Η NH 3 παρασκευάζεται με καταλύτη σίδηρο με τη μέθοδο Haber σύμφωνα με την αμφίδρομη αντίδραση:

Transcript

1 Η NH παρασκευάζεται με καταλύτη σίδηρο με τη μέθοδο Hber σύμφωνα με την αμφίδρομη αντίδραση: N ^gh H ^gh NH ^gh H < 0 D Ισομοριακό μίγμα N και H διαβιβάζεται σε δοχείο κατασκευασμένο από κράμα σιδήρου σε κατάλληλες συνθήκες και σε θερμοκρασία 7 c C και αντιδρά. Στην ισορροπία η περιεκτικότητα του αερίου μίγματος σε NH είναι ίση με 0%. i. Να υπολογίσετε την απόδοση της αντίδρασης. ii. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής απόδοσης της αντίδρασης είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση της ποσότητας του H. iii. Να βρείτε τη σχέση του συντελεστή απόδοσης της αντίδρασης ως συνάρτησης της ποσότητας του N. Απόδειξη: i. Έστω ότι οι αρχικές ποσότητες είναι N H NH y y y y y y N και H. n^nhh n^mig. XIh y y y y y y % c 6NH@ ^yh $ ^ yh^ yh k $ 0 8 k 80 $ k k k ii. Έστω ότι οι αρχικές ποσότητες είναι Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. 0 < l # N και l H όπου l > 0. N H NH l y y y y l y y

2 y l y l l ^yh k y l y l ^ h^ h k^l lh 4 $ l $ 4 l 9 k l ^ h l ^ lh^ h c Επομένως 4 l ^lh^ h 80 $ 0 6l^lh^h 0 l l 6^ 0 l l 0 6^ Η τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς l και για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει η διακρίνουσα να είναι μεγαλύτερη είτε ίση του μηδενός : $ 0 6^ $ 6^ 67 á 0480 $ ` á j 67 á 0480 $ á 67 $ á Επομένως σ αυτή την περίπτωση ^0 < l # h για τον συντελεστή απόδοσης ισχύει: 67 67! e0 G e. 0 o Στο πεδίο ορισμού της λοιπόν η δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς l l l 0 6^ 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες τις εξής: l ^ και l ^

3 Αν θεωρήσουμε τη l ως συνάρτηση του τότε στο πεδίο ορισμού της αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει: lim 67 6 l ^ h και l e o " και l! ; m απορρίπτεται διότι 0 < l #. Επομένως δεκτή είναι μόνο η l. Για να την μελετήσουμε πρώτα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράστασταση: l ^ ^ d 9 9 $ ^ n ^ ^ και έτσι εύκολα πλέον προκύπτει ότι η l ^h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της και ισχύει: 67 6 lim l ^h 0 l e o " και η εξίσωση: l ^h έχει προφανώς μοναδική πραγματική ρίζα την ^ h Συνoψίζοντας λοιπόν την περίπτωση έχουμε: l ^h ^! d ^40 h F b. l > N H NH l y y y y l y y y y ^yh ^h 4 ^ yh^l yh ^ h^l h ^ ^l c

4 Επομένως 4 ^h^l h 80 $ 0 l ^ h ^ h 0 l ^ l 0 ^ Η l ^h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της και ισχύει: lim l ^h 0 lim l ^h και η επίλυση της ανίσωσης l ^h > δίνει: " 0 " > 6 4 6^40 h Συνoψίζοντας λοιπόν την περίπτωση έχουμε: l ^h 0 ^ 6 4 6^40 h! d n Έπομένως συνολικά και από τις δύο περιπτώσεις έχουμε: Z ] ^ ] l ^h [ ] 0 ] ^ \ n n 6 4 6^40 h! d0 F 6 4 6^40 h! d n Η l ^h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της και το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα ^0 h. Επομένως η συνάρτηση ^l h ως αντίστροφη της l ^h θα είναι και αυτή γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της ^0 h και το πεδίο τιμών της θα είναι το διάστημα ^0 h. Δηλαδή με προσθήκη οιασδήποτε ποσότητας H θα έχουμε αύξηση της απόδοσης!!! Το σημείο στο διάγραμμα που έχουμε απότομη μεταβολή της κλίσης είναι η περίπτωση της στοιχειομετρικής αναλογίας με l και λ 4

5 iii. Έστω ότι οι αρχικές ποσότητες είναι Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. 0 < l # l N N H NH l y y y l y y y y l y l και H όπου l > 0. ^yh ^lh ^l yh^yh ^llh^ lh c 4 $ l $ l^h ^ lh 4l ^h^ lh Επομένως 4l ^h^ lh 80 $ 0 l l^h^ lh 67 ^ hl 67 ^ l ^089 40hl ^ 0 Η τελευταία εξίσωση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού ως προς l και αν θέσουμε: g^lh 67 ^ hl 67 ^ l ^089 40hl^ για! ^0 h ισχύει ότι lim g^l h g^0h < 0 και lim g^l h l " l " η εξίσωση g^l h 0 έχει πάντα μια θετική ρίζα και οι άλλες δύο ρίζες είναι είτε και οι δύο μιγαδικές ή και οι δύο πραγματικές. Το γινόμενο των ριζών είναι θετικό αν είναι πραγματικές θα είναι και οι δύο θετικές ή και οι δύο αρνητικές. Αν και οι τρεις είναι θετικές τότε θα έπρεπε στο ^0 h να έχει δύο τοπικά ακρότατα οπότε η gl^l h 0 θα έπρεπε να έχει δύο θετικές ρίζες. Η gl^l h δίνεται από τη σχέση: gl^lh 980 ^ hl 64 ^ l ^089 40h και εφόσον το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό δεν έχει δύο θετικές ρίζες ούτε η g^l h 0 έχει τρεις θετικές. Αν η g^l h 0 είχε μία θετική και δύο αρνητικές ρίζες τότε θα έπρεπε g^0h > 0 άτοπο πάντα η εξίσωση g^l h 0 έχει μία θετική και δύο μιγαδικές ρίζες. Η θετική ρίζα όμως πρέπει να ανήκει στο 0 D και αφού g^0h < 0 πρέπει g k $ 0 : $ 0 απ όπου προκύπτει: > H! 6 αλλά πρέπει και! ^0 h

6 και επειδή και προκύπτει: > 6 0 8! 6 Η θετική ρίζα της g^l h 0 δίνεται από τη σχέση: 8 ^ h l ^ h ^ f ^ ^^ h ^ ^^ h για την οποία στο πεδίο ορισμού της ισχύει: f l 6 lim l ^h 0 και η l l^h 0 δεν " μηδενίζεται η l ^h είναι γνησίως φθίνουσα με πεδίο τιμών το πεδίο 0 D. b. l > N H NH l y y y l y y y y y ^yh ^l yh^yh c k ` l j^h 4 9 `l j ^ h Επομένως 4 ^l h^ h 80 $ 4 ^l h^ h 0 6^l h^h και επιλύοντας ως προς l καταλήγουμε στη σχέση: 6

7 l ^h 6 ^ 0 089^ Για την l ^h εύκολα αποδεικνύεται ότι στο πεδίο ορισμού της! ^0 h είναι γνησίως αύξουσα. 6 ^ 0 Πρέπει όμως l > > 089^ απ όπου προκύπτει: > 6 για το πεδίο ορισμού της l ^h έχουμε: f 6 0 8! 6 Ισχύει ακόμη lim l ^h το πεδίο τιμών είναι το πεδίο l! k. " Συνολικά λοιπόν για τη συνάρτηση f^l h έχουμε ότι στο διάστημα 0 D είναι η αντίστροφη συνάρτηση της l ^h γνησίως φθίνουσα με πεδίο τιμών το πεδίο: > 6 0 8! 6 και στο διάστημα k είναι η αντίστροφη συνάρτηση της l ^ h γνησίως αύξουσα με πεδίο τιμών το πεδίο: f 6 0 8! 6 Στα παρακάτω διαγράμματα παριστάνεται η.0 f^l h για διάφορες τιμές του l λ λ Η ελάχιστη τιμή του επιτυγχάνεται για l δηλαδή όταν έχουμε στοιχειομετρικές ποσότητες και είναι: ή 79% Λατζώνης Πολυνίκης Χημικός olyneices@gmil.com 7