ANALIZA PRIJELAZNE STABILNOSTI PLANIRANOG ELEKTROENERGETSKOG SUSTAVA NA PODRUČJU SREDNJE DALMACIJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ANALIZA PRIJELAZNE STABILNOSTI PLANIRANOG ELEKTROENERGETSKOG SUSTAVA NA PODRUČJU SREDNJE DALMACIJE"

Transcript

1 ANALIZA PRIJELAZNE STABILNOSTI PLANIRANOG ELEKTROENERGETSKOG SUSTAVA NA PODRUČJU SREDNJE DALMACIJE Davor Bajs, Zagreb Provedena je analiza prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava na području srednje Dalmacije u budućnosti, s obzirom na razvoj visokonaponske mreže i gradnje novih proizvodnih kapaciteta u Hrvatskoj do godine. Određene su krivulje njihanja generatora i granične vrijednosti kritičnih vremena za slučajeve nastanka tropolnih kratkih spojeva na vodovima koji povezuju elektrane s ostatkom elektroenergetskog sustava. Ključne riječi: prijelazna stabilnost elektroenergetskog sustava, granične vrijednosti kritičnih vremena 1. UVOD Kod planiranja razvoja elektroenergetskog sustava bitno je provesti analizu prijelazne stabilnosti, da bi se ispitalo ponašanje generatora prilikom velikih poremećaja koji mogu nastati, poput kratkih spojeva u mreži, ispada velikih tereta, gubitka važnijih vodova i sl. Ispravnim dimenzioniranjem i odabirom utjecajnih parametara generatora, sustava uzbude, i turbinskih regulatora, moguće je izbjeći teže posljedice i raspade pojedinih dijelova elektroenergetskog sustava u slučajevima nastanka težih poremećaja u visokonaponskoj mreži, te na taj način povećati sigurnost opskrbe potrošača električnom energijom. Iako je to samo jedan od načina povećanja prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava, u našim je prilikama posebno zanimljiv obzirom na starost generatora te primjenjenih sustava uzbude i turbinske regulacije. Zbog toga je neophodno da se tokom budućih revitalizacija starijih postrojenja, i gradnje novih, obrati pažnja na odabir pojedinih parametara generatora, primjenjenih sustava uzbude i turbinske regulacije, te da se investitori odluče za ona rješenja koja će omogućiti ispravan pogon čitavog elektroenergetskog sustava, imajući u vidu ukupne troškove koji bi mogli značajno narasti ukoliko bi se odabrala skupa, a nepotrebna rješenja. Pod stabilnošću generatora koji radi unutar velikog elektroenergetskog sustava podrazumijeva se njegova sposobnost da u slučajevima nastanka većih poremećaja održi sinhronizam s ostalim generatorima u sustavu. Prilikom nastanka kratkih spojeva u mreži dolazi do velikih njihanja rotora generatora, pa se može dogoditi da generator ispadne iz sinhronizma. Gubitkom stabilnosti jednog generatora nastaje opasnost od preopterećenja i gubitka stabilnosti ostalih generatora što bi dovelo do potpunog raspada sustava. Očuvanje prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava ovisi o pogonskim prilikama prije kvara (opterećenje, proizvodnja, konfiguracija mreže), karakteru poremećaja (vrsta, trajanje, mjesto nastanka kvara), električnim i mehaničkim parametrima generatora i pogonskih strojeva, regulatorima uzbude i brzine vrtnje, te parametrima i dužinama dalekovoda. Međuzavisnosti između svih spomenutih veličina određuju da li će sustav ostati stabilan kod nastanka određenog poremećaja ili ne. Na elektroenergetski sustav u Dalmaciji priključene su naše najvažnije i najveće hidroelektrane, a planira se izgradnja i jednog većeg termoenergetskog objekta, tako da je taj dio sustava posebno zanimljiv za analizu prijelazne stabilnosti uz planirani razvoj u budućnosti. 1

2 2. OPIS PRORAČUNA Proračuni prijelazne stabilnosti su izvršeni pomoću ABB-og programskog paketa POSCOLAB, odn. programom MANISTA [2] koji dozvoljava modeliranje mreže s 1000 sabirnica, i 325 sinkronih generatora prikazanih klasičnim (E, x d ), a 75 generatora prikazanih detaljnim modelom. Generatori na području Dalmacije prikazani su detaljnim modelima, dok su ostali generatori u promatranom sustavu modelirani ovisno o njihovom položaju u mreži i utjecaju tokom prijelaznih pojava jednostavnijim ili detaljnijim modelima. U nedostatku točnijih spoznaja o opterećenju potrošačkih centara na 110 kv naponskoj razini, ona su modelirana kao naponski ovisna (P = 50% I + 50% Z, Q = 100% Z), pri čemu je provjeren utjecaj i drugačijeg modeliranja tereta na rezultate proračuna, te je posebno napomenuto ukoliko ono utječe bitnije na njih. Modelirani elektroenergetski sustav se sastojao od 44 generatora i 189 vodova. Za korak integracije odabrano je sek. Krivulje njihanja rotora generatora nacrtane su u odnosu na zamišljen referentni sinkroni stroj koji rotira trenutnom frekvencijom sustava. Promatrana su prijelazna stanja uzrokovana nastankom elektranama bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima uz otklanjanje kvara koje odgovara vremenu djelovanja postojeće zaštite u mreži, sa i bez automatskog ponovnog uklapanja voda u kvaru. Također su određene i granične vrijednosti kritičnih vremena (najduže vrijeme trajanja kvara unutar kojega generatori zadržavaju stabilnost, odnosno najduže vrijeme unutar kojega se mora otkloniti kvar koji je uzrokovao poremećaj, a da generator ostane stabilan) za sve slučajeve bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima uz promatrane elektrane u srednjoj Dalmaciji. 2.1 Modeli mreže i razmatrana pogonska stanja Proračuni stabilnosti elektroenergetskog sustava izvršeni su za odgovarajuće pogonsko stanje u modeliranoj mreži (prema lit. [6]), karakterizirano značajnim opterećenjem na području Dalmacije uz veliku proizvodnju hidroelektrana. Za potrebe proračuna modelirana su predvidiva stanja nakon i godine 400, 220 i 110 kv mreže Hrvatske i dijela Bosne i Hercegovine, zajedno s 400 i 220 kv vezama prema susjednim zemljama (Slovenija, Mađarska, Srbija, Crna Gora, Makedonija, Grčka). Razvoj elektroenergetskog sustava predviđen je prema planovima Sektora za razvoj HEP-a. Dinamika gradnje novih vodova i transformatorskih stanica ne mora točno odgovarati predviđenom stanju sustava promatranih nazivnih godina (2000. i 2010.) koje bi trebalo shvaćati kao pokazatelje bliže i dalje budućnosti u pogledu izgrađenosti elektroenergetskog sustava. 2.2 Elektroenergetski sustav nazivne godine (bliža budućnost) Na modelu elektroenergetskog sustava godine (dodatak 1) predviđeno je osposobljavanje svih ratom razrušenih elemenata mreže u Hrvatskoj i Bosni i Hercegovini, te uspostava prijeratnog stanja tako da će elektroenergetski sustav Hrvatske biti potpuno povezan s sustavima susjednih zemalja preko 400, 220, i 110 kv vodova. Iako je ovo predviđanje pomalo preoptimistično, ono će se u svakom slučaju ostvariti ako ne do godine, onda nekoliko godina poslije. U tom vremenu nije predviđena izgradnja nekog značajnijeg novog objekta u prijenosnoj mreži, kao ni proizvodnog kapaciteta, ali je pretpostavljena revitalizacija generatora u HE Zakučac iz prve faze gradnje (generatora 1 i 2), i generatora HE Peruča [3, 6]. 2

3 Revitalizacijom HE Zakučac bi se ugradili novi generatori snage 161 MVA, cosϕ=0.9, x d =95.7%, x d =33%, GD 2 =4000 tm 2, uz primjenjeni sustav statičke tiristorske uzbude s napajanjem od stezaljki generatora preko ispravljačkog transformatora (sustav samouzbude), i postojećim turbinskim regulatorima. Identični sustav uzbude bio bi primjenjen na novim generatorima HE Peruča. Instalirana snaga HE Peruča povećala bi se na 2x32 MVA, s cosϕ=0.95, i parametrima generatora x d =113%, x d =37%, GD 2 =2400 tm 2. Stacionarno pogonsko stanje koje prethodi poremećajima u sustavu karakterizirano je raspoloživošću svih elemenata mreže, ukupnim opterećenjem na području Dalmacije P max =486 MW, i proizvodnjom elektrana prema tablici 1. Tablica 1. - Proizvodnja elektrana u Dalmaciji na mreži godine ELEKTRANA AGREGAT P (MW) Q (MVAr) HE ZAKUČAC , , , ,7 HE PERUČA 41,6 3,3 HE ORLOVAC 240 6,37 * HE ĐALE 20 0 HE KRALJEVAC 3 0 RHE OBROVAC ,9 * HE DUBROVNIK * * kapacitivno područje 2.3 Elektroenergetski sustav nazivne godine (dalja budućnost) Na planiranoj mreži nazivne godine (dodatak 2) predviđena je izgradnja više značajnijih proizvodnih objekata, transformatorskih stanica i prijenosnih vodova. Predviđena je izgradnja termoelektrane na području Obrovca ukupne snage 700 MW (jedan blok priključen na 400 kv, a drugi na 220 kv), HE Kosinj, HE Virje, HE Podsused, HE Lešće, HE Drenje, TE Plomin II, PTE Osijek, TE Sisak (još jedan blok), TE-TO Zagreb (jedan blok). Od novih transformatorskih stanica predviđenih za izgradnju najznačajnije su Žerjavinec, Krndija, Brinje (400/220/110 kv, 400/110 kv), Obrovac (400/220 kv, ovisno o priključku nove elektrane), Imotski, Metković, Plat, Vrboran (220/110 kv). Na području Dalmacije predviđa se izgradnja dalekovoda Obrovac- Brinje, i Obrovac-Bihać (400 kv), Plat-Metković, Metković-Imotski, Imotski-Jablanica, Zakučac-Konjsko, Metković-Čapljina, i Kaštela-Konjsko (220 kv), te dalekovoda Vrgorac- Ploče, Vrgorac-Metković, Kaštela-Brodogradilište, Brodogradilište-Sućidar, Kaštela-Centar, Centar-Gripe, Gripe-Sućidar, Vrboran-Split 3, Trogir-Bilice, Knin-Konjsko, i Knin-Obrovac (110 kv). Parametri generatora i sustava uzbude novih elektrana su pretpostavljeni, a tokom proračuna provjeravano je da li promjena nekih od bitnih parametara, posebno TE Obrovac, utječe značajnije na rezultate. Stacionarno pogonsko stanje koje prethodi poremećajima u sustavu karakterizirano je raspoloživošću svih elemenata mreže, ukupnim opterećenjem na području Dalmacije P max =775 MW, i proizvodnjom elektrana prema tablici 2. 3

4 Iz proizvodnje elektrana na mrežama i godine vidljiv je problem viškova jalovih snaga na području Dalmacije budući da nije predviđeno postavljanje prigušnice u TS Konjsko, pa dio generatora radi u kapacitivnom području što se negativno odražava na njihovo ponašanje tokom prijelaznih stanja (lakše ispadaju iz sinhronizma, veći početni kut opterećenja). Tablica 2. - Proizvodnja elektrana u Dalmaciji na mreži godine ELEKTRANA AGREGAT P (MW) Q (MVAr) HE ZAKUČAC , , ,6 HE PERUČA 32 11,2 HE ORLOVAC ,8 * HE ĐALE 40 0 HE KRALJEVAC 3 0 RHE OBROVAC ,7 * TE OBROVAC * ,6 * HE DUBROVNIK * * * kapacitivno područje 2.4 Utjecajni parametri generatora Najveći utjecaj na održanje stabilnosti tokom velikih poremećaja od parametara generatora imaju veličina GD 2, odnosno mehanička vremenska konstanta T m (poželjno je da budu što veće, ali s povećanjem raste cijena generatora), i prijelazna sinkrona reaktancija u uzdužnoj osi x d (poželjno što manja, smanjenjem također raste cijena generatora). Spomenute veličine postojećih, kao i pretpostavljene vrijednosti novih generatora u srednjoj Dalmaciji s kojima se računalo pri analizama prijelazne stabilnosti navedene su u tablici 3. 4

5 Tablica 3. - Vrijednosti GD 2, T m, i X d većih generatora u srednjoj Dalmaciji ELEKTRANA GENERATOR GD 2 T m X d (tm 2 ) (s) (%) HE ZAKUČAC , , , ,42 34 HE PERUČA 1, ,22 37 HE ORLOVAC 1, 2, ,20 28 HE ĐALE 1, ,4 37 RHE OBROVAC 1, ,62 28 TE OBROVAC 1-6, , Sustavi uzbude generatora Uzbudni su sustavi svih generatora na području srednje Dalmacije detaljno modelirani prema podacima proizvođača [4]. U tablici 4 navedeni su osnovni podaci i tipovi sustava uzbude za elektrane u srednjoj Dalmaciji. Tablica 4. - Sustavi uzbude generatora u Dalmaciji PODEŠENJA OBJEKT KOM TIP UZBUDE REGULATOR UZBUDNIK GODINA ISPORUKE K a T i (pu/pu) (s) ZAKUČAC 2 GAB 14 K ARN 532 YGTB , 2-5 ZAKUČAC 2 SAB 11 K* ARN 531* YGTB 118-1* do * 0, 2-5* PERUČA 2 DDK 11 DRN 560 YGTN 250/ ORLOVAC 3 AMP HKP ABMn -2 la OBROVAC 2 EAB 12 BCK ARN 563 YGTB , 2-5 ĐALE 2 SAB 11 K ARN 531 YGTB , 2-5 GOLUBIĆ 2 SRA 11 YXRU 002 YGTA 500/ KRALJEVAC 1 SRA 11 YXRU 002 YGTA 500/ TE OBROVAC 2 GAB 14 K* ARN 532* YGTB 118-4* , 2-5 * pretpostavljeno 2.6 Podešenje zaštite Vrsta i vrijeme djelovanja zaštite vrlo su bitni za očuvanje prijelazne stabilnosti sustava jer je potrebno izolirati elemenat u kvaru od ostatka mreže u što kraćem vremenu. U svim proračunima prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava (izuzev kod izračunavanja graničnih vrijednosti kritičnih vremena) računato je s današnjim podešenjem zaštite u visokonaponskoj mreži na području Dalmacije, prema kojem se bliski kvarovi na vodovima isključuju u prvom stupnju, što znači da je vrijeme djelovanja zaštite i prekidača najviše 100 ms (4 do 5 perioda). U pojedinim proračunima predviđa se primjena tropolnog automatskog ponovnog uklapanja voda u kvaru nakon 400 ms. 5

6 3. REZULTATI PRORAČUNA - Elektroenergetski sustav godine 3.1 Bliski tropolni kratki spojevi na vodovima uz isklapanje voda nakon 100 ms Ispitani su slučajevi nastanka tropolnih kratkih spojeva u neposrednoj blizini sabirnica elektrane na svim vodovima koji elektranu povezuju s elektroenergetskim sustavom, kao najopasniji kvarovi za gubitak prijelazne stabilnosti sustava. Pretpostavljeno je djelovanje zaštite u prvom stupnju nakon 100 ms, i automatsko ponovno uklapanje nakon 400 ms, za vrijeme kojih kvar još uvijek traje tako da i zaštita i APU djeluju još jednom. Vremenska simulacija je slijedeća: 0 s- početak proračuna s- trajanje stacionarnog stanja 0.1 s- nastanak tropolnog kratkog spoja na vodu 0.2 s- djelovanje zaštite, isklapanje voda u kvaru 0.6 s- automatsko ponovno uklapanje voda u kvaru, kvar nije otklonjen 0.7 s- djelovanje zaštite, isklapanje voda u kvaru 1.1 s- automatsko ponovno uklapanje voda u kvaru, kvar je otklonjen 6 s- kraj proračuna Rezultati analize prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava na području srednje Dalmacije prikazani su za svaku elektranu posebno. 6

7 HE ZAKUČAC Slike 1 i 2 prikazuju krivulje njihanja rotora generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučajevima nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima Zakučac-Konjsko i Zakučac-Dugi Rat. Slika 1 - Krivulje njihanja generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Zakučac-Konjsko SLIKA 1 Slika 2 - Krivulje njihanja generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Zakučac-Dugi Rat SLIKA 2 U slučaju nastanka tropolnih kratkih spojeva u neposrednoj blizini HE Zakučac i djelovanja zaštite u vremenu od 100 ms, te primjenu APU, stabilnost je sustava očuvana, bez obzira na kojem vodu iz HE Zakučac se kvar dogodio. Njihanje rotora se prigušuje nakon otprilike 3.5 sekundi, tokom kojih zanjiše do maksimalnog kuta opterećenja od 52 0, što je povećanje od δ max =26 0 u odnosu na stacionarni pogon. Imajući u vidu da se najveća povećanja kuteva opterećenja pri isključenju kvara u vremenu graničnih vrijednosti kreću oko δ max =130 0, a da je djelovanjem postojeće zaštite u najnepovoljnijem slučaju ostvareno povećanje od 26 0, očito je da postoji još dosta rezerve prije nego što bi neki od generatora izgubio sinhronizam. Granične vrijednosti kritičnih vremena su najduža vremena unutar kojih se mora otkloniti određeni kvar da bi generatori u elektroenergetskom sustavu zadržali stabilnost tokom prijelazne pojave, pa su stoga dobar pokazatelj poželjnog vremena djelovanja zaštite koja se primjenjuje. Očito je da otklanjanje kvara u kraćem vremenu garantira očuvanje stabilnosti generatora, pa je primjenom bržeg sustava zaštite moguće konstruirati generator s, po stabilnost, nepovoljnijim parametrima kao što su manji GD 2 ili veća X d '. Ukupno vrijeme otklanjanja kvara se sastoji od vremena djelovanja releja potrebnog da ustanovi nastanak kvara i slanja signala prekidačima, koji izoliraju elemenat u kvaru od ostatka sustava. Primjena brze zaštite od kvarova na vodovima kojima je HE Zakučac spojena na elektroenergetski sustav, koja bliske kvarove isključuje u 1. stupnju nakon 80 do 100 ms (vrijeme djelovanja zaštite i prekidača), vrlo je povoljna na održanje sinhronizma generatora prilikom prijelaznih pojava, i glavni je razlog očuvanju stabilnosti sustava u svim dosad promatranim slučajevima. Na dovoljnu rezervu do ispada generatora iz sinhronizma ukazuju i granične vrijednosti kritičnih vremena iz tablice 5. Generatori HE Zakučac na mreži godine zadržavaju stabilnost u svim slučajevima bliskih tropolnih i jednopolnih kratkih spojeva na vodovima, ukoliko se oni isključe djelovanjem zaštite i prekidača u vremenu od najdulje 260 ms. Obzirom da se u opisanim proračunima kvar otklanjao kroz 100 ms, jasno je zašto u niti jednom slučaju nije dolazilo do gubitka stabilnosti. Granične vrijednosti kritičnih vremena su ovom prilikom izračunate i za slučajeve nastanka jednopolnih kratkih spojeva, pa se iz njihovih vrijednosti, koje su veće od vrijednosti za tropolne kratke spojeve, može vidjeti da su po očuvanje stabilnosti generatora tropolni kratki spojevi opasniji od jednopolnih. 7

8 Tablica 5. - Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini HE Zakučac na mreži god. T k (ms) VOD PREMA redni broj TROPOLNI KRATKI SPOJEVI JEDNOPOLNI KRATKI SPOJEVI MOSTAR KONJSKO BILICE DUGI RAT KRALJEVAC METERIZE HE PERUČA Slika 3 prikazuje krivulju njihanja rotora generatora HE Peruča u slučaju nastanka bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Peruča-Sinj. Slika 3 - Krivulja njihanja generatora HE Peruča u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Peruča-Sinj SLIKA 3 Iz slike je vidljivo da u slučaju isključenja kvara kroz 100 ms (sa ili bez primjene automatskog ponovnog uklapanja voda u kvaru) generatori HE Peruča ostaju u sinhronizmu. Najveći kutevi opterećenja tokom prijelazne pojave dostižu 47 0 u slučaju tropolnog kratkog spoja na vodu prema Sinju, odnosno 43 0 na vodu prema Buškom Blatu. Prigušenje prijelazne pojave je slabo, tako da ona traje i nakon 6 s, a primjena automatskog ponovnog uklapanja voda u kvaru povoljno djeluje na prigušenje njihanja rotora. Za HE Peruča određena su najduža vremena isključenja kvara uz koje će generatori ostati stabilni, posebno za tropolne, posebno za jednopolne bliske kratke spojeve na vodovima Peruča- Sinj i Peruča-Buško Blato. Rezultati su prikazani u tablici 6. 8

9 Tablica 6. - Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini HE Peruča na mreži god. T k (ms) VOD PREMA redni broj TROPOLNI KRATKI SPOJEVI JEDNOPOLNI KRATKI SPOJEVI SINJ BUŠKO BLATO Na osnovu prikazanih rezultata možemo reći da generatori HE Peruča ostaju stabilni na predviđenoj mreži godine u slučaju nastanka bliskih tropolnih i jednopolnih kratkih spojeva, ukoliko se vod u kvaru izolira s vremenom isključenja kvara od najduže 315 ms. RHE OBROVAC Slika 4 prikazuje krivulju njihanja rotora generatora RHE Obrovac u slučaju nastanka bliskog tropolnog kratkog spoja na 400 kv vodu Melina-Obrovac. Slika 4 - Krivulja njihanja generatora RHE Obrovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Melina-Obrovac SLIKA 4 Najveći kut opterećenja generatora tokom prijelazne pojave za tropolni kratki spoj na vodu Melina-Obrovac dostiže vrijednost od , odnosno 35 0 za kratki spoj na vodu Obrovac- Konjsko. Prigušenje prijelazne pojave je nešto slabije, tako da ona traje i nakon promatranih 6 sekundi. Granične vrijednosti kritičnih vremena prikazani su tablicom 7. Tablica 7. - Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za tropolne kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini RHE Obrovac na mreži god. VOD PREMA redni broj T k (ms) MELINA KONJSKO Na planiranoj mreži godine generatori RHE Obrovac će održati stabilnost u slučajevima nastanka kratkih spojeva na 400 kv vodovima prema Melini i Konjskom, ukoliko se vod u kvaru isključi u vremenu manjem od 315 ms. HE ORLOVAC Za HE Orlovac ispitan je slučaj nastanka tropolnog kratkog spoja u neposrednoj blizini elektrane na jednom od dva paralelna voda kojima je radijalno povezana na elektroenergetski sustav, pri čemu rotori generatora zanjišu do najvećeg kuta opterećenja od , uz vrlo dobro prigušenje prijelazne pojave nakon 3 s. Generatori HE Orlovac u slučaju opisanog kvara gube sinhronizam ukoliko kratki spoj traje duže od 190 ms. Ukoliko se vod u kvaru isključi u manjem vremenu HE Orlovac može davati snagu u sustav preko zdravog voda, bez opasnosti od gubitka stabilnosti. Uzroci većeg kuta opterećenja i manje granične vrijednosti kritičnog vremena su u zastarjelom elektrostrojnom sustavu uzbude i maloj vrijednosti GD 2 agregata. Usprkos tome, stabilnost elektroenergetskog sustava u slučaju nastanka kvarova u blizini HE 9

10 Orlovac nije ugrožena niti uz ove nepovoljne parametre generatora i sustava uzbude, ukoliko zaštita ispravno djeluje. Slika 5 - Krivulja njihanja generatora HE Orlovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Orlovac-Konjsko SLIKA 5 Tablica 8. - Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za tropolne kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini HE Orlovac na mreži god. VOD PREMA redni broj T k (ms) KONJSKO 1 2 HE ĐALE HE Đale je na elektroenergetski sustav vezana samo jednim vodom, pa je stoga vrlo osjetljiva na bliske kvarove budući da u slučaju iskapčanja tog voda ne može dati snagu u sustav. Na slici 6 vidljivo je da u slučaju nastanka tropolnog kratkog spoja na vodu Đale-Konjsko isključenog djelovanjem zaštite kroz 100 ms, te uz automatsko ponovno uklapanje voda nakon 400 ms, generatori ispadaju iz sinhronizma. Slika 6 - Krivulja njihanja generatora HE Đale u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Đale-Konjsko SLIKA 6 Granična vrijednost kritičnog vremena za tropolni kratki spoj na vodu Đale-Konjsko na planiranoj mreži godine iznosi T k =395 ms uz pretpostavku da je spomenuti vod u tom trenutku ukopčan tako da elektrana može plasirati snagu u elektroenergetski sustav. U slučaju isključenja voda 100 ms nakon nastanka kvara i uz 400 ms unutar kojih su generatori potpuno rasterećeni dok se vod ne uklopi, ispad iz sinhronizma je neizbježan. HE KRALJEVAC Budući da je HE Kraljevac na mreži godine angažirana samo s jednim agregatom (6 MVA), ispitana je prijelazna stabilnost tog agregata s obzirom na slučajeve nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na jednom od dva paralelna voda kojima je hidroelektrana povezana na TS Kraljevac. Slika 6 - Krivulja njihanja generatora (6 MVA) HE Kraljevac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu HE Kraljevac-Kraljevac SLIKA 7 Njihanje rotora u opisanom slučaju je zanemarivo, a granične vrijednosti kritičnih vremena određuje ponašanje generatora HE Zakučac budući da oni prije ispadaju iz sinhronizma ( ms nakon nastanka kvara) od agregata HE Kraljevac

11 3.2 Zaključno o prijelaznoj stabilnosti za planiranu mrežu godine Analize pokazuju da razmatrane godine prijelazna stabilnost elektroenergetskog sustava na području srednje Dalmacije uz postojeću zaštitu u visokonaponskoj mreži nije ugrožena, te da postoji dovoljna rezerva do ispada pojedinih generatora iz sinhronizma u slučajevima nastanka tropolnih kratkih spojeva na vodovima kojima su elektrane povezane na elektroenergetski sustav. Od najvećih hidroelektrana na tom području (HE Zakučac, RHE Obrovac, HE Orlovac) najosjetljivija na poremećaje u svojoj okolini je HE Orlovac, prvenstveno radi zastarjelog sustava uzbude generatora i male vrijednosti GD 2 agregata, zbog čega generatori mogu u slučaju zakašnjelog djelovanja zaštite i isključenja voda u kvaru izgubiti stabilnost, uz daljnje moguće posljedice po rad elektroenergetskog sustava. Posebno osjetljiva na nastanak tropolnih kratkih spojeva je HE Đale budući da je radijalno povezana samo jednim vodom na TS Konjsko, tako da svaki kvar na tom vodu uzrokuje ispad generatora iz sinhronizma budući da su, uz najkraće vrijeme djelovanja zaštite i automatskog ponovnog uklapanja, ipak predugo potpuno rasterećeni. Razbuđivanje generatora i ponovno uklapanje na mrežu nakon otklanjanja kvara se u opisanom slučaju ne bi mogli izbjeći. Ukoliko tropolni kratki spoj nastane na nekom od električki bliskih vodova iz TS Konjsko, ne postoji opasnost od gubitka prijelazne stabilnosti generatora HE Đale. 4. REZULTATI PRORAČUNA - Elektroenergetski sustav godine 4.1 Bliski tropolni kratki spojevi na vodovima uz isklapanje voda nakon 100 ms Vremenska simulacija poremećaja za analizu prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava srednje Dalmacije na planiranoj mreži godine istovjetna je analizama na mreži godine. Razlike u rezultatima rezultat su drugačije konfiguracije mreže, proizvodnje elektrana, povećanog vršnog opterećenja, i ulaska u pogon nove termoelektrane na tom području. HE ZAKUČAC Slike 8 i 9 prikazuju krivulje njihanja rotora generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučajevima nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima Zakučac-Konjsko 1 i Zakučac-Dugi Rat. Slika 8 - Krivulje njihanja generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Zakučac-Konjsko 1 (mreža godine) SLIKA 8 Slika 9 - Krivulje njihanja generatora 1 i 2 HE Zakučac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Zakučac-Dugi Rat (mreža godine) SLIKA 9 Maksimalne promjene kuteva opterećenja slične su kao kod mreže godine, s razlikom da su najveći kutevi opterećenja veći za desetak stupnjeva (δ max 61 0 ), budući da su generatori u ovom slučaju opterećeniji. Najveće promjene kuteva opterećenja tokom prijelaznih pojava se kreću oko δ max =24 0 za bliske tropolne kratke spojeve na vodovima 220 i 110 kv. 11

12 Granične vrijednosti kritičnih vremena se značajnije ne mijenjaju (tablica 9), a generatori ostaju u sinhronizmu ukoliko je kvar isključen kroz vrijeme od najduže 260 ms, kao i na mreži nazivne godine. I u ovom slučaju za gubitak stabilnosti generatora nepovoljniji su bliski tropolni kratki spojevi. Povoljno djelovanje APU voda u kvaru, uočljivo je i na modelu mreže nazivne godine, budući da su maksimalni kutevi opterećenja generatora isti u slučaju njegove primjene i bez njega, ali je prigušenje njihanja bolje u slučaju primjene APU, budući da se prije obnavlja stacionarno stanje koje je postojalo prije kvara. Tablica 9. - Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini HE Zakučac na mreži god. T k (ms) VOD PREMA redni broj TROPOLNI KRATKI SPOJEVI JEDNOPOLNI KRATKI SPOJEVI MOSTAR KONJSKO BILICE DUGI RAT KRALJEVAC METERIZE HE PERUČA Slika 10 prikazuje krivulju njihanja rotora generatora HE Peruča u slučaju nastanka bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Peruča-Sinj. Slika 10 - Krivulja njihanja generatora HE Peruča u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Peruča-Sinj (mreža godine) SLIKA 10 Generatori ostaju u sinhronizmu i na planiranoj mreži godine, ali se najveći kutevi opterećenja znatno povećavaju (δ max 68 0 ). Maksimalne promjene kuteva opterećenja veće su za nekoliko stupnjeva u odnosu na stanje mreže godine ( δ max =30 0 ). Granične vrijednosti kritičnih vremena za bliske tropolne kratke spojeve manje su u odnosu na prethodni slučaj za 70 12

13 ms. Na osnovu gornjih rezultata možemo zaključiti da će stabilnost generatora HE Peruča biti sačuvana u radu na planirani elektroenergetski sustav godine, ukoliko se kvar isključi kroz najduže 245 ms. Uz isključenje kvara u 1. stupnju djelovanjem zaštite i prekidača, postoji još dovoljna vremenska rezerva od stotinjak mili sekundi prije nego što bi generatori ispali iz sinhronizma. RHE OBROVAC Slika 11 prikazuje krivulju njihanja rotora generatora RHE Obrovac u slučaju nastanka bliskog tropolnog kratkog spoja na 400 kv vodu Melina-Obrovac. Slika 11 - Krivulja njihanja generatora RHE Obrovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Melina-Obrovac (mreža godine) SLIKA 11 Generator u opisanom slučaju zanjiše do kuta opterećenja od δ max =62.5 0, s vrlo velikom amplitudom drugog njihaja. Prigušenje prijelazne pojave je slabo, tako da ona traje oko 5 s sa velikim amplitudama njihanja rotora. Granične vrijednosti kritičnih vremena za bliske tropolne kratke spojeve na 400 kv vodovima prema Konjskom i TE Obrovac (pretpostavljen je spoj jednog bloka nove termoelektrane na 400 kv, a drugog na 220 kv) prikazane su u tablici 10. Tablica Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za tropolne kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini RHE Obrovac na mreži god. VOD PREMA redni broj T k (ms) TE OBROVAC KONJSKO Na planiranoj mreži godine generatori RHE Obrovac će održati stabilnost u slučajevima nastanka kratkih spojeva na 400 kv vodovima prema TE Obrovac i Konjskom, ukoliko se vod u kvaru isključi u vremenu manjem od 265 ms, što je smanjenje od 50 ms u odnosu na istovjetnu analizu na mreži godine. TE OBROVAC TE Obrovac trebala bi zadovoljiti potrebe za baznom snagom u Dalmaciji, pa je pretpostavljen njen ulazak u pogon prije godine, pri čemu je spoj blokova 2x350 MW realiziran na 400 i 220 kv mrežu, s novoizgrađenom transformatorskom stanicom 400/220/110 kv. Nova termoelektrana je na modelu mreže spojena s ostatkom elektroenergetskog sustava Hrvatske i Bosne i Hercegovine 400 kv vodovima prema Melini, Bihaću, Brinju, i RHE Obrovac (Konjskom), 220 kv vodovima prema Konjskom i Brinju, te 110 kv vodovima prema TS Obrovac. Rezultati dobiveni analizom prijelazne stabilnosti za slučajeve nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima ne bi trebalo smatrati konačnima, budući da uvelike ovise o parametrima novih generatora i sustava uzbude koji su u ovim analizama proizvoljno pretpostavljeni bez ozbiljnijeg uvida u stvarne potrebe sustava i ekonomske valorizacije istih. 13

14 Slika 12 - Krivulje njihanja generatora TE Obrovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Melina-TE Obrovac 400 kv (mreža godine) SLIKA 12 Slika 13 - Krivulje njihanja generatora TE Obrovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Konjsko-TE Obrovac 220 kv (mreža godine) SLIKA 13 U slučaju nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na 400 i 220 kv vodovima kojima je spojena na elektroenergetski sustav, generatori TE Obrovac održavaju sinhronizam. Najveći kutevi opterećenja generatora se za kratke spojeve na 400 kv vodovima kreću oko δ max =94 0, a za kratke spojeve na 220 kv vodovima δ max =87 0. U odnosu na ostale elektrane na promatranom području, generatori TE Obrovac postižu najveće kuteve opterećenja tokom prijelaznog stanja, što je posljedica većeg kuta opterećenja u stacionarnom stanju zbog rada generatora u kapacitivnom području radi rješavanja problema viška jalove snage u 400 i 220 kv mreži na području srednje Dalmacije. Rješavanje spomenutog problema na drugi način smanjio bi opasnost od gubitka prijelazne stabilnosti tokom velikih poremećaja u mreži. Tablica Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za tropolne kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini TE Obrovac na mreži god. VOD PREMA redni broj T k (ms) RHE OBROVAC MELINA BRINJE 400 kv BIHAĆ KONJSKO 220 kv BRINJE 220 kv Na osnovu graničnih vrijednosti kritičnih vremena možemo zaključiti da će generatori TE Obrovac sačuvati stabilnost na mreži godine ukoliko se vod u kvaru isključi u vremenu od najduže 215 ms ukoliko je kratki spoj nastao na nekom od 400 kv vodova, odnosno 245 ms u slučaju nastanka kratkog spoja na 220 kv vodu. Ove vrijednosti izračunate su uz pretpostavljenu mehaničku vremensku konstantu novih generatora T m =6 s, a u slučaju konstrukcije generatora s većom T m, granične vrijednosti kritičnih vremena se znatno mijenjaju. HE ORLOVAC Krivulju njihanja generatora HE Orlovac u slučaju nastanka bliskog tropolnog kratkog spoja na jednom od vodova HE Orlovac-Konjsko prikazuje slika

15 Slika 14 - Krivulja njihanja generatora HE Orlovac u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Orlovac-Konjsko (mreža godine) SLIKA 14 Rotor zanjiše do najvećeg kuta δ max =74 0, nakon čega se njihanje vrlo dobro prigušuje. Granične vrijednosti kritičnih vremena za tropolne kratke spojeve na vodovima prema Konjskom se ne mijenjaju u odnosu na mrežu godine. Na mreži godine generatori HE Orlovac ostaju u sinhronizmu s ostalim generatorima u sustavu prilikom nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima koji je povezuju s elektroenergetskim sustavom, ukoliko se vod u kvaru isključi u vremenu manjem od 190 ms proteklom od nastanka kvara. Tablica Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za tropolne kratke spojeve na vodovima u neposrednoj blizini HE Orlovac na mreži god. VOD PREMA redni broj T k (ms) KONJSKO 1 2 HE ĐALE Očekivano, niti na mreži godine generatori HE Đale ne mogu očuvati sinhronizam u slučaju nastanka tropolnog kratkog spoja na vodu kojim je elektrana radijalno priključena na elektroenergetski sustav. Slika 15 - Krivulja njihanja generatora HE Đale u slučaju bliskog tropolnog kratkog spoja na vodu Đale-Konjsko SLIKA 15 Najduže vrijeme trajanja kvara ili isključenja spomenutog voda, tokom kojega su generatori potpuno rasterećeni, uz koje mogu očuvati sinhronizam prilikom ukapčanja voda i otklanjanja kvara u ovom slučaju iznosi 375 ms, 20 ms manje u odnosu na mrežu godine. HE KRALJEVAC I na mreži godine njihanje generatora 6 MVA u HE Kraljevac je zanemarivo. U slučaju nastanka tropolnog kratkog spoja na jednom od vodova HE Kraljevac-Kraljevac, rotor zanjiše do najvećeg kuta δ max =4 0, a prijelazna pojava se vrlo brzo nakon toga priguši. U slučaju duljeg trajanja kvara, iz sinhronizma prije ispadaju generatori HE Zakučac nego promatrani generator HE Kraljevac Zaključno o prijelaznoj stabilnosti za planiranu mrežu godine Izgradnjom novih visokonaponskih vodova i uvođenjem termoelektrane na području srednje Dalmacije u pogon, primjećuje se trend smanjenja prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava, ali ne dovoljan da ozbiljnije poremeti njegov rad u slučaju većih poremećaja. Za promatrano djelovanje zaštite u VN mreži, u slučaju nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima koji povezuju elektrane sa ostatkom elektroenergetskog sustava, opasnost po gubitak sinhronizma postoji jedino u slučaju HE Đale budući da je radijalno povezana sa 15

16 sustavom samo jednim vodom. Granične se vrijednosti kritičnih vremena za kvarove u neposrednoj blizini elektrana smanjuju. Tablica Granične vrijednosti kritičnih vremena (ms) za bliske tropolne kratke spojeve na vodovima koji povezuju elektrane s EES-m T k (ms) ELEKTRANA EES god. EES god. HE ZAKUČAC RHE OBROVAC TE OBROVAC HE ORLOVAC HE PERUČA HE ĐALE 395* 375* HE KRALJEVAC (gen. 4) - - *ako je uključen vod Đale-Konjsko u tom vremenu 5. ZAKLJUČAK Analizama prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava na području srednje Dalmacije za planirani razvoj visokonaponske mreže i izgradnje novih proizvodnih kapaciteta u budućnosti do godine, određene su krivulje njihanja generatora i granične vrijednosti kritičnih vremena u slučajevima nastanka bliskih tropolnih kratkih spojeva na vodovima koji povezuju elektrane sa ostatkom sustava. Uz planiranu revitalizaciju generatora iz prve faze HE Zakučac i HE Peruča, te izgradnje termoelektrane na području Obrovca do godine, ne postoji opasnost od gubitka prijelazne stabilnosti pri nastanku opisanih kvarova, izuzev u slučaju HE Đale koja je radijalno spojena sa elektroenergetskim sustavom, ukoliko zaštita u visokonaponskoj mreži ispravno djeluje i isključuje vod u kvaru u vremenu od 100 ms. S razvojem mreže i uvođenjem u pogon termoelektrane u Obrovcu primjećuje se smanjenje prijelazne stabilnosti sustava, pa je neophodno obratiti pažnju i na taj problem prilikom gradnje novih postrojenja i revitalizacije starih, za koje bi trebalo odrediti optimalne parametre, te primjenjene sustave uzbude generatora i turbinskih regulatora, tako da se postigne zadovoljavajuće ponašanje sustava tokom prijelaznih stanja uz ekonomsku opravdanost svih investicija. Rješavanje problema viška jalove snage u mreži radom pojedinih generatora u kapacitivnom području, negativno se odražava na povećanje prijelazne stabilnosti sustava kojem bi trebalo težiti, pa bi se rješenje tog problema na drugi način (postavljanje prigušnice i sl.) pozitivno odrazilo na rad sustava tokom velikih poremećaja. S obzirom da je u ovom članku promatran samo dio problema u radu sustava tokom prijelaznih stanja potrebno je provoditi daljnje analize prijelazne stabilnosti elektroenergetskog sustava na području srednje Dalmacije, posebno u slučaju izvoza velikih snaga u druge dijelove elektroenergetskog sustava Hrvatske i susjednih zemalja, te u slučaju odabira neke druge lokacije za gradnju termoelektrane. 16

17 LITERATURA [1] P. Kundur: POWER SYSTEM STABILITY AND CONTROL, Mc Graw-Hill, [2] POSCOLAB, ABB High Voltage Technologies, Zurich/Switzerland, [3] IDEJNI PROJEKT REVITALIZACIJE SINKRONIH GENERATORA, SUSTAVA UZBUDE, BLOK TRANSFORMATORA I VN KABELA U HIDROELEKTRANI ZAKUČAC, KONČAR-Institut za elektrotehniku, Zagreb, travanj [4] EXCITATION SYSTEM AND VOLTAGE REGULATORS FOR SYNCHRONOUS MACHINES - Reference list, KONČAR INEM, Zagreb [5] TURBINE GOVERNOR, FRVA - Technical Description, CONTROL PRINCIPLES [6] Dr. Matislav Majstrović, Mr. Elis Sutlović, D. Bajs, R. Goić, E. Mudnić: ANALIZA I ODREĐIVANJE PARAMETARA REVITALIZIRANIH AGREGATA 1 I 2 HE ZAKUČAC I REVITALIZIRANIH AGREGATA HE PERUČA S OBZIROM NA ZAHTJEVE ELEKTROENERGETSKOG SUSTAVA, Zagreb, lipanj Naslov pisca: Davor Bajs, dipl. ing. Energetski institut Hrvoje Požar, Ulica grada Vukovara 37, Zagreb Hrvatska 17

18 TIME (S) ZAKU CAC1 ZAKU 1 16 ANG ( DEG ) ZAKU CAC2 ZAKU 2 16 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 1 18

19 TIME (S) ZAKU CAC1 ZAKU 1 16 ANG ( DEG ) ZAKU CAC2 ZAKU 2 16 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 2 19

20 TIME (S) PERU CA1 PERU 1 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 3 20

21 TIME (S) OBRO VAC OBRO 400 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 4 21

22 TIME (S) ORLO VAC HE O RLO ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 5 22

23 TIME (S) DJAL E HE D JAL ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 6 23

24 TIME (S) KRAL JEVA HE K RAL ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES 0RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 7 24

25 TIME (S) ZAKU CAC1 ZAKU 1 16 ANG ( DEG ) ZAKU CAC2 ZAKU 2 16 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 8 25

26 TIME (S) ZAKU CAC1 ZAKU 1 16 ANG ( DEG ) ZAKU CAC2 ZAKU 2 16 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 9 26

27 TIME (S) PERU CA1 PERU 1 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 10 27

28 TIME (S) OBRO VAC OBRO 400 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 11 28

29 TIME (S) TOBR OVA1 TE O B400 ANG ( DEG ) TOBR OVA2 TE O B220 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 12 29

30 TIME (S) TOBR OVA1 TE O B400 ANG ( DEG ) TOBR OVA2 TE O B220 ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 13 30

31 TIME (S) ORLO VAC HE O RLO ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 14 31

32 TIME (S) DJAL E HE D JAL ANG ( DEG ) MAX: S MIN: S EIHP ZAGREB CROATIA PRIJELAZNA STABILNOST EES RDER FILENAME DATE ANNEX EI H. POZAR MANISTA / 1 SLIKA 15 32

33 DODATAK 1 - dio modeliranog EES-a: ELEKTROENERGETSKI SUSTAV DALMACIJE (bliža budućnost, nazivna godina) Livno Brinje Sarajevo MOSTAR PERUČA B. BLATO Melina RHE OBROVAC SINJ Grude Gacko L. Osik GRAČAC OBROVAC B.Grahovo ORLOVAC IMOTSKI NIN BENKOVAC STRMICA KONJSKO ĐALE Pag ZADAR KNIN BILICE KRALJEVAC MAKARSKA Čapljina BIOGRAD Trebinje OPUZEN NEUM RAŽINE TROGIR KAŠTELA VRBORAN METERIZE ZAKUČAC D.RAT STON KOMOLAC SUĆIDAR SPLIT 3 NEREŽIŠĆE STARIGRAD BLATO 110 kv 220 kv 400 kv TS 400/x kv TS 220/x kv TS 110/x kv 33

34 DODATAK 2 - dio modeliranog EES-a: ELEKTROENERGETSKI SUSTAV DALMACIJE (dalja budućnost, nazivna godina) Livno Sarajevo Bihać Brinje MOSTAR Melina L. Osik GRAČAC TE OBROVAC RHE OBROVAC OBROVAC B.Grahovo PERUČA SINJ ORLOVAC B. BLATO Grude Jablanica Gacko Ljubuški Čapljina Pag NIN ZADAR BENKOVAC STRMICA KNIN BILICE KONJSKO ĐALE KRALJEVAC IMOTSKI MAKARSKA PLOČE METKOVIĆ VRGORAC Čapljina Trebinje Trebinje BIOGRAD OPUZEN RAŽINE TROGIR KAŠTELA VRBORAN BRODOGR. CENTAR SPLIT 3 SUĆIDAR METERIZE ZAKUČAC NEUM PLAT D.RAT KOMOLAC STON NEREŽIŠĆE STARIGRAD BLATO GRIPE 110 kv 220 kv 400 kv TS 400/x kv TS 220/x kv TS 110/x kv 34

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Iz zadatka se uočava da je doslo do tropolnog kratkog spoja na sabirnicama B, pa je zamjenska šema,

Iz zadatka se uočava da je doslo do tropolnog kratkog spoja na sabirnicama B, pa je zamjenska šema, . Na slici je jednopolno prikazan trofazni EES sa svim potrebnim parametrima. U režimu rada neposredno prije nastanka KS kroz prekidač protiče struja (168-j140)A u naznačenom smjeru. Fazni stav struje

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA POSTROJENJA

ELEKTRIČNA POSTROJENJA ELEKTRIČNA POSTROJENJA Literatura: Požar, H. Visokonaponska rasklopna postrojenja, Tehnička knjiga, Zagreb Tehnički priručnik Končar Elektroenergetski sustav Međusobno povezani skup proizvodnih, prijenosnih

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

ASINKRONI RAD SINKRONOG GENERATORA

ASINKRONI RAD SINKRONOG GENERATORA ASINKRONI RAD SINKRONOG GENERATORA 1 Asinkroni rad sinkronih generatora Nepravilan rad u kojemu brzina vrtnje nije sinkrona. Dozvoljava se kratkotrajno ili se trenutno isključuje. U asinkroni rad spada:

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE Povijesni razvoj 1 Osnovni pojmovi hidraulički strojevi u kojima se mehanička energija vode pretvara u mehaničku energiju vrtnje stroja što veći raspon padova što veći kapacitet

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U

= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U 1. Za EES dat na slici: a) odrediti bazne struje i impedanse elemenata ako je S B = 100 MVA, a naponi jednaki nominalnim vrijednostima napona pojedinih naponskih nivoa, b) Nacrtati ekvivalentne šeme direktnog,

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET LABORATORIJSKA VJEŽBA BROJ 2

UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET LABORATORIJSKA VJEŽBA BROJ 2 UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET STUDIJSKI PROGRAM: ENERGETIKA I AUTOMATIKA PREDMET: ANALIZA ELEKTROENERGETSKIH SISTEMA II FOND ČASOVA: 2+2+0.5 LABORATORIJSKA VJEŽBA BROJ 2 NAZIV: CILJEVI

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

ENERGETSKI PRORAČUNI NISKONAPONSKE MREŽE Seminarski rad (primjer)

ENERGETSKI PRORAČUNI NISKONAPONSKE MREŽE Seminarski rad (primjer) FESB Split Zavod za elektroenergetiku, Katedra za električne mreže i postrojenja Predmet: DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE Nastavnik: Dr. sc. Ranko Goić, doc. ENERGETSKI PRORAČUNI NISKONAPONSKE MREŽE Seminarski

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα