f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº

Transcript

1 ÇÐÓ Ð ÖÛ º½ Å ØÖ Ñ ËÙÒ ÖØ È Ö Ø Ö º½ µ Å ÙÒ ÖØ f : X Y Ñ Ø Ü Ñ ÒôÒ ÙÒ ÐÛÒ Ô ½ Ñ Ô Ò f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. À Ô Ò ÙØ Ø Ö ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ù Ö Ø Òô Ù Ö Ø ØÓÑ º µ Ò B P(Y ) Ò σ¹ Ð Ö Ó Ó Ò Ò σ¹ Ð Ö ÙÔÓ ÙÒ ÐÛÒ ØÓÙ Xº f 1 (B) {f 1 (B) : B B} ÇÖ Ñ º½ Ò (X, A) (Y, B) Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ Ñ ÙÒ ÖØ f : X Y Ð Ø (A, B)¹Ñ ØÖ Ñ Ò B B Õ f 1 (B) Aº È Ö Ø Ö º¾ µ À Ò Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ò Ñ ØÖ Ñ Ò (X, A) f (Y, B) g (Z, C) ÔÓÙ f Ò (A, B)¹Ñ ØÖ Ñ g Ò (B, C)¹Ñ ØÖ Ñ Ø Ø g f Ò (A, C)¹ Ñ ØÖ Ñ º µ ³ ØÛ E B Ñ Ó Ó Ò ÔÓÙ Ô Ö Ø Ò B Ð Ø ØÓ ô Ø M(E) = Bº Ò Ð ÜÛ Ò Ñ ÙÒ ÖØ f : X Y Ò (A, B)¹Ñ ØÖ Ñ Ö Ò Ð ÜÛ Ò Õ f 1 (E) A Õ E Eº µ ³ Ô Ø Ô ØÓ µ Ø Ò Ó X Y Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ñ ØÖ Óµ ÕôÖÓ ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ f : X Y Ò (B X, B Y )¹Ñ ØÖ Ñ º ÇÖ Ñ º¾ Ò (X, M) Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ Y Ò ØÓÔÓÐÓ Ñ ØÖ ÕôÖÓ Ñ f : X Y Ð Ø M¹Ñ ØÖ Ñ Ò Ò (M, B Y )¹Ñ ØÖ Ñ º Á Ø Ö Ò ÖÓÙÒ Ó Ô Ö ÔØô Y = R Y = C Ñ Ø ÙÒ Ñ Ò ØÓÔÓÐÓ µº Ø Ö Ñ f : R R Ð Ø Borel Ñ ØÖ Ñ Ò Ò (B R, B R )¹Ñ ØÖ Ñ Lebesgue Ñ ØÖ Ñ Ò Ò (M λ, B R )¹Ñ ØÖ Ñ ÔÓÙ M λ σ¹ Ð Ö ØÛÒ Lebesgue Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÐÛÒµº ³ º À ÙÒ ÖØ χ A Ò M¹Ñ ØÖ Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò A Mº ÈÖ Ø º Ò f : (X, M) R Ø Ü Ò Ó Ò Ñ (i) À f Ò M¹Ñ ØÖ Ñ º (ii) U R ÒÓ Ø f 1 (U) Mº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº ½ oloklhr,25/11/08 ½

2 È Ö Ø Ö º Ò E X f : E R f Ð Ø Ñ ØÖ Ñ ØÓ E Ò Ò (M E, B R )¹Ñ ØÖ Ñ ÔÓÙ M E = {A E : A M}º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ f ÓÖÞ Ø ØÓ X E M f E Ò Ñ ØÖ Ñ ØÓ E Ò Ñ ÒÓÒ Ò B B R Õ (f 1 (B) E) Mº ÇÖ Ñ º Ò (X, M) Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ Ñ f : X [, ] Ð Ø M¹ Ñ ØÖ Ñ Ò Ò (M, B R)¹Ñ ØÖ Ñ ÔÓÙ B R = {E [, ] : E R B R }º Á Ó ¹ Ò Ñ f Ò M¹Ñ ØÖ Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò f 1 ([, b]) M b Rº ÈÖ Ø º Ò (X, M) Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ f : X R Ñ ØÖ Ñ g : R R ÙÒ Õ Ø Ø g f : X R Ò Ñ ØÖ Ñ º È Ö Ø Ö º µ Ò Ñ f : R R Ò Borel Ð (B R, B R )¹Ñ ØÖ Ñ µ Ø Ø Ò Lebesgue Ñ ØÖ Ñ Ð (M λ, B R )¹Ñ ØÖ Ñ º ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ô ÒØ º µ Ò Ó f, g : R R Ò Lebesgue Ñ ØÖ Ñ Ò Ð Ô ÒØ Ø Ò g f : R R Ò Lebesgue Ñ ØÖ Ñ º ÈÖ Ø º Ò (X, M) Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ f, g : X R Ñ ØÖ Ñ p > 0 (i) Ó ÙÒ ÖØ f f p Ò Ñ ØÖ Ñ (ii) Ó ÙÒ ÖØ f + g fg Ò Ñ ØÖ Ñ º ÈÖ Ø º ³ ØÛ (X, M) Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓ f : X [, + ] Ñ ØÖ Ñ N). Ì Ø ½º ÙÒ ÖØ sup f Ò Ñ ØÖ Ñ ¾º ÙÒ ÖØ if f Ò Ñ ØÖ Ñ º ÙÒ ÖØ lim sup f if k sup k f Ò Ñ ØÖ Ñ º ÙÒ ÖØ lim if f sup k if k f Ò Ñ ØÖ Ñ º Ø Ö Ò ØÓ Ø Ñ Ó Ö Ó f lim f : X [, + ] ÙÔ ÖÕ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ º ÈÖ Ø º½¼ ³ ØÛ (X, M) Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓº µ Ò f : X [, + ] Ñ ØÖ Ñ Ø Ø Ó f + = max{f, 0}, f = mi{f, 0} f = f + + f Ò Ñ ØÖ Ñ ÒÓÔÓ Ó Ò f = f + f f + f = 0)º µ Ò g : X C u = 1(g + ḡ), v = 1 (g ḡ) Ø Ø g Ò Ñ ØÖ Ñ Ò Ñ ÒÓÒ 2 2i Ò Ó u v Ò Ñ ØÖ Ñ º µ Ò g : X C Ò Ñ ØÖ Ñ Ø Ø Ó g = { u 2 + v 2 sg g Ò Ñ ØÖ Ñ z z ÔÓÙ sg z =, z 0 (z C)º 0, z = 0 ¾

3 ÔÐ ÙÒ ÖØ ÇÖ Ñ º Å ÙÒ ÖØ s : X R C Ð Ø ÔÐ Ò ØÓ ÒÓÐÓ s(x) Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓº Ò s(x) = {a 1, a 2,...,a } A i = s 1 ({a i }) Ø Ø {A 1,...A } Ò Ñ Ö ¾ ØÓÙ X s Ö Ø ÒÓÒ ÑÓÖ s = a k χ Ak. È Ö Ø Ö º½½ ³ ØÛ (X, M) Ñ ØÖ ÑÓ ÕôÖÓº µ Å ÔÐ ÙÒ ÖØ s : X R ÒÓÒ ÑÓÖ s = k c kχ Ek Ò Ñ ØÖ Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò E k M k = 1,...,º µ ÔÓÑ ÒÛ Ò Ó s, t : X R Ò ÔÐ Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ó Õ Ø s + t, s t, max{s, t}, mi{s, t}, s +, s, s = s + + s.  ôö Ñ º½¾ ³ ØÛ f : X [0, + ] Ñ ÙÒ ÖØ º Ì Ø ÙÔ ÖÕ ÜÓÙ ÓÐÓÙ¹ (s ) ÔÐôÒ Ñ s (X) [0, + ) Ø ØÓ ô Ø s (x) ր f(x) x X. Ò f Ò Ö Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÜÓÙÑ Ø s ô Ø s f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ Xº À Ø Ô Ü N ØÛ F = {x X : f(x) } ÉÛÖÞÛ ØÓ [0, ) 2 Ø Ñ Ø [0, 1 ), [ 1, 2 ),...,[ 2 1, 2 ) ÛÖô Ø Òع ØÖÓ Ò Ñ Û Ø f : { E,i = x X : i 1 f(x) < i }, i = 1, 2,..., ÇÖÞÛ Ð ØÛ s (x) = s = 2 i=1, Ò f(x) i 1 2 χ E,i + χ F. i 1 2, Ò i = 1, 2,..., 2 Ø ØÓ Ó ô Ø i 1 2 f(x) < i 2 ÈÖ Ø º½ M¹Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ f : X [0, + ] ÙÔ ÖÕ ÓÐÓÙ (s ) ÔÐôÒ M¹Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ô Ø 0 s (x) s +1 (x) f(x) s (x) f(x) x Xº Ò f Ò Ö Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÜÓÙÑ Ø s ô Ø s f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ Xº  ôö Ñ º½ Å ÙÒ ÖØ f : X R f : X C Ò M¹Ñ ØÖ Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ò ØÓ Ø Ñ Óµ Ö Ó Ñ ÓÐÓÙ {s } ÔÖ Ñ Ø ôò Ñ ôòµ M¹Ñ ØÖ ÑÛÒ ÔÐôÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº ¾ δηλαδήτα A k είναιξέναανάδύοκαι A k = X η {s }δενείναικατ ανάγκηνμονότονη,μπορούμεόμωςνατηνεπιλέξουμεώστεη{ s }ναείναιαύξουσα

4 ËÙÑÔ Ö Ñ À Ð ØÛÒ M¹Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ô Ö Õ Ø Õ Ö Ø Ö Ø ÙÒ ÖØ χ A, A M Ò Ð Ø Û ÔÖÓ Ø Ð Ö ÔÖ Ü f, g Ñ ØÖ Ñ f + g, f g, max{f, g}, mi{f, g}, f, f +, f Ñ ØÖ Ñ ô Ø Ø Ñ Ó Ö ÓÐÓÙ ôò f ( N) Ñ ØÖ Ñ Ò ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ö Ó ÙÔ ÖÕ µº sup f, if f, lim f Ñ ØÖ Ñ ÈÖ Ø º½ ³ ØÛ (X, S, µ) ÕôÖÓ Ñ ØÖÓÙ (X, S, µ) ÔÐ ÖÛ ØÓÙº Ò f : X [, + ] f : X C Ø Ø µ Ò f Ò S¹Ñ ØÖ Ñ Ø Ø Ò S¹Ñ ØÖ Ñ µ Ò f Ò S¹Ñ ØÖ Ñ Ø Ø ÙÔ ÖÕ S¹Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ g ÔÓÙ Ò µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ Ñ Ø Ò fº È Ö Ñ º½ à Lebesgue Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ f : R [, + ] Ò λ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ Ñ Ñ Borel Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ º º¾ ÌÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Lebesgue Ë Ð Ø Ò Ô Ö Ö Ó Ø ÖÓÔÓ Ó Ñ Ò Ò ÕôÖÓ Ñ ØÖÓÙ (X, S, µ)º º¾º½ Å ÖÒ Ø ÙÒ ÖØ Â Ñ Ð Ø ÓÙÑ ÔÖôØ Ø Ø Ø ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Ñ ÖÒ Ø ôò ÙÒ ÖØ ÛÒº ÇÖ Ñ º ËÙÑ ÓÐÞÓÙÑ L + (X, S) ÔÐ L + ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ñ ÖÒ Ø ôò Ñ ØÖ ¹ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ f : X [0, + ]º (i) Ò s : X R + Ò ÔÐ Ñ ØÖ Ñ ÒÓÒ ÑÓÖ s = c k χ Ak ÓÖÞÓÙÑ ØÓÙÑ 0 (+ ) = 0µº sdµ = c k µ(a k ) [0, + ] (ii) Ò f : X [0, + ] Ò Ñ ØÖ Ñ ÓÖÞÓÙÑ { } fdµ = sup sdµ : s ÔÐ Ñ ØÖ Ñ 0 s f. Ò A S ÓÖÞÓÙÑ fdµ = A fχ A dµ. Ä ÑÑ º½ Ò s : X R + ÔÐ Ñ ØÖ Ñ s = m b kχ Bk ÔÓÙ B k S B k B j = k j Ø Ø m sdµ = b k µ(b k ).

5 ÈÖ Ø º½ Ò s, t : X [0, + ) ÔÐ Ñ ØÖ Ñ a 0 Ø Ø (i) asdµ = a sdµ (ii) (s + t)dµ = sdµ + tdµ (iii) Ò s t Ø Ø sdµ tdµ. ÈÖ Ø º½ Ò f, g : X [0, + ] Ñ ØÖ Ñ a 0 Ø Ø (i) afdµ = a fdµ (ii) Ò f g Ø Ø fdµ gdµ. (iii) Ò A B (A, B S) Ø Ø fdµ fdµ A B (iv) Ò A S µ(a) = 0 f A = 0 Ø Ø fdµ = 0. È Ö Ñ º¾¼ Ò µ Ò ØÓ Ñ ØÖÓ Dirac δ 0 ØÓ 0 R Ø Ø ÙÒ ÖØ Borel f : R [, + ] Õ fdµ = f(0) R Ø Ò A R Ò Borel 0 / A Ø Ø µ(a) = 0 ÓÔ Ø fdµ = fdµ = f(0)º {0} ÈÖ Ø º¾½ ³ ØÛ s : X [0, + ) ÔÐ Ñ ØÖ Ñ º ÇÖÞÓÙÑ ν : S [0, + ] : ν(a) = sdµ. Ì Ø ØÓ ν Ò Ñ ØÖÓº  ôö Ñ º¾¾ ÅÓÒ ØÓÒ Ð ØÓÙ Lebesgueµ Ò (f ) Ò ÜÓÙ ÓÐÓÙ Ñ ØÖ ÑÛÒ Ñ ÖÒ Ø ôò ÙÒ ÖØ ÛÒ f : X [0, + ] Ø Ø (lim f )dµ = lim f dµ. A A Ô Ü x X ÓÐÓÙ (f (x)) Ò ÜÓÙ ÙÒ Ôô Õ Ö Ó f(x) [0, + ]º ³ ÕÓÙÑ Ü Ø ØÓ Ø Ñ Ó Ö Ó Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ò Ñ ØÖ Ñ º ³ Ö f Ò Ñ ØÖ Ñ ÙÒ Ôô ØÓ fdµ ÙÔ ÖÕ ÑÔÓÖ Ò Ò + µº Ô f f +1 f ÕÓÙÑ f dµ f +1 dµ fdµº ÔÓÑ ÒÛ ØÓ Ö Ó lim f dµ a ÙÔ ÖÕ ÑÔÓÖ Ò Ò + µ a fdµ.

6 Å Ò Ò Õ ÒØ ØÖÓ Ò Ø Ø º Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ fdµ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò s Ò ÔÐ Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ Ñ 0 s f Õ sdµ a. ËØ ÖÓÔÓ Ó Ñ Ò c (0, 1) ÜÓÙÑ Ø c sdµ a.  ØÓÙÑ E = {x X : f (x) cs(x)} ( = 1, 2,...). È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø E S Ó f cs Ò Ñ ØÖ Ñ Ø E 1 E 2... Ó f 1 f 2... º Á ÕÙÖ Ñ E = X. =1 ÈÖ Ñ Ø ØÛ x Xº Ò f(x) = 0 Ø Ø s(x) = 0 Ö x E º Ò Ô Ð f(x) > 0 Ø Ø f(x) s(x) > cs(x) ÙÑ ÓÙ Ø s(x) < ) ÓÔ Ø ÓÒ f (x) ր f(x) ÙÔ ÖÕ N ô Ø f (x) cs(x) Ö x E º Ç ÕÙÖ Ñ ÔÓ Õ º  ÛÖÓ Ñ ØÓ Ñ ØÖÓ ν ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô Ø Õ ν(e) = sdµ, E E S ³ ÕÓÙÑ cν(e ) = c sdµ = csdµ f dµ Ø cs(x) f (x) Ø Ò x E ) E E E f dµ. ³ÇØ Ò ÕÓÙÑ ν(e ) ν(x) = sdµ Ô Ø Ò σ¹ôöó Ø Ø Ø ØÓÙ ν ÈÖ Ø º¾½µº Ô f dµ aº ËÙÒ Ôô Ô Ø Õ cν(e ) f dµ Ô Ø Ø c sdµ aº Ó Ò Ø Ø ÙØ Õ c (0, 1) ÛÖôÒØ c ր 1 ÔÖÓ ÔØ sdµ a. À Ò Ø Ø ÔÓ Õ ÔÐ Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ s Ñ 0 s f ÙÒ Ôô { } fdµ = sup sdµ : s ÔÐ Ñ ØÖ Ñ 0 s f a Ö Ø Ð ô fdµ = aº È Ö Ñ º¾ ÈÖÓ Ø Ø Ø µ Ò f, g : X [0, + ] Ñ ØÖ Ñ Ø Ø (f + g)dµ = fdµ + gdµ.

7  ôö Ñ º¾ Beppo Leviµ Ò (f ) Ò ÓÐÓÙ Ñ ØÖ ÑÛÒ Ñ ÖÒ Ø ôò Ù¹ Ò ÖØ ÛÒ f : X [0, + ] Ø Ø ( ) f dµ = ( ) f dµ. Ä ÑÑ º¾ Ò Ø Ø Chebyshev - Markovµ Ò f L + c > 0 Ø Ø fdµ cµ({x X : f(x) c}). ÈÖ Ø º¾ Ò f, g : X [0, + ] Ò Ñ ØÖ Ñ Ø Ø µ f = g Õ Ò Ô ÒØÓ = fdµ = gdµ µ f = 0 Õ Ò Ô ÒØÓ fdµ = 0. ÈÖ Ø º¾ Ò f, f L + f ր f ÚºÔº Ø Ø fdµ = lim f dµ. È Ö Ñ Ø º¾ µ ËØÓÒ (R, B R, λ) Ò f = χ [,+1] Ø Ø f 0 Ø Ñ Ó ÐÐ lim f dλ = 1 > lim f dλº µ ËØÓÒ ([0, 1], B [0,1], λ) Ò g = χ (0, 1 ) Ø Ø g g = 0 Ø Ñ Ó ÐÐ lim g dλ = 1 > lim g dλº Â ôö Ñ º¾ Ä ÑÑ Fatouµ Ò f : X [0, + ] Ò Ñ ØÖ Ñ (lim if f )dµ lim if f dµ. È Ö Ñ º ¼ Ò f, f L + f f ÚºÔº Ø Ø fdµ lim if f dµ. ÈÖ Ø º ½ Ò f : X [0, + ] Ò Ñ ØÖ Ñ fdµ < Ø Ø µ À f Ò ÚºÔº Ô Ô Ö Ñ Ò µ({x X : f(x) = + }) = 0º µ ÌÓ ÒÓÐÓ {x X : f(x) > 0} Ò σ¹ô Ô Ö Ñ ÒÓº º¾º¾ ÇÐÓ Ð ÖÛ Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÇÖ Ñ º (i) ³ ØÛ f : X R Ñ ØÖ Ñ f + = max{f, 0} f = mi{f, 0}º Ì Ø Ó f + f Ò Ñ ÖÒ Ø Ñ ØÖ Ñ Ö ÓÖÞÓÒØ Ø f + dµ f dµ ØÓ Rµº Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ò Ô Ø Ó ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÓÖÞÓÙÑ fdµ = f + dµ f dµ R. Υπενθύμιση: limif x = lim(if{x k : k }) = sup(if{x k : k }).

8 (ii) Å f : X R Ð Ø ÔÓÐ ØÛµ ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ñ f dµ < +. ËÙÑ ÓÐ Ñ L 1 R (X, S, µ) = L1 R (µ) = {f : X R : ÓÐÓ Ð Öô Ñ }. È Ö Ø Ö º ¾ µ Ç Ô Ö ÓÖ Ñ f : X R ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ L 1 (µ) Ò Ò Ó Ò Ü Ð Ø Ó L 1 (µ) Ò Ö ÑÑ ÕôÖÓ ØÓ Â ôö Ñ º µº Å ÓÐÓ¹ Ð Öô Ñ f : X R Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ñ Ò Ò ØÓÒ L 1 ô Ò Õ Ø Ò Ô ÖÒ Ø Ø Ñ ± º ³ÇÑÛ ÓÒ f dµ < + Ô Ø Ò ÈÖ Ø º ½ f Ô ÖÒ µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ñ Ö ØÓ Ó Õ Ø f, f + f º ÔÓÑ ÒÛ ÙÔ ÖÕ g L 1 ô Ø g = f µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ º µ Ò f L 1 R (µ) f = f+ f Ø Ø Ô 0 f ± f ÕÓÙÑ f ± L 1 R (µ)º Ò ÒØ ØÖÓ Ó f + f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ô ÖÞÓÒØ Ø Ø Ó f = f + +f ÕÓÙÑ f dµ < + Ö f L 1 R (µ)º Ð Ò f : X R Ò Ñ ØÖ Ñ f L 1 R (µ) f L1 R (µ) f+ f L 1 R (µ) fdµ = f + dµ f dµ R.  ôö Ñ º Ç L 1 R (µ) Ò Ö ÑÑ ÕôÖÓ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ò Ö ÑÑ Ô ¹ Ò L 1 R (µ) Rº Ð Ò f, g L 1 R(µ) λ R, Ø Ø f + λg L 1 R(µ) (f + λg)dµ = fdµ + λ gdµ. Ô Ü µ Ô f + λg f + λ g ÕÓÙÑ f + λg dµ ( f + λ g )dµ (3.19,3.23) = f dµ + λ g dµ < +. µ Ò h = f + g Ø Ø Ó f ±, g ± h ± Ô ÖÒÓÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ñ ÒÓ Ø Ñ ÓÔ Ø h + h = f + f + g + g h + + f + g = f + + g + + h (h + + f + g )dµ = (f + + g + + h )dµ Ð Ñ ÖÒ Ø µ h + dµ + f dµ + g dµ = f + dµ + g + dµ + h dµ È Ö Ñ º¾ µ hdµ = fdµ + gdµ. µ Ò λ 0 Ø Ø (λf) + = λf + (λf) = λf Ö λfdµ = (λf) + dµ (λf )dµ = λf + dµ (3.19) = λ f + dµ λ f dµ = λ fdµ. λf dµ πάρε g = fχ E,όπου E = {x X : f(x) < }

9 µ ( f) + = f ( f) = f + Ö ( f)dµ = ( f) + dµ ( f )dµ = f dµ ( ) = f + dµ f dµ = fdµ. f + dµ ÈÖ Ø º Ò f, g L 1 R (µ) Ø Ø (i) f g = (ii) fdµ fdµ f dµ gdµ. Ô Ü µ Ü ÓÖ ÑÓ Ò h 0 Ñ ØÖ Ñ Ø Ø hdµ 0º ÔÓÑ ÒÛ (g f)dµ 0º ÐÐ (g f)dµ = gdµ fdµº µ ³ ÕÓÙÑ f f f = ( f )dµ fdµ f dµ = f dµ fdµ f dµ = fdµ f dµ. ÈÖ Ø º ³ ØÛ f, g L 1 R (µ)º µ Ò f = g µ¹ ÚºÔº Ø Ø fdµ = gdµ. µ f = g µ¹ ÚºÔº Ò Ñ ÒÓÒ Ò fdµ = gdµ A Sº A A Ô Ü µ Ò f = g µ¹ ÚºÔº Ø Ø f g = 0 µ¹ ÚºÔº ÓÔ Ø f g dµ = 0 Ö 0 fdµ gdµ = (f g)dµ f g dµ = 0. µ Ò fdµ = gdµ A S Ø Ø ØÓÒØ A A A+ = {x X : f(x) g(x)} A = {x X : f(x) < g(x)} ÓÔ Ø A ± S ÕÓÙÑ f g dµ = (f g)dµ + (g f)dµ = 0 A + A Ö Ó f g 0 ÕÓÙÑ f g = 0 µ¹ ÚºÔº ÈÖ Ø º¾ µ ÔÓÑ ÒÛ f = g µ¹ ÚºÔº È Ö Ñ º Ò f, g L 1 R (µ) f g µ¹ ÚºÔº Ø Ø fdµ gdµ. Ô Ü Ò B = {x X : f(x) > g(x)} Ø Ø B S µ(b) = 0º Ò f 1 = fχ B c g 1 = gχ B c Ø Ø f 1 f g 1 g Ö f 1, g 1 L 1 R (µ) f 1 g 1 Ô ÒØÓ Ö f1 dµ g 1 dµº ÐÐ f = f 1 g = g 1 µ¹ ÚºÔº Ö fdµ = f 1 dµ gdµ = g 1 dµº È Ö Ø Ö º Ì ÙÑÔ Ö Ñ Ø ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ÅÓÒ ØÓÒ Ë Ð ØÓÙ Ä ÑÑ ØÓ Fatou Ü ÓÐÓÙ Ó Ò Ò Õ ÓÙÒ Ò Ó ÙÔÓ ØÓÙ ÒÓÔÓ Ó ÒØ µ¹ Õ Ò Ð Ø Ñ ØÓÙ Xº

10 ËÙÒ ÖØ Ñ Ñ Ø Ñ Ò f : X C Ò S¹Ñ ØÖ Ñ Ó Ò Ñ Ó u = Ref v = Im f Ò S¹Ñ ØÖ Ñ ÔÖ Ñ Ø ÙÒ ÖØ µ ÓÔ Ø f : X [0, + ) Ò Ñ ØÖ Ñ Ð Ñ Ø f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò f dµ < Ö ÓÙÑ L 1 (X, S, µ) = L 1 (µ) = {f : X C : ÓÐÓ Ð Öô Ñ } { } = f : X C Ñ ØÖ Ñ f dµ <. È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ô Ref f Im f f Òô f Ref + Imf f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ó Re f Im f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ º ÇÖÞÓÙÑ fdµ = Re fdµ + i Im fdµ. Ò Ñ Ó Ø Ó L 1 (µ) Ò Ñ µ Ö ÑÑ ÕôÖÓ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ò Ö ÑÑ Ô Ò L 1 (µ) Cº ÈÖ Ø º Ò f L 1 (X, S, µ) Ø Ø fdµ f dµ. Ô Ü Ç Ñ Ö Ñ z = fdµ Ö Ø z = e iθ z = λ z ÔÓÙ λ = 1º ³ ÕÓÙÑ ÐÓ Ô Ò z = λz Ð fdµ = λ fdµ = λf dµ. ÓÔ Ø λfdµ Rº Ò ÐÓ Ô Ò g = Re λf h = Im λf ÕÓÙÑ λf = g + ih ÓÔ Ø λfdµ = gdµ + i hdµ = gdµ g dµ Ô Ø Ò ÈÖ Ø º µº ³ÇÑÛ g λf = f Ó λ = 1µ ÙÒ Ôô g dµ f dµ Ô Ø Ò º µ Ö Ø Ð fdµ = λfdµ g dµ f dµ.  ôö Ñ º ÃÙÖ ÖÕ Ñ Ò Ë Ð µ ³ ØÛ (f ) ÓÐÓÙ Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ñ Ø Ñ ÔÓÙ Ù ÐÒ µ¹ Õ Ò x Xº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ g L 1 R (µ) ô Ø f g µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ º Ò ÓÖ ÓÙÑ f(x) = lim f (x) Ø Ñ x X ÔÓÙ ØÓ Ö Ó ÙÔ ÖÕ ØÓ Cµ f(x) = 0 Ø ÙÔ ÐÓ Ô Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ø Ø f Ò Ñ ØÖ Ñ Ò ØÓÒ L 1 (µ) Õ lim f f dµ = 0 lim f dµ = fdµ. ½¼

11 Ô Ü À f Ò Ñ ØÖ Ñ Ø f Ò Ñ ØÖ Ñ º ÓÒ f g Õ Ò Ô ÒØÓ g L 1 R (µ) ÕÓÙÑ f dµ gdµ < + Ö f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ º ØÓÒ Ó Ð Ó ÓÒ f = lim f gµ f Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ð f, f L 1 (µ)º ÔÓÑ ÒÛ f dµ fdµ = (f f)dµ f f dµ ÔÓÙ ÔÖôØ Ø Ø ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ö ÑÑ Ø Ø ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Ø Ö Ò Ø Ø Ô Ø Ò ÈÖ Ø º º Ö ÐÓ Ô Ò Ò ÜÓÙÑ Ø f f dµ 0. ÐÐ ÞÓÒØ Ò ÕÖ Ø Ø Ñ ØÛÒ f Ò ÒÓÐÓ Ñ ØÖÓÙ 0 ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ¹ ÓÙÑ Ø x X Õ f (x) g(x) f(x) = lim f (x)º  ØÓÙÑ h = f f Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø 0 h 2g Ø h (x) 0 xº ³ Ö 2g h 0 2g h 2g Ø Ñ Óº Ô ØÓ Ä ÑÑ Fatou ÕÓÙÑ lim if(2g h )dµ lim if (2g h )dµ Ð Ö lim sup 2gdµ = = Ð ØÓ Ö Ó lim lim if h dµ 0. ÐÐ (2g h )dµ lim if (2g h )dµ ( h )dµ = 2gdµ lim sup 2gdµ + lim if 0 lim if h dµ 0 Ö lim if h dµ lim sup h dµ ÙÔ ÖÕ Ò 0. h dµ h dµ 0 ÔÓÑ ÒÛ h dµ 0 º Ë Ð Û ÔÖÓ Ø Ò 1 Ç ÕôÖÓ L 1 (X, S, µ) ËÙÑ ÓÐ Ñ Ò f : X R f : X C Ò Ñ ØÖ Ñ Ö ÓÙÑ f 1 = f dµ [0, + ] X ÓÔ Ø L 1 (µ) = {f : X C Ñ ØÖ Ñ f 1 < }.) È Ö Ø Ö º ¼ Ò f, g L 1 (X, S, µ) λ C Ø Ø f + λg L 1 (X, S, µ) ½º λg 1 = λ g 1 Αν N = {x X : f (x) > g(x)}και N = {x X : το lim f (x)δενυπάρχει},τα N, Nείναι μετρήσιμακαιμηδενικά,άραθέτοντας M = ( N ) Nέχουμε M Sκαι µ(m) = 0. ½½

12 ¾º f + g 1 f 1 + g 1 º f 1 = 0 Ò Ñ ÒÓÒ Ò f = 0 µ¹σ.π. ÇÖ Ñ º Å ÓÐÓÙ (f ) ÙÒ ÖØ ÛÒ ØÓÒ L 1 (X, S, µ) Ð Ø Ø Ù ÐÒ Ø Ò f L 1 (X, S, µ) Û ÔÖÓ Ø Ò 1 ØÓÒ L 1 µ Ò f f 1 0º Ò Ø Ö (f ) Ð Ø ÓÐÓÙ Û ÔÖÓ Ø Ò 1 Ò ε > 0 ÙÔ ÖÕ o N ô Ø f f m 1 < ε m, o º È Ö Ø Ö º ½ Ò (f ) Ù ÐÒ µ¹ ÚºÔº Ò Ô Ø Ø Ò Ò Ø Ù ÐÒ Û ÔÖÓ Ø Ò 1 º Ô Ö Ñ ØÛ f : [0, 1] R ÙÒ ÖØ f (x) = { 2 (1 x), 0 x 1 0, 1 < x 1 Ì Ø f L 1 ([0, 1], λ) f (x) 0 x 0 Ö f 0 λ¹σ.π. ÐÐ f 1 = 2 º È Ö Ø Ö º ¾ Ò (f ) Ù ÐÒ Û ÔÖÓ Ø Ò 1 Ò Ô Ø Ø Ò Ò Ø Ù ÐÒ µ¹ ÚºÔº ÅÔÓÖ Ñ Ð Ø Ò ÔÓ ÐÒ Ñ Óº ³ÇÔÛ Ó Ñ ÑÛ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ º (f ) Õ Ô ÒØ Ñ ÙÔ ÓÐÓÙ ÔÓÙ Ù ÐÒ µ¹ ÚºÔº È Ö Ñ º ØÛ K ØÓ Ü Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÐÙÑÑ ØÓÙ [0, 1] Ô Ø Ñ Ø Ñ ÓÙ 2 K 1 = {[0, 1], 2 ][1, 1]}, K 2 2 = {[0, 1], 4 [1, 1], 4 2 [1, 3], 2 4 [3, 1]} Ó ØÛ 4 Ü º ÌÓ ÒÓÐÓ m K m Ò Ö Ñ ÑÓº ³ ØÛ I 1, I 2,... Ñ Ö Ñ ØÓÙ ØÛ f Õ Ö Ø Ö Ø ÙÒ ÖØ ØÓÙ I º ³ ØÛ x [0, 1] ØÙÕ Óº ÓÒ ØÓ x Ò Ô ÖÓ ÔÐ Ó I Ô ÖÓ ÔÐ Ó I c ÓÐÓÙ (f (x)) Ò ÑÔÓÖ Ò Ù ÐÒ º Ô Ø Ò ÐÐ ÑÛ f 1 = 1 0 f dλ = λ(i ) 0 ÓÒ m N Ñ ÒÓÒ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô Ø I Õ Ñ Ó Ñ Ð Ø ÖÓ Ô 2 m º ÔÓÑ ÒÛ f 0 Û ÔÖÓ Ø Ò 1 º  ôö Ñ º Riesz-Fischerµ ³ ØÛ (f ) Ñ ÓÐÓÙ ØÓÒ L 1 (X, S, µ) ÔÓÙ Ò Û ÔÖÓ Ø Ò 1 º Ì Ø ÙÔ ÖÕ f L 1 (X, S, µ) ô Ø f f Û ÔÖÓ Ø Ò 1 º Ô ÐÔ ÓÒ ÙÔ ÖÕ Ñ ÙÔ ÓÐÓÙ Ø (f ) ÔÓÙ Ù ÐÒ Ø Ò f µ¹ ÚºÔº Ô Ü µ ÓÒ Ó ÓÖ f f m 1 ßØ ÒÓÙÒ ØÓ ¼Ð ÙÔ ÖÕ ÙÔ ÓÐÓÙ (f k ) ô Ø k f k+1 f 1 < + º  ÜÓÙÑ Ø Ñ Ø ØÓ ÙÔ ÓÐÓÙ Ù ÐÒ µ¹σ.π. Ñ f L 1 (X, S, µ)º ËÙ Ö Ñ Ò Ô Ð ÓÙÑ Ô Û Ò Û ÜÓÙ ÓÐÓÙ ( k ) ô Ø Ù ÓÐ ØÓÙÑ h k = f k f m f 1 < 1 2 k (m, k ) µ g k = h 1 + h 2 h h k+1 h k ½¾

13 Ì Ø Ô ØÓ Â ôö Ñ B. Levi gdµ = = g = sup g k = lim g k = h 1 + k k h 1 dµ + h k+1 h k dµ h 1 dµ + h k+1 h k. h k+1 h k dµ h 1 dµ k < Ö g(x) < + Õ Ò xº Å ÐÐ Ð ÙÔ ÖÕ A S Ñ µ(a c ) = 0 ô Ø x A ÓÐÓÙ (g k (x)) Ò Ù ÐÒ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Óº ÙØ Ñ Ò Ø x A Ö h 1 (x) + (h k+1 (x) h k (x)) Ù ÐÒ Ô ÐÙØ Ö Ù ÐÒ ÔÖ Ñ Ø Ñ Ö Ñ º ÐÐ h k+1 (x) = h 1 (x) + (h 2 (x) h 1 (x)) (h k+1 (x) h k (x)), ÓÔ Ø ØÓÒØ f(x) = lim k h k (x) = lim k f k (x) x A f(x) = 0 x A c ÕÓÙÑ Ñ Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ f ØÓ Xº µ Á ÕÙÖ Ñ f L 1 (X, S, µ) lim k f k f 1 = h k f 1 = 0. ÈÖ Ñ Ø ÕÓÙÑ f = lim h k Õ Ò Ô ÒØÓ k k h k+1 = h k 1 + (h m+1 h m ) h 1 + h m+1 h m = g k g. m=1 Ð ÓÐÓÙ (h k ) ß ÙÖ ÖÕ Ø Ð Ô Ø Ò g L 1 º ³ Ô Ø ÐÓ Ô Ò Ô ØÓ Â ôö Ñ ÃÙÖ ÖÕ Ñ Ò Ë Ð Ø f L 1 (X, S, µ) Ø h k f dµ 0º µ ÕÒÓÙÑ ØôÖ Ø f Ò ØÓ Ö Ó Û ÔÖÓ Ø Ò 1 ÓÐ Ð Ö Ø ÓÐÓÙ (f )º m=1 Ó ÒØÓ ε > 0 Ó (f ) Ò ÙÔ ÖÕ o ô Ø ÇÑÛ Ô ØÓ µ ÙÔ ÖÕ k o N ô Ø m, o f m f 1 < ε. k k o f k f 1 < ε. Ô Ð ÓÒØ Ò k k o ô Ø k o ÕÓÙÑ m o Ü Ñ Ø f m f 1 0º f m f 1 f m f k 1 + f k f 1 < 2ε. ½

14 Ç ÕôÖÓ L 1 (X, S, µ) Ò f, g Ò µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ ØÓ X ÓÖ Ñ Ò ÙÒ ÖØ Ñ Ø Ñ ØÓ R ØÓ C Ö ÓÙÑ f µ g Ò Ó f, g Ò µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ º Ò Ñ Ó Ø Õ ÙØ Ò Õ Ó ÙÒ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Õ Ò Ô ÒØÓ ÓÖ Ñ ÒÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ø Ñ ØÓ R ÒØ ØÓ Õ Õ Ò Ô ÒØÓ ÓÖ Ñ ÒÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ø Ñ ØÓ Cµº Ô Ø Ò ÈÖ Ø º µ Ô Ø Ø Ò Ó f, g Ò Ñ ØÖ Ñ µ¹ Ó Ò Ñ Ñ Ô Ø Ó Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ø Ø Ô f dµ = g dµµ Ò Ó Ó ÓÐÓ Ð ô Ñ fdµ = gdµ E Sº Ð Ô ÖÜ Ó Ø Ñ ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Ñ E E Ñ ØÖ Ñ ÙÒ ÖØ Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓÒ Ô Ø Ò Ð Ó ÙÒ Ñ Ø º ÅÔÓÖÓ Ñ ÐÓ Ô Ò Ò Ô Ø ÒÓÙÑ ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Ø ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ ØÖ Ñ µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ Â Ð Ñ Ø Ñ Ø ØÓ ÙÒ ÖØ Ò ÔÓÐ ØÛµ ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ò µ¹ Ó Ò Ñ Ñ Ñ f L 1 (X, S, µ)º ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ÔÖÓ ÛÖ Ò µ Ø Ò Ð Ó ÙÒ Ñ f = {g : E g [, + ] Ñ ØÖ Ñ Ñ g µ f} ÒØ ØÓ Õ f = {g : E g C Ñ ØÖ Ñ Ñ g µ f} ÔÓÙ E g S µ(e c g) = 0.) ÅÔÓÖÓ Ñ ØôÖ Ò ÓÖ ÓÙÑ ÇÖ Ñ º L 1 R (X, S, µ) = { f : f L 1 R (X, S, µ)} L1 (X, S, µ) = { f : f L 1 C (X, S, µ)}. Å Ø ÔÖ Ü f + g = f + g λ f = λf Ó L 1 (X, S, µ) Ò Ø Ö ÑÑ ÕôÖÓ f, g L 1 λ C Ò f 1, f 2 f g 1, g 2 g Ó f i + λg i (i = 1, 2) ÓÖÞÓÒØ µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ f 1 + λg 1 µ f2 + λg 2 f 1 + λg 1 dµ f 1 dµ + λ g 1 dµ < + º Ô 1 ÓÖÞ Ñ Ò ÖÑ ØÓÒ ÕôÖÓ L 1 (X, S, µ) Ø f 1 = 0 f = 0º Å ÙØ Ò Ø Ò ÓÖÓÐÓ ØÓ Â ôö Ñ Riesz-Fischer Ð Ö ô Ø Ó ÕôÖÓ (L 1 (X, S, µ), 1 ) Ò ÔÐ Ö ÕôÖÓ Ñ Ò ÖÑ Ð ÕôÖÓ Baachº Ô Ø Ò ÈÖ Ø º½ Ô Ø Ø Ò (X, S, µ) Ò ÔÐ ÖÛ ØÓÙ (X, S, µ) Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ñ ½¹½ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ü ØÓÙ L 1 (X, S, µ) ØÓÙ L 1 (X, S, µ) ÓÔÓ Ø Ö ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ º ËÙÒ Ôô Ø ÙØÞÓÙÑ ØÓÙ ÕôÖÓÙ ÙØÓ Ø Ö L 1 (X, S, µ) = L 1 (X, S, µ). L 1 (R, B R, λ) = L 1 (R, M λ, λ). Ò f L 1 ÑÔÓÖô Ò Ô Ð Û g : X C Ñ ØÖ Ñ ô Ø g fº Å Ð Ø Ø Ò Ô Ö¹ ÔØÛ (X, S, µ) = (R, M λ, λ) ÑÔÓÖô Ò ÙÔÓ ØÛ Ø g Ò Borel Ñ ØÖ Ñ È Ö Ñ º½ µº ËÙÒ Û Ø Ò ÔÖ Ü Ò ÒÓÙÑ Ö Ñ Ø Ü Ø ÙÒ ÖØ f Ø Ð Ó ÙÒ Ñ fº Δηλαδή f : E f RήCόπουτο X \ E f είναι µ-μηδενικόσύνολο. Δηλαδήαντοσύνολο E f,g {x E f E g : f(x) = g(x)}έχει µ-μηδενικόσυμπλήρωμα. Δενείναιδύσκολοναδείξεικανείςότιμια µ-σχεδόνπαντούορισμένησυνάρτησηείναιμετρήσιμη(βλ. Παρατήρηση3.5)στοπεδίοορισμούτης,έστω E f (τοοποίομπορούμεναυποθέτουμεμετρήσιμο,περιορίζονταςκιάλλοτην fενανάγκη),ανκαιμόνονανέχειμιαπαντούορισμένημετρήσιμηεπέκταση. ½

15 È Ö Ø Ö º ËØÓÒ L 1 (X, S, µ) Ó ÔÐ ÓÐÓ Ð Öô Ñ ÙÒ ÖØ Ò ÔÙ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ f L 1 (X, S, µ) ÙÔ ÖÕ ÓÐÓÙ (f ) Ô ÔÐ ÓÐÓ Ð Öô Ñ ÙÒ ÖØ ô Ø f f 1 0º Ô Ü Â ÛÖôÒØ ÕÛÖ Ø ÔÖ Ñ Ø ÒØ Ø Ñ ÖÓ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙ¹ Ñ Ø f Ô ÖÒ ÔÖ Ñ Ø Ø Ñ º ÍÔ ÖÕÓÙÒ Ø Ø ÜÓÙ ÓÐÓÙ ÔÐôÒ Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ (s ) (t ) ô Ø s ր f + t ր f º Ò f = s t ÕÓÙÑ f f + f = f Ø Ñ Ó f = s t s + t f + + f = f. Ó f Ò ØÓÒ L 1 ÕÓÙÑ f L 1 Ô ØÓ Â ôö Ñ ÃÙÖ ÖÕ Ñ Ò Ë Ð Ô Ø Ø f f 1 = f f dµ 0º ÈÖ Ø º Ò µ Ò ÒÓÒ Ñ ØÖÓ Borel Ñ ØÖÓ Borel - Stieltjesµ ØÓ R Ó Ù¹ Ò Õ ÙÒ ÖØ Ñ ÙÑÔ ÓÖ Ò ÔÙ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ½¼ ØÓÙ L 1 (R, B R, µ) ¹ f L 1 (R, B R, µ) ǫ > 0 ÙÔ ÖÕ ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ g Ñ ÙÑÔ ÓÖ ô Ø f g 1 < ǫº Ô Ü Ô Ø Ò Ø Ð ÙØ È Ö Ø Ö Ø Ö ÑÑ Ø Ø ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓµ Ö Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø f = χ E ÔÓÙ E B R º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø µ(e) = f dµ < º ÖÓÙÑ ÈÖ Ø ¾º½ µ Ø ǫ > 0 ÙÔ ÖÕ Ô Ô Ö Ñ Ò ÒÛ A = I k Ü ÒÛÒ Ö Ñ ÒÛÒ Ø Ñ ØÛÒ ½½ ô Ø µ(e A) < ǫ ÓÔ Ø χ E χ A 1 < ǫº Ò Ô Ø I k ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ Ñ ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ g k : R [0, 1] Ñ ÙÑÔ ÓÖ ô Ø g k χ Ik 1 < ǫ º ÈÖ Ñ Ø Ò I k = (a, b) C j = [a + 1, b 1 ] Ø Ø C j j j C j+1 j C j = I k ÓÔ Ø ÑÔÓÖô Ò Ð ÜÛ C j (a, b) ô Ø 0 < µ(i k \ C j ) < ǫ Ò Ô ÖÛ g k (t) = 1 Ø Ò t C j g k (s) = 0 Ø Ò s / I k g k ß Ö ÑÑ Ð Ø ÙÔ ÐÓ Ô º Ì Ø ÕÛ 0 χ Ik g k 1 ÓÔ Ø χ Ik g k 1 = χ Ik g k dµ = (χ Ik g k )dµ µ(i k \ C j ) < ǫ I k \C j. Ô Ø I k Ò Ü Ò ÕÛ χ A = k χ I k ÙÒ Ôô χ E g k χ E χ Ik + (χ Ik g k ) < χ E χ A 1 + k 1 k 1 k 1 k ǫ < 2ǫ. ÈÖ Ø º Ò f L 1 (X, S, µ) f dµ < + Ø Ø Ö f Ù ¹ ÐÒ µ¹ ÚºÔº Û ÔÖÓ Ø Ò 1 Ñ f L 1 (X, S, µ) f dµ = f dµº Å ÐÐ Ð Ò f L 1 f 1 < + Ø Ø Ö f Ù ÐÒ ØÓÒ (L 1, 1 )º ½¼ Τοαποτέλεσμααυτόισχύειγιακανονικάμέτρα Borelσετοπικάσυμπαγείςχώρους Hausdorff. ½½ ΑπότηνΠρόταση2.19μπορούμεναγράψουμε A = m j=1 I j αντικαθιστώνταςορισμένααπόταδιαστήματαμετηνένωσήτους,μπορούμεναυποθέσουμεότιείναιξένα,διότιαν I 1 I 2 τότεηένωση I 1 I 2 είναι ανοικτό και φραγμένο διάστημα. ½

16 º º º½ Ë Ö Ñ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema ÍÔ Ò Ñ ÌÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema ³ ØÛ f : [a, b] R Ö Ñ Ò º Ñ Ö P ØÓÙ [a, b] P = {a = t 0 < t 1 < < t = b} Ü Ò Ò Ó Ø Ñ Ø I k = [t k 1, t k ), (k = 1, 2,..., 1) I = [t 1, t ] ØÓÙÑ L(f, P) = M i = M i (f) = sup{f(s) : s I i } m i = m i (f) = if{f(s) : s I i } m i (f)(t i t i 1 ) U(f, P) = i=1 (i = 1,..., ). M i (f)(t i t i 1 ). Ì L(f, P) U(f, P) ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ØÓ ØÛ ÒÛ ÖÓ Ñ Riema Ø f Û ÔÖÓ Ø Ñ Ö Pº Ò Ø L(f, P) U(f, P)º  ÛÖôÒØ ÓÕ Ñ Ö Ñ ÐÓ Ô Ö ¹ Ø Ö Ñ Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Ø ØÛ ÖÓ Ñ Ø Ñ ÐôÒÓÙÒ Ô Ö Ñ ÒÓÒØ ÑÛ Ð Ñ Ö Ø Ö µ Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Òô Ø ÒÛ ÖÓ Ñ Ø Ñ Ö ÒÓÙÒ Ô Ö ¹ Ñ ÒÓÒØ ÑÛ Ð Ñ Ð Ø Ö µ Ô ØÛ ÖÓ Ñ º Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÑÓÒ Ö Ñ I Ò Ñ Ø ØÛ Ø ÒÛ ÖÓ Ñ Ø Ð Ø ØÓ Ó ô Ø Ò Õ L(f, P) I U(f, Q) ÓÔÓ ÔÓØ Ó Ñ Ö P Q ØÓÙ [a, b] Ø Ø ÙØ Ó Ö Ñ ÓÒÓÑ Þ Ø ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema Ø f ØÓ [a, b]º ÐÐ ô ØÓ ÓÐÓ Ð ¹ ÖÛÑ Riema Ø f ØÓ [a, b] Ò ÙÔ ÖÕ º Ì ÖÓ Ñ Ø Riema ÐÓ Ô Ò ÔÓØ ÐÓ Ò ØÛ ÒÛ ÔÖÓ ½¾ ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Riema Ø Ò ÙØ ÙÔ ÖÕ º ÈÖ Ø º ÃÖ Ø Ö Ó Riemaµ ³ ØÛ f : [a, b] R Ö Ñ Ò º À f Ò Riema¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò ε > 0 ÙÔ ÖÕ Ñ Ö P ε ØÓÙ [a, b] ô Ø U(f, P ǫ ) L(f, P ǫ ) < ε. Á Ó Ò Ñ Ñ Ö P ØÓÙ [a, b] ÓÖÞÓÙÑ Ð Ñ ÛØ ÙÒ ÖØ h P, g P ØÓ [a, b] Û Ü t [a, b] Ò Ö ô Ò Ô Ø I i ØÓÙÑ Ð Ô ØôÒ Ø ÓÐ Ø i=1 h P (t) = m i (f), g P (t) = M i (f), t I i (i = 1,..., ) h P = b a m i (f)χ Ii, g P = i=1 M i (f)χ Ii i=1 h P (t) f(t) g p (t) t [a, b] h P (t)dt = L(f, P), b ÔÓÑ ÒÛ ØÓ Ö Ø Ö Ó Riema Ò ØÙÔôÒ Ø Û Ü a g P (t)dt = U(f, P). ½¾ Μπορείναδιαπιστώσεικανείςότι,είτευπολογίσειταάνωκαικάτωαθροίσματαχρησιμοποιώνταςημιάνοιχτα διαστήματα(όπως εδώ) είτε τα υπολογίσει χρησιμοποιώντας κλειστά διαστήματα, η ύπαρξη και η τιμή του ολοκληρώματος της f δεν επηρεάζονται. ½

17 ÈÖ Ø º ³ ØÛ f : [a, b] R Ö Ñ Ò º À f Ò Riema¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò ε > 0 ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ð Ñ ÛØ ÙÒ ÖØ g ǫ, h ǫ : [a, b] R ô Ø g ǫ f h ǫ b a (h ǫ g ǫ ) < ǫº º º¾ ÇÐÓ Ð ÖÛÑ Riema ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Lebesgue Ü Ø ÞÓÙÑ ØôÖ Ø Õ Ò Ñ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Lebesgueº  ÜÓÙÑ Ø Ò f Ò Riema¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ø Ø Ò Lebesgue¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ b a f(x)dx = [a,b] fdλº Ô Ó ÙÒ ÖØ h P g P Ò Ð Ñ ÛØ Ö ÔÐ Ñ ØÖ Ñ µ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Lebesgue ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÙØôÒ ÙÑÔÔØÓÙÒº Ô Ð ÓÙÑ Ô Û Ñ Ö P 1 P 2... P... ô Ø ßÐ ÔØ Ø Ø Ð Ð Ô Ø Ó ÓÕ ôò Ñ ÛÒµ Ø P Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô 1 lim b a h P = sup L(f, P) P b a f, lim b a g P = if P b U(f, P) f. È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÓÐÓÙ (h P ) = (h ) Ò ÜÓÙ (g P ) = (g ) Ò ÒÓÙ Ø h f g º  ØÓÙÑ h = sup h g = if g º Ç h, g Ò Ñ ØÖ Ñ Ö Ñ Ò Ö Lebesgue¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ µ h f g. ÉÛÖ ÑÑ ÙÔ Ø Ò f Ø ØÓÙ Ø Ò Ö Ñ Ò µ Ô ØÓ Â ôö Ñ ÃÙÖ Ö¹ Õ Ñ Ò Ë Ð Ó h g g 1 g 1 L 1 µ ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø hdλ = lim h dλ = b a f gdλ = lim g dλ = ÔÓÑ ÒÛ f Ò Riema ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Õ Ø Ø hdλ = gdλ. ÓÒ h g Ø Ø ÙØ Õ Ò Ñ ÒÓÒ Ò h(x) = g(x) Õ Ò x [a, b]º ÔÓÑ ÒÛ È Ö Ø Ö Ð f Ò Riema ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò h(x) = g(x) Õ Ò Ô ÒØÓ º Ì Ø ÕÓÙÑ h(x) = f(x) = g(x) Õ Ò x [a, b] ÓÔ Ø f Ò Ñ ØÖ Ñ ½ Ñ Ð Ø Lebesgue¹ÓÐÓ Ð Öô Ñ fdλ = hdλ = ½ γιακάθε c R,τοσύνολο {x [a, b] : f(x) < c}διαφέρειαπότοσύνολο {x [a, b] : h(x) < c}κατά ένα σύνολο μέτρου μηδέν, άρα είναι μετρήσιμο, γιατί τα σύνολα μέτρου μηδέν είναι Lebesgue μετρήσιμα. b a f b a f. a ½

18 Ð ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Lebesgue Ø f ÙÑÔÔØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riemaº  ÜÓÙÑ ØôÖ Ø f Ò Riema ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ò Õ Ò Ô ÒØÓ ÙÒ Õ º Á ÕÙÖ Ñ ³ ØÛ x [a, b] ÔÓÙ Ò Ò Ò Ò Ô Ø ÕÛÖ Ø Ñ ÑÑ Ô Ø Ñ Ö P º Ì Ø f Ò ÙÒ Õ ØÓ x Ò Ñ ÒÓÒ Ò h(x) = g(x)º Ô Ü Ò f Ò ÙÒ Õ ØÓ x Ø Ø ǫ > 0 ÙÔ ÖÕ δ > 0 ô Ø Ò t [a, b] t x < δ Ò Õ f(t) f(x) < ǫº Ô Ð ÓÙÑ N ô Ø 1 < δ ÓÔ Ø Ð ÔØ Ø Ø Ø Ñ Ö P Ò Ñ Ö Ø Ö Ô δº ³ Ô Ø Ø Ò I k Ò ØÓ Ø Ñ ½ Ø P ÔÓÙ Ò ØÓ x Ø Ø t I k ÒÓÔÓ t x < δ Ö f(t) f(x) < ǫ ÙÒ Ôô M k (f) f(x) ǫ m k (f) f(x) ǫ Ö M k (f) m k (f) 2ǫº Ó x I k ÕÓÙÑ g (x) = M k (f) h (x) = m k (f) ÓÔ Ø g (x) h (x) 2ǫº ÐÐ 0 g(x) h(x) g (x) h (x) 2ǫ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ñ Ò Ó ØÓ ǫ > 0 Ò Ù Ö ØÓµ Ø g(x) h(x) = 0º Ò ÒØ ØÖÓ g(x) h(x) = 0 Ø Ø ǫ > 0 ÙÔ ÖÕ N ô Ø 0 g (x) h (x) < ǫ ÓÔ Ø Ò I k = [t k 1, t k ) Ò ØÓ Ø Ñ Ø P ÔÓÙ Ò ØÓ x Ø Ø t I k ÕÓÙÑ m k (f) f(t) M k (f) m k (f) f(x) M k (f) Ö f(t) f(x) M k (f) m k (f) = g (x) h (x) < ǫ. Ð ǫ > 0 ÙÔ ÖÕ ÒÓ Ø Ø Ñ (t k 1, t k ) ô Ø t (t k 1, t k ) Ò Õ f(t) f(x) < ǫ ÔÓÙ Ñ Ò Ø f Ò ÙÒ Õ ØÓ xº ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø f Ò Riema ÓÐÓ Ð Öô Ñ º Ô Ø Ò È Ö Ø Ö ÙÔ ÖÕ Ò ÒÓÐÓ N 1 [a, b] Ñ ØÖÓÙ Ñ Ò ô Ø h(x) = g(x) x [a, b]\n 1 º Ò ÓÒÓÑ ÓÙÑ N Ø Ò ÒÛ ØÓÙ N 1 Ñ ØÓ Ö Ñ ÑÓ Ö λ¹ñ Ò µ ÒÓÐÓ P ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ÛÒ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ Ö ÛÒ P, N Ø Ø ØÓ N Õ Ñ ØÖÓ Ñ Ò f Ò ÙÒ Õ x [a, b] \ N Ð Õ Ò Ô ÒØÓ º ÈÖ Ñ Ø Ò x / N Ø Ø ØÓ x Ò Ò Ñ Ó ÑÑ Ñ Ö ÓÔ Ø Ó x N 1 ÓÔ Ø h(x) = f(x) = g(x) f Ò ÙÒ Õ ØÓ x Ô ØÓÒ Á ÕÙÖ Ñ º ³ ØÛ ÒØ ØÖÓ Ø f Ò ÙÒ Õ Õ Ò Ô ÒØÓ Ð ÙÔ ÖÕ Ò ÒÓÐÓ N 2 [a, b] Ñ ØÖÓÙ Ñ Ò ô Ø f Ò Ò ÙÒ Õ x [a, b] \ N 2 º  ØÓÙÑ M = N 2 ( P )º x M c f Ò ÙÒ Õ ØÓ x ÓÔ Ø Ô ØÓÒ Á ÕÙÖ Ñ ÔÖÓ ÔØ Ø Ø h(x) = g(x)º Ó λ(m) = 0 ÕÓÙÑ h = g Õ Ò Ô ÒØÓ º Ô Ø Ò È Ö Ø Ö ÔÖÓ ÔØ Ø ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Riema Ø f ØÓ [a, b] ÙÔ ÖÕ º ËÙÒÓÝÞÓÙÑ Â ôö Ñ º ¼ Å Ö Ñ Ò ÙÒ ÖØ f : [a, b] R Ò Riema ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ò Õ Ò Ô ÒØÓ ÙÒ Õ Ò Ð ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÙÒ Õ ôò Ø Õ Ñ ØÖÓ Ñ Òº Ì Ø f Ò Lebesgue ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø ÙÑÔÔØÓÙÒº È Ö Ø Ö º ½ ØÓÒ ÓÙÑ Ø ÓÖ Ò Ñ Ø Ò ÒÒÓ ß Õ Ò Ô ÒØÓ ÙÒ ¹ Õ Ð Ø Ò ÒÒÓ ß Õ Ò Ô ÒØÓ Ñ Ñ ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ Ð Ô Ö Ñ ÙÒ ÖØ Dirichlet Ð Õ Ö Ø Ö Ø ÙÒ ÖØ ØÛÒ Ö ØôÒ Ò Ò ÔÓÙ Ò ÙÒ Õ ÐÐ Ò Õ Ò Ô ÒØÓ Ñ Ø ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ f(t) = 0º ½ μοναδικό,αφούτα I είναιξένα ½

19 ÒØ Ø Õ Ö Ø Ö Ø ÙÒ ÖØ ØÓÙ [ 1, 2 ] Ò Õ Ò Ô ÒØÓ ÙÒ Õ Ó Ò 3 3 ÙÒ Õ Ñ ÒÓ Ø Ñ 1 2µ ÐÐ Ò ÑÔÓÖ Ò Ò Õ Ò Ô ÒØÓ Ñ Ñ 3 3 ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ Ø Õ ÐÑ Ø Ó ÙØ Ñ º º Ë Ð ÓÐÓÙ ôò Ñ ØÖ ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ È Ö Ø Ö º ¾ ³ ØÛ (X, S, µ) ÕôÖÓ Ñ ØÖÓÙ f, f : X R Ñ ØÖ Ñ º ÒÛÖ¹ ÞÓÙÑ Ø Ü ÒÒÓ Ð ½º f f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ X ¾º f f Ø Ñ Ó ØÓ Xº º f f Ø Ñ Ó µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ º º f f ØÓÒ L 1 Ð f f dµ 0º Ò ÔÖÓ Ò Ø (1) (2) (3) Ø Ó ÒØ ØÖÓ ÙÒ Ô Û Ò Õ ÓÙÒº Ô (1) (4) Ò Õ Ò Ò Ô Ö Ñ f = 1 χ [0,] f = 0 ØÓÒ (R, B R, λ)) Õ ÑÛ ÕôÖÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ØÖÓÙ Ô ØÓ Â ôö Ñ ÃÙÖ ÖÕ Ñ Ò Ë Ð µº À ÙÒ Ô Û (2) (4) Ò Õ ÕÛÖ Ô ÔÐ ÓÒ ÙÔÓ ÔÛ ÔºÕº Ø Â ÛÖ Ñ ¹ Ø ÅÓÒ ØÓÒ ÃÙÖ ÖÕ Ñ Ò Ë Ð µ Ó Ø ÕôÖÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ØÖÓÙº ³ Ò Ô Ö Ñ ØÓÒ ([0, 1], B [0,1], λ)) Ò f = χ (0, 1 ] f = 0º Ç Ø ÑÛ ÙÒ Ô Û (4) (3) Õ º ³ Ò Ô Ö Ñ Ò ØÓ º º ÌÓ Ñ ÒÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò Ò ÙÑÔ Ö Ò Ò Ò Ô Ø Ò f f 1 0 Ò Ø ÙÔ ÖÕ ÙÔ ÓÐÓÙ (f k ) ô Ø f k f Õ Ò Ô ÒØÓ Â ôö Ñ º µº ÇÖ Ñ º ³ ØÛ (X, S, µ) ÕôÖÓ Ñ ØÖÓÙ f, f : X R Ñ ØÖ Ñ º f f Ø Ñ ØÖÓ Ø Ò Ä Ñ Ø ε > 0, Ò N(, ε) = {x X : f (x) f(x) ε} Ø Ø lim µ(n(, ε)) = 0. ÈÖ Ø º Lebesgueµ ³ ØÛ µ(x) < º Ò f f Õ Ò Ô ÒØÓ Ø Ø f f Ø Ñ ØÖÓº È Ö Ñ Ø º µ ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ò Ò º ØÓ Ô Ö Ñ º º µ ÌÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ò Õ Ô ÒØ ÕôÖÓÙ Ô ÖÓÙ Ñ ØÖÓÙº Ô Ö Ñ ÓÐÓÙ (χ [, ) ) Ø Ò ØÓ 0 Ø Ñ Ó Òô Ò Ù ÐÒ Ø Ñ ØÖÓ ØÓÒ (R, M λ, λ)º  ôö Ñ º Egorovµ ³ ØÛ µ(x) < º Ò f f µ¹ Õ Ò Ô ÒØÓ Ø Ø δ > 0 ÙÔ ÖÕ A δ S Ñ µ(a δ ) < δ ô Ø f f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ X\A δ º À Ð ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ÓÒÓÑ Þ Ø ÔÓÐÐ ÓÖ ß Õ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ Ð Ðº Ô Ü k m N ØÛ E m (k) = m N(, 1 k ) = {x : m : f (x) f(x) 1 k }. ½

20 ³ ÕÓÙÑ E m (k) E m+1 (k) m E m (k) = {x : m m : f (x) f(x) 1 k } {x : f (x) f(x) 0} m 1 Ø Ò x m E m(k) Ø Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô ÖÓ N ô Ø f (x) f(x) 1 k ÙÒ Ôô ÓÐÓÙ (f (x)) Ò Ù ÐÒ ØÓ f(x)º ³ÇÑÛ f f Õ Ò Ô ÒØÓ Ö µ ( m E m (k)) = 0º Ô µ(e 1 (k)) < + Ô Ø Ø lim m µ(e m (k)) = 0º ÔÓÑ ÒÛ δ > 0 k N ÙÔ ÖÕ m k N ô Ø µ(e mk (k)) < δ 2. k ³ ØÛ A δ = E mk (k) Ì Ø µ(a δ ) µ(e mk (k)) < Á ÕÙÖ Ñ f f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ A c δ º δ 2 k = δ. Ô Ü ³ ØÛ ǫ > 0 k N Ñ 1 < ǫº Ô A k δ E mk (k) Ò x A c δ ÕÓÙÑ x / E mk (k) Ö m k Õ f (x) f(x) < 1 < ǫº Ó ØÓ m k k Ò Ü ÖØ Ø Ô ØÓ x ÕÓÙÑ f f ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ A c δ. ÌÓ Â ôö Ñ Egorov Ò Õ Ô ÒØ ÕôÖÓÙ Ô ÖÓÙ Ñ ØÖÓÙº ³ Ò Ô Ö Ñ Ò ØÓ º µ À ÓÐÓÙ (χ [, ) ) Ø Ò ØÓ Ñ Ò Ô ÒØÓ ÐÐ Ò ÙÔ Ö A δ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ô Ó Ñ ÐÐÓÒ Ñ ÖÓ µ Ñ ØÖÓÙ ô Ø (χ [, ) ) Ò Ø Ò ØÓ Ñ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ ØÓ A c δ Ø µº ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó ÑÛ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ Egorov Õ º Å Ð Ø Õ Ø ÕÙÖ Ø ÖÓ ÈÖ Ø º Ò f f Õ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ Ø Ø f f Õ Ò Ô ÒØÓ Ø Ñ ØÖÓº Ô Ü È Ö Ð Ô Ø º ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó { Ø º Ò Õ Ò Ò º ³ Ò Ô Ö Ñ Ò ÓÐÓÙ (g ) ÔÓÙ 1, Ò t + 1 g (t) = ØÓÒ (R, M 0, ÐÐ ô λ, λ)º Ô Ü ³ ºµ Ô ÙÔ ßf f Ø Ñ ØÖÓÐ Ò Ö Ô Ñ Ò Ø Ò Ü Ð Ø Ò Õ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ Ð Ó Ø ÕôÖÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ØÖÓÙµ ÓÐÓÙ (f ) ØÓ È Ö Ñ º Ù ÐÒ ØÓ ¼ Ø Ñ ØÖÓ Ò Ù ÐÒ ÑÛ Ò Ò Ñ Ó ÓÔ Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ù ÐÒ Õ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ º È Ö Ø Ö º ÔÓ ØÓ Â ôö Ñ º Ø Ò ÈÖ Ø º Ô Ø Ø ÕôÖÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ØÖÓÙ f f ÚºÔº f f Õ Ò ÓÑÓ ÑÓÖ º ÈÖ Ø º Ò f f ØÓÒ L 1 Ø Ø f f Ø Ñ ØÖÓº Ô Ü Ô Ø Ò Ò Ø Ø Chebyshev - Markov º¾ ÕÓÙÑ ǫ > 0 µ(n(, ǫ)) 1 f f dµ = 1 ǫ ǫ f f 1 0. ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ò Ò º ³ Ò Ô Ö Ñ Ò ÓÐÓÙ f = 2 χ [0, 1 ] ØÓÒ ([0, 1], B [0,1], λ)º ¾¼