c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2

Transcript

1 Ã Ô Ø Ð Á ÒÐ ØÙÒ ï ½ ÅÓ ÐÐ ÚÓÒ Î ØÓÖÖÙÑ Ò ÁÒ Ñ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Òµ È Ö Ö Ô Ò Ò ÐÒ Û Ö Ô Ð ÞÙÖ Ð Ö ¹ Ò ËØÖÙ ØÙÖ Î ØÓÖÖ ÙÑ º Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ò ØÞ Ò Û Ö Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù º Ò ÈÖÞ ÖÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔØ Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ñ Ø Ñ Ø ØÖ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ Òº ½º½ Î ØÓÖ Ò Ö Ò¹µ Ò Ä Ø Ö ØÙÖ ÃºÈº ÖÓØ Ñ Ý Ö Ò ÐÝØ ÓÑ ØÖ º ÖÙÝØ Ö Î ÖÐ ÖÐ Ò ½ º ÀºÌ ØÞ Ä Ò Ö ÓÑ ØÖ º ÍÌ Î Ò Ò Ó ² ÊÙÔÖ Ø ½ 2 º ÃºÄ ØÛ ² ĺÈÖÓ Ò ÐÝØ ÓÑ ØÖ º Ì Ù Ò Ö Î ÖÐ ËØÙØØ ÖØ ½ ¾º Ö¹ Ö Ü Ù Ä Ò Ö Ð Ö Ùº Ò ÐÝØ ÓÑ ØÖ ËØÙØØ ÖØ ½ Ë ÙÐ Ù µº À ÚÐ À Ò Ä Ò Ö Ð Ö Ö Ì Ò Å Ø Ñ Ø Öº À Ð ÖÑ ÒÒ Î ÖÐ ¾¼¼ µ Ï Ú Ö Ø Ò Û Ö ÙÒØ Ö Ò Ñ Î ØÓÖ Ö Ò Ò Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒµ Ö Ò Ò Eº Î Ö Ò Ò Û Ö ÍÖ Ð ¹ ÙÒ Ð ÔÙÒ Ø Þº º A ÙÒ A B ÙÒ B غµ ÙÖ È Ð Å ½ A A B B ÙÖ ½º½ Î ØÓÖ Ð È Ð Ö Ò Ò Ó Ò È Ð AA BB... Ð ÄÒ ÙÒ Ñ ÐÐ A A ) Ð Ê ØÙÒ º º Ò Ô Ö ÐРе ÙÒ Ð ÇÖ ÒØ ÖÙÒ Û Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ð º Å Ò a ÞÙÑ Ö Å Ò ºÙº ï µ ÐÐ Ö ÞÙ AA Ú ØÓÖ Ð Ò È Ð Ò E Ø Ö Öµ Î ØÓÖ Ö Ò Ò º Ò Î ØÓÖ Ò Ñ Ë ÒÒ Ø Ð Ó Ò Å Ò ÚÓÒ È Ð Òº Â Ö Ö È Ð ÚÓÒ a Ð Ó Ùº º AA µ Û Ö Ê ÔÖ ÒØ ÒØ ÚÓÒ a Ò ÒÒØ ÄÒ Ö ËØÖ AA Ø ÄÒ a ÚÓÒ aº Å Ø Ñ Î ØÓÖ a Ø Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ v a Ú Ö ÙÒ Ò ÙÒ ÙÑ Öغ Ë ÒÙÒ Ò Ø Ö ÈÙÒ Ø O ÍÖ ÔÖÙÒ µ Ò E Ù Û Ðغ  ØÞØ Ø ÑÑØ Ö ÈÙÒ Ø P Ò Ò È Ð OP Ö ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÖØ Î ØÓÖ p Ø ÇÖØ Ú ØÓÖ ÈÙÒ Ø P º ÙÖ ½º¾ ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÙÒ Ö Î ØÓÖ Ò ½ Å Ø M M ÒÒÞ Ò Ò Û Ö È Ò Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ò ÒÙØÞ Ò Û Ö Ù Ö ÙÒ Ë Ú Ö ÐØ Ù Ö Ò ÙÙÒ Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ø ÒÞ Ü Øº ½

2 ÍÑ ÖØ Ø Ö Î ØÓÖ p ÚÓÒ E ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÈÙÒ Ø ÒÑÐ Ò ÔÙÒ Ø Ê ÔÖ Ò¹ Ø ÒØ Ò ÚÓÒ p Ñ Ø Ò Ò ÔÙÒ Ø Oµº Ø Ñ O Ò Û Ö Ò Ò ÙØ ÙÓÖ ÒÙÒ ÞÛ Ò µ Ñ ÈÙÒ Ø P µ Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ v p O Ò P Ö ÖØ µ Ñ ÙÖ OP Ø ÑÑØ Ò Î ØÓÖ pº ÒÑ Ö ÙÒ º Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ ÖØ Ò Ò Ð Ò È Ð Þº º RSµ Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ô Ð R S µ Ö È Ö ÐÐ ÐÓ Ö Ñѹ Ò Øµ º º ½º µº Î ØÓÖ Ò Ð Ò Ð Ó ÒÚ ¹ Ö ÒØ ÙÒØ Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Òº ÍÑ ÖØ Ø ÞÙ ÞÛ Ú ØÓÖ Ð Ò È Ð Ò Ò È Ö¹ ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ò Ò Ò È Ð Ò Ò Ò Ö Ò Ö Öغµ Û Ñ Ø Ò Ò Ø Ò Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Òºµ ÙÖ ½º È Ð ÙÒØ Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ µ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Þ Ò Û Ö ÓÐ Ò Ñ Ö ÙÒ º À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ ÞÛ Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ò Ö Ø Û Ö Ò È Ö ÐРй Ú Ö ÙÒ º ÍÑ ÒÞÙ Ò ØÖ Ò Û Ö Ò Ò Ñ ÈÙÒ ØA Ò ÞÙÖ Ö Ø Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ö Ò Ò Î ØÓÖ a Ò Ò ÔÙÒ Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò Ò ÒÒ Ò Û Ö B Ò B ØÖ Ò Û Ö Ò ÞÙÖ ÞÛ Ø Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö¹ ÙÒ Ö Ò Ò Î ØÓÖ b º Ö Ò ÔÙÒ Ø È Ð Cº Ï Ö Ò Ö Ò AC =: AB+ BC Ö Ò ÔÙÒ Ø ½º È Ð ÑÙ Ð Ñ Ò Ò ÔÙÒ Ø ¾º È Ð Òºµ ÆÙÒ Ø C Ð ÚÓÒ A À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ Ö È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Òº Ö È Ð AC Ò ÖØ Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö¹ ÙÒ v c º ÞÛº ÙÖ ½º À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ ÚÓÒ È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ò Ï Ö Ñ Ò Þ Ò v c ÞÛº Ö ÞÙ Ö Î ØÓÖ c) Ò Ø ÚÓÑ ÈÙÒ Ø A Ò Øº Á Ø Ā ÒÙÒ Ö Ò Ò Û Ø Ö Ö ÈÙÒ Ø ÚÓÒ E Ó ØÖ Ø Ò Û Ö ÞÙÑ È Ð AĀ Î ØÓÖ d Ö Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ v d Ö ÈÙÒ Ø A B C Ò Ā B C Ö º ÙÖ ½º º È Ð Ù Ú ØÓÖ Ð È Ð Ð Ø Û Ö Ò Ø C Ö Ð ÔÙÒ Ø ÚÓÒ Ā À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ ÚÓÒ v a ÙÒ v b º ¾

3 ÙÖ ½º ÍÒ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ Ò Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ö Ù AC ÙÒ Ā C Ú ØÓÖ Ð º Â Ö Ð ÔÙÒ Ø ÒØ Ø Ø Ð Ó ÙÖ ØÖ Ò ÞÙ c Ö Ò Ò Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò Ñ Ø Ò ØÐ ÙÖ È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ v c º Ù ÖÙÒ Ö ÖÐ ÙÒ Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ø ÑÑÙÒ Ñ Ø Ò Ö ÓÖ ÖÒ Ò Ò Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò Ò Ö È Ý Þº º ÃÖ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ ºÙºµ Ò Ö Ò Û Ö ËÙÑÑ ÞÛ Ö Î ØÓÖ Ò a ÙÒ b c = a+b Ñ Ø À Ð Ö Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò AC = AB + BC À Ö Ø A Ð Ö ÈÙÒ Ø ÚÓÒ E ÙÒ AB BC AC Ò Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÚÓÒ a b ÞÛº cº Ø Û Ø Ö Ò ÔÙÒ Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÚÓÒ a Ñ Ø Ñ Ò Ò ÔÙÒ Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÚÓÒ b Ö Ò Ø ÑÑØ Ó Ò È ÐÞÙ ÒØ Ø Ø ËÔ ØÞ Ù Ê Ðµº ÙÖ ½º ÙÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò ÞÛº Ò Ø ÓÒ Ö ËÙÑÑ ÞÛ Ö Î ØÓÖ Ò Ø ÒÒÚÓÐÐ c Ò Ø ÚÓÒ A Ò Øº Ò Û Ö ÚÓÒ Ò Î ØÓÖ Ò ÞÙ Ò ÞÙ Ö Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ò Ö Ï Ö Ò Ò À ÒØ Ö¹ Ò Ò Ö Ù Ö ÖÙÒ ÚÓÒ v a ÙÒ v b Û Ö Ò È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÙØ ÞÙ ÓÖ Ò Ø Ö Î ØÓÖ c Ø Ùº º Ò Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò AC Ø Ö Ò Ø ÚÓÒ A Ò ºÓºµ ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ ÚÓÒ a ÙÒ bº ÒÑ Ö ÙÒ º Û Ò Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ò Ö Ò ÃÖ Ø Ö Ò Ú ØÓÖ ÐÐ ÃÖ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö Ñѵ k res = k +k 2 ÙÖ ½º ÃÖ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ê Ò ØÞ (a+b)+c = a+(b+c) ÓÞ Ø Ú ØÞµ

4 Û ÞÞ Ë ÙÖ ½º ÙÖ ½º ÙÑ ÓÞ Ø Ú ØÞ Ò Ô Ð Ù Ö ÍÑ Ò ÔÖ Ï Ö Ø Øµ Ø Ò Ø Ð Û Ö µëø غ a+b = b+a ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞµ Û ÞÞ ½º ÐÐ a ÙÒ b Ò Ú Ö Ò Ê ØÙÒ ÙÖ ½º ÙÑ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ RS Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ ÚÓÒ a PQ ÙÖ vb Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ð Ò È Ð Ö Øµ ¾º ÐÐ a ÙÒ b Ò Ð Ê ØÙÒ º ØÖ ØÙÒ ÖÐ Ò Û Ö Ñ Ä Ö Ð À ÒÛ ÙØ Ö Ò Û Ö Ó Ú Ö Ò Å Ð Ø Ò Ö a+bº À Ò a ÙÒ b Ð Ê ØÙÒ a bµ Ø Ù a+b Ê ØÙÒ º À Ò a ÙÒ b ÞÙ ØÞÐ Ð ÇÖ ÒØ ÖÙÒ Ó Ù a+b Ö ËÙÑÑ ÒÚ ØÓÖ Ø ÒÒ ÄÒ a + b º ÙÖ ½º½¼ ÙÖ ÇÖ ÒØ ÖÙÒ ËÙÑÑ ÒÚ ØÓÖ Ë Ò a ÙÒ b Ò ØÞÐ ÓÖ ÒØ ÖØ Ó Ø Ñ ÐÐ a > b ÞÛº b > a µ ËÙÑÑ a+b ÙÒ ÇÖ ÒØ ÖÙÒ ÚÓÒ a ÞÛº bµ ÙÒ ÄÒ a b ÞÛº b a µº

5 Ö a > b Ö b > a Ö a = b ÙÖ ½º½¼ ÙÑ ËÙÑÑ ÒÚ ØÓÖ Ô Ð Ö Û Ø Ö Ò ÐÐ Ú Ö Ð Ø Ö ÐÐ a ÙÒ b Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ Ð Ð Ò Ò Ö Ò ØÞÐ ÓÖ ÒØ Öغ ÒÛ Ò¹ ÙÒ Ô Ð Ð ÖÓ Ö ÒØ Ò ØÞØ Ö Ø Ø ÃÖ Ø µº Ø Ð ÒÒ a Ö b ÞÙ Ö Òº Á Ø AB Ê ÔÖ ÒØ ÒØ ÚÓÒ a Ó Ö ÔÖ ÒØ ÖØ BA Ò Î ØÓÖ aº ËÙÑÑ a+( a) Û Ö Ö ÔÖ ÒØ ÖØ ÙÖ È Ð Ö ÓÖÑ AA (= AB + BA) Û Ö Ò¹ ÐÐ Ú ØÓÖ Ð Ò ÒÒ Òº Ö Î ØÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò Ø ÆÙÐÐÚ ØÓÖ o Ö Ø ÄÒ 0 ÙÒ ÙÒ Ò ÖØ Ê ØÙÒ º Ò Ö Ò Ø ÒØÛÓÖØ Ø µ Ö Ï Ø È Ö ÐÐ ÐÚ Ö ÙÒ v o Ù Û v ( a) Ï Ö ÐØ Ò Ø a+( a) = o À Ò a ÙÒ o Ò Ø Ò Ñ Ò Ù ÖÙÒ Ö ÒÐ Ø ÞÙÖ Þ ÒÙÒ Û Ð Ò ÖÛ ÖØ Ø Ì Ø Ð ÐØ c+o = c Ö Ò Î ØÓÖ c Ò E ÙÒ Ù x+a = b ÓÐ Ø x = b a ; ÒÒ Ù x + a = b ÓÐ Ø ÙÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ a Ð ÙÒ (x + a) + ( a) = b + ( a) Ñ Ø Ö ÖÞÙÒ b a = b + ( a) ÙÒ Û Ò (x + a) + ( a) = x + (a + ( a)) = x + o = x Ø Ñ Ò Ø Ò Ä ÙÒ Ñ Ð Øº ÍÑ ÖØ Ø x = b a Ø Ø Ð Ä ÙÒ Û Ñ Ò ÙÖ Ò ØÞ Ò Ú Ö Þ Öغ ËÓ Ð Ò Ð Ó ÓÐ Ð ÙÒ Ò Ð Òº Πк ÙÖ ½º½½ µ ÙÖ ½º½½ ÙÖ Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ x+a = b µ ˹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ë Ð Ö Òµ Ò Þ ÒØÖ ËØÖ ÙÒ Ñ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÚÓÒ 0 Ú Ö Ò Òµ ËØÖ ØÓÖ k ÙÒ Ñ ÒØÖÙÑ Z Ð Ø { Ò È Ð AB Ù Ò Ò } ÞÙ AB Ô Ö ÐÐ Ð Ò È Ð A B Ö k ¹ Ò ÄÒ ÙÒ Ö Ñ ÐÐ k > 0 Ð Ò ÇÖ ÒØ ÖÙÒ º k < 0 ÒØ Ò ØÞØ Ò ÙÑ Ù ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ò ËØÖ Ð Ò ØÞ Ò º ÙÖ ½º½¾ µº Ò Î ØÓÖ Û Ö Ð Ó Þ ÒØÖ Ò ËØÖ ÙÒ Ò Û Ö Ù Ò Ò Ñ Ø ÚÓÑ ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ò Ú Ö ¹ Ò Òµ Î ØÓÖ Ð Øº

6 k > 0 k < 0 ÙÖ ½º½¾ È Ð ÙÒØ Ö Þ ÒØÖ Ò ËØÖ ÙÒ Ò Ñ Ø ËØÖ ØÓÖ k ( ZA = k ZA)º Å Ø ka Þ Ò Ò Û Ö Ò Î ØÓÖ Ö Ð Ê ØÙÒ Û a Ø k ¹ ÄÒ ÙÒ Ö k > 0µ Ð ÞÛº Ö k < 0µ ÒØ Ò ØÞØ ÇÖ ÒØ ÖÙÒ Ò ÓÒ Ö Ø ka = k a º Ô Ð a = a a = ( )a ÙÖ ½º½ Ô Ð ÞÙÖ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ 2a = a+a Ö k = 0 Ò Ö Ò Û Ö 0a = o Ö ÐÐ Î ØÓÖ Ò a ÚÓÒ Eº ÙÖ ½º½ Ô Ð ÞÙÖ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ( 2 )a = ( 2 a) ÓÑ ØÖ µ ÒÛ Ò ÙÒ Ø ÑÑÙÒ Å ØØ ÐÔÙÒ Ø Ò Ö ËØÖ º Ë Ò a ÙÒ b ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò Þ Ðº ÍÖ ÔÖÙÒ Oµ Ö Ò ÔÙÒ Ø A ÙÒ B Ö Ò Ò ËØÖ Ï Ð Ø ÒÒ Ö ÇÖØ Ú ØÓÖ m Å ØØ Ð¹ ÔÙÒ Ø M ÚÓÒ AB Ò Ò ÙÖ ½º½ Å ØØ ÐÔÙÒ Ø Ò Ö ËØÖ AB Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ ÚÓÒ b a Ò Ö ËÔ ØÞ ¹ Ù¹Ê Ðµ AM Ø Ê ÔÖ ÒØ ÒØ ÚÓÒ 2 (b a) Ò Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ Å ØØ ÐÔÙÒ Ø ÙÒ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒµ OM Ð Ó Ê Ô ÒØ ÒØ ÚÓÒ a+ 2 (b a) = a+ 2 b 2 a = 2 (a+b)º Ð Ó m = 2 (a+b). Ò Û Ö Ñ Ø Î ØÓÖ Ò Ö Ò Ø Û Û Ö ÚÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò ÛÓ ÒØ Ò º Ö Ø ÖØ Ø Û Ö ÙÒ Ö ÎÓÖ Ò Ö ÙÖ Ò Æ Û Ö ÐØ Ø ÓÐ Ò Ö Ê ÒÖ ÐÒ k(a+b) = ka+kb ØÖ ÙØ Ú ØÞ ½º Öص

7 Û º Ë Ò BC ÙÒ CA Ê ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÚÓÒ a ÞÛº b ÙÒ Ø BA È Ð ÚÓÒ c = a+b Ó ÐØ Ö Ö Ò Ð Ö ÙÒØ Ö Ò Ö Þ ÒØÖ Ò ËØÖ ÙÒ Ñ Ø ËØÖ ØÓÖ k B C C A B A Ò Ê ÔÖ Ò¹ Ø ÒØ Ò ÚÓÒ ka kb ÞÛº kc ÙÒ Ø k(a + b) = kc = ka+kbº ÙÖ ½º½ ÙÖ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ k (k 2 a) = (k k 2 )a ÍÒÑ ØØ Ð Ö Ù Ö Ò Ø ÓÒ ÒÞÙ Òµº Ñ Ø ÓÞ Ø Ú ØÞµ (k + k 2 )a = k a + k 2 a ØÖ ÙØ Ú ØÞ ¾º Öص Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò Û Ò ÙØÙÒ º (k +k 2 )a ÙÒ k a+k 2 a Ò Ð ÇÖ ÒØ ÖÙÒ Û ÖÙÑ µ ÙÒ ÄÒ k +k 2 a ÐÐÙÒØ Ö ÙÒ Ò Ò Ò ÎÓÖÞ Ò ÚÓÒ k ÙÒ k 2 µº Ï Ø Ö ÓÑ ØÖ ÒÛ Ò ÙÒ Ò µ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ë Ø Ò Ð Ö Ò Ò Ò Ö º Ï Ö Û Ò Ë Ø Ò Ð Ö Ò Ò Ò Ö Ñ Î Ö ÐØÒ 2 : Ø Ð Òº Ï Ö ÛÓÐÐ Ò Ò Ë Ú Ö ÐØ Ú ØÓÖ ÐÐ ÖÐ Ø Òº Ö Ò ÙÖ ÈÙÒ Ø A B C Ñ Ø Ò ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò a b ÞÛº cº F Ö Å ØØ ÐÔÙÒ Ø Ö ËØÖ AB Ñ Ø Ò ÔÙÒ Ø Ò A ÙÒ Bº Ï Ö Ù Ò Ò ÇÖØ Ú ØÓÖ s ÈÙÒ Ø S Ö ËØÖ CF Ñ Î Ö ÐØÒ 2 : Ø Ðغ f = 2 (a+b) ºÓºµ s = f+ 3 (c f) = f+ 3 c 3 f = 2 3 f+ 3 c = 3 (a+b+c). Ö Ò ÝÑÑ ØÖ Ò a b c Ø Ö Ð¹ Ø Ò Û Ö s Ù Ð ÇÖØ Ú ØÓÖ Ö ÈÙÒ Ø Ò Ö Ò Ë Ø Ò Ð Ö Ò Ò Ñ Î Ö ÐØÒ 2 : Ø ¹ Ð Ò ÈÙÒ Ø ÐÐ Ò Ð Ó ÞÙ ÑÑ Ò S Ø Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÐÐ Ö Ö Ë Ø Ò Ð Ö Ò Òº ÙÖ ½º½ ÙÑ Ë Ø Ò Ð Ö Ò Ò¹Ë Ò ØØÔÙÒ Ø µ Ö Ò Ð ÙÒ Ò Á Ø ÚÓÒ Ò Ö Ö Òg Ò ÈÙÒ Ø P Ñ Ø ÇÖØ Ú ØÓÖp ÙÒ Ê ØÙÒ ÙÖ Ò Ò Î ØÓÖf Ò Ê ØÙÒ g ÒÒØ ÒÒ Ø Ö ÈÙÒ Ø X ÚÓÒ g Ò Ò ÇÖØ Ú ØÓÖ x Ö ÓÖÑ x = p+kf Ú ØÓÖ ÐÐ ÈÙÒ ØÖ ØÙÒ Ð ÙÒ µº ÍÑ ÖØ Ð Ø Ö ÓÐ ÈÙÒ Ø Ù gº Ñ Û Û Ö ÒÙØÞØ Ô Ö ÐÐ Ð Î ØÓÖ Ò Ð Ö Î Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò µº Ë Ò ÚÓÒ g ÞÛ ÈÙÒ Ø P Q Ñ Ø ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò p ÙÒ q Ò Ó ÓÐ Ø Ñ Ø f = q p x = p+k(q p) Ú ØÓÖ ÐÐ Û ÔÙÒ Ø Ð ÙÒ µº

8 ÙÖ ½º½ ÙÖ ÈÙÒ Ø¹Ê ØÙÒ ¹ Ð ÙÒ Ò Ö Ö Ò ÙÖ ½º½ ÙÖ Û ÔÙÒ Ø Ð ÙÒ Ò Ö Ö Ò µ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ÎÓÒ Ö Ë ÙÐ Ö Ò Û Ö ÛÓ ÒØ ÈÙÒ Ø ÙÖ ÃÓÓÖ Ò Ø ÒØÙÔ Ð ÖÞÙ Ø ÐÐ Òº ØÞØ Ò Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ Øº ÆÙÒ ÛÓÐÐ Ò Û Ö Î Ö Ò ÙÒ ÞÛ Ò Ñ ÇÖØ ¹µ Î ØÓÖ ÙÒ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò ÈÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Òº ÞÙ Û Ð Ò Û Ö Ò E Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ù Ð Ó Ò ÓÒ Ö ÈÙÒ Ø O E E 2 Ö ÖØ ÐØ OE = = OE 2 ËØÖ Ò Ö ÄÒ ½µ ÙÒ OE OE 2 Ö Ò Ù Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ø Òµº ÆÙÒ Ò e ÙÒ e 2 ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ E ÞÛº E 2 º Ö ÈÙÒ Ø X Ñ Ø Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ¹ Ò Ø Ò (x,x 2 ) Ø ÒÒ Ò ÇÖØ Ú ØÓÖ x = x e + x 2 e 2 ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø Ð¹ ( ) x ÐÙÒ µ ÛÓ Ö Û Ö Ù x = Ö ¹ x 2 e,e 2 Òº Ë ÙÖ ½º½ µ ÙÖ ½º½ à ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ï Ö Ò Ð Ó ÓÐ Ò ÒØ ÔÖ ÙÒ X = (x,x 2 ) x = ( x x 2 ) e,e 2.

9 Ø ÓÒ ( ) Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ( ) x y + = (x x 2 y e +x 2 e 2 )+(y e +y 2 e 2 ) = (x +y )e +(x 2 +y 2 )e 2 = e 2,e 2 e,e 2 ˹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ( ) Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ x k = k(x x e +x 2 e 2 ) = (kx )e +(kx 2 )e 2 = 2 e,e 2 ( ) kx kx 2 e,e 2. ( ) x +y x 2 +y 2 Ë Ö Ò Ë Ò Ê ÒÙÒ Ò Ù ÖÐ Ö Ò Ï Ð Ê Ò ØÞ ÛÙÖ Ò ÒÙØÞØ µ ÒÛ Ò ÙÒ Ô Ðº Ë g Ö Ñ Ø Ò Ò ØØ b ÙÒ ËØ ÙÒ m º Ø ÒÒ ( g ÙÖ Ò ( ÈÙÒ Ø P 0 Ñ Ø ÇÖØ Ú ØÓÖ p = ÙÒ Ø b) m) e,e 2 e,e 2 Ð Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ fº Ú ØÓÖ ÐÐ µ ÈÙÒ ØÖ ¹ ØÙÒ Ð ÙÒ x = p+kf Û Ö ÞÙ ( ( ( x 0 y) b) m) e,e 2 = e,e 2 +k e,e 2, e,e 2 ÛÓÖ Ù x = k ÙÒ y = b +km Ð Ó ÛÓ ÒØ Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ò Ö Ò Ö ÒØÝÔ Ò y = mx+b ÓРغ ÙÖ ½º¾¼ ÙÖ Ö Ò Ð ÙÒ ÒÑ Ö ÙÒ º Ï Ö Ò ÙÒ Ò Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Òغ Ï ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ë Ò Ö Ø Ø Ò ÒÓ Ú ÖÑ Ò Ó Ð Ò ÒÐ ØÖ ØÙÒ Ò Ù Ö Ò Ó Ò ÒÒØ Ò µ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ (O;A,A 2 ) ÞÛº Ö a a 2 Ø ØØ e e 2 Ò Ø ÐÐ Ò ÛÓ ÚÓÒ Ò ÈÙÒ Ø Ò O A A 2 ÒÙÖ ÓÖ ÖØ Û Ö Ò Ø Ù Ò Ö Ö Ò Ð Ò ÞÛº ÚÓÒ a a 2 Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò º ÙÖ ½º¾½ Ù ( ) ÒÒ Ð Ø Ö Î ØÓÖ Ò ÙØ µ Ò Ö ÓÖÑ k x = k a +k 2 a 2 = k 2 a,a 2 Ð Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ a ÙÒ a 2 Ö Òº Ï Ö Ò a ÙÒ a 2 Ô ÒÒ Ò Ò Ù º Ò ÙÒ a ÙÒ a 2 Ò Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÙØ Ø Ò Þ ÙÒ Ö ÓÖÑ a = ka 2 Ó Ö a 2 = ka Ø Ò Ö º Ò Û Ö Ò Ð ØÞØ Ò Ð ÙÒ Ò ÞÙ ÑÑ Ò ÒÒ ÓÖ ÖÒ Û Ö Ö a ÙÒ a 2 Ð ÙÒ x a +x 2 a 2 = o ÙÖ ½º¾½ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Î ØÓÖ ÒÙÖ Ä ÙÒ x = 0 = x 2 غ ÁÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÒ Ò Û Ö a ÙÒ a 2 Ð Ò Ö ÙÒ Ò º ÁÒ ÓÒ Ö Ò e ÙÒ e 2 Ð Ò Ö ÙÒ Ò º µ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Û ÓÑ ØÖ Ö ËØÞ Ñ Ø À Ð Ö Î ØÓÖ¹ Ö ÒÙÒ Ï Ö Ò Ö ÙÖÞ Ù Û Ú Ö Ö Ò Ö ÙÖ Ò Ò ÙÖ Ò Ò ÚÓÒ Ö Ò ËØÖ Ò È Ö ÐÐ Ð Ò ÙÒ Ì Ð Ò ÚÓÒ ËØÖ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ð Òº Ð Ô Ð Û Ð Ò Û Ö ÒÓ Ñ Ð Ò Ë ØÞ Ö Ë Ø Ò Ð Ö Ò Ò Ò Ö Ó Ò Ó Ì ÐÚ Ö ÐØÒ Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù ÞÙ ØÞ Òº µ ÁÒ Ò ÙÖ Ò Ù ØÖ Ø Ò ËØÖ Ò Û Ö Ò Ñ Ø Ò Ö Ò Ø Ò ÇÖ ÒØ ÖÙÒ Ú Ö Ò Ó ÞÙ Î ØÓÖ Ò Ö Ò Ò Û Ö Ò ÒÒº ˺޺ º ÙÖ ½º¾¾ µ

10 ÙÖ ½º¾¾ ÙÓÖ ÒÙÒ ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò Ô Ðº s Ö ÔÖ ÒØ ÖØ ÙÖ k h a c AS t Ö ÔÖ ÒØ ÖØ º ÙÖ AK l AH j CB b AB HS KB HB AC µ Û Ò Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ò Î ØÓÖ Ò a b Û Ö Ò Ù Û Ðغ ÁÑ Ô Ð Ø ÓÒ Ò a ÙÒ b Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ò ºµ Â Ö Î ØÓÖ Ö Ò ÐØ ÒÒ Ð Ä Ò Ö¹ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Î ØÓÖ Ò Ö Ò ÞÙÒ Ø Ñ Ø ÒÙÖ Ñ Ø ÙÒ ÙÒ ÒÒØ Ò ÃÓ Þ ÒØ Òº µ ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò ÓÛ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Þ ÙÒ Ò Û Ö Ò Ð Ð ÙÒ Ò Ö ¹ Òº Ô Ðº h = 2 b l = 2a s = xk t = yj Ñ Ø ÒÓ ÞÙ Ø ÑÑ Ò Ò Ð Ò x yµº Úµ Ò Ø ÐÓ Ò È ÐÞ Û Ö Ò ÙÖ Ð ÙÒ Ò Ù Ö Øº Ô Ðº s = h+t h+j = c k+l = c c = a+b Úµ Ð ÙÒ Ò Û Ö Ò Ù Þ ÙÒ Ò ÞÛ Ò a ÙÒ b Ö ÙÞ Öغ Ô Ðº s = h+t = 2 b+yj = 2 b+y(c h) = 2 b+y(a+b 2 b) = ya+ 2 (y +)b Ò Ö Ö Ø s = xk = x(c l) = x(a+b 2 a) = 2 xa+xbº À Ö Ù Ö ÐØ Ò Û Ö Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÚÓÒ a ÙÒ bµ ÓÖØ ÖØ ( 2 x y)a = [ 2 (y +) x] b. Ú µ a ÙÒ b Ð Ò Ö ÙÒ Ò Ð Ó Ò Ø Ô Ö ÐРе Ò ÓÐ Ø Û Ð Ù Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÓÖÑ ka+mb = o k = m = 0 Ðغ Ô Ðº 2 x y = 0 ÙÒ 2 (y + ) x = 0 Ð Ó y = 2 x ÙÒ x = 2 3 º Ì ÐÚ Ö ÐØÒ Ø Ð : 2 Û ÖÛ ÖØ Øº ½º¾ Î ØÓÖ Ò Ò ÙÒ Ö ÙÑ Ù ÖÙÒ Ò ÚÓÒ ½º½µ µ µ ÐØ Ò Ø Û ÖØÐ Û ÒÒ Ñ Ò Û Ð Ò Ò E ÙÖ Ò ÙÙÒ Ö ÙÑ Ö ØÞغ Ò Î ØÓÖ Ø ÒÒ Ò Å Ò Ú ØÓÖ Ð Ö È Ð Ñ Ê ÙѺ Ö ½¼

11 Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ð Ð Ò Ò Ì Ð Ò µ ÙÒ µ ÜÔÐ Þ Ø Ò Ö ÛÓ Ò 3º ÃÓÓÖ Ò Ø ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ò 3º ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ò Ñ 3º ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø ÑÚ ØÓÖµ ÒÞÙ ÞÓ Ò Û Ö Ò ÑÙº Ö Ê ÙÑ ÐØ Ò Ø ÙÖ 2 Î ØÓÖ Ò ÓÒ ÖÒ Ö Ø ÙÖ Ö Î ØÓÖ Ò a b c Ù Ô ÒÒ Òº Ö a Ò Î Ð ÚÓÒ b Ò ÙÒ c Ò Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ a ÙÒ bº ÙÖ ½º¾ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ Ê ÙÑ ½º Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ò ÐÙÒ Ð Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÓÛÓ Ð ÒÒ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø Ð Ù Ö ÔÖ Ø ÒÛ Ò¹ ÙÒ Ò ÙØ Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐÙÒ º Ï ÚÓÒ Ö Ò ÐÝØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ò ÚÓÒ Ö Û ÒØÐ Ò Ø ÞÙÖ ÒØÛ ÐÙÒ Ö Ì ÓÖ Ö Î ØÓÖÖÙÑ Ù º Ù ÑÑ Ò Ò Û Ö Ò ÔÐ Ù Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ø Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ó Ø ÓÑ ¹ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ð Ò ÞÛº ÙÑ ÖØ ÓÑ ØÖ Ð Ó Ø ÙÖ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ð Òº Ô Ðº µ Ò Ò Ð ÙÒ Ò { 2x +3y = x y = 2 ÒØ ÔÖ Ò Ñ Ð Ò x¹y¹ãóóö Ò ¹ Ø Ò Ý Ø Ñ Ö Ò ÞÛ Ö Ò Ö Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ø Ö Ù Ò ¹ Ö Ò Ð Ø Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x = 7 5 ÙÒ y = 3 5 º Ø ÒÞ Ñ Ò Ñ Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Òº ÙÖ ½º¾ Ö Ô Ä ÙÒ ÞÛ Ö Ð ¹ ÙÒ Ò ½½

12 { 2x +3y = µ Ù 4x +6y = 9 Ö Ò Ò ÓÑ ØÖ Ö ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÞÛ Ô Ö ÐÐ Ð Ö Òº Ö Ò Ò ËØ ÙÒ 2 3 ºµ Ð Ò Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÙØ Ø Ð ¹ ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ä ÙÒ ØÞغ µ ØÖ Ø Ò Û Ö Ä ÙÒ Ò Ö Ð Ò Ö Òµ Ð ÙÒ ÙÖ ½º¾ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Ö ÍÒÐ Ö¹ Ø Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 2x+5y+z = 0, x,y,z Ö ÐÐ. µ Ö ÐÐ Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ò x y z Ð ÙÒ Ó ÔÖ Ò Û Ö ÚÓÒ Ò Ö Ä ÙÒ ÚÓÒ µ ÙÒ Ö Ò Ä ÙÒ ØÖ Ô Ð Ò Ö ÓÖÑ x º Ð ÙÒ µ Ø Ùº º Ä ÙÒ Ò ÐÐ Ñ Ò Ö k 0 Ö k Ö Ðк 2 4 k 2 ÁÒ ÒÐ ÒÙÒ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Û Ö Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Î ØÓÖ Ò Ò Ö Ò Û Ö ÞÙÒ Ø Ò Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÞÛ Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò ÙÒ Ä ÙÒ ØÖ Ô ÐÒ k x y := kx ky z kz Ò Ø ÓÒ Û Ö ÙÖ Ó Ò Ô Ð ÚÓÒ Ä ÙÒ Ò Ò Ð Ø Ø Ö ÓÒ Ø Ú ÐÐ Û ÐÐ Ö¹ Ð º Ï Ö Ö ÐØ Ò Ñ Ø Å Ø Ñ ÌÖ Ô Ð α = 0 Ø Ù kα Ä ÙÒ ØÖ Ô Ð Ö Ö ÐÐ Ð 2 kº Ò ÐÝ Ö Ò Û Ö Ò Û Ö Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ð ÙÒ Ñ Ø kµ Ó Þ Ø ÐÐ Ñ Ò Ö y z Á Ø ξ Ä ÙÒ ÚÓÒ µ Ó Ù kξ. µ Û µ Ö ÒÓ Ò Û Ö Ò Ø ÐÐ Ä ÙÒ Ò Ò Ò Ó Þº º Ò Ø ÓÐ Ö x = 0 y 0 Ø Û Þº º β = 0 ÙÒ ÐÐ Ð Ö Ò Î Ð Ò kβ Ñ Ø k Ö ÐÐ k 0µº ÙÖ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö 5 Ð ÙÒ µ Ñ Ø Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð k Ñ Ò Û Ö Ò ÚÓÒ Ò Ö Ä ÙÒ ÞÙ Ó Ö Ñ Ö Ð Ò Ð µ Ú Ð Òº Ð Ø Ò Ù Ò Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ð ÙÒ Ò ÞÙ ØÖ Ø Òº Ë Ò Ð Ó ξ = x y ÙÒ ξ 2 = x 2 y 2 Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ µ z z 2 ½¾

13 ÐØ ÒÒ 2x + 5y + z = 0 ÙÒ 2x 2 + 5y 2 + z 2 = 0 º Ï Ö Ö Ò ÙÒ Ö ÐØ Ò 2(x +x 2 ) + 5(y +y 2 ) + (z +z 2 ) = 0. Ø Ð Ó Ù x +x 2 y +y 2 Ä ÙÒ ÚÓÒ µº z +z 2 Ú Ö ÒÐ Ø ÙÒ Ò Ò ÐÓ ÞÙÖ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Î ØÓÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÞÛ ¹ Ò Ä ÙÒ ØÖ Ô ÐÒ ÞÙ Ò Ö Ò x y + x 2 y 2 := x +x 2 y +y 2. z z 2 z +z 2 ÁÒ Ö Ë Ö Û ÓÖÑÙÐ ÖØ Ò Û Ö Ð Ó ÓÐ Ò Þ Ø Ë Ò ξ ÙÒ ξ 2 Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ µ Ó Ø Ù ξ + ξ 2 º µ Ì Ø Ò Ø Û µ Û ÒØÐ ÚÓÒ µ Ð Ò Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ö Ø Ë Ø µ Ò µ ÆÙÐÐ Ø Û Ö ÔÖ Ò ÚÓÒ Ò Ö ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ ºµ Å Ø Ò Ä ÙÒ Ò α ÙÒ β ÚÓÒ µ ÓÐ Ø Ù µ ÙÒ µ ÒÙÒ Â Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ hα +kβ h,k Ö ÐÐ Ø Ä ÙÒ ÚÓÒ µº Ë Ò ÐÐ Ä ÙÒ Ò Ö Ò Ð Ä ÙÒ ξ = x ÐØ z = 2x 5y Ð Ó x ξ = y = x y = x 0 +y 0 = x α +y β. 2x 5y 2x 5y 2 5 y z Ñ Ø ÐØ Ä ÙÒ ÚÓÒ µ Ð Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ α ÙÒ β Ö Ø ÐÐ Ò ÙÑ ÖØ Ø Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ä ÙÒ ÚÓÒ µº ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Û Ö x,y,z Ð ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÚÓÒ ÈÙÒ Ø Ò Ò ÙÙÒ Ö ÙÑ Û Ö Ö Ò Ð ÇÖØ Ú ØÓÖ Òµ Ó ÒØ ÔÖ Ø Ò Ñ Ä ÙÒ ØÖ Ô Ð x ÒÙÒ x º ÙÖ ex,ey,ez Ð ÙÒ µ Ø ÑÑØ Ò Î ØÓÖ Ò Ò ÒÒ Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Î ØÓÖ Ò a = 0 2 ÒØ ÔÖ Ø α µ ÙÒ b = 0 ÒØ ÔÖ Ø β µº 5 ex,ey,ez y z y z e x,e y,e z ½

14 ÓÑ ØÖ Ò Ø Ð Ó 2x+5y+z = 0 Ð ÙÒ Ò Ö Ò ÙÖ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ º Ø Ö Þ Ø ÒÐ ¹ Ö Î ØÓÖÖ ÒÙÒ Ø ÓÒ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÁÒØ ÖÔÖ ¹ Ø Ø ÓÒµ Û ÒØÐ ÞÙ ØÖ Ò Ø Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ µ Ò Ò Ö ÞÙ ÓÑÑ Ò º Ò Ø Ñ Ø Þ٠ѹ Ñ Ò Ò Ö Å Ò Ö Ä ÙÒ Ò ÌÖ Ô Ð Û Ò ÓÑ ØÖ Ö Î ¹ ØÓÖ Ú Ö Ðغ ÓÖÑ Ð ÓÑÑØ ÙÖ Å Ð Ø Ò Ö Ò ÐÓ Ò Ë Ö ¹ Û Ò Ö Ò ÐÓ Ò Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÙÒ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÛ ÙÖ ÐØ Ø Ò ÐÓ Ö Ê Ò Ø¹ Þ ÞÙÑ Ù ÖÙ ÙÖ ½º¾ Ò Ò Ð Ä ÙÒ Ò Ö Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ º ÐØ ÒÑÐ Û Ö Ö ÐÐ Ä ÙÒ ØÖ Ô Ð α,β,γµ ÓÛ ÓÞ Ø Ú ØØ Ö Ø ÓÒ (α+β)+γ = α+(β +γ)º Ü Ø ÒÞ Ò ÆÙÐÐ Ð Ñ ÒØ O := 0 0 ØÖ Ú Ð Ä ÙÒ µ Ñ Ø α+o = αº 0 Å Ð Ø ÞÙÖ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ Ù Ñ α Ü Ø ÖØ Ò α Ñ Ø α+( α) = Oº ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ Ö Ø ÓÒ α+β = β +α ÓÞ Ø Ú ØÞ Ö Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ k(hα) = (k h)αº ½º ØÖ ÙØ Ú ØÞ (k +h)α = kα+hαº ¾º ØÖ ÙØ Ú ØÞ k(α+β) = kα+kβº Æ ÙØÖ Ð ØØ Ö Ö ÐÐ Ò α = αº ÍÒØ Ö µ ÙÒ µ Ò Û Ö Ù Ö Ñ Û Ò ËÙÑÑ Ò Ð ÙÒ ÙÒ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ù Ö Å Ò Ö Ä ÙÒ Ò Ö Ù Öغ ÐÐ Ì Ø Ò ÓÛ Ö Ø ÐÐ Ö Ø Ö Ä ÙÒ Ò Ð Ö ÐÐ Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ α ÙÒ β Ò Ò Ö Ò Æ Ö Ð Ò Ö Å Ð Ø Ä ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ Ð Ò Ñ Ê ÙÑ ÖÞÙ Ø ÐÐ Òº ½

15 Ö ÒÞÙÒ ÞÙ ½º¾µ ² ½º µ µ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø Ë Ò e e 2 e 3 Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ê ÙÑ Ò x = x ÙÒ y = y e,e2,e3 x 2 x 3 y 2 y 3 e,e 2,e 3 Ð Î ØÓÖ Ò Ê ÙÑ º ÒÒ Ò ÖØ Ñ Ò ÒÓÒ µ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø ÚÓÒ x ÙÒ y ÙÖ ½ x y := 3 x i y i. Ù Ò Ê ÒÖ ÐÒ Ø Ñ Ò Ù ½º¾ Ù Ñ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø Ð Ò Û Ö Ù ÓÐ Ò Ö Ù Ù Ò i= ØÖ ÄÒ µ Ò Î ØÓÖ x = x x = x 2 +x2 2 +x2 3 Ò Ö Ò Ø ÑÑÙÒ Ñ Ø e i = ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÄÒ Ö È Ð Î ØÓÖ x µº ¾ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ØØ ÞÛ Ö Î ØÓÖ Ò x y: x y = 0 Ò ÓÒ Ö e i e j Ö i jµº ÒÑ Ö ÙÒ Å Ò ÒÒ Þ Ò µ ÙÖ Ò Ò Ð ÙÒ Ë ÒÙÒ Ð ÙÒ x y = x y cos (x,y) Ðغ a x +a 2 x 2 +a 3 x 3 = b Ò ÛÓ Ò Ø ÐÐ a i ÆÙÐÐ Ò Òº Â Ö Ä ÙÒ x ÓÖ Ò Ò Û Ö Ò ÈÙÒ Ø Ê ÙÑ Ñ Ø ÇÖØ Ú ØÓÖ x = x ÞÙº Ï Ð e,e2,e3 x 2 x 3 Ð Ö Ø ÒÒ Ð ÙÒ ½µ Ë ØÞØ Ñ Ò m = a e,e2,e3 Ó Ð ÙØ Ø ½µ ÒÙÒ m x = bº Ë p = a 2 a 3 p ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÈÙÒ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ½µ Ö ÐÐ Ò ÓÐ Ò ÈÙÒ Ø e,e2,e3 p 2 p 3 Ü Ø ÖØ Û ÖÙÑ µº Ï Ò b = mp ÒÒ p Ö ÐÐØ Ò Ø ÓÒ Ñ ½µ µ Ø Ù ÓÐ Ò Ð ÙÒ ÞÙ ½µ ÕÙ Ú Ð ÒØ x 2 x 3 ½µ m(x p) = 0. ¾µ Å Ø x := x p Ö ÐØ Ò Û Ö m x = 0º ÒÐ Û Ñ Ô Ð ½º µ Ö ÐØ Ñ Ò ÐÐ Ñ Ò Ü Ø Ö Ò ÞÛ Ð Ò Ö ÙÒ Ò µ Î ØÓÖ Ò y y 2 Ö ÖØ my = 0 Ø Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ y = y p Êy + Êy 2 (:= {k y +k 2 y 2 k,k 2 Ê})º Ð Ä ÙÒ Ñ Ò ÚÓÒ ½µ Ö Ø ÒÒ p+êy + Êy 2 Ð Ó Ò Ò E Û Ò m (x p) Ö x ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÈÙÒ Ø ÚÓÒ E Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÞÙ m غ ÆÓÖÑ ÖØ Ñ Ò m ÞÙ n = m m ÄÒ µ Ó ÐØ Ù n(x p) = 0º ½ Þ Ò Ø k i= a i ËÙÑÑ a +a a k º ¾ Û ÙÖ ÞÛ Ñ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ë ØÞ ÚÓÒ ÈÝØ ÓÖ ½

16 ÙÖ Ð ÙÒ n(x p) = 0 Ñ Ø n = Ø Ò Ò Ò Öغ À Ö Ø p ÇÖØ Ú ØÓÖ Ò ÈÙÒ Ø Ö Ò ÓÛ n Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ö Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ö Ù E Ò Ö Ø Ø Ò Ò Ö Òº Ð ÙÒ nx = d Ñ Ø d = np ÞÛº nx d = 0µ Ñ Ø n = Ø À ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ö Ð ÙÒ Ö Ò Eº Ë Ù ÙÖ ½º¾ µ Ô Ðº 3x +2x 2 6x 3 = 27 Ø m = = = 7 ÙÒ À ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ö ÞÙ Ö Ò Ò Ò Ð ¹ ÙÒ Ð ÙØ Ø 3 7 x x x = 0º Ò Ø Ð ÆÓÖÑ Ð ÒÚ ØÓÖ n = º 6 e,e2,e3 ÙÖ ½º¾ ÙÖ À Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ö Ò Ò Ð ÙÒ m(x p) = 0 µ Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Æ Ò Ñ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø Ø ÒÓ Ò Û Ø Ö ÈÖÓ Ù Ø Ð ÙÒ Î ØÓÖ Ò Ê ÙÑ ÚÓÒ ÁÒØ Ö Î ØÓÖÔÖÓ Ù Øº Þ Ð Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÖØ Ñ Ò x y x 2 y 3 x 3 y 2 x y := x 2 y 2 = x 3 y x y 3 x 3 y 3 x y 2 x 2 y e,e2,e3 e,e2,e3 Å Ò ÒÒ Þ Ò x y = 0 Ò Ù Ñ ÐÐ Ö Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÚÓÒ x ÙÒ y ÐØ e,e 2,e 3 Ñ Ò Ö Ò ÐÐ x y Ù Ö ÚÓÒ x ÙÒ y Ù Ô ÒÒØ Ò ÆÙÐÐÔÙÒ Ø Ò Ò Ö Ø Ø Ø x y 0 y x µ µ α y y sinα ÙÖ ½º¾ µ x y Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö ÚÓÒ x ÙÒ y Ù Ô ÒÒØ Ò Ò º µ ÙÑ Ð Ò Ò ÐØ ÚÓÒ x ÙÒ y Ù Ô ÒÒØ Ò È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ º x ½

17 ÄÒ x y Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ Ð Ò Ò ÐØ ÚÓÒ x ÙÒ y Ù Ô ÒÒØ Ò È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø ÒÑÐ x y = x y sin (x,y)º Ë ÙÖ ½º¾ µ Ñ Ø Ø Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ùº º ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ò ÐØ Ò ÆÓÖÑ Ð ÒÚ ØÓÖ Ò ÙÒ Ï Ò Ð Ö Ò ÒÙØÞ Öº ØÙÒ ÓÞ Ø Ú ØÞ ÙÒ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ Ò Ú ÖÐ ØÞØ Ô Ð 0 0 = 0 ( 5) ( 5) = 2 5 Ø Ø Ò Ö Ò Ø ÑÑÙÒ ee2e3 ee2e3 ee2e3 ee2e3 Ñ Ø 2 5 Ò ÆÓÖÑ Ð ÒÚ ØÓÖ Ö ÚÓÒ ee2e3 0 2 ee2e3 ÙÒ ½º µ µ ÙÖ Ð ÙÒ 2x+5y +z = 0 Ö Ò Ò Ò Øº 0 Ù Ô ÒÒØ Ò Ò 5 ee2e3 ½º Ä ÙÒ Ò Ö ÓÑÓ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ï Ö ÙÒØ Ö Ù Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ y (t)+4y(t) = 0 µ y = y(t) Þ Ò Ò Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ y ÞÛ Ñ Ð Ð ØÙÒ ÚÓÒ y Ò t Ó Ø Ù Ð ÿ Ö Ò Û Ö µº ÒÛ Ò ÙÒ Ô Ðº ÍÒ ÑÔ Ø Ö ÖÑÓÒ Ö Ç Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ã ÖÔ Ö Ö Å m = Ò Ò Ö Ö Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò D = 4N/Meter Ø Øº Ö¹ ÙÒ ÌÖ Ø Ö Ø Ò ÒÞ Ò Ù Ò Ã ÖÔ Ö Û Ö Ò Ò ÃÖ Ø º Ö Ù Ð Ò ÙÒ y(t) Ù Ö ÊÙ Ð ÐØ ÒÒ ÞÙ Ñ ØÔÙÒ Ø t Ö Ö ØÖ Ò ÃÖ Ø K = Dy º ÙÖ ½º¾ µ ÙÒ Ñ Ø m y (t) = D y(t). Ò Û Ö t Ò y Ò Å Ø Ö Ò Ó ÐØ µ Ö Å Þ Ð Òº ÎÓÒ Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ò Û Ö ÞÙÒ Ø º Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ µ ¹ ØÞØ Ä ÙÒ Ò º º ÞÛ Ñ Ð Ö ÒÞ Ö Ö Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð ÙÒ Ö ÐÐ Òº ÍÒØ Ö Ò¹ Û Ò ÙÒ Ö Ã ØØ ÒÖ Ð Ú Ö Þ ÖØ Ñ Ò Þº º ÙÒ Ø ÓÒ y Ñ Ø y (t) = sin2t ÙÖ ½º¾ ÃÖ Ø Ù Ð Ò ÙÒ Ù Ö ÊÙ Ð Ò ÓÐ Ä ÙÒ Øº ÍÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ö ÐØ Ò ÖÐ Ò Û Ö ÙÒ Ò Ò ÐÓ ÞÙ ½º µµ Û Û Ö Ò Ò ÐÐ Ù ÒÒØ Ò Ä ÙÒ Ò Ò Ù ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÒ Òº Ë ØÛ y Ò Ä ÙÒ ÒÒ ÓÐ Ø Ù y (t)+4y(t) = 0 ÙÖ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö ÐÐ Ñ k ky (t)+4ky(t) = 0. Þ Ò Ò Û Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ï ÖØ Ö t Ö k¹ Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò Ï ÖØ ÚÓÒ y Ò Ñ Ø ky Ó Ð Ó (ky)(t) := k y(t) ½

18 ÙÒ (ky) (t) = ky (t) Ö ÐÐ t ÐØ ÒÒ Ø Ù ky Ä ÙÒ ÚÓÒ µº ÁÒ ÓÒ Ö Ø k y Ñ Ø (k y )(t) = k sin2t Ò Ä ÙÒ Ö Ö ÐÐ k º ÒÐ Ø y 2 Ñ Ø y 2 (t) = cos2t Ä ÙÒ ÙÒ Ñ Ø Ö Ö ÐÐ k Ù k 2 y 2 Ñ Ø (k 2 y 2 )(t) = k 2 cos2tº Ò ÐÓ ÞÙ ½º µ Ð Ø Ò Ù Ö ËÙÑÑ y ÙÒ y 2 ÞÛ Ö Ä ÙÒ Ò y ÙÒ y 2 ÞÙ ÙÒØ Ö Ù Òº ÞÙ Ò Ö Ò Û Ö ËÙÑÑ ÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò y ÙÒ y 2 ÙÖ (y +y 2 )(t) := y (t)+y 2 (t). ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ð ÙÒ Ò y (t) + 4y (t) = 0 ÙÒ y 2 (t) + 4y 2(t) = 0 ÙÒ ÒÛ Ò ÙÒ Ö Ö ÒØ Ø ÓÒ Ö Ð Ö ËÙÑÑ Ò Ö Ø Ë Ò y y 2 Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ µ Ó Ø Ù y + y 2 Ä ÙÒ º Å Ò Ö Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ µ Ø Ð Ó ÐÓ Ò Þ Ðº ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ñ Ë Ð Ö Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ µ ÙÒ Þ Ðº Ø ÓÒº ÁÒ ÒÛ Ò ÙÒ Ù Ö Ø ÙÒ Ò Ò Ä ÙÒ Ò y (t) = sin2t ÙÒ y 2 (t) = cos2tµ Ö Ø Â Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ y Ñ Ø y(t) = k sin2t+k 2 cos2t k,k 2 Ö ÐÐ ³ËÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ³µ Ø Ä ÙÒ º Ø Ñ Ð ÞÙ Þ Ò Ä ÙÒ ÚÓÒ µ ÓÖÑ Øº ÒÑ Ö ÙÒ ½º ÎÓÖ Ò Ò Ò Ò ÙÒ Ò ÓÒ ÖÒ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ÑÑØ Ò k k Ù Ö Å Ò Ö Ä ÙÒ Ò Ù º Ï Ò y(0) = k 2 ÙÒ y (0) = 2k Û Ö Þº º Ò ÙÒ µ y(0) = 0 ÙÒ y (0) = 0 ÒÙÖ ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ o Ñ Ø o(t) = 0 Ö ÐÐ t ÆÙÐÐ ÙÒ Ø ÓÒµ à ÖÔ Ö Ò ÊÙ Ð µ ÞÛº µ y(0) = 2 ÙÒ y (0) = ÒÙÖ ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ y Ñ Ø y(t) = 2 sin2t+2cos2t = 4 +4sin(2t+ϕ) Ö tanϕ = 4µ ÙÒ ÑÔ Ø ÖÑÓÒ Ë Û Ò ÙÒ µ Ö ÐÐغ ÒÑ Ö ÙÒ ¾º Ï Ö Ú ÖÑ Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÙÒ Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒ Ö Ò Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ µ ÒØ ÔÖ Ò Ê Ò ØÞ Û Ò ÚÓÖ Ö Ò Ô Ð Ò ÐØ Ò Ð Ó ÓÞ Ø Ú ØØ Ö Ø ÓÒ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØØ Ö Ø ÓÒ Ü Ø ÒÞ Ò Ö ÆÙÐÐ Ö ÆÙÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ oµ Ñ Ø f +o = f Å Ð Ø ÞÙÖ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÍÑ ÖÙÒ Ö Ø ÓÒµ Ù f Ò Ö Ò Û Ö f ÙÖ ( f)(t) = f(t) ÒÒ Ø f +( f) = o ÙÒ (g +f)+( f) = gº ÓÞ Ø Ú ØÞ Ö Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ØÖ ÙØ Ú ØÞ Ö Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Û º ÙÒ ÒÑ Ö ÙÒ º Ï Ò Ò ÚÓÖ Ò Ò Ò Ò Ô Ð Ò ÐÐØ Ù ÐÐ ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ò Î ØÓÖ Ò Ð Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ Ò Ò Û Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ð Òº Ò ÓÐ Ö ÖÞ Ù Ò Ò Ø Ò Û ÒØÐ Ö ÙÒ ÔÖ ÒÞ Ô Ö Ð Ò Ö Òµ Ð Ö º ½º Ò Ó Ð ÒÖ ÅÓ Ðе µ Ù ÐÓ Ñ Ù ÐÓ Û Ö Ò Ð Ò Ñ ÒÖ Ý Ø Ñ Ù Ð Ý Ø Ñµ Ö Ø ÐÐغ Ð Ý Ø Ñ Ú ÖÛ Ò Ø Ø ØØ Ö Ð Ò 0 9 Þ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÒÙÖ 0 ÙÒ º Ò ËÝ Ø Ñ Ò Ø ËØ ÐÐÙÒ Ò Ö Ö Ò Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö Ð Ö Ï ÖØ Ø Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ µ Ñ ÒÖ Ý Ø Ñ Ö Ò Ø Ð ÈÓØ ÒÞ Ò ÞÙÖ 0 ÓÒ ÖÒ ÞÙÖ 2º ½

19 Ô Ðº Þ Ñ Ð 00 = Þ Ñ Ð ( ) ÒÖ 00 = Þ Ñ Ð ( ) = Þ Ñ Ð 9º ÓÐ Ò Ì ÐÐ Þ Ø Ö Ø Ò ½¼ Ð Ò Þ Ñ Ð Ù Ð Ù ÐÐ Ò ÞÙ Ï ÖØ ÖÒ Ö ÄÒ 4 Ì ØÖ Òµ Ì ÐÐ ½º½ ÒÖ Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ö Ø Ò ½¼ Ð Ò Ö Ö Ò Ð Ò ÒÒ Ñ Ò ÒØ ÔÖ Ò Ó Ö Ò ÐÓ Ò Ó ÖÙÒ µ Ó Ö Þ Ñ Ð Ø ÐÐ ÒÞ ÐÒ Ó Ö Òº ÒÑ Ö ÙÒ Ò ÐØ Ö ÒÙÖ ÙÑ Ò ÚÓÒ Ú Ð Ò Å Ð Ø Ò Ö ÒÙÑ Ö Ò Ó ÖÙÒ º Ù Ë ÁÁ ¹ Ó ÍÒ Ó ÍÌ ¹ غµº µ Ø Ò ÖØÖ ÙÒ Ö Ø ÖØ Ã ÒÐ ÙÒ ÒÖ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø µ Ô Ð Ò Ö ÖØÖ ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖØ Ò Ã Ò Ð ÙÒ ØÖ» ØÑÓ Ô Ö Ó Ö Ã Ð Å Ò Ø Ò Ð Ö Øºµ Þ Ø ÙÖ ½º ¼º Ã Ò Ð ÙÖ ½º ¼ Ë Ñ Ò ÖØÖ ÙÒ ÝØ Ñ ÙÒ ÖØÖ ÙÒ Ô Ð Ò Ò Ø Æ Ö Ø N = Ç Ç ½ ½ ÑÔ Ò Ò Ë Ò Ð E = Ç Ç ½ Ç Ö Ð ÖÚ ØÓÖ F = Ç Ç Ç ½ º ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ÙÒ Ë Ú Ö ÐØ ØÞ Ò Û Ö N = E F ÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ ÓÐ Ò ÖÑ Ò ÞÙ Ö Ò Ø ¼ ¼=¼ Ò Ð Öµ ½ ¼=½ ¼ ½=½ ½ ½=¼ Ò Ð Öµ Ð Öµ Ð Öµº Ð ØÞØ Ò 4 Î Ö Ò ÖÙÒ Ò Ö Ò Û Ö Ù Ò Ö ÓÖÑ Ò Ö Î Ö Ò Ô ÙÒ Ø Ð Ð Ó Ò Ø Û Ö Û ÒÐ Ò Ø ÓÒ Ñ Ù Ð Ý Ø Ñ + = 0 º º 0 Ñ Ø ÖØÖ º Ø Ò Ë Ù ÙÒØ Ò Ø Ò ÒÑ Ö ÙÒ ÞÙ Ò Ö Ø ÓÒ Ù {u,g} ½

20 ÒÑ Ö ÙÒ Ï Ñ Ò Ø ÙÒ Û Û Ö Û Ø Ö ÙÒØ Ò ÒÓ Ú ÖØ Ò Û Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ö ÒÞ Ð Ö ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ò Ö ËÙÑÑ ÞÙ ÑÑ Òº Á Ø ÒÞ Ð Ó Ò ÒÒØ È Ö Øص Ö Ó Ø ËÙÑÑ 0 Ò ÖÒ ÐÐ º Ö ØÞØ Ñ Ò Ö 0 ÙÖ g Û Ö µ ÙÒ ÙÖ u Û ÙÒ Ö µ Ó Ö Ø Ð Î Ö Ò Ô ÙÒ Ø Ð ÒØ ÔÖ Ø Ò ÒÒØ Ò Ø ÓÒ Ö ÐÒ g u g g u u u g. Ö ÔÐÙ Ö Ö Ö ÔÐÙ ÙÒ Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö ÔÐÙ Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö ÔÐÙ ÙÒ Ö Ö º Ï Ö ÓÑÑ Ò ÞÙ Û Ø Ö Ò Ò Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ù {0,} ÞÛº {g,u}µ Á Ø ÐÓ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÚÓÖ Ö Ö ØÐ Ó Ö ÒÒØ Ñ Ò Ò Ö ËÝÑÑ ØÖ Ö Î Ö Ò Ô ÙÒ Ð Ó ÓÖØ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØØ Ö Ø ÓÒ Ù Æ ÙØÖ Ð ØØ Ö ÆÙÐÐ Ø Ð Ø ÞÙ Ö ÒÒ Òº Â Ð Ñ ÒØ Ø Ò Ò ÁÒÚ Ö º Ë Ð Ð ÐØ ÒÓ ÓÞ Ø Ú ØÞ Û ÙÖ ÈÖ Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò ÐÐ Þ Øº µ Ó ÖÙÒ ÞÙÖ Ð Ö Ö ÒÒÙÒ Å Ø Ñ Ð Ò Ò ÖØÖ ÙÒ Ð Ö ÔÖÓ ÏÓÖØ Ö ÒÒ Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ò Û Ö Ò Ö Ò Ó ¹ Û ÖØ ÖÒ ÒÓ Ò ÃÓÒØÖÓÐÐ ÝÑ ÓÐ ÒÐ Ò ÈÖ Þ ÖÒ ÃÓÒØÓÒÙÑÑ ÖÒµ ÒÞÙº ÒÙØÞ Ò Û Ö Ò Ò ÖØ Ø ÓÒ Ù {0,} ÙÒ Ð Ò ÉÙ Ö ÙÑÑ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÝÑ ÓÐ È ¹ Ö ØØ ÓÒØÖÓÐÐ µ Ò Ø ÐÐ ÚÓÒ a a 2 a 3 a 4 Ò Ò Û Ö a a 2 a 3 a 4 }{{} Ô Ðº Ö 0 0 Ò Ò Û Ö 0 0 0º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ð a a 2 a 3 a }{{} 4 º ÃÓÒØÖÓÐÐÞ Ö ÒÑ Ö ÙÒ º Ù Ö Ò Û Ö Û Ö ÒÙÖ Ò ÚÓÒ Ú Ð Ò Å Ð Ø Ò ÞÙÖ Ó ÖÙÒ Ö Ù ¹ Ö Ò Ö ÒØ ÔÖ Ò Ó Ø È Ö ØØ Ó Ñ Ø ÒÞ Ð Ö Ò Ò Ñ Ó ÛÓÖØ Ö º º ÒÖ ÉÙ Ö ÙÑÑ Ö ËÝÑ ÓÐ Ð 0 a a 2 a 3 a 4 (a a 2 a 3 a 4 ) ÓÞ Ø Ú ØÞ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ = (a a ) (a 2 a 2 ) (a 3 a 3 ) (a 4 a 4 ) Ë Ð Ø ÒÚ Ö = Æ ÙØÖ Ð ØØ Ö 0 = 0 Ó Û ÖØ Ö Ò Ö Ï ÖØ Ö Ö ÓÖÑ a a 2 a 3 a 4 a 5 È Ö ØØ ÓÒØÖÓÐйµ Ð ÙÒ a a 2 a 3 a 4 a 5 = 0 Ö ÐÐ Ò ÙÒ ÙÑ Öصº Ï ÖØ Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ù Ò Ñ Ó ÛÓÖØ Òع Ø Ò Ò ÉÙ Ö ÙÑÑ ÙÒ Ò Ñ Ø Ð Ð Ö Ø ÞÙ Ö ÒÒ Ò Ù Ñ Ø Ñ Ö Ö Ò ËÙÑÑ Ò Ò ¾¼

21 Ô Ðº Ã Ò Ð ÙÖ ½º ½ Ô Ð Ò Ö ÖØÖ ÙÒ Ñ Ø Ð Ö Ö ÒÒÙÒ µ Ï Ø Ö ËØÖÙ ØÙÖ ÖÙÒ Ï Ö Ú ÖÑ Ö Ò Û Ö Ù ÞÛ Ò Ò Ï ÖØ ÖÒ Ö ÄÒ 5 Ù ÆÙÐÐ Ò ÙÒ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ô Ðº E 2 = ¼ ¼ ¼ ½ ¼ F 2 = ¼ ¼ ½ ¼ ¼ N 2 = E 2 F 2 = ¼ ¼ ½ ½ ¼ º ÖØÖ Ò Ú Ð Ö Ê Ò ØÞ Ò ÓÒ Ö ÚÓÒ ÙÒ Ö Ù Ø ÐÐØ Ò ÐÓ ¹ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÓÞ Ø Ú ØÞ Ü Ø ÒÞ Ò Ò ÙØÖ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ö 00000µ Ü Ø ÒÞ Ò ÁÒÚ Ö Ò ÞÙ Ñ ÏÓÖØ Ö ÏÓÖØ Ð Øµ ÙÒ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞº ÖÒ Ö Ø Ñ Ð Ò Ò Ð Ö Ò Ò µ ˹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÞÙ Ò Ö Ò ÙÖ 0 W = ÞÛº W = W Ö Ö ØÖ Ø Ø Ò Ï ÖØ Ö Ïº Ò ÖØ Ñ Ò ÑÓØ Ú ÖØ Ù ÙÖ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÐÒ Ö Ñ Ð Ö Ö Ö Ñ Ð ÙÒ Ö Ö ÙÒ Ö Ñ Ð Ö Ö ÙÒ Ö Ñ Ð ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÞÛ Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò 0( ˆ=g) ÙÒ ( ˆ=u) ÙÖ ÓÐ Ò Î Ö Ò Ô ÙÒ Ø Ð , Ó ÒÒ Ñ Ò Ë¹ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ Ù Ö Òº Ö ÐØ Ò Ò Ö ¹ ÐÓ Ò Ø ÙÒ Ò Ò ØÖ ÙØ Ú ØÞ Ò Ù ÓÞ Ø Ú ØÞ k (l W) = (k l) W. Ñ Ø Ø ÞÙÑ Ò Ø Û Ê Ò ØÞ ØÖ Ø Ò Ò ÐÓ ÞÛ Ò Ö Ò Ò ÐØ Ò ËØÖÙ ØÙÖ ÙÒ Ò ÚÓÖ Ò Ö Ø ÐÐØ Ð Ò Ù Ö Ì Ø Ø Ò Ø ÒÙÒ ÒÞÙ ÓÑÑ Ò Ë Ð Ö Ò Ø Ñ Ö Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ó ÒÓ Ò Ñ Ø Ò Ö Ö Ö ÐÐ Ð Ò ÐØ Ò Ð Ö Ò Ê ÒÖ ÐÒ Ò Òºµ ÒÐ Û Ò ½º µ Ð Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ a a 2 a 3 a 4 a 5 = 0 Ó Û ÖØ Ö a a 2 a 3 a 4 a 5 Ö Ò Ð Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ò Ö Û Ò Ö Ö Ø ÐÐ Òº ÖÞ Ù Ò Ò Þº º Ó Û ÖØ Ö α = 000 α 2 = 000 α 3 = 000 ÙÒ α 4 = 000º Â Ó ÛÓÖØ Ø ÒÒ ÚÓÒ Ö ÓÖÑ k α k 2 α 2 k 3 α 3 k 4 α 4 Ñ Ø k,k 2,k 3,k 4 {0,}. Û Ö Ö Ù Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ó Ò Ô Ð Ö Ù Ø ÐÐØ Ò Ê Ò ØÞ Ö Ò Ð Ö µ ËØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Û ÒØÐ ØÐ Ò Ó Ò Ñ Ò Ñ Ì ÓÖ Ñ Ð ÙÒ ÒÒÚÓÐÐ Û Ö º Ì ÓÖ Ø ØÖ Ø Òµ Î ØÓÖÖ ÙÑ Ù Ð Ò Ö Ö Ê ÙÑ Ò ÒÒص À ÙÔØ Ò Ø Ò ÙÒ Ö Ö ÎÓÖÐ ÙÒ º ¾½

22 È Ö ÐÐ Ð ÞÙ Ñ Ì Ñ Ú Ö Ù Ò Û Ö ÙÒ Ö ËÔÖ ÞÙ ÔÖÞ Ö Ò ÙÒ ÞÙ ÒÓÖÑ Ö Òº Û Ö Ò ÚØк Ò Ò Ð Ò Ë Û Ö Ø Ò ÓÛÓ Ð ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÖÐ Ø ÖÒ Ð Ù Ö ÙÑ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ò ÔÖ Ö Ö Ø ÐØ Òº ÙÒ Ù Ò Ù ½º½ Ø ÑÑ Ò Ë ÃÓ Þ ÒØ Ò a,a 0 Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ y +a y +a 0 y = 0 Ó y ÙÒ y Ñ Ø y (x) = e x ÙÒ y (x) = e x Ä ÙÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ò º Ë Ò ÒÒ Ù ÀÝÔ Ö Ð¹µ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ó Ñ Ø Ò (x) := ex e x 2 ÙÒ Ó (x) = ex +e x Ä ÙÒ Ò Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ÒÑ Ö ÙÒ Ç Ò Û Ö Ò Ë Ö Ò Ø Ò Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÖÛ Ò Ò Ùº º Ì Ø e x 0 Ö ÐÐ x Ê ÐØ ÙÒ (e x ) = e x غ Ù ½º¾ µ Ò Ë Ö ÒÓÒ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø Ê ÙÑ Ö ÐÐ Î ØÓÖ Ò a,b,c Ê ÙÑ µ ÒÙØÞ Ò Ë Ì Ð µ ÞÙÑ Æ Û Ö ÓÖÑ Ð a b = b a ÙÒ (a+b) c = a c+b c! a+b 2 + a b 2 = 2( a 2 + b 2 )! µ Ï ÖÙÑ Ø Ð ÙÒ Ù µ È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ð ÙÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë Ð Ñ ÒØ Ö¹ ÓÑ ØÖ Ñ Ø À Ð Ò Ö Ë ÞÞ Ù ½º Ï Ö Ò Ö Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ ÒÖ Ò Ì ØÖ Ò Ù ÒÖ ¹ÌÙÔ Ð 2 c : a a 2 a 3 a 4 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 ÙÖ a 5 := a a 3 ; a 6 := a 2 a 4 ; a 7 := a a 2 ; a 8 := a 3 a 4. Ò Ë ½º c Ø Ø Ú º º ÐØ c(a a 2 a 3 a 4 b b 2 b 3 b 4 ) = c(a a 2 a 3 a 4 ) c(b b 2 b 3 b 4 ). ¾º Ò Ò ÖØÖ ÙÒ Ð Ö Ò Ò Ö ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÏÓÖØ ÒÒ Ñ Ò Ò Ø ÒÙÖ Ø Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÖÒ Ó Ö ÓÖÖ Ö Òº Ä ÙÒ ÒÛ Ë Ö Ò Ë a a 2 a 3 a 4 Ò Ò 2 2 ÉÙ Ö Ø ÙÒ Ö Ò Ë ÒØÖ Ö Ð ÙÒ Ö ËÔ ÐØ ËØ Ö Î Ö Ò ÙÒ Ò Å Ò Ø Ò ÖÒ Ú ÖÛ Ò Ø Ò Ó ¾¾