2 Súvislosti medzi základnými veličinami atómovej fyziky alebo rozmerová analýza a kvalitatívne odhady
|
|
- Βάλιος Σπανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady 107 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady.1 Úvod O tom, ako vyzerá práca fyzika, koujú rozičné chýry. Jedna predstava, rozšírená najmä medzi žiakmi s rozvinutými matematickými schopnosťami, je asi takáto. Fyzik experimentátor sa zaoberá meraniami nejakých veičín aebo závisostí medzi niekoľkými veičinami. Fyzik - teoretik odvodzuje závisosti tak, že vezme všeobecne patný zákon a potom z neho prísušnú závisosť deduktívne (tak ako v matematike) odvodí. Aebo, keď prísušnej všeobecne patnej závisosti ešte niet, teoretik si sadne, rozmýšľa a rozmýšľa až na daný všeobecný zákon príde. Znie to všetko romanticky, ae ako to už s romanticky znejúcimi vecami býva, nie je to cekom pravda. Prísušnú zjednodušenosť určitého obrazu vidno už z toho, že tu akosi chýba súvis medzi experimentom a teóriou. V skutočnosti je situácia oveľa zožitejšia. Predstavme si napríkad, že študujeme prúdenie tekutín. Vieme, že sa skadá z moekú, medzi ktorými pôsobia isté siy, ktoré závisia od vzdiaenosti medzi moekuami. V princípe by sme si mohi predstaviť, že napíšeme pre každú moekuu Newtonovu pohybovú rovnicu, potom všetky rovnice vyriešime a probém je hotový. Ae prakticky, ba ani "v princípe" sa to nedá urobiť. Moekú je totiž priveľa, v jednom kiomóe átky ich je a toľko rovníc sa nedá ani napísať, nieto riešiť. Okrem toho, "presné" riešenie by sme aj tak nedostai, nepoznáme totiž "presné" siy medzi moekuami. Kým sú moekuy ďaeko od seba, daa by sa v princípe použiť kasická fyzika, ae keď sú bízko pri sebe, prejavuje sa podstatne ich vnútorná štruktúra a tá už nie je daná zákonmi kasickej fyziky. Vidno tu teda, že na každom stupni poznania fyzika nie je uzavretý deduktívny systém a pri štúdiu určitej obasti javov nemožno postupovať striktne deduktívne. Na začiatku sú zväčša experimenty, v ktorých sa ukážu zákadné vastnosti javu, potom sa vastnosti, ktoré sú podstatné a rozhodujúce, oddeia od ostatných a až potom možno postupovať ďaej. Napríkad pre tekutiny, keď už sme raz o nich začai hovoriť; patria k takýmto podstatným vastnostiam hustota; viskozita, stačiteľnosť, povrchové napätie atd. V ďašom štádiu sa nachádzajú z experimentu aebo z teoretických úvah isté vzťahy medzi zákadnými veičinami. Zväčša sú to najprv jednoduché súvisosti a potom širšie teoretické schémy či zákadné rovnice. Nájdenie zákadných premenných a jednoduchých súvisostí je často veľmi zožité, ako to vidno v nasedujúcom príkade. Už v roku 1911 sa zistio, že niektoré kovy majú pri nízkych tepotách, t. j. pri niekoľkých kevinoch prakticky nuový odpor voči eektrickému prúdu. Jav bo Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
2 108 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky nazvaný supravodivosťou. Neskôr sa naši aj iné zaujímavé, najmä manetické vastnosti kovov v supravodivom stave. Postupne sa hľadai súvisosti medzi týmito vastnosťami a počet zaujímavých vastností rásto, až boo možné hľadať skutočnú príčinu ceého kompexu javov. Možností na prvý pohľad boo veľa: mohi to byť zmeny v kryštáovej mriežke, zmeny vo vastnostiach eektrónov pohybujúcich sa v danom prostredí, vzájomné pôsobenie eektrónov a kryštáovej mriežky atď. Až začiatkom päťdesiatych rokov sa ukázao, že príčinou je naozaj vzájomné pôsobenie eektrónov a mriežky a až potom vzniko teoretické pochopenie ceého kompexu javov spojených so supravodivosťou. Vo všetkých štádiách vývoja boa podstatná spoupráca experimentu a teórie a anaýza súvisostí jednotivých veičín a počas ceých, takmer päťdesiatich rokov neboo možné postupovať deduktívne, pretože úpná teória javu, t. j. "zákadné rovnice", nejestvovai. Postupný vznik pochopenia supravodivosti patrí k heroickým činom 0. storočia, ae tou istou cestou vývoja prechádza poznanie v takmer všetkých obastiach fyziky. Vidno teda, že fyzika zďaeka nie je čisto deduktívnym systémom, ako sa niekedy pri jej vyučovaní zdá. A tie isté postupy a probémy sa prejavujú aj v oveľa "menších" otázkach; ba aj pri jednotivých praktických probémoch, kde treba najprv porozumieť zákadným súvisostiam, nájsť príčiny a až potom možno úohu riešiť. Uveďme niekoľko príkadov: ak určitý materiá pohcuje sveto s istými vnovými dĺžkami a sveto s inými vnovými dĺžkami prepúšťa, súvisí to s viacnásobným rozptyom sveta v materiái, so vzájomným pôsobením medzi žiarením a atómami, aebo s niečím iným? štruktúra atómov súvisí s eektrickými siami medzi jadrom a eektrónmi, s ravitačnými siami, aebo s niečím iným? príjem teevízneho sináu v danej dedine je podstatne ovpyvnený: pohcovaním sináu v atmosfére, odrazom sináu od jednotivých vrstiev atmosféry, odrazom či pohcovaním sináu okoitými kopcami, aebo niečím iným? Na takto formuované otázky treba hľadať najprv kvaitatívne odpovede, treba nájsť súvisosti rozičných javov a veičín, vydeiť tie, ktoré sú podstatné a až potom možno hľadať kvantitatívne, t. j. presné čísené vyjadrenia. Pri kvaitatívnej arumentácii sa netreba zaujímať o presné čísené hodnoty jednotivých veičín, spravida stačí iba pribižný odhad. Skúmajme napríkad otázku, či pre štruktúru atómu vodíka sú podstatné eektromanetické aebo ravitačné siy. Pre príťaživú Couombovu siu máme F C e1e = K, K = r Ak sem dosadíme K = Nm C, e 1 = e = 1, C, r = 0, m (typický rozmer atómu), dostaneme F C 10 7 N. Pre ravitačné siy máme F C m m = κ r kde κ= 6, m 3 k 1 s, m 1 = m e = 9, k, m 1 = m p = 1, k a odhad dá niečo okoo N. Vidno, že výpočty nemusíme vôbec robiť presne boi by stačii aj oveľa hrubšie odhady aj tak by boo jasné, že ravitačné siy môžeme cekom zanedbať πε 0 Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
3 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady 109 Dajme si teraz ae ťažšiu otázku. Môžu eektrostatické siy vysvetiť charakter spektier? Zdôraznime hneď, že nechceme odpoveď na zožité otázky typu: aká je štruktúra atómu, čo spôsobuje existenciu kvantových stavov a pod., ae chceme vedieť en to, či Couombove siy sú zhruba primerane veľké, aby to mohi vysvetiť. Uvažovať by sme mohi asi takto: Vieme, že Couombova sia v atóme vodíka je okoo 10 7 N. Vieme tiež, že typický rozmer atómu vodíka je rádovo m. Ak atóm prechádza zo zákadného do excitovaného stavu, potom je cekom dobre možné, že jeho rozmer sa bude meniť, pričom zmeny budú tiež rádovo m. Zmena potenciánej enerie atómu bude rádovo rovná pôsobiacej sie násobenej zmenou rozmeru atómu. Takto dostaneme 10 7 N m, teda J. V atómovej fyzike často používame jednotku 1 ev (eektrónvot), 1 ev = 1, J a máme J 60 ev. Z predchádzajúcej kapitoy už ae vieme, že rozdie enerie medzi zákadným a prvým excitovaným stavom je okoo 10 ev: Náš veľmi nepresný odhad da pre zmenu potenciánej enerie veičinu asi 6-krát väčšiu - ae to nie je prekvapujúce - siu sme odhadi en veľmi zhruba, zmenu vzdiaenosti tiež a navyše sme nerozmýšľai o možnej zmene kinetickej enerie. Výsedok je teda cekom povzbudzujúci: je nádej, že eektrostatické pôsobenie medzi eektrónom a protónom má podstatnú úohu pri vzniku kvantových stavov atómov. Keby sme to isté urobii s ravitačnou siou, zistii by sme, že táto môže priviesť en k eneretickým rozdieom rádovo ev, a to je úpne zanedbateľné. Najschodnejšia metóda na jednoduché pribižné odhady je rozmerová anaýza. Budeme sa jej venovať v nasedujúcich dvoch čánkoch.. Rozmerová anaýza metóda na rýche získanie pribižného výsedku Každý sa občas dostane do situácie, že musí čosi zrátať, ae zabudo ten pravý vzorec. Sedí napríkad na písomke a má zrátať dostredivé zrýchenie pri rovnomernom pohybe po kružnici, pričom zo zadania vie, že teeso sa pohybuje rýchosťou v a poomer kružnice je r. Havou mu bežia kandidáti vzorcov pre zrýchenie a = v r, a = vr, a = r /v, a = v /r a nevie sa rozhodnúť pre jeden z nich. Probém okamžite rieši rozmerová anaýza. Stačí napísať a = v α r β kde α,β sú zatiaľ neznáme čísa. Vieme ae, že obe strany rovnice musia mať rovnaký rozmer. Ak označíme jednotku dĺžky L a jednotku času T, potom zrýchenie má rozmer (označujeme hranatou zátvorkou) [a] = LT, rýchosť [v] = LT 1 a poomer [r] = L. Z predchádzajúcej rovnice pre zrýchenie dostaneme [a] = [v] α [r] β a po dosadení LT = [LT 1 ] α L β = L α + β T α Hneď vidno, že α =, aby T vystupovao na oboch stranách s rovnakým exponentom. Potom zistíme, že α + β = 1, aby bo rovnaký exponent aj pri L a hneď β = 1. Vrátime sa na začiatok a vidíme, že správny vzťah je 1 v a = v r = r Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
4 110 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky Rozmerová anaýza nám pomoha nájsť správny vzorec! Lenže, a to je pre rozmerovú anaýzu typické, nemôže nám povedať, či na pravej strane nechýba ešte nejaký čísený koeficient, povedzme π, 1/π aebo. Našťastie vo vzťahoch, ktoré sa vyučujú na strednej škoe, sa nevyskytujú čísené faktory typu 9, či 0, , takže vzťahy získané rozmerovou anaýzou sú spravida aj dobrými pribižnými odhadmi. Nie je to cekom náhoda; ak sú zákadné premenné, ktoré používame, zvoené tak, že odpovedajú charakteru a rozmerom probému, potom vzťahy medzi nimi sú jednoduché a čísené koeficienty majú "rozumnú veľkosť", povedzme medzi 0,1 a 10. Uveďme ešte jeden príkad. Matematické kyvado dĺžky sa kýve v zemskom ravitačnom poi. Chcei by sme vedieť, ako bude vyzerať vzťah pre dobu kyvu. Najprv treba nájsť zákadné veičiny probému. Jednou z nich bude dĺžka kyvada, druhou zemské ravitačné zrýchenie. Skúsme teda pre dobu kyvu t vzťah Po dosadení rozmerov t = α β T= L α (LT ) β Po krátkej úvahe β = 1 /, α = 1 /. Takto prídeme k výsednému vzťahu t = Tento vzťah je ae chybný, pretože správny čísený koeficient nie je, ae π. Správny vzťah je Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003 t = π (1) Keby sme chcei postupovať korektne, boi by sme všade vypisovai neznámy čísený koeficient, takže rozmerová anaýza by boa vieda k vzťahu t = k () pričom bezrozmerný koeficient k ostáva rozmerovou anaýzou neurčený. V súvisosti s rozmerovou anaýzou vzniká veľa otázok. Napríkad: načo sú dobré vzorce, v ktorých nepoznáme čísený koeficient? Namiesto všeobecnej odpovede uveďme naivný a vymysený príkad. Predstavte si, že máte navrhnúť nejaké obrovské kyvado tak, aby mao zadanú dobu kmitu a predstavte si, že poznáte iba vzorec () s neurčitým koeficientom. Úoha sa rieši jednoducho: zostrojíme maý a acný mode s dĺžkou 1 experimentáne odmeriame jeho dobu kyvu a dostaneme t 1 = Ak týmto vzťahom predeíme (), dostaneme t k = (3) t odtiaľ už koeficient k vypado. Vzťah () hovorí, ako sa mení doba kyvu v závisosti od dĺžky kyvada a ak si urobíme mode, ktorý premeriame, poznáme už presne dobu kyvu aj pre reánu situáciu. Výsedkom typu (3) sa hovorí vzťahy mechanickej podobnosti. Náš príkad bo príiš jednoduchý aj preto, že správny vzťah pre dobu kyvu poznáme, ae v praxi je veľa situácií, keď vzorec naozaj nie je známy (napríkad nárazové vny po výbuchu pod vodou či vo vzduchu, aebo vastnosti kompikovaného turbuentného prúdenia kvapaín) a potom sú zákony podobnosti veľmi užitočné. Druhá otázka je takáto: pre dobu kmitu kyvada nám
5 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady 111 všetko vyšo, ebo sme vopred vedei, že t bude závisieť en od a. Čo by sa stao, keby sme to nevedei? Tu môže nastať niekoľko situácií. Predstavme si najprv, že metóde "podhodíme" nejaké nadbytočné premenné - naznačíme jej napríkad, že doba kyvu môže závisieť od, ako doteraz a navyše aj od hmotnosti teieska m. Potom by sme napísai t = α β m γ Ak rozmer hmotnosti označíme M, dostaneme na oboch stranách rozmery T= L α (LT ) β M γ Ihneď' vidíme, že γ = 0, ebo na ľavej strane niet ničoho s rozmerom hmotnosti. Pre α, β dostaneme to, čo predtým. Metóda teda sama ukázaa, že výsedok nebude závisieť od hmotnosti. Iná situácia by nastaa, keby sme predpokadai, že čas kyvu môže závisieť od, a od rýchosti sveta c. Vtedy rozmerová anaýza nevedie k jednoznačnému výsedku (skúste sa o tom presvedčiť), a dostaneme t = kde ρ je cekom ľubovoľné. Vtip je v tom, že veičina /c je bezrozmerná. Metóda rozmerovej anaýzy nevie akú úohu majú bezrozmerné veičiny v danom probéme. V našom prípade je správnym výsedkom ρ = 0 (vtedy vypadne premenná c, ktorá tam nepatria), ae vo všeobecnosti by sme ρ musei určiť z experimentu. Napokon si predstavme proces naozaj závisí; v našom prípade, c (a predstierajme, že o podstatnej, že metóde "podstrčíme" zé premenné, teda nie tie, od ktorých úohe nevieme). Za c berieme rýchosť sveta vo vákuu. Metóda vtedy okamžite dáva k c c ρ t = (4) kde k je bezrozmerný koeficient. Keby sme tento vzťah porovnai s jediným experimentánym údajom (povedzme, že by sme pri = 10 m zistii, že t = 6, s) videi by sme, že čísený koeficient k by bo okoo a to už vyzerá veľmi podozrivo. Z dvoch experimentánych údajov by sme sa ihneď presvedčii o tom, že vzťah (4) je chybný, ebo výsedky zo (4) protirečia správnemu (). Vidno teda, že metóda rozmerovej anaýzy nám môže povedať, či sme zákadné premenné vystihi dobre aebo ze, a to buď tým, že čísené koeficienty nadobúdajú "patooické hodnoty" aebo tým, že výsedné vzťahy protirečia aj skromnému experimentánemu materiáu. Treba ae priznať, že niekedy je naozaj ťažko zákadné premenné vybrať a také situácie si vyžadujú veľa práce ešte pred možnosťou použiť rozmerovú anaýzu. Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
6 11 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky.3 Rozmerová anaýza a vastnosti atómov Práve sme hovorii o tom, že rozmerová anaýza môže prezradiť, či poznáme zákadné a rozhodujúce premenné určitého probému. Poďme to hneď vyskúšať pri vastnostiach atómov. Za zákadné premenné vyberieme hmotnosť eektrónu m e, jeho náboj e a Panckovu konštantu!. Ich hodnoty sú! = 1, Js m e = 9, k (1) e = 1, C Ak ae predpokadáme, že náboj sa upatňuje prostredníctvom eektrostatickej interakcie s jadrom atómu, tak náboj bude vstupovať do hry iba v kombinácii Ke e =,3.10 km s πε0 a za zákadné veičiny považujeme!, m e, Ke. Zopakujme si ich rozmery (M hmotnosť, L - dĺžka, T čas) [!] = Js = km s 1 = ML T 1 [m e ] = k = M (3) [Ke ] = km 3 s = ML 3 T a poďme na zákade rozmerovej anaýzy odhadnúť poomer atómu pre určitosť si predstavíme atóm vodíka. Jeho poomer označíme a 1 a píšeme Po zapísaní rozmerov na oboch stranách a 1 =! α (Ke ) β (m e ) γ (4) L 1 M 0 T 0 = (ML T 1 ) α (ML 3 T ) β M γ = M α+β+γ L α+3β α β T Porovnaním rozmerov na oboch stranách dostaneme podmienky pre koeficienty 1 = α + 3β 0 = α+β+γ 0 = α+β Z prvej a tretej rovnice nájdeme α, β a z druhej potom určíme γ. Výsedok je a po dosadení do (4) dostaneme α=, β= 1, γ= 1! 10 a1 = = 0, meke (5) Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
7 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady 113 pričom sme neurčený čísený koeficient poožii rovný jednej. Výsedok je potešiteľný, ebo je toho istého rádu ako rozmery atómov. Veičina a 1 sa nazýva tiež Bohrovým poomerom atómu vodíka a je typickou dĺžkou v atómovej fyzike. Poďme teraz nájsť typickú rýchosť. Poožíme zase Po dosadení rozmerov Prísušné podmienky na α,β,γ sú v 1 =! α (Ke ) β (m e ) γ (6) M 0 L 1 T 1 = (ML T 1 ) α (ML 3 T ) β M γ 0 = α+β+γ 1 = α + 3β 1 = α+β Z druhej a tretej rovnice nájdeme α, β a potom z prvej γ. Výsedok je α=, β =, γ = 0 a pre typickú rýchosť dostávame zo vzťahu (6) Ke 6-1 v 1 =,.10 ms =! (7) Táto rýchosť je zhruba rovná c/137, teda v 1 je rádovo en stotinou rýchosti sveta. To je dobre, ebo keby sa ukázao, že v 1 je porovnateľná s rýchosťou sveta, musei by sme brať do úvahy reativistické efekty, a to by zas znamenao, že k zákadným veičinám musíme pridať aj rýchosť sveta. Napokon odhadnime ešte typickú veľkosť enerie atómu vodíka. Môžeme ju nájsť buď postupom použitým už pre a 1, v 1 aebo jednoducho tak, že hmotnosť eektrónu násobíme druhou mocninou rýchosti v, (výsedky oboch postupov sa môžu odišovať iba číseným koeficientom k a ten je aj tak presne neurčený). Pre typickú eneriu E 1 takto máme 1 1 me ( Ke ) 18 E1 = mev1 = =,18.10 J = 13,6 ev! Aj tu by sme dostai výsedok, ktorý je toho istého rádu ako eneretické rozdiey atomárnych hadín. Odhadnime ešte typický moment hybnosti. Typickou veičinou preň bude zrejme m e v 1 a 1 =! čo naznačuje, že kvantové vastnosti sa prejavia výrazne pri momente hybnosti. Práve táto skutočnosť mimoriadne povzbudia N. Bohra, keď vypracova svoj mode atómu. Rádový súhas a 1, E 1 s typickými rozmermi atómov a s typickými hodnotami enerií ukazuje, že teória, v ktorej sú m e,!, Ke zákadnými veičinami, má reánu nádej na úspech pri opise štruktúry atómu.. Práve to si uvedomi Nies Bohr, keď v roku 1913 kriticky skúma existujúce modey atómu a vypracova teóriu, v ktorej použi Panckovu konštantu. Pochopiteľne, "zapracovanie" tejto univerzánej konštanty do modeu vodíkového atómu zďaeka neboo iba formánou záežitosťou. Súvisea s ním myšienka existencie diskrétnych eneretických hadín a v ďašom dôsedku kvantovanie Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
8 114 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky momentu hybnosti eektrónu. Ae nech je táto myšienka akokoľvek prevratná a hboká, neboa by nič patná, keby z Bohrových výpočtov neboi vyši prijateľné hodnoty fyzikánych veičín, napríkad veľkosti atómu. Boo preto oické, že Nies Bohr si urobi najprv rozmerovú anaýzu. V úvode čánku O stavbe atómov a moekú uprednostňuje Nies Bohr Rutherfordov mode pred Thomsonovým, konštatuje však jeho nezučiteľnosť s kasickou eektrodynamikou. Rutherfordov mode môže byt východiskom novej teórie en vtedy, ak v mikrosvete nepatia zákony kasickej eektrodynamiky. Bohr pokračuje: "Nech napokon zmena pohybových zákonov eektrónov dopadne hocijako, zdá sa nevyhnutným zaviesť do týchto zákonov veičinu, ktorá je cudzia kasickej eektrodynamike, a to Panckovu konštantu, často tiež nazývanú eementárne kvantum účinku. Zavedením tejto veičiny sa podstatne zmení otázka o stabiite konfiurácie eektrónov v atóme, ebo táto konštanta má taký rozmer a veľkosť, že spou s hmotnosťou a nábojom častíc môže Panckova konštanta poskytnúť dĺžku hľadanej rádovej veľkosti." Na jednoduchý vzťah medzi poomerom atómu, jeho hmotnosťou, nábojom a Panckovou konštantou na zákade rozmerovej anaýzy ako prvý upozorni brnenský rodák Arthur Erich Haas ( ) na zasadnutí Viedenskej akadémie vied 10. marca Uverejni o tom čánok, ktorý N. Bohr vo svojom čánku O stavbe atómov a moekú z r cituje. Po uverejnení Bohrovho čánku nasedovaa priateľská výmena istov medzi Haasom (ktorý bo vtedy profesorom v Lipsku) a Bohrom. Kvantová mechanika pozmenia stanovisko k Bohrovmu poomeru vodíkového atómu v tom zmyse, že nejde o poomer kružnice, po ktorej sa eektrón v zákadnom stave pohybuje, ae o najpravdepodobnejšiu vzdiaenosť eektrónu od vodíkového jadra. V kvantovej mechanike, ako ešte uvidíme, totiž neexistuje trajektória (dráha) eektrónu v zmyse kasickej mechaniky. To nič nemení na význame a podnosti rozmerovej anaýzy, s ktorou zača Bohr svoje úvahy v roku Bohrova rozmerová anaýza, pravda, ani en nenaznačia, ako má nová teória vyzerať. A to patí vo všeobecnosti. Rozmerová anaýza môže totiž poskytnúť iba vzťahy medzi rôznymi veičinami, ae nie mechanizmus, ktorý k nim vedie. A o tom budeme hovoriť v ďaších kapitoách. Aby sa nezdao, že metóda rozmerovej anaýzy "schvái" každú možnosť, ktorá sa jej navrhne, skúsme jej ponúknuť iný súbor veičín. Vyberieme m e, Ke, c, kde c je rýchosť sveta. V tomto súbore nie je! a pýtame sa teda, či by vastnosti atómov nemoha vysvetiť reativistická (c je medzi vybranými veičinami) teória, v ktorej Panckova konštanta nemá podstatnú úohu. Začnime ako minue výpočtom typického rozmeru. Z veičín m e, Ke, c môžeme zostrojiť en jednu veičinu rozmeru dĺžky, a to Ke 15 r0 = = 1,8.10 m me c Táto veičina je o viac ako 4 rády menšia ako typické rozmery atómov 1. Toto naznačuje, že teória, v ktorej Panckova konštanta nemá podstatnú úohu, nemôže vysvetiť štruktúru atómov. 1 Fyzikáne r 0 odpovedá zhruba poomeru uľôčky, ktorá pri nabití nábojom e má eektrostatickú eneriu rovnú výrazu m ec Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
9 Súvisosti medzi zákadnými veičinami atómovej fyziky aebo rozmerová anaýza a kvaitatívne odhady Niekoľko poznámok na záver. Odporúčaná iteratúra Rozmerová anaýza je najjednoduchším prípadom kvaitatívnych úvah, s ktorými sa ešte v ďašom stretneme. A ešte "vyšším typom" takéhoto spôsobu mysenia sú myšienkové experimenty, ktoré rozvíjai v novodobej fyzike najmä Einstein, Bohr a Heisenber a vytvorii tak jedny z najkrajších teórií vo fyzike. Rozmerovej anaýze a kvaitatívnym úvahám sa však, na škodu veci, venuje pri vyučovaní máo pozornosti, azda preto, že sa zdajú menej presné a hboké ako deduktívne odvodzovanie rozičných vzťahov. Žiaľ nemáme dosť miesta na to, aby sme spomenutú medzeru zapnii. Odporúčame preto čitateľovi, aby si sám skúsi "odvodiť'" rozmerovou anaýzou niektoré zo vzťahov stredoškoskej fyziky, napríkad závisosť dráhy od času pri rovnomerne zrýchenom pohybe, rýchosť, ktorú dosiahne teeso pri voľnom páde z výšky h, vzťah pre intenzitu poľa v kondenzátore tvorenom rovinnými patňami, vzťah pre eneriu eektrostatického poľa, ktoré je budené nabitou uľou poomeru r, vzťahy z ďaších častí stredoškoskej fyziky. Napokon uvedieme ešte ľahko dostupnú iteratúru, kde sa s metódou možno bižšie zoznámiť. Bruk, J. Stasenko, A.: Rozmerová anaýza pomáha riešiť úohy, Kvant, ročník 1981, č. 6. Krištáľ', N. D.: Rozmerová anaýza, Kvant, ročník 1975, č. 1. Mida, A.: Výpočty bez výpočtov, Kvant, ročník 1979, č. 8. Všetky tieto čánky v sovietskom časopise Kvant sú zrozumiteľne napísané a v prvom z nich je citovaná aj ďašia iteratúra. Snáď by boo dobré, keby raz niekto urobi užitočnú zbierku úoh zo stredoškoskej fyziky obsahujúcu najmä úohy riešené rozmerovou a kvaitatívnou anaýzou. Ján Pišút, Rudof Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť)
1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I.časť) 1 1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť) 1.1 Avogadrova konštanta a veľkosť atómov Najprv sa vrátime trocha podrobnejšie k zákonu o stálych
Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)
Hyomechanika II Viskózna kvaaina Povchové naäie Kaiáne javy Donkové maeiáy k enáškam z yziky I e E Dušan PUDIŠ (013 Lamináne vs. Tubuenné úenie Pi úení eánej kvaainy ôsobia mezi voma susenými vsvami i
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
2.1 Pružná tyč namáhaná ťahom a tlakom, Hookov zákon
. Ťah a tak. Pružná tyč namáhaná ťahom a takom, Hookov zákon Nech na tyč konštantného priečneho prierezu pochy S pôsobí v osi sia F (obr..). Vyšetríme napätie v ľubovoľnom priereze komom k osi metódou
AerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Zložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ
Časová zložitosť Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Laický pohľad skutočne môže naznačovať, že efektívne algoritmy vôbec nepotrebujeme. Veď predsa každý rok sa výrobcovia počítačov predbiehajú
Klasifikácia látok LÁTKY. Zmesi. Chemické látky. rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne)
Zopakujme si : Klasifikácia látok LÁTKY Chemické látky Zmesi chemické prvky chemické zlúčeniny rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne) Chemicky čistá látka prvok Chemická látka, zložená z atómov,
Analýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Numerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Výpočty k tunelovému javu
Výpočty k tunelovému javu Boris Tomášik a Ľuboš Krišťák Katedra fyziky, Fakulta prírodných vied, Univerzita Mateja Bela, Tajovského 40, 9740 Banská Bystrica 2. februára 2009 Tunelovanie je jeden z typicky
Možnosti rozhodovacích agentov hrajúcich hracie karty. Bakalárska práca. Juraj Barič. Univerzita FMFI KI Informatika. Vedúci bc.
Možnosti rozhodovacích agentov hrajúcich hracie karty Bakalárska práca Juraj Barič Univerzita FMFI KI 9.2.1 Informatika Vedúci bc. práce: doc. RNDr. Mária Markošová, PhD. Bratislava 2009 Čestne prehlasujem,
Stavba atómového jadra
Objavy stavby jadra: 1. H. BECQUEREL (1852 1908) objavil prenikavé žiarenie vysielané zlúčeninami prvku uránu. 2. Pomocou žiarenia α objavil Rutherford so svojimi spolupracovníkmi atómové jadro. Žiarenie
,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera
LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe
3 ELEKTRÓNOVÝ OBAL ATÓMU. 3.1 Modely atómu
3 ELEKTRÓNOVÝ OBAL ATÓMU 3.1 Modely atómu Elektrón objavil Joseph John Thomson (1856-1940) (pozri obr. č. 3) v roku 1897 ako súčasť atómov. Elektróny sú elementárne častice s nepatrnou hmotnosťou m e =
Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Riadenie elektrizačných sústav
Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký
MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:
1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených
Spriahnute oscilatory
Spriahnute oscilatory Juraj Tekel 1 Tema spriahnutych oscilatorov je na strednej skole vacsinou vynechana. Je vsak velmi zaujimava a velmi dolezita. Ide o situaciu, ked sa sustava sklada z viacerych telies,
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
IIR filtrov. Metóda. Metódy návrhu. 2. pretransform. 4. transformáciat. diskrétny). frekvenciu =
Metódy návrhu IIR filtrov Nepriame metódy návrhu Nepriame metódy návrhu digitálnychh filtrov vychádzajú z návrhu analógových filtrov, ktoré sa potom pretransformujú na digitálne filtre. Všeobecný postup
Modul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Elektrónová štruktúra atómov
Verzia z 29. októbra 2015 Elektrónová štruktúra atómov Atóm vodíka a jednoelektrónové atómy Najjednoduchším atómom je atóm vodíka. Skladá sa z jadra (čo je len jediný protón) a jedného elektrónu. Atóm
KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Príklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Teória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Ján Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Obyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Diferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
SK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Bez odporu k odporom
ez odporu k odporom Už na základnej škole sa učíme vypočítať odpor sériovo a paralelne zapojených rezistorov. Čo však vtedy, ak úloha nie je takáto jednoduchá? ni vtedy nie je všetko stratené! Úvodné poznámky
TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018
TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte
DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú