Zbierka zaujímavých, zábavných a aplikačných úloh z matematiky

Transcript

1 FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Zbierka zaujímavých, zábavných a aplikačných úloh z matematiky Ondrej ŠEDIVÝ a kolektív NITRA 2008

2 Názov: Autori: Recenzenti: Ilustrácie: Zbierka zaujímavých, zábavných a aplikačných úloh z matematiky Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. PaedDr. Janka Melušová, PhD. PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. PaedDr. Lucia Rumanová, PhD. PhDr. PaedDr. Valéria Švecová, PhD. RNDr. Dušan Vallo, PhD. RNDr. Kitti Vidermanová, PhD. RNDr. Janka Drábeková, PhD. PaedDr. Marek Varga, PhD. Antónia Melušová Edícia: Prírodovedec č. 342 Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 3/4038/06 Učme matematiku na 2. stupni ZŠ zaujímavejšie, učme matematiku aplikovať. Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. UKF v Nitre 2008 ISBN

3 OBSAH Úvod Aritmeticko-algebrické úlohy Hra s číslami Algebrogramy Výsledky Geometrické úlohy Jednoduché geometrické konštrukcie Geometrické skladačky Geometrické hlavolamy nájdi a počítaj Osemsmerovky Krížovky Pytagorova veta. Tálesova kružnica Historické úlohy Rôzne úlohy Raz vidieť nestačí Výsledky Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti Výsledky Úlohy z kombinatoriky Oslava narodenín Môj dom, môj hrad Turnaje a súťaže Cestujeme okolo sveta Ďalšie úlohy z kombinatoriky SOS a Morseovka Lotéria LOTO a Pascalov trojuholník Mini KAKURO Výsledky... 88

4 5 Úlohy z teórie grafov Najprv si to znázorníme Jedným ťahom Najkratšia cesta Prevozy a prelievania Problém čínskeho poštára Problém obchodného cestujúceho Výsledky Aplikačné úlohy Aritmeticko-algebraické aplikačné úlohy Aplikačné úlohy z geometrie Výsledky Literatúra

5 ÚVOD Kniha, ktorú predkladáme mladým čitateľom, je pokusom priblížiť matematiku žiakom a študentom zaujímavo prostredníctvom úloh. Úlohy, ktoré sú v knihe, sa bežne nenachádzajú v učebniciach matematiky. Na úvod chceme pripomenúť, že nielen matematici, ale aj iné osobnosti sa snažili prostredníctvom úloh riešiť nielen matematické úlohy. Dodnes sa zachovali úlohy vyslovené pred stovkami a tisícmi rokov, ktoré sú zvlášť príťažlivé a uchvacujú nás svojou krásou ale i náročnosťou. Ako výstižne poznamenal americký matematik a pedagóg G. Pólya, veľké vedecké objavy riešia veľké problémy, ale v riešení ktorejkoľvek úlohy je zrnko objavu. Riešenie každej úlohy nie je len objavom nového faktu, ale zároveň uspokojuje vedeckú zvedavosť, vzbudzuje túžbu po poznaní. V histórii sa stávalo a stáva, že význam úlohy pre matematiku nebolo možné určiť skôr, ako bola rozriešená. Veľkí matematici často sformulovali závažné úlohy, ktoré nevedeli rozriešiť. Ale aj napriek tomu matematici stále bojovali, nerozriešiteľné úlohy priťahovali zvláštnu pozornosť vedcov. Mnohokrát pokusy rozriešiť nerozriešenú úlohu viedli k novým objavom. Lev Nikolajevič Tolstoj napísal: Akýsi matematik povedal, že pôžitok nie je v objavení pravdy, ale v jej hľadaní. Snažme sa aj my mať pôžitok z hľadania pravdy riešením úloh, ktoré sú uvedené v tejto knihe. Niekoľko zábavných a zaujímavých úloh Vám predkladáme v úvode, budú medzi nimi aj úlohy rozriešené. 1. úloha Pastiera, ktorý hnal 70 býkov, sa opýtali: Akú veľkú časť svojho početného stáda býkov ženieš?. Odpovedal: Ženiem dve tretiny z tretiny svojho dobytka. Koľko býkov bolo v celom stáde? [Bolo ich 315?] 2. úloha Celá hromada, jej dve tretiny, jej polovica a jej sedmina dohromady tvoria 37 kusov. Koľko kusov je v celej hromade? [Úloha vedie k rovnici x + x + x + x = 37 rozriešte ju a dozviete sa výsledok.]

6 Úvod 3. úloha Sedem ľudí má po sedem mačiek, každá mačka zožerie sedem myší, každá myš zožerie sedem klasov, z každého klasu môže narásť sedem meríc 1 jačmeňa. Ako veľké sú jednotlivé počty a ich celkový súčet? [Úloha vedie k výpočtu členov a súčtu členov geometrickej postupnosti = = ] 4. úloha Jednotkový štvorec sa má rozdeliť na 12 zhodných trojuholníkov a štyri zhodné štvorce. Aký bude obsah každého trojuholníka a obsah každého štvorca? [Obsah štvorca sa rovná obsahu trojuholníka a je 16 1 obsahu.] 5. úloha Súčet obsahov dvoch Hippokratových 2 mesiačikov, ktoré ležia medzi polkružnicami zostrojenými nad preponou a oblúkmi kružníc zostrojených nad odvesnami toho istého pravouhlého trojuholníka, sa rovná obsahu tohto trojuholníka. Dokážte ( a + b c ) + ab = π.0 + ab = S = π b + πa πc + ab = π ab Merica je jednotka dutých mier nielen pre obilie (historicky často používaná miera). 2 Hippokrates z Chiu (5. stor. p. n. l.) 6

7 Úvod 6. úloha Je pravda, že objemy valca, polgule a kužeľa s rovnakými podstavami a rovnakými výškami sú v pomere 3:2:1? 7. úloha (hádanka) Raz išli po ceste mulica a oslica, obe zaťažené mechmi vína. Oslica pod nákladom zastonala, vtedy sa mulica, ktorú ona s koňom ako dcéru mala, spýtala: Mama, prečo si zavzdychala ako mladá dievčina? Oslica odpovedala, že sa jej ťažko pohybuje. Aha, chcela by si ako dievčina poskakovať! Ja nesiem viac, a nie je mi to zaťažko: Keby som od teba vzala jeden mech, mala by som dvakrát viac ako ty a keby si mi jeden mech odobrala, mali by sme rovnako. Kto chce tie čísla uhádnuť, nemusí použiť ani prsty oboch rúk. [Mulica niesla sedem mechov, oslica päť mechov.] 8. úloha Stádo opíc baviacich sa v háji sa rozdelilo na dve časti. Štvorec osminy ich počtu sa bavil skákaním vo vetvách. Dvanásť opíc vítalo radostným krikom krásne svitanie. A teraz rýchlo povedz, koľko opíc bolo v háji? x [Nech v háji bolo x opíc, potom = x, odtiaľ x 1 = 48, x 2 = 16. Obidva korene sú riešením úlohy.] 9. úloha Niekoľko ľudí spoločne kupuje barana. Keď každý prispeje 5 peňažnými jednotkami, bude chýbať 45 p. j. do ceny barana. Keď každý prispeje 7 p. j., budú chýbať 3 p. j. Koľko je ľudí a akú cenu má baran? [21 ľudí, baran stojí 150 peňažných jednotiek] 7

8 Úvod 10. úloha Dvaja muži A, B dostali rovnaký počet mincí, ktorý sa má medzi nich rozdeliť tak, že keď k počtu muža A pridáme polovicu počtu mincí muža B alebo k počtu mincí muža B pridáme dve tretiny počtu mincí muža A, v obidvoch prípadoch dostaneme 48. Koľko mincí mal každý z mužov? [Ak počet mincí, ktoré patria mužovi A, označíme písmenom x a počet mincí, ktoré patria mužovi B, označíme y, potom úloha vedie k riešeniu sústavy rovníc 1 x + y = Odtiaľ x = 36, y = 24.] 2 x + y = úloha Pes sa ženie za králikom, ktorý je 150 stôp pred ním. Pes každým skokom prejde deväť stôp, králik zatiaľ prejde sedem stôp. Koľko skokov musí urobiť pes, aby dohonil králika? [75 skokov] 12. úloha Skupina koscov trávy má pokosiť dve lúky, z ktorých prvá mala dvakrát väčšiu výmeru ako druhá. Pol dňa všetci kosci kosili prvú lúku, po obede sa rozdelili na dve rovnako početné skupiny. Prvá skupina zostala na prvej lúke a do večera ju pokosila. Druhá skupina kosila do večera menšiu lúku, ale nepokosila ju celú, zvyšok dokosil potom jeden kosec za deň. Koľko koscov bolo v skupine? [Ak veľkú lúku kosila polovicu dňa celá skupina a polovicu dňa polovica skupiny, potom za polovicu dňa pokosila polovica skupiny tretinu veľkej lúky Na malej lúke zostala nepokosená šestina výmery veľkej lúky, lebo = ; túto šestinu pokosil jeden kosec za deň. V priebehu prvého dňa bola však pokosená výmera 1+ veľkej lúky, preto bolo osem koscov : = 8 ]

9 Úvod 13. úloha Rákos vyčnieva nad vodou o jeden aršin. Máme určiť hĺbku riečky, kde rákos rastie, ale nesmieme rákos vytrhnúť ani merať hĺbku veslom ani iným predmetom. [Dôjdeme na loďke k rákosu a zmeriame jeho výšku nad hladinou vody. Potom rákos vychýlime tak, aby jeho vrchol ležal na hladine vody; toto miesto si označíme (napr. B). Zmeriame AB. Ak výška rákosu nad hladinou je 1 a AB = 3, potom 2 2 ( + 1) = x + 9 x, potom x = 4.] 14. úloha Na protiľahlých stranách izby s danou dĺžkou a šírkou sedí pavúk a mucha. Mucha je jeden a pol aršinu nad podlahou, pavúk jeden a pol aršinu od stropu. Máme nájsť najkratšiu dráhu medzi pavúkom a muchou? [K jednoznačnému určeniu polohy pavúka a muchy je potrebný obrázok a určenie potrebných rozmerov. Nech dĺžka izby je 7 aršinov, šírka 6 aršinov a výška 4 aršiny. Pripusťme, že mucha sedí na veľkej stene vo vzdialenosti dvoch aršinov od najbližšej zvislej hrany, pričom pavúk sedí na protiľahlej stene vo vzdialenosti od najbližšej zvislej hrany. Miestnosť je tvaru kvádra. Zostrojme sieť z miestnosti a úsečkou spojíme stanovište pavúka so stanovišťom muchy. Sú možné tri dráhy, pavúk sa môže pohybovať len po stenách a podlahe alebo po stenách a strope. Pretože mucha má od podlahy rovnakú vzdialenosť ako pavúk od stropu, majú dráhy cez podlahu a cez strop rovnakú dĺžku. Podľa Pytagorovej vety dostaneme: MP = ,04 ; MP = , 77 ; MP = , = 2 = 3 = Najkratšia dráha medzi pavúkom a muchou je dlhá 10,77 aršinov.] 9

10 Úvod 15. úloha Početnosť zásahov jedného strelca do cieľa je 80 %, druhého strelca (za tých istých podmienok streľby) 70 %. Určte pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa, ak obaja strelci strieľajú súčasne (cieľ sa považuje za zasiahnutý, keď je zasiahnutý aspoň jednou z dvoch guliek). [Predpokladajme, že sa uskutoční 100 dvojvýstrelov. Približne v 80 z nich bude cieľ zasiahnutý prvým strelcom. Zostáva 20 výstrelov, ktorými tento strelec minul cieľ. Druhý strelec zasiahne cieľ približne 70 krát zo sto výstrelov, t.j. sedemkrát z desiatich výstrelov. Možno očakávať, že v tých 20 výstreloch, kedy prvý strelec minie, druhý zasiahne cieľ približne 14 krát. Preto pri všetkých 100 výstreloch sa cieľ ukáže zasiahnutý 94 krát, lebo = 94. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri súčasnej streľbe dvoch strelcov sa rovná 94 % alebo 0,94.] V tejto úvodnej časti sme uviedli 15 úloh s rôznou tematikou, väčšinu z nik môžeme rozriešiť bez veľkého matematického aparátu, stačí rozmýšľať a výsledok sa ihneď dostaví. Týmito úlohami sme chceli ukázať, že riešenie úloh je dostupné každému, kto o riešenie prejaví záujem. Zároveň chceme zdôrazniť, že riešenie matematických úloh je zaujímavá a zábavná činnosť, ktorá rozvíja myslenie, nápaditosť, kritičnosť a kombinačné schopnosti. Do predkladanej knižky sme zaradili aritmeticko-algebrické úlohy, geometrické úlohy z planimetrie, úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti, úlohy z kombinatoriky, úlohy z teórie grafov a aplikačné úlohy. Všetkým, ktorí budú riešiť úlohy z tejto zbierky prajeme veľa úspechov, trpezlivosti a najmä radosť zo samostatne vyriešených úloh. Súčasne vyslovujeme presvedčenie, že riešením takýchto úloh sa zvýši aj záujem o matematiku. Nitra, október 2008 Autori 10

11 1 ARITMETICKO-ALGEBRICKÉ ÚLOHY Obsahom tejto kapitoly budú rôzne zábavné úlohy na jednotlivé počtové operácie, krížovky, ako aj niekoľko netradičných slovných úloh. Druhá podkapitola pozostáva z algebrogramov, čo sú algebrické útvary, kde namiesto číslic sú buď obrazce alebo písmena, rovnaké obrazce a písmena predstavujú rovnaké číslo. 1.1 HRA S ČÍSLAMI 1. Myslím si číslo. Keď k nemu pripočítam 552 a odpočítam 249, dostanem číslo o 57 väčšie ako Ktoré číslo som si myslel? Riešenie Výsledné číslo: = 1556 Vykonáme odzadu opačné operácie: = =1253 Skúška: = = =1499 Myslené číslo je Janko si myslí číslo, zväčší ho o jednu šestinu a dostane číslo 77. Peťko háda myslené číslo. Povie výsledok 60. O koľko sa pomýlil? Riešenie Ak zväčšíme nejaké číslo o jednu šestinu, znamená to, že sme pôvodné číslo rozdelili na 6 častí (tým sme dostali tú jednu šestinu) a pridaním získam šesť častí + jednu časť = 7 častí : 7 = : 7 = Skúška 66+ (66:6)= 6+11 = ( = celé číslo) = 66 ( celé číslo) Peťko povedal číslo o 6 menšie. = = 66 11

12 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 3. Lenka dala kamarátke hádanku. Ak odpočítaš od čísla, ktoré si myslím, číslo 6, výsledok vynásobíš jedenástimi, ďalší výsledok vydelíš piatimi a znovu od výsledného čísla odpočítaš 6 a potom vydelíš piatimi, dostaneš číslo 1. Aké číslo si Lenka myslí? Riešenie Na tomto príklade si ukážeme metódu chlievikov. 4. Myslím si číslo, pripočítam ho k sebe samému, odpočítam šesť, výsledok vydelím dvoma, pripočítam 7 a výsledok vynásobím ôsmimi. Dostanem najväčšie dvojciferné číslo, ktoré obsahuje len párne číslice. O koľko je tento výsledok väčší, ako pôvodne myslené číslo? 5. Myslím si číslo. Zväčším ho o jeho jednu pätinu. Výsledok zmenším na polovicu. Nový výsledok vynásobím číslom, ktoré dostanem, keď trojku vynásobím troma. Dostanem dvojciferné nepárne číslo, ktorého dve číslice majú rozdiel 7 a súčet 9. Aké číslo som si myslel na začiatku? 6. Doplňte do štvorca chýbajúce čísla tak, aby súčet v každom riadku, stĺpci a na každej uhlopriečke bol Do prázdnych okienok doplňte čísla tak, aby: a) ich súčet v dvoch okienkach vedľa seba bol vyjadrený číslom vpísaným do okienka pod nimi 12

13 1 Aritmeticko-algebrické úlohy b) ich kladný rozdiel v dvoch okienkach vedľa seba bol vyjadrený číslom vpísaným do okienka nad nimi 8. Ako sa dá rozdeliť ciferník na 3 časti tak, aby súčet čísel vo všetkých častiach bol rovnaký? 9. Piatimi zásahmi do terča získal strelec 28 bodov. Ktoré kruhy a koľkokrát zasiahol? 10. Do okienok štvorca vpíšte čísla od 1 po 9 tak, aby súčet troch čísel v riadkoch, stĺpcoch aj na uhlopriečkach štvorca bol

14 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 11. Do okienok doplňte číslice tak, aby jednotlivé operácie bolo správne: a) b) c) 12. Medzi každé dve číslice doplňte niektorú z matematických operácií (+, -,., :) tak, aby platila rovnosť (zátvorky nepoužívajte): a = 35 b = 14 c = 26 d = 620 e = - 4 f = Doplňte medzi čísla namiesto znamienka rôznych matematických operácií tak, aby platilo: a. 12 (9 6) 5 =31 b. 16 (11 9) 7 = 2 c. 13 (21 19) 8 = 18 d. 11 (21 18) 3 =99 e. 64 (11 3) 3 =11 f. 49 (17 19) 3 = Dobre si premyslite, ako sa ktoré operácie presne nazývajú a potom pomôžte Katke vylúštiť malú číselnú záhadu: a) Aké číslo dostaneme, ak od dvojnásobku súčtu čísel 9 a 5 odpočítame trojnásobok ich rozdielu? b) Určte podiel súčinu čísel 72 a 54 a súčtu čísel 79 a 65. c) Číslo 2448 sme vydelili číslom väčším ako 1 a menším ako 15. Určte, ktorým číslom sme delili, ak vyšiel zvyšok pri delení 12. Určte aj výsledok tohto delenia. d) Súčet čísel 36 a 6 vynásobte ich rozdielom a potom výsledok vydeľte ich podielom. Aký výsledok dostanete? 14

15 1 Aritmeticko-algebrické úlohy e) Ako sa zmení súčin, keď jeden činiteľ sa štyrikrát zmenší a druhý činiteľ sa dvakrát zväčší, podiel, keď delenec sa zväčší šesťkrát a deliteľ sa zmenší trikrát? 15. Napíšte najmenšie 6-ciferné číslo, pre ktoré platí: a) nesmú sa v ňom opakovať číslice, b) môžu sa opakovať číslice, c) dvakrát sa objavuje číslica nula, dvakrát číslica dva a ostatné číslice sa opakovať nemôžu. 16. Prekreslite si obrázok s písmenami, písmena nahraďte číslami podľa týchto pokynov: a: najväčšie dvojciferné číslo deliteľné 4 b: súčet tých čísel od 2 do 10, ktorými je deliteľné číslo 396; c: súčet všetkých prvočísel medzi 10 a 20 d: spoločný deliteľ čísel 35 a 80 e: súčet z tých čísel 133, 414,270 a 152, ktoré sú deliteľné 3 f: dvojnásobok čísla 619 g: počet prvočiniteľov, na ktoré sa dá rozložiť číslo 36 h: súčet triviálnych deliteľov čísla i: sedemdesiat násobok najväčšieho jednociferného prvočísla; j: najväčší spoločný deliteľ čísel 24 a 40 k: číslo deliteľné 9, ktoré je najbližšie za číslom l: najmenší spoločný násobok čísel 9 a 12. a b c d e f g h i j k l [Návod: Triviálnymi deliteľmi je vždy číslo samo a číslo 1] Pokiaľ ste správne počítali, je súčet čísel v každom stĺpci rovnaký. Súčin čísel v prvom riadku zaokrúhlený na desaťtisíce udáva v kilometroch polomer Slnka. Dvojnásobok súčtu 15

16 1 Aritmeticko-algebrické úlohy čísel v druhom riadku udáva približne veľkosť polomeru Zeme a súčet čísel v treťom riadku je polomer Mesiaca. Nájdite približné polomery Slnka, Zeme a Mesiaca. 17. Doplňte smerom zhora nadol do krížovky chýbajúce slová vo vetách: A. Delenec, deliteľ,.... B. Ak je číslo deliteľné číslom 9, tak je... čísla 9. C. Deliteľnosť číslom 3 sa určuje pomocou ciferného.... D. 140 nie je prvočíslo, je to... zložené. E. Číslo 5 je... čísla 155. F. Čísla 110, 1 100, sú deliteľné číslom.... G. Každé párne číslo je deliteľné číslom.... H. Pri riešení úloh na deliteľnosť čísel používame... čísel. I. Čísla 3, 11, 31, 79 sú.... E H B F I C D A G 18. V čísle zameňte poradie číslic tak, aby bolo: a) čo najmenšie, b) čo najväčšie, c) deliteľné piatimi, d) deliteľné štyrmi, e) deliteľné troma, f) deliteľné číslom sto. Číslo musí ostať stále sedemciferné. 16

17 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 19. Zoraďte od najťažšej po najľahšiu jednotlivé časti stavebnice ( valec, kocka, ihlan) a určte aký je medzi nimi rozdiel v gramoch, ak platí: = 120g = 165g = 185g Riešenie Z 1. a 3. riadka = 120g = 185g Valček je o 25g ťažší ako ihlan. Z 2. a 3. riadka = 165g = 185g Ihlan je o 20 g ťažší ako kocka Najťažší je valček. Ihlan je o 25 g ľahší. Kocka je ľahšia o ďalších 20 g. 20. Pán Metlička si kúpil v obchode tri vajíčka a jedno maslo a platil 40 korún. Pani Zmetáková si kúpila dve vajíčka a dve maslá za cenu 60 korún. Koľko stojí jedno maslo? 21. Dve autíčka a 3 loptičky stáli 190. Tri autíčka a dve loptičky stáli 210 korún. Je drahšia loptička alebo autíčko? O koľko? [Návod: Jednotlivé údaje o cenách si nakreslite pomocou obrázkov pod seba ako obrázkové rovnice ] 22. Jedna modrá kocka a dve zelené kocky má hmotnosťa spolu 64 gramov. Šesť modrých kociek a tri zelené kocky má hmotnosťa spolu 160 gramov. Ktorá kocka má väčšiu hmotnosť? O koľko? 23. Určte koľko gramov majú jednotlivé časti stavebnice, ak platí: a) dve kocky, jeden valec a jeden ihlan má hmotnosťa spolu 130g. b) jedna kocka, dva valce a jeden ihlan má hmotnosťa spolu 150g. c) jedna kocka, jeden valec a dva ihlany má hmotnosťa spolu 160g. [Návod: prekreslite si: = 130g = 150g = 160g] 17

18 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 24. Číslo v cípoch hviezdy násobte číslom vo vnútri hviezdy 25. Číslo vo vnútri obrazca deľte číslami na jeho cípoch: 26. Andrejka s Matúšom dorazili na pláž. Bolo tam veľa ľudí, ktorí sa opaľujú. Pomôžte dvojčatám nájsť ich kamarátov. Kamaráti sa opaľujú na dekách s výsledkom 3. a) 24:10 f) 3:0 b) 240:80 g) 800:20 c) 900:30 h) 2400:800 d) 600:200 i) 6:100 e) 72:24 j) 300:100 Na jednej deke nemôže ležať nikto, pretože je na nej úloha, ktorá sa nedá riešiť. Nájdite nebezpečnú deku. 27. Andrejka s Matúšom usporiadali v škole diskotéku a na nej tanečný maratón. Lekársky dohľad mala pani doktorka zo zdravotného strediska. Súťažil aj jej syn Marek. Kto sa stal víťazom tanečného maratónu? O koľko minút tancoval víťazný pár dlhšie ako pár, ktorý sa umiestnil na druhom mieste? 18

19 1 Aritmeticko-algebrické úlohy a) Vierka a Marcel 1h 10 min b) Zdenka a Marek 4 560s c) Pavlínka a Peter 68 min 5 s d) Ivetka a Miloš 4499 s e) Zuzka a Martin 1 h 15 min 28. Počas polroka získali žiaci v triede za prácu na hodinách matematiky takéto počty bodov: Mišo 74,5 Fero 77,0 Peter 73,7 Janka 76,9 Julka 65,4 Jožo 73,8 Petra 70,5 Zuzka 70,5 Kamila 74,3 Kristína 65,5 Kto bol najlepší, kto najhorší? Aký bol rozdiel medzi najlepším a najhorším? Jednotku dostali iba tí, ktorí získali viac ako 73 bodov. Kto dostal jednotku? 29. Do krížovky smerom zhora nadol doplňte chýbajúce slová alebo výrazy: A. Umocnenie a odmocnenie sú.... B. y 1 =... C. V mocninách x 2, y 3, z 4 sa čísla 2, 3, 4 volajú.... D. V mocninách x 2, y 3, z 4 sú premenné x, y, z.... E. g 0. g 1 =.... F. Súčin rovnakých činiteľov je.... G. Znak je znakom... odmocniny. H. (- 1) 8 = 1 5 =.... I. Vypočítať mocninu čísla znamená... tieto čísla. 19

20 1 Aritmeticko-algebrické úlohy C D H A F G B E I 30. Povrch Zeme je asi km 2, objem je asi km 3 a hmotnosť kg. Zapíšte tieto údaje v tvare a.10 n, kde 1 a< Zistite letopočty týchto významných udalostí: a) prvé štyri cifry z 3, 44 udávajú letopočet, kedy vyrobili prvý bicykel, b) prvé štyri cifry z 359 udávajú rok, v ktorom sa premietal prvý film, c) 289 a 5041 zapísané za sebou dávajú rok, v ktorom u nás prvýkrát zasadili zemiaky. 32. Štyria chlapci hrali o fazuľky. Prehry si zapisovali ako záporné čísla. a) doplňte počty v jednotlivých stĺpcoch, b) kto bol najlepší a kto najhorší po 3. hre? c) kto celkovo vyhral? Samo Vilo Zdeno Paľo [Návod: Súčet čísel v každom stĺpci sa musí rovnať 0] 20

21 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 33. O koľko C bola teplota o h vyššia ako o 7.00 h? Čas Pondelok Utorok Streda Štvrtok Piatok Sobota C -6 C -8 C -6 C -3 C 7 C C 0 C 2 C -3 C -6 C 2 C 34. Na ktorom poschodí ostane stáť výťah, keď pôjde: a) z druhého poschodia tri poschodia smerom dole, b) z mínus prvého poschodia o 2 poschodia nižšie, c) z mínus tretieho poschodia 7 poschodí smerom hore, d) z mínus druhého poschodia o 6 poschodí vyššie? 35. Na olympiáde v Atlante zaznamenali tieto výsledky: Ľubovoľná Vodný slalom malokalibrovka C1 1. Klees (Nem.) 1. Martikán (SR) 704,8 151,03 2. Beľajev (Kaz.) 2. Pollert (ČR) 703,3 151,17 3. Gönci (SR) 3. Estangauet (Fr.) 701,9 152, Minčík (SR) 166,45 Plávanie 200 m voľný spôsob 1. Pollová (Kost.) 1:58,16 2. van Almsicková (Nem.) 1:58,57 3. Haseová (Nem.) 1:59,56 9. Moravcová (SR) 2:01, 96 a) Aký bol rozdiel medzi pretekárom na prvom a druhom mieste? b) Koľko chýbalo našim pretekárom, aby mali medailu? c) Koľko im chýbalo k zlatu? 36. Jedno jablko má hmotnosť 120g, jedna hruška 96g a jedna broskyňa 64g. Aké najmenšie množstvo ovocia potrebujeme, aby mali rovnakú hmotnosť: a) hrušky a jablká, b) jablká a broskyne, c) broskyne a hrušky? 37. Do krížovky smerom zhora nadol vpíšte slová, ktoré môžete doplniť do viet: A. Medzi čitateľom a menovateľom zlomku je zlomková... B. Číslo nad zlomkovou čiarou sa volá... C. Zlomok krátime... deliteľom čitateľa a menovateľa. 21

22 1 Aritmeticko-algebrické úlohy D. Zlomok sa dá... číslom rôznym od nuly. E. Pri delení celku na dve časti získame.... F. Číslo pod zlomkovou čiarou sa volá.... G. Poznáme pravý a nepravý.... H. Ak sú čitateľ i menovateľ súdeliteľné čísla, tak ich môžeme.... I. Pri delení celku na tri rovnaké časti, získame jednu.... D E I B F G A C H 38. Zoberte si z tejto čokolády a) tretinu, b) polovicu, c) dve šestiny, d)dve štvrtiny Pri ktorom rozdeľovaní máte čokolády najviac. Kedy najmenej? 39. Aká by bola celá čokoláda, ak toto sú: a) 2 pätiny z čokolády b) 3 osminy z čokolády 22

23 1 Aritmeticko-algebrické úlohy c) 4 šestiny z čokolády? 40. Obdĺžnik s dĺžkami strán 42 mm a 70mm rozdeľ na čo najväčšie rovnaké štvorce. Akú dĺžku strany budú mať tieto štvorce? Na koľko štvorcov bude obdĺžnik rozdelený. Riešenie Ak chceme obdĺžnik rozdeliť na rovnaké štvorce, každá strana obdĺžnika bude rozdelená na niekoľko strán štvorca. Preto obe dĺžky obdĺžnika musia byť deliteľné dĺžkou strany štvorca. Potom hľadaná dĺžka bude najväčší spoločný deliteľ (NSD) čísel 42 a 70. Najväčšieho spoločného deliteľa môžeme nájsť viacerými spôsobmi: I. nájdeme všetkých deliteľov oboch čísel a potom vyberieme ten spoločný, ktorý je najväčší: 42=1,2,3,14, 21,42 70 = 1,2,5, 14, 35, 70. Najväčší spoločný deliteľ je číslo 14. II. čísla 70 a 42 rozložíme na súčin prvočiniteľov a vyberieme tie, ktoré sa opakujú. Ich súčin je potom najväčší spoločný deliteľ čísel 42 a = 2.21= 2.3.7, 70 = 2.35=2.5.7 NSD=2.7=14 Už vieme, že NSD je 14. Týmto číslom vydelíme čísla 42 a :14=3, 70:14=5. Preto v obdĺžniku bude 5.3 štvorcov= Riešte tú istú úlohu ako úloha č. 40 pre obdĺžnik s dĺžkami strán 90 cm a 117cm. 42. V minulosti neboli všade rovnaké jednotky dĺžky, hmotnosti ani objemu. Skoro každá krajiny mala svoje vlastné jednotky. Doplňte tabuľky na celosvetové jednotky. a) b) c) palec cm yard m míľa km 1 2, , ,9 d) e) f) libra kg pinta liter galón liter 1 0, ,

24 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 43. V minulosti sa u nás víno a pivo meralo na sudy. Súd vína obsahoval 5,659 hl vína a sud piva 2,26 hl piva. Menšia jednotka bola hoľba, ktorá mala objem 0,8484 litra. Koľko hektolitrov vína a piva bolo uskladnených v pivnici domu zámožného mešťana, keď napočítali 12 sudov vína a 8 sudov piva. Koľko hostí bolo na svadbe, keď sa na pohostenie pivom spotreboval sud a každý hosť dostal po jednej hoľbe piva a vína. Akú časť suda vína vypili svadobní hostia? 44. Základnou jednotkou rakúsko uhorskej miery pre sypké materiály bol jeden korec, ktorý mal 93,592 litrov. Menšie jednotky: jeden korec obsahoval 4 vertele, 1 vertel štyri 4 štvrtce a 4 štvrtce 12 žajdlíkov. Koľko žajdlíkov obilia obsahoval jeden korec? 45. Hodnota perly sa v minulosti určovala pomocou osobitnej jednotky, gránu. Jeden grán je 0,25 karátu. Aká je hmotnosť perly v gramoch, ak má hmotnosť 25 gránov, 15 gránov, 50 gránov? Jeden karát sa rovná 0,2g. 46. V našich krajinách sa v minulosti používali dĺžkové miery, v ktorých bola základnou jednotkou dĺžky 1 siaha (1 siaha = 189,6cm). Jedna siaha (nazývaná aj laktor) obsahovala 6 stôp, jedna stopa mala 12 palcov a jeden palec mal 12 čiarok. Určte dĺžku jednej stopy, palca a čiarky v centimetroch (čísla zaokrúhlite najviac na 5 desatinných miest). Aká je chyba v údaji 1 m = 3 stopy 2 palce? 47. Nájdite čísla, ktoré mohli Andrejka s Matúšom zaokrúhľovať. Čísla, ktoré po zaokrúhlení na d, s, t, dt dajú čísla v tabuľke na desiatky na stovky na tisícky na desaťtisícky K obláčikom A, B, C, D priraďte správne zaokrúhlené sumy: a) na tisícky , b) na desaťtisícky , c) na desiatky , A) B) d) na stovky C) D) Namerané boli takéto rýchlosti v metroch za sekundu: voda v prudkej rieke 4, silný vietor 16, poštový holub 32, lastovička 67, strela z pušky , zvuk vo vzduchu 333, Mesiac okolo Zeme Vyjadrite uvedené rýchlosti v kilometroch za hodinu. 24

25 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 50. Hmotnosť veľryby sa odhaduje na kg. a) Koľko áut s hmotnosťou 2 t by odviezlo telo veľryby? b) Koľko kŕmnych volov s hmotnosťou po 500 kg má hmotnosť toľko ako veľryba? c) Aká je priemerná hmotnosť slona, keď 30 slonov má hmotnosť ako 1 veľryba? d) V akom pomere je hmotnosť veľryby ku hmotnosti myši, ktorá má hmotnosť 40 gramov? 51. Ivan, Peter a Dušan zbierajú známky. Spolu majú 360 známok a pomer veľkostí ich zbierok je 6:4:5. Koľko známok vo svojej zbierke má každý z nich? Riešenie a : b : c= 6 : 4 : 5 z= 360 známok n= = 15 z 360 k = = = 24 známok n 15 Ivan má k.a = 24.6 = 144 známok. Peter má k.b = = 96 známok. Dušan má k.c = 24.5 = 120 známok. 52. Matka a dcéra robili spolu jablkový mrežovník. Múku, cukor a maslo zmiešali v pomere 20 : 5 : 3. Koľko cukru a masla dali na 0,8 kg múky? 53. Keď chceme dostať neónovozelenú farbu musíme zmiešať základnú červenú (R 225 ) so základnou zelenou (G 225 ) v pomere R 225 : G 225 = 139 : 255. Ak máme 5,1 dl základnej zelenej farby, koľko mililitrov základnej červenej potrebujeme do nej pridať, aby sme dostali neónovozelenú farbu? 54. Otec a syn kráčali vedľa seba a prešli 756 m za 7,2 minúty. Kým otec urobí 3 kroky, syn musí urobiť 4. a) Aká je dĺžka kroku syna, ak otec urobil 840 krokov? b) Koľko krokov urobil syn? c) Akou rýchlosťou v km/h kráčali spolu otec so synom? d) V akom pomere sú dĺžky krokov otca a syna? 55. Čitateľ zlomku je o 2 menší ako menovateľ. Ak čitateľa zmenšíme o 1 a menovateľa zväčšíme o 3, zlomok sa bude rovnať 1. Určte pôvodný zlomok Spolužiaci Janka, Jakub, Ema, Peťko, Lenka, Andrej, Nina a Matúš si nakreslili mapku, aby vedeli vzdialenosti medzi sebou. Nie všetky vzdialenosti sú zadané v rovnakých jednotkách. Pomôžte im: 25

26 1 Aritmeticko-algebrické úlohy a. vypočítať najkratšiu vzdialenosť medzi Jankou a Emou. Je to bližšie cez Andreja alebo cez Peťka? b. vypočítať, koľko metrov prejde Matúš, keď chce navštíviť Ninu, potom Jakuba, Andreja a Emu. (Potom sa vráti domov) c. Lenkina najlepšia kamarátka býva od nej 860 metrov (najkratšia vzdialenosť). Ako sa volá? d. Akou cestou má ísť Jakub k Lenke, ak má prejsť, čo najmenej kilometrov? 57. V televízii ukazovali odchyt vtákov a ich meranie. Matúšovi sa páčilo, ako merali rozpätie krídel. Pozoroval aj ich tvar. Robil si poznámky, aby sám mohol pozorovať vtáky v prírode. Usporiadajte odchytené dravce podľa rozpätia krídel od najväčšieho po najmenšie? Rozpätie Maximálne rozpätie Sokol myšiar 79 cm 80 cm Orol morský 2,36 m 240 cm Orol skalný 19,8 dm 220 cm Sokol sťahovavý 110 cm 115 cm Včelár lesný 1,22 m 125 cm Luniak červený 1,5 m 155 cm Jastrab krahulec 0,78 m 80 cm Myšiak lesný 11 dm 135 cm Jastrab lesný 1,04 m 120 cm Sup hnedý 23,2 dm 250 cm Lastovičiar lesný 48 cm 52 cm Vypočítajte o koľko cm sa ešte môže zväčšiť rozpätie krídel každého z odchytených dravcov. 26

27 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 58. Usporiadajte kocky domina. Začnite kockou A: 59. Doplňte: 60. Ku kartičke s číslom priraď kartičku s jeho prevrátenou hodnotou , ,3 0,

28 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 61. Do prázdnych políčok vpíšte čísla tak, aby ste po vykonaní predpísaných matematických úkonov dostali konečný výsledok : 2 = 7 = : = =. = : 5 = 10 : = = Do číselného reťazca vpíšte znamienka sčítania, odčítania, násobenia, delenia tak, aby ste dostali výsledok = Dané dominové kamene vložte do štvorca tak, aby súčty bodov na kameňoch vo vodorovnom, zvislom aj uhlopriečnom smere boli 12. Dva kamene sú už uložené na správnom mieste. 28

29 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 64. Z číslic 2,3,6,7,8,9 utvorte dvojčíselné čísla, ktoré vložte do políčok tak, aby platila rovnosť: 65. Janka, Elenka, Katka a Lucka si porovnali peniaze, ktoré majú so sebou na školskom výlete. Ich štyri finančné čiastky boli 5, 5,3, 4,7 a 4,9. Koľko peňazí má každá z nich, ak Janka má viac ako Katka a menej ako Elenka a Lucka má menej ako Katka? 66. Adam, Tomáš, Ivan a Peter sa odmerali a zapísali namerané hodnoty: 170 cm, 173 cm, 162 cm a 157 cm. Vieme, že Adam je o viac ako 10 cm vyšší ako Tomáš, Peter je o viac ako 10 cm menší ako Ivan a Tomáš je menší ako Peter. Koľko centimetrov meria každý z chlapcov? 67. Štyria chlapci Paľko, Peter, Ondrej a Samo dostali z matematiky inú známku od jednotky po štvorku. Peter tvrdí: Nemám najhoršiu, ale ani najlepšiu známku z nás štyroch. Samo priznáva: Paľko má lepšiu známku ako ja, Ondrej však zas horšiu. Paľko zas dodáva: Moja a Petrova známka sa líšia viac ako o jeden stupeň. Akú známku má Ondrej a akú má Samo? 68. Chlapci si medzi sebou vymieňajú kartičky atlétov, futbalistov a hokejistov. Za 12 kartičiek atlétov sú tri kartičky hokejistov a za 6 kartičiek futbalistov je 8 kartičiek atlétov. Koľko kartičiek futbalistov je za jednu kartičku hokejistu? Riešenie 12 kartičiek atlétov... 3 kartičky hokejistov / delíme troma 4 kartičky atlétov... 1 kartička hokejistov 6 kartičiek futbalistov... 8 kartičiek atlétov / delíme dvoma 3 kartičky futbalistov... 4 kartičky atlétov / otočíme 4 kartičky atlétov... 3 kartičky futbalistov Za 4 kartičky atlétov získame výmenou jednak 1 kartičku hokejistov, jednak 3 kartičky futbalistov, z toho vyplýva: 1 kartička hokejistov... 3 kartičky futbalistov Za jednu kartičku hokejistov získame 3 kartičky futbalistov. 69. Dievčatá si medzi sebou vymieňajú farebné sponky do vlasov, lesklé čelenky a sklené koráliky. Za 15 sponiek do vlasov sú štyri sklené koráliky a za 8 lesklých čeleniek je 10 farebných sponiek do vlasov. Koľko čeleniek je za jedny sklené koráliky? 70. Pri výmennom obchode v staroveku mali 2 meče a 1 nôž rovnakú výmennú hodnotu ako 1 meč a 8 nožov alebo ako 1 sekera a 1 nôž. Zoraďte predmety podľa ich hodnoty od 29

30 1 Aritmeticko-algebrické úlohy najdrahšieho po najlacnejší. Koľko mečov získame za 6 sekier? Koľko mečov za 28 nožov? 71. Paholok Janko pracuje u sedliaka. Za 8 odpracovaných dní dostane 10 zlatiek a za 4 vyrobené sekery dostane 15 zlatiek. Koľko odpracovaných dní odpovedá cene jednej sekery? 72. Chlapci si do tábora priniesli nejaké jedlo z domu. Pretože nie každému chutí všetko, niektoré potraviny si navzájom vymenili. Za 4 buchty získal Ondrej od Paľa 3 klobásy a za 9 klobás dostal Peter od Martina 4 veľké rezne. Koľko buchiet by sa dalo získať za 1 rezeň? 73. Aký dlhý je rebrík, ktorý má 17 priečok vzdialených od seba pravidelne 23 cm a po najbližšiu priečku od dolného konca rebríka je vzdialenosť 31 cm a od poslednej priečky po horný koniec je 29 cm? Riešenie Pri úlohách takéhoto typu je potrebné si uvedomiť, že medzier je vždy o jednu menej ako priečok. Teda: medzi 17 priečkami je práve 16 medzier: cm + 31 cm + 29 cm = 428 cm. Rebrík je dlhý 428 cm. 74. Cez sálu je natiahnutá šnúra so zavesenými lampiónmi. Lampióny sú rozmiestnené pravidelne 65 cm od seba. Na jednom konci je od lampióna k stene 970 mm a na druhom konci 8,3 dm. Aká dlhá je šnúra, ak visí na nej 13 lampiónov? 75. Rebrík v stodole má 15 priečok. Od krajných priečok hore aj dole je po okraj rebríka 32 cm. Medzi ostatnými priečkami je vždy rovnaká medzera Vypočítajte vzdialenosť medzi priečkami v centimetroch, ak viete, že dĺžka celého rebríka je 4 m. Hrúbku priečok neuvažujeme. 76. Na prednej stene veľkej budovy je na jednom poschodí spolu 14 rovnakých okien pravidelne rozmiestnených v jednom rade s jednotnou vzdialenosťou medzi oknami 105 cm. Šírka jedného okna je 1,45 m. Na každej strane je vzdialenosť od kraja okna po roh budovy 1350 mm. Aká je šírka prednej steny budovy? 77. Na elektrickom vedení sedí 30 lastovičiek v pravidelných vzdialenostiach od seba. Vzdialenosť medzi prvou a poslednou lastovičkou je 870 cm. a) Aká je vzdialenosť medzi susednými lastovičkami? b) Aká je vzdialenosť tretej a devätnástej lastovičky? c) Ako ďaleko je siedma lastovička od dvadsiatej piatej? d) Koľko lastovičiek by sedelo na drôte, keby si každé dve už sediace lastovičky sadli ďalšie štyri? 30

31 1 Aritmeticko-algebrické úlohy e) Aká medzera v milimetroch by bola medzi nimi? 78. Vysoký požiarny rebrík má celkovú dĺžku mm. Priečky sú široké 3,5 cm a sú medzi nimi pravidelné medzery 19 cm. Od zeme po spodnú priečku je vzdialenosť 4,5 dm a od poslednej priečky po vrchol rebríka je ešte 3,5 dm. Koľko priečok má požiarny rebrík? 79. Ivanka si číslovala stránky v pamätníčku. Začala číslom 1 a skončila číslom 115. Ktorú číslicu použila najviac a koľkokrát? 80. Ferko ide po dlhej ulici po tej strane, kde sú domy číslované párnymi číslami. Od prvého domu počíta, koľko trojok sa vyskytuje v číslach domov. Ulica sa končí domom, v ktorého čísle je ukrytá tridsiata štvrtá trojka. Aké je číslo tohto domu? Riešenie: Vypíšeme si všetky vyhovujúce čísla: 30, 32, 34, 36, 38, 130, 132, 134,136, 138, 230, 232, 234, 236, 238, 300, 302, 304, 306, 308, 310, 312, 314, 316, 318, 320, 322, 324, 326, 328, 330, 332. Číslo toho domu je V každej videokazete je vložená samolepka s číslicami 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 na oddeliteľnom štvorčeku. Jurko má desať takýchto samolepiek z desiatich videokaziet. Hrá sa so samolepkami s číslami a na biely papier si pod seba nalepí všetky čísla, ktoré sú násobkom čísla 7. Koľko mu zostane samolepiacich štvorčekov s číslom 7 vo chvíli, keď sa už nedá zostaviť ďalšie číslo? Ktorú číslicu minul ako prvú? 82. Pri čítaní rozprávkovej knižky počítala Alenka počet číslic 9 v číslovaní stránok až po stránku, kde prestala čítať. Napočítala 53 číslic 9. Na ktorej stránke skončila čítať? 83. Samko vchádza z bočnej ulice na hlavnú asi v jednej štvrtine jej dĺžky pri dome s číslom 29. Ďalej pokračuje po hlavnej ulici a ide po tej strane, kde sú domy číslované nepárnymi číslami. Sleduje priečelie domov a počíta počet sedmičiek na číslach domov. Zastaví sa vo chvíli, keď má napočítanú pätnástu sedmičku a stojí pred domom, ktorého číslo, ako si všimol, je deliteľné 9. Aké je to číslo domu? 1.2 ALGEBROGRAMY Algebrogramy algebrické útvary, kde namiesto číslic sú buď obrazce alebo písmena, rovnaké obrazce a písmena predstavujú rovnaké číslo. Úlohou je dosadiť za obrazce a písmená číslice, aby sme dostali správny výsledok jednotlivých operácií. 31

32 1 Aritmeticko-algebrické úlohy PÍSMENKOVÉ ALGEBROGRAMY 84. ARER + MM = ARMT - x + AMOV + B = AMIR AB x ATL = MVAO 85. REC - C I I = OSW + : - OEL - SD = ID WOO : OC = AI 86. OOEL : PO = LAI - x + PLSR - AL = PSTE LPIP : RAO = PPLU 87. AENB - LB = TA - x + LSI - BE = LTB AANT - IRL = BLE 88. ICK - KBB = LAD + : - LCH - AE = BE MCCM - KKEK = DLL : LK = MB x KD = LDEA + : - + x - IAC + KE = I I E AB + MK = BC MIAM : HB = IA BM + LIMH = LDAA 32

33 1 Aritmeticko-algebrické úlohy 89. AIA - AMI = ID + - x KMH - LAK = LK LLHI - CLL = HIK - + : KLI - LAE = LB AIM - AMD = KH - - x EMH - HDB = ID HKD + HIB = BDH SLOVNÉ ALGEBROGRAMY Niekedy sú z písmen zostavené slová alebo celé vety. Aj tu je úlohou dosadiť za obrazce a písmená číslice, aby sme dostali správny výsledok jednotlivých operácií. 90. Za rovnaké písmená dosaďte rovnaké číslice od 0 po 9, ak viete, že T = U, E = L, S = Š TERAZ + NAPÍŠ SPOLU [pomôcka: Z = 7, T = 1] 91. MOST MOST KORZO 92. SÍNUS SÍNUS KOSÍNUS TANGENS 33

34 1 Aritmeticko-algebrické úlohy HANA DALA JANE ŠATY SNEH + MRÁZ ZIMA VÝSLEDKY 4. o 81 (postupne od začiatku: 7,14,8,4,11,88); (postupne od začiatku: 15,18,9,81); a) b) 34

35 1 Aritmeticko-algebrické úlohy Úloha má 2 riešenia: 2,3,3,10,10 a 3,5,5,5, a) = b) c) 3174 : 23 = a) = 35, b) : 5 = 14, c) 5 : = 26, d) = 620, e) 5 : = - 4, f) : 5-5 = 20; 13. a) 12.(9-6) -5 =31, b) 16-(11-9).7 = 2, c) 13+(21+19) :8 = 18, d) 11.(21-18).3 =99, e) 64:(11-3) +3 =11, f) 49-(17+19) :3 = 37; 14. a) 16 (28 12=16), b) 27 (3888: 144=27), c) delili sme číslom 14 (2448:14=174 zvyšok 12), d) 210 (42.30=1260, 1260:6=210), e) výsledok súčinu je dvakrát menší a podiel je osemnásťkrát väčší; 15. a) , b) , c) ; Polomer Slnka je asi km, polomer Zeme asi km a polomer Mesiaca km. (Polomer Zeme je presnejšie km) Riešenie: PODIEL, NÁSOBKOM, SÚČTU, ČÍSLO, DELITEĽOM, DESAŤ, DVA, ROZKLAD, PRVOČÍSLA; Tajnička: POČÍTADLO; 18. a) , b) , c) musí sa končiť číslicou 0 alebo 5, veľa možností d) musí sa končiť dvojčíslím 00, 60, 56, 76, 96, e) nedá sa, f) musí sa končiť dvojčíslím 00; Sk; 21. autíčko je drahšie ako loptička o 20 korún; 22. zelená kocka je ťažšia o 8 g; 23. kocka má hmotnosť 20g, valec má hmotnosť 40g a ihlan 50g; ,56.1,3=16,328; 0,236.1,3=0,3068; 45,02.1,3=58,526; 8,061.1,3=10,4793; 2,36.1,3=3,068; 25. a) 125:0,25=500; 125:0,04=3 125; 125:0,008=15 625; 125:1,2=104,17; b) 88:0,8=110; 88:0,88=100; 88:0,044=2 000; 88:4,4=20; 26. Kamaráti sú na dekách b), d), e) h) j), nebezpečná 35

36 1 Aritmeticko-algebrické úlohy deka sa ukrýva pod písmenom f), pretože deliť nulou sa nedá; 27. Víťazmi tanečného maratónu sa stali Zdenka a Marek. Tancovali o minútu dlhšie ako druhý pár Zuzka a Martin. 28. Najlepší bol Fero, najhoršia Julka, rozdiel medzi nimi bol 11,6 bodov. Jednotku získali Mišo, Peter, Kamila, Fero, Janka, Jožo. 29. Riešenie: OPERÁCIE, YPSILON, MOCNITELE, ZÁKLADY, G, MOCNINA, DRUHEJ, JEDNA, NÁSOBIŤ; Tajnička: PYTAGORAS; 30. 5, , 1, , 5, ; 31. a) 1 854, b) 1 894, c) 1 771; 32. a) 1, -5, -39, -30, +20, 0; b) najlepší Paľo, najhorší Zdeno, c) Vilo; 33. v pondelok stúpla o 4 C, v utorok stúpla o 6 C, v stredu stúpla o 10 C, vo štvrtok stúpla o 3 C, v piatok klesla teplota o 3 C, v sobotu klesla o 5 stupňov; 34. a) na -1 poschodí, b) na -3 poschodí, c) na 4 poschodí d) na 4 poschodí; 35. a) ľubovoľná malokalibrovka: 1,5 bodov, vodný slalom: 14s, plávanie: 0,41s, b) ľubovoľná malokalibrovka: máme medailu, vodný slalom: 13,61s, plávanie: 2,40s c) ľubovoľná malokalibrovka: 2,9 bodov, vodný slalom: 15,42s, plávanie: 3,80s; 36. a) 5 a 4, b) 8 a 15, c) 3 a 2; 37. Riešenie: ČIARA, ČITATEĽ, SPOLOČNÝM, ROZŠÍRIŤ, POLOVICE, MENOVATEĽ, ZLOMOK, KRÁTIŤ, TRETINU; Tajnička: ČASŤ CELKU; 38. a)= c), b)=d), najviac máme, keď zoberieme polovicu, resp. dve štvrtiny; 39. a) b) c), 41. Obdĺžnik je rozdelený na 13x10 štvorcov so stranou dĺžky 9 cm. 42. a) 10 palcov = 26,3cm, 100 palcov = 263cm; b) 1 yard= 0,914 m, 100 yardov = 91,4 c) 1 míľa = 1,609km, 10 míľ = 16,09 km; d) 10 libier = 4,54 kg, 100 libier = 45,4kg; e) 1 pinta = 0,568 litra, 100 pínt = 56,8 litra, f) 1 galón = 4,55 litra, 10 galónov = 45,5 litra ; 43. V pivnici bolo uskladnených 67,908 hl vína a 18,08 hl piva. Na svadbe bolo 266 svadobčanov. Vypili sa približne dve pätiny suda vína (2,26hl).; 44. Jeden korec obsahoval 48 žajdlíkov obilia gránov = 1,25g; 15 gránov=0,75g; 50 gránov = 2,5g;(1 grán = 0,05g); stopa = 31,6 cm, 1 palec= 2,6333 cm, 1 čiarka je 0, cm; 47.a) 9 865, , b) , ,..., , c) , ,..., ; 48. a) B,D, b) A, c) A d) C; m/s = 14,4 km/h; 16m/s = 57,6 km/h; 32 m/s = 129,6 km/h; 67 m/s = 241,2 km/h; m/s = km/h; 333 m/s = 1198,8 km/h; 1012 m/s = 3643,2 km/h; 50. a) 50 áut, b) 200 volov, c) asi 3333 kg, d) :1 (veľryba je 2,5 miliónkrát ťažšia ako myš); 52. Pridali 200g cukru a 120g masla; 53. Musíme pridať 278 ml červenej farby.; 54.a) Syn robí kroky dlhé 67,5 cm. b) Syn urobil krokov. c) Spolu kráčali rýchlosťou 6,3 km/h. d) Pomer dĺžky krokov otca a syna je 4 : 3.; ; 56.a) Najkratšia cesta meria 5 590m a vedie cez Peťka. b) Matúš prejde metrov. c) Nina (cesta: Lenka - Ema - Matúš - Nina) d) Najkratšia cesta je Jakub Janka Peťko Lenka a meria 1,342 km.; 57. Poradie (rozdiel): 1.Orol morský (o 4 cm), 2. Sup hnedý (o 18 cm ), 3. Orol skalný(o 22 cm ), 4. Luniak červený (o 4 cm ), 5. Včelár lesný (o 3 cm ), 6-7. Sokol sťahovavý (o 5 cm ), Myšiak lesný (o 25 cm ), 8. Jastrab lesný (o 16 cm ), 9. Sokol myšiar (o 1 cm ), 10. Jastrab krahulec (o 2 cm ), 11. Lastovičiar lesný (o 4cm ), 58. ACEDBF; =, = 3, =, =, =, =, = 0,

37 1 Aritmeticko-algebrické úlohy : 2 = 7 = 54 : = 51 = 8. 6 = : 5 = 10 : 14 = 48 = : 5. 2 = : =14; 65. Lucka má 4,7, Katka 4,9, Janka 5 a Elenka 5,3 ; 66. Chlapci merajú: Tomáš 157 cm, Peter 162 cm, Adam 17 cm a Ivan 173 cm. 67. Známky chlapcov sú: Paľko 1, Samo 2, Peter 3 a Ondrej Za jedny koráliky výmenou získame 3 čelenky. 70. Najdrahšia je sekera, lacnejší je meč a najlacnejší je nôž. Za 6 sekier dostaneme 12 mečov a za 28 nožov dostaneme 4 meče. 71. Cene jednej sekery zodpovedajú 3 odpracované dni. 72. Za jeden veľký rezeň možno získať 3 buchty. 74. Šnúra je dlhá 960 cm.75. Vzdialenosť susedných priečok je 24 centimetrov. 76. Dĺžka prednej steny budovy je cm. 77. a) Vzdialenosť susedných lastovičiek je 30 cm. b) Tretia a devätnásta lastovička sú vzdialené 480 cm. c) Siedma a dvadsiata piata lastovička sú vzdialené 540 cm. d) Na drôte by sedelo 146 lastovičiek. e) Medzera medzi susednými lastovičkami by bola 60 mm. 78. Požiarny rebrík má 26 priečok. 79. Najviac by použila číslicu 1 a to 44-krát. 81. Zostalo mu ešte 6 štvorčekov s číslo 7. Ako prvú minul číslicu Alenka skončila čítať knihu na strane Samko sa zastavil pred domom číslom = x = x 154 = = : = : 13 = : 23 = x = : 943 =

38 1 Aritmeticko-algebrické úlohy = 61 - x = = = : = = 611 : 13 = 47 x 36 = : - + x = = : 87 = = = x = = : = = x = =

39 2 GEOMETRICKÉ ÚLOHY Obsahom tejto kapitoly budú geometrické úlohy, hádanky, otázky, hlavolamy, osemsmerovky, príklady na Pytagorovu a Tálesovu vetu, ako aj iné zábavné úlohy s geometrickým podtextom. 2.1 JEDNODUCHÉ GEOMETRICKÉ KONŠTRUKCIE 1. Viete zostrojiť nasledovné obrázky podľa vzoru? [Zostrojte si rovnostranný trojuholník s dĺžkou strany 6 cm. Vymaľujte vyznačené plochy]. 2. Viete skonštruovať nasledovné obrázky podľa vzoru? Zostrojte štvorec s dĺžkou strany 8 cm. Vymaľujte vyznačené plochy. 39

40 2 Geometrické úlohy 3. Viete skonštruovať nasledovné obrázky podľa vzoru? Zostrojte si šesťuholník s dĺžkou strany 4 cm. Vymaľujte vyznačené plochy. 4. Ako by ste nakreslili túto kvetinku? [Prezradíme, že lupienky sú nakreslené ako kružnice so stredmi vo vrcholoch šesťuholníka]. 40

41 2 Geometrické úlohy 2.2 GEOMETRICKÉ SKLADAČKY Podstatou geometrických skladačiek je rozloženie nejakého geometrického útvaru na časti, ktoré potom opäť poskladáme, pričom vznikne iný útvar. Ako ukážku stačí vziať z papiera vystrihnutú šesťcípu hviezdu, ktorú najprv rozstrihneme podľa návodu, a potom poskladáme do tvaru trojuholníka. 5. Rozložte každý z daných útvarov na štyri zhodné útvary. Viete rozložiť lichobežníky na tri zhodné útvary? 6. Z jednotlivých častí skladačky treba postupne poskladať a) štvorec, b) obdĺžnik, c) trojuholník. 7. Tangram je stará čínska hra. Podstata hry spočíva v skladaní rôznych obrázkov zo siedmych základných častí, ktoré vznikli rozstrihaním základného štvorca. Nakreslite na papier štvorec a rozstrihnite ho podľa návodu. Pokúste sa zložiť niektorý z uvedených útvarov. 41

42 2 Geometrické úlohy bežec domček mačka rak ryba kalich plachetnica sup 8. Rozdeľte útvar z 24 políčok na 6 zhodných častí. 9. Štyria záhradkári sa chystajú spoločne kúpiť rovnakým dielom pozemok v tvare, ktorý je na pláne. Každý z nich chce samostatný vchod na miestach označených písmenami A,B,C a D. Nevedia, či dokážu rozdeliť pozemok na štyri rovnaké časti tak, aby mali vchody určené plánom. Viete im poradiť? 2.3 GEOMETRICKÉ HLAVOLAMY NÁJDI A POČÍTAJ V úlohách tohto typu sú nakreslené obrazce rôznych tvarov. Cieľom úloh je spočítať, koľko konkrétnych útvarov sa nachádza na danom obrázku. 10. Koľko trojuholníkov je v obrázkoch? a) b) c) 11. Koľko štvorcov je v obrázkoch? 42

43 2 Geometrické úlohy a) b) c) 12. Koľko štvorcov a koľko rovnostranných trojuholníkov je v obrázkoch? d) a) b) 13. Koľko lichobežníkov je v obrázkoch? c) a) b) c) 14. Koľko rovnostranných trojuholníkov, koľko lichobežníkov je na obrázku? 43

44 2 Geometrické úlohy 15. Koľko trojuholníkov je v obrázkoch? Riešenie Označíme všetky body číslicami (obr. )a vypíšeme všetky možnosti. a) b) 9 8 a) Trojuholníky 129, 139, 149, 239, 249, 349, 569, 579, 589, 679, 689, 789 b) Trojuholníky 125, 128, 136, 138, 147, 148, 158, 168, 178, 238, 248, 348, 568, 578, c) d) 2.4 OSEMSMEROVKY 16. Vyčiarknite všetkým možnými smermi tieto slová: VRCHOLY, STRANY, UHLY, TRI, OS RAMENÁ, ZÁKLADŇA, ALFA, SÚČTY, STUPNE, DĹŽKA, ONVOD, OBSAH. Tajnička má 8 hlások. V S T U P N E A P R T D Y R Ň H I A C R O D O A A M A H A V S S L E M L O N B B F N K U H L Y O A Á S Ú Č T Y Í Z D Y A K Ž Ĺ D 17. Vyčiarknite všetkým možnými smermi tieto slová: ŠTVOREC, STRANA, VRCHOL, UHOL, STRED, OBVOD, SÚČET, OBSAH, Tajnička má 8 hlások m Š O H A S B O S T R A N A O Ú B V Y D O B Č D L O E Ĺ V E L O CH R V O T Ž H N T E D Á R U I S K O 44

45 2 Geometrické úlohy 18. Vyčiarknite všetkým možnými smermi tieto slová: VRCHOLY, STENY, HRANY, TELESO, PODSTAVA, PLÁŠŤ, OBJEM, POVRCH, VÝŠKA, KOCKA. Tajnička má 11 hlások. V Ť Š Á L P A P O R S U H H K O S O CH T L R Š V E B O O E A Ý R L J P R L N V CH E E I E Č Y Y K T M A K C O K A P O D S T A V A 19. Vyčiarknite všetkým možnými smermi tieto slová: PRIEMER, POLOMER, STRED, BOD, OBLÚK, π, VÝŠKA, PLÁŠŤ, VALEC, TETIVA. Tajnička má 11 hlások. P K A K Š Ý V O O O L E D S B O V A L E C L O Ť A Í R O Ú K D Š P T R K M U H Á S A V I T E T L P R I E M E R P 20. Vyčiarknite všetkým možnými smermi tieto slová: SÍNUS, KOSÍNUS, PREPONA, POMER, TRI, ODVESNA, STRANA, VÝŠKA, VRCHOL. Tajnička má 11 hlások. P A T R U H O L O T N O L D J U M H G O V O V A E L CH E P Ý N T R R S N Š E I E V N Í K I K R B A N A R T S T P 45

46 2 Geometrické úlohy 2.5 KRÍŽOVKY 21. Do krížovky doplňte smerom zhora dolu chýbajúce slová vo vetách daných pre trojuholník ABC Úsečka CP je Uhly α, βγ, sú... uhly trojuholníka ABC. 3. A, B, C sú Úsečka AS 2 je Uhol ACB je veľkostí vnútorných uhlov αβγ,, je Ak CS2 = BS2, tak S 2 je Úsečka SS 1 2 je stredná Úsečky AB, BCACsú,... trojuholníka 46

47 2 Geometrické úlohy 22. Do krížovky doplňte smerom zhora dolu chýbajúce slová vo vetách pre trojuholníky ABC, KLM, XYZ, DEF Trojuholník ABC je Trojuholník XYZ je Strana XZ je... trojuholníka XYZ 4. Úsečka KL je... trojuholníka KLM Súčet e+ f + d je... v trojuholníku DEF Trojuholník KLM je V každom trojuholníku je súčet dĺžok dvoch 8 strán... ako je dĺžka tretej strany Trojuholník DEF je.... av. 9. Vzorec a je vzorec na výpočet... 2 trojuholníka ABC. 2.6 PYTAGOROVA VETA. TÁLESOVA KRUŽNICA 23. Vypočítajte výšku rovnostranného trojuholníka s dĺžkou strany Záhrada tvaru rovnostranného trojuholníka má plochu 1000 m 2. Aký je obvod záhrady? 25. Do kruhu chceme vpísať rovnostranný trojuholník s dĺžkou strany 24 cm. Aký musí byť najmenší priemer kruhu? 26. Pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny sú v pomere 5:12, má preponu dĺžky 26 m. Ako dlhé sú odvesny? 27. Rovnoramenný trojuholník má výšku 35 cm. Pomer dĺžok základne ku ramenu je 48 : 25. Akú dĺžku má rameno trojuholníka? 28. Kosoštvorec má uhlopriečky dĺžok 12 cm a 16 cm. Vypočítajte výšku kosoštvorca. 47

48 2 Geometrické úlohy 29. Je daný pravouhlý trojuholník s odvesnami 3 cm a 6 cm a stredom prepony prechádza kolmica. V akej vzdialenosti od vrcholu s pravým uhlom pretína kolmica odvesnu? 30. Na jednej ulice priniesli požiarnici 13 m dlhý rebrík. Najprv ho opreli o jeden vežiak. Rebrík dosiahol do výšky 12 m. Keď ho bez premiestnenia opreli o dom na druhej strane ulice, dosiahol do výšky 5 m. Ako ďaleko sú od seba domy? 31. Kmeň stromu má priemer 18 cm. Možno z neho odpíliť hranol s podstavou 10 cm? 32. Z bodu na kružnici sú zostrojené dve na seba kolmé tetivy, ktorých vzdialenosti od stredu kružnice sú 6 cm a 10 cm. Vypočítajte dĺžky tetív a polomer kružnice. 33. Kružnice k(s, R) a m(o,r) majú vonkajší dotyk a spoločnú dotyčnicu t. Vypočítajte polomer kružnice, ktorá sa dotýka oboch kružníc a súčasne aj dotyčnice t. [ Najprv odvoďte vzorec na výpočet dĺžky dotyčnice dvoch dotýkajúcich sa kružníc k, m. Sú dve riešenia.] 34. Topoľ vysoký 32 m sa zlomil a jeho vrchol padol 16 m od päty stromu. V akej výške sa strom zlomil? 35. Dve rovnobežné tetivy jednej kružnice majú dĺžky 40 cm a 48 cm, pričom sú od seba vzdialené 22 cm. Aký je polomer kružnice? 36. Pravouhlému trojuholníku s odvesnami 6 cm a 8 cm je opísaná kružnica. Aký je polomer kružnice? 37. Pravouhlému trojuholníku s odvesnami 3 cm a 6 cm je vpísaná kružnica. Aký je polomer kružnice? 38. Dvaja majitelia pozemkov nemohli zhodnúť na tom, kto má väčší pozemok. Oba pozemky mali tvar trojuholníkov. Rozmery prvého pozemku boli 50 m, 50 m, 80 m; druhý pozemok mal rozmery 50 m, 50 m, 60 m. Prvý majiteľ tvrdil, že jeho pozemok má dlhšiu základňu, preto má aj väčšiu výmeru. Druhý bol presvedčený, že na dĺžke základne nezáleží a výmera je rovnaká. Kto z nich mal pravdu? 39. Dva stožiare vysokého napätia sú umiestnené na kopci. Výškový rozdiel ich piat je 23 m, vodorovná vzdialenosť je 54 m. Aká je dĺžka elektrického vedenia medzi nimi, ak 5% drôtu sa počíta na previsnutie? 48

49 2 Geometrické úlohy 40. Dve borovice sú od seba vzdialené 40 m. jedna má výšku 31 m, druhá 6 m. Aká je vzdialenosť od jedného vrcholu po druhý? 2.7 HISTORICKÉ ÚLOHY 41. Dve veže sú vzdialené od seba 50 lakťov a sú 30 lakťov a 40 lakťov vysoké. Medzi nimi je fontána, ku ktorej sa z vrcholov oboch veží spustili dva vtáky. Preleteli rovnakú vzdialenosť. Vypočítajte vzdialenosť fontány od oboch veží. (L. Pisánsky, 13. stor.) 42. Kvet lotosu vyčnieval nad jazero pol lakťa. Vetrom sa odkláňa o dva lakte tak, že jeho vrchol leží v úrovni vody. Ako hlboké je jazero v tomto mieste? (úloha indického matematika Bhaskary, 12. stor.) 43. Bambus výšky 10 stôp bol prelomený tak, že vrchol bambusu sa dotýkal zeme 3 stopy od bambusu. V akej výške sa bambus zlomil? (stará indická úloha) 44. Nad stranami pravouhlého trojuholníka ABC (s pravým uhlom pri vrchole C) sú zostrojené Tálesove kružnice, ktoré spoločne ohraničujú plochu v tvare dvoch polmesiacov. Vypočítajte obsah S tohto útvaru! (Hypokratova úloha) 45. Na strome sedeli dve opice, jedna na vrchole stromu, druhá 10 lakťov od zeme. Obe sa chceli napiť z prameňa vzdialeného 40 lakťov od stromu. Prvá opica skočila k prameňu z vrcholu stromu a preletela rovnakú dráhu, ako prebehla druhá opica. Povedzte rýchlo, múdry človeče, z akej výšky opica skočila, a ja uvidím, ako rýchlo počítaš. (stará indická úloha) 2.8 RÔZNE ÚLOHY 46. Keď sa chce krajčírka presvedčiť, či odstrihnutý kus látky má tvar štvorca, preloží dva protiľahlé rohy látky podľa jednej uhlopriečky. Stačí taká kontrola? 47. Janko mal zostrojiť priamku určenú dvomi bodmi A, B. Mal len kružidlo a trojuholníkové pravítko s ryskou, ktorého najdlhšia strana bola menšia než vzdialenosť bodov A, B. Pani učiteľka mu povedala, že dostane jednotku, ak dokáže zostrojiť priamku AB pomocou tých prostriedkov, ktoré má. Viete mu poradiť, ako má konštrukciu urobiť? 49

50 2 Geometrické úlohy Riešenie Janko zostrojí dve kružnice 1(, ), 2(, ) k A AB k B AB. Zostrojí priamku p určenú ich priesečníkmi a z bodu A zostrojí kolmicu na priamku p. Priesečník S je stredom úsečky AB. A S B Úsečku SB narysuje pomocou pravítka. 48. Kde bolo, tam bolo, bola raz jedna rozprávková Tabuľa a nej na nakreslená Kružnica, ktorá stratila Stred. A tak kamaráti Pravítko a Kružidlo pribehli jej rýchlo na pomoc a stratený Stred raz dva našli. Viete ako? 49. Z polkruhového plechu sme vystrihli kruh tak, že vzniknutý útvar je symetrický. Ktorá časť má väčší obsah, kruh alebo zvyšok z polkruhu? 50. Obvod trojuholníkovej záhrady je 104 m. Jedna strana je o 6 m dlhšia než druhá a o 8 m kratšia než tretia. Koľko metrov merajú jednotlivé strany? 51. Ak zväčšíme šírku obdĺžnikovej záhrady o 5 m a dĺžku o 10 m, zväčší sa plocha o 625 m 2. Ak zväčšíme šírku o 10 m a dĺžku o 5 m, zväčší sa plocha o 675 m 2. Aké sú rozmery záhrady? 52. Koľko existuje kružníc, ktoré sa dotýkajú daných troch kružníc? 2.9 RAZ VIDIEŤ NESTAČÍ Koľko kociek vidíte na obrázku vpravo? 50

51 2 Geometrické úlohy 54. Na obrázku je Sanderov rovnobežník. Ktorá úsečka je dlhšia, AB alebo BC? Premerajte! A C B 55. Ktorá úsečka je dlhšia, AB alebo BC? Premerajte! A B C 56. Ktorý z vyfarbených kruhov má dlhší polomer? 57. Obrázok, ktorý vidíte vpravo sa nazýva Fraserova špirála. Naozaj vidíte špirálu na obrázku? Skúste položiť prst na niektorú vnútornú čiaru a pohybujte ním po tejto čiare. Aké útvary sú to v skutočnosti? 51

52 2 Geometrické úlohy 58. Na obrázku vidíte obdĺžnik s rozmermi 13 x 5, ktorý je rozstrihaný na štyri časti. Tie sa opäť poskladali do štvorca 8 x 8. Problém spočíva v tom, že kým plocha obdĺžnika je 65 j 2, štvorec má plochu len 64 j 2. Kde sa stala chyba? 59. Na obrázku vpravo vidíte tzv. Penroseov trojuholník. Môže takýto útvar existovať? 60. Ak sa pozeráte na niektorý z obrázkov a pritom pomaly krúžite hlavou, začnú sa obrázky pohybovať. Vyskúšajte! Neckerovu kocku, ako sa posledný obrázok často nazýva, pozrite aj tak, že otočíte knihu. 61. Čo vidíte? Hlavu starca alebo ženy? [Návod: Otočne knihu] 52

53 2 Geometrické úlohy VÝSLEDKY Útvary sú zostrojiteľné pomocou pravítka a kružidla, keďže dôležité body sú stredmi úsečiek. 4. Po zostrojení pravidelného šesťuholníka treba zostrojiť šesť kružníc, každú so stredom vo vrchole šesťuholníka a polomerom zhodným s dĺžkou strany šesťuholníka

54 2 Geometrické úlohy a) 10, b) 16, c) a) 7, b) 9, c) 15, d) a) 7 štvorcov, 0 rovnostranných trojuholníkov, b) 1 štvorec, 3 rovnostranné trojuholníky, c) 3 štvorce, 5 rovnostranných trojuholníkov 13. a) 6, b) 4, c) lichobežníkov, 6 rovnostranných trojuholníkov 16. pyramídy 17. obdĺžnik 18. uhlopriečka 19. koleso a kruh 20. trojuholník 21. Archimedes 22. Apolonius , cm m 31. polomer je 9 cm, polovica uhlopriečky má dĺžku 5 2 cm t.j. trojuholník možno vpísať 4 Rr 32. odvesny majú dĺžky 12 cm a 20 cm, polomer kružnice je úloha má 2 riešenia, r 1,2 = R± r m druhý, oba pozemky majú rovnakú výmeru 39. približne 137,80 m ab m a 32 lakťov lakťa S = = SABC lakťov 46. nie, môže ísť o kosoštvorec 48. C Zostrojili sečnicu, ktorá preťala kružnicu v bodoch A,C, potom kolmicu na priamku AC v bode C, ktorá preťala kružnicu v bode B. AB je priemer kružnice zostrojí sa stred S. A B 49. zvyšok polkruhového plechu má väčší obsah m, 30 m, 36 m m, 45 m alebo rovnaké rozmery 57. kružnice 58. Na prvom obrázku naznačená uhlopriečka nie je uhlopriečkou, ale lomenou čiarou zloženou z dvoch úsečiek. Tým sa na druhom obrázku objaví o obsah štvorčeka naviac. 59. nie. 60. po otočení knihy má kocka bod A v inej pozícii 61. starec alebo princezná 54

55 3 ÚLOHY NA ROZVOJ PRIESTOROVEJ PREDSTAVIVOSTI Priestorová predstavivosť je veľmi významná pre rôzne typy povolaní ako aj pre bežnú prax človeka. Aby dosiahla určitú úroveň, musí byť cieľavedome pestovaná a rozvíjaná už od útleho veku. Jednou z možností na jej rozvoj je riešenie rôznych úloh a mnohé z nich nájdeme aj v tejto kapitole. 1. Janko má veľmi rád vajíčka a stále skúša, ako je najlepšie vajíčko rozkrájať. Rozkrájal vajíčko tromi rôznymi spôsobmi a zakaždým mu vznikol iný rez. Zistite, ktorým spôsobom krájania (a, b, c) vznikli rezy 1, 2, Anička krájala svoju narodeninovú tortu. Nakreslite, ako vyzerali odkrojené kúsky, ak ich krájala podľa obrázka spôsobmi a, b, c. 3. Jurko sa hral s krabicami a začal ich rezať rôznymi spôsobmi. Zisťoval, ako budú vyzerať ich rezy. Viete aj vy, ktorým rezaním vznikol ktorý rez? Priraďte podľa obrázka rezy krabicami k ich znázorneniu na krabiciach. 55

56 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti a) b) 4. Ku každému znázornenému telesu priraďte všetky otvory, ktorými je možné teleso pretiahnuť tesne bez medzier na druhú stranu. 5. Adamkova obľúbená hra je nakreslená na obrázku. Pospájajte jednotlivé telesá s otvormi, ktorými sa dajú pretiahnuť na druhú stranu. 56

57 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 6. Mirko sa snažil zložiť si vlastnú kocku z tvrdého papiera. Vystrihol rôzne siete a skúšal, či sa mu to podarí. Z ktorej rozvíjajúcej sa siete zložil kocku? A B C D 7. Janka označila steny kocky písmenkami a potom kocky rozvinula do siete. Podľa písmenok na stenách kocky zistite, ktorá sieť patrí ktorej kocke A B C 57

58 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 8. Anička chcela zložiť kocku zo siete, ktorá však nebola úplná. Pomôžte jej doplniť túto sieť tak, aby sa z nej dala postaviť kocka. (Skúste nájsť viac možností). a) b) Nájdite iné riešenia ako po a) 9. Z hracej kocky niekto vygumoval na niektorých stenách bodky. Doplňte bodky na stenách hracej kocky tak, aby bol súčet bodiek na protiľahlých stenách vždy 7. a) b) c) d) 10. V danej sieti kocky označte rovnakým číslom tie strany štvorcov, ktoré po zložení kocky tvoria tú istú hranu. a) b) c) 11. Katka si nakreslila na kocky kvetiny a potom tie kocky rozložila. Jej brat však niektoré časti kvetov vygumoval. Pomôžte jej doplniť zmiznuté časti kvetov tak, aby sa po zložení kocky objavili celé kvetiny v jej vrcholoch. a) b) c) 58

59 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 12. Jurko si vystrihol 6 zhodných štvorcov a vyfarbil niektoré ich strany. Potom skúšal pospájať štvorce do siete kocky tak, aby boli v sieti spojené len vyfarbenými stranami. Pomôžete mu? Riešenie Z rôznych sietí kocky, ktorých je 11, si musíme vybrať takú, v ktorej budeme môcť pospájať len vyfarbené hrany. Skúšaním a manipuláciou so štvorcami dostaneme nasledovné riešenie: 13. Jurko skúšal riešiť úlohu s rovnakým zadaním ako v úlohe 12 aj s inými vyfarbenými stranami štvorcov. Vyriešte s ním aj toto zadanie. 14. Klára sa hrala s hracou kockou, prevracala ju zo steny na stenu a potom si začala zaznačovať pohyb aký s kockou robila a čísla, ktoré boli na kocke. Chcela tak pripraviť zábavu pre Betku, ktorá mala prísť k nej na návštevu. Betka mala za úlohu prevracať kocku zo základnej polohy podľa šípiek na hracom pláne a zapisovať počet bodiek na dolnej stene kocky. Zahrajte sa s nimi a úlohu riešte len vo svojej mysli. 59

60 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti Základná poloha Hrací plán Riešenie: 15. a) Prevracajte hraciu kocku podľa šípiek a zapisuj hodnoty na dolnej stene kocky. základná poloha: plán pohybu: b) Prevracajte hraciu kocku zo základnej polohy na dané hodnoty a do plánu zapíšte šípky, ktoré určia pohyb kocky. Pohyb kocky: Doplňte plán pohybu: 16. Ktoré dvojice stavebnice dajú po zložení celú kocku

61 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti Andrej postavil stavbu z kociek. Spočítajte koľko kociek na stavbu potreboval, ak žiadna kocka vzadu nechýba. Koľko najmenej kociek musí doplniť, aby túto stavbu doplnil na jednu plnú kocku? a) b) 18. Martin si zlepil stavbu z rovnakých kociek. Potom do nej urobil päť priamych tunelov. Koľko kociek musel vybrať zo stavby? 61

62 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 19. Jurko si svoju kocku celú ponoril do modrej farby. Potom ju rozrezal na menšie kocky podľa obrázka a zisťoval: a) Koľko malých kociek dostal? b) Koľko z nich malo práve tri modré steny? c) Koľko z nich malo práve dve modré steny? d) Koľko z nich nemalo zafarbenú žiadnu stenu? Čo Jurko pri svojom skúmaní zistil? 20. Janko si zložil z malých kociek jednu veľkú kocku a tri jej steny namaľoval na červeno. Jeho malý brat Miško mu však jeho stavbu zhodil a tá sa rozpadla na pôvodné malé kocky. Keď ich Janko zbieral všímal si, ako sú kocky zafarbené. Uhádnite: a) Z koľkých malých kociek mal Janko zloženú veľkú kocku? b) Koľko bolo po zhodení veľkej kocky malých kociek, ktoré nemali ani jednu stenu červenú? c) Koľko malých kociek malo práve dve červené steny? 21. Andrej vyrezal z veľkej kocky 6 malých kociek v strede každej steny. Potom namočil takúto upravenú kocku do zelenej farby. Po zafarbení rozrezal túto kocky na malé kocky a zisťoval, koľko malých kociek malo zelenú práve: a) 1 stenu b) 2 steny c) 3 steny d) 4 steny e) 5 stien f) 6 stien P 7 stien 62

63 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti Kockové teleso môžeme zaznamenať rôznymi spôsobmi: a) Portrétom (zobrazením vo voľnom b) Šifrou: znakovým zápisom rovnobežnom premietaní) c) Plánom obyčajným: čísla vo štvorčeku označujú počet kociek v danom stĺpci postavených na seba d) Plánom úplným: čísla vo štvorčeku označujú na ktorom poschodí je postavená kocka e) Znázornením nárysu, pôdorysu a bokorysu N P B Kockové teleso je zložené z kociek, ktoré sú spojené celými stenami. 63

64 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 22. Je dané kockové teleso a jeho znakový zápis. Skúste rozlúštiť jednotlivé znaky šifry. Znakový zápis: # Riešenie Rozlúštenie znakov šifry:... položte kocku choďte doprava ( alternatívne na východ) choďte doľava ( alternatívne na západ) choďte dozadu ( alternatívne na sever, od seba) choďte dopredu ( alternatívne na juh, k sebe) choďte hore (o poschodie vyššie, polož kocku na kocku) #. choďte dole ( o poschodie nižšie) 23. Ktorá z uvedených stavieb je postavená podľa daného plánu stavby? Z koľkých kociek sú tieto stavby postavené? Plán stavby a) väzenie b) škola c) nemocnica d) hypermarket 64

65 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 24. Priraďte k telesu jeho nárys (pohľad spredu), bokorys (pohľad sprava) a pôdorys (pohľad zhora). a) b) c) d) 25. Priraďte znakový zápis k danému kockovému telesu. a) # b) ## c) 26. K danému kockovému telesu telesu napíšte jeho: a) úplný plán b) nárys, pôdorys a bokorys c) znakový zápis 27. Postavte a znázornite stavbu podľa daných znakových zápisov. a) # b) # # # # 28. Postavte z kociek stavbu podľa daného plánu a potom ju zašifrujte. a) b) c) 65

66 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 29. Postavte z kociek stavbu podľa pohľadu spredu, zboku (sprava), zhora a napíšte úplný plán stavby. a) b) pohľad spredu pohľad sprava pohľad zhora pohľad spredu pohľad sprava pohľad zhora 30. V sklenenom akváriu tvaru kocky je skrútený had. Jeho tvar je znázornený ako súvislá lomená čiara. Znázornite, ako ho vidíme spredu (Nárys), sprava (Bokorys) a zhora (Pôdorys). Riešenie 31. Znázornite nárys, pôdorys a bokorys (zľava) súvislej lomenej čiary na kocke. Riešenie 66

67 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 32. Znázornite nárys, pôdorys a bokorys (zľava) súvislej lomenej čiary, ktorá prechádza vrcholmi, stredmi hrán a stredmi stien danej kocky. 33. Znázornite vo voľnom rovnobežnom premietaní súvislú lomenú čiaru na stenách a hranách kocky, ak poznáme nárys, bokorys a pôdorys (pohľady spredu, sprava a zhora). a) b) 34. Znázornite vo voľnom rovnobežnom premietaní súvislú lomenú čiaru na stenách a hranách kocky, ak poznáme nárys, bokorys a pôdorys (pohľady spredu, zľava a zhora). 35. Na povrchu kocky je znázornená súvislá lomená čiara, ktorá predchádza buď vrcholmi kocky alebo stredmi jej hrán. Zakreslite túto čiaru do danej siete kocky. 67

68 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 36. Jožko nakreslil Milošovi trojpodlažné bludisko a povedal mu: Ty si na prvom podlaží a chceš sa dostať ku mne na strechu. Kým prídeš ku mne, musíš prejsť cez 9 miestností, cez štvoro dverí, 4 krát po rebríku vystúpiš a raz zostúpiš. Nakresli cestu cez tento labyrint až ku mne! Aby mu pomohol, prekreslil mu každé podlažie samostatne. Dvere znázornil ako medzeru a prechod z nižšieho podlažia na vyššie znázornil ako kruh na vyššom podlaží. V tomto rovinnom nákrese po podlažiach mu zakreslil cestu cez labyrint. Pomôžte Milošovi vyriešiť tento labyrint.. IV. III. II. I. 68

69 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 37. Nakreslite cestu od vchodu DNU až po východ VON v tomto štvorpodlažnom bludisku. I. II. III. IV. 38. Nakreslite cestu od vchodu DNU až po východ VON v tomto trojpodlažnom bludisku. I. II. III. 39. Opäť sa potulujeme v bludisku so štyrmi podlažiami. Nájdite cestu od vchodu až po východ. I. II. III. IV. 40. Nájdeš cestu od vchodu po východ aj v tomto labyrinte? 69

70 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti VÝSLEDKY 1. 1-a;2-b;3-c. 2. a) b) c) 3. a) 1-a;2-d; 3-b; 4-c. b) 1-b; 2-a; 3- c. 4. a-2; b-1, 3; c-2, 3; d-2, A-2, 5; B-1, 3; C-2, 4; D-1, 5; E-1, 2; F-2, 6; G-2, 5; H- 1, 2, 6; I-2; J-2, 3, 6; K-2, 4; L-1, 2; M-2, A 7. 1-A; 2-C; 3-B. 8. a) b) 9. a) b) c) d) 10. a) b) c) 11. a) b) c) a) b) , 2-3, 5-8, a) 11 kociek, doplniť treba 53 kociek, b) 15 kociek, doplniť treba 12 kociek kociek. 19. a) 27 kociek, b) 8 kociek, c) 12 kociek, d) 1 kocka. 20. a) 64 kociek, b) 8 kociek, c) 24 kociek. 21a) žiadna kocka, b) žiadna kocka, c) 8 kociek, d) 12 kociek, e) žiadna kocka, f) 1 kocka, g) žiadna kocka (chyták!). 23. c- nemocnica, a) 12 kociek, b) 11 kociek, c) 12 kociek, d) 12 kociek. 24. nárys- c, bokorys- d, pôdorys- a 25. b, c 70

71 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti 26. a) b) spredu zboku zhora c) ## 27. a) b) 28. a) b) c) 29. a) b) a) b) 71

72 3 Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti Postupnosť prechodu cez jednotlivé miestnosti je označená číslami a prechod po rebríku zodpovedá rovnakému číslu

73 4 ÚLOHY Z KOMBINATORIKY A. Einstein: Zdá sa, že podstatnou črtou produktívneho myslenia je kombinatorická hra. Kombinatorika sa zaoberá otázkami, ktoré súvisia s vytváraním skupín podľa určitých pravidiel z prvkov danej konečnej množiny. Jej poznatky sa využívajú pri riešení úloh z pravdepodobnosti a pomáha riešiť aj mnohé dôležité ekonomické problémy. Úlohy z kombinatoriky môžeme riešiť jednoduchou alebo zložitejšou úvahou. V tejto kapitole sa stretnete s úlohami, na riešenie ktorých postačí jednoduchá úvaha, najmä vypísaním všetkých riešení. 4.1 OSLAVA NARODENÍN Na oslavu narodenín si Peter pozval štyri spolužiačky a troch spolužiakov: Aničku, Barborku, Hanku, Luciu, Štefana, Martina a Juraja. 1. Lucia bola na dovolenke s rodičmi, tak sa o oslave dozvedela v poslednej chvíli. Rýchlo sa išla obliecť, aby nemeškala. Rada sa oblieka športovo. Najradšej nosí pulóver a nohavice. V šatníku má z každého druhu po 3 kusy, modrý, ružový a zelený pulóver, biele, hnedé a modré nohavice. Z koľkých rôznych oblečení si mohla na oslavu vybrať? Riešenie Vytvárame dvojice pulóver a nohavice: nohavice biele hnedé modré pulóver žltý ružový zelený žltý pulóver ružový pulóver zelený pulóver a biele nohavice a biele nohavice a biele nohavice žltý pulóver ružový pulóver zelený pulóver a hnedé nohavice a hnedé nohavice a hnedé nohavice žltý pulóver ružový pulóver zelený pulóver a modré nohavice a modré nohavice a modré nohavice Počet všetkých možností je 3.3=9. 2. Peter sa obliekol slávnostnejšie. Má štyri košele a tri kravaty. Koľko rôznych kombinácií si mohol vyskúšať, kým si vybral? 3. Hanka a Anička sú väčšie parádnice. Hanka má tri blúzky a tri sukne. Anička má len dve blúzky a dve sukne, ale má ešte aj dve šatky. Ktoré z dievčat má väčší výber oblečenia? 73

74 4 Úlohy z kombinatoriky 4. Chlapci sa navzájom pozdravili podaním ruky. Koľko podaní rúk sa uskutočnilo? Riešenie Prvý sa zdraví Peter a podá ruku každému chlapcovi, to sú tri podania rúk. Ďalší sa zdraví Štefan, on už iba s Martinom a Jurajom, to sú ďalšie dve podania rúk. Posledný sa pozdravia Martin a Juraj jedným podaním rúk. Uskutočnilo sa šesť podaní rúk 5. Deti sa postavili do radu pred Petra, najprv mu gratulovali dievčatá a potom chlapci. Koľkými rôznymi spôsobmi sa mohli postaviť do radu? Riešenie Najprv vypočítame všetky možné spôsoby poradia dievčat použitím stromového grafu: V prípade, že Anička je prvá, máme šesť rôznych poradí dievčat. Rovnakým výpočtom by sme zistili, že ak Barborka bude prvá, dostaneme rovnako šesť rôznych možností, pre Hanku takisto a nakoniec i pre Luciu. Spolu tak máme 24 rôznych možností poradia dievčat. Poradie chlapcov: Pre chlapcov sme vypísali všetky možnosti, je ich spolu 6. Pre dievčatá máme 24 možností, a ku všetkým možnostiam dievčat môžeme priradiť všetky možnosti chlapcov, teda deti sa môžu zoradiť do radu 24.6 = 154 spôsobmi. Mohli sa zoradiť do radu 154 spôsobmi. 74

75 4 Úlohy z kombinatoriky 6. Na začiatku bol džúsový prípitok. Každý s každým si štrngol. Koľko štrngnutí zaznelo? 7. Mamička ponúkla Petrovi na oslavu tri druhy tort, dva druhy chlebíčkov a tri druhy pagáčov. Z každého si Peter mal vybrať jeden druh. Koľko rôznych jedálnych lístkov by z toho mohol Peter zostaviť? Riešenie Vyberáme do jedálneho lístka jednu tortu, jeden druh chlebíčkov a jeden druh pagáčov: Jedálny lístok Torta Chlebíčky Pagáče Spolu Počet možností Jednotlivé možnosti medzi sebou násobíme, pretože ku každému druhu torty môžeme vybrať ktorýkoľvek druh chlebíčkov. Týchto dvojíc je 3.2 = 6. K týmto dvojiciam môžeme vybrať každý druh pagáčov. Spolu teda máme = 18 rôznych jedálnych lístkov. Peter si vyberal z 18 jedálnych lístkov. 8. Peter aj jeho spolužiaci radi tancujú, preto Peter prichystal pre kamarátov malú tanečnú súťaž - každé dievča si zatancovalo s každým chlapcom. Naraz tancuje len jeden pár, ostatní hodnotia a na konci vyhlásia najlepší pár. Najmenej ako dlho trvala súťaž, ak jednotlivé páry tancovali 5 minút? 9. Petrova mamička uvarila štyri rôzne čaje. Pamätala si, v akom objemovom množstve ich má zlievať, ale zabudla, v akom poradí ich musí naliať do kanvice, aby zliaty nápoj mal údajnú magickú silu. Koľko bolo možností poradí ich zlievania do kanvice? 10. Martin priniesol Petrovej mamičke kyticu. Koľko rôznych kytíc, v ktorých budú 3 kvety mohla kvetinárka urobiť, ak mala v obchode už iba dve gerbery, dva klinčeky a dve ruže? 11. V nedeľu si Peter vychutnal oslavu so svojou rodinou ešte raz. Pozvali starých rodičov. Mamička si vyberala zo 4 druhov polievok, 7 hlavných jedál a 4 druhov múčnikov jeden kompletný obed. Koľko rozličných obedov, z ktorých každý pozostáva z polievky, hlavného jedla a múčnika mohla zostaviť? 4.2 MÔJ DOM, MÔJ HRAD 12. Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme vyfarbiť domček červenou, žltou a modrou farbou tak, aby na každom domčeku mala strecha, stena a dvere inú farbu. Koľko takých rôznych farebných domčekov možno vyfarbiť? 13. Slávna filmová hviezda má 12 osobných strážcov. Koľkými spôsobmi z nich môže vytvoriť dvojčlennú hliadku na stráženie svojho domu? 75

76 4 Úlohy z kombinatoriky 14. Kód na bezpečnostný alarm domu je súčet všetkých trojciferných čísel, ktoré možno vytvoriť z číslic 1, 2, 3, 4. Skúste vypočítať tento kód. 15. Koľko rôznych veží môžete postaviť, ak máte iba tieto štyri diely stavebnice? [Návod: Veža má na vrchu vždy iba strechu.] 16. Máte dve čierne a dve biele kocky. Postavte ich na seba. Vznikne veža, ktorá je vysoká štyri kocky. Koľko farebne rôznych veží môžete takto postaviť? Riešenie Kocky rovnakej farby sú rovnaké. 76 Môžeme postaviť šesť farbene rôznych veží. 17. Máme tri červené a tri modré kocky. Z nich vyberieme 4 a postavíme vežu. Koľko farebne rôznych veží takto získame? 4.3 TURNAJE A SÚŤAŽE 18. Na deň detí sa každý rok organizuje turnaj vo volejbale pre siedmy, ôsmy a deviaty ročník. Hrá sa systémom každý s každým po jednom zápase. Koľko zápasov sa odohrá, ak sa prihlási z každého ročníka A trieda aj B trieda? 19. Učiteľka tanca prihlásila tanečnice na súťaž. Z piatich tanečníc mala na nácvik nového tanca vybrať tri. Nevedela sa rozhodnúť, ktoré tri vybrať, preto žrebovala. Na papieriky napísala všetky možné trojice tanečníc. Koľko papierikov potrebovala? Riešenie Nech sa tanečnice volajú Alžbetka, Danka, Gabika, Katka a Veronika. Vytvoríme si ktorej označíme tri vybrané dievčatá hviezdičkou: Alžbetka * * * * * * Danka * * * * * * Gabika * * * * * * Katka * * * * * * Veronika * * * * * * Máme desať možností na výber troch dievčat z desiatich.

77 4 Úlohy z kombinatoriky 20. Pred záverečným kolom jesennej časti futbalovej ligy je známe, že na prvých troch miestach v tabuľke sa umiestnia: Slovan Bratislava, FC Košice, Spartak Trnava. Napíšte všetky možné konečné poradia mužstiev na prvých troch miestach. 21. Hokejový zápas skončil s výsledkom 5:2. Koľko existuje priebehov zápasu, ak jednotlivé tretiny skončili: 2:1, 2:1, 1: Zuzka a Evka súťažili hádzaním bielej, čiernej a sivej kocky. Ak na kockách padol súčet 7, vyhrala Zuzka. Ak padol súčet 15, vyhrala Evka. Ak padol iný súčet, hádzali ďalej. Hrali už dosť dlho a Zuzka začala veľmi vyhrávať. Evka sa tomu čudovala. Je to náhoda, alebo si myslíš, že Zuzka má väčšiu šancu vyhrať? Riešenie Zuzka - súčet 7 dostaneme pomocou kombinácií nasledujúcich trojíc: 7= , 7= , 7= , 7= Musíme pritom uvažovať aj o tom, že nie je jedno, na ktorej kocke padne aké číslo. 1. možnosť 2. možnosť 3. možnosť 4. možnosť 5. možnosť 6. možnosť 7. možnosť 8. možnosť 9. možnosť 10. možnosť 11. možnosť 12. možnosť 13. možnosť 14. možnosť 15. možnosť Evka - súčet 15 dostaneme pomocou kombinácií nasledujúcich trojíc: 15 = , 15= , 15=

78 4 Úlohy z kombinatoriky 1. možnosť 2. možnosť 3. možnosť 4. možnosť 5. možnosť 6. možnosť 7. možnosť 8. možnosť 9. možnosť 10. možnosť Zuzka nevyhrávala náhodou, pretože má 15 možností na výhru, Evka iba 10. Zuzka má väčšiu šancu vyhrať. 23. Aj Lukáš si chcel zahrať so Zuzkou, ale dohodli si iné pravidlá. Hádžu dvoma hracími kockami. Ak na kockách padne súčin 12, vyhráva Lukáš, ak padne súčin 18, vyhráva Zuzka. Inak hádžu ešte raz. Majú obaja rovnakú šancu vyhrať? 24. V urne je červená, modrá a biela guľka. Súťažiaci vytiahne prvú guľku, potom ju vloží do urny naspäť a vytiahne druhú guľku, ktorú opäť vloží naspäť a ťahá tretiu guľku. Vyhráva vtedy, ak v trojici vytiahnutých guliek nie je červená. Napíšte všetky možné trojice guliek, ktoré súťažiaci mohol vytiahnuť. Podčiarknite vyhrávajúce trojice guliek. Riešenie Prvým ťahom môže súťažiaci vytiahnuť červenú, modrú alebo bielu guľku. Všetky možné trojice sú tieto: ččč, ččm, ččb, čmč, čmm, čmb, čbč, čbm, čbb, mčč, mčm, mčb, mmč, mmm, mmb, mbč, mbm, mbb, bčč, bčm, bčb, bmč, bmm, bmb, bbč, bbm, bbb. Všetkých možných ťahov je 3.3.3=27. Výherné možnosti sme podčiarkli, je ich osem. 78

79 4 Úlohy z kombinatoriky 25. Základná škola má štyri ôsme triedy: 8.A, 8. B, 8. C a 8. D. Z každej triedy vybrali na šachový turnaj jedného žiaka. Žiaci hrali systémom každý s každým 2 zápasy. V druhom si vymenili farbu figúrok. Koľko šachových stretnutí bolo odohraných na tomto turnaji? 26. Z triedy, v ktorej je 14 chlapcov a 8 dievčat, majú na záverečný večierok vybrať dvojicu chlapec dievča, ktorá má moderovať program na večierku. Koľkými spôsobmi môžu túto dvojicu vybrať? Riešenie V dvojici má byť jeden chlapec, ktorého možno vybrať zo štrnástich chlapcov, takže máme 14 možností. V danej dvojici má byť jedno dievča, ktoré možno vybrať z 8 dievčat, takže máme 8 možností. Keďže ku každému vybranému chlapcovi možno vybrať každé dievča, počet všetkých spôsobov na výber danej dvojice určíme pomocou súčinu 14.8 = 112. Dvojicu chlapec dievča môžeme vybrať 112 spôsobmi. 4.4 CESTUJEME OKOLO SVETA 27. Firma Pompa sídli v Paríži a má svoje pobočky na každom kontinente okrem Antarktídy, a to v mestách Johannesburg, New York, Peking a Sydney. Riaditeľ chce navštíviť každú pobočku v čo najkratšom čase a vrátiť sa do Paríža. Pomôžte mu naplánovať cestu okolo sveta, keď má k dispozícii súkromné lietadlo. 79

80 4 Úlohy z kombinatoriky 28. Na vrchol kopca vedú štyri značkované chodníky: modrý, žltý, červený a zelený. Koľkými spôsobmi môže Peter absolvovať výlet na vrchol a späť, ak naspäť chce ísť iným chodníkom ako na vrchol? 29. Poštár má doručiť telegramy na miesta a) A, B, C, b) A, B, C, D a vrátiť sa na poštu. Nájdi všetky možnosti, v akom poradí tak môže urobiť. Ktorá z nich je najkratšia? a) b) A A 5,1 km C 3,5 km C 2,1 km 3 km 1,9 km 1,6 km Pošta 4,6 km 3,4 km 4,7 km 1,7 km 2,9 km Pošta 2,9 km 2,7 km B B 5,4 km D 30. Na lístkoch mestskej hromadnej dopravy sa používalo 9 políčok s číslami od 1 po 9. Dierkovací strojček vždy prederaví nastavený počet čísel. Koľko dní po sebe môže byť lístok označený rôznym spôsobom dierkovania, ak strojček nastavíme na dierkovanie a) dvoch, čísel, b) troch, c) štyroch čísel? [Návod: výber čísel 1, 2, 5 je ten istý ako 5, 1, 2.] 31. Ivan a Martin chcú navštíviť spolužiakov, ktorí bývajú v susednej dedine. Môžu ísť peši, na bicykloch alebo autobusom. Každý z nich navrhol, ako chce ísť. Mohli sa rozhodnúť aj rovnako. Zistite, koľko rôznych návrhov mohli takto vytvoriť? 80

81 4 Úlohy z kombinatoriky 32. Nájdi všetky cesty, ktorými sa auto bez porušenia predpisov dostane: a) k domčeku, b) na most. [Dopravné značky znamenajú:, - zákaz odbočiť,,, - prikázaný smer jazdy.] 4.5 ĎALŠIE ÚLOHY Z KOMBINATORIKY 33. Koľko trojciferných čísel môžeme napísať pomocou číslic 1, 2, 3, ak sa číslice a) nemôžu opakovať, b) môžu opakovať? 34. Janko dostal od začiatku roka tri rôzne známky z matematiky. Napíš, aké známky môže mať. 35. Do krúžkov napíšte znamienko + alebo -. Znamienka môžu byť aj rovnaké. Koľko rôznych výsledkov dostaneme? a) 7 5 6=, b) = 36. Do krúžkov napíšte znamienko +, -,., :. Znamienka môžu byť aj rovnaké. Koľko rôznych výsledkov dostaneme? ( 7 5 ) 6= 37. Koľkými spôsobmi môžeme vyfarbiť troma farbami polia štvorca 3 x 3 tak, aby sa v každom riadku a každom stĺpci vyskytovali všetky tri farby? 81

82 4 Úlohy z kombinatoriky 38. Zistite, koľkými rôznymi spôsobmi môžete zaplatiť mincami 2, 1, 0,50, 0,20 a 0,10 čokoládu, ak stojí a) 0,40, b) 1, Dané sú úsečky, ktoré majú dĺžky 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm a 7 cm. Koľko rôznostranných trojuholníkov možno z týchto úsečiek zostrojiť? [Návod: Nezabudnite na trojuholníkovú nerovnosť.] 40. Roztržitá sekretárka dala náhodne tri listy do troch obálok s adresou. Koľkými rôznymi spôsobmi mohla listy pomiešať? 41. V koľkých dvojciferných číslach sú len cifry 1, 2, 3? 4.6 SOS A MORSEOVKA Na vytvorení signálu SOS má zásluhu Samuel Morse ( ). Keď v roku 1837 skonštruoval svoj telegraf, chcel, aby sa dosiahol najrýchlejší možný prenos. Vytvoril kód, v ktorom sa pre písmená, číslice a pomocné znaky používajú konečné postupnosti krátkych a dlhých impulzov, stručne povedané bodky a čiarky. Tento kód poznáme pod názvom Morseova abeceda, hovorovo Morseovka. Rýchlosť prenosu sa zvýši, ak častejšie sa vyskytujúce písmená budú kódované kratšími postupnosťami. Traduje sa, že Morse navštívil tlačiarne a prehliadol sadziarňach. Morseovo si zásoby určovanie písmen v početnosti písmen v angličtine sa považuje za prvú prácu vo vedeckom odbore, ktorý neskôr dostal názov teória informácií. Morse zistil, že rovnakú početnosť majú písmená I, N, O, S. Musel sa rozhodovať, ktorým z týchto písmen priradí vo svojej abecede tri bodky a tri čiarky. Určil ich pre písmená S a O, takže tiesňový signál je v Morseovej abecede zakódovaný takto: Tento signál môže vysielať a prijímať i nie príliš skúsený amatér. 82

83 4 Úlohy z kombinatoriky Morseova abeceda: A. I.. R.. B... J. S... C.. K. T D.. L... U.. E. M V... F... N. X.. G. O Y. H.... P.. Z Písmená I, N, O, S mali podľa Morseových zistení v anglických textoch rovnakú početnosť. Vypočítajte, koľkými rôznymi spôsobmi im mohol Morse priradiť tri bodky a tri čiarky, a koľko rôznych tiesňových volaní by dostal? Riešenie... Tiesňový kód I N INI I O IOS I S ISI N I NIN N O NON N S NSN O I OIO O N ONO O S OSO S I SIS S N SNS S O SOS Týmto štyrom písmenám by mohol Morse priradiť tri bodky alebo tri čiarky 12 spôsobmi. 43. Na koľko písmen postačia jednomiestne, dvojmiestne, trojmiestne a štvormiestne kódy? 4.7 LOTÉRIA LOTO A PASCALOV TROJUHOLNÍK Lotéria je jednou z najobľúbenejších a najstarších foriem zábavy spomedzi hazardných hier, ktorá počas svojej existencie prešla mnohými zmenami. Prvé zmienky o hazardných hrách nájdeme už v 3. storočí pred naším letopočtom. Prvé známky o európskej lotérii pochádzajú z čias Rímskej ríše a slúžili ako prostriedok na rozdelenie majetku, alebo vojnovej koristi. Rímsky cisár Gaius Julius Cézar, aby potešil svojich hostí, ich obdaroval tak, že hostia si ťahali lístky s názvami darov. 83

84 4 Úlohy z kombinatoriky Prvou peňažnou lotériou na území Európy bola v 16. storočí talianska lotéria z Florencie La Lotto de Firenze. Tikety sa po prvýkrát začali predávať za peniaze a výhry sa vyplácali v hotovosti. Na Slovensku sa v roku 1953 zrušili peňažné výhry a na trhu zostali len vecné lotérie. Takáto forma však nemohla nahradiť vzrušenie z hry a nasledovalo rozšírenie nelegálnych stávkových kancelárií. Preto v roku 1957 vznikla Československá štátna lotéria a znovu sa začalo hrať o peniaze. Obrovskú diskusiu v roku 1958 rozpútala na tú dobu neuveriteľne vysoká výhra korún. 44. Na obrázku je znázornený labyrint. Medzi domčekmi tohto labyrintu sa dá premávať len na vyznačených cestách. Šípky ukazujú smer možnej premávky. Do každého domu zapíšte, koľkými cestami sa k nemu dostanete, ak vychádzate z miesta štart. 45. Vypočítajte, koľko mien musíte hľadať, ak ste na domácu úlohu z dejepisu dostali napísať svoj rodokmeň päť generácií dozadu? Riešenie Začínam sebou, ja som prvá generácia. Mám dvoch rodičov, mamu a otca. Každý z nich má tiež dvoch rodičov, to sú štyria starí rodičia. Ja - dieťa Počet rodičov = 2 Počet starých rodičov = 4 Počet pra-starých rodičov = 8 Počet pra-pra-starých rodičov = 16 Spolu máme za päť generácií =31 mien. 84

85 4 Úlohy z kombinatoriky Všimnime si, že čísla v trojuholníkoch z predchádzajúcich dvoch úloh sú rovnaké. Tento trojuholník čísel nazývame Pascalov trojuholník. Môžeme ho ľubovoľne ďalej rozširovať. Stačí dopĺňať po okrajoch jednotky a vnútri vždy pod každé 2 čísla napísať ich súčet. Najvyšší riadok je nultý, obsahuje iba jednu jednotku. nultý stĺpec nultý riadok 1 prvý stĺpec prvý riadok 1 1 druhý stĺpec druhý riadok tretí stĺpec tretí riadok štvrtý stĺpec štvrtý riadok Ukážeme si rýchly spôsob hľadania čísel v tomto trojuholníku. Vypočítajme napríklad piate číslo v sedemnástom riadku (pozor, počítame od nuly!) Pascal to zapísal 17. Toto číslo nazývame kombinačné číslo a čítame ho sedemnásť 5 nad piatimi. Ako ho vypočítať? Napíšeme zlomok, do menovateľa ktorého dáme súčin prirodzených čísel od 1 po 5 (5 je dolné číslo kombinačného čísla) a do čitateľa súčin prirodzených čísel od 17 po 13 (začíname horným číslom kombinačného čísla, potom násobíme toľko po sebe idúcich čísel, koľko je dolné číslo). 5 po sebe idúcich prirodzených čísel Dostaneme výsledok = = Načo je vlastne Pascalov trojuholník dobrý? Jeho využitie ukážeme na nasledujúcich príkladoch. 46. Vypočítajte, koľkými spôsobmi môže tréner vybrať 3 útočníkov z 9 hokejistov, ak nezáleží, ktorý bude hrať na ľavej a pravej strane alebo v strednom poli. Riešenie Vyberáme troch hokejistov z deviatich, pri výpočte si pomôžeme kombinačným číslom Počítame: = = Troch útočníkov môže tréner vybrať 84 spôsobmi. 85

86 4 Úlohy z kombinatoriky 47. V hre LOTO sa žrebuje 6 čísel zo 49. Jeden tip stojí 0,66 a hlavná výhra je ,62. Oplatí sa podať všetky možné kombinácie? Riešenie Koľkými rôznymi spôsobmi sa dá zo 49 čísel vybrať šestica? Vypočítame to pomocou kombinačného čísla = = Dostali sme možných tipov. Keby sme podali každý z nich, zaplatili by sme ,56. Keďže hlavná výhra je iba ,62, nie je zaručené, že by sme boli ziskoví. Nemôžeme s istotou tvrdiť, že by sa nám podané peniaze vrátili. 4.8 MINI KAKURO Kakuro je logická hra, ktorá vznikla v Japonsku. Názov vznikol zo skratky japonského slova sčítanie a japonskej výslovnosti anglického slova cross. Rieši sa podobne ako krížovky, s tým rozdielom, že do prázdnych štvorcov sa namiesto písmen dopĺňajú čísla. V každom riadku a stĺpci sa nachádza vodiaci štvorec, ktorý nám určuje súčet, ktorý musia dosiahnuť čísla v riadku napravo od štvorca alebo v stĺpci pod týmto štvorcom. Tieto súčty sú rôznymi kombináciami čísel. Napríklad súčet 5 môžeme vyjadriť pomocou dvoch čísel ako 1 a 4, alebo 2 a 3. Cieľom je zaplniť prázdne štvorce číslami od 1 po 9, pričom v nijakom riadku ani stĺpci sa nijaké číslo nesmie opakovať. Naše krížovky sme nazvali Mini Kakuro, pretože budeme dopĺňať iba čísla od 1 po 5. Ako pomôcku uvádzame tabuľky výsledkov a kombinácií čísel, ktoré budete potrebovať: skupiny 2 čísel: skupiny 3 čísel: súčet kombinácie čísel súčet kombinácie čísel 3 1, 2 6 1, 2, 3 4 1, 3 7 1, 2, 4 5 1, 4; 2, 3 8 1, 2, 5; 1, 3, 4 6 1, 5; 2, 4 9 1, 3, 5; 2, 3, 4 7 2, 5; 3, , 4, 5; 2, 3, 5 8 3, , 4, 5 9 4, , 4, 5 86

87 4 Úlohy z kombinatoriky skupiny 4 čísel: skupiny 5 čísel: súčet kombinácie čísel súčet kombinácie čísel 10 1, 2, 3, , 2, 3, 4, , 2, 3, , 2, 4, , 3, 4, , 3, 4, Vyriešte Mini Kakuro: 49. Vyriešte Mini Kakuro: 50. Vyriešte Mini Kakuro: 51. Vyriešte Mini Kakuro: 87

88 4 Úlohy z kombinatoriky 52. Vyriešte Mini Kakuro: 53. Vyriešte Mini Kakuro: VÝSLEDKY možností 3. Hanka má 9 možností, Anička má 8 možností štrngnutí minút Nemajú rovnakú možnosť výhry, Lukáš má 4 a Zuzka stretnutí najkratšie možnosti: Paríž - Johannesburg - Sydney - Peking New York - Paríž, Paríž - New York - Peking - Sydney - Johannesburg Paríž spôsobov 29. a) 6 možností: P-A-B-C- P, P-A-C-B-P, P-B-A-C-P, P-B-C-A-P, P-C-A-B-P, P-C-B-A-P, najkratšie sú možnosti P-A-B-C-P, P-C-B-A-P b) 8 možností P-A-B-D-C-P, P-A-C-D-B-P, P-B-A-C-D-P, P-B-D-C-A-P, P-C-A-B-D-P, P-C-D-B-A-P, P-D-C- A-B-P, P-D-B-A-C-P, najkratšie sú P-A-B-D-C-P, P-C-D-B-A-P. 30. a) 36, b) 84, c) spôsobov 32. a) 4 cesty, b) 20 ciest spôsobov 33. a) 6, b) , 35. a) 4, b) a) 4, b) trojuholníkov čísel písmen 44 Š Štart

89 4 Úlohy z kombinatoriky

90

91 5 ÚLOHY Z TEÓRIE GRAFOV Skôr, ako začneme hovoriť o grafoch, všimnime si tieto situácie: (a) V triede sú žiaci pospájaní priateľskými vzťahmi. (b) Počítače v lokálnej sieti sú pospájané káblami. (c) Atómy v molekulách sú prepojené chemickými väzbami. (d) Vrcholy kocky sú pospájané hranami. (e) Križovatky sú pospájané ulicami. (f) Mestá a dediny sú navzájom pospájané železnicou. (g) V televízore sú súčiastky pospájané drôtmi. Čo majú situácie spoločné? V každej sú prvky, objekty (žiaci, križovatky, geometrické útvary) pospájané na základe určitých vzťahov (Zuzka sa kamaráti s Katkou, z jednej križovatky sa môžeme dostať na druhú, v kocke ABCDEFGH existuje hrana AB) a vytvárajú tým viac či menej pevný celok, štruktúru. Niekedy je dobré všímať si, ktoré znaky majú spoločné a ktoré rozdielne. Preto potrebujeme mať jednotné názvy pre každú takúto situáciu. Pre podobné štruktúry, ako sú uvedené vyššie, sa historicky vyvinul názov graf. Objekty nazývame vrcholmi a prvky vyjadrujúce vzťahy nazývame hranami. Veľmi často ich znázorňujeme obrázkom. Vrcholy kreslíme ako malý krúžok, hrany sú čiary spájajúce krúžky. Obrázok grafu nazývame diagram. Na nasledujúcich obrázkoch sú diagramy grafov (a) až (f). a) b) 91

92 5 Úlohy z teórie grafov c) molekula eténu d) kocka ABCDEFGH e) graf časti zelezničnej siete Slovenska f) graf časti mesta 5.1 NAJPRV SI TO ZNÁZORNÍME 1. Na večierok prišlo 9 ľudí. Každý z nich sa zoznámil práve a) so 4 ľuďmi, b) s 5 ľuďmi, c) so 6 ľuďmi. Nakreslite graf ich zoznámení. Riešenie a) Deväť ľudí znamená graf s deviatimi vrcholmi. To, že sa každý zoznámil práve so štyrmi ľuďmi znamená, že každý vrchol bude spojený (incidentný) so štyrmi hranami. Možností nakreslenia diagramu takéhoto grafu je niekoľko, dokonca aj graf nie je jediný. Dva príklady sú na nasledujúcom obrázku. 92

93 5 Úlohy z teórie grafov b) Ak sa pokúsime zostrojiť graf pre túto situáciu, budeme neúspešní. Deväť ľudí opäť znamená graf s deviatimi vrcholmi a to, že sa každý zoznámil práve s piatimi ľuďmi znamená, že každý vrchol by mal byť incidentný s piatimi hranami. To však znamená, že máme deväť vrcholov, z ktorých v každom začína (alebo končí) päť hrán, čiže máme 59 = 45koncov hrán. Každá hrana (tak ako každá palica) má dva konce, a preto nám jeden koniec hrany zostane. Graf splňujúci dané podmienky neexistuje, takáto situácia nemôže nastať. Vo všeobecnosti platí: V každom grafe musí byť párny počet vrcholov nepárneho stupňa. Graf s nepárnym počtom vrcholov nepárneho stupňa NEEXISTUJE. c) Tento prípad si skúste vyriešiť sami. Nezabudnite najprv zistiť, či takýto graf existuje. 2. Začínajú prázdniny a kamarátky Zuzka, Majka, Katka, Danka a Slávka idú so svojimi rodičmi na dovolenku každá na iný koniec sveta. Dohodli sa, že si nebudú posielať pohľadnice vzájomne, ale každá pošle rovnaký počet pohľadníc kamarátkam. Koľko pohľadníc pošle každá? Navrhnite spôsob korešpondencie a zostrojte jeho graf. 3. Sedem priateliek sa dohodlo, že si budú po dvojiciach písať listy. Môžu to zariadiť tak, aby si každá písala práve a) s jednou z nich, b) s dvoma, c) s tromi, d) so štyrmi? 4. Na šachovom turnaji sa zúčastňuje 5 hráčov, označíme ich A, B, C, D, E. Doteraz sa odohrali tieto zápasy: C-A, D-C, E-B, D-E, C-B. a) Ako možno pomocou grafu znázorniť dvojice hráčov, ktorí medzi sebou už odohrali? b) Znázornite dvojice hráčov, ktorí medzi sebou ešte nehrali. c) Znázornite stav turnaja, ak hráč na prvom mieste zápas vyhral. Ako zistíme priebežné umiestnenie hráča? Riešenie a) Každý hráč bude reprezentovaný vrcholom grafu a dva vrcholy budú spojené hranou (susedné), ak hráči spolu už odohrali zápas. Zostrojený graf nazvime G. b) Zostrojiť graf tejto situácie nie je nič zložité. V grafe budú susedné práve tie hrany, ktoré nie sú susedné v grafe G. c) Aby sme vedeli, kto vyhral, priradíme každej hrane grafu G smer, čiže orientáciu. Znázorníme ju šípkou, ktorá bude smerovať od víťaza k porazenému. Pozrime sa teraz na stav turnaja. Hráč A odohral zatiaľ iba jeden zápas (a aj ten prehral). Hráč B odohral a prehral dva zápasy. Hráč E vyhral jeden zápas a jeden zápas prehral. Hráči C a D vyhrali po dvoch zápasoch. Ako rozhodneme, ktorý z nich bude na prvom mieste? Podľa ich vzájomného zápasu, ktorý vyhral hráč D. Výsledné poradie je teda: 93

94 5 Úlohy z teórie grafov 1. miesto hráč D 2. miesto hráč C 3. miesto hráč E 4. miesto hráč B 5. miesto hráč A. a) b) c) 5. Na futsalovom turnaji sa zúčastnilo 6 mužstiev. Po druhom dni vyzerala tabuľka odohraných zápasov nasledovne: Galantskí šarkani : Oponické tigre 3 : 0 Párovské rakety : Klokočinskí gangstri 3 : 4 Lapášski diabli : Šalianski borci 6 : 1 Oponické tigre : Párovské rakety 0 : 1 Galantskí šarkani : Lapášski diabli 3 : 1 Klokočinskí gangstri : Šalianski borci 0 : 5 Znázornite priebeh turnaja grafom, vyznačte víťazov zápasov a určte priebežné poradie. 6. Vo futbalovom turnaji hrá 11 mužstiev. Je možné, aby v určitom čase 6 mužstiev z nich malo odohrané po 4 zápasy, 3 mužstvá po 3 zápasy a 2 mužstvá po 2 zápasy? 7. Na obchodnú poradu prišiel Američan, Švajčiar, Kanaďan, Brazílčan a Francúz. Američan (A) ovláda angličtinu a španielčinu, Švajčiar (Š) francúzštinu, nemčinu a taliančinu. Kanaďan (K) angličtinu a francúzštinu, Brazílčan (B) sa dohovorí po španielsky a portugalsky, Francúz (F) len svojou materinskou rečou. Dvojice, ktoré sa nedohovoria priamo, musia mať priradených tlmočníkov. Zistite, koľko tlmočníkov je treba a medzi akými jazykmi tlmočia. Znázornite grafom priradenie tlmočníkov účastníkom porady. 94

95 5 Úlohy z teórie grafov 8. V kaviarni bolo 12 ľudí, ktorí si posadali v skupinách k niekoľkým stolíkom. Každý z nich pri príchode podal ruku všetkým osobám, ktoré sedeli pri jednom stolíku. Bystrý pozorovateľ si všimol, že celkove sa vymenilo 19 podaní rúk. Pri koľkých stolíkoch sedeli hostia a koľko ich bolo pri každom stolíku? 9. Traja priatelia, Adam, Boris a Cyril sa spolu so svojimi manželkami zabávali. Keď dotancovali so svojimi manželkami, išli do nového kola a teraz ani jeden netancoval so svojou manželkou. Adam tancoval s Evou, Boris s Františkou a Dana s manželom Evy. Viete zostaviť manželské páry? 5.2 JEDNÝM ŤAHOM Mesto Kráľovec (Kaliningrad) sa rozprestiera na brehoch rieky Pregel. Na tejto rieke sú dva ostrovy. Brehy rieky a ostrovy boli spojené siedmimi mostmi. Niekto vymyslel hádanku, či sa dá prejsť po každom moste práve raz a vrátiť sa späť na miesto, odkiaľ sme vyšli. Obyvateľov táto hádanka zaujala, pokúšali sa ju rozriešiť. Dokonca sa na výsledky jednotlivých pokusov uzatvárali aj stávky. Skúsme Kráľovčanom pomôcť. Na rozdiel od nich, my už niečo vieme o teórii grafov. Skúsme si situáciu znázorniť pomocou grafu. Vrcholmi grafu bude pevnina, čiže brehy rieky a ostrovy na rieke. Mosty, ktoré ich spájajú budú hranami grafu. Touto úlohou sa zaoberal aj Leonard Euler, ktorý je považovaný za najproduktívnejšieho matematika v histórii. Zistil, že ak sa dá takáto prechádzka realizovať, bude sa dať graf nakresliť jedným ťahom. To ho inšpirovalo k tomu, aby zistil, aký obrázok (graf) sa dá nakresliť jedným ťahom a aký nie. 95

96 5 Úlohy z teórie grafov 10. Zistite, či sa obrázok mostov mesta Kráľovca dá nakresliť jedným ťahom alebo nie. Riešenie Vrchol, v ktorom ťah začína, nazvime počiatočný a ostatné vrcholy vnútorné. Ak hrana grafu do vnútorného vrcholu vchádza, musí z neho aj vychádzať. To znamená, že každý vnútorný vrchol musí byť incidentný s párnym počtom hrán, teda mať párny stupeň. Z počiatočného vrcholu vychádza prvá hrana bez toho, aby sme doň najprv vošli. Ak sa do tohto vrcholu dostaneme počas ťahu, tak z neho aj vyjdeme. Posledná hrana ťahu končí v počiatočnom vrchole a spári sa s prvou hranou, teda aj počiatočný vrchol musí mať párny stupeň. Z toho vyplýva, že každý vrchol musí mať párny stupeň, aby sa obrázok dal nakresliť jedným ťahom. Ak nebudeme trvať na tom, aby ťah začínal aj končil v tom istom vrchole, podmienka sa zmení. Bude stačiť, aby všetky vrcholy okrem dvoch boli párneho stupňa. Ťah bude začínať aj končiť vo vrchole nepárneho stupňa. Ťah, ktorým nakreslíme celý graf a zároveň začína a končí v tom istom vrchole nazývame uzavretý eulerovský ťah. Ťah, ktorým nakreslíme celý graf, začína v jednom vrchole a končí v inom vrchole nazývame otvorený eulerovský ťah. Grafy, ktoré môžeme nakresliť uzavretým eulerovským ťahom, nazývame eulerovské grafy. Graf mostov mesta Kráľovca má štyri vrcholy nepárneho stupňa, čiže sa jedným ťahom nakresliť nedá. 11. Rozhodnite, ktorý z nasledujúcich grafov sa dá zostrojiť otvoreným eulerovským ťahom, ktorý uzavretým eulerovským ťahom a ktorý sa jedným ťahom nakresliť nedá. 12. Zistite, či sa dajú nasledujúce grafy nakresliť jedným ťahom. Ak áno, rozhodnite, či ide o otvorený alebo uzavretý ťah. a) b) 96

97 5 Úlohy z teórie grafov c) d) e) f) 13. V meste rozloženom na ostrovoch Α, B, C a brehoch D, E jednej rieky bolo vybudovaných 8 mostov takto: A je spojené s B dvoma mostmi, C je spojené s D dvoma mostmi, A je spojené s E jedným mostom, A je spojené s C jedným mostom, B je spojené s ostrovom C jedným mostom a jeden most spája brehy E a D. Päť spolužiakov bývajúcich v rôznych častiach mesta malo na návšteve hostí, ktorí pricestovali v noci, takže nemali možnosť prezrieť si mesto. Spolužiaci sa rozhodli previesť ich mestom tak, že prejdú každým mostom mesta práve raz a svoju vychádzku ukončia v cukrárni na ostrove B. Komu sa takto plánovaná vychádzka môže podariť? 5.3 NAJKRATŠIA CESTA 14. Zistite vzdialenosť všetkých vrcholov grafu G od vrcholu u. 97

98 5 Úlohy z teórie grafov Riešenie Všetky vrcholy grafu ohodnotíme. Hodnota vrcholu bude znamenať jeho vzdialenosť od vrcholu u. Vrcholu u priradíme hodnotu 0, všetkým vrcholom, ktoré s ním susedia hodnotu 1. Vyberieme ľubovoľný vrchol s hodnotou 1. Nájdeme všetky neohodnotené vrcholy susedné s vybraným vrcholom a priradíme im hodnotu 1+1=2. Pokračujeme pre všetky vrcholy s hodnotou 1. Keď sa minú, pokračujeme vrcholmi s hodnotou 2 a priradíme im hodnotu = 3. Tu sa naša snaha končí, máme ohodnotené všetky vrcholy. Priebeh riešenia vidíme na obrázku nižšie. 15. Na obrázku je mapa časti Manhattanu. Ulice sú v tvare mriežky, vzdialenosti medzi križovatkami sú rovnaké. Päť priateľov býva na rôznych križovatkách vyznačených bodkami. Kde sa majú stretnúť, aby vzdialenosť, ktorú majú prejsť bola čo najkratšia? 16. Vo východnej časti portugalskej provincie Algavre blízko španielskych hraníc leží mesto, ktorého ulice sú v tvare mriežky, tak ako na Manhattane. Tento systém sa uplatnil už v mestách starovekého Grécka. Päť priateľov žije na rôznych rohoch označených krúžkami. Chcú sa stretnúť a zájsť spolu na kávu. Na ktorej križovatke by sa mali stretnúť, aby bol súčet vzdialeností, ktoré majú prejsť všetci piati, čo najmenší? 98

99 5 Úlohy z teórie grafov 17. Dvaja kamaráti, Jurko a Ferko bývajú v Bratislave. Cez prázdniny chcú ísť navštíviť Jurkovu starú mamu, ktorá žije v Prievidzi. Ich vreckové nie je veľké, majú však veľa času. Aby ušetrili, pomôžme im nájsť najkratšiu cestu z Bratislavy do Prievidze. Potrebné údaje o vzdialenostiach jednotlivých obcí (železničných križovatiek) sú uvedené v nasledujúcom grafe. Hodnota hrany znamená vzdialenosť medzi vrcholmi v kilometroch. Riešenie Úlohu budeme riešiť podobne, ako keď bola vzdialenosť medzi vrcholmi rovnaká. Postupne zistíme vzdialenosť všetkých vrcholov od vrcholu BA Bratislava. Najprv ohodnotíme susedné vrcholy vrcholu BA. Ich hodnota bude rovná hodnote hrany, ktorá ich spája. Vrcholy budú mať takéto hodnoty: Nové Zámky (NZ) 95, Galanta 49, Leopoldov

100 5 Úlohy z teórie grafov Potom vezmeme vrchol s najnižšou hodnotou (v našom prípade Galanta) a ohodnotíme jeho susedov. Ak susedný vrchol už ohodnotený je, zistíme, či sa cez Galantu cesta nedá skrátiť. Vzdialenosť Bratislava Leopoldov cez Galantu by bola 79 km. Cesta by bola dlhšia, tak ponecháme pôvodné označenie. Cesta Bratislava Nové Zámky cez Galantu bude mať dĺžku 49 km + 44 km = 93 km, čo je o 2 km menej ako predchádzajúce ohodnotenie. Cez Galantu sa teda ísť oplatí, ušetríme dva kilometre. Vrcholu NZ teda priradíme novú hodnotu, bude to 93. Ďalšie najmenšie ohodnotenie má vrchol Leopoldov. Cestu do Galanty už skúšať nemusíme, bola najkratšia zo všetkých, takto by sme ju mohli iba natiahnuť. S vrcholom Leopoldov susedí iba jeden nový vrchol. Je to vrchol Zbehy. Ak chceme ísť z Bratislavy do Zbehov cez Leopoldov, musíme prejsť najskôr 64 km do Leopoldova a potom ešte 24 km do Zbehov. To je spolu 88 km, čo bude aj hodnota vrcholu Zbehy. Takýmto spôsobom ohodnotíme všetky vrcholy grafu. Dostaneme ohodnotenie ako na obrázku vpravo. Už nám zostáva iba určiť trasu najkratšej cesty, čiže vrcholy, cez ktoré vedie. Najkratšia cesta z Bratislavy do Prievidze vedie cez Leopoldov, Zbehy a Jelšovce a má dĺžku 159 km. Ak chcú chlapci ušetriť, mali by ísť po najkratšej ceste. Na ceste za Jurkovou starou mamou prejdú 159 km. 18. Karkulka (K) sa rozhodla navštíviť babičku (B). Kadiaľ má ísť, aby jej cesta bola čo najkratšia? Vo vrchole V grafu býva vlk. Aj on ide najkratšou cestou ku babičke. Môže stretnúť Karkulku? 100

101 5 Úlohy z teórie grafov 19. Spolužiaci Jožko (J) a Miško (M) sa hádajú, kto býva ďalej od školy (S). Rozsúďte ich! Graf ich sídliska je na nasledujúcom obrázku. 20. Poznáš tabuľku najkratších vzdialeností miest a plán miest aj ciest. Na pláne máš iba jedinú vzdialenosť. Dopíš mená miest a ich vzdialenosti. A B C D E F A x B 13 x C 9 22 x D x E x 27 F x 5.4 PREVOZY A PRELIEVANIA 21. Roľník sa vracia z trhu, kde kúpil kozu, mladého vlka a kapustu. Na ceste domov sa musí preplaviť cez rieku. Jeho loďka je malá, a preto môže na ňu so sebou vziať iba jednu z troch kúpených vecí. Na brehu nemôžu zostať koza a kapusta (pretože by ju koza zjedla), ani koza s vlkom (pretože by ho koza pohrýzla). Ako dostane všetko na druhý breh (bez ujmy)? Riešenie Túto starú úlohu môžeme vyriešiť veľmi názorným spôsobom, ktorý opísal Dénes Kőnig. Najprv je na ľavom brehu štvorica roľník koza vlk- kapusta, ktorú stručne označíme (r, ko, v, ka). Ďalej sú na ľavom brehu prípustné trojice (r, ko, ka), (r, ko, v), (r, ka, v), dvojice (r, ko) a (ka, v) a samostatne tu môže zostať (v), (ko), (ka). Konečný stav, pri ktorom prievozník, koza, vlk aj kapusta budú na pravom brehu označíme nulou. 101

102 5 Úlohy z teórie grafov Vymenovali sme 10 prípadov, ktoré môžu nastať na ľavom brehu rieky. Overte si, že sú všetky. Každý z týchto prípadov budeme reprezentovať vrcholom grafu. Dva vrcholy budú susedné, ak je možné sa dostať z jedného stavu do druhého jedinou cestou lodičky. Ako sa môžeme dostať zo stavu (v) do stavu (r,ko,v)? No predsa tak, že roľník privezie späť kozu. Na nájdenie riešenia stačí nájsť najkratšiu cestu z vrcholu (r,ko,v,ka) keď je všetko na ľavom brehu do vrcholu 0, keď na ľavom brehu už nikto a nič nezostalo. Možnosti, ako to urobiť sú dve. Nájdite ich! 22. Traja misionári a traja kanibali sa stretli na jednom brehu rieky. Na brehu bola malá loďka, na ktorú sa zmestia maximálne dvaja. Všetci by sa chceli prepraviť na druhý breh, ale na žiadnom brehu nesmie nikdy zostať prevaha kanibalov nad misionármi, inak by mohlo dôjsť k tragédii. 23. Rodičia s dvoma deťmi - synom a dcérou - prišli k širokej rieke. Široko ďaleko nebol žiaden most. Našťastie si všimli, že kúsok ďalej po prúde sedí nejaký rybár v loďke a loví ryby. Požiadali ho teda o prevoz. Rybár povedal: Veľmi rád. Ale lodička je malá, unesie najviac jednu dospelú osobu, alebo dve deti." Ako to urobia, aby sa celá rodinka dostala na druhý breh a odovzdali loďku naspäť rybárovi? 24. Traja ľudia, jedna veľká opica a dve malé opice chcú prejsť cez rieku. Iba ľudia a veľká opica dokážu veslovať. V žiadnom momente nemôže byť na brehu viac opíc ako ľudí (môžete hádať prečo). Do lode sa vojdú iba dvaja. Opice dokážu na brehu vyskočiť aj naskočiť do lode. Ako sa dostanú všetci na druhý breh? 25. Jedna rodinka sa chce dostať na druhú stranu tunela. Tato prejde tunel za 1 minútu, mama za 2 minúty, syn za 4 a dcéra za 5 minút. Cez úzky tunel bohužiaľ môžu naraz prejsť maximálne dvaja pričom sa pohybujú rýchlosťou toho pomalšieho. Môžu všetci prejsť na druhú stranu, ak majú len jednu baterku, ktorá vydrží svietiť len 12 minút a všetci trpia tmofóbiou (strachom zo tmy), takže si musia celou cestou svietiť? 102

103 5 Úlohy z teórie grafov 26. Máte päť- a trojlitrovú nádobu a neobmedzené množstvo vody. Ako pomocou týchto nádob zmeriame presne 4 litre vody? 27. Máte tri nádoby: osem-, päť- a trojlitrovú. Cieľom je rozdeliť 8 litrov na polovice (4 + 4 litre) minimálnym počtom prelievaní. Ako to urobiť? 28. Máte 3 nádoby: sedem-, štvor- a trojlitrovú. Iba sedemlitrová je plná. Najmenším počtom prelievaní získajte množstvo 2, 2 a 3 litre. 29. Ako naberiete 6 litrov vody, ak máte iba štvor- a deväťlitrovú nádobu? 30. Zmerajte presne 2 litre vody ak máte: a) štvorlitrovú a päťlitrovú nádobu, b) štvorlitrovú a trojlitrovú nádobu. 31. Máte 3 nádoby. V nádobe A, ktorá je osemlitrová, je 5 litrov vody. V nádobe B, ktorá je päťlitrová, sú 3 litre vody. V nádobe C, ktorá je trojlitrová, sú 2 litre vody. Dokážete namerať v niektorej nádobe liter vody, ak budete prelievať len dvakrát? 5.5 PROBLÉM ČÍNSKEHO POŠTÁRA Úlohu čínskeho poštára navrhol a ako prvý začal riešiť čínsky matematik Kwan (1962). Vžime sa do situácie poštára. Denne musí prejsť všetky ulice svojho obvodu a vrátiť sa späť na poštu. Potrebuje si cestu naplánovať tak, aby bola čo najkratšia. Ak chceme tento problém vyjadriť pomocou grafov, predstavíme si obvod ako súvislý ohodnotený graf. Ohodnotenie hrany bude znamenať dĺžku ulice. Riešením problému bude taká postupnosť vrcholov a hrán, v ktorej sa každá hrana nachádza aspoň raz a má zo všetkých takýchto postupností najmenšie ohodnotenie. 32. Na obrázku je graf G obvodu jedného poštára. Riešte v ňom problém čínskeho poštára. Vychádza z pošty, ktorá je vo vrchole A. Aká dlhá je trasa obchôdzky, ak ohodnotenie hrán je v stovkách metrov? 103

104 5 Úlohy z teórie grafov Riešenie Najprv zistíme, či sa dá graf nakresliť jedným ťahom, teda či je eulerovský. Vtedy by na vyriešenie stačilo nájsť postup, ako nakresliť obrázok rajónu jedným ťahom. Poštár predsa musí prejsť po každej ulici a náš ťah ceruzkou by znamenal jeho chôdzu. Dá sa náš graf nakresliť jedným ťahom? Vidíme, že nie je, existujú v ňom vrcholy nepárneho stupňa. Sú to vrcholy R, Q, G, F, D, H, I a J. Niektoré hrany teda budeme musieť prejsť dvakrát. Budú najkratšie cesty medzi vymenovanými vrcholmi. V našom prípade sú to hrany RQ, DH, IJ a FG. Po našich úpravách sa už bude dať celý graf nakresliť jedným ťahom. Vyzerať bude takto: Už nám zostáva iba nájsť trasu pre poštára. Môže to byť napríklad táto: A B C D B G D H I J I K L I N L M N H D E F G F P Q G R Q R A 33. Strýčko Teodor je strážnikom v múzeu. Každú hodinu musí odísť z vrátnice, skontrolovať všetky exponáty a vrátiť sa späť na vrátnicu (vrchol V). Chodí po trase V-I-F-B-A-E-B- G-F-E-I-G-C-D-C-H-D-H-J-G-V-L-J-N-R-Q-L-P-O-P-K-O-K-I-L-M-Q-N-M-J-V. Jeho synovček Andrej mu raz povedal: Strýko, keby si chodil po ideálnej trase, mohol by si si ušetriť až 300 krokov za jednu obchôdzku. Mal Andrej pravdu? (ohodnotenie hrany znamená dĺžku chodby v krokoch). 104

105 5 Úlohy z teórie grafov 34. Manželka strýčka Teodora, strynka Anka je poštárka. Jej poštársky rajón je na obrázku. Aj jej Andrejko pomohol ušetriť nohy. Nájdite aj vy optimálnu pochôdzku pre strynku Anku. (Hodnota hrany znamená vzdialenosť v destiatkách metrov, Anka začína vo vrchole P- pošta). 35. Evka a Katka sú veľké milovníčky umenia. Často chodia do galérie. Vždy si chcú pozrieť všetky obrazy, čiže musia prejsť všetky chodby aspoň raz a vrátiť sa späť k východu (V). Na obrázku je plánik galérie. Pomôžte dievčatám nájsť najkratšiu trasu prehliadky. 5.6 PROBLÉM OBCHODNÉHO CESTUJÚCEHO Predpokladajme, že firma má filiálky v niekoľkých mestách, ktoré sú všetky navzájom prepojené priamymi leteckými linkami. Obchodný cestujúci potrebuje navštíviť všetky filiálky a potom sa chce vrátiť do mesta, z ktorého vyšiel. Letenky medzi jednotlivými mestami majú rôzne ceny, pretože tieto mestá majú rôzne vzdialenosti. Problém obchodného 105

106 5 Úlohy z teórie grafov cestujúceho spočíva v nájdení najlacnejšej (teda najkratšej) okružnej trasy. Ak použijeme reč teórie grafov, má sa v danom ohodnotenom súvislom grafe nájsť taký uzavretý ťah, ktorý: a) prechádza všetkými vrcholmi grafu; b) neprechádza žiadnym vrcholom viac ako raz; c) má zo všetkých takýchto ťahov najmenšiu dĺžku. Táto úloha sa veľmi podobá na problém čínskeho poštára. Rozdiel je v tom, že poštár musí prejsť každú hranu grafu, zatiaľ čo obchodný cestujúci každý vrchol grafu. 36. Trpaslíci Vedko, Šťastko, Dudroš, Hapčí, Spachtoš, Zábudlivko a Kýblik sa vracajú domov rozhnevaní. Kýblik sa pohádal so všetkými okrem Spachtoša (ten hádku prespal) a Zábudlivka (ktorý na ňu zabudol). Spachtoš sa však aj tak stihol pohnevať s Dudrošom a Šťastkom. Zábudlivko a Vedko sa kvôli zábudlivosti hádajú stále. Hapčí sa pohneval s Kýblikom a Dudrošom. S Dudrošom sa pohádal aj Šťastko. Trpaslíci, ktorí sa pohádali, nechcú pri stole sedieť vedľa seba. Je za tejto situácie možné, aby si sadli okolo okrúhleho stola? [Návod: Vytvorte graf, v ktorom každý vrchol bude reprezentovať jedného trpaslíka. Potom v ňom skúste nájsť kružnicu, ktorá obsahuje všetky vrcholy grafu.] 37. Majka Tárajka je známa jazyčnica. S každou novou klebetou musí obísť všetky kamarátky od dverí k dverám. Kadiaľ má ísť, aby sa nachodila čo najmenej? (A zostalo jej viac času na nové klebety!) Ohodnotenie hrany znamená vzdialenosť v metroch, Majka býva vo vrchole M. 106

107 5 Úlohy z teórie grafov 38. Zvieratká v lese si kúpili nový bicykel. Zajačik sa ponúkol, že ak ho bude môcť používať on, roznesie ráno všetkým zvieratkám noviny. Nájdite zajačikovi trasu, pri ktorej najazdí najmenej metrov. 39. Zajko bol už celkom zvyknutý na svoju trasu, keď sa zrazu v lese vylial potok a niektoré zvieratká sa museli presťahovať. Ako musel zajko zmeniť svoju trasu? VÝSLEDKY 2. Každá z kamarátok by mala napísať dve pohľadnice. 3. áno b) a d) nie a) a c) Galantskí šarkani; 2. Lapášski diabli; 3. Šalianski borci; 4. Klokočinskí gangstri; 5. Párovské rakety; 6. Oponické tigre. 6. Nie. 8. Hostia sedeli pri troch stolíkoch, pri prvom traja, pri druhom štyria a pri treťom piati. 9. Dvojice sú: Cyril-Eva; Adam-Františka; Boris-Dana. 11. Otvorený, uzavretý, neexistuje. 12. (a) Uzavretým. (b) Uzavretým. (c) Nedá sa. (d) Otvoreným. (e) Uzavretým. (f) Nedá sa, graf nie je súvislý. 13. Situáciu v meste si znázorníme do grafu. Prechádzka sa dá realizovať iba otvoreným eulerovským ťahom. V grafe majú nepárny stupeň dva vrcholy, B a D. Ak sa má ťah skončiť vo vrchole B, musí začať vo vrchole D. Prechádzka sa tak môže podariť iba spolužiakovi, ktorý býva na brehu D.15. Na križovatke Belmont Ave a Asforth St. 16. Na križovatke piateho bulvára a tretej ulice. 18. Karkulka a vlk sa na ceste ku babičke môžu stretnúť, pretože ich 107

108 5 Úlohy z teórie grafov najkratšie cesty majú spoločné hrany. 19. Miško býva od školy 300 m, Jožko 600 m, takže ďalej býva Jožko. 22. Tam turista a kanibal, späť turista. Tam dvaja kanibali, späť kanibal. Tam dvaja turisti, späť turista a kanibal. Tam dvaja turisti, späť kanibal, ktorý nakoniec odvozí na druhý breh svojich hladných kamarátov. 23. Najskôr sa previezli cez rieku deti. Syn sa vrátil späť a išiel otec. Potom sa vrátila dcéra a spolu s bratom išli k otcovi. Syn sa 20. vrátil a dal loďku matke. Tá prešla na druhý breh, do loďky nasadla dcéra a vrátila sa k bratovi. Obaja išli na druhú stranu k rodičom, dcéra vystúpila a chlapec sa vrátil. Dal loďku rybárovi, ktorý išiel na druhý breh, odovzdal loďku dievčaťu, tá sa vrátila pre brata, previezla ho a až potom odovzdali loďku rybárovi. Loďka musela 13-krát cez rieku. 24. Uvedené trojice predstavujú ľavý breh, loď a pravý breh. Symboly < a > označujú smer pohybu lode. H je človek, M je veľká opica, m je malá opica: HHHm Mm>.; HHHm <M m; HHH Mm> m; HHH <M mm; HM HH> mm; HM <Hm Hm; Hm HM> Hm; Hm <Hm HM; mm HH> HM; mm <M HHH; m Mm> HHH; m <M HHHm;. Mm> HHHm. 25. Najskôr prejde tato s mamou 2 minúty. Potom sa tato vráti 3 minúty, idú deti 8 minút. Mama sa vráti pre tata 10 minút, obaja prejdu na druhú stranu 12 minút! 26. Naplníme 5-litrovú nádobu a prelejeme vodu do 3-litrovej nádoby, ktorú potom vylejeme. Z 5-litrovej nádoby prelejeme zostávajúce 2 litre do 3-litrovej nádoby. Znovu naplníme 5-litrovú nádobu a dolejeme z nej do 3-litrovej nádoby 1-liter, takže v 5-litrovej nádobe nám zostanú potrebné 4 litre vody.27. Z 8-litrovej nádoby odlejeme 5 litrov do 5-litrovej nádoby, z 5-litrovej nádoby odlejeme 3 litre do 3-litrovej nádoby, tieto 3 litre vrátime späť do 8-litrovej nádoby, z 5-litrovej nádoby odlejeme zostávajúce 2 litre do 3-litrovej nádoby, z 8-litrovej nádoby odlejeme 5 litrov do 5- litrovej nádoby, z tejto 5-litrovej nádoby dolejeme chýbajúci liter do 3-litrovej nádoby v 5-litrovej nádobe nám zostali 4 litre vody, 3 litre z 3-litrovej nádoby vrátime do 8-litrovej nádoby - v 8-litrovej nádobe nám zostali 4 litre vody. 28. Postupne (trojice čísel znamenaju počet litrov v jednotlivých nádobách): (6 prelievaní) 29. Najprv naberiete vodu do 9-litrovej nádoby. Potom prelejete vodu do 4-litrovej nádoby (v 9-litrovej nádobe vám zostáva 5 litrov vody) a vodu zo 4 litrovej nádoby vylejete. Znovu prelejete vodu z 9-litrovej do 4-litrovej (v 9-litrovej vám zostáva už len liter) a opäť 4-litrovú vylejete. Potom prelejete ten jeden liter z 9-litrovej do 4-litrovej, ale teraz 4-litrovú nádobu nevylievate. Naplňte znovu 9-litrovú nádobu. A už stačí doliať 4-litrovú nádobu a v 9-litrovej vám zostane 6 litrov. 30. a) Naplňte 5-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej a tú vyprázdnite. Prelejte zostávajúci liter do 4-litrovej. Znovu naplňte 5-litrovú nádobu a prelejte z nej vodu do 4-litrovej nádoby (kde už je 1 liter) po okraj. A tak v 5-litrovej zostanú 2 litre. b) Podobný princíp tentokrát z opačného konca. Naplňte 3-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej. Znovu naplňte 3-litrovú, nalejte z nej do 4-litrovej a dva litre zostanú. 31. Prvé prelievanie: z nádoby A dolejeme jeden liter do nádoby C. Týmto v nádobe A zostali práve 4 litre a nádoba C je plná (obsahuje 3 litre). Druhé prelievanie - z nádoby C odlejeme 2 litre do nádoby B. Teraz je nádoba B plná (obsahuje 5 litrov), a v nádobe C zostal práve jeden liter. 33. Strýko chodí dvakrát po nesprávnych chodbách. Miesto toho, aby zdvojil štyri hrany s hodnotou 100, čiže hrany CD, DH, OK, OP, mal by zdvojiť iba dve hrany s hodnotou 50 a to PK a CH. Tým by ušetril = 300 krokov. Andrej mal pravdu. 34. V grafe zdvojíme hrany PN, CDDEKLLM,,,, BR a RQ. 35. Zdvojené budú hrany: VB, BC, DE, HI, IJ, LM, nájsť ťah už nie je problém. 108

109 5 Úlohy z teórie grafov

110

111 6 APLIKAČNÉ ÚLOHY Nasledujúca časť zbierky úloh je venovaná aplikačným úlohám, ktoré rozvíjajú u žiakov samostatnosť, aktivitu a tvorivosť už od najnižších ročníkov základnej školy. Sú to úlohy, v ktorých sa prelínajú vedomosti z rôznych tematických celkov, prípadne sa budujú vzťahy matematiky k ostatným vyučovacím predmetom. Výrazné väzby sú medzi matematikou a slovenským jazykom, prírodovedou, vlastivedou, fyzikou, chémiou, a to v oblasti aplikácií ale i motivácií. Riešením aplikačných úloh by sa žiaci mali naučiť formulovať problémy, vedieť získavať informácie, potrebné k ich riešeniu, vedieť ich riešiť v súvislostiach a napokon vedieť sformulovať názory a závery týchto riešení. Určite motivačne na žiakov pôsobia aj zábavné matematické úlohy alebo úlohy z bežného života. A práve takéto úlohy sú vybraté do tejto časti zbierky. 6.1 ARITMETICKO-ALGEBRAICKÉ APLIKAČNÉ ÚLOHY 1. Medziplanetárna raketa letí rýchlosťou asi 11 km/s. Koľko hodín by letela na Mesiac, ak je Mesiac vzdialený od Zeme asi km? 2. Koľko dní, hodín, minút a sekúnd má december? 3. Za minútu vykoná srdce dospelého človeka asi 75 tepov. Koľko tepov vykoná za deň? Paľko utratil svojich peňazí. zo sumy, ktorá mu zostala, prehral so spolužiakmi 3 3 v hre na kocky. Zostalo mu 12 eur. Koľko peňazí mal pôvodne? Riešenie Ak Paľko utratil svojich peňazí, tak mu zostali 1 =. Z týchto prehral so spolužiakmi, t. j.. Chýbajúca čiastka je tak + = + = z jeho pôvodnej sumy Keďže mu zostalo 12 eur, tak tie sú teda 1 = = z pôvodnej sumy

112 6 Aplikačné úlohy 7 To znamená, že predstavuje 42 eur. Paľko mal teda pôvodne = 54eur. 9 Iné riešenie Príklad možno riešiť aj bez počítania, pomôže nám napríklad len takýto náčrt. Keď úsečka AE = 12 eur, AD predstavuje jej trojnásobok, čo je 36 eur a DB je polovica AD, t. j. 18 eur, tak celkom mal Paľko = 54 eur. 5. Nitra má asi obyvateľov, z toho je asi polovica žien. Koľko ženských futbalových družstiev by mohla Nitra zostaviť? 6. Peter bol s rodičmi na dovolenke. Dvojtýždňová dovolenka ich spolu stála 1 000, pričom za Petra platili iba polovicu. Priemerne koľko stál jeden deň dovolenky každého a) dospelého člena rodiny, b) Petra? 7. Súrodenci Tomáš a Eva počúvali z rozhlasu časový signál a obidvaja si podľa neho presne nastavili hodinky. Dostali sa ale do sporu, kto má lepšie hodinky. Rozhodli sa, že si ich o niekoľko dní znova porovnajú s časovým signálom. Ukázalo sa, že jedny hodinky išli trocha dopredu, druhé meškali. Tomáš a Eva vypočítali, že jedny hodinky idú dopredu za hodinu práve o 1 sekundu, druhé sa o 1,5 sekundy omeškávajú. Potom ich napadlo prepočítať, za aký čas by hodinky znova ukazovali rovnako, keby ich nechali ísť tak, ako idú teraz, a tiež by ich zaujímalo, kedy by boli hodinky ukazovali správny čas. Viete to zistiť aj vy? Riešenie 1 1 Rozdiel v čase, ktorý ukazujú hodinky po 1 hodine je = 2 sekundy a po každej hodine sa tento rozdiel zväčšuje o 2 sekundy. Ručičky hodín sa dostávajú do tej istej 2 polohy jeden krát za 12 hodín, 12 hodín = sekúnd : 2,5 = 17280, po hodinách (čiže po 720 dňoch) budú ručičky oboch hodiniek ukazovať rovnaký čas. Najmenšie celé čísla, v pomere ktorých sa hodinky predbiehajú alebo meškajú sú 1 :1,5 = 2 : 3. Keď súčtom týchto čísel = 5 vynásobíme 720 dní, dostanem čas, 112

113 6 Aplikačné úlohy kedy budú obidvoje hodinky ukazovať správny čas, = 3600dní dní predstavuje približne 10 rokov, to znamená, že za 10 rokov budú obidvoje hodinky ukazovať správny čas. 8. Zina skočila do diaľky 2,9 m a Želka 3 m. Julka skočila viac ako Zina, ale menej ako Želka. Napíšte tri možnosti, koľko mohla Julka skočiť. 9. Vyjadrite číslo 1 použitím všetkých desiatich číslic [Návod: Použite rôzne počtové výkony, napríklad + = 1 ] Koľajnice dlhé 15 metrov boli vymenené za nové, ktoré boli 25 m dlhé. Aký najkratší úsek trati musí byť vymenený, aby trať bola schopná prevádzky? 11. Koľko je teraz hodín? pýta sa Samko otca. On mu hovorí: Počítaj: do polnoci chýba trikrát menej, ako je čas, ktorý uplynul od polnoci. Koľko je hodín? 12. Pani Kamila zariaďovala novú reštauráciu. Architekt naplánoval okrem nábytku aj rozmiestnenie kvetov. Koľko zaplatila pani Kamila za kvety, ak datľovník (D) stojí 724,50, palma (P) 899,90, ibištek (I) 500, lobélia (L) 14,90 a fontána (F) 2 599? V pláne reštaurácie sú zakreslené aj jednotlivé druhy kvetov. 13. Auto pána Melóna spotrebovalo na diaľnici 14,4 litrov paliva na 200 km a v meste 24 litrov na 250 km. Koľko litrov paliva spotrebuje auto na 100 km v meste a koľko na diaľnici? 14. Obdĺžniková záhrada má rozmery 4,6 m a 3,8 m. Mama v nej má obdĺžnikový záhon s rozmermi 2,3 m a 0,8 m. Koľkokrát väčšiu plochu má celá záhradka ako záhon? 15. Uložte na seba niekoľko rovnakých zošitov, zmerajte výšku tejto kôpky a delením výsledku zistite hrúbku jedného zošita. Čo musíte deliť? Podobne zistite aj hrúbku jedného listu v tomto zošite. 16. Odmerajte priemery mincí, ktoré nájdete v peňaženke. Dá sa pomocou týchto vašich mincí odmerať 1 cm? A čo 1 dm? Podarilo by sa vám zmerať aj 1 m? 17. Priemerne koľko eur minie denne vaša rodina na prevádzku domácnosti? Započítajte výdavky na nájom, plyn, vodu, elektrinu a telefón. 113

114 6 Aplikačné úlohy 18. Janko sa dočítal v encyklopédii, že obežná rýchlosť Zeme okolo Slnka je približne 29,8 km za sekundu. Akú vzdialenosť prekoná Zem za jednu hodinu? 19. Norbert chce vymaľovať stenu dlhú 5,20 m a vysokú 2,40 m. Plechovka farby vystačí na 2 m 2. Koľko plechoviek musí kúpiť? 20. Peťko sa snažil zistiť, koľko m 2 papiera treba na výrobu jeho zošita z matematiky (bez obálky). Vieš, koľko m 2 papiera treba na výrobu tvojho zošita? 21. Tachometer v aute ukazuje, koľko kilometrov auto prešlo. Toto auto prešlo 4 230,6 km Ktoré auto prešlo viac kilometrov? O koľko viac? a) b) 22. Peťko hľadal najmenšie prirodzené číslo, ktoré končí dvojčíslom 24, je zároveň deliteľné číslom 24 a jeho ciferný súčet je 24. Nájdite aj vy takéto číslo. 23. Škola v Nitre objednala na výzdobu spolu 324 bielych, ružových a červených astier. Ružových astier bolo o 36 viac ako bielych a červených bolo dvakrát toľko ako bielych. Koľko rovnakých kytíc (rovnaký počet kvetov a farieb) by mohli zviazať z týchto kvetov? Koľko kvetov jednotlivých farieb by bolo v každej kytici? Riešenie Označme si počet bielych ako b, počet ružových ako r a počet červených astier ako č. Potom podľa podmienok zo zadania platia vzťahy: b + r + č = 324 Vyriešime sústavu rovníc: r = b + 36 č = 2b b + ( b + 36) 4b = 288 b = 72 č = b = 324 r = = 108 To znamená, že bielych astier bolo 72, červených 144 a ružových 108. Na zistenie počtu kytíc potrebujeme vedieť spoločný deliteľ bielych, červených a ružových astier. 114

115 6 Aplikačné úlohy Napíšeme si prvočíselné rozklady jednotlivých počtov astier: 3 2 b = 72 = č = 144 = r = 108 = 2.3 Ak chceme zviazať čo najviac kytíc, tak kytíc bolo 36, v každej z nich boli 2 biele, 4 červené a 3 ružové astry. Počet kytíc mohlo ešte byť: 18 4b, 8č, 6r; 12 6b, 12č, 9r; 9 8b, 16č, 12r; 6 12b, 24č, 18r; 4 18b, 36č, 27r; 3 24b, 48č, 36r; 2 36b, 72č, 54r; alebo len jedna. 24. Peter a Gabriel majú 3 farebné drôty. Petrov modrý drôt meria 5,67 m, Gabrielov červený meria 4,098 m. Gabrielov zelený drôt je o 1,089 m kratší ako Petrov červený drôt, ale o 0,76 m dlhší ako Petrov modrý. Petrov zelený drôt je o 1,7 m dlhší ako Gabrielov červený, ale o 0,804 m kratší ako Gabrielov modrý drôt. Kto z nich má viac metrov drôtu a o koľko? 25. Názov mesta sa skladá z 5 písmen. Keď sa každé písmeno nahradí poradovým číslom abecedy (t. j. A = 1, B = 2,... ), získané čísla budú mať tieto vlastnosti: súčet všetkých 5 čísel sa rovná štvrtine z 256. Tretie číslo je najväčšie zo všetkých čísel, a to od druhého je väčšie o 10, od prvého o 5, od štvrtého o 2 a od piateho o 19. Viete zistiť názov mesta? [Návod: Označte si tretie písmeno v slove ako neznámu x a zostavte lineárnu rovnicu.] 26. Miškin otec má možnosť od svojho zamestnávateľa nakupovať stravné kupóny TICKET, ktorými môžeme platiť vo vybraných reštauráciách, cukrárňach alebo obchodoch. Stravný kupón má hodnotu 2,5 a Miškin otec za ňu platí len 0,8. Jeden stravný kupón dostala aj Miška a išla do cukrárne. Pri pokladni v cukrárni bola upozornená, že sa jej zo stravného kupónu môžu vrátiť najviac 0,5. Objednala si len dva punčové rezy po 0,56, jednu ananásovú tortičku za 0,83 a jeden pomarančový džús za 1,

116 6 Aplikačné úlohy a) Bude Miške stačiť zaplatiť účet stravným kupónom? Objednala si aspoň za 2 alebo si bude musieť ešte niečo prikúpiť? Skúste to najprv odhadnúť spamäti a potom vypočítajte presnú sumu nákupu. b) Akou finančnou čiastkou zasiahla Miška svojou návštevou v cukrárni fakticky do rodinného rozpočtu, ak otec platí za stravný kupón 0,8? 27. V sobotu príde k Hanke návšteva a mamička sa chystá uvariť k obedu jej obľúbené marhuľové knedle. Pri stole ich bude celkom 10, a tak Hanka navrhla, že jej pomôže s prípravou surovín. Ale mamička má recept len pre 4 osoby: 700 g marhúľ, 350 g hrubej múky, 200 g uvarených zemiakov, 2 vajcia, štipka soli, trošku mlieka; na posypanie treba: 4 lyžice kryštálového cukru, 100 g tvrdého tvarohu. Pomôžte Hanke prepočítať jednotlivé suroviny tak, aby mamička mohla uvariť pre všetkých hostí. Riešenie Keďže je rozpis v recepte len pre 4 osoby, musíme najskôr prepočítať jednotlivé suroviny pre 10 osôb. Začneme napríklad s marhuľami: 4 osoby g 1 osoba : 4 = 175 g 10 osôb = g = 1,75 kg Môžeme to tiež prepočítať v pomere 10 : 4, t. j. číslo 700 vynásobíme zlomkom : 700. = = Pre 10 osôb potrebujeme do receptu 1,75 kg marhúľ Máme ešte jednu možnosť prepočítať suroviny pre 10 osôb a pomôcť tak Hanke. Pri výpočte môžeme použiť aj trojčlenku: 4 osoby g 10 osôb... x g x : 700 = 10 : 4 10 x = x = 1750 Podobne musíme prepočítať aj zvyšné suroviny potrebné na marhuľové knedle. Skontrolujte nasledujúce výpočty: Hrubá múka g Zemiaky g Vajcia... 5 ks Cukor lyžíc Tvaroh g O množstvo soli a mlieka rozhodne sama Hankina mamička pri varení. 116

117 6 Aplikačné úlohy 28. Z Nitry vyletela priamo na sever vzducholoď. Po 500 kilometroch cesty severným smerom sa obrátila na východ. Keď preletela 500 km, urobila ďalší obrat, na juh, a takto letela 500 km južným smerom. Potom sa obrátila na západ a po 500 km pristála. Kde vzducholoď pristála vzhľadom na Nitru na západ, na východ, na sever alebo na juh? Alebo priamo v Nitre? [Návod: Využite svoje vedomosti zo zemepisu. Zem je guľatá a poludníky sa k severu zbiehajú. Vzducholoď pri svojom lete na východ preletela väčší počet stupňov ako na spiatočnej ceste.] 29. Zimné bundy boli zlacnené na 65 % pôvodnej ceny, ktorá bola 43,5. Aká bola ich nová cena? Neskôr aranžérka v obchode pripravila na žiadosť vedúceho veľký plagát oznamujúcu túto zľavu zimných búnd. Ale vedúci sa hneval: Nejde o 65 %, ale na 65 %. Je v tom vôbec nejaký rozdiel? Aranžérka porozmýšľala a napísala nový plagát. Ale opäť tam je o. Je to správne? Pri akej zľave by bola zľavnená cena zimnej bundy rovnaká, ak nezáleží na tom, čo aranžérka napíše na plagát o alebo na? 30. Miško mal násobiť číslo štyrmi. Namiesto toho ho omylom delil štyrmi. Koľkokrát je výsledok, ktorý dostal, menší ako správny výsledok? 31. Číslo 40 je od čísla 32 väčšie o 25 %. O koľko percent je číslo 32 menšie ako číslo 40? Riešenie 1 V prvom prípade je za 100 % považované číslo 32. Rozdiel = 8 je z čísla 32, 4 čo je 25 %. Číslo 40 je v druhom prípade 100 %. Číslo 8, ktoré udáva, o koľko jednotiek je číslo 32 menšie ako číslo 40, je 5 1 z čísla 40, čo je 20 %. Číslo 32 je teda o 20 % menšie ako číslo

118 6 Aplikačné úlohy 32. Pán Holub ide do zmenárne kúpiť na dovolenku do Veľkej Británii a Švajčiarska libier a 200 švajčiarskych frankov. Poplatok za prevedenie zmeny sú 2 % z čiastky, ktorú platí v eurách za libry a franky. Koľko celkovo zaplatí? 33. Koľko kaprov chytil rybár za deň, keď mieru mali len 3 kapre, čo bolo 12,5 % všetkých kaprov? 34. Jeden bežec trénoval s kamarátmi štafetu na netradičnej šesťkilometrovej trati. Bežali štyria bezprostredne za sebou, spolu teda zabehli 24 km. Druhý bežec bežal trikrát pomalšie ako prvý, tretí bežec bol o 4,5 km/h pomalší ako prví. Štvrtý bol dvakrát rýchlejší ako druhý. Štvrtý bežec bežal priemernou rýchlosťou 15 km/h. Za aký čas od štartu prvého bežca dobehol štvrtý bežec do cieľa? 35. Koľko percentný úrok bol dohodnutý medzi bankou a podnikateľom, keď namiesto vypožičaných musel podnikateľ po roku vrátiť banke 9 000? 36. Na obrázku je kaskáda nádrží. Voda z hornej nádrži sa postupne rozlieva do spodných nádrží. Koľko litrov vody pretečie každou zo spodných nádrží za jednu hodinu, ak vieme, že do hornej nádrže pritečie 400 litrov za hodinu a všetky nádrže sú plné? 37. Na orientačnej tabuli obchodného domu je napísané: 3 Sklo porcelán, drogéria 2 Nábytok 1 Obuv 0 Odevy -1 Potraviny -2 Domáce potreby a) Vchod do obchodného domu je na prízemí. Ktorým smerom pôjdete kupovať stoličku alebo mlieko? b) O koľko poschodí vyššie ako kladivá predávajú topánky alebo taniere? c) Janko išiel výťahom 3 poschodia a dostal sa do oddelenia s nábytkom. Z ktorého poschodia sa Janko viezol? d) Monika išla výťahom dve poschodia a kúpila si papuče. Z ktorého poschodia sa výťahom odviezla? 118

119 6 Aplikačné úlohy 38. Ak teplota klesne pod 5 ºC, vretenice sa ukladajú na zimný spánok. Na jar sa budia pri teplote 8 ºC. Po veľkých jarných mrazoch, keď teplota klesla na -13,7 ºC, sa oteplilo o 21 ºC. Zobudilo toto oteplenie vretenice? 39. Motocyklista Boris šiel z Bratislavy do Popradu rýchlosťou 60 km za hodinu. Presne napoludnie prechádzal cez Trenčín. Viete zistiť, kde bol Boris o a) hod., b) hod., c) hod., d) hod. 40. Mních musel zísť dolu do dediny a odtiaľ ísť ďalej konským povozom. Odchádzal pravidelne o 7 00 hodine. Povoz odchádzal pravidelne o 7 20 hod., pričom cesta do dediny trvá 18 minút. Jeden deň sa ale mních zdržal, a preto išiel 1,2-krát rýchlejšie ako zvyčajne. Ale aj tak mu konský povoz o 2 minúty ušiel. O koľko minút sa mních zdržal? Riešenie Zvyčajne trvá mníchovi cesta 18 minút, to znamená, že do dediny príde o 7 18 hod. Keď sa 18 ale zdržal a išiel potom 1,2-krát rýchlejšie, cesta mu tak trvala = 15 minút. Do dediny 1,2 tak prišiel o 7 22 hod. Teda sa zdržal = 7 minút. 41. Filipov malý brat má červené (10 g), žlté (15 g), modré (8 g) a zelené kocky (9 g). Na rovnoramenných váhach dajte do rovnováhy dva druhy kociek. Na každej miske môžu byť len kocky rovnakej hmotnosti (farby). Použite čo najmenej kociek a urobte všetkých 6 možností. Vždy povedzte, aká hmotnosť bude na miskách. 42. V určitý deň sú Slnko, Venuša a Zem v zákryte (Venuša je medzi Slnkom a Zemou). O koľko dní budú opäť v rovnakej polohe? Predpokladajme, že Zem obehne Slnko za 365 dní a Venuša za 225 dní. Koľko to bude rokov? 43. Písací blok má rozmery 15 cm x 21 cm a obsahuje 100 listov papiera. a) Môžeme z listov tohto bloku pokryť nejaký štvorec? Aký má rozmer? Koľko listov potrebujeme? b) Koľko rovnakých blokov potrebujeme, ak chceme pokryť štvorec, ktorého strana má dvojnásobnú (trojnásobnú) dĺžku? 119

120 6 Aplikačné úlohy 44. Koľko štvrťhodín je 7 a tri štvrte hodiny? 45. Soňa spí 12 5 dňa. Koľko hodín nespí? 46. Janka má záhradu s rozmermi 12 m x 20 m. Zatiaľ posiala trávou 5 3 záhrady. Koľko je to m 2? 47. Jakub rozdelil štvorec na 4 rovnaké časti. Potom Zuzka rozdelila každú časť ešte na tri rovnaké časti. a) Na koľko častí rozdelila Zuzka celý štvorec? Nakreslite, ako mohla Zuzka deliť jednotlivé časti. b) Rozdeľte aj vy štvorec na časti ako Jakub a Zuzka, ale iným spôsobom. 48. Tri litre 10 % roztoku hydroxidu sodného majú hmotnosť 3345 g. Koľko g hydroxidu sodného a koľko g vody obsahuje toto množstvo roztoku? O koľko g viac váži 1 liter roztoku než 1 liter vody. 49. Jedným prítokom natečie do bazénu 150 l vody za minútu. Koľko hl vody natečie troma takýmito prítokmi za minútu? Koľko hodín by trvalo k napusteniu bazénu s rozmermi 12 m x 25 m x 2,5 m, ak má voda siahať 20 cm pod okraj bazénu a sú otvorené všetky tri prítoky? 50. Z Nitry do Bratislavy išlo auto priemernou rýchlosťou 50 km 4 hodiny. Akou priemernou rýchlosť by malo auto ísť, aby do Bratislavy prišlo za 3,5 hodiny? 51. Aké je dlhé Svätoplukovo námestie v Nitre, keď 1, 2 1 1,, , 14 jeho celej dĺžky je spolu o 11 metrov väčšia ako jeho celá dĺžka? 120

121 6 Aplikačné úlohy 52. Koľko litrov vody treba priliať k 50 litrom 87 % liehu, aby vzniknutá koncentrácia bola 80 %? 53. Spálením litrov vykurovacieho oleja na vykurovanie bytu sa vyprodukuje m 3 čistého kysličníka uhoľnatého, ktorý je pre prírodu i človeka jedom. a) Koľko m 3 čistého CO vznikne spálením 1 litra oleja? b) Aká veľká kocka vznikne vyprodukovaním m 3 CO? 6.2 APLIKAČNÉ ÚLOHY Z GEOMETRIE 54. Traja kamaráti Adam, Boris a Cyril si vymysleli tri ornamenty a narysovali jeden v štvorcovej sieti, druhý v bodkovanej sieti a tretí narysovali na čistú plochu. Skúste si vymyslieť aj vy ornamenty a narysujte ich do daných sietí. 55. Pokračujte v rysovaní štvorcov tak, že každý nasledujúci štvorec má stranu o 5 mm kratšiu ako predchádzajúci. 56. Janka sa snažila vypočítať spamäti, aký dlhý by bol pásik zostavený zo všetkých milimetrových štvorčekov jedného štvorcového metra, kedy sme ich položili jeden vedľa druhého. Pomôžete jej pri rozmýšľaní? Riešenie Štvorcový meter má krát milimetrov. Každých tisíc vedľa seba položených milimetrových štvorčekov má dĺžku 1 m. Tisíc tisícov bude mať dĺžku m, t. j. 1 km. Pásik bude teda 1 km dlhý. 121

122 6 Aplikačné úlohy 57. Zuzka načrtla obrázok zložený z obdĺžnikov. Potom si povedala, že ho skúsi narysovať tak, že najväčší obdĺžnik bude mať rozmery 6 cm a 10 cm, menšie obdĺžniky majú rozmery 8 cm a 3 cm. Strany najmenšieho obdĺžnika sú rovnobežné so stranami predchádzajúcich obdĺžnikov a vzdialenosť medzi nimi je 0,5 cm. Narysujte aj vy obrázok v skutočnej veľkosti. 58. Nakreslite obrázok zložený zo štvorcov, obdĺžnikov, trojuholníkov a kružníc. Potom narysujte obrázok svojho spolužiaka len podľa jeho pokynov bez toho, aby vám svoj obrázok ukázal. 59. Janko sa opýtal Marienky, ako má dokresliť druhú ručičku hodiniek, aby obidve spolu zvierali: a) tupý uhol b) ostrý uhol c) priamy uhol d) pravý uhol 60. Kde sa má postaviť futbalista na ihrisku, aby jeho strelecký uhol bol a) ostrý, b) pravý? 122

123 6 Aplikačné úlohy 61. Mamička kúpila škatuľu kockového cukru. Evka zjedla hornú vrstvu, t. j. 77 kociek cukru. Potom zjedla bočnú vrstvu 55 kociek cukru a nakoniec zjedla prednú vrstvu. Koľko kociek zostalo v škatule? Riešenie Horná vrstva má 77 kociek. Bočná vrstva má 55 kociek. a. b = 77 b.( c 1) a = 7 b = 11 = 55 c = = 6 Predná vrstva má x kociek. ( a 1 )(. c 1) = x ( 7 1 )(. 6 1) = x x = 6.5 = 30 kociek V škatuli je a. b. c = = 462 kociek cukru. Evka zjedla ( 6 1) + ( 7 1 ).5 = 162 kociek cukru. Mamičke teda zostalo v škatuli = 300 kociek cukru. 62. Majka sa snažila vypočítať obsahy obrázkov. Pomôžete jej? 123

124 6 Aplikačné úlohy 63. Janka nakreslila tento obrázok a povedala Peťkovi, že to znamená vychýlenie z priameho smeru o 30º vpravo. Potom mu povedala, aby narysoval nasledujúce dráhy. Rysujte spolu s ním. a) Priamo 5 cm, vpravo 60º, po prejdení 3 cm vpravo 30º, po prejdení 4 cm vľavo 90º, po prejdení 5 cm koniec. b) Priamo 5 cm, vľavo 45º, po prejdení 3 cm vpravo 120º, po prejdení 4 cm vľavo 150º, po prejdení 5 cm koniec. 64. a) Soňa a Peťo mali koláč v tvare obdĺžnika a rozkrojili ho podľa obrázka. Soňa si vzala dva kusy koláča a Peťovi zostal len jeden. Majú rovnakú časť koláča? Soňa tvrdí, že áno. Presvedčte Peťa. Ako by to dopadlo, keby koláč nemal tvar obdĺžnika, ale rovnobežníka? b) Inokedy Soňa nechala Peťovi takéto dva kusy koláča. Zostala mu aj teraz polovica? 65. Maliar namaľoval na múr šedý trojuholník. Koľko bude stáť farba na šedý trojuholník, ak na 1 m 2 spotreboval 0,2 kg farby a 1 kg farby stojí 3,52? 124

125 6 Aplikačné úlohy Základňa trojuholníka má 5 m a múr je vysoký 2,2 m. 66. Akvárium má rozmery 1,4 m; 40 cm; 60 cm. a) Koľko litrov vody sa do neho zmestí? b) Koľko litrov vody musíme vypustiť z plného akvária, aby hladina zostala 1 dm pod horným okrajom? c) Koľko m 2 skla treba na celé akvárium? (Všetky steny aj dno sú zo skla, akvárium nie je zakryté sklom). 67. Bazén na nitrianskom kúpalisku má rozmery 50 m x 20 m a hĺbku 255 cm. Pri napúšťaní hladina vody v bazéne stúpne o 1,7 mm za minútu. a) Koľko litrov vody pretečie za hodinu? b) Koľko hl vody sa zmestí do bazéna naplneného po okraj? c) Bazén začali napúšťať v pondelok ráno o 6 00 hod. Kedy bude naplnený po okraj? d) Bazén treba vydezinfikovať. Koľko kg dezinfekčného prostriedku sa spotrebuje, ak na natretie 1 m 2 stačí 450 kg dezinfekčného prostriedku? 68. Rybár si zhotovil obdĺžnikovú sieť. Pri jej výrobe urobil presne 32 uzlov a na obvod siete umiestnil 28 korálikov. Koľko ôk má jeho sieť? Táto sieť má 6 uzlov, 14 korálikov a 12 ôk. 125

126 6 Aplikačné úlohy Riešenie Sieť má...6 uzlov, 14 korálikov, 12 ôk = 20 a polovicu obvodu tvorí 7 korálikov. 20 = 1.20 počet ôk je = 2.10 počet ôk je = 4.5 počet ôk je 3. 4 Polovica počtu korálikov je = 7 Ak má sieť...12 uzlov, 18 korálikov, 20 ôk = 30a polovicu obvodu tvorí 9 korálikov. 30 = 1.30 počet ôk je = 2.15 počet ôk je = 3.10 počet ôk je = 5.6 počet ôk je 4. 5 Polovica počtu korálikov je = 9 Čo z toho vyplýva: a) Počet ôk vo vodorovnom a zvislom smere je vždy o 1 menší ako počet korálikov na príslušnej strane obdĺžnika b) Súčet ôk vo vodorovnom a zvislom smere je polovica počtu korálikov na obvode siete. Teda: = = 1.60 počet ôk je = 2.30 počet ôk je = 3.20 počet ôk je = 4.15 počet ôk je = 5.12 počet ôk je = 6.10 počet ôk je 5. 9 Polovica počtu korálikov je = 14 Rybárová sieť má 5.9 = 45ôk. Iné riešenie Odčítame 4 rohové koráliky, potom zvyšný počet korálikov označuje číselne obvod istého obdĺžnika a počet uzlov udáva jeho obsah. Potom platí: o = = 2. ( a + b) S = = a. b Vypočítame sústavu dvom rovníc a a = 8, b = 4 alebo a = 4, b = 8. ( a +1) je počet úsečiek na jednej strane obdĺžnikovej siete. ( b +1) je počet úsečiek na druhej strane obdĺžnikovej siete. a + 1 b + = + + = = Potom počet ôk je: ( )(. 1) ( 8 1 )(. 4 1) Nájdite si ceruzku tvaru pravidelného šesťbokého hranola (podstava je pravidelný šesťuholník). Koľko cm 2 farby je na nej? Potrebné údaje si odmerajte s presnosťou na milimetre. 126

127 6 Aplikačné úlohy 70. Z kosoštvorca ABCD zostal vrchol A, priesečník uhlopriečok S a bod X patriaci strane CD. Viete zrekonštruovať tento kosoštvorec? [Návod: Pri konštrukcii využite vlastnosti kosoštvorca. Čo platí pre uhlopriečky kosoštvorca?] 71. Doplňte vianočné ozdoby na stromček tak, aby boli stredovo súmerné: 72. Nájdite dve riešenia, ako z daného obrázku je možné urobiť obrázok stredovo súmerný (zmazaním, dokreslením). 73. Na obrázku sú dva rovinné útvary zložené zo štvorcov. Zistite, či útvary na obrázkoch sú stredovo súmerné. Ak nie, tak: a) v útvare na obrázku a) dokreslite čo najmenej štvorcov tak, aby bol daný útvar stredovo súmerný. b) v útvare na obrázku b) odoberte čo najmenej štvorcov, aby bol daný obrázok stredovo súmerný. a) b) 127

128 6 Aplikačné úlohy 74. Plavecký bazén 50 m dlhý, 18 m široký a 3 m hlboký je obložený dvoma druhmi dlaždíc. Steny bazéna sú obložené dlaždicami, z ktorých 1 m 2 stojí 9,8 a dno dlaždicami, z ktorých 1 m 2 stojí 13,1. a) Koľko eur sa zaplatilo za dlaždice v bazéne? b) Za koľko dní sa táto suma zaplatí zo vstupného, keď vstupné na 1 hodinu je 1,5 a priemerne za hodinu navštívi plaváreň 25 ľudí v čase od 8 00 hod. do hod.? Plaváreň je otvorená každý deň okrem pondelka. 75. Cestný valec má priemer 1,2 m a dĺžku 180 cm. a) Koľko krát sa valec otočil, keď počas práce prešiel 2 km? b) Koľko m 2 cesty urovná, keď sa otočí 85-krát? c) Koľko kilometrov prejde, keď m cesty urovná 3-krát? 76. a) Koľko štvorcových metrov sa spotrebuje na výrobu jednej učebnice, ktorá má 200 strán? Normované rozmery učebnice formátu A5 sú 148 mm x 210 mm. b) Predpokladajme, že každý žiak má priemerne 14 takýchto učebníc a na Slovensku je 1 milión žiakov navštevujúcich školu. Koľko m 2 papiera sa spotrebuje na výrobu všetkých týchto učebníc (ak nepočítame papier na obálky)? c) Koľko je to štvorcových kilometrov? d) Aký objem by zabrali všetky tieto učebnice, ak by sme ich poukladali tesne vedľa seba a na seba? (Hrúbku obálky zanedbajte.) e) Ak by ste všetky tieto učebnice poukladali na seba, aký vysoký mrakodrap by vznikol? (Hrúbku obálky zanedbajte.) f) Jeden štvorcový meter papiera používaného na výrobu učebníc má hmotnosť 70 g / m 2. Aká je hmotnosť papiera použitého na výrobu všetkých týchto učebníc? g) Ak predpokladáme, že jeden kamión má ložnú plochu dĺžky 10 m, šírky 3 m a výšky 2 m, koľko kamiónov by bolo potrebných na odvoz všetkých týchto učebníc, ak by boli kamióny plne naložené? (Počítajte s maximálnou nosnosťou kamióna 20 ton.) 77. Aká časť štvorcovej siete je vyfarbená? Koľko je to percent? 128

129 6 Aplikačné úlohy 78. Na mape Európy našiel Peťko údaj o mierke 1 : a potom zmeral na mape vzdialenosť Viedeň Londýn, ktorá bola 35 cm. Za aký čas (hodín a minút) preletí lietadlo z viedenského Schwechatu na londýnske letisko Heathrow, ak letí rýchlosťou 735 km / h? 79. Pán Pekný sa práve chystá počítať daň zo svojej prízemnej chaty v Tatrách. Pôdorys chaty má tvar L, ako na obrázku. Pomôžte pánovi Peknému daň z chaty vypočítať. [Návod: Daň z chaty sa vypočíta takto: Najprv sa určí výmera zastavenej plochy, t. j. obsah pôdorysu. Daň z chaty sa zistí tak, že vynásobíme výmeru zastavenej plochy základnou sadzbou dane. Táto základná sadzba pre chaty je 3 za 1 m 2. Vypočítaná čiastka sa zaokrúhli na celé eurá nahor.] 80. Plechová strecha altánku na záhrade rodiny Pokorných je zložená zo štyroch rovnoramenných trojuholníkov. Pán Pokorný potrebuje zistiť, koľko farby bude potrebovať na obnovenie jej náteru. Zmeral už dva rozmery strechy (rozmery sú na obrázku) a teraz začína počítať, koľko metrov štvorcových má táto strecha altánku. Mohli by ste mu pomôcť? Koľko kg farby musí kúpiť pán Pokorný, keď 1 kg farby vystačí na 1,8 m 2? 129

130 6 Aplikačné úlohy 81. Šesť rôznych priamok môže mať v rovine rôzny počet priesečníkov podľa vzájomnej polohy jednotlivých priamok. Narysujte aspoň 3 rôzne možnosti, keď týchto priesečníkov je práve päť. Koľko najviac môže byť týchto priesečníkov? Načrtnite takúto polohu šiestich priamok. 82. Paľko sa snažil iba pomocou štvorčekového papiera zistiť, čo platí o nasledujúcich dvojiciach uhlov: CAB, DAC a CAB, EAD. Skúste mu pomôcť a svoje tvrdenie zdôvodnite. 83. Každou trojicou z daných 6 bodov je určený práve jeden trojuholník. Koľko percent z týchto trojuholníkov má obsah 1, koľko má obsah 2, koľko percent má obsah 3 štvorce? 84. Majka mala na domácu úlohu z geometrie rozdeliť útvar na obrázku na štyri časti tak, aby mali rovnaký tvar aj veľkosť. Viete jej pomôcť? 130

131 6 Aplikačné úlohy 85. Viete postaviť štyri fľaše tak, aby ich otvory boli navzájom rovnako od seba vzdialené? [Návod: Určite nemôžete postaviť otvory fľaše do vrcholov štvorca. Prečo? Ale spomeňte si, v ktorom telese sú všetky vrcholy od seba rovnako vzdialené.] 86. Pre záhradné jahody hľadala rodina Nováková pozemok s obsahom 256 m 2. Kamarát im ponúkali pozemok obdĺžnikového a sused štvorcového tvaru. Novákovci by chceli mať pozemok oplotený zo všetkých strán. Ktorý z ponúknutých pozemkov bude potrebovať najkratší plot? 87. Koľkými spôsobmi viete rozdeliť kváder na 3 menšie kvádre s rovnakým objemom? Soňa tvrdí, že to dokáže až 9 spôsobmi. 88. Z kociek objemu 1 cm 3 je vytvorená veľká kocka, ktorej povrch je zafarbený a meria 216 cm 2. Z každého rohu veľkej kocky odoberieme jednu malú kocku. a) Určte objem takto vzniknutého telesa. b) Rozhodnite, či možno z takto odobraných kociek vytvoriť kváder, ktorého povrch bude mať toľko cm 2, o koľko sa zmenšil zafarbený povrch. Ak áno, aké rozmery bude mať? c) Koľko percent farby by sa ušetrilo, keby sme mali namiesto veľkej kocky natrieť len tú časť jej pôvodného povrchu, ktorá zostala po odobratí malých kociek z vrcholov veľkej kocky? Riešenie 2 Nech má daná kocka dĺžku hrany a. Povrch kocky je 6a a v našom prípade dĺžka a je zároveň aj počet kociek pozdĺž jednej hrany kocky. Potom platí: 6a 2 = 216 a potom a = 6. a) Objem veľkej kocky je 6 3 cm 3. Po odobratí 8 rohových kociek zostáva objem vzniknutého telesa = = 208 cm 3. b) S každou z odobratých kociek ubudnú 3 steny, čo predstavuje 3 cm 2 z pôvodného povrchu, t. j. 24 cm 2. Ak uznáme, že aj kocka je kváder tak môžeme z takto odobratých kociek vytvoriť teleso, ktorého povrch bude mať toľko cm 2, o koľko sa zmenšil zafarbený povrch. Kocka bude mať hranu s dĺžkou 2 cm. c) Na zafarbenie sa ušetrí 24 cm , čo predstavuje = povrchu. Je to približne 11,1 % povrchu. 89. V románe Malá dáma z veľkého domu opisuje Jack London zariadenie na automatickú orbu. Uprostred štvorcového poľa je zatlčený silný kôl, na ktorý sa upevní lano siahajúce až po obvod poľa. Tam sa priviaže traktor s pluhom. Keď sa traktor dá do pohybu a ide stále vpred, lano sa navíja na kôl, a tým traktor priťahuje bližšie a bližšie k stredu. Hrdina Londovho románu Graham vypočítal, že pri tejto metóde zostane 30 % plochy štvorcového poľa nezorané. Je to pravda? 131

132 6 Aplikačné úlohy 90. Vymyslite vzor zložený zo samých obdĺžnikov a narysujte ho. 91. Dedo Jozef má na predaj dve dyne tej istej kvality. Jedna má obvod 60 cm a druhá 50 cm. Prvá je o polovicu drahšia ako druhá. Ktorú je výhodnejšie kúpiť? Riešenie Obvody sú v tom istom pomere ako priemery. Ak je obvod jednej dyne 60 cm a druhej 50 cm, 6 ich priemery sú v pomere 60 : 50 =. Pomer ich 5 objemov je = 1, =. Veľká dyňa deda Jozefa by mala byť teda 1,73-krát drahšia ako menšia, t. j. drahšia o 73 %. Dedo Jozef chce za ňu však len o 50 % viac, preto je výhodnejšie kúpiť väčšiu dyňu. 92. Pán Veselý stavia chatu. Už skôr si kúpil pozemok, ktorý má tvar štvorca. Za 1 m 2 zaplatil 20. Pozemok sa mu však zdal malý. Preto prikúpil ďalší kus pozemku. Parcela aj po zväčšení má tvar štvorca, ale jeho strana je o 10 m dlhšia, ako mal pôvodný pozemok. Aj za túto časť zaplatil pán Veselý po 20 za m 2. Prikúpený pozemok ho stál Aký veľký je teraz pozemok a koľko zaň zaplatia spolu? 93. Pán Bielik sa rozhodol, že zrekonštruuje oplotenie pred svojim domom. Zistil, že bude musieť postaviť dva murované piliere (aby do nich osadil bránku) a vyhovovali by mu tvaru pravidelného štvorbokého hranola s hranou podstavy približne cm, vysoké asi 1,2 m. Rozhodol sa, že použije plnú tehlu, o ktorej si zistil, že má rozmery 290 x 140 x 65 mm a jej hmotnosť je približne 4 kg. V tejto súvislosti musel riešiť viac problémov: a) Aké budú presné rozmery pilierov, aby čo najviac vyhovovali jeho predstave o veľkosti pilierov a aby mohol použiť celé tehly (nerozbíjať)? Koľko tehál bude potrebovať? b) Jedna nová tehla stojí 0,34, použitá a očistená 0,17. Koľko eur by ušetril, ak by použil starú tehlu? Ušetril by? c) Pán Novák vlastní osobné auto s prívesným vozíkom s ložnou plochou 1240 x 965 mm, hĺbkou 850 mm a užitočným zaťažením 270/370 kg. Koľkokrát bude musieť ísť do predajne, aby dodržal stanovenú hranicu pre bezpečné a optimálne ovládanie prívesného vozíka počas jazdy? Nebolo by lepšie, keby si ju nechal doviezť a zaplatil by za dovoz podľa ponuky predajcu 16,6, ak je predajňa vzdialená od jeho domu 16 km a priemerná spotreba jeho auta pri zapojení prívesného vozíka je 9 litrov benzínu na 100 km? 132

133 6 Aplikačné úlohy 94. Na obrázku je bazén, ktorý by sme si chceli doma vybudovať. Po zvážení nákladov na jeho vybudovanie by sme chceli ešte vedieť, koľko korún nás bude stáť výmena a chlórovanie vody. Rozmery bazéna: priemer dna je 457 cm, hĺbka bazéna je 107 cm, (hladina vody siaha 15 cm pod horný okraj bazéna). Cena vody: 1 m 3 stojí 1,93 (vodné + stočné). Chlórovanie: prípravok, ktorý chceme použiť na udržiavanie vody sa predáva v cene 10,26 za 0,5 kg balenie alebo 19,82 za 1 kg balenie. Dávkovanie je nasledovné: prvá dávka 230 g prípravku na 20 m 3 vody a potom 200 g na 30 m 3 vody každých 5 až 7 dní. 95. Janka sa Vás pýta, koľko krát za deň, t. j. za 24 hodín, zvierajú hodinová a minútová ručička pravý uhol. 96. V obdĺžnikovom koberčeku ABCD so stranami s dĺžkou 60 op a 40 op označme E pätu kolmice z vrcholu D na uhlopriečku AC. Vypočítajte obsah trojuholníka CDE. 97. Vypočítajte obsah plochy srdca na obrázku, ak viete, že r = 0, 15 jednotiek a jeho výška je v = 0,55 jednotiek. [Návod: Plochu srdca si môžete rozdeliť na štyri zhodné trojuholníky a dva zhodné kružnicové oblúky. Potom vypočítajte ich obsahy.] 98. Kedy budú znovu planéty Slnko, Merkúr a Zem (v tomto poradí) ležať na jednej priamke, ak obežná doba Merkúra okolo Slnka je 88 dní a zároveň predpokladáme, že Merkúr aj Zem obiehajú okolo Slnka v jednej rovine? Takáto konfigurácia planét nastala naposledy

134 6 Aplikačné úlohy 99. Samko nakreslil mnohouholník s viac ako 25 vrcholmi a práve s piatimi osami súmernosťami. Skúste aj vy nakresliť ľubovoľný takýto mnohouholník. [Návod: Najjednoduchším n-uholníkom s piatimi osami súmernosti je pravidelný päťuholník. Nevyhovuje nám však daný počet vrcholov. Stačí teda do každého vrcholu päťuholníka umiestniť ľubovoľný symetrický útvar, ktorý má viac ako päť vrcholov (samozrejme do každého vrcholu rovnaký, aby sa symetria nenarušila).] 100. Na obrázku je zobrazené tajomné znamenie vytvorené z piatich zhodných kružníc, ktoré sa navzájom dotýkajú a dotýkajú sa aj kruhového oltára. Vedeli by ste popísať, ako sa dá týchto päť zhodných kružníc zostrojiť? VÝSLEDKY 1. 9,7 hod. = 9 hod. 42 min dní, 744 hod., min., sek tepov a) 28,6 ; b) 14,3 8. napríklad 2,94; 2,97; 2, m hod ,2 13. v meste 9,6 l, na diaľnici 7,2 l 14. 9,5-krát km a) prvé auto, o 0,2 km; b) prvé auto, o 83 km Peter, o 1,857 m 25. Nitra 26. a) nie, áno; b) 1, na východ od Nitry ,275 ; je to rozdiel; áno; 50 % krát , min ,5 % a) hore, dole; b) 4 alebo 5 poschodí; c) z potravín; d) z potravín 38. nie 39. a) kúsok za Žilinou; b) vychádza z Bratislavy; c) pred Ružomberkom; d) za Liptovským Mikulášom =2.15, 4.10=5.8, 8.15=15.8, 9.10=10.9, 3.15=5.9, 8.9= dní, 45 rokov 43. a) áno, 105x105 cm, 35 listov; b) 2 bloky (3 bloky) hod a) ,5 g, 3 010,5 g 49. 4,5 hl; asi 25,6 hod. = 25 hod. 36 min. 50. asi 57,1 km / hod m 52. 4,375 l 53. a) 1,4 m 3 ; b) 14,55 m 59. a) tupý uhol je uhol väčší ako 90º a menší ako 180º; b) ostrý uhol je uhol menší ako 90º; c) priamy uhol má veľkosť 180º; d) pravý uhol má veľkosť 90º 60. na bránkovú čiaru , 5, 8, 10, 13, 8, a) majú rovnakú časť, platí to v obdĺžniku; b) nie 65. 3, a) 0,336 m 3 ; b) 56 l; c) 2,72 m a) l; b) hl; c) v utorok o 7 00 ; d) 610,65 kg

135 6 Aplikačné úlohy a) ; b) 74. a) ; b) 7 dní 75. a) 531-krát; b) 576,6 m 2 ; c) 3,15 km 76. a) 3,108 m 2 ; b) 43,512 miliónov m 2 ; c) 43,512 km 2 ; d) 4 351,2 m 3 ; 2 2 e) 140 km; f) kg = 3 045,84 t; g) ; 40 % hod. = 1 hod. 40 min , ,4 m 2 ; 8 kg 81. najviac sú rovnaké % trojuholníkov má obsah 1; 10 % trojuholníkov má obsah 2; 10 % trojuholníkov má obsah otvory budú vo vrcholoch štvorstena m 87. áno 89. nie, 21,5% km a) 58 cm, 56 cm, 117 cm, 144 tehál; b) ušetril by kúpou starej tehly; c) 4-krát, výhoda je nechať si to odviesť od predajcu 94. približne krát op ,2068 j za 116 dní 99. nekonečne veľa riešení 100. zostrojte pravidelný 5-uholník, ktorý je kružnici oltáru opísaný; tento 5-uholník môžeme rozdeliť na 5 zhodných trojuholníkov; hľadané kružnice sú kružnice vpísané týmto trojuholníkom. 135