Algebarske strukture
|
|
- Δάφνη Παπανδρέου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica
2 i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu služe algebarske strukture?
3 i operacije Operacije Evariste Galois ( ) - Jedan od osnivača teorije grupa i prvi čovek koji je uveo termin "grupa".
4 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.
5 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.
6 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.
7 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.
8 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.
9 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.
10 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.
11 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).
12 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).
13 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?
14 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?
15 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?
16 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
17 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
18 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
19 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
20 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
21 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
22 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
23 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
24 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
25 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?
26 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI GRUPOIDA (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (Z, ), (Q, ), (R, ) (Q \ {0}, :), (R \ {0}, :) (P(X), ), (P(X), ) (A A, ), (T, s) (Z n, + n ), (Z n, n), n N
27 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru
28 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru
29 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
30 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
31 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice
32 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice
33 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice
34 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice
35 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice
36 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.
37 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.
38 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.
39 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?
40 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?
41 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?
42 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.
43 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.
44 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledećem grupoidu: a b c d e a b d b c a b a e c d b c d a a b c d b e e d d e a b c d e
45 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.
46 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.
47 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
48 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
49 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
50 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
51 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
52 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
53 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α
54 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
55 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
56 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
57 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
58 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
59 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?
60 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).
61 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).
62 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
63 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
64 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
65 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
66 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
67 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
68 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
69 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
70 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
71 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.
72 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Polugrupa je asocijativni grupoid. Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa Polugrupa S = (S, ) je komutativna ako je grupoid (S, ) komutativan. Polugrupa S = (S, ) je sa jedinicom ako grupoid (S, ) ima jedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.
73 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a
74 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a
75 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.
76 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.
77 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.
78 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.
79 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Grupoid G = (G, ) je kvazigrupa ako za svaki a, b G svaka od jednačina a x = b y a = b ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako Primeri ( a, b G) (!c, d G) a c = b d a = b. (Z, +), (Q, +), (R, +) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) (Z p, p), p - prost broj
80 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Na osnovu Kejlijeve tablice konačnog grupoida ne možemo lako zaključiti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zaključiti da li je u pitanju kvazigrupa. Pitanje: Koji je od sledećih grupoida kvazigrupa? a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d a c b a b c d c d c b a d c a d b
81 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?
82 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?
83 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura. Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa. Alternativna definicija grupe, polazeći od najosnovnijih pojmova, izgleda ovako: Grupoid G = (G, ) je grupa ako važi: 1 ( a, b, c G) (a b) c = a (b c) 2 ( e G)( a G) e a = a e = a 3 ( a G)( a 1 G) a 1 a = a a 1 = e
84 i operacije. Primeri Osobine Red elementa PRIMERI GRUPA (Z, +), (Q, +), (R, +) - Jedinica je 0, a inverz za x je x (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1 x (Z n, + n ) - Jedinica je 0 a inverz za x je n x (Z p \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo očigledno) (P(X), ), gde je simetrična razlika (S n, ), gde je S n skup svih permutacija skupa {1, 2,..., n}, a kompozicija permutacija
85 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Rubikova kocka
86 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Dijedarska grupa R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 0 R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 1 R 1 R 2 R 0 S 1 S 2 S 0 R 2 R 2 R 0 R 1 S 2 S 0 S 1 S 0 S 0 S 2 S 1 R 0 R 2 R 1 S 1 S 1 S 0 S 2 R 1 R 0 R 2 S 2 S 2 S 1 S 0 R 2 R 1 R 0
87 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1
88 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1
89 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1
90 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.
91 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.
92 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.
93 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.
94 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.
95 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.
96 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.
97 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.
98 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.
99 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
100 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
101 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.
102 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.
103 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
104 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
105 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
106 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
107 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
108 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
109 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.
110 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.
111 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.
112 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.
113 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.
114 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.
115 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.
116 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.
117 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.
118 i operacije Prsten Polje Teorema Dokazati da je komutativni grupoid (G, ) u kome važi (x y) z = (z x) y polugrupa.
119 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (G, ) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levo invertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, ) grupa.
120 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (R, +, ) polje sa elementima 0, x 1, x 2,..., x n. Dokazati da je 1 + x 1 x 2... x n = 0.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007.
Algebarske strukture Braslav Rabar 5. srpnja 2007. Def 1 Neka je S neprazni skup tada pod binarnom operacijom na skupu S razumijevamo svako preslikavanje : S S S, a ureden par (S, ) skupa i neke binarne
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραKURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Διαβάστε περισσότεραNeophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd
Διαβάστε περισσότεραOsnovni pojmovi teorije Galoa
Osnovni pojmovi teorije Galoa Milan Ružić Matematički fakultet, Beograd 4. jun 2004. Uvod U algebri je dugo bilo otvoreno pitanje rešivosti algebarskih jednačina a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 preko radikala,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić
Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god. 2011./12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić (skripta ne može zamijeniti vježbe) 1 Sadržaj 1 Grupe 3 1.1
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραPOLUGRUPE. Stojan M. Bogdanović i Miroslav D. Ćirić. Univerzitet u Nišu. Prosveta, Niš
POLUGRUPE Stojan M. Bogdanović i Miroslav D. Ćirić Univerzitet u Nišu Prosveta, Niš Dr Stojan M. Bogdanović redovni profesor Univerziteta u Nišu Dr Miroslav D. Ćirić docent Univerziteta u Nišu POLUGRUPE
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
Algebarske strukture vježbe prema predlošku i zadacima Martine Balagović i Marcele Hanzer natipkali, proširili i uredili Matija Bašić Aleksandar Milivojević Sanjin Ružić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραPREDAVANJA IZ TEORIJE GRUPA
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Igor Dolinka PREDAVANJA IZ TEORIJE GRUPA NOVI SAD, 2018. Sadržaj 1 Definicija i primeri grupa 1 1.1 Definicija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραFlag-tranzitivni linearni prostori
Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραJankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραSKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović
SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun
1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno.
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότερα