Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium. Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium. Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika"

Transcript

1 Meno a priezvisko: Škola: Školský rok/blok: Predmet: Skupina: Trieda: Dátum: Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika Úvod do kinematiky Najstarším odvetvím fyziky, ktoré sa začalo rozvíjať bola mechanika. Jej základy vybudoval taliansky učenec Galileo Galilei ( ) a anglický fyzik, matematik a astronóm Isaac Newton ( ). Mechanika za zaoberá štúdiom najjednoduchšieho fyzikálneho javu, ktorý každý pozná z vlastnej skúsenosti mechanický pohyb. Podľa toho, o aké charakteristiky pohybu sa zaujímame, delíme mechaniku na dve odvetvia: 1. Kinematika zaoberá sa opisom pohybu (trajektória, dráha, rýchlosť,...), teda skúma ako sa príslušné teleso či hmotný bod pohybuje. 2. Dynamika zaoberá sa príčinami pohybu (sily pôsobiace na daný hmotný bod či teleso), teda skúma prečo sa príslušné teleso či hmotný bod pohybuje. Mechanika skúma najjednoduchšiu formu pohybu mechanický pohyb. Pod mechanickým pohybom rozumieme zmenu polohy objektu v čase. Takým objektom môže byť hmotný bod, teleso, sústava bodov či telies, ale aj kvapalina, plyn a pod. Mechanika sa delí na kinematiku a dynamiku. Kinematika skúma pohyb v priestore a čase, ale pritom si nevšíma príčiny, ktoré ho vyvolávajú. Dynamika skúma pohyb v súvislosti s príčinami, ktoré ho spôsobujú. Cieľom mechaniky je opísať a skúmať najjednoduchšie typy pohybov a vysvetliť fyzikálne zákonitosti mechanických pohybov v oblasti makrosveta. Ako najjednoduchší mechanický pohyb sa ukazuje pohyb tzv. hmotného bodu. V aproximácii hmotného bodu, si zavedieme základné pojmy a základné zákonitosti klasickej mechaniky, v ktorej sa hmotný bod pohybuje ďaleko menšími rýchlosťami ako je rýchlosť svetla. Definujeme si základné kinematické veličiny: polohový vektor r, rýchlosť v a zrýchlenie a. Taktiež budeme skúmať dva základné typy pohybov: pohyb po priamke a pohyb po kružnici, z ktorých možno zložiť ľubovolný všeobecný pohyb. Podstatou pohybu a príčinou vzniku pohybov sa zaoberá dynamika, ktorej venujeme druhú kapitolu. Základ tvoria tri Newtonove zákony. S pôsobením sily v inerciálnej a neinerciálnej sústave súvisia i veličiny: práca, impulz a energia. Potrebné vedomosti Na zvládnutie tejto kapitoly je vhodné naštudovať rozdelenie fyzikálnych veličín, poznať základné a odvodené jednotky fyzikálnych veličín v SI sústave. Za nevyhnutné považujeme dobre ovládať základy vektorového počtu: vyjadrenie vektora vo zvolenej súradnicovej sústave, základné matematické operácie s vektormi, skalárny a vektorový súčin dvoch (troch) vektorov, zmiešaný súčin vektorov, ich význam a uplatnenie vo svete okolo nás. Hladké zvládnutie učiva predpokladá priemerné znalosti z matematiky týkajúce sa riešenia najmä rovníc. Uloha: Pochopiť pojmy pokoj a pohyb. Pohyb ako vlastnosť hmoty. Pochopenie pojmov dráha a trajektória a ich súvislosti. Pojmy okamžitá a priemerná rýchlosť. Zdôrazniť grafické metódy v kinematike. Pohyby a ich grafické závislosti. Čítanie grafov. Zrýchlený pohyb ako kvadratická funkcia. Grafické riešenie úloh. Význam brzdnej dráhy v doprave. Relatívnosť pokoja a pohybu. Premena jednotiek.

2 Základné pojmy v kinematike: teleso, hmotný bod, mechanický pohyb, relatívnosť pokoja a pohybu Kinematika sa zaoberá určením polôh bodov a ich zmien v čase. Kinematika pohyb telesa opisuje, nezaoberá sa príčinami pohybu. Pri teoretickom štúdiu mechanického pohybu (proces, pri ktorom sa mení poloha jedného telesa vzhľadom na iné teleso) sa zavádza pojem hmotný bod. Hmotný bod je model telesa, pri ktorom sa hmotnosť telesa zachováva, ale jeho rozmery sa zanedbávajú. Je to objekt, ktorého rozmery sú zanedbateľné vzhľadom na geometrické dimenzie, z hľadiska ktorých pohyb posudzujeme, ale jeho hmotnosť je konečná a nezanedbateľná a treba s ňou počítať. Hmotný bod je každé teleso, ktorého rozmery sú vzhľadom k rozmerom zvolenej vzťažnej sústavy zanedbateľné. Je charakterizovaný len hmotnosťou telesa. Nezaujímame sa o jeho vnútornú štruktúru. Zavedením hmotného bodu si opis fyzikálnej situácie zjednodušujeme, aby sme nemuseli uvažovať detaily (vnútorné zloženie, tvar,...), ktoré pohyb neovplyvnia vôbec (alebo len zanedbateľne). Hmotným bodom môže byť ping-pongová loptička, ale aj slon alebo planéta Zem. Závisí na voľbe vzťažnej sústavy. Slona preháňajúceho sa na prérii môžeme považovať za hmotný bod, ale slona v klietka nákladného auta, ktoré ho preváža z jednej ZOO do druhej, za hmotný bod považovať nemožno! Na opis mechanického pohybu sa zavádza vzťažný bod a vzťažná sústava, vzhľadom na ktorú určujeme polohu telesa a jej zmenu v závislosti od času. Mechanický pohyb - ak telesá alebo ich časti menia svoju polohu vzhľadom na iné telesá, hovoríme o mechanickom pohybe - pohyb sa deje v priestore a čase. Mechanický pohyb je najjednoduchšia forma pohybu. Pokoj alebo pohyb môžeme určovať len vzhľadom na vzťažnú sústavu relatívnosť pokoja a pohybu (relatívnosť mechanického pohybu znamená, že opis pohybu závisí od voľby vzťažnej sústavy). Vzťažná sústava je súbor (sústava) telies, ktoré sú vzájomne v pokoji a voči nim pohyb opisujeme. Vzťažnou sústavou môžu byť skutočné telesá (strom pri ceste, divák na atletických závodoch,...) alebo myslené telesá (súradnicová sústava,...). Pokoj alebo pohyb je vždy relatívny závisí na voľbe vzťažnej sústavy: Na diaľnici ide v pravom pruhu Škoda Favorit a v ľavom pruhu rovnakou rýchlosťou Škoda Felícia. Felícia je vzhľadom na Favorit v pokoji, zatiaľ čo vzhľadom k stromom popri ceste sa pohybuje Poloha hmotného bodu a jej vyjadrenie pomocou súradníc; Trajektória a dráha; Posunutie; Klasifikácia pohybov Pri fyzikálnych úvahách opisujeme pohyb vždy vzhľadom na určitú súradnicovú sústavu, v ktorej polohu bodu všeobecne určujú jeho tri súradnice. Najčastejšie ide o karteziánsku (pravouhlú) pravotočivú súradnicovú sústavu, v ktorej je poloha bodu určená súradnicami x, y, z. Ak je bod v pokoji, sú jeho súradnice x, y, z v čase nepremenné konštantné. Pri pohybe sú súradnice bodu funkciami času, takže platí x(t), y(t), z(t). Stručne môžeme povedať: pokoj x, y, z sú konštanty pohyb x(t), y(t), z(t) sú funkcie času Mechanický pohyb vo všeobecnosti môže vyzerať veľmi rozmanito. Existujú dva jednoduché typy mechanického pohybu: translačný pohyb hmotného bodu (častice) po priamke a rotačný pohyb po kružnici, ktoré majú tú vlastnosť, že akýkoľvek mechanický pohyb možno rozložiť na konečný počet týchto dvoch pohybov. 2

3 Ak chceme popísať pohyb, musíme v každom časovom okamihu poznať polohu bodu. Polohu bodu v trojrozmernom priestore určujeme najčastejšie karteziánskymi súradnicami x, y, z (bod A na obr ). Rovnocenné je určenie polohy polohovým vektorom r x i y j z k ( ) Polohový vektor Polohu hmotného bodu možno udať aj jeho polohovým vektorom r. Je to vektor, ktorého začiatočný bod je v začiatku súradnicovej sústavy a koncový bod v mieste, kde sa hmotný bod práve nachádza. Keď chceme priateľovi ukázať lietadlo pohybujúce sa vo veľkej výške, ukážeme mu rukou smer, v ktorom ho vidíme. Ak by sme však chceli určiť jeho polohu jednoznačne, museli by sme udať ešte aj jeho vzdialenosť od nás. Tým by sme však vlastne určili polohový vektor lietadla vychádzajúci zo začiatku (miesta, v ktorom sa nachádzame) a končiaci tam, kde sa práve nachádza lietadlo. Uvedený vektor sa však v čase mení. Stručne: Pokoj r je konštantný vektor pohyb r t je vektor závislý od času Funkcia r t je vektorová funkcia skalárneho argumentu t. Pre polohový vektor r platí r x i y j z k kde i, j, k sú jednotkové vektory rovnobežné so súradnicovými osami karteziánskej súradnicovej sústavy a x, y, z príslušné karteziánske súradnice. Vektory i, j, k tvoria bázu tejto sústavy. Súradnice polohového vektora, a teda vektor r pri pohybe častice sa postupne menia, sú funkciami času: r x t i y t j z t k. Polohový vektor možno rozložiť do zložiek v tvare r r r r ( ) x y z kde veľkosť polohového vektora je určená vzťahom r x y z ( ) Vektorová funkcia r t je ekvivalentná s tromi skalárnymi funkciami x(t), y(t), z(t). Jednotkou polohového vektora je vektor daného smeru, ktorého veľkosť je jeden meter. Používanie karteziánskej sústavy nie je vždy optimálne. Napríklad pri opise sústav s guľovou symetriou, je výhodné použiť sférickú súradnicovú sústavu, v ktorej sa používajú sférické súradnice s označením r, θ, φ. Pritom r predstavuje vzdialenosť bodu od začiatku súradnicovej sústavy, θ uhol medzi polohovým vektorom r a osou z, a φ uhol medzi osou x a priemetom vektora r do roviny (xy). Súradnice vidno na obrázku , na základe ktorého možno overiť vzťahy medzi karteziánskymi a sférickými súradnicami bodu A. 3

4 z r cos ; y r sin sin ; r sin cos x ( ) a opačne: r x y z ; z cos ; x y z sin y ( ) 2 2 x y Trajektória je množina (súhrn) všetkých polôh, v ktorých sa hmotný bod pri pohybe vyskytuje, dĺžka trajektórie sa nazýva dráha. Ak trajektória hmotného bodu je časť priamky, koná bod priamočiary pohyb, v ostatných prípadoch je to krivočiary pohyb. Pri pozorovaní mechanického pohybu sledujeme zmeny polohy telesa v čase vzhľadom na vzťažné teleso. Pokoj alebo pohyb môžeme zisťovať len vzhľadom na vzťažnú sústavu. V tomto zmysle hovoríme o relatívnosti pokoja a pohybu. Posunutie Zmenou polohy hmotného bodu vo fyzike určujeme orientovanou úsečkou, ktorá spája začiatočnú a koncovú polohu hmotného bodu. Veličina, ktorú tato orientovaná úsečka predstavuje, nazýva sa orientovane posunutie alebo vektor posunutia. Dĺžka úsečky AB znázorňuje v zvolenej mierke vzdialenosť jeho začiatočného a koncového bodu pri pohybe a nazýva sa veľkosť posunutia, smer polpriamky AB určuje smer posunutia. Skladať dve po sebe nasledujúce posunutia hmotného bodu znamená, že do koncového bodu prvého posunutia umiestnime začiatočný bod druhého posunutia. Výsledné posunutie je určene začiatočným bodom prvého posunutia a koncovým bodom druhého posunutia. Zložením niekoľkých posunutí rovnakého smeru vznikne posunutie takého istého smeru a jej veľkosť sa rovná súčtu veľkosti jednotlivých posunutí. Klasifikácia pohybov Mechanický pohyb vo všeobecnosti môže vyzerať veľmi rozmanito. Existujú dva jednoduché typy mechanického pohybu: translačný pohyb hmotného bodu (častice) po priamke a rotačný pohyb po kružnici, ktoré majú tú vlastnosť, že akýkoľvek mechanický pohyb možno rozložiť na konečný počet týchto dvoch pohybov. A. Trajektórie: priamočiare 4

5 krivočiare B. Závislosti veľkosti rýchlosti od času: rovnomerne nerovnomerne C. Zrýchlenia: priamočiary rovnomerne zrýchlený rovnomerný pohyb po kružnici Kontrolné otázky 1. Ako je definovaná karteziánska súradnicová sústava? 2. Ktorá časť mechaniky sa zaoberá len opisom pohybu? 3. Čo je predmetom štúdia kinematiky? 4. Čo je predmetom štúdia dynamiky? 5. Akou rýchlosťou sa môže pohybovať hmotný bod, resp. teleso, aby sme jeho pohyb skúmali pomocou klasickej mechaniky? 6. Ktorá časť mechaniky sa zaoberá podstatou pohybu a príčinou vzniku pohybov? 7. Definujte pojem vzťažná sústava. 8. Definujte pojem hmotný bod a uveďte príklady, kedy môžeme teleso považovať za hmotný bod. 9. Aké základné dva druhy mechanického pohybu rozlišujeme? 10. V akých vzťažných sústavách najčastejšie skúmame pohyb? 11. Definujte pojem polohový vektor hmotného bodu a napíšte jeho matematické vyjadrenie. Vysvetlite význam jednotlivých veličín. Teleso konečných rozmerov Pri štúdiu pohybu Zeme okolo Slnka môžeme Zem považovať za hmotný bod, pretože rozmery Zeme sú v porovnaní so vzdialenosťou od Slnka a vzhľadom na presnosť určenia tejto vzdialenosti zanedbateľne malé. Avšak ak skúmame otáčavý pohyb Zeme okolo jej osi, takéto zanedbanie rozmerov Zeme urobiť nemôžeme. Vzťažné teleso Vzťažná sústava môže byť viazaná i na viac telies, ktoré sú voči sebe v pokoji. Pohyb a pokoj sú potom veličiny relatívne. Vzhľadom na jednu vzťažnú sústavu teleso môže byť v pokoji, avšak vzhľadom na inú vzťažnú sústavu v pohybe a opačne. Pohyb auta obvykle skúmame vzhľadom na povrch Zeme, ktorú považujeme za nehybnú. (Skutočný pohyb Zeme v časovom intervale, v ktorom dej skúmame môžeme zanedbať.) Šofér v aute vzhľadom na auto je v pokoji, avšak vzhľadom na Zem je v takom istom pohybe ako auto. Pohyb šoféra vzhľadom na sústavu pevne spojenú napr. so Slnkom je už pohyb zložený. Inerciálna sústava Inerciálna vzťažná sústava - vzťažná sústava, v ktorej izolovaný hmotný bod (teleso, častica) zotrváva v pokoji, alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe. Platia v nej Newtonove pohybové zákony. Neinerciálna sústava Sily v neinerciálnych sústavách Skúmajme pohyb častice (resp. hmotného bodu), na ktorý pôsobí sila F. Ak skúmame pohyb častice z hľadiska absolútnej sústavy S, pre časticu platí Newtonova pohybová rovnica F = ma. Chceme vedieť ako sa zmení pohybová rovnica tej istej častici, pohybujúcej sa za rovnakých podmienok, ale vzhľadom na neinerciálnu sústavu S. Prv než pristúpime k matematickému riešeniu tohto problému, ozrejmime si ho na nasledujúcom experimente: Predstavme si, že sme si urobili výlet do sveta našej slnečnej sústavy. Nasadli sme na raketoplán a naša Zem je už len maličkou hviezdičkou. Sme ďaleko od príťažlivých telies. Čo sa deje s našimi vecami v raketopláne, ak máme motor vypnutý? Teplomer je v divnej polohe, tak isto kyvadlo hodín sa zastavilo v akejsi polohe, rôznej od zvislého smeru. Predmety i naše meracie prístroje sa vznášajú v kabíne. Vysvetliť túto skutočnosť vieme, nenachádzame sa na Zemi, ale v medziplanetárnom priestore, v ktorom predmety stratili tiaž. 5

6 Čo sa stane, ak sa rozhodneme zapnúť motor raketoplánu a začne sa pohybovať rovnomerne zrýchleným pohybom? Predmety, ktoré sa vznášali okolo nás sa dali do pohybu. Akým smerom a akou rýchlosťou? Ak raketoplán sa pohybuje so zrýchlením 9,81 m.s-2 cítime sa ako doma. Teplomer spadol, hodiny sa dali do vertikálnej polohy. Ak pustíme tenisovú loptičku a zmeriame, s akým zrýchlením padá, dospejeme k výsledku, že zrýchlený pohyb loptičky bude čo do veľkosti vždy taký, ako zrýchlenie nášho raketoplánu. Smer padania loptičky bude vždy opačný ako smer pohybu raketoplánu. To platí pre všetky predmety vo vnútri lode. Ak sa pohybuje raketoplán dopredu, všetky predmety sa pohybujú smerom opačným - dozadu. Toto pozorovanie možno sformulovať nasledovne: Ak sa raketoplán pohybuje s určitým zrýchlením, telesá v ňom začínajú mať tiaž. Pritom príťažlivá sila má smer opačný ako vektor zrýchlenia raketoplánu a zrýchlenie voľného pádu telies sa veľkosťou rovná zrýchleniu raketoplánu. Zaujímavosťou je, že pozorovaním nemôžeme odlíšiť zrýchlený pohyb systému od príslušnej príťažlivej sily. To znamená, že ak okná v raketopláne máme zakryté, nerozlíšime, či je raketoplán v pokoji, alebo sa pohybuje so zrýchlením 9,81 m.s-2. Rozdiel však je v smeroch pôsobiacich zrýchlení. Na Zemi smeruje príťažlivá sila do stredu Zeme. To znamená, že smery zrýchlenia v dvoch rôznych bodoch na Zemi tvoria medzi sebou uhol. V raketopláne, ktorý sa pohybuje zrýchlene, sú smery príťažlivosti vo všetkých bodoch presne paralelné. Na Zemi sa mení zrýchlenie s výškou, v raketopláne so zrýchleným pohybom tento efekt nevzniká. Napriek týmto odlišnostiam možno považovať zrýchlenie a pôsobenie príťažlivej sily za ekvivalentné. Takmer úplná rovnocennosť zrýchlenia a pôsobenia príťažlivej sily nazývame princíp ekvivalencie. Tento princíp umožňuje riešiť mnohé úlohy pomocou fiktívnej príťažlivej sily, ktorá sa javí v systémoch pohybujúcich sa zrýchlene. Uvidíme, že pohybovú rovnicu v neinerciálnom systéme je možné riešiť obdobne ako v inerciálnom systéme, ak k výslednici síl pôsobiacich na teleso pridáme sily fiktívne, súvisiace s neinerciálnosťou systému, ktoré nazveme spoločným názvom silami zotrvačnými. Fyzikálne interakcie Sily skutočné majú pôvod v jednej zo štyroch typov fyzikálnych interakcií: gravitačnej, elektromagnetickej, slabej a silnej interakcie. S výnimkou gravitačných síl, všetky sily, s ktorými sme sa zaoberali doteraz a ktoré určitým spôsobom vnímame napr. prostredníctvom tlaku, ťahu, trenia, pnutia a pod., majú podstatu elektromagnetickú. To znamená, že podstatou týchto síl je elektromagnetická interakcia medzi atómmi. Pnutia v látke existujú ako dôsledok príťažlivých síl jednotlivých atómov. Od roku 1979, kedy Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam a Steven Weinberg získali Nobelovu cenu za model zjednocujúci slabé a elektromagnetické interakcie, dochádza k redukcii počtu fundamentálnych interakcií zo štyroch na tri. Glashow, Salam a Weinberg dokázali, že slabú interakciu, ktorá sa uplatňuje pri niektorých druhoch rádioaktívneho rozpadu a elektromagnetickú interakciu možno interpretovať ako dva rôzne aspekty jednej tzv. elektroslabej interakcie. K experimentálnemu potvrdeniu teórie elektroslabej interakcie rozhodujúco prispeli najmä Carlo Rubbia a Simon van der Meer- nositelia Nobelovej ceny za objav častíc W a Z sprostredkujúcich slabú interakciu v roku Tým sa postupne realizuje myšlienka, ktorej mnohí fyzici veria, že príroda je v svojej podstate jednoduchá a počet fundamentálnych interakcií je ešte nižší. I Albert Einstein venoval svoje úsilie interpretácii existujúcich interakcií ako rôznych aspektov jedinej supersily. Budúcnosť ukáže, či sa tento cieľ fyzikom podarí dokázať. 6

Mechanika hmotného bodu

Mechanika hmotného bodu Meno a priezvisko: Škola: Školský rok/blok: Skupina: Trieda: Dátum: Bilingválne gymnázium C. S. Lewisa, Beňadická 38, Bratislava 2008-2009 / B Teória Mechanika hmotného bodu Kinematika Dynamika II. Mechanika

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

2 Základy vektorového počtu

2 Základy vektorového počtu 21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej

Διαβάστε περισσότερα

4 Dynamika hmotného bodu

4 Dynamika hmotného bodu 61 4 Dynamika hmotného bodu V predchádzajúcej kapitole - kinematike hmotného bodu sme sa zaoberali pohybom a pokojom telies, čiže formou pohybu. Neriešili sme príčiny vzniku pohybu hmotného bodu. A práve

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

3 Kinematika hmotného bodu

3 Kinematika hmotného bodu 29 3 Kinematika hmotného bodu Pohyb vo všeobecnosti zahŕňa všetky zmeny a procesy, ktoré prebiehajú vo vesmíre. Je neoddeliteľnou vlastnosťou hmoty. Časť fyziky, ktorá sa zaoberá popisom pohybu telies,

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

FYZIKA DUSˇAN OLCˇA K - ZUZANA GIBOVA - OL GA FRICˇOVA Aprı l 2006

FYZIKA DUSˇAN OLCˇA K - ZUZANA GIBOVA - OL GA FRICˇOVA Aprı l 2006 FYZIKA DUŠAN OLČÁK - ZUZANA GIBOVÁ - OL GA FRIČOVÁ Apríl 2006 2 Obsah 1 o-g-f:mechanický pohyb tuhého telesa 5 1.1 Kinematika hmotného bodu......................... 6 1.1.1 Rýchlost a zrýchlenie pohybu....................

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

doc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,

doc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave, -550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Chemickotechnologická fakulta Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I Zbierka príkladov a problémov Predslov Cieľom výpočtových cvičení z fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Fyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1)

Fyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1) Fyzika Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1) 1 Poznámka: Silové interakcie definované v súčasnej fyzike 1. Gravitačná interakcia:

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF STU Bratislava;

Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF STU Bratislava; Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask echnická mechanika 0 3 BEK, 0 0 BDS pre bakalárov, zimný sem docingfrantišek Palčák, PhD, ÚAMM 000 7 Cvičenie: Dynamika všeobecného

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA 54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK. Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr.

GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK. Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr. GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr. Zuzana Durná 27 Milá študentka, milý študent. Dostáva sa Vám do rúk Alternatívna

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Analytická geometria

Analytická geometria Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2 Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú

Διαβάστε περισσότερα

[ v 0 = at r + (at r ) 2 + 2as = 16,76 m/s ]

[ v 0 = at r + (at r ) 2 + 2as = 16,76 m/s ] Posledná aktualizácia: 22. mája 202. Čo bolo aktualizované (oproti predošlej verzii zo 6. marca 2009): Rozsiahle zmeny, napr.: Dodané postupy riešení ku niektorým príkladom. Dodané niektoré nové príklady.

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony 89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N]

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N] Gravitačné pole 1. Akou veľkou silou sa navzájom priťahujú dve homogénne olovené gule s priemerom 1 m, ktoré sa navzájom dotýkajú? Hustota olova je 11,3 g cm 3. [2,33 mn] 2. Dva hmotné body sa navzájom

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do technickej fyziky Fyzika 1 Fyzika 2 Fyzika 3

Úvod do technickej fyziky Fyzika 1 Fyzika 2 Fyzika 3 Fyzika pre PI & TL Oboznámiť šudenov so základnými fyzikálnymi zákonmi pre pohyb láky a elekrické a magneické polia Naučiť sa riešiť jednoduché problémy, koré využívajú ieo zákony S využiím a ďaľším rozšírením

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Úloha 3.7 Teleso hmotnosti 2 kg sa pohybuje pozdĺž osi x tak, že jeho dráha je vyjadrená rovnicou

Úloha 3.7 Teleso hmotnosti 2 kg sa pohybuje pozdĺž osi x tak, že jeho dráha je vyjadrená rovnicou 3 Dynamika Newtonove pohybové zákony Úloha 3.1 Teleso tvaru kvádra leží na horizontálnej doske stola. Na jeho prednej stene sú pripevnené dve lanká v strede steny. Lanká napneme tak, že prvé zviera s čelnou

Διαβάστε περισσότερα

Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch. Boris Lacsný, Aba Teleki

Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch. Boris Lacsný, Aba Teleki Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch Boris Lacsný, Aba Teleki Nitra, august 2007 Kapitola 1 Špeciálna teória relativity Teória relativity je cesta poznania nášho sveta. Hovorí nie len o

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody

Διαβάστε περισσότερα

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY

7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si dovolíme výklad len fundamentálnych myšlienok

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie. Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Model redistribúcie krvi

Model redistribúcie krvi .xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Maturitné otázky z fyziky

Maturitné otázky z fyziky Maturitné otázky z fyziky 1. Fyzikálne veličiny a ich jednotky Fyzikálne veličiny a ich jednotky, Medzinárodná sústava jednotiek SI, skalárne a vektorové veličiny, meranie fyzikálnych veličín, chyby merania.

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

Pracovný zošit z fyziky

Pracovný zošit z fyziky Gymnázium Antona Bernoláka Námestovo Pracovný zošit z fyziky Mgr. Stanislav Kozák Mgr. Stanislav Kozák, 2011 Mgr. Stanislav Kozák Pracovný zošit z fyziky pre 1. ročník gymnázia Vydavateľ: Tlačiareň Kubík

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

STATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov

STATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Kapitola K2 Plochy 1

Kapitola K2 Plochy 1 Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca

Διαβάστε περισσότερα

5 Trecie sily. 5.1 Šmykové trenie

5 Trecie sily. 5.1 Šmykové trenie 79 5 Trecie sily S trením sa stretávame doslova na každom kroku. Bez trenia by nebola možná naša chôdza, pohyb auta či bicykla, nemohli by sme písať perom, prípadne ho držať v ruke. Skrutky by nespĺňali

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, BRATISLAVA. VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z FYZIKY PRE GYMNÁZIUM štvorročné štúdium

ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, BRATISLAVA. VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z FYZIKY PRE GYMNÁZIUM štvorročné štúdium ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, 830 00 BRATISLAVA VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z FYZIKY PRE GYMNÁZIUM štvorročné štúdium Vypracovala: RNDr. Eva Tomanová, CSc. Pri tvorbe exemplifikačných

Διαβάστε περισσότερα

y K K = (x K ) K= ( cos α, sin α) x = cos α y = sin α ,y K x K Klasická dynamika

y K K = (x K ) K= ( cos α, sin α) x = cos α y = sin α ,y K x K Klasická dynamika Študijná poôcka: Zostroje jednotkovú kružnicu, t.j. kružnicu s poloero R = y K K x α x K K = (x K,y K ) K= ( cos α, sin α) x = cos α y = sin α y Poocou jednotkovej kružnice je veľi jednoduché odhadnúť

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Spriahnute oscilatory

Spriahnute oscilatory Spriahnute oscilatory Juraj Tekel 1 Tema spriahnutych oscilatorov je na strednej skole vacsinou vynechana. Je vsak velmi zaujimava a velmi dolezita. Ide o situaciu, ked sa sustava sklada z viacerych telies,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Lineárna algebra. (ver )

Matematika 2. Lineárna algebra. (ver ) Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Testové úlohy z fyziky

Testové úlohy z fyziky Testové úlohy z fyziky 2010 Obsah: Kinematika... 3 Dynamika... 9 Mechanická energia... 14 Tuhé teleso... 18 Gravitačné a elektrické pole (veľmi stručne)... 24 Elektrický prúd v kovoch... 31 Elektrický

Διαβάστε περισσότερα