ð ØÓÐ Ó ÓÐ ÔÓÑ Ñ Ò Þ Ð º Ð ½¼º Ó X : OC[, π] ÑÒÓö Ú Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ö ÐÒ ÙÒ Ò Ö ¹ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π]º ÌÓÖ f X µ Ò Ö Ò Ò [, π] Ò µ f : [, π] R ÞÚ ÞÒ ÔÓÚ Ó Þ ÑÓÖ ØÒÓ Þ ÑÓ ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ Ö Ô Ò Ñ Ð ÚÓ Ò ÒÓ Ð ¹ Ñ ØÓº Π - Π ËÐ ¾ Ä Ú ÙÒ Ò Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ò Ñ Ð Ú Ò Ø Ò Ð Ñ Ø ÔÖ x º Ò Ô Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ º ÅÒÓö X Ú ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Þ Ó ÒÓ Ø Ú Ò Ò Ð ÖÒÓ ÑÒÓö Ò ÙÒ ØÓÖ (f + g : t f(t + g(t Ò (λf : t λ f(tµº Ã Ó Ú X ÙÚ Ð Ò Þ Ò Ñ Ú Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø ÈÓ Ù ÑÓ Ø ÓÐ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f, g X Ò Ö ÑÓ f, g : f(tg(t dt. Æ ÐÓ ½½º ÈÖ Ú Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ò ÔÖ Ô Ú Ð ØÒÓ Ø Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø Þ Þ ÑÓ Þ Ò Ä Ó Þ Ó f, f Ð Ù Ø ÑÙ f Ò Ò ÐÒ ÙÒ º Æ Ú Ø ÈÓ Þ Ù ÙÒ Ó f(t : sign(t ÔÓÚ Ó Ò Ò Þ ÒÓ Þ ÑÓ f( º

9 Sign t Π Π ËÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ ÈÖÓ Ð ÑÙ Ò Þ Ò Ú ÔÖ Ò Ò ÐÓ ÞÓ Ò ÑÓ Ø ÓÐ Ê Ð ÓÑÓ Ú Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ ÔÖ Ø ÚÐ Ø Ø Ú ØÓÖ ÙÒ Ö ÞÐ Ù Ø Ú ÑÙ Ú ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ º Ì Ó ÒÔÖº f(t : sign(t Ò g(t : ÔÖ Ø ÚÐ Ø Ø Ú Ø Ñ ÔÖ Ñ ÖÙ Ò ÐÒ Ú ØÓÖº Æ ÔÓ Ó Ò ö ÓÐ Ó ÔÓ Ò ÑÓ Þ ÙÐÓÑ Ú ÙÐÓÑ Ð Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ø ØÓ Ö ÓÒ ÐÒÓ Ø Ú ÐÓº ØÓÖ Ò ÐÓ ÑÓ Ñ ÙÒ Ñ Ö ÞÐ Ù Ó Ð Ú ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ Ô Þ ÓÖ Ò Ö Ò ÔÖ Ð Ú Ö Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Øº Æ ÐÓ ½¾º ÈÓ ö Þ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒÓ ÙÒ Ó f : [, π] R Ú Ð π f(t dt ÔÖ Ø ÚÐ f(t Ò ÐÒ Ú ØÓÖ Ø º f(t Ö Þ Ò ÑÓÖ Ø Ú ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ µ Ã Ó Ó Ð Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ò Ö ÑÓ ÙÒ e (t : π e k (t : cos(kt π ek (t : sin(kt π (k,,... Æ ÐÓ ½ º ÈÓ ö Ø ÙÒ Ø ÚÐ Ó ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ Xº ÃÓØ Þ Ð ÔÓ ö ÑÓ Þ ÓÐ ÔÖ ÚÓ ÓØÒÓ Ø e n (t Ò e m (t Ö n, m º Æ ÔÖ Ò Ó n mº cos(nt cos(mt e n, e m dt cos(nt cos(mt π π π cos(n mt + cos(n + mt dt π sin(n mt π + mt +sin(n π(n m t π(n + m Ö ÑÓ ÙÔÓ Ø Ú Ð sin sin(±π sin(±π... º ÃÓÐ Ô ÒÓÖÑ e n (t e n (t e n (t, e n (t cos(nt dt π π t +, cos(nt + π dt. ¾µ

10 ÇÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò ÑÙ Ø ÑÙ {e (t, e (t, e (t, e (t, e (t,... } ÓÑÓ ÔÓ Ú Ø Ð ÐÓØ Ò Ò Ð ¹ Ò Ö Þ Ð º ÈÓ Þ Ð ÓÑÓ ÃºÇºÆºËº Ã Ö Ø ÚÐ Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ ÑÙ Ú Ö ÑÓ ØÙ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñº Ð ½ º Ç Ð ÑÓ Ò Þ Ð ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ º ÌÓ ÔÓØ Þ X ÚÞ Ñ ÑÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, ]º Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f, g : [, ] R Ò Ö ÑÓ ˆ dt f, g : f(tg(t. µ t ÃÓØ ÔÖ ØÙ ØÓ Ö Ø ØÓ Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø Ò ÐÓ ÑÓ Ñ ÙÒ Ñ Ö ÞÐ Ù Ó Ú ÑÙ Ú ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ º Ã Ö Ô ÑÓ Ú ÒØ Ö ÐÙ ÔÖÓ Ù Ø ÙÒ ÔÓÑÒÓö Ð Þ w(t : / t Ú ØÓ Ó ØÒÓ ÔÓ Ò ÑÓ Ò Ö ÑÓ µ Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø Þ ÙØ ö Ó w(tº Æ ÐÓ ½ º ÈÓ ö Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø Þ ÙØ ö Ó µ Ó ÖÓ Ò Ö Ò Ø º ÔÓ ö ÞÐ Ñ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ö º ÌÙ Ô ÙÒ e n (t : cos(n rccost (n,,... Ø ÚÐ Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ¹ Ø Ñº Æ ÑÖ Þ n m e m, e n ˆ cos(m rc cost cos(n rc cost t dt ˆ π cos mx cosnx, Ö ÑÓ ÙÚ Ð Ù Ø ØÙ Ó rc cost : x Ø Ö Ø Ñ dt/ t dxµº ÎÖ ÒÓ Ø Þ Ò ÒØ Ö Ð ¼ ÓØ Ð Ó ØÖÓ ÔÖ ÔÖ Ú Ñº ÇÔÓÑ ½ º ÙÒ e m (t Ñ ÒÙ Ó ØÙ ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ú º Ò Ó Ó Ö ÔÓÐ ¹ ÒÓÑ Ù ØÖ Þ Ó ØÖ Ð Ò Ö ÙÖÞ ÚÒ Ò e (t e n+ (t + e n (t te n (t ÁÑ Ó Þ Ò Ñ ÚÓ Ð ØÒÓ Ø Ñ Ú Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ ØÓÔÒ n Ö ÚÒÓ C n (t : n e n (t Ò ¹ Ñ Ò Ó Ð Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, ]º Å Ð ÓÐ ÔÖ ÞÒÓ Ú ÔÓÐ ÒÓÑ p n (t ØÓÔÒ n Ø Ú ÐÓ mx t [,] p n (t ÔÓÚ ÓÐ Ó Ó Ð Ð Ó º ÁÒ ØÓ Ø Ú ÐÓ Ò Ñ Ò Ö ÚÒÓ Þ ÑÓ Ö Ò Ý Ú ÔÓÐ ÒÓÑ n cos(n rc costº Ö Ø Ð ØÒÓ Ø ÔÖ ÙÔÓÖ Ð Ó Ú ÔÖÓ Ñ º Æ ÐÓ ½ º ÈÖ Ú Ö ØÖ Ð Ò Ó Ö ÙÖÞ Óº Æ Ú Ø cos(n+x cosxcos(nx sin x sin nxº Æ ÐÓ ½ º ÈÓ ö Ó ÙÒ e (t : / e k (t : cos(kπt Ò e k (t : sin(kπt ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, ] Ð Ò Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø f, g : ˆ f(tg(t dt µ

11 Æ ÐÓ ½ º Ä Ò ÖÓÚ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ ÔÖ Ô ÓÑ d n P n (x : n n n! dx n(x ÈÓ ö Ó ØÙ Ä Ò ÖÓÚ ÔÓÐ ÒÓÑ Ô ÖÓÑ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ò [, ] Ð Ò Ð ÖÒ ÔÖÓ Ù Ø µº Ê Ø Úº m < n Ñ ÑÓ n+m n!m! P m (x, P n (x Ô Ö Ô ÖØ ˆ ( (x m (m( (x n (n ( (x m (m( (x n (n dx x ˆ ( (x m (m+( (x n (n dx ÁÞ ÒØ Ö Ö Ò Ð Ò º Æ ÑÖ ÙÒ (x n Ñ Ò ÐÓ ØÓÔÒ n ÔÖ x ±º Ó n Ó Ú ÑÓ Ñ Ú ÒÓ Ò ÐÓ ØÓÔÒ Ò µ ÔÖ x ±º ÌÓÖ ( (x n (n x± º Ç Ø Ò Ò Ñ ØÓÖ n+m n!m! P m (x, P n (x ˆ ( (x m (m+( (x n (n dx. Ç Ú ÑÓ Ô Ö Ô ÖØ Ò ÔÖ u (x m (m+ Ò dv ( (x n (n dxº ÁÞ ÒØ ¹ Ö Ö Ò Ð Ò Þ Ö Ø Ö ÞÐÓ ÓØ ÔÖ º ÈÓ m Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ñ Ó Ø Ò n+m n!m! P m (x, P n (x ˆ ( (x m (m+m+( (x n (n (m+ dx. ÌÓ ( (x m (m+m+ ÔÓÐ ÒÓÑ (x m ØÓÔÒ m Ó Ú ÑÓ m + ¹ Ö Øº Ã Ó ÑÓöÒÓ ÑÓ Ó Ð Ú Ø Ñ Ð ÖÒ Ñ ÔÖÓ Ù ØÙ Ú ÔÓÔÓÐÒÓÑ Ö ÞÐ Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ø Ñ ÌÓ Ò Ò Ó Ò ÒÓÚ º Æ ÔÖ Ñ Ö Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ X R Ñ ÑÓ Ò ÔÓ Ó Ò Ø Ñ Ú ØÓÖ Ú {e : (,,e : (, } ÓÖØÓ ÓÒ Ð Òº ÑÔ ØÓ Ú Ð ØÙ Þ Ø Ñ {x : (,,x : (, }º ¾º¾ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Î Ø Ñ Ö Þ Ð Ù ÓÑÓ ÔÓ ÖÓ ÒÓ Ð ÚÞ Ð ÔÖÓ ØÓÖ Þ Ð ½¼ ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ö ÐÒ ÙÒ Ò [, π]º ÈÓ Þ Ð ÑÓ ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ñ ¾µ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Òº Ç ÓÒÙ Ø Ö Þ Ð ÓÑÓ ÔÓ Þ Ð ØÙ ÔÓÐÒ ØÓÖ Ú Ð È Ö Ú ÐÓÚ ÒØ Ø Ø º ÁÞ Þ ÐÓ Ó Þ ÓÖ ØÒÓ ÓÑÓ ÔÓÐ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f : [, π] R ÓÔ ÞÓÚ Ð ØÙ Ò ÒÓ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò f : R R ØÓÖ f [,π(t : f(t Ò f(t + π f(tº ½¼

12 f t in f t Π 8Π 6Π 4Π Π Π 4Π 6Π 8Π Π ËÐ ÙÒ f : [, π] R f(t : t Ò Ò ÒÓ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò f : R Rº Ö f( f(π ÑÓÖ ÑÓ Ò ÔÖ f Ú ØÓ x π Ö Ò Ö Ø Þ f(π : f( Ú Ò ÔÖÓØÒ Ñ f Ò Ñ Ô Ö Ó Ò Ò Ð Ú Ò µº Ê Ò Ö Ò ÙÒ Ú ÒÓ ÔÖ Ø ÚÐ Ø Ú ØÓÖ ÓØ ÔÖÚÓØÒ º Æ Ó f : R R; f(x + π f(x Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ô Ö Ó Ò ÙÒ ØÓÖ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f : [, π] Rµº Ò Ö ÑÓ Ø Ú Ð : f, π e π k : f, e k π π b k : f, e k π π f(t dt f(t cos(kt dt f(t sin(kt dt (k N\{} (k N\{}, µ ÓÑÓ Ñ ÒÓÚ Ð ÓÙÖ ÖÓÚ Ó ÒØ ÙÒ fº ÁÞ Ø Ø Ú Ð Ó Ð Ù ÑÓ Þ ÔÓÖ ÐÒ Ú ÓØ n s n (x : + k cos(kx + b k sin(kx. Ã Þ ÔÓÖ s n (x ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(x ÈÖ Ø Ö Ö ÙÑ ÒØ x ÁÞÖ ¾¼º f ÞÚ ÞÒ Ú ØÓ x x Ò Ñ Ú Ø ØÓ ØÙ Ð Ú Ø Ö Ò Ó ÚÓ f(x lim n s n (x + k cos(kx + b k sin(kx ÇÔÓÑ ¾½º ÙÒ f Ò ÞÚ ÞÒ Ú x x Ñ Ô Ð Ú Ò Ò ÔÓ ÔÐÓ Ò Ó ÚÓ ÔÓ Þ Ø + k cos(kx + b k sin(kx f(x + f(x +. ÇÔÓÑ ¾¾º Î ÓØÓ + k cos(kx+b k sin(kx Ñ ÒÙ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ÙÒ fº ÈÖ Ó ÞÓÑ Ó Ð ÑÓ Ò Þ Ð ½½

13 Ð ¾ º Ê ÞÚ ÑÓ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò ÙÒ f(t : t Ú ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π]º Æ ÔÖ k π t cos(kt dt. ÌÓ ÒØ Ö Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ØÖ Ò Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ ØÓÖ k º ÁÞ Ø Ö ÞÐÓ Ó ÑÓ ØÙ º Ê ÙÒ ÑÓ ÑÓÖ ÑÓ Ð b k b k π t sin(kt dt Ô Ö Ô ÖØ ( sin(kt π k ÍÔÓ Ø Ú ÑÓ sin π sin(π,... ÓÞ ÖÓÑ t cos(kt π sin(kπ kπ cos(kπ k t k π sin(kπ, Ø Ö cos π ( cos(π cos(3π... ÓÞ ÖÓÑ cos(kπ ( k, Ô Ò Þ b k ÔÓÐ Ô Ú b k ( k+ º ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Þ f(t t ØÓÖ k ( k+ sin(kt k µ à ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(t ÁÞÖ ÔÖ Ú Þ Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ t t ÙÒ f(t ÞÚ ÞÒ Ò Ñ Ð Ú Ò Ò Ó ÚÓ º ÌÓ f(t ÞÚ ÞÒ ÐÓ Ó Ú Ð Ú µ ÔÓÚ Ó Þ Þ ÑÓ ØÓ {±π, ±3π, ±5π,... } Ö Ñ Ó ÔÖ Ñº Ð Ó ¾º¾ µ ÌÓÖ ÚÖ Ø µ ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(t Þ Ú t Ö Þ Ò Þ t ±π, ±3π, ±5π,... º Ã Ô µ ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(t t ÈÖ Ú ÓØÓÚÓ Ò ÞÚ Ò ÒØ ÖÚ Ð [, π] Ø Ø Ñ Ú ÑÙ ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ Ô Ö Ó Ò ÑÙ Ò Ð Ú Ò Ù f ÙÒ fº Æ ÒØ ÖÚ ÐÙ (, π Ô f Ò f(t t Ù Ñ Ø º ÌÓÖ t ( k+ sin(kt, k Ò Ò Ú Ð Þ Ú t (, π Ø Ö Ò Ö ÖÙ Æ ÐÓ ¾ º Î Ø Ú t : π/4 Ò ÞÔ Ð Ä Ò Þ ÚÓ Ú ÓØÓ ( k+ k ( k+ k + π 4. ½¾

14 k Sin k x k k 3 k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k k Sin k x k k ËÐ ÈÖÚ Ø ÐÒ Ú ÓØ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Þ ÙÒ Ó f(t t ½

15 ÈÖ Ó ÞÙ Ø ÞÖ Ò Ñ Ó Ú ÔÓÑÓ Ø Ð Þ Ò Ñ Ú Ð Ñ Ä Ñ ¾ Ê Ñ ÒÒµº f : [, b] R Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ˆ b lim p f(t sin(pt dt lim p ˆ b f(t cos(pt dt. Ö Ò Ó Þ º ÐÓ ÔÖ ÔÖÓ ØÓ Ú ÒÓ Ð Ñ Ö ÞÙÑ Ø ÓÑ ØÖ Ó f t Cos 3 t.5 f t Cos 6 t.5 f t Cos 5 t.5 f t Cos t.5 f t Cos 4 t.5 f t Cos 7 t.5 f t Cos t.5 f t Cos t.5 f t Cos 5 t.5 f t Cos t.5 f t Cos t.5 f t ËÐ Ö Ò Ó Þ Ê Ñ ÒÒÓÚ Ð Ñ º ÁÒØ Ö Ð ÙÒ f(tcospt ÔÖ ÞÒ Ò ÔÐÓ Ò º Æ Ú Ó Ð Þ Ö Ó ÔÖ Þ Ò ÔÓÞ Ø ÚÒÓ ÔÖ ÞÒ Ò ÔÐÓ Ò Þ ÑÓ ÖÓ b Ô Ò Ø ÚÒÓ ÔÖ ÞÒ Ò º Ç ÔÐÓ Ò Ø ÑÓ Ô Ó ÑÓ f(tcos(ptdtº Ú Ó ÔÐÓ Ò Ø Ø Ú ÓØ ÑÓ ØÙ ØÖ Ð º p ½

16 Ö Ò Ó Þ Ú Ò ÔÖ Ú Ó Þº Æ ÐÓ ¾ º ÈÓ Ù Ò Ô Ø ÓÖ Ø Ò Ó Þº Ê Ø Úº Ó Þ Ð ÓÑÓ Ð ÔÖÚÓ Ò Ó Ø ÖÙ Þ ÐÓ ÔÓ Ó Ò º Ó Þ ÔÖ ÔÖÓ Ø f(t c constº Æ ÑÖ Ø ˆ b f(t sin(pt dt c ˆ b sin(pt dt c cos(p cos(bp. p âø Ú Ò Ò ØÖ Ò ÓÑ Ò cos(p cos(bp ØÓÖ Þ p ÙÐÓÑ Ö Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓØ º Ó Þ Ú ÒÓ ÔÖ ÔÖÓ Ø f ØÓÔÒ Ø ÙÒ º Ë Ø Ñ Ñ Ð ÑÓ ÒØ ÖÚ Ð [, b] Ö ÞÔ Ò ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ [, b] [x, x ] [x, x ] [x n, x n ] Ò Ò Ú Ñ Ó Ø ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ f [xi,x i ](t c i const ÓÒ Ø ÒØ º c c 4 c - c - ËÐ ËØÓÔÒ Ø ÙÒ Ò [ 3, ] Æ ÑÖ b x + x x + + b x n ØÓÖ ˆ b x x f(t sin(pt dt c ˆ sin(pt dt + c ˆ sin(pt dt + + c n x ˆ b x n sin(pt dt. ÈÓ Þ ÓÖÒ Ñ Ö ÞÑ Ð Ù Ú ÔÓ Ñ ÞÒ ÙÑ Ò ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ Ó Ö p º Ò ÑÓ f : [, b] R ÞÚ ÞÒ º Ì Ò Þ ÔÖØ Ñ ÓÑ Ò Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ [, b] ØÙ Ò ÓÑ ÖÒÓ ÞÚ ÞÒ º ØÓÖ ÔÓÐ Ù ÒÓ Þ Ö ÑÓ ε > Ð Ó Ò ÑÓ Ø δ > f(x f(y < b ε Ð x y < δ Ò x, y [, b]º Ë Ô ÒØ ÖÚ Ð [, b] Ö Þ Ð ÑÓ Ò ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ [, b] [x, x ] [x n, x n ]; ½

17 Ú Ò Ñ Ö ÒÓ Ò Ú δº Ó St ε (t ØÓÔÒ Ø ÙÒ Ø º ÓÒ Ø ÒØÒ Ò Ú Ñ Ó Ø ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ Ò Ö ÑÓ Ó Þ Þ Ø ÚÓ St ε (t : f(x i const t [x i, x i ]º ØÙ y Ð ö Ò Ø Ñ ÔÓ ÒØ ÖÚ Ð Ù x i y < δ Ò ØÓÖ ØÙ St ε (y f(y f(x i f(y < ε b. ÌÓ ØÓ Ó ÒÓ Ð Ó Ò Ö ÑÓ Þ Ú y [, b]º Ë ÔÖ Ú Ò ØÓÔÒ Ø ÙÒ Þ ÐÓ Ñ ÐÓ Ö ÞÐ Ù Ó f(tº ÌÓÖ ˆ b ËÐ ÔÖÓ Ñ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f ØÓÔÒ ØÓ ÙÒ Ó St ε ˆ b f(t sin(pt dt f(t St ε (t sin(pt dt + ˆ b ε ˆ b dt + St b ε (t sin(pt dt. ˆ b St ε (t sin(pt dt ÈÖÚ ÙÑ Ò Ñ Ò Ó ε Ò Ð Ò ØÓ Ò pº ÖÙ ÙÑ Ò Ô ö Ú ÑÓ Ó Þ ÓÖ Ö ÔÖÓØ Ò Ó p º Æ Þ Ò f Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÒØ ÖÚ Ð [, b] Ö Þ Ð ÑÓ Ò ÔÓ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ô f ÞÚ ÞÒ Ò Ò Ú Ñ Ó Ò ÔÓÒÓÚ ÑÓ Þ ÓÖÒ Ö ÙÑ ÒØ º Ä Ñ ¾ º Ú Ó Ö ÐÒÓ Ø Ú ÐÓ α Ò Ú Ö ØÒ π Ú Ð Ò Ó Ø n + cos(kα sin( (n + α sin α Ó Þº Æ ÔÖ ÙÔÓ Ø Ú ÑÓ sin y cosx /(sin(x+y sin(x yº Þ ÔÓÖ ÒÓ ÙÔÓÖ Ó Ó ÑÓ sin α ( ( (sin 3α cosα + cos α + + cos(nα sin α ( 5α + sin sin 3α ( sin((n + α sin((n α ( sin((n + α sin α Ð ÑÓ sin α Ò Ó ØÖ Ò ÔÖ Ø ÑÓ Ô Ó ÑÓ Ò Ö ÞÙÐØ Øº ½

18 Ä Ñ ¾ º Ú Ò x x Ú Ð f(x π ˆ f(x sin( (n + s sin s ds π f(x sin( (n + s sin s ds. µ Ó ÒØ Ö Ð Ø ÑÓ Ó ÑÓ ØÙ f(x f(x + f(x π f(x sin( (n + s sin s ds. µ Ó Þº âø Ú ÐÓ f(x Ð Ó ÞÔÓ Ø Ú ÑÓ Ø º Ò ÑÓ Ú Ò µ Þ Ó ÒØ Ö ÐÓÚº ÈÓ ÔÖ Ò Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ò Ò g(s : sin((n+ s / + n sin s cos(ksº ÈÖ ÒØ Ö Ö Ò Ù ÔÓ s [, ] Ú Ð Ò ÞÒ Ó Ð ÔÖÚ ÔÖ Ò ds π ˆ ( / + π n cos(ks ds ˆ / ds + π n / + n π sin(ks k ˆ cos(ks ds π s / + n /, ÔÓ Ó ÒÓ Ú Ð Þ ÒØ Ö Ó ÔÓ s [,π]µº Ë Ú ÙÔ ÔÓÑÒÓö ÑÓ Ø Ú ÐÓÑ f(x Ô Ñ ÑÓ Ð ÑÓ Ó Þ ÒÓº Ä Ñ ¾ º Ò ÑÓ F(t+π F(t Ô Ö Ó Ò Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ º Ì x F(t dt x F(t dt; (x R. Ó Þº Ç Ú ÑÓ ÙÒ Ó G(x : x x ˆ x F(t dt ˆ F(t dt + x x F(t dt + F(t dt; x F(t dt Ô Ó ÑÓ G (x F( x d( x + F(π x d(π x F( x F(π x dx dx π F( x F(π x π º ÌÓÖ G(x const G( F(t dtº ½

19 Ó Þ ÞÖ º ÙÒ Ó s n (x Þ Ô ÑÓ Ò ÓÐ Ó s n (x { ˆ }}{ π π f(t dt + π π π { n ˆ }}{{ π ˆ }}{ π cos(kx f(t cos(kt dt + sin(kx f(t sin(kt dt π π n f(t cos(kx cos(kt dt + f(t sin(kx sin(kt dt f(t dt + π k ( n {}}{ + cos(kx cos(kt + sin(kx sin(kt f(t dt ( + n cos(k(t x ˆ π sin ( (n + cos(k(t x f(t (t x dt f(t π sin t x dt Ö ÑÓ Ú µ ÙÔÓ Ø Ú Ð Ð ÑÓ ¾ º ÈÓ Ù Ø ØÙ t : s + x Ò Ñ ÒØ Ö Ð ÔÖ Ú s n (x x ( sin (n + s f(s π x sin s + x ds ÌÓ ÒØ Ö Ò Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ô Ö Ó Ó πº ÌÓÖ Ð Ó Þ Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÖÚ Ð [ x, π x ] Þ ÒØ ÖÚ ÐÓÑ [, π]º Ó ÑÓ s n (x π sin ( (n + s sin s f(s + x ds. b k µ ÈÖ Ò ÑÓ Ò Ó µ Þ Ð Ñ ¾ Ô Ó ÑÓ s n (x f(x π π π sin ( (n + s sin s sin ( (n + s f(s + x ds π ( f(s + x f(x ds sin s f(s + x f(x s s sin s }{{} :F(s sin ( (n + s sin s sin ( (n + s ds; f(x ds ½¼µ ÙÒ F(s Ò Ú Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÔÖ s º Î Ò Ö Ô ÔÖÚ ØÓÖ ÔÖ s ր ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f (x Ð Ú ÑÙ Ó ÚÓ Ù ÙÒ f Ú ØÓ x µ Ò ÓÒÚ Ö Ö ÔÖ s ց ÔÖÓØ Ò ÑÙ Ó ÚÓ Ù f (x + º ÈÖ ÖÙ Ñ ØÓÖ Ù Ø Ù ØÖ ÞÒ Ð Ñ Ø Ò º ÌÓÖ F(s Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ò [, π] Ò ÔÓ Ê Ñ ÒÒÓÚ Ð Ñ Ò ØÖ Ò Þ Ò Ö Ó Ñ n ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ º Æ ÐÓ ¼º Ò ÑÓ ÙÒ f Ò ÞÚ ÞÒ Ú x x Ñ Ô ØÙ Ð Ú Ò Ò ÔÓ ÔÐÓ Ò Ó ÚÓ º ÈÓ ö Ø + k cos(kx + b k sin(kx f(x + f(x +. Æ Ú Ø Ú ½¼µ ÒØ Ö Ð Ö Þ Ò... ds + π... ds Ò Ò ØÓ Ò Ñ ØÓ Ò µ ÙÔÓÖ Ö µº ½

20 ÓÖÒ ÞÖ ÔÓÚ Þ Ó Ú Ð Ú ÙÒ Þ Ø Ö f(x + π f(xµ Ò Ú Ð ÔÖ Ú Ñ Ö ÙÑ ÒØÙº â ÔÓ Ð ÔÓ ÐÓ Ó ÚÖ Ø Ò Ò ÓÒÚ Ö Ö Ð ÒÔÖº Ò ÓÑ ÖÒÓ Ò ÓÐÙØÒÓº ÌÓ Ú Ð Ú Ú ÔÖ Ñ ÖÙ Ó f Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð Ú º Ë Ø Ñ Ñ ÑÓ Ú Ñ Ð ÙÒ Ó ÞÚ ÞÒ ÔÓÚ Ó Ó Ú Ð Ú Ô ØÙ ÔÓÚ Ó Ö Þ Ò Ú ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ Ó ÒÓÚÒ ÒØ ÖÚ Ð [, π] Ö Ô Ñ Ð Ú Ò Ò Ó ÚÓ ÔÓÐ Ø Ô Þ Ø Ú ÑÓ ØÙ f (x Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ º ÁÞÖ ½º f : R R, f(x + π f(x Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð Ú ÙÒ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø + k cos(kx + b k sin(kx ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(x Ò ÓÑ ÖÒÓ Ò ÓÐÙØÒÓº Ó Þº Ê ÞÚ ÑÓ f (x ÔÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ñ Ø ÑÙ e k π : cos(kt, π A k : f, e k π π f (t cos(kt dt Ô Ö Ô ÖØ f(t cos(kt π π e k : sin(kt π π + k t π º Ó ÑÓ f(tsin(kt dt B k : f e, π k π f (tsin(kt dt Ô Ö Ô ÖØ f(t sin(kt π π k t π f(tcos(kt dt Ö f( f(π ÔÖÚ ÙÑ Ò ÞÒ Ø Ò Ò ÔÓÐ Ô Ø Ú A k B k k π k π f(tsin(kt dt kb k f(t cos(kt dt k k. Ë Ð Ô ÑÓ k cos(kx + b k sin(kx k + b k ( Bk + k + ( Ak + k B k + A k k k k + A k + B k ; ½½µ Ó ½½µ ÑÓ ÔÖ Ð ÙÔÓ Ø Ú Ó Ò Ò Ó Ø αβ α +β ÔÖ β : º ÖÙ ÙÑ Ò Ú ½½µ k Ð Ó Ó Ò ÑÓ Þ ÐÓÚÓ Ò Ò Ó A k + B k f, e k π + f e, π k f, e k + f, e k f º ÌÓÖ π π k cos(kx + b k sin(kx k + A k + B k k + π f <. Ç Ò Ò Ò Ò Ó Ú Ò Ó xº ÌÓÖ ÚÖ Ø ÓÒÚ Ö Ö ÓÐÙØÒÓ ÔÓ Ï Ö ØÖ ÓÚ Ñ Ö Ø Ö Ù Ô ØÙ Ò ÓÑ ÖÒÓº ½

21 ÇÔÓÑ ¾º f : R R, f(x + π f(x Ú Ö Ø ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð Ú Ð Ó ÓÖÒ Ó ÔÖÓ ÙÖÓ ÙÔÓÖ ÑÓ Ò f º ÌÓÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Þ f ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓº ÌÓ Ò Ò Ó ÒØ ÑÓ ö ÞÔ Ð Ð Ú Ó ÞÙ ÔÖ Ò ÞÖ f (t A k cos(kt + B k sin(kt, Ö A k kb k B k k k Ò Ó k, b k ÓÙÖ ÖÓÚ Ó ÒØ ÙÒ f(t Ø f(t + k cos(kt + b k sin(kt. ½¾µ ÈÓ ÖÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÐÒÓ Ó Ú ÑÓ ½¾µ Ô Ó ÑÓ Ö ÚÒÓ Ò ÓÑ ÖÒÓ ÓÒÚ Ö ÒØÒÓµ ÚÖ ØÓ Þ f (tº ÌÓ ÔÓÑ Ñ ÒÓ Ù ÓØÓÚ Ø Ú Þ Ô ÑÓ ÓØ ÔÓ Ð Óº ÈÓ Ð º f Ú Ö Ø ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð Ú ÙÒ Ú Ð Ò f(x + k cos(kx+b x sin(kx ÔÓÚ Ó º ÈÓÐ Ø Ð Ó ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Ð ÒÓÑ Ó Ú ÑÓ Ò Ó Ð Ò ÚÖ Ø Ò ÓÑ ÖÒÓ ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f (xº Ð º ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Þ f(t : t ÑÓ ö ÞÔ Ð Ð t ( k+ sin(kt. k ÌÓ Ø ÚÖ Ø Ò ÑÓÖ ÑÓ Ð ÒÓÑ Ó Ú Ø Ó Ð Ò ÚÖ Ø d ( ( k+ sin(kt k dt ( k+ cos(kt ÔÐÓ Ò ÓÒÚ Ö Ö º Æ ÑÖ Ò Ò Ð Ò u k (t : ( k+ cos(kt Ò Ð Ñ Ø Ö Ó ÔÖÓØ Ò º Ë Ú ØÙ Ò ÑÓÖ ÑÓ Ð Ø Ò ÓÖÒ Ó ÓÔÓÑ Ó Ø Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò f Ò ÞÚ ÞÒÓ ÔÖ Ñº Ð Ó ¾º¾µ Ð ÐÓ Ú Ö Ø ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð ÚÓ ÈÓ Ð º Î ØÓÖ Ø º ÙÒ µ e : t π e k : t cos(kt π Ø Ö e k : t sin(kt π Ó ÃºÇºÆºËº ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñµ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π]º Î Ð Ò Ð Ò È Ö Ú ÐÓÚ ÒØ Ø Ø + Ö Ó k, b k Ø Ú Ð Þ µº k + b k π f : π f(t dt; ¾¼

22 ÐÒ Ó Þº Æ Ó f : [, π] R, f( f(π Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒÓ Ó Ú Ð Ú º Ä Ó Ó Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ù ÑÓ Ó Ò Ö Ò Ò R Ò Ó Ú Ð ÐÓ f(x + π f(xº ÈÓ ÔÖ Ò Ñ ÞÖ Ù ÚÖ Ø s n (x : + n k cos(kx + b k sin(kx π e (t + π n k e k (t + b k e k (t ½ µ ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ ÔÖÓØ f(xº ØÓÖ ÔÖ Ô ÑÓ ε > f(x s n (x < ε x R Ò n > N ε. ½ µ ÍÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó Ù Ý Ë Û ÖÞ ÙÒ ÓÛ Ñ ÑÓ f, f s n, s n f s n, s n + f, f s n f s n s n + f f s n f s n ( s n f + f + f f s n Ö ½ µ f s n : f s n, f s n f(t s n (t dt ε dt πε. ÌÓÖ Ú Ð f, f sn, s n πε ( πε + f ÔÖ Ú Ñ ÓÚÓÐ Ú Ð Ñ n Nº Ã Ö Ô s n Ú ÓØ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ú ØÓÖ Ú e, e k, e k Ð Þ ½ µ Ò ÔÓ È Ø ÓÖÓÚ Ñ ÞÖ Ù Ó Ó Ö ÓÒ ÒÓ Ó ÑÓ s n, s n s n π + π f, f s n, s n f ( π + π n k + b k, n k + b k ( πε πε + f. Æ Ò Ó Ø Ú Ð ØÙ Ú Ð Ñ Ø n Ö Ô Ð Ó ε > ÔÓÐ Ù ÒÓ Ñ Ò Ò Ó Ð Ú ØÖ Ò Ú Ð Ñ Ø n Ò Ò º ÈÓ Ð Ò Ù π Ö Ó ÑÓ ÒÓ + k + b k π f : π f(t dt ¾½

23 Ð º â Ò Ö Ø ÔÓÑÒ ÑÓ Ò ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Þ ÙÒ Ó f(t : tº ÌÓÖ f(t ( k+ sin(ktº ÌÙ k k Ò b k ( k+ º ÈÓ È Ö Ú ÐÓÚ ÒØ Ø Ø k Ô Ó ÑÓ ˆ π t dt b k 4 π k, ÓÞ ÖÓÑ π3 4 3π º Ð ÑÓ Þ 4 Ò ÑÓ ö ÔÖ ÙÐ Ö Ú Ú ÓØ k ¾º ¾º º½ Ð Ù Ò ÔÖ ÔÓÑ ÃÓÑÔÐ Ò Þ Ô k π 6 ÈÓ ÒÓ Ð ÔÓ Ø Þ Ó Ú ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Ó ÒØ k Ò b k Þ ÖÙö ÑÓ Ú ÒÓ ÑÓ ÓÑÔÐ ÒÓ Ø Ú ÐÓ z k : k + ib k Ö i º Ø Ò Þ ØÖØ ÞÚ Ø Ò Ñ Ù Ö Ö ÙÐ Ö Ú ÓÖÑÙÐ cos(kt + i sin(kt e ikt º ÈÓ Ò ÓÑÔÐ ÒÓ Ø Ú ÐÓ z k Þ Ò k Ò Ó z k k + ib k π f(t cos(kt dt + i π f(t sin(kt dt Æ Ð Ò ÓÖ ÓÑÓ ÙØ Ñ Ð Ð Ú Ò Ð Ò Ñ ÔÓ Ð Ú Ù Ó ÓÑÓ Ò Ö Ð ÒØ Ö Ð ÙÒ f : [, b] C Þ ÚÖ ÒÓ ØÑ Ú ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð º Æ ÑÖ Þ Ò ÓÐ Ô Þ ØÖ ØÚ ½ Ð Ó ÓÑÔÐ ÒÓ Ø Ú ÐÓ i Ò ÑÓ ÞÒÓØÖ ÒØ Ö Ð º Ò Ö Ø ØÓ ÓÖÑ ÐÒÓ Ú Ò Ö Þ Ù ØÖ ÞÒ Ñ ÙØ Ñ Ð ØÚ Ñ Ú Ò Ð Ò Ñ ÔÓ Ð Ú Ù ØÓÖ z k k + ib k π π π f(t cos(kt dt + π f(t ( cos(kt + i sin(kt dt f(te ikt dt ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÓÑÓ Ó ÓÑÔ ØÒ Þ Ô Ó ÒØÓÚº ÌÙ ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Ð Ó Þ Ô ÑÓ ÓÐ ÔÖ Ð ÒÓ f(x + k cos(kx + b k sin(kx + + k if(t sin(kt dt ( k ib k (cos(kx + i sin(kx + ( k + ib k (cos(kx i sin(kx z k eikx + z k e ikx z + z k e ikx, ¾¾ j z j e ijx + z k e ikx

24 Ö z + i π f(t cos(t dt + i π f(t sin(t dt π f(tei t dt Ò π π π π π π ÔÓÐ Ø z k π π f(te ikt dt k ib k º Æ ÔÓÞ ÑÓ Ò Ò Ú Ð ÒÙ ÒÓ ÔÖ Ú Ñ x Î Ò Ö ÔÖ Ú ÓØÓÚÓ Ñ ÑÓ Ò Ú Ø Ñ Ö f ÞÚ ÞÒ Ò Ñ Ð Ú» Ò Ó ÚÓ º Æ ÐÓ º Ë ÓÑÔÐ Ò Ñ Þ Ô ÓÑ Þ Ô ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Þ ÙÒ Ó f(t : t Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π]º Ê Ø Úº ÌÓ ÙÒ Ó ÑÓ ö Ö ÞÚ Ð ÔÖ Ñº Ð ¾ º Î ÓÑÔÐ Ò Ñ ÔÓ ØÓÔ ÑÓ Ø ÓÐ z k π π teikt ik f(te ikt dt π π t π te ikt dt e ikt ik πekπi (e kπi kπi eikt π π(ik ÔÓ ÔÖ Ú ÐÙ Ô Ö Ô ÖØ u t dv e ikt dtµº Ã Ö k Z ÙÒ e kt cos(kt+i sin(kt Ô Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ó πº ÌÓÖ e ikπ e ikπ Ò Ø Ñ Þ Ò ÙÑ Ò Ò ÐÒº Ç Ø Ò Ð z k ekπi +e kπi ekπi ( k π º ÈÖ k ÑÓÖ ÑÓ ÒØ Ö Ö Ø z ik ik ik t dt º ÌÓÖ t t k z k e ikt k ( k e ikt ik ( k e ikt + +. ik ÃÓØ ö Ú ÑÓ Ò Ú Ð Þ t (, πº ¾º º¾ Ê ÞÚÓ Ò ÖÙ ÒØ ÖÚ Ð Î ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Ð Ó Ö ÞÚ ÑÓ ØÙ ÙÒ Ø Ö Ô Ö Ó Ö ÞÐ Ò Ó πº Æ ÐÓ º Ò ÑÓ f : [ d, d] Rº ÍÚ ÒÓÚÓ ÙÒ Ó f π : [, π] R Ò Ö ÒÓ Þ f π : t f( π y Ò Ó Ö ÞÚ Ú ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓº Ë ÔÓÒÓÚÒÓ Ù Ø ØÙ Ó d y π x Ó ÓÖÑÙÐÓ d Ö f(x f π (y + d k d b k d ˆ d d ˆ d d ˆ d d f(t dt k cos kπx d + b k f(t cos kπt d dt; k f(t sin kπt d dt; k. sin kπx d, Ë ØÓ ÓÖÑÙÐ Ó Ö ÞÚÓ Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ô Ö Ó Ó dº Á ÒØ Ò ÓÖÑÙÐ Ú Ð ØÙ Þ ÙÒ Ò Ö Ò Ò [, d]º ¾

25 ¾º º Ê ÞÚÓ Ó»Ð ÙÒ ÙÒ f Ó f( t f(t Þ Ú tº Ä Ô f( t f(t Þ Ú tº ÈÖ Ø ÙÒ ÔÓØÖ ÒÓ Ú ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ÓÔÖ Ú Ø Ð ÔÓÐÓÚ Ó Ð º Æ ÐÓ º Ò ÑÓ Ô Ö Ó Ò ÙÒ f Ó º ÈÓ ö Ó b k º ÌÓÖ Þ Ó ÙÒ Ò [, π] Ú Ð Ö ÞÚÓ f(t + k coskt Æ ÐÓ ¼º Ò ÑÓ Ô Ö Ó Ò ÙÒ f Ð º ÈÓ ö Ó k º ÌÓÖ Þ Ð ÙÒ Ò [, π] Ú Ð Ö ÞÚÓ f(t b k sin kt ¾º º ÒÓÐ ÒÓ Ø Ö ÞÚÓ ÈÓ Ó ÒÓ ÓØ Ì ÝÐÓÖ Ú ÚÖ Ø ØÙ ÔÖ ÓÙÖ ÖÓÚ Ú Ð Ó Ó ÒØ k, b k ÒÓÐ Ò º Æ ÐÓ ½º Ò ÑÓ Þ Ú t Ú Ð + k cos(kt + b k sin(kt ã + ã k cos(kt + b k sin(kt, Ò Ó ÚÖ Ø ÓÒÚ Ö Ö Ø Ò ÓÑ ÖÒÓº ÈÓ ö ã k k Ò b k b k º Æ Ú Ø Ó Ø Ù Ó ( ã + ( k ã k cos(kt + (b k b k sin(kt. Æ ØÓ ÔÓÑÒÓö Þ cos(it Ó Ð Ò ÚÖ Ø Ú ÒÓ ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ ØÓÖ Ó Ð Ó Ð ÒÓÑ ÒØ Ö Ö Ò [, π]º Æ Ò Ó º Æ Ð Ú Ô ÒØ Ö Ð ÞÒ Ó Þ Þ ÑÓ π π ( i ã i cos (itdtº Ç Ó Ö i ã i º Ë ÔÓÑÓ Ó Ä Ù ÓÚ ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÖ À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÓÚ ÐÓÚ Ò Ò ¹ Ó Øµ Ð Ó ÔÓ Þ Ð Ø Ð Ô Ú Ð ØÙ ÚÖ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ö Ø Ò ÓÑ ÖÒÓº ÓÚÓÐ ÒÔÖº α i + β i < º ¾º º â Ò Ò ÐÓ Æ ÐÓ ¾º Ó α, ±, ±,... Ö ÐÒÓ Ø Ú ÐÓ Ò ÐÓº ÈÓ Ù ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓ Þ ÙÒ Ó f(x : cos(αx Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π]º ¾

26 Cos ËÐ Æ Ð Ú Ö ÙÒ cosαxº Æ Ò Ô Ò ÒÓ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò Ô Ö Ó Ó π ÓÞÒ ÒÓ Þ Ö Óº Ã Ö f ÞÚ ÞÒ Ò f( f(π ØÙ Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ð Ú Ò ÞÚ ÞÒÓº Ê Ø Úº ÙÒ Ó ØÓÖ b k º Ð Þ k > k f(x cos(kx dx cos(αx cos(kx dx π π cos(α kx + cos(α + kx π α sin(απ cos(kπ, π(α k f(x dx cos(αx dx sin(απ. π π απ ÌÓÖ f(x cos(αx + sin(απ ( απ α α k cos(kx sin(απ απ α cosx α cos(x + α α dx ( sin(α kx + π α k + α sin(απ π α cos(3x α 3 sin(α + kx π α + k x cos(kπ α k cos(kx ± + α( k cos(kx α k... ½ µ Æ ÒØ ÖÚ ÐÙ [, π] ÙÒ f ÞÚ ÞÒ f( f(π Ò Ú Ú ØÓ Ñ Ð Ú ÓÞº Ò Ó ÚÓ º ÌÓÖ ÔÓ ÞÖ Ù ¾¼ Ò Ú ÓÖÒ ÚÖ Ø Ú Ð Þ Ú x [, π]º Æ ÐÓ º Î ÔÖ Ò Ó Ò ÐÓ Ó Ú Ø Ú x π Ò ÔÓÑÓ Ó Ó Ð Ò Ö ÞÙÐØ Ø ÔÖ Ú Ö Ò Ð Ò Ö Þ Ô ÙÒ ÓØ Ò Ò Ò Ô Ö ÐÒ ÙÐÓÑ π ctg(απ α α α + α α + + α α k +... Ê Ø Úº Î ½ µ Ò Ú Ð Þ Ú x [, π]º ÌÓÖ ØÙ ÔÖ x πº Î Ø Ú ÑÓ Ò ¾

27 Ó ÑÓ Ó ÙÔÓ Ø Ú Ò Ù cos(kπ ( k cos(απ sin(απ ( απ α α( sin(απ απ α + α( α α( 3 α 3 ± + ( kα( k α k... α α + α α α α k +... ( α α α + Ð ÑÓ Þ sin(απ απ Ò Ó Ø ÑÓ α Ô ÑÓ Ò ÐÓ Ó Ö Ð º Æ ÐÓ º ÈÓ ö ÙÐ Ö ÚÓ Ò Ó Ø k + π 6 Ê Ø Úº Î ÔÖ Ò Ò ÐÓ Ò Ó ØÖ Ò Ð ÑÓ Þ αº ÔÖ ÑÓ Ó π ctg(απ α α α + α + + α k +... ÈÓ Ï ÖÓÚ Ñ M¹Ø ØÙ ÚÖ Ø Ò Ò ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ Þ α [ /, /] kn+ α k kn+ k < º ÌÓÖ ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ú ØÓ α º Ë ÔÖ Ú π ctg(απ α lim α α lim α α + α + + α k k +... Ä Ñ ØÓ Ò Ð Ú ØÖ Ò Ð Ó ÞÖ ÙÒ ÑÓ ÔÓÑÓ Ó Ä³ÀÓ Ô Ø ÐÓÚ ÔÖ Ú Ð ÙÒ Ó ÔÖ Ó Ð Ù ÑÓ Ú π ctg(απ α παcos(απ sin(απ α α sin(απ º ÈÖ Ô Ö ÚÒÓ π º 6 Æ ÐÓ º Ó ö ( sin x x (x x x x... (x x x π (π (kπ Ê Ø Úº Ò ÑÓ Þ Ò Ó Ø Ó π ctg(απ α α (x x (kπ α + α + + α k +..., ÑÓ Ó ÔÖ Ð Ð Ú ÔÖ Ò Ò ÐÓ º ÎÖ Ø Ò Ò ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒ Þ α < / ØÓÖ Ð Ó Ð ÒÓ ÒØ Ö Ö ÑÓ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ α [, t] Ð t < /º Ó ÑÓ ˆ t π ctg(απ ˆ t α dα α ˆ dα t α + ˆ dα t α + + dα α k +..., ¾

28 ÓÞ ÖÓÑ Ó Ó Ö ( sin(απ t ln απ α ln ( t lim k ln lim ln k ln ( lim k ( t + ln ( t + ln ( t ( ( t ( t ln ( t ( ( t t... ( t k +... k + + ln ( t k ( t k ln ( t k, sin(πt πt ( t k. ÌÓ Ú Ð Þ Ú t [ /, /] Ú ÔÓ Ò Ñ ØÙ Ó Ð t x/πº ÔÓÑÒÓö ÑÓ Þ x Ô ÑÓ ÔÖ sin x x ( x k Î Ø Ú ÑÓ Ò ÑÓ ÙØ Ñ Ð Ð Ð Þ t / ÓÞ ÖÓÑ Þ x π/º Ë Ö ØÚ ÓÑÔÐ Ò Ò Ð Þ Ô ÔÓ Þ Ø Ú Ð Þ Ú Ó ÐÓ ÓÑÔÐ ÒÓµ Ø Ú ÐÓ xº Ê ÞÙÐØ Ø Þ Ò Ñ Ú ÔÖ Ø ÚÐ ÓÖ Þ Ó sin x º Æ ÐÓ º ÁÞÔ Ð Ï ÐÐ ÓÚ ÔÖÓ Ù Ø Æ Ú Ø Î ÔÖ Ò Ó Ò ÐÓ Ó Ú Ø Ú x π º π (k(k (k (k + ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÍÚÓ Ò ÑÓ + k cos(kt+b k sin(kt ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø Ò ÙÒ f(tº Ò ÑÓ f ÓÚÓÐ ÔÓ Ð ÚÒ Ø Ó ÔÖ Ú Ñ Ö ÙÑ ÒØÙ Ò ÚÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ÒÔÖº f Ó Ú Ð Ú ÔÓÚ Ó Ó ØÓ ö Ú Ð ÐÓµº Ì ÙÒ ÑÓÖ Ø ÒÙ ÒÓ Ô Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ó πº ØÓÖ f Ò Ô Ö Ó Ò Ò ÑÓÖ ÑÓ Ö ÞÚ Ø Ú ÓÙÖ ÖÓÚÓ ÚÖ ØÓº Î Ø Ñ ÔÖ Ñ ÖÙ Ð Ó ÔÓÑ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÐÓ ÓÙÖ Ö Ú ÚÖ Ø Þ Ò Ô Ö Ó Ò ÙÒ º Á Ó ØÓ ØÓÖ Ø Ò Ð Ò ¾

29 ÈÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÚÖ Ø ÑÓ ÙÒ f(t ÔÖ Ö Ð Ó ÒØ k : π f(t cos(kt dt π Ò b k : π f(t sin(kt dt Ó ÒØ π Ñ Ð Ò Ó Ø ÖÙ Ò Þ Ö ÒÓ Ø ÚÒ Ô Ò Ö ÑÓ b : µº Æ Ø Ò Ò Ó ÑÓ Þ ÔÓÖ Ó ÒØÓÚ ( k ÓÞº ( b k N k º Ì Ú Þ ÔÓÖ k N Ð Ó Þ ÖÙö ÑÓ Ú Þ ÔÓÖ ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð z k : k + ib k º Î Ó Þ ÔÓÖ ØÓÖ ØÙ Þ ÔÓÖ ( z k ÔÓ Ò ÙÒ Ò Ö ÚÒ k N Ø Ú Ð Ð Ú ÓÑÔÐ Ò º ÌÓÖ z k Ð Ó ÔÖ Ø Ú ÑÓ ÓØ ÚÖ ÒÓ Ø ÓÑÔÐ Ò ÙÒ z : N C ÔÖ Ø Ú ÐÙ k z k z(kº ÈÓ Ó ÒÓ Ò Ö ÑÓ ÔÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ f : R R ÓÑÓ ÔÖ Ö Ð Ò Ó ÓÑÔÐ ÒÓ ÙÒ Ó F(x A(x + ib(x Ñ ÒÓÚ ÒÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÙÒ f Ö A(t : f(t cos(xt dt; B(t : f(t sin(xt dt. ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð Ó f Ð Ó Þ Ô ÑÓ Ú ÓÐ ÓÑÔ ØÒ Ó Ð Ò ÐÓÒ ÑÓ Ò ÙÐ Ö ÚÓ ÓÖÑÙÐÓ e ixt cos(xt + i sin(xt. ÈÓØÖ ÒÓ Ð Ò Ù Ø ÒØ Ö Ö Ò ÙÒ f : R C Þ ÚÖ ÒÓ ØÑ Ú ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð º Ò º ÙÒ f : R C Ö ÑÓ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ø Re f Ò Im f Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ø º Re f Ò Im f Ø ÞÚ ÞÒ Ú Ú ØÓ x R Þ Þ ÑÓ Ú ÑÙ Ø ÚÒÓ ÑÒÓ Ó ØÓ Ö Þ Ø Ð Ö Ô Ó Ø Ð Ú Ò Ò Ð Ñ Ø µº ÁÒØ Ö Ð Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÙÒ f : R C Ò Ö ÑÓ ÓØ f(t dt : (Re f(t dt + i ÇÔÓÑ º Æ Ò ØÖ Ò Ø ÞÐ Ñ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ð Ø º (Re f(t dt : lim b ˆ b (Im f(t dt. (Re f(t dt; ÔÓ Ó ÒÓ ÔÓØÖ ÒÓ Ö ÞÙÑ Ø ØÙ Ñ Ò ÖÒ Ðº Ó Ö ÐÒ Ó Ñ Ò ÖÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ó µ Ò Ø ÒØ Ö ÐÒ ÔÓØ Ñ ÙÒ f(t Ò ÒØ Ö ÐÒ º ÇÔÓÑ º Ò Þ Ò Ñ Þ ÓÐ ÒØ Ö Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [, b] Ò Ö ÑÓ ÓØ ˆ b f(t dt : ˆ b (Ref(t dt + i ˆ b (Im f(t dt. ¾

30 Ð ¼º ÁÒØ Ö Ö ÑÓ ÙÒ Ó e it cos t + i sin t Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ t [, x ] ˆ x e it dt ˆ x cost + i ˆ x sin t sin t x t +i( cost x t sin x i cosx + i i(cos x + i sin x eix i Ê ÞÙÐØ Ø Ø ÓØ ÐÓ Ø Ú ÐÓ i Ö ÐÒÓ ÌÓ Ò Ò Ð Ù Ú Ò Ö Ô Ò Ò Ð Ò Ó Ö ÚÒ Ú Ø Ø Ñ Þ Ò Ð Ú Ó ÚÓ ÓÑÔÐ Ò ÙÒ º ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Þ ÚÖ ÒÓ ØÑ Ú ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð Ñ Þ ÐÓ ÔÓ Ó Ò Ð ØÒÓ Ø ÓØ ÑÓ ö Ú Ò Þ ÒØ Ö Ð Ö ÐÒ ÙÒ ÌÖ Ø Ú ½º Ø f, g : [, b] C Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ú Ð b µ (f + g(t dt b f(t dt + b (g(t dtº µ λ C ÔÓÐ Ù ÒÓ ÓÑÔÐ ÒÓ Ø Ú ÐÓ Ð Ó ÞÔÓ Ø Ú ÑÓ µ Î Ð ØÖ ÓØÒ Ò Ò Ó Ø ˆ b ˆ b λf(t dt λ ˆ b f(t dt. ˆ b f(t dt f(t dt. Æ ÐÓ ¾º ÈÖ Ú Ö Ð ØÒÓ Ø µ µ Ò ÔÓ Ö ÒÓ Þ Ò Þ Ô λ ÓØ Ú ÓØÓ Ö ÐÒ Ò Ñ Ò ÖÒ Ð λ λ + iλ µº Æ ÐÓ º Ë ÔÓÑÓ Ó ØÓ µ Ó ö Ð ØÒÓ Ø µº b Æ Ú Ø ÁÒØ Ö Ð Þ Ô Ú ÔÓÐ ÖÒ Ó Ð f(tdt reiα º ÌÓÖ Ð Ú ØÖ Ò Ò Ò µ Ò b f(tdt r e iα b f(tdt b e iα f(tdt. b Ô Ø e iα b f(tdt Re( e iα f(t dt b f(t dt µ ÁÒ Þ ÓÒ ÒÓ ØÓ Ø Ú ÐÓ Ñ Ò Ó Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒÓ ÙÒ Ó f : R C ÔÖ Ú ÑÓ Ú Ö ØÓÑ ÒØ Ö ÐÒ f(t dt (Re f(t + (Im f(t dt <, Ò ÔÖ Ú ÑÓ ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ØÙ ÙÑ ÐÒ µ f(t dt <. Ë Ô Ð Ó Ò Ô ÑÓ Ó Ð Ù Ð ÒÓ ÓÑÔ ØÒÓ Ó Ð Ó ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ º ÈÖ ÚÞ ÔÖ Ú Ò ÑÓ Ò Ø Ò Ö Ð ÓØ ÔÓ Ó ¾

31 Ò º Ó f : R C ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ º ÙÒ Ó F(y : f(te ity dt Ñ ÒÙ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÙÒ fº ÈÖ Ô Ú ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ f : R C ÔÖ Ö Ò Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð F(y Ô Ñ ÒÙ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ º ÇÞÒ F F(f ÓÞ ÖÓÑ F(y F(f(yº ÌÓÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð Ø º ÙÒ F ÚÖ ÒÓ Ø ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÞÖ ÙÒ Ò Ò ÙÒ fº ÇÔÓÑ º f : R R Ö ÐÒ ÙÒ Ò Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ö ÙÒ ÓØ ÑÓ ö Ò ÔÓÚ Ð Ú ÙÚÓ Ù F(f(y f(te ity dt f(t cos(ty dt + i f(t sin(ty dt. ÌÓ Ð Þ Re ( f(te ity f(t Re(e ity f(t cos(ty Ò ÔÓ Ó ÒÓ Þ Ñ Ò ÖÒ Ðº Æ ÐÓ º Ò ÑÓ f : R C ÙÒ Ð Ú ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð º Ê Þ Ô f(t (Ref(t + i(im f(t Ò Ö ÐÒ Ò Ñ Ò ÖÒ Ð Ò ÔÓ ö Ð º ÙÒ F(f F(Ref + i F(Im f f(t : { ; t ; sicer Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ô ØÙ ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ º ËÐ ½¼ Ö ÙÒ f(tº ÈÓ ÑÓ Ò ÒÓ ÓÙÖ ÖÓÚÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó F(f(y f(te ity dt ˆ e ity dt ˆ ˆ cos(ty dt + i sin(ty dt sin y, y ¼

32 Sin y y ËÐ ½½ Ö Ò Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò º Ñ Ò ÖÒ Ð Ò sin(ty Ð ÙÒ Ó ÒØ Ö Ö ÑÓ Ò Ñ ØÖ Ò Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙº Î ØÓ y ÑÓÖ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÞÖ ÙÒ Ø ÔÓ F(f( f(te it dt f(t dt ˆ dt. ÓÖÒ Ö ÔÖ Ó ÖÓ ÔÖ Ó Ö ÔÐÓ Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ðº Î Ð Ó Ò ÑÖ Ò Ð Ò Ð ØÒÓ Ø Ä Ñ º Ó f : R R ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ Ò F : F(f Ò Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ðº Ì Ú Ð µ F : R C ÙÒ Þ ÚÖ ÒÓ ØÑ Ú ÓÑÔÐ Ò Ø Ú Ð º Ò Ö Ò Þ Ú y Rº µ F(y ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓØ Ó Ö y ± º Æ ÐÓ º Ó ö Ä ÑÓ Ê Ø Úº Ò Ö Ò Þ Ú Ö Ð Ò y Ð Þ ØÚ ÔÖ Ú Ñ y ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð f(teity dt ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö Ð Ò Ò Ø Ñ ØÙ ÓÒÚ Ö ÒØ Òº Ó Þ ÞÚ ÞÒÓ Ø Ô ÙÔÓ Ø Ú ÑÓ lim h e ith ÓÞ ÖÓÑ ε > Þ Ú ÓÚÓÐ Ñ Ò h ÞÔÓÐÒ ÒÓ e ith < εº Ø h Ø F(y + h F(y Ö M f(t dt < º f(t(e it(y+h e ity dt f(t e ith dt e ity f(t e ith dt f(t ε dt Mε, Æ ÐÓ ¼º ÈÓ ö ÒÓ Þ ÐÓ ÔÓÑ Ñ ÒÓ Ð ØÒÓ Ø ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò F Ð Ò ÖÒ ÔÖ Ð Ú Ø º F(f + g F(f + F(g Ò F(λf λf(f Þ λ Cº ÁÞÖ ½º Ò ÑÓ ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ f : R R Ó Ú Ð Ú ÔÓÚ Ó º ØÙ f (t ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ Ú Ð F(f (y iyf(f(y. ½

33 Ó Þº Ç Ð ÑÓ Ö ÐÒ Ð ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Re F(f (y lim b lim b ˆ b f (t cos(ty dt Ô Ö Ô ÖØ f(t cos(ty b + lim y t b ˆ b f(t sin(ty dt ÙÒ cos(by ÓÑ Ò Þ Ñ Ø Ñ Ó ÔÓ Æ ÐÓ ¾ f(± º ØÓ ÞÐ Ñ Ø Ö Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ º Ç Ø Ò Ò Ñ Þ ÓÐ Re F(f (y + lim y b ˆ b f(t sin(ty dt y ÈÓ Ó ÒÓ Ó ÑÓ Þ Ñ Ò ÖÒ Ð Ò Ô ÒÓ Ñ Ð Ö µ Im F(f (y ÖÙö ÑÓ Ó Ó ÙÔ f (t sin(ty dt Ô Ö Ô ÖØ f(t sin(ty dt y Im F(f(y. f(t sin(ty y f(t cos(ty dt y Re F(f(y. t F(f (y ReF(f (y+i Im F(f (y y ( Im F(f(y i Re F(f(y iyf(f(y. Æ ÐÓ ¾º ÈÖ Ú Ö Ñ Ò Ó Ð Ú ÓÖÒ Ñ Ó ÞÙ lim t ± f(t º Æ Ú Ø Ã Ö f ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ØÙ ÒØ Ö ÐÒ º ÌÓÖ Ó Ø ÒØ Ö Ð f (xdx lim t t f (xdx lim t f(t f(º Ã Ö Ô ØÙ f(t ÒØ Ö ÐÒ ÑÓÖ Ø lim t f(t ºµ Ð º ÓÖÒ ÞÖ Ò Ú Ð ÒÙ ÒÓ f Ò Ó Ú Ð Ú Ú ØÓ º ÆÔÖº { ; t f(t : ; sicer Ó Ú Ð Ú ÓÖ ÔÓÚ Ó Þ Þ ÑÓ Ú ØÓ t ±º Æ Ò Ó ÚÓ ÔÓÚ Ó ÖÙ Ô f (t º ÌÓ F(f Ñ Ø Ñ Ó F(f(y sin y/yº Ò ÑÓ ÔÓÞÒ ÑÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÒÔÖº F(y : sin y/yµ Ó Ò Ò ÞÒ Ò ÙÒ ¹ fº Ð ÞÒ Ð ÔÓÚ Ø Ø ÖÓ ÙÒ Ó ÑÓ Ñ Ð Ú Ñ Ð Ç ÓÚÓÖ ÔÓ Ò Ð Ò ÞÖ º ÁÞÖ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÓÖÑÙÐ µº Ó f : R R ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ Ò F(y Ò Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò º f ÞÚ ÞÒ Ú ØÓ x Ò Ñ Ú x Ð Ú Ò Ò Ó ÚÓ Ð Ó ÚÖ ÒÓ Ø f(x Ó ÑÓ Þ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÔÓ ÓÖÑÙÐ f(x lim R π ˆ R ¾ R F(ye ix y dy

34 ÇÔÓÑ º f Ò ÞÚ ÞÒ Ú x Ñ Ô Ð Ú Ò Ò ÔÓ ÔÐÓ Ò Ó ÚÓ Ù ØÖ ÞÒ ÓÖÑÙÐ Ð ˆ f(x + f(x + R lim F(ye ixy dy R π R ÈÖ Ó ÞÓÑ Ó Ð ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ö Þ Ö Ú Ö Ú Ú Ø ÓÖÑÙÐ º Ð º ÁÞÖ ÙÒ ÑÓ g(α : sin y cos(αy y Ñ Ò Ð Ò ÓÐÓ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÙÒ ÈÓÑ ÑÓ Ø ÓÐ ÁÒØ Ö Ò Þ Ô ÑÓ Ñ Ð ÖÙ dy. ˆ R sin y g(α lim cos( αy dy. R R y R siny Ó ÑÓ sin( αy dy ÒØ Ö Ò Ð ÙÒ µ Ò Ó ÑÓ R y ˆ R g(α lim R lim R lim R R ˆ R R ˆ R R sin y y sin y y cos( αy dy ˆ R sin y cos( αy dy + i lim sin( αy dy R R y sin y y e iαy dy ÒÓ Ö ÑÓÖ ÑÓ ÔÓÑÒ Ø sin y/y ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð Ó ÙÒ { f(t : ; t. ; sicer Ä ¹Ø ÞÚ ÞÒ Ò Ó Ú Ð Ú Ú Ú ØÓ Þ Þ ÑÓ t ± Ö Ñ Ó º ÌÓÖ ÞÔÓÐÒ Ù ÔÓ Ó Þ ÓÖÒ ÞÖ sin y cos(αy dy π ; α < /; α ± y ; sicer ÃÓØ ØÖ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÈÖ α : Ó ÑÓ ½ µ sin y y dy π ÓÞ ÖÓÑ sin y y dy π ½ µ Æ Ò Ð Ò Ð Ó Þ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÓÖÑÙÐ º ÍÔÓÖ Ð ÓÑÓ Ò Ð Ò Ó Ð ÑÓ

35 Ä Ñ º Ó f : R R ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ Ò Ò Ñ Ú ØÓ x Ð Ú Ò Ò ÔÓ ÔÐÓ Ò Ó ÚÓ º Ì Ú Ð lim R ˆ lim R f(x + t sin(rt t f(x + t sin(rt t dt π f(x + dt π f(x ½ µ ½ µ Ó Þº Æ ÔÖ ÔÓÑÒ ÑÓ Ò ö ÞÖ ÙÒ Ò ÒØ Ö Ð π sin u u du, Ò Ñ ÔÓ Ù Ø ØÙ u : Rt; du R dt ØÙ R ÔÓÐ Ù ÒÓ ÒÓ ÔÓÞ Ø ÚÒÓ Ø Ú ÐÓµ ÔÖ Ú ˆ π sin Rt dt. t ÈÓÑÒÓö ÑÓ Ó ØÖ Ò ÓÒ Ø ÒØÓ α : f(x + Ò Ó ÑÓ π f(x + f(x + ˆ M f(x + sin Rt t sin Rt t dt dt + ÈÓ Ó ÒÓ Ö Þ Ô ÑÓ Ò Ú Ð ØÙ ÒØ Ö Ð Ú ½ µ f(x + t sin(rt t Ç Ø ÑÓ Ò Ó ÑÓ dt ˆ M f(x + t sin(rt t ( f(x + t f(x + sin(rt dt t ˆ M f(x + t f(x + sin(rt dt + t M dt + M sin Rt f(x + dt t sin Rt f(x + dt t M f(x + t sin(rt t dt. f(x + t sin(rt dt t f(x + sin(rt dt t Ä ÚÓ ØÖ Ò ÑÓ ØÓÖ Ö Þ Ð Ò ØÖ ÒØ Ö Ð Ò Ö Ø Ó I I + I I 3 º Ë ÓÞ ÖÓÑ I M I 3 f(x + f(x + t sin(rt dt t M M sin(rt t dt. M M f(x + t dt M M+x f(u du,

36 Ã Ö Ø Ó ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö ÒØÒ ØÓÖ I ε Ò ØÙ I ε ÔÖ ÓÚÓÐ Ú Ð Ñ Mº ÈÖ ÔÖÚ Ñ ÒØ Ö ÐÙ Ô ÙÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÒ t f(x +t f(x + Ó ÓÑ t ÞÚ ÞÒ ÔÓÚ Ó Ò (, M]º â Ú Ó Ö t ÔÓ Ò Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓØ Ò ÑÙ ÔÓ Ô Ò ÑÙ Ó ÚÓ Ù f D (x º ÌÓÖ Ó Ð Ó Ò Ö ÑÓ ØÙ ÔÖ t Ó Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÔÓÚ Ó Ò [, M]º Ì Ô ÔÓ Ê Ñ ÒÒ Ä Ù ÓÚ Ð Ñ lim R I ÓÞ ÖÓÑ Ó Ò R Ò ÔÖ ØÙ I < εº 3 ÌÓÖ Ñ R ÓÚÓÐ Ú Ð Ú Ð I I + I + I 3 ε + ε + εº ÖÙ Ñ Ñ lim R I º ÈÓ Ó ÒÓ ÔÖ Ú Ö ÑÓ ØÙ Ò Ó ½ µº R Ó Þ ÞÖ º ÁÒØ Ö Ð π R F(ye ix y dy Þ Ô ÑÓ Ñ Ð ÖÙ π ˆ R R F(ye ixy dy π ˆ R dy π π R ˆ R R dy ˆ R y R ( t f(te i(t x y dt f(te ity dt e ixy dy f(t cos((t x y dt + i ˆ R dy f(t sin((t x y dt π R ÙÒ y f(t sin((t x y dt Ð ÒØ Ö Ö ÑÓ Ô Ó Ò Ñ ØÖ Ò Ñ ÒØ Ö¹ Ú ÐÙ [ R, R]º ÁÑ Ò ÖÒ Ð ØÓÖ Ò º ÈÓ Ó ÒÓ Ð Ó Ö ÐÒ Ð Þ Ô ÑÓ ÓØ ˆ R F(ye ixy dy ˆ R dy f(t cos((t x y dt. π R π ÁÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ Ò ÓÐÙØÒÓ f(t cos((t x y dt f(t dt < º ÌÓÖ Ð Ó Þ Ñ Ò ÑÓ ÚÖ ØÒ Ö ÒØ Ö ˆ R F(ye ixy dy π R π π π π t ˆ ˆ R f(tdt cos((t x y dy y f(t sin((t x R t x f(x + u sin(ru u f(x + u sin(ru u dt du du + π f(x + u sin(ru u Ö u : x +tº ÈÖ R Ò Ñ ÔÓ ÔÖ Ò Ð Ñ ÔÖÚ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ö ÔÖÓØ f(x ÖÙ Ô ÔÖÓØ f(x +º f ÞÚ ÞÒ Ú x Ú f(x f(x f(x +º du ÓÙÖ ÖÓÚÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ó ÔÓ ö ÑÓ ØÙ Ò Ð Ò

37 ÁÞÖ º Ø f, g : R C Ú Ö ØÓÑ ÒØ Ö ÐÒ Ò ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ Ú Ð Ò Ð Ò ÒØ Ø Ø f(tg(tdt F(yG(y dy. π ÇÔÓÑ º Î ÔÖ Ñ ÖÙ f g Ó ÑÓ È Ö Ú ÐÓÚÓ Ò Ó Ø f(t dt π F(y dy ÓÔ Ø Ò ÔÖ ÐÙ ØÖ Ö ÑÓ Þ Þ Ð ÓÑ Ð ¼º ÁÞÖ ÙÒ ÑÓ ( sin y dy. ÌÙ ØÙ Þ Ñ Ò Ð Ò ÓÐÓ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÙÒ º F(y : sin y/y ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð Ó ÙÒ { f(t : ; t ; sicer y È Ô Ò ÔÓ È Ö Ú ÐÓÚ Ò Ó Ø ( sin y dy y ˆ F(y dy π f(t dt π dt π. Ó Þ ÞÖ º Ä Þ Ó Ú Ð Ú ÙÒ Ö Ó ÔÓÐ Ø f, g, f, g, f, g ÓÐÙØÒÓ Ò¹ Ø Ö ÐÒ º Î Ø Ñ ÔÖ Ñ ÖÙ Ø F,G ÞÚ ÞÒ ÙÒ Ò Þ Ö F(y : F(f(y ( iy F(f (y Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ A y F(y A ÔÓ ÔÓØÖ Ñ Ð ÔÓÚ ÑÓ A Ó ØÓ ÒÓ ØÙ y G(y Aº Ì Ô ÒÔÖº F(y dy ˆ ˆ ˆ F(y dy + F(y dy + ˆ Ady y + F(y dy + F(y dy Ady dy <, y Ò ÔÓ Ó ÒÓ Þ ÙÒ Ó Gº ÌÓÖ Ø F,G ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ º

38 Ð Þ < R < π ˆ R R F(yG(ydy π π ˆ R R ˆ R R ( F(y g(te ity dt dy ( F(yg(te ity dt dy ˆ R ( π ( g(t R π F(yg(te ity dy dt ˆ R R F(ye ity dy dt; Î Ò ¾¼µ ÑÓ ÙÔÓ Ø Ú Ð ÓÑÔÐ ÒÓ Ø Ú ÐÓ F(y ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ù ÔÓ t Ú ¾½µ Ô ÑÓ Þ Ñ Ò Ð ÚÖ ØÒ Ö ÒØ Ö ÔÖ Ò ÒØ Ö Ð Ø º Ò ÓÚ Ö ÐÒ Ò Ò ÓÚ Ñ Ò ÖÒ Ðµ ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ Æ ÑÖ Þ Ú y Re ( F(yg(te ity F(yg(te ity F(yg(te ity M g(t, Ö M : mx F(y º Ö g(t < Ô ÔÓ Ï Ö ØÖ ÓÚ Ñ M Ø ØÙ ÒØ ¹ Ö Ð Re( F(yg(te ity dt Ö Ò ÓÑ ÖÒÓ ÓÒÚ Ö ÒØ Òº ÈÓ Ó ÒÓ Ð Ô ÑÓ Þ Ñ ¹ Ò ÖÒ Ðº Ã Ö f Ó Ú Ð Ú Ú Ú ØÓ ÔÓ ÓÙÖ ÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÓÖÑÙÐ lim R π ˆ R R F(ye ity dy f(t; Ò Ø Ñ ˆ R F(ye ity dy f(t Ó Ø R (t. π R ÌÓ ÒØ Ö Ð t F(ye ity dy Ø º Ò ÓÚ Ö ÐÒ Ò Ñ Ò ÖÒ Ðµ ÓÒÚ Ö Ö Ò Ó¹ Ñ ÖÒÓ ÒÔÖº ( Re F(ye ity F(y Þ Þ Ø Ô ö Ú ÑÓ F(y dy < º ØÓÖ R ÓÚÓÐ Ú Ð Ó Ø R (t Ñ Ò ÓØ ö Ð ÑÓ Ò Ó Ú ÒÓ Ó ÚÖ ÒÓ Ø Ö ÙÑ ÒØ tº ÌÓÖ ˆ R F(yG(ydy g(t (f(t Ó Ø R (t dt f(tg(tdt g(tó Ø R (t dt π R Ò Þ Ò Ð Ð Ó Ø ÓÐ Ó Ò ÑÓ g(tó Ø R (t dt Î Ð Ñ Ø R ØÓÖ Ó Ø Ò Ð π g(tó Ø R (t dt ε R F(yG(ydy f(tg(tdt g(t dt R. ¾¼µ ¾½µ

39 º¾ ÃÓÒÚÓÐÙ Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Î ÑÓ ö ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Ò ÖÒ ØÓÖ F(f + g F(f + F(gº Ã Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒÓ Ø Æ ÐÓ ½º ÈÓ ö Ò Ú Ð Ú ÒÓ F(f g F(f F(gº Æ Ú Ø ÈÓ ö Þ ÙÒ f(t : sign( t+sign(t Ò g(t : sign(t+ sign(t Ú Ð f(tg(t ÔÓÚ Ó Þ ÒÓ Þ ÑÓ t : Ö f(g( º ÈÓ ÖÙ ØÖ Ò Ô F(f F(g i ( + e iy y 4e iy sin(y y 6 sin (y y È Ô Ú Ð F(f F(g F(f g Ö f g Ò ÒÓÚ ÓÔ Ö Ñ ÙÒ Ñ Ó Ñ ÒÙ ÑÓ ÓÒÚÓÐÙ º ÃÓÒÚÓÐÙ Ó Ú Ó ÓÑ ÞÚ ÞÒ ÓÐÙØÒÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ f, g : R R Ò Ö ÑÓ ÔÖ Ô ÓÑ (f g(x : Ð ¾º ÎÞ Ñ ÑÓ Ò Ó Ø ÖÓ ÞÒ Ò Ó ÃÓÐ Ó ÓÒÚÓÐÙ f f (f f(x f(t : f(x t f(t dt f(x tg(t dt { ; t ; sicer ˆ. f(x t dt ˆ x x+ f(u du, ÔÓ Ù Ø ØÙ x t : u Ø Ö dt duµº ÈÖ ÞÒ ÔÓÖ ÑÓ ÔÖ Ñ Ò ÑÓ ÒØ Ö Ñ (f f(x ˆ x+ x f(u du. Þ ÓÖÒ Ñ x + < Ò ÐÓØÒ Ñ Ó ÑÓ Ù ÒØ Ö f(u º Ë Ð Ô ÑÓ Þ (f f(x Þ x < º ÈÓ Ó ÒÓ ÔÓ Ò Ñ ÔÖ Ú Ð Ø º x > º Ñ Ð Ó ØÒ Ö ÙÒ Ó ÑÓ ; x < x + ; x [, ] (f f(x. x; x [, ] ; x > Æ ÐÓ º Æ Ö Ø Ó ØÒ Ö ÙÒº Æ Ú Ø x [, ] x + < º ËÔÓ Ò Ñ x Ð ö ÔÓ Ö ÔÓÑ Ò Ø f(u Ò Ò ÐÒ Ò Ø Ò Ó Ò u [, x + ] Ò ØÙ ÓÒ Ø ÒØÒÓ Ò º Ô x [, ] Ô Þ ÓÖÒ Ñ ÔÖ Ú Ð Ò f(u Ò Ò ÐÒ Ò Ø Ò Ó Ò u [x, x + ]ºµ

40 f f ËÐ ½¾ Ö ÓÒÚÓÐÙ f f º ÁÞÖ º Î Ð F(f g F(f F(g Ö F(h ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÙÒ hº Ó Þ Ò Ð Ò Ò ØÓÐ Ð ÑÓ Ó Þ Ñ Ò Ú ÚÖ ØÒ Ö ÒØ Ö Ú ÔÓ ÔÐÓ Ò ÒØ Ö Ð ( Ä Ñ º h(t, s dt ds < ÔÓØ Ñ Ð Ó Þ Ñ Ò ÑÓ ÚÖ ØÒ Ö ÒØ ¹ Ö Ø º ( ( h(t, s dt ds h(t, s ds dt Ó Þº Æ ÑÓ ÒÔÖº Ú Ò Ïº ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ 3 rd Ø ÓÒ ØÖº ½ ½ Ô ÔÖ Þ Ø Ú Òº Ç Ó ØÒ ÔÖ ÔÓ Ø Ú ÒÔÖº Ò Þ Ò Ñ Þ ÓÐ Ò Ó Ø ds h(t, s dt dt h(t, s ds, s t t s ÙÒ h(t, s ÞÚ ÞÒ Ò ÒØ Ö Ð F(s : h(t, s dt ÓÞ ÖÓÑ G(t : h(t, s ds ÓÒÚ Ö Ö Ø Ò ÓÑ ÖÒÓ Ú ÒÓ Ô Þ Ø Ú ÑÓ ds s t h(t,s dt < µ Ó Þ Ö ÞÑ ÖÓÑ ÔÖ ÔÖÓ Ø Æ Ö ÑÓ ÔÓÑÓöÒÓ ÙÒ Ó H(s, y : ˆ y h(t, s dt. y Ë Ú H(s, y h(s, t dt h(t, s dt : M(sº ÌÓ ÔÓ ÔÖ ÔÓ Ø Ú M(s ds ds h(t, s dt < º ÈÓ Ï Ö ØÖ ÓÚ Ñ M Ø ØÙ ÒØ Ö Ð s t y s H(s, y ds s ds ˆ y h(t, s dt ÓÒÚ Ö Ö Ò ÓÑ ÖÒÓº ØÓÖ ÔÖ Ô ÑÓ Ò Ø Ò ÒÓ Ø ε > Ó ÔÖ Ò Ñ M sm ds ˆ y h(t, s dt < ε (y [,. ¾¾µ

41 Ã Ö Ó Ø ÒØ Ö Ð ØÓ ÒÓ ØÙ s ds h(t, s dt Ð Ó ÔÓ ÔÓØÖ Ø Ú ÐÓ M ÔÓÚ ÑÓ Ó sm ds h(t, s dt < ε. Ë Ú ¾¾µ Þ Ñ Ò ÑÓ ÚÖ ØÒ Ö ÒØ Ö º ÌÓ Ð Ó ÑÓ ÔÖ ÚÞ Ð Ò ÓÑ ÖÒÓ ÓÒÚ Ö ÒÓ ÒØ Ö Ð G(t : h(t, s dsº Ó ÑÓ ds s h(t, s dt (ˆ M ds s o + o ε. dt h(t, s ds s ( h(t, s dt + o ÌÓ ε > Ð ÔÓÐ Ù Ò Ê ÞÐ Ò Ð Ú ÑÓÖ Ø Ò ˆ M dt h(t, s ds + o s Ó Þ ÞÖ º Ö ÑÓ y y Ò Ó Ð ÑÓ Ø Ú ÐÓ ( I : f(t sg(se ity ds dt t s ( ( f(t sg(s cos(ty ds dt + i f(t sg(s sin(ty ds dt. ¾ µ Ö ( f(t sg(s cos(ty dt ds ( f(u du f(t s g(s dt ds g(s ds <, u:t s dtdu Ò ÔÓ Ó ÒÓ ÔÖ Ñ Ò ÖÒ Ñ ÐÙ Ð Ó Ú ¾ µ Þ Ñ Ò ÑÓ ÚÖ ØÒ Ö ÒØ Ö º ÌÓÖ I ˆ R R ( f(t sg(se ity dt ( g(s ( g(se isy ds f(ue i(u+sy du ds f(ue iuy du }{{} F(f(y ds g(se isy F(f(y ds F(g(y ( g(s ( g(s f(t se ity dt ds f(ue iuy e isy du ds u:t s dtdu g(se isy ds F(f(y F(g(y. ¼

42 Ä Ø Ö ØÙÖ ½ º Ö Ö Å Ø Ñ Ø ÁÁÁ ÍÒ Ú ÖÞ Ú Å Ö ÓÖÙ Å Ö ÓÖ ½ º ¾ Ⱥʺ À ÐÑÓ À Ð ÖØ ËÔ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÓ ËÔÖ Ò Ö ¾Ò Ö Úº Ò ÒÐ Ö º Ø ÓÒ ½ ¾º º ʺ Ð ÙÑ Âº ź Àº ÇÐÑ Ø ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ Ò Ò ÐÝ ÀÓÐ Ò¹ Ý ÁÆ º ÄÓÒ ÓÒ ½ º º Ö Ý ÅÓ ÖÒ Ö ÒØ Ó Ð ÓÑ ØÖÝ Ó ÙÖÚ Ò ÙÖ Û Ø Å Ø Ñ Ø Ê ÈÖ ÄÓÒ ÓÒ ½ º Å ÖØ Ò Åº Ä Ô ÙØÞ Ë Ùѳ ÇÙØÐ Ò Ó Ö ÒØ Ð ÓÑ ØÖÝ Å Ö Û¹À ÐÐ ½ Ø ÓÒ ½ º ƺ ÈÖ Ø Ð ÍÚÓ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÒÓ Ò Ð ÞÓ ¾º Ð Å Ä Ù Ð Ò ½ Ϻ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Å Ö Û¹À ÐÐ Ë Ò» Ò Ò Ö Ò»Å Ø Ø ÓÒ ½ º Ϻ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ º º Ë Û ÖÞ ÔÖ Ø Ò Ö ØÓ Ø Ø ØÐ ÒÓÒ Ð ÅÓ Ù ØÖ Ôº È Âº Å Ø º ÎÓÐÙÑ ½ ÆÙÑ Ö ½ ½ ¼µ ½ ¹¾¼¼º ½¼ ÅÙÖÖ Ý Êº ËÔ Ð Ë Ùѳ ÓÙØÐ Ò Ó Ø ÓÖÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ú Ò ÐÙÐÙ Ë ÙÑ ÈÙ Ð Ò Çº Æ Û ÓÖ ½ º ½½ ź ËÔ Ú ÐÙÐÙ ÓÒ Å Ò ÓÐ Ò Ñ Ò Æ Û ÓÖ ½ º ½¾ Áº Î Ú Î Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ë Ä Ù Ð Ò ½ º ½ º ÃÖ ö Ò Ì Ñ Ð Ö ÐÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ð Þ º Öö ÚÒ Þ ÐÓö ËÐÓÚ Ò Ä Ù¹ Ð Ò ½ ¼º ½