Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.
|
|
- ῾Ερμιόνη Φλέσσας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012.
2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Darija Marković Osijek, 2012.
3 Sažetak. U ovom radu definiran je skalarni produkt, te su pružene definicije osnovnih pojmova potrebni za shvaćanje skalarnog produkta. Takoder, definiran je pojam ortogonalnost. Konstruiran je skalarni produkt na prostorima L 2 i l 2, te je objašnjena ortogonalnost funkcija. Ključne riječi: vektorski prostor, norma, skalarni produkt, ortogonalnost, familije ortogonalnih funkcija Abstract. (Scalar product) This paper defines the scalar product, and provides definitions of the basic concepts necessary to understand the scalar product. The scalar product on spaces L 2 and l 2 is constructed and orthogonality of functions is explained. Keywords: vector space, norm, scalar product, orthogonality, families of ortogonal functions
4 Sadržaj 1 Uvod Pojam vektorskog prostora Baza vektorskog prostora Norma Skalarni produkt 5 3 Ortogonalnost Ortogonalna projekcija Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije Prostori L 2 i l Prostor L Prostor l Familije ortogonalnih funkcija Ortogonalni polinomi Trigonometrijske funkcije
5 1 1 Uvod 1.1 Pojam vektorskog prostora Definicija 1.1. Neka je G neprazan skup s binarnom operacijom +, tj. preslikavanje G G G, (a, b) a + b. Uredeni par (G, +) zovemo grupa ako vrijedi sljedeće: (1) asocijativnost a, b, c G (a + b) + c = a + (b + c) (2) postojanje neutralnog elementa e G t.d. a + e = e + a = a a G (3) postojanje inverznog elementa a G b G t.d. a + b = e = b + a Inverzni element od a obično se označava s a Grupa (G, +) naziva se Abelova grupa ako vrijedi i svojstvo (4) komutativnost a + b = b + a a, b G Primjer 1.1. (Z, +),(R, +), (R = R\{0}, ) jesu grupe, i to Abelove, dok (R, ) nije grupa Definicija 1.2. Polje je skup K s barem dva elementa na kome su zadane dvije komutativne i asocijativne binarne operacije, zbrajanje +: K K K, (α, β) α + β i množenje : K K K, (α, β) αβ tako da vrijedi [4]: 1. (K, +) je Abelova grupa s neutralnim elementom 0 2. (K\{0}, ) je Abelova grupa s neutralnim elementom 1 3. množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje α, β, γ K α(β + γ) = αβ + αγ Primjer 1.2. (Q, +, ) je polje racionalnih brojeva, (R, +, ) je polje realnih brojeva, (C, +, ) je polje kompleksnih brojeva, dok (Z, +, ) nije polje.
6 2 Definicija 1.3. Neka je X neprazan skup i K polje, te neka su zadane operacija +: X X X (a, b X, (a, b) a+b) i operacija : K X X (λ K, a X, (λ, a) λa). Uredena trojka (X, +, ) naziva se vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi [1]: (a) (X, +) je Abelova grupa (b) distributivnost obzirom na zbrajanje u X λ K a, b X λ(a + b) = λa + λb (c) distributivnost obzirom na zbrajanje u K λ, µ K a X (λ + µ) a = λa + µa (d) kvaziasocijativnost λ, µ K a X (λ µ) a = λ(µa) (e) ako je 1 K neutralni element za množenje u K, tada vrijedi 1 a = a za sve a X Elemente iz vektorskog prostora X zovemo vektorima i označavamo ih malim latinskim slovima. Elemente iz K nazivamo skalarima, te elemente polja označavamo malim grčkim slovima. K može biti bilo koje polje, no najčešće biti polje realnih (K = R) ili kompleksnih (K = C) brojeva. Ako je X vektorski prostor nad poljem realnih, odnosno kompleksnih, brojeva, X se naziva realni, odnosno kompleksni, vektorski prostor. Potprostor vektorskog prostora (X, +, ) je svaki podskup od X koji je i sam vektorski prostor obzirom na iste operacije. Neka su v 1,v 2,...,v n vektori iz (X, +, ). Linearna kombinacija vektora v 1,v 2,...,v n iz (X, +, ) je svaki vektor v oblika v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n = α j v j j=1 gdje su α 1, α 2,..., α n skalari iz K. Najmanji vektorski potprostor koji sadrži sve vektore v 1,v 2,...,v n je potprostor [S] kojemu su elementi linearne kombinacije skupa {v 1,v 2,...,v n }. Osim oznake [S] koristi se još i span{v 1, v 2,..., v n }. [S] se zove potprostor generiran skupom S ili potprostor razapet skupom S. Ako je W = [S] kažemo da skup S razapinje potprostor W.
7 3 1.2 Baza vektorskog prostora Kažemo da je skup vektora v 1,v 2,...,v n X linearno nezavisan ako njihova proizvoljna linearna kombinacija iščezava jedino na trivijalan način [2]: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 = λ 1 = = λ n = 0 U suprotnom kažemo da je skup vektora linearno zavisan, tj. postoji barem jedna njihova linearna kombinacija koja iščezava na netrivijalan način [2]: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 pri čemu λ i 0 Definicija 1.4. Neka je X vektorski prostor. Uredeni skup vektora B iz X zove se baza vektorskog prostora X ako zadovoljava [4]: (i) B je linearno nezavisan skup (ii) [B] = X Teorem 1.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K, te neka je B = {b 1, b 2,..., b n } baza za X. Tada za svaki x X postoje jedinstveno odredeni skalari α 1, α 2,..., α n K takvi da vrijedi x = α j b j j=1 Dokaz. Za neki x X vrijedi x = n j=1 α jb j. Pretpostavimo da se vektor x može zapisati na sljedeći način x = n j=1 β jb j Oduzimanjem dobijemo n j=1 (α j β j )b j = 0. Budući da je B linearno nezavisan skup, slijedi α j β j = 0, i = 1, 2,..., n. Primjer 1.3. (a) U prostoru R n promatramo vektore e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1). i-ta komponenta vektora e i iznosi 1 za i = 1, 2,..., n, dok su ostale komponente jednake 0. Skup {e 1, e 2,..., e n } je baza prostora R n (b) Neka je P n, n N skup svih polinama s koeficijentima iz polja K stupnja manjeg ili jednakog n. S definiranim operacijama zbrajanja polinoma a i t i + b i t i = (a i + b i )t i i množenja polinoma skalarima α i=0 a i t i = skup P n postaje vektorski prostor. {1, t, t 2,..., t n } je baza prostora polinoma P n Baze u navedenim primjerima zovu se standardne ili kanonske baze. i=0 i=0 i=0 αa i t i, te s nulpolinom, i=0
8 4 1.3 Norma Definicija 1.5. U vektorskom prostoru se definira duljina vektora ili norma kao funkcija : X K za koju vrijede sljedeća svojstva: (a) x 0, za svaki x X (b) x = 0 x = 0 (c) αx = α x, za sve α K, x X (d) x + y x + y, za sve x, y X Vektorski prostor na kojem je definirana norma zove se normirani vektorski prostor. Funkcija : X K koja zadovoljava svojstva (a)-(c) zove se polunorma ili seminorma. Primjeri vektorskih normi [3] p-norma za 1 p < : x p = Euklidova norma ili 2-norma: x 2 = ( n j=1 x j p ) 1/p n j=1 x j 2 Manhattan norma ili 1-norma: x 1 = n j=1 x j Čebiševljeva norma ili -norma: x = max j=1,...,n x j Definicija 1.6. Za vektor x X kažemo da je normiran ako je x = 1. Dakle, normirani vektori su vektori jedinične duljine, te se stoga nazivaju još i jedinični 1 vektori. Primjetimo da za svaki x 0, vektor x je normiran. x
9 5 2 Skalarni produkt Potrebu za uvodenjem pojma skalarni produkt pronalazimo u fizici. Fizikalna definicija rada sile F na putu s je skalarni produkt vektora F i s. Ukoliko su vektori istog smjera, odnosno ako rad obavlja sila F koja djeluje u smjeru puta s, onda je rad zadan s W = F s = F s Medutim, ako sila F ne djeluje u smjeru puta s, onda rad obavlja samo komponenta F s sile u smjeru puta s, točnije: F = F s + F n W = F s s = (F cos ϕ)s = F s cos ϕ Slika 1: Rad sile F na putu s. Primjetimo da je sila F s ortogonalna projekcija sile F u smjeru vektora puta s. Općenito ćemo projekciju vektora a na pravac odreden vektorom b označiti s a b. a b = a cos ϕ, 0 ϕ π Broj a cos ϕ može biti pozitivan (ϕ < π 2 ) ili negativan (ϕ > π 2 ). Euklidski skalarni produkt je funkcija koja vektorima a i b pridružuje skalar na sljedeći način { 0, ako je a = 0 ili b = 0 a, b = a b cos ϕ, ako je a, b 0, 0 ϕ π gdje je ϕ kut izmedu vektora a i b. Koristeći pojam projekcije vektora, skalarni produkt može se zapisati a, b = a b cos ϕ = { a ( b cos ϕ) = a ba ili b ( a cos ϕ) = b a b
10 6 Slika 2: Projekcija vekotra a u smjeru vektora b. Definicija 2.1. Skalarni produkt ili umnožak je preslikavanje, : X X K s svojstvima [3]: (i) x, x 0, za sve x X (ii) x, x = 0 ako i samo ako x = 0 (iii) x, y = y, x, za sve x, y X (iv) x, αy = α x, y, za sve x, y X i svaki α K (v) x, y + z = x, y + x, z, za sve x, y, z X Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt naziva se unitarni prostor. Oznake skalarnog produkta dva vektora su: x y ili x y ili x, y Standardni skalarni umnožak na C n dan je s x, y = x j y j = x y j=1 x, y C n Uvjeti (iv) i (v) ukazuju da je skalarni umnožak, linearna funkcija u drugoj komponenti. Ovako definiran skalarni produkt anti-linearan je obzirom na prvu komponentu. x + y, z = z, x + y = z, x + z, y = x, z + y, z za sve x, y, z C n αx, y = α x, y za sve α C, x, y C n
11 7 Analogno se može definirati linearnost obzirom na prvu komponentu. Tada je skalarni produkt anti-linearan po drugoj komponenti i na C n dan je s x, y = x j y j j=1 x, y C n Ukoliko je zadan realan prostor, kompleksno konjugiranje nema učinka, stoga skalarni produkt bilo koja dva vektora je realan. Svojstvo (iii) se tada naziva simetričnost i glasi x, y = y, x Ako vektore x, y X prikažemo kao vektor-stupce n 1 matricama, skalarni produkt se može pisati kao y 1 x, y = [ ] y 2 x 1 x 2... x n. = [ x ] T [ ] y = x T y y n gdje je [ x ] T vektor-redak, točnije x T je transponirana matrica matrice [ x ] [2]. Primjer 2.1. Neka je P n vektorski prostor polinoma stupnja n, s kompleksnim koefcijentima. Ako je p = n j=0 a jx j i q = n j=0 b jx j, dokažimo da je p, q = a j b j j=0 skalarni porodukt na prostoru P n Rješenje: Kako bismo dokazali navedenu tvrdnju, potrebno je provjeriti aksiome iz definicije skalarnog produkta. Vrijedi p, p = a j a j = j=0 a j 2 0 j=0 Budući da je apsolutna vrijednost uvijek nenegativna, slijedi da je p, p = 0 ako i samo ako je a 1 = a 2 =... = a n = 0. Dakle, p = 0 iz čega slijedi pozitivnost. Zbog svojstva operacije konjugiranja imamo p, q = a j b j = j=0 b j a j = q, p j=0
12 8 iz čega vrijedi konjugirana simetričnost. Neka je cp = n j=0 ca jx j. Sljedeće svojstvo koje treba dokazati je svojstvo homogenosti. cp, q = ca j b j = c a j b j = c p, q j=0 j=0 Ako je r = n j=0 c jx j, imamo p, q + r = a j (b j + c j ) = j=0 a j b j + a j c j = p, q + p, r j=0 j=0 time smo dokazali svojstvo aditivnosti. Budući da svojstva vrijede, tvrdnja je dokazana. Skalarni produkt iz predhodnog primjera može se identificirati sa standarnim skalarnim produktom u C n+1 gdje točku (a 0, a 1,..., a n ) identificiramo s polinomom p = n j=0 a jx j. Teorem 2.1 (Cauchy-Schwartzova nejednakost). Neka je X unitaran prostor. Tada je x, y 2 x, x y, y (1) za sve x, y X. Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori x i y linearno zavisni [3]. Dokaz. Pretpostavimo da x, y 0 tj. da su netrivijalni vektori, te λ bilo koji skalar. Vrijedi 0 x λy, x λy = x, x λ x, y λ y, x + λλ y, y Uvrstimo λ = y,x, što možemo napraviti jer y 0 y, y 0. y,y 0 x, x y, x y, y x, y x, y y, y y, x + y, x y, y Zadnja dva člana se poništavaju. Pomnožimo nejednakost s y, y : 0 x, x y, y y, x x, y x, y 2 = x, y y, x x, x y, y Ako je y = αx, za neki skalar α, očito se dobije jednakost. x, y y, y y, y Lema 2.2. Neka je, : X X K skalarni produkt. Tada je preslikavanje : X K definirano sa x = x, x vektorska norma.
13 9 Posljedica ove leme je da se izraz (1) može zapisati na sljedeći način x, y x y Dokaz. Trebamo provjeriti zadovoljava li preslikavanje : X K uvjete (a)-(d) def. (a) Vrijedi x, x 0 za sve x X. Dakle x, x je dobro definirano i nenegativno. (b) x = 0 x, x = 0 x = 0 (c) Neka su α K i x X. Imamo αx = αx, αx = αα x, x = α x (d) U dokazu ovog svojstva ćemo koristiti Cauchy-Schwarz nejednakost x, y x y x, y X Slijedi x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y x x, y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2 x, y X Dokazali smo da je definirano preslikavanje vektorska norma. Zadatak 2.1. Za vektore a = ( 1, 1, 0) T, b = (1, 2, 2) T i c = (4, 3, 1) T odredite a) a, b, a, b + c b) kut izmedu vektora a i b gdje je, : V V R Euklidski skalarni produkt. Rješenje: a) a, b = ( 2) = 1 2 = 3 a, b + c = a, b + a, c = 3 1 = 4 b) a, b = a b cos ϕ cos ϕ = a = ( 1) = 2 b = ( 2) = 9 = 3 a, b cos ϕ = a b = = 2 2 a, b a b = ϕ = 3π 4
14 10 3 Ortogonalnost Definicija 3.1. Neka je X unitarni prostor. Za vektore x i y kažemo da su ortogonalni ako je x, y = 0 Za familiju vektora e i, i = 1, 2,..., n kažemo da je ortonormirana ako svaki vektor e i ima jediničnu duljinu, tj. e i = 1 te ako su svaka dva različita vektora iz te familije ortogonalna. Potprostori X 1 i X 2 prostora X su ortogonalni ako je bilo koji vektor iz prostora X 1 ortogonalan na bilo koji vektor iz prostora X 2. Ortonormirana baza unitarnog prostora X je baza koja se sastoji od vektora koji čine ortonormiranu familiju. Zadatak 3.1. Dokažimo da su pravci y = x i y = x medusobno okomiti. Rješenje: Pravac y = x je odreden vektorom (1, 1), dok je pravac y = x odreden vektorom (1, 1), stoga vrijedi (1, 1) (1, 1) = 1 1 = 0 Teorem 3.1. Neka je X 0 potprostor unitarnog prostora X te neka je {e 1, e 2,..., e n } ortonormirana baza potprostora X 0. Ako je x X 0, onda je x = x, e j e j. j=1 Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 13, URL hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf 3.1 Ortogonalna projekcija Neka je X 0 X, gdje je X unitarni prostor, te neka je x X vektor koji ne pripada potprostoru X 0. Zanima nas kako odrediti vektor x 0 X 0 koji je najbliži vektoru x. Odgovor nam donosi sljedeća definicija. Definicija 3.2. Neka je X 0 konačnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X. Ortogonalna projekcija vektora x X na potprostor X 0 je jedinstveni vektor x 0 X 0 koji je najbliži vektoru x, odnosno x x 0 = min y X 0 x y
15 11 Slika 3: Projekcija vektora na potprostor. Vektor x 0, koji je najbliži vektoru x mora biti odabran tako da vektor x x 0 bude okomit na potprostor X 0. Teorem 3.2. Neka je X 0 konačnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X te neka je x X. Vektor x 0 je ortogonalna projekcija vektora x na potprostor X 0 ako i samo ako je vektor x x 0 ortogonalan na bilo koji vektor u potprostoru X 0. Dokaz. Pretpostavimo da je vektor x 0 najbliži vektoru x. Pokažimo da je tada vektor x x 0 ortogonalan na bilo koji vektor y X 0. Zanima nas kvadrat udaljenosti izmedu vektora x 0 + ty X 0 i x, tj. funkcija f(t) = x 0 + ty x 2. Budući da je vektor x 0 najbliži vektoru x u potprostoru X 0, funkcija f poprima minimalnu vrijednost za t = 0. Stoga derivacija funkcije f u toj točki mora biti jednaka nuli f(t) = x 0 x + ty, x 0 x + ty = x 0 x 2 + 2t x 0 x, y + t 2 y 2 f (t) = 2 x 0 x, y + 2t y 2 0 = f (0) = 2 x 0 x, y (2) Dakle, vektori x 0 x i y su ortogonalni. Pretpostavimo da su vektori x 0 x i y ortogonalni, vektor y je bilo koji vektor iz potprostora X 0. Iz (2) slijedi da je f (0) = 0. S druge strane, kako je f(t) kvadratna funkcija koja poprima nenegativne vrijednosti, njezina stacionarna točka t = 0 mora odgovarati točki minimuma. Drugim riječima, funkcija x 0 + ty x poprima minimum za t = 0. Kako je y bilo koji vektor iz potprostora X 0, zaključujemo da je x 0 X 0 najbliži vektoru x. Teorem 3.3. Neka je X unitarni prostor i X 0 n-dimenzionalni potprostor s ortonormiranom bazom {e 1, e 2,..., e n }. Ortogonalna projekcija vektora x X na potprostor X 0 dana je izrazom x 0 = α j e j, gdje je α j = x, e j. j=1
16 12 Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 14, URL hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf 3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije Neka je zadan skup linearno nezavisnih vektora x 1,x 2,...,x n C m, m n. Gramm- Schmidtovim postupkom se konstruira ortonormirani skup vektora q 1,q 2,...,q n C m koji razapinju isti potprostor u C m na sljedeći način q 1 = x 1 x 1, q 2 = x 2 x 2, x 2 = x 2 (q 1 x 1 )q 1, q 3 = x 3 x 3, x 3 = x 3 (q 1 x 3 )q 1 (q 2 x 3 )q 2, q n =... x n x n, n 1 x n = x n (q i x n )q i. Postupak počinje normiranjem prvog vektora. U i-tom koraku od vektora x i oduzima se njegova projekcija na prvih i 1 vektora: q 1,..., q i 1. Time q i postaje ortogonalan na sve prethodne vektore. Teorem 3.4. Gramm-Schmidtov postupak primjenjen na linearno nezavisan skup vektora {x 1, x 2,..., x n } C m daje ortonormiran skup vektora {q 1, q 2,..., q n } za koji je za svaki i = 1, 2,..., n [1]. i=1 [{q 1, q 2,..., q i }] = [{x 1, x 2,..., x i }] Dokaz. Konstrukciju skupa {q 1, q 2,..., q n } provodimo induktivno. U bazi indukcije definiramo q 1 = 1 x 1 x 1, x 1 0 Očito su q 1 i x 1 kolinearni pa razapinju isti potprostor. Pretpostavimo da je naden ortonormalni skup {q 1, q 2,..., q j } takav da je [{q 1, q 2,..., q j }] = [{x 1, x 2,..., x j }] te konstruiramo q j+1. Uvodimo pomoćni vektor p j+1 = x j+1 j x j+1, q i q i i=1
17 13 Iz definicije okomitosti vidi se da je p j+1 q i, i = 1,..., j. Da bismo pokazali da vrijedi [{q 1, q 2,..., q j, p j+1 }] = [{x 1, x 2,..., x j, x j+1 }] (3) dovoljno je utvrditi da generatori s jedne strane jednakosti pripadaju potprostoru s druge strane jednakosti, i obratno. Sada je q 1,..., q j [{x 1,..., x j, x j+1 }] po pretpostavci indukcije, a p j+1 [{x 1,..., x j, x j+1 }] po definiciji vektora p j+1. Obratno je takoder jasno. Uočimo j x j+1 = p j+1 + x j+1, q i q i Jasno je da skup {q 1, q 2,..., q j, p j+1 } zadovoljava sva tražena svojstva, jedino ne znamo kolika je norma vektora p j+1. Umjesto vektora f j+1 uzmimo vektor λf j+1, za svaki skalar λ 0. f j+1, e i = 0 = λf j+1, e i = 0, i = 1,..., j Iz jednakosti (3) dobivamo Uzmimo λ = p j+1 1, te definirajmo i=1 [{q 1, q 2,..., q j, λp j+1 }] = [{x 1, x 2,..., x j, x j+1 }] q j+1 = 1 p j+1 p j+1 Problem može nastati ako je p j+1 = 0 jer je tada p j+1 = 0. No, to nije moguće. Kada bi f j+1 = 0 imali bi x j+1 = j x j+1, q i q i [{q 1,..., q j }] = [{x 1,..., x j }] i=1 što se kosi s nezavisnošću polaznog skupa {x 1,..., x k } [1]. Napomenimo da je Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije zapravo ime dokaza, odnosno konstrukcije, a ne tvrdnja teorema. Zadatak 3.2. Zadani su vektori a = (5, 0, 0) T, b = (2, 1, 4) T, c = (1, 0, 5) T. a) Dokažite da a, b, c čine bazu. b) Ortonormirajte bazu {a, b, c} Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije.
18 14 c) Vektor d = (4, 3, 4) T prikažite u ortonormalnoj bazi {q 1, q 2, q 3 }. Rješenje: a) Kako bismo pokazali da vektori a, b, c čine bazu treba provjeriti jesu li linearno nezavisni, tj. αa + βb + γc = 0 α = β = γ = 0. Uvrstimo li vektore a, b, c dobivamo α(0, 5, 0) T + β(2, 1, 4) T + γ(1, 0, 5) T = 0 2β + γ = 0 5α β = 0 4β + 5γ = 0 Rješavajući ove tri jednadžbe s tri nepoznanice dobijemo α = β = γ = 0. b) q 1 = a a = (0, 5, 0)T 5 = (0, 1, 0) T ( b = b b, q 1 q 1 = (2, 0, 4) T, q 2 = b 5 b = 5, 0, 2 ) T 5 5 ( 6 c = c c, q 1 q 1 c, q 2 q 2 = 5, 0, 3 ) T (, q 3 = c c = 5, 0, 5 c) d = αq 1 + βq 2 + γq 3 Ovu jednadžbu množimo skalarno redom s q 1, q 2 i q 3. ) T α = d, q 1 α = 3 β = d, q 2 β = γ = d, q 3 γ =
19 15 4 Prostori L 2 i l Prostor L 2 Promatramo funkcije f(t) gdje t prolazi intervalom a t b, pri čemu može biti a = i b = +. Definicija 4.1. Prostor L 2 ([a, b]) je skup svih kvadratno integrabilnih funkcija na intervalu [a, b] [6]. Drugim riječima, L 2 ([a, b]) = { f : [a, b] C; b a } f(t) 2 dt < Primjetimo kako funkcije s konačnim brojem prekida takoder mogu pripadati prostoru L 2. Prostor L 2 ([a, b]) je beskonačno dimenzionalan. No, ako je a = 0 i b = 1, tada je skup funkcija {1, t, t 2, t 3,...} linearno nezavisan i pripada prostoru L 2 ([0, 1]) Skalarni produkt na L 2 Kako bismo konstruirali skalarni produkt na L 2 prvo ćemo diskretizirati interval [a, b]. Stoga ćemo pretpostaviti da su a = 0 i b = 1. Neka je N dovoljno velik prirodan broj, te neka je t j = j, 0 j N. Ukoliko je f neprekinuta, N možemo njezine vrijednosti na intervalu [t j 1, t j ) aproksimirati s f(t j ). Stoga, funkciju f možemo aproksimirati vektorom f N = (f(t 1 ), f(t 2 ),..., f(t N )) C N Bolju aproksimaciju funkcije f dobivamo za veći N. Ako su f i g dvije funkcije u L 2 ([0, 1]), onda ih možemo diskretizirati na opisani način, kao vektore f N i g N. Kako bismo definirali skalarni produkt f, g L 2 promotrimo standardni skalarni produkt vektora f N i g N na prostoru C N, kada broj N raste: f N, g N C N = N f(t j )g(t j ) = j=1 N j=1 ( ) ( ) j j f g n n Medutim, problem u ovakvom pristupu je kada N teži u beskonačnost, stoga suma na desnoj strani jednakosti teži k beskonačnosti. Rješenje je srednja vrijednost predhodnog skalarnog produkta 1 N f N, g N C N = N j=1 ( ) ( ) j j 1 f g n n N Kako se vektori f N i g N približavaju funkcijama f i g kada N raste, razumljivo je da za definiciju skalarnog produkta f, g L 2 uzmemo graničnu vrijednost prethodne srednje vrijednosti skalarnog produkta, kada N teži u beskonačnost.
20 16 Prethodnu relaciju možemo zapisati u obliku 1 N f N, g N C N = N f(t j )g(t j ) t, gdje je t = 1 N j=1 Ova suma predstavlja integralnu sumu za integral 1 f(t 0 j)g(t j ) dt s obzirom na razdiobu [0, t 1, t 2,..., t N ] segmenta [0, 1]. Dakle, skalarni produkt na L 2 ([0, 1]) definiramo f, g = 1 f(t)g(t) dt. 0 Definicija 4.2. Skalarni produkt na L 2 ([a, b]) definiran je relacijom [6] f, g L 2 = b a f(t)g(t) dt, f, g L 2 ([a, b]) Ovako definiran skalarni produkt naziva se i L 2 skalarni produkt. 4.2 Prostor l 2 Prostor l 2 sastoji se od diskretnog skupa brojeva, tj. niza X =..., x 1, x 0, x 1,..., pri čemu je svaki x j numerička vrijednost u intervalu [t j, t j+1 ]. Dakle, taj niz može biti beskonačan. Definicija 4.3. Vektorski prostor l 2 je skup svih nizova X =..., x 1, x 0, x 1,... C takvih da je n= x n 2 < [6]. Skalarni produkt na tom prostoru definira se kao X, Y l 2 = n= x n y n gdje je X =..., x 1, x 0, x 1,... i Y =..., y 1, y 0, y 1,....
21 17 5 Familije ortogonalnih funkcija Za dvije funkcije kažemo da su ortogonalne, ako je njihov skalarni produkt jednak 0. Ako za neprekidnu ili diskretnu mjeru dλ, te funkcije u i v koje imaju konačnu normu možemo definirati skalarni produkt kao u(x)v(x) dλ Postoji mnogo familija ortogonalnih funkcija, neke od njih su [3]: ortogonalni polinomi trigonometrijski polinomi 5.1 Ortogonalni polinomi Definiramo neprekidni ili kontinuirani skalarni produkt u, v = R b a w(x)u(x)v(x)dx gdje su u, v polinomi, w 0 težinska funkcija na [a, b]. Pripadna familija ortogonalnih polinoma označava se s {p n (x) n 0}. Stupanj polinoma p n je n, za svaki n 0 [3]. Takoder definiramo diskretan skalarni produkt u, v = w i u(x i )v(x i ) i=0 generiran medusobno različitim čvorovima x 0,..., x n, te težinama w 1,..., w n 0. Pripadni unitarni prostor funkcija na zadanoj mreži čvorova sadrži sve polinome stupnja manjeg ili jednakog n, pa sigurno postoji pripadna baza ortogonalnih polinoma koju označavamo s {p k (x) 0 k n}. Stupanj polinoma p k je jednak k, gdje je k {0,..., n}. 5.2 Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije {1, cos x, cos 2x, cos 3x,..., sin x, sin 2x, sin 3x,...} čine ortogonalnu familiju funkcija na intervalu [0, 2π] uz mjeru { dx, na [0, 2π] dλ = 0, inače
22 18 Može se pokazati da vrijedi sljedeće (pogledaj [3] Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, Numerička analiza, str. 418) 2π { 0, k l sin kx sin lx dx = k, l = 1, 2,... 0 π, k = l 2π 0 2π 0 cos kx cos lx dx = 0, k l 2π, k = l = 0 π, k = l > 0 k, l = 0, 1,... sin kx cos lx dx = 0, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... Fourierov red Za aproksimaciju periodičkih funkcija najčešće koristimo Fourierove redove. Neka je funkcija f periodična na [ π, π]. Tada je možemo aproskimirati sumom reda F(x) := a (a k cos kx + b k sin kx) (4) k=1 Red (4) nazivamo Fourierov red, a brojeve a 0, a 1, b 1,... Fourierovi koeficijenti funkcije f, gdje su a k = 1 π π π f(x) cos kx dx, b k = 1 π π π f(x) sin kx dx Čebiševljevi polinomi U aproksimaciji funkcija takoder se koristi sustav ortogonalnih polinoma na [ 1, 1] s težinskom funkcijom w(x) = 1 1 x 2 tzv. Čebiševljevi polinomi. Njihova eksplicitna formula glasi [5]: Vrijedi T 0 (x) = cos(0) = 1 za n = 1, T 1 (x) = x T n (x) = cos(n arccos x), n = 0, 1,... za n = 2, T 2 (x) = cos(2 arccos x) = 2 cos 2 (arccos x) 1 = 2x 2 1 Dakle, općenito vrijedi cos nρ = 2 cos ρ cos(n 1)ρ cos(n 2)ρ (5) gdje je ρ = arccos x Iz relacije (5) slijedi rekurzivna formula za Čebiševljeve polinome T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x)
23 19 Čebiševljevi polinomi, zbog definicije preko kosinus funkcije, imaju n + 1 ekstremnu vrijednost naizmjenično pozitivnu i negativnu na intervalu [ 1, 1] x k = cos kπ n, k = 0, 1, 2,..., n te n različitih nultočaka na [ 1, 1] definiranih formulom ( ) (2k 1)π ξ k = cos, k = 1, 2,..., n 2n
24 20 Literatura [1] D. Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, Zagreb, [2] D. Butković, Predavanja iz linearne algebre, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, [3] Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, Numerička analiza, Sveučilište u Zagrebu, PMF - matematički odjel, Zagreb, [4] H. Kraljević, Vektorski prostori, Predavanja na Odjelu za matematiku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, [5] R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku Sveučilišta u Osijeku, Osijek, [6] Fourierova analiza pdf
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραGeometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K
4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva:
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα2. Vektorski prostori
2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra
Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραGeologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα