Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º

Transcript

1 È Ö Õ Ñ Ò Á ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ ÁÁ ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ½º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ËÕ Ð Ø ÔÖÓØ Ò Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ ½¼ ¾º½ ÈÒ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ËØÓ Õ ô Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Ö ÑÑôÒ Ô Ò ÛÒ º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ËÕ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Å Ñ ¾½ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½

2 Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ñ º½ Á ÓÑÓÖ ÑÓ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÛ Ó ÔÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ð Ñ Ò ÔÐ ÑÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ñ ¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ø ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÒØ Ø Ó ØÑ Ñ ØÓ º º º º º º º º º ½¼ Å Ñ ½¼ ½¼º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Å Ñ ½½ ½½º½ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ Å Ñ ½¾ ½¾º½ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø ¹ËÙÒ Õ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ ÇÖÞÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾º Ü Ø ¾ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ ½ º½ Ä ØÛÒ ÛÒ Ø Ü Ø Ô Ø Ó Ø ØÖ Ã Ð ØÞ º º ½ º¾ ÇÖÞÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ ½ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾ ¾

3 ½ Å Ñ ½ ½ º½ ÇÖÞÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ Ó Ø ØÖ ÛÒ ôò Ô Ò ÛÒ º º º º º º º º º º º ¾ ½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ ½ º½ à ÐÐ ÓÖÞÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ ½ º½ Ä Ñ ÓÖÞÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ç ÏÖ Ó ÓÑÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½ Å Ñ ½ ½ º½ Ì ØÖ ÛÒ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ØÖ Ý ÑÓ ÔÒ º º º º º º ½ ½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å Ñ ½ ½ º¼º½ Ø Ó ÔÒ Ò ÒØ ØÖ Ý ÑÓ Õ ÓÖÞÓÙ ÓÖ Ø ØÓÙ Ñ Ò ½ º½ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Å Ñ ¾¼ ¾¼º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾½ Å Ñ ¾½ ¾½º½ À Ñ Ð ô ÒØ ØÓ Õ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Å Ñ ¾¾ ¾¾º½ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ Ë ÑÔÐÓ ÙÔ ÕÛÖÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º¾ Ç ÕôÖÓ ¹Ô Ð Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½ ½

4 ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ Ç ÕôÖÓ ¹Ô Ð Óº Å ÖÓ ÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ñ ¾ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ ¾ Å Ñ ¾ ½¼½ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ¾ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ¼ Å Ñ ¼ ½¼¾ ¼º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ¼º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ½ Å Ñ ½ ½¼ ¾ Å Ñ ¾ ½¼ ¾º½ ÌÖ ÔÖÓØ Ò Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Å Ñ ½¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Å Ñ ½¼ º½ ÌÓ Ù ÖÓ Ñ Ó ÙÔ ÕÛÖÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ñ ½¼ ½¼ ½¼ Å Ñ ½¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Å Ñ ½¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Å Ñ ½½¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼

5 Å Ñ ½½½ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½

6 Å ÖÓ I ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ Ö ÑÑ Ð Ö Á ½¾½µ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôòµ Ù ÐÓ Ê ÔØ ½ ½ Ηλεκτρονικήδιεύθυνση: eraptis@math.uoa.gr Γραφείο:211, τηλ Ηλεκτρονική διεύθυνση Ηλεκτρονικής τάξης του μαθήματος:

7 Å ÖÓ II ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ÙØ Ö ¾ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ½º½ Û À Ö ÑÑ Ð Ö ¾ Ò Ñ ÖÓ Ø ÔÖÓ Ô Ò Ø ÒÓ ÓÙÑ ØÓ ÕôÖÓ ØÓÒ ÑÓ ÖÛ Ñ º ½º Ø Ø Ò Û Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð ¾º ÊÜØ Ô Ñ Ñ Ø Ø ÙÒ ³ Ù ÐÓÔ wikipedia ËØ ÙÒ ÙØ Ö Ø ÐÐ ØÓÖ ØÓ Õ ÔÛ ÙÐ Ø Ö ÑÑ Ð Ö º ÌÓ Ñ Ñ ÖÕ Ñ Ð ØôÒØ ØÓÙ ÔÒ º Ç ÔÒ Ò ÔÖÛØ Ö¹ Õ Ñ ØÓ Ñ Ñ ÙØ º ËÙÒÓÔØ Ñ ÐôÒØ Ó Ö ÓÖ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ µ ÔÒ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ó ôò Ù Ø ÒØ Ñ ÒÛÒº Ô Ö Ñ ØÓ Ñ ÓÐÓ Ò Ò ÔÒ Ö ÑÑôÒ Ø ÐôÒ Ò 4 3 ÔÒ º Ç ÖÓ Ø Ð Ò matrixº º  ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ Ñ Ø Ö Ó Ø ÕÓ ØÓÙ Ñ Ñ ØÓ Ò Ò Ñ Ð Ø Ø ÓÑ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ Ð ÛÒ Ä ØÓÙ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ ¾ ΤοβιβλίοαυτόγράφεταικατάτηδιάρκειατουΧειμερινούεξαμήνουτουΠανεπιστημιακού έτους για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Τοβιβλίοαυτόθατοβρείτεηλεκτρονικάαπότηνκεντρικήσελίδατουμαθήματος

8 ÔÓÙ Ø α ij, β i Ò ÙÒØ Ð Ø º Ø Ô ØÓ ÒØ Ó ô ô Ñ Ð Ø Ø Ò ÓÑÓ Ò ¹ Ø Ñ º º ½º¾ ÇÖ Ñ ½º½º Ë ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ (Σ) Ò ØÓ ÒÓÐÓ Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν } ÔÓÙ Õ Ø Ò Ø Ø Ò ÓÙÑ x 1 = ξ 1, x 2 = ξ 2,, x ν = ξ ν Ø Ø Ð Ó Ü ô ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ô Ð ÓÒØ º ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Å Ð Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ö Ó ¾º½ ØÓÙ Ð ÓÙ ¾ ÈÒ Ö ÑÑ ¹ Ü ô µ Ð ¾ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð ¾º Å Ð Ø Ø ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ¾º¾º½ ¾º¾º¾ ¾º¾º ¾º¾º ô Ø Ô Ö ¹ Ñ Ø ¾º¾º ¾º¾º ¾º¾º Ð ½ ¾ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð º Ø Ø ÙÒ Õ Ø Ñ ØÓÙ ÔÒ º ½º À Ô Ö Ó ØÛÒ Ð ÛÒ ØÛÒ Ô Ö ØÛ ÛÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ¹ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÌÖØ ¼ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º Ô Ó Ð ØÛÒ ÛÒ Ò ÒÓÙÒ ØÓ Õ Û ôº ³ ½º¾º ½º Æ Ö ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ô Ö ØÛ Ù Ø Ñ ØÓ 3x + 5y + 6z = 14 x + y + z = 3 Ð Ò Ö ØÓ ÒÓÐÓ Ä ÐÛÒ ØÛÒ ØÖ ÛÒ (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ¹ ÑôÒ Ø ô Ø Ò ÒØ Ø Ø ÓÙÑ x = ξ 1, y = ξ 2, z = ξ 3 ÒÓÔÓ Ó ÒØ Ó Ó Ü ô ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ¾º Æ Ò Ø ØÓ Ó ØÓ Ø Ñ 3x + 5y + 6z = 0 x + y + z = 0 Χωρίςλάθοςμπορούμεναθεωρούμεότιοισυντελεστέςείναιπραγματικοίαριθμοί.Σεεπόμενα μαθήματα θα αποσαφηνίσουμε περισσότερο το ρόλο των συντελεστών Τοβιβλίοαυτόθατοβρείτεηλεκτρονικάαπότηνκεντρικήσελίδατουμαθήματος

9 ½º º Ò Ä ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Λ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ ÙØ ÖÓÙ Ò Ö ØÓÑ Λ Λ Ì ÐÓ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ Ñ Ñ ØÓ ËÕ Ð Ø ÔÖÓØ Ò Ñ Ò ÌÖØ ¼ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ½º Ø Ò ÔÖôØ Ö ÓÙÑ Ñ ÓÔÓ ÓÒ ÔÓØ ØÖ ÔÓ Ø ÙÔ ÖÕ ØÛ Ñ ØÖ (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ ÔÓÙ Ò Ð º Ö Ø Ö ÔÓ Ñ ß ÓÙÖ Ð Ö Ð º Å Ø Ó Ð Ü ¹ Ð ÓÙÑ Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ä Ò Ñ ¹ Ò µ Ø ß ÛÑ ØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ ÒÓÙÑ Ò Ò ØÓ Äº À ÔÖôØ Ü Û ÐÓ Ô Ò 3x + 5y + 6z = 14 ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ô Ñ Ò Ø Ô Ö Ø Ò Ò ÔÔ Ó ØÓÒ ÕôÖÓ ÔÓÙ ÞÓ Ñ º ÌÓ Ó Ø Ö Ü Û x + y + z = 3 Ô Ö Ø Ò Ò ÔÔ Óº Ô ¹ ØÖ Ø ÓÙÑ ô Ø ÒØ Ñ Ò Ñ ÒØ ÝÓÙÑ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓÕÛÖ ÓÙÑ Ù Ø Ö º Ò Ø Ó ÔÔ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ø Ò Ø ÑÒÓÒØ Ø ØÓ Ø Ñ Ò Õ Ð Ð ØÓ Ä Ò ØÓ Ò ÒÓÐÓº ÍÔ ÖÕÓÙÒ ØôÖ Ó Ô Ö ÔØô Ø Ó ÔÔ Ò Ø ÙØÞÓÒØ Ø Ó ÔÔ Ò Ø ÑÒÓÒØ ÐÐ Ò Ñ Ò Ø ÙØÞÓÒØ º Ë Ø Ð Ó Ø Ò ÔÖÓ ÙØ Ó ÔÖôØ Ø ØÓ ÒØ Ó ô ¾º À Ø Ö ÒØ Ñ ØÛÔÞ Ø ÔÛ ÔÖÓ Ó Ñ Ò º Ñ ÒÓ ÔÓÙ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ø ÔÖÓ Ò ØÖ ÔÓ ØÓ Ø Ñ Õ Ð Ø Ò ¼ ¼ ¼µ Ë ¹ Ø Ñ Ò ÙØ ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ ÓÑÓ Ò Ø Ñ º º ØÓ ØÖØÓ ÖôØ Ñ Ø Ø ÕÓÙÑ Ò Ð ÓÙÑ Ò Ø Ñ Ü ¹ ô ÛÒ

10 ¾ Å Ñ ¾ Ì Ø ½ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾º½ ÈÒ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø Â ÛÖÓ Ñ Ü Ò ØÓ Ö ÑÑ Ø Ñ (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ ½º Ò ßÜ Õ ÓÙÑ Ð Ø x 1, x 2,, x ν Ø Ñ ÓÐ Ø ÔÖ Ø Ð ¹ ÓÙÑ Ó ÔÒ µ A = α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν µ C = α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ ¾º ÇÖ Ñ ¾º½º Ç ÔÒ Ð Ø ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ó ÔÒ C Ð Ø Ô ÙÜ Ñ ÒÓ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ º ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ô Øô ÓÙÑ Ø Ó ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ó Ô ÙÜ ¹ Ñ ÒÓ ÔÒ C ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Õ Ð Ø ÔÐ ÖÓ ÓÖ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº º Ë Ñ ÒØ ÖôØ Ñ ÈÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ù Ø Ö Ø Ò ¹ Ø Ñ Ò ÔÐÓ Ø ÖÓ Ô ÔÓ Ó ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ø Ñ Ëµ Ò Ñ Ø Õ Ñ Ø ÔÓ Ó ÐÐÓ ÔÐÓ ¹ Ø ÖÓ Σ ) ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ë Ò Ò Ó Ñ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Σ ) ½¼

11 ¾º¾ ¾º º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ Ñ Ñ Ö ÑÑ Ò Ø Ð ÙÒØ Ð Ø ÔÖ Ñ ¹ Ø Ó Ö ÑÓ ØÓ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ R µ ν º ËØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ÓÖÞÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò ÔÖ Ü µ Ø Ò ÔÖ Ü Ø ÔÖ º µ Ì Ò ÔÖ Ü Ø Ö µ Ì Ò ÔÖ Ü ØÓÙ ÔÓÐÐ ÔÐ ÑÓ ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ Ñ ÔÒ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Å Ð Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ö Ó ¾º ØÓÙ Ð ÓÙ ¾ ÈÒ Ö ÑÑ Ü ô µ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø Ö Ø ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÒÓÒØ Ó Ô Ö Ô ÒÛ ØÖ ÔÖ Ü ¾º Ã Ø Ø Ü ÙÐ Ø ØÓ ÐÓ Ö ÑÑ Ð Ö ÒÓÒØ Ð ô º Ø Ü Ò Ø ÙÒ ô Õ Ø Ñ ØÓÙ ÔÒ Ø ÔÖ Ü Ñ Ø Ü Ô Ò ÛÒº ËØÓ Õ ô Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Ö ÑÑôÒ Ô Ò ÛÒ ÌÓ ÖôØ Ñ ÔÓÙ Ñ Ô ÕÓÐ Ô ØÓ Ñ Ñ ÙØ Ò ÔÓ Ò Ó ÐÐ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÒÓÙÑ ØÓ Ö ÑÑ Ø Ñ (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ Ø ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ô Ó ÔÐ Û ÔÖÓ Ø Ð ØÓÙº ÈÓ Ò Ó Ô ÔØô ØÛÒ ÐÐ ôò ÙØôÒ ØÓÒ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÓÒ Ô ÙÜ Ñ ÒÓ ½º  ÛÖÓ Ñ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ñ Ëµ ØÓ Ø Ñ (Σ ) (α 11 + α 21 ) x 1 + (α 12 + α 22 ) x (α 1ν + α 2ν ) x ν = β 1 + β 2 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ ¾º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ØÓ Ø ÖÓ Ø Ñ ØÓ Ô Ö Ñ ÔÖÓ ØÓÒØ Ø Ò ÔÖôØ Ü Û Ø Ø Ö º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ô Ø ÔÔØÛ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ ÔÒ Ò µ Ç ÔÒ A ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Σ ÔÖÓ ÔØ Ô ØÓÒ ÔÒ ØÓÙ Ù¹ Ø Ñ ØÓ Σ ÔÖÓ ØÓÒØ Ø Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ Ø Ø Ö Ö ÑÑ º ½½

12 µ Ç Ô ÙÜ Ñ ÒÓ ÔÒ C ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Σ ÔÖÓ ÔØ Ô ØÓÒ Ô Ù¹ Ü Ñ ÒÓ ÔÒ C ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Σ ÔÖÓ ØÓÒØ Ø Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ Ø Ø Ö Ö ÑÑ º Ë Ñ ÒØ Ô Ö Ø Ö º ÌÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ä ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ëµ Ò Ó Ñ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Λ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Σ Ô Ü ³ ØÛ (ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) Ò ØÓ Õ Ó ØÓ٠ĺ Ì Ø Ò¹ ÙØ ÒÓÔÓ Ü Û ØÓÙ Ä ÔÖÓ Òô Ü Û ØÓÙ Λ Òع ØÖÓ º º Ò ÔÓ Ü Û ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ë ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò Ö Ñ Ó¹ Ö Ø ØÓÙ Ñ Ò ÔÖÓ ÔØ Ò Ø Ñ Σ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ü ÓÐÓÙ Ò Ò ØÓ Ó Ñ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ë º Ò ÐÐ ÜÓÙÑ Ø Ó Ü ô ÛÒ ØÓÙ Ë ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ò Ñ Ø ¹ ÐÐ Ø º È Ö Ø ÖÓ Ñ ÐÓ Ô Ò Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÒÓÙÑ ÔÓ ÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ØÓ Ö ÑÑ Ø Ñ Ë ÕÛÖ Ò Ñ Ø Ð ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ä Ñ ÓÔ Ô ÒØ Ò Ø Ð ÜÓÙÑ ÔÐÓ Ø ÖÓ Ø Ñ º º Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ë Ó Ó Ò ØÓÙ Ô Ö ØÛ Ñ Ø Õ ¹ Ñ Ø ÑÓ ØÓÙ Ó ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ C ØÓÙ Ô ÙÜ Ñ ÒÓÙ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº º ¾º µ ÈÓÐÐ ÔÐ Ñ Ñ Ö ÑÑ ØÓÙ ÔÒ Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ð ÓÖÓ ØÓÙ Ñ Ò µ ÈÓÐÐ ÔÐ Ñ Ø ¹ Ö ÑÑ Ñ Ð ÔÖ ØÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓ Ø Ò i¹ Ö ÑÑ k i µ Ò ÐÐ Ó Ö ÑÑôÒ ÇÖ Ñ ¾º¾º Ç Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Ô Ò ÛÒ Ð ÓÒØ ØÓ Õ ô¹ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Ö ÑÑôÒº Ó ÔÒ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ó Ò Ô ØÓÒ ÐÐÓÒ Ñ Ô Ò Ð Ý Ý ØÓ Õ Û ôò Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Ö Ñ¹ ÑôÒ Ð ÓÒØ Ö ÑÑÓ Ó Ò ÑÓ ÔÒ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Å Ð Ø Ø Ð Ø Ô Ö Ô ÒÛ ¾º Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ Ð Ñ ÛØÓ ÔÒ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ º Οαναγνώστηςκαλείταινακάνειτηναπόδειξηλεπτομερώς ½¾

13 ¾º º Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ Ò Ñ ÒÓÙ Ð Ñ ÛØÓ ÔÒ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ º º Ø Ü Ò ØÓ ÒØ Ó Ñ Ø Ò ÓÑ Ð ØÓÙ Ø G.Strang ô Æ Ð Ø Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò È ÑÔØ ¾ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ÒÙÕØ º ½º ³ ØÛ Ë Σ Ó Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó Ô ÙÜ Ñ ÒÓ ÔÒ C C ÒØ ØÓ Õ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ C = λ C Ñ λ 0º Ü Ø Ø Ò Ø ÒÓÐ Ð ÛÒ ØÓÙ Ë Σ Ò ¾º Ó Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø Ë Σ ÕÓÙÒ Ô ÙÜ Ñ ÒÓÙ ÔÒ C C ÒØ ØÓ Õ º À Ñ Ò ÓÖ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ÙØôÒ Ò Ø ÔÖôØ Ö ÑÑ ØÓÙ Σ Ò ØÓ ÖÓ Ñ Ø ÔÖôØ Ø Ø Ö Ö ÑÑ ØÓÙ Cº Ü Ø Ø Ò ØÓ Ë ØÓ Σ ÕÓÙÒ ØÓ Ó ÒÓÐÓ Ð ÛÒ º Ò Ø Ó ÔÒ A = Æ Ö Ø Ò Ò Ñ ÒÓ Ð Ñ ÛØ ÔÒ A Ó ÓÔÓÓ Ò Ò Ö ÑÑÓ Ó¹ Ò ÑÓ Ñ ØÓÒ º ÜØ Ø Ó ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ò Ñ ÒÓ Ð Ñ ÛØÓ ÔÒ Ö ÑÑÓ Ó Ò ÑÓ Ñ ØÓÒ ÔÒ Ò Ó º ØÙÔô Ø ÔÓ ÜØ Ò ôö Ñ Õ Ø Ñ ØÓÙ Ò Ñ ÒÓÙ Ð Ñ ÛØÓ ÔÒ ÔÒ º Ì ÐÓ ØÓÙ ÙØ ÖÓÙ Ñ Ñ ØÓ ½

14 Å Ñ È Ö Ù Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ Å ØÓ Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÖÕÞÓÙÑ Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ Ñ ÔÓÐ ÒÒÓ Ø Ö ÑÑ ³ Ð Ö º½ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Ø Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø Ü µ ÌÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙº Ò Ó ÓÖ Ñ º½º½ µ Ø Ø Ô Ö Ø Ö º½º¾ ÙÒ Õ º Ò Ö Ø Ø Ò ÑÓÒ Ø Ø ØÓÙ Ñ Ò Ó ØÓ Õ ÓÙ ØÓÙ ÒØ ØÓÙº µ Ì Ô Ö Ñ Ø º½º ÈÖÓ ÜØ Ò ¹ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø ÒÙ Ñ Ø ¹ ôò ÕôÖÛÒ ¾º Ø Ð ÔØÓÑ Öô ØÓ Ô Ö Ñ ¾º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº Ò Ö Ø Ø Ø ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÙÕÒ º Ø ÔÐ ÖÓ ÓÖ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ø Ð Ó ÖÓ Ò vector space linear space µ Ø ÙÒ ô º ËØ ÙÒ ô Ö Ø Ò Ð ÐÓ Ö ÑÑ ³ Ð Ö Ñ Þ Ñ Ò ÐÓ ÛÒ Ð ÛÒ È ÖØ ØÓ ÖÕ Ø Ø Ñ Ð Ø º Ø ØÓ ÒØ Ó¹Ñ Ñ Ô Ø ÙÒ ô Ì ÙØ ÕÖÓÒ Ñ Ø ÙÒ Õ Þ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ØÛÒ ÓØ ØÛÒ ØÓÙ ¹ ÓÙÑ Ñ Ö Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙº Ç ÙÔ ÕÛÖÓ Ò Ò Ñ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ÕôÖÓÙ Õ Ø Ò ÓÑ Ð Ò Ù¹ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ ÔÖ Ü ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ ÔÖ Ü ÛÒ ØÓÙ ÕôÖÓÙ ØÓ ÒÓÐÓ º ΤοβιβλίοαυτόγράφεταιτοΧειμερινόεξάμηνο γιατιςανάγκεςτηςδιαδσκαλίαςτου μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι, Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών ΣτηδιδασκαλίατουμαθήματοςΓραμμικήάλγεβραΙ,μέσωτηςΗλεκτρονικήςτάξηςμεβοηθούνε ουσιωδώς οι παρακάτω φοιτητές: Άννα Καρασούλου, Βασιλική Λαϊνά, Κώστας Λέντζος. Τους φοιτητές αυτούς τους ευχαριστώ θερμά ½

15 º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Å Ð Ø Ø ÔÖÓ Ø ØÓ Ô Ö Ñ ¾º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº ËØÓ Ô Ö Ñ ÙØ Ò Ø ÙÞ Ø Ø Û Ø ÕÖ ØÛÒ Ü ÛÑ ØÛÒ ØÛÒ ÓÖ ÑôÒ ¾º Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ó Ô Ò ÛÒ A, B F µ ν º Ø Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º º½¾ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð¹ Ö Ì ÑÓ Ð µ ÌÓÙ ËÙÑÑ ØÖ Ó ÔÒ ÙÑÑ ØÖ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒ ÔÒ Ñ Ø Ò Ø Ø A = A t µ ÌÓÙ ÒØ ÙÑÑ ØÖ Ó ÔÒ ÒØ ÙÑÑ ØÖ Ò Ò Ø ØÖ ¹ ÛÒ ÔÒ Ñ Ø Ò Ø Ø A = A t º ÒÓÙÑ ØôÖ ØÓÒ Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ ÇÖ Ñ º½º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F ÌÓ ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ V Ð Ø ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V ÒÙ Ñ Ø ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V µ Ò ÒÓÔÓ Ø Ô Ö ØÛ µ ÌÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó 0 V ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ò ØÓ Ø ØÓ Ò Ñ ¹ Ò ÒÓÐÓµ µ Ò Ó ØÓ Õ ØÓÙ Ø Ø ØÓ Ò ÙØ ØÓ Õ Ó ØÓÙ µ Ò Ò ÔÓ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ λ F Ø Ø ØÓ Ð Ò ØÓ º ËÕ Ð ½º ³ Ò ÙÔ ÕÛÖÓ Ò Ò ßÑ Ö ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓÐ Ñ ØÓÒ ßÑ ¹ ÐÓÐ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V ¾º Ò Ñ ÒØ Ò ÒÛÖÞÓÙÑ Ò Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Õ ÙÔ ÕÛ¹ ÖÓÙ Ô ÓÙ Õ ÔÓ Ó Ò º Ò Ó Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ A V Υπενθυμίζουμεότιμετοσύμβολο Fστομάθημααυτόθασυμβολίζουμεένααπότατρία σύνολα (αʹ) Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών (βʹ) Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών (γʹ) σύνολο Q των ρητών αριθμών ½

16 º º ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Å Ð Ø Ø ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Â ôö Ñ º¾º ³ ØÛ Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V º Ì Ø ØÓÑ A B Ò ÙÔ ÕÛÖÓº Ô Ü ÌÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó 0 V Ò Ü ÓÖ ÑÓ ØÓ ØÓ Ö Ø Ò ØÓÑ ØÓÙº Ò Ò ÓÙÒ ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÒ Ø Ø ØÓ ÖÓ Ñ Ò Ô ØÓÙ Ó ÙÔ ÕÛÖÓÙ Ö Ø Ò ØÓÑ ØÓÙ Ò Õ Ò ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÒ λ F Ø Ø Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ÕÓÙÑ Ø ØÓ ÐÕ Ò ØÓÒ ØÓÒ Ö Ø Ò ØÓÑ ØÓÙ Ì Ð ØÓÑ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ Ò ÙÔ ÕÛÖÓº ¾º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ò Ñ Ð Ø Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º º½ Ø Ô Ö Ñ Ø ¾º º¾ ¾º º ÔÓÙ Ò ÖÓÒØ ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ô Ò ÛÒ Å Ð Ø ÜØ Ø ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÐ Ô Ö Û ÑÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ f : R R ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ f 5 f +6 f = 0 Ò Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ ÙÒØ Ð Ø ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ Ä Ø À Ò Ö Ø Ò ÒÓÐÓ V ÔÖ Ñ Ø ôò ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø º à ØÓ Õ Ó f(x) V Ò Ñ ÙÒ ÖØ f : R R Ø Ò ÓÔÓ ÙÔ ÖÕ Ø Ö Ô Ö Û Ó Õ Ô ÔÐ ÓÒ f 5 f + 6 f = 0 Ò Ò ØÓ ÒÓÐÓ V ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ÔÖ Ô Ò ÒÓÔÓ Ó ÒØ Ø Ü ôñ Ø ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ º½ ½º ÌÓ ÒÓÐÓ V Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÙÒ ÖØ 0 : R R Ñ 0(x) = 0 x R Ô Ö Û Þ Ø Ó ÓÖ ÔÖÓ Òô ÒÓÔÓ Ø ÙÒ¹ f 5 f + 6 f = 0 ¾º Ò f 1 (x), f 2 (x) V Ø Ø f 1 5 f f 1 = 0 f 2 5 f f 2 = 0 ÈÖÓ ØÓÒØ Ø Ñ Ð ÕÓÙÑ (f 1 + f 2 ) 5 (f 1 + f 2 ) + 6 (f 1 + f 2 ) = 0 º ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÙØ ÔÓ Ò ÓÒØ Ø ÒÓÔÓ Ó ÒØ Ð Ø Ü ôñ Ø ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ØÓ ÒÓÐÓ V ½

17 º À Ô Ö Ó ½¼ Ø Ð Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÃÙÖ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º ½º ÒÓÒØ Ó ÔÒ A = Ö ØÓ Ò Ñ ÒÓ A B ( συνθ ηµθ ηµθ συνθ ) B = ( συνφ ηµφ ηµφ συνφ ) Æ ¾º ³ ØÛ R 2 2 Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ 2 2 Ô Ò ÛÒ Ñ ÙÒØ Ð Ø ÔÖ ¹ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ º Æ Ö Ø ÐÓÙ ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ ØÓÙ ( Ô Ö ØÛ ) ( ÔÒ ) ( ) ( ) ,,, º ³ ØÛ R Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ Ô ØÓÙ Rº Æ Ö Ó Ò Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙº º ³ ØÛ R 2 = {(x, y) x, y R} Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ Þ Ù ôò ÔÖ Ñ ¹ Ø ôò Ö ÑôÒ Ô ØÓÙ Rº Æ Ô Ö Ö Ó Ò Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ º ³ ØÛ C Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ Ñ ôò Ö ÑôÒ Ô ØÓÙ Rº Æ Ô Ö ¹ Ö Ó Ò Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙº º ³ ØÛ C Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ Ñ ôò Ö ÑôÒ Ô ØÓÙ Cº Æ Ö ¹ Ó Ò Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙº Ì ÐÓ ØÓÙ ØÖØÓÙ Ñ Ñ ØÓ ½¼ Οιφοιτητέςτουεντατικούτμήματοςναασχοληθούνμεόλεςτιςασκήσεις. Οιφοιτητέςτου κανονικού τμήματος να ασχοληθούν με δύο ½

18 Å Ñ ÙØ Ö Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Ø Ø Ò Ô Ü Ø ÔÖ Ø º¾º½¼ Ô ØÓ ÐÓ Û Ø Ö ÑÑ ¹ Ð Ö Ì ÑÓ ½½ Ò ÒØ Ðô Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º Ô Ö Ô ÒÛº À Ñ Ò ÓÖ Ò Ø Ò ÕÓÙÑ Ø Ò Ó ÙÔ ÕÛÖÓÙ ÐÐ Ò Ñ Ò ÒÓÐÓ ÙÔ ÕÛÖÛÒ Ò ÕÓÑ ÒÛ Ô ÖÓº Å Ð Ø Ø Ð Ø Ò Ô Ü ¾º Ç ÙÔ ÕÛÖÓ º Å ÖÓ ÁÁ ³ ØÛ A i, i I Ñ Ó Ó Ò ÙÔ ÕÛÖÛÒº Ì ÑÔÓÖ Ò Ñ Ò ÙØ Ö Ã Ø Ñ Ø Ò Ñ ÒÓ Ò Ø Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ã Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ô ÖÓÙÑ Ô Ò Ð ÓÙÑ ÒÛ Ø ÔÓØ Ð ¹ Ñ Ø ÔÓÙ Ø Ñ Ð Ó ÔÖÒ µ Ò Ó ½¾ ÙÔ ÕÛÖÓ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ø Ø ØÓÑ ØÓÙ Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V º Ô Ü ÌÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó 0 V ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ò ØÓÒ Ù¹ Ô ÕÛÖÓ ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ µ Ö Ò Ø Ò ØÓÑ ØÓÙº ³ Ø ÔÖôØ Ô Ø Ò Ò ØÓÑ A B ÙÔ ÕÛÖÓ ÒÓÔÓ Ø º ³ ØÛ ØôÖ x, y A Bº  ÐÓÙÑ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø x + y A Bº ³ ÕÓÙÑ Ô ÙÔ Ø x, y A x, y Bº Ô ØôÖ Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ÕÓÙÑ Ü ÕÛÖ Ø Ø x + y A x + y B Ö x + y A B ³ ØÛ λ F x A Bº ³ Ö Ü ÕÛÖ Ø ÕÓÙÑ Ø x A x Bº Ô ØôÖ ÙÔ ÕÛÖÓ λ Ò ÙÒØ Ð Ø ÕÓÙÑ λx A λx A Ì Ð λx A Bº Á ÒÓÔÓ Ó ÒØ Ø Ó ØÖ Ô Ø Ø ØÓÑ Ó ÙÔ ÕÛÖÛÒ Ò ÙÔ ÕÛÖÓ µ À ØÓÑ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ ÔÐ ÓÙ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V Ò ÙÔ ÕÛÖÓ Ô Ð Ò A 1, A 2,, A ν Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V Ø Ø ØÓÑ ν i=1 A i Ò ÙÔ ÕÛÖÓº À Ô Ü Ò Ø Ñ Ô Û º Ó Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ø µ Ò ØôÖ Ô ÖÓÙÑ Ô Ö Ñ ÐÓÙ ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ ØÓÙ R 2 ¹ Ð ÓÙÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙÑ Ñ Ö Ó Ñ Ø ÙØ Ò Ò ØÓº ÙØ Õ ØÞ Ø Ñ Ò ÔÓÙ Ó ôö Ñ ÔÓÙ Ð Ø Ò ÙÔ ÖÕ ½½ Τοβιβλίοαυτόθατοβρείτεσεηλεκτρονικήμορφήαπότηναρχικήσελίδατουμαθήματος ½¾ ΤοβιβλίοαυτόγράφτηκετοΦθινόπωροτου2008γιατιςανάγκεςτηςδιαδσκαλίαςτουμαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών ½

19 ÙÒ ÖØ f : R N ÓÔÓ Ò Ò ½¹½ Ôº Å ÐÐ Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÐÓÙÑ ØÓÙ ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ Ñ Ö Ò ØÓÙ ÛÖ ÓÙÑ Û ØÓ Õ ÓÐÓÙ ÍÔ ÖÕ Ñ ØÓÖ Ñ ØÓ Ü ÒÓ ÓÕ Ó ØÛÒ Ö ÑôÒ ÔÓÙ ÔÓ Ñ Ô Ñ Ò Ñ Ñ Ø º ËØÓ Ñ Ñ ÙØ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÙÖ Ñ ÐÐ ÙØ Ñ Ô Ð Ò Ö ÓÙÑ Û Ü ³ ØÛ A i, i I Ó Ó Ò ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ñ Ø Ø º Ò ÑÔÓÖÓ Ñ ÐÐ Ó Ø ÕÖ Þ Ñ Ø Ò ÐÓÙÑ Ñ Ö ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙº  ôö Ñ º½º ³ ØÛ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V º Ì Ø ØÓÑ ÐÛÒ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ ØÓ Ò ÙÔ ÕÛÖÓº Ô Ü Ò ÑÓ Ñ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛº À ÓÖ Ö Ø ØÓ ÓÒ Ø Ò Ó Ñ Ø Ò ÛÖ ÓÙÑ ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ ØÓ Û ØÓ Õ ÓÐÓÙ Â Ñ Ý Æ Ö ØÓÑ ÐÛÒ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V º Æ Ö ØÓÑ ÐÛÒ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ R 2 ÔÓÙ Ó Ò Ô Ö Õ ØÓ ¾ µ º Ø ÔÖÓ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ º º½ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ ¹ Ð Ö Ì ÑÓ Ð ØÓÙ Ö ÑÑ Ó ÙÒ Ù ÑÓ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ ÙÔÓ ÙÒ ÐÓÙ Ã Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V º È Ö Ø Ö Ø Ø µ ÌÓ ÒÓÐÓ Ã Ò Ò ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó Õô¹ ÖÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ô ÖÓº Ö Ò Ò Ñ ¹ Ò º µ Ç Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ÑÔÐ Ô ÒØ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ ÒÙ¹ Ñ ØÛÒº º Å Ð Ø Ø Ô ÔÖÓ Ø Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º º¾º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº Ò Ö ÔÓ Ò Ø ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ÑÑ ôò ÙÒ Ù ÑôÒ Ò Ñ ¹ ÒÓ ÙÒ ÐÓÙ Ã Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓº º Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÙÔ ÕÛÖÓ Ð Ø ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô ØÓ Ã Ö ÑÑ ØÓÙ Ã ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ < K >º ØÓÒ ÓÖ Ñ º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº º Ò ØÓ Ã Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ Ø Ø Ó ÙÔ ÕÛÖÓ < K > Ð Ø Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ö Ñ ÒÓº º Å Ð Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº º Ô ØÓ Ô Ö Ñ º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ô Øô Ø Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ó ÓÔÓÓ Ò Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ö Ñ ÒÓ º Ö Ø Ñ Ò Ô Ö Ñ Ò Ñ ¹Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ö Ñ ÒÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ½

20 º ³ ØÛ Ã Ò Ñ ¹ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V º À ØÓÑ ¹ ÐÛÒ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V Ò ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ô Ö Õ ØÓ Ã Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ K ØÓÙ V º ½¼º Å Ð Ø Ø Ø Ò Ô Ü Ø ÔÖ Ø º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº À ÔÖ Ø ÙØ Ñ Ð Ð ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ÑÑ ôò ÙÒ Ù ÑôÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ñ ¹ ÒÓ ÙÒ ÐÓÙ Ã K V Ò Ó Ñ Ø Ò ØÓÑ ÐÛÒ ØÛÒ ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ V Ò ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ô Ö Õ ØÓ Ãº ½½º ÌÓ Ñ ÒÓ ÔÓÙ Ñ Ò Ò Ô ÖÔØÛ Ã º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ò Ø ÕÓÙÑ Ø < >= {0 V }º Ø º¾ ³ À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÌÖØ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º ½º Ò Ø Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ R 2 [x] ØÛÒ ØÖ ÛÒ ÑÛÒ Ñ ÙÒØ Ð Ø ÔÖ Ñ ¹ Ø Ó Ö ÑÓ Ð R 2 [x] = {α x 2 +β x+γ, α, β, γ R}º Æ Ü Ø Ø Ò ØÓ ÒÓÐÓ {1+x, 1+2x, 1+x 2, 1+2x 2 } Ô Ö ØÓÒ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ R 2 [x]º ½ ¾º Æ ÐÙ ¾ Ô Ö Ö Ó ¾º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº Ì ÐÓ ØÓÙ Ø Ø ÖØÓÙ Ñ Ñ ØÓ Α». ½ Είναιηάσκηση1τηςπαραγράφου3.3απότοβιβλίο«ΕισαγωγήστηΓραμμικήάλγεβραΤόμος ¾¼

21 Å Ñ Ì Ø ÖØ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Ø ÔÖÓ Ø ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º º¾ º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº ÈÖ Ø ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÛÒ Ö ÑÑ ¹ Ò Ü ÖØ ØÛÒ Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÛÒ ÒÙ Ñ ØÛÒ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ¾º Ø Ô ÔÓÐ ÔÖÓ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº Ò Ó ÓÖ Ñ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ À ÒÒÓ ½ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ò Ô Ø Ô Ó Ñ ÒØ Ø Ö ÑÑ Ð Ö º ½ º Ó Ñ Ð Ó Ô Ó Ò ÐÙØ Ø Ô Ö Ô ÒÛº Ò Ñ Ñ Ò ÓÖ Ñ ÇÖ Ñ º½º Ì ØÓ Õ α 1, α 2,, α κ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ô ØÓÙ F Ð ÓÒØ Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ Ò Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÙÒØ Ð Ø λ 1, λ 2,, λ κ F Õ ÐÓ Ñ Ò Ø ô Ø λ 1 α 1 + λ 2 α λ κ α κ = ¼ º ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º º¾ º º Ü Ò Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö Ñ¹ Ñ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ÒÙ Ñ ØÛÒº º Ð Ø Ô Ö Ñ Ø º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð¹ Ö Ì ÑÓ Ð º Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô ØÓ ÐÓ ß ¹ Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð º Ø ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô Ø ¹ ÙÒ ô º Ø Ó Ø Ô ÒØ Ó Ø Ð Ü ØÓÙ Ø G.Strang ô ½ ΤοβιβλίοαυτόγράφτηκετοΦθινόπωροτου2008γιατιςανάγκεςτηςδιαδσκαλίαςτουμαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών ½ Στηφυσικήαντίγιαβάσημιλάμεγιασύστημααναφοράς ¾½

22 º¾ ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ ÛÒ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Ø Ü Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð ÓÖ Ñ º º ¾º Ø Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ô ô º ÙÔÓ ÓÙÑ ØôÖ Ø Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V Ô Ö Ø Ô Ò ØÓ Õ Ó ØÓ α ¼ Ò ÖÛØ Ó Ñ Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ó V Ò Õ Ó ØÓ Õ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø º Ò Õ Ø Ø Õ Ñ Ø β = λ 1 α γ = λ 2 α Ò λ 1 = 0 Ø Ø ¼º ÐÐ ÙØ Ò ØÓÔÓ Ø ØÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ò ÑÔÓÖ Ò ÙÑÔ Ö Ð Ñ Ò Ø ÒÓÐÓ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø Ò {β = 0, γ} Ø Ø Õ Ñ ØÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ 1 β + 0 γ = 0 ØÓÔÓº ³ Ö λ 1 0. ÇÑÓÛ λ 2 0  ÛÖÓ Ñ ØôÖ ØÓÒ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ λ 2 β +( λ 1 ) γ. È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø λ 2 β + ( λ 1 ) γ = 0 ÕÛÖ Ó ÙÒØ Ð Ø Ò Ò Ñ Ò Ö ØÓ ÒÓÐÓ {β, γ} Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ËÙÑÔ Ö Ñ È ÒØ Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô Ò ØÓ Õ Ó Ò ÒÓÐÓ Ó ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº º ËÛ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ý Ø ÌÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ò º Ñ È ÒØ Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô Ó ØÓ Õ Ò ÒÓÐÓ ØÖ ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº ÔÓ Ò ÓÙÑ Ñ Ö Ò ß Ò Ñ ÓÐ ôö Ñ ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ö Õ Ø Ò ¹ Ø Ô Ü ØÓÙ Ñ Ð ô ÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Ë Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V Ó ÓÔÓÓ Ô Ö Ø Ô Ñ ØÓ ÔÐ Ó ØÓ Õ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ½ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø ØÓ Õ Â ôö Ñ º¾º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ó ÓÔÓÓ Ô Ö Ø Ô Ó ØÓ Õ ØÓÙº Ì Ø ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ V Ñ ØÖ ØÓ Õ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ¾¾

23 Ô Ü ³ ØÛ Ó ØÓ Õ ½ ØÓÙ V ÔÓÙ ØÓÒ Ô Ö ÓÙÒ Ð V =< α, β >º ³ ØÛ A = {γ, δ, ǫ} Ò ÒÓÐÓ ØÖ ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ V º µ Ô Ó ÕôÖÓ Ô Ö Ø Ô Ø ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÙÒØ ¹ Ð Ø Ð Ñ γ = κ α + λ β µ Ò Ð ¼ Ø Ø ØÓ ÒÙ Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V Ò ØÓ Ñ Ò ÒÙ Ñ º ³ Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ô Ö Ð Ñ Ò ØÓ Ñ Ò ÒÙ Ñ Ø ÕÓÙÑ ØÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ 1 γ + 0 δ + 0 ǫ = ¼º Ç Ö ÑÑ ÙØ ÙÒ Ù Ñ Ò Õ ÐÓÙ ØÓÙ ÙÒØ Ð Ø Ñ Ò ÑÛ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ñ Òº ³ Ö Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ µ ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÔÓ Ó Ô Ø Ð Ò ÓÖ Ø Ô ØÓ ¼ Ô Ð ÓÙÑ ÔºÕ Ò Ò κ 0º Ì Ø ÕÓÙÑ α = 1 γ λ βº ÌôÖ κ κ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ Ò Ñ ÒØ Ø Ø ØÓÙ µ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ º µ Ñ Ø ØôÖ Ø Ü Ç ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ V Ô Ö Ø Ô Ø Ò Ñ Ø µ  ÛÖÓ Ñ ØôÖ ØÓ º Ô δ V < β, γ >= V Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÙÒØ Ð Ø ξ 1, ξ 2 Ñ ξ 1 β + ξ 2 γ = δ µ Ò ξ 1 = ξ 2 = 0 Ø Ø ¼ ÓÔ Ø ØÓ ÒÓÐÓ ÕÓÙÑ Ò ØÓ Õ Ó ØÓ ¼ Ö ØÓ Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ÒÓÐÓ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ô Õ Ö Ñ ØÓ Ñ Ó (β)º ³ Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø ÔÓ Ó Ô Ø ξ 1, ξ 2 Ò ÓÖ Ø ØÓÙ Ñ Ò º ³ ØÛ ξ 1 0. Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÓÙÑ Û ÔÖÓ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ð ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ØÓ Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ º Þµ Ï ØôÖ ÔÓ Ü Ñ Ø Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ Ö ØÓ Õ Ó ØÓÙ V Ö Ø Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ µ ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ØÓ ǫº Ó ØÓ ǫ Ò ØÓ Õ ÓÙ ØÓÙ V ÙÔ ÖÕÓÙÒ λ 1, λ 2 ÙÒØ Ð Ø Ñ λ 1 γ + λ 2 δ = ǫº Ã Ø Ð ÓÙÑ ØÓÒ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ λ 1 γ + λ 2 δ + ( 1)ǫ = 0. Ã Ø Ð ÓÙÑ Ø Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ù¹ Ò ÐÓÙ A = {γ, δ, ǫ} Ó ÓÔÓÓ Ò Ñ Ò ÕÛÖ Ò Ò ÐÓ Ó ÙÒØ ¹ Ð Ø Ñ Òº ÙØ Ñ Ò Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ½ Συνήθωςέναστοιχείοκάθεδιανυσματικούχώρουτολέμεκαιδιάνυσμα ¾

24 º À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò È ÑÔØ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º ½º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô Ó ØÓ Õ º ÜØ Ø ÓÔÓ ÔÓØ ØÓÙ V ÕÓÙÒ ØÓ Ó ÔÐ Ó ØÓ Õ ÛÒ ¾º ÜØ Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ä ØÓÙ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ x + 3y + 4z = 0 2x + 4y + 5z = 0 Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ R3 º Ö Ø Ô Ñ ÙØÓ º º Æ Ö ÑÓÖ ÐÛÒ ØÛÒ Ö ÑÑ ôò Ù Ø Ñ ØÛÒ Ü ô ÛÒ Ñ Òô¹ ØÓÙ x, y, z ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ò ØÓ Ä ÔÓÙ Ö Ø Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò º Æ Ö Ò Ñ ÒÓ Ð Ñ ÛØ ÔÒ Ò Ô Ø Ù Ø Ñ Ø ÔÓÙ Ö Ø º º Ò Ø Ó ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ R 2 [x] ØÛÒ ØÖ ÛÒ ÑÛÒ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ó ÙÒ¹ Ø Ð Ø º Ö Ø Ñ ÙØÓ º Ü Ø Ø Ò Ø ØÖ ôòùñ f ( x) = 2x + 5, f 2 (x) = 2x 2 + 5, f 3 (x) = x 2 + x, f 4 (x) = x 2 1 Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ ¹ Ñ Ò º Å Ø Ò Ü Ø Ø Ò ÓÔÓ ÔÓØ ØÖ ôòùñ Ò Ô ÒØ Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ Ò º º µ Æ Ö ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ô Ö ØÛ Ö ÑÑ Ó ½ Ù Ø Ñ ØÓ x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 1 3x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = 3 µ ÒÓÒØ ½ Ø ØÓ Õ (2, 1, 0, 3) (2, 1, 0, 4) ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó Õô¹ ÖÓÙ (R 4, +, )ºÆ Ö Ó Ò α, β R 4 Ø ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ (2, 1, 0, 3), (2, 1, 0, 4), α, β Ò Ò ØÓÙ R 4 ½ Τοθέμααυτόείχετεθείσεεξετάσεις ½ Τοθέμααυτόείχετεθείσεεξετάσεις ¾

25 Å Ñ È Ö Ù ½¼ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º½ ½º ÈÓÖ Ñ Ð Ø È Ö Ø Ö º½º Ò ½ A = {α 1, α 2,, α κ } Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ¾¼ ØÓÙ ÒÙ¹ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ö Õ ØÓ Ñ Ò ÒÙ Ñ ¼ Ø Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ð Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓº ÙØ ÔÓ Ò Ø Û Ü ÉÛÖ Ð Ó ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø α 1 = 0º Ì Ø ÑÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ØÓÒ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ 1 α α α κ Ç Ø Ð ÙØ Ó Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ Ò Ñ Ò ÕÛÖ Ò Ò Ñ Ò ¹ ÐÓ Ó ÙÒØ Ð Ø º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº ¾º  ôö Ñ º¾º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F Ó ÓÔÓÓ Ô Ö Ø Ô ν ØÓ Õ ØÓÙº Ì Ø ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ V Ñ ν+1 ØÓ Õ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ô Ü ³ ØÛ A = {α 1, α 2,, α ν } Ò ÒÓÐÓ ÒÙ Ñ ØÛÒ ¾½ Ø Ó¹ ÔÓ Ô Ö ÓÙÒ ØÓÒ ÕôÖÓ Ð ØÓ Õ Ó ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ö Ø Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ º ³ ØÛ ØôÖ B = {β 1, β 2,, β ν+1 } ν + 1 Ò Ñ Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙº  ÔÓ¹ ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº ÌÓ ØÓ Õ Ó β 1 Ò ØÓ ÕôÖÓ Ó Ó ÕôÖÓ Ô Ö Ø Ô ØÓ ÒÓÐÓ ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÙÒØ Ð Ø λ 1, λ 2,, λ ν Ñ λ 1 α λ ν α ν = β 1 Ò ÐÓ Ó ÙÒØ Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ø β 1 = ¼ Ö ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ó Ô Ö Õ ØÓ ¼º ³ ØÛ ØôÖ Ø Ò Ò ÐÓ Ó ÙÒØ Ð Ø Ñ Òº ÉÛÖ Ð Ó ÛÖÓ Ñ ½ ΕυχαριστώθερμάτουςσυνεργάτεςμουΝικόλαΔραγώνα,ΆνναΚαρασούλου,ΒασιλικήΛαϊνά, Κώστα Λέντζο για την πολύτιμη βοήθειά τους ¾¼ ΤοβιβλίοαυτόγράφτηκετοΦθινόπωροτου2008γιατιςανάγκεςτηςδιαδσκαλίαςτουμαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών ¾½ έχουμεπείότιταστοιχείαενόςδιανυσματικούχώρουταλέμεκαιδιανύσματα ¾

26 Ø λ 1 0 ÐÐ ÞÓÒØ Ò ÕÖ Þ Ø Ø Ö ØÛÒ α 1, α 2,, α ν º Ì Ø ÑÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÓÙÑ Ø Ò Ø Ð ÙØ Õ Û ÔÖÓ α 1 Ò ÕÓÙÑ α 1 = 1 λ 1 β 1 λ 2 λ 1 α 2 λ ν λ 1 α ν À Ø Ð ÙØ Õ Ñ Ò Ø ØÓ ÒÙ Ñ α 1 Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ β 1, α 2,, α ν ÄÓ Ô Ò ÕÓÙÑ µ à ØÓ Õ Ó ØÓÙ V Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ α 1, α 2,, α ν µ ÌÓ α 1 Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ β 1, α 2,, α ν µ ³ Ö ØÓ Õ Ó ØÓÙ V Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ β 1, α 2,, α ν Ð Ó ÕôÖÓ V Ô Ö Ø Ô Ø β 1, α 2,, α ν ÔÛ Ö ÓÙÑ V =< β 1, α 2,, α ν > Å Ø Ò ÐÓ ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ ØÓ ÒÙ Ñ β 2 Ö Ø Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ β 1, α 2,, α ν Ö β 2 = ξ 1 β 1 + ξ 2 α 2 + ξ 3 α 3 + ξ ν α ν ( ) ÍÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ô Ö ØÛ Ô Ö ÔØô µ ξ 2 = ξ 3 = ξ 4 = = ξ ν = 0. Ì Ø β 2 = ξ 1 β 1 ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ñ Ò Ø ØÓ ÒÓÐÓ B = {β 1, β 2,, β ν+1 } Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ø ÙÔ ÖÕ Ó Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ξ 1 β 1 + ( 1) β β β ν+1 = 0 µ Ò ÔÓ Ó Ô Ø ξ 2, ξ 3, ξ ν+1 Ò ÓÖ Ø Ô ØÓ Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ξ 2 0 ÐÐ ÞÓÒØ Ø Ö Ò ÕÖ Þ Ø ØÛÒ α 2,, α ν º ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ñ Ò Ø ØÓ α 2 Ö Ø Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ β 1, β 2, α 3,, α ν Ì Ð ÔÓÖ Ò Û Ü Ø ÔÓ Ó Ò Ñ Ó Ø Ó ÕÓÙÑ Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ø ß ôõòóùñ Ð Ò ¹ Ò Ø α i, i = 1, 2, ÞÓÙÑ Ø ØÓÙ β i, i = 1, 2, 3, º ËØÓ Ø ÐÓ Ð Ø Ò ôõòóùñ ØÓ α ν ÐÓÙÑ Ø ØÓÙ ØÓ β ν Ø α i, i = 1, 2, Ø Ð ôòóùò ÕÓÙÑ Ø Ø β 1, β 2,, β ν Ô Ö ÓÙÒ ØÓ ÕôÖÓ V º ³ÇÑÛ ÙÔ ÖÕ ØÓ β ν+1. ÙØ Ö Ø Û Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ β ν+1 = µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν + ( 1)β ν+1 = ¼ Ø Ð Ô ÖÔØÛ ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ¾

27 ½º ÂÙÑ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ö ÑÑ Ü ÖØ Ò Ü ÖØ ÒÙ Ñ ØÛÒ Ô Ø Ò Ô Ö Ö Ó º½ ¾º º ÈÖ Ø º º µ ³ ØÛ Ó ÙÔÓ ÒÓÐ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó Õô¹ ÖÓÙ V Ô ØÓÙ F A Bº Ò ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ø Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº µ ³ ØÛ Ó ÙÔÓ ÒÓÐ Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô ØÓÙ F A Bº Ò ØÓ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ø Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓº Ô Ü α ) ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ ÒÙ Ñ ØÛÒ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ô ØÓÙ Fº  ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ø Ø ØÓ Õ α 1, α 2,, α ν V ÙÒØ Ð Ø λ 1, λ 2,, λ ν F Õ ÐÓ Ñ Ò Ñ λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + λ ν α ν = ¼ ³ÇÑÛ Ø Ò Ñ Ø α 1, α 2,, α ν V Ò Ò Ñ ÒÓ ØÓ Õ ØÓÙ ÐÐ ØÓÙ º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ Ò ØÓ Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ β ) ÌÓ ÒÓÐÓ Õ Ó ÙÒ Ø Ø Ø º Ø Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ¹ ØÓ Ø Ò Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓº À Õ Ø Ñ ÙÒ Ø Ø Ø ÔÓ Ð Ø Ò ÐÐ º Ò ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ Ø Ø ØÓ ÒÓÐÓ ÔÓÙ Ô Ö Õ ØÓ Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓ ØÓÔÓ Ô Ø Ò ÙÔ º ³ Ø ÑÓÒ ÙÒ Ø Ø Ø ÔÓÙ ÔÓÑ Ò Ò Ò Ò ØÓ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ÒÓÐÓº ÈÖ Ø º º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ Fº ³ ØÛ Ô µ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ V ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ö ØÓÒ ÕôÖÓ Ð V =< A >º Ï ÙÔ Ò Ñ Ñ ôòóùñ Ø ÙØ Ñ Ò ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ÑÑ ôò ÙÒ Ù ÑôÒ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ Ò ÐÓ Ó ÕôÖÓ V º Ô ÔÐ ÓÒ ØÛ Ø ØÓ Õ Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÓ Õ µ Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ñ Ñ ØÓ ÔÐ Ó ØÓ Õ º ËÙÑÔ Ö Ñ µ ν Ô Ü ³ ØÛ Ø Ò Õ µ νº Ø Ø Õ Õ µ > νº ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ñ Ò Ø ÑÔÓÖÓ Ñ ØÓ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ÒÓÐÓ ÙÔ ÖÕÓÙÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ν + 1 ØÓ Õ º Ð ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ò ÒÓÐÓ ¾

28 ν +1 ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ º Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÔÖ Ø º ØÓ ÒÓÐÓ ÙØ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ØÓÔÓ Ô ØÓ ôö Ñ º¾ º  ôö Ñ º º ³ ØÛ B 1 B 2 Ó Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ô ØÓÙ Fº ³ ØÛ Ô Ø Ø ÒÓÐ B 1 B 2 Ò Ô Ô Ö Ñ Ò º ËÙÑÔ Ö Ñ ÌÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø B 1 Ò Ó Ñ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø B 2 º Ô Ü ³ Ø Û Ø ØÓ B 1 Õ Ñ ØÓ Õ ØÓ B 2 Õ Ò ØÓ Õ º ͹ Ô Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ V Ò Ò µ È Ö ØÓÒ ÕôÖÓ V µ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ÒÓÐÓ ÌôÖ ØÓ B 1 Ô Ö ØÓÒ ÕôÖÓ ØÓ B 2 Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓº ³ Ö ν µ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø º ÒØ ØÖ ÓÒØ ØÓÙ Ö ÐÓÙ ØÛÒ B 1 B 2 Ö ÓÙÑ µ ν Ø Ð ÕÓÙÑ Ñ Ò º º¾ ÇÖ Ñ º º ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ Fº Ò Ñ ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Õ Ò ØÓ Õ Ø Ø ÐÐ ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Õ Ò ØÓ Õ º ÌÓÒ Ö Ñ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ñ ÓÔÓ ÔÓØ ØÓÒ Ð Ñ Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ ØÓÒ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ dim F V º À Ô Ö Ó Ø Ð ØÛÒ Ô Ö ØÛ ÛÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ¹ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÃÙÖ ½¾ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º ³ º º Æ Ö Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ R 2 2 º Ö Ø Ô Ñ ØÓÙ ³ º º Æ Ö Ø ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ C R ØÛÒ Ñ ôò Ô ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò ³ º º Æ Ö Ø ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ C C ØÛÒ Ñ ôò Ô ØÛÒ Ñ ôò ¾

29 Å Ñ ÙØ Ö ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾¾ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙº Å ÖÓ ¾ º½ ½º ÈÓÖ Ñ Ð Ø Â ôö Ñ º½  ôö Ñ ÒØ ÐÐ µº ³ ØÛ A = {α 1, α 2,, α ν } B = {β 1, β 2,, β µ } Ó ÙÔÓ ÒÓÐ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ V Ô ØÓÙ F Ñ Ø Ø Ø µ ÌÓ ÒÓÐÓ Ô Ö ØÓ ÕôÖÓ µ ÌÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓº Ì Ø ÕÓÙÑ Ø Ü µ ν µ µ ÅÔÓÖÓ Ñ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø Ò Ö ÓÙÑ Ô ØÓ ÒÓ¹ ÐÓ Ø Ò Ñ Ø α 1, α 2,, α µ Ò Ø ÒØ Ø Ø ÓÙÑ Ñ Ø β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ó ÕôÖÓ V Ò Ü ÓÐÓÙ Ò Ô Ö Ø Ô ÙØ Ð < β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν >= V Ô Ü ÌÓ ÔÖôØÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ØÓ ÕÓÙÑ ÔÓ Ü Ø Ò ÔÖ ¹ Ø º º ÌÓ Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º¾º ¾º Ø ô Ø Õ Ø ÒØ Óº ÌÓ ÒØ Ó ô ¾ º ÌÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ¾ ÒØ Ó ÑÔÓÖ Ø Ô Ò ØÓ Ø Ñ Õ Ð ØÓ YouTube Ó Ñ Ö ÈÖôØÓ Ñ ÖÓ ô Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ô º  ôö Ñ º¾  ôö Ñ Ô Ø µº ³ ØÛ V Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ò B = {β 1, β 2,, β µ } Ò ÒÓÐÓ ¾¾ Στηδιδασκαλίατουμαθήματοςαυτού,μέσωτηςΗλεκτρονικήςτάξηςμεβοηθούνοιπαρακάτω φοιτητές συνεργάτες μου, Νικόλας Δραγώνας, Άννα Καρασούλου,Βασιλική Λαϊνά, Κώστας Λέντζος. Τους φοιτητές αυτούς τους ευχαριστώ θερμά. ¾ Είναιβίντεοπερίπου15λεπτώνσχετικόμετοθεώρημαανταλλαγήςαποθηκευμένοστην Ηλεκτρονική τάξη ¾ ΘαήθελαεδώναευχαριστήσωτονφοιτητήτηςΗλεκτρονικήςτάξηςΚ.Σταματόπουλογιαμία καίρια επισήμανσή του στη διατύπωση της απόδειξης ¾

30 Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ÒÙ Ñ ØÛÒ ØÓÙ V º Ì Ø ØÓ Ô Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ V Ð ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ò Ñ Ø α µ+1, α µ+2,, α ν Ø ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ {β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν } Ò Ò Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙº Ô Ü Ó Ó ÕôÖÓ Õ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÙÔ ÖÕ Ò ¹ ÒÓÐÓ A = {α 1, α 2,, α ν } ØÓ ÓÔÓÓ Ò º Ï ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ô Ö ØÓÒ V º Ô Ø Ò ÐÐ Ñ Ö ØÓ ÒÓÐÓ B = {β 1, β 2,, β µ } Ò Ò ÒÓÐÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ÒÙ Ñ ØÛÒ ØÓÙ V º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ôö Ñ º½ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÖÓ ÖØ ÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ B = {β 1, β 2,, β µ } ÔÓ Ò Ñ Ø ØÓÙ Ø ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ Γ = {β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν } Ò Ô Ö ØÓ ÕôÖÓº  ÔÓ ÜÓÙ¹ Ñ Ø ØÓ ÒÓÐÓ ÙØ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ö Ø Ð Ò º ³ ØÛ Ø ØÓ Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ð Ò Ö ÑÑ Ü Ö¹ Ø Ñ ÒÓº ÙØ Ñ Ò Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÙÒØ Ð Ø ξ 1, ξ 2,, ξ ν F Õ ÐÓ Ñ Ò Ø ô Ø ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ µ β µ + ξ µ+1 α µ+1 + ξ µ+2 α µ ξ ν α ν = ¼ Ó Ò Ò ÐÓ Ó ÙÒØ Ð Ø Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø Ø ξ 1 0º Ì Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ü Û Ð Ò Ø Û ÔÖÓ β 1 º ÓÐÓÙ ôòø Ø Ø ÔÖ Ø º Ô ØôÒÓÙÑ Ø Ó ÕôÖÓ Ó Ö ÓÙÑ ØÓ β 1 µ Ô Ö Ø Ô Ò¹½ Ò Ñ Ø º ³ÇÑÛ ÕÓÙÑ Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ò Ò Ö ØÓ ÕôÖÓ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ò Ñ Ø ØÓÔÓ Ô ØÓ ôö Ñ Ø ÒØ ÐÐ º½º Ì Ð ØÓ ÒÓÐÓ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ ØÓ Ø Ô Ö ØÓ ÕôÖÓ ØÓ ÕÓÙÑ Ö µ Ö Ò º º Ö ÑÑ Ô ÓÒ ÖÕÞÓÙÑ Ô Ñ Ö Ø Ñ Ð Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ø Ü ÒÙ Ñ Ø ôò Õô¹ ÖÛÒº Ç ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ñ Ò ÖÓÙÒ Ô Ö Ø ÖÓ Ò ÙØ ÔÓÙ ß ¹ ÓÒØ Ð Ø Ò ÓÑ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ø ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ Ö ÑÑ Ô ÓÒ º ÇÖ Ñ º º ³ ØÛ V 1 V 2 Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ô ØÓÙ Fº Å Ô Ò ¾ f : V 1 V 2 Ð Ø Ö ÑÑ Ô Ò ¾ Ò µ f(α + β) = f(α) + f(β) α, β V 1 µ f(λ α) = λ f(α) λ F, α V 1 ¾ Ηέννοιατηςαπεικόνισηςείναιταυτόσημημετηνέννοιατηςσυνάρτησης ¾ λέγεταιεπίσηςκαιγραμμικόςμετασχηματισμός ¼

31 º Ø Ø Ô Ö Ñ Ø º½º Ð ½ ½ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ ¾ Ð º Å Ð Ø Ø Ø ÔÖÓØ º½º º½º Ð ½ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð º º ÈÖ Ø º º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º Ì Ø f(0 V1 ) = 0 V2 Ô Ü ³ ÕÓÙÑ f(0 V1 + 0 V1 ) = f(0 V1 ) + f(0 V1 ) Ô Ø Ò ÔÖôØ Ø Ø ØÛÒ Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒº ÓÒÓÑ ÓÙÑ ØÓ f(0 V1 Ñ Ûº Ì Ø ÕÓÙÑ Ø Õ Û Û Û Ö Û ¼º À ÔÖ Ø Ñ Ð Ø ÓÔÓ ÔÓØ Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 Ô ÓÒÞ Ô ÒØ ØÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙ ØÓ Ñ Ò ØÓ Õ Ó ØÓÙ ÙØ ÖÓÙ ÕôÖÓÙ ÈÖ Ø º º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º Ì Ø f( x) = f(x) Ô Ü ³ ÕÓÙÑ 0 V2 = f(0 V1 ) = f(x + ( x)) = f(x) + f( x)º º Æ ß Ø Ø Ð Ð ØÖÓÒ ØÓ ÐÓ Ö ÑÑ Ð Ö ÔÓÙ Ò Ø ÙÒ ô Ò ÖÜ Ø Ñ Ñ Ø ØÓ Ð Ó ØÓÙ ÐÓÙ ÙØÓ º¾ ½º ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò ÇÖ Ñ º º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º ÌÓ ÒÓÐÓ Kerf = {x V 1 f(x) = ¼ V2 } ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ ÔÙÖ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò º ¾º Ç ÔÙÖ Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ò Ô ÒØ ÙÔ ÕÛÖÓ Ô Ü ³ ÕÓÙÑ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½¾º Ø f(0 V1 ) = 0 V2 Ö 0 V1 Kerfº Ò x, y Kerf Ø Ø f(x) = f(y) = 0 V2 º ³ Ö f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 V2 Ø Ð x + y Kerfº ÇÑÓÛ ÔÓ Ò Ø ØÖØ Ô Ø Ø Ó ÔÙÖ Ò Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 ¾ Απότηνέκδοσηπουείναιστο internet ½

32 º ÇÖ Ñ º º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º ÌÓ ÒÓÐÓ Imf = {ω V 2 x V 1 f(x) = ω} ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò º º ÌÓ ÒÓÐÓ Imf Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V 2. À Ô Ü Ò ÑÓ Ñ Ô ¹ Ö Ô ÒÛ º Æ Ø ØÓ Ô Ö Ñ º¾º Ô ØÓ ÐÓ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð º Å Ð Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ô ÓÒ Ø Õ Ø Ø ÙÒ ô º ½º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò ÇÖ Ñ º º µ ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º µ Õ Ñ Ø Ø Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ V 1 V 2 Ô ØÓÙ F Ò Ô Ô Ö ¹ Ñ Ò Ø Ñ Ò ÒØ ØÓ Õ º µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø α = (α 1, α 2,, α µ ) β = (β 1, β 2,, β ν ) Ò Ó Ø Ø Ñ Ò ¾ ØÛÒ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ V 1 V 2 ÒØ ØÓ Õ º µ Ì Ò Ñ Ø f(α 1 ), f(α 2 ),, f(α ν ) Ò Ò Ñ Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 Ö ØÓ Ò Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ (β 1, β 2,, β ν ) µ ³ ÕÓÙÑ f(α 1 ) = λ 11 β 1 + λ 12 β λ 1ν β ν f(α 2 ) = λ 21 β 1 + λ 22 β λ 2ν β ν f(α µ ) = λ µ1 β 1 + λ µ2 β λ µν β ν µ ËÕ Ñ ØÞ Ø Ò ÔÒ Û Ü ¾ λ 11 λ 21 λ µ1 A = λ 12 λ 22 λ µ2 λ 1ν λ 2ν λ µν Þµ Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ð Ø ÔÒ Ø Ö ÑÑ Ô ¹ Ò f Û ÔÖÓ Ø Ø Ø Ñ Ò α β ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ (f : α, β) ¾ Μετονόροδιατεταγμένηβάσηεννοούμεμίαβάση,στηνοποίαέχουμεβάλειμίαδιάταξη,μία σειρά στα διανύσματά της ¾ Προσέξτεότιβάζουμεωςστήλεςτιςγραμμέςπουεμφανίζονταιστηγραφήτων f(a i ) ¾

33 º ¾º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ó ÔÒ Ò ν µ Ð ÔÒ Ò Ö ÑÑôÒ Ñ Ø ¹ ÐôÒ Òô Ö ÑÑ Ô Ò Ò Ô Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ø Ñ Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ø Ò º Å Ð Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø º½º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð º Ò Ó ÔÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ò Ó Ñ Ò ÔÒ Ø ÙÑÔ ¹ Ö Ò Ø Ø Ò Ö ÑÑ Ô Ò º Ò Ó ÔÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ò Ó ÑÓÒ Ó Ø ÙÑÔ Ö Ò Ø Ø Ò Ö ÑÑ Ô Ò À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ¹ ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÌÖØ ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ÒÙÕØ º ³ º º Ò Ø Ô Ò f : R 3 R 2 Ñ f(x, y, z) = (2x y, x y). ÜØ Ø ½º À Ô Ò f Ò Ö ÑÑ ¾º Æ Ö ØÓ ÒÓÐÓ K = {(x, y, z) R 3 µǫ f(x, y, z) = (0, 0)} Ò ÔÓ Õ Ø Ò ÙÔ ÕÛÖÓº Ì Ø Õ ØÓ Ã º Æ Ö ØÓ ÒÓÐÓ Im(f) = {(α, β) R 2 ǫτσι ωστǫ υπαρχǫι (x, y, z) R 3 µǫ f(x, y, z) = (α, β)}. Æ ÔÓ Õ Ø ØÓ ÒÓÐÓ Im(f) Ò ÙÔ ÕÛÖÓ Ò Ö Ø ØÓÙº ³ º½¼º ³ ØÛ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Õ Ø º ÜØ Ø Ò ÒÓÐÓ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ÒÙ Ñ ØÛÒ Ò ³ º½½º ³ ØÛ Ø Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Õ Ø º ÜØ Ø Ò ÒÓÐÓ ÒÙ Ñ ØÛÒ ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ø ÓÔÓ ØÓÒ Ô Ö ÓÙÒ Ò º

34 Å Ñ Ì Ø ÖØ ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º½ Á ÓÑÓÖ ÑÓ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ ½º  ôö Ñ º½º ³ ØÛ V 1 V 2 Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ ¼ Ô ØÓÙ F Ô Ô ¹ Ö Ñ Ò Ø º Ì Ô Ö ØÛ Ò Ó Ò Ñ µ dim F V 1 = dim F V 2 µ ÍÔ ÖÕ Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 ½¹½ Ôº Ô Ü µ Ô ØÓ α ) ØÓ β ) ³ ØÛ Ø Ó Ó ÕôÖÓ V 1 V 2 ÕÓÙÒ Ø dim F V 1 = dim F V 2 = ν. ³ ØÛ Ô {α 1, α 2,, α ν } Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 {β 1, β 2,, β ν } Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 à ØÓ Õ Ó x V 1 Ö Ø Ø ÑÓÒ ØÖ ÔÓ Û x = λ 1 α 1 +λ 2 α 2 + +λ ν α ν Ì Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø ÙÒ ÖØ f(x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν À ÙÒ ÖØ ÙØ Ò Ö ÑÑ ½¹½ Ôº ÈÖÓ Ô Ø Ò ÔÓ Ü Ø ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ ÙØÓ º µ Ô ØÓ β ) ØÓ α ) ³ ØÛ f : V 1 V 2 ½¹½ Ô {α 1, α 2,, α ν } Ñ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙº  ÛÖÓ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ {f(α 1 ), f(α 2 ),, f(α ν )}º ÌÓ ÒÓÐÓ ÙØ Ò Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 ºÈÖÓ Ô Ø Ò ÔÓ Ü Ø ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ ÙØÓ º ¾º Å Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 ½¹½ Ô ÙÒ Û Ø Ò Ð Ñ Ó¹ ÑÓÖ Ñ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ ØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ØÓÙ Ð Ñ ÑÓÖ ÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ V 1 = V2 º º ³ ØÛ f, g : V 1 V 2 Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ º Õ Ñ Ø Ø Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ V 1 V 2 Ô ØÓÙ F Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ÒØ ØÓ Õ º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø α = (α 1, α 2,, α µ ) β = (β 1, β 2,, β ν ) Ò Ó Ø Ø Ñ Ò ØÛÒ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ V 1 V 2 ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø ¼ Στηδιδασκαλίατουμαθήματοςαυτού,μέσωτηςΗλεκτρονικήςτάξηςμεβοηθούνοιπαρακάτω φοιτητές συνεργάτες μου, Νικόλας Δραγώνας, Άννα Καρασούλου,Βασιλική Λαϊνά, Κώστας Λέντζος. Τους φοιτητές αυτούς τους ευχαριστώ θερμά. Φθινόπωρο 2008

35 (f + g : α, β) = (f : α, β) + (g : α, β) (f g : α, β) = (f : α, β) (g : α, β) (λ f : α, β) = λ (f : α, β) Å Ð ÙØ Ó Õ Ñ ÒÓÙÒ iº Ç ÔÒ ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ Ó Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ô Ö ÑÑ Ô Ò µ Ó Ø Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ØÛÒ Ô Ñ ÖÓÙ Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒ iiº Ç ÔÒ Ø ÓÖ Ó Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ô Ö ÑÑ Ô Ò µ Ó Ø Ñ Ø ÓÖ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ ØÛÒ Ô Ñ ÖÓÙ Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒ iiiº Ç ÔÒ ØÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ Ò Ö ÑÓ Ô Ñ Ö ÑÑ Ô Ò ÔÓÙ Ò Ô Ö ÑÑ Ô Ò µ Ó Ø Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ ØÓÙ Ö ÑÓ Ô ØÓÒ ÔÒ Ø Ö ÑÑ Ô Ò º Õ Ñ Ô Ö Ô ÒÛ ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º ÌÓ ÒÓÐÓ Kerf = {x V 1 f(x) = ¼ V2 } ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ ÔÙÖ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò º ËÕ Ø Ñ ØÓÒ ÔÙÖ Ò Õ ØÓ Ü ôö Ñ Â ôö Ñ º¾º À Ö ÑÑ Ô Ò f Ò ½¹½ Ò Ñ ÒÓ Ò Kerf = {0} À Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Õ Û Ü ³ ØÛ Ø Kerf = {0} f(x) = f(y)º Ì Ø f(x y) = 0 Ö x y Kerfº ÐÐ Ó ÔÙÖ Ò Õ Ñ ÒÓ Ò ØÓ Õ Ó ØÓ 0 Ö x y = 0 Ö x = y Ô Ò Ò ½¹½º Ò ØôÖ f Ò ½¹½ x Kerf Ø Ø f(x) = 0º ÐÐ Ô f Ò Ö ÑÑ Ô Ò ÕÓÙÑ f(0) = 0º ³ Ö x = 0 º Ô ÕÓÙÑ ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô ¹ Ò º ÌÓ ÒÓÐÓ Imf = {ω V 2 x V 1 f(x) = ω} ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò º ËÕ Ø Ñ Ø Ò Ò ÕÓÙÑ ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ

36  ôö Ñ º º À Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 Ò Ô Ò Ñ ÒÓ Ò Imf = V 2 À Ô Ü Ò Ñ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º  ôö Ñ º º À Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 Ò ÓÑÓÖ Ñ Ò Ñ ÒÓ Ò Kerf = 0 Imf = V 2 À Ô Ü Ò Ñ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º Å Ð Ø Ø Ó ØÓ ôö Ñ º½º Ð ½ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø Ò Ô Ü ØÓÙº º ÊÜØ Ñ Ñ Ø Ø ÙÒ ô Ô Ö Ø Ö ÔÐ ÖÓ ÓÖ ÖÛ Ô Ø Ö ÑÑ Ô ÓÒ º Ø Ô ô ½¼º Ò Õ Ø Ñ Ð Ñ Ñ Ø Ô Ö Ö Ö Ü Ø ØÓ Ð Ó Ô ØÓ ÐÓ ô º¾ ÈÛ Ó ÔÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ð Ñ¹ Ò ÔÐ ÑÓÖ ½º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Kerf Imf Ó ÔÙÖ Ò Ò Ø º ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ó ÔÙÖ Ò Kerf Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 ÓÒ Imf Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 º ¾º Ð ÓÙÑ Ñ ØÓÙ ÔÙÖ Ò ØÛ Ø Ò {α 1, α 2,, α κ }. À ÙØ ÔÓØ Ð Ø Ô Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ò Ñ Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 ÔÓÑ ÒÛ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ôö Ñ Ô Ø º¾ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ Ò ÒÓÐÓ {β 1, β 2,, β λ } Ø ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ {β 1, β 2,, β λ, α 1, α 2,, α κ } Ò Ò ØÓÙ V 1. º  ÔÓ ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÒÓÐÓ {f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ )} Ò Ö ÑÑ Ò ¹ Ü ÖØ ØÓº ÈÖÓ ØÓ ØÓ ÛÖÓ Ñ Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ξ 1 f(β 1 ) + ξ 2 f(β 2 ) + + ξ λ f(β λ ) = 0 V2 Ô f Ò Ö ÑÑ Ø Ð ÙØ Õ Ò Ø f(ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ ) = 0 V2 Ö ØÓ ØÓ Õ Ó ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ Ò ØÓÒ ÔÙÖ Ò Ø f

37 º  ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓÑ ÒÛ ÙÒØ Ð Ø µ 1, µ 2,, µ κ Ø ô Ø ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ = µ 1 α 1 + µ 2 α µ κ α κ º Ô Ø Ò Ø Ð ÙØ Õ ÕÓÙÑ ξ 1 β 1 +ξ 2 β 2 + +ξ λ β λ µ 1 α 1 µ 2 α 2 µ κ α κ = 0 V1. ³ÇÑÛ ØÓ ÒÓÐÓ {β 1, β 2,, β λ, α 1, α 2,, α κ } Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ö ÐÓ Ó ÙÒØ Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ö ÕÓÙÑ Ø ξ 1 = ξ 2 = = ξ λ = 0 Ö ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ð ØÓ ÒÓÐÓ {f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ )} Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓº º Ó ØÓ ÒÓÐÓ {f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ )} Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÓ Ñ¹ ÛÒ Ü Ò Ñ ØÓ ôö Ñ Ô Ø º¾ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ò Ñ Ø γ 1, γ 2,, γ ν ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ø ô Ø ØÓ ÒÓÐÓ {f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ ), γ 1, γ 2,, γ ν } Ò Ò ØÓÙ V 2. º Å Ð Ø ÓÙÐ Ô Ó Ô ÒÛ Ø Ù Ñ Ñ {β 1, β 2,, β λ, α 1, α 2,, α κ } ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 Ñ {f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ ), γ 1, γ 2,, γ ν } ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÕôÖÓÙ V 2. Ò Ø ÛÖ ÓÙÑ Ø Ø Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ù¹ ÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ Ø Ö ÑÑ Ô Ò º  ÛÖÓ Ñ ÐÓ Ô Ò Ø Ø Ø Ñ Ò α = (β 1, β 2,, β λ, α 1, α 2,, α κ ) β = (f(β 1 ), f(β 2 ),, f(β λ ), γ 1, γ 2,, γ ν ) º ÍÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ ÔÒ (f : α, β). f(β 1 ) = 1 f(β 1 )+0 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 0 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν f(β 2 ) = 0 f(β 1 )+1 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 0 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν f(β λ ) = 0 f(β 1 )+0 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 1 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν f(α 1 ) = 0 f(β 1 )+0 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 0 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν f(α 2 ) = 0 f(β 1 )+0 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 0 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν f(α κ ) = 0 f(β 1 )+0 f(β 2 )+0 f(β 3 )+ 0 f(β λ )+0 γ 1 +0 γ γ ν º Ç ÔÒ (f : α, β) Ô ÖÒ Ø ÑÓÖ

38 ½¼º  ôö Ñ º º Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 Ñ Ø Ü ¹ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ α ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙ β ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÕôÖÓÙ Ø ô Ø Ó ÔÒ (f : α, β), Û ÔÖÓ Ø ÙØ Ò Ð Ñ Ò Ø Ò ÑÓÖ ½½º ËÕ Ð Ó º½º À Ô Ö Ô ÒÛ ÑÓÖ ØÓÙ ÔÒ Ò ÔÐÓ Ø Ö ÙÒ Ø ÑÓÖ ½¾º º ËÕ Ð Ó º¾º Ç Ö Ñ ØÛÒ ÑÓÒ ÛÒ ÔÓÙ Ñ ÒÞÓÒØ ØÓÒ ÔÒ Ò Ó Ñ Ø Ø ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ Imfº À Ø ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ Imf Ð Ø Ø Ü rank Ø Ö ÑÑ Ô Ò º À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ¹ ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ ½ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ÒÙÕØ º Ø Ò È ÑÔØ ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ½º Æ Ò Ø Ð ÔØÓÑ Öô Ø ÔÓ Ü ØÓÙ Ñ Ñ ØÓ ÙØÓ Ù Ö Ñ Ò Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º½ Ø ÔÓ Ü ØÓ Ñ Ó Ø Ô Ö Ö ÓÙ ÙØ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º½º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ðº ¾º Æ Ü Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ö ÑÑ Ô Ò f : R 3 R 2 ÓÔÓ Ò Ò ½¹½ º Æ Ü Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ö ÑÑ Ô Ò f : R 2 R 3 ÓÔÓ Ò Ò Ô ½ Οιφοιτητέςτουεντατικούτμήματοςναασχοληθούνμεόλεςτιςασκήσεις. Οιφοιτητέςτου κανονικού τμήματος να ασχοληθούν με όλες τις ασκήσεις

39 º Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò f : R 3 R 2 Ñ f(x, y, z) = (2x y, x+y 3z). Æ Ö Ó Ò α ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙ R 3 β ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÕôÖÓÙ R 2 Ø ô Ø Ó ÔÒ (f : α, β), Û ÔÖÓ Ø ÙØ Ò Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÐÓ Ø Ö ÙÒ Ø ÑÓÖ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛº ÈÓ Ò Ø ØÓÙ ÔÙÖ Ò Kerf ÈÓ Ò Ø Ø Ò Imf

40 Å Ñ È Ö Ù ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Ü Ò ÙÑ Ó Ñ ØÓ ôö Ñ ØÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÓÙ Ñ Ñ ØÓ Â ôö Ñ º½º ³ ØÛ V 1 V 2 Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F Ô Ô Ö ¹ Ñ Ò Ø º Ì Ô Ö ØÛ Ò Ó Ò Ñ µ dim F V 1 = dim F V 2 µ ÍÔ ÖÕ Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 ½¹½ Ôº Ô Ü µ Ô ØÓ α ) ØÓ β ) ³ ØÛ Ø Ó Ó ÕôÖÓ V 1 V 2 ÕÓÙÒ Ø dim F V 1 = dim F V 2 = ν. ³ ØÛ Ô {α 1, α 2,, α ν } Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 1 {β 1, β 2,, β ν } Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 à ØÓ Õ Ó x V 1 Ö Ø Ø ÑÓÒ ØÖ ÔÓ Û x = λ 1 α 1 +λ 2 α 2 + +λ ν α ν Ì Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø ÙÒ ÖØ f(x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν À ÙÒ ÖØ ÙØ Ò Ö ÑÑ ½¹½ Ôº ÈÖÓ Ô Ø Ò ÔÓ Ü Ø ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ ÙØÓ º µ Ô ØÓ β ) ØÓ α ) ³ ØÛ f : V 1 V 2 ½¹½ Ô {α 1, α 2,, α ν } Ñ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ÕôÖÓÙº  ÛÖÓ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ {f(α 1 ), f(α 2 ),, f(α ν )}º ÌÓ ÒÓÐÓ ÙØ Ò Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ V 2 ºÈÖÓ Ô Ø Ò ÔÓ Ü Ø ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ ÙØÓ º ¾º ³ÇÔÛ ÕÓÙÑ Ü Ò Ô Ñ Ö ÑÑ Ô Ò f : V 1 V 2 ½¹½ Ô ÙÒ Û Ø Ò Ð Ñ ÓÑÓÖ Ñ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ ØÓÙ ÒÙ¹ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ØÓÙ Ð Ñ ÑÓÖ ÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ V 1 = V2 º º ³ ØÛ f, g : V 1 V 2 Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ º Õ Ñ Ø Ø Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ V 1 V 2 Ô ØÓÙ F Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ÒØ ØÓ Õ º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø α = (α 1, α 2,, α µ ) β = (β 1, β 2,, β ν ) Ò Ó Ø Ø Ñ Ò ØÛÒ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ V 1 V 2 ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø ¼

41 (f + g : α, β) = (f : α, β) + (g : α, β) (f g : α, β) = (f : α, β) (g : α, β) (λ f : α, β) = λ (f : α, β) º Å Ð Ø Ø Ü Ò Ó ØÓ ôö Ñ º½º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð Ø Ò Ô Ü ØÓÙº ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ØÓ ôö Ñ ÙØ Ð Â ôö Ñ º¾º ³ ØÛ V, W, U ØÖ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F α = (α 1, α 2,, α µ ) Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ V, β = (β 1, β 2,, β ν ) Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ W γ = (γ 1, γ 2,, γ ξ ) Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ U. Ò f : V W g : W U Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ Ø Ø (g f : α, γ) = (g : β, γ)(f : α, β) º Å Ð Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ö Ó ¾º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð¹ Ö Ì ÑÓ Ð Ò ÙÑ Ø ÔÛ Ò Ø Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ô Ò ÛÒº º ÈÓÐÐ ÔÐ Ñ Ô Ò ÛÒ µ ³ ØÛ A = B = α 11 α 12 α 1ν α 21 α 22 α 2ν α µ1 α µ2 α µν β 11 β 12 β 1κ β 21 β 22 β 2κ β ν1 α ν2 α νκ Ò ÔÒ µ ν Ò ÔÒ ν κ ÇÖÞ Ø ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ò Ò ÔÒ µ κ ØÓ ØÓ Õ Ó Ø (ij) Ò ØÓ ν α iξ β ξj ξ=1 µ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ ÑÓ Ô Ò ÛÒ ¾º º ¾º º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ì ÑÓ Ð ½

42 º Ò Ô ÖÓÙÑ Ø Ò Ø ÙØÓØ Ö ÑÑ Ô Ò I : V V Ñ f(v) = v, v V, Ø Ø Ó ÔÒ ÙØ (I : α, α) Ò ÔÖÓ Òô Ó I ν = º ³ ØÛ f : V 1 V 2 Ñ Ö ÑÑ Ô Ò Ñ Ø Ü Ó ÕôÖÛÒ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º Ì Ô Ö ØÛ Ò Ó Ò Ñ µ À f Ò ÓÑÓÖ Ñ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ µ Ò α Ò Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ V 1 β Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ V 2, Ø Ø Ó ÓÔÒ (f : α, β) Ò ÒØ ØÖ Ý ÑÓº Ø Ñ Ð ÔØÓÑ Ö Ô Ü ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Á Ø ÑÓ Ð ¾

43 Ì Ü ÔÒ º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º ³ ØÛ Ò ÔÒ º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ÑÑôÒ ØÓÙ Ô Ö ÓÙÒ Ò ÙÔ ÕÛÖÓº Ç ÙÔ ÕÛÖÓ ÙØ Õ Ñ Ø º Ì Ø ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ ÙØÓ Ø Ð Ñ Ø Ü Ö ÑÑôÒ ØÓÙ ÔÒ ¾º ³ ØÛ Ò ÔÒ º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ø ÐôÒ ØÓÙ Ô Ö ÓÙÒ Ò ÙÔ ÕÛÖÓº Ç ÙÔ ÕÛÖÓ ÙØ Õ Ñ Ø º Ì Ø ØÓÙ ÙÔ ÕÛÖÓÙ ÙØÓ Ø Ð Ñ Ø Ü Ø ÐôÒ ØÓÙ ÔÒ º ÙØ ÔÓÙ ÔÓ ÜÓÙÑ Ñ Ø Ò Ø Ö Ñ Ñ Ø Ò Ø Ø Ü Ö Ñ¹ ÑôÒ Ò ÔÒ Ó Ø Ô ÒØ Ñ Ø Ò Ø Ü Ø ÐôÒ ØÓÙº Å ÕÖ Ò ØÓ ÔÓ ¹ ÜÓÙÑ ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ÙØÓ ØÓÙ Ö ÑÓ Ü ÕÛÖ Ø º Å Ð Ø Ø ÙØ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ø ÙÒ ô º ³ À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÃÙÖ ½ Ç ØÛ¹ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ÒÙÕØ º ³ º º Ò Ø Ó ÔÒ A = µ Æ Ö Ø Ñ Ö ÑÑ Ô Ò f : R 3 R 3 Ø ô Ø Ò e = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) Ñ Ø Ø Ñ Ò ØÓÙ R 3, Ò ÕÓÙÑ A = (f : e, e) µ Æ Ö Ø ØÓÒ ÔÙÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò fº ³ º º Ò Ø Ó ÔÒ A = Æ Ö Ø Ü Ö ÑÑôÒ Ø Ü Ø ÐôÒ ØÓÙ 7 8 λ ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ Ð

44 º Ü Ø ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÒØ Ø Ó ØÑ Ñ ¹ ØÓ È Ö Ù ½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½º Ò Ø ¾ Ø Ø Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ f : A B Ò Ö ÑÑ Ô Ò º µ Æ Ü Ø Ò Ó ÔÙÖ Ò Ò Ô ÒØ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø f Ò ½¹½º Ü Ø Ø Ò ÙÔ ÖÕ x A, x 0 Ñ Ø Ò Ø Ø f(x) = 0 µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø Ø ØÓ Õ x 1, x 2,, x κ ØÓÙ Ò Ö ÑÑ ¹ Ò Ü ÖØ Ø Òô Ø f(x 1 ), f(x 2 ),, f(x κ ) Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ Ò º Ü Ø Ø Ò f Ò ½¹½ µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø A =< x 1, x 2,, x κ > Ø Ø f(x 1 ), f(x 2 ),, f(x κ ) Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø º Ü Ø Ø Ò f Ò ½¹½ ¾º Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò θ : R 3 R 3 Ñ θ(1, 0, 0) = (1, 2, 3), θ(0, 1, 0) = (4, 5, 6), θ(0, 0, 1) = (7, 8, 9) µ Æ Ö Ó Ø ÔÓ Ø Ö ÑÑ Ô Ò Ð Ò Ö ØÓ θ(x, y, z) µ Æ Ö Ñ ØÓÙ ÔÙÖ Ò Kerθ µ Ò Ö Ñ Ø Ò Imθ µ Æ Ö Ó ÔÒ (θ : e, e) Ø Ö ÑÑ Ô Ò θ Û ÔÖÓ Ø Ò Ø Ø Ñ Ò ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) µ Ö Ø α β ØÓÙ R 3 Ø ô Ø Ó ÔÒ ((θ : α, β) Ò Ò Ø ß ÔÐ Ð ¾ Οιπαρακάτωασκήσειςείναιπερίπουόμοιεςμεπαλαιάθέματαεξετάσεων

45 ½¼ Å Ñ ½¼ ÙØ Ö ¾¼ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ Ì Ü ÔÒ ½¼º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ½º Æ Ò Ø Ñ Ö ÓÖ Ò ÒÛ ØÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÓÙ Ñ Ñ ØÓ ¾º Ø ÔÖÓ Ø ØÓ Ä ÑÑ º º½ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ø ÑÓ Ð Ø Ò Ô Ü ØÓÙº ÌÓ Ä ÑÑ ÙØ Ð Ø Ø ¹ Ü Ø ÐôÒ Ò ÔÒ Ã Ò ÐÐ Þ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ Ô Ò Ò ÒØ ØÖ Ý ÑÓ Ø Ü Ø Ö Ø Ö º À Ô Ü Ø ÖÞ Ø Ø Ò ÒØ ØÓ Õ Ô Ò ÛÒ¹ Ö ÑÑ ôò Ô ÓÒ ÛÒº Ë Ñ ôòóùñ Ø ¹ Ò ÒØ ØÖ Ý ÑÓ ÔÒ ÒØ ØÓ Õ Ò ÓÑÓÖ Ñ º ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ò ØÓ Ñ Ð Ø Ø Ð º º Ø Ø Ð ÔØÓÑ Ö Ø Ô Ü Ø ÔÖ Ø º º¾ ØÓÙ ÛÖ Ñ ¹ ØÓ º º º Ò Ø ÕÖ Ò ÛÖ Ñ ØÓ ÔÓÙ ÔÓ Ü Ñ º Á Ø Ö ÓÔÓ ÓÒ ÔÓØ ÔÒ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ØÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ Ö Ø Ö Ñ Ò Ò¹ Ø ØÖ Ý ÑÓ Ü Ô Ñ ÒØ ØÖ Ý ÑÓ Ò Ø Ð ÜÓÙÑ ÔÒ Ø ÑÓÖ º ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ ÑÛ Ò ÓÐÓ Ò Ô Øô ÓÙÑ Ø Ø Ü Ö ÑÑôÒ ØÓÙ Ò Ñ Ø Ò Ø Ü Ø ÐôÒ ØÓÙº Å ÙØ Ø Ô Õ Ö Ñ Ø Ø Ð ÓÙÑ ØÓ Â ôö Ñ ½¼º½º ³ ØÛ Ò ÔÒ º Ì Ø Ø Ü Ø ÐôÒ ØÓÙ Ò Ñ Ø Ò Ø Ü Ö ÑÑôÒ ØÓÙº Ç Ö Ó ÙØ Ð Ø Ø Ü ØÓÙ ÔÒ ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ r(a) º Å Ð Ø Ø Ü Ò Ø Ò Ö Ñ Ò ô º Ø ØÖ ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ø Ü Ò ÔÒ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ø ÑÓ Ð Ô Ö Ö Ó º Ô Ø ÙÒ ô

46 ½¼º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø ËØÓ Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÕÓÙÑ ØÓ Ô Ö ØÛ Â ôö Ñ ½¼º¾º ³ ØÛ V W Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ñ Ø Ò Ô ÔÐ ÓÒ Ù¹ Ô Ø Ó V Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º ³ ØÛ Ô f : V W Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º Ì Ø ½º ËÕ Ó Ô Ü dimv = dimkerf + dimimf µ Ø ØÓ ÒØ Ó ô ÔÖ Ò Ø Ò Ô Ü º µ Ò Ó ÔÙÖ Ò Ò Ó {0} Ø Ø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ô ¹ Ò f : V Imf Ò ÓÑÓÖ Ñ º ÙØ ÔÓÙ Ò Ñ Ò Ø Ô Ö ÓÖ Ñ ØÓ Ô Ó Ø ÑôÒº µ Ò Ó ÔÙÖ Ò Ò ÓÖ Ø Ô ØÓ {0} Ø Ø Ô Ð ÓÙÑ Ñ ØÓÙ ØÛ {α 1, α 2,, α ν } µ À {α 1, α 2,, α ν } ØÓÙ ÔÙÖ Ò Ô Ø Ò Ø Ñ {α 1, α 2,, α ν, β 1, β 2,, β µ } ÐÓÙ ØÓÙ ÕôÖÓÙ µ  ÛÖÓ Ñ ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ V ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô Ø Ò Ñ Ø {β 1, β 2,, β µ } µ Ç Ô Ö ÓÖ Ñ Ø ÖÕ Ö ÑÑ Ô Ò f ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ Ð f B : B Imf Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ ÒÙ Ñ Ø ôò ÕôÖÛÒ Ø dimb = dimimf ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ Ñ Ñ ô º½ Þµ À Ø ØÓÙ Ò ÑÛ dimv dimkerf ØÓ ôö Ñ ÔÓ¹ Õ ¾º Ø ÔÖÓ Ø Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ø ÑÓ Ðº Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ º º¾ ËØÒ Ô Ü ÙØ Ô Ò Ð ÓÙÑ º Ø Ü Ò Ø Ð ô Ù Ö Ñ Ò Ø Ò Ô Ö Ö Ó Kernel, image and the rank-nullity theorem

47 ½¼º ³ À Ô Ö Ó Ø Ð Ñ Ô Ø Ô Ö ØÛ Ò Ð ØÖÓÒ Ø Ò ÀÐ ØÖÓÒ Ø Ü ØÓ Ö Ø ÖÓ Ø Ò ÌÖØ ¾½ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½¾ Ø Ñ ¹ ÒÙÕØ º ½º Ò Ø Ó ÔÒ A = Æ Ö Ø Ü ØÓÙ ¾º Æ Ð Ø Ó Ô Ø Ø Ô Ö Ö ÓÙ º Ô ØÓ ÐÓ ß Û Ø Ö ÑÑ Ð Ö Ø ÑÓ Ð

48 ½½ Å Ñ ½½ Ì Ø ÖØ ¾¾ Ç ØÛ ÖÓÙ ¾¼¼ ½½º½ Ö ÑÑ Ù Ø Ñ Ø Â ÛÖ Ø ØÓ Ô Ö ØÛ Ö ÑÑ Ø Ñ (Σ) ½º Ø ØÓ ÒØ Ó ô Ø Ò ÖÕ º ¾º Å Ð Ø Ø Ü Ò ØÓ Ñ Ñ ¾º½ α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ñ Ñ ÙØ ÕÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ A = º Ø Ô ØÓ ÒØ Ó ô α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν º ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ØÓ Ø Ñ Σ ÙÔ ÑÓÖ Ò Ô Ò ÛÒ Û Ü A x 1 x 2 x 3 x ν = Ø ÒØ Ò ÕÓÙÑ Ò Ð ÓÙÑ ØÓ Ö ÑÑ Ø Ñ ÕÓÙÑ Ø Ò Ü Û ÙØ Ñ ÔÒ º  ÛÖÓ Ñ ØôÖ Ø Ò Ô Ò β 1 β 2 β 3 β µ θ : F ν 1 F µ 1

49 ÓÔÓ ÓÖÞ Ø Û Ü θ x 1 x 2 x 3 x ν = A º À Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ò Ò Ö ÑÑ ÔÓ ÜØ ØÓ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ö ÑÑ Ô Ò µ º À Ô Ò Õ Û ÔÙÖ Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ F ν 1 ØÓÒ Kerθ Û Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ F µ 1 x 1 x 2 x 3 x ν º  ôö Ñ ½½º½º ÌÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò Ñ Ò Ò β 1 β 2 Ñ ÒÓ Ò β 3 Imθ β µ Ô Ü ³ Ñ Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ½¼º  ÛÖÓ Ñ ØôÖ ØÓ Ô Ö ØÛ ÓÑÓ Ò Ö ÑÑ Ø Ñ (OΣ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = 0 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = 0 ³ÇÔÛ ÕÓÙÑ Ü Ò Ô ØÓ Ø Ñ ÙØ Ð Ø ÒØ ØÓ ÕÓ ÓÑÓ Ò ØÓÙ Ö¹ Õ Ó Ù Ø Ñ ØÓ ½½º ÌÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÑÓ ÒÓ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ Ò Ó ÔÙÖ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò Ö Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ F ν 1 º ½¾º Ò Çĵ ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ ÓÑÓ ÒÓ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ø Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ö Ó ôö Ñ ØÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÓÙ Ñ Ñ ØÓ Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ÕÓÙÑ ½ º dim(oλ) = dimf ν 1 dimimθ = ν rank(a) È Ö Ñ ½½º¾º Ò Ö Ñ Òô ØÛÒ rank(a) Ø Ø ØÓ ÓÑÓ Ò Ö Ñ¹ Ñ Ø Ñ Õ Ö ô Ñ Ð Ø Ò (0, 0, 0,, 0)

50 ½½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø Â Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ô Ö ØÛ Ü Ò Ò Ö ÑÑ Ø Ñ ÔÛ ØÓ ½½º½º ½º Ë ÒÓÐÓ Ð ÛÒ ØÓÙ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ Ëµ Ò ØÓ ÒÓÐÓ Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) F ν α i1 ξ 1 + α i2 ξ 2 + α iν ξ ν = β i, i {1, 2,, µ}} ¾º Å Ð ÕÓ ØÛÒ Ô Ø ÛÒ ÕÓÙÑ Ø Ò ØÓ Ëµ Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò β 1 = β 2 = = β µ = 0 ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ò ÙÔ ÕÛÖÓº ËØÓ Ó ÙÑÔ Ö Ñ Ó Ó Ñ Ø Ò Ó Ñ Ø Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ø ØÓ Ä Ò Ó ÔÙÖ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò ØÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÓÙ Ñ ¹ Ñ ØÓ º ³ ØÛ Ø ØÓ Ö ÑÑ Ø Ñ Ò Ò ÓÑÓ Ò º Ì Ø ØÓ ÒÓÐÓ Ð ÛÒ Ä Ò Ô Ö Õ ØÓ ¼ ¼ ¼ ººººº ¼µ Ö ØÓ Ä Ò Ò ÙÔ ÕÛÖÓ Ø ÙÔ ÕÛÖÓ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ô Ö Õ ØÓ Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ººººº ¼µ ØÓ Õ Ó ØÓÙ ÕôÖÓÙº º Ç ÔÒ A = Ð Ø ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν º Ç ÔÒ Γ = α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ Ð Ø Ô ÙÜ Ñ ÒÓ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÐ Ô ÙÜ Ñ ¹ ÒÓ ÔÒ º ÅÔÓÖÓ Ñ ØÓ Ø Ñ Ëµ ½½º½ Ò ØÓ Ö ÝÓÙÑ Ó Ò Ñ Û Ü α 11 α 12 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 2ν β 2 x 1 α 31 + x 2 α x ν α 3ν = β 3 α µ1 α µ2 α µ1 β µ ½µ ¼