doc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,

Transcript

1 -550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu. Translačný pohyb a rotačný pohyb telesa. Stred otočenia telesa o konečný uhol, okamžitý stred pootočenia. Riadiace krivky (polódie) všeobecného pohybu telesa. Nahradenie všeobecného pohybu telesa valením polódií a ich využitie v mechanizmoch. Ako Cauchy-oisson navrhli nahradiť všeobecný rovinný pohyb telesa. Všeobecný vzťah na deriváciu vektora v rôznych priestoroch. Rovnice na výpočet tvaru polódií.. Ciele v kinematike. V Kinematike sa zaoberáme opisom polohy, rýchlosti a zrýchlenia nehmotných a nedeformovateľných útvarov (voľný a viazaný bod, voľné a viazané teleso, sústava viazaných telies) pri nasledovných druhoch pohybu: druhy pohybu bodu: - priamočiary, - krivočiary: v rovine, v priestore, druhy pohybu telesa: - translačný: priamočiary (posuvný), krivočiary, - rotačný, - všeobecný v rovine: rozklad a) Cauchy-oisson (translačný (A) + rotačný (okolo A), b) súčasné pohyby (unášavý, lokálne relatívny, výsledný) - sférický, - všeobecný v priestore: rozklad a) Cauchy-oisson (translačný (A) + sférický (okolo A), b) Mozzi-Chasles (skrutkový),. remiestňovanie súradnicovej sústavy s jednotkovými vektormi t, n, b po priestorovej krivke (a) Súradnicová sústava t, n, b ri zváraní dverí automobilu treba polohovať zváracie elektródy E, E tak, aby sa stred A zváracej hlavice premiestňoval po priestorovej krivke (a), (krivočiary priestorový pohyb bodu A) a aby elektródy E, E vždy ležali na hlavnej normále n krivky (a) (obr.) (všeobecný priestorový pohyb zváracej hlavice).

2 Obr. Súradnicová sústava A ( t, n, b ) zváracej hlavice. Okamžitá rýchlosť Okamžité zrýchlenie Okamžitú rýchlosť v koncového bodu A polohového vektora r môžeme vyjadriť ako limitu lim Δr dr r v Δt 0 Δt Uvažujme s AA ako oblúkovú súradnicu polohy bodu A voči bodu A, potom ds je nekonečne malá lim Δr veličina ds Δr 0 okamžitá rýchlosť bude potom dr dr ds v t v ds dr kde t je jednotkový tangenciálny vektor t ds vektor K krivosti z diferenciánej geometrie K K n ds, K n R kde R je polomer oskulačnej kružnice, ktorá nahrádza dráhu (a) v okolí normály dráhy (a) bodu A. Stred krivosti S A nekruhovej dráhy (a) bodu A pri všeobecnom pohybe telesa je stred oskulačnej kružnice. Okamžité zrýchlenie koncového bodu A polohového vektora r je dv d( st ) a s t + s a t + an ds s K s n s, a t s t, an n ds R R

3 3. riamočiary pohyb bodu telesa ríklad. V čase t 0 sa automobil na obr. rozbieha z nulovej rýchlosti v v0 konštantným zrýchlením a ac (priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb bodu T 0 ). Integráciou vzťahu dv ac treba získať rovnicu pre výpočet rýchlosti a dráhy v čase t. Riešenie: re okrajové podmienky t 0, v v0, s s0 bude v c v0 0 t dv = a, v - v0 a c(t - t 0), v = v s s0 0 a t 0 c t ds = (v + a t), s = s + v t 0 c 0.5a t 0 0 c Vo všeobecnosti pre krivočiaru dráhu koncového bodu dv A polohového vektora r platí a at (obr.5). re tangenciálne zrýchlenie bodu na priamočiarej dráhe platí dv dv ds d(v ) a t, a t ds v dv ds ds Obr. riamočiary pohyb bodu T 0 Obr.3 priebehy dráhy, rýchlosti a zrýchlenia

4 4. Translačný pohyb telesa Translačný pohyb Translačný pohyb telesa (priamočiary pohyb automobilu na obr. aj krivočiary pohyb hojdačky na obr.4) môžeme reprezentovať jedným bodom, lebo všetky body majú rovnaký tvar dráhy, rovnakú okamžitú rýchlosť aj rovnaké okamžité zrýchlenie. Obr.4 Translačný krivočiary pohyb telesa AB Obr. 5 Rotačný pohyb sprievodiča 5. Rotačný pohyb telesa Rotačný pohyb Nech sa polohový vektor r, ktorý na obr.6 predstavuje rameno zváracieho robota pootočí z východiskovej polohy r do konečnej polohy r okolo kolmej osi s jednotkovým vektorom e. Dráha koncového bodu A sprievodiča r je kružnica (a), pričom r r a r r. Obr.6 ootočenie ramena Obr.7 ootočenie ramena o o konečný uhol. nekonečne malý uhol d

5 Obvodová rýchlosť Zrýchlenie Ak zmenšíme konečný uhol pootočenia polohového vektora r na nekonečne malú hodnotu d (obr.7), potom nositeľka vektora dr bude dotyčniva t kolmá na hlavnú normálu n ktorá je nositeľkou polohového vektora r. Orientovaný uhol d s veľkosťou d uhla pootočenia je kolmý na polohový vektor r. odľa pravidiel vektorového súčinu je dr d r () Nakoľko nekonečne malé veličiny dr a d sa za nekonečne malý čas zmenia ale konečná veličina r sa za nekonečne malý čas nezmení, potom dostaneme dr d r () Ľavá strana rovnice () je vektor v okamžitej rýchlosti koncového bodu A sprievodiča na obr. 7 a nekonečne malá časová zmena orientovaného uhla d je vektor okamžitej uhlovej rýchlosti rotácie polohového vektora r, teda v r (3) Rovnicu (3) pre výpočet vektora v okamžitej rýchlosti koncového bodu A sprievodiča r odvodil Euler. Vektor a okamžitého zrýchlenia koncového bodu A sprievodiča r získame deriváciou vektorového súčinu v rovnici (3) dv d( r) d dr a r (4) Označme vektor okamžitého uhlového zrýchlenia rotácie polohového vektora r, potom a r v (5) rvý člen v rovnici (5) vyjadríme v tvare r e r rt a t (6) t Ak v druhom člene rovnice (5) za v dosadíme z rovnice (3) dostávame dvojnásobný vektorový súčin ( r) (.r) r (. ) r r n a n (7) o dosadení (6), (7) do rovnice (5) dostaneme vektor a r v okamžitého uhlového zrýchlenia rotácie polohového vektora r a rt r n (8) n

6 6. Stred otočenia telesa o konečný uhol, okamžitý stred pootočenia Druhy pohybov Vstupný hnací člen (kľuka) na obr.8 v kľukovom mechanizme koná voči rámu rotačný pohyb /, piest 4 koná voči rámu posuvný pohyb 4/, a spojovací člen 3 (ojnica) koná voči rámu všeobecný pohyb 3/ (nie je to ani rotácia ani posuvný pohyb). Obr.8 Kľukový mechanizmus vo východiskovej polohe (O A B ) a konečnej polohe (O A B ). Konečný uhol pootočenia Okamžitý stred otočenia ohyblivú rovinu so spojovacím členom AB môžeme otočiť z východiskovej polohy AB do konečnej polohy AB okolo stredu otočenia So o o (priesečník osí úsečiek) s konečným uhlom (A S A ) (B S B ). o o Ak zmenšíme konečný uhol otočenia na nekonečne malý uhol d, potom rovina so spojovacím členom AB sa premiestni z východiskovej polohy AB do nekonečne blízkej polohy pootočením okolo priesečníka S normál n A,n B k dráham (a), (b) bodov A, B, S n A n B.

7 riesečník S, ktorý je bodom z nepohyblivej roviny rámu, sa prekrýva s bodom K zo spojovacieho člena 3, ktorý má v tejto polohe nulovú okamžitú rýchlosť voči a nazývame ho okamžitý stred otočenia S (OSO 3) 3 K spojovacieho člena 3 do nekonečne blízkej polohy. Ak je spojovací člen mechanizmu v polohe AB, potom príslušný priesečník S (OSO 3) n A nb je nový okamžitý stred otočenia S spojovacieho člena 3 do nekonečne blízkej polohy. 7. Riadiace krivky (polódie) všeobecného pohybu telesa Nepohyblivá polódia Spojnicu okamžitých stredov otáčania S i pri všeobecnom pohybe 3/ spojovacieho člena 3 voči rámu zakreslenú v nepohyblivej rovine nazývame nepohyblivá polódia k. ohyblivá polódia Keď trojuholník (ABS ) s úsečkou AB na obr.8 Riadiace krivky premiestnime do východiskovej polohy úsečky AB, na mieste pôvodného bodu S dostaneme bod K, ktorý je bodom pohyblivej roviny spojovacieho člena K, ktoré získame 3 (ojnice) a spojnicu bodov i zovšeobecnením premiestňovania trojuholníkov (AiBiS i) (AB K i) nazveme pohyblivá polódia k, ktorá je súčasťou spojovacieho člena 3. Všeobecný pohyb 3/ spojovacieho člena 3 voči rámu môžeme nahradiť valením pohyblivej polódie k, ktorá je súčasťou spojovacieho člena 3 po nepohyblivej polódii k (riadiace krivky všeobecného pohybu 3/ spojovacieho člena 3 voči rámu ). Rýchlosť u Dotyčnica t polódií k a k je nositeľka okamžitej rýchlosti u premiestňovania dotykových bodov S a K po polódiách, pričom dotykový bod S nie je bodom nepohyblivej roviny rámu a dotykový bod K nie je bodom pohyblivej roviny spojovacieh člena 3. Stred krivosti dráhy Stred krivosti S nekruhovej dráhy (a) bodu A pri A všeobecnom pohybe telesa je stred oskulačnej kružnice, ktorá nahrádza dráhu (a) v okolí normály dráhy (a) bodu A, pričom stred krivosti dráhy nie je zhodný s okamžitým stredom otáčania S A OSO.

8 Keď je dráha bodu (a) kružnica, potom stred S A krivosti dráhy (a) je totožný so stredom tejto kružnice aj s okamžitým stredom otáčania OSO. Keď je dráha bodu (a) priamka, potom stred S A krivosti dráhy (a) je nevlastný bod na normále, ako aj okamžitý stred otáčania OSO. 8. Využitie riadiacich kriviek v mechanizmoch Využitie valenia pohyblivej polódie po (nepohyblivej) pevnej polódii v praxi. Ortocykloida pohyblivá polódia: pastorok, pevná polódia: ozubený hrebeň Obr. 9 Valenie kolesa (pohyblivej polódie k ) po ceste (nepohybivá polódia k ), dráha bodu kolesa pri valení: ortocykloida. Obr. 0 Mechanizmus s výdržou, odvaľovanie planétového kolesa (pohyblivej polódie k ) po korunovom kolese (nepohybivá polódia k ).

9 Obr.0 Mechanizmus presného uzatváracieho ventila 9. Ako Cauchy-oisson navrhli nahradiť všeobecný rovinný pohyb telesa fiktívnym posunutím a fiktívnym pootočením. oloha olohový vektor r B3 bodu B zo spojovacieho člena 3 voči rámu môžeme zapísať ako súčet rb3 ra3 rba () Rýchlosť Vo všeobecnosti platí, že časová derivácia polohového a, v tom istom vektora so súradnicami v priestore priestore a, je vektor okamžitej rýchlosti so súradnicami v tom istom priestore a. V rovnici (): B3 A3 BA3 r r r majú všetky vektory súradnice v priestore.

10 Obr. Zobrazenie nahradenia všeobecného rovinného pohybu telesa fiktívnym posunutím a fiktívnym pootočením. Deriváciou rovnice () r r r získame B3 A3 BA3 rovnicu () pre okamžité rýchlosti v v v () B3 A3 BA3 Rovnicu () navrhli Cauchy (87) a oisson (834) na nahradenie všeobecného rovinného pohybu 3/ telesa 3 vzhľadom na rám fiktívnym posunutím ktoré reprezentuje zvolený vzťažný bod A z úsečky AB, ktorá sa premiestni z východiskovej polohy AB do prechodnej polohy A (B ) T a do konečnej polohy AB sa premiestni fiktívnym pootočením okolo vzťažného bodu A. Časová derivácia polohového vektora r BA so súradnicami v priestore 3 je odľa Eulera okamžitá obvodová rýchlosť v ω r (3) BA3 3 BA bodu B vzhľadom na bod A pri fiktívnej rotácii úsečky A (B ) T okolo vzťažného bodu A v polohe A.

11 Obr. Znázornenie vektorovej rovnice v B3 v A3 v BA3. Grafická konštrukcia re danú rýchlosť v A3 zostrojíme rýchlosť vb3 va3 vba3 (obr.). Zrýchlenie Zrýchlenie a B3 bodu B získame deriváciou podľa času vb3 va3 ω3 rba a a α r ω v (4) B3 A3 3 BA 3 BA 0. Všeobecný vzťah na deriváciu vektora v rôznych priestoroch. oloha pólu Spojovací člen 3 kľukového mechanizmu na obr.3 koná vzhľadom na rám všeobecný pohyb 3/. V okamžitej polohe AB bod C zo spojovacieho člena 3, C 3 je na rovnakom mieste ako okamžitý stred otáčania C 3 a preto má nulovú okamžitú rýchlosť v 0. olohový vektor pólu (okamžitého stredu C3 otočenia) voči začiatku O globálnej súradnicovej sústavy telesa je daný súčtom

12 r ra3 r3 () Obr.3 Kľukový mechanizmus s pevnou polódiou k. olohový vektor (r ) určuje začiatočnú polohu odpovedá konečnej polohe AB spojovacieho člena 3. k a pohyblivou polódiou S voči O, a (r ) Rýchlosť pólu Na získanie okamžitej rýchlosti premiestňovania pólu pozdĺž pevnej polódie k a pohyblivej k polódie je potrebné derivovať rovnicu () v priestore : r r r () A3 3 olohový vektor 3 3 r 3 (r3 i 3 )i 3 (r3 j 3 )j3 (3) reto derivácia r 3 polohového vektora r 3 v inom priestore vyžaduje aby sme odvodili všeobecný vzťah na deriváciu vektora v rôznych priestoroch. Označme r r i (4) 3 x 3 3 r má súradnice v priestore r 3 y r3 j3 (5) súradnice vektora r 3. Derivácie súradníc r 3x a r 3y polohového vektora r 3 (ako súčin) budú súradnice v 3x v, and v 3y okamžitej rýchlosti v 3 bodu d r (6) 3x 3x

13 d v3y r3y (7) potom d di3 d dj3 r 3 ( r 3x ) i3 r 3x ( r 3y)j3 r 3y (8) Derivácia jednotkových vektorov i 3 a j 3 rotujúcich uhlovou rýchlosťou ω 3 je vektorový súčin di3 ω3 i3 (9) resp. dj3 ω3 j3 (0) otom môžeme písať rovnicu (8) v tvare r r ω r () nakoľko r v () a ako vidíme z obr. ω r = - v (3) 3 3 A3 o dosadení (3) do () získame rovnicu pre vektor okamžitej rýchlosti v v v - v (4) A3 3 A3 z ktorej vyplýva, že rýchlosti v, resp. v 3 premiestňovania dotykového bodu pozdĺž polódií sú v priestore rovnaké. v v u (5) 3 Nositeľka okamžitej rýchlosti u je dotyčnica polódiám k a k. Zovšeobecnenie Všeobecný vzťah pre deriváciu vektora r a v inom a v ktorom má priestore b ako je priestor vyjadrené súradnice zovšeobecníme podľa vzťahu r r ω r do tvaru () r r ω r (6) a b a a ab a kde deriváciu vektora ako súčet derivácie vektora t r a v priestore r v priestore a k b vyjadríme a v ktorom má vyjadrené súradnice a vektorového súčinu b s vzájomnej uhlovej rýchlosti priestorov a, r so súradnicami v priestore a. vektorom a

14 . Rovnice na výpočet tvaru pohyblivej k a pevnej k polódie Rovnice k, k Využime rovnicu vb3 va3 vba3 podľa toho ako Cauchy a oisson navrhli nahradiť všeobecný pohyb 3/ teraz pre bod C 3: v v v (7) C3 A3 CA3 Vzhľadom na C 3 je okamžitá rýchlosť v 0 (8) C3 a obvodvá rýchlosť v CA3 podľa Eulera pri fiktívnej rotácii r 3 okolo vzťažného bodu A bude vca3 ω3 r3 (9) Ak vynásobíme vektorove rovnicu (7) ω 3 zľava 0 ω 3 va3 ω 3 (ω3 r 3) (0) po úprave dvojnásobného vektorového súčinu dostaneme vektor r 3 ω3 va3 r3 () ω 3 Ak budú mať všetky vektory v rovnici () súradnice v priestore 3, potom spojnica koncových bodov vektora r 3 je pohyblivá polódia k (obr.3) a rovnica () v maticovom zápise vektorového súčinu je rovnicou pohyblivej polódie k : i3 j3 k3 r 0 0 ω.k () ω3 v A3. i3 v A3.j3 0 Ak dosadíme vektor r 3 z rovnice () do rovnice r ra3 r3 a všetky vekory budú mať súradnice v priestore i j k r r 0 0 ω.k (3) A3 3 ω3 v A3. i v A3.j 0 potom spojnica koncových bodov vektora r (obr.3) je pevná polódia k a rovnica (3) je rovnicou pevnej polódie k.