Algebarske strukture

Transcript

1 i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica

2 i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu služe algebarske strukture?

3 i operacije Operacije Evariste Galois ( ) - Jedan od osnivača teorije grupa i prvi čovek koji je uveo termin "grupa".

4 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.

5 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.

6 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

11 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).

12 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).

13 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?

16 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

17 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

18 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

26 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI GRUPOIDA (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (Z, ), (Q, ), (R, ) (Q \ {0}, :), (R \ {0}, :) (P(X), ), (P(X), ) (A A, ), (T, s) (Z n, + n ), (Z n, n), n N

27 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru

28 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru

29 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

30 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

31 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

36 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.

39 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?

42 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.

43 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.

44 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledećem grupoidu: a b c d e a b d b c a b a e c d b c d a a b c d b e e d d e a b c d e

45 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.

46 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.

47 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

54 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

60 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).

61 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).

62 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

66 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

72 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Polugrupa je asocijativni grupoid. Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa Polugrupa S = (S, ) je komutativna ako je grupoid (S, ) komutativan. Polugrupa S = (S, ) je sa jedinicom ako grupoid (S, ) ima jedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.

73 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a

74 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a

75 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.

79 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Grupoid G = (G, ) je kvazigrupa ako za svaki a, b G svaka od jednačina a x = b y a = b ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako Primeri ( a, b G) (!c, d G) a c = b d a = b. (Z, +), (Q, +), (R, +) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) (Z p, p), p - prost broj

80 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Na osnovu Kejlijeve tablice konačnog grupoida ne možemo lako zaključiti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zaključiti da li je u pitanju kvazigrupa. Pitanje: Koji je od sledećih grupoida kvazigrupa? a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d a c b a b c d c d c b a d c a d b

81 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?

82 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?

83 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura. Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa. Alternativna definicija grupe, polazeći od najosnovnijih pojmova, izgleda ovako: Grupoid G = (G, ) je grupa ako važi: 1 ( a, b, c G) (a b) c = a (b c) 2 ( e G)( a G) e a = a e = a 3 ( a G)( a 1 G) a 1 a = a a 1 = e

84 i operacije. Primeri Osobine Red elementa PRIMERI GRUPA (Z, +), (Q, +), (R, +) - Jedinica je 0, a inverz za x je x (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1 x (Z n, + n ) - Jedinica je 0 a inverz za x je n x (Z p \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo očigledno) (P(X), ), gde je simetrična razlika (S n, ), gde je S n skup svih permutacija skupa {1, 2,..., n}, a kompozicija permutacija

85 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Rubikova kocka

86 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Dijedarska grupa R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 0 R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 1 R 1 R 2 R 0 S 1 S 2 S 0 R 2 R 2 R 0 R 1 S 2 S 0 S 1 S 0 S 0 S 2 S 1 R 0 R 2 R 1 S 1 S 1 S 0 S 2 R 1 R 0 R 2 S 2 S 2 S 1 S 0 R 2 R 1 R 0

87 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1

90 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.

93 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.

96 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.

99 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

100 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

101 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.

102 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.

103 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

110 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.

111 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.

112 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.

115 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.

118 i operacije Prsten Polje Teorema Dokazati da je komutativni grupoid (G, ) u kome važi (x y) z = (z x) y polugrupa.

119 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (G, ) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levo invertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, ) grupa.

120 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (R, +, ) polje sa elementima 0, x 1, x 2,..., x n. Dokazati da je 1 + x 1 x 2... x n = 0.