imagine virtuală plan imagine

Transcript

1 Ô ØÓÐÙÐ ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö

2 ¾ ÈÁÌÇÄÍÄ ½º ÅÇ ÍÄÍÄ ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á

3 ÙÔÖ Ò ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º¾ ÈÖÓ ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ Ë Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø º º º º º º º º ½½ ½º¾º È Ö Ñ ØÖ ÓÑ ØÖ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º½ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Ñ ØÓ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º¾ Ç ÓÖ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö Ö Ñ Ö º º º ½º º Ð Ö Ö Ñ Ö ÐÙÒ Ò ÐÙÐ ØÓÖ ÙÒ Ð Ö Ð ½º º Ü ÑÔÐÙ ÔÖ Ø Ñ ØÓ Ð Ö Ö º º º º º º º º ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö ÅÓ ÙÐ ÓÖÑ Ö Ð ÙÒ Ñ Ò ÓÔØ ÒØÖ¹ÙÒ ÔÓÞ Ø Ú Ô Ô¹ Ø Ö Ò ÓÖÑ ñ Ú ÞÙ Ð Ò Ö Ö Ñ ØØ Ð ÔÓÞ Ø Ú Ð ÖØ Ð Ð ØÖÓÒ Ñ Ò Ú µ Ø Ð Ð ÓÐÓ Ó ÙÐ ÙÑ Òµ Ø Þ Ø Ô ÔØ Ö Ó Ð Þ Ö Ö Þ ÐÓÖ ÐÙÑ Ò º Ø Ð Ñ Ò ÓÔØ Ô Ö ÔÙØ ÒÙ Ø ÐØ Ú Ø Ó ÔÖÓ ñ ÐÙÑ ÒÓÒ ÙÖ ØÓ Ö Ò Ò Ø Ô ñ Ð Ô ØÖ Ð Ô Ó ÙÔÖ ñ Ð Ñ Ø Ø º ËÙÔÖ ñ ÔÖÓ ñ ÔÓ Ø ¹ Ö Ð ÔÓÞ Ø Ú Ð ÔÓÞ Ø Úº Ü ÑÔÐÙ Ó Ñ Ö ÓØÓ Ú ÔÖÓ Ø ÐÙÑ Ò Ô Ö ÙÒ Ø Ø Ô ñ Ð ÙÒÙ ÔÐ Ò ÓÖÑÒ ÒÙÑ Ñ Ô Ü Ð Ù Ô ØÙÖ Ð Ñ ÒØ µ Ö Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ñ ÔÖÓ Ô Ó ÓÖÑ Ö Ñ Ö Ð ÓØÓ Ô ÒÓÖ Ñ ÓÐÓ Ó ÙÔÖ ñ ÔÖÓ ñ Ð Ò Ö Ñ Ô ÖØ º ËÓÔÙÐ ØÙ Ô ØÓÐ Ø Ð Ù Ò Ùñ ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ø ÑÓ Ð Ö ÓÑ ØÖ ÑÓ ÙÐÙ ÓÖÑ Ö Ð ÙÒ Ñ Ò º Ò Ø Ò ÚÓÑ ÔÓÖÒ ÜÔÙÒ Ö Ð ÙÒ ÑÓ Ð ÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ð Ð Ô Ò ÓÐ

4 ÍÈÊÁÆË Ñ Ö ÑÓ Ð Ö Ø Ð Þ ÚÓÐÙñ ØÙØÙÖÓÖ ÔÓÞ Ø Ú ÐÓÖ ÔØ Ö ØÙ Ð º ÁÒ ÓÖÑ ñ Ð ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø Ô ØÓÐ ÙÖÑ Ö ÑÓ ÙÐ ÜÔÙÒ Ö Ð ØÓÖ Ò ½ º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú ÍÒ ÑÓ Ð ÑÔÐÙ Ð ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ó Ö ØÓØÙ Ó Ö Ú ÒØ Ò Ô Ö Ô Ø Ú ÑÓ ÐÙÐÙ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ð Ð Ô Ò ÓÐ Ñ Ö º Ò Ù ÔÓØ Þ ÐÓÖ Ö ØÖÒ Ø ÑÓ Ð ÓÚ Ø Ó ÔÖÓÜ Ñ Ö ÔØ Ð Ò ÑÙÐØ ÒØÖ ÔÐ ñ Ð Ô º ÅÓ ÐÙÐ ÔÓ Ø Ö Ø Ð ÚÒ Ð ÔÓÞ ñ Ó ÙØ Ò ÓÐÓ Ñ ÙÒ Ô ÒØÖÙ Ô Ö ÓÖ ÙÒ ÓÖ Ù Ñ Ò ÒØÖÙÐ ÙÒ ÒØÖ ÙÔÖ ñ Ð Ø Ö Ô ÙÔÖ ñ ÓÔÙ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÞ ñ ÓÒ Ñ Ó ÔÐ ØÖ Ò ÐÙ ½ º ÒØÖ¹Ó Ñ Ö ÒØÙÒ Ø ÔÓÞ ñ ÓÒ Ñ Ò ñ ÓÖ ÙÐÙ ÙØ Ó ÙÖ ÐÙÑ Ò ÚÓÑ Ó ÖÚ ÔØÙÐ Ô ÔÐ ØÖ Ò ÐÙ Ú ÔÖÓ Ø Ó Ñ Ò Ö ØÙÖÒ Ø º ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½ ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ð ÔÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º imagine virtuală plan imagine ÙÖ ½º½ ÅÓ ÐÙÐ Ô Ò ÓÐ Ñ Ö ÙÖ Ñ Ò Ï Ô µº ÓÖ ÙÐ Ø Ö Ù Ð ÙÒ ÔÙÒØ Þ ÔÓØ Ø µ ØÙÒ Ö ÔÙÒØ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ú Ò Ö Ø Ó Ò ÙÖ Ö Þ ÐÙÑ Ò º ÙÑ ÓÖ ÙÐ Ö Ò Ö Ð Ø Ø Ó Ñ Ò ÙÒ Ò Ø Ö ØÓØÙ Ó ÖØ Ö Ù Ö ÔÙÒØ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ø Ó ñ ÒÙØ ÔÖ Ò ÔÖÓ ñ ÙÒÙ ÓÒ Ö Þ º Å ½ ØÖ Ò ÐÙ Ö Ö Ð ÙÒ Ñ Ø Ö Ð Ô Öñ Ð ØÖ Ò Ô Ö ÒØ ÔÓ Ø ØÖ ØÙØ ÙÒ ÙÐ ÐÙÑ Ò Ô Ö Ð ÑÔÖ Ø Ô Öñ Ð Ø Ð ÒØ ÔÖ Ú Ò ÓÖÔÙÐ Ù Ñ ÙÐ Ö ¹ Ô Ø Ú ÒÙ ÔÓØ Ø Ò ÓÒØÙÖÙÖ Ð Ù Ø Ð Ð Ó Ø ÐÓÖ Ø Ô ÖØ ÓÔÙ Ò ñ Ø ÓÒ ÖÙÐ ÜÔÐ Ø Ú Ð Ä Ñ ÊÓÑÒ µº

5 ½º½º ÁÆÌÊÇ Í Ê ÅÇ Ä ÇÅ ÌÊÁ Ä Å Ê Á ÑÙÐØ Ñ Ò Ö Ø Ø Ö ØÙÖ ÒØ Ø Ð ÙÒ ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ò Ð ÓÒ Ö Ø Ó Ñ Ò Ú ÖØÙ Ð Ø Ó Ø ÙÒÙ ÔÐ Ò Ò ñ ÓÖ ÙÐÙ Ð Ó Ø Òñ Ð Ù ñ ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ö Ðº ÁÑ Ò Ú ÖØÙ Ð Ø Ø Ð Ú Ð ÒØ Ñ Ò Ö Ð Ú Þ ÙÖ ½º½µº obiect B obiect A O obiect A obiect B d d d plan imagine linia B linia A linia C O linia A linia B plan imagine ÙÖ ½º¾ Ü ÑÔÐ Ö ñ ÓÔØ Ô ÔÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú ØÓÖ Ø ÔÓØ Þ ÐÓÖ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ù Ð Ó Ö Ö ñ ÓÔØ º ÍÒ ÒØÖ Ð Ñ ÑÒ Ø Ú ÒØÖ Ø Ø ÔØÙÐ Ñ Ò ÙÒ Ô Ö ÒØ Ó Ø ÐÓÖ Ô Ò Ø Òñ º Ü ÑÔÐÙ Ò ÙÖ ½º¾ Ñ Ò Ù µ Ó ÖÚ ÔØÙÐ ÓÙ Ó Ø Ñ Ò ÙÒ Ö Ø Ó ØÙÐ Ø ÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÓÙ ÓÖ Ñ Ñ Ö Ø Ó ØÙÐ µ Ö Ø Ð Ø Òñ Ö Ø ÙÒØ ÔÖÓ Ø Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ð Ñ Ò ÙÒ Ñ Ð Ö º ÐØ Ø Ò ÓÖ Ø Ø Ð Ð Ò Ð Ô Ö Ð Ð ÔÖÓ Ø Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ô Ö ÒØ Ö Ø Þ Ú Þ Ñ Ò Ó

6 ÍÈÊÁÆË Ò ÙÖ ½º¾µº Ñ Ò Ð Ò Ø ÒØÖ¹ÙÒ ÔÐ Ò Ô Ö Ð Ð Ù ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ØÖ ÔÖ Ò O ÒÙ ÔÓ Ø Ú ÔÖÓ ñ º È ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò Ù ñ Ð Ö Ð Þ Þ ÓÖ ÔÓÒ Òñ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ ¹ Ø Ð ÔÙÒØ ÐÓÖ Þ Ð Ò Ú ÐÙÐ Ó Ø ÐÓÖ Ò Ò ÔÖÓ Ø Ð ØÓÖ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ú ÐÙ Ò ÓÒ Ö Ö Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ò Ø ¹ Ñ Ö º (O,,, ) Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ø Ø ÓÖ ÙÐÙ O ÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ö ÓÖ Þ ¾ Ö Π Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ð Ø Ð ÒØ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ô Ü Ò Ø Ð Ó Ø Òñ f Oº ÒÓØ Ø ÔØÙÐ ÔÐ ÒÙÐ Π ÔÓ ÖØ Ò Ò Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ø Ò Ö Ð Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ô Π ØÖ ÔÖ Ò ÓÖ ÙÐO ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ö Ü ÓÔØ º ÈÙÒØÙÐ A Ò Ö Ø ÒØ Ö Ø Þ ÔÐ ÒÙÐ Π ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ð ÒØÖÙÐ Ñ Ò º Ø Ó ÙÒ ÖÓÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÔÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö ÔÙØÒ Ð Ö ÔØ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ò º ÆÓØ ñ Ð Ñ Ù ÙÒØ ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º j P(,y,z) A k O P (,y,z ) ii f plan imagine ÙÖ ½º ÅÓ ÐÙÐ ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º ÒÓØ Ñ Ù P ÙÒ ÔÙÒØ Ò Ò Ö Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø (,y,z) P ÔÖÓ ñ ØÙ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Π ÓÓÖ ÓÒ Ø (,y,z ) ØÓÖ Ø ÓÐ Ò Ö Ø ñ ÔÙÒØ ÐÓÖ P O P ÔÙØ Ñ Ù ÔØÙÐ OP = λ OP ÙÒ λ Ø Ó ÓÒ Ø ÒØ Ó Ö Ö º Ø Ð ÔÙØ Ñ Ù Ñ Ô ÖØ Ö Ð ñ ÒØÖ ÔÖÓ ñ Ð Ô Ö Ü Ò = λ y = λ y Ö Ô Ø Ú ¾ Ú ØÓÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÙ Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ö ÙÐ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ó¹ Ò Ø Ü ÑÔÐÙ Ø ÑÙÐ ÖØ Þ Òº Ô Ô ÖÙÖ ÙÐ ÒØÖ ÐÙÖ Ö Ò ÞÙÐ Ò Ö ÒÙ Ø Ô Ø ÜÔÐ Ø ÔÖ Ò ÒØ ÖÑ ÙÐ ÙÒ ñ Ü ÑÔÐÙ vectorµ Ú ØÓÖ ÚÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ ñ Ù Ð Ø Ö Ò ÖÓ Ø Ü ÑÔÐÙ µº

7 ½º½º ÁÆÌÊÇ Í Ê ÅÇ Ä ÇÅ ÌÊÁ Ä Å Ê Á z = λ zº Ù ÐØ ÙÚ ÒØ Ö ÔÓÖØÙÖ Ð ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø ÒØ λ = = y y = z z ½º½µ Ù Ò ÔØÙÐ z = f Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö Ð Ö Ð ñ Ô ÒØÖÙ y = f z, y = f y z ½º¾µ Ø Ù ñ ÓÒ Ø ØÙ ÔÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ò Ö Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò º ½º½º¾ ÈÖÓ ñ Ò Ç ÐØ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ó ÓÒ Ø ØÙ ÑÓ Ð Ð ÔÖÓ ñ Ò º È ÒØÖÙ Ø Ô ÐÒ ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Π ÚÓÑ ÓÒ Ö ÙÒ Ð Ó Ð ÔÐ ÒΠ 0 Ô Ö Ð Ð Ù Π Ö Ò ñ ÒØÖÙÐÙ O Ð Ø Òñ z 0 ÙÒ ÒÙÑ Ö ÔÓÞ Ø Úµº ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º -z 0 Q j P A k O A P f ii Q plan imagine plan paralel 0 ÙÖ ½º ÅÓ ÐÙÐ ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓ ñ Ò º Ø Ð Ö ÐÙ Ñ Ù ñ ½º¾ ØÙÒ Ø Ú Ò = f z 0, y = f y z 0 ½º µ ÙÒ Ñ ÒÙ ÙÐ ÔÖÓÚ Ò Ð ÔØÙÐ ÔÐ ÒÙÐ Π 0 Ò ñ ÓÖ Ò Ø ¹ ÑÙÐÙ Ö Ö Òñ Ø Ø ÓÖ ÙÐÙ O Ô Ü Ò Ø Ú º ÆÓØÒ Ù m = f z 0

8 ÍÈÊÁÆË ØÓÖÙÐ ÑÔÐ Ö Ð Ø ÑÙÐÙ Ó Ú ÐÓ Ö ÔÓÞ Ø Ú µ ØÙÒ ÔÙØ Ñ Ö ¹ Ö = m, y = m y ½º µ Ø Ô Ö Ñ ØÖÙ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ô ÒØÖÙ Ö Ð Þ ÓÖ ÔÓÒ Òñ ÒØÖ Ñ Ò¹ ÙÒ Ð Ö Ð Ð Ó Ø ÐÓÖ Ò Ò Ñ Ò ÙÒ Ó Ø ÐÓÖ Ó ñ ÒÙØ Ò ÔÖÓ ñ ØÓÖ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò º Ø ÐÙÖÙ Ö Ò ÙÖÑ ØÓÖÙÐ ÜÔ ¹ Ö Ñ Òغ Ô ÐÒ ÔÙÒØ Ð P P ÓÒ Ö Ñ ÔÙÒØÙÐ Q Ò ÔÐ ÒÙÐ Π 0 Ñ Ò ØÙ Q Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Π Ú ØÓÖ PQ Ö Ô Ø Ú P Q Ò Ô Ö Ð Ð ÔÓ Ø Ù ÔØÙÐ P Q = m PQ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖÙÐ. ÑÒ Þ ÒÓÖÑ ÙÒÙ Ú ØÓÖº Ù ÐØ ÙÚ ÒØ Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØÙÐÙ PQ Ø ÑÔÐ Ø Ò ÑÓ ÙÐ Ù m Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò º Ô Ö Ñ ØÖÙÐ m Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÙÒ Ú Ñ ¹ Ù ÙÒ ÑÓ Ð Ô Ö Ô Ø Ú Ð Û Ô Ö Ô Ø Ú µ ØÙ ñ ÓÖ ÔÙÒ Ò Ö Ð Ø Ø ÞÙÐÙ Ò Ö Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÓÑÔ Ö ñ Ù Ø Òñ ñ Ñ Ö º ÔÖ Ò ÒÓÖÑ Ð Þ Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ Ñ Ò Ó ñ Ò Ñ m = 1 ØÙÒ ÑÓ ÐÙÐ Ó ñ ÒÙØ ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ð ÔÖÓ ñ ÓÖØÓ Ö Ò Ø Þ = y = yº Ø ÐÙÖÙ ÑÒ ÔØÙÐ ØÓ Ø Ö Þ Ð ÐÙÑ Ò ÔÖÓ Ø Þ ÔÙÒØ Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Π 0 Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Π ÙÒØ Ô Ö Ð Ð Ù Ü Ú Ö ÓÖÙÐÙ º ÁÑ Ò Ó ñ ÒÙØ Ô ØÖ Þ Ñ Ò ÙÒ Ð Ó Ø ÐÓÖ Ò ñ Ð º Ú ÒØ Ø ÑÓ Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ö ØÓØÙ Ø ÔÐ ñ Ò ÒÙÑ Ø ØÙ ñ º ½º¾ È Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò È ÒØÖÙ ÔÙØ Ò Ð Þ Ñ Ò ÑÙÐ ÔÖÓ ñ Ð ÙÖ ÐÓÖ ÓÑ ØÖ Ò Ò Ö Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ø Ò ÚÓ Ò Ö ÙÒÙ ÒÙÑ Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø º Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ ÒØÖÓ Ù Ó Ö ÒÓñ ÙÒ ÓÑ ¹ ØÖ ÙÐ Ò Ò Ð Ø ÙÒØ Ò Ö Ô ÒØÖÙ ÔÙØ Ö ÔÖÓ ÙÐ ÑÓ Ð Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ÐÓÖ ½ º ½º¾º½ Ë Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÔÙÒ Ñ ÙÒ ÒÙÑ Ø ÔÙÒØ O Ò Ô ñ Ù ÓÒ Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ø ÙÒØ Ö Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÒÙÐ Ô Ð Ð ÐØ ØÙÒ ÔÙØ Ñ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø (F) Ò Ú ÖÙÔÐÙÐ (O,,, )º Ò Ø Þ Ø Ú ÒØ ÔØÙÐ ÔÙÒØÙÐ O Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ Ö Ú ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú ØÓÖ Þ Ù Ú Ö ÓÖ Ú Þ Ë ñ ÙÒ ½º½º½µº È ÒØÖÙ Ò Ö Ø Ñ ÐÓÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÚÓÑ ÓÐÓ ÔÖ Ò Ô ÙÐ Ñ Ò Ö ÔØ Ø Ð Ú ØÓÖ ÚÓÖ ÓÒ Ö ñ Ø ñ Ø ÐÓÖ

9 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á Ñ Ò Ö ÔØ Ò ÔÓ Ø Þ Ò Ö ØÙÐ Ñ Ö Ò Ò Ù ØÙÐ Ö Ø ØÓÖ Ö Ø Ò ñ Ö ØÙÐ Ò Ñ ÐÓ Ò Ò ØÒ º ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º Ø ÓÒÚ Òñ ÓÒ Ù Ð ÙÖÑ ØÓ Ö Ð ÒØ Ø ñ =, =, = ½º µ ÙÒ ÒÓØ ÔÖÓ Ù ÙÐ Ú ØÓÖ Ðº P(,y,z) ii j y O k z ÙÖ ½º ÈÖ Ò Ô ÙÐ Ñ Ò Ö ÔØ Ò Ò Ö Ø Ñ ÐÓÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø º Ø Ò Ø ÙØ ÔØÙÐ ÙÒ ÔÙÒØ Ö ØÖ Ö P Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÔÖ Ò ÔÖÓ ñ Ð Ú ØÓÖÙÐÙ OP Ô Ð ØÖ Ü ÒÓØ Ø Ö ÙÐ Ù y zº Ø ÙÒØ Ò Ø Ø Ð = OP, y = OP, = OP ½º µ ÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ø ÔÖÓ Ù ÙÐ Ð Öº Ø Ù ñ ÓÒ Ù Ð Ö Ö Ú ØÓÖÙÐÙ OP ÙÑ ÔÖÓ ñ Ø Ð OP = +y +z ½º µ ËÙ ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÔÓ Ø ÔÙÒ ÔÙÒØÙÐ P Ø Ò Ø Ò Ø ÑÙÐ (F) Ú ØÓÖÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø È = y R 3 ½º µ z ÓÐÓ Ò Ð Ö ñ ÓÒ Ñ ÒØ ÔÓØ Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÖ ÖÙ Ú ØÓÖ Ð Ö Ò Ò ÙÒñ ÐÙÒ Ñ ÔÖÓ ñ ÐÓÖ ØÙ Ô Ð ØÖ Ü º

10 ½¼ ÍÈÊÁÆË Å Ô ÖØ ÚÖ Ñ Ú Ñ ÙÑ Ò Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (F)º È ÒØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ñ ÙÖÑ ØÓÖÙÐ Ò Ö Ù ÙÒ ÔÐ Ò Π ÙÒ ÔÙÒØ O Ò Ö ÔÐ ÒÙÐÙ ÙÒ ÔÙÒØ Ö ØÖ Ö P ÓÒñ ÒÙØ Ø ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ø Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ô Π Ú Þ ÙÖ ½º µº Î ØÓÖÙÐ OH Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ô Π ÓÐ Ò Ö Ù Òº Ø Ð ÔÙÒØ Ð P Ò ÔÐ ÒÙÐ Π ÚÓÖ Ö Ø Ö Þ Ø HP Ò = 0 Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö µº Ö Ú ØÓÖÙÐ HP ÔÓ Ø Ö Ö Òñ ÒØÖ OP OH ÓÒ Ù Ð OP Ò OH Ò = 0º ÐÙ Ñ Ö Ö Òñ Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (F) Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ò Ö y z Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ P Ö Ù a b c ÒÓØ Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ú ØÓÖÙÐÙ Ò ØÙÒ Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö Ù ñ a +b y +c z d = 0 ½º µ ÙÒ d = OP Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Òñ Ð ÓÖ Ò O Ð ÔÐ ÒÙÐ Π Ø Ò Ô Ò ÒØ Ð Ö ÐÙ P º n P H O plan ÙÖ ½º Ù ñ ÙÒÙ ÔÐ Ò ÒØÖ¹ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø º Å ØÖ Ð Ø ÐÙÖÙ ÔÓ Ø Ö ÙÒ ÔÖÓ Ù Ó Ú ØÓÖ [ a b c d ] y z = 0 1 ½º½¼µ Ù Ñ Ô ÙÖØ Π T È = 0 ½º½½µ

11 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ½½ ÙÒ Π = a b c d È = y z 1 Ö T Ö ÔÖ Þ ÒØ ØÖ Ò ÔÙ ÙÒ Ñ ØÖ º Ù ñ ½º½½ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ù ñ ÔÐ ÒÙÐÙ Π Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (F) ÙÒ (,y,z,1) Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ò Ð ÔÙÒØÙÐÙ P Ö Ñ Ð Ö (a,b,c, d) Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ò Ð ÔÐ ÒÙÐÙ Πº Ë Ó ÖÚ Ô¹ ØÙÐ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò ÑÔÐ Ù Ö ÙÒ Ô ØÖ Ú ÐÓÖ º Ú ÒØ ÙÐ Ø ÒÓØ ñ Ú ÐÙ ØÖ Ø ÓÒÖ Ø Ò ñ ÙÒ Ð ÙÖÑ ØÓ Ö º ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ò ÔÓØ ÓÐÓ Ø Ð Ö Ö ÙÒÓÖ ÙÖ ÓÑ ØÖ Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø ÙÒ ÑÔÐÙ ÔÙÒØ Ù ÔÐ Òº Ë ÐÙ Ñ Ü ÑÔÐÙÐ ÙÒ Ö S Ö Þ r ÒØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ º Ø Ò ÙÒÓ ÙØ ÔØÙÐ Ó ÓÒ ñ Ò Ö Ù ÒØ ÙÒ ÔÙÒØ P ÓÓÖ ÓÒ Ø y z Ô Öñ Ò ÐÙ S Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ Ù ñ 2 +y 2 +z 2 r 2 = 0º Ù ñ Ö Ø Ö Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò ÔÓ Ø Ö Ò [ y z 1 ] r 2 y z 1 = 0 ½º½¾µ Ò Ö Ð Þ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙÔÖ ñ Ô ØÖ Ø Ò Ø ÐÓÙÐ ÓÑ ØÖ Ð ÔÙÒØ ÐÓÖ P Ð ÖÓÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ø Ó Ù ñ Ø ÔÙÐ a 2 +b y 2 +c z 2 +2 f y z +2 g z +2 h y + +2 p +2 q y +2 r z +d = 0 ½º½ µ ÙÒ a b c f g h p q r d ÙÒØ Ð Ö ØÙÒ Ù ñ Ø Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑ Ò ÔÓ Ø Ö Ò ÙÒ È = y z 1 Ö Q = P T Q P a h g p h b f q g f c r p q r d ½º½ µ Ø Ó Ñ ØÖ Ò Ø ÙÔÖ ¹ ñ º Ë Ó ÖÚ ÔØÙÐ Ø Ø Ñ Ò ÙÒ 4 4 Ø Ñ ØÖ º ½º¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ ÔÖ ÙÔÙÒ Ü Ø Òñ Ñ ÑÙÐØÓÖ Ø Ñ Ö Ö Òñ º Ò Ø ÔÓØ Þ ÚÖ Ñ ØÙ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ö Ð ÙÒ Ø Ñ

12 ½¾ ÍÈÊÁÆË ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐØÙк È ÒØÖÙ Ø ÚÓÑ Ò ÙÖÑ ØÓ Ö ÓÒÚ Òñ ÒÓØ ñ (F) ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ò Ø Ú ÖÙÔÐÙÐ (O,,, ) O Ø ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ Ö ÙÒØ Ú Ö ÓÖ Þ µ P ÙÒ ÔÙÒØ Ò Ô ñ Ùº ÈÖ Ò ÒÓØ ñ F P Ú Òñ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (F) Ó ÖÚ ÔØÙÐ Ø ÑÙÐ Ô Ö ÙÔ Ö Ö ÔØ Ò Ô ÖØ ØÒ µ ÒÙÑ F P = OP Ú Þ Ù ñ ½º ÙÒ y z Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ Ð Ô Ö ÒØÖ Ü µº Ë ÓÒ Ö Ñ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÙ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø (A) = (O A i A j A k A ) Ö Ô Ø Ú (B) = (O B i B j B k B ) ÔÙÒØÙÐ P Ò Ô ñ Ùº ÎÖ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ B P Ò Ø ÑÙÐ (A) ÒÙÑ Ò ÙÒñ A P º ÌÖ Ò Ð ñ º È ÒØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö ÔÓØ Þ ÑÔÐ Ø Ð ÓÙ Ø Ñ Ù Ü Ð Ô Ö Ð Ð ÒÙÑ i A = i B j A = j B k A = k B Ö O A O B º Ø ÓÒ ÙÖ ñ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ð ØÖ Ò Ð ñ ÔÙÖ º k A j A ii B k B O B j B ii A O A P ÙÖ ½º ÌÖ Ò Ð ñ Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø º Ò Ø Þ Ó ÖÚ ÔØÙÐ O B P = O A P + O B O A ½º½ µ Ñ Ô ÖØ ÓÐÓ Ò ÒÓØ ñ Ñ Ù Ó ñ Ò Ñ B P = A P + B O A ½º½ µ Ù ÐØ ÙÚ ÒØ P Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (B) Ö Ò ÙÑ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙ P Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø ÑÙÐ (A) ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÒØÖÙÐÙ O A Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø ÑÙÐ (B) Ö ÞÙÐØ Ø ÐØ Ð ÒØÙ Ø Úº

13 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ½ ÊÓØ ñ º Ö Ú Ò Ñ ÙÔÖ ÔÓØ Þ Ü Ô Ö Ð Ð Ø Ø ÓÒ Ö Ñ ÓÖ Ò Ð ÐÓÖ ÓÙ Ø Ñ Ò ÓÑÙÒ ÒÙÑ O A = O B = 0 ØÙÒ Ó ñ Ò Ñ Ó ÖÓØ ñ ÔÙÖ º Ø ØÙ ñ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º k k B A j A ii A O j B P ii B ÙÖ ½º ÊÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø º Ò Ø Þ Ù ñ ½º½ Ú Ò OP = B P = A P ÓÒ Ù Ð ÙÖÑ ØÓ Ö ÒØ Ø Ø B i B + B y j B + B z k B = A i A + A y j A + A z k A ½º½ µ ÙÒ B By B z Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ Ð ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (B) Ñ Ð Ö Ú Ñ ÔÖÓ ñ Ð Ò Ø ÑÙÐ (A)µº Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ù ñ Ó ñ ÒÙØ Ù ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð Ó ñ Ò Ñ [ ib j B k B ] B B y B z = [ i A j A k A ] A A y A z ½º½ µ ÒÑÙÐñ Ñ Ó Ô ÖØ ÐØ Ò ØÒ Ù Ú ØÓÖÙÐ [ ] T i B j B k B Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö Ù ñ B i B i A i B j A i B k A A B y = j B i A j B j A j B k A A y ½º½ µ B z k B i A k B j A k B k A A z Ù ÔÖ ÙÖØ Ø B P = B A R A P ½º¾¼µ ÙÒ B A R Ò Ø Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø (A) Ø Ð ÒØ ÙÔÖ ÔÙÒ Ô Ø Ø ÑÙÐ (B)º

14 ½ ÍÈÊÁÆË Ò ÑÓ ÙÐ Ò Ö Ð ÐÙ B AR ÔÓ Ø Ó Ú ÔØÙÐ Ö ÓÐÓ Ò ÓÖ ÔÙÒ ÔØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ú ØÓÖ ÐÓÖ i A j A Ö Ô Ø Ú k A Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (B) Ò Ø ÑÔ Ö Ð Ò ÓÖ ÔÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ú ØÓÖ ÐÓÖ i B j B Ö Ô Ø Ú k B Ò Ø ÑÙÐ (A)º Ø Ð ÔÙØ Ñ Ö Ö B A R = [ B i A B j A B k A ] = A i B T A j B T A k B T ½º¾½µ ÙÒ Ö Ñ Ô ÖØ ÔØÙÐ A B R =B A RT ÒÙÑ ÖÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ (B) Ø Ð ÒØ ÙÔÖ ÔÙÒ Ô Ø (A) Ø ØÖ Ò ÔÙ ÖÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ (A) Ô Ø (B)º Ñ Ò ÔÓ Ø Ú ÔØÙÐ B BR Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ØÖ ÒØ Ø Ø º ÒÓØ Ø Ø ÔØÙÐ ÙÒ Ø Ñ ØÖ ÖÓØ ñ ÑÔÖ ÙÒ Ù ÔÖÓ Ù ÙÐ Ñ ØÖ Ð ÓÖÑ Þ ÙÒ ÖÙÔ Ó Ö ÔÖÓ Ù ÙÐ ÓÙ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ø Ñ Ò Ó Ñ ØÖ ÖÓ¹ Ø ñ ÔÖÓ Ù ÙÐ ÓÙ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ø Ó Ø Ú Ø Ð (R R ) R = R (R R ) ÙÒ R R R ÙÒØ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ø I d Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖÙ Ó Ö R I d = I d R = R ÓÖ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ R Ñ Ø Ó ÒÚ Ö R 1 = R T Ø Ð ÒØ R R 1 = R 1 R = I d ÌÓØÙ ÖÙÔÙÐ ÓÖÑ Ø ÒÙ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÓÑÙØ Ø Ú Ø Ø Ø Ð Ò ¹ Ò Ö Ð R R R Rº Ë ÓÒ Ö Ñ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÙÒ Þ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÖÓØ ñ ÒÙÑ ÖÓØ ñ Ò ÙÖÙÐ ÙÒ Ò ÙÖ Ü º k A = k B = k ÔÙØ Ñ ÒÓØ Ù θ ÙÒ ÙÐ Ö ØÖ Ù ÔÐ Ø ÐÙ i A Ô ÒØÖÙ ÙÔÖ ÔÙÒ Ô Ø i B Ú ÓÒ Ö Ó ÖÓØ Ø Ò Ò ÒÚ Ö ÐÓÖ ÓÖÒ µº ØÓÖ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ñ Ü ÐÓÖ ÙÒ ÙÐ θ Ú ÒØ Ô ÒØÖÙ j A Ö Ô Ø Ú j B º Ö ñ ÒÙØ ÔØÙÐ Ú ØÓÖÙÐ k Ø Ø Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØØ Ô ÔÐ ÒÙÐ ÓÖÑ Ø i A j A Ø Ô ÔÐ ÒÙÐ ÓÖÑ Ø i B j B º ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º Å ØÖ ÖÓØ ñ Ò Ø Þ ÔÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÑÔÐÙ Ô Þ Ó ¹ ÖÚ ñ ÒØ Ö Ó Ö ÓÒ ÓÖÑ Ö Ö ÓÐÓ Ò Ñ ØÖ A B R Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ Ð Ú ØÓÖ ÐÓÖ i A j A k Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (B)º Ø Ð i A Ø Ò Ø ÔÖÓ ñ Ð [ c s 0 ] T ja [ s c 0 ] T Ö k [ ] T º Ë Ó ÖÚ Ò ÙÖ ½º ÔØÙÐ c = cos(θ) s = sin(θ) ÓÒ Ù

15 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ½ ji B ji A k c s c ii B ii A -s ÙÖ ½º ÊÓØ Ø Ü ÐÓÖ Ò ÔÐ Òº Ð Ñ ØÖ ÖÓØ ñ B A R = cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) ½º¾¾µ ÓÒ ÖÒ [ Ú ØÓÖÙÐ k Ò] Ö ñ Ü ÓÔØ Ñ Ö Ú Þ ÙÖ ½º µ cos(θ) sin(θ) Ñ ØÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔØ ÖÓØ ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ Ñ ¹ sin(θ) cos(θ) Ò Ù ÙÒ ÙÒ θ Ò Ò ÙÐ ÒÚ Ö ÐÓÖ ÓÖÒ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö º Ê Ú Ò Ò Ð ÞÙÐ Ò Ö Ð Ò ñ Ð Ð ÐÓÖ ÓÙ ¹ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø (A) (B) ÓÖ Ò O A O B Ð ÖÓÖ Ü ÓÓÖ ÓÒ Ø ÒÙ ÙÒØ Ò Ô Ö Ø Ô Ö Ð Ð i A i B j A j B k A k B µ ÔÙÒÒ Ð ÓÐ ÐØ Ù ñ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ñ Ò Ñ ÒÙÑ Ø Ù ñ Ò Ö Ð ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÒÙÑ B P = B A R A P + B O A ½º¾ µ Ù ÐØ ÙÚ ÒØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ Ó¹ ÓÖ ÓÒ Ø (B) Ò ÙÒñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò Ø ÑÙÐ (A) Ò ÑÓ ÙÐ

16 ½ ÍÈÊÁÆË ÙÖÑ ØÓÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (B) ÙÒØ Ó ñ ÒÙØ ÔÖ Ò ÖÓØ ñ ÓÓÖ¹ ÓÒ Ø ÐÓÖ Ò (A) Ô Þ ÙÒ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ B AR Ö ÔÖ Þ ÒØ ÖÓØ ñ Ü ÐÓÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ø ÑÙÐÙ (A) Ø Ð ÒØ Ú Ò Ô Ö Ð Ð Ù Ð Ð Ø ÑÙÐÙ (B) Ð Ö Ù Ó ØÖ Ò Ð ñ ÓÖ ÔÙÒ ØÖ Ò Ð Ø Ö ÓÖ Ò O A Ò ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ (B)º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ö Ð Ø ÔÖ Þ Ò¹ Ø Ø Ò ÙÖ ½º½¼º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö ÒÙÑ Ø Ö Ó Ö ÒÙ ÓÖÑ Þ Ø Òñ Ð ÒØÖ ÔÙÒØ Ø Ð Ø Òñ ÙÐ Ò ÓÙ ÔÙÒØ Ò Ô ¹ ñ Ù ÐÙÐ Ø Ò Ø ÑÙÐ (A) Ø Ð Ø Òñ ÒØÖ Ø Ó ñ ÒÙØ Ò Ø ÑÙÐ (B)º Ñ Ò Ø Ô ØÖ Þ ÙÒ ÙÖ Ð ÒØÖ Ö ÔØ º ii B k A j A O B k B ii A O A P j B ÙÖ ½º½¼ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ö Ð Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø º Ò Ð Ñ ÑÙÐØ ÞÙÖ Ò Ô Ð Ò ÔÓÞ Ø Ú Ð ÔÖ ÐÙÖ Ö Ø Ð Ñ Ò ÐÓÖ Ø ÑÙÐØ Ñ Ú ÒØ Ó Ø Ù ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ù ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð Ñ Ò Ð ÙÒØ ÑÓ Ð Ø Ñ ØÖ Ðµº Ø Ð Ù ñ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ñ ØÖ Ð Ô Þ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÓÑÓ¹ Ò Ú Þ Ù ñ ½º½½µº È ÒØÖÙ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò Ò ÚÓÑ ÓÐÓ Ó ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÔÖÓ Ù ÙÐÙ Ñ ØÖ Ð Ö Ô ÖÑ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ØÙ Ô Þ ÔÖÓ Ù ÐÓÖ Ð Ò Ú Ð ÐÓÙÖ º Ø Ð Ú Ñ ÓÙ Ñ ØÖ A B Ñ Ò ÙÒ m n Ö Ô Ø Ú n p Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ù ÓÖÑ ÙÒÓÖ ÐÓÙÖ Ú ÐÓÖ ÙÔ ÙÑ ÙÖÑ Þ [ A1,1 A A = 1,2 A 2,1 A 2,2 ] [ B1,1 B, B = 1,2 B 2,1 B 2,2 ] ½º¾ µ ÙÒ A i,j B k,l Ù i,j,k,l {1,2} Ö ÔÖ Þ ÒØ Ù ¹Ñ ØÖ Ñ Ò ÙÒ m i n j Ö Ô Ø Ú n k p l Ù ÐØ ÙÚ ÒØ ÒÙÑ ÖÙÐ ÓÐÓ Ò Ð Ù ¹ Ñ ØÖ ÐÓÖ A 1,1 A 2,1 Ø Ð Ù ÒÙÑ ÖÙÐ Ð Ò Ð Ù ¹Ñ ØÖ ÐÓÖ B 1,1 B 1,2 Ñ Ð Ö Ô ÒØÖÙ ÓÐÓ Ò Ð ÐÙ A 1,2 A 2,2 Ù Ð Ò Ð ÐÙ B 2,1 B 2,2 µ ØÙÒ

17 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ½ ÔÖÓ Ù ÙÐ Ñ ØÖ Ð Ð ÐÙ A Ù B ÔÓ Ø Ö [ A1,1 B A B = 1,1 +A 1,2 B 2,1 A 1,1 B 1,2 +A 1,2 B 2,2 A 2,1 B 1,1 +A 2,2 B 2,1 A 2,1 B 1,2 +A 2,2 B 2,2 ] ½º¾ µ ÙÑ ÔÖÓ Ù Ð ÐÓÙÖ ÐÓÖº Ë ÔÓ Ø Ó ÖÚ A B Ø Ó Ñ ØÖ Ñ Ò ÙÒ m p ÙÒ m = i m i p = l p lº Ë ÓÒ Ö Ñ Ü ÑÔÐÙÐ ÙÖÑ ØÓÖ A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3, B = b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2 b 3,1 b 3,2 Ø Ú ÒØ A B ÔÓ Ø Ö Ò a 1,1 b 1,1 +a 1,2 b 2,1 +a 1,3 b 3,1 a 1,1 b 1,2 +a 1,2 b 2,2 +a 1,3 b 3,2 A B = a 2,1 b 1,1 +a 2,2 b 2,1 +a 2,3 b 3,1 a 2,1 b 1,2 +a 2,2 b 2,2 +a 2,3 b 3,2 a 3,1 b 1,1 +a 3,2 b 2,1 +a 3,3 b 3,1 a 3,1 b 1,2 +a 3,2 b 2,2 +a 3,3 b 3,2 Ñ Ô ÖØ ÔÖÓ Ù Ð ÔÓØ ÖÙÔ Ø Ô ÐÓÙÖ Ø Ð [ ] b a1,1 a 1,2 a 1,1 [ ] 1,3 b a 2,1 a 2,2 a 2,1 a1,1 a 1,2 a 1,3 2,3 a A B = b 2,1 a 2,2 a 2,3 3,1 [ b 1,1 a3,1 a 3,2 a 3,3 ] b 2,1 [ a 3,1 a 3,2 a 3,3 ] b 3,1 b 1,2 b 2,2 b 3,2 b 1,2 b 2,2 b 3,2 Ù ÐØ ÙÚ ÒØ Ù ¹Ñ ØÖ Ð ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÙÖÑ ØÓ Ö Ð a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 A B = a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 ÓÐÓ Ò Ù¹Ò Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÔÙØ Ñ Ö Ö Ù ñ ½º¾ Ù ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð [ B ] [ P BA ] [ R = B O A ] A P 1 0 T ½º¾ µ 1 1 ÙÒ B P Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (B) ÒÙÑ Ú ¹ ØÓÖÙÐ [ B B y B z ] T Ñ Ò ÙÒ 3 1µ 1 Ø Ð Ö Ñ Ò ÙÒ 1 1µ B A R Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ (A) Ø Ð ÒØ Ú Ò Ô Ö Ð Ð Ù Ø ÑÙÐ (B) Ñ Ò ÙÒ 3 3µ 0 T = [ ] T Ñ Ò ÙÒ 3 1µ BO A Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÒØÖÙÐÙ O A Ò Ø ÑÙÐ(B) ÒÙÑ [ t t y t z ] T

18 ½ ÍÈÊÁÆË Ù Ò ØÖ Ò Ð ñ Ñ Ò ÙÒ 3 1µ Ö A P Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒ¹ ØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (A) [ A A y A z ] T Ñ Ò ÙÒ 3 1µº Ë Ó ÖÚ ÔØÙÐ Ñ ØÖ Ð ÓÐÓ Ø ÙÒØ ÔØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ò ÓÓÖ Ó¹ Ò Ø ÓÑÓ Ò Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ Ö Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ú Ò Ó Ñ ØÖ 4 4 (3+1) (3+1)µº Ú ÒØ ÙÐ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ø Ñ Ø ÒÙÑ ÔØÙÐ ÓÖ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ö Ö ÔÓ Ø Ö Ö Ø ÔÖÓ Ù Ñ ØÖ Ð Ö Ò ÚÓ Ò ÙÑ Ö ÙÒÓÖ Ñ ØÖ ÙÑ Ö ÞÙÐ Ù ñ ½º¾ º Ø ÐÙÖÙ Ö Ú ÒØ Ò ÔÙÒØ Ú Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ö Û Ö º Ñ Ú ÞÙØ ÔØÙÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ô ÖÑ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ÓÓÖ¹ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÒØÖ¹ÙÒ Ø Ñ ÖØ Þ Ò Ò ÐØÙк Ø ÐÙÖÙ ÔÓ Ø Ú ÞÙØ ÒØÖ¹Ó ÐØ Ô Ö Ô Ø Ú º Ú Ñ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø (F) Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÔÓ Ø ÓÐÓ Ø Ô ÒØÖÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÙÒÙ ÔÙÒØ P Ö Ð Ø Ú Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐØÙ ÔÙÒØ P Ò ÖÙÐ ÐÙ Ø Ñ ÓÓÖ Ó¹ Ò Ø º Ø ÐÙÖÙ ÔÓ Ø Ö [ F P 1 ] = [ R t 0 T 1 ] [ F P 1 ] ½º¾ µ ÙÒ R Ø Ó Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ö Ú ØÓÖÙÐ t R 3 º ÒÐÓÙ Ñ Ñ ØÖ R Ù Ó Ñ ØÖ A Ö ØÖ Ö Ð Ñ Ò¹ ÙÒ Ù ñ ½º¾ Ô ØÖ Þ Ò ÙÐ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ Ö Ð Ø Ú Ð ÔÙÒØ Ö Ø Ö ÒÙ Ñ Ö ÒØ Þ ÓÒ ÖÚ Ö Ø Òñ ÐÓÖ ÒØÖ ¹ Ø Ò ÑÒ ÒÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö [ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ] ÒÙ Ø Ò Ô Ö Ø A t ÙÒ ÒØÖ¹ÙÒ Ø Ñ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ðº Å ØÖ 0 T ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ð ØÖ Ò ¹ 1 ÓÖÑ Ö Ò º Ú ÐÓÖ Ð Ø ÙÒØ Ð Ø Ð ÓÑÔÐ Ø Ö ØÖ Ö ØÙÒ ÔÙÒ Ñ Ú Ñ ¹ Ù Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÔÖÓ Ø Ú º ½º¾º È Ö Ñ ØÖ ÓÑ ØÖ Ñ Ö Ç ÖÚ Ñ Ò ñ ÙÒ Ð ÒØ Ö Ó Ö ÔØÙÐ Ù ñ ½º¾ Ö Ð Þ Þ Ð ØÙÖ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð (,y,z) Ð ÙÒÙ ÔÙÒØ P Ò Ò Ö Ð ÔÖÓ ñ ØÙ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ú Þ ÙÖ ½º µº Ò Ö Ð Ø Ø Ø Ù ñ Ø Ú Ð Ð Ó Ö Ø Òñ Ð ÙÒØ Ñ ÙÖ Ø Ò Ø ÑÙÐ Ö Ö Òñ Ð Ñ Ö Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ò Ó ñ ÒÙØ Ù ÓÖ Ò ÔÙÒØÙÐ Ò Ö Ü ÓÔØ ÒØ Ö Ø Þ ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ö Ø Ò Ñ Ö µ ÒÓØ Ø Ù A Ò ÙÖ ½º º Ò ÔÖ Ø Ð ØÙÖ ÒØÖ ÐÙÑ Ö Ð Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö Ø ÙÚ ÖÒ Ø Ñ ÑÙÐñ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÔÓÞ Ø Ú ÐÓÖ ÔÖ ÙÑ

19 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ½ Ø Òñ Ó Ð Ð ÒØ Ð ÐÓÖ Ñ Ò ÙÒ Ô Ü Ð ÐÓÖ ÔÓÞ ñ ÒØÖÙÐÙ Ñ Ò Ø ÔÓÞ ñ ÓÖ ÒØ Ö Ñ Ö º Ê Ð Ø Ú Ð ÔÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ÒØ ÓÙ Ø ÓÖ Ø Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ô ¹Ó Ô ÖØ ÙÒØ ÒÙÑ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò Ñ Ö ÒÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ð ØÙÖ ÒØÖ Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø Òñ ÙÒ Ø Ö Ø ÒØ Ô ÐØ Ô ÖØ Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØÖ Ò Ñ Ö Ð ØÙÖ ÒØÖ Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙÑ Ö Ð Ô Ò ÔÓÞ ñ ÓÖ ÒØ Ö ØÙ Ò Ô ñ Ùº Ò Ð ÙÖÑ Þ Ô ÒØÖÙ ÑÔÐ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ÚÓÑ Ò Ð ØÙÐ Ð Ò¹ Ø Ð ÐÓÖ ÓÔØ Ù Ö ÙÒØ Ô Ø Ö ÙÐ Ñ Ö Ð ÑÔÐ Ø Ö ñ Ð ÓÔØ ÙÒØ ÒØÖÓ Ù Ø ÙÖÑÒ ÙÐØ Ö ÓÖ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ò Ë ñ ÙÒ ½º º º È Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò Ñ Ö ÙÔ ÙÑ Ñ Ñ Òñ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ø ÔÓ Ð Ó Ñ ÔÐ ÒÙÐÙ Ñ Ò ÙÒ Ñ Ö ÙÒ ÔÐ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ô Ö Ð Ð Ù Ø Ö Ö Ð Ø Òñ ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ Ñ Ö ÓÖ ÙÐ Oµº ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½½º ÎÓÑ Ø ØÙ ÔÐ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÔÖÓÔÖ Ù Ð ÖÙ ÒØÖÙ Ò ÔÙÒØÙÐĈ ÒÙÑ ÔÙÒØÙÐ Ò Ö Ü ÓÔØ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Þ ÔÐ ÒÙÐ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ð Ñ Ò º ÆÓØ Ñ Ù ˆp ÔÖÓ ñ Ò Ø ÔÐ Ò ÙÒÙ ÔÙÒØ P Ò Ò Ö Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø (,y,z)º ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ò Ð ÐÙ ˆp [ ] T û ˆv 1 ÔÓØ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÐÓ Ò Ù ñ ÔÖÓ ñ ½º¾ Ø Ð û = z, ˆv = y z ½º¾ µ ÙÒ Ò Ø Þ Ø Òñ f Ø ÙÒ Ø Ö º Å ØÖ Ð Ø ÐÙÖÙ ÔÓ Ø Ö ˆp = 1 [ I d 0 ] [ ] P ½º¾ µ z 1 Ò Ò Ö Ð Ñ Ò Ð Ø Ð ÙÒØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ù ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÔÙÖØÒ ÒÙÑ Ö Ô Ü Ð Ô ØÙÖ Ð Ñ ÒØ µº È Ü Ð ÓÖ ÔÙÒ ÒÖ ØÖ Ö Ö ñ ÐÙÑ ÒÓ Ô ÒØÖÙ Ó ÒÙÑ Ø Ö ÙÒ Ô ñ Ð Ò Ð Ø Ñ ÔÖÓÔ Ø ÙÒ ÔÙÒغ Ò Ö Ð Ø Ø Ô Ü Ð Ù Ú Ö ÓÖÑ ÓÑ ØÖ ÔÓØ Ô ØÖ Ø Ö ÔØÙÒ ÙÐ Ö Ñ Ô ÖØ º

20 ¾¼ ÍÈÊÁÆË y v^ v C p C 0 u C^ ^ p ^ u O z sistem de ae cameră P(,y,z) f 1 plan imagine plan normalizat ÙÖ ½º½½ ÌÖ Ö Ð Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö Ð ÙÒ Ø Ñ ÒÓÖÑ Ð Þ Øº ÙÒ I d Ø Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ø Ñ Ò ÙÒ = [ ]T Ö P Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú ØÓÖÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ P [ y z ] T º Ë Ò Ó Ð Þ Ñ ÙÑ Ø Òñ ÙÔÖ ÔÐ ÒÙÐÙ Ñ Ò Ö Ø Ò Ñ Ö µº Ø Ð Ó Ø Òñ f ÒØÖÙÐ Ø ÑÙÐÙ Ñ Ö Ò Ö ñ Ü ÓÔØ º ÆÓØ Ñ Ù p = [ u v 1 ] T Ú ØÓÖÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÖÓ ñ ÔÙÒØÙÐÙ P Ò ÐÙÑ Ö Ð Ò Ø ÔÐ Ò Ú Þ ÙÖ ½º½½µº Ë ÑÒ ñ ØÙ Ø Ô Ü Ð Ð Ñ Ò Ø Ð ÓÖÑ Ø º ÄÙÒ Ò ÐÙÐ ÓÒ ØÖÒ ¹ Ö Ð Þ ÒÙÑ ÔØÙÐ Ò Ö Ð Ø Ø Ô Ü Ð ÒÙ ÙÒØ ÔÙÒØ Ñ Ö Ù ÓÖÑ Ö ÔØÙÒ ÙÐ Ö Ò Ù ñ ½º¾ ÚÓÑ Ñ ÓÒ Ö Ó ØÓÖ Ð ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö k l Ø Ð ÒØ ÙÒ Ô Ü Ð Ú Ú Ñ Ò ÙÒ 1 1º k l Ø Ð ÔÙØ Ñ Ö u = α z, v = β y ½º ¼µ z ÙÒ α = k f β = l f ÙÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ð º Ø Ù ñ Ø Ú Ð Ð ØÓØÙ Ó Ö Ø ÑÙÐ Ö Ö Òñ ÓÒ¹ Ö Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ò ÔÙÒØÙÐ C 0 ÒÙÑ ÔÙÒØÙÐ ÒØ Ö ñ Ð Ü ÓÔØ Ù ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ú Þ ÙÖ ½º½½µº Ò ÚÓÖ Ó Ñ Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ø Ø ØÙ Ö Ö ÙÐ ÓÖ Ò Ò ÓÐñÙÐ Ò ØÒ Ó Ù ÙÒ ÓÖ Ò ØÒ Ù ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ò ÚÒ Ò ÙÐ Ò Ð Ò ÐÓÖ ÓÐÓ Ò ÐÓÖ Ô Ü Ð ÐÓÖ Ò Ø º Ø Ð Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø ØÖ Ò Ð Ø Ø Ù ÓÖ Ò Ò ÔÙÒØÙÐ C Ú Þ ÙÖ ½º½½µ Ö Ù ñ ½º ¼ Ú Ò u = α z +u 0, v = β y z +v 0 ½º ½µ

21 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ¾½ ÙÒ u 0 v 0 Ö ÔÖ Þ ÒØ ØÖ Ò Ð ñ ÐÙ C ñ ÔÙÒØÙÐ C 0 º ÌÓØÙ Ò Ö Ð Ø Ø Ø ÑÙÐ Ö Ö Òñ Ø Ø Ñ Ö ÔÓ Ø ÒÐ Ò Ø ØÓÖ Ø ÖÓÖ ÐÓÖ Ö ñ Ø Ð ÙÒ ÙÐ ÒØÖ Ü Ð ØÙ Ò Ø Ú Ö ÓÖ j v i u Ø θ 90 0 Ö Ö ÙÐ Ó Ú ÐÓ Ö Ó ÖØ ÔÖÓÔ Ø µº Ø ÐÙÖÙ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½¾ ÙÒ j v i u = i u Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ö ÓÖ ÒÓ ÐÓÖ Ü ÒÐ Ò Ø Ö v u ÙÒØ ÒÓ Ð ÔÖÓ ñ Ð ÔÙÒØÙÐÙ p Ô Ø Ü º Ö Ñ Ö Ø ÔØÙÐ ØÓÖ Ø ÔØÙÐÙ ÒÓÙÐ Ø Ñ ÒÙ Ø ÙÒÙÐ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ ñ u Ô Ü i u Ø Ö Ø u Ô Ü i u º v v p j v j v C 0 i u u u ÙÖ ½º½¾ ÌÖ Ö Ð Ø ÑÙÐ Ü Ö Ð ÒÐ Ò Ø Ù ÙÒ ÙÐ θ Ð Ø ÑÙÐ Ð ÓÖØÓ ÓÒ Ðº È ÒØÖÙ ÑÔÐ Ö ÐÙÐ ÐÓÖ ÚÓÑ ÔÓÖÒ Ð ÔÖÓ ñ Ð u v Ò Ø Ù ñ ½º ¼ Ø Ð Ð ÞÙÐ Ò Ö ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ò Ò ÔÙÒØÙÐ C 0 Ô Ü ÓÔØ Ú Þ ÙÖ ½º½½µº È ÒØÖÙ Ð ØÙÖ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ö Ð v u Ò ÞÙÐ Ø ÑÙÐÙ Ü ÒÐ Ò Ø ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò ÞÙÐ Ð Ò Ü Ð ÙÒØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð v uµ ÔÓÖÒ Ñ Ð ÜÔÖ Ú ØÓÖÙÐÙ C0 p ÒÙÑ C 0 p = u i u +v j v ½º ¾µ ÒÑÙÐñ Ñ Ð ØÒ Ð Ö ÔØ Ù Ú Ö ÓÖ i u Ö Ô Ø Ú j v Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓÖÙÐ Ø Ñ Ù ñ C 0 p i u = u i u i u +v j v i u C 0 p j v = u i u j v +v j v j v ½º µ ½º µ

22 ¾¾ ÍÈÊÁÆË ÄÙÒ Ò ÐÙÐ ÔØÙÐ C0 p i u ÒÙ Ø ÐØ Ú Ø ÔÖÓ ñ ÐÙ C0 p Ô Ü i u Ð Ù u Ö j v i u Ø ÔØ cos(θ) ÔÖ Ñ Ù ñ Ú Ò u = u +v cos(θ) Ò ÓÙ Ù ñ C0 p j v ÔÓ Ø Ö Ò C 0 p j v = C0 p cos(θ ϕ) ÙÒ C0 p = u 2 +v 2 º ÞÚÓÐØÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÖÒ ÔØÙÐ cos(ϕ) = sin(ϕ) = v u2 +v 2 Ó ñ Ò Ñ C 0 p j v = u cos(θ)+v sin(θ) ½º µ ½º µ ½º µ u u2 +v 2 Ö Ö Ù ñ ÓÙ Ú Ò u cos(θ)+v sin(θ) = u cos(θ)+v ½º µ Ò Ù ñ Ð ½º ½º Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö Ð Ö Ð ñ Ô ÒØÖÙ ÔÖÓ ñ Ð v Ö Ô Ø Ú u u = u v ctan(θ), v = v ½º µ sin(θ) Ì ÒÒ ÓÒØ Ù ñ ½º ¼ ØÖ Ò Ð ñ ÒØÖÙÐÙ Ø ÑÙÐÙ ÓÓÖ¹ ÓÒ Ø Ð Ñ Ò Ò ÔÙÒØÙÐ C 0 Ò ÔÙÒØÙÐ C Ú Þ ÙÖ ½º½½µ Ó ñ Ò Ñ Ù ñ Ð ÔÖÓ ñ ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ø Ø ÔÐ ÒÙÐÙ Ñ Ò Ù Ò ÐÙÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò Ñ Ö u = α z α ctan(θ) y z +u 0, v = β sin(θ) y z +v 0 ½º ¼µ ÒÐÓÙ Ò Ò Ù ñ ½º ½ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ Ò ÔÐ ÒÙÐ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ø Ð Ø Òñ ÙÒ Ø Ø ÒØÖÙÐ O Ú Þ ÙÖ ½º½½µ Ó ñ Ò Ñ Ö Ð ñ ÒØÖ ÔÐ ÒÙÐ Þ Ð Ñ Ò Ø Ò ÙÖÑ u = α û α ctan(θ) v +u 0, v = β sin(θ) v +v 0 ½º ½µ Ö ØÖ Ò Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò ÔÙØ Ñ Ö p = K ˆp ½º ¾µ

23 ½º¾º È Ê Å ÌÊÁÁ ÁÆÌÊÁÆË Á ãá ÌÊÁÆË Á ¾ α α ctan(θ) u 0 ÙÒ K = β 0 v sin(θ) 0 p = [ u v 1 ] T [ ] T Öˆp = û ˆv 1 º Ö Ú Ò Ñ ÜÔÖ Ñ Ñ ÔÖÓ ñ Ð u v Ò ÙÒñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ P (,y,z) Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö ØÙÒ ÔÙØ Ñ Ö Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò p = 1 z [ K 0 ] P ½º µ ÙÒ 0 = [ ] T Ö P = [ y z 1 ] T º Ø Ù ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ØÙÖ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò Ø ÑÙÐ ¹ Ñ Ö,y,zµ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò u,v µ ÙÒñ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò Ñ Ö ÒÙÑ α β θ u 0 v 0 º È Ö Ñ ØÖ ÜØÖ Ò Ñ Ö Ë ÔÖ ÙÔÙÒ Ñ ÙÑ Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö ÒÓØ Ø (C) Ø Ö Ø Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ó Ø ÐÙÑ ÒÓÒ ÙÖ ØÓ Ö ÒÓØ Ø Ò ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ö (W)º Ò Ø Þ ÓÖ Ñ Ñ Ð ØÙÖ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÙÒÙ ÔÙÒØ C P Ò (C) Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö ØÙ Ò Ø ÑÙÐ (W) WPº Ø Ø Ø Ù ñ ½º¾ C P = C W R W P + C O W ÙÒ C WR Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ø ÑÙÐÙ (W) Ø Ð ÒØ ¹ Ú Ò Ô Ö Ð Ð Ù Ø ÑÙÐ (C) Ö C O W Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ (W) Ö Ð Ø Ú Ð ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ (C) Ú Þ Ë Ø ÙÒ ½º¾º¾µº ÓÒ ÓÖÑ Ù¹ ñ ½º¾ Ø ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ñ ØÖ Ð Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò Ò [ ] R t C P = 0 T W P 1 ÙÒ C P = [ y z 1 ] T R = C W R Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ØÖ ÙÒ ÖÓØ ñ ¹ Ñ Ò ÙÒ 3 3µ t = C O W Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó ØÖ Ò Ð ñ Ñ Ò ÙÒ 3 1µ 0 T = [ ] W P = [ W W y W z 1 ] T Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (W)º ÄÙÒ Ò ÐÙÐ Ù ñ ½º Ô ÖÑ Ø ÜÔÖ Ñ Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÔÙÒ¹ ØÙÐÙ p Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ò ÙÒñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØÙÐÙ C P Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ö (C) Ó ñ Ò Ñ Ð ØÙÖ ÒØÖ Ø ÒØ Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙÑ Ö Ð (W) Ø Ð p = 1 [ K 0 ] [ ] R t z 0 T W P 1

24 ¾ ÍÈÊÁÆË ÙÒ p = [ u v 1 ] T ÓÒ Ù Ñ Ô ÖØ Ð Ù ñ p = 1 z K [ R t ] W P Ë Ó ÖÚ ÔØÙÐ ØÖ Ö Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ò Ð ÐÙ P Ò Ø ÑÙÐ (W) Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙ p Ò Ø ÑÙÐ Ñ Ò Ô Þ ÙÒ Ñ ØÖ M = K [ R t ] Ñ Ò ÙÒ 3 4º ÒÓØ Ñ Ù m T i i = 1,...,3 Ð Ò Ð Ñ ØÖ M ØÙÒ u v 1 = 1 z m T 1 m T 2 m T 3 W P ÙÒ Ö ÔØÙÐ z = m T 3 W P Ñ Ô ÖØ Ù ñ ½º ÔÓ Ø Ö ÑÔÐ Ø u = mt 1 W P m T 3 W P, v = mt 2 W P m T 3 W P ÒÓØ Ø Ø ÔØÙÐ Ñ ØÖ M Ô Ò ½½ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÒØÖ Ò α β θ u 0 v 0 Ú Þ Ë ñ ÙÒ ÒØ Ö Ó Ö µ Ð Ö Ù Ô Ö Ñ ØÖ ÒÓ ÒÙÑ ÙÒ ÙÖ Ò Ñ ØÖ ÖÓØ ñ R ØÖ Ò Ð ñ Ò Ú ØÓÖÙÐ ØÖ Ò Ð ñ t Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓ ÖØ ÒÙÑ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÜØÖ Ò º Å ØÖ M ÔÓ Ø Ö ÜÔÐ Ø Ù ÓÖÑ ÙÖÑ ØÓ Ö ] [ T α r1 α ctan(θ) r T T 2 +u 0 r 3 α t α ctan(θ) t y +u 0 t z β sin(θ) r 2 T T +v 0 r 3 β sin(θ) t y +v 0 t z r T 3 t z ½º ¼µ ÙÒ R = [ r 1 T r 2 T r 3 T ]T t = [ t t y t z ] T º Å ØÖ M Ò Ø Ø Ð Ú ØÓÖÙÐ ÒØÖÙÐÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ö O Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ Ó¹ Ò Ø (W) Ð ÐÙÑ Ö Ð º ½º Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ÈÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ÓÒ Ø Ð Þ Ò Ø Ñ Ö Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò Ö Ô Ø Ú ÜØÖ Ò Ø Ú Þ Ë ñ ÙÒ ½º¾º µº Ø Ð ÙÖÑ Ö Ø Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÓÖ ÔÓÒ Òñ Ö Ø ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÙÒØ ÐÓÖ Ò ÐÙÑ Ö Ð Ò Ø Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø (W i W j W k W ) ÓÖ ÔÓÒ Òñ ØÓÖ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ø ÑÙÐ Ñ Ö (C i C j C k C )º ÈÖÓ ÙÐ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½ º È ÒØÖÙ Ø ÓÐÓ Ö ÙÐ Ñ Ò Ð Ö Ö Ò Ö ÙÒØ Ñ Ö¹ Ø Ó Ö ÔÙÒØ Ô ÒØÖÙ Ö ÓÒ Ö ÔÓÞ ñ ØÓÖ Ø

25 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ¾ (W) k W ((C) j C P k C P O C ii C O W j W ii W ÙÖ ½º½ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö Ö ÔØ µ Ñ Ò Ð ¹ Ö Ö (W) (C) Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ñ Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙÑ Ö Ô Ø Ú Ð Ñ Ö º Ü ÙÒÓ ÙØ ÔÖ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÐÙÑ (W)º Ò Ø ÓÒØ ÜØ ÔÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö ÔÓ Ø Ú ÞÙØ Ò Ô Ö Ô Ø Ú ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ Ö ÒÙÑ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ö Ô Òñ ÒØÖ ÔÓÞ ñ Ð ÔÙÒØ ÐÓÖ Ó ÖÚ Ø Ò ÐÙÑ Ö Ð ÔÓÞ ñ Ø ÓÖ Ø ØÓÖ Ó ñ ÒÙØ Ô Þ ÔÖÓ¹ ñ Ô Ö Ô Ø Ú ÓÔØ Ñ Þ Ö Ø ÙÚ ÖÒ Ø Ò ÙÒñ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ñ Ö º Ç Ø Ñ Ö Ø Ð Ö Ø ÓÑ ØÖ ÔÓ Ø Ó Ò ÓÖ ÔÙÒØ Ð Ñ Ò Ó ÖÚ Ø Ò (W) Ó Ö Þ Ò Ò Ø ÓÒ Ø Þ Ø ÔÙÒØ ÒØÖÙÐ ÓÔØ Ð Ñ Ö º È Þ Ø ÓÖ ÔÓÒ Òñ ÔÓØ Ö Ð Þ Ñ ÙÖ ØÓÖ ÔÖ ÓÐÓ Ò Ó Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ö º Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ Ö ÔÓ Ø Ö ÞÓÐÚ Ø ÓÐÓ Ò ØØ ÓÖ Ö Ð Ò Ö Ø Ò Ð Ò Ö ½ º ½º º½ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Ñ ØÓ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø ÙÔ ÙÑ Ñ Ñ Òñ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö Ö Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ø º Ò Ø ÓÒØ ÜØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ Ö Ø ÒÙÒñ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ñ Ö Ñ Ò Ñ Þ Þ Ø Ö Ô ØÖ Ø Ñ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ó ÖÚ Ø Ð ÔÖ Þ º

26 ¾ ÍÈÊÁÆË ÓÖ Ö Ð Ò Ö Ë ÓÒ Ö Ñ Ô ÒØÖÙ Ò ÔÙØ ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö Ù p Ù Ø q Ò ÙÒÓ ÙØ Ò Ø Ø Ð u u u 1q q = y 1 u u u 2q q = y 2 ½º ½µ º º u p1 1 +u p u pq q = y p ÆÓØÒ U = u 11 u u 1q u 21 u u 2q u p1 u p2... u pq = [ q ] T Ö Ô Ø Ú y = [ y 1 y 2... y p ] T ØÙÒ Ø ÑÙÐ ÔÓ Ø Ö Ñ ØÖ Ð Ò U = y ½º ¾µ Ø Ò ÙÒÓ ÙØ ÔØÙÐ Ò Ò Ö Ð p < q ØÙÒ Ø ÑÙÐ ¹ Ñ Ø Ñ ÑÙÐØ ÓÐÙñ ÓÖÑ Þ ÙÒ Ù ¹ Ô ñ Ù Ú ØÓÖ Ð Ð ÐÙ R q (q p) Ñ Ò ÓÒ Ðº p = q ØÙÒ Ø ÑÙÐ Ø ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ ñò Ó Ò ÙÖ ÓÐÙñ º p > q ØÙÒ Ø ÒÙ Ñ Ø Ò Ó ÓÐÙñ º ÌÓØÙ Ø ÖÑ ñ Ø Ú Ð Ð Ó Ö Ö Ò ÙÐ ÐÙ U ÒÙÑ ÖÙÐ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ù ÓÐÓ Ò Ò Ô Ò ÒØ µ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÒÙÑ Ð Ù min{p,q}º Ö Ò ÙÐ ÐÙ U Ø Ñ Ñ Ø min{p,q} ØÙÒ Ü Ø Òñ ÙÒ ÓÐÙñ Ô Ò Ú ÐÓÖ Ð ÐÙ yº Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÚÓÑ ÓÒ Ö ÞÙÐ Ò Ö Ø ÑÙÐ Ö Ñ ÑÙÐØ ÓÒ¹ ØÖÒ Ö Ø Ò ÙÒÓ ÙØ p > q Ö U Ö Ö Ò ÙÐ Ñ Ü Ñ Ð qº ÙÑ Ò Ø Þ ÒÙ Ü Ø Ó ÓÐÙñ Ü Ø Ò ÚÓÑ Ð Ñ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÔÖÓÜ ¹ Ñ Ö Ø ÒÙÑ Ú ØÓÖÙÐ Ñ Ò Ñ Þ Þ ÖÓ Ö Ô ØÖ Ø E = p (u i u iq q y i ) 2 = U y 2 ½º µ ÙÒ. Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒÓÖÑ ÙÒÙ Ú ØÓÖº ÆÓØÒ Ù e = U y ØÙÒ E = e T eº ËÓÐÙñ Ñ Ò Ñ Þ Þ Ú ÐÓ Ö ÐÙ E Ø Ó ñ ÒÙØ Ò ÒÙÐ Ö Ö Ú Ø ÐÓÖ Ô Öñ Ð Ö Ð Ø Ú Ð Ò ¹ ÙÒÓ ÙØ Ð i Ù i = 1,...,q Ø Ð E i = 2 et i e

27 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ¾ ÒÓØ Ñ ÓÐÓ Ò Ð Ñ ØÖ U Ù c j = [ u 1j u 2j... u pj ] T Ù j = 1,...,q ØÙÒ U = [ c 1 c 2... c q ] Ö Ö Ú Ø ÐÙ e Ú Ò e = i i [ c1 c 2... c q ] q y Ñ Ô ÖØ (c c q q y) = c i i ÒÙÐÒ Ö Ú Ø Ð Ó ñ Ò Ñ c it (U y) = 0 Ù i = 1,...,qº ÈÙÒÒ Ô Ð Ô ØÓ Ø Ù ñ Ð ÔÙØ Ñ Ö Ñ ØÖ Ð T c 1 T c 2... (U y) = UT (U y) = 0 T c q Ø Ð Ó ñ Ò Ñ Ù ñ Ð Ó Ø Ñ ØÓ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø U T U = U T y U Ö Ö Ò ÙÐ Ñ Ü Ñ q ØÙÒ Ñ ØÖ U T U Ø ÒÚ Ö Ð Ö ÓÐÙñ Ù ñ ÒØ Ö Ó Ö Ø = U y ½º ¼µ ÙÒ U = (U T U) 1 U T Ø Ô Ù Ó¹ ÒÚ Ö Ñ ØÖ Uº U Ø Ô ØÖ Ø ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØÙÐ Ø Ø Ö Ø ¼µ ØÙÒ ÔÓ Ø Ó ÖÚ U = U 1 º Ë ÓÒ Ö Ñ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÞÙÐ Ø ÑÙÐÙ ÓÑÓ Ò ÙÒ y = 0 Ø Ð u u u 1q q = 0 u u u 2q q = 0 ½º ½µ º º u p1 1 +u p u pq q = 0 Ù Ù ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð U = 0 ½º ¾µ

28 ¾ ÍÈÊÁÆË Ò Ø Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó ÓÐÙñ ØÙÒ ÑÔÐ Ø λ Ø Ñ Ò Ó ÓÐÙñ Ô ÒØÖÙ ÓÖ λ 0º p = q Ö Ñ ØÖ U Ø ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö Ø ÑÙÐ Ñ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÓÐÙñ = 0º p q ÔÓØ Ü Ø ÓÐÙñ Ö Ø Þ ÖÓ Ñ ØÖ U Ø Ò ÙÐ Ö Ö Ö Ò ÙÐ Ø Ø ØÖ Ø Ñ Ñ Ø qº Ò Ø Þ Ô ÒØÖÙ Ñ Ò Ñ Þ ÖÓ Ö Ô ØÖ Ø Ñ E = U 2 Ø Ò Ö ÓÔØ Ö ÙÒÓÖ ÓÒ ØÖÒ Ö ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ö Ú ÐÓ Ö = 0 ÓÒ Ù Ð Ñ Ò ÑÙÐ ÐÓ Ð Ð ÐÙ Eº Ø Ò ÔØÙÐ E(λ ) = λ 2 E() Ó ÓÒ ØÖÒ Ö Ú ÒØ Ó Ô ÖÑ Ø Ú Ø Ö ØÙ ñ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ø 2 = 1º ÖÓ Ö Ô ØÖ Ø Ñ E ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ò ÙÒñ Ñ ØÖ U Ö Ñ E = U 2 = (U ) T U = T U T U ½º µ ÙÒ Ñ ØÖ U T U Ø ÔÖ Ò Ò ñ Ñ ØÖ ÔÓÞ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø Ô ÒØÖÙ C q T (U T U) 0 ÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù ØÙеº Å ØÖ U T U ÔÓ Ø ÓÒ Ð Þ Ø ÔÖ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ò Þ ÓÖ¹ ØÓÒÓÖÑ Ø ÓÖÑ Ø Ú ØÓÖ ÔÖÓÔÖ e i Ù i = 1,...,q Ó ñ Ú ÐÓÖ ÐÓÖ ÔÖÓÔÖ 0 λ 1 λ 2... λ q º Ø Ð ÔÓ Ø Ö (U T U) e i = λ i e i Æ ÔÙØ Ñ ÓÐÓ Ø Ó ÖÚ ñ Ô ÒØÖÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ø Þ Ø Ð = µ 1 e 1 +µ 2 e µ q e q ÙÒ µ i Ù i = 1,...,q Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ Ð ÐÙ Ô Ú Ö ÓÖ Ø Þ Ú ØÓÖ ÔÖÓÔÖ µº Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÚÖ Ñ Ú ÐÙ Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö ÜÔÖ E() E(e 1 ) ÙÒ e 1 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú ØÓÖÙÐ ÔÖÓÔÖ Ù ÓÖ ÔÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ Ñ º Ø Ö Ò E() E(e 1 ) = T (U T U) e 1T (U T U) e 1 = A B ÓÒ ÓÖÑ Ù ñ ½º ÓÐÓ Ò Ó ÖÚ ñ Ú ØÓÖ ÔÖÓÔÖ ÙÒØ ÓÖØÓÒÓÖ¹ Ñ ñ Ó ÖÚ Ñ Ø Ø ÖÑ ÒÙÐ B Ú Ò B = λ 1 e 1T e 1 = λ 1 e 1 2 = λ 1 Ê Ú Ò Ò Ð Ø ÖÑ ÒÙÐ A Ø ÔÓ Ø Ö Ô Þ Ù ñ ½º Ò A = T q µ i (U T U) e i = T q q q µ i λ i e i = µ j e jt µ i λ i e i j=1

29 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ¾ Ñ Ô ÖØ ÓÒ ÖÒ ÔØÙÐ e jt e i = 0 Ô ÒØÖÙ i j Ö Ú ÐÓ Ö ½ Ô ÒØÖÙ i = j Ó ñ Ò Ñ q A = λ i µ 2 i Ê Ú Ò Ò Ð Ù ñ ½º ÔÙØ Ñ Ö E() E(e 1 ) = λ 1 µ λ q µ 2 q λ 1 ½º ¼µ Ö Òñ Ø Ñ Ö Ò Ø Ò Ö ÓÖ Ú ÐÓ Ö λ 1 (µ µ2 q 1) = 0 ÓÒ ÓÖÑ ÓÒ ØÖÒ Ö Ò ñ Ð 2 = 1µ ÓÒ Ù Ð Ó ÖÚ ñ E() E(e 1 ) ½º ½µ Ò ÓÒÐÙÞ Ú ØÓÖÙÐ ÒÓÖÑ ÙÒ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Þ ÖÓ Ö Ô ØÖ ¹ Ø Ñ E Ø Ü Ø Ú ØÓÖÙÐ ÔÖÓÔÖ Ù e 1 ÓÖ ÔÙÒÞ ØÓÖ Ð Ñ Ñ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÔÖ λ 1 Ñ ØÖ U T U Ö Ú ÐÓ Ö Ñ Ò Ñ ÐÙ E Ø λ 1 º Ü ÑÔÐÙº È ÒØÖÙ Ü ÑÔÐ Ð Ñ Ù ÓÒ Ö Ñ ÙÖÑ ØÓ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð º ÚÒ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÔÐ Ò Ò Ø (O,i,j y ) ÙÒ Ø ÔÙÒØ p i Ù i = 1,...,n ÔÖÓ Ø ( i,y i ) ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ù ñ Ö ÔØ δ ÔÖÓÜ Ñ Þ Ð Ñ Ò Ø ÔÙÒØ º Ù ñ Ö ÔØ δ Ó ÚÓÑ ÜÔÖ Ñ Ò ÙÒñ Ø Òñ ñ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ O ÒÓØ Ø d ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ø Ö Ð Ø n = [ a b ]T ÙÒ a b Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓ ñ Ð Ô Ð ÓÙ Ü Ö n = 1º Ø ÐÙÖÙ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½ º ÎÓÑ Ö ÞÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÙÐ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø º ÈÖ Ò Ò ÐÓ Ù Ð ÙØ Ø Ò Ë ñ ÙÒ ½º¾º½ Ú Þ Ù ñ ½º½½µ ÔÓ Ø Ù Ù ñ ÙÒ Ö ÔØ δ ÜÔÖ Ñ Ø Ò ÔÐ Ò Ø Ø a +b y d = 0 ½º ¾µ Ê Ð ÞÒ Ð ØÙÖ Ù ØÙÐ ÔÙÒØ p i Ö Ò ÑÓ Ð Ö ØÖ Ù Ú Ö ØÓ Ø Ø Ù ñ ÔÙØ Ñ Ø ÖÑ Ò ÖÓ Ö Ô ØÖ Ø E Ò Ó ÙÒñ a b d Ø Ð n E(a,b,d) = (a i +b y i d) 2 ½º µ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÙÖÑ Ö Ñ Ñ Ò Ñ Þ Ñ Ô E Ö Ð Ø Ú Ð ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö ÔØ ÚÒ Ö ÔØ ÓÒ ØÖÒ Ö ÔØÙÐ a 2 +b 2 = 1 Ø n = 1µº ÒÙÐ Ñ Ú ÐÓ Ö Ö Ú Ø Ô Öñ Ð ÙÔ d Ø Ð E n d = 2 (a i +b y i d) = 0

30 ¼ ÍÈÊÁÆË y p 1 n p 2 p ii d O p n ÙÖ ½º½ Ø ÖÑ Ò Ö Ö ÔØ ÔÖÓÜ Ñ Þ Ð Ñ Ò ÙÒ Ø ÔÙÒØ ÔÖ Ò Ø º ÓÒ Ù Ð ÙÖÑ ØÓ Ö Ú ÐÓ Ö ÐÙ d d = a +b ȳ, = 1 n n i, ȳ = 1 n n y i ÙÒ ȳ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ñ Ð ÐÓÖ p i ÔÙÒØ (,ȳ) ÚÒ Ø Ð Ò ÙÐ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÒØÖÙÐÙ Ñ º ÒÐÓÙ Ò Ú ÐÓ Ö ÐÙ d Ò Ù ñ ½º Ó ñ Ò Ñ E = n [a ( i ) 2 +b (y i ȳ) 2 ] = U n 2 ÙÒ Ñ ØÖ U = 1 y 1 ȳ n y n ȳ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓ ØÖ Ö Ù Ð Ñ Ò Ñ Þ U n 2 Ò ÙÒñ n ÚÒ ÓÒ ØÖÒ Ö n 2 = 1º Ë ÔÓ Ø ÒØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ Ö Ò Ò ÙÐ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø Ô ÒØÖÙ ÙÒ Ø Ñ Ù ñ ÓÑÓ Ò Ö ÓÐÙñ Ñ ÑÓÒ ØÖ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ø Ú ØÓÖÙÐ ÔÖÓÔÖ Ù ÓÖ ÔÙÒ Ú ÐÓÖ º

31 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ½ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ Ñ Ñ ØÖ U T Uº Ø ÖÑ ÒÒ Ñ ØÖ U T U [ ] 1... n 1 y 1 ȳ = y 1 ȳ... y n ȳ n y n ȳ n n ( i ) 2 ( i ) (y i ȳ) n n (y i ȳ) ( i ) (y i ȳ) 2 = n 2 i n 2 n n i y i n ȳ i y i n ȳ n yi 2 n ȳ 2 Ô ÒØÖÙ Ö ÐÙÐ Ñ Ú ØÓÖÙÐ ÔÖÓÔÖ Ù ÓÖ ÔÙÒÞ ØÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ Ñ Ó ñ Ò Ñ Ú ÐÓÖ Ð ÐÙ a b Ò Ò Ð Ò Ù ñ ½º Ú ÐÓ Ö ÐÙ d ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÞÓÐÚ Ø º ÓÖ Ö Ò Ð Ò Ö Ë Ò Ö Ð Þ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ñ ÙÑ ÞÙÐ Ø Ñ ÐÓÖ Ù ñ Ò Ð Ò Ö º ÙÒ Ø Ñ Ò Ð Ò Ö Ù p Ù ñ q Ò ÙÒÓ ÙØ f 1 ( 1, 2,..., q ) = 0 f 2 ( 1, 2,..., q ) = 0 º º f p ( 1, 2,..., q ) = 0 ÙÒ Ù f i () i = 1,...,p Ñ ÒÓØ Ø ÙÒ Ø ÙÒñ Ö Òñ Ð Ù ÙÔÓÖØ R q º Å ØÖ Ð Ø ÑÙÐ ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ò f() = 0 ÙÒ = [ ] T [ ] T 1... q Ö f = f1... f p º Ë ÔÓ Ø Ó ÖÚ f i ( 1,..., q ) = u i u iq q y i Ó ñ Ò Ñ ÞÙÐ Ø Ñ ÐÓÖ Ð Ò Ö Ö y i = 0 ØÙÒ Ó ñ Ò Ñ ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑÓ Òº Ò Ø Þ p < q ØÙÒ Ø ÑÙÐ Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÐÙñ ÓÖÑ Þ Ó Ù ¹ÑÙÐñ Ñ (q p) Ñ Ò ÓÒ Ð ÐÙ R q º p = q ÚÓÑ Ú Ñ ÙÒ Ø Ò Ø ÓÐÙñ Ö p > q ÒÙ Ü Ø ÓÐÙñ º Ò Ð Ø Ö ØÙÖ Ô Ð Ø Ø ÒÙ Ü Ø Ó ÓÐÙñ Ò Ö Ð Ú Ð Ð Ô ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò Ö ØÙØÙÖÓÖ

32 ¾ ÍÈÊÁÆË ÓÐÙñ ÐÓÖ Ò ÞÙÐ p = q Ù Ö Ô ÖÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ñ Ò ÑÙÐÙ ÐÓ Ð Ð ÖÓÖ Ô ØÖ Ø Ñ Ò Ñ ØÓ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø E = f() 2 º Å ØÓ Ð Ü Ø ÒØ ÙÒØ Ö ÙÐ Ø Ö Ø Ú Ò Ö Ð Ò Ö Þ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÒØÖÙ Ó ñ Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ Ö Ø Ñ ÔÖ ÓÐÙñ ÙØ Ø º Ø ÔÓÖÒ Ð ÞÚÓÐØ Ö Ò Ö Ì ÝÐÓÖ ÙÒñ ÐÓÖ f i () Ò Ú ¹ Ò Ø Ø ÔÙÒØÙÐÙ f i (+δ) f i ()+δ 1 f i 1 ()+...+δ q f i q () ½º ¼µ ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ò ¾ ÙÔ Ö ÓÖº ÓÐÓ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÙÐ Ö ÒØ [ ] T fi f f i () = 1... i q ÔÙØ Ñ Ö Ö Ù ñ ÒØ Ö Ó Ö Ø Ð f i (+δ) f i ()+ T f i () δ ½º ½µ ÙÒ δ = [ ] T δ 1... δ q º Ê Ö Ò Ù ñ ÒØ Ö Ó Ö Ô ÒØÖÙ ØÙÐ ÙÒñ f() Ó ñ Ò Ñ f 1 (+δ) f 1 () T f 1 () δ ½º ¾µ f p (+δ) f p () T f p () δ q Ñ Ô ÖØ f 1 (+δ)... f p (+δ) f 1 ()... f p () + ÔÓ Ø Ö ÔÖ ÙÖØ Ø f 1 () f p ()... 1 f 1 q () f p q () δ 1... δ q ½º µ f(+δ) f()+j f () δ ÙÒ J f () Ø Â Ó ÒÙÐ ÐÙ fº Å ØÓ ÐÙ Æ ÛØÓÒ Ô ÒØÖÙ Ø Ñ Ô ØÖ Ø Ù ñ Ò Ð Ò Ö º Ò ÓÒØ ÒÙ Ö Ò Ó Ð Þ Ñ Ø Òñ ÙÔÖ ÞÙÐÙ Ò Ö p = q Þ Ò Ö Ø ÑÙÐ Ñ Ø ÙÒ ÒÙÑ Ö Ò Ø ÓÐÙñ º ÙÔ ÙÑ Ñ Ñ Òñ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÖ ÒÙ Ü Ø Ó Ñ ØÓ Ò Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙñ Ö Ø ÔÓ Ø Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ú ÔÓÖÒ Ò Ð Ù ñ ½º º Ë ÔÖ ÙÔÙÒ Ñ ˆ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ Ø Ñ Ø Ð ÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ º Ò ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ñ Ö Ø Ú ÐÓ Ö ØÙ ÚÓÑ ÓÒ Ö Ô ÖØÙÖ ñ δ Ø Ð

33 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÒØ ˆ + δº Ð ÓÖ ØÑÙÐ ÙÖÑ Ö Ø ÑÓ Ø Ö Ø Ú Ú ÐÓ Ö ÐÙ δ Ø Ð ÒØ Ò ÔÖÓÔ Ñ Ø Ñ ÑÙÐØ ÓÐÙñ Ö Ð Ø ÑÙÐÙ º Ø ÐÙÖÙ ØÖ Ù ÔÖ Ò f(ˆ+δ) = 0 Ø Ð J f (ˆ) δ = f(ˆ) Â Ó ÒÙÐ ÐÙ Ø Ò Ò ÙÐ Ö Ø Ð Ñ Ø ÒÚ Ö ØÙÒ δ Ó ñ Ò ÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ q Ù ñ Ù q Ò ÙÒÓ ÙØ Ö ÞÙÐØ Øº ÈÖÓ ÙÐ Ø Ö Ô Ø Ø ÔÒ Ò Ø Ò ÙÒ ÒÙÑ Ø Ö Ø Ö Ù ÓÒÚ Ö Òñ º Ø Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö Ö Ô Ó Ö Ø Ñ ØÙÐ ÔÖÓ Ô ÓÐÙñ Ö Ð ÚÒ Ó Ö Ø ÓÒÚ Ö Òñ Ô ØÖ Ø ÖÓ Ö Ð Ø Ö ñ k+1 Ø ÔÖÓÔÓÖñ ÓÒ Ð Ù Ô ØÖ ØÙÐ ÖÓÖ Ð Ø Ö ñ ÒØ Ö Ó Ö kµº ÓÐÙñ ÔÐ Ö Ø Ô ÖØ ÓÐÙñ Ö Ð ÓÖ ØÑÙÐ ÓÚ Ø Ò Òغ Å ØÓ ÐÙ Æ ÛØÓÒ Ô ÒØÖÙ Ø Ñ ÙÔÖ ¹ÓÒ ØÖÒ Ù ñ Ò ¹ Ð Ò Ö º Ò ÞÙÐ Ò Ö p > q ÙØ ÙÒ Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ð ÖÓÖ Ô ØÖ Ø Ñ E = f() 2 º Å ØÓ ÒØ Ö Ó Ö ÔÓ Ø ÔØ Ø Ò Ø ØÙ ñ Ó ÖÚÒ ÔØÙÐ ÙÒ Ø Ð Ñ Ò Ñ Ø ÔØ ÙÒ Þ ÖÓ Ð Ö ÒØÙÐÙ ÖÓÖ Eº ÆÓØÒ Ù F() Ö ÒØÙÐ ÐÙ E Ø Ð F() = 1 2 E() ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ò ÔÙÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ q Ù ñ q Ò ÙÒÓ ÙØ Ø F() = 0 ÓÒ ÓÖÑ Ñ ØÓ ÒØ Ö Ó Ö ÒÓØ Ñ Ù ˆ ÙÒ Ø Ñ Ø Ð ÓÐÙñ Ø ÑÙ¹ ÐÙ ÙØ Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ Ø Ö Ø Ú Ô ÖØÙÖ ñ δ Ô ÒØÖÙ Ö F(ˆ+δ) = 0 Ø Ð J F (ˆ) δ = F(ˆ) ÙÒ J F Ö ÔÖ Þ ÒØ Â Ó ÒÙÐ ÐÙ Fº Ë ÜÔÖ Ñ Ñ Ù ñ Ò ÙÒñ ÙÒñ Ð f i Ù i = 1,...,pº Ø ¹ Ð Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÙÐ Ö ÒØ F() Ö Ò F() = 1 2 E 1 ()... E q () ÙÒ ÖÓ Ö Ô ØÖ Ø Ñ ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ò E = p f 2 i ()

34 ÍÈÊÁÆË ÓÒ Ù Ð F() = p p f i 1 () f i ()... f i q () f i () = Jf T () f() = F 1 ()... F q () ½º ¼µ ÙÒ J f () Ö ÔÖ Þ ÒØ Â Ó ÒÙÐ ÐÙ fº Ö Òñ Ò Ô F Ó ñ Ò Ñ Â Ó ÒÙÐ ØÙ Ò F 1 F 1 ()... () 1 q J F () = ½º ½µ F q F q ()... () 1 q È ÒØÖÙ Ó Ñ ÙÒ Ð Þ Ð Ø Ø ÐÙÐ Ñ Ô Ö Ø ÙÒÙÐ ÒØÖ Ø ÖÑ Ò Ü ÑÔÐÙ F p 1 f i ()º ÒÐÓÙ Ò Ô F 1 Ù () f i () Ó ñ Ò Ñ [ p f i 1 () f i () ] = 2 1 p [ 2 f i () f i ()+ f i () f ] i () 1 1 ½º ¾µ ÓÐÓ Ò Ð Ö ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ó ñ Ò Ñ Â Ó ÒÙÐ ÐÙ F ÓÖÑ ÙÖÑ ØÓ Ö p [ p 2 [ ] ] f 2 i fi 2 () f i ()+ () ] [ p 2 f i... 2 () f i ()+ q [ 2 f i q 1 () f i ()+ f i q () f i 1 () p [ 2 f i () f i ()+ f i () f ] i () 1 q 1 q [ ] ] 2 fi () q ÒÓØ Ñ Ù H fi () Ñ ØÖ À Ò ÐÙ f i ÒÙÑ 2 f i 2 f i ()... () q H fi () = f i 2 f i ()... () q 1 q q Â Ó ÒÙÐ ÐÙ F ÔÓ Ø Ö Ö J F () = J T f () J f()+ p f i () H fi () ½º µ

35 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á Ö Ù ñ ½º Ú Ò [J T f (ˆ) J f (ˆ)+ p f i (ˆ) H fi (ˆ)] δ = Jf T (ˆ) f(ˆ) Ð ÓÖ ØÑÙÐ Ù ¹Æ ÛØÓÒº Ø Ñ ØÓ ÔÓÖÒ Ø Ñ Ò Ð ÞÚÓÐØ Ö Ò Ö Ì ÝÐÓÖ ÙÒñ ÐÓÖ f Ú Þ Ù ñ ½º ¼µº Ò ÞÙÐ Ñ ØÓ ÐÙ Æ ÛØÓÒ ÔÓÖÒ Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ø Ð ÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ ˆ ÙØ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ô ÖØÙÖ ñ δ Ø Ð ÒØ ˆ + δ ÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÐÙñ Ö Ð Ø ÑÙÐÙ º ËÔÖ Ó Ö Ø ÒÙ ÚÓÑ ÙØ Ñ Ò Ñ Þ Ñ Ô f(ˆ+δ) ÚÓÑ ÙØ Ø Ö Ø Ú Ô δ Ñ Ò Ñ Þ Þ ÖÓ Ö E(ˆ+δ)º ÓÒ ÓÖÑ Ù ñ ½º ÔÓ Ø Ö E(ˆ+δ) = f(ˆ+δ) 2 f(ˆ)+j f (ˆ) δ 2 ÓÖ ÔÙÒ Ñ Ò Ñ Þ Ö ÖÓÖ Ô ØÖ Ø Ñ Ò ÞÙÐ ÙÒÙ Ø Ñ Ð Ò Ö Ù ñ ÙÒ δ f(ˆ) y J f (ˆ) U Ú Þ Ù Ø ½º Ò Ë ñ ÙÒ ½º º½µº ËÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ Ø Ø Ð Ø J T f (ˆ) J f(ˆ) δ = J T f (ˆ) f(ˆ) ÓÑÔ Ö Ñ Ø Ù ñ Ù Ù ñ ½º Ó ÖÚ Ñ ØÓ Ù ¹ Æ ÛØÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ Ö Ø Ó ÔÖÓÜ Ñ Ö Ñ ØÓ ÐÙ Æ ÛØÓÒ Ô ÒØÖÙ Ö Ø ÖÑ ÒÙÐ Ö ÒØ Ñ ØÖ À Ò Ø Ò Ð Øº Ø ÐÙÖÙ Ø Ú Ö Ø Ú ÐÓÖ Ð Ö Þ Ù Ð Ð ÙÒñ ÐÓÖ f i ÙÒØ Ñ º Ð ÓÖ ØÑÙÐ Ä Ú Ò Ö ¹Å ÖÕÙ Ö Øº Ç ÐØ Ú Ö ÒØ ÓÒ Ø Ò ÑÓ Ö Ù ñ ½º Ò ÐÙÐ ÙÖÑ ØÓÖ [ J T f (ˆ) J f (ˆ)+µ I q ] δ = J T f (ˆ) f(ˆ) ÙÒ µ Ø ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÙ Ö Ð ÔÓ Ø Ú Ö Ð Ó Ø Ö ñ Ð ÐØ º Ë Ó ÖÚ Ø ÖÑ ÒÙÐ Ö ÒØ Ñ ØÖ À Ò Ø Ø Ø ÔÖÓÜ Ñ Ø Ù Ó Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ º Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö Ó ÓÒÚ Ö Òñ Ñ Ð Ö Ñ ØÓ Ù ¹Æ ÛØÓÒ Ö Ø Ö ÙÐ Ñ ÖÓ Ù Ø ÔÙØÒ ÓÐÓ Ø Ö Ñ ØÖ Â Ó Ò ÐÙ f ÒÙ Ö Ö Ò Ñ Ü Ñ Ð Ô Ù Ó¹ ÒÚ Ö Ø ÒÙ ÔÓ Ø ÐÙÐ Ø º ½º º¾ Ç ÓÖ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö Ö Ñ Ö Ê Ú Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ÔÖ ÙÔÙÒ Ñ Ú Ñ Ð ÔÓÞ ñ Ó Ñ Ò Ð Ö Ö ÓÖÑ Ð ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÙÖ

36 ÍÈÊÁÆË ½º½ Ò Ö ÙÒØ ÙÒÓ ÙØ ÔÖ ÓÖ ÔÓÞ ñ Ð n ÔÙÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ Ò P i Ù i = 1,...,nº Ø ÔÙÒØ ÙÒØ Ó ÖÚ Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ÔÖ Ò ÒØ ÖÑ ÙÐ ÔÙÒØ ÐÓÖ p i ÓÓÖ ÓÒ Ø (u i,v i ) Ú Þ Ù ñ ½º Ò Ë Ø ÙÒ ½º¾º µº ÙØ Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÒ ÓÖÑ Ó ÖÚ ñ ÐÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ñ Ö º ÈÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö Ö Ð Þ Þ Ö ÙÐ Ò ÓÙ Ø Ô Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ØÖ M Ñ Ò ÙÒ 3 4 ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ô Ö¹ Ô Ø Ú Ò Ø Ò Ù ñ ½º ¼ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò Ó Òñ Ð Ö α β Ð ¹ Ð u 0 v 0 ÙÒ ÙÐ ÒÐ Ò Ö Ð Ü ÐÓÖ Ñ Ö θµ Ö Ô Ø Ú ÜØÖ Ò¹ Ð ØÖ ÙÒ ÙÖ ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ ØÖ Ò Ð ñ Ò ÔÓÞ ñ Ø ÑÙÐÙ Ñ Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ø ÑÙÐ ÐÙÑ Ú Þ Ë ñ ÙÒ ½º¾º µº Ø Ñ Ö Ñ ØÖ ÔÖÓ ñ Å ÆÓØÒ Ù m jt j = 1,...,3µ Ð Ò Ð Ñ ØÖ M Ù ñ ½º ÔÓ Ø Ü¹ ÔÖ Ñ Ø Ô ÒØÖÙ Ö Ô Ö ÔÙÒØ {P i ;(u i,v i )} i = 1,...,nµ Ò ÐÙÐ ÙÖÑ ØÓÖ (m 1 T u i m 3 T ) P i = 0, (m 2 T v i m 3 T ) P i = 0 ÈÙÒÒ Ô Ð Ô ØÓ Ø Ù ñ Ð Ö ÒØ ÐÓÖ n ÔÙÒØ Ó ñ Ò Ñ ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ù 2 n Ù ñ ÔÓ Ø Ö Ñ ØÖ Ð ÙÒ P = P1 T 0 T u 1 P1 T 0 T P1 T v 1 PT Pn T 0 T u n Pn T 0 T Pn T v n PT n P m = 0 Ö m = m 1 m 2 m 3 º ½º½¼¼µ n 6 ØÙÒ ÔÓ Ø Ø ÖÑ Ò ÓÐÙñ Ø ÑÙÐÙ Ò Ò ÙÐ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø Ñ Ò Ñ ÞÒ ÖÓ Ö P m 2 ÚÒ ÓÒ ØÖÒ Ö m = 1 ÓÐÙñ Ò Ø Ú ØÓÖ ÔÖÓÔÖ Ú Þ Ë ñ ÙÒ ½º º½µº Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò ÚÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ ØÖ M Ô Þ Ú ÐÓÖ ÐÓÖ Ø ÚÓÑ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒØ ÒÙ Ö Ú ÐÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò Ö Ô Ø Ú ÜØÖ Ò º È ÒØÖÙ Ø ÙÒÓ Ò ÓÖ Ò Ú ÐÓÖ ÐÓÖ Ò M ÓÐÓ Ò Ù ñ ½º ÔÙØ Ñ Ö Ò ÞÙÐ Ò Ö Ð ÔØÙÐ M = ρ [ A b ] = K [ R t ] ½º½¼½µ

37 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÒ ρ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ ØÓÖ Ð Ö Ò ÙÒÓ ÙØ Ó Ø ÒØÖÓ Ù Ô ÒØÖÙ ÙÖ ÔØÙÐ M = m = 1 A = [ T T a 1 a 2 a ] T T 3 ÙÒ aj j = 1,...,3 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ØÖ µ Ö b Ø ÙÒ Ú ØÓÖ Ù Ò ØÖ Ò Ð ñ º Ë Ó ÖÚ Ñ Ø ÔØÙÐ ρ a 1 T a 2 T a 3 T = α r 1 T α ctan(θ) r 2 T +u 0 r 3 T β sin(θ) r 2 T +v 0 r 3 T r 3 T ½º½¼¾µ ÙÒ r jt Ù j = 1,...,3 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ØÖ ÖÓØ ñ R R = [ T T r1 r 2 r ] T T 3 º Ò Ð ÙÖÑ Þ Ô ÒØÖÙ Ð Ø ÐÙÐ Ð ÚÓÑ ØÖ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ú ØÓÖ Ð ÐÙÐ Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ô Þ ÔÖÓ Ù Ð Ö µ Ú ¹ ØÓÖ Ð µº Ò ÔÙÒØ Ú Ö Ú ØÓÖ Ð Ð Ò Ð ÐÙ R Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ø Ø Ð r j = 1 Ö r j r k = 0 Ô ÒØÖÙ j k ½ Ô ÒØÖÙ j = kº Ò Ù ñ ½º½¼¾ Ö ÞÙÐØ Ñ Ø ÔØÙÐ ρ a 1 = α r 1 α ctan(θ) r 2 +u 0 r 3 ρ a 2 = β r sin(θ) 2 +v 0 r 3 ρ a 3 = r 3 Ò Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ñ Ú ÐÓ Ö ÐÙ ρ Ò ρ = ± 1 a 3 ÐÙÐÒ Ú ÐÓ Ö ÐÙ ρ a 1 r 3 Ó ñ Ò Ñ ½º½¼ µ u 0 = ρ a 1 r 3 = ρ 2 (a 1 a 3 ) ½º½¼ µ Ò ÑÓ Ñ Ð Ö Ô ÒØÖÙ ρ a 2 r 3 Ó ñ Ò Ñ v 0 = ρ a 2 r 3 = ρ 2 (a 2 a 3 ) ½º½¼ µ Å Ô ÖØ ÐÙÐ Ñ ÔÖÓ Ù Ð Ú ØÓÖ Ð ρ a 1 r 3 ρ a 2 r 3 Ó ñ Ò Ñ ρ 2 (a 1 a 3 ) = α r 2 α ctan(θ) r 1, ρ 2 (a 2 a 3 ) = β sin(θ) r 1 ½º½¼ µ ÙÒ Ñ ÓÐÓ Ø Ó ÖÚ ñ Ð r j r j = 0 r 1 r 3 = r 2 r 2 r 3 = r 1 ÓÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Òñ Ñ Ò Ö ÔØ Ú Þ ÙÖ ½º µº ÐÙÐÒ ÑÓ ÙÐ Ð Ò Ù ñ ÒØ Ö Ó Ö Ó ñ Ò Ñ ρ 2 a 1 a 3 = α 2 +α 2 ctan 2 (θ) = α sin(θ) ρ 2 a 2 a 3 = β sin(θ) ½º½¼ µ ½º½¼ µ

38 ÍÈÊÁÆË ÙÒ sin(θ) Ø ÓÒ Ö Ø ÔÓÞ Ø Ú Ó Ö ÙÒ ÙÐ θ Ø Ö ÙÐ Ò Ú ¹ Ò Ø Ø ÐÙ π/2º Å Ô ÖØ ÓÒ ÖÒ ÔØÙÐ ÑÒÙÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ Ð Ö α β Ø ÙÒÓ ÙØ Ò ñ Ð Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ö Ø ÔÓÞ Ø Ú Ø Ð α = ρ 2 a 1 a 3 sin(θ) β = ρ 2 a 2 a 3 sin(θ) ½º½¼ µ ½º½½¼µ Ê Ð ÞÒ ÔÖÓ Ù ÙÐ Ð Ö ÒØÖ Ù ñ Ð ½º½¼ Ó ñ Ò Ñ ρ 4 α β cos(θ) (a 1 a 3 ) (a 2 a 3 ) = = sin 2 (θ) ρ 4 a 1 a 3 a 2 a 3 cos(θ) ½º½½½µ ÙÒ Ö ÞÙÐØ ÙÒ ÙÐ θ cos(θ) = (a 1 a 3 ) (a 2 a 3 ) a 1 a 3 a 2 a 3 ½º½½¾µ ÌÓØ Ò Ù ñ Ð ½º½¼ Ö ÞÙÐØ ÔØÙÐ r 1 = sin(θ) β ρ 2 (a 2 a 3 ) = a 2 a 3 a 2 a 3 ½º½½ µ Ö r 2 Ó ñ Ò Ò r 1 r 3 r 2 = r 3 r 1 ½º½½ µ ÙÒ r 3 Ó Ø Ó ñ ÒÙØ Ò ñ Ð Ò r 3 = ρ a 3 º Ò Ø ÔÙÒØ Ô ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò ÓÑÔÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÜØÖ Ò Ñ ØÖ Ù Ø ÖÑ Ò Ñ Ú ØÓÖÙÐ ØÖ Ò Ð ñ tº Ø Ø Ó ñ ÒÙØ Ù ÓÖ Ò Ù ñ ρ b = K t Ú Þ Ù ñ ½º ¾µ Ò t = ρ K 1 b ½º½½ µ ½º º Ð Ö Ö Ñ Ö ÐÙÒ Ò ÐÙÐ ØÓÖ ÙÒ Ð Ö Ð ÈÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ð ÜÔÙÒ Ö Ñ ÓÒ Ö Ø ÔØÙÐ Ñ Ö Ø Ô Ø Ù Ð ÒØ Ð Ô Ö Ø ÖÓÖ Ð ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ò Ð Ø º Ë ÓÒ Ö Ñ ÙÑ ÙÒ ÒØÖ Ð Ñ Ö Ú ÒØ Ô ÖØÙÖ Ø ÒÙÑ ØÓÖ¹ ÙÒ Ö Ð º Ò Ø Þ Ö ÙÐ ØÓÖ ÙÒ Ø Ô Ò ÒØ Ø Òñ ÒØÖ Ü ÓÔØ ÒØÖÙÐ ÓÔØ Ð Ñ Ò µ ÔÙÒØÙÐ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Øº ÍÒ Ü ÑÔÐÙ Ø ÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º½ º

39 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÖ ½º½ Ü ÑÔÐ ØÓÖ ÙÒ Ö Ð ÔÖ Ñ Ñ Ò ¹ Ø ÙØÓ ÓÙ Ñ Ò ¹ Ø Ô ÖÒ ØÖ Ñ Ò ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ Þ ÓÒÖ Ø ØÓÖ ÙÒ ÓÖ ñ Ø Ò ÙÐØ Ñ Ñ Ò ÓÐÓ Ò ¾ º Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ ÓÒ Ö ÔØÙÐ ÒØÖÙÐ Ñ Ò Ø ÙÒÓ ¹ ÙØ ÔÖ ÓÖ Ø Ð ÒØ ÔÙØ Ñ ÓÒ Ö u 0 = v 0 = 0º Ò ÞÙÐ ÔÖ ÒØ ÚÓÑ ÓÒ Ö ÙÒÓ ÙØ ÔÓÞ ñ Ð n ÔÙÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÓÑÓ¹ Ò P i Ù i = 1,...,n ÙÒØ Ó ÖÚ Ø Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ÔÖ Ò ÒØ ÖÑ ÙÐ ÔÙÒØ ÐÓÖ p i ÓÓÖ ÓÒ Ø (u i,v i )º Ù ñ ½º ÔÓ Ø Ö Ö ñ ÒÒ ÓÒØ ØÓÖ ÙÒ Ð Ö Ð Ò ÐÙÐ ÙÖÑ ØÓÖ º p = z λ λ M P ½º½½ µ ÙÒ M Ø Ñ ØÖ ÔÖÓ ñ Ö λ = f(d 2 ) Ø Ó ÙÒñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ø Òñ ÒØÖ ÒØÖÙÐ ÓÔØ Ð Ñ Ò Ò Ø Þ Ñ ÓÒ Ö Ø Ø Ø ÒØ Ù ÒØÖÙÐ ÔÐ ÒÙÐÙ Ñ Ò µ Ô Ü ÐÙÐ p ÒÓØ Ø dº È ÒØÖÙ Ñ Ö Ô ÖØ ÔÐ ñ ÐÓÖ Ø Ù ÒØ ÓÐÓ Ñ ÙÒñ ÔÓÐ ÒÓ¹ Ñ Ð Ö Ö Ù λ ÔÙØÒ ÜÔÖ Ñ Ø Ò q λ = 1+ k p d 2 p p=1 ½º½½ µ ÙÒ Ö ÙÐ q 3 Ö k p p = 1,...,q Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó Òñ ØÓÖ ÙÒ Ö ÙÐ Ú ÐÓÖ Ñ µº Ë ÜÔÖ Ñ Ñ Ò Ð ÙÖÑ Þ Ú ÐÓ Ö ÐÙ d 2 Ò ÙÒñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò (u,v )º ÓÒ ÖÒ ÔØÙÐ ÜÔÖ Ñ Ø Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÐ ÒÙÐÙ ÒÓÖÑ Ð (û,ˆv) Ú Þ ÙÖ ½º½½µ d 2 = û 2 + ˆv 2 ÓÐÓ Ò Ù¹Ò Ñ Ô ÖØ Ù ñ Ð ½º ½ ØÖ Ö Ð ÔÐ ÒÙÐ ÒÓÖÑ Ð Ð ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ÔÙØ Ñ Ö ˆv = v sin(θ), û = u β α + v cos(θ) ½º½½ µ β

40 ¼ ÍÈÊÁÆË Ñ Ô ÖØ d 2 = u 2 α 2 + v 2 β 2 +2 u v α β cos(θ) ½º½½ µ ÜÔÖ ÑÒ Ô d 2 Ò ÙÒñ (u,v ) Ò Ô ÖÑ Ø ÔØ ÜÔÖ Ñ Ñ Ô λ Ò ÙÒñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò º Ø Ð Ù ñ ½º½½ Ú Ò ÙÒ Ø Ñ Ù q Ó Òñ ØÓÖ ÙÒ µ ½½ Ô Ö Ñ ØÖ ÒØÖ Ò Ü¹ ØÖ Ò µ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÙØ ÖÒ Ò Ð Ò Öº Ù ØÓ Ø Ø ÔÓ Ð Ö ÞÓÐÚ Ö ØÙ Ù Ñ ØÓ Ð ÙØ Ø Ò Ë ñ ÙÒ ½º º½ Ø Ñ Ú ÒØ Ó Ó ÓÖ Ö Ò Ó Ô Ð Ñ Ò Ö Ò ½º½½ Ô Ö Ñ ØÖÙÐÙ λ Ô ÒØÖÙ Ð Ò Ö Þ ¹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ö ÒØÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ö ÙÖÑ Ø Ö ÞÓÐÚ Ö Ò Ð Ò Ö Ö ØÙÐÙ q +2 Ô Ö Ñ ØÖ ÙÔ ÙÑ ÙÖÑ Þ º Ø Ñ Ö Ñ ØÖ ÔÖÓ ñ Å ÎÓÑ Ò Ö Ø Ð Ð Ò Ö Þ Ö Ù ñ ÐÓÖ Ô ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÔÖ Ñ ÐÓÖ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ñ Ö º È ÒØÖÙ Ø Ò ÚÓÑ ÓÐÓ Ó ÖÚ ñ ÔØ ØÓÖ ÙÒ Ö Ð Ñ Ø Òñ ÒØÖ ÔÙÒØ ÒØÖÙÐ Ñ Ò Ö ÒÙ ÑÓ Ö ñ Ú ØÓÖÙÐÙ Ð ØÙÖ ÒØÖ Ø º Ë Ø Ð Ñ Ù ñ ½º½½ Ø Ð u v 1 = z λ λ m 1T P m 2T P m 3T P ½º½¾¼µ ÙÒ m it i = 1,...,3 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ØÖ Mº Ñ Ò ÙÒ Ø Ð [ ] u v = 1 [ ] λ z I m1t P 2 m 2T P Ë Ð Ñ Ò Ñ ØÖ ½º½¾½µ Ì ÒÒ ÓÒØ ÔØÙÐ z = m 3T P ÔÙØ Ñ Ö [ ] m 1T P u λ v = m 3T P m 2T P m 3T P Ñ Ô ÖØ v (m 1T P) u (m 2T P) = 0 ½º½¾¾µ ½º½¾ µ ÒÐÓÙ Ò ÙÑ Ú ÐÓÖ Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÐÓÖ n ØÙÖ ÔÙÒØ {P i ;(u i,v i )} i = 1,...,nµ Ó ñ Ò Ñ n Ù ñ Ð Ò Ö Ù Ô Ö Ñ ØÖ ñ Ð Ò Ð m T 1 Ö Ô Ø Ú m 2T Ø Ð Q n = 0 ½º½¾ µ

41 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ½ v 1 P1 T u 1 P T [ ] 1 ÙÒ Q = m1 n = º v n Pn T u n Pn T m 2 n 8 Ú ÒØ Ø ÑÙÐ Ø ÙÔÖ ¹ÓÒ ØÖÒ Ö ÓÐÙñ ØÙ ÔÓ Ø ÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ò ÙÐ ÐÓÖ Ñ Ñ Ô ØÖ Ø º Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ò ÞÙÐ Ð Ò Ö ÚÓÑ Ö ρ [ A b ] = M ½º½¾ µ ÙÒ ρ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ ØÓÖ Ð Ö Ò ÙÒÓ ÙØ Ó Ø ÒØÖÓ Ù Ô ÒØÖÙ ÙÖ ÔØÙÐ M = m = 1 A = [ a 1 T a 2 T a 3 T ] T ÙÒ aj j = 1,...,3 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ØÖ µ Ö b = [ ] T b 1 b 2 b 3 Ø ÙÒ Ú ØÓÖ Ù Ò ØÖ Ò Ð ñ º ÔØÒ Ð ÔØÙÐ ÔÒ Ò Ø ÔÙÒØ ÙÒÓ Ø Ñ Ó Ö ÔÖ Ñ ÓÙ Ð Ò Ñ ØÖ M ÒÙÑ m T 1 m T 2 µ ÚÓÑ Ö Ö Ù ñ Ó Ö Ò Ø Þ [ [ ] [ ] ] T a1 b1 ρ T = a 2 b 2 [ [ T T ] [ ] ] α r1 α ctan(θ) r 2 α t α ctan(θ) t y β sin(θ) r 2 T β sin(θ) t y ½º½¾ µ ÙÒ r 1 T r 2 T ÙÒØ ÔÖ Ñ ÓÙ Ð Ò Ñ ØÖ ÖÓØ ñ R Ö t t y ÙÒØ ÔÖ Ñ Ó Ó Òñ ØÖ Ò Ð ñ Ú Þ Ù ñ ½º ¼µº Ò Ð ÙÖÑ Þ Ô ÒØÖÙ Ð Ø ÐÙÐ Ð ÚÓÑ ØÖ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ ¹ Ö Ú ØÓÖ Ð ÐÙÐ Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ô Þ ÔÖÓ Ù Ð Ö µ Ú ØÓÖ Ð µº Ø Ð ÔÙØ Ñ Ö β ρ a 1 = α r 1 α ctan(θ) r 2, ρ a 2 = sin(θ) r 2 ½º½¾ µ ÐÙÐÒ ÑÓ ÙÐÙÐ Ó Ô ÖØ ÐØ Ø Ò Ò ÓÒØ Ó ÖÚ ñ Ú ØÓÖ r i i = 1,...,3µ Ò Ú ØÓÖ ÙÒ ÖÓØ ñ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ø Ö ÙÒ ÙÐ θ Ø Ò Ú Ò Ø Ø ÐÙ π/2 Ó ñ Ò Ñ Ø Ð Ó ñ Ò Ñ Ú ÐÓÖ Ð ÐÙ α β ρ a 1 = ± α sin(θ), ρ a 2 = ± β sin(θ) ½º½¾ µ α = ±ρ a 1 sin(θ), β = ±ρ a 2 sin(θ) ½º½¾ µ

42 ¾ ÍÈÊÁÆË β Ø Ð α = a 2 º Å Ô ÖØ ÔÙØ Ñ Ó ñ Ò ÙÒ ÙÐ θ Ö Ð Þ Ñ a 1 ÔÖÓ Ù ÙÐ Ð Ö ÒØÖ Ù ñ Ð ½º½¾ Ò ÓÐÓ Ñ ÔØÙÐ r 1 r 2 = 0 Ó Ú ØÓÖ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ð ρ 2 α β a 1 a 2 = sin(θ) sin(θ) cos(θ) = a 1 a 2 cos(θ) ÙÒ Ö ÞÙÐØ cos(θ) = a 1 a 2 a 1 a 2 ½º½ ¼µ ½º½ ½µ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÐÙÐ Ñ Ú ØÓÖ r 1 r 2 º Ò Ù ñ ½º½¾ Ö ÞÙÐØ Ñ Ø ÔØÙÐ r 2 = ρ a 2 sin(θ) β ÒÐÓÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ð ñ Ó ñ Ò Ñ r 1 = ρ α a 1 ± cos(θ) sin(θ) a 2 a 2 = ± 1 sin(θ) = ± a 2 a 2 [ a1 a 1 + a ] 2 a 2 cos(θ) ½º½ ¾µ ½º½ µ Ò Ò Ð r 3 Ó ñ Ò ÔÖÓ Ù Ú ØÓÖ Ð r 3 = r 1 r 2 Ò Ô ÖÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÑÔÐ Ø Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Rº Ê Ú Ò Ò Ð Ù ñ ½º½¾ Ó ñ Ò Ñ ρ b 1 = α t α ctan(θ) t y, ρ b 2 = β sin(θ) t y ÙÒ Ó ñ Ò Ñ Ñ Ø t y = ± b 2 a 2 t = ρ α b 1 + cos(θ) sin(θ) t y = ± 1 [ b1 sin(θ) a 1 + b ] 2 a 2 cos(θ) ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ Ò Ø ÔÙÒØ Ö ÓÐÓ Ñ ÓÒ ØÖÒ Ö ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÙ ÔÙØ Ñ ¹ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖÙÐ t z Ö Ô Ø Ú Ô ρº È ÒØÖÙ Ø ØÖ Ù Ö Ú Ò Ñ Ð Ø ÑÙÐ Ò Ù ñ ½º½¾¾º ÜÔÖ ÑÒ Ö ÓÓÖ ÓÒ Ø Ó ñ Ò Ñ ÙÖÑ ¹ ØÓ Ö Ð Ù ñ (m 1 T λ u m 3 T ) P = 0 (m 2 T λ v m 3 T ) P = 0 ½º½ µ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ð ÐÙ m 1 T m 2 T ÙÒØ ÙÒÓ ÙØ Ö m 3 T Ø Ø Ù ñ ½º ¼ m 3 T = [ r 3 T t z ] ÙÒ r3 Ø Ñ Ò ÙÒÓ Ùغ

43 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÒÐÓÙ Ñ Ò ÜÔÖ ÐÙ d 2 Ò Ù ñ ½º½½ Ô α β cos(θ) Ó ñ ¹ Ò Ñ d 2 u 2 = ρ 2 a 1 2 sin 2 (θ) + v 2 ρ 2 a 2 2 sin 2 (θ) + u v a 1 a 2 2 ρ 2 a 1 2 a 2 2 sin 2 (θ) = u a 2 v a 1 2 ρ 2 a 1 a 2 2 ½º½ µ ÒÐÓÙ Ò Ø Ú ÐÓ Ö Ò Ú ÐÓ Ö ÐÙ λ Ò Ø ÑÙÐ Ù ñ ½º½ ÓÒ ÖÒ ØÓ Ø Ð n ÔÙÒØ ÚÓÑ Ó ñ Ò ÙÒ Ø Ñ Ù ñ Ò Ð Ò Ö Ò ÙÒÓ ÙØ ρ t z k p p = 1,...,qµ Ó Òñ ØÓÖ ÙÒ º Ø ÔÓ Ø Ö ÞÓÐÚ Ø ÓÐÓ Ò Ñ ØÓ Ð ÔÖ Þ ÒØ Ø ÒØ Ö ÓÖº Ò ÚÓÖ Ó Ø Ñ Ö Ø Ö Ø Ú Ø Ò Ö Ø Ð Ö ÙÒÓÖ Ø Ñ Ø Ò ñ Ð Ð ÓÐÙñ ÐÓÖº Ò ÞÙÐ ρ t z Ø ÔÓØ Ø ÖÑ Ò ñ Ò ñ Ð Ò ÞÙÐ Òñ ØÓÖ ÙÒ ÐÓÖ Ö Ð ÒÙÑ λ = 1º Ø Ò ÔØÙÐ Ú ÐÓÖ Ð k p ÙÒØ Ñ Ó Ø Ñ Ö Ò ñ Ð ØÓÖ ÔÓ Ø ÔÓÖÒ Ð Ú ÐÓ Ö ¼º ½º º Ü ÑÔÐÙ ÔÖ Ø Ñ ØÓ Ð Ö Ö Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ Ø Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÙ ÓÒÖ Ø Ð Ö Ö Ñ Ö ÒÙÑ Ñ ØÓ ÔÖÓÔÙ Ò Ó Ö Ó ÔÖ Þ Ñ ÙÖ ØÓÖ ÐÓÖ ÔÒ Ð 1/4000º È ÒØÖÙ Ü ÑÔÐ Ö ÚÓÑ ÓÐÓ ÒÓØ ñ Ð ÙÖÑ ØÓ Ö P = [ i y i z i ] T i = 1,...,nµ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ô Ð ØÖ Ü n ÔÙÒØ Ò ÐÙÑ Ö Ð (W) p = [ u i v i ] T Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÖÓ ñ ÔÙÒØ ÐÓÖ Pi Ò ÔÐ ¹ ÒÙÐ Ñ Ò Ø ÑÙÐ (C) Ö ÙÐ u Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ü Ò ÓÖ Ø Ø ÔÖ Ö ÔØ Ö v Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ô Ú ÖØ Ð Ü Ò ÓÖ ÒØ Ø Ò Ù µ a = [ r i c i ] T Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ Ô Ü Ð Ð Ñ ØÖ Ñ Ò ÒØ Ø ÔÖ Ò ÒÙÑ ÖÙÐ Ð Ò r Ö Ô Ø Ú ÒÙÑ ÖÙÐ ÓÐÓ Ò c Ø ÑÙÐ Ü ÓÐÓ Ø Ð ÔÖ ÐÙÖ Ö Ñ Ò ÓÒ Ö Ü Ð Ò ÐÓÖ Ú ÖØ Ð ÓÖ ÒØ Ø Ò Ó Ò Ø ÑÔ Ü ÓÐÓ Ò ÐÓÖ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò ÔÖ Ö ÔØ µ (u 0,v 0 ) ÓÖ ÔÙÒ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÔÙÒØÙÐÙ ÒØ Ö ñ Ð Ü ÓÔØ Ù ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ÒØÖÙÐ ÓÔØ Ò Ð ÙÐ ÔÐ ÒÙÐÙ Ñ Ò ñ Ø ÔÙÒص {d,d y } Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó ØÓÖ Ð Ò Ñ Ò ÙÒ Ö Ð Ô Ü Ð ÐÓÖ Ð ñ Ñ Ò Ðñ Ñ µ

44 ÍÈÊÁÆË τ Ö ÔÖ Þ ÒØ ØÓÖÙÐ ØÓÖ ÙÒ Ð Ö Ø Ô Ø Ð Ñ Ò f Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Òñ Ó Ð Ò Ø Òñ ÒØÖ ÓÖ Ò Ø ÑÙÐÙ Ñ Ö ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò k 1 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó ÒØÙÐ ØÓÖ ÙÒ Ö Ð t = [ ] T t t y t z Ö ÔÖ Þ ÒØ ØÖ Ò Ð ñ Ð Ø ÑÙÐÙ ÐÙÑ Ö Ð (W) ñ Ø ÑÙÐ Ñ Ö (C) r 11 r 12 r 13 R = r 21 r 22 r 23 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ö ÖÓØ ñ r 31 r 32 r 33 Ø ÑÙÐÙ ÐÙÑ (W) ñ Ø ÑÙÐ Ñ Ö (C)º ÙÔ ÙÑ Ñ Ñ Òñ ÓÒ Ø Ò ñ ÙÒ Ð ÒØ Ö Ó Ö ÔÖÓ ÙÐ Ð Ö Ö ÓÒ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò ÜØÖ Ò Ñ Ö º Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ ÔÖ ÙÔÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ u 0 v 0 d d y τ ÙÒØ ÙÒÓ Ùñ Ô ÒØÖÙ ÑÓ ÐÙÐ Ñ Ö ÓÐÓ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ ØÖÙØ Ú º Ä ØÙÖ ÒØÖ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ö Ð (u,v) Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò ÔÓÞ ñ Ô Ü ÐÙÐÙ Ò Ñ Ò (r,c,) ÔÓ Ø ÜÔÖ Ñ Ø Ô Þ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ ÒØÖ Ò Ò u = τ d (c u 0 ) v = d y (r v 0 ) ½º½ µ ½º½ ¼µ Ð ÓÖ ØÑ ÓÔØÒ Ø ÓÒ Ö ñ Ð ÓÖ ØÑÙÐ Ð Ö Ö ÔÓ Ø Ö Ø Ð ½º Ô Þ ÐÓÖ n Ô Ö ÔÙÒØ {P i ( i,y i,z i );p i (u i,v i )} Ö ÙÐ n 5µ Ò Ñ ÙÖÑ ØÓÖÙÐ Ø Ñ Ù ñ A µ = b v 1 1 v 1 y 1 u 1 1 u 1 y 1 v v n n v n y n u n n u n y n v n r 11 t y r 12 t y r 21 t y r 22 t y t t y = u 1 u 2 u 3... u 5 ½º½ ½µ ½º½ ¾µ

45 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÓÐÓ Ò Ñ ØÓ Ô Ö ÞÓÐÚ Ñ Ø ÑÙÐ Ù ñ Ó ñ ÒÒ Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð Ú ØÓÖÙÐÙ µº ¾º ÒÓØÒ Ù U = µ 2 1 +µ2 2 +µ2 3 +µ2 4 ÐÙÐ Ñ Ú ÐÓ Ö ÐÙ t y Ø Ð U U 2 4 (µ 1 µ 4 µ 2 µ 3 ) 2 t 2 y = 2 (µ 1 µ 4 µ 2 µ 3 daca (µ ) 2 1 µ 4 µ 2 µ 3 ) 0 1 daca (µ 2 µ 2 1 +µ2 1 +µ 2 2) 0 ½º½ µ 2 daca (µ 2 3 +µ2 4 ) 0 1 µ 2 3 +µ2 4 Ó ÖÚ Ø ÔØÙÐ ÑÒÙÐ ÐÙ t y ÒÙ ÔÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÔÙÒغ º ÓÒ Ö t y ÔÓÞ Ø Ú ÐÙÐ Þ r 11 = µ 1 t y r 12 = µ 2 t y r 21 = µ 3 t y r 22 = µ 4 t y t = µ 5 t y ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ º Ô ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò ÑÒÙÐ ÐÙ t y ÓÒ Ö ÙÒÙÐ ÒØÖ Ð n ÔÙÒØ ÖÙ ÓÓÖ ÓÒ Ø ÙÒØ Ø Ñ Ô ÖØ Ø ÒØÖÙÐ Ñ Ò P(,y,z) Ð ÔÙÒغ ÐÙÐ Ñ ξ = r 11 +r 12 y +t ξ y = r 21 +r 22 y +t y ½º½ µ ½º½ ¼µ ξ ÒÙ Ö Ð ÑÒ Ù u Ù ξ y ÒÙ Ö Ð ÑÒ Ù v ØÙÒ Ñ ÑÒÙÐ ÐÙ t y ÓÖ ÔÙÒÞ ØÓÖ Ö ÐÙÐ Þ r 11 r 12 r 21 r 22 t º º ÐÙÐ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÓØ ñ Ö Ñ Ø Ð r 13 = 1 r11 2 r2 12 r 23 = 1 r21 2 r22 2 r 31 = 1 r2 11 r 12 r 21 r 13 r 32 = 1 r 21 r 12 r 2 22 r 23 r 33 = 1 r 31 r 13 r 32 r 23 ½º½ ½µ ½º½ ¾µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ

46 ÍÈÊÁÆË Ó ÖÚ Ø ÔØÙÐ Ò Ø ÔÙÒØ ÑÒÙÐ Ú ÐÓÖ ÐÓÖ ÐÙ r 23 r 31 r 32 ÒÙ ÔÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ Øº r 11 r 21 + r 12 r 22 Ø Ó Ú ÐÓ Ö ÔÓÞ Ø Ú ØÙÒ Ú Ñ ÑÒÙÐ ÐÙ r 23 º È ÒØÖÙ Ú Ð Ö ÐÓÖÐ ÐØ ÓÙ Ú ÐÓÖ Ú Ñ Ò ÚÓ Ú ÐÓ Ö ÐÙ fº º Ò Ñ Ø ÑÙÐ ÙÖÑ ØÓÖ r r 22 y 1 +t y v r 21 n +r 22 y n +t y v n A v = b ] [ f = t z (r r 32 y 1 ) v 1... (r 31 n +r 32 y n ) v n ½º½ µ ½º½ µ Ò Ö Ó ñ Ò Ñ ÙÒ Ø Ñ Ø Ð ÐÙ f t z º f < 0 ØÙÒ Ñ Ñ ÑÒÙÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÖ r 13 r 23 r 31 r 32 f t z º º ÐÙÐ Ñ ÑÓ ÙÐ ÑÓ Ö Ð ÓÓÖ ÓÒ Ø ÐÓÖ ØÓÖ Ø ØÓÖ ÙÒ Ö Ð º ÎÓÑ ÓÒ Ö Ø ÔÓ Ø ÑÓ Ð Ø Ù ÙÒ Ò ÙÖ Ô ¹ Ö Ñ ØÖÙ ØÓÖ ÙÒ k 1 Ø Ð ũ = u (1+k 1 d 2 ) ṽ = v (1+k 1 d 2 ) ½º½ µ ½º½ µ ÙÒ (ũ,ṽ) ÙÒØ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ö Ð Ó ñ ÒÙØ Ò ÙÖÑ ØÓÖ ÙÒ Ö d Ø ÙÒÓ ÙØ Ò Ø Òñ Ö Ð Ð ÔÙÒØÙÐ ÓÒ Ö Ø Ð ÒØÖÙÐ Ñ Ò º Ë Ó ñ Ò Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ò Ð Ò Ö n Ù ñ v i (1+k 1 d 2 ) = f r21 i +r 22 y i +r 23 z i +t y r 31 i +r 32 y i +r 33 z i +t z ½º½ ¼µ Ù i = 1,...,n ÖÙ Ö ÞÓÐÚ Ö ÓÒ Ù Ð Ø Ñ Ö Ú ÐÓÖ ÐÓÖ ÐÙ f t z k 1 º Ü ÑÔÐÙ ÒÙÑ Ö Ë ÓÒ Ö Ñ ÙÖÑ ØÓÖÙÐ Ü ÑÔÐÙ ÒÙÑ Ö ÔÖ Ø Ú Ñ Ð ÔÓÞ ñ ÓÓÖ ÓÒ Ø Ð Ö Ð ÔÙÒØ P i ( i,y i,z i ) i = 1,...,5µ Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ ñ Ð ØÓÖ Ò ÔÐ ÒÙÐ Ñ Ò p i (u i,v i )º Î ÐÓÖ Ð ÙÒØ ÐÙ ØÖ Ø Ò Ì ÐÙÐ ½º½º Ò Ð ÙÖÑ Þ ÚÓÑ ÓÐÓ Ð ÓÖ ØÑÙÐ ÔÖÓÔÙ Ò Ô ÒØÖÙ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ö ÒÐÙ ÔÓÞ ñ ÓÖ ÒØ Ö Ø Òñ Ó Ð º Ø Ð Ñ ØÖ A Ø Ø A = ½º½ ½µ

47 ½º º ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á Ì Ð ½º½ Ü ÑÔÐÙ Ø Ð Ö Ö º i i y i z i u i v i ½ ¼º¼ º¼ ¼º¼ ¹¼º ¼º¼ ¾ ½¼º¼ º ¼º¼ ½º ½º¼ ½¼º¼ º¼ ¼º¼ ½º ¼º¼ º¼ ½¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ½º¼ º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¹½º¼ b b = ½º½ ¾µ ÙÒ Ó ñ Ò Ñ Ú ØÓÖÙÐ µ Ò µ = ½º½ µ Å Ô ÖØ Ó ñ Ò Ñ U = 0.07, t 2 y = 25 ½º½ µ ÓÐÓ Ò Ø Ú ÐÓÖ Ó ñ Ò Ñ Ó Òñ ÖÓØ ñ t r 11 = 0.87 r 12 = 0.0 r 21 = 0.0 r 22 = 1.0 t = 4.33 ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ È ÒØÖÙ Ø Ñ Ö Ú ÐÓÖ ÐÓÖ ξ ξ y ÚÓÑ ÓÐÓ ÔÙÒØÙÐ P 2 (10.0,7.5,0.0) Ö Ô Ø Ú p 2 (1.73,1.0)º Ø Ð ξ = 4.33 ξ y = 2.5º ÙÑ Ó ñ Ò Ñ ÑÒ

48 ÍÈÊÁÆË Ö Ø ñ u 2 v 2 ÚÓÑ Ñ ÑÒÙÐ ÐÙ t y = 5 Ø Ð Ö ÐÙÐ Ñ r 11 = 0.87 r 12 = 0.0 r 21 = 0.0 r 22 = 1.0 t = 4.33 ½º½ ¼µ ½º½ ½µ ½º½ ¾µ ½º½ µ ½º½ µ ÐÙÐ Ñ Ò ÓÒØ ÒÙ Ö Ö ØÙÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÓØ ñ r 13 = 0.5 r 23 = 0.0 r 31 = 0.5 r 32 = 0.0 r 33 = 0.87 ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ Î ÐÓ Ö ÐÙ r 11 r 21 +r 12 r 22 = 0 Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ø ÑÒÙÐ ÐÙ r 23 º Å Ô ÖØ ÓÖÑ Ñ Ð Ó Ð Ø Ñ Ù ñ ÙÒ A Ø A = ½º½ ¼µ Ö b Ø ÙÒ Ó ñ Ò Ñ b = f = 1.0, t z = 7.5 ½º½ ½µ ½º½ ¾µ ÙÑ f < 0 ÚÓÑ Ñ ÑÒÙÐ ÐÙ r 13 = 0.5 r 23 = 0.0 r 31 = 0.5 r 32 = 0.0 f = 1 t z = 7.5º Ò Ø Ü ÑÔÐÙ Ñ ÔÖ ÙÔÙ ÒÙ Ü Ø ØÓÖ ÙÒ Ö Ð Ø Ð Ð¹ ÙÐ Ð Ò º

49 Ð Ó Ö ½ Ú º ÓÖ ÝØ Âº ÈÓÒ ÓÑÔÙØ Ö Î ÓÒ ÅÓ ÖÒ ÔÔÖÓ ÈÖ ÒØ À ÐÐ ÁË Æ¹½¼ ¼½ ¼ ½ ½ ¾¼¼¾º ¾ ʺ À ÖØÐ Ý º ÖÑ Ò ÅÙÐØ ÔÐ Î Û ÓÑ ØÖÝ Ò ÓÑÔÙØ Ö Î ¹ ÓÒ ¾Ò º Ôº Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ÁË Æ ¼ ¾½ ¼ ½ ¾¼¼ º ʺ º Ì Î Ö Ø Ð Ñ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ì Ò ÕÙ ÓÖ À ¹ ÙÖ Ý Å Ò Î ÓÒ Å ØÖÓÐÓ Ý Ù Ò Ç ¹Ø ¹Ë Ð ÌÎ Ñ ¹ Ö Á ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÊÓ ÓØ Ò ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ê ¹ µ ÔÔº ¾ ¹ ½ º ºÀº ÐÐ Ö ºÅº ÖÓÛÒ ÓÑÔÙØ Ö Î ÓÒ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ÁË Æ ¼¹½ ¹½ ½ ¹ ½ ¾º ĺ º Ë Ô ÖÓ º ËØÓ Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ö Î ÓÒ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ÁË Æ ¹¼½ ¼ ¼ ¾¼¼¼º ʺ ËÞ Ð ÓÑÔÙØ Ö Î ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò Ö ÁË Æ ¹½¹ ¾¹ ¹ ¾¼½¼º Ǻ Ù Ö Éº¹Ìº ÄÙÓÒ Ìº È Ô ÓÔÓÙÐÓ Ì ÓÑ ØÖÝ Ó ÅÙÐØ ÔÐ ÁÑ ÅÁÌ ÈÖ ÁË Æ ¼¹¾ ¾¹ ¾¼ ¹ ¾¼¼½º