KOMUTATIVNI PRSTENOVI I NJIHOVI MODULI
|
|
- Πορφύριος Φωτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Gut KOMUTATIVNI PRSTENOVI I NJIHOVI MODULI Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Dražen Adamović Zagreb, rujan, 2014.
2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred ispitnim povjerenstvom u sastavu: 1., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:
3 Sadržaj Sadržaj iii Uvod 1 1 Komutativni prstenovi Osnovne definicije i teoremi iz teorije prstenova Teoremi o izmorfizmima prstenova Kineski teorem o ostacima Domena glavnih ideala Noetherini prstenovi Osnovni teorem aritmetike Euklidska domena Polje kvocijenata Prsten polinoma Domena jedinstvene faktorizacije Moduli Osnovne definicije i teoremi iz teorije modula Teoremi o izomorfizmima modula Slobodni moduli Bibliografija 37 iii
4 Uvod Prstenovi su pojam koji se koristi u mnogim područjima matematike, kao što je teorija brojeva ili analiza. Neprazan skup R, zajedno s dvije binarne operacije + : R R R i : R R R nazivamo prsten ako zadovoljava sljedeće uvjete: (1) (R, +) je Abelova grupa, (2) a (b c) = (a b) c, a, b, c R, (3) a (b + c) = a b + a c i (b + c) a = b a + c a, a, b, c R. Prstenovi se, generalno, mogu podijeliti na komutativne i nekomutativne prstenove. U ovom radu bavit ćemo se komutativnim prstenovima, odnosno onim prstenovima u kojima je operacija množenja komutativna. Uz prstenove, prirodno se nadovezuju homomorfizmi prstenova, odnosno preslikavanja s jednog prstena u drugi u skladu s operacijama definiranima na prstenu. Za dva prstena reći ćemo da su izomorfna ako izmedu njih možemo uspostaviti izomorfizam. U radu ćemo navesti teoreme o izomorfizmima prstenova. Nadalje, dokazat ćemo generalizaciju Kineskog teorema o ostacima, koja vrijedi za komutativne prstenove s jedinicom. Integralna domena u kojoj je svaki ideal glavni naziva se domena glavnih ideala. Dokazat ćemo da osnovni teorem aritmetike vrijedi za domene glavnih ideala: Teorem 1. Neka je R domena glavnih ideala. Tada svaki nenul element a R možemo zapisati kao a = up 1 p 2 p n, 1
5 UVOD 2 gdje je u invertibilni element i svaki p i je prost. Štoviše, faktorizacija je jedinstvena. Tako, ako je a = vq 1 q 2 q m, gdje je v invertibilan, a svaki q i prost, tada je m = n i postoji permutacija σ S n, takva da je q i asociran s p σ(i) za 1 i n. Integralnu domenu R nazivamo euklidska domena ako postoji funkcija v : R \ {0} Z + takva da: i) za svaki a, b R \ {0}, v(a) v(ab) i ii) za dane a, b R, a 0, postoje q, r R, b = aq + r takvi da je r = 0 ili v(r) < v(a). U radu ćemo dokazati da je svaka euklidska domena ujedno i domena glavnih ideala. Skup svih polinoma s koeficijentima iz nekog komutativnog prstena s jedinicom, uz standardne operacije zbrajanja i množenja polinoma, čini prsten, i nazivamo ga prsten polinoma. Pokazat ćemo da je prsten polinoma nad poljem domena glavnih ideala. Vezano uz prsten polinoma, dokazat ćemo Hilbertov teorem o bazi: Teorem 2. Neka je R komutativni prsten s jedinicom u kojemu je svaki ideal konačno generiran. Tada je svaki ideal u prstenu polinoma R[X] takoder konačno generiran. Uvest ćemo pojam primitivni polinom te dokazati da je prsten polinoma R[X] domena jedinstvene faktorizacije ako je R domena jedinstvene faktorizacije. Ovo poglavlje završit ćemo dokazom Eisensteinovog kriterija. U drugom dijelu obradit ćemo module. Neka je R prsten s jedinicom. Lijevi R-modul je Abelova grupa zajedno s operacijom skalarnog množenja : R M M, koja za sve elemente a, b iz R i m, n iz M zadovoljava sljedeće aksiome: (i) a(m + n) = am + an
6 UVOD 3 (ii) (a + b)m = am + bm (iii) (ab)m = a(bm) (iv) 1m = m. Analogno se definira i desni R-modul. Slično kao kod prstenova, definirat ćemo homomorfizam modula i navesti teoreme o izomorfizmima modula. Nadalje, za prsten R i R-modul M uvest ćemo pojmove R-linearne nezavisnosti podskupa od M i definirati bazu: Neka je M R-modul. Podskup S od M je baza od M ako S generira M kao R-modul i ako je S R-linearno nezavisan. Posebno ćemo definirati i dati primjere slobodnih modula: R-modul M nazivamo slobodni R-modul ako ima bazu. Rad zaključujemo dokazom teorema: Teorem 3. Neka je D prsten s dijeljenjem i neka je V D-modul. Tada je V slobodan D-modul. Posebno, svaki vektorski prostor V ima bazu.
7 Poglavlje 1 Komutativni prstenovi 1.1 Osnovne definicije i teoremi iz teorije prstenova Osnovni pojam koji se proteže kroz ovaj rad je prsten. Prstenovi su algebarske strukture koji imaju dvije operacije, koje uobičajeno nazivamo zbrajanje i množenje. Definicija Neprazan skup R, zajedno s dvije binarne operacije + : R R R i : R R R nazivamo prsten (označavamo: (R, +, )) ako zadovoljava sljedeće uvjete: (1) (R, +) je Abelova grupa, (2) a (b c) = (a b) c, a, b, c R, (3) a (b + c) = a b + a c i (b + c) a = b a + c a, a, b, c R. Neutralni element grupe (R, +) nazivamo nula prstena i označavamo s 0. Ako je R {0} i množenje ima neutralni element za svaki a R, onda (R, +, ) nazivamo prsten s jedinicom. U prstenu s jedinicom, a je invertibilni element ako a ima multiplikativni inverz, odnosno ako u prstenu postoji b takav da je ab = 1 = ba. 4
8 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 5 Skup svih invertibilnih elementa u prstenu R označavat ćemo s R. Nadalje ćemo umjesto (R, +, ) pisati R, a umjesto a b pisati ab. Podskup S prstena R nazivamo potprsten, ako je (S+, ) i sam prsten. Ako su a i b elementi prstena R, takvi da je a 0 i b 0, a ab = 0, onda a i b nazivamo djelitelji nule prstena R. Ako je množenje u prstenu R komutativno, tada R nazivamo komutativni prsten. Prsten R nazivamo integralna domena ako je R komutativan prsten s jedinicom i ako nema djelitelja nule. Za prsten s jedinicom kažemo da je prsten s dijeljenjem ako svaki nenul element prstena ima multiplikativni inverz, tj. ako je R = R\{0}. Komutativni prsten s dijeljenjem nazivamo polje. Propozicija Konačna integralna domena je polje. Dokaz. Neka je R konačna integralna domena, neka je a R, a 0. Definirajmo funkciju φ a : R R, φ a (b) = ab. Dovoljno je pokazati da je funkcija φ a injekcija. Pretpostavimo da je φ a (b) = φ a (c). Iz toga nam slijedi ab = ac, odnosno ab ac = 0 a(b c) = 0. Jer je a 0, a R integralna domena, slijedi da je b = c, odnosno φ a je injekcija. Kako je R konačan, φ a je surjekcija, stoga i bijekcija pa je a invertibilan, iz čega slijedi da je R prsten s dijeljenjem, a zbog komutativnosti, R je i polje. Primjer Neka je R prsten s jedinicom i neka je M m,n (R) skup svih m n matrica čiji elementi su iz R. Za m = n pisat ćemo M n (R). Označimo s a ij element u i-tom retku i j-tom stupcu matrice A = (a ij ), 1 i m, 1 j n. Za A = (a ij ), B = (b ij ) M m,n (R) definirajmo zbrajanje s: A + B = (c ij ) M m,n (R), gdje je c ij = a ij + b ij, za svaki i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.
9 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 6 Za A M m,n (R) i B M n,p (R) definirajmo množenje s: AB = (c ij ) M m,p (R), pri čemu je n c ij = a ik b kj, za svaki i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., p. k=1 Ove operacije zbrajanja i množenja uvijek su dobro definirane za matrice iz M n (R) i uz te operacije, M n (R) je prsten s jedinicom. Jedinica u tom prstenu je matrica I n, definirana s I n = (δ ij ), gdje je δ ij Kroneckerov delta: 1, za i = j δ ij = 0, za i j. Definicija Neka je R prsten i neka je I R. Kažemo da je I ideal u R ako i samo ako vrijedi: 1. I je aditivna podgrupa u R 2. ri = {ra : a I} I, za svaki r R 3. Ir = {ar : a I} I, za svaki r R. Svaki prsten R ima barem dva ideala: R i {0}. Jedini ideali u prstenu s dijeljenjem R su {0} i R. Neka je I R ideal. Tada je kvocijentni skup R/I, uz operacije zbrajanja (r + I) + (s + I) = (r + s) + I, r, s I i množenja (r + I)(s + I) = rs + I, r, s I prsten i nazivamo ga kvocijentni prsten R po idealu I. Definicija Neka je R prsten i X podskup od R. Najmanji potprsten od R koji sadrži X nazivamo potprsten generiran s X. Najmanji ideal od R koji sadrži X
10 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 7 nazivamo ideal generiran s X i označavamo s X. Ako je X = {a}, ideal generiran s a u komutativnom prstenu s jedinicom je skup a = {ra : r R}. Takav ideal nazivamo glavni ideal. Ideal M u prstenu R nazivamo maksimalni ideal ako je M R i M je takav da ako je I ideal, M I R, tada je I = M ili I = R. Ideal u komutativnom prstenu R nazivamo prost ideal ako je P R i P je takav da ako je ab P, tada je a P ili b P. Definicija Neka su R, S prstenovi. homomorfizam prstenova ako Preslikavanje f : R S nazivamo f(a + b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a)f(b) i vrijedi za svaki a, b R. Dakle, homomorfizam prstenova je preslikavanje koje poštuje dane strukture prstenova. Jezgra homomorfizma je skup Ker (f) = {a R : f(a) = 0}. Slika homomorfizma je skup Im (f) = {f(a), a R}.
11 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI Teoremi o izmorfizmima prstenova Neka su R, S prstenovi te neka je f : R S homomorfizam prstenova. Ako je f invertibilna funkcija, odnosno ako postoji homomorfizam prstenova g : S R takav da je f g = 1 S i g f = 1 R, tada kažemo da je f izomorfizam prstenova. U tom slučaju je i g izomorfizam prstenova, a za prstenove R i S kažemo da su izomorfni i označavamo R = S. Teoreme o izomorfizmima prstenova navodimo bez dokaza, koji se mogu pronaći u [1] Teorem (Prvi teorem o izomorfizmu). Neka je f : R S homomorfizam prstenova. Tada je R/ Ker (f) = Im (f). Teorem (Drugi teorem o izomorfizmu). Neka je R prsten, I R ideal, S R potprsten. Tada je S + I potprsten u R, I je ideal u S + I, S I je ideal u S i (S + I)/I = S/(S I). Teorem (Treći teorem o izomorfizmu). Neka je R prsten i I i J ideali u R takvi da je I J. Tada je J/I ideal u R/I i R/J = (R/I)/(J/I). 1.3 Kineski teorem o ostacima Dokazat ćemo generalizaciju klasičnog Kineskog teorema o ostacima koja vrijedi za komutativne prstenove. Definicija Neka je R prsten i neka je I ideal u R. Za elemente a, b R kažemo da su kongruentni modulo I i pišemo b a(modi) ako je b a I. Teorem (Kineski teorem o ostacima). Neka je R komutativan prsten s jedinicom i neka su I 1, I 2,..., I n ideali u R takvi da je I i + I j = R za sve i j. Za dane elemente a 1, a 2,..., a n R postoji a R takav da je a (a i mod I i ), za 1 i n.
12 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 9 Takoder, b R je rješenje sustava kongruencija x a i (modi i ), za 1 i n ako i samo ako b a(modi 1 I 2 I n ). Dokaz. Prvo ćemo dokazati specijalni slučaj gdje je a 1 = 1 i a j = 0 za j > 1. Za svaki j > 1 možemo naći b j I 1 i c j I j takvi da su b j + c j = 1. Tada je n (b j + c j ) = 1. j=1 Budući da je b j I 1, tada je n n 1 = (b j + c j ) I 1 + I j. Tada postoje α 1 I 1 i β 1 n j=2 slučaja sustava kongruencija, odnosno j=1 j=2 I j i α 1 + β 1 = 1. Uočimo da je β 1 rješenje specijalnog β 1 1(modI 1 ) β 1 0(modI j ), za j 1. Na isti način možemo naći β 2, β 3,..., β n takve da je β i 1(modI i ) β i 0(modI j ), za j i. Neka je a = a 1 β 1 + a 2 β a n β n. Tada je a a i (modi i ), 1 i n. Pretpostavimo sada da je b a i (modi i ), 1 i n. b a i (modi i ) b a 0(modI i ) b a I i n b a I i b a(modi 1 I 2 I n ). Dokaz obrata je jednostavan. i=1
13 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI Domena glavnih ideala Integralnu domenu u kojoj je svaki ideal glavni nazivamo domena glavnih ideala. Neka je R integralna domena i neka su a,b R \ {0}. Za a i b kažemo da su asocirani i koristimo oznaku a b ako postoji invertibilni element u R takav da je a = ub. Nadalje, kažemo da a dijeli b i pišemo a b ako postoji c R takav da je b = ac. Neinvertibilni element a je ireducibilan ako a = bc povlači da su b ili c invertibilni elementi. Neinvertibilni element a je prost ako a bc povlači a b ili a c. Definicija Neka je R integralna domena i neka je A neprazan podskup od R \ {0}. Kažemo da je d R najveći zajednički djelitelj od A ako i) d a za svaki a A ii) ako je e R i e a za svaki a A, tada e d. Ako je 1 najveći zajednički djelitelj od A, tada kažemo da je skup A relativno prost. Teorem Neka je R domena glavnih ideala i neka je A neprazan podskup od R \ {0}. Tada je element d R je najveći zajednički djelitelj od A ako i samo ako je d generator od A. Dokaz. Neka je d generator ideala A. Tada d a za svaki a A Takoder, budući da je d A, slijedi da je d = n r i a i za r 1, r 2,..., r n R i a 1, a 2,..., a n A. Ako e a i=1 za svaki a A, tada e d pa je d najveći zajednički djelitelj od A. Pretpostavimo sada da je d najveći zajednički djelitelj od A i neka je A = c. Tada d a za svaki a A pa je a d. Dakle, c = A d. No, za a A, a c pa c a. Kako je d najveći zajednički djelitelj od A, slijedi da je d c, pa je d = c te je d generator od A. Korolar Neka je R domena glavnih ideala i neka je a R \ {0}. Tada je a prost ako i samo ako je a ireducibilan.
14 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 11 Korolar Neka je R domena glavnih ideala i neka je I R nenul ideal. Tada je I prost ako i samo ako je I maksimalni ideal. 1.5 Noetherini prstenovi Definicija Neka je R prsten s jedinicom. Kažemo da je R Noetherin prsten ako za svaki rastući niz I 1 I 2 I 3 ideala u R postoji n takav da je I k = I n za sve k n. Propozicija Neka je R prsten. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne: (1) R je Noetherin prsten. (2) Svaki ideal u R je konačno generiran. (3) Svaki neprazan podskup ideala u R ima maksimalni element. Posebno, domena glavnih ideala je Noetherin prsten. Dokaz. (1) (3) Pretpostavimo da je S = {I α } α A neprazan skup ideala u R koji nema maksimalni element. Izaberimo I 1 S. Kako S nema maksimalni element, onda postoji I 2 S takav da je I 1 I 2. Isto tako, I 2 nije maksimalni element pa postoji I 3 S takav da je I 2 I 3. Na ovaj način možemo konstruirati beskonačan strogo rastući niz ideala u R, što je u kontradikciji s činjenicom da je R Noetherin prsten. (3) (2) Neka je I ideal u R i neka je S familija svih konačno generiranih ideala u R koji su sadržani u I. Tada postoji maksimalni element J S. Neka je a I. Tada je ideal J + a S i sadrži J. Kako je J maksimalni element u S, slijedi da je J = J + a. Tada je I = J i I je konačno generiran.
15 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 12 (2) (1) Pretpostavimo da je svaki ideal u R konačno generiran. Neka je I 1 I 2 I 3 niz ideala u R i neka je I = za neke a i R. n=1 I n. Tada je I ideal u R takav da je I = a 1, a 2,..., a m a i I = I n, 1 i m n=1 i a i I ni za neki n i. Kako imamo niz ideala, slijedi da postoji n takav da je a i I n za svaki i. Odnosno, za svaki k n je a 1, a 2,..., a m I k I = a 1, a 2,..., a m takvih da je I k = I = I n za svaki k n pa je R Noetherin prsten. 1.6 Osnovni teorem aritmetike Osnovni teorem aritmetike tvrdi da se svaki prirodni broj veći od 1 može jednoznačno (do na poredak faktora) napisati kao umnožak prostih brojeva. Analogon osnovnog teorem aritmetike vrijedi za domene glavnih ideala. Teorem (Osnovni teorem aritmetike). Neka je R domena glavnih ideala. Tada svaki nenul element a R možemo zapisati kao a = up 1 p 2 p n, gdje je u invertibilni element i svaki p i je prost. Štoviše, faktorizacija je jedinstvena. Tako, ako je a = vq 1 q 2 q m, gdje je v invertibilan, a svaki q i prost, tada je m = n i postoji permutacija σ S n, takva da je q i asociran s p σ(i) za 1 i n.
16 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 13 Dokaz. Prvo ćemo dokazati egzistenciju. Neka je a 0 R. U slučaju da je a prost ili je a invertibilan, egzistencija stoji. Uzmimo a koji nije prost i nije invertibilan. Tada a možemo zapisati kao a = a 1 b 1, gdje su a 1 i b 1 neinvertibilni elementi. Tada je a b 1. Ako je b 1 prost, stajemo. Inače, b 1 možemo zapisati kao b 1 = a 2 b 2, gdje su a 2 i b 2 neinvertibilni elementi i b 1 b 2. Na ovaj način možemo kreirati niz a b 1 b 2 Budući da je R domena glavnih ideala, pa tako i Noetherin prsten, ovaj niz ideala mora stati na nekome b n. Tada je b n prost i zaključujemo da za svaki neinvertibilni a 0, a R postoji prosti element koji dijeli a. Neka je sada a 0 neinvertiblni element. Tada a možemo zapisati kao a = p 1 c 1, gdje je p 1 prost. Takoder, a c 1. Ako je c 1 invertibilan, stajemo. Inače, c 1 možemo zapisati kao c 1 = p 2 c 2, gdje je p 2 prost i c 1 c 2. I tako redom možemo stvoriti niz a c 1 c 2. Kako je R domena glavnih ideala, tada ovaj niz ideala ne može biti beskonačan te mora stati na nekom c n koji je invertibilan. Tada je a = p 1 p 2 p n c n = p 1 p 2 p n u. Dokažimo sada jedinstvenost. Pretpostavimo da je a = p 0 p 1 p n = q 0 q 1 q m, gdje su p 1, p 2,..., p n, q 1, q 2,..., q m prosti, a p 0 i q 0 invertibilni u R. Jedinstvenost ćemo dokazati indukcijom po k = min{m, n}. Ako je n = 0, tada je a invertibilan, pa je a =q 0 te je m = 0.
17 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 14 Pretpostavimo da je k > 0 i pretpostavimo da je rezultat istinit za sve b R koji se mogu faktorizirati na manje od k prostih elemenata. Tada p n q 0 q 1 q m pa p n dijeli neki q i. Pretpostavimo da p n q m. Kako je q m prost, tada q m = p n c povlači da je c invertibilan, a p n i q m su asocirani. Neka je a = a p n = p 0 p 1 p n 1 = (q 0 c)q 1 q 2 q m 1. Tada je a faktoriziran na manje od k prostih elemenata, pa je po pretpostavci indukcije n 1 = m 1 i q i je asociran s p σ(i) za neki σ S n 1. Korolar Neka je R domena glavnih ideala i neka je a 0 R. Tada je a = up n 1 1 p n 2 2 p n k k, gdje su p 1, p 2,..., p k različiti prosti elementi, a u je invertibilni element. Faktorizacija je jedinstvena. 1.7 Euklidska domena Definicija Integralnu domenu R nazivamo euklidska domena ako postoji funkcija v : R \ {0} Z + takva da: i) za svaki a, b R \ {0}, v(a) v(ab) i ii) za dane a, b R, a 0, postoje q, r R, b = aq + r takvi da je r = 0 ili v(r) < v(a). Primjer Prsten cijelih brojeva Z uz funkciju v(n) = n je euklidska domena.
18 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 15 Teorem Neka je R euklidska domena. Tada je R domena glavnih ideala. Dokaz. Neka je I R nenul ideal i neka je S = {v(a) : a I \ {0}} Z + Neka je n 0 najmanji element skupa S. Izaberimo a I takav da je v(a) = n 0. Tvrdimo da je I = a. Kako je a I, tada je a I. Neka je b I. Tada je b = aq + r za q, r R, gdje je r = 0 ili v(r) < v(a). Kako je r = b aq I, onda je v(a) v(r), ako je r 0. Iz toga slijedi da r mora biti 0, pa je b = aq a, I = a, odnosno R je domena glavnih ideala. Euklidov algoritam za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju prirodnih brojeva vrijedi i u euklidskoj domeni za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju elemenata iz R. Algoritam je sljedeći: Za dane elemente a 1, a 2 R \ {0} napišimo a 1 = a 2 q 1 + a 3, gdje je a 3 = 0 ili v(a 3 ) < v(a 2 ) a 2 = a 3 q 2 + a 4, gdje je a 4 = 0 ili v(a 4 ) < v(a 3 ) a 3 = a 4 q 3 + a 5, gdje je a 5 = 0 ili v(a 5 ) < v(a 4 ). Budući da je v(a 2 ) > v(a 3 ) > v(a 4 ) >, algoritam mora stati nakon konačno mnogo koraka, odnosno a n+1 = 0 za neki n. Za taj n onda imamo a n 1 = a n q n Tvrdimo da je a n najveći zajednički djelitelj od {a 1, a 2 }. Dokažimo to. Označimo najveći zajednički djelitelj od a, b R s (a, b). Tada je, prema teoremu 1.4.2, (a, b) generator ideala generiranog s {a, b}. Tvrdimo da je (a i, a i+1 ) = (a i+1, a i+2 ) za 1 i n 1. Kako je a i = a i+1 + q i + a i+2, slijedi da je
19 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 16 xa i + ya i+1 = x(a i+1 q i + a i+2 ) + ya i+1 = (xq i + y)a i+1 + xa i+2. Tada je a i, a i+1 a i+1, a i+2. Slično, ra i+1 + sa i+2 = ra i+1 + s(a i a i+1 q i ) = sa i + (r q i )a i+1 pa je a i+1, a i+2 a i, a i+1, odnosno a i+1, a i+2 = a i, a i+1 iz čega slijedi da je (a i, a i+1 ) = (a i+1, a i+2 ). Zaključujemo da je (a 1, a 2 ) = (a 2, a 3 ) = = (a n 1, a n ). Kako a n a n 1, to je (a n 1, a n ) = a n pa je tvrdnja dokazana. 1.8 Polje kvocijenata Definicija Ako je R komutativni prsten, za S podskup od R reći ćemo da je multiplikativni podskup ako je produkt bilo koja dva elementa u S, element u S. Definicija Neka je R komutativan prsten i neka je S R, neprazan multiplikativni podskup u R koji nema djelitelja nule. Lokalizacija od R po S je komutativni prsten R S s jedinicom i injektivni homomorfizam prstenova φ : R R S takav da za sve a R S postoji b R i c S takav da je φ(c) invertibilan u R S i a = φ(b)φ(c) 1. Ako je R integralna domena i S = R \ {0}, onda R S nazivamo polje kvocijenata. Teorem Neka je R komutativni prsten. Neka je S R neprazan multiplikativni podskup koji nema djelitelja nule. Tada postoji lokalizacija R S po S i R S je jedinstven do na ekvivalenciju.
20 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 17 Dokaz. Definirajmo relaciju na R S Relacija je relacija ekvivalencije. (a, b) (c, d) ad = bc. Neka je R S = R S/ skup svih klasa ekvivalencije relacije. Klasu ekvivalencije (a, b) označit ćemo s a b. Za svaki c S, (a, b) (ac, bc), odnosno a b = ac bc za svaki c S. Na R S definirajmo operacije zbrajanja i množenja: a b + c d = ad + bc bd (1.1) a b c d = ac (1.2) bd Jer je S multiplikativni podskup, bd S. Provjerimo sada da operacije ne ovise o izboru predstavnika klase ekvivalencije: Neka je a b = a i neka je c b d = c d. Tada je i ab = ba te cd = dc, pa je i acb d = bda c, odnosno ac bd = a c pa je operacija množenja (1.2) dobro definirana. Takoder, b d provjerimo da je operacija zbrajanja (1.1) dobro definirana: (ad + bc)b d = ab dd + bb cd = ba dd + bb dc = (a d + b c )bd. Zaključujemo da je R S komutativni prsten s jedinicom. Definirajmo sada φ : R R S. Neka je s S i definirajmo φ s : R R s, φ s (a) = as s. Tvrdimo da ako je s S, tada je φ s = φ s. Kako je φ s (a) = as s i φ as s (a) =, te ass = as s, slijedi da je φ s s = φ s i možemo definirati φ kao φ s za bilo koji s S.
21 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 18 Pokažimo sada da je φ homomorfizam prstenova. Neka su a, b R i s S. i φ(ab) = abs s (a + b)s φ(a + b) = s = as s + bs s = abs2 s 2 = as s bs s = φ(a)φ(b) = as2 + bs 2 s 2 = φ(a) + φ(b). φ(1) = s s = 1 R s, Ker(φ) = {a R : a s = 0 s } = {0}. Dakle, φ je injektivni homomorfizam prstenova. Pretpostavimo da je a b R s, a R, b S. Tada je a b = as s s bs = φ(a)(φ(b)) 1, odnosno konstruirali smo lokalizaciju od R po S. Provjerimo još jedinstvenost do na ekvivalenciju: Pretpostavimo da su φ : R R S i φ : R R S dvije lokalizacije od R po S. Definirajmo β : R S R S: Neka je a R S. Tada a možemo napisati kao a = φ(b)(φ(c)) 1, gdje je b R i c S, pa definirajmo β(a) = φ (b)(φ (c)) 1. Pokažimo da je β dobro definiran: Ako je φ(b)(φ(c)) 1 = a = φ(b )(φ(c )) 1, tada je φ(b)φ(c ) = φ(b )φ(c), odnosno φ(bc )) = φ(b c). Budući da je φ injektivan, to je bc = b c. Jer je φ homomorfizam, dobivamo da je te je β dobro definirana funkcija. φ (b)(φ (c)) 1 = β(a) = φ (b )(φ (c )) 1,
22 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 19 Pokažimo sada da je β bijekcija. Definirajmo γ : R S R S, γ(a ) = φ(b )(φ(c )) 1 ako je a = φ (b )(φ (c )) 1 za neke b R, c S. Kao i za β, pokaže se da je γ dobro definirana funkcija. Za a R S, napišimo a = φ(b)(φ(c)) 1 i izračunajmo γ(β(a)) = γ(φ (b)(φ (c)) 1 ) = φ(b)(φ(c)) 1 = a Slično pokažemo da je β(γ(a )) = a pa je β bijektivna funkcija. Lako se još provjeri da je β homomorfizam, čime je teorem dokazan. Primjer Polje racionalnih brojeva nad integralnom domenom Z je polje kvocijenata. 1.9 Prsten polinoma Definicija Neka je R komutativni prsten s jedinicom. Označimo s R[X] skup svih funkcija f : Z + R takvih da je f(n) = 0 za sve, osim za konačno mnogo nenegativnih brojeva n. Strukturu na skupu R[X] zajedno s operacijama (f + g)(n) = f(n) + g(n) n (fg)(n) = f(m)g(n m) m=0 zovemo prsten polinoma u X s koeficijentima iz R. Definirajmo X R[X] s Funkcija X n je tada: 1, ako je n = 1 X(n) = 0, ako je n 1. 1, ako je m = n X n (m) = 0, ako je m n
23 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 20 pa svaki f R[X] možemo jedinstveno napisati kao f = a n X n, n=0 gdje je a n = f(n). X 0 je jedinica u R[X]. Elemente u R[X] zovemo polinomi i označavat ćemo ih s f(x). Definirajmo stupanj polinoma f(x) = deg(f(x)) s: n=0 a n X n R[X], f(x) 0, u oznaci deg(f(x)) = max{m : a m 0}. Ako je n stupanj polinoma f(x) R[X], onda možemo pisati f(x) = n i=0 a n X n. Koeficijent a n tada nazivamo vodeći koeficijent i označavat ćemo ga s lc(f(x)). Ako je vodeći koeficijent polinoma f(x) jednak 1, reći ćemo da je polinom f(x) normiran. Dogovorno, stupanj nulpolinoma je deg(f(0)) =. Lema Neka je R komutativni prsten i neka su f(x), g(x) R[X]. Tada: (i) deg(f(x) + deg(g(x)) max{deg(f(x)), deg(g(x))}, (ii) deg(f(x)g(x)) deg(f(x) + deg(g(x), (iii) ako je R integralna domena, tada je deg(f(x)g(x)) = deg(f(x) + deg(g(x). Korolar Ako je R integralna domena, tada: (1) R[X] je integralna domena, (2) invertibilni elementi u R[X] su invertibilni u R. Dokaz. (1) Ako je f(x) 0, g(x) 0, tada je deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)) 0 >, pa je f(x)g(x) 0. (2) Ako je f(x)g(x) = 1, tada je deg(f(x)) + deg(g(x)) = deg(1) = 0, što znači da su f(x) i g(x) polinomi stupnja 0, odnosno da su iz R.
24 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 21 Teorem (Teorem o dijeljenju s ostatkom). Neka je R komutativan prsten s jedinicom, neka je f(x) R[X] i neka je g(x) R[X] normirani polinom. Tada postoje jedinstveni polinomi q(x) i r(x) u R[X], deg(r(x)) < deg(g(x)) takvi da je f(x) = g(x)q(x) + r(x). Dokaz. Dokažimo egzistenciju: Neka je f(x) = a 0 + a 1 X + a n X n R[X] i neka je g(x) = b 0 + b 1 X + + b m 1 X m 1 + X m normirani polinom u R[X] stupnja m 1. Ako je n m, neka je q 1 (X) = a n X n m. Tada je f 1 (X) = f(x) g(x)q 1 (X) stupnja manjeg ili jednakog n 1. Ako je deg(f 1 (X)) m, ponavljamo proces. Nakon konačno mnogo koraka, dobit ćemo polinom f s (X) stupnja manjeg od m. Za q(x) = q 1 (X)+q 2 (X)+ +q s (X) i r(x) = f(x) g(x)q(x) dobivamo jednakost f(x) = g(x)q(x) + r(x), (1.3) gdje je deg(r(x)) < deg(g(x)). Dokažimo sada jedinstvenost. Pretpostavimo da osim (1.3), postoji i f(x) = g(x)q 1 (X)+ r 1 (X), deg(r 1 (X)) < deg(g(x)). Tada je g(x)(q 1 (X) q(x)) = r(x) r 1 (X). Kako je g(x) normirani polinom, tada je deg(g(x)) + deg(q 1 (X) q(x)) = deg(r(x) r 1 (X)) < deg(g(x)). Iz toga slijedi da je deg(q 1 (X) q(x)) =, odnosno q 1 (X) = q(x). To povlači da je r 1 (X) = r(x), čime smo dokazali jedinstvenost. Korolar Neka je R komutativan prsten s jedinicom i neka je a R. Tada je za svaki f(x) R[X] f(x) = (X a)q(x) + f(a) za neki q(x) R[X].
25 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 22 Teorem Neka je F polje. Tada je F [X] domena glavnih ideala. Dokaz. Neka je I ideal u F [X]. Ako je I = {0}, tada je I glavni ideal. Pretpostavimo da je I {0}. Uzmimo g(x) I takav da g(x) 0 i deg(g(x)) deg(f(x)), za svaki f(x) I \ {0}. Tvrdimo: I = g(x). Kako je F polje, g(x) možemo množiti s elementom iz F tako da dobijemo normirani polinom, koji je takoder u I. Zato možemo pretpostaviti da je g(x) normirani polinom koji je takoder iz I. Neka je f(x) I. Tada je, prema teoremu 1.9.4, f(x) = g(x)q(x) + r(x), deg(r(x)) < deg(g(x)). Ali, r(x) = f(x) g(x)q(x), pa zbog izbora g(x), r(x) = 0. Znači, f(x) = g(x)q(x) I, I = g(x) pa je F [X] domena glavnih ideala. Teorem (Hilbertov teorem o bazi). Neka je R komutativni prsten s jedinicom u kojemu je svaki ideal konačno generiran. Tada je svaki ideal u prstenu polinoma R[X] takoder konačno generiran. Dokaz. Uočimo da je 0 R[X] konačno generiran pa neka je I R[X], I 0. Prisjetimo se, s lc(f(x)) označili smo vodeći koeficijent od f(x) R[X], f(x) 0. Neka je f(x) R[X], f(x) 0. Za n = 0, 1, 2,... neka je I n = {a R : lc(f(x)) = a za neke f(x) I stupnja n} {0}. Uočimo da je za svaki n, I n ideal u R. Budući da je lc(f(x)) = lc(x(f(x)), slijedi da je I n I n+1 za svaki n. Neka je J = I n. Tada je J ideal u R i J je konačno generiran. Obzirom da J n=0 konačno generiran, J = I n za neki n. Neka je 0 m n i neka skup {a m1, a m2,..., a mkm } generira I m. Izaberimo f mj (X) I takav da deg(f mj (X)) = m i lc(f mj (X)) = a mj,
26 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 23 za 0 m n, 1 j k m. Neka je Pokazat ćemo da je Î = I. Pretpostavimo da je f(x) I. Î = f mj (X) : 0 m n, 1 j k m. Ako je f(x) = 0 ili deg(f(x)) = 0, tada je f(x) deg(f(x)) = r > 0 i dokažimo indukcijom po r da je I Î. Î pa pretpostavimo da je Neka je a jednak vodećem koeficijentu od f(x), odnosno a = lc(f(x)). Ako je r n, tada je a I r pa možemo napisati Tada je lc( kr i=1 c i f ri (X)) = a. a = c 1 a r1 + c 2 a r2 + + c kr a rkr. Budući da su f(x) i kr c i f ri (X) istog stupnja i imaju jednak vodeći koeficijent, to je i=1 k r deg(f(x) c i f ri (X)) < r. i=1 Indukcijom po r možemo zaključiti da je f(x) kr slučaju r n. Ako je r > n, tada je a I r = I n, odnosno a možemo zapisati kao Tada je, slično kao u prethodnom slučaju, i=1 a = c 1 a n1 + c 2 a n2 + + c kn a nkn. deg(f(x) te je, induktivno po r, f(x) Î. k n i=1 c i X r n f ni (X)) < r Ovime smo dokazali da je I Î. Jasno je da je Î I pa je I = Î. Time smo dokazali da je I konačno generiran. c i f ri (X) Î pa je i f(x) Î, u
27 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 24 Navedimo još ova dva rezultata koja direktno slijede iz Hilbertovog teorema o bazi: Korolar Neka je R komutativan prsten s jedinicom u kojemu je svaki ideal konačno generiran. Tada je svaki ideal u R[X 1, X 2,..., X n ] konačno generiran. Korolar Neka je F polje. Tada je svaki ideal u prstenu polinoma F [X 1, X 2,..., X n ] konačno generiran Domena jedinstvene faktorizacije Proučavat ćemo domene jedinstvene faktorizacije. Domenu jedinstvene faktorizacije nazivamo još i faktorijalni prsten. Definicija Integralnu domenu R nazivamo domena jedinstvene faktorizacije, ako svaki nenul element a iz R možemo jednoznačno napisati kao a = up 1 p 2 p r, gdje je u inveritibilni element, a svaki p i je ireducibilni element u R. Rastav je jedinstven, odnosno, ako je a = vq 1 q 2 q s, gdje je v invertibilan, a svaki q j ireducibilan, tada je r = s i nakon permutiranja, (ukoliko je potrebno) q i je asociran s p j. Takoder, a možemo zapisati kao a = p m 1 1 p m 2 2 p mt t, gdje p i nije asociran s p j za i j. Za svaki p i kažemo da je prosti faktor od a. Lema Neka je R domena jedinstvene faktorizacije. Element a R je ireducibilan ako i samo ako je prost. Dokaz. Pretpostavimo da je a ireducibilan i da a bc. Tada je ad = bc za neki d R. Kako je R domena jedinstvene faktorizacije, b, c možemo zapisati kao produkt: au 1 d 1 d 2 d r = u 2 b 1 b 2 b s u 3 c 1 c 2 c t, gdje su svaki b i, c j i d k ireducibilni i svaki u l je invertibilan. Kako je faktorizacija od bc jedinstvena, slijedi da je a asociran s nekim b i ili c j, što znači da a b ili a c.
28 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 25 Faktorizacija u prstenu polinoma Pokazat ćemo da ako je R domena jedinstvene faktorizacije, tada je R[X] takoder domena jedinstvene faktorizacije. Definicija Neka je R domena jedinstvene faktorizacije i neka je f(x) R[X], f(x) 0. Najveći zajednički djelitelj koeficijenata od f(x) nazivamo sadržaj od f(x) i označavamo s cont(f(x)). Polinom f(x) nazivamo primitivni polinom ako je cont(f(x)) = 1. Lema (Gaussova lema). Neka je R domena jedinstvene faktorizacije i neka su f(x), g(x) nenul polinomi u R[X]. Tada je cont(f(x)g(x)) = cont(f(x)) cont(g(x)). Posebno, ako su f(x) i g(x) primitivni, onda je produkt f(x)g(x) primitivan. Dokaz. Napišimo f(x) = cont(f(x))f 1 (X) i g(x) = cont(g(x))g 1 (X), gdje su f 1 (X) i g 1 (X) primitivni polinomi. Tada je f(x)g(x) = cont(f(x)) cont(g(x))f 1 (X)g 1 (X). Pokazat ćemo da je produkt f 1 (X)g 1 (X) primitivan. Neka su f 1 (X) = a 0 + a 1 X + + a m X m i g 1 (X) = b 0 + b 1 X + + b n X n, i pretpostavimo da koeficijenti od f 1 (X)g 1 (X) imaju zajednički djelitelj d koji nije invertibilan. Neka je p prosti djelitelj od d. Tada p mora dijeliti sve koeficijente od f 1 (X)g 1 (X), ali budući da su f 1 (X) i g 1 (X) primitivni, p ne dijeli sve koeficijente od f 1 (X) i ne dijeli sve koeficijente od g 1 (X). Neka je a r prvi koeficijent od f 1 (X) kojeg p ne dijeli i neka je b s prvi koeficijent od g 1 kojeg p ne dijeli. Promatrajmo onda koeficijente od X r+s produkta f 1 (X)g 1 (X). Ti koeficijenti su oblika a r b s + (a r+1 b s 1 + a r+2 b s 2 + ) + (a r 1 b s+1 + a r 2 b s+2 + ).
29 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 26 Kako p dijeli ovu sumu i p dijeli svaki a i, i < r te p dijeli svaki b j, j < s, dobijemo da p a r b s, a kako je p prost, p a r ili p b s, što je kontradikcija s pretpostavkom, odnosno produkt f 1 (X)g 1 (X) je primitivan. Lema Neka je R domena jedinstvene faktorizacije s poljem kvocijenata F. Ako je f(x) F [X], f(x) 0, tada je f(x) = αf 1 (X), gdje je α F i f 1 (X) je primitivni polinom u R[X]. Faktorizacija je jedinstvena do na množenje s invertibilnim elementom iz R. Dokaz. Napišimo f(x) = 1 d f(x), gdje je f(x) R[X], a d zajednički nazivnik cont( f(x)) nenul koeficijenata od f(x). Neka je α = = c F. Iz toga slijedi da je d d f(x) = αf 1 (X), gdje je f 1 (X) primitivni polinom. Dokažimo sada jedinstvenost. Pretpostavimo da f(x) možemo zapisati i kao βf 2 (X), gdje je f 2 (X) primitivni polinom u R[X], a β = a b. Tada adf 2 (X) = cbf 1 (X) ad = ucb uf 2 (X) = f 1 (X), gdje je u R invertibilni element. Lema Pretpostavimo da je R domena jedinstvene faktorizacije s poljem kvocijenata F. Ako f(x) R[X] pozitivnog stupnja i ireducibilan u R[X], tada je f(x) ireducibilan u F [X]. Dokaz. Ako je f(x) R[X] pozitivnog stupnja i ireducibilan u R[X], tada je f(x) primitivan. Pretpostavimo da je f(x) reducibilan u F [X]. Tada je f(x) = g 1 (X)g 2 (X), gdje su g i F [X] i deg(g i (X i )) > 0, za i = 1, 2. Tada je g i (X) = α i f i (X), gdje je α i F i f i (X) R[X] je primitivan i f(x) = α 1 α 2 f 1 (X)f 2 (X). Prema Gaussovoj lemi , f 1 (X)f 2 (X) je primitivan, a prema lemi f(x) i f 1 (X)f 2 (X) različiti su do na množenje invertibilnim elementom iz R, što je u
30 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 27 kontradikciji s ireducibilnošću f(x) u R[X]. Zaključujemo da je f(x) ireducibilan u F [X]. Teorem Ako je R domena jedinstvene faktorizacije, tada je i R[X] domena jedinstvene faktorizacije. Dokaz. Neka je F polje kvocijenata od R i neka je f(x) R[X], f(x) 0. Kako je F [X] domena jedinstvene faktorizacije, možemo napisati f(x) = p 1 (X)p 2 (X) p r (X), gdje su p i F [X] ireducibilni polinomi za 1 i r. Prema lemi , p i (X) = α i q i (X), gdje je α i F i q i (X) R[X] primitivni polinom. Onda je f(x) = cq 1 (X)q 2 (X) q r (X), gdje je c = α 1 α 2 α r F. Neka je c = a, a, b R. Tada, prema Gaussovoj lemi b imamo cont(bf(x)) = cont(aq 1 (X)q 2 (X) q r (X)) = a, odnosno b cont(f(x)) = a pa b a i cont(f(x)) = c R. Svaki q i (X) je ireducibilan u F [X], pa je ireducibilan i u R[X]. Kako je R domena jedinstvene faktorizacije, napišimo c = ud 1 d 2 d s, gdje je svaki d i prost u R i u R je invertibilan. Tada je f(x) = ud 1 d 2 d s q 1 (X)q 2 (X) q r (X), odnosno f(x) je produkt ireducibilnih elemenata iz R[X]. Trebamo još dokazati jedinstvenost faktorizacije. Pretpostavimo da je f(x) = vb 1 b 2 b t q 1(X)q 2(X) q k(x), gdje je svaki q i primitivni polinom u R[X], a svaki b i ireducibilan u R. Kako je to faktorizacija i u F [X], onda je r = k i svaki q i je asociran s q i. No kako su primitivni polinomi asocirani u F [X], tada su asocirani i u R[X]. Nadalje, cont(f(x)) = vb 1 b 2 b t = ud 1 d 2 d s,
31 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 28 pa, jer je R domena jedinstvene faktorizacije, s = t i b i je asociran s d i. Za kraj ovog poglavlja, dokazat ćemo Eisensteinov kriterij. Teorem (Eisensteinov kriterij). Neka je R domena jedinstvene faktorizacije s poljem kvocijenata F. Neka je f(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n R[X], a n 0 i pretpostavimo da je p R prost element takav da (1) p ne dijeli a n, (2) p dijeli a i, za 0 i n 1, (3) p 2 ne dijeli a 0. Tada je f(x) ireducibilan u F [X]. Dokaz. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je f(x) primitivni polinom. Ukoliko postoji faktorizacija od f(x) u faktore stupnja većeg ili jednakog 1 u F [X], tada prema lemi postoji faktorizacija u R[X]. Pretpostavimo da možemo zapisati f(x) = g(x)h(x), gdje su g(x), h(x) R[X]. Tada su, prema Gaussovoj lemi f(x) i g(x) primitivni polinomi. Pretpostavimo da je g(x) = b 0 + b 1 X + + b l X l h(x) = c 0 + c 1 X + + c m X m takvi da su l, m 1, b l c m 0 i l + m = n. Kako p a 0 = b 0 c 0, ali p 2 ne dijeli a 0, slijedi da p b 0 ili p c 0, ali ne dijeli oboje. Pretpostavimo da p b 0 i da p ne dijeli c 0. Kako je g(x) primitivan, tada nisu svi koeficijenti od g(x) djeljivi s p. Neka je b i prvi koeficijent od g(x) koji nije djeljiv s p, 0 < i l < n. Tada je a i = b i c 0 + b i 1 c b 0 c i. Kako p a i i p b j za j < i, tada p b i c 0. Ali kako p ne dijeli b i i p ne dijeli c 0, dolazimo do kontradikcije, i zaključujemo da je f(x) ireducibilan u F [X].
32 POGLAVLJE 1. KOMUTATIVNI PRSTENOVI 29 Korolar Neka je p prost broj i neka je f p (X) Q[X], Tada je f p (X) ireducibilan. f p (X) = X p 1 + X p X + 1 = Xp 1 X 1. Dokaz. Budući da je preslikavanje g(x) g(x + 1) izomorfizam prstenova Q[X] Q[X], dovoljno je pokazati da je f p (X + 1) ireducibilan. Lako se pokaže da p dijeli svaki binomni koeficijent ( ) p k, za 1 k < p pa je f p (X + 1) = (X + 1)p 1 (X + 1) 1 = Xp 1 + px p p. f p (X + 1) zadovoljava Eisensteinov kriterij, čime smo dokazali korolar.
33 Poglavlje 2 Moduli Pojam vektorskog prostora nad poljem poznat nam je iz linearne algebre. Module nad prstenovima možemo shvatiti kao generalizaciju vektorskih prostora nad poljem. U ovom poglavlju obradit ćemo osnovna svojstva vezana za module te posebno obraditi module koji imaju bazu, odnosno slobodne module. 2.1 Osnovne definicije i teoremi iz teorije modula Definicije Definicija Neka je R prsten s jedinicom. 1. Lijevi R-modul je Abelova grupa zajedno s operacijom skalarnog množenja : R M M, koja za sve elemente a, b iz R i m, n iz M zadovoljava sljedeće aksiome: (i) a(m + n) = am + an (ii) (a + b)m = am + bm (iii) (ab)m = a(bm) (iv) 1m = m. 30
34 POGLAVLJE 2. MODULI Desni R-modul je Abelova grupa zajedno s operacijom skalarnog množenja : M R M, koja za sve elemente a, b iz R i m, n iz M zadovoljava sljedeće aksiome: (i) (m + n)a = ma + na (ii) m(a + b) = ma + mb (iii) m(ab) = (ma)b (iv) m1 = m. U daljnjem tekstu, osim ako drugačije ne naznačimo, pisat ćemo i dokazivati tvrdnje za lijevi R-modul, pri tome ćemo pisati samo R-modul, a sve tvrdnje i dokazi vrijedit će i za desni R-modul. Homomorfizmi modula, slično kao i kod prstenova, su korisna preslikavanja jer poštuju strukturu modula: Definicija Neka je R prsten i neka su M, N R-moduli. Funkciju f : M N nazivamo homomorfizam R-modula ako vrijedi: f(m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 ), m 1, m 2 M i f(am) = af(m), a R, m M. Primjer Neka je G Abelova grupa i neka je g G. Za n Z definirajmo skalarno množenje ng s g + g + + g, (n puta) za n > 0 ng = 0, ako je n = 0 ( g) + ( g) + + ( g), (-n puta) za n < 0. Uz ovakvo skalarno množenje, G je Z-modul. Štoviše, ako su G i H Abelove grupe i f : G H je homomorfizam grupa, tada je f homomorfizam Z-modula (jer je f(ng) = f(g + g + + g) = f(g) + f(g) + + f(g) = nf(g) i f( g) = f(g).)
35 POGLAVLJE 2. MODULI 32 Primjer Neka je R prsten i I R. Tada je kvocijentni prsten R/I lijevi R-modul i desni R-modul s preslikavanjima zadanima s R R/I R/I (a, b + I) ab + I i R/I R R/I (a + I, b) ab + I. Definicija Neka je F polje. Tada F -modul V nazivamo vektorski prostor nad F. 2. Ako su V i W vektorski prostori nad poljem F, tada je linearna transformacija s V u W homomorfizam F -modula s V u W. Definicija Neka je R prsten i M R-modul. Za N podskup od M kažemo da je podmodul (ili R-podmodul) od M ako je N podgrupa aditivne grupe M s obzirom na istu operaciju skalarnog množenja na M. Neka je M R-modul i neka je N M podmodul. M/N je tada kvocijentna podgrupa. Definirajmo skalarno množenje na M/N s a(m + N) = am + N, a R, m + N M/N. Ako je m + N = m + N, tada je m m N pa je am am = a(m m ) N, odnosno am + N = am + N. Stoga je M/N R-modul i nazivamo ga kvocijentni modul M po podmodulu N. Definicija Ako je S podskup R-modula M, sa S označimo presjek svih podmodula od M koji sadrže S. S nazivamo podmodul od M generiran s S, a elemente od S nazivamo generatori od S.
36 POGLAVLJE 2. MODULI 33 Definicija Kažemo da je R-modul M konačno generiran ako je M = S za neki konačni podskup S od M. M je ciklički ako je M = m za neki element m M. Ako je M konačno generiran, označimo s µ(m) minimalni broj generatora od M. Ako M nije konačno generiran, definirajmo µ(m) =. µ(m) nazivamo dimenzija od M. Ako je R domena glavnih ideala, tada je svaki R-podmodul M od R ideal pa je µ(m) = 1. Definicija Ako je R prsten, M R-modul i X je podskup od M, tada anihilator od X, u oznaci Ann(X), definiramo s Ann(X) = {a R : ax = 0, x X}. Lako se provjeri da je Ann(X) lijevi ideal u R, štoviše, ako je X = N podmodul od M, tada je Ann(N) ideal u R. Ako je R komutativan i N = x ciklički podmodul od M s generatorom x, tada je anihilator elementa x jednak Ann(N) = Ann(x) = {a R : ax = 0}. Definicija Neka je R integralna domena i neka je M R-modul. Kažemo da je element x M torzioni element ako je Ann(x) {0}. Element x M je torzioni element ako i samo ako postoji a 0 R takav da je ax = 0. Neka je M τ skup svih torzionih elemenata od M. Za M ćemo reći da je torziono slobodan ako je M τ = {0}. M je torzioni modul ako je M = M τ. Propozicija Neka je R integralna domena i neka je M R-modul. 1. M τ je podmodul od M i nazivamo ga torzioni podmodul. 2. M/M τ je torziono slobodan.
37 POGLAVLJE 2. MODULI 34 Dokaz. 1. Neka su x, y M τ i neka je c, d R. Tada postoje a 0, b 0 R takvi da je ax = 0 i by = 0. Kako je R integralna domena, ab 0. Onda je ab(cx + dy) = (bc(ax) + ad(by) = 0 pa je cx + dy M τ. 2. Pretpostavimo da je a 0 R i a(x + M τ ) = 0 (M/M τ ) τ. Tada je ax M τ a postoji b 0 R takav da je (ba)x = b(ax) = 0. Kako je ba 0, slijedi da je x M τ, odnosno x + M τ = 0 M/M τ. 2.2 Teoremi o izomorfizmima modula Teoreme o izomorfizmima modula navodima bez dokaza, koji se mogu pronaći u [1]. Teorem (Prvi teorem o izomorfizmu modula). Neka su M, N R-moduli i neka je f : M N homomorfizam R-modula. Tada je M/ Ker(f) = Im(f). Teorem (Drugi teorem o izomorfizmu modula). Neka je M R-modul i neka su N, P podmoduli. Tada postoji izomorfizam R-modula (N + P )/P = N/(N P ). Teorem (Treći teorem o izomorfizmu modula). Neka je M R-modul i neka su N i P podmoduli od M takvi da je P N. Tada je M/N = (M/P )/(N/P ).
38 POGLAVLJE 2. MODULI Slobodni moduli Vektorski prostor nad poljem uvijek ima bazu. Za module to nije uvijek istinito. U ovom odjeljku proučavat ćemo module koji imaju bazu. Definicija Neka je R prsten i neka je M R-modul. Za S podskup od M kažemo da je R-linearno zavisan ako postoje medusobno različiti x 1, x 2,..., x n iz S i elementi a 1, a 2,..., a n iz R, koji nisu svi jednaki 0, takvi da a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0. Za skup koji nije R-linearno zavisan kažemo da je R-linearno nezavisan. Definicija Neka je M R-modul. Podskup S od M je baza od M ako S generira M kao R-modul i ako je S R-linearno nezavisan. Drugim riječima, S M je baza ako i samo ako je 1. M = {0} pa je S = baza; ili 2. M {0} pa je S M baza od M ako i samo ako svaki x M možemo jedinstveno napisati kao x = a 1 x a n x n, x 1, x 2,..., x n S i a 1, a 2,..., a n R. Definicija R-modul M je slobodan R-modul ako ima bazu. Primjer M m,n (R) je slobodan R-modul s bazom S = {E ij : 1 i m, 1 j n}. Primjer Prsten R[X] je slobodan R-modul s bazom {X n : n Z + }. Takoder, R[X] je slobodan R[X]-modul s bazom {1}. Propozicija Neka je R integralna domena i neka je M slobodan R-modul. Tada je M torziono slobodan.
39 POGLAVLJE 2. MODULI 36 Dokaz. Neka je S = {x j } j J baza od M i neka je x M τ. Tada je ax = 0 za neki a 0 R. Napišimo x = j J a j x j. Tada je 0 = ax = j J(aa j )x j. Budući da je S baza od M, aa j = 0 za svaki j J, a jer je a 0 i R integralna domena, zaključujemo da je a j = 0 za svaki j J. Iz toga slijedi da je x = 0 i M τ = 0 pa je M torziono slobodan. Teorem Neka je D prsten s dijeljenjem i neka je V D-modul. Tada je V slobodan D-modul. Posebno, svaki vektorski prostor V ima bazu. Dokaz. Neka je S generira V i neka je B 0 S linearno nezavisan skup od S. Neka je T parcijalno ureden skup svih linearno nezavisnih podskupova od S koji sadrže B 0, ureden skupovnom inkluzijom. Ako je {B i } niz u T, tada je B i linearno nezavisan podskup od S koji sadrži B 0, odnosno svaki niz u T ima gornju medu. Prema Zornovoj lemi, postoji maksimalni element u T. Neka je B maksimalni linearno nezavisni podskup od S koji sadrži B 0. Tvrdimo da je S B, takav da je V = S B. Neka je v S. Kako je B maksimalan, tada je V {v} linearno zavisan pa je m a i v i + bv = 0, i=1 gdje su v 1, v 2,..., v m medusobno različiti elementi u B i a 1, a 2,... a m, b D nisu svi 0. Ako bi b bio jednak 0, slijedilo bi da je m i=1 a i v i = 0. Kako nisu svi a i = 0, to je u kontradikciji s linearnom nezavisnošću od B, odnosno b 0 i zaključujemo da je m v = b 1 (bv) = ( b 1 a i )v i B. i=1 Tada je S B što povlači da je B baza od V.
40 Bibliografija [1] W. A. Adkins i S. H. Weintraub, Algebra. An Approach via Module Theory, Springer, New York, [2] K. Horvatić, Linearna algebra, sv. I, Matematički odjel PMF-a, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [3] B. Širola, Algebarske strukture, predavanja/aspred.pdf, lipanj [4] H. Kraljević, Algebra, hrk/nastava/ /algebra_Osijek_2006_7.pdf, lipanj
41 Sažetak U ovom radu napravljen je pregled osnovnih koncepata komutativnih prstenova i modula. Nakon definicija i osnovnih teorema iz teorije prstenova, u radu se baziramo na komutativne prstenove i definiramo domene glavnih ideala, euklidske domene, domene jedinstvene faktorizacije te dokazujemo teoreme iz tog područja. Poseban naglasak dan je na prstenu polinoma i njegovim svojstvima. Drugi dio rada posvećen je modulima. Osim osnovnih definicija iz teorije modula, obradujemo i slobodne module.
42 Summary This paper presents an overview of basic concepts concerning commutative rings and modules. Following definitions and basic theorems from ring theory, this paper is focused on commutative rings and definitions of principal ideal domains, Euclidean domains, unique factorization domains completed with proofs of said theorems. A particular emphasis is given to polynomial ring and its attributes. Second part of this paper is dedicated to modules. Apart from basic definitions from module theory, focus is given to free modules.
43 Životopis Autorica ovog rada rodena je 17. siječnja godine u Virovitici, gdje je završila Osnovnu školu Vladimira Nazora i prirodoslovno - matematički smjer Gimnazije Petra Preradovića. Na Prirodoslovno - matematičkom fakultetu, Matematičkom odsjeku u Zagrebu završila je preddiplomski studij edukacije matematike i upisala diplomski studij Matematika i informatika: smjer nastavnički.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραMULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007.
Algebarske strukture Braslav Rabar 5. srpnja 2007. Def 1 Neka je S neprazni skup tada pod binarnom operacijom na skupu S razumijevamo svako preslikavanje : S S S, a ureden par (S, ) skupa i neke binarne
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić
Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god. 2011./12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić (skripta ne može zamijeniti vježbe) 1 Sadržaj 1 Grupe 3 1.1
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
Algebarske strukture vježbe prema predlošku i zadacima Martine Balagović i Marcele Hanzer natipkali, proširili i uredili Matija Bašić Aleksandar Milivojević Sanjin Ružić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότεραOperatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić
Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραKOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.
KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar
LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO Zrinka Franu²i, Juraj iftar Sadrºaj 1 Vektorski prostori 2 11 Osnovne algebarske strukture 4 111 Binarna operacija Grupoid 4 112 Grupa 6 113
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραLjuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI. skripta
Ljuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI skripta 30.05.2008 Sadržaj Predgovor ii 1 Uvod 1 2 Funkcionalni račun 13 2.1 Poluprosti i nilpotentni operatori................ 13 2.2 Operatorske funkcije.......................
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα2. Vektorski prostori
2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska
Διαβάστε περισσότεραBarbara Bošnjak, Josip Novak, Veronika Pedić. Racionalne funkcije na krivuljama i primjena nad poljem C
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Barbara Bošnjak, Josip Novak, Veronika Pedić Racionalne funkcije na krivuljama i primjena nad poljem C Zagreb, 2017. Ovaj rad
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192
MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότερα