½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú"

Transcript

1 Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÒ Ö Þ ÔÖ Ñ Ø ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Å Ð Ò Ò ÓÚ ¾¼¾½»¼ ¼ º ¼¾º ¾¼¼ º Ë ö Ø ÇÚ Ö ÔÖ Ø ÚÐ Ö Ø ÔÖ Ð Ò Ñ ØÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ñ ÙØÓÖ Ö ÙÔÓÞÒ Ó Ù Ó Ú ÖÙ ÙÖ ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Ò ÔÖÚÓ Ó Ò ÔÓ Ø ÔÐÓÑ ØÙ Ò Å Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ Ù Ó Ö Ùº Í Ó Ú ÖÙ ÓÚÓ Ö ÑÓ Ò ÔÖ ÖÓÞ ÔÖ Ñ Ö ÔÓ ÖÓ Ò Ó Ò Ø ÞÒ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ó Ò Ò Ó ÒÓ Ò Ð ÞÓÑ Ò ÓÖ ÐÙ º Æ ÓÒ ØÓ ÑÓ Ù ÔÓ Ø Ú Ø Ú ÞÙ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ñ ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Í Ò Ø Ú Ù ÑÓ ÙÔÓÞÒ Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ñ Ö Ð Ñ Þ Ø Ñ ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ Ó Ó ÒÓÚÒ Ñ Ð Ø Ñ Ó ÔÖ Ñ Ò Ù Ù Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖ ÔÖ ÖÓ Ú Ò º ÑÓ ÔÖ Ñ Ö ÙÔÓØÖ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù Ö Ú Ò Ù Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ð Ò Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÙÒ Ò Ö ØÖ ÔÓØÔÙÒÓ Þ Ó îùº Í ØÓÑ Ú ØÐÙ ÙÔÓÞÒ ÑÓ Ñ ÓÐ Ñ ØÓ º Æ Ö Ù ÑÓ ÙÔÓÞÒ Ø Ú Ö ÒØÒ Ñ ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ÓÚ ÙÒ Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ º

2 ½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ º Ç Ñ ÚÖ Ñ Ò ÔÓ ØÓ ÖÙ Ö ÙÖ Ó ÑÓ Ù Ø Ó ÞÒ ÙØÖÓ Ò Ñ ÑÓÖ Ò ÔÖ Ñ Öµº Ç ÒÓÚÒ Ð Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙØÚÖî Ú Ò ÓÐ Ò Ó Ö î ÒÓ Ö ÙÖ Ó ÔÓØÖ Ò Þ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÒÓÚÙ ÑÓö ÔÖÓ Ò Ø ÙÔÓØÖ Ð ÚÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ Þ Ó Ö î ÒÙ ÚÖ Ùº Ì Óî Ò Ð Þ ÐÓö ÒÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÓÑÓ Ù Ú ÙÔÓÖ î Ú Ò ÒÓ Ð ÓÖ ØÑ ÖÙ Ñ ÔÓÞÒ Ø Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ø Ò Ñ Ò º Æ Þ Ò Ð ÞÓÑ Ò Ñ Ð ÓÖ ØÑ ÔÓ Ø Ù Ò Ò ÓÚ Ú ÒØÙ ÐÒ Ò Ó Ø ÙÓ Ð Ú ØÓ ÓÚÓ Ó Ò Ð ÒØÒ Ö Ò º Ê ÙÖ ÔÓØÖ Ò Þ ÞÚÖ Ú Ò Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ Ó ÒÓ Þ Ú Ó Ú Ð Ò ÙÐ Þ Ô Þ ØÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÔÖ Ø ÚÐ Ó ÙÒ Ø Ú Ð Ò º Å îùø Ñ ÚÖÐÓ ØÓ ÔÓØÖ Ò Ö ÙÖ Þ Ú Ó ØÓ Ó ÓÒ Ö ØÒ Ø Ò ÙÐ Þ Ó Ö î Ò Ú Ð Ò Ö ÞÑ ØÖ º Æ Ò Ø Ò ÑÓ Ù Ø ÔÓÚÓÐ Ò Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò ÑÓ Ù Þ Ø Ú Ù Ú Ö ÙÖ ½ º Í ØÓÑ ÐÙ Ù Ó ÓÚÓÖ Ò Ô Ø Ò ÃÓÐ Ó ÚÖ Ñ Ò ÔÓØÖ ÒÓ Þ ÞÚÖ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó ÙÐ Þ Ú Ð Ò n Ò ÒÓÞÒ Ò Ô ÑÓÖ ÑÓ ÓÔÖ Ð Ø Þ Ò ÓÒ Ö Ø Ò ÐÙ ÙÐ Þ Ð Ò Ó ÖÙ Ò Ø Ú Ð ÒÙ Ó Ò Ñ Ó ÒØ Ö Ù Ò Ð Þ º ÇÚ ÔÓ ØÓ Ú Ö ÞÐ Ø ÔÖ ØÙÔ Ù Þ Ú ÒÓ Ø Ó Ð Ú Ó ö Ð ÑÓ ÔÓ Ø Ò ÑÓº Â Ò ÔÖ ØÙÔ ØÓ ÓÖ Ò Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò ÓÖ ÑÓ Ù ÐÙ Ó ÔÓÒ Ò Ð ÓÖ ØÑ Þ Ú Ð ÙÐ Þ ØÞÚº ÑÔØÓØ Ò Ð Þ µº ÇÚ ÔÖ ØÙÔ Ò Ñ ÓÑÓ Ù Ú ÔÖÓ Ò ÑÓ ÙÔÓØÖ Ð ÚÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ð Ù ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ ÔÓ ÚÓ Ó ÐÓö ÒÓ Ø º Ì Óî Ò ÓÚ Ò Ò ÑÓö Ò Ð Þ Ö Ø ÐÓö ÒÓ Ø ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÞ ÙØÚÖî Ú Ò ÓÒ Ö Ò ÐÓö ÒÓ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ö Ú Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ë ÖÙ ØÖ Ò ÓÚ Ú Ò Ð Þ Ò ¹ Ò ÓÚÓÐ Ò Ù ÔÖ Þ ØÓ ØÓ Ò ÓÑ ÔÖ Ö Ú Ù Ø Ð ÔÖ Ú Þ Ó Þ Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØÒ ØÓÖ Ó Ù ÑÔØÓØ Ó Ò Ð Þ Ò Ñ Ù ÞÒ º Æ Ñ Ù ÔÖ Ò Ñ ØÒ ÔÖÓ ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò Ò ÞÚÖ Ú Ò Ù Ò ÓÖ Ñ ÐÙ Ù Þ ØÓ Ò Ñ ÔÓÚÓÐ Ò ÙØÚÖ ÑÓ Ó Ú ÒÓ ÚÖ Ñ Ó Ø Ò Ö ÒÓ Ó ØÙÔ Ò º Í Ð Ñ Ó Ð Ñ ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ó Ò ÓÚ Ó ÒÓ º ½ Í Ð Ñ Ø ØÙ ÑÓ Þ Ó Ö Ò Ò ÓÔ ØÓ Ø ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ø Ö ÙÖ Ó Ö ÞÑ ØÖ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò º ¾

3 ½º½ Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ Ò Ñ ÔÖÙö Ö Ò Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ÞÚÖ Ø Ù ØÓÑ ÚÖ Ñ ÒÙ Þ Ó Þ Ö Ò ÓÒ Ö ØÒÙ Ø ÒÙ ÙÐ Þ Þ Ó Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ÞÚÖ Ú º Æ f(n) ÚÖ Ñ ÓÚÓÐ ÒÓ Þ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò ÓÖ Ñ ÐÙ Ù Ñ îù Ú Ñ ÓÔÙ Ø Ú Ñ ÙÐ Þ Ñ Ú Ð Ò nº Ì ö ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ ÐÓö ÒÓ Ø f(n)º Ó ØÓ Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ ØÓ Ò Þ Ú Ò Ð Þ ÐÓö ÒÓ Ø ØÓ Ð ÓÖ ØÑ º ÈÖ Ð ÓÑ ÙØÚÖî Ú Ò ÐÓö ÒÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ø Ö ÑÓ Ò Ø Ð Ñ Ú Ò ÔÖ Ú Þ Ò Ñ Ö Ú Ð Ò ÐÓö ÒÓ Ø º ÇÚÓ ÓÐ Ú ÙÔÓÖ î Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ ÒÙ ÙÔÓØÖ Ð ÚÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ º Ò ½º½º Ó Ø ÙÒ f(n) Ø O(f(n)) ÓÞÒ Ú ÙÔ Ú ÙÒ g(n) Ø Ú g(n)/f(n) Ó Ö Ò ÒÓ Ó ÓÞ Ó n Ω(f(n)) ÓÞÒ Ú ÙÔ Ú ÙÒ g(n) Ø Ú g(n)/f(n) Ó Ö Ò ÒÓ Ó ÓÞ Ó ØÖÓ Ó ÔÓÞ Ø ÚÒ Ñ ÖÓ Ñ n Θ(f(n)) ÓÞÒ Ú ÙÔ Ú ÙÒ g(n) Ø Ú g(n)/f(n) Ó Ö Ò ÒÓ Ó ÓÞ Ó Ó ÓÞ Ó n º ÇÞÒ O(f(n)) ÓÞÒ Ú Ò ÙÒ ÑÔØÓØ Ó Ö Ò Ò Ó ÓÞ Ó ÙÒ ÓÑ f(n) ÙÞ Þ Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØÒ ØÓÖ º ÖÙ Ñ Ö Ñ ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ò Ú f(n)º Æ ÔÖ Ñ Ö ÙÒ n 2 +3n+1 ÔÖ Ô Ð O(n 2 ) Ð ÙÒ 6n 1 Ø Óî ÔÖ Ô ØÓ Ð º ÇÚ Ú ÒÓØ Ó ÒÓ ÓÖ Ø Ù Ò Ð Þ ÐÓö ÒÓ Ø ÓÒ Ö ØÒÓ Ð ÓÖ ØÑ Þ ÙØÚÖî Ú Ò ÑÔØÓØ Ó ÓÖÒ Ó Ö Ò Ò ÚÖ Ñ Ò ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Þ ÙÐ Þ Ú Ð Ò nº ÇÞÒ Ω(f(n)) ÓÞÒ Ú ÑÔØÓØ Ó Ó Ö Ò Ò Ó ÓÞ Ó ÙÒ ÓÑ f(n) Ó ÒÓ ÒÓ ÓÚÓÖ Ø ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ò Ñ Ò f(n)º Æ ÔÖ Ñ Ö Ð Ω(n 2 ) ÔÖ Ô ÙÒ n 2 5n Ð ÙÒ n 3 + 2º ÇÚ ÒÓØ Ò ÓÖ Ø Þ ÓÔ Ú Ò ÓÒ Ó Ö Ò Ò ÐÓö ÒÓ Ø Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ö Ú Ù Ó Ö î Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ù Ø Ò Ó ÓÞ Ó Ó Ò Ù ÐÓö ÒÓ Ø ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Ì Ó Ó ÒÓÚÒ Ð Ò Ñ ÔÖÓÒ Ð ö Ò ÓÒ Ö ØÒÓ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ú Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓö ÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÙØÚÖî ÒÓÑ ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÓѺ Ì ö ÑÓ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÙ ÐÓö ÒÓ Øº ÇÞÒ Θ(f(n)) ÓÞÒ Ú Ø ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ø ÒÓ f(n)º Æ ÔÖ Ñ Ö ÙÒ n(n + 1)/2 ÔÖ Ô Ð Θ(n 2 ) ÙÒ 2n 1 ÔÖ Ô Ð Θ(n)º ÇÚ Ú ÒÓØ Ó ÒÓ ÓÖ Ø Þ ÓÔ Ú Ò Ð ÐÓö ÒÓ Ø ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ ÐÓÔ ÓÒ Ó Ö Ò Ò ÐÓö ÒÓ Ø Ú ÔÓØ Ò ÐÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ö Ú Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÒ Ñ Ó Ö Ò Ò Ñ

4 ÐÓö ÒÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ö ØÒÓ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú ÔÓ Ó Ò Ð Þ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ Ó Ô Ø Þ ÚÖ Òº ½º½º½ ÈÖ Ñ Ö Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ ÓÖØ Ö Ò Ò Þ ÈÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑ ÑÓö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ö Ø ÞÒ Ò Ð Þ ÐÓö ÒÓ Ø Ò ÓÖ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖØ Ö Ò Ò Þ º ÈÖÓ Ð Ñº Ø Ò Þ Ö ÞÐ Ø Ð ÖÓ Ú Ùö Ò n Ô ÖÑÙØÓÚ Ø Ð Ñ ÒØ Ø Ó ÒÓÚÓ Ó Ò Ò Þ Ù Ù Ö ØÙ Ñ ÓÔ Ù Ñµ ÔÓÖ Ø Ùº ÈÓ ØÓ Ú Ö ÞÐ Ø ÔÖ ØÙÔ ÓÚÓÑ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ð ÑÓ Ñ ÓÚ Þ Öö Ø Ò Ñ ØÓ Ñ ÓÖØ Ö Ò Ó Ù Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù Ð Ñ Ò Ø º Á Ò Ó ÒÓÚÙ Ò Ò Ö Ð ÔÓÖ Ø ÙØÚÖîÙ Ó ÒÓ ÞÑ îù ÔÓ Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Þ Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ÒØ ÔÓ ÔÓØÖ Ô ÖÑÙØÙ Ùº Â Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÚÓ Ø Ô ØÞÚº ËÓÖØ Ö Ò Ç Ò Ú Ò Ñ Ò º Å Ö ËÓÖصº ÇÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ô Ò ÔÖ Ñ Ö Ø Ò Þ Ú Ô ÚÐ Ò º Ú ¹ Ò ¹ÓÒÕÙ Öµ Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ÓÖØ Ö Ù Ð Ú Ò ÔÓÐÓÚ Ò Ò Þ Ò ÓÒ ÓÖØ Ö Ò Ò ÞÓÚ Ó Ò Ù Ù Ù Ò ÓÖØ Ö Ò Ò Þº Ì ÓÖ Ñ ½º½ ËÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñµº ÓÖØ Ö Ò Ò Þ Ó n Ð Ñ Ò Ø Ñ ØÓ ÓÑ ËÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñ ÓÚÓÐ ÒÓ n lg n + O(n) ÙÔÓÖ î Ú Ò º ÓÖÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÐÓö ÒÓ Ø O(n log n)º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ò Ò ÚÓ ÑÓ Ó ÒÓÚÙ ÐÓ Ö ØÑ Þ ØÓ ØÓ ÐÓ Ö ØÑ Ö ÞÐ Ø Ñ Ó ÒÓÚ Ñ Ö ÞÐ Ù Ù Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÓÖ ØÓ Ò ÙØ Ò ÑÔØÓØ Ù ÐÓö ÒÓ Øº Ì Óî ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ö Ó Ò ÓÖ Ñ ÐÙ Ù Ñ Ù ÐÙ Ù ÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñ ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ Þ Ú ÑÓ Ó Ú Ð Ò ÙÐ Þ Ò Ó ÓÒ Ö ØÒ Ø Ò ÙÐ Þ Ø Ú Ð Ò º ÇÚÓ Ò ÐÙ Ú ÒÓÑ ÖÙ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÁÞ Ø ÓÖ Ñ ½º½ Ò Ð Ò ÔÓ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Þ ÓÖØ Ö Ò Ó Ù Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù Ó Ù Ñ Ò ÐÓö ÒÓ Ø Ó ÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñº Ð Ñ Þ Ñ ÑÓ ÑÓ ÓÖÒ Ù Ö Ò Ù Þ ÓÒ Ö Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ð Ò ÓÒ Ù Ö Ò Ù Þ Ø Ú ÙÔ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖØ Ö Ò Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ùº Ë ÞÒ Ò Ó ÓÒ Ó Ö Ò Ò Ñ Ð Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º¾ ËÐÓö ÒÓ Ø ÓÖØ Ö Ò µº ËÚ Ó ÓÖØ Ö Ò Þ ÒÓÚ ÒÓ Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù Ð Ñ Ò Ø ÑÓÖ ÓÖ Ø Ø Ò Ñ Ò lg n! > n lg n n/(ln 2) ÙÔÓÖ î Ú Ò Þ Ö Ò Ù Ò Ø ÒÙ ÙÐ Þ Ú Ð Ò nº

5 Æ Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ ½º¾ Þ Ð Ù Ù ÑÓ ÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Þ ÓÖØ Ö Ò Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù Ù Ñ ÐÙ Ò ÔÓ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Þ ÓÖØ Ö Ò Ó ÑÔØÓØ Öö Ó Ò º ÅÓö ÑÓ Þ Ð Ù ÑÓ ÓÖØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓö ÒÓ Ø Θ(n log n)º ÇÚ Ñ ÔÖÓÙ Ú Ò ÐÓö ÒÓ Ø ÓÖØ Ö Ò Þ ÒÓÚ ÒÓ Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù Ø ÓÖ Ó Ô Ø Þ ÚÖ ÒÓ ÔÖÓÒ Ð ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÔÓ ÐÓö ÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ó Þ ÒÓÑ ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÓѺ Å îùø Ñ Ð ÔÓ ØÓ Ô Ø Ò Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ð Ó ÓÚÓÖº Ð ÔÓ ØÓ ÖÙ Ð ÓÖ ØÑ Þ ÓÖØ Ö Ò ÑÔØÓØ ÐÓö ÒÓ Ø O(n logn) Ó ÔÓ ØÓ Ó Ñ îù Ò Ñ Ù ÔÖ Ò Öö Ð ÔÓ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ð Ù ÔÖ Ô ÓÐ ÔÓÒ Ù ÔÖÓ ÒÓÑ ÐÙ Ù Ó ÓÚÓÖ Ò Ú ÓÚ Ô Ø Ò ÔÓØÖ Ò Ò Ñ ÔÖ ÞÒ Ò Ð Þ º ½º¾ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ò Ñ Ù ÔÖ ÓÐ Ù ÔÖ Ø ÚÙ Ó ØÓÑ ÓÐ Ó ÚÖ Ñ Ò Ø ÔÓØÖ ÒÓ ÓÒ Ö ØÒÓÑ Ö ÙÒ ÖÙ Þ ÞÚÖ Ú Ò Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ º Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ ÔÖ Ú Ô Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Þ ÚÖ Ø Ù Ó Ö î ÒÓÑ ÖÓ Ù ÓÖ Þ Ó Þ Ö Ò ÙÐ ÞÒÙ Ø ÒÙ Ø Ú Ð Ò Ô ÔÖ ØÖÓ Ó Ó Ò Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÒ Ò ÔÓØÖ ÒÓ Ú Ð Ù º ÈÓ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ò Ù ÓÔØ Ñ ÐÒ ÐÓö ÒÓ Ø Ð Ù ÔÖÓ Ù ÞÚÖ Ú Ù ÞÒ ØÒÓ Öö Ò Ó ØÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ò ÓÚ ÐÓö ÒÓ Ø Þ Ð Ù ÐÓ ÔÓÒ Öö Ó ÔÓ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÔØ Ñ ÐÒ Þ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ç ØÓÑ ÓÚÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ø Ú Ùº ½º¾º½ ÈÖ Ñ Ö Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÓÖØ Ö Ò Ò Þ Í ÓÚÓÑ Ó Ð Ù ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ð ÓÖ ØÑ ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò Ò º ÉÙ ËÓÖصº ÇÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Þ Ò Ú Ò Ø Ò Þ Ú Ô ÚÐ ÔÖ ÑÙ ÔÓ Ð Ò Þ Ò Ú Ð ÚÖ Ò Ó ÒÓÚÙ ÒÓ Ó Ö ÒÓ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÞÚ ÒÓ Ô ÚÓØ Ú Ð Ñ ÒØ Ó Ù Ñ Ò Ó Ô ÚÓØ ÔÖ Ñ Ø Ù Ð ÚÓ Ó Ô ÚÓØ Ó Ð Ñ ÒØ Ú Ó Ô ÚÓØ ÔÖ Ñ Ø Ù ÒÓ Ó Ô ÚÓØ º Æ ÓÒ ØÓ Ô ÚÓØ Ò Ð Þ Ò ÔÖ ÚÓÑ Ñ ØÙ ÐÓÚ Ò Þ Ð ÚÓ ÒÓ Ó Ô ÚÓØ Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ÓÖØ Ö Ùº ÈÖÓ Ð Ñ ÓÚ ÚÓ ÔÖ ØÙÔ ØÓ ØÓ ÐÓÚ Ò Þ Ò ÓÒ ÔÓ Ð Ò ÑÓÖ Ù Ø Ò Ú Ð Ò º Ã Ó Ò Þ Ø Ô ÖØ ÓÒ Ò Þ Ú Ó Ñ ÙÐ ÞÒ Ø Ò Ø º Ó Ô ÖÑÙØ Ð Ñ Ò Ø Ò Þ º ¾ ÅÓö ÙØÚÖ Ø Ò ÓÖ ÐÙ Ò ØÙÔ Ô ÚÓØ Ò Ñ Ò Ð Ò Ú Ð Ñ ÒØ Ò Þ Ø Ò ¾ ÈÓ ÓÚÓÑ ÉÙ ËÓÖØ Ö ÞÐ Ù Ó Å Ö ËÓÖع Ó Ó ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ Þ Ú ÒÓ Ó Ú Ð Ò ÙÐ Þ º

6 Ó Ò Þ Ò Ö Ù ÔÖ Þ Ò Ò Þ Ó ÖÙ Ó ÑÓ Þ Ò Ñ Ò Ó ÔÓ ØÒÓ Ò Þ º Í ØÓÑ ÐÙ Ù Ñ ÑÓ Ð Ù Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù T n = n T n 1 ÙÞ T 0 = 0 T i ÖÓ ÓÖ ÓÚÓÐ Ò Þ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò ÓÖ Ñ ÐÙ Ù Þ ÙÐ Þ Ú Ð Ò iº Ê Ú Ò Ñ ÓÚ Ò Ò Ó ÑÓ T n = 1 k n (k + 1) = (n + 1)(n + 2) 2 1 = O(n 2 ) ØÓ ÞÒ ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖØ Ö Ò º ÇÚ Ú Ò Ð Þ Ú Ð ÓÚ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò Ó Ò Òº Å îùø Ñ ÔÓ Ø ÚÐ ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ÔÖ ÔÓÒ ÓÐ Ó Ú ÖÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖØ Ö Ò Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ùº ÌÓ Ò Ò ÚÓ Ò Ù ÑÓö ÙÐ ÞÒ Ø Ò Ó ÓÚÓ Ó Ú Ö ØÒÓ ÚÖ Ñ Ò Ò ÔÓ ÚÐ Ù Ù ØÓÐ Ó ØÓ Þ Ó ØÓ Ù ÔÖÓ Ù ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ÔÓÒ Ó ÓÔØ Ñ Ð Òº Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ò Ñ Þ Ø Ø Ú Ó ÓÚÓÖº Ì ÓÖ Ñ ½º ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò µº ÓÖØ Ö Ò Ò Þ Ùö Ò n Ù Ð Ñ ÒØ Ö ÞÐ Ø ÐÙ ÒÓ Ö ÔÓÖ î Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò ÔÓØÖ ÒÓ Ù ÔÖÓ Ù C n = 2(n + 1)(H n+1 1) 2n lnn 0.846n ÙÔÓÖ î Ú Ò H n = 1 k n 1 º k Ð Ù ÔÖÓ Ù Þ ÉÙ ËÓÖØ ÔÓØÖ ÒÓ O(n log n) ÙÔÓÖ î Ú Ò º Æ ÔÓÑ Ò ÑÓ ÑÓ ÓÖÒ Ö ÞÙÐØ Ø Ó ÒÓ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ù Ó Ó Þ Ô ÚÓØ ÙÚ ÙÞ Ñ Ö Ò Ò Ð Ñ Òغ ÈÓ ØÓ ÖÙ Ú Ö Ó ÑÓ Ù ÓÚ Ø Ó Ò ØÓ ÖÙ Ö ÞÙÐØ Ø º Ê ÞÙÐØ Ø Þ ÓÖÒ Ø ÓÖ Ñ Ð Þ Ö Ð C n = n n 1 j n (C j 1 + C n j ), Þ n > 0 ÙÞ C 0 = 0º ÇÚ Ö Ð Ú ö ÔÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÓÑ Ù Ú Ô ÖÑÙØ Ð Ñ Ò Ø Ò Þ Ö ÞÐ Ø Ò Ó Ú ÖÓÚ ØÒ ÓØÙ ØÓÖ 1/n ÔÖ ÙÑ ØÓ Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ö Ò Ò Ð Ñ ÒØ j¹ø ÔÓ Ú Ð Ò Þ Ú Ó jµº Ë Ö n + 1 ÖÓ ÙÔÓÖ î Ú Ò Ù ÔÖÚÓÑ Ø ÙÑÙ Ô ÖØ ÓÒ Ò Ö ÞÑ Ö Ò Æ ÔÖ Ñ Ö Þ Ö Ø ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÔÓ Ú Ð Ò ÙÞ Ø Þ Ô ÚÓØ Ñ Þ Ú Ò ÓÖ ÐÙ º

7 Ùö Ò Ò Þ µº ÖÙ ÑÓ Ð ÙÐ Þ ÓÚ Ó Ó ÖÙ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º Ê Ú Ò Ñ ÓÖÒ Ö Ð Ó Ö ÞÙÐØ Ø Þ Ø ÓÖ Ñ º ÇÒÓ ØÓ Ò Ñ ÔÓ ÞÙ Ø ÓÖ Ñ ½º Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò Ù ÔÖÓ ÒÓÑ ÐÙ Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ù ÑÔØÓØ Ò ÓÔØ Ñ ÐÒ Ñº Á ÔÓ Ø ÚÐ Ù ÔÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞÓ ÓÖØ Ö Ò Ù Ò ÓÐ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ îù Ú Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÓÖØ Ö Ò Ó Ù Þ ÒÓÚ Ò Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò Ùº Ð Ð Ú Ð Ö ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ Ó Ð ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò Òº Ë Ò Ñ ÒÓ ÓÐ Ó Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÞÒ Ò Ù ÔÖ º ÇÒÓ ØÓ Ó Ø ÐÓ Ò ÒÓ Ù ÓÖÒ Ñ ÔÖ Ñ ÖÙ Ó Ó Ó Ó ÓÚ Ö Ù Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó Ö Ø º Ð ÔÓ ØÓ Ò Ø Ñ Ø ÔÖ ØÙÔ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÃÓ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ô Ö ØÓÑ ÑÓö ÑÓ ÐÙö Ø Ù Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ó ÑÓ Ù Ò Ð ÒÓ Ø ÚÒ ÓÑ Ç ÓÚÓÖ Ò ÓÚ Ô Ø Ò ÑÓ Ù Ð Ñ Ó Ð Ñ º ½º Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÔÓ Ø Ú Þ Ø Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÒÓ ÞÒ ØÒÓ ÐÓö Ò ÔÖ Ú Þ ØÓ ØÓ ÔÖÓÙ Ú Ù Ú ÑÓ Ù ÙÐ Þ Ø Ú Ð Ò Ò ÑÓ ÙÐ ÞÒ Ø Ò Þ Ó Ó Ù Ò ÓÖ Ö ÞÙÐØ Ø º Ó ØÓ ÔÓØÖ ÒÓ Ò Ð Þ Ö Ø Ù Ø ÐÓ Ø Ó Ö î Ò ÙÐ ÞÒ Ø Ò Ò Ó ÒÓÚÙ ØÓ ÙØÚÖî Ú Ø Ó Ú ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÍÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ ÔÓ ÔÖ Ú ÐÙ ÑÓö ÑÓ Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó Ö î ÒÓ Ø Ô Ô ÖÑÙØ ØÖ Ò ÓÚ Ø Ð Ö ÓÚ Ø ºµº Æ ÔÖ Ñ Ö ÙÐ Þ Ð ÓÖ ØÑ ÓÖØ Ö Ò Ò Þ Ùö Ò n Ó ÑÓö Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ùö Ò n ÔÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÓÑ Ù Ú Ð Ñ ÒØ Ö ÞÐ Ø Ñ îù Ó Óѵº Ë ÙÔ ÓÔÙ Ø Ú Ò Ø Ò P ÑÓ Ð Þ ÔÓØÖ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Ò ½º¾º Æ Ø ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø P Ò p P º Ì ÙÚÓ ÑÓ Ð ÓÞÒ p Ú Ð Ò Ó Ø p p 0µ c(p) Ò Ó Ø p c(p) 0µ p n,k ÖÓ Ó Ø p P Ø Ú p = n c(p) = k p n = k 0 p n,k ÖÓ Ó Ø p P Ú Ð Ò n q k = n 0 p n,k ÖÓ Ó Ø p P Ò k σ n = k 0 kp n,k ÙÑÙÐ Ø ÚÒ Ò Ú Ó Ø Ú Ð Ò n

8 c n = σn p n = k 0 k p n,k p n ÔÖÓ Ò Ò Ó Ø Ø Ú Ð Ò nº ÁÒØÙ Ø ÚÒÓ Ù ÓÒØ ØÙ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓ ÒÓÑ Ó Ø ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú ÑÓ ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÞÚÖ Ó Ò ÙÐ ÞÙ Ò Ð Þ ÙÔÖ ÚÓ Ø Ó Ø Ø º Ø ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò º ÇØÙ ÒÓ ÔÖÓ Ò Ò c n Ø Ò Ò Þ (c n ) n 0 Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ó ö Ð ÑÓ Óî ÑÓ ÔÖ Ð ÓÑ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ º Ì Óî ÒÓ Ó Ö î Ú Ò ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø ÚÓ Ò Ò Ð ö Ò Ú Ð Ò p n,k Ð σ n p n µ Ó Ð Ð Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÚÓ Ò ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ð Ñ Ò Ø ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Ò ½º¾ Ò Ò ÔÓÑ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÔÓ Ñ ÓÚÓÑ Ò ÓÑ ÙÚÓ Ó ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Ó Ù Ò Ñ ÔÓØÖ Ò Ù Ø ÓÖ ÔÖ ÖÓ Ú Ò ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Þ ÔÖ ÚÓ ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Ò ÓÚ Ø ÓÖ Ù Ó Ó Ð Ñ ÒØ ÙÔ P ØÙÑ Ó ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ º ½º º½ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ø ÒÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÓÚ ØÒÓ ÁÞ Ò ½º¾ ÒÓ ÔÖÓ Ò Ò c n ÑÓö ØÙÑ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ú Ò ÐÙ Ò Ú Ð Ò c ÔÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÓÑ p = nº ÍÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ù ØÓÑ Ñ ÐÙ Ö ÞÑ ØÖ Ù Ó Ó ÐÙ ÒÓ Ô Ö Ñ ÒØ º ÈÖ ØÓÑ Ú öòó Ú ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ú ÖÓÚ ØÒ º Ó ÓÚÓ Ò ÐÙ ÑÓÖ Ö ÞÑÓØÖ Ø ÖÙ Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ò ÑÓ Ð ÙÐ Þ º Ç Ò ÑÓ ÓÚÓ ÔÓ ÖÓ Ò Ò ÔÖ Ñ ÖÙ Ð ÓÖ ØÑ ÓÖØ Ö Ò Ò Þ º ÍÐ Þ ÓÚÓ Ð ÓÖ ØÑ Ò Þ Ó ÓÖØ Ö º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ù Ð Ñ ÒØ Ò Þ Ö ÞÐ Ø Ñ îù Ó ÓÑ Ó Ù Ú Ô ÖÑÙØ Ð Ñ Ò Ø Ò Ó Ú ÖÓÚ ØÒ º Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ú Ð Ò n ÑÓ Ù Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ùö Ò n ÙÔ P Ó ÙÔ Ú Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ò Ùö Ò º Å îùø Ñ ÑÓö ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø ÖÙ ÑÓ Ð Ú Ð Ñ ÒØ ÙÐ ÞÒÓ Ò Þ Ð Ñ ÒØ Ò Ó ÓÒ ÒÓ ÙÔ Ð Ñ Ò Ø E ÔÖ ÑÙ Ú Ó e E Ò Ú Ó Ó ÔÓÞ Ù Ò ÞÙ ÔÓ ÚÐ Ù Ú ÖÓÚ ØÒÓ ÓÑ 1/ E E ÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÙÔ Eº Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù ÙÐ Þ Ð ÓÖ ØÑ ÓÖØ Ö Ò ÑÓö Ñ ØÖ Ø ØÖ Ò ÓÑ Ò Þ Ù ÓÑ E Ô Ù ØÓÑ ÐÙ Ù P = E ÙÔ Ú Ö Ò Þ Ù ÓÑ Eº Æ Ö ÚÒÓ Ù ÐÓÚ Ò Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ø Ú Ó Ó ÙÐ Þ Ø Ú Ð Ò n Ù ÓÚÓÑ ÐÙ Ù Ú ö Ó ÞÒ ÑÓ ØÖ Ò Ùö Ò n Ø Ú Ó Ø Ú ØÖ Ò ÓÚ ÚÐ Ú ÖÓÚ ØÒÓ ÓÑ 1/ E n º Þ Ó Ö Ò Ò ÓÔ ØÓ Ø ÑÓö ÑÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø Ù Ð Ñ ÒØ Ò Þ ÙÔÖ ÚÓ ÖÓ Ú 1, 2, 3,..., nº

9 ½º º¾ Å Ø Ñ Ø Ô Ö Ø Ù Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ø ÓÖ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Þ Ó Þ Ö Ò ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÚÓ ÑÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÓ Ò ÖÙ ÔÖ ØÙÔ Ú Ó ÓÐ Þ ÑÓ Ó Ú Ð Ò c n Ó ÒÓ ÒÓ Ò Þ (c n ) n 0 Ó ØÖ Ó Ö Ø º Í ÐÓÚ Ó Ò Þ ÑÓÖ Þ ÓÚÓÐ Ú Ø º Ù ÐÓÚ Ó Ó Ö îù Ù Ó Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ò Ð Þ ÑÓ Ù ÔÖ Ø Ú Ø Ò Ú Ò Ò º Â Ò Ò Ò Ò Þ ÔÖ Ø Ú ÑÓ Ö ÙÖ ÒØÒÓÑ Ö Ð ÓѺ ÇÚ ÔÓ ØÙÔ Ò ÙÚ Ø Ó ÒÓ Ø Ú Òº Ê Ø Ó ÒÙ Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù Ó ÒÓ Ó Ø ö ÔÓ Óº Ç Ö ÙÖ ÒØÒ Ñ Ö Ð Ñ Ø Ð Ò ÓÚÓÖ ÑÓ Ù ÔÓ Ð ÚÐ Ù ¾º ÖÙ Ò Ò Ò Þ ÖÓ Ú Ó ÒØ Ö ÔÖ Ø Ú ÙÒ ÓÑ Ò Ö ØÖ ÓÑ Ù ÐÓÚ Ó Ò Ò Ð ÞÓÑ ÞÖ Þ Ù Ú Ù ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ º ÇÚ Ú ÔÖ ØÙÔ Ù Ù Ø Ò Ú Ú Ð ÒØÒ Ð ÔÓ Ø ÚÐ ÖÙ Ò Ò ÞÒ ØÒÓ ö Ø Ò Ñ Ó Ö Ó Ø Ò Ó ÔÓ Ð ÞÚÓî Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖ º ÈÓ ØÓ ÓÑ ÒÓÚ Ò ÔÖ ØÙÔ Ò ÔÖ ÔÓ Ø Ú ÑÓ Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù Þ Ø Ñ Ó ÓÚ Ö Ù Ñ ÔÓ ØÙÔ ÓÑ Ú ÑÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ º Í ÔÓ Ð ÚÐ Ù ÓÚÓÖ ÑÓ Ø Ð Ò Ó ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ º ¾ Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Î Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÓ Ù ÔÖ Ø Ú Ø Ó Ø Ö Ø ÚÒ Ð Ö ÙÖÞ ÚÒ ÔÖÓ ÙÖ Ô Ñ Ñ Ø Ñ ÑÓ Ù ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó ÓÑÔÓÞ ÔÖÓ ÙÖ ØÓ Ø Ô Ó Ö Ú Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ ÒÞ º ØÓ ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ Þ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Þ ÙÐ Þ Ú Ñ ÒÞ Ò ÑÓö ÞÖ Þ Ø ÔÖ Ó ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ Ò Þ ÙÐ Þ Ñ Ò Ñ ÒÞ º ÇÚ Ú ÔÖ ØÙÔ Ò Ö ØÒÓ ÚÓ Ö ÙÖ ÒØÒ Ñ Ö Ð Ñ º Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÑÓ Ù ÔÖ Ñ Ò Ú Ø Ó Ù Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ Ø Ó Ù Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ Ó Ù ÑÒÓ Ñ ÖÙ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ú Þ Ò Ñ Þ Ð ÓÖ ØÑ ÓÑ Ò ØÓÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ÔÖ ÖÓ Ú Ò µº Ó ØÓ Ó Ù Ø Ò Ó ÞÒ ÔÓÞÒ Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó ØÓ ÚÐ Ù Ó Ñ ØÓ Þ Ò ÓÚÓ Ö Ú Ò º Ò ¾º½º Æ Ø Ò Þ a n, n = 0, 1, 2,... Ò Þ Ò ÓÚ Ð Ñ ÒØ Ú ö a n = f(a n 1, a n 2,...,a 0, n) Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ØÓ Ò Þ Ú Ù Ö ÒÒ Ò Ò Ö ÑÓ Ù ÔÖ Ø Ú Ø Ù Ó Ð Ù ØÞÚº ÓÒ Ò Ö ÞÐ f n f n f n 1 º ÇÒ ÑÓ Ù Ñ ØÖ Ø Ö ØÒÓÑ Ú ÖÞ ÓÑ Ö Ò ÐÒ Ò Ò º Æ Ñ ØÓ Þ Ö Ú Ò Ö Ò ÐÒ Ò Ò ÑÓ Ù ÔÖ Ñ Ò Ú Ø Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º

10 Ì ö ÑÓ Ò Þ a n Þ ÓÚÓÐ Ú Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù ØÙ ÓÖÒ ÓÑ Ò ÒÓѺ ËÔ ÐÒÓ Ó a n ÞÖ ö Ú Ó ÙÒ ÑÓ k ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Þ Ø º Ó a n = f(a n 1, a n 2,..., a n k, n) Ø Þ Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù ö ÑÓ Ö k k 1µº  ÒÓ Ò Ö ÚÒÓ Ú Ö ÞÐ Ø Ò ÞÓÚ ÑÓ Ù Þ ÓÚÓÐ Ú Ø ØÙ Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ùº Å îùø Ñ Ð Ó ÑÓö ÔÓ Þ Ø Ó Ú Ò Þ a n b n Þ ÓÚÓÐ Ú Ù ØÙ Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù Ö k Ó Ú ö a i = b i, 0 i < k Ø Ú ö a n = b n Þ Ú Ó n 0º ÖÙ Ñ Ö Ñ Ó Ò Ñ ÔÓÞÒ ØÓ ÔÖÚ k Ð Ñ Ò Ø Ò Þ Ø Ó Ø Ø Ò Þ Ò ØÚ ÒÓ Ó Ö î Òº Í ØÓÑ ÐÙ Ù Ð Ñ ÒØ a 0, a 1,...,a k 1 Ò Þ Ú ÑÓ ÔÓ ØÒ Ñ Ù ÐÓÚ Ñ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ö kº Ê Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÑÓö Ø ÓÑÔÐ ÓÚ Ò Þ Ø º ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø Ò Ò Ò ö Ö Ö Ú Ù ÒÓ Ø ÚÒ Ñ Ò ØÓ Ò ÑÓÖ Ø ÐÙ º Ì ö Ò Ö Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ô Ò Ú Þ Ú Ó Ñ ÙÒ f Ó ÓÑ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ó ÔÖ Ø Ó Ò Ð ÒÓÚ Ò Þ Ù ÓÖÒ Ó Ò º Í Ò Ø Ú Ù ÑÓ ÙÔÓÞÒ Ø Ò ØÓ ÓÖ Ò Ø ÔÓÚ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó Ò Ø Ô Ò Ñ ØÓ Þ Ò ÓÚÓ Ö Ú Ò º ¾º½ Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖÚÓ Ö ÃÓ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖÚÓ Ö Ð Ò Ò Þ a n Ò Ó ÙÒ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ð Ò Ò Þ a n 1 Ø a n = f(a n 1, n), n > 0 Ö Ò ÓÚ Ö Ð ÐÓ Ò ØÚ ÒÓ ÓÚÓÐ ÒÓ ÞÒ ÑÓ ÑÓ ÔÓ ØÒ Ð Ñ ÒØ Ò Þ a 0 º ÇÚ Ú Ö Ð Þ Ó Þ Ö Ò ÒÓ Ø ÚÒÓ Ø Ò ÓÚ Ò ÔÓÒ Ò Ð Ó Ö Ø º Å ÑÓ ÓÚ Ô Þ Öö Ø Ò ÒÓÑ Ô ÐÒÓÑ Ø ÔÙ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖÚÓ Ö Þ Ó ÔÓ ØÓ ÒÓÞÒ Ò ÔÓ ØÙÔ Ö Ú Ò º Í Ô Ø Ò Ù Ù Ð Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖÚÓ Ö Ó ÒÓ ÒÓ Ö Ð Ó Ð a n = x n a n 1 + y n, Þ n > 0, ÔÖ ÑÙ a 0 = 0 ½µ Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ä Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÖÚÓ Ö µº Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ½µ Ñ Ö Ò ØÓ ÞÖ ÞÓÑ a n = y n + 1 j<n y j x j+1 x j+2... x n ½¼

11 ËÔ ÐÒ ÐÙ ÓÚ Ú Ö Ð Ó Þ x n = 1 Þ Ú Ó n > 0 a n a n 1 = y n, Þ n > 0, ÔÖ ÑÙ a 0 = 0, Ö Ò ÓÚ Ú Ò Ò Ò Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ ¾º½ a n = 1 j n Ð Ö Ú Ò ÓÚ Ú Ò Ò ÚÓ Ò ÞÖ ÙÒ Ú Ò ÓÒ Ò ÙÑ º y j ¾º¾ Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ú Ö Í ÐÙ Ù Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ú Ö ØÙ ÓÑÔÐ Ù Þ Ó Þ Ú ÒÓ Ø a n Ó Ú ÖÓ ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Þ º Ò Ù ÐÙ Ù Ð Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ú Ö Ø Ö Ð Ó Ð a n = x n1 a n 1 + x n2 a n x nk a n k + y n, Þ n k ¾µ Ò ÔÓ ØÓ ÒÓÞÒ Ò ÔÓ ØÙÔ Ó Ñ Ó Ö îù Ø ÒÓ Ö Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ò Ò ÓÚÓ Ó Ð º ÇÚ Ú Ò Ò ØÓ ÑÓ Ù Ö Ú Ø ÙÞ ÔÓÑÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ð Ò ÓÑ ÔÖÓ Ñ Ø ÚÒÓÑ Ñ ØÓ ÓÑ Ð ÔÓ ØÙÔ Þ Ú Ó ÞÖ Þ x nj Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ù Ó ÒØ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò Ò ÒÓ ØÖ Ò Ö Ð Ó Þ Ú Ó nº ÈÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ø ÞÒ ØÒÓ ÒÓ Ø ÚÒ Ó ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ù Ó ÒØ x nj ÓÒ Ø ÒØÒ Ø º Ò Þ Ú Ó n Ó Ò ÔÓ ØÓ Ó ÒØ y n º Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù Ö Ð ¾µ ÚÓ Ò a n = x 1 a n 1 + x 2 a n x k a n k, Þ n k µ Ò Þ Ú ÓÑÓ Ò Ð Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ö k ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØ Ñ º Ê Ò ÓÚ Ú Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ØÓ Ð ÓÑ Ø ÓÖ ÑÓѺ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ä Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØ Ñ µº ËÚ Ö Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð µ ÑÓ Ù ÔÖ Ø Ú Ø Ó Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò ÞÖ Þ Ó Ð n j β n β ÓÖ Ò Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ q(z) z k x 1 z k 1 x 2 z k 2... x k Þ j Ú ö 0 j < s ÔÖ ÑÙ s Ú ØÖÙ Ó Ø ÓÖ Ò βº Ì ÒÓ Ö Ò Þ Þ Ø ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ a 0, a 1,...,a k 1 ÞÖ ÙÒ Ú Ö Ú Ò Ñ Ø Ñ Ð Ò ÖÒ Ò Ò Ó Ó Þ Ñ ÒÓÑ ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ Ù Ó ÒÓ Ð Ò ÖÒÓ ÓÑ Ò º ÈÓ ØÒ Ù ÐÓÚ Ò ØÚ ÒÓ Ó Ö îù Ù Ö Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º ÈÖ ØÓÑ ÓÚÓ Ö Ò ÑÓö ÞÒ ÒÓ ÔÖÓÑ Ò Ó Ð Ù Þ Ú ÒÓ Ø Ó ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ º ½½

12 ÈÖ Ñ Ö ¾º½º Æ Ø Ò Ò a n = 2a n 1 a n 2, n 2 ÇÔ Ø Ö Ò ÓÚ Ò Ò Ò Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ ¾º¾ ØÓ ÞÖ ÞÓÑ a n = c 0 1 n + c 1 n1 n Ù c 0 c 1 Ò ÔÓÞÒ Ø Ó ÒØ º Ó ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ú ö ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ a 0 = 1 a 1 = 2 Ó ÑÓ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ò Ò Ò a 0 = 1 = c 0 a 1 = 2 = c 0 + c 1 ØÓ Ö Ò c 0 = c 1 = 1 Ñ Ñ Ø Ñ Ú ö a n = n + 1º Ë ÖÙ ØÖ Ò Þ ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ a 0 = a 1 = 1 Ö Ò ÐÓ a n = 1 Þ Ú n 0 ØÓ ÓÒ Ø ÒØ Þ Ö ÞÐ Ù Ó Ð Ò ÖÒÓ Ö Ø Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÐÙ Ùº ¾º Ê Ð Þ ÒÓÚ Ò Ò ÓÑÔÓÞ Ð ÓÖ ØÑ Þ ÒÓÚ Ò Ò ÓÑÔÓÞ Ø ÓÞÚ Ò Ø Ò Þ Ú Ô ÚÐ µ Ù Ú ÓÑ Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó ÔÖ Ð ÓÑ Ò ÓÚ Ò Ð Þ Ó Ù ÔÖ Ð ÒÓ Ù Ð Ò Ô ÔÖ Ñ Ò Ù Ù Ð Ò Ø Ò Þ Ò ÓÚÓ Ö Ú Ò º Í ÓÚÓÑ Ó Ð Ù Ú ÑÓ ÔÖ Ú Ò ÖÒÓÑ ÓÑÔÓÞ ÓÑ Ø º ÐÙ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ú Ð Ó Þ Ø Ñ Þ ÒÓ Ö Ú Ù Ò ÓÒ Ó Ò Ö Ò Ó Ò Ù Ù Ù Ò ØÚ ÒÓ Ö Ò ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Æ Ú Ö ÒØ Ò ÖÒ ÓÑÔÓÞ ÔÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú ÔÓØÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ð Ò º ÈÓØ Ó ÔÖ Ð ÓÑ ÓÚ Ú ÓÑÔÓÞ ØÓ Ù ØÓÑ ØÓ Ò ÑÓ Ù Þ Ú Ó n ÔÓ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú ÔÓØÔÙÒÓ Ò Ð º Ó Ð ÒÙ ÔÓ ÐÙ Ò ÐÓÚ ÒØ Ò Ú Ð Ò ÑÓ Ù Ù ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ó ØÚ Ö Ø ÒÓ Ó ÔÓÐ ÞÒ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ n Ó Ð 2 k º ÖÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ú Ð Ò ÙÐ Þ ÑÓÖ Ò ÞÚ ÒÓÑ Ò ÚÓÙ Ó Ù Ø Ø Ó ÐÒ ÔÓ Ð º ÇÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ØÙ Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó Þ ØÓ Ó ØÒÓ ÓÑÔÐ Ù Ùº ÐÙ n = 2 k Ö Ð Ò Ö Ø ÒÓ ÔÓ ÒÓ Ø ÚÐ Ù Ð Ó ÓÐ Þ Ó Ø ÒÓ Ö Ò º Í Ó Ø Ð Ñ ÐÙ Ú Ñ ÑÓ Ù ÙØÚÖ Ø ÑÔØÓØ Ó ÔÓÒ Ò Ó Ò ÔÓ Ð Ô Ó Ò Ñ Ö Ò Ñ Þ n = 2 k º Å îùø Ñ Ò Ð ö Ò Ø ÒÓ Ö Ò Ù ÓÚ Ñ ØÙ Ñ ÞÒ ØÒÓ Ø ö º ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ ÓÚÓ Ò ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙº ÈÖ Ñ Ö ¾º¾º Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó ÓÑ Ò ÖÓ ÔÓØÖ Ò ÙÔÓÖ î Ú Ò ÔÖ Ð ÓÑ ÓÖØ Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ñ C n = C n/2 + C n/2 + n, Þ n 2 µ ½¾

13 ÔÖ ÑÙ C 1 = 0º n = 2 k Ñ ÒÓÑ ÔÖÓÑ ÒÐ Ú T k = 1 2 k C 2 k Ó ÑÓ Ö Ð Ù T k = T k 1 + 1, Þ k > 0 ÔÖ ÑÙ T 0 = C 1 = 0º Ê Ò ÓÚ Ö Ð T k = kº ÎÖ Ò Ñ Ò ÔÖÓÑ ÒÐ ÚÙ n Ó ÑÓ Ö Ò ÔÓÐ ÞÒ Ö Ð C 2 k = 2 k T k = 2 k k Ó ÒÓ ÒÓ C n = n lg nº ÇÚÓ Ø ÒÓ Ö Ò Ð Ú ö ÑÓ Þ n = 2 k º Å îùø Ñ Ð ÑÓö ÑÓ Ò ØÓ Ö Ó ÚÖ ÒÓ Ø C n Þ ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ Ò ÁÒ Ù ÓÑ ÑÓö ÔÓ Þ Ø Ò Þ C n Ö ØÙ º ÇØÙ C 2 lg n C n < C 2 lg n Ó ÒÓ ÒÓ 2 lg n lg n C n < 2 lg n lg n Ò Ó ÒÓÚÙ ÑÓö ÑÓ Þ Ð Ù Ø C n = O(n log n)º ÈÖ ÞÒ ÓÑ Ò Ð ÞÓÑ ÑÓ ÑÓ Ð Ó ÑÓ Ó ÓÐ Ö ÞÙÐØ Ø C n = n lg n + O(n) Ó Ò Ú ÒÓ Ù Ø ÓÖ Ñ ½º½ ØÖ Ò µº Ó Ö î Ú Ò Ø ÒÓ Ö Ò Ö Ð µ ÔÓØÖ ÒÓ ÔÖ Ñ Ò Ø ÐÓö Ò Ø Ò Þ ÒÓÚ Ò Ò Ù ÔÓ Ø ÚÐ Ò Ù Ú Þ Ò ÖÒ Ñ ÖÓ Ú Ñ Ó ÓÚ Ò ÑÓ ÞÐ Ø º Á ÔÓ Ø ÚÐ Ø ÒÓ Ö Ò ØÓ ÞÖ ÞÓÑ lg n +1 C n = n lg n + 2n 2 ÈÖ Ð ÓÑ Ò Ð ö Ò Ø ÒÓ Ö Ò Ú Ø Ð Ó Ò Ò Öö ÑÓÖ Ù Ø ÙÞ Ø Ù Ó Þ Öº Å Ð ÔÖÓÑ Ò Ö Ð ÑÓö Ø ÒÓ Ø ÚÒ ÞÖ Þ Ð Ó ÒÓ Ö Ò ÑÓö ÞÒ ØÒÓ Ö ÞÐ ÓÚ Ø Ó Ø ÒÓ Ö Ò ÔÓÐ ÞÒ Ò Ò º Ê ÞÐÓ ØÓ ØÓ ÔÖ Ð ÓÑ ÓÑÔÓÞ ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ò Ú Ð ÖÓ ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ñ ÒÞ Ú Ò ÔÖ ÞÒÓ Ø Ò ØÓÑ Ò ÚÓÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ñ Ò ØÙ Þ Ú Ð ÚÖ ÒÓ Ø nº Æ ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ù Ö Ð µ Þ Ñ Ò Ð C n/2 C n/2 ØÓ Ò Þ Ð Ñ Ð ÔÖÓÑ Ò µ Ó Ð ÑÓ Ö Ð Ù Ó Ð C n = 2C n/2 + n Ó ÒÓ Ø ÚÒ Ó Ð Ð Ø ÒÓ Ö Ò Ö Ø ÒÓ Ó ØÙÔ Ó Ö Ò ÔÓÐ ÞÒ Ö Ð Ó ÑÔØÓØ ÔÓÒ ØÓº Æ Ö Ù Ò Ú ÑÓ Ó ÒÙ Ø ÓÖ ÑÙ Ó ÓÑ ÓÔ Ù ÑÔØÓØ Ó ÔÓÒ Ò Ö Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó Þ ÒÓÚ Ò Ò ÓÑÔÓÞ ÓÚÓ ÔÙØ Ò Ó Ú ÞÒÓ Ò ÖÒÓ º Ì ÓÖ Ñ Ø ÞÒ ØÒÓ ÓÔ Ø ÑÓö Ó ÒÓ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÙ ÙÒ Ù a(x) : R + R Ó Ò Ò Ö ÙÖ ÒØÒÓº Ì ÓÖ Ñ ¾º ÙÒ Þ ÒÓÚ Ò Ò ÓÑÔÓÞ µº Ó ÙÒ a(x) Þ ÓÚÓÐ Ú Ö Ð Ù a(x) = αa(x/β) + x, Þ x > 1, a(x) = 0 Þ x 1 ½

14 Ù α > 1 β > 1 ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ö Ð Ò ÖÓ Ú Ø Ú ö β x, α < β β α a(x) x log β x, α = β α β {logβ α} α β( α) x log α β, α > β ÅÒÓ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ô Ò Ø Ó ÒÓ Ø ÚÒÓ Ö Ø º Ì Óî ÔÓÒ Ø Ó ÙÓ Ø Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ú ÞÙ Ó ÓÔ Ù Ú Ð ÒÙ Ó ÒØ Ö Ó Ó ÒÓ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñº Í Ò Ø Ú Ù ÙÔÓÞÒ ÑÓ ÔÓ Ñ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó Ñ Ó ÓÚ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ Ù ÞÒ ØÒÓ Ò Ö Ú Ø º ÙÒ Ò Ö ØÖ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù Ú ÓÑ ÓÖ Ø Ò Ð Ø Ù Ö Ú Ò Ù Ö ÞÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ö ØÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ô Ñ Ñ Ø Ñ Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÈÖÚ ÔÖ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó Ù ÐÙ ØÖÙ ÑÓ Ù ÓÚÓÑ ÔÓ Ð ÚÐ Ù ÔÖ Ñ Ò Ù Ö Ú Ò Ù Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÚÓî Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ Ú Ú Ð ÒØÒ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò º ÖÙ ÔÖ Ñ Ò Ó Ù Ø Óî ÔÖ Ø ÚÐ ÑÓ Ù ÓÚÓÑ ÔÓ Ð ÚÐ Ù ÔÖ Ñ Ò Ù Ø ÓÖ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ò Ö ØÒÓ Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÈÓ Ñ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ø Ð ÓÑ Ò ÓѺ Ò º½ ÙÒ Ò Ö ØÖ µº Ó Ø Ò Þ ÖÓ Ú a 0, a 1,...,a n,... Ø ÙÒ Ù A(z) = n 0 a n z n Ò Þ Ú ÑÓ ÙÒ ÓÑ Ò Ö ØÖ ÓÑ ØÓ Ò Þ º ÃÓÖ Ø ÑÓ ÒÓØ Ù [z n ]A(z) Þ Ó ÒØ a n Ø º Þ Ó ÒØ ÙÞ z n º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ù ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù Ù Ø Ò Ø Ô Ò Ö ÓÚ º Å îùø Ñ ÓÚ ÑÓ ÔÖ Ú Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó ÓÖÑ ÐÒ ÙÑ Ó ÓÖ Ø ÑÓ Þ ÔÖ Ø ÚÐ Ò ÖÓ ÚÒ Ò ÞÓÚ Ò ÒÓ Ø Ú Ò ÓÑÔ Ø Ò Ò Ò Ó Þ Ð ÒØÒÙ ÒÓ Ø ÚÒÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ù Ø Ñ Ò ÞÓÚ Ñ º Ó ØÓ Ò Ñ Ò Ø ØÒÓ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ö Ó Þ Ó ÚÖ ÒÓ Ø z ÓÒÚ Ö Ö º Î Ò ÓÔ Ö Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ Ó Ó ÓÚ Ö Ù ÓÔ Ö Ñ Ò Ò ÞÓÚ Ñ ÖÓ Ú µ Ù ÓÖÑ ÐÒ ÓÔ Ö Þ Ó Ò ÔÓØÖ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Á ÔÓÖ ØÓ Ú Ò ÓÚ Ó Ò Ò Ø Ô Ò Ö ÓÚ ÓÒÚ Ö Ö Ñ Ö Þ ÁÞÖ Þ {log β α} Ó ÔÖ ÙØ Ò Ù ØÚÖî Ò Ù Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ø ÚÐ Ö ÞÐÓÑÐ Ò Ó ÖÓ {log β α} = log β α log β α ½

15 Ñ Ð ÚÖ ÒÓ Ø z ØÓ Ò Ñ ÓÑÓ Ù Ú ÙÑ Ö ÑÓ Ó Ò Ø Ô Ò Ö ÓÚ Ó ÓÚ Ö Ù Ù ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù ÔÖ Ø Ú ÑÓ Ò Ð Ø Ñ ÞÖ ÞÓѺ Ì Óî Ö Ú Ò Ñ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ö Ò Ò Ó Ù Ó Ð Ù Ò Ð Ø Ó ÞÖ Þ Þ Ö ÞÚÓ ØÓ ÞÖ Þ Ù Ö Ò ÓÔ Ó ÒÓ ÙÒ Ù ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÐÒ Ù Ò Ó Ó ÓÐ Ò ÒÙÐ º ÈÖ Ñ Ö º½º Æ Ú ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Ö Ò ÞÓÚ Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ º 1, 1, 1,..., 1, z 0, 1, 2, 3,..., n,... z (1 z) 2 = n 0 zn = n 1 nzn 0,...,0, 1, m + 1,..., ( ) n m,... z m = ( n ) (1 z) m+1 n m m z n 1, c, c 2, c 3,...,c n, cz = n 0 cn z n 1, 1, 1 2!, 1 3!, 1 4!,..., 1 n!,... ez = n 0 z n n! 0, 1, 1 2, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ln 1 1 z 0, 1, , ,...,H n, z ln 1 1 z 0, 0, 1, 3( ), 4( ),... z (1 z) 2 ln 1 1 z = n 1 z n n = n 1 H nz n = n 0 n(h n 1)z n Ì ÓÖ Ñ º½ ÇÔ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ µº Æ Ù Ø Ú Ò Þ ÖÓ Ú a 0, a 1,...,a n,..., b 0, b 1,...,b n,..., Ó Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò Ò Ö ØÖ A(z) = n 0 a nz n B(z) = n 0 b nz n º Ì Ð Ñ ÓÔ Ö Ñ Ò ÓÚ Ñ ÖÓ ÚÒ Ñ Ò ÞÓÚ Ñ Ó ÓÚ Ö Ù Ø ÓÔ Ö Ò Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò Ñ ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ ÒÓÑ ÔÓÑ Ö Ò Ù 0, a 0, a 1,...,a n 1,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö za(z)º Ä ÚÓÑ ÔÓÑ Ö Ò Ù a 1, a 2, a 3,...,a n+1,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö A(z) a 0 z º ÅÒÓö Ò Ù Ò ÓÑ a 1, 2a 2, 3a 3,...,na n,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö A (z)º Ð Ò Ù Ò ÓÑ 0, a 0, a 1 z A(t)dtº 0 2, a 2 3,..., a n 1,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö n Ë Ð Ö Ò Ù a 0, λa 1, λ 2 a 2,..., λ n a n,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö A(λz)º ½

16 Ë Ö Ò Ù a 0 + b 0, a 1 + b 1,...,a n + b n,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö A(z) + B(z)º Ö ÒÒÓ ÓÔ Ö a 0, a 1 a 0, a 2 a 1,...,a n a n 1,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö (1 z)a(z)º ÃÓÒÚÓÐÙ a 0 b 0, a 0 b 1 +a 1 b 0, a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0,..., 0 k n a kb n k,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö A(z)B(z)º È Ö ÐÒÓ ÙÑ A(z) 1 z º a 0, a 0 + a 1,..., 0 k n a k,... Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö ÃÓÖ Ø ÓÚÙ Ø ÓÖ ÑÙ ÑÓö ÑÓ ÔÓÐ Þ Ó Ò ÔÓÞÒ Ø Ò ÞÓÚ ÒÓ Ø ÚÒ Ñ Ñ Ò ÔÙÐ Ñ Ó Ø ÙÒ Ò Ö ØÖ ÐÓö Ò Ò ÞÓÚ º Ç ÖÒÙØÓ Ø Óî ÑÓ Ù Ø º Ó ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù Ò Ó Ò ÔÓÞÒ ØÓ Ò Þ ÑÓö ÑÓ ÔÖ Ø Ú Ø ÓÑÔÓÞ ÓÑ ÒÓ Ø ÚÒ ÙÒ ÔÖ ÑÙ ÔÓ ÓÑÔÓÞ ÓÑ Ñ Ð ÑÓ Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÓÔ Ö µ Ø ÓÑ ÒÓÚ Ò Ñ Ò ÞÓÚ Ó Ù ÔÖ Ø ÚÐ Ò Ø Ñ ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ Ò Ó ÓÚ Ö Ù Ò Ò ÑÓö Ó Ø Ò Þ Ó Ó ÓÚ Ö ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ º ÁÐÙ ØÖÙ ÑÓ ÓÚÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ º ÈÖ Ñ Ö º¾º Æ Ø Ò Þ ÖÓ Ú 0, H 1, H 2,..., H n,... ÔÖ ÑÙ H n = 1 1 k n ØÞÚº ÖÑÓÒ ÖÓ Ú µº Ó ÙÒ Ò Ö ØÖ ÓÚÓ k Ò Þ ÑÓö ÑÓ Ó Ò Ð Ò Ò ÔÓÐ Þ Ó Ò Þ 1, 1,..., 1,... Ò Ö ØÖ Ø ÞÖ ÞÓÑ 1 Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÔÖ Ñ Ö µ ÑÓö ÑÓ 1 z Ò ÔÖ ÓÔ Ö ÓÑ Ð Ò Ò ÓÑ Ó Ø Ò Þ 0, 1, 1, 1,..., 1,... º ÇÚÓ 2 3 n Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö ÒØ Ö Ò ÙÒ ÓÑ Ò Ö ØÖ ÓÑ ØÓ Þ Ö ÞÙÐØ Ø ÙÒ Ù ln 1 º Æ ÓÒ ØÓ Ó ÔÓØÖ ÒÓ ÞÖ ÙÒ Ø Ô Ö ÐÒ ÙÑ 1 z ØÓ Ó ÓÚ Ö ÓÔ Ö ÑÒÓö Ò ÞÖ ÞÓÑ 1 º Ê ÞÙÐØ Ø Ð ÙÒ 1 z A(z) = 1 ln 1 º 1 z 1 z ÈÖ Ñ Ö º º Æ Ø ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) = e2z º Ó Ò Þ Ó 1 2z Ò Ò ÓÚÓÑ ÙÒ ÓÑ ÑÓö ÑÓ Ó Ò Ð Ò Òº ÙÒ e z Ò Ö Ò Þ z n ez n 0 º ØÓ ÙÒ Ò Ö Ò Þ ( 1 n! 1 z n 0 0 k n k!) zn Ó Þ ÖÓÑ Ò ÔÖ Ú ÐÓ Ô Ö ÐÒ ÙÑ Þ Ø ÓÖ Ñ º½º Æ Ö Ù Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ú Ð e Ð Ö Ò ÓÐ Þ ÑÓ Ó Ö ÞÙÐØ Ø 2z = ( 1 2z n 0 2n 1 0 k n k!) z n º º½ Ê Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÙÞ ÔÓÑÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ã Ó ØÓ Ö Ò Ö ÒÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ ÑÓ Ù ÓÖ Ø Ø Ó Ð Ø Þ Ð Ö Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º Æ Ø Ò ÔÓÞÒ Ø Ò Þ ÖÓ Ú ½

17 (a n ) n 0 Ò Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó ÓÑ ÓÚ Ò Þ Ò Òº Ì ÑÓö ÔÖ Ñ Ò Ø Ð ÓÔ Ø ÔÓ ØÙÔ Þ ÚÓî Ò Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) = n 0 a nz n ÈÓÑÒÓö ÑÓ ÐÙ Ö Ð Ù z n º ËÙÑ Ö ÑÓ Ó ÒÙ Ò Ó Ø ÔÓ nº ÁÞÖ Þ ÑÓ Ó Ò ÙÑ ÔÖ Ó ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) = n 0 a nz n º Ê ÑÓ Ó ÒÙ ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ A(z)º Ê ÞÚ ÑÓ Ù Ö Ó ÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ùº Ó Ò Ó ÒØ a n = [z n ]A(z) ÙÔÖ ÚÓ ÓÔ Ø Ð Ò ØÖ ö ÒÓ Ò Þ º ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò Ó Ò ÓÚ Ò Ò Ó ÑÓö Ø ÒÓ Ø ÚÒ Ñ ØÓ ÞÒ ØÒÓ ÓÑÔÐ ÓÚ Ò º ØÓ Ù Ô Ø Ò Ù Ö Ò ÐÒ Ò Ò º Å îùø Ñ ÓÐ Ó Ó ÓÑÔÐ ÓÚ Ò Ò Ò Ù Ô Ø Ò Ù ÓÖØ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ø Ò Þ Ò ÒÓ Ö Ú Ò ÞÒ ØÒÓ Ö ÞÒÓÚÖ Ò Ó Ø Ó ÙÔ Ø Ò Ó Ñ ÑÓ Ò Ö ÔÓÐ Ò Ù Þ Ö ØÒÓ Ö Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º ÈÖ Ñ Ö º º Æ Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð a n = 2a n ÙÞ a 0 = 1º ÈÓÑÒÓö ÑÓ Ö Ð Ù z n Þ Ø Ñ ÙÑ Ö ÑÓ Þ n 1º Ó ÑÓ Ó ÒÓ ÒÓ Ó Ð n 1 a n z n = 2 n 1 a n 1 z n + n 1 A(z) = 2zA(z) z A(z) = 1 (1 2z)(1 z) Ë ÑÓö ÑÓ Ö ÞÚ Ø Ó ÒÙ ÙÒ Ù Ù Ö A(z) = 1 (1 2z)(1 z) = 2 1 2z 1 1 z = 2 2 n z n z n n 0 n 0 Ó Ð Ð a n = 2 n+1 1º z n ½

18 ËÐ Ò Ñ ÔÖ ØÙÔÓÑ Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙ ÑÓö ÑÓ Ó Þ Ø Ð Ù Ø ÓÖ ÑÙº Ì ÓÖ Ñ º¾ Ä Ò ÖÒ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÙÒ Ò Ö ØÖ µº Ó a n Þ ÓÚÓÐ Ú Ö ÙÖ ÒØÒÙ Ö Ð Ù a n = x 1 a n 1 + x 2 a n x k a n k, Þ n k Ø Ó ÓÚ Ö Ù ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) = n 0 a nz n Ö ÓÒ ÐÒ ÙÒ A(z) = f(z)/g(z) g(z) = 1 x 1 z x 2 z 2... x k z k ÔÓÐ ÒÓÑ f(z) Ó Ö î Ò ÔÓ ØÒ Ñ Ù ÐÓÚ Ñ a 0, a 1,...,a k 1 ÑÓö ÞÖ ÙÒ Ø Þ Ò Ó Ø f(z) = g(z) a n z n (mod z k ) 0 n<k ÔÖ ÑÙ Ò ÓÚ Ø Ô Ò ØÖÓ Ó Ñ Ò Ó k ÓÖÒ Ø ÓÖ Ñ Ð Ó ÒÓ Ò Ð Ò ÖÒ ÓÑÓ Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØ Ñ Þ Ó ÑÓ Ö Ò Ú Ò Ð ÒÓÞÒ Ò ÔÓ ØÙÔ Ö Ú Ò ÓÖ Ò Ñ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ q(z) z k x 1 z k 1 x 2 z k 2... x k ÅÓö ÑÓ ÔÖ Ñ Ø Ø Ú ö g(z) = z k q(1/z)º ÇØÙ Ó Ù β 1, β 2,..., β n ÓÖ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ q(z) Ø Ù 1/β 1, 1/β 2,...,1/β n ÓÖ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ g(z) ÓÒ ÑÓö ØÓÖ Ø Ó g(z) = (1 β 1 z) (1 β 2 z)... (1 β n z) ÇÚ Ò Ò Ù ÞÙ Ò Ù Ø Ò Ù Ð ÒÓ Ø ÓÚ Ú Ñ ØÓ Þ Ö Ú Ò ØÓ Ø Ô Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º âø Ú ÓÖÒ ØÓÖ Þ ÔÓÑ ö Ù ÔÖ ÔÖ Ð ÓÑ Ö ÞÐ Ò Ó Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ò Ú ÒÓ Ø ÚÒ ÙÒ Ø ÓÞÚ Ò Ô Ö ÐÒ Ö ÞÐÓÑ Þ Ó ÒÓ Ø ÚÒÓ Ó Ö îù Ù Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò Ò ÞÓÚ ÖÓ Ú º ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ ÓÚÓ Ò ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙº ÈÖ Ñ Ö º º Æ Ø Ö Ð a n = 2a n 1 + a n 2 2a n 3 Þ n > 2 ÙÞ a 0 = 0 a 1 = a 2 = 1º Æ ÔÖ Ò Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ º¾ Ö ÙÒ ÑÓ g(z) g(z) = 1 2z z 2 + 2z 3 = (1 z)(1 + z)(1 2z) Þ Ø Ñ f(z) Ö ÙÒ ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÓ ØÒ Ù ÐÓÚ f(z) = (z + z 2 )(1 2z z 2 + 2z 3 ) (mod z 3 ) ½

19 Ó Ð Ð Ë f(z) = z(1 z) A(z) = f(z) g(z) = Ô ÓØÙ a n = 1 3 (2n ( 1) n )º z (1 + z)(1 2z) = 1 3 ( 1 1 2z z ) Æ Ö Ù ÓÚÓ ÔÓ Ð ÚÐ Ò ÚÓ ÑÓ Ó Ò ÔÖ Ñ Ö Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑ Ó Ö Ò ÐÒ Ò Ò º ÈÖ Ñ Ö º º Æ Ø Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð C n = n n 1 j n (C j 1 + C n j ), Þ n > 0 ÙÞ C 0 = 0º Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ Ó ÑÓ nc n = n(n + 1) k n C k 1 ÅÒÓö Ò Ñ z n Þ Ø Ñ ÙÑ Ö Ò Ñ ÔÓ n Ó ÑÓ ( ) C k 1 n 1 nc n z n = n 1 n(n + 1)z n + 2 n 1 1 k n ØÓ Ð ÚÓ Ò Ð Ù Ö Ò ÐÒÙ Ò ÒÙ C (z) = 2 (1 z) C(z) 1 z Ê Ú Ò Ñ ÓÚ Ö Ò ÐÒ Ò Ò Ó ÑÓ Ó Ð Ó C(z) = 2 (1 z) 2 ln 1 1 z C n = [z n ]C(z) = 2(n + 1)(H n+1 1) Ë Ø ÑÓ ÓÚÓ ÙÔÖ ÚÓ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ó Ò Ó Ú Ò ÖÓ ÙÔÓÖ î Ú Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ ÉÙ ËÓÖغ z n ½

20 º¾ ÈÖ ÖÓ Ú Ò ÔÓÑÓ Ù ÙÒ Ò Ö ØÖ Í ÓÚÓÑ ÔÓ Ð ÚÐ Ù ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ Ò Þ Ò ÑÐ Ú ÔÖ ØÙÔ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ù ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Ò º¾º Æ Ø ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø P Ò p n Ó Ð ö Ò ÖÓ Ó Ø p P Ø Ú p = nº Ì Þ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù P(z) = n 0 p nz n Ò Þ (p n ) n 0 ö ÑÓ ÔÖ ÖÓ Ú ÙÔ P º Á ÓÚÓ ÔÖ ØÙÔ Ò Ò Ò Ò Ö ØÒÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ÚÓ Ø Ú Ñ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Þ ÙÔ P Ó Ö ÑÓ ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ P(z) Þ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ø ÚÐ Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓÑ Ò ÞÙ (p n ) n 0 º Â Ò Ò Ò ÓÚÓ ÔÓ Ø Ò ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ö Ò Ù Ð Ñ ÔÖ Ñ ÖÙº ÈÖ Ñ Ö º º Æ Ø Þ Ù Σ Ò σ = Σ º Æ Ð ÙÔ Ú Ö Ò Þ Ù ÓÑ Σ Ó Ð ö Ò Σ º Ì Ð Ó Þ Ð Ù Ø ÖÓ Ö Ùö Ò n Ò Þ Ù ÓÑ Σ Ò σ n º ÇÚÓ ÑÓö ÑÓ ÔÓ Þ Ø ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÙÒ Ò Ö ØÖ º Æ p n ØÖ ö Ò ÖÓ Ò P(z) = n 0 p nz n ÙÒ Ò Ö ØÖ Ò Þ (p n ) n 0 º Ì Ú ö P(z) = n 0 p nz n = v Σ z v = 1 + aw Σ z aw = 1 + w Σ a Σ z w +1 = 1 + σz w Σ z w = 1 + σzp(z) ÃÐ Ù Ò ÓÖ Ù ÓÚÓÑ ÞÚÓî Ò Ù ÔÖÚ Ò Ó Ø Ó Ú ö Þ ØÓ ØÓ Ù ÖÙ Ó ÙÑ ÞÖ Þ z v ÔÓ ÚÐ Ù ÓÒÓÐ Ó ÔÙØ ÓÐ Ó Ñ Ö Ùö Ò v Ù ÙÔÙ Σ Ô Ó ÒØ ÙÞ z n ÙÔÖ ÚÓ p n º Í Ð Ñ ÞÚÓî Ò Ù ÑÓ ÓÖ Ø Ð Ö ÙÖÞ ÚÒÙ Ò Ù Ö Ò Þ Ù ÓÑ Σ Ö Ð ÔÖ ÞÒ Ö ǫ Ð ÐÓÚÓ Þ Ó Ñ Ð Ö º ÈÖ ÞÒÓ Ö Ó ÓÚ Ö Ö 1 Ó Ø Ø ÙÑ ÑÓö ÔÖ Ø Ú Ø Ó ÚÓ ØÖÙ ÙÑ ÔÓ ÔÖÚÓÑ ÐÓÚÙ ÔÓ Ó Ø Ø Ù Ö µº Ç Ú Ð Ó Ó ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ P(z)º Ê Ú Ò Ñ ÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò Ó ÑÓ P(z) = 1 1 σz = n 0 σ n z n Ó Ð Ð p n = σ n Ó ØÓ Ó Ú ÒÓº ËÐ ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒ ØÖ Ö ÓÖ Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Þ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ò ÖÒ Ø Ð º ¾¼

21 Ò º Ò ÖÒÓ Ø ÐÓµº Ò ÖÒÓ Ø ÐÓ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó ØÓ Þ ÙÒÙØÖ Ò ÔÓÐ Ò ÚÓÖÓÚ Ò Ö ÙÖÞ ÚÒÓ Ò Ð Ò Ò ÔÓÐ Ò ÚÓÖ e Ò ÖÒÓ Ø ÐÓº Ó Ø ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖ r Ó Ò ÖÒ Ø Ð t l t r Ø ÙÖ î Ò ØÖÓ (t l, r, t r ) Ø Óî Ò ÖÒÓ Ø ÐÓº ÚÓÖ r Ø Ò Þ Ú ÓÖ Ò Ø Ð Ó Ù Ø Ð t l t r Ö ÓÑ Ð ÚÓ ÒÓ ÔÓ Ø ÐÓ ØÓ Ø Ð º Ð Ò ÖÒÓ Ø ÐÓ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ø ÚÐ Ò Ó ÚÓÖÓÚ º È Ø Ò Ó Ò Ñ ÓÐ Ó Ö ÞÐ Ø Ò ÖÒ Ø Ð ÔÓ ØÓ ÚÓ ØÚÓÑ Ñ Ù Ø ÒÓ n ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ Æ ØÖ ö Ò ÚÖ ÒÓ Ø T n º Ë Ó Þ ÖÓÑ ÑÓö ÔÓ Þ Ø ÖÓ ÔÓÐ Ò ÚÓÖÓÚ ÙÚ Þ Ò Ú Ó ÖÓ ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ Ø T n Ø Óî Ó Ð ö Ú ÖÓ Ò ÖÒ Ø Ð Ø ÒÓ n + 1 ÔÓÐ Ò ÚÓÖÓÚ º ÈÖ Ñ Ö º º Æ T(z) ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÔÖ ÖÙö Ò Ò ÞÙ ÖÓ Ú T 0, T 1,...,T n,... ÔÖ ÑÙ T n Ó Ð ö Ò ÖÓ Ò ÖÒ Ø Ð n ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ º Ç Ð ö ÑÓ T ÙÔ Ú Ò ÖÒ Ø Ð t ÖÓ ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ Ø Ð t T º Ì Ú ö T(z) = n 0 T nz n = t T z t = 1 + (t l,r,t r) T z (t l,r,t r) = 1 + t l S = 1 + zt(z) 2 t r T z t l + t r +1 ÈÖÚ Ò Ó Ø Ú ö Þ ØÓ ØÓ Ù ÖÙ Ó ÙÑ Ú Ó z t ÔÓ ÚÐ Ù ÓÒÓÐ Ó ÔÙØ ÓÐ Ó Ñ Ò ÖÒ Ø Ð t ÚÓÖÓÚ Ô Ó ÒØ ÙÞ z n ÙÔÖ ÚÓ T n º ÖÙ Ò Ó Ø ÑÓö Ó Ò Ø Ò Ð Ò Ò Ò ÔÖ ÔÖ Ñ Ø ÑÓ T 0 = 1 Þ ØÓ ØÓ ÔÓ ØÓ Ø ÒÓ ÒÓ Ø ÐÓ ÒÙÐ ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ Ø ÐÓ Ó ØÓ ÑÓ Þ ÒÓ ÔÓÐ Ò ÚÓÖ µº ÁÞ Ú Ò Ñ ÓÚÓ Ö Ù ÙÑ Ó Ø Ù ÑÓ Ö Ó Ó ÓÚ Ö Ù Ø Ð Ñ Ö Ò Ñ ÙÒÙØÖ Ò Ñ ÚÓÖÓѺ ÈÓ Ò º ÓÚ Ø Ð ØÓ Þ ÒÓ ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖ r Ú ÔÓ Ø Ð t l t r º Ó ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Ú ö (t l, r, t r ) = t l + t r + 1 Ø Ò Ó Ø Ò º Æ Ó ÒÓÚÙ ÓÖÒ ÞÚÓî Ò Ó ÑÓ ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ Ó Ð Ð T(z) = 1 + zt(z) 2 T(z) = 1 1 4z 2z ¾½

22 Æ Þ Ö ÞÚ Ò Ñ Ó Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÑÓ Ö ÞÙÐØ Ø T n = 1 ( ) 2n n + 1 n Ò º ÍÓÔ Ø ÒÓ Ø ÐÓµº ÍÓÔ Ø ÒÓ Ø ÐÓ ÙÖ î Ò Ô Ö (v, s) v ÚÓÖ ÓÖ Ò Ø Ð s = (t 1, t 2,..., t k ) Ò Þ ÙÒ ØÒ Ø Ð ÓÒ Ò Ùö Ò k Þ ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ k 0º ËØ Ð Þ s Ò Þ Ú ÑÓ ÔÓ Ø Ð Ñ ØÓ Ø Ð º Æ Þ Ø Ð s Ò Þ Ú ÑÓ ÙÖ î Ò ÙÑ º ÈÖ Ñ Ö º º Æ T ÙÔ Ú ÙÓÔ Ø Ò Ø Ð Ò T n ÖÓ Ú Ø Ú Ø Ð n ÚÓÖÓÚ º Æ Ð ÙÒ T(z) Ò Ö ØÖ Ò Þ (T n ) n 0 º Ë Ñ ÑÓ Ð ÞÚÓî Ò T(z) = n 0 T nz n = t T z t = z + k 1 (v,(t 1,t 2,...,t k )) T z (v,(t 1,t 2,...,t k ) = z + k 1 t 1 T t 2 T... t k T z t 1 + t t k +1 = z + k 1 z 1 i k t i T z t i = z + z k 1 T(z)k = z k 0 T(z)k 1 = z 1 T(z) Ó Ð Ó ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò T(z) = z 1 1 T(z) ÓÖÒ ÞÚÓî Ò Ò ÐÓ ÒÓ ÞÚÓî Ò Ñ Þ ÔÖ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ö ÙÞ ÔÖ Ñ Ù ÑÓ ÙÑÙ ÔÓ Ú Ñ Ø Ð Ñ Ò ÔÖ Ö Þ Ð Ò ÙÑÙ ÔÓ k ÔÖ ÑÙ Ú Ö ÓÚ ÙÑ ÙÑ ÔÓ Ú Ñ Ø Ð Ñ Ø ÒÓ k ÔÓ Ø Ð º Ë Ö z Þ ÚÓ Ò Ó ÔÓ Ò ÐÙ Ø Ð 0 ÔÓ Ø Ð º Ç Ú Ó T(z) = 1 1 4z 2 Ó Ð Ö ÞÚ Ò Ñ Ó Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÖÓ Ú Ø Ð n ÚÓÖÓÚ Ò T n = 1 ( ) 2n 2 n n 1 Ó Ò ÖÓ Ú Ò Þ Ú Ù Ã Ø Ð ÒÓÚ ÖÓ Ú º Ë Ú Ò ÑÓö Ø Ùö Ò 0º Í ØÓÑ ÐÙ Ù Ø ÐÓ ÚÓ Ò Ò ÚÓÖ ÓÖ Ò vº ¾¾

23 ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÖÓ Ú ÙÓÔ Ø Ò Ø Ð n ÚÓÖÓÚ Ò ÖÓ Ù Ú Ò ÖÒ Ø Ð n 1 ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ º ÇÚÓ Ò ÐÙ ÒÓº ÈÓ ØÓ ÒÓÞÒ Ò ÓÖ ÔÓ Ò ÞÑ îù Ò ÖÒ Ø Ð n 1 ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ ÙÓÔ Ø Ò Ø Ð n ÚÓÖÓÚ º ÇÔ Ú Ò ÓÚ ÓÖ ÔÓ Ò ÔÖ Ú Þ Ð Þ Ó Ú Ö ÓÚÓ Ö º Ø Ð Ø Ð ÑÓö ÔÓ Ð Ø Ò Ù ½ º ÈÖ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÓ ÞÙ Ù Ó ÑÓö ÑÓ Þ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ð Ò ÓÚ ÚÓ Ö ØÒÓ ÞÚÓî Ò Ú Ð ÑÓ Ò ÒÓ Ø ÚÒÓº Æ Ö Ù ÔÓ ØÓ ÒÓ Ø ÚÒ Ð ÒØÒ Ò Ò Óî Ó ÓÖ Ó Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò º Ç ØÓÑ ÓÚÓÖ ÑÓ Ù Ð Ñ ÔÓ Ð ÚÐ Ùº º Ë Ñ ÓÐ Ñ ØÓ ËÚ ÐÓö Ò ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø ÔÓ ÔÖ Ú ÐÙ ÑÓö ÔÖ Ø Ú Ø Ó ØÖÙ ØÙÖ Ø ÚÐ Ò Ó Ñ Ò ÒÓ Ø ÚÒ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó Ù Ò Ó Ö î Ò Ò Ò ÔÓÚ Þ Ò Ñ îù Ó ÓѺ ÖÙ Ñ Ö Ñ ÐÓö Ò ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ö ÑÓ Ø Ó ØÓ Ò Ó Ö î Ò Ò Ò ÓÑ ÒÙ ÑÓ ÔÖÓ Ø Ó Ø ÔÖ Ñ Ò Ù Ù Ó ÓÚ Ö Ù ÔÖ Ú Ð º Ç ÓÚÓÑ ÓÚÓÖ Ð Ò º Ò º ÃÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø µº Æ Ù Ø ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø A Bº Ì ÔÓÐ Þ Ó ÓÚ ÙÔÓÚ ÑÓ Ù ÓÒ ØÖÙ Ø Ð ÙÔÓÚ ÙÒ ØÒ ÙÒ ÙÔÓÚ Ù ÓÞÒ A + B Ù Ð Ñ ÒØ Ú Ó Ø Ó Ù Ð Ñ ÒØ ÒÓ Ó ÙÔÓÚ A Ð B Ú ö A B = º ÈÖ ØÓÑ Ú Ð Ò Ú Ó Ó Ø ÙÔ A + B Ò Ú Ð Ò Ó Ù Ø Ó Ø Ñ Ó Ù ÙÔÙ Þ Ó ÔÓØ º ÖØÓÚ ÔÖÓ ÞÚÓ ÙÔÓÚ Ù ÓÞÒ A B Ù Ð Ñ ÒØ ÙÖ î Ò Ô ÖÓÚ Ó Ð (a, b) ÔÖ ÑÙ a A b Bº ÈÖ ØÓÑ (a, b) = a + b Ø º Ú Ð Ò Ú Ó ÙÖ î ÒÓ Ô Ö Ò Þ ÖÙ Ú Ð Ò Ó Ø Þ Ó Ø ÚÐ Òº ÖØÓÚ Ø Ô Ò ÙÔ Ù ÓÞÒ A n, n N 0 Ù Ð Ñ ÒØ ÙÖ î Ò n¹ ØÓÖ Ó Ð (a 1, a 2,...,a n ) ÔÖ ÑÙ a i A, i = 1, 2,..., nº ÈÖ ØÓÑ (a 1, a 2,...,a n ) = a 1 + a a n Ø º Ú Ð Ò Ú n¹øóö Ò Þ ÖÙ Ú Ð Ò Ó Ø Þ Ó Ø ÚÐ Ò º ËÔ ÐÒÓ A 0 = {ǫ} ǫ ÔÖ Þ Ò Ò Þ Ú ö ǫ = 0º Ë ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó Ó ÔÓÐ Þ ÑÓ Ó ÒÓ Öö Ò ¹ ÒÓ Ø ÚÒ Ó Ø º Ç ÓÚ ÙÔÓÚ ÓÖ ÓÔ Ò Ñ ÓÔ Ö Ñ Ó ÑÓ ÙÔÓÚ ÐÓö Ò Ó Ø º ¾

24 ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÑÓ Ù Ò ½º¾ ØÖ Ò µ Ú Ð ÒÙ Ó Ø p Ù ÓÞÒ p µ Ò Ð ÔÓØÔÙÒÓ ÙÓÔ Ø ÒÓ Ò ÙÐ Þ Ù Ñ Ó ÓÚ ÙÒ º Ë Ú ÑÓ Ú Ð Ò Ó Ø ÒÓ Ò Ò Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ú Ð Þ ÓÒ ØÖÙ Ù ÐÓö Ò Ó Ø º  ÒÓ ØÓ ÔÓØÖ ÒÓ Ò ÑÓ Ú Ð ÒÙ Ó Ø Ó Ò Ó ÒÓÚÒ ÙÔ Ú Ð Ò ÐÓö Ò Ó Ø Ò ÓÒ ØÓ ÒÓÞÒ ÒÓ Ó Ö î Ò º ÈÖ Ñ Ö º½¼º Ë ÙÔ Ú Ò ÖÒ Ø Ð ÑÓö ÓÒ ØÖÙ Ø Ò Ð Ò Òº Ê ÞÑ ØÖ ÑÓ Ó ÒÓÚÒ ÙÔ {e, r} ÔÖ ÑÙ e ÔÓÐ Ò r ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖº Æ e = 0 r = 1º Ë ÙÔ Ò ÖÒ Ø Ð ÑÓö Ò Ø Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ½¼ Ó T = {e}+t {r} T Ú Ó Ø ÐÓ Ð ÔÖ ÞÒÓ Ò ÔÓÐ Ò ÚÓÖµ Ð Öö ÓÖ Ò ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖµ Ú ÔÓ Ø Ð Ð ÚÓ ÒÓº Ë Ó Þ ÖÓÑ Ò Ò Ò Ò Ó ÑÓ Ò Ð Ú Ð ÒÙ Ó ÒÓÚÒ Ó Ø ÒÓ Ú Ð Ò Ú Ó Ø Ð Ø ÖÓ ÙÒÙØÖ Ò ÚÓÖÓÚ º Ó ö Ð ÑÓ Ò ÑÓ Ú Ð ÒÙ Ø Ð Ó ÖÓ ÔÓÐ Ò ÚÓÖÓÚ Ø ÓÚÓÐ ÒÓ Ò ÑÓ e = 1 r = 0º ÇÔ Ö ÖØÓÚÓ Ø Ô Ò Ù ØÚ Ö Ú ØÖÙ ÖØÓÚ ÔÖÓ ÞÚÓ ÙÔ Ñ Ñ Ó ÓÑ Ø º Ú ö A n = A A... A }{{} n ÈÖ Ú ÐÓ ÓÒ ØÖÙ ÖØÓÚ Ñ Ø Ô ÒÓÑ ÓÑÓ Ù Ú Ò Ò Ó Ø Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ù Ò ÞÓÚ Ó Ø Ò Ó ÙÔ Ó Ö î Ò ÓÒ Ò Ùö Ò º ÈÖ Ñ Ö º½½º Æ Ø Ó ÒÓÚÒ ÙÔ {v} Ð Ñ ÒØ v ÔÖ Ø ÚÐ ÚÓÖµ Ò v = 1º Ë ÙÔ ÙÓÔ Ø Ò Ø Ð ÑÓö Ò Ø Ò Ð Ò Ò T = {v} ( n 0 T n ) Ø ÐÓ Ò ÓÖ Ò Ò Þ Ò ÓÚ ÔÓ Ø Ð º ½½ Î Ð Ò Ø Ð Ù Ð Ù ÓÚÓÑ Ò ÓÑ ÙÔÖ ÚÓ ÖÓ ÚÓÖÓÚ Ù Ø ÐÙº ÈÖ Ñ Ö º½¾º Ë ÙÔ Σ Ú Ö Ò Þ Ù ÓÑ Σ ÑÓö ÓÒ ØÖÙ Ø Ò Ð Ò Òº Æ Ó ÒÓÚÒ ÙÔ Σ {ǫ} Ò Þ a Σ Ú ö a = 1 Ò Ú ö ǫ = 0º Î ö Σ = {ǫ} + Σ Σ Ö Ð ÔÖ ÞÒ Ö ǫ Ð Ù Ô Ø Ò Ù ÐÓÚÓ Þ Ó Ñ Ð Ö ½¾ º Æ Ó ÒÓÚÙ ÓÚ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ó ÖÓ ÐÓÚ Ù Ò ØÓ ÔÖ ÖÓ Ò Ò Ùö Ò º Ç ÒÓÚÒÓ Ô Ø Ò Ó ÓÚ ÔÓ Ø ÚÐ Ó ÔÖ ÖÓ Ø Ð Ñ ÒØ ÐÓö ÒÓ ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó ÞÒ ÑÓ ÔÖ ÖÓ ÑÓ ÙÔÓÚ Ó Ø Þ Ó ÓÚ ÙÔ ÓÒ ØÖÙ Òº ÖÙ Ñ Ö Ñ Ú Ú Þ ½¼ Ë Ó Þ ÖÓÑ Ù ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó ÒÓ Ö ÙÖÞ ÚÒ ØÖÙ ØÙÖ ÙÓ ÒÓ ÓÒ Ö ÙÖÞ ÚÒÓ Ò Ùº ½½ ËÙÑ ÓÚ ØÙÑ Ó ÙÒ ØÒ ÙÒ n 0 T n = T 0 +T 1 +T T n +... º ½¾ ÖÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Σ = n 0 Σn ÙÔ Ú Ò ÞÓÚ ÓÒ Ò Ùö Ò Ó Ø Þ Σº ¾

25 ÙÒ Ò Ö ØÖ ÓÚ ÙÔÓÚ Ç ÓÚÓÖ Ò ÓÚÓ Ô Ø Ò Ò Ñ Ð Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ º º Æ Ù Ø Ú ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø A B Ò Ù ÙÒ A(z) B(z) Ö Ô Ø ÚÒÓ Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÔÖ ÖÓ Ú Ùº Ì Ú ö Ð ÙÒ ØÒÓ ÙÒ A + B Ø ÙÔÓÚ Ó ÓÚ Ö ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) + B(z) ÖØÓÚÓÑ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù A B Ø ÙÔÓÚ Ó ÓÚ Ö ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z)B(z)º ËÔ ÐÒÓ ÖØÓÚÓÑ Ø Ô ÒÙ A n Ó ÓÚ Ö ÙÒ Ò Ö ØÖ A(z) n º Ë ÙÔÙ n 0 An Ú Ò ÞÓÚ Ó Ø Þ A ÓÒ Ò Ùö Ò Ó ÓÚ Ö ÙÒ Ò Ö ØÖ 1 1 A(z) º Ã Ó ØÓ Ú ÑÓ Þ ÓÚ Ø ÓÖ Ñ ÔÓ ØÓ Ú ÓÑ ÒÓ Ø ÚÒ ÔÖ ÖÓ Ò ÓÖ ÔÓ Ò ÞÑ îù ÔÖ Ú Ð Þ ÓÒ ØÖÙ Ù ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø ÔÖ Ú Ð Þ ÞÚÓî Ò Ò Ñ ÔÖ ÖÙö Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ º Ì Óî Ö ÙÖÞ ÚÒ Ò ÙÔ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø ÔÖ ÖÓ ÒÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ º ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ ÓÚÓ Ò Ð Ñ ÔÖ Ñ Ö Ñ º ÈÖ Ñ Ö º½ º Ò ÐÓ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÙ º ÑÓö ÑÓ Ö ÞÑ ØÖ Ø ÙÔ Ú Ö Ò Þ Ù ÓÑ Σº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ñ Ö º½¾ ÙÔ Σ ÑÓö Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ÔÖ Ø Ú Ø Ò Ð Ò Ò Σ = {ǫ} + Σ Σ ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ò ÔÖ ÙÔ Σ ÔÖ ÖÓ Ú ÙÒ Ò Ö ØÖ σz Þ ØÓ ØÓ ÓÚ ÙÔ ØÓ Þ σ Ó Ø Ú Ð Ò 1º Ç Ú Ò Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ º ÞÚÓ ÑÓ ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙ ÔÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ P(z) ÙÔ Σ P(z) = 1 + σzp(z) Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÙ º º ÐØ ÖÒ Ø ÚÒÓ Ó ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Σ = n 0 Ø ÔÓÒÓÚÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ º Ö Ò ÑÓö Ó Ø Ö ØÒÓ P(z) = ¾ Σ n 1 1 σz

26 ÈÖ Ñ Ö º½ º Ë ÙÔ Ú Ò ÖÒ Ø Ð T ÑÓö Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ñ Ö º½¼ Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ÓÔ Ø Ò Ð Ò Ò T = {e} + T {r} T ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÙÔ {r} ÔÖ ÖÓ Ú ÙÒ Ò Ö ØÖ z Ö Öö ÑÓ Ò Ó Ø Ú Ð Ò 1º Ç Ú Ó ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ T(z) ÙÔ T Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÙ º º T(z) = 1 + T(z) z T(z) = 1 + zt(z) 2 ÈÖ Ñ Ö º½ º Ë ÙÔ Ú ÙÓÔ Ø Ò Ø Ð T ÑÓö Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ñ Ö º½½ Ö ÙÖÞ ÚÒÓ ÓÔ Ø Ò Ð Ò Ò T = {v} ( n 0 T n ) ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÙÔ {v} ÔÖ ÖÓ Ú ÙÒ Ò Ö ØÖ z Ö Öö ÑÓ Ò Ó Ø Ú Ð Ò 1º Ç Ú Ó Ñ Ó ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ T(z) ÙÔ T Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÙ º º T(z) = z 1 1 T(z) Ø Ð Þ ÒØ Ö ÓÚ Ò Þ Ú Ò ÓÖÑ Ó Ñ ÓÐ ÓÑ Ñ ØÓ Ù ÙÒ Ñ Ò Ö ØÖ Ñ ÑÓö ÔÓ Ð Ø Ò Ù ½ º Î Ó ÔÖ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù ÓÑ Ò ØÓÖ ÑÓö ÔÖÓ Ø Ø Ù Ò Þ ¾ º º Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ º ÈÖ Ñ Ò Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÑÓ ÙÔÓÞÒ Ð Ó ÒÓÚÒ Ø Ò ÔÖ ÖÓ Ú Ò ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø ÔÖ ÑÙ ÑÓ Ó Ø Ö ÞÚÖ Ø Ú Ð ÔÓ Ú Ð Ò º Í ÐÙ Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÚÓ Ò ÓÚÓÐ ÒÓº Æ Ó ÒÓÚÙ Ò ½º¾ ÞÒ ÑÓ Ò Ñ Þ ÞÖ ÙÒ Ú Ò ÔÖÓ Ò Ò Ó Ø Ú Ð Ò n ÔÓØÖ ÒÓ ÞÒ ÑÓ ÓÐ Ó Ó Ø Ú Ð Ò n Ñ ÒÙ k Þ Ú Ó k 0º ÇÚÓ ÞÒ Ò Ñ ÔÓØÖ ÒÓ Ó ØÒÓ Ö ÞÚÖ Ø Ú Ò Ó Ø ÔÓ Ò º ÖÙ Ñ Ö Ñ ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÚÓ Ñ ÒÞ ÓÒÓ Ò Þ p n,k Ó Ù Ò ½º¾º Ç Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù ÓÚÓÑ ÐÙ Ù Ò Ù ÓÚÓÐ Ò Þ ØÓ ØÓ ÓÒ ÔÖ ÖÙöÙ Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ÓÒ Ñ Ò ÞÓÚ Ñ º ØÓ ÙÚÓ ÑÓ Ð Ù Ò Ùº ¾

27 Ò º º Æ (p n,k ) n,k 0 ÚÓ Ñ ÒÞ ÓÒ Ò Þº Ì ÙÒ Ù P(u, z) = n,k 0 p n,k u k z n Ò Þ Ú ÑÓ Ú Ö ÒØÒÓÑ ÙÒ ÓÑ Ò Ö ØÖ ÓÑ Ó ÔÖ ÖÙö Ò ÓÚÓÑ ÚÓ Ñ ÒÞ ÓÒÓÑ Ò ÞÙº ÃÓÖ Ø ÑÓ ÒÓØ Ù [z n ][u k ]P(u, z) Þ Ó ÒØ p n,k Ø º Þ Ó ÒØ ÙÞ z n u k º Æ Ø ÙÔ P ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ù ÑÓ Ù ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ º Æ p n,k ÖÓ Ó Ø ÙÔ P Ú Ð Ò n ÒÓÑ kº Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÔÖ ÖÙö Ò ÓÚÓÑ ÚÓ Ñ ÒÞ ÓÒÓÑ Ò ÞÙ Ù Öö Ú Ò ÓÖÑ Ó Ö ÔÓ Ð ÔÓ Ú Ð Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÙÔ P º Ç ÓÚÓÑ ÓÚÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ º º Ó p n,k ÖÓ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø p P Ú Ð Ò n Ò k Ó P(u, z) = n,k 0 p n,ku k z n Ó ÓÚ Ö Ù Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ø Ú ö P(1, z) = n 0 p nz n ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÔÖ ÖÓ Ú ÙÔ P º ðp ðu (u, z) u=1 = n 0 σ nz n = C(z) ÙÑÙÐ Ø ÚÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ º [zn ] ðp ðu (u,z) u=1 [z n ]P(1,z) = c n ÔÖÓ Ò Ò Ó Ø Ú Ð Ò nº [zn ] ð 2 P ðu 2 (u,z) u=1 + [zn ] ðp (u,z) ðu [z n u=1 ]P(1,z) [z n ]P(1,z) ( [z n ] ðp (u,z) ) 2 ðu u=1 Ô ÖÞ ÐÙ Ò [z n ]P(1,z) Ú Ð Ò c Ø º Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÒÓ Ó ØÙÔ Ò Ó Ó Ú Ò Ò º Í ÓÖÑÙÐ Ø ÓÖ Ñ ÙÚ Ò ÔÓ Ñ ÙÑÙÐ Ø ÚÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ C(z) = n 0 σ nz n º ÇÚÓ Ù ØÚ Ö Ó Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ Ó ÔÖ ÖÙö Ò Ò ÞÙ (σ n ) n 0 ÙÑÙÐ Ø ÚÒ Ò º Ó ÞÒ ÑÓ ÙÑÙ Ú Ò Ó Ø Ú Ð Ò n Ø Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ó Ø ÓÚ Ú Ð Ò Ó ÔÖÓ Ò Ò ØÓ Ò Ñ Ø Ö Ò Ð º Ð ÔÙØ Ö Ò Ù Ð Ç Ö ÑÓ Ó ÓÚ Ö Ù Ù Ú Ö ÒØÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ùº Æ Ó ÒÓÚÙ ÓÚ ÙÒ ÓÖÒ Ø ÓÖ Ñ ÞÖ ÙÒ ÑÓ ÙÑÙÐ Ø ÚÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù Ó ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù Ó ÔÖ ÖÓ Ú ÙÔ ÓÑ Ò ØÖÓÒ Ó Ø P ÔÓ Ú Ð Ò Ñ µº ÃÓÐ Ò Ó Ò Ø ÙÞ n¹ø Ø Ô Ò ÓÚ Ø Ô Ò Ö ÓÚ ÙÔÖ ÚÓ ØÖ ö Ò ÔÖÓ Ò Ò Ú Ó Ø Ú Ð Ò nº ¾

28 ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ ÓÚÓ Ò ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙº ÈÖ Ñ Ö º½ º Æ Ø ÙÔ B = {0, 1} Ú Ò ØÓÚ Ò Ò c(s) ÖÓ Ò Ù Ò sº Ì ÑÓö ÑÓ ÞÚ Ø Ð Ù Ú Ö ÒØÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù B(u, z) = n,k 0 p n,ku k z n = s B uc(s) z s = 1 + bs B uc(bs ) z bs = 1 + s B uc(s ) z s +1 + s B uc(s )+1 z s +1 = 1 + z s B uc(s ) z s + zu s B uc(s ) z s = 1 + zb(u, z) + zub(u, z) ÇÚ ÑÓ Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÙ º Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ð Ö ÙÖÞ ÚÒÙ Ò Ù Ö Ò Þ Ù ÓÑ Þ Ø Ñ ÑÓ Ö Ùö Ò Ö Ò Ö Þ Ð Ò Ú Ð ÓÒ Ó ÔÓ Ò Ù Ò ÓÑ ÓÒ Ó ÔÓ Ò Ù ÒÙÐÓѺ Í ÔÖÚÓÑ ÐÙ Ù Ò Ö Þ Ò Ú Ó Ò Ó Ø Ø Ö Þ ÔÖÚÓ ÐÓÚ µ Ó Ù ÖÙ ÓÑ ÐÙ Ù Ò Ò Ò Ó Ø Ø Ö º ÁÞ ÓÖÒ ÞÚÓî Ò Ð B(u, z) = 1 1 z uz Ç Ú Ó ÑÓ ðb(u,z) z = ØÓ Þ u = 1 ÙÑÙÐ Ø ÚÒÙ ðu (1 z uz) 2 z ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù C(z) = = (1 2z) 2 n 1 n2n 1 z n º Ë ÖÙ ØÖ Ò B(1, z) = 1 = 1 2z n 0 2n z n º Ç Ú Ó ÑÓ ÔÖÓ Ò Ò c n = n2n 1 = n ØÓ ÐÓ Þ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø º 2 n 2 ËÐ Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ó ÓÖ Ò Ñ Ñ ÓÐ Ó Ñ ØÓ B = {ǫ} + {0, 1} B ÁÑ Ù Ù Ú Ù ÙÔÙ {0, 1} Ó ÓÚ Ö Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ z +uz Ò Ó Ø Ú Ð Ò Ò Ò ÒÙÐ Ò Ó Ø Ú Ð Ò Ò Ò Òµ Ð ½ B(u, z) = 1 + (z + uz)b(u, z) Ø º Ó ÑÓ ØÙ ÙÒ ÓÒ ÐÒÙ Ò ÒÙº ÈÖ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ö Ñ ÔÖ Ø ÒÙ ÔÖ Ñ ÒÙ Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ö ÞÑ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÒÓö Ò Ò ÓÞÒ Ò Ò ÖÒ ÖÓ Ú Ø ÒÓ ÖÓ Ó Ú Ò ÑÒÓö Ò Ø Ñ ÔÓØÖ ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ò ÓÔ Ö ½ Ã Ù Ô Ø Ò Ù Ñ ÓÐ Ñ ØÓ Þ Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ú ö Ø ÓÖ Ñ Ò ÐÓ Ò Ø ÓÖ Ñ º º ¾

29 Þ Ú Ø Ö ØÒÓ Ó ÖÓ Ò Ù Ò ÖÒÓÑ Þ Ô Ù ÑÒÓö Ó º Ê ÞÙÐØ Ø ÓÚÓ ÔÖ Ñ Ö Ò Ñ ÓÚÓÖ ÑÒÓö Ò n¹øó Ö Ò Ñ Ò ÖÒ Ñ ÖÓ Ñ Ù ÔÖÓ Ù ÚÓ Ò n/2 Ö Ò Ò ÖÒ ÖÓ Ú º Ú Ö ÒØÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù Ò ÙÚ Ø Ó Ð Ó ÞÖ ÙÒ Ø º Å îùø Ñ ÓÒ Ò Ñ ØÓ Ò Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ô ÑÓ Ò Ñ Ð Ñ ÔÙØ Ñ Óî ÑÓ Ó ÙÑÙÐ Ø ÚÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ö Ò ÔÖÓ Ò Ò Ö Ò Þ ÔÓÞÒ Ú Ò Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ º ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ ÓÚÓ Ò ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙº ÈÖ Ñ Ö º½ º ÍÞ ÓÞÒ Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙ ÙÑÙÐ Ø ÚÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù C(z) = n 0 σ nz n ÑÓö ÑÓ ÞÖ ÙÒ Ø Ö ØÒÓ Ò Ð Ò Ò C(z) = n 0 σ nz n = s B c(s)z s = bs B c(bs )z bs = s B (c(s ) + 1)z s +1 + s B c(s )z s +1 = 2z s B c(s )z s + s B z s +1 = 2zC(z) + z 1 2z Ç Ú C(z) = z Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙº (1 2z) 2 ËÐ ÔÖ Ñ Ö ÔÖ ÞÙ Ò ØÓ ÐÓö Ò ÞÚÓî Ò º ÈÖ Ñ Ö º½ º Æ Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙ Ø ÙÔ B = {0, 1} Ú Ò ØÓÚ Ð Ò ÓÚÓ ÔÙØ Ò c(s) Ò s Ò Ò Ó ÖÓ ÔÖ Ð Þ ÒÙÐ Ò Ò Ù Ð Ó ÖÒÙØÓ ÒÔÖº Ò Ò µº Ò ÑÓ B 0 Ó ÙÔ Ú Ò ØÓÚ Ó ÔÓ Ò Ù ÒÙÐÓÑ B 1 Ó ÙÔ Ú Ò ØÓÚ Ó ÔÓ Ò Ù Ò ÓѺ Ì Ú ö B = B 0 + B 1 + {ǫ} B 0 = {0} B 0 + {0} B 1 + {0} B 1 = {1} B 0 + {1} B 1 + {1} Ð Ú Ö Ð ÔÖ ÞÒ Ð ÔÓ Ò ÒÙÐÓÑ Ð ÔÓ Ò Ò ÓѺ Ê Ó ÔÓ Ò ÒÙÐÓÑ Ð Ö 0 Ð Ò ÓÒ ÔÓ ØÒ ÒÙÐ Ð Ö Ó ÔÓ Ò ÒÙÐÓÑ Ð Ò ÓÒ ÔÓ ØÒ ÒÙÐ Ð Ö Ó ÔÓ Ò Ò ÓѺ Ò ÐÓ ÒÓ Ú ö Þ Ö Ó ÔÓ Ò Ò ÓѺ Æ Ó ÒÓÚÙ Ñ ÓÐ Ó Ñ ØÓ Ó ÑÓ B(u, z) = B 0 (u, z) + B 1 (u, z) + 1 B 0 (u, z) = zb 0 (u, z) + uzb 1 (u, z) + z B 1 (u, z) = uzb 0 (u, z) + zb 1 (u, z) + z ÈÖ ØÓÑ Ù ÙÒ B 0 (u, z) B 1 (u, z) Ö ÓÑ Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ ÔÖ ÖÙö Ò ÙÔÓÚ Ñ B 0 B 1 º ÈÓ ØÒÓ ÐÓÚÓ ÑÓö Ñ Ø ÒÙ 0 Ð 1 Ù Þ Ú ÒÓ Ø Ó ØÓ Ó ÐÓÚÓ Ð Ò ÓÒ Ò Ø º Ð ÔÓ ØÓ ÔÖ Ð Þ Ð ¾

30 Ò º ÍÔÖ ÚÓ Þ ØÓ ÔÓ ØÒÓÑ ÐÓÚÙ Ù Ò Ñ ØÙ Ñ Ó ÓÚ Ö Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ z Ù Ò Ñ uzº Ê Ú Ò Ñ Ø Ñ Ò Ò ÔÓ ØÖ Ò ÔÓÞÒ Ø ÙÒ Ó ÑÓ B 0 (u, z) = B 1 (u, z) = z 1 z uz B(u, z) = B 0 (u, z) + B 1 (u, z) + 1 = 1 + z uz 1 z uz Ö Ò Ö Ò Ñ ÔÓ u Þ u = 1 Ó ÑÓ ÙÑÙÐ Ø ÚÒÙ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù ðb(u, z) ðu = u=1 2z 2 1 z uz) 2 = u=1 Ë ÖÙ ØÖ Ò B(1, z) = 1 1 2z Ó ØÓ Ó Ú ÒÓº ÈÖÓ Ò Ò 2z 2 (1 2z) 2 c n = [zn ] ðb ðu (u, z) u=1 [z n ]B(1, z) = (n 1)2n 1 = n 1 2 n 2 Ð Ù ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ Ò ØÓÚ Ùö Ò n Ñ Ù ÔÖÓ Ù n 1 2 ÔÖ Ð Þ º ÇÚ Ö ÞÙÐØ Ø Ø Óî Ñ Ú ÓÑ ÞÒ ÒÙ ÔÖ Ø ÒÙ ÔÖ Ñ ÒÙ Ù ÐÙ Ù ÑÒÓö Ò ÓÞÒ Ò Ò ÖÒ ÖÓ Ú ÙØÓÚ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓÑ ÓÔ Ö Ö Ò Ð Ó ÙÞ Ñ Ò ÑÒÓö Ò Ó ÚÐ Ù ÑÓ Ó ÔÓ ØÓ ÔÖ Ð Þ ÞÑ îù Ú Ù Ò Ø Ù ÑÒÓö ÓÙº Ë Ñ Ñ Ø Ñ ÑÒÓö Ò Ú ÓÞÒ Ò ÖÓ ÚÓ Ò Ù ÔÖÓ Ù (n 1)/2 Ö Ò Ð Ó ÙÞ Ñ Ò Ò ÖÒ ÖÓ Ú Ù Ð Ù Ö ÞÙÐØ ØÓÑ ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÔÖ Ñ Ö º Ð Ù Í ÔÖ Ø Ó Ò Ñ ÔÓ Ð ÚÐ Ñ ÑÓ ÙÔÓÞÒ Ð Ö ÞÐ Ø Ñ ÔÖ ØÙÔ Ñ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÖ Ñ Ö Ñ ÑÓÒ ØÖ Ö Ð Ò ÓÚ Ó ÒÓ º Ò Ð ÞÓÑ Ò ÓÖ ÐÙ ÙØÚÖîÙ ÑÓ ÓÖÒ Ù Ö Ò Ù ÚÖ Ñ Ò ÞÚÖ Ú Ò ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Þ ÙÐ Þ Ó Ö î Ò Ú Ð Ò º Ó Ò ÓÖÒ Ö Ò ÔÖ Ø ÚÐ ÚÖ Ñ Ó ÓÚÓÐ ÒÓ Þ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Þ Ó Þ Ö Ò ÙÐ ÞÒÙ Ò Ø ÒÙ Ø Ú Ð Ò º Ë ÖÙ ØÖ Ò ÔÓ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ù ÔÖÓ ÒÓÑ ÐÙ Ù Ù ÞÒ ØÒÓ ÓÐ Ö ÞÙÐØ Ø Ò Ó Ù Ò ÓÖ Ñ ÐÙ Ùº Â ÒÓ ÓÚ Ú Ð ÓÖ ØÑ Ò ØÖ Ó Ø Ö Ù ÔÖ ÔÖÓ ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò Ò ÓÐ Ñ Ö ÙÔÓØÖ Ð ÚÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÍÔÖ ÚÓ Ù ÓÚÓÑ Ó Ð ÞÒ ¼

31 Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ö Ø ÚÓÑ Ò Ð ÞÓÑ ÔÖ ÔÓÞÒ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ó Ù Ó Ö ÔÖÓ Ò Ö ÞÙÐØ Ø º Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ Ó Ð Ò Ò Ø ÓÖ Ù Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ö ÔÖÓ ÒÓ ÚÖ Ñ ÞÚÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ ÑÓö Ö ÞÑ ØÖ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ú Ò Ó ÓÚ Ö Ù ÐÙ Ò Ú Ð Ò º ÍÐ ÞÒ Ò Ø Ò Ö ÞÑ ØÖ Ù Ó Ó ÐÙ ÒÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ó ÒÓÚÙ Ó Ö îù Ö ÔÓ Ð ÐÙ Ò Ú Ð Ò Ó Ö ÞÑ ØÖ ÞÖ ÙÒ Ú Ò Ò Ó Ú Ò ÚÖ ÒÓ Øº Ç Ö î Ú Ò Ö ÔÓ Ð ÚÓ Ò ÔÖ ÖÓ Ú Ò ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º Ê ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ ÒÞ ÚÒÓ ÓÖ Ø Ó Ù Ò Ð Þ Ò ÓÖ ÐÙ Ø Ó Ù Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ º ÈÖ Ð ÓÑ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÔÓ ÔÖ Ú ÐÙ Ó Ù ÓÑÔÐ ÓÚ Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ò ÓÚÓ ÞÚÓî Ò ÞÒ ØÒÓ Ø ö º ÙÒ Ò Ö ØÖ ÑÓ Ù Ö Ø Ó ÓÚ ÔÖÓ Ð Ñ º Ë Ò ØÖ Ò ÙÒ Ò Ö ØÖ ÑÓ Ù ÓÖ Ø Ø Þ ÒÓ Ø ÚÒ Ö Ú Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ò ÓÚ Ñ ÚÓî Ò Ñ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ º Ë ÖÙ ØÖ Ò ÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÑÓ Ù ÞÚ Ø Ö ØÒÓ ÔÓØÔÙÒÓ Þ Ó Ð Þ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð Ñ Þ Ó Ð Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ø Ù ÔÖ Ð ÓÑ ÞÚÓî Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÙÖ ÒØÒ Ö Ð º Ë Ñ ÓÐ Ñ ØÓ ÒÓ Ø Ú Ò Ð ÒØ Ò ÔÖ ØÙÔ ÔÖ ÖÓ Ú Ò Ù ÙÔÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø º ÇÚ Ñ Ñ ØÓ ÓÑ ÙÔÙ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ö ØÒÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ò ÓÚ Ö ÙÖÞ ÚÒ Ò Ó Ð Ù ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÙÒ Ò Ö ØÖ ÔÖ Ñ Ò Ù Ù Ú ÓÑ ÒÓ Ø ÚÒ ÔÖ ÖÓ Ò ÔÖ Ú Ð º Ê Ú Ò Ñ Ó Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ò Ó ÑÓ ÙÒ Ù Ò Ö ØÖ Ù Ó ÔÖ ÖÓ Ú Ø ÙÔº ÈÖ Ð ÓÑ Ò Ð Þ ÔÖÓ ÒÓ ÐÙ ÓÑ Ò ØÓÖÒ Ó Ø Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ù ÙÐ ÞÒ Ò Ø Ò ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ö ÞÚÖ Ø Ú Ù ÔÓ Ú Ö ÞÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓ Ú Ð Ò ÔÓ Ò º Ê ÞÙÐØ Ø ÓÚ ÚÓ Ö ÞÚÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒÞ ÓÒ Ò Þ Ó ÔÖ Ø ÚÐ Ú Ö ÒØÒÓÑ ÙÒ ÓÑ Ò Ö ØÖ ÓѺ ÈÖ Ð ÓÑ Ó Ö î Ú Ò Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ø Óî ÑÓö ÓÖ Ø Ø Ñ ÓÐ Ñ ØÓ º Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ò Ö ØÖ Ù Öö Ú Ò ÓÖÑ Ó Ö ÔÓ Ð Ø Ó Ò ÒÓ ÔÓÞÒ Ú Ò ÓÚÓÐ ÒÓ ÞÖ ÙÒ Ù Ú Ú Ð Ò Ó ÒØ Ö ÔÖÓ Ò Ò Ø Ò Ö ÒÓ Ó ØÙÔ Ò ÑÓÑ ÒØ Ú Ö µº Í ÓÚÓÑ Ö Ù ÔÖ Ø ÚÐ Ò Ò Þ Ò ÑÐ Ú ÔÖ ØÙÔ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ º Í ÔÓ Ø ÚÐ Ò Ú Þ ÞÑ îù Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÒÓ ÖÙ Ñ Ø Ñ Ø ÔÐ Ò º ÁÞÒ Ú ÑÓÒ ØÖ Ö Ò ÞÒ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ù Ø ÓÖ Ø Ó Ù ÔÖ º ÁÑ Ù Ù Ú Ù Ø ö ÒÙ Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ñ Ò ÙÓ Ú ÑÓ Ø ÐÒÙ ÔÓØÖ Ù Þ Ò Ñ Ö Ò Ñ ÞÒ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Ö Ò Ñ Ó Ò Ñ Ú Ú Ø Ò Ò Ð Þ ÔÓÔÙØ Ø Ò Ó Ù ÑÓÒ ØÖ Ö Ò Ù ÓÚÓÑ Ö Ù Ú Ö Ó Ò º ½

32 Ä Ø Ö ØÙÖ ½ ÊÓ ÖØ Ë Û È Ð ÔÔ Ð ÓÐ Ø Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ò ÐÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º ¾ Â Ñ º Ò Ö ÓÒ Ö ØÒ Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÑ Ì ¾¼¼ º Å Ó Ö ê Ú ÓÚ Ð ÓÖ ØÑ Å Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø Ó Ö º ¾

S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT

S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT Ç ÒÓÚÒ ÓÒÚ ÖØÓÖ ÈÓ Ó ÒÓÚÒ Ñ ÔÖ Ñ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù ÓÓ Ø Ù ¹ ÓÓ Øº ËÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù Ö Ø Ö Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ ÖÓ Ñ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø Ú Ù Ò ÓÒØÖÓÐ Ò ÔÖ ÒÙ Ó Ù Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÞ ØÓÖº Æ Ò Ó ÓÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ

Διαβάστε περισσότερα

p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,

p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j, ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Öº Ò ÍÔÙØ ØÚÓ Þ Ð ÓÖ ØÓÖ Ú ¹ Å Ò ÐÙ Í Å Ò ÐÙ Ø ÓÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ º Ç ÒÓÚÙ Ø ÞÒ Õ Ò ÖÒÙÐ Ú Ò Õ Ò Ò Õ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÖÓ¹ Ö ÕÙÒ ØÖÙ Ò ÓØÔÓÖ º ÅÒÓ Ó Ø ÓÖ ÞÒ ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ ÑÓ Ù ÔÖÓÚ

Διαβάστε περισσότερα

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9 Á ¹ È ÖÙÔ ½º ÖÞ ÚÓÞ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 1 = 45,0 m/s ÔÖÙ ÒÓÑ ÔÖ Ð ÞÙ Ó ÔÙØ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÖ Ú ÔÖÙ Ö ÙØÓÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 2 = 15,0 m/s Ó Ò Ð º Í ÓÐ Ó Ö Ò ÚÓÞ Ñ ØÙ ÞÚÙ ÙÕ Ø ÒÓ

Διαβάστε περισσότερα

¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ

¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ Ë Öö ½º ÍÚÓ Ó Ò Ú Ò ÓÐÓ ÑÖ ö Ø ÓÖ ÓÑ Ö ÓÚ ½º½º ÍÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÓÖ î Ò ÑÖ ö ÔÖ Ó Ò ÓÚ ÚÓ Ø Ú º º º º º º º º º º º ½º º ÅÓ Ð ÑÖ ö º º º º º º º

Διαβάστε περισσότερα

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1 Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø

Διαβάστε περισσότερα

Z

Z Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÈÖ ÑÓö È Ø ÖÐ Ò Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÌÇÅËÃÇ Â ÊÇ º½ ÍÚÓ Î Ø Ñ ÔÓ Ð Ú Ù ÓÑÓ Ù Ú Ö Ð Þ Ó ÒÓÚÒ Ñ Ð ØÒÓ ØÑ ØÓÑ Öº ÈÓÞÒ Ú Ò Ø Ð ØÒÓ Ø ÔÓÑ Ñ ÒÓ Þ Ö ÞÙÑ Ú Ò Ñ Ò ÒÓ Ø Ò

Διαβάστε περισσότερα

N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1

N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1 Å Ì Å ÌÁà Á Î µ ÍÔÓÖ Å Ø Ñ Ø Á Ú Ð ØÖÓØ Ò ÚØÓÖ ØÙÑ Å Ð Ø À Ò Ú Ù Ø ¾¼¼ ½ âì ÎÁÄËà ÎÊËÌ ½º Ê ÎÊâ Æ ΠÇÊ Î ÃÓ ö Ð ÑÓ Ò Ö ÞÚÖ Ò ÚÞÓÖ ÑÓ ÒÓ Ö ÞÚÖ Ø Ø ÓÞº ÓÔÖ Ð Ø ÞÖ ÙÒ ÑÓ Ö Þ Ð Ø ÚÞÓÖ Ó Ú ÞÒ Ò Ö ÞÖ ÓÚ ÚÞÓÖ

Διαβάστε περισσότερα

+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.

+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r. Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÇËÆÇÎ ÅÇÄ ÃÍÄËà ÁÇ Á Áà º½ ÍÚÓ ÅÓÐ ÙÐ Ó Þ Ó Ö ÚÒ Ú Ð ØÒÓ Ø Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÒ ÐÓÚ ÓÐÓ Ø ÑÓÚ ØÓ ØÓ¹ ÑÓÚ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒÓÚ Ò Ñ ÖÓÑÓÐ Ùк Ç Ö ÚÒ Ú ØÙ ÞÚ ÞÓ

Διαβάστε περισσότερα

½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú

½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú ½ ËÊÈËà à ÅÁÂ Æ Íà ÃÄ ËÁ ÆÁ Æ Í ÆÁ ËÈÁËÁ ÃÆÂÁ XIV Å Ì Å ÌÁ ÃÁ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÃÆÂÁ ½ ÍÖ Ò Ñ Ê ÁÎÇ à â ÆÁÆ ÍÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ë Æ º ÀÁÄ ÊÌ ÇËÆÇÎ ÇÅ ÌÊÁ ÈÊ Î Ç Ë ÇËÅÇ Æ Å ÃÇ Á ÆÂ êº Ê â ÆÁÆ ÈÖ ÑÐ ÒÓ Ò XI

Διαβάστε περισσότερα

ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ

ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ ËÓÑÑ Ö Ò Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ë ØØ Ò ÔÙÖ µ ½ ÒÐ

Διαβάστε περισσότερα

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ

Διαβάστε περισσότερα

Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú

Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø Ì Ø Ò Ð Ð Ê ÇÎÁ ÁÂ Â Æ ÂÅ Ï Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁ Æ ÎÊ ÆÇËÌ ÅÁÆÁÅ ÄÆ Í Æ ÃÁÅ ÃÄ Ë Å Ê ÇÎ Ó ØÓÖ ÖØ ÃÖ Ù Ú ¾¼½¾º Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ

Διαβάστε περισσότερα

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾ Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô

Διαβάστε περισσότερα

p a (p m ) A (p v ) B p A p B

p a (p m ) A (p v ) B p A p B ½ ËØ Ø ÐÙ ½º½ ÍÚÓ ÈÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù Ñ Ò ÐÙ Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ ÑÓ ÑÓ ÔÓ Ð Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ¹ ÐÙ Ù Ò Ú ÐÙ Ò Ð ÙÒÙØ Ö ÔÓ Ñ ØÖ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Þ Ò Ó Ö ØÒÓ Þ Õ Ó ÓÒØ Ø Ð Þ Ñ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÒ Ð µº ÇÚ Ð Ó ÕÒÓ ÞÖ Ú Ù ÔÓ

Διαβάστε περισσότερα

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº à ï Ä ÁÇ

Διαβάστε περισσότερα

arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007

arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007 Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÛÓ Ò ÐÓ Ó Ø Å Ò ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ò Ö Áº Ó Ö Ò Ó ½ arxiv:0709.0158v1 [math.dg] 3 Sep 2007 ØÖ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÔ Ò Ò ÐÓ ÙÖ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ

Διαβάστε περισσότερα

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ¾ ÓÑ ¹ Ì Ø ÖØ»»¾ ÃÙ ÐôÑ Ø ÔÖ Ü ÛÒ ¹ ËØÓ Õ ô ÑÓÒ Ö Ñ Ø»¾¾ Ö Ñ Ø ÔÖ Ü ÔÓÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÀºÍº Ò À ÔÖ ¾ Ù ôò

Διαβάστε περισσότερα

tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α

tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α ½º ÙÒ Ð ØØ ½º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = {1,4,9,16,25,36,49,64,...}, M 2 = {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. µ Ö Ò Ë M 1 ÙÒ M 2 ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ù º µ Ò Ë M 1 M 2 Òº µ Ò Ë M 1 \M 2 ÙÒ M 2 \M 1 Òº µ Ï Ú Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö

Διαβάστε περισσότερα

Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º

Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Å Ü Ò ÙÐØ Ø Ëº É ÒØÖ Åº Ä Õ º Ó Å À ÆÁà ÄÍÁ Ó Ö ¾¼¼ º Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò

Διαβάστε περισσότερα

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½

Διαβάστε περισσότερα

arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002

arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002 Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ì ÓÖÝ arxiv:quant-ph/0211191v1 28 Nov 2002 Û Ö Ïº È ÓØÖÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ý ØÓ Ä ÔÓÛ ½ ÈÐ ½ ¾ Ý ØÓ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô ÐÔ ºÙÛ º ÙºÔÐ Â Ò Ë ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö

Διαβάστε περισσότερα

[Na + ] [NaCl] + [Na + ]

[Na + ] [NaCl] + [Na + ] Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÂÙÖ Ö Ò ÊÙ ÓÐ ÈÓ ÓÖÒ Ò Ë ËÚ Ø Ò ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú Ä ÃÌÊÁ ÆÁ ÁÆ Å Æ ÌÆÁ ÈÇ ÎÁ º½ º½º½ Ð ØÖ ÒÓ ÔÓÐ Ò ØÓ Ð ØÖ Ò Ò Ó Ð ØÖ Ò ÔÓ Ú Ð Ó Ö ÞÐÓö ÑÓ Ò Ó ÒÓÚ Ù ÓØÓÚ ØÚ Ñ Ó Ó ÒÓÚÒ Ð ÓØ Ø

Διαβάστε περισσότερα

18.2 Sistemi sa eliptichkim krivama Sistem analogan PUKDH... 50

18.2 Sistemi sa eliptichkim krivama Sistem analogan PUKDH... 50 ÃÖ ÔØÓ Ö Å Ó Ö Ú ÓÚ ½ ÔÖ Ð ¾¼½¾ º ËÓ Ö Ò ½ ÍÚÓ ¾ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Á ØÓÖ ÈÖ Ð Ó ÒÓÚ Ø ÓÖ ÖÓ Ú Â ÒÓ Ø ÚÒ Ü Ö Ø Ñ ½ Ë ÚÖ Ñ Ò ÔÖÓØÓÕÒ Ü Ö ½ ÃÓÒ ÕÒ ÔÓ ½ 8 RC4 17 9 Ë ÑÓ Ò ÖÓÒ ÜÙ ÔÖÓØÓÕÒ Ü Ö ½ 10 ËÐÙÕ Ò Ü Ö ½ 11

Διαβάστε περισσότερα

Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù

Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù ËÙÑ Ö Ó ½ Î Ò Ó Ú Ö ÓÙÐØ ½ ½º½ Ú Ò Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Å Ò ÑÓ Ò Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ

Διαβάστε περισσότερα

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος. Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾ ½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º

Διαβάστε περισσότερα

Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale

Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale Faculté des Sciences Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale Promoteur : Annick Sartenaer Directeur : Caroline Sainvitu Mémoire présenté pour l'obtention du

Διαβάστε περισσότερα

plants d perennials_flowers

plants d perennials_flowers ÈÖÓ Ð Ø Ç Ø ÌÀÇÅ Ë ÁÌ Ê Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Â Å Ë Âº ÄÍ Ù Ò ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÌÀÇÅ Ë ÄÍà ËÁ ÏÁ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Ò Îº ˺ ËÍ Ê ÀÅ ÆÁ Æ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò Ì ÓÙ Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÑÓ Ð ÓÓ

Διαβάστε περισσότερα

Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º

Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º È Ö Õ Ñ Ò Á ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ ÁÁ ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ½º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 2 ËÕÑØ Ñ ÒØÐÝ ÒÛÒ 2.1 ËÕÑØ Ñ ÒÛÒ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ

È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Å Ø Ö Ð Ë Ò ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÆÓÚ Ñ

Διαβάστε περισσότερα

Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º

Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º Þ ÔÓÚ Ø Ø Ö Ø Ò ÈÖ ÙÖ Ò ÐÙÖÙ ÔÖ Ð ½ ¾¼½¼ Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º ÓÒØ ÒØ ½ Å Ò ½ ½º ÄÙÑ Ñ Ø

Διαβάστε περισσότερα

º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º

º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖôÒ ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ ÌÑ Ñ Å Õ Ò ôò ÀÐ ØÖÓÒ ôò ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÔÐÛÑ Ø Ö Ð Ö ÑÓ Ô Ó ÒÛÒ Ad-hoc Ã Ò Ø ØÙ È Ò ôø à ÒÓ Å ¾½¾ Ô Ð ÔÛÒ ÉÖ ØÓ ÖÓÐ È ØÖ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼ c Copyright È Ò ôø à ÒÓ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼

Διαβάστε περισσότερα

imagine virtuală plan imagine

imagine virtuală plan imagine Ô ØÓÐÙÐ ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ¾ ÈÁÌÇÄÍÄ ½º ÅÇ ÍÄÍÄ ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÔÖ Ò ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º º º º º º º

Διαβάστε περισσότερα

½µ S = F 1 (y 0 ) = {x X F(x) = y 0 }. F 1 (y 0 ) X Y

½µ S = F 1 (y 0 ) = {x X F(x) = y 0 }. F 1 (y 0 ) X Y ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù Þ Ó ÖÒÙØÓµ ß ÒÓ ÒÓÖÑ ÐÒÓ ÔÖ Ú ½ ß Ö Ó Å Ð Ò ÓÚ ÓÚÓ Ø Ø Ò ÜØÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ò Õ Ò ÑÓØ Ú Ü ÙÚ ÔÓ ¹ ÑÓÚ Ú Þ Ò Þ Ø ÓÖÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ú Ò ÞÓÒ Þ Ó ÑÓ Ù ÓÖÑÙÐ ÜÙ Ò ÞÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º ÈÓ ÚÐ Õ ÑÓ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι

Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί

Διαβάστε περισσότερα

Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.

Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1. Î Ð Ù ËØ Å Ò Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ØÓ Î ÐÒ Ù ¾¼¼ ÌÙÖ ÒÝ ½ Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º

Διαβάστε περισσότερα

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÌÅÀÅ Ä ÉÇÍ Controlµ Ã Ì ÉÏÊÀÌ Ë Registersµ º Bussesµ ÃÍÃÄÇÁ ÅÀÉ ÆÀË Machine Cyclesµ Á ÍÄÇÁ ØÑ Ñ Ð ÕÓÙ

Διαβάστε περισσότερα

ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος ΟπτικόςΠρογραμματισμός ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ÔØÖ ½ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σεαυτήτηνενότηταθαεξεταστούνμερικέςαπότιςβασικέςδομέςπάνωστις οποίεςστηρίζεταιηβιβλιοθήκη É̺Οιδομέςαυτέςπεριλαμβάνουνδυναμικούς πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Preisdifferenzierung für Flugtickets

Preisdifferenzierung für Flugtickets Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÏÄ ÌÀ Ö ÈÖ Ö ÒÞ ÖÙÒ Ö ÐÙ Ø Ø Ù Ò ËØÖ Ò Ö ¹ ÄÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ò ÙÖØ ¹ Æ Û ÓÖ ÙØÓÖ Ò Ì ÓÑ ÖÙÒÒ Ö À ÙÖ ØÖº ¼ Ö Ñ ÐØ ÓÑ ÖÙÒÒ Öº Ö ØÓÔ Ã Ö ÐÙÑ ÒÛ ½¼ Ç ÖÛ Ð Ö ØÙ Òغ Ø Þº ØÖ Ù Ö ËØ Ò Ä Ù Ò Ø Ò ÈÖÓ ÓÖ ÖÑ

Διαβάστε περισσότερα

Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼

Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼ Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼ ¾ È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó i ½ Ð Ö ÑÓ Ë ÐÑ Ø ½ ½º½ ÔÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ö ÑÓ Ù Ó ô º º º

Διαβάστε περισσότερα

c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2

c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2 Ã Ô Ø Ð Á ÒÐ ØÙÒ ï ½ ÅÓ ÐÐ ÚÓÒ Î ØÓÖÖÙÑ Ò ÁÒ Ñ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Òµ È Ö Ö Ô Ò Ò ÐÒ Û Ö Ô Ð ÞÙÖ Ð Ö ¹ Ò ËØÖÙ ØÙÖ Î ØÓÖÖ ÙÑ º Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ò ØÞ Ò Û Ö Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù º Ò ÈÖÞ ÖÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔØ Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ñ Ø

Διαβάστε περισσότερα

Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload

Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload ÈÖÐÑÒÖÝ ØÑØ Ó Ì¹Ç«ÏØ ÈÓØÓÖÔ Ó ÓÒ ¹½ ÐÓÑ ØÖ Ø Ø¹Ó«ÅÜÑÙÑ Ø¹Ó«ÛØ ÕÙÐ ¼¼¼ Ð ÑÜÑÙÑ ÔÝÐÓ ½ ¼¼¼ Ð ÓÙÖØ Ý Ó Ø ÓÒ ÓÑÔÒݵº ½ Ï Ì Ç Ï ÙÐ Ï ÔÝÐÓ Ï ÑÔØÝ ¾½ Ï ÔÝÐÓ Ï ÜÔÒÐ Ï ÒÓÒ ÜÔÒÐ ¾¾ 000000000000 111111111111 000000000000

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Πειράματα Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικοί τύποι δεδομένων

Δυναμικοί τύποι δεδομένων Δυναμικοί τύποι δεδομένων ΙωάννηςΓºΤσούλος Δεκέμβριος ¾¼ Η ÂÚπεριέχειμιασειράαπόχρήσιμεςκατηγορίεςπουχρησιμοποιούνταιγια τηνδιαχείρισηδυναμικώνδεδομένων σταοποίαδενγνωρίζουμεεκτωνπροτέρων όχι μόνον την

Διαβάστε περισσότερα

Način dostopa (URL):

Način dostopa (URL): Bojn Kuzm ZAPISKI IZ PREDAVANJ - FOURIEROVA ANALIZA (Zbirk Izbrn poglvj iz mtemtike, št. 8 Urednic zbirke: Petruš Miholič Izdl in zložil: Knjižnic z tehniko, medicino in nrvoslovje TeMeN, Univerz n Primorskem

Διαβάστε περισσότερα

Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009

Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009 ÄÓ Ñ ÒÓ ØÓ Ãô ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ì Ñ À Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009 ½ º Ó Ó Ð Ó Διεύθυνση Πληροφορικής ΔΕΗ Τομέας Συστημάτων Γραφείου ÚºÞÓÙ Ó ºÓѺ Ö ¹Ñ Ð Αθήνα 19 Ιουνίου 2009 Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος Προγραμματισμόςσε» ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ½º½ Μεταβλητές ½º½º½ Δήλωση Η δήλωσημεταβλητώνμπορεί να γίνει σε οποιοδήποτεσημείοτου κώδικα σε αλλάείναιπροτιμότεροναγίνεταιστηναρχήτουπρογράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ

Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ Γραφικάμετηνχρήση ÛØ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ¾¼ Η Úδιαθέτειένα δικό της σύστημαγραφικών τοοποίομπορεί να είναι κάπωςπεριορισμένοσεσχέσημετο ÉÌήτο ÏÁÆ ¾ ÈÁαλλάδίνειμεταφέρσιμο κώδικακαιμπορείναχρησιμοποιηθείγιατηνκατασκευήπρογραμμάτωνγραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÆÌÁ Ç ÇÅÈÇËÌ Ä ÍÄÌ ËÁ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ È ÖØ ÙÐ Ó Ý ÈÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ ÒØ Ó Ç ØÓ Ð Ê ÓÒ ØÖÙ Ò ËÙ Ó Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ À Ë ÓÐ ÓÒ Æ Ð Ó¹Æ Ð Ó Å ÑÓÖ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÓÔØ Ö Ð Ö Ó Ä Ò Ó Ò Ò ÔÓÖ Å ÒÙ Ð Ë Ò Þ Ö Å ÖÞÓ ½ ¾

Διαβάστε περισσότερα

Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº

Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº ÔØ Ö ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΑ Ηβιβλιοθήκη ÉÌμπορείναχρησ ιμοποιηθείκαιγιατηνδημιουργίαπρογραμμάτων μεαπλάγραφικά γραμμές κείμενο κύκλουςκτλµόπωςεπίσ ηςγιατηνδημιουργία γραφημάτων από δεδομέναº º½ Àκατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( ) Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.

Διαβάστε περισσότερα

Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration. DTU Wind Energy - PhD

Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration. DTU Wind Energy - PhD Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration DTU Wind Energy - PhD Leonardo Bergami DTU Wind Energy PhD-0020(EN) August 2013 DTU Vindenergi Active Load Alleviation

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή ÔØ Ö ΕΙΣΟΔΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ º½ ÉÄ Ò Ø Ηβασ ικήκατηγορίατης ÉØγιαείσ οδοδεδομένωνείναιηéä Ò Øμετηνοποία οχρήσ τηςμπορείναεισ άγεισ εμιαγραμμήένααλφαριθμητικόºστοναλγόριθμο º½παρουσ ιάζεταιηδήλωσ ηγιαένακεντρικόπαράθυρομετοοποίοοχρήσ

Διαβάστε περισσότερα

, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ

, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÆÌÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë ÍÅÊ ÆÊË ½ ½½¾ È Ä ÁË Í Ê Æ µº Ì Ð ¼½ ¼¼º Ü ¼½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ÔºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» Ò Ó ÓÐ ØÓÒ Û Ø Ù ÒØ Ð Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÆÓÚ ÓڹΠÐÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ò Ö Ý ÒÒ Ã Þ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð

Διαβάστε περισσότερα

ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø

ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø ÇÆ ÌÀ Ä ËËÁ Á ÌÁÇÆ Ç ÄÇË Ä Ì ÇÍʹŠÆÁ ÇÄ Ë Ý Ì ÓÑ È ÙÐ Ä Ñ ÖØ ÖØ Ø ÓÒ ËÙ Ñ ØØ ØÓ Ø ÙÐØÝ Ó Ø Ö Ù Ø Ë ÓÓÐ Ó Î Ò Ö ÐØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Ç ÌÇÊ Ç ÈÀÁÄÇËÇÈÀ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ù

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ÔØ Ö ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στοκεφάλαιοαυτόθαπαρουσ ιασ τούνμερικέςαπότιςδυνατότητεςπουπαρέχειη βιβλιοθήκη ÉÌσ εαρχείακαθώςκαιτρόποισ ύνδεσ ηςκαιεκτέλεσ ηςερωτημάτων σ εβάσ ειςδεδομένωνº º½ Ηκατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου

Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΧΕΙΑ Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσουμεγιατααρχείαστηνγλώσσα ºΘαχρησιμοποιηθούνσυναρτήσειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισόδου»εξόδου ØÓºµκαι γιααυτόγίνεταιμιαπρώτηπαρουσίασηαυτήςτηςβιβλιοθήκηςº º½

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ÔØ Ö ¾ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ¾º½ Δημιουργία απλού παραθύρου Γιατηνδημιουργίαπαραθύρουθαχρειασ τείοχρήσ τηςνατοποθετήσ ειμέσ ασ ε μιακυρίωςεφαρμογήέναοπτικόσ υσ τατικό Ï ØµΤοπιοαπλόοπτικόσ υσ τατικόπουμπορείναχρησ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ

Διαβάστε περισσότερα

f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº

f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº ÇÐÓ Ð ÖÛ º½ Å ØÖ Ñ ËÙÒ ÖØ È Ö Ø Ö º½ µ Å ÙÒ ÖØ f : X Y Ñ Ø Ü Ñ ÒôÒ ÙÒ ÐÛÒ Ô ½ Ñ Ô Ò f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. À Ô Ò ÙØ Ø Ö ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ù Ö Ø Òô Ù Ö Ø ØÓÑ º µ Ò B P(Y ) Ò σ¹ Ð Ö Ó Ó Ò

Διαβάστε περισσότερα

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý 9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Τσούλος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Άρτα, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009

arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009 ÅÁ ÊǹÄÇ Ä Æ Ä ËÁË ÏÁÌÀ ÇÍÊÁ Ê Ä Ë Í ËÈ Ëº È ÊÌ Á ËÌ Î Æ ÈÁÄÁÈÇÎÁ Æ Æ Ì Ç ÆÇÎ Æ ÂÇ ÀÁÅ ÌÇ Ì arxiv:0804.1730v3 [math.ap] 25 Nov 2009 ØÖ Øº Ä Ø ω,ω 0 ÔÔÖÓÔÖ Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ò q [1, ]º Ï ÒØÖÓ Ù Ø Û Ú ¹ ÖÓÒØ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοδιάσ τατοιπίνακες

Μονοδιάσ τατοιπίνακες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ ¾º½ Μονοδιάστατοιπίνακες Οιπίνακεςείναιδομέςδεδομένωνπουδιαθέτουνέναπλήθοςαπόστοιχείατουίδιου τύπουº Γιαπαράδειγμαηβαθμολογίασεέναμάθημααποθηκεύτεταισεπίνακαº Κάθεστοιχείοτουπίνακααντιπροσωπεύειτηνβαθμολογίαενόςσπουδαστήστο

Διαβάστε περισσότερα

ca t = β 1z t 1(q t γ)+β 2z t 1(q t >γ)+ε t z t = g(x t,π)+u t

ca t = β 1z t 1(q t γ)+β 2z t 1(q t >γ)+ε t z t = g(x t,π)+u t Ì Ö ÓÐ ÅÓ Ð Ó Ø ÍË ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ ÊÓ ÖØÓ ÙÒ Ò ÇØÓ Ö ½ ¾¼½ ØÖ Ø Ï Ø Ö Ú ÍË ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ Ñ Ð Ò Á Ø Ö ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ø Ú ÓÖ Ó Ø ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ Ö ÒØ ÙÖ Ò Ø Ò ÙÖÔÐÙ ÓÖ Ø Ø Ø Þ Ó Ø Ñ¹ Ð Ò Ñ ØØ Ö Á Ø Ö Ø Ö ÓÐ Ö Ð Ø ÓÒ Ô

Διαβάστε περισσότερα

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 *  # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1  5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3  # Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος Κληρονομικότητα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ½ Ηκατηγορία ÈÖ ÓÒ ΗκληρονομικότητααποτελείένααπόταβασικότεραχαρακτηριστικάτουαντικειμενοστραφούςπρογραμματισμούºΤαβασικάτηςστοιχείασε είναι ½ºΤαπεδίαπουχρειάζεταιναπεράσουνστηνκατηγορίαπουκληρονομείθα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχείασ την Â Ú. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Αρχείασ την Â Ú. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος Αρχείαστην ÂÚ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ½½ ½ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑείναιμιααφηρημένηκατηγορίακαιχρησιμοποιείταιγια τηνανάγνωση δεδομένων στην ÂÚαπόαρχείαεισόδουº Ωςαρχείαεισόδου μπορούμεναθεωρήσουμεαρχείαπουβρίσκονταιστονσκληρόδίσκοτουυπολογιστήήκαισυσκευέςεισόδουόπωςτοπληκτρολόγιοºοισημαντικότερεςμέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

arxiv:math/ v2 [math.qa] 21 Sep 2009

arxiv:math/ v2 [math.qa] 21 Sep 2009 ÍÆÁÎ ÊË Ä Ã ÉÍ ÌÁÇÆË Á ÌÀ ÄÄÁÈÌÁ Ë arxv:math/0702670v2 [math.qa] 21 Sep 2009 ÅÁ Æ Ä ÉÍ Æ ÅÁÆ ÆÊÁÉÍ Æ È Î Ä ÌÁÆ Ç ÌÓ ÙÖ ÁÚ ÒÓÚ Å Ò Ò ÓÒ ¼Ø ÖØ Ý ØÖ Øº Ï Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÃÒ Þ Ò ¹ ÑÓÐÓ ÓÚ¹ ÖÒ Ö Ã µ

Διαβάστε περισσότερα

) ) u ε (t, x) = 0, t > 0, x R d, ½º½µ. R d. [ˆV επ d ( 2ξ)e i2ξ x/ε ˆV (2ξ)e i2ξ x/ε],

) ) u ε (t, x) = 0, t > 0, x R d, ½º½µ. R d. [ˆV επ d ( 2ξ)e i2ξ x/ε ˆV (2ξ)e i2ξ x/ε], Æ Ä ËÁË Ç ÌÀ ÇÍ Ä Ë ÌÌ ÊÁÆ Ë ÁÆÌÁÄÄ ÌÁÇÆ Ç Ï Î Ë ÁÆ Ê Æ ÇÅ Å Á ÍÁÄÄ ÍÅ Ä Æ ÇÄÁÎÁ Ê ÈÁÆ Í ØÖ Øº À Ö ÕÙ ÒÝ Û Ú ÔÖÓÔ Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ñ Ö Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ý Ò

Διαβάστε περισσότερα

Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια

Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΟΜΕΣ º½ Απλές δομές Ηδομήχρησ ιμοποιείταισ ανσ υλλογήμεταβλητώνδιαφορετικούτύπουπροκειμένου ναπεριγράψεισ υνολικάμιαοντότηταº ΓιαπαράδειγμαηοντότηταΑΝΘΡΩΠΟΣ αποτελείταιαπόταπεδία ½º Ονομα αλφαριθμητικόµ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικά Συστήματα. URL:

Δυαδικά Συστήματα.   URL: Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 12 ÔÓØ Ø ÒÛÒ ÈÓÐÐ ÓÖ Ó Ò Ø Ø ÐÝ Ù ØÒØ ÔÖÑÖÛ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Montreal - Quebec, Canada.

Montreal - Quebec, Canada. ÂÆÁÃÇ Å ÌËÇ ÁÇ ÈÇÄÍÌ ÉÆ ÁÇ ËÉÇÄÀ ÀÄ ÃÌÊÇÄÇ ÏÆ ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ Ã Á ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ ÍÈÇÄÇ ÁËÌÏÆ ÌÇÅ Ë ËÀÅ ÌÏÆ Ä ÉÇÍ Ã Á ÊÇÅÈÇÌÁÃÀË ËÙÑ ÓÐ Ø Ò Ò ÔØÙÜ ÈÓÐÙÔÖ ØÓÖ ÖÕ Ø ØÓÒ Ò ÔØÙÜ Ó ÊÓÑÔÓØ Ó Ð ÕÓÙ Ø Ó Ò ÕÙØ Å : ÖÑÓ ØÓÒ

Διαβάστε περισσότερα

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis Øyvind Borg Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis Thesis for the degree of doktor ingeniør Trondheim, April 2007 Norwegian University of Science and Technology Faculty of Natural

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος Πρότυπα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼ ½ Συναρτήσειςπροτύπων Μετιςσυναρτήσειςπροτύπωνμπορούμενακάνουμεσυναρτήσειςοιοποίεςεκτελούντονίδιοκώδικα γιαδιαφορετικούςτύπουςδεδομένων όπωςπαρουσιάζεται καιστοεπόμενοπαράδειγμαºοιδηλώσειςσυναρτήσεωνμετηνχρήση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

A Francesca, Paola, Laura

A Francesca, Paola, Laura A Francesca, Paola, Laura L. Formaggia F. Saleri A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2 3 LUCA FORMAGGIA FAUSTO SALERI ALESSANDRO VENEZIANI MOX - Dipartimento

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Εισαγωγή Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 1 Û Å ØÒ ÐÙ Ø Ý ÛØÓÖ Ý Ò Ò ÔÐÓÒ ØÑ ØÓÙ ÙÖÛ ÓÒÓº À ÔÜÖ ÒÛÒ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. URL:

Εισαγωγικά.   URL: Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Εισαγωγικά ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò ½ Οργάνωση Μαθήματος Διαδικαστικά

Διαβάστε περισσότερα

A Threshold Model of the US Current Account *

A Threshold Model of the US Current Account * Federal Reserve Bank of Dallas Globalization and Monetary Policy Institute Working Paper No. 202 http://www.dallasfed.org/assets/documents/institute/wpapers/2014/0202.pdf A Threshold Model of the US Current

Διαβάστε περισσότερα

The Prime Number Theorem in Function Fields

The Prime Number Theorem in Function Fields È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ËÕÓÐ Â Ø ÛÒ & Ì ÕÒÓÐÓ ÛÒ Ô Ø ÑÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ Å Ø ÔØÙÕ Ö ÌÓ Â ÛÖ Ñ ÌÛÒ ÈÖÛØÛÒ Ö ÑÛÒ ËÛÑ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ôö Ó Ã Ô Ø Ò ØÓÙ Æ ÓÐ ÓÙ ÔÓÔ ÛÒ Ø Â ÓÙÐÓ Ö Ð ÀÊ ÃÄ ÁÇ Đ ¾¼¼ University of Crete School

Διαβάστε περισσότερα

¾

¾ Ù Ð ÛÑ ØÖ Ë Ñ ô Áº º ÈÐ Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾ ÈÖ ÐÓ Ó Ç Ñ ô ÙØ Ö Ø Ò Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÌÑ ¹ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø ÔÓÙ Ô Ð Ü Ò ØÓ Ñ Ñ Å¾¼ Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ÈÖÓ

Διαβάστε περισσότερα