6 ZÁKLADY TEÓRIE DLHÝCH DVOJVODIČOVÝCH VEDENÍ

Transcript

1 6 ÁKLADY TEÓRIE DLHÝCH DVOJVODIČOVÝCH VEDENÍ 6.1 Prúdoé a napäťoé lny na dojodičoých edeniach Pod pojmom "dojodičoé edenie" máme na mysli signáloý, alebo energetický prenosoý systém pozostáajúci z doch odičo spájajúcich zdroj signálu (generátor) a spotrebič (záťaž), pričom istom okamihu a istej priečnej roine prúd jedným odičom tečie k záťaži a druhým naopak, ku generátoru, a medzi odičmi je jednoznačné napätie záislé od polohy na edení a od času. S takýmto prúdoým a napäťoým rozložením súisí TEM lna na edení. Jednoduchými príkladmi dojodičoých edení, analyzoanými už pri inej príležitosti, sú dojodičoý symetrický kábel (dojlinka) a koaxiálny kábel. Pri prenose jednosmerných a nízkofrekenčných elektrických signálo resp. ýkono sú takéto edenia jedinými a ýhradnými prenosoými médiami a môžu slúžiť na prenos signálo až do frekencií desiatok gigahertzo. Pojem "dlhé edenie" nie je jednoznačný a súisí s frekenciou prenášaného signálu. Ak na stupe edenia istej dĺžky l pôsobí generátor signálu s frekenciou f, bude sa tento napäťoo-prúdoý signál šíriť pozdĺž edenia s istou konečnou rýchlosťou ronou rýchlosti elektromagnetickej lny danom dielektrickom prostredí kábla, pretože s napätím a prúdom sú nerozlučne spojené ich elektrické a magnetické polia. Pri danej frekencii znikne na edení popri elektromagnetickej lne okolitom dielektrickom prostredí aj prúdoá a napäťoá lna o odičoch s odpoedajúcou lnoou dĺžkou λ = /f. Ak je dĺžka l edenia oeľa äčšia ako lnoá dĺžka λ, edenie nazýame dlhým. V praxi sa za dlhé poažujú už edenia, pre ktoré je splnená podmienka l λ/4 Vidno, že pojem "dlhé edenie" je relatíny. Napríklad edenie ysokého napätia energetickej sieti je dlhým až pri dĺžke rádoo tisíce kilometro, čo súisí s nízkou frekenciou napätia energetickej siete (5 Hz). Na druhej strane, úsek kábla určeného na prenos teleízneho signálu pri frekencii 1 MHz je už "dlhý" keď má iba 1 centimetro. Pri dlhom edení sa súčasne yžaduje, aby jeho priečne rozmery boli menšie ako štrtina praconej lnoej dĺžky. Dlhé edenia sa niekedy nazýajú aj edenia s rozloženými parametrami. Pri prenose signálo sa totiž okrem ich pozdĺžneho odporu a priečnej odiosti uplatňujú aj pozdĺžna reaktancia a priečna susceptancia, ktoré možno chápať ako spojito rozložené pozdĺž edenia, na rozdiel od sústredených parametro, akými sú odpory rezistoro, indukčnosti cieok a kapacity kondenzátoro, z ktorých pozostáajú diskrétne obody na nízkych frekenciách. Rozložené parametre edenia sa uplatňujú pri eľkej dĺžke edenia alebo pri ysokej frekencii prenášaného signálu. 18

2 Každé dojodičoé edenie charakterizujú štyri primárne parametre: a) pozdĺžny odpor edenia na jednotku dĺžky R [Ω/m] spôsobený nenuloou odiosťou odiča a skin efektom; b) pozdĺžna indukčnosť edenia na jednotku jeho dĺžky L [H/m] spôsobená induktínymi lastnosťami odiča; c) priečna odiosť edenia na jednotku dĺžky G [S/m] spôsobená neideálnym dielektrikom, ktoré torí izoláciu medzi odičmi; d) priečna kapacita edenia na jednotku dĺžky C [F/m] predstaujúca kapacitné lastnosti dojice odičo. Nekonečne krátky úsek edenia dz má potom pozdĺžny odpor jedného odiča Rdz, priečnu odiosť Gdz, pri frekencii ω pozdĺžnu induktínu reaktanciu ωldz a priečnu kapacitnú susceptanciu ω Cdz. Treba mať na pamäti, že dôsledku skinefektu sú aj pozdĺžny odpor aj priečna odiosť záislé od frekencie. Vedenie, ktorého parametre pozdĺž jeho dĺžky zostáajú konštantné, sa nazýa homogénne alebo regulárne. V našej teórii sa budeme zaoberať iba lastnosťami homogénnych edení. nehomogénnych edení je dôležité najmä exponenciálne edenie, ktorého úseky sa často použíajú ako spojoacie články medzi edeniami s rôznymi parametrami. Obr. 6.1 Na obr. 6.1 je zobrazený infinitezimálny úsek edenia dĺžky dz. Predpokladajme, že na stup edenia je pripojený generátor napätia, ktoré záisí od času, a nemusí byť neyhnutne harmonické. Pozdĺž edenia sa ytorí napätie záislé od času t a zdialenosti z. Funkčné záislosti napätia a prúdu pozdĺž edenia označíme u = u(z, t) a i = i(z, t). Na ybraný úsek edenia môžeme aplikoať Kirchhoffoe zákony. Na stupe medzi bodmi A a B ybraného úseku edenia je napätie u a prúd bode B pozdĺž edenia je i. Na jeho ýstupe medzi bodmi C a D je napätie u ( u/ z)dz, bode C je pozdĺžny prúd i ( i/ z)dz. Pre účely analýzy možno bez ujmy na šeobecnosti odpor a indukčnosť spätného, spodného odiča sústrediť do horného a spodný poažoať za bezodporoý a bezindukčný. Podľa druhého Kirchhoffoho zákona pre uzaretý obod ABCDA platí i u u Ri L d z u dz = t z Podľa prého Kirchhoffoho zákona rozdiel prúdo bode B a C sa roná zodoému prúdu cez odiosť G a kapacitu C na dĺžke úseku dz, teda 19

3 u i i Gu C d z i dz = t z týchto roníc po úprae dostaneme u = Ri L i z t (6.1a) i = Gu C u z t (6.1b) V roniciach (6.1) možno separoať u a i. Deriujme ronicu (6.1a) podľa súradnice z a dosaďme za i/ z z ronice (6.1b). Dostaneme u = R i i L = RGu RC u i L z z z t t z t (6.) Deriujme ďalej ronicu (6.1b) podľa času i = G u C u z t t t a dosaďme do ronice (6.). Po úprae dostaneme diferenciálnu ronicu pre napätie u tare u = RGu ( RC GL) u LC u (6.3a) z t t Podobným postupom dostaneme symetrickú ronicu pre prúd i i z = RGi ( RC GL) i LC i (6.3b) t t historických dôodo sa ronice (6.1), resp. (6.3) nazýajú telegrafné ronice, pretože boli ododené a analyzoané čase zniku drôtoej telegrafie. 1 Ich riešením pri zadaných začiatočných a hraničných podmienkach dostaneme napätia a prúdy na edení pre ľubooľné časoé priebehy stupného napätia. V praxi sú najdôležitejšie periodické alebo jednoduché harmonické napäťoé a prúdoé priebehy, ktoré komplexnom yjadrení majú tar (z)e jωt a I(z)e jωt, kde (z) a I(z) sú komplexné amplitúdy napätia a prúdu na edení. Ak roniciach (6.1) nahradíme prúd a napätie uedenými komplexnými obrazmi, dostaneme po úprae diferenciálne ronice pre komplexné amplitúdy tare 1 Kirchhoff, G. R.: Über die Bewegung der Elektrizität in Drähten, Pogg. Ann., Bd. 1 (1857) Heaiside, O.: On the Extra Current, Phil. Mag., ol. (1876), p. 53 Poincaré, H.: Sur la propagation de l electricité, Comptes rendus, ol. 17 (1897), p

4 d = (R jωl)i = I dz (6.4a) d I = (G jωc) = Y dz (6.4b) kde = R jωl je pozdĺžna impedancia edenia na jednotku jeho dĺžky a Y = G jωc je jeho priečna admitancia na jednotku dĺžky. V roniciach (6.4) možno tiež separoať premenné. Ich derioaním podľa z a kombináciou ýsledku deriácie s pôodnými ronicami dostaneme ronice d z d I = γ (6.5a) d dz = γ I (6.5b) kde γ = Y = ( R j ωl)( G j ω C) (6.6) je koeficient šírenia napäťoých a prúdoých ĺn. Ronice (6.5) sú telegrafné ronice pre harmonické napäťoé a prúdoé priebehy. matematického hľadiska sú to obyčajné diferenciálne ronice druhého rádu, ktorých šeobecné riešenia majú tar (z) = I(z) = e γz e γz I e γz I e γz (6.7a) (6.7b) Keďže koeficient šírenia γ je o šeobecnosti komplexné číslo a časoý faktor je e jωt, každé z riešení predstauje tlmenú napäťoú resp. prúdoú lnu ako superpozíciu doch zložiek šíriacich sa nazájom opačných smeroch pozdĺž osi edenia (osi z). Integračné konštanty, I,, I fyzikálne predstaujú amplitúdy postupujúcich a odrazených napäťoých a prúdoých ĺn a treba ich určiť z hraničných podmienok, napríklad z prúdu a napätia na stupe a ýstupe edenia. Našťastie počet integračných konštánt možno redukoať na poloicu, pretože prúdy a napätie nie sú nezáislé, ale sú iazané ronicami (6.4). Skutočne, yužitím ronice (6.4a) dostáame I = 1 d dz = γ ( e γz e γz ) = 1 ( e γz e γz ) a riešenia (6.7) môžeme napísať tare (z) = e γz e γz (6.8a) I(z) = e γz e γz (6.8b) 131

5 Veličina = = = γ Y R jωl G jωc (6.9) je charakteristická (lnoá) impedancia edenia, ktorá, ako idíme, záisí iba od primárnych parametro edenia a od frekencie ω. Neskôr uidíme, že udáa pomer komplexných amplitúd napätia a prúdu iba postupujúcej lny od zdroja k záťaži. Integračné konštanty a treba určiť z okrajoých podmienok. Ako okrajoé podmienky možno zoliť napríklad stupné napätie st a stupný prúd I st. Nech sa teda stup edenia nachádza roine z = ako na obr. 6., kde = st a I = I st. ýrazo (6.8) plynie, že a st = I st = Riešením tejto sústay roníc pre konštanty a dostaneme = st I st = st I st (6.1) Dosadením za integračné konštanty o ýrazoch (6.8) a yužitím hyperbolických funkcií sinh γ z = e γ z e γ z cosh γ z = e γ z e dostaneme ýrazy pre komplexné amplitúdy napätia a prúdu tare (z) = st cosh γ z I st sinh γ z γz (6.11) (6.1a) I(z) = I st cosh γ z st sinh γ z (6.1b) Obr. 6. Druhá možnosť oľby hraničných podmienok je ybrať ich ako ýstupné eličiny na konci edenia dĺžky l (pozri obr. 6.). Nech teda pre z = l je = ýst a I = I ýst. Využitím ýrazo (6.8) dostaneme pre konštanty a systém roníc 13

6 ýst = e γl e γl z čoho I ýst = e γl ýst ýst γl ýst ýst γl = e = e I e γl I (6.13) Dosadením konštánt do ýrazo (6.8) dostaneme pre amplitúdy napätia a prúdu ýrazy (z) = ýst cosh γ (l z) I ýst sinh γ (l z) (6.14a) I(z) = I ýst cosh γ (l z) ýst sinh γ (l z) (6.14b) Namiesto zdialenosti od začiatku edenia je tomto prípade ýhodnejšie merať zdialenosť d od konca edenia, teda d = l z, (pozri obr. 6.) a ýrazy (6.14) prepísať do taru (d) = ýst cosh γ d I ýst sinh γ d (6.15a) I(d) = I ýst cosh γ d ýst sinh γ d (6.15b) Všimnime si ešte koeficient šírenia γ (6.6), ktorý záisí od primárnych parametro edenia a od frekencie ω. Je to sekundárny parameter edenia, o šeobecnosti komplexné číslo, ktoré možno napísať tare γ = α jβ (6.16) kde α [m 1 ] je koeficient útlmu a β [rad.m 1 ] je fázoý koeficient. Poronaním (6.6) a (6.16) dostaneme zťah α jβ = ( R jω L)( G jωc) z ktorého môžeme ypočítať α a β. mocníme ronicu na druhú a oddelíme reálne a imaginárne časti. ískame systém doch roníc, ktorých riešením dostaneme zložité ýrazy pre koeficient útlmu a fázoý koeficient α = 1 ( R ω L )( G ω C ) ( RG ω LC) (6.17a) β = 1 ( R ω L )( G ω C ) ( RG ω LC) (6.17b) Ak frekencia klesá k nule, t. j. ak ω = (6.18) 133

7 potom limitná hodnota koeficientu útlmu a fázoého koeficientu α = RG (6.19a) β = (6.19b) Je to prípad prenosoého edenia pracujúceho s konštantným napätím, ktoré sú analyzoané napr. úlohách 5 a 54. Ak naopak, frekencia rastie a platí, že ω L» R a ω C» G s yužitím Newtonoho binomického zorca možno písať 1 R 1 G ω L R ωl ω C G ωc ωl ωc Dosadením týchto ýrazo do zťaho (6.17) a zanedbaním členo so súčinmi RG dostaneme ýrazy pre ysokofrekenčné hodnoty koeficientu útlmu a fázoého koeficientu taroch R C G α L V limitnom prípade bezstratoého edenia, ak L C (6.a) β ω LC (6.b) je R = G = α = β = ω LC (6.1a,b) Tento prípad dôležitý pre prax bude analyzoaný odseku Impedancia o edení a koeficient odrazu Dôležitá eličina na edení je impedancia. Impedancia ľubooľnej priečnej roine edenia udáa pomer komplexných amplitúd napätia (z) a prúdu I(z). Na stupe a ýstupe edenia je impedancia daná ýrazmi 134 st ýst st = (6.a) I st ýst = (6.b) I ýst

8 Ak je daná stupná impedancia, potom impedanciu (z) ľubooľnej roine o zdialenosti z od stupu edenia dostaneme delením ýrazu (6.1a) s (6.1b), pričom yužijeme zťahy (6.). Dostaneme st ( z) = st tgh γ z tgh γ z (6.3) V prípade, že je daná ýstupná impedancia, ydelíme zťah (6.15a) ýrazom (6.15b) a yužijeme zťah (6.b), čím dostaneme ýraz pre impedanciu o zdialenosti d = l z od konca edenia tare ýst ( d) = ýst tgh γ d tgh γ d (6.4) Výrazy (6.3) a (6.4) umožňujú získať transformačné zťahy medzi stupnou a ýstupnou impedanciou na edení. Ak o zorci (6.3) položíme z = l, dostaneme ýstupnú impedanciu na edení tare st ýst = st tgh γ l tgh γ l (6.5) alebo z ýrazu (6.4) pre d = l ýraz pre stupnú impedanciu ýst st = ýst tgh γl tgh γl (6.6) Pri analýze dlhých edení sa popri pojme impedancie často pracuje s jej prerátenou hodnotou, admitanciou Y. Je to hodné najmä tedy, ak je na dlhom edení zapojených iac elektrických prko paralelne. Admitančné zťahy získané ako podiel komplexných amplitúd prúdu a napätia sú formálne zhodné s ýrazmi (6.3) až (6.6), ak nich urobíme zámenu Y 1 Pre opis lnoého poľa na edení je hodné zaiesť komplexnú eličinu záislú od polohy na edení nazýanú koeficient odrazu. Koeficienty odrazu sa definujú zlášť pre napäťoú a zlášť pre prúdoú lnu, líšia sa šak iba znamienkom, tj. sú fázoo posunuté o ±π. ažujme riešenia (6.8) telegrafných roníc, ktoré sú superpozíciou postupujúcej () a odrazenej ( ) lny a možno ich napísať tare (z) = (z) (z) = I(z) = I (z) I (z) = e γ z e γ z (6.7a) e γ z e γ z (6.7b) 135

9 Napäťoý koeficient odrazu ρ u (z) na edení definujeme ako pomer odrazenej a postupujúcej napäťoej lny, teda ( z) ρ ( z) = = ( z) u e γ z = ρ e γ z (6.3) kde ρ = / je napäťoý koeficient odrazu referenčnej roine z =. Podobne možno pre prúdoú lnu definoať prúdoý koeficient odrazu ρ i (z) I ( z) = = I ( z) e γz = ρ e γz (6.31) ktorý sa od napäťoého koeficientu odrazu skutočne líši iba znamienkom (t.j. sú fázoo posunuté o ±π). Treba si uedomiť, že s pojmom odraz elektromagnetických alebo prúdoo napäťoých ĺn je spojený reálny odraz časti energie smerom ku generátoru. Pre obida koeficienty odrazu je hodné zaiesť spoločné označenie ρ(z) zťahom Ak sú konštanty (6.1), potom a, ρ(z) = ρ u (z) = ρ i (z) yjadrené stupnými amplitúdami napätia a prúdu, teda ýrazmi st ρ = = = ρ st (6.3) st st ρ(z) = e γz = ρ st e γz st (6.33) ýrazu (6.3) idieť, že koeficient odrazu na stupe edenia súisí so stupnou impedanciou a podľa ýrazu (6.33) sa transformuje pozdĺž edenia. Netreba pritom osobitne zdôrazňoať, že koeficient odrazu je bezrozmerné komplexné číslo definoané komplexnej roine na kruhu s polomerom 1. S yužitím ýrazo (6.7) možno nájsť šeobecné zťahy medzi impedanciou a koeficientom odrazu ľubooľnej roine z na edení. Platí totiž ( z) ( z) = = I ( z) I ( z) ( z) = ( z) I ( z) I 1 ( z) ( z) ( z) ( z) I ( z) 1 I ( z) ýrazo (6.8) plynie, že I ( z) = (6.34) ( z) 136

10 a s použitím ýrazo (6.3) a (6.31) môžeme zťah pre impedanciu napísať tare z čoho koeficient odrazu 1 ρ( z) (z) = 1 ρ( z) ( z) ρ ( z) = ( z) (6.35) (6.36) ýrazu (6.36) plynie zaujímaá a dôležitá skutočnosť: o edení mieste z nebudú žiadne odrazy, teda koeficienty odrazu sa budú ronať nule [ρ(z) = ] tedy, ak sa bude danej roine impedancia (z) ronať charakteristickej impedancii edenia, t. j. ak (z) = V takom prípade hooríme o režime prispôsobenia o edení, kedy celý ýkon bez odrazo postupuje každej zdialenosti z od generátora smerom k záťaži. Vo šetkých ostatných prípadoch na edení existuje postupujúca aj odrazená lna, ktoré spolu interferujú a ytárajú charakteristické konfigurácie napäťoých a prúdoých ĺn, ktoré sa nazýajú stojaté lny. Ich lastnosti budeme analyzoať odseku Bezstratoé dlhé edenia Bezstratoé edenia sú také, ktorých pozdĺžny odpor R a priečna odiosť G sú nuloé, teda R =, G =. Reálne edenia majú ždy určité straty, ale mnohých prípadoch sú tak malé, že ich možno zanedbať, čím sa teoretická analýza edení podstatne zjednoduší. Koeficient šírenia γ daný ýrazom (6.6) sa na bezstratoom edení redukuje na tar z čoho yplýa, že koeficient útlmu γ = ω LC = jω LC = j β a fázoý koeficient α = (6.37a) ω β = = ω LC (6.37b) Rýchlosť prúdoo-napäťoých ĺn na edeniach je teda daná ýrazom 1 = [m.s 1 ] (6.38) LC Charakteristická impedancia definoaná ýrazom (6.9) sa stáa reálnou a prejde na jednoduchý tar L = [Ω] (6.39) C 137

11 ýrazo (6.37) plynie, že postupujúca aj odrazená prúdoo-napäťoá lna majú konštantné amplitúdy nezáislé od súradnice z a z ýrazu (6.39) idieť, že prúdy a napätia týchto ĺn sú o fáze zhľadom na reálnosť. Reálna eličina daná ýrazom (6.39) sa nazýa lnoá impedancia (lnoý odpor) edenia a záisí iba od geometrie edenia a elektrických lastností prostredia ypĺňajúceho edenie. Tak napr. koaxiálny kábel s polomerom nútorného odiča b a s nútorným polomerom plášťa a, ktorý je yplnený neferomagnetickým dielektrikom (µ r = 1) s relatínou permitiitou ε r, má kapacitu a indukčnosť πε r C = ε [F.m 1 ] a ln b µ a L = ln [H.m 1 ] π b Dosadením do ýrazu (6.39) pre lnoú impedanciu koaxiálneho kábla dostaneme kde a 6 a = ln ln [Ω] (6.4) π b ε b µ 376, 73 = ε ε ε r r r [Ω] je charakteristická impedancia neohraničeného dielektrika. Koaxiálne káble sa yrábajú s lnoými odpormi rozsahu 5 až 75 Ω. Dá sa ukázať, že tomto interale hodnôt majú nízkostratoé koaxiálne káble ploché minimum útlmu a minimálnu intenzitu elektrického poľa na porchu nútorného odiča (pozri odsek 5.6). Vlnoá impedancia dojodičoého symetrického netieneného kábla (dojlinky) je daný ýrazom = d a π ln (6.41) a kde d je osoá zdialenosť odičo a a je polomer odiča. Typická hodnota lnoých impedancií yrábaných dojliniek je 3 Ω. Výrazy (6.14) pre komplexné amplitúdy napätia a prúdu na bezstratoom edení možno s yužitím zťaho cosh (jβ z) = cos β z sinh (jβ z) = j sin β z prepísať do taru (z) = st cos βz j I st sin βz (6.4a) I(z) = I st cos βz j st sin βz (6.4b) 138

12 Ak sú dané ýstupné amplitúdy napätí a prúdo, potom tieto amplitúdy o zdialenosti d od konca edenia budú podľa zťaho (6.15) dané ýrazmi (d) = ýst cos β d j I ýst sin β d (6.43a) I(d) = I ýst cos β d j ýst sin β d (6.43b) Impedančné zťahy (6.3), (6.4) a (6.6) prejdú pre bezstratoé edenie do taro ( z) = ( d ) = st = j tg βz j tg βz st ýst st j ýst j tg βd j j ýst ýst tg βd tg βl tg βl (6.44) (6.45) (6.46) Nakoniec uedieme niekoľko špeciálnych, praxi dôležitých prípado transformácie impedancie podľa zťahu (6.46): 1. Vedenie, ktorého dĺžka l = nλ/, kde n = 1,, 3, Fáza βl = (π/λ).nλ/ = nπ a tg nπ =. Ak n = 1 edenie sa olá pollnoé edenie. Podľa zťahu (6.46) st = ýst (6.47) Impedancia sa transformuje pomere 1 : 1. Pri analýze prenosoých lastností bezstratoého edenia každý jeho homogénny úsek dĺžky nλ/ možno ignoroať (obr. 6.3a).. Vedenie, ktorého dĺžka l = (n 1)λ/4, pre n =, 1,, 3, Fáza βl = (n 1/)π a tg(n 1/)π = ±. Ak n =, ide o štrťlnoé edenie (obr. 6.3b). Podľa zťahu (6.46) st = ýst (6.48) Obr. 6.3 Na takom úseku edenia dochádza k inerznej transformácii impedancie. Štrťlnoé edenia má eľký ýznam prenosoej technike. Predošetkým sa často yužía na prispôsobenie, pretože pri požadoanej ýstupnej impedancii možno stupnú impedanciu 139

13 nastaiť hodnou oľbou. Ak je štrťlnoé edenie na konci skratoané, jeho stupná impedancia je pri danej lnoej dĺžke (danej frekencii) nekonečná. Na stupných sorkách sa také edenie spráa ako ideálny paralelný rezonančný obod, ktorý možno okrem iného yužiť aj na mechanickú fixáciu edenia ako štrťlnoý izolátor podľa obr. 6.4, žiaľ, iba pri jednej lnoej dĺžke, resp. frekencii. Obr Bezstratoé edenie dĺžky l na konci skratoané ( ýst = ) pri iných dĺžkach ako λ/4 má súhlase s ýrazom (6.46) stupnú impedanciu st = j tg β l (6.49) Táto impedancia je ýlučne induktína alebo kapacitná reaktancia záislá od dĺžky edenia l (obr. 6.5a). 4. Bezstratoé edenie dĺžky l, na konci otorené ( ýst = ) pri iných dĺžkach ako λ/4 súhlase s ýrazom (6.46) má stupnú impedanciu st = j cotg β l (6.5) ktorá je len kapacitná alebo len induktína reaktancia (obr. 6.5b). Obr. 6.5 Skratoanými alebo otorenými edeniami možno na eľmi ysokých frekenciách realizoať malé kapacitné alebo induktíne reaktancie, ktoré by sa nedali realizoať sústredenými kondenzátormi, prípadne ciekami. Na obr. 6.6 je symbolicky znázornená záislosť stupnej reaktancie edenia, ktoré je na konci otorené ( ýst = ) od jeho dĺžky l = z. áerom našej analýzy lastností dojodičoých prenosoých edení sa naskytá otázka: aká je šírka frekenčného pásma, ktorom sa dojodičoé edenia dajú použiť 14

14 na efektíny prenos elektromagnetických signálo? Dolná hranica frekencie neexistuje, Obr. 6.6 teda edenia možno použiť od jednosmerných prúdo resp. napätí. Horná hranica frekencie súisí s únosnými stratami, ktoré sú ešte prípustné pri spoľahliom prenose informácie. Straty sú dojakého druhu tie, ktoré znikajú o odičoch a dielektrikách, z ktorých je edenie yrobené, a straty yžaroaním. Straty yžaroaním sa dajú ylúčiť tým, že sa na prenos použíajú edenia uzaretého typu, ako je koaxiálny kábel, ktorom je elektromagnetické pole uzareté onkajším dutým alcoým odičom. Tepelné (ohmické) a dielektrické straty možno obmedziť ýberom kalitných dielektrík a odičo a zäčšoaním priečnych rozmero koaxiálneho kábla, čo šak nie je ekonomické, a má tiež soje hranice. Dnes sa šak yrábajú také kalitné dielektriká, že moderné koaxiálne káble sú použiteľné až do frekencií 1 GHz. Ešte donedána sa na prenos signálo nad 1 GHz použíali ýlučne trubicoé lnoody a ktoré možno použiť až po optické frekencie a ktorých činnosť je predmetom analýzy eľkej časti tejto knihy. Úlohy 3. Aké musia byť hodnoty odporo R 1 a R, aby na edení podľa obr. 3 neznikla stojatá lna? Obr Aké musia byť lnoé impedancie edení AB, BC a CD na obr. 33, aby pozdĺž celého edenia neznikali odrazy? 141

15 Obr Dojlinka má pri frekencii f = 1 khz tieto parametre: R = 6, Ω/m, L = 1, H/m, C = 8, F/m a G je zanedbateľné. Na frekencii f = 1 MHz R =,66 Ω/m, L = 1, H/m, C = 8, F/m a G je zanedbateľné. Pre obide frekencie ypočítajte lnoé impedancie edení, rýchlosti ĺn na edeniach, útlm db/m a straty na lnoú dĺžku. Poronajte ýsledky pre obide frekencie. 35. Koaxiálny kábel má pri frekencii f = 3 khz nasledoné primárne parametre: R = 3,6 Ω/km, L = 6, H/km, C = 3, F/km, G je zanedbateľné. Vypočítajte lnoú impedanciu kábla, koeficient šírenia γ, rýchlosť lny f kábli, lnoú dĺžku λ a dĺžku kábla l s útlmom 5 db. 36. Nájdite lnoú impedanciu edenia pozostáajúceho z doch ideálne odiých paralelných odičo priemeru d = 4 mm uložených osoej zdialenosti l = 13,54 cm o ákuu. Vypočítajte stupnú impedanciu takého edenia, ak je dlhé 35 m (resp. 16 m) a na konci skratoané (resp. otorené). Praconá lnoá dĺžka λ = 5 m. Akú indukčnosť resp. kapacitu predstauje edenie z hľadiska jeho stupných soriek? Obr Nekonečne dlhé dojodičoé edenie je istej roine premostené impedanciou podľa obr. 37. Vlnoá impedancia edenia naľao od impedancie je 1 a naprao. ľaej strany sa po edení šíri napäťoá lna. Nájdite amplitúdu odrazenej a postupujúcej lny roine premostenia a amplitúdy prúdo impedancii a na edení s lnoou impedanciou. 38. Predchádzajúcu úlohu riešte pre 1 = = = R (R je činný odpor). Aká časť ýkonu napäťoej lny sa spotrebuje odpore R? Aká časť ýkonu postupuje po edení dopraa od odporu R a aká časť ýkonu sa odrazí na odpore R? 39. K edeniu s lnoou impedanciou sú na jeho konci pripojené de nekonečné dlhé edenia s ronakými lnoými impedanciami. Nájdite koeficient odrazu a koeficient prenosu roine rozetenia. 4. Trojfázoé edenie ysokého napätia dlhé l = 9 km pracuje so združeným efektínym napätím zd = 4 kv. Podľa projektu má edenie nasledoné primárne parametre: R =,8 Ω/km, L = = 1, H/m, C = 8,6.1 9 F/m, straty izolácii a korónou sú P x = kw/km na jednu fázu. Vypočítajte sekundárne parametre edenia a to: lnoú impedanciu, útlm, fázoý koeficient, dĺžku lny a fázoú rýchlosť. 14

16 41. Amplitúda napätia na konci otoreného edenia s lnoou impedanciou = 3 Ω je ýst = 6 V. Nájdite amplitúdu napätia a prúdu o zdialenosti l = 4 m od konca edenia. Vedenie pracuje na lnoej dĺžke λ = 3 m. 4. Na konci otoreného edenia pracujúceho na lnoej dĺžke λ = m bola nameraná amplitúda napätia m = V a o zdialenosti l = m od konca edenia amplitúda prúdu I m =,5 A. Nájdite lnoú impedanciu edenia. Aká je amplitúda prúdu maxime stojatej prúdoej lny? 43. K stupu edenia o dĺžke l = m je pripojený generátor pracujúci pri frekencii f = 3 MHz. Vedenie je na konci otorené. Nájdite amplitúdu ýstupného napätia, ak stupné napätie má amplitúdu st = V. 44. Vedenie dĺžky l = 1, m má lnoú impedanciu = 3 Ω a je na ýstupe otorené. Na stup edenia je pripojený generátor s efektínym EMN g = 1 V pracujúci na frekencii f = 15 MHz. Vnútorná impedancia generátora g = 3 Ω. Nájdite efektíne hodnoty napätia a prúdu na stupe a ýstupe edenia. Graficky znázorníte absolútne hodnoty amplitúd napätia a prúdu, ich reálnych a imaginárnych častí a fázoého uhla od polohy na edení. 45. Vedenie s lnoou impedanciou = 7 Ω je zakončené impedanciou r = 3 Ω. Vedenie je napájané z generátora s efektínym EMN g = 1 V s nútornou impedanciou g = 7 Ω. Nájdite stupnú impedanciu edenia, efektínu hodnotu ýstupného napätia, prúdu a ýstupný ýkon pre edenie dlhé: a) λ, b) (9/8) λ, c) (5/4) λ. 46. Koaxiálny kábel s lnoou impedanciou = 5 Ω má byť použitý pri frekencii f = 3 MHz. Koeficient útlmu kábla α = 1,56.1 m 1 a rýchlostný koeficient f /c =,66. Kábel je dlhý 75 metro a je zakončený odporom r =. K stupu kábla je pripojený generátor s efektínym EMN g = 5 V a s nútorným odporom g =. Nájdite efektíne hodnoty stupného a ýstupného napätia a ýkonu odozdáaného záťaži. Koľko lnoých dĺžok je uložených pozdĺž kábla? 47. Dojodičoe telefónne edenie má pri frekencii f = 1 khz lnoú impedanciu = 615 j78 Ω a koeficient šírenia γ = 3,5.1 3 j,18.1 km 1. Vedenie je dlhé 4 kilometro a je zaťažené impedanciou ronou lnoej impedancii edenia. Na stup edenia je pripojený generátor s frekenciou f = 1 khz, ktorý má efektíne napätie st ef = 5 V. Vypočítajte: a) rýchlosť signálu na edení a lnoú dĺžku, b) efektínu hodnotu stupného prúdu, stupný a ýstupný ýkon. 48. Telefónne edenie dlhé 3 kilometro je zakončené záťažou ronou jeho lnoej impedancii. Na jeho stup je pripojený generátor s efektínym EMN g = 1 V, s nútorným odporom g = 6 Ω, pracujúci pri frekencii f = 1 khz. Na tejto frekencii má edenie lnoú impedanciu = 683 j138 Ω a koeficient šírenia γ = 4,6.1 3 j,1.1 km 1. Vypočítajte efektíne hodnoty stupného a ýstupného napätia a prúdu, a tiež stupný a ýstupný ýkon. 49. Dojodičoé edenie dlhé kilometro má pri frekencii f = 1 khz lnoú impedanciu = 649 j8,9 Ω a konštantu šírenia γ = 3, j,194.1 km 1. Na stup edenia je pripojený generátor s efektínym EMN g = 1 V a nútornou impedanciou ronou lnoej impedancii edenia. Vedenie je na konci otorené. Vypočítajte efektíne hodnoty stupného a ýstupného napätia a prúdu. Graficky znázorníte absolútne hodnoty amplitúd napätia a prúdu, ich reálnych a imaginárnych častí a fázoého uhla záislosti od polohy z na edení. 5. Telefónne edenie dĺžky16 kilometro má pri frekencii f = 1 khz lnoú impedanciu = 685 j9 Ω a konštantu šírenia γ = 3,9.1 3 j,19.1 km 1. Vedenie je zakončené odporom R = Ω. Na stupe je pripojený generátor s efektínym napätím g = 1 V a nútornou impedanciou g = 7 Ω. Vypočítajte stupné a ýstupné napätie, prúd a ýkon 143

17 a útlm celého edenia db. Graficky znázorníte absolútne hodnoty amplitúd napätia a prúdu, ich reálnych a imaginárnych častí a fázoého uhla záislosti od polohy z na edení. Obr Na edení zobrazenom na obr. 51 treba nájsť amplitúdu stupného a ýstupného napätia, prúdu, stupný a ýstupný ýkon, ďalej pomer stojatých ĺn (PSV), koeficient odrazu na stupe a ýstupe edenia, amplitúdy napätia a prúdu minimách a maximách stojatých ĺn a polohy miním a maxím stojatých ĺn. Načrtnite napäťoú a prúdoú stojatú lnu. 5. Vedenie dlhé l = 1 km je určené na prenos jednosmerného ýkonu. Jeho parametre sú: R = 53,45 Ω/km, G = 1, S/km. Napätie na stupe edenia st = 4 V, na ýstupe edenia je skrat. Vypočítajte stupný a ýstupný prúd a stupný odpor edenia. názorníte graficky záislosti napätia, prúdu a odporu záislosti od zdialenosti z pozdĺž edenia pre prípady: a) edenie je na konci otorené, b) edenie je na konci skratoané, c) edenie je zakončené odporom roným charakteristickej impedancii edenia. 53. Na obr. 53 je znázornený prenosoý systém s doma záťažami a generátorom. a) rčite 1, a 3, ak je spínač S 1 zopnutý a S rozopnutý. Kam postupuje ýkon? b) Odpoedzte na otázky bodu a) ak je spínač S 1 rozopnutý a S je zopnutý. c) Kam postupuje ýkon, ak sú obida spínače rozopnuté (zopnuté)? 54. Kábel s parametrami R = 54 Ω/km a G =, S/km je určený na prenos jednosmerného ýkonu. Vypočítajte jeho charakteristickú impedanciu a koeficient útlmu α. Nájdite pomer ýstupného a stupného napätia, ak je kábel dlhý 1 kilometro a je zakončený odporom roným charakteristickej impedancii kábla. Aký je útlm kábla db? Obr

18 55. Vedenie dĺžky l «λ je zakončené záťažou R. Vlnoá impedancia edenia je poronateľná s impedanciou R. Ako sa bude meniť stupná impedancia edenia záislosti od R /? 56. Bezstratoé dojodičoé edenie má lnoú impedanciu = 4 Ω. edenie je dlhé,75 m a je zakončené reaktanciou r = j4 Ω. Generátor pracuje pri frekencii f = 15 MHz a stupné napätie na edení je st = 5 V. a) Vypočítajte stupnú impedanciu edenia, b) Načrtnite napäťoú a prúdoú stojatú lnu, c) Vypočítajte efektíne hodnoty napätia a prúdu na ýstupe a maxime stojatej lny. 57. Bezstratoé edenie je zakončené záťažou na ktorej koeficient odrazu ρ =,5 j,5. Vedením sa šíri signál s lnoou dĺžkou λ = cm. Vypočítajte zdialenosť prého prúdoého minima od záťaže smerom k zdroju. Je medzi minimom a záťažou prúdoé maximum? 58. Vedenie s lnoou impedanciou = 5 Ω, dĺžky l = m je zaťažené impedanciou ýst = 6 j6 Ω. Vedenie je bezstratoé a pri danej frekencii fázoý koeficient β = 1,π rad/m. K stupu edenia je pripojený generátor s amplitúdou EMN = 3 V s nútornou impedanciou g = 1 Ω. Vypočítajte komplexné amplitúdy prúdo a napätí na stupe a ýstupe edenia, stupný a ýstupný ýkon. 59. Generátor napätia g = 1 V s nútorným odporom g = Ω pracujúci na frekencii f = 75 MHz má dodáať ýkon do odporoej záťaže ýst = 8 Ω. a) Vypočítajte dodáaný ýkon do záťaže. b) Narhnite štrťlnoý transformátor z úseku koaxiálneho kábla so zduchoým dielektrikom. Vypočítajte jeho lnoú impedanciu, jeho dĺžku l a pomer polomero a/b kábla, aby generátor dodal do záťaže maximálny ýkon. Aký je tento ýkon? c) Koľkokrát sa zäčši ýkon záťaži ( db) ložením štrťlnoého transformátora medzi generátor a záťaž? 6. Vedenie dĺžky l = m má lnoú impedanciu = 3 Ω a je na ýstupe otorené. Na stup je pripojený generátor s efektínym napätím g = 1 V s frekenciou f = 1 MHz. Vnútorná impedancia generátora g = 5 Ω. Vypočítajte efektíne hodnoty stupného a ýstupného napätia, prúdu, stupný a ýstupný ýkon. 61. Dojodičoé edenie so zduchoou izoláciou má lnoú impedanciu = 3 Ω. Vedenie má dĺžku l = 37,5 cm a je na ýstupe zaťažené induktínou záťažou L =,159 µh. Na stupe je pripojený generátor s frekenciou f = 3 MHz, so stupným efektínym prúdom I st = ma. a) Vypočítajte stupnú impedanciu. b) Vypočítajte stupné a ýstupné napätie, prúd a ýkon, a napätie maxime stojatej lny. c) V akom fázoom zťahu je ýstupné napätie a ýstupný prúd? 6. Koaxiálne edenia bez špeciálnych úpra majú obyčajne indukčnosť na jednotku dĺžky zanedbateľnú, t. j. platí G R «ω «C L širokom frekenčnom interale. a) a uedených predpoklado odoďte ýraz pre lnoú impedanciu kábla. a jeho koeficient šírenia γ. b) Pre R = 54 Ω/km a C = 3, F/m nakreslíte záislosť koeficientu útlmu α, rýchlosti f, aktínej a reaktínej časti impedancie pri frekencii z frekenčného interalu f = ( 3) Hz. 145

19 c) Ak L = 1,1.1-3 H/km a G =.1 8 S/km, pri akej frekencii R = ωl? Pri akej frekencii G = ωc? 63. Dokážte, že neskresľujúce edenie má: a) lnoú impedanciu = (L/C), b) ronakú energiu elektrického a magnetického poľa postupujúcej lne, c) ronaké straty sérioom odpore a priečnej odiosti na jednotku dĺžky edenia. Obr Koaxiálny kábel so zduchoým dielektrikom má lnoú impedanciu = 75 Ω a pracuje pri frekencii f = 1 MHz. Kábel je zakončený impedanciou r = 3 Ω. áťaž treba prispôsobiť k lnoej impedancii kábla. Jednou z možností je ložiť do dutiny kábla dielektrickú ýplň taru alca s cylindrickou dutinou s permitiitou ε r a štrťlnoou dĺžkou l o hodnej zdialenosti d od koncoej roiny kábla ktorej je umiestnená záťaž (pozri obr. 64). Vypočítajte ε r, l a d. Obr Koaxiálny kábel so zduchoým dielektrikom má následoné rozmery: nútorný priemer plášťa a =,5 cm, priemer nútorného odiča b =,635 cm. Kábel je zakončený impedanciou r = 3 Ω a pracuje pri frekencii f = 3 MHz. Kábel treba prispôsobiť k záťaži. Jednou z možnosti je ložiť do trasy kábla štrťlnoý úsek kábla dĺžky l s prierezom nútorného odiča b > b a o hodnej zdialenosti d od záťaže, ako na obr. 65. Vypočítajte b, l a d. Je možne zoliť aj štrťlnoý úsek s priemerom nútorného odiča b < b? 146