½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú

Transcript

1 ½ ËÊÈËà à ÅÁÂ Æ Íà ÃÄ ËÁ ÆÁ Æ Í ÆÁ ËÈÁËÁ ÃÆÂÁ XIV Å Ì Å ÌÁ ÃÁ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÃÆÂÁ ½ ÍÖ Ò Ñ Ê ÁÎÇ à â ÆÁÆ ÍÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ë Æ º ÀÁÄ ÊÌ ÇËÆÇÎ ÇÅ ÌÊÁ ÈÊ Î Ç Ë ÇËÅÇ Æ Å ÃÇ Á ÆÂ êº Ê â ÆÁÆ ÈÖ ÑÐ ÒÓ Ò XI ÙÔÙ Ç Ð Ò ÔÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ó ¼º X ½ º º Ç Ê ½

2 ½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú Ö Ò Ò Ú Ò Ù Ó Ø Ù V Iº ÓÔÙÒ III Ù Ù Ø Ò ÔÓÒ ÚÐ Ò Ò ÓÔÙÒ Ó Ø II Ù Ô ØÓÑ Þ Ò Ù Ó Ó ÒÓ Ò ÞÚÓ Ð ÚÓ Ø Ò Ð ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Þ Ùö ÓÑ ÙÞ ÔÓÑÓ Ò ÓÑ Ñ Ø Ò º Ã Ó ÓÔÙÒ II Ó Ø ÒÓÚ ÙÔÖÓ Ò ÓÖÑÙÐ Ò Ù Ó ÔÖÓÔÓÖ ¹ Ñ Ö Ò ÓÖÑÙÐ Þ Öö Ò Ù Ð ÚÒÓÑ Ø ØÙ ïï½ ¹½ º Ç Ó Ø I X ÑÓ Þ Ò ÙÒ Ø Ù ÓÔ Ø ÑÓ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ó Ö Ø Ö Ø º I V º Ê ÓÖ ÒØ Ó ÑÓÑ Þ Ò Ù Ò Ú ÑÓ Þ À Ð ÖØÓÚÓ ÔÖ ÓÚÓÖ ØÓÑ Þ Ò Ù Ð ÇÚÓ ÑÓ Þ Ò ÑÓ Ò Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ ÔÖ Ñ Ö Ò Þ Ò ÞÒ ØÒÓ ÔÓÔÖ ÚÐ ÒÓ ÓÔÙÒ ÒÓ ØÓ ÐÓÑ ÔÖ Ñ ÑÓ Ñ Ò Ñ ÔÖ Ú Ò Ñ Ó ÓÚÓÑ ÔÖ Ñ ØÙ ÐÓÑ Ó Ù ØÓ Þ Ø ¹ Ú Ð Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ù Ù Ñ ÙÚÖ Ñ ÒÙ ÔÓ Ø Ð ÖÙ ÙØÓÖ º Í Þ Ú ÒÓ Ø Ó ØÓ ÔÖ Ö Ò Ø Ø Ð ÚÒÓ Ð Ò º Ê Ø Ó Ö Ó ÒÙ ÔÓÑÓ ÔÖ ØÓÑ ÔÖÙö Ó Ñ Ò Ó ÑÓ Ù Ò Àº ÖÒÓÐ âñ Ø H. Arnold Schmidtµº ÇÒ Ò ÑÓ ØÓ Þ Ñ Ò ÚÖ Ó Ú Ö Ó Þ Ð Þ Ó Ù ÔÓ¹ ÒÓ Ø Ú Ó Ò ÔÓØ Ù ÑÒÓ Ó ÖÓ Ò ÑÓ Ø ÐÒ ÔÖ Ñ Ó ÔÓ ÒÓ ÓÒ ÑÓ Ø ÐÒÓ Ó ÒÓÚÙ Ø Ð Þ Ù Ó Ø IIº ÓÚÙ Ò ¹ ÓÚÙ ÔÓÑÓ ÞÖ ö Ú Ñ ÑÙ Ò Ö Ò Ù Þ Ú ÐÒÓ Ø º Ð ØÖ Ó Ù Þ Ø Ò ØÓÖ ÔÖ Ð Ç À Ð ÖØÓÚÓÑ Þ Ò Ú Ò Ù ÓÑ ØÖ Zur Hilberts Grundlegung der Geometrieµ Ó Ó º âñ Ø Ù À Ð ÖØÓÚ Ñ Ë Ù¹ ÔÐ Ò Ñ Ô Ñ Gesammelte Abhandlungenµ Úº II ÖÐ Ò ½ µ ØÖº ¼ ¹ ½ º Ö Ñ ÖØ ½ º Ⱥ ÖÒ

3 ½ Ë Ö ö Í Ú Ó È Ö Ú Ð Ú º È Ø Ö Ù Ô Ó Ñ ï½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ô Ø ÖÙÔ ÓÑ ï¾º ÖÙÔ ÓÑ I ÓÑ Ú Þ ï º ÖÙÔ ÓÑ II ÓÑ Ö ÔÓÖ ï º ÈÓ Ð ÓÑ Ú Þ Ö ÔÓÖ ï º ÖÙÔ ÓÑ III ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ï º ÈÓ Ð ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ï º ÖÙÔ ÓÑ IV ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ ï º ÖÙÔ ÓÑ V ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ö Ù Ð Ú º Æ Ô Ö Ó Ø Ú Ù Ö Ò Ó Ø Ù Þ Ñ Ò Ò Þ Ú Ò Ó Ø Ó Ñ ï º Æ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø ÓÑ ï½¼º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ µ ï½½º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ï½¾º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø V Ò ¹ Ö Ñ ÓÑ ØÖ µ Ì Ö Ð Ú º Í Ò Ó Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ñ ï½ º ÃÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ï½ º Ó Þ È ÐÓÚÓ Ø Ú ï½ º Ë Ñ ÒØÒ Ö ÙÒ Ò Ó ÒÓÚÙ È ÐÓÚÓ Ø Ú ï½ º ÈÖÓÔÓÖ Ø ÚÓÚ Ó Ð ÒÓ Ø ï½ º Â Ò Ò ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ø Ú Ö Ø Ð Ú º Í Ò Ó Ô Ó Ú Ö Ò Ñ Ù Ö Ú Ò ï½ º Ê ÞÐÓö Ú Ò Ó Ø ÓÔÙÒ Ò Ó Ø ÔÓÐ ÓÒ ï½ º È Ö Ð ÐÓ Ö Ñ ØÖÓÙ ÐÓÚ Ò Ñ Ó ÒÓÚ Ñ Ú Ò Ñ ï¾¼º Å Ö ÔÓÚÖ Ò ØÖÓÙ ÐÓÚ ÔÓÐ ÓÒ ï¾½º ÓÔÙÒ Ò Ó Ø Ñ Ö ÔÓÚÖ Ò È Ø Ð Ú º Þ Ö Ó Ú Ø Ú ï¾¾º Þ Ö ÓÚ Ø Ú Ò ÓÚ Ó Þ Ù Ö ÚÒ ÔÓÑÓ Ù ÓÑ ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø ï¾ º Æ ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ó Þ Þ Ö ÓÚÓ Ø Ú Ù Ö ÚÒ Þ ÓÑ ÔÓ¹ Ù ÖÒÓ Ø ï¾ º ÍÚÓ Ò Ñ ÒØÒÓ Ö ÙÒ Þ ÙÔÓØÖ ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ò Ó ÒÓÚ Þ Ö ÓÚÓ Ø Ú ï¾ º ÃÓÑÙØ Ø ÚÒ Ó Ø ÚÒ Þ ÓÒ Ö Ò Ù ÒÓÚÓÑ Ñ ÒØÒÓÑ Ö ÙÒÙ ï¾ º Ó Ø ÚÒ Þ ÓÒ ÑÒÓö Ò Ú ØÖ ÙØ ÚÒ Þ ÓÒ Ù ÒÓÚÓÑ Ñ ÒØÒÓÑ Ö ÙÒÙ ï¾ º Â Ò Ò ÔÖ Ú Ò Ó ÒÓÚÙ ÒÓÚÓ Ñ ÒØÒÓ Ö ÙÒ ï¾ º Í ÙÔÒÓ Ø Ùö Ú Ò Ó ÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ï¾ º ÁÞ Ö Ú Ò ÔÖÓ ØÓÖÒ ÓÑ ØÖ ÔÓÑÓ Ù Þ Ö ÓÚÓ ÖÓ ÒÓ Ø Ñ

4 ï ¼º Ò Þ Ö ÓÚÓ Ø Ú â Ø Ð Ú º È Ð Ó Ú Ø Ú ï ½º Ú Ø Ú Ó ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ó Þ È ÐÓÚÓ Ø Ú ï ¾º ÃÓÑÙØ Ø ÚÒ Þ ÓÒ ÑÒÓö Ò Ù Ö Ñ ÓÚÓÑ ÖÓ ÒÓÑ Ø ÑÙ ï º ÃÓÑÙØ Ø ÚÒ Þ ÓÒ ÑÒÓö Ò Ù Ò ¹ Ö Ñ ÓÑ ÖÓ ÒÓÑ ¹ Ø ÑÙ ï º Ó Þ Ó Ø Ú Ó È ÐÓÚÓÑ Ø ÚÙ Ò ¹ Ô Ð ÓÑ ØÖ µ ï º Ó Þ ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ Ø Ú Ó Ø Ñ ÔÖ ÔÓÑÓ Ù È ÐÓÚÓ Ø Ú Ë Ñ Ð Ú º Ó Ñ Ø Ö Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ò Ó Ú Ù Ó Ñ I IV ï º ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÓÑÓ Ù Ð Ò Ö ÔÖ ÒÓ Ó Ùö ï º ÃÖ Ø Ö ÙÑ Þ ÞÚÓ Ð ÚÓ Ø ÓÑ ØÖ Ó ØÖÙ ÔÓÑÓ Ù Ð Ò Ö ÔÖ ÒÓ Ó Ùö Ð Ù Ó Ø Iº Ç ÔÖ ÚÓ Ó Ò Ö Ñ ÔÙØÙ ÞÑ Ù Ú Ù Ø Ó Ø IIº ËØ Ú Ó Ò Ó Ø Ù ÐÓÚ Ò Ó ÒÓÚ Ö ÚÒÓ Ö Ó ØÖÓÙ Ð Ó Ø IIIº ÆÓÚÓ Þ Ò Ú Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ ¹ ÄÓ Ú Ó Ó Ø IV º Ç Ó ÒÓÚ Ñ ÓÑ ØÖ Ó Ø V º Ç ÔÓÚÖ Ò Ñ ÓÒ Ø ÒØÒ Ù ÓÚ Ö Ú Ò ÓÔÙÒ ½

5 ¾ ÐÓ ÙÔÒÓ Ð Ù Ó ÞÒ Ò ÔÓ Ò ÓÔ ö Ñ Ó ØÐ ÔÓ ¹ ÑÓÚ Ñ Þ ÚÖ Ú Ñ º Ã Ò Ø ÃÖ Ø ØÓ ÙÑ Í Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ñ Ó ¾ Ó Ð ¾º Í Ú Ó ÔÓØÔÙÒÓ Þ Ö Ú Ò ÓÑ ØÖ ØÓ Ó Ö ØÑ Ø ÔÓØÖ Ò ÑÓ Ñ Ð ÖÓ ÔÖÓ Ø Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÓÚ º ÇÚ Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÓÚ Ò Þ Ú Ù Ó Ñ Ñ ÓÑ ØÖ º ÈÓ Ø ÚÐ Ò ÓÑ ÓÑ ØÖ Ô Ø Ú Ò Ò ÓÚ ÙÞ ÑÒ Ó ÒÓ Ø Þ Ø Ó Ó Ó ÚÖ Ñ Ò Ù Ð Ó ÔÖ Ñ Ø ÑÒÓ Ó ÖÓ Ò ÞÚÖ Ò Ö ÔÖ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÇÚ Þ Ø ÚÓ Ò ÐÓ Ù Ò Ð ÞÙ Ò ÔÖÓ ØÓÖÒÓ ÓÔ ö Ò º ËÐ ØÖ ö Ú Ò ÔÖ Ø ÚÐ ÒÓÚ ÔÓ Ù Ù ÓÑ ØÖ ÔÓ Ø Ú Ô Ó Ø Ô Ù Ò Ø Ó Ô Ö Ó Ø Ø Ñ ÓÑ Þ ÓÚ ÓÑ ÞÚ Ù Ò Ú öò ÓÑ ØÖ Ø ÚÓÚ Ø Ó ÒÓ Ú Ó ÞÒ Ö ÞÐ Ø ÖÙÔ ÓÑ Ø Ó ÓÑ ÔÓ Ð Ó Ð Þ ÔÓ Ò ÓÑ º

6 ÈÖÚ Ð Ú È Ø ÖÙÔ ÓÑ ï½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ô Ø ÖÙÔ ÓÑ Ò º Å Þ Ñ Ð ÑÓ ØÖ Ö ÞÐ Ø Ø Ñ ØÚ Ö ØÚ Ö Ô Ö Ú Ó Ø Ñ Ò Þ Ú ÑÓ Ø Ñ ÓÞÒ Ú ÑÓ A, B, C,... ØÚ Ö Ö Ù Ó Ø Ñ Ò Þ Ú ÑÓ ÔÖ Ú Ñ ÓÞÒ Ú ÑÓ a, b, c,... ØÚ Ö Ø Ö ¹ Ø Ñ Ò Þ Ú ÑÓ Ö ÚÒ Ñ ÓÞÒ Ú ÑÓ α, β, γ ººº Ø Ò Þ Ú Ù Ð Ñ ÒØ Ñ Ð Ò ÖÒ ÓÑ ØÖ Ø ÔÖ Ú Ò Þ Ú Ù Ð Ñ ÒØ Ñ Ö ÚÒ ÓÑ ØÖ Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ò Þ Ú Ù Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÒ ÓÑ ØÖ ¹ Ð Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖÓ ØÓÖ º Å Þ Ñ Ð ÑÓ Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ù ÞÚ Ò Ñ Ñ Ù Ó Ò Ñ Ó ÒÓ Ñ ÓÞÒ Ú ÑÓ ÓÚ Ó ÒÓ Ö Ñ Ð ö Ø ÞÑ Ù ÔÓ Ù ÖÒÓ Ô Ö Ð ÐÒÓ Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ò Þ Ñ Ø Ñ Ø ÚÖ ÔÓØÔÙÒ ÓÔ ÓÚ Ó ÒÓ ÔÓ Ø ö ÔÓÑÓ Ù ÓÑ ÓÑ ØÖ º ÓÑ ÓÑ ØÖ ÑÓö ÑÓ ÔÓ Ð Ø Ù Ô Ø ÖÙÔ Ú ÔÓ Ò ÒÓ Ó ÓÚ ÖÙÔ ÞÖ ö Ú ÞÚ Ò ÔÓÚ Þ Ò Ó ÒÓÚÒ Ò Ò Ò ÓÔ ö º Å ÑÓ ÓÚ ÖÙÔ ÓÑ Ò Þ Ú Ø Ò Ð Ò Ò I ½¹ º ÓÑ Ú Þ II ½¹ º ÓÑ Ö ÔÓÖ III ½¹ º ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø IV ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ V ½¹¾º ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø º ﾺ ÖÙÔ ÓÑ I ÓÑ Ú Þ ÓÑ ÓÚ ÖÙÔ ÔÓ Ø ÚÐ Ù Ú ÞÙ ÞÑ Ù ÓÖ Ò Ú Ò ØÚ Ö Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ð I½º Ú Ø A, B ÔÓ ØÓ ÙÚ ÔÖ Ú a Ó ÔÖ Ô Ú Ó Ó ÓÚ Ú Ù Ø A, Bº I¾º Ú Ø A, B Ò ÔÓ ØÓ Ú Ó Ò ÔÖ Ú Ó ÔÖ Ô Ð Ú Ó Ó Ú Ù Ø A, Bº ÇÚ Ó Ù Ð Ñ ÞÐ Ò Ñ ÔÓ Ú Ñ ØÖ Ñ ººº Ø Ñ Ó Òº ÔÖ Ú Ñ Ö ÚÒ Ñ ÙÚ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù Ö Þ Ð Ø Ø Ó Òº ÔÖ Ú Ö ÚÒ º ÍÑ ØÓ ÔÖ Ô Ø ÙÔÓØÖ Ð Ú ÑÓ ÖÙ Ò Ò ÞÖ ö Ú Ò ÒÔÖº ÔÖ Ú a ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ø A B ÔÖ Ú a Ú ÞÙ A B Ð Ú ÞÙ A B A Ð ö Ò a A Ø ÔÖ Ú a ÔÓ ØÓ Ø A Ò a Ø º Ó Ø A Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ a Ó Ñ ØÓ Ò ÖÙ Ó ÔÖ ÚÓ b ÙÔÓØÖ ÑÓ Ø Ó ÞÖ Þ ÔÖ Ú a b Ù Ù Ø A Ñ Ù Ø Ù A Þ Ò Ù Ø º I º Æ ÔÖ ÚÓ ÔÓ ØÓ ÙÚ Ò Ñ Ò Ú Ø º ÈÓ ØÓ Ò Ñ Ò ØÖ Ø Ó Ò Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ º

7 I º Å Þ Ó ØÖ Ø A, B, C Ó Ò Ð ö Ò ØÓ ÔÖ ÚÓ ÔÓ ØÓ ÙÚ Ö Ú Ò α Ó ÔÖ Ô Ú Ó Ó ÓÚ ØÖ Ø A, B, Cº Ú Ù Ö Ú Ò ÙÚ ÔÓ ØÓ Ø Ó Ó ÔÖ Ô º Å ÑÓ ÙÔÓØÖ Ð Ú Ø ÞÖ Þ A Ð ö Ù α A Ø Ö ÚÒ α Ø º I º Å Þ Ó ØÖ Ø A, B, C Ó Ò Ð ö Ò ØÓ ÔÖ ÚÓ Ò ÔÓ ØÓ Ú Ó Ò Ö ÚÒ Ó ÔÖ Ô Ú Ó Ó ÓÚ ØÖ Ù Ø A, B, Cº I º Ó Ú Ø A, B ÔÖ Ú a Ð ö Ù Ö ÚÒ α ÓÒ Ú Ø ÔÖ Ú a Ð ö Ù Ö ÚÒ αº Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù ö ÑÓ Ô Ö Ú a Ð ö Ù Ö Ú Ò α Ø º I º Ó Ú Ö ÚÒ α, β Ñ Ù Þ Ò Ù Ø Ù A ÓÒ ÓÒ Ñ Ù Ò ¹ Ñ Ò Ó ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Bº I º ÈÓ ØÓ Ò Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ð ö Ù ÒÓ Ö ÚÒ º ÓÑ I ÞÖ ö Ú ÔÖÓ ØÓÖ Ò Ñ Ú Ó ØÖ Ñ ÒÞ Ò ÔÖÓØ Ú ÓÑ I ÞÖ ö Ú ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ñ Ò Ó ØÖ Ñ ÒÞ º ÓÑ I½¹ ÑÓ Ù Ò ÞÚ Ø ÓÑ Ñ Ö ÚÒ ÖÙÔ I Þ Ö ÞÐ Ù Ó ÓÑ I ¹ Ó Ò Þ Ú ÑÓ ÔÖÓ ØÓÖÒ Ñ ÓÑ Ñ ÖÙÔ Iº Ç Ø ÚÓÚ Ó Ð Þ ÓÑ I½¹ ÔÓÑ ÒÙ ÑÓ ÑÓ ÓÚ Ú Ë Ø Ú ½º Ú ÔÖ Ú Ó Ð ö Ù ØÓ Ö ÚÒ Ñ Ù Ð ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ð Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ú Ö ÚÒ Ð Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ð Ñ Ù Þ Ò Ù ÔÖ ÚÙ Ó Ñ ØÓ Ò ÒÙ ÖÙ Ù Þ ¹ Ò Ù Ø Ù Ö Ú Ò ÔÖ Ú Ó Ò Ð ö Ù ÓÚÓ Ö ÚÒ Ð Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ð Ñ Ù ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ùº Ë Ø Ú ¾º ÃÖÓÞ ÔÖ ÚÙ Ø Ù Ó Ò Ð ö Ò ÓÚÓ ÔÖ ÚÓ Ó ÖÓÞ Ú Ö ÞÐ Ø ÔÖ Ú Þ Ò ÓÑ Ø ÓÑ ÔÖÓÐ Þ ÙÚ Ò ÑÓ Ò Ö Ú Òº

8 a ï º ÖÙÔ ÓÑ II ÓÑ Ö ÔÓÖ ÓÑ ÓÚ ÖÙÔ Ò Ù ÔÓ Ñ ÞÑ Ù ÓÑÓ Ù Ú Ù Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÚÓ ÔÓ Ñ Ö ÔÓÖ Ø Ò ÔÖ ÚÓ Ù Ö ÚÒ Ù ÔÖÓ ØÓÖÙº Ò º Ì Ò ÔÖ Ú ØÓ Ù ÞÚ Ò Ñ Ñ Ù Ó Ò Ñ Ó ÒÓ Ñ º ÓÔ ÓÚ Ó ÒÓ ÐÙö ÑÓ Ò ÖÓ ØÓ Ö Ù ÞÑ Ù º II½º Ó Ø B Ð ö ÞÑ Ù Ø A C ÓÒ Ù A, B, C ØÖ Ö ÞÐ Ø Ø ÔÖ Ú B Ð ö Ø Ó ÞÑ Ù C Aº A B C II¾º Ú Ø A C ÙÚ ÔÓ ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ø B Ò ÔÖ ÚÓ AB Ø Ó C Ð ö ÞÑ Ù A Bº A C B II º Ç Ñ Ó ØÖ Ù Ø ÔÖ Ú Ò ÔÓ ØÓ Ú Ó Ò Ó Ð ö ÞÑ Ù ÓÒ ÖÙ Ú º Ç Ñ ÓÚ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ö ÔÓÖ ÔÓØÖ Ò Ó Ò ÓÑ Ö ÔÓÖ Þ Ö Ú Òº Ò º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ò ÔÖ ÚÓ a Ú Ø A B Ø Ñ Ú Ù Ø A B ÞÚ ÑÓ Ùö ÓÞÒ Ú Ø AB Ð BAº Ì ÞÑ Ù A B ÞÚ ÑÓ Ø Ñ Ùö AB Ð Ø Ñ Ó Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ùö AB Ø A, B Ò Þ Ú Ù Ö Ò Ñ Ø Ñ Ùö ABº ËÚ Ó Ø Ð Ø ÔÖ Ú a Ò Þ Ú Ù Ø Ñ Ó Ð ö Ú Ò Ùö ABº II º Æ Ù A, B, C ØÖ Ø Ó Ò Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ Ò a ÔÖ Ú Ù Ö ÚÒ ABC Ó Ò ÔÖÓÐ Þ Ò ÖÓÞ ÒÙ Ó Ø Ø A, B, C Ó Ø ÔÖ Ú a ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ ÒÙ Ó Ø Ùö AB ÓÒ ÑÓÖ ÔÖÓÐ Þ Ø ÖÓÞ ÒÙ Ó Ø Ùö AC Ð ÖÓÞ ÒÙ Ó Ø Ùö BCº C A B ÁÞÖ ö Ú Ù Ó Ð ÒÓ ÑÓö ÑÓ Ö Ó ÔÖ Ú ÙÐ Þ Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø ØÖÓÙ Ð ÓÒ ÞÐ Þ Þ Ò º ÔÖ Ú a ÔÖ ØÓÑ Ò ÑÓö ÔÖ Ø Ó Ùö AC BC ÑÓö Ó Þ Ø º

9 ï º ÈÓ Ð Þ ÓÑ Ú Þ Ö ÔÓÖ ÁÞ ÓÑ ÖÙÔ I II Ð Ø ÚÓÚ Ë Ø Ú º Ú Ø A C ÔÓ ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ø D Ò ÔÖ ÚÓ AC Ó Ð ö ÞÑ Ù A Cº F A E D C G Ó Þº ÈÖ Ñ ÓÑ I ÔÓ ØÓ Ú Ò ÔÖ Ú AC Ò Ø E ÔÖ Ñ ÓÑ II¾ ÔÓ ØÓ Ò ÔÖ ÚÓ AE Ø F Ø Ó E Ø Ùö AF º ÈÖ Ñ ØÓ ÓÑ ÔÖ Ñ ÓÑ II ÔÓ ØÓ Ò ÔÖ ÚÓ FC Ø G Ó Ò Ð ö Ò Ùö FCº Ì Ó ÔÖ Ñ ÓÑ II ÔÖ Ú EG ÑÓÖ Ùö AC Ù Ò Ó Ø Dº Ë Ø Ú º Ç Ñ Ó ØÖ Ù Ø A, B, C Ò ÔÖ Ú ÙÚ ÔÓ ØÓ Ò Ó Ð ö ÞÑ Ù ÖÙ Ú Ùº Ó Þº Æ A Ò Ð ö ÞÑ Ù A Bº ËÔÓ ÑÓ Ø Ù D Ó Ò Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ AC Ø ÓÑ B Ó Ö ÑÓ ÔÖ Ñ ÓÑ II¾ Ò ÔÓ ÒÓ ÔÖ ÚÓ Ø Ù G Ø Ó D Ð ö ÞÑ Ù B Gº G F E D A B C ÈÖ Ñ ÒÓÑ ÓÑ II ÔÓ ÞÙ ÔÖ Ú AD CG Ù Ù Ò Ó Ø E Ó Ð ö ÞÑ Ù C G Ò Ø Ò Ò Ó ÔÖ Ú CD AG Ù Ù Ø F Ó Ð ö ÞÑ Ù A Gº Ó ÔÖ Ñ Ò ÓÑ II Ò ØÖÓÙ Ó AEG Ò ÔÖ ÚÙ CF ÔÓ ÞÙ D Ð ö ÞÑ Ù A E ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ø ÓÑ Ò ØÖÓÙ Ó AEC ÔÖ ÚÙ BG ÞÒ Ø B Ð ö ÞÑ Ù A Cº Ë Ø Ú º Å Ó Ø Ö Ø Ò ÔÖ Ú ÑÓ Ù ÙÚ ÓÞÒ Ø A, B, C, D Ø Ó Ø ÓÞÒ Ò B Ð ö ÞÑ Ù A C Ø Ó ÞÑ Ù A D Ð Ø ÓÞÒ Ò C Ð ö ÞÑ Ù A D Ø Ó ÞÑ Ù B Dº

10 Ó Þº Æ Ù A, B, C, D Ø Ö Ø ÔÖ Ú gº Ó Þ ÑÓ Ò ÔÖ ÓÚÓ F G E H A B C D ½º Ó Ø B Ð ö Ò Ùö AC Ø C Ò Ùö BD ÓÒ Ø B C Ð ö Ò Ùö ADº ÁÞ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ ÓÑ Ñ I II¾ Ø Ù E Ó Ò Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ g Ø Ù F Ø Ó E Ð ö ÞÑ Ù C F º Î ØÖÙ ÓÑ ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÓÑ II II ÔÓ ÞÙ Ùö AE BF Ù Ù Ò Ó Ø G Ð ÔÖ Ú CF ÔÖ Ùö GD Ù Ø Hº ÈÓ ØÓ Ò Ø Ò Ò H Ð ö Ò Ùö GD E ÔÖ Ñ ÓÑ II Ò Ð ö Ò Ùö AG ØÓ ÔÖ Ñ ÓÑ II ÔÖ Ú EH ÔÖ Ùö AD Ø º C Ð ö Ò Ùö ADº Á ØÓ Ø Ó Ó ÞÙ Ñ ØÖ ÒÓ Ø B Ð ö Ò ÓÚÓ Ùö º ¾º Ó Ø B Ð ö Ò Ùö AC Ø C Ò Ùö AD ÓÒ Ø C Ð ö Ò Ùö BD Ø B Ò Ùö ADº Ç Ö ÑÓ Ò Ù Ø Ù G Ú Ò ÔÖ Ú g ÒÙ ÖÙ Ù Ø Ù F Ø Ó G Ð ö Ò Ùö BF º ÈÖ Ñ ÓÑ Ñ I¾ II ÔÖ Ú CF Ò ÔÖ Ò Ùö AB Ò Ùö BG Þ ØÓ ÔÖ Ñ ÓÑ II ÓÒ Ø Ó Ò ÔÖ Ò Ùö AGº Ð ÔÓ ØÓ Ø C Ð ö Ò Ùö AD ØÓ ÔÖ Ú CF ÔÖ Ùö GD Ù Ò Ó Ø Hº ÆÓ ÔÖ Ú FH ÓÔ Ø ÔÖ Ñ ÓÑ Ñ II II ÔÖ Ùö BDº Ð C Ð ö Ò Ùö BDº Ç Ø Ð Ó ØÚÖ Ò Ð ÔÖ Ñ ØÓÑ Þ ØÚÖ Ò ½º Æ Ù Ø Ñ Ó Ø Ö Ø Ò ÔÖ Ú º ÍÞÑ ÑÓ ØÖ Ó Ø Ø ÓÞÒ ÑÓ Q ÓÒÙ Ó Ò Ó ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ÓÑ II Ð ö ÞÑ Ù Ú Ù ÖÙ Ó ÓÚ ÓÞÒ ÑÓ Sº Ì ÓÔ Ø Þ ÓÑ II Ø Ú ÔÖÓ Þ Ð Þ Ø S ÑÓö Ñ Ø Ò Ó ÓÚ Ô Ø ÔÓÐÓö R Ð ö ÞÑ Ù P S Ð P Ð ö ÞÑ Ù R S Ð S Ð ö ÞÑ Ù P R Ù ØÓ ÚÖ Ñ Q ÞÑ Ù P S Ð S Ð ö ÞÑ Ù P Q Ð P Ð ö ÞÑ Ù Q Sº ÈÖÚ Ø Ö ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÔÖÙö Ù ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÔÓ ¾ ÔÓ Ð Ò Ù ÔÖ Ø¹ ÔÓ Ø Ú ÔÓ ½º Ì Ñ Ø Ú Ó Þ Òº Ë Ø Ú ÙÓÔ Ø Ò Ø Ú µº Ó Ø Ñ Ó ÓÒ Ò ÖÓ Ø Ò ÔÖ ÚÓ ÓÒ ÓÒ ÑÓ Ù ÙÚ ÓÞÒ Ø A, B, C, D, E,..., K Ø Ó Ø ÓÞÒ Ò B Ð ö ÞÑ Ù A Ò ØÖ Ò C, D, E,..., K ÖÙ ØÖ Ò Ð C ÞÑ Ù A, B Ò ØÖ Ò Þ Ø Ñ D ÞÑ Ù A, B, C Ò ØÖ Ò

11 E,..., K ÖÙ ØÖ Ò Þ Ø Ñ D ÞÑ Ù A, B, C Ò ØÖ Ò E,..., K ÖÙ ØÖ Ò Ø º A B C D E K Ç Ñ ÓÚÓ Ò Ò ÓÞÒ Ú Ò ÔÓ ØÓ Ó ÑÓ Ò Ó ÖÒÙØ Ò Ò ÓÞ¹ Ò Ú Ò K,..., E, D, C, B, A Ó Ñ ØÓ ÚÓ ØÚÓº Ë Ø Ú º ÁÞÑ Ù Ñ Ó Ø Ø Ò ÔÖ Ú ÔÓ ØÓ ÙÚ Ö ÒÓ ÑÒÓ Ó Ø º Ë Ø Ú º ËÚ ÔÖ Ú a Ó Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ö Þ Ú Ø ÓÚ Ö ÚÒ α Ó Ò Ð ö Ò ØÓ ÔÖ ÚÓ Ù Ú Ó Ð Ø Ð ÚÓ ØÚ Ú Ø A Ò Ó Ð Ø Ú ÓÑ Ø ÓÑ B ÖÙ Ó Ð Ø Ó Ö Ù Ùö AB Ù Ó ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ð ö Ò Ø ÔÖ Ú a Ò ÔÖÓØ Ú Ñ Ó Ú Ø A A Ø Ó Ð Ø Ó Ö Ù Ù Ùö AA Ó Ò Öö Ò ÒÙ Ó Ø ÔÖ Ú aº Ò º Ê ÑÓ Ø A A Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ø ØÖ Ò Ó ÔÖ Ú a Ø A B Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ö ÞÒ ØÖ Ò Ó ÔÖ Ú aº A A a B Ò º Æ Ù A, A, O, B Ø Ö Ø Ò ÔÖ ÚÓ a Ø Ó Ø O Ð ö ÞÑ Ù A B Ð Ò Ð ö ÞÑ Ù A A º Ì ÑÓ Þ Ø Ø A A Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ a Ø ØÖ Ò Ó Ø O Ø A, B Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ a Ö ÞÒ ØÖ Ò Ó Ø Oº ËÚ Ø ÔÖ Ú a Ó Ð ö Ø ØÖ Ò Ó Ø O Ò Þ Ú Ù ÔÓÐÙÔÖ ÚÓÑ Ó ÔÓÐ Þ Ó Ø Ç ÔÖ Ñ ØÓÑ Ú Ø ÔÖ Ú Ð ØÙ ÔÖ ÚÙ Ò Ú ÔÓÐÙÔÖ Ú º A A O B Ò º Ë Ø Ñ Ùö AB, BC, CD,...KL Ó Ú ÞÙ Ø A L Ò Þ Ú ÞÐÓÑÐ ÒÓÑ Ð Ò ÓÑ ÓÚ ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò ÓÞÒ Ú Ö Ø Ó ABCD...KLº Ì Ó Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ùö AB, BC, CD,...KL Ó Ø A, B, C, D,..., K, L Ò Þ Ú Ù Ú Þ ÒÓ Ø Ñ ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò º

12 Ó Ø A, B, C, D,..., K, L Ú Ò Ð Þ Ù ÒÓ ÔÖ ÚÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ø L ÔÓ Ð Ô Ø ÓÑ A Ø Ú ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò Ò ÞÚ Ø ÔÓÐ ÓÒÓÑ ÓÞÒ Ø Ó ÔÓÐ ÓÒ ABCD...Kº Ùö AB, BC, CD,..., KA Ò Þ Ú Ù ØÖ Ò Ñ ÔÓÐ ÓÒ Ø A, B, C, D,..., K Ø Ñ Ò Ñ ÔÓÐ ÓÒ º ÈÓÐ ÓÒ ººº n Ø Ñ Ò Ò Þ Ú ØÖÓÙ ÐÓÑ ØÚÓÖÓÙ ÐÓÑ ººº n¹øóù ÐÓѺ Ò º Ó Ù Ú Ø Ñ Ò ÔÓÐ ÓÒ Ö ÞÐ Ø Ò ÒÓ Ø Ñ ÔÓÐ ¹ ÓÒ Ò Ð ö Ò ÒÓ Ò ÓÚÓ ØÖ Ò Ó Ñ Ó Ú ØÖ Ò ÔÓÐ ÓÒ Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ø ÔÓÐ ÓÒ Ò Þ Ú ÔÖÓ Ø Ñº ÈÓÑÓ Ù Ø Ú Ó ÑÓ Þ ÞÒ ØÒ Ø Ó Ó Ð Ø ÚÓÚ Ë Ø Ú º ËÚ ÔÖÓ Ø ÔÓÐ ÓÒ Ó Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ö Þ Ú ÓÒ Ø Ö ÚÒ α Ó Ò ÔÖ Ô Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ò Ú Ó Ð Ø ÙÒÙØÖ Ò Ù ÔÓÐ Ò Ù ÓÚ Ñ ÚÓ ØÚÓÑ Ó A Ø ÙÒÙØÖ Ò Ó Ð Ø Ù Ò Ù Ø Ö Ò Ø µ B Ø ÔÓÐ Ò Ó Ð Ø Ô Ó Ð Ò Ø µ Ú ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò Ó Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ú ÞÙ Ø A B Ñ Ò Ñ Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù ÔÓÐ ÓÒÓÑ Ò ÔÖÓØ Ú Ó Ù A, A Ú ÙÒÙØÖ Ò Ø ÔÓÐ ÓÒ B, B Ú ÔÓÐ Ò Ø ÔÓÐ ÓÒ ØÓ Ù Ö ÚÒ α ÔÓ ØÓ ÙÚ ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò Ó Ô Ù Ø Ù A A Ø Ù B B Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù ÔÓÐ ÓÒÓѺ B A A B ÈÖ ÔÓ ÒÓÑ Þ ÓÖÙ Ò Þ Ú Þ Ó Ó Ð Ø ÔÓ ØÓ ÙÚ ÔÖ Ú Ù Ö ÚÒ α Ó Ð Ð ö Ù ÔÓÐ Ò Ó Ó Ð Ø ÔÓÐ ÓÒ Ò ÔÖÓØ Ú Ò ÔÓ ØÓ Ò Ò ÔÖ Ú Ó Ð Ð ö Ð Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÔÓÐ ÓÒ º Ë Ø Ú ½¼º ËÚ Ö Ú Ò α Ö Þ Ú Ó Ø Ð Ø ÔÖÓ ØÓÖ Ù Ú Ó Ð Ø Ó Ñ Ù ÓÚÓ ÚÓ ØÚÓ Ú Ø A Ò Ó Ð Ø Ú ÓÑ Ø ÓÑ B ÖÙ Ó Ð Ø Ó Ö Ù Ùö AB Ó Ù Öö ÒÙ Ø Ù Ö ÚÒ α Ò ÔÖÓØ Ú Ñ Ó Ú Ø A A Ò Ø Ó Ð Ø Ó Ö Ù Ù Ùö AA Ó Ò Öö Ò ÒÙ Ø Ù Ö ÚÒ αº Ò º ÃÓÖ Ø ÓÞÒ Ñ Þ Ø Ú ½¼ Ö ÑÓ Ø A A Ð ö Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø ØÖ Ò Ó Ö ÚÒ α Ø A B Ð ö Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö ÞÐ Ø ØÖ Ò Ó Ö ÚÒ αº ËØ Ú ½¼ ÞÖ ö Ú Ò Ú öò Ò Ò Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ö ÔÓÖ Ð Ñ Ò Ø Ù Ô Ö Ó Ø Ó Ö Ù ÓØÙ Ù ÓÚ Ò Ò Ð Ù ÚÓ ÔÓ Ð Ó ÔÓ Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÔÓØÖ Ò Ò Ò ÒÓÚ Ô Ö Ó Ø Ó Ö Ò ÓÑ ÖÙÔ IIº

13 ½¼ ï º ÖÙÔ ÓÑ III ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÓÑ ÓÚ ÖÙÔ Ò Ù ÔÓ Ñ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ø Ñ ÔÓ Ñ Ö Ø Ò º Ò º Ùö ØÓ Ù ÞÚ Ò Ñ Ó ÒÓ Ñ Ñ Ù Ó ÓÑ Þ Ò Ñ ÓÞÒ Ú Ò ÐÙö Ö ÔÓ Ù ÖÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØÒÓµ Ð Ò Ó º III ½º Ó Ù A, B Ú Ø Ò ÔÖ ÚÓ a Ó Ð A Ø Ò ØÓ Ð Ò ÖÙ Ó ÔÖ ÚÓ a ÓÒ ÑÓö ÙÚ Ò Ø Ú Ø B ÔÖ Ú a Ò ØÓ ØÖ Ò Ó Ø A Ùö AB Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ð Ò Ùö A B ØÓ ÑÓ ÓÞÒ Ø Ò Ð Ò Ò AB = A B ÇÚ ÓÑ Þ Ø Ú ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ùö º  ÒÓÞÒ ÒÓ Ø Ø ÚÓ ÔÖ ÒÓ Ò ÓÒ Ó Þ Ò º Ùö Ð Ò Ò ÔÖÓ ØÓ Ó Ø Ñ Ú Ù Ø ÓÞÒ Ò AB Ð BAº ÈÓÖ ÓÚ Ø Ò Ù Ò ÙÞ Ø Ù Ó Þ Ö Þ ØÓ ÓÖÑÙÐ AB = A B, AB = B A BA = A B, BA = B A Ñ Ù ØÓ ÞÒ Ò º III¾º Ó Ù Ùö A B A B ÔÓ Ù ÖÒ ÒÓ ØÓ Ùö AB Ùö A B ÔÓ Ù ÖÒ Ùö A B Ð Ö Ø Ó Ó Ù Ú Ùö ÔÓ Ù ÖÒ ØÖ Ó ÔÓ Ù ÖÒ Ù Ñ Ù Ó ÓѺ ÈÓ ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ð Ò Ó Ø ÙÚÓ Ø ÔÓÑÓ Ù ÓÚ ÓÑ ØÓ Ò ÔÖ Ò ÑÓ ÔÓ Ö ÞÙÑÐ ÚÓ Ú Ùö Ñ ÔÓ Ù ÖÒ Ð ÓÚ Ò Ò Ð Þ ÔÖÚ Ú Ù ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÔÖ Ò ÑÓ Ùö AB Ò Ñ Ó Ù ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ø Ó ÓÒ ØÖÙ Ò Ùö A B ÔÓ Ù ÖÒ Ùö AB Ø ÔÖ Ñ Ò ÑÓ ÓÑÙ III¾ Ò ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AB = A B AB = A B º Æ Ó ÒÓÚÙ ØÓ Ó Ð ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÓÑ III 2 ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö Ñ ÚÓ ØÚÓ Ñ Ø ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø Ø º Ú ö Ø ÚÓÚ Ó AB A B ÓÒ A B AB Ó AB A B A B A B ÓÒ AB A B º

14 ½½ Æ Ó ÒÓÚÙ Ñ ØÖ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö ÑÓö Ö Ú Ùö Ù Ñ ¹ Ù Ó ÒÓ ÔÓ Ù ÖÒ º III 3 º Æ Ù AB BC Ú Ùö Ò ÔÖ ÚÓ a Þ Þ Ò Ø Ò Ù Ð A B B C Ú Ùö Ò ØÓ ÔÖ ÚÓ a Ð Ò Ò Ó ÖÙ Ó ÔÖ ÚÓ a Ó ØÓ Ø Ó Ò Ñ Ù Þ Ò Ø Ó AB A B BC B C ÙÚ AC A C º A B C a A B C a ÇÚ ÓÑ ÞÖ ö Ú Þ Ø Ú ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ö Ò Ùö º ÈÖ ÒÓ Ò Ù ÐÓÚ ØÓ Ø Ó Ô Ø ÒÓ Ó ÔÖ ÒÓ Ò Ùö º Ç Ñ ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÔÖ ¹ ÒÓ Ò Ù ÐÓÚ Ú Ó ÑÓÖ ÓÑ Ø Þ Ø Ú Ø Ó ÒÓÞÒ ÒÓ Ø Ò ÔÖÓØ Ú ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø Ø ÚÒÓ Ø ÑÓ Ù Ó Þ Ø º Ò º Æ α ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ö Ú Ò h k Ò Ù Ú Ñ Ó Ö ÞÐ Ø ÔÓÐÙÔÖ Ú Ó ÞÐ Þ Þ Ø O Ù Ö ÚÒ α ÔÖ Ô Ù Ö ÞÒ Ñ ÔÖ Ú Ñ º Ë Ø Ñ ÓÚ Ú ÔÓÐÙÔÖ Ú h, k Ò Þ Ú ÑÓ Ù ÐÓÑ ÓÞÒ ÑÓ h, kµ Ð k, hµº ÈÓÐÙÔÖ Ú h, k Ò Þ Ú Ù Ö Ñ Ù Ð Ø O Ò Þ Ú Ø Ñ ÒÓÑ Ù Ð º ÈÓÐÓö Ò ÔÙÔ Ò Ù ÐÓÚ Ð Ù Ò Ù ÓÚÓÑ Ò ÓѺ Æ ÔÓÐÙÔÖ Ú h ÔÖ Ô ÔÖ ÚÓ h ÔÓÐÙÔÖ Ú k ÔÖ ÚÓ kº ÈÓÐÙÔÖ Ú h k ÙÞ Ø Þ ÒÓ Ø ÓÑ O Ð Ó Ø Ð Ø Ö ÚÒ Ù Ú Ó Ð Ø Þ Ú Ø Ó h Ð ö Ò ØÓ ØÖ Ò Ó k k Ò ØÓ ØÖ Ò Ó h ö ÑÓ Ð ö Ù ÙÒÙØ Ò Ó Ø Ù Ð (h, k) Þ Ú ÖÙ Ø ö ÑÓ Ð ö Ù ÔÓÐ Ò Ó Ø Ð Ú Ò ÓÚÓ Ù Ð º Æ Ó ÒÓÚ ÓÑ I II Ð Ó ÔÓ ÞÙ Ó Ó Ð Ø Öö Ø Ùö Ó Ú ÞÙ Ú Ø Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð ÙÚ Ð Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð º Á ØÓ Ø Ó Ð Ó ÑÓ Ù Ó Þ Ø Ð Ò Ò Ó Ø H Ð ö Ò h Ø H Ò k ØÓ Ð Ùö HK Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø º ÈÓÐÙÔÖ Ú Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø O Ð Ð Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð Ð Ð Ð ö Ú Ò ØÓ Ù Ð ÔÓÐÙÔÖ Ú Ó Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð ÔÖ Ùö HKº Ó A Ø Ò Ó Ð Ø B Ø ÖÙ Ó Ð Ø ØÓ Ú ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò Ó Ú ÞÙ A B Ð ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ø Ù O Ð Ñ h Ð k Ò Ñ Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ò ÔÖÓØ Ú Ó Ù A, A Ø Ø Ó Ð Ø ØÓ ÙÚ ÔÓ ØÓ ÞÐÓÑÐ Ò Ð Ò Ó Ú ÞÙ Ø Ù A A Ò Ø ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ø Ù O Ò Ø ÖÓÞ ÒÙ Ó Ø ÔÓÐÙÔÖ Ú h kº Ò º Í ÐÓÚ ØÓ Ù ÞÚ Ò Ñ Ñ Ù Ó Ò Ñ Ó ÒÓ Ñ Þ Ò Ñ ÓÞÒ Ú Ò Ø Ó ÐÙö Ö ÔÓ Ù ÖÒÓ ÓÒ ÙÖ ÒØÒÓµ Ð Ò Ó º III 4 º Æ Ø Ù Ó h, kµ Ö ÚÒ α ÔÖ Ú a Ù Ö ÚÒ α Ó Ó Ö Ò ØÖ Ò Ö ÚÒ α ÔÖ Ñ ÔÖ ÚÓ a º Æ h ÓÞÒ Ú ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ ÔÖ Ú a Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø O ÓÒ Ù Ö ÚÒ α ÔÓ ØÓ Ò ÑÓ Ò

15 ½¾ ÔÓÐÙÔÖ Ú k Ø Ó Ù Ó h, kµ ÔÓ Ù Ö Ò Ð Ò Ù ÐÙ h, k µ Ù ØÓ ÚÖ Ñ Ú ÙÒÙØÖ Ò Ø Ù Ð h, k µ Ò Ð Þ Ò ØÓ ØÖ Ò Ó ÔÖ Ú a ØÓ ÑÓ ÓÞÒ Ø Ò ÓÚ Ò Ò h, kµ h, k µº ËÚ Ù Ó ÔÓ Ù Ö Ò ÑÓÑ Ø º ÙÚ h, kµ h, kµ Í Ö Ø Ó Ö ÒÓ Ú Ù Ó ÑÓö Ò ÒÓÞÒ Ò Ò Ò ÔÖ Ò Ø Ù ØÓ Ö ÚÒ Ò ØÙ ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ø ØÖ Ò º ÈÖ Ò Ò Ù Ù Ð Ò ÑÓ ÙÞ Ñ Ð Ù Ó Þ Ö Ñ Ö Ó ÖØ Ò Ó ØÓ Ò ÑÓ ÙÞ Ñ Ð Ù Ó Þ Ö Ñ Ö Ó Ùö º ÇØÙ ÓÞÒ h, kµ h, k µ h, kµ k, h µ k, hµ h, k µ k, hµ k, h µ Ñ Ù Ø Ñ Óº Ò º Í Ó Ø Ñ ÒÓÑ Ù Ø B Ò Ñ ÒÓÑ Ö Ù Ð ö Ø A Ò ÖÙ ÓÑ Ø C ÓÞÒ Ú ABC Ð Ö Ø Ó B º Í ÐÓÚ ÓÞÒ Ú Ù Ñ Ð Ñ Ö Ñ ÐÓÚ Ñ º III 5 º Ó Þ Ú ØÖÓÙ Ð ABC A B C Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ABC A B C ÓÒ ÙÚ ÔÓ ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Øº ÓÑ III 1 3 Öö ÑÓ Þ Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö Þ ØÓ ÓÒ ÑÓ Ù Ò Þ Ú Ø Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ñ IIIº ÓÑ III 4 Öö Þ Ó ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø Ù ÐÓÚ º ÓÑ III 5 Ú ÞÙ Ñ Ù Ó ÓÑ ÔÓ ÑÓÚ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö Ù ÐÓÚ º A C B A B B ÓÑ III 4 III 5 Öö Þ Ó ÐÑ ÒØ Ñ Ö Ú Ò ÓÑ ØÖ Þ ØÓ ÑÓ Ù Ò ÞÚ Ø ÓÑ Ñ Ö ÚÒ ÖÙÔ IIIº  ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ùö Ð Þ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ù ÐÓÚ ÙÞ ÔÓÑÓ ÓÑ III 5 º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ùö AB ÑÓö ÔÖ Ò Ø Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø A Ò Ú Ò Ò Ò Ñ Ó Ø B Ó Ø B º ÍÞ ÑÓ Ø Ø Ù C Ú Ò ÔÖ Ú A B Ó ÑÓ ÓÒ ÖÙ Ò

16 ½ A B A B A C A C A B C B A C Ð ÔÖ Ñ ÓÑ III 4 A C B A C B ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ð Ó Þ Ø Ú Ù ÓÑ III 4 º ï º ÈÓ Ð ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ò º Ú Ù Ð Ó Ñ Ù Þ Ò Ó Ø Ñ Ò Þ Ò Ö Ò Þ Ò Ö Ó Ö ÞÙ Ù ÔÖ ÚÙ Ò Þ Ú Ù ÙÔÓÖ Ò Ñ Ù ÐÓÚÓÑ º Ú Ù Ð Þ Ò Ñ Ø Ñ ÒÓÑ Ö Ó Ö ÞÙ Ù Ú ÔÖ Ú Ò Þ Ú Ù ÙÒ Ö Ò Ñ Ù ÐÓÚ Ñ º Í Ó Ó ÚÓÑ ÙÔÓÖ ÒÓÑ Ù ÐÙ ÔÓ Ù Ö Ò Ò Þ Ú ÔÖ Ú Ñ Ù ÐÓѺ Ó Þ ÑÓ Ö ÓÑ ÓÚ Ø ÚÓÚ Ë Ø Ú ½½º Í ØÖÓÙ ÐÙ Ú ÔÓ Ù ÖÒ ØÖ Ò Ù ÐÓÚ Ó Ð ö Ò ÔÖ Ñ Ø ØÖ Ò Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ð Ö Ù Ö ÚÒÓ Ö ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ Ù ÐÓÚ Ò Ó ÒÓÚ Ù Ò º ÇÚ Ø Ú Ð Þ ÓÑ III 5 ÔÓ Ð Ò Ð ÓÑ III 4 º Ò º ØÖÓÙ Ó ABC ö ÔÓ Ù Ö Ò ØÖÓÙ ÐÙ A B C Ó Ù ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AB A B AC A C BC B C A A B B C C Ú Þ ÓÚÓÐ Ò º Ë Ø Ú ½¾ ÔÖÚ Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ µº ÌÖÓÙ Ó ABC ÔÓ Ù¹ Ö Ò ØÖÓÙ ÐÙ A B C Ó Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AB A B AC A C A A º C C D A B A B Ó Þº ÈÖ Ñ ÓÑ III 5 ÔÓ ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø B B C C Þ ØÓ Ó Ø ÑÓ Ó Ó ö Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø BC B C º ÈÖ Ø¹ ÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ò Ñ BC Ò ÔÓ Ù ÖÒÓ B C Ó Ö ÑÓ Ò B C Ø Ù D Ø Ó BC B C º Ì ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÓÑ III 5 Ò ØÖÓÙ ÐÓÚ ABC A B C Ó ABC A B D º Ó Ð Ù Ó BAC ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò Ó Ù ÐÙ B A D Ø Ó Ù ÐÙ B A C ÓÚÓ

17 ½ ÑÓ Ù ÔÓ ØÓ ÔÖ Ñ ÓÑ III 4 Ú Ù Ó ÑÓö Ù Ö ÚÒ ÔÖ Ò Ø ÑÓ Ò Ò Ò Ò Ò ØÙ ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ø ØÖ Ò Ù Ö ÚÒ º Ì Ñ Ó Þ ÒÓ ØÖÓÙ Ó ABC ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò ØÖÓÙ ÐÙ A B C º Á ØÓ Ø Ó Ð Ó Ó ÞÙ Ð Ø Úº Ë Ø Ú ½ ÖÙ Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ µº ÌÖÓÙ Ó ABC ÔÓ Ù¹ Ö Ò ÖÙ ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ A B C Ó Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AB A B A A B B º Ë Ø Ú ½ º Ó Ù Ó ABC ÔÓ Ù Ö Ò ÖÙ ÓÑ Ù ÐÙ A B C Ò ÓÚ ÙÔÓÖ Ò Ù Ó CBD ÔÓ Ù Ö Ò ÙÔÓÖ ÒÓÑ Ù ÐÙ C B D ÓÒÓ ÖÙ Ó Ù Ð º C C A B D D A B Ó Þº ÁÞ Ö ÑÓ Ø A C D Ò Ö Ñ Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø B Ø Ó Ù AB A B CB C B DB D B º ÁÞ Ø Ú ½¾ Ø Ð ØÖÓÙ Ó ABC ÔÓ Ù Ö Ò ØÖÓÙ ÐÙ A B C Ø º Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AC A C BAC B A C º Ó Ñ ØÓ Ó ÔÖ Ñ ÓÑ III 3 Ùö AD ÔÓ Ù ÖÒ Ùö A D Þ ØÓ Ø Ú ½¾ Ð ØÖÓÙ Ó CAD ÔÓ Ù Ö Ò ØÖÓÙ ÐÙ C A D Ø º Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø CD C D ADC A D C Ó ØÐ Ð ÔÓ Ñ ØÖ Ù ØÖÓÙ ÐÓÚ BCD B C D ÔÖ Ñ ÓÑ III 5 CBD C B D º Æ ÔÓ Ö Ò ÔÓ Ð Ø Ú ½ Ø Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÙÒ Ö Ò Ù ÐÓÚ º Ð Þ ØÓ Ø Ú Ð Þ Ø Ò ÔÖ ÚÓ Ù Ð º Ó Ò Ñ ÔÖ Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ù Ó Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ OA Ó Ø O Ò Ó ØÖ Ò Ò ÐÓ Ó Ò Ñ Ö Ñ Ó Ø O ÙÞÑÙ ÓÒ ÖÙ ÒØÒ Ùö OB OC ØÓ Ùö BC ÔÖ ÔÖ ÚÙ OA Ù Ò Ó Ø Dº ÈÓ ÐÓÔ Ð ÔÖ ØÓÑ Ø D Ø ÓÑ O ÓÒ Ù Ù ÐÓÚ BOA COA Ò ÙÔÓÖ Ò Ñ Ù ÐÓÚ Ñ Þ ØÓ ÔÖ Ú º Ä ö Ð Ô D Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ DA ÔÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ DOB DOC Ù ÐÙ Ù D Ð ö Ò ÖÙ Ó ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ ØÓ Þ Ø Ú ½ Ð ÔÓÑ ÒÙØ ÔÓ Ù ÖÒÓ Øº

18 ½ B B O D A D O A C C ÈÖ Ñ ÓÑ III 2 Ú Ùö ÔÓ Ù ÖÒ ÑÓ OD DOº ÈÖ Ñ ØÓÑ Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÑ III 5 Ð ODB ODCº Ë Ø Ú ½ º Æ Ù h, k, l Ò ØÖ Ò h, k, l ÖÙ ØÖ Ò ÔÓ ØÖ ÔÓÐÙÔÖ Ú Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø Ø O Ó ÒÓ ÒÓ O Ð ö Ù Ö ÚÒ α Ó ÒÓ ÒÓ α º Æ ÔÖ ØÓÑ h, k h, k Ð ö Ò ØÓ ØÖ Ò Ð Ö ÞÒ Ñ ØÖ Ò Ñ Ó l Ó ÒÓ ÒÓ l º Ó Ø ÔÓ ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÓÒ ÙÚ h, lµ h, l µ k, lµ k, l µ h, kµ h, k µº Ó Þ Ø ÞÚ Ò Þ ÐÙ h k Ð ö Ò ØÓ ØÖ Ò Ó l ÔÖ Ñ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø Ó h k Ð ö Ò ØÓ ØÖ Ò Ó l º ÈÓÑÓ Ù Ø Ú ½ ÖÙ ÐÙ ÚÓ Ò ÔÖÚ ÐÙ º ÁÞ Ò Ð Ð h Ð ö Ù Ù ÐÙ k, lµ Ð k Ð Þ Ù Ù ÐÙ h, lµº ÍÞÑ ÑÓ ÓÞÒ Ú Ò Ø Ó h Ð ö Ù Ù ÐÙ k, lµº Ç Ö ÑÓ Ò Ö Ñ k, k, l, l Ø K, K, L, L Ø Ó Ù OK O K º ÈÖ Ñ ÒÓÑ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò Ú ÒÓÑ Ø ÚÙ ÔÓÐÙÔÖ Ú h ÔÖ Ùö KL Ù Ø Hº K K k h H k H h O l L O l L ÍÞÑ ÑÓ Ø Ù H Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ h Ø Ó Ù OH O H º Í ØÖÓÙ¹ ÐÓÚ Ñ OLH O L H Ó Ù ØÖÓÙ ÐÓÚ Ñ OLK O L K Ò Ó ÒÓÚÙ Ø Ú ½¾ Ó Ù ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ò Þ OLH O L H OLK O L K LH L H LK L K OLK O L K

19 ½ Ã Ó ÔÖ Ñ ÓÑ III 4 Ú Ù Ó ÑÓö ÑÓ Ò Ò Ò Ò ÔÖ Ò Ø Ò ØÙ ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ø ØÖ Ò Ù Ò Ó Ö ÚÒ Ó H K ÔÖ Ñ ÔÖ Ø¹ ÔÓ Ø Ú Ð ö Ò ØÓ ØÖ Ò Ó l ØÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ú Ù ÔÓÑ ÒÙØ ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø Ùö Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÑ III 3 Ð Ó ÔÓ ÞÙ HK H K º ÁÞ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø OK O K HK H K OKL O K L ÑÓö ÔÓ¹ ÑÓ Ù ÓÑ III 5 ÞÚ Ø Ø ÒÓ Ø Ò ØÚÖ Ò º Æ Ð Ò Ò Ò ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÚ Ò Ò Ë Ø Ú ½ º Æ Ù Ó h, kµ Ó Ù Ö ÚÒ α ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ h, k µ Ó Ù Ö ÚÒ α Ò l ÔÓÐÙÔÖ Ú Ö ÚÒ α Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø Ñ Ò Ù Ð h, kµ ÔÖÓ Ø Ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø ÓÚÓ Ù Ð Ø Ù Ö ÚÒ α ÔÓ ØÓ Ò ÑÓ Ò ÔÓÐÙÔÖ Ú l Ó ÔÓÐ Þ Þ Ø Ñ Ò Ù Ð h, k µ ÔÖÓ Ø Ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø ÓÚÓ Ù Ð Ø Ó h, k µ h, k µ k, lµ k, l µº ÑÓ Ó Ð ØÖ Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ó Ó ÒÙ Ñ ØÖ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ù ÐÓÚ ÞÚ ÑÓ Ò ÔÖ Þ Ø Ú ½ Ó ÓÚ Ø Ú Ë Ø Ú ½ º Ó Ú Ø Z 1 Z 2 Ð ö Ö ÞÒ ØÖ Ò ÔÖ Ú XY Ó ÔÖ ØÓÑ Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø XZ 1 XZ 2 Y Z 1 Y Z 2 Ù Ó XY Z 1 ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ XY Z 2 º X Z 1 Z 2 Y Ó Þº ÈÖ Ñ Ø ÚÙ ½½ XZ 1 Z 2 XZ 2 Z 1 Y Z 1 Z 2 Y Z 2 Z 1 º ØÓ Þ Ø Ú ½ Ð ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø XZ 1 Y XZ 2 Y º Æ ÖÓ Ø ÐÙ Ú X Ó ÒÓ ÒÓ Y Ð ö Ò Z 1 Z 2 Ö Ú Ù Ó ÔÖÓ Ø º ÁÞ ÔÓ Ð Ò ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø ÔÖ ØÔÓ Ø ÚÐ Ò ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø XZ 1 XZ 2 Y Z 1 Y Z 2 Ð ÔÖ Ñ ÓÑ III 5 ØÚÖ Ò XY Z 1 XY Z 2 º Ë Ø Ú ½ ØÖ Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ µº Ó Ù Ù Ú ØÖÓÙ Ð ABC A B C Ó ÓÚ Ö Ù ØÖ Ò ÔÓ Ù ÖÒ ÓÒ Ù ØÖÓÙ ÐÓÚ ÔÓ Ù ÖÒ º B C B B 0 C B A A

20 ½ Ó Þº Ã Ó Ò ØÖ Ò ½½ Ó Þ Ò Ó Ó Ò Ñ ØÖ Þ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö ÓÚÓÐ ÒÓ Ó Þ Ø ØÖÓÙ Ó ABC ÔÓ Ù Ö Ò ØÖÓÙ ÐÙ A B C º ÈÖ Ò ÑÓ Ù Ó BAC Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ A C Ó ØÖ Ò Ø A º Æ Ö Ù Ó Ø ÓÑ B Ð ö Ø ØÖ Ò Ó A C Ó Ö ÑÓ Ø Ù B 0 Ø Ó A B 0 AB Ó Ö ÑÓ Ò ÖÙ ÓÑ ÐÓ Ó ÒÓÑ Ö Ù Ø Ù B Ø Ó A B ABº ÈÖ Ñ Ø ÚÙ ½¾ BC B 0 C ØÓ Ø Ó BC B C º ÁÞ Ó ÔÓÑ ÒÙØ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Þ ÒÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ñ Þ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÔÖ Ñ ÓÑ III 2 Ó ÑÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø A B A B 0 B C B 0 C A B A B B C B C º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú Ø Ú ½ Ð Ú ö Ó Þ Ó ØÖÓÙ Ð A B C A B 0 C Ø Ó ØÓ Þ Ó ØÖÓÙ Ð A B C A B C Ø º Ù Ó B A C ÔÓ Ù Ö Ò Ó Ù ÐÙ B 0 A C Ø Ó Ù ÐÙ B A C º ÆÓ Ó ÔÖ Ñ ÓÑ III 4 Ú Ù Ó ÑÓö ÑÓ Ò Ò Ò Ò ÔÖ Ò Ø Ò ØÙ ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ø ØÖ Ò Ù Ò Ó Ö ÚÒ ØÓ ÔÓÐÙÔÖ Ú A B 0 ÑÓÖ ÔÓ ÐÓÔ Ø ÔÓÐÙÔÖ ÚÓÑ A B Ø º Ù Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò Ù ÐÙ BAC Ó ÔÖ Ò Ø Ó Ö Ò ØÖ Ò Ò A C Ø Ù Ó B A C º ÁÞ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø BAC B A C Þ ÔÖ ¹ ÔÓ Ø ÚÐ Ò ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö Ð ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ½¾ ØÚÖ Ò Ò Ø Ó¹ Ö Ñ Ë Ø Ú ½ º Ó Ù Ú Ù Ð h, k µ h, k µ ÔÓ Ù ÖÒ ØÖ Ñ Ù ÐÙ h, kµ ÓÒ Ù Ó h, k µ ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ h, k µ ÇÚ Ø Ú Ó Ó ÓÚ Ö ÓÑ III 2 ÑÓö ÓÚ Ó ÓÖÑÙÐ Ø Ó Ù Ú Ù Ð ÔÓ Ù ÖÒ ØÖ Ñ ÓÒ Ù Ñ Ù Ó ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒ º Ó Þº Æ Ù Ø O O O Ø Ñ Ò ØÖ Ø Ù Ð º Ç Ö ÑÓ Ò ÔÓ ÒÓÑ Ö Ù Ú Ó Ó ÓÚ Ù ÐÓÚ Ø A A A Ø Ó Ù O A OA O A OAº Á ØÓ Ø Ó Ó Ö ÑÓ Ò ÖÙ Ñ Ö Ñ Ø B, B B Ø Ó Ù O B OB O B OBº ÇÚ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Þ ÒÓ Ó ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ½¾ Ù ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø h, k µ h, kµ h, k ) h, kµ A B AB A B ABº ÈÖ Ñ ÓÑ III 2 Ð Ú ØÖ Ó ÓÚ Ö Ù ØÖ Ò ØÖÓÙ ÐÓÚ A B O A B O ÔÓ Ù ÖÒ Ù Ø Ñ ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ½ Ú ö h, k µ h, k µº ÁÞ Ø Ú ½ ØÓ Ó Þ Ùö Þ ÓÑ III 2 Ð Ó Ó Ò Ñ ØÖ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ù ÐÓÚ Ø º Ó α β ÓÒ Ù Ù ÐÓÚ α β Ñ Ù

21 ½ Ó ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒ º Æ ÖÓ ØÓ Ø ÚÓÚ ½¾¹½ ÑÓ Ù ÞÖ Þ Ø Ù Ñ ØÖ ÒÓ ÓÖÑ º Ë ÑÓö ÑÓ Þ ÒÓÚ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ º Ë Ø Ú ¾¼º Æ Ù Ø Ñ Ó Ú Ù Ð h, kµ h, k µº Ó Ø ÔÖ ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ù Ð h, kµ Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ h ØÖ Ò Ò Ó Ó ÔÓÐÙÔÖ Ú l Ó ÙÒÙØÖ Ò ÔÓÐÙÔÖ Ú k ÓÒ ÔÖ ÒÓ Ò Ñ Ù Ð h, k µ Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ h ØÖ Ò Ò Ó Ó k Ó ÔÓÐ Ò ÔÓÐÙÔÖ Ú l Ó ÖÒÙØÓº l k l k h h k l l k l h h Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ l Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð h, kµº ÈÓ ØÓ h, kµ h, k µ ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ½ ÙÒÙØÖ Ò Ó ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ l Ó ÓÚ Ö ÔÓÐÙÔÖ ¹ Ú l Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð h, k µ Ø Ó Ú ö ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø h, lµ h, l µº ÈÖ Ñ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Þ Ó Ñ ØÖ ÓÒ ÖÙ Ò Ù ÐÓÚ Ú ö h, lµ h, l µ ÔÖ ÑÙ Ù l l ÒÙöÒÓ Ö ÞÐ Ø ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ð ÔÓ ÓÑ III 4 º Ç ÖÒÙØ Ø Ú Ó ÞÙ Ð ÒÓº Ò º Ó ÔÖ ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ù Ð h, kµ ÓÔ ÒÓÑ Ù Ø ÚÙ ¾¼ ÔÓÐÙÔÖ Ú k Ô Ò Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð h, l µ ÓÒ ö ÑÓ Ù Ó h, kµ Ñ Ò Ó Ù Ð h, k µ Ô ÑÓ h, kµ < h, l µ Ó Ð Ô ÔÖ ØÓÑ Ó ÔÓÐ Ò ÔÓÐÙÔÖ Ú ÓÒ ÑÓ Ö Ù Ó h, kµ Ú Ó Ù Ð h, l µ Ô Ø h, kµ > h, l µº Î ÑÓ Þ Ú Ù Ð α β ÙÚ ÔÓ ØÓ Ò ÑÓ Ò Ó ÓÚ ØÖ ÑÓ Ù ÒÓ Ø α < β β > α α β α > β β < αº ÍÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø º Þ Ú Ó ØÖ Ù ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ð ½º α > β β > γ ¾º α > β β γ º α β β > γ α > γº ÍÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ùö Ò ÐÓ Ò Ñ ÚÓ ØÚ Ñ Ò ÔÓ Ö ÒÓ Ð Þ ¹ ÓÑ II III 1 ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ùö Ó Þ Ò Ö Ò º Æ Ó ¹ ÒÓÚÙ ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ ÔÓ Ø ö Ó Þ Ò Ö ÒÓ ÔÖÓ ØÓ Ø Ú Ó Ù Ð ¹ ÔÓ ÑÓÑ Ñ Ð Ò Ù Þ ÔÖ Ú ¹ Ø Ú Ó Ñ Ù ÓÑ º Ë Ø Ú ¾½º ËÚ ÔÖ Ú Ù ÐÓÚ Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ñ Ù Ó ÓÑ

22 ½ l l h α β k α β Ó Þº ÈÖ Ú Ù Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ú Ù Ó Ó ÔÓ Ù Ö Ò ÚÓÑ ÙÔÓÖ ÒÓÑ Ù ÐÙº Æ Ù Ù ÐÓÚ α Ð h, lµ β Ð k, lµ ÙÔÓÖ Ò Ù ÐÓÚ ØÓ Ø Ó Ù ÐÓÚ α β Ò α β α β º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ ØÚÖ Ò Ù Ø Ú ¾½ Ù Ó α Ò ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ αº Ì ÔÖ ÒÓ Ò Ñ Ù Ð α Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ h ØÖ Ò Ò Ó Ó Ð ö l Ó ÔÓÐÙÔÖ Ú l Ö ÞÐ Ø Ó lº Æ Ø Ò Ò l Ð ö Ð Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð α Ð Ù ÙÒØÖ Ò¹ Ó Ø Ù Ð βº Í ÐÙ Ù l Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð α Ú ö ÐÓ h, l µ < α α β β < k, l µº Ç Ú Ð Ò Ó ÒÓÚÙ ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò h, l µ < k, l µº Ë ÖÙ ØÖ Ò ÔÖ Ñ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ú ö Ø Ú ½ Þ ØÓ Ð h, l µ α α β β k, l µ h, l µ k, l µº ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ Ó ÒÓ Ù h, l µ < k, l µº Í ÐÙ Ù l Ð ö Ù ÙÒØÖ Ò Ó Ø Ù Ð β ÓÐ Þ Ó ÔÓØÔÙÒÓ Ò ÐÓ Ò ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø º Ì Ñ Ó Þ Ò Ø Ú ¾½º Ò º Í Ó Ó Ú Ó ÚÓ ÙÔÓÖ ÒÓ Ù Ð Ó ÒÓ ÒÓ Ú Ó ÔÖ ÚÓ Ù Ð Ò Þ Ú ØÙÔ Ñ Ù ÐÓÑ Ù Ó Ó Ñ Ò Ó ÚÓ ÙÔÓÖ ÒÓ Ù Ð Ó ÒÓ ÒÓ Ñ Ò Ó ÔÖ ÚÓ Ù Ð Ò Þ Ú Ó ØÖ Ñ Ù ÐÓѺ Ç ÒÓÚÒ Ø Ú Ó Ó Ó Ù Ð Ö Ó Ú öòù ÙÐÓ Ù Þ Ó Ð Ò Þ Ò Ò Ø Ø Ú Ó ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÙº Ò º Í ÐÓÚ ABC BCA CAB Ó ÔÖ Ô Ù ØÖÓÙ ÐÙ ABC Ò Þ Ú Ù Ù ÐÓÚ Ñ ØÓ ØÖÓÙ Ð Ù ÐÓÚ Ó Ù ÙÔÓÖ Ò ÓÚ Ñ Ù ÐÓÚ ¹ Ñ Ò Þ Ú Ù ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÓÚ Ñ ØÖÓÙ Ð º Ë Ø Ú ¾¾ Ø Ú Ó ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÙµº ËÔÓÐ Ò Ù Ó ØÖÓÙ Ð Ú Ó Ó Ò ÑÙ Ò Ù Ò Ù Ð Ù ØÖÓÙ ÐÙº Ó Þº Æ Ù Ó CAD ÔÓÐ Ò Ù Ó ØÖÓÙ Ð ABCº Æ Ø D Ó Ö Ø Ó AD CBº C D A B

23 ¾¼ Ó ö ÑÓ Ò ÔÖ CAD ACB ØÓ Ù Ð ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AC CA ÔÖ Ñ ÓÑ III 5 Ú ö ÐÓ ACD CABº ÁÞ Ø ÚÓÚ ½ ½ Ð ÐÓ Ù Ó ACD ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ Ó ÙÔÓÖ Ò Ù ÐÙ ACBº Ì ÔÖ Ñ ÓÑ III 4 Ø D Ð ö Ð Ò ÔÖ ÚÓ CB ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÓÑ I 2 º Î ö Ð CAD ACBº ÆÓ Ø Ó Ò ÑÓö Ø CAD < ACB Ö Ø ÑÓ ÔÖ ÒÓ Ò Ñ ÔÓÐ Ò Ù Ð CAD Ù Ø Ù C Ò CA ÓÒ ØÖ Ò Ò Ó Ó Ð ö B Ó Ð Ö Ó ÔÖÓ Ø Ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð ACB Ø Ö ÔÖ Ó Ùö AB Ù Ò Ó Ø B º Ì Ù ØÖÓÙ ÐÙ AB C ÔÓÐ Ò Ù Ó CAD Ó ÔÓ Ù Ö Ò Ù ÐÙ ACB º ØÓ Ó ØÓ ÓÖ Ó Þ ÒÓ Ò ÑÓ Ù º Ð Ó Ø Ó ÑÓ ÑÓ Ù ÒÓ Ø CAD < ACBº C D A B B Á ØÓ Ø Ó Ð Ù Ó Ó ÙÒ Ö Ò Ù ÐÙ CAD Ú Ó Ù Ð ABC Þ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÙÒ Ö Ò Ù ÐÓÚ ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ Ð CAD > ABCº Ì Ñ ØÚÖ Ò ÔÓØÔÙÒÓ Ó Þ ÒÓº Î öò ÔÓ Ð Þ Ø Ú Ó ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÙ Ù Ò Ö Ò Ø ÚÓÚ º Ë Ø Ú ¾ º Í Ú ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ ÔÖ Ñ Ú Ó ØÖ Ò Ð ö Ú Ù Óº Ó Þº ÈÖ Ò ÑÓ Ñ Ò Ù Ó Ú Ù ÔÓ Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ØÖÓÙ Ð Ó Þ ¹ Ò Ó Ø Ñ Ò Ò Ú Ù Ø ÒÙº ÌÚÖ Ò Ø Ð Ù Ð ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ Þ Ø ÚÓÚ ½½ ½¾º Ë Ø Ú ¾ º ÌÖÓÙ Ó Ú Ò Ù Ð Ö ÚÒÓ Ö º ÇÚ ÒÚ ÖÞ Ø Ú ½½ Ø Ò ÔÓ Ö Ò ÔÓ Ð Ø Ú ¾ º ÁÞ Ø Ú ¾¾ Ó Ð Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò ÓÔÙÒ ÖÙ Ó Ø Ú ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ Ë Ø Ú ¾ º Ú ØÖÓÙ Ð ABC A B C ÔÓ Ù ÖÒ Ù Ò ÖÙ ÓÑ Ó ÔÓ ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AB A B A A C C Ë Ø Ú ¾ º ËÚ Ùö ÑÓö ÔÖ ÔÓÐÓÚ Ø º C C A α E B α A α B α E D D

24 ¾½ Ó Þº ÈÖ Ò ÑÓ Ò ØÙ Ùö AB Ó Ò Ò Ö Ò Ø Ö ÞÒ ØÖ Ò Ø Ù Ó α Ô Ò ÐÓ Ó Ò Ö ÔÖ Ò ÑÓ Ò Ùö AC BDº ÈÓ ØÓ Ø C D Ð ö Ò Ö ÞÒ Ñ ØÖ Ò Ñ Ó AB ØÓ Ùö CD ÔÖ ÔÖ ÚÙ AB Ù Ò Ó Ø Eº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú Ø E ÔÓ Ð Ô Ø ÓÑ A Ð B Ò ÔÓ Ö ÒÓ ÔÖÓ¹ Ø ÚÙÖ Ø ÚÙ ¾¾º ÍÞÑ ÑÓ Ð B Ð ö ÞÑ Ù A E ÓÒ ÔÖ Ñ Ø ÚÙ ¾¾ ÐÓ ABD > BED > BAC ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÓÒ ØÖÙ º Á Ø ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø Ó Þ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø A Ð ö ÞÑ Ù B Eº Ð ÔÖ Ñ Ø ÚÙ Ø E Ð ö Ò Ùö ABº ÈÖ Ñ ØÓÑ Ù Ù ÐÓÚ AEC BED Ó ÙÒ Ö Ò Ù ÐÓÚ ÔÓ Ù ÖÒ º ØÓ Ø Ú ¾ ÑÓö ÔÖ Ñ Ò Ø Ò ØÖÓÙ ÐÓÚ AEC BED Ø Ñ Ó AE EBº Ã Ó Ò ÔÓ Ö Ò ÔÓ Ð Þ Ø ÚÓÚ ½½ ¾ Ð Ò Ò Ú Ù Ó ÑÓö ÔÖ ÔÓÐÓÚ Ø º ÈÓ Ñ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÑÓö ÔÖÓ Ö Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÙÖ º Ò º Ó Ù Ø A, B, C, D,..., K, L Ò ÔÖ ÚÓ a Ø A, B, C, D,..., K, L Ò ÔÖ ÚÓ a Ø Ú Ú Ò Þ Ø Ù Ú Ó Ó¹ Ú Ö Ù Ùö AB A B AC A C BC B C ººº KL K L ÔÓ Ú Ñ Ù Ó ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒ ÓÒ Þ Ó Ò Þ Ø ö Ù Ñ Ù Ó ÒÓ ÔÓ¹ Ù ÖÒ Ø A A B B ººº L L Ò Þ Ú Ù Ó ÓÚ Ö Ù Ñ Ø Ñ ÔÓ Ù ÖÒ Ò ÞÓÚ Ø º Ë Ø Ú ¾ º Ó Ó Ú Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ò ÞÓÚ Ø A, B, C,..., K, L A, B, C,..., K, L ÔÖÚ Ø Ó ÙÖ Ò Ø B Ð ö ÞÑ Ù A Ò ØÖ Ò C, D,..., K, L ÖÙ ØÖ Ò Ø C ÞÑ Ù A, B Ò ØÖ Ò D,..., K, L ÖÙ ØÖ Ò Ø º ÓÒ Ù Ø A, B,..., K, L Ò Ø Ò Ò ÙÖ Ò Ø º B Ð ö ÞÑ Ù A Ò ØÖ Ò C, D,..., K, L ÖÙ ØÖ Ò C ÞÑ Ù A, B Ò ØÖ Ò D,..., K, L ÖÙ ØÖ Ò Ø º Ò º Å Ó ÓÒ Ò ÖÓ Ø Ò Þ Ú ÙÖÓÑ Ó Ú Ø Ø ÙÖ Ð ö Ù ÒÓ Ö ÚÒ ÓÒ ÓÒ Ò Þ Ú Ö ÚÒÓÑ ÙÖÓѺ Ú ÙÖ Ò Þ Ú Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ñ Ó Ò ÓÚ Ø ÑÓ Ù ÔÓ Ú Ú Ó Ð Ø Ò ÖÙ Ó Ø Ó Ù Ò ÓÚ Ò Ò Ò ÖÙ Ó Ó Ð Ò Ùö Ò ÖÙ ÓÑ Ó Ð Ò Ù ÐÓÚ ¹ ÔÓ Ù ÖÒ º ÈÓ Ù ÖÒ ÙÖ Ó ØÓ Ú Þ Ø ÚÓÚ ½ ¾ Ñ Ù ÓÚ ÚÓ ØÚ Ó ØÖ Ø Ò ÙÖ Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ ÓÒ Ù Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ ÙÖ Ó ÓÚ Ö Ù Ø Ð ö Ø ØÓ Ø Ó Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ º Ê ÔÓÖ Ø Ù Ó ÓÚ Ö Ù Ñ Ö ÚÒ Ñ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ó ÓÚ Ö Ù ÔÖ Ú Ø Ù ÔÓ Ù ÖÒ Ñ ÙÖ Ñ ØÓ ØÓ Ú ö Þ ÔÓÖ Ó ÓÚ Ö Ù Ø Ò Ó ÓÚ Ö Ù Ñ ÔÖ Ú Ñ º Æ ÓÔ Ø Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Þ Ö Ú Ò Þ ÔÖÓ ØÓÖ ÞÖ ö Ú Ò ÓÚ Ò Ò Ë Ø Ú ¾ º Ó Ù A, B, C,..., Lµ A, B, C,..., L µ Ú ÔÓ Ù ÖÒ Ö ÚÒ ÙÖ Ó P ÓÞÒ Ú Ø Ù Ù Ö ÚÒ ÔÖÚ ÙÖ ÓÒ Ù Ö ÚÒ ÖÙ

25 ¾¾ ÙÖ ÑÓö Ò Ø P Ø Ó Ù A, B, C,..., L, P µ A, B, C,..., L, P µ Ø Ó ÔÓ Ù ÖÒ ÙÖ º Ó ÙÖ A, B, C,..., Lµ Öö Ò Ñ Ò ØÖ Ø Ó Ò Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ ÓÒ ØÖÙ Ø P ÑÓ Ò Ò Ò Ò ÑÓ Ù º Ë Ø Ú ¾ º Ó Ù A, B, C,..., Lµ A, B, C,..., L µ ÔÓ Ù ÖÒ ÙÖ Ó P ÓÞÒ Ú ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÙ Ø Ù ÑÓö ÙÚ Ò Ø P Ø Ó Ù ÙÖ A, B, C,..., L, P µ A, B, C,..., L, P µ ÔÓ Ù ÖÒ º Ë Öö Ð ÙÖ A, B, C,..., Lµ Ò Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ð ö Ù ÒÓ Ö ÚÒ ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø P ÑÓ Ù ÑÓ Ò Ò Ò Òº ËØ Ú ¾ ÞÖ ö Ú Ú ö Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú ÔÖÓ ØÓÖÒ Ò Ò ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø Ñ Ñ Ø Ñ ÚÓ ØÚ Ö Ø Ò Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙÖ ÙÒ Ú ØÙ ÖÙÔ ÓÑ I II ¹ ÔÓ Ð Ô Ø ÓÖ ÔÓ Ø ÚÐ Ò Ð Ò ÖÒ ÓÑ ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ù Ö ÚÒ º ï º ÖÙÔ ÓÑ IV ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ Æ α ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ö Ú Ò a ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÔÖ Ú Ù Ö ÚÒ α A Ø Ù ØÓ Ö ÚÒ α Ó Ð ö Ú Ò ÔÖ Ú aº ÈÓÚÙ ÑÓ Ù Ö ÚÒ α ÔÖ ÚÙ c Ó ÖÓÞ Ø Ù A ÔÖ ÔÖ ÚÙ a Þ Ø Ñ Ù Ö ÚÒ α ÔÖ ÚÙ b ÖÓÞ Ø Ù A Ø Ó ÔÖ Ú c ÔÖ ÔÖ Ú a b ÔÓ Ò Ñ Ð Ò Ñ Ù ÐÓÚ Ñ º Ì Þ Ø Ú Ó ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÙ Ö Ú ¾¾µ Ð Ó Þ Ð Ù Ù ÔÖ Ú a b Ò Ñ Ù Ò ÒÙ Þ Ò Ù Ø Ù Ø º Ù Ö ÚÒ α ÖÓÞ Ø Ù A Ú Ò ÔÖ Ú a ÑÓö ÔÓÚÙ ÔÖ Ú Ó Ò ÔÖ ÔÖ ÚÙ aº ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ Ð IV Ù Ð ÓÚ ÓÑ µº Æ a ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÔÖ Ú A Ø Ú Ò Ò Ø ÔÓ ØÓ Ù Ö ÚÒ Ó Ö ÒÓ ÔÖ ÚÓÑ a Ø ÓÑ A Ò Ú Ò ÔÖ Ú Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ A Ò ÔÖ aº Ò º ÁÞ ÔÖ Ó ÒÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ ÞÒ ÑÓ Ù Ö ÚÒ Ó Ö ÒÓ a A ÔÓ ØÓ Ò ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ø Ù A Ò ÔÖ ÔÖ ÚÙ a ØÙ ÔÖ ÚÙ Ò Þ Ú ÑÓ Ô Ö Ð ÐÒÓÑ ÔÖ Ñ a ÖÓÞ Aº ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ IV ØÓ ÞÒ Ò ÓÚ Ñ Þ Ø ÚÓÑ Ó Ú ÔÖ Ú a b Ó Ð ö Ù ÒÓ Ö ÚÒ Ò Ù ØÖ Ù ÔÖ ÚÙ c Ø Ö ÚÒ ÓÒ ÓÒ Ò Ù Ò Ñ Ù Ó ÓѺ Í ØÚ Ö Ó ÔÖ Ú a b Ñ Ð Þ Ò Ù Ø Ù A ØÓ ÖÓÞ Ø Ù A Ù ØÓ Ö ÚÒ Ð ÑÓ Ù Ú ÔÖ Ú a b Ó Ò Ð ÔÖ ÚÙ c ÓÚ Ó ÓÐÒÓ Ø ÔÖÓØ ÚÙÖ ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ IV º Á ØÓ Ø Ó Ð Ó Ó Ó ÖÒÙØ ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ IV Þ ÔÓÑ ÒÙØÓ Þ Ø Ú º ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ IV Ø ÓÑ Ö ÚÒ º ÍÚÓ Ò ÓÑ Ô Ö Ð Ò ÞÒ ØÒÓ ÙÔÖÓ Ú Ó ÒÓÚ ÓÐ Ú Þ Ö ¹ Ú Ò ÓÑ ØÖ º Ó Ò Ñ Ó ÑÓ ÓÑ Ñ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÓÑÙ Ô Ö Ð ÐÒ ÓÒ Ð Ó ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÔÓÞÒ Ø Ò Ò Ë Ø Ú ¼º Ó Ù Ú Ô Ö Ð ÐÒ ÔÖ Ú ÔÖ Ò ØÖ ÓÑ ÔÖ ÚÓÑ ÓÒ Ù Ð Ò Ù ÐÓÚ Ò ÞÑ Ò Ò Ù ÐÓÚ ÔÓ Ù ÖÒ Ó ÖÒÙØÓ Þ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ð Ò Ð Ò ÞÑ Ò Ò Ù ÐÓÚ Ð Ù ÔÖ Ú Ô Ö Ð ÐÒ º Ë Ø Ú ½º Í ÐÓÚ ØÖÓÙ Ð Ò Þ ÒÓ Ú ÔÖ Ú Ù Ð º

26 ¾ Ò º Ó M Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ø Ù Ö ÚÒ α ÓÒ Ù ÙÔ¹ ÒÓ Ø Ú ÓÒ Ø A Ù Ö ÚÒ α Þ Ó Ù Ùö MA Ò ÖÙ Ó ÓÒ¹ ÖÙ ÒØÒ Ò Þ Ú ÖÙ ÓÑ Ø M Ò Þ Ú Ö Ø ÖÙ º Æ Ó ÒÓÚÙ ÓÚ Ò Ð Ó ÞÚÓ ÔÓÑÓ Ù ÖÙÔ ÓÑ III¹IV ÔÓÞÒ Ø Ø ÚÓÚ Ó ÖÙ Ù Ò ÖÓ ØÓ ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÓÒ ØÙ ÖÙ Ñ ÖÓÞ Ó ØÖ Ø Ó Ò Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ Ó Ø Ú Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ú Ô Ö¹ Ö Ù ÐÓÚ Ò ØÓ Ø Ø ÚÓÑ Ø Ú Ó Ù ÐÓÚ Ñ Ù Ø Ø ÚÒÓÑ ØÚÓÖÓÙ ÐÙº ï º ÖÙÔ ÓÑ V ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø V 1 ÓÑ Ñ Ö Ò Ð Ö Ñ ÓÚ ÓÑ µº Ó Ù AB CD Ñ Ó Ú Ùö ÓÒ ÔÓ ØÓ Ò Ø Ú ÖÓ n Ùö CD ÔÖ Ò n ÔÙØ Ó A ÒÓ Þ ÖÙ Ñ ÔÓ ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ø Ù B ÔÖ Ð Þ ÔÖ Ó Ø Bº V 2 ÓÑ Ð Ò ÖÒ ÔÓØÔÙÒÓ Ø µº Ë Ø Ñ Ø Ò ÔÖ Ú ÚÓ Ñ Ö Ð Ñ Ö ÔÓÖ ÓÒ ÖÙ Ò Ò ÑÓö Ø Ó ÔÖÓ Ö Ø Ó Ø ÒÙ Ó ÙÚ Ò Ö Ð Ó ÔÓ ØÓ ÞÑ Ù ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ó ÒÓÚÒ Ó Ó Ò Ð Ò ÖÒÓ Ö ÔÓÖ ÓÒ ÖÙ Ò Ó ÔÖÓ Ø Ù Þ ÓÑ I¹III ÓÑ V 1 º ÈÓ Ó ÒÓÚÒ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ö ÞÙÑ Ù ÓÒ Ù Ñ Ñ II 1 3 Ù Ø ÚÙ ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ó Ò Ö ÔÓÖ Ó ÓÒ Ù ÓÑ Ñ III 1 3 ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ó Ò ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÔÓÖ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ùö º âøó Ø ÓÒ Ó Ó Ò Ø Ñ Ø Ò ÔÖ Ú Ó Þ Ø Ú Ù ¹ ÓÑ I 3 Ø Ú Ó Þ Ò ÙÞ ÔÓÑÓ ÓÑ II 4 µ Ó Ø ÔÖÚ Ò ÔÖ ÚÓ Ñ Ö Ú Ø ÔÖ Ú ÓÑ ÔÖÓ Ö Ò Ù Ñ ÔÓ Ó ÙÚ Ò ÖÙ Þ Ú Ø ÔÖ Ú ÙÚ ÔÓ ØÓ Ø Ó Ð ö ÞÑ Ù Ò ÔÓ Ð Ò ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÔÖÓ Ö Ò Ø Ñ Ø Ò ÔÖ Ú º ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ù ÔÙÒ Ò ØÒÓ Ù ÐÓÚÐ ÒÓ Ø Ñ ØÓ Ù Ò Ó Ñ Ù ÓÑ Ñ Ó Öö Ò Þ Ø Ú Öö Ö Ñ ÓÚ ÓÑ º Í ØÚ Ö ÑÓö ÔÓ Þ Ø Ò ÓÑ Ø ÑÙ Ø Ò ÔÖ ÚÓ Ó Þ ÓÚÓÐ Ú Ñ ÐÓ Ò ÖÓ Ò ¹ ÓÑ Ø ÚÓÚ Ö ÔÓÖ ÓÒ ÖÙ Ò ÑÓö ÙÚ Ó Ø Ó Ø Ò Ø Ò Ò Ù ÓÚ Ó ÔÖÓ Ö ÒÓÑ Ø ÑÙ ÔÓÑ ÒÙØ ÓÑ Ø Ó Ú ö ØÓ ÞÒ ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ù Ó Ó Þ Ø Ú ÐÓ ÑÓ Ó Öö Ò ÔÓÑ ÒÙØ ÓÑ Ø ÚÓÚ Ð Ò Ö Ñ ÓÚ Ð Ò Ó Ó ÓÚ Ö Ù ¹ ÓÑ Ù Ð Ù Ú Ð ÔÖØ ÚÙÖ ÒÓ Øº Ç ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ù Ð Ò ÖÒ ÓÑ º Í Ð ÚÒÓÑ Þ Ð Ò ÖÒ ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ó Ù ÓÚ ÓÔ Ø Ò Ò Ë Ø Ú ¾ Ø Ú Ó ÔÓØÔÙÒÓ Ø µº Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ø Ø º Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ µ Ó Ö ÞÙ Ù Ø Ñ Ó Þ Öö ÓÑ Ú Þ Ö ÔÓÖ ÓÒ¹ ÖÙ Ò Ö Ñ ÓÚ ÓÑ ÔÓ ÓØÓÚÓ Þ Öö Ú ÓÑ Ò ÓÔÙ Ø Ú Ò ÚÓ ÔÖÓ Ö Ò ÔÓÑÓ Ù Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ º Ó Þº Ð Ñ ÒØ Ó ÔÓ ØÓ ÔÖ ÔÖÓ Ö Ò Ò ÞÚ ÑÓ Ø Ö Ñ Ð ¹ Ñ ÒØ Ñ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ó ÔÖ ÔÖÓ Ö Ò Ù Ó Ù Ò ÞÚ ÑÓ ÒÓÚ Ñ Ð Ñ ÒØ Ñ º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÒÓÚ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÓ Ö ÒÓ ÚÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÒÓÚ Ø Nº

27 ¾ ÈÖ Ñ ÓÑ I 8 ÔÓ ØÓ Ø Ö Ø Ö Ø A, B, C, D Ó Ò Ù Ù ÒÓ Ö ÚÒ º ÇÞÒ ÑÓ Ù Ø Ó Þ Ö Ø Ø A, B, N Ò Ð ö Ò ÒÓ ÔÖ ÚÓ º Ç Ö ÚÒ ABN ACD Ö ÞÐ Ø Ò Ó ÖÙ Ñ Ù ÔÖ Ñ ÓÑ I 7 Ó Ñ Þ Ò Ø A Ó Þ Ò Ù Ø Ù Eº Ì E Ò Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ AB Ö Ò Ø B Ð ö Ð Ù Ö ÚÒ ACDº Í ÐÙ Ù E ÒÓÚ Ø ÓÒ Ù Ø ÖÓ Ö ÚÒ ACD Ð ö ÒÓÚ Ø E Ù ÐÙ Ù Ô E Ø Ö ÒÓÚ Ø N Ð ö Ù Ø ÖÓ Ö ÚÒ Ò Ñ Ù Ö ÚÒ ABEº Í Ú ÓÑ ÐÙ Ù Ð ÒÓÚ Ø Ð ö Ù Ø ÖÓ Ö ÚÒ º Í Ø ÖÓ Ö ÚÒ ÔÓ ØÓ Ø Ö ØÖÓÙ Ó FGH Ò Ùö FG Ø Ö Ø Iº Ó ÔÓ ÑÓ ÒÓÚÙ Ø Ù L Ø ÓÑ I Ø ÔÖ Ñ ÓÑ II 4 ÔÖ Ú IL FH Ð ÔÖ Ú IL GH Ù Ø K Ó ÒÓÚ Ø L Ò Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ IHº H L K F I G Í ÐÙ Ù K ÒÓÚ Ø ØÓ ÒÓÚ Ø K Ð ö Ò Ø ÖÓ ÔÖ ÚÓ FH Ð GH Ù ÐÙ Ù Ô K Ø Ö Ø ÓÒ ÒÓÚ Ø L Ð ö Ò Ø ÖÓ ÔÖ ÚÓ IKº ÇØÙ Ú ØÖ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÔÖÓØ ÚÙÖ ÓÑ Ð Ò ÖÒ ÔÓØÔÙÒÓ Ø º ÈÖ Ñ ØÓÑ ØÖ Ó Ø ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ù ÒÓÚ Ø Ù Ø ÖÓ Ö ÚÒ Ø Ñ ÙÓÔ Ø ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ù ÒÓÚ Ð Ñ Ò Ø º ËØ Ú Ó ÔÓØÔÙÒÓ Ø ÑÓö Ó Ó ØÖ ÓÖÑÙÐ Ø Þ Öö Ú Ò Ò ÔÓÑ ¹ ÒÙØ ÓÑ Ò ÑÓÖ ÞÙ ÐÓÚÒÓ Þ Ø Ú Ø º Ð ØÒÓ Þ Ò ÓÚÓ Ú ö Ò Ø Ñ Ù ÓÑ Ñ Ó Öö Ò Ù Ò ÑÙ Þ Ø Ú Öö Ò ÓÑ I 7 º Í ØÚ Ö ÑÓö ÓÚÓ ÔÓ Þ Ø Ø ÑÙ Ð Ñ Ò Ø Ó Þ ÓÚÓй Ú Ù ÓÑ I V ÑÓö ÙÚ Ó Ø Ó Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ø Ó Ù ÔÖÓ Ö ÒÓÑ Ø ÑÙ Ú ö Ø ÓÑ ÞÙÞ Ñ Ù ÓÑÙ I 7 ØÓ ÞÒ Ø Ú ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ù ÓÑ Ð Öö Ò ÓÑ I 7 Ð Ò Ó Ú Ú Ð ÒØÒ ÓÑ Ù Ð Ù Ú Ó Ù ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø º ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ò ÔÓ Ð Ö Ñ ÓÚ ÓÑ º Í ØÚ Ö ÑÓ Ö Ñ ÓÚ ÓÑ ÙÞ ÔÓÑÓ ÓÑ I IV Ò ÓÚÓÐ Ò Ó ö Ò ÓÑ ØÖ ÒØ Ò Ó ÒÓÑ Ò Ð Ø ÓÑ ÖØÓÚÓÑ (R. Descartes) ÓÑ ØÖ ÓÑ ÙÔº ï ï½¾µº Æ ÔÖÓØ Ú Ó Ú Ò Ñ ÓÑ ÔÓع ÔÙÒÓ Ø ¹ Ñ ÓÚ ÓÑ Ò Öö Ò Ú Þ Ó ÔÓ ÑÙ ÓÒÚ Ö Ò ¹ Ù Ô Ú Ò Ñ Ó ö ÑÓ Þ Ø Ò Ù Ö Ò Ó Ó ÓÚ Ö Ò ÓÚÓÑ (Dedekind) ÔÖ Ù ÓÐ ÒÓÚ (B. Bolzano) Ø Ú Ó ÔÖÓ ØÓ Ò Ù Ø Þ Ù Ò Ú Ò Ñ Ø Ò ÓÑ ØÖ ÔÓ ÞÙ Ó ÒØ Ò Ö¹ ØÓÚÓ ÓÑ ØÖ º ÈÓÑÓ Ù ÔÖ Ó ÒÓ Ö ÞÑ ØÖ Ò Þ Ø Ú Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ö ÞÐÓö Ò Ò Ú ØÒÓ Ö ÞÐ Ø Ð Ò Ñ Ò Ö Ñ ÓÚÙ ÓÑÙ Ó Ñ ÙÐÓ Ù

28 ÔÖ ÔÖ Ñ Þ Ø Ú Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ò ÓÑÙ ÔÓØÔÙÒÓ Ø Ó Þ ÚÖ Ò Ð Ò ÐÓ Ø Ñ ÓÑ º Í Ð Ñ Ô Ø Ú Ò Ñ Ù Ð ÚÒÓÑ ÑÓ Ó ÐÓÒ Ø Ò Ö Ñ ÓÚÙ ¹ ÓÑÙ ÙÓÔ Ø Ò ÑÓ ÔÖ ØÔÓ Ø ÚÐ Ø ÓÑÙ ÔÓØÔÙÒÓ Ø º ¾

29 ¾ ÖÙ Ð Ú Æ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø ÙÞ ÑÒ Ò Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ ï º Æ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø ÓÑ ÓÑ ÓÒ Ô Ø ÖÙÔ ÔÓ Ø ÚÐ Ò Ù ÔÖÚÓÑ Ó Ð Ù Ò ÔÖÓØ ÚÙÖ Ò ÖÙ Ó Ø º Þ Ò ÔÓÑÓ Ù ÐÓ Þ Ð Ù Ò ÑÓö ÞÚ Ø Ò Ò Ò Ó ÔÖÓØ ÚÙÖ Ð ÒÓ Ó ÔÓ Ø ÚÐ Ò ÓÑ º ÑÓ ÙÚ Ö Ð Ù ØÓ Ó Ö ÞÓÚ ÑÓ Ó Ö ÐÒ ÖÓ Ú Ø Ñ ØÚ Ö Ù ÓÑ Ø Þ ÓÚÓÐ Ò Ú ÓÑ Ø Ô Ø ÖÙÔ º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ò ÔÖ ÔÓ ÖÙ Ω Ú ÓÒ Ð Ö ÖÓ Ú Ó Ó Ù Ó ÔÓ Ó ÖÓ ½ ÓÒ Ò ÖÓ ÔÙØ ÔÖ Ñ Ò Ø Ö Ö ÙÒ ÓÔ Ö Ö Ò Ó ÙÞ Ñ Ò ÑÒÓö Ò Ð Ò Ô Ø ÓÔ Ö 1 + ω 2 ω ØÖ ÙÚ ÓÞÒ Ú ÖÓ Ó Ö Ò ÔÓ ØÓ Ó ÔÓÑÓ Ù ÔÓÑ ÒÙØ Ô Ø ÓÔ Ö º È Ö ÖÓ Ú (x, y) ÔÓ ÖÙ Ω Ñ ØÖ ÑÓ Ó Ø Ù Ö ÞÑ Ö (u : v : w) Ñ Ó ØÖ ÖÓ ÔÓ ÖÙ Ω Ù ÐÙ Ù u v Ò Ù Ó ÒÙÐ Ó ÔÖ ÚÙ Ð Ò ÔÓ ØÓ Ò Ò Ò ux + vy + w = 0 ÞÖ ö Ú Ø (x, y) Ð ö Ò ÔÖ ÚÓ (u : v : w) Ø Ù ØÓ Ð Ó Ú ÓÑ I 1 3 IV Þ ÓÚÓÐ Ò º ÖÓ Ú ÔÓ ÖÙ Ω Ù Ú Ö ÐÒ ÙÞ Ñ Ù Ù Ó Þ Ö Ø ÖÓ Ú ÑÓ Ù Ö ÔÓÖ Ø ÔÖ Ñ ÚÓ Ñ Ú Ð Ò Ñ ÑÓö ÑÓ Ð Ó Ù Ø ÒÓÚ Ø Ø Ú ÔÓ Ø Ú Þ Ò Ø ÔÖ Ú Ú ö Ú ÓÑ II Ö ÔÓÖ º Í ØÚ Ö Ó Ù (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ) ººº Ñ Ó Ø Ò ÔÖ ÚÓ ØÓ ÓÚÓ Ø Ò ÓÚ ÔÓÖ Ò ÔÖ ÚÓ Ó ÖÓ Ú x 1, x 2, x 3 ººº Ð y 1, y 2, y 3 ººº Ù ÓÚÓÑ ÔÓÖ Ø Ù Ð Ø ÐÒÓ ÓÔ Ù Ð Ø ÐÒÓ Ö ØÙ Ð Þ Ø Ú ÓÑ II 4 Ó ÔÙÒ Ò ÔÓØÖ ÒÓ ÑÓ Ù Ø ÒÓÚ Ø Ú Ø (x, y) Þ Ó ux+vy+w Ñ Ò Ð Ú Ó ¼ Ð ö Ò ÒÓ Ó ÒÓ ÒÓ Ò ÖÙ Ó ØÖ Ò ÔÖ Ú (u : v : w)º (x, y ) C(a, b) (x, y) O(0, 0) E(1, 0) Ä Ó ÑÓö ÑÓ ÙÚ Ö Ø ÓÚ ÔÓ Ø Ú Ð ö ÔÖ Ó ÒÓÑ ÔÓ Ø Ú ÓÑ Ó Ó Ö Ù ÔÓÖ Ø Ò ÔÖ ÚÓ º ÈÖ ÒÓ Ò Ùö Ù ÐÓÚ ÞÚÓ ÔÖ Ñ ÔÓÞÒ Ø Ñ Ñ ØÓ Ñ Ò Ð Ø ÓÑ ØÖ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð x = x + a y = y + b Ô Ö Ð ÐÒÓ ÔÓÑ Ö Ò Ùö Ù ÐÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð

30 ¾ x = x y = y Ó Ð Ò Ò ÔÖ ÚÓ y = 0º Ð Ó Ø ¼ ¼µ ÓÞÒ O Ø ½ ¼µ E ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ø (a, b) C Ø Þ ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ø (x, y) Ø (x, y ) ÔÖÓ Þ Ð Þ Ó ÖØ Ò Ñ Þ Ù Ó COE Ó O Ø ÐÒ Ø Ó ÖØ Ò ÔÖ ÑÙ ØÖ Ø Ú Ø x = y = a a 2 +b 2x b a 2 +b 2x + b a 2 +b 2y a a 2 +b 2y ÈÓ ØÓ ÖÓ a 2 + b 2 = b 1 + ( a b )2 Ø Ó ÔÖ Ô ÔÓ ÖÙ Ù Ω ÓÒ ÔÖ Ò Ñ ÔÓ Ø Ú Ñ Ú ö ÓÑ ÓÒ ÖÙ Ò III 1 4 Ó Ð ÒÓ Þ ÓÚÓÐ Ò Ó ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ III 5 Ø Ó Ö Ñ ÓÚ ÓÑ V 1 º ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø V 2 Ò Þ ÓÚÓÐ Ò º ËÚ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø Ù ÔÓ Ð Ñ Þ Ð Ò ÖÒ ÓÑ ÓÑ Ö ÚÒ I IV V 1 ÑÓÖ Ð Ñ Ñ Ø Ñ ÔÓ Ú Ø Ù Ö ØÑ Ø ÔÓ ÖÙ Ωº Ç Ö ÑÓ Ð Ù ÓÖÒ Ñ ÞÐ Ò Ù ÙÑ ØÓ ÔÓ ÖÙ Ω ÔÓ ÖÙ Ú Ö ¹ ÐÒ ÖÓ Ú Ó ÑÓ Ó ÒÙ Ö ÚÒÙ ÖØÓÚÙ ÓÑ ØÖ Ùº Ù ÓÚÓ ÔÓ Ð Ò Ó Þ ÓÚÓÐ Ò Ó Ñ ÓÑ I 1 3 II III V 1 ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø ÞÒ Ò ÓÚ Ò Ò Í ÖØÓÚÓ ÓÑ ØÖ ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ò Ö ÔÓÖ ÔÓ Ù¹ ÖÒÓ Ø Ùö ÑÓö Þ Ð Ù Ø Ú Ùö ÑÓö ÔÓ Ð Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÖÓ n ÔÓ Ù ÒÒ ÐÓÚ Ó Ùö AB Ñ Ò Ó Ùö AC ÓÒ n¹ø Ó Ó AB Ñ Ò Ó n¹øó Ð ACº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÔÓ ØÓ ÔÖ Ú g Ò Ó Ó Ò ÙÔÖÓØ ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø ÑÓö Ó Ø Ó Ø ØÓ ÓÑ ØÖ ÔÖ ØÓÑ Ò ÔÖ ÚÓ g Ò Ò ÖÙ Ú ö Ò ÓÑ II 1 3 III 1 3 V 1 Ø Ú Ð ÒÓÞ¹ Ò ÒÓ Ø ÔÖ ÒÓ Ò Ùö ØÖº ¾ µº Æ Ò Ó Ø Ø Ù Nº Ì N Ð ÔÖ ÚÙ g Ù Ú ÔÓÐÙÔÖ Ú Ó Ó Ú ÔÖ Ñ Ö Ñ ÓÚÓ ÓÑ Öö Ø Ú Ø Ó ÔÓ ØÓ ÔÖ ÔÖÓ Ö Ò ¹ ÓÚ ÔÓ Ð Ò ÑÓ Ò ÞÚ Ø Ø Ö Ñ Ø Ñ º Ð Ø N Ö Þ Ð Ù Ø Ö Ø ÔÖ Ú g Ò Ú ÔÓÐÙÔÖ Ú º ÍÞÑ ÑÓ Ð ÔÖ ÚÙ g ÔÖ Ø ÚÐ ÒÙ Ù Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ó Ð Ù x = mt + n y = pt + q Ù Ó Ó Ô Ö Ñ Ø Ö t Ó ÔÖ ÔÖÓ Ö Ò ÔÓÑÓ Ù N ÙÞ Ñ Ú Ö ÐÒ ÚÖ ÒÓ Ø ÓÒ ÔÓ Ð ÞÚ Ò Ø ÓÑ N ÔÖÙö Ø Ò ÓÚ ÔÖ ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø º Ã Ó ØÓ ÔÓÞÒ ØÓ Þ Ø Ú ÔÖ Ú ö Ð ÔÖÚ Ð Ó Ö Ò ÔÓÑÓ Ù Ò Ñ ÔÓ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ð ÖÙ Ð Ñ ÔÖÚ Ð Ñ Òغ Æ Ò ÔÖ ÚÓ

31 ¾ g ÓÚÓÑ Ð Ñ ÒØÙ Ó ÓÚ Ö Ø Aº Ì ÞÑ Ù A N Ò Ð ö Ò Ò Ø Ö Ø º Æ ÔÖÓØ Ú ÔÓ ØÓ Ø Ú Ø Ö Ø B N Ð ö ÞÑ Ù A Bº Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÓÚÓ ÓÑ ÔÓ ØÓ ÑÒÓ ØÚÓ Ø ÒÔÖº n¹½ Ö ÞÐ Ø Ø N, C 1, C 2,..., C n 2, D Ø Ó Ù n Ùö AN NC 1 C 1 C 2 ººº C n 2 D Ò ÖÙ Ó ÔÓ Ù ÖÒ Ø B Ð ö ÞÑ Ù A Dº g A N W C 1 C 2 C n 2 D B ÈÓ Ð ÑÓ Ø Ùö AB Ò n ÔÓ Ù ÖÒ ÐÓÚ º ËÚ ÓÒ Ø Ù Ø Ö Ø º Æ W ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ò Ð ö Ø Aº ÁÞ Ò ÔÓ Ø Ù ÓÚÓ Ó Þ Ò Ú Ò Ð Ò ÖÒ Þ Ø Ú Ó Ö ÔÓÖ Ù ÓÒ ÖÙ Ò ÔÖÓ Ø Ùö AW Ñ Ò Ó AN Ö AB Ñ Ò Ó ADº Ð Ø Ö Ø W Ð ö ÞÑ Ù A Nº ÈÖ Ñ ØÓÑ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ò ÔÖ ÚÓ g ÑÓö Ó Ø Ø N Ò Ò ÖÙ Ú Ù ÔÖ ØÓÑ Ú ö Ò Ð Ò ÖÒ ÓÑ ÓÚ Ð Ó ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø º Ð Ù Ö ÚÒÓ ÖØÓÚÓ ÓÑ ØÖ Ú ö Ú Ð Ò ÖÒ ÓÑ ÓÑ Ö ÚÒ I V º Ò ÐÓ Ò Ö ÞÑ ØÖ Ò Ù ÔÖÓ ØÓÖÒÓ ÓÑ ØÖ Ò ÔÖ Ø ÚÐ Ù Ò ÚÙ Ø Ó Ùº ËÚ ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø Ù ÔÓ Ð Ñ Þ ÓÑ I V ÑÓÖ Ð ÔÖ Ñ ØÓÑ ÔÓ Ú Ù Ö ØÑ Ø Ø Ñ Ö ÐÒ ÖÓ Ú º Ã Ó ØÓ Ú ÔÓ ØÓ ÓÒ ÒÓ ÑÒÓ Ó ÓÑ ØÖ Ù Ó Ñ Ú ö ÓÑ I IV V 1 ÑÓ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖØÓÚ ÓÑ ØÖ Ù Ó Ó Ù ØÓ ÚÖ Ñ Ú ö ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø V 2 º ï½¼º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ ÈÓ ØÓ ÑÓ ÙØÚÖ Ð Ò ÔÖÓØ ÚÙÖ ÒÓ Ø ÓÑ Ó ÒØ Ö Ô Ø Ø Ð Ù Ú ÓÒ Ò Þ Ú Ò Ò Ó ÖÙ º Í ØÚ Ö ÔÓ ÞÙ Ò Ò ØÒ Ø ÚÒ Ó ÔÓÑ ÒÙØ ÖÙÔ ÓÑ Ò ÑÓö ÞÚ Ø ÔÓÑÓ Ù ÐÓ Ó Þ Ð Ù Ú Ð Þ ÔÖ Ø Ó Ò ÖÙÔ ÓÑ º Æ ÔÖ ØÓ Ø ÔÓ Ò ÓÑ ÖÙÔ I II III Ð Ó Ó Þ Ø ÓÑ Ò Ø ÖÙÔ Ù ØÒÓÑ Ò Þ Ú Ò Ó ÖÙ º ÓÑ ÖÙÔ I II ÔÖ Ò Ñ ÞÐ Ò Ù ÙÞ Ø Ù Þ Ó ÒÓÚÙ Ó Ø Ð ÓÑ Ø Ó ÑÓ Ö Ó ØÓÑ Ó ö Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ú Ó ÖÙÔ ÓÑ III, IV, V Ó Ó Ø Ð º ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ IV Ò Þ Ú Ò Ó Ó Ø Ð ÓÑ ØÓ Ò ÔÓÞÒ Ø Ò Ò Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ó ÔÓ ÞÙ Ó Ð Ñ ÒØ ÔÖÓ ØÓÖÒ ÓÑ ØÖ Ó ¹ Ö ÑÓ Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ó Ò ÖØÓÚ µ ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ Ò Ù ï Ù ÓÐ Ó Ð ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ò Ø ÐÒ ÐÓÔØ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÓÚ ÓÑ ØÖ Ò ÑÓ Ø Ú Ñ Ð Ò ÖÒ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ Ó Ò ÓÑ ØÖ Ó Ø ÐÒÙ

32 ¾ ÐÓÔØÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÑÙ Ù º ÍÞ Ñ Ù ÔÓ Ò ÔÓ Ø Ú ÓÞÒ ÑÓ Ù ÓÚÓ Ò ¹ Ù Ð Ó ÓÑ ØÖ Ú ö Ú ÓÑ ÞÙÞ Ú Ù Ð ÓÚ ÓÑ IV ÔÓ ØÓ ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ó Ò ÓÑ ØÖ Ó Þ Ò Ù ï ÓØÙ Ð ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ º Ç Ò ÖÓ ØÓ ÒØ Ö Ù Ø ÚÓÚ Ó Ú ö Ò Þ Ú ÒÓ Ó ÓÑ Ô Ö¹ Ð ÐÒ Ø º Ó Ù Þ ÓÚÓÐ Ò Ó Ù Ù Ð ÓÚÓ Ø Ó Ù Ò ¹ Ù Ð Ó ¹ ÓÑ ØÖ º Ã Ó Ò Ú öò ÔÖ Ñ Ö Þ ÓÚ Ø ÚÓÚ Ò ÚÓ ÑÓ Ó Ä ö Ò ÖÓÚ (Legendre) Ø Ú Ó Ó ÔÖÚ Þ Ø Ú Þ ÚÓ Ó Þ Ó Ñ ÓÑ I Ó III Ö Ñ ÓÚÙ ÓÑÙ V 1 º Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò ÓÐ Ó ÔÓÑÓ Ò Ø ÚÓÚ º Ë Ø Ú º Æ Ø ÔÖ ÚÓÙ Ð ØÖÓÙ Ó OPZ ÔÖ Ú Ñ Ù ÐÓÑ Ó P º Æ Ò Ùö PZ Ò Ð Þ Ú Ø X, Y Ø Ó Ì XOY Y OZº XY < Y Zº Z X Y X O P Ê Ó Þ ÔÖ Ò ÑÓ Ùö OX Ó Ø O Ò ÔÖ ÚÙ OZ OX OX º ÁÞ Ø ÚÓÚ ¾¾ ¾ Ð Ø X Ð ö Ò Ùö OZ ÔÓÑÓ Ù Ø Ú ¾¾ ÓÑ III 5 Ó X ZY < OY X OY X < Y X Zº Ç ÒÓ X ZY < Y X Z ÔÖ Ñ Ø ÚÓÚ Ñ ½¾ ¾ ÓÚÓ Ó ØÚÖ Ò º Ë Ø Ú º Å Þ Ó Ú Ù Ð α ε ÑÓö ÙÚ Ò Ø Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ r Ù ÈÖ ØÓÑ α 2 r ÒÓ r ÔÙØ º α 2 r < ε ÓÞÒ Ú Ù Ó Ó Ò ÔÓÑÓ Ù ÔÓÐÓÚÐ Ò Ù Ð α ÔÓÒÓÚй

33 ¼ Ó Þº Æ Ù Ø Ú Ù Ð α εº ÈÓÐÓÚÐ Ò Ù Ð ÑÓö ÞÚ Ø Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ ØÔÓ Ø ÚÐ Ò ÓÑ Úº ØÖº ¾¾µº ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ó Ø Ö Ù Ó α 2 º Í ÐÙ Ù α 2 ε ØÚÖ Ò Ø Ú ÔÓ ÞÙ Ø ÒÓ Þ r = 2º Í ÐÙ Ù Ô α 2 > ε ÓÒ Þ Ò Ø C ÒÓ Ö Ù Ð α 2 ÔÙ Ø ÑÓ Ò ÖÙ Ò ÓÚ Ö ÒÓÖÑ ÐÙ Ó ÔÖ ÓÚ Ö Ù Ò Ó Ø Bº Ì Ñ Ù Ð α 2 ÓÞÒ ÑÓ Aº ÈÖ Ò ÑÓ Ù Ó ε Ò Ö AB Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð BAC = α 2 Ø ÐÓ Ó Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÓ Ù Ð Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÖ ØÔÓ Ø ÚÐ Ò Ò Ò Ò ÔÖ Ø Ùö BC Ù Ò Ó Ø D ÙÔº ØÖº ½¾µº Ö Ñ ÓÚ ÓÑ V 1 ÚÓ Ò ØÚÖ Ò ÔÓ ØÓ Ø Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ n nbd > BCº ÈÖ Ò ÑÓ Ù Ó ε n¹ôùø ØÓ Ú ÔÙØ Ò ÐÓ Ó Ò Ö ÔÓÐ Ò ØÖ Ò º ÅÓö Ò ØÙÔ Ø ÐÙ ÐÓ Ó Ò Ö Ù Ð Ó Ò Ò Ò ÔÖ n¹øóñ ÔÖ ÒÓ Ò Ù ÑÓö ÔÖ m¹øóñ ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ó ÔÖÚ Ò ÔÖ Ú ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ BCº ÈÓ ØÓ ÔÖ Ø Ó Ò ÐÓ Ó Ò Ö Ó ÔÖ ÓÚÙ ÔÓÐÙÔÖ ÚÙ Ù Ó (m 1)ε Ó Ø Öº ÇØÙ Ð Ó Ó ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð mε ÓÒ ØÖÙ ÒÓ ÔÓÑÓ Ù m¹ ØÖÙ Ó ÔÖ ÒÓ Ò Ð ö Ù ÓÒÓ ÔÓÐÙÖ ÚÒ Ó AB Ó Öö Ø Ù C Ð ÔÓÐÙÔÖ Ú AC ÔÖÓ Ø Ö Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð mε Ø º Ú ö mε > α 2 º E C A α 2 ǫ B D Í ÖÙ ÓÑ ÐÙ Ù Ú Ù Ó ε Ó Ò ÔÖ n¹øó ØÖÙ ÓÑ ÔÖ ÒÓ ¹Ò Ù Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ BC Ùö Ó ÔÖ Ñ Ø ÚÙ Ú Ó Ùö BD Ð Ò Ó Ò º Æ n¹ø ÐÓ Ó Ò Ö ÔÖ BC Ù Ø Eº Ö BE Ó n Ùö Ò Ò ÔÓÐÙÔÖ ÚÓ BC Ú Ó nbd Ð Ø Ñ ÔÖ Ú Ó BCº ÇØÙ Ð nε > α 2 º

34 ½ Æ Þ m Ó Òº n ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ r Ø Ó Ó Ö Ò m < 2 r 1 Ó Òº n < 2 r 1 µ α º ÇÞÒ ÑÓ Ù Ó mε Ó Òº nε µº Í ÐÓÚ 2 r 1 2 ÑÓ Ù r ÓÒ ØÖÙ Ø º ÁÞ ÑÓ Ù ÒÓ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò Ù ÐÓÚ Ó Ð Ó Ò ØÖ Ò Þ Ò Ò Ò 2 r 1 µ > m Ð Ò Ò Ò > µ 2 r 1 m = ε ÖÙ ØÖ Ò Þ Ò Ò Ò µ > α 2 Ð Ò Ò Ò µ > α 2 r 1 2 º ËØÓ Ò r Ó ÒÓÚÙ ØÖ ÒÞ Ø ÚÒÓ Ø ÙÔÓÖ Ú Ò Ú Ð Ò ØÖº ½ µ Ú ö α 2 r < εº ÈÓÑÓ Ù Ø Ú ÑÓö Ó Þ Ø ÔÖÚ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Úº Ë Ø Ú ÔÖÚ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Úµº Ö Ù ÐÓÚ ØÖÓÙ Ð Ñ Ò Ó Ú ÔÖ Ú Ð Ò Ú ÔÖ Ú Ù Ð º Ó Þº ÇÞÒ ÑÓ Ñ Ó Ó ØÖ Ù Ð ØÓ ØÖÓÙ Ð A = α ÖÙ Ú ÓÞÒ ÑÓ B = β C = γ Ø Ó Ú ö β γº ÈÖ Ñ Ø ÚÙ ¾ Ùö BC Ñ Ø Ù D Ó ÔÓÐÓÚ º C γ D γ E A α α β β B ÈÖÓ Ùö ÑÓ Ùö AD Þ Ò ÒÙ ÓÔ ØÚ ÒÙ Ùö ÒÙ ÔÖ Ó Ø D Ó Ø Eº Æ Ó ÒÓÚÙ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÙÒ Ö Ò Ù ÐÓÚ ØÖº ½ µ ÓÑ III 5 ÑÓö ÔÖ Ñ Ò Ø Ò ØÖÓÙ ÐÓÚ ADC EDB Ò Ù Ò Ó ÒÓÚÙ Ø Ú ½ Ò Ó Ð Ò Ò Ò Þ Ö Ù ÐÓÚ Ó ÑÓ Þ Ù ÐÓÚ α, β, γ ØÖÓÙ Ð ABE Ö Ð α + γ = α β = β + γº ÈÖ Ñ ØÓÑ ØÖÓÙ Ó ABE Ñ Ø Þ Ö Ù ÐÓÚ Ó ØÖÓÙ Ó ABCº ÁÞ Ò Ò Ò β γ ÞÚÓ Ð Ó ÔÖ Ñ Ø ÚÓÚ Ñ ¾ ½¾ α γ Ó ØÐ α α 2 Ú ØÖÓÙ Ó ABC Ñ Ó Ò ÓÚ Ù Ó α ÑÓö ÙÚ Ò ØÖÓÙ Ó Ø Ñ Þ ÖÓÑ Ù ÐÓÚ Ù ÓÑ Ò Ù Ó Ñ Ò Ó α 2 Ð Ò α 2 Þ ØÓ ÑÓö Ó Ó Ñ ØÓ Ø ÔÖ ÔÓ Ò ÖÓ r Ò ØÖÓÙ Ó Ø Ñ Þ ÖÓÑ Ù ÐÓÚ Ù ÓÑ Ò Ó Ù ÐÓÚ Ñ Ò Ó α 2 r Ð Ò α 2 r º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ò ÙÔÖÓØ ØÚÖ Ò Ù ÔÖÚÓ Ä ö Ò ÖÓÚÓ Ø Ú Þ Ö Ù ÐÓÚ ØÓ ØÖÓÙ Ð Ú Ó Ú ÔÖ Ú º ÁÞ Ø Ú ¾¾ Ð Þ Ö Ú Ù Ð ØÖÓÙ Ð Ñ Ò Ó Ú ÔÖ Ú º Ö Ù ÐÓÚ ØÓ ØÖÓÙ Ð ÑÓö ØÓ ÔÖ Ø Ú Ø Ù Ó Ð Ù α + β + γ = 2ρ + ε

35 ¾ ε ÓÞÒ Ú Ñ Ó Ù Ó ρ ÔÖ Ú Ù Óº ÈÖ Ñ Ø ÚÙ ÑÓö Ó Ö Ø ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ r Ø Ó Ù α 2 r < εº ÃÓÒ ØÖÙ ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ò Ò ØÖÓÙ Ó Ù ÐÓÚ Ñ α, β, γ Ó Þ ÓÚÓÐ Ú Ù Ö Ð Í ÓÚÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ α + β + γ = 2ρ + ε α α 2 r < εº β + γ > 2ρ ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ Ø ÚÙ ¾¾º Ì Ñ Ó Þ Ò ÔÖÚ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Úº Ë Ø Ú º Ó ØÚÓÖÓÙ Ó ABCD Ñ Ó A B ÔÖ Ú Ù ÐÓÚ Ó Ù Ù Ò ÑÙ Ó Ñ ØÓ ÙÔÖÓØÒ ØÖ Ò AD BC ÔÓ Ù ÖÒ ÓÒ Ù Ù ÐÓÚ C D Ò ÖÙ ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒ º Ð ÒÓÖÑ Ð ÔÓ ÒÙØ Ù Ö Ò M Ùö AB ÔÖ ÙÔÖÓØÒÙ ØÖ ÒÙ CD Ù Ø N Ø Ó Ù ØÚÓÖÓÙ ÐÓÚ AMND BMNC ÔÓ Ù ÖÒ º Ó Þº ÆÓÖÑ Ð ÔÓ ÒÙØ Ù Ø M Ò AB Ð ö Ó ØÓ Ð Þ Ø ÚÓÚ ¾½ ¾¾ Ù ÙÒÙØÖ Ò Ó Ø Ù Ð DMC ØÓ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ó Ø ÚÓÚ ÔÓÑ ÒÙØ Ò ØÖº ½¾ ÔÖ Ùö CD Ù Ø Nº ÁÞ Ø ÚÓÚ ½¾ ¾½ ½ Ð Ù ØÖÓÙ ÐÓÚ MAD MBC Ô ØÓ ØÖÓÙ ÐÓÚ MDN MCN ÔÓ Ù ÖÒ º ÁÞ ÓÚ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÔÓÑÓ Ù Ø Ú ½ Ó BCN ADNº Ð ØÚÓÖÓÙ ÐÓÚ AMND BMNC Ù ÔÓ Ù ÖÒ º Ë Ø Ú º Ó Ù Ù ØÚÓÖÓÙ ÐÙ ABCD Ú Ø Ö Ù Ð ÔÖ Ú ÓÒ ÒÓÖ¹ Ñ Ð EF ÔÙ Ø Ò Þ Ò Ø E ÔÖ Ú CD Ò ÙÔÖÓØÒÙ ØÖ ÒÙ AB ØÓ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò CDº D N C A M B E D E 1 C E 2 F A F 1 B F 2

36 Ó Þº ÍÚ ÑÓ ÔÓ Ñ Ó Ð Ò Ò ÔÖ ÚÓ a Ò ÓÚ Ò Ò Ó Ñ Þ Ó Ø P ÔÙ Ø ÑÓ ÒÓÖÑ ÐÙ Ñ Ò Ó Ù ÔÖ ÚÙ a Ó ØÙ ÒÓÖÑ ÐÙ ÔÖÓ Ùö ÑÓ Þ Ò ÒÙ ÓÔ ØÚ ÒÙ Ùö ÒÙ ÔÖ Ó ÔÓ ÒÓöÒ Ø Ó P ÓÒ Ø P Ò Þ Ú Ó Ð Ð ÓÑ Ð ÓÑ Ø P º Ç Ð Ò ÑÓ Ùö EF Ò AD BCº Ç Ð Ð Ð E 1 F 1 E 2 F 2 Ù ØÓ ÔÖÓ Ø Þ ÖÙ Ó Ð Ø Ú ÔÓ Ù ÖÒ Ùö EF º Ì F 1 F 2 ØÓ Ø Ó Ó Ø F Ð ö Ò AB Ø E 1 E 2 Ó Ø E Ð ö Ò CDº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÔÖÚÓ Ð Ø Ú Ù Ø Ò Þ ØÚÓÖÓÙ ÐÓÚ EFF 1 E 1 EFF 2 E 2 E 1 F 1 F 2 E 2 Ó ØÐ Ð Ò Ó Ø Ø Ö Ù Ð Ø Ñ Ò Ñ Ù Ø Ñ E, E 1, E 2 º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ó Ò Ó ÓÚ Ø Ò Ø Ù Ú ¹ Ò ÙÔÓÖ Ò Ù Ð Ù ÓÖÒ Ó ÙÖ Ó Ø E 1 µ Ø º Ø Ø Ö Ò Ù Ð Ù ÔÖ Ú º Ë Ø Ú º Ó Ù Ñ Ù ÓÑ ØÚÓÖÓÙ ÐÙ Ú Ù ÐÓÚ ÔÖ Ú ÓÒ Ù Ú ÓÑ ØÚÓÖÓÙ ÐÙ ØÖ ÔÖ Ú Ù Ð ØÚÖØ Ù Ó ÔÖ Úº Ó Þº Æ A B C D ØÚÓÖÓÙ Ó Ø Ö ÔÖ Ú Ù Ð Ò ABCD Ñ Ó ØÚÓÖÓÙ Ó ØÖ ÔÖ Ú Ù Ð Ó A, B, Dº ÃÓÒ ØÖÙ ÑÓ ØÚÓÖÓÙ Ó AB 1 C 1 D 1 ÔÓ Ù Ö Ò ØÚÓÖÓÙ ÐÙ A B C D ÔÖ Ú Ù Ó Ó A ÔÓ Ð Ô Ù ÐÓÑ A ØÚÓÖÓÙ Ð ABCDº D C D 1 F C 1 A B B 1 Í ÐÙ Ù Ø B ÔÓ Ð Ô B 1 Ð Ø D D 1 ÓÒ ØÚÖ Ò Ù Ð ÒÓ Ø Ø ÚÓÑ º Í ÐÙ Ù Ø B Ð ö ÞÑ Ù A B 1 Ø D 1 ÞÑ Ù A D ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ù Ó ÞÙ Ø Ú Ð Þ Ø Ú Ó ÔÓÐ Ò Ñ Ù ÐÙ Ùö BC C 1 D 1 Ù Ù Ò Ó Ø F º ËØ Ú ÔÓ ÞÙ Ð Ù Ó Ó F ØÓ Ù Ó Ó Ø C ÔÖ Ú Ù Óº Æ Ð Ò Ò Ò Ó ØÚÖ Ò Þ Ó Ø Ð ÑÓ Ù Ö ÔÓÖ Ø A, B, B 1 A, D, D 1 º ÈÓÑÓ Ù Ø Ú ÑÓö Ó Þ Ø ÖÙ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Úº Ë Ø Ú ÖÙ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Úµº Ó Ñ Ù ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ Þ Ö Ù ÐÓÚ Ò Ú Ñ ÔÖ Ú Ñ ÓÒ Þ Ö Ù ÐÓÚ Ú Ó ØÖÓÙ Ð Ò Ú Ñ ÔÖ Ú Ñº

37 C F D H J E G A ω K B Ó Þº ËÚ ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ ABC Þ ÖÓÑ Ù ÐÓÚ 2w ÑÓö ÑÓ Ó Ð Ø ØÚÓÖÓÙ Ó Ó Ñ ØÖ ÔÖ Ú Ù Ð ØÚÖØ Ù Ó Ò wº Ê ÓÚÓ Ð ÔÓ ÑÓ Ö Ò D E ØÖ Ò AC BC ÔÙ Ø ÑÓ Þ Ø A, B C Ò ÔÓ ÒÙ ÔÖ ÚÙ ÒÓÖÑ Ð AF, BG CHº ÁÞ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ AFD CHD Ó ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ØÖÓÙ ÐÓÚ BGE CHE Ð AF = BG FAB + GBA = 2w Ò Þ Ú ÒÓ Ó ØÓ Ð Ò Ó Ù ÐÓÚ A Ð B ØÓ ØÖÓÙ Ð ØÙÔ Ð Ò ØÙÔº Ó Þ Ö Ò Ùö FG ÔÓ Ò ÑÓ ÒÓÖÑ ÐÙ JK Ø Þ ÖÙ Ó Ð Ø Ú Ð Ù ØÚÓÖÓÙ ÐÓÚ AKJF BKJG ÔÓ Ù ÖÒ º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ú Ó ÓÚ Ú ØÚÓÖÓÙ Ð Ñ ØÖ ÔÖ Ú Ù Ð ØÚÖØ Ù ÐÓÚ Ù Ò Ø º ËØÓ Ó FAB GBAº FAB w Ø Ó Ò Þ Ø Ú Ò Ò Ò ØÚÓÖÓÙ Ó AKJF Ó Ð Ò ØÓÑ ØÖÓÙ ÐÙº Æ Ñ Ù ÓÑ ØÖÓÙ ÐÙ D 1 Þ Ö Ù ÐÓÚ Ò Ú Ñ ÔÖ Ú Ñ Ò Ó Ñ ØÓ Ø Ò ÖÙ ØÖÓÙ Ó D 2 º Ó Ð ÑÓ Ñ ØÚÓÖÓÙ ÐÓÚ V 1 V 2 º ØÚÓÖÓÙ Ó V 1 Ñ Ø Ö ÔÖ Ú Ù Ð ØÚÓÖÓÙ Ó V 2 Ñ ØÖ ÔÖ Ú Ù Ð º ÈÖ Ñ Ø ÚÙ Ù ØÚÓÖÓÙ ÐÙ V 2 ØÚÖØ Ù Ó ÔÖ Úº Ì Ñ ÖÙ Ä ö Ò ÖÓÚ Ø Ú Ó Þ Òº ï½½º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ç Ò Ò Ó Ø Ù Ò Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ó Þ ÑÓ Ó Ò ÖÓ ØÓ Ú öòù ÓÚÙ ÓÑ III 5 Ò ÑÓö ÞÚ Ø ÔÓÑÓ Ù ÐÓ Þ Ð Ù Þ Ó Ø Ð ÓÑ I, II, III 1 4, IV V º ÁÞ Ö ÑÓ Ø ÔÖ Ú Ö ÚÒ Ó Ò ÓÑ ØÖ Þ Ð Ñ ÒØ ÒÓÚ ÔÖÓ ¹ ØÓÖÒ ÓÑ ØÖ Ò ÑÓ ÔÖ ÒÓ Ò Ù ÐÓÚ Ò Ø Ò Ò Ó Ù Ó ÒÓ ÓÑ ØÖ ÒÔÖº ÓÒ Ó Ó ØÓ ÞÐÓö ÒÓ Ù ï Ò ÔÖÓØ Ú Ò ÑÓ ÔÖ ÒÓ Ò Ùö Ò ÖÙ Ò Òº Æ Ú Ø A 1 A 2 Ù Ó ÒÓ ÓÑ ØÖ Ñ Ù ÓÓÖ Ò Ø x 1, y 1, z 1 x 2, y 2, z 2 Ø ÑÓ ÔÓÞ Ø ÚÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø ÞÖ Þ

38 (x1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 Ò ÞÚ Ø Ùö ÒÓÑ Ùö A 1 A 2 Ô ÓÒ Ú ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ùö A 1 A 2 A 1 A 2 ØÖ ÞÚ Ø ÔÓ Ù ÖÒ Ñ Ó ÓÒ Ù ÓÖ Ù Ø ÒÓÚÐ ÒÓÑ Ñ ÐÙ Ñ Ù Ò Ùö Ò º Æ ÔÓ Ö ÒÓ ÒÓ Ù Ø Ó Þ Ö ÒÓ ÔÖÓ ØÓÖÒÓ ÓÑ ØÖ Ú ö ÓÑ I, II, III 1 2,4, IV, V Ó ÙÓ Ø ÐÓÑ Ø ÚÓÚ ½ ½ ½ ½ ¾½ Ó Ù Ð Ó Þ Ò ÔÓÑÓ Ù ÓÑ III 5 µº ÑÓ ÔÓ Þ Ð Þ ÓÚÓÐ Ò ÓÑ III 3 ÙÞÑ ÑÓ ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÙ ÔÖ ÚÙ a Ó Ö ÑÓ Ò Ò Ó ØÖ Ø A 1, A 2, A 3 Ø Ó Ø A 2 Ð ö ÞÑ Ù Ø A 1 A 3 º Æ Ù Ø x, y, z ÔÖ Ú a Ø Ò Ò Ñ x = λt + λ y = µt + µ z = νt + ν Ù Ó Ñ t Ô Ö Ñ Ø Ö λ, λ, µ, µ, ν, ν ÓÞÒ Ú Ù ÞÚ Ò ÓÒ Ø ÒØ º Ó Ù t 1, t 2 < t 1 µ t 3 < t 2 µ ÚÖ ÒÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ù Ø Ñ A 1, A 2, A 3 ÓÒ ÑÓ Ñ Ø Þ Ùö Ò ØÖ Ù Ùö A 1 A 2 A 2 A 3 A 1 A 3 ÞÖ Þ (t 1 t 2 ) (λ + µ) 2 + µ 2 + ν 2 (t 2 t 3 ) (λ + µ) 2 + µ 2 + ν 2 (t 1 t 3 ) (λ + µ) 2 + µ 2 + ν 2 Þ ØÓ Þ Ö Ùö Ò Ùö A 1 A 2 A 2 A 3 Ò Ùö Ò Ùö A 1 A 3 º Ç ØÐ Ó Ú ö Ò ÓÑ III 5 º ÓÑ III 5 Þ ØÖÓÙ ÐÓÚ Ò ÙÚ Þ ÓÚÓÐ Ò Ù Ò Ó ÓÑ ØÖ º Ã Ó ÔÖ Ñ Ö ÔÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ù Ö ÚÒ z = 0 Ø Ö Ø Ø Ù O ÓÓÖ Ò Ø Ñ x = 0 y = 0 Ø Ù A ÓÓÖ Ò Ø Ñ x = 1 y = 0 Ø Ù B ÓÓÖ Ò Ø Ñ x = 1 y = 0 Ø Ù C ÓÓÖ Ò Ø Ñ x = 0 y = 1 2 º Ùö OA OB OC Ñ Ù Ùö ÒÙ ½º Ó ÔÖ ÚÓÙ Ð ØÖÓÙ Ð AOC COB Ú ö ØÓ ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø AOC COB OA OC OC OBº C(0, 1 2 ) B( 1, 0) O(0, 0) A(1, 0)

39 Ð Ò ÙÔÖÓØ ÓÑ III 5 Ù ÐÓÚ OAC OCB Ò Ù ÔÓ Ù ÖÒ º Í ØÓ ÚÖ Ñ Ù ÓÚÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙ Ò Þ ÓÚÓÐ Ò ÔÖÚ Ø Ú ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø ÔÓ ØÓ Ùö AC Ñ Ùö ÒÙ Ùö BC Ò ÔÖÓØ Ú Ñ Ùö ÒÙ º Ì Ó Ò Ú ö Ø Ú ½½ Ò Þ Ò Ó Ó Ö ÚÒÓ Ö ØÖÓÙ Ð AOC COBº ÈÖ Ñ Ö Ö ÚÒ ÓÑ ØÖ Ù Ó Ó Ù Ú ÓÑ ÞÙÞ Ø ÓÑ ÓÑ III 5 Þ ÓÚÓÐ Ò Ø ÓÚÓ Ù Ò Ó Ö ÚÒ α Ú ÔÓ ÑÓÚ Ó ÚÐ Ù Ù ÓÑ Ñ Ð Ù Ù Ù ÔÓ Ù ÖÒÓ Ø Ùö Ò Ù Ù Ò Ò Ò Ó Ò Ò Òº Å ÙØ Ñ Þ Ùö ÒÙ Ùö ÙÞÑ ÑÓ Ò Ó Ò Ò Ò Ò ÒÙ Ùö ÒÙ ÔÖÓ Ò Ö Ú Ò β Ó Ò ÒÙØ ÔÓ Ó ØÖ Ñ Ù ÐÓÑ ÔÖ Ñ Ö ÚÒ αº ï½¾º Æ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø V 5 Æ ¹ Ö Ñ ÓÑ ØÖ µ ÑÓ Ó Þ Ð Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ö Ñ ÓÚ ÓÑ V 1 ÑÓÖ ÑÓ ÓÒ¹ ØÖÙ Ø ÓÑ ØÖ Ù Ù Ó Ó Ø Þ ÓÚÓÐ Ò Ú ÓÑ ÞÙÞ Ú ÓÑ V º Í ÓÚÓÑ Ð Ù ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÔÓ ÖÙ Ω(t) Ú ÓÒ Ð Ö ÙÒ Ó t Ó Ó Ù Þ t ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ô Ø Ö ÙÒ ÓÔ Ö Ö Ò Ó ÙÞ¹ Ñ Ò ÑÒÓö Ò Ð Ò ÓÔ Ö 1 + w 2 ÔÖ ØÓÑ w ÓÞÒ Ú Ñ Ó Ù ÙÒ Ù Ó Ú Ó Ò ÔÖ ¹ Ñ ÒÓÑ Ø Ô Ø ÓÔ Ö º ÅÒÓö Ò Ð Ñ Ò Ø ÔÓ ÖÙ Ω(t) ¹ ØÓ Ó ÑÒÓö Ò Ð Ñ Ò Ø Ω Ù ï ¹ ÔÖ ÖÓ Ú º ËÚ Ô Ø ÓÔ Ö Ù ÒÓÞÒ Ò ÞÚÓ Ð Ú Ù ØÚ ÖÒÓ Ó Ð Ø Þ ØÓ ÔÓ ÖÙ Ω(t) Öö ÑÓ ÒÓÞÒ Ò Ö ÐÒ ÙÒ Ó tº Æ c Ñ Ó ÙÒ Ó ÔÓ ÖÙ Ω(t) ÔÓ ØÓ ÙÒ c Ð ¹ Ö ÙÒ Ó t ØÓ ÓÒ ÑÓö ÒÙÐ Ö Ø Ú Ó ÑÓ Þ ÓÒ Ò ÖÓ ÚÖ ÒÓ Ø Ó t Þ ØÓ ÙÒ Ó c Ø Þ ÓÚÓÐ ÒÓ Ú Ð ÔÓÞ Ø ÚÒ ÚÖ ÒÓ Ø Ó t Ð ÙÚ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ð ÙÚ Ò Ø ÚÒ º ÙÒ ÔÓ ÖÙ Ω(t) Ñ ØÖ ÑÓ Ó ÚÖ ØÙ ÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ú Ù Ñ ÐÙ Ò Ö ÒÓ Ô Ö Ö ï½ Ó Ð ÒÓ Ù Ø Ó Ò ÒÓÑ ÓÑÔÐ ÒÓÑ ÖÓ ÒÓÑ Ø ÑÙ Ú ö Ú Ó Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ú Ð º Ð Ó Ù a b Ñ Ó Ú Ö ÞÐ Ø ÖÓ ÓÚÓ ÓÑÔÐ ÒÓ ÖÓ ÒÓ Ø Ñ Ö ÑÓ ÖÓ a Ú Ð Ñ Ò Ó b Ô Ø a > b Ð a < b ÔÖ Ñ ØÓÑ Ð Ö ÞÐ c = a b Ó ÙÒ Ó t ÙÚ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ð ÙÚ Ò Ø ÚÒ Þ ÓÚÓÐ ÒÓ Ú Ð ÔÓÞ Ø ÚÒ ÚÖ ÒÓ Ø Ó tº Ó ÓÚ Ó ÙÞÑ ÑÓö ÑÓ Ö ÔÓÖ Ø ÖÓ Ú Ò ÓÑÔÐ ÒÓ ÖÓ ÒÓ Ø Ñ ÔÓ Ò ÓÚÓ Ú Ð Ò Ð ÒÓ ÓÒÓÑ Ó ØÓ Ö Þ Ö ÐÒ ÖÓ Ú Ð Ó Ú Þ Ò ÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ú Ø Ó Ú ö Ø ÚÓÚ ÔÖ Ñ Ó Ñ Ò Ò Ò Ó Ø Ù Ø Ò Ó Ó Ñ ØÖ Ò Ñ Ó Ø ÖÓ Ð Ó ØÖ Ò ÔÓÑÒÓö Ø Ñ ÖÓ Ñ > 0º Ó n ÓÞÒ Ú Ò ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ó Ö ÓÒ ÐÒ ÖÓ ÓÒ Ò ¹ Ò Ò n < t ÙÖÒÓ Ú ö Þ Ó ÖÓ n t ÔÓ ÖÙ Ω(t) ÔÓ ØÓ Ö ÞÐ n t ÔÓ Ñ ØÖ Ò Ó ÙÒ Ó t ÞÐ Þ Ó Ð ÒÓ ÙÚ Ò Ø ÚÒ Þ Ó¹ ÚÓÐ ÒÓ Ú Ð ÔÓÞ Ø ÚÒ ÚÖ ÒÓ Ø Ó tº ÇÚÙ ÑÓ Ò Ò Ù ÞÖ Þ Ø Ò ÓÚ

40 Ò Ò ÖÓ Ú ½ t ÔÓ ÖÙ Ω(t) Ó Ù Ó > 0 Ñ Ù ØÓ ÚÓ ØÚÓ ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò Ú ØÖÙ ÚÖ ÒÓ Ø ÔÖÚÓ Ó Ø ÙÚ Ñ Ò Ó ÖÙ Ó ÖÓ º Ë ÑÓ Ó ÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ú ÔÓ ÖÙ Ω(t) Þ Ö Ø ÓÑ ØÖ Ù ÔÓØÔÙÒÓ Ò Ø Ò Ò Ó ØÓ ØÓ Ù Ò ÒÓ Ù ï ÑÓ ÙÞ Ð Þ Ó ÒÓÚÙ ÔÓ ÖÙ Ω Ð Ö ÖÓ Ú Ñ ØÖ ÑÓ Ø Ñ ØÖ Ù ÖÓ Ú (x, y, z) ÔÓ ÖÙ Ω(t) Ó Ø Ù Ö ÞÑ Ö Ñ Ó Ø Ö ÖÓ (u : v : w : r) ÔÓ ÖÙ Ω(t) Ù ÐÙ Ù u, v, w Ò Ù Ú ÒÙÐ Ó Ö Ú Ò Ð Ò ÔÓ ØÓ Ò Ò Ò ux + vy + wz + r = 0 ÞÖ ö Ú Ø (x, y, z) Ð ö Ù Ö ÚÒ (u : v : w : r) Ò Ó ÔÖ Ú Ò ÞÒ Ù ÙÔÒÓ Ø Ú Ø Ó Ð ö Ù Ú Ñ Ö ÚÒ Ñ Ö ÞÐ Ø Ñ u : v : wº Í ÚÓ ÑÓ Ð Ð Ò ÔÓ Ø Ú Ó Ö ÔÓÖ Ù Ð Ñ Ò Ø Ó ÔÖ ÒÓ Ò Ù Ùö Ù ÐÓÚ Ó Ù ï ÓÒ Ó ÑÓ Ò ¹ Ö Ñ Ù ÓÑ ØÖ Ù Ù Ó Ó Ù Ó ØÓ ÔÓ ÞÙ Ù Ö Ò ÞÐÓö Ò ÚÓ ØÚ ÓÑÔÐ ÒÓ ÖÓ ÒÓ Ø Ñ Ω(t) Ú ÓÑ Þ ÓÚÓÐ Ò ÞÙÞ Ø ÓÑ ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø º Í ØÚ Ö ÑÓö ÑÓ ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ ÔÙØ ÒÓ Þ ÖÙ Ñ ÔÖ Ò Ø Ùö ½ Ò Ùö t ÔÖ ØÓÑ Ò ÔÖ ÓÖ Ö Ò Ø Ùö t Ð ØÓ ÔÖÓØ ÚÙÖ Þ Ø ÚÙ Ö Ñ ÓÚ ÓÑ º ÓÑ ÔÓØÔÙÒÓ Ø V 2 Ø Ó Ò Þ Ú Ò Ó Ú ÔÖ Ø Ó Ò ¹ ÓÑ I IV, V 1 ÔÓ ÞÙ ÔÖÚ ÓÑ ØÖ ÔÓ Ø ÚÐ Ò Ù ï ÔÓ ØÓ Ù ÓÚÓ ÓÑ ØÖ Þ ÓÚÓÐ Ò Ö Ñ ÓÚ ÓÑ º Ç ÔÖ Ò Ô Ó Ù ÞÒ Ò ¹ Ö Ñ ÓÑ ØÖ Ó Ù ØÓÚÖ ¹ Ñ ÒÓ Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ò ÖÓ ØÓ Ó Ú Ð Ó ÒØ Ö ÙÐÓ Ó Ù Ö Ö Ñ ÓÚ ÓÑ ÔÖ Ó ÞÙ Ä ö Ò ÖÓÚÓ Ø Ú º Á Ô Ø Ú Ò Ó Åº Ò (M. Dehn) ÔÖ ÙÞ Ó ÔÓ ÑÓ Ñ ÙØ Ñ Ó ÓÚÓÑ ÔÖ Ñ ØÙ ÓÚ ÐÓ Ó ÔÓØÔÙÒÓ Ó Ò Ò ÓÚÓ Ô Ø Ò º Í ÒÓÚ Ñ Ô Ø Ú Ò Ñ ÙÞ Ø Ù Þ Ó ÒÓÚÙ ÓÑ I IIIº Ë ÑÓ Ò Ö Ù ÒÓÚÓ Ö ¹ Ê Ñ ÒÓÚ (B. Riemann) Ð ÔØ Ò µ ÓÑ ØÖ Ù Ð Ù ÔÓ ÖÙ Ô Ø Ú Ò ¹ ÓÑ Ö ÔÓÖ II Ú Ò Ù ÓÔ Ø ÒÓ Ù ÓÚÓ Ö ÔÖ Ú Ò Ñ ÓØÔÖ Ð ÓÚ Ó Ø Ö Ø A, B, C, D ÔÖ Ú ÙÚ Ö Ô Ù Ò Ú Ô Ö A, C B, D Ø Ó Ù Ø A, C Ö Þ ÚÓ Ò Ø Ñ B, D Ó ÖÒÙØÓº È Ø Ø Ò ÔÖ ÚÓ ÑÓ Ù ÙÚ ÓÞÒ Ø A, B, C, D, E Ø Ó Ù Ø A, C Ö Þ ¹ ÚÓ Ò Ø Ñ B, D B, E Ð Ø A, D Ö Þ ÚÓ Ò Ø Ñ B, E C, E Ø º Æ Ó ÒÓÚÙ ÓÚ ÓÑ I III Ð Ò ÓÖ Ø Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ó Þ٠ź Ò Ò ÔÖ ÓÔ Ø Ó Ð ÖÙ Ó Ä ö Ò ÖÓÚÓ Ø Ú Ø Ú Ó Ù Ò Ó Ñ Ñ Ó Ñ Ø Ö Ó Ù Ð Ù Þ Ö Ù Ð Ó Ú Ú Ó Ú Ô Ö Ú Ò Ú Ô Ö Ú Ð Ñ Ò Ó Ú Ô Ö Ú Ó Ò Ø Ó Ú ö Þ Ú Ø Ö Ó Ù Óº Ð Ò Ò Ú ÒÓÑ Ñ ØÙ Ó ÞÙ Ð ÓÔÙÒ ÔÖÚÓ Ä ö Ò ÖÓÚÓ Ø Ú Ø Ú Á Þ Ô Ö Ø Ô Ó Ø Ú Ö Ó Þ Ò Ù Ø Ù Ñ Ó ö Ô Ó Ú Ù Ó Ò Ò Ó Ñ Ò Ó Ó Ô Ö Ð Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ó Ô Ö Ú Ó Ò

41 Ð Ó Ð Ù Ö Ñ Ó Ú Ó Ñ Þ Ö Ù Ð Ó Ú Ù Ø Ö Ó Ù Ð Ù Ñ Ò Ó Ú Ô Ö Ú º Í Ô Ö Ú Ó Ò Ø Ö Ò Ô Ó Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ò ¹Ð ö Ò Ö Ó Ú Ó Ñ Ø Ö µ Ù Ó Ó Ö Ó Þ Ò Ù Ø Ù Ô Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ú Ó Ñ Ó ö Ô Ó Ú Ù Ó Ò Ò Ó Ñ Ò Ó Ó Ô Ö Ð Ð Ò Ù Ó Ó Ô Ú ö Ø Ú Ó Ú Ê Ñ Ò Ó Ú Ð Ô Ø Ò µ Ó Ñ Ø Ö º Ë Ö Ù Ø Ö Ò Ô Ó Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ô Ó Ð Ù Ù Ð Ó Ñ Ø Ö µ Ù Ó Ó Ô Ó Ø Ó Ó Ò Ò Ó Ñ Ò Ó Ó Ô Ö Ð Ð Ò Ö Ó Þ Ò Ù Ø Ù Ô Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ú Ó Ù Ó Ó Ô Ú ö Ø Ú Ó Ú Ù Ð Ó Ñ Ø Ö º Á Þ Ô Ö Ø Ô Ó Ø Ú Ò Ô Ó Ø Ó Ò Ò Ô Ö Ð ÐÒ Ù Ú Ð Þ Ö Ù Ð Ó Ú Ù Ø Ö Ó Ù Ð Ù Ú Ó Ú Ô Ö Ú º ÈÖ Ñ Ø Ù Ò Ö Ù Ó Ó Ö Ñ ÓÚ ÓÑ ÑÓö ¹ ÓÑ Ô Ö Ð ÐÒ Þ Ñ Ò Ø Þ Ø ÚÓÑ Þ Ö Ù ÐÓÚ Ù ØÖÓÙ ÐÙ ØÖ Ù Ò Ú Ñ ÔÖ Ú Ñ Ù ÐÓÚ Ñ º

42 ÌÖ Ð Ú Í Ò Ó ÔÖÓÔÓÖ Ñ ï½ º ÃÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ñ Í ÔÓ Ø Ù ÓÚ Ð Ú ÑÓ Ò ÓÐ Ó ÔÖ Ø Ó Ò Ö Ø Ö Þ Ò Ò Ó ÓÑÔÐ Ò Ñ ÖÓ Ò Ñ Ø Ñ Ñ Ó Ò Ñ ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ò ÖÓ ØÓ Þ ÓÐ Ò ÞÐ Ò º Ê ÐÒ ÖÓ Ú Ó Ö ÞÙ Ù Ù ÚÓ Ó Ù ÙÔÒÓ Ø Ø Ñ ØÚ Ö ÓÚ Ñ ÚÓ¹ ØÚ Ñ Ë Ø Ú Ó Ú Ú Þ ½¹ µ ½º Ç ÖÓ a ÖÓ b Ó Ö Ò Ñ Ó Ö Ò ÖÓ c Ù ÞÒ Ñ a + b = c Ð c = a + bº ¾º Ó Ù Ø ÖÓ Ú a b ÓÒ ÔÓ ØÓ ÙÚ Ò ÑÓ Ò ÖÓ x Ø Ó Ò ÑÓ Ò ÖÓ y Ø Ó a + x = b Ó Òº y + a = bº º ÈÓ ØÓ Ò Ó Ö Ò ÖÓ ¹ Ò ÞÚ ÑÓ o ¹ Ø Ó Þ Ú Ó a ØÓÚÖ Ñ ÒÓ a + o = a o + a = aº º Ç ÖÓ a ÖÓ b Ó Ó Ò Ò ÖÙ Ò Ò ÑÒÓö Ò Ñ Ò Ó Ö Ò ÖÓ c Ù ÞÒ Ñ ab = c Ð c = abº º Ó Ù a b ÔÖÓ ÞÚÓÐ ÒÓ Ø ÖÓ Ú a Ò o ÓÒ ÙÚ ÔÓ ØÓ Ò ÑÓ Ò ÖÓ y Ø Ó ax = b Ó Òº ya = bº º ÈÓ ØÓ Ò Ó Ö Ò ÖÓ ¹ Ò ÞÚ ÑÓ ½ ¹ Ø Ó Þ Ú Ó a ØÓÚÖ Ñ ÒÓ a 1 = a 1 a = aº Ê Ù Ò Ô Ö Ú Ð ¹½¾µ Ó Ù a, b, c ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÖÓ Ú ÓÒ ÙÚ Ú ö Ò Ö Ò Þ ÓÒ Ö ÙÒ º a + (b + c) = (a + b) + c º a + b = b + a º a (bc) = (ab) c ½¼º a(b + c) = ab + ac ½½º (a + b)c = ac + bc ½¾º ab = baº Ë Ø Ú Ó Ú Ö Ô Ó Ö ½ ¹½ µ ½ º Ó Ù a b Ú Ñ Ó Ö ÞÐ Ø ÖÓ ÓÒ ÙÚ Ò ÑÓ Ò Ó Ò Ö ÑÓ aµ Ú Ó ÖÙ Ó Ø ÓÚ ÔÓ Ð Ò Ò Þ Ú Ñ Ò Ñ ÖÓ Ñ ØÓ ÓÞÒ Ú

43 ¼ a > b b < aº Æ Þ Ò ÖÓ a Ò Ú ö a > a ½ º Ó a > b b > c ÓÒ a > cº ½ º Ó a > b ÓÒ ÙÚ a + c > b + cº ½ º Ó a > b c > 0 ÓÒ ÙÚ ac > bcº Ë Ø Ú Ó Ú Ò Ô Ö Ò Ó Ø ½ ¹½ µ ½ º Ö Ñ Ó Ú Ø Úµº Ó Ù a > 0 b > 0 Ú ÔÖÓ ÞÚÓÐ Ò ÖÓ ÓÒ ÙÚ ÑÓ Ù a Ó Ø ØÓÐ Ó ÔÙØ ÑÓÑ Ó Ò ÙÑ Ù Ú Ó bº ÁÞÖ ö ÒÓ ÞÒ Ñ a + a a > bº ½ º Ø Ú Ó Ô Ó Ø Ô Ù Ò Ó Ø µº Æ ÑÓ Ù ÓÚÓÑ Ø ÑÙ ÖÓ Ú Ó Ø Ó ÖÓ Ú ÖÙ Ø Ñ ØÚ Ö Ø Ó Ù Ù Ø ÑÙ ÓÚ Ó ÔÖÓ Ö Ò Ú Ø ÚÓÚ ½¹½ Þ ÓÚÓÐ Ò ÔÖ Ó Öö Ú Ò Ù Ó ÒÓ ÞÑ Ù ÖÓ Ú Ð Ö ÖÓ Ú Ó Ö ÞÙ Ù Ø Ñ ØÚ Ö Ó Ú Ó ÒÓ Ú Ò Ú Ò Ø ÚÓÚ Ò ÓÞÚÓÐ Ú Ú Ò ÚÓ ÔÖÓ Ö Ò º Ë Ø Ñ ØÚ Ö Ó Ñ ÑÓ Ò Ó ÚÓ Ø Ú ½¹½ Ò ÞÚ ÑÓ Óѹ ÔÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ñº ÃÓÑÔÐ Ò Ø Ñ ÖÓ Ú Ò ÞÚ ÑÓ Ö Ñ Ñ Ð Ò Ö Ñ Ñ ÔÖ Ñ ØÓÑ Ð ÓÒ Þ ÓÚÓÐ Ú Ð Ò Þ ÓÚÓÐ Ú Þ Ø Ú ½ º Æ Ó ÞÐÓö Ò ÚÓ Ø Ú ½ ¹ ½ Ù ÔÓ Ð Ó Ø Ð º Æ Ø Þ Ø Ô Ø ÐÓ Þ Ú ÒÓ Ø ÓÚ ÚÓ Ø Ú º Í ØÓÑ Ó Ð Ù ï ¾ ï Ó ÓÚÓÖ ÑÓ Ò Ú Ó Ö Ò Ô Ø Ò Ø Ú ÚÖ Ø Þ Ó Ò ÓÚ ÓÑ ØÖ ¹ Ó ÞÒ ÓÚ ÑÓ ÑÓ Ù Þ Ø Ò ØÓ Ú Ó Þ Ø Ú ½ Ò Ò Ú ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ó Ò ÚÓ Ø Ú ÔÓ ØÓ Ò ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ÔÓ Ñ ØÖ Ò Ù ï½¾ Þ ÓÚÓÐ Ú Ú ÚÓ ØÚ ½¹½ Ð Ò ÚÓ ØÚÓ ½ º ÍÓ Ø ÐÓÑ ØÓ Ø Ø ÚÓÚ Ò ÔÖ ÒÓ Ø ½ ¹½ µ Ú ö ÔÖ Ñ Ú ÑÓ Ù Ò Ð Ù ï Ó ÓÑ ØÖ Ñ ÓÑ Ñ Ò ÔÖ ÒÓ Ø º ï½ º Ó Þ È ÐÓÚÓ Ø Ú Í ÓÚÓÑ Ò Ö ÒÓÑ Ó Ð Ù ÔÓ ÑÓ Ù Ò Ñ Ô Ø Ú Ò Ù Ó ÓÑ Ö ÚÒ Ú ÖÙÔ Ø º ÓÑ I 1 3 II IV ÞÙÞ Ú ÓÑ Ò ÔÖ ÒÓ Ø º Í ÓÚÓ ØÖ Ó Ð Ú Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÙ ÔÓÑÓ Ù ÔÓÑ ÒÙØ ÓÑ Þ ÒÙ ÑÓ Ù Ð ÓÚÓ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÓÖ Ñ Ø º Ù Ö ÚÒ Ò Þ Ú ÒÓ Ó Ö Ñ ÓÚ Ó Ñ º Í ØÓÑ Ð Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ó Þ Ø Ò Ò Ù Ó Ô Ð Ò ÐÙ ÔÓÞ¹ Ò ØÓ È ÐÓÚÓ Ø Ú Þ Ù Ò Ó ÓÒÙ Ò Ñ ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Ø Ú Ù Ù Ù Ö Ø Ó Ò ÞÚ Ø È ÐÓÚ Ñ Ø ÚÓѺ Ì Ø Ú Ð