Elementi električnih kola
|
|
- Θησεύς Κασιδιάρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Glava 1 Elemeni elekričnih kola Analiza elekričnih kola podrazumjeva uvo denje odgovarajućih maemaičkih modela fizičkih elemeaa koji čine elekrična kola i dodjeljivanje maemaičkih funkcija koninulanim veličinama, sruji i naponu. ovoj glavi će kroz primjere bii opisane osnovne karakerisike elemena elekričnih kola sa jednim i dva prisupa, koji se najviše korise prilikom analize kola. 7
2 1.1. LINEARNOST I VREMENSKA INVARIJANTNOST 1.1 Linearnos i vremenska invarijannos Zadaak 1. Ako je ulazni signal elekričnog kola x() i ako je izlazni signal jednak y()=dx()/d 3x() ispiai da li se radi o linearnom i vremenski invarijannom kolu. Rješenje. Ukoliko je na ulaz elekričnog kola priključen proizvoljan generaor odre denog alasnog oblika, koji može bii i srujni i naponski generaor, kolu se predaje odre dena količina energije. Manifesacija prisusva energije u kolu jese pojava elekričnih sruja i razlika poencijala, j. napona. Analiza elekričnog kola podrazumjeva nalaženje analiičkih izraza za renune sruje i napone u kolu koji predsavljaju odzive na energiju. Dakle, svakom vremenskom obliku eksiacije se može pridružii neki vremenski oblik odziva, pa elekrično kolo prakično realizuje preslikavanje: y()=h (x()) (1.1) U eoriji elekričnih kola su od velike važnosi linearna i vremenski nepromjenljiva kola. Linearna elekrična kola zadovoljavaju osobine homogenosi i adiivnosi. Ove osobine se mogu objasnii na jednosavnom primjeru. Ukoliko npr. posmaramo opornik kroz koji je propušena sruja odre denog inenziea, na krajevima og opornika će se razvii odre dena razlika poencijala. Osobina homogenosi kaže da će n pua veća eksiacija dai n pua veći odziv. Osobina adiivnosi je korisna ukoliko posoji više od jednog generaora i kaže da je odziv na više generaora jednak zbiru odziva na svaki generaor pojedinačno. Elekrično kolo ili neki elemen elekričnog kola je linearan ako je ispunjen uslov: H (ax 1 ()bx 2 ())=ah (x 1 ())bh (x 2 ()) (1.2) Prema posavci zadaka, operaor H je d/d 3 i važi jednakos: H (ax 1 ()bx 2 ())=a dx 1() d 3x 1 () 3x 2 ()=ah (x 1 ())bh (x 2 ()) b dx 2() d (1.3) Iz jednačine (1.3) vidimo da je zadovoljen uslov linearnosi, j. elekrično kolo modelovano diferencijalnom jednačinom y() = dx()/d 3x() je linearno. Ukoliko je elekrično kolo vremenski invarijanno, vremenski oblik odziva ne zavisi od renuka uključenja eksiacije. Vremenska invarijannos elekričnog kola se može iskazai sa: y()=h (x()) y( 0 )=H (x( 0 )) (1.4) Dakle, ukoliko eksiacija odre denog alasnog oblika x() daje odziv alasnog oblika y(), onda će eksiacija ideničnog alasnog oblika pomjerenog za neki vremenski 8
3 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA inerval x( 0 ) dai isi odziv pomjeren za isi vremenski inerval y( 0 ). Ukoliko u jednačini (1.1) zamjenimo sa 0 i uvrsimo izraz za operaor H, dobija se: H (x( 0 ))= dx( 0) d pa je elekrično kolo vremenski invarijanno. 3x( 0 )=y( 0 ) (1.5) Zadaak 2. Na ulaz linearnog i vremenski invarijannog elekričnog kola se dovodi napon u() čiji je alasni oblik prikazan na Slici 1.1a. Izalazna sruja u om slučaju je daa na Slici 1.1b. Odredii alasni oblik izalzne sruje, ako je alasni oblik ulaznog napona u 1 () da na Slici 1.1c. u() i() u 1 () 2U 0 U 0 I 0 U 0 (a) Talasni oblik napona u(). (b) Odziv na napon u(). Slika 1.1 T (c) Talasni oblik napona u 1 (). Rješenje. Da bi se dobio raženi odziv, alasni oblik eksiacije u 1 () je porebno predsavii na odgovarajući način i iskorisii činjenicu da je elekrično kolo linearno i vremenski invarijanno. Napon u 1 () se može predsavii kao: u 1 ()=2u()u( 0 ) (1.6) kao šo je prikazano na Slici 1.2. Pošo je elekrično kolo linearno, odziv na eksiaciju 2u() (Slika 1.2b) će bii jednak 2i(), a pošo je elekrično kolo vremenski invarijanno odziv na eksiaciju u( 0 ) (Slika 1.2c) će bii jednak i( 0 ). Traženi odziv je: i 1 ()=2i()i( 0 ) (1.7) i prikazan je na Slici 1.3c. 9
4 1.2. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM u 1 () 2U 0 2u() 2U 0 u( 0 ) U 0 U 0 U 0 T (a) Talasni oblik napona u 1 (). T (b) Talasni oblik napona 2u(). Slika 1.2 T (c) Talasni oblik napona u( 0 ). 2i() 2I 0 i( 0 ) i 1 () 2I 0 I 0 I 0 (a) Talasni oblik napona 2i(). (b) Talasni oblik napona i( 0 ). Slika 1.3 T (c) Talasni oblik napona i 1 (). 1.2 Elemeni elekričnih kola sa jednim prisupom Zadaak 3. Odredii uslov pasivnosi idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog opornika opornosi R. Rješenje. Elemen elekričnog kola je pasivan ako je zbir akumulisane energije u renuku 0 i energije koja se ulaže u elemen od renuka 0 do renuka veći ili jednak od nule: w()=w a ( 0 )w u ( 0, ) 0 (1.8) Energija koja se ulaže u elemen se može odredii preko ulazne snage, koja odre- duje brzinu prijema energije. Ulazna snaga se računa kao proizvod renune sruje koja proiče kroz opornik i() i napona na krajevima opornika u(), za usaglašene referenne smjerove. Na Slici 1.4 je prikazan opornik opornosi R sa usaglašenim referennim smjerovima sruje kroz opornik i R i napona na krajevima opornika u R. U eoriji elekričnih kola se u opšem slučaju, opornik modeluje implicinom funkcijom oblika: F(i, u, )=0 (1.9) 10
5 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA u R i R R Slika 1.4 Opornik opornosi R sa usaglašenim referennim smjerovima sruje i napona. Iz jednačine 1.9 vidimo da je karakerisika rezisivnih elemenaa daje odnos izme du sruje i napona, u nekom vremenskom renuku ili okom nekog vremenskog inervala. Ukoliko se jednačina (1.9) može predsavii eksplicino preko napona u=r(i, ), radi se o oporniku konrolisanim srujom, u supronom, ako se može izvesi jednačina oblika i = g(u, ) radi se o oporniku konrolisanim naponom. Jednačina (1.9) definiše familiju krivih u (i, u) ravni (Slika 1.5a), koja zavisi od vremena. U slučaju vremenski nepromjenljivih opornika, familija krivih se svodi na jednu krivu, nepromjenljivu u vremenu. Saička opornos se definiše za DC režim rada kao odnos jednosmejernog napona i jednosmjerne sruje R s = U 0 /I 0 u radnoj ački Q (Slika 1.5b). Dinamička opornos se definiše za AC režim pri čemu se napon i sruja mjenjaju unuar opsega svojih ampliuda. Soga, ukoliko (i, u) karakerisika nije linearna, reba uzei u obzir i njene lokalne promjene u AC režimu. Dinamička opornos se definiše kao odnos lokalnog prirašaja napona u i sruje i u okolini radne ačke Q (Slika 1.5b). u() u() U 0 Q i u i() I 0 i() (a) Opša karakerisika opornika. (b) Saička i dinamička opornos. Slika 1.5 Pošo je idealizovani opornik srogo rezisivan, uslov pasivnosi da sa jedna- 11
6 1.2. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM činom (1.8) možemo pisai kao: w()=w u ( 0, )= 0 p(τ)dτ= 0 u(τ)i(τ)dτ (1.10) Iz jednačine (1.10) vidimo da bi w() bilo veće od nule, porebno je da napon i sruja budu isog znaka, j. karakerisika opornika mora da prolazi kroz prvi i reći kvadran u (i, u) ravni. U slučaju da je opornik konrolisan srujom: w()= 0 Ri(τ)i(τ)dτ=R 0 i 2 (τ)dτ (1.11) pa pošo je podinegralna funkcija poziivna, uslov pasivnosi je ispunjen ako je R 0. Ako je opornos opornika veoma velika, j. ako eoreski eži beskonačnosi, sruja kroz opornik je jednaka nuli, pa napon može imai bilo koju konačnu vrijednos. Tada opornik prelazi u ovorenu vezu. Ukoliko je opornos opornika zanemarivo mala, j. ako je jednaka nuli, radi se o krakom spoju kroz koji može da eče sruja bilo koje konačne vrijednosi. Zadaak 4. Odredii uslov pasivnosi idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog kondenzaora kapaciivnosi C. u C i C C Slika 1.6 Kondenzaor kapaciivnosi C sa usaglašenim referenim smjerovima sruje i napona. Rješenje. U eoriji elekričnih kola, u opšem slučaju, kondenzaor se modeluje implicinom funkcijom oblika: F(q, u, )=0 (1.12) odnosno, kondenzaori daju odnos izme du količine naelekrisanja i napona u nekom vremenskom renuku ili u oku odre denog vremenskog inervala. Definiše se saička kapaciivnos, za DC režim rada, i dinamička kapaciivnos, za AC režim 12
7 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA q() q() Q 0 Q u q u() U 0 u() (a) Opša karakerisika kondenzaora. (b) Saička i dinamička kapaciivnos. Slika 1.7 rada (Slika 1.7). Saička kapaciivnos je C s = Q 0 /U 0 u radnoj ački Q, dok je dinamička opornos jednaka odnosu prirašaja količine naelekrisanja q i napona u u okolini radne ačke. Pošo jačina sruje predsavlja brzinu prooka naelekrisanja, j. i() = d (q())/d, u slučaju vremenski nepromjenljivog kondenzaora kapaciivnosi C, dobija se odnos: i()= d du() (Cu ())=C (1.13) d d Kondenzaor je reakivan elemen, pa je uslov pasivnosi da sa: w()= w()=w a ( 0 )w u ( 0, )= w()= u(τ)c du(τ) dτ dτ= u() u( ) p(τ)dτ = 0 p(τ)dτ u(τ)i(τ)dτ Cu(τ)d(u(τ))= C 2 0 p(τ)dτ (1.14a) (1.14b) ( u 2 () u 2 ( ) ) (1.14c) Napon u renuku = se može proumačii kao napon na krajevima kondenzaora koji bi inicijalno posojao prilikom konsrukcije samog kondenzaora. Soga se može da se usvoji da je u( )=0, pa je w()=w a ( 0 )w u ( 0, )= 1 2 Cu2 () (1.15) 13
8 1.2. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM a pošo je u 2 () 0,, poreban uslov da linearan i vremenski nepromjenljiv kondenzaor bude pasivan jese C 0. Zadaak 5. Odredii uslov pasivnosi idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog kalema indukivnosi L. u L i L L Slika 1.8 Kalem indukivnosi L sa usaglašenim referenim smjerovima sruje i napona. Rješenje. Slično kao u prehodnom primjerima (Zadaak 3 i Zadaak 4), opša karakerisika kalema se definiše implicinom funkcijom: F(Φ, i, )=0 (1.16) odakle vidimo da je kalem elemen koji daje vezu izme du fluksa i sruje u nekom vremenskom renuku ili okom nekog vremenskog inervala. U slučaju linearnog i vremenski nepromjenljivog kalema, analizom prirašaja energije se pokazuje da je poreban uslov pasivnosi kalema L 0. Zadaak 6. Dokazai da je napon na kondenzaoru u() neprekidna funkcija vremena, ako je sruja kroz kondenzaor konačna. Rješenje. Teorema o neprekidnosi napona na kondenzaoru govori da u slučaju ograničenih sruja kroz kondenzaor, napon na kondenzaoru ne može da se mjenja skokovio, j. neprekidna je funkcija vremena i važi u( 0 )=u( 0 ),. Promjena napona na krajevima kondenzaora od u je srazmjerna promjeni količine naelekrisanja q na njegovim elekrodama: u= 1 C q= 1 (q( ) q()) (1.17) C uvršavanjem veze izme du promjene količine naelekrisanja i sruje, dobija se: u= i(τ)dτ (1.18) 14
9 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA i(τ) u(τ) i(τ)dτ τ τ (a) Sruja u funkciji vremena. (b) Napon u funkciji vremena. Slika 1.9 Iz jednačine (1.18) se vidi da ako je podinegralna funkcija ograničena, j. ako sruja kroz kondenzaor ima konačnu vrijednos, vrijednos inegrala eži nuli za 0. Teorema o neprekidnosi napona na kondenzaoru ilusruje efeka konačne brzine prosiranja energije. Naime, da bi došlo do renune promjene napona na kondenzaoru, moralo bi doći do renune promjene količine naelekrisanja na pločama kondenzaora, za ša je porebna sruja beskonačne jačine. Kako je brzina kreanja elekrona konačna, ovaj uslov je prakično uvijek ispunjen. Me duim, u eoriji elekričnih kola se korise idealizovani modeli, pa je posoji mogućnos renune promjene napona na kondenzaoru, na ša posebno reba obraii pažnju. Zadaak 7. Dokazai da je sruja kroz kalem neprekidna funkcija vremena, ako je napon na krajevima kalema ograničen. Rješenje. Slično kao u prehodnom primjeru, eorema o neprekidnosi sruje kroz kalem ilusruje efeka konačne brzine prosiranja energije. Me duim, pošo se u eoriji elekričnih kola korisi idealizovani model kalema, porebno je pokazai koji uslovi reba da budu zadovoljeni da sruja kroz kalem bude neprekidna. Indukivnos predsavlja koeficijen srazmjernosi izme du sruje i fluksa, pa se može pisai da je promjena sruje kroz kalem jednaka: i= 1 L (Φ( ) Φ())= 1 L u(τ)dτ (1.19) Teorema o neprekidnosi sruje kroz kalem kaže da ako je napon na krajevima kalema ograničena funkcija vremena da i 0 kada 0. 15
10 1.2. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM Zadaak 8. Koliku količinu energije reba predai linearnom i vremenski nepromjenljivom kondenzaoru, kapaciivnosi C, da bi napon na njegovim krajevima posao ri pua veći od počenog napona U 0? Rješenje. U počenom renuku 0, napon na krajevima kondenzaora iznosi U 0. Energija koja se od renuka 0 do renuka preda kondenzaoru je jednaka: w( 0, )= 0 p(τ)dτ= C u() u( 0 ) u(τ)d(u(τ)) (1.20a) w( 0, )= 1 2 Cu2 () u() u( 0 ) = 1 2 C( u 2 () u 2 ( 0 ) ) (1.20b) Prema uslovu zadaka je u( 0 )=U 0, a u odre denom renuku napon reba da bude ri pua veći, pa je u()=3u 0. Soga je ukupna energija koju reba predai kondenzaoru jednaka: w( 0, )= 1 2 C( 9 0 U2 0) = 4CU 2 0 (1.21) Zadaak 9. Linearan, vremenski promjenljiv opornik, čija je opornos odre dena izrazom R()=R 0 /T, 0 3T, priključen je na krajeve prosoperiodičnog srujnog generaora i g ()= 2I cos(ω),ω=2π/t (Slika 1.10). Odredii renunu ulaznu snagu opornika i energiju koja se u oporniku prevara u oplou u vremenskim inervalima [0, T], [T, 2T] i [2T, 3T]. i R i g () 2I i g () R u R T (a) Serijska veza srujnog generaora i opornik promjenljive opornosi. (b) Sruja generaora u funkciji vremena. Slika
11 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA Rješenje. Trenuna snaga je odre dena proizvodom renune vrijednosi sruje i renune vrijednosi napona, a pošo kroz opornik proiče sruja odre dena srujnim generaorom, j. opornik je konrolisan srujom, može se pisai: p()=u()i()=r()i 2 ()=2R 0 I 2 T cos2 (ω),0 3T (1.22) Idealan opornik svu primljenu energiju prevara u oplou, pa je količina energije porošena od srane opornika od renuka 0 do renuka jednaka: w( 0, )= 0 p(τ)dτ= 0 2I 2 R T τ cos2 (ω) dτ (1.23a) w( 0, )= I2 R T 0 τ (1cos (2ω)) dτ (1.23b) parcijalnom inegracijom i uvršavanjem granica se dobija: [ w( 0, )= I2 R τ 2 T 2 τ ] 1 sin (2ωτ) cos (2ωτ), 0 3T (1.24) 2ω 4ω2 0 Uvršavanjem odgovarajućih vrijednosi za ražene vremenske inervale u jednačinu 1.24 dobija se: w(0, T)=I 2 RT/2 w(t, 2T)=3I 2 RT/2 (1.25) w(2t, 3T)=5I 2 RT/2 1.3 Elemeni elekričnih kola sa dva prisupa Zadaak 10. Ukoliko na drugi prisup idealnog ransformaora priključimo kompleksnu impedansu Z, odredii ulaznu impedansu prvog prisupa. Rješenje. Idealni ransformaor predsavlja graniči slučaj savršenog ransformaora, koji pored zanemarive ermogene opornosi i rasipanja fluks ima i zanemarivo malu magnenu opornos. Jednačine idealnog ransformaora u kompleksnom domenu su: = m = 1 m I (1.26) 2 Ukoliko na drugi prisup idealnog ransformaora priključimo kompleksnu impedansu Z (Slika 1.12), u skladu sa naznačenim referennim smjerovima je: = Z I 2 (1.27) 17
12 1.3. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA DVA PRISTUPA I 2 m : 1 Slika 1.11 Idealni ransformaor. Kombinovanjem jednačina (1.26) i (1.27) se dobija ražena ulazna impedansa: = = m 2 Z (1.28) Ukoliko kompleksnu impedansu Z zamjenimo sa rednom vezom opornika opornosi R, kondenzaora kapaciivnosi C i kalema indukivnosi L, u om slučaju je ulazna impedansa jednaka: ( = m 2 R jωl 1 )=m 2 R jωm 2 L m2 jωc jωc (1.29) Vidimo da se opornik opornosi R preslikava u opornik opornosi m 2 R, da se kalem indukivnosi L preslikava u kalem indukivnosi m 2 L i da se kondenzaora kapaciivnosi C preslikava u kondenzaor kapaciivnosi C/m 2. Dakle idealni ransformaor je elemen sa dva prisupa kojim je moguće skalirai paramere impedanse a da se pri ome ne mijenja njihova priroda, dakle idealni ransformaor ima osobinu poziivnog konverovanja impedanse. I 2 m : 1 Z m : 1 Z (a) Idealni ransformaor operećen impedansom. (b) Referenni smjerovi sruje i napona. Slika
13 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA Zadaak 11. Izračunai ulaznu opornos idealnog žiraora, ako je na njegov drugi kraj vezan opornik opornosi R, ako je vezan kondenzaor kapaciivnosi C i ako je vezan kalem indukivnosi L. Preposavii da je režim prosoperiodičan. Rješenje. Na Slici 1.13 su prikazana šemaski simboli dva ipa žiraora u slučaju srujnog konrolisanja. Tipovi žiraora se razlikuju po načinu realizacije i jednačinama kojima se opisuju. Paramear r ima dimenziju opornosi i naziva se unurašnja žiraorska opornos. I 2 r I 2 r (a) Prvi ip idealnog žiraora. (b) Drugi ip idealnog žiraora. Slika 1.13 Za prvi ip idealnog žiraora, važi sisem jednačina: = ri 2 = r dok za drugi ip idealnog žiraora važe jednačine: = ri 2 (1.30a) (1.30b) (1.31a) = r (1.31b) Ukoliko se korisi prvi ip idealnog žiraora i ako se na njegov drugi prisup veže opornik opornosi R, prema referennim smjerovima sa Slike 1.14b može se napisai sljedeća jednačina: = RI 2 (1.32) Kombinovanjem jednačina (1.30a) i (1.32), dobija se ulazna impedansa: = = r2 R (1.33) Dakle, ukoliko na drugi prisup žiraora vežemo opornik opornosi R, ulazna impedansa je ekvivalena oporniku opornosi r 2 /R. 19
14 1.3. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA DVA PRISTUPA r I 2 r R R (a) Žiraor operećen opornikom. (b) Referenni smjerovi sruje i napona. Slika 1.14 Ukoliko da drugi prisup žiraora vežemo kondenzaor kapaciivnosi C, kao šo je prikazano na Slici 1.15, vidimo da je napona na drugom prisupu jednak: = 1 jωc I 2 (1.34) Kombinovanjem jednačina (1.30a) i (1.34) dobija se ulazna impedansa: = = jωr 2 C (1.35) Jednačina (1.35) kaže da kompleksni napon fazno prednjači u odnosu na kompleksnu sruju, ako da je ulazna impedansa inudkivnog karakera, pri čemu je ekvivalenna indukivnos L ek = r 2 C. I 2 r r C C (a) Žiraor operećen kondenzaorom. (b) Referenni smjerovi sruje i napona. Slika 1.15 U slučaju kada je na drugi prisup žiraora priključen kalem indukivnosi L (Slika 1.16) napon na drugom prisupu je: = jωli 2 (1.36) 20
15 GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA r I 2 r L L (a) Žiraor operećen kalemom. (b) Referenni smjerovi sruje i napona. Slika 1.16 Kombinovanjem jednačina (1.30a) i (1.36) dobija se ulazna impedansa: = = r2 jωl (1.37) U ovom slučaju, ulazna impedansa je kapaciivnog karakera i njena ekvivalenna kapaciivnos iznosi C ek = L/r 2. Dakle, žiraor je elemen sa dva prisupa kojim je moguće ransformaisai prirodu reakivnih elemenaa, j. žiraor ima svojsvo inverovanja impedanse. Posebno je pogodan za simulaciju velikih indukvnosi, pomoću kondenzaora male kapaciivnosi. Zadaak 12. Idealizovani operacionog pojačavača, čije je naponsko pojačanje jednako µ predsavii preko ekvivalennog naponski konrolisanog naponskog generaora. Analizu izvršii u vremenskom domenu. Rješenje. Operacioni pojačavač predsavlja naponsko konrolisani naponski generaor. Realni operacioni pojačavač ima akve karakerisike koje ga čine pogodnim za realizaciju osnovnih maemaičkih funkcija, ima veliku ulaznu opornos, malo izlaznu opornos i veliko naponsko pojačanje. Me duim, ne smiju se zanemarii njegove frekvenne karakersiike, jer koeficijena naponskog pojačanja opada sa porasom frekvencije. Idealni operacioni pojačavač ima veliku ulaznu opornos R i, veoma malo izlaznu opornos R o 0 i konsanno naponsko pojačanjeµ=cons., kao šo je prikazano na Slici 1.17b. Ukoliko se posebno naglasi, idealni operacioni pojačavač ima beskonačno veliko naponsko pojačanje µ. Pošo je u ovom graničnom slučaju izlazni napon operacionog pojačavača konačan, s obzirom na beskonačno pojačanje, ulazni napon mora bii jednak nuli. u 1 ()=0 (1.38) 21
16 1.3. ELEMENTI ELEKTRIČNIH KOLA SA DVA PRISTUPA i 1 () i 2 () u 1 () µ u 2 () u 1 () µu 1 () u 2 () (a) Idealizovani operacioni pojačavač. (b) Ekvivalenna šema idealizovanog operacionog pojačavača. Slika 1.17 Vrijednos napona na izlazu može bii bilo koja konačna vrijednos, koja se dobija iz Kirhofovih zakona posavljenih za osaak kola. Ukoliko je napon izme du dvije ačke u kolu jednak nuli u bilo kojem vremenskom renuku (1.38), e dvije ačke se nalaze u krakom spoju. Me duim, ulazni priključci operacionog pojačavača nisu fizički krako spojeni, pa se kaže da su viruelno krakospojeni. Pored jednačine (1.38), za operacioni pojačavač sa konačnim naponskim pojačanjem u vremenskom domenu (Slika 1.17b) važi: u 2 ()=µu 1 () (1.39) Na Slici 1.17b je prikazana ekvivalenna šema idealizovanog operacionog pojačavača, koji je prikazan kao naponski konrolisan naponski gneraor. Njegova ulazna eži beskonačnosi i predsavljena je ovorenom vezom, dok je izlazna opornos zanemarivo mala i predsavlja kraak spoj. Izlazni napon u 2 () je konrolisan ulaznim naponom u 1 () i odre den je naponskim poja vcanjem µ. 22
Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda
Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda Prilikom modelovanja elekričnih kola najčešeće se korise diferencijalne jednačine da opišu elemene sa memorijoom, j. elemene koji mogu da skladiše energiju.
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραSNAGA POTROŠAČA NAIZMENIČNE STRUJE
NAGA OTROŠAČA NAZMENČNE TRUJE U slučaju vreenski proenljivih sruja, snaga generaora i snaga prijenika ogu bii poziivne i negaivne. so važi i za rad. Ako je snaga prijenika negaivna, on se ponaša kao generaor.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραNaizmenične struje. Osnovi elektrotehnike 2. i (t) + 2 ča
Naizmenične sruje Osnovi elekroehnike i () + ča za I i() i() Naizmenične sruje predsavljaju vremenski promenljive sruje koje salno menjaju inenzie, a povremeno i smer!!! 0 1 Karakerisike periodičnih signala
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραInduktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραQ11. 4k2 Q12. 1k7 VEE=-5.2V
. ZTK 50k Slika Za logicko kolo sa slike odredii: a) logicku funkciju kola Y=f() i Y=g() ) rednosi opornosi 9 i 4 ako da su margine šuma za logicku nulu i jedinicu jednake a logicki nioi na ulazu i izlazu
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.
OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραVILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.
VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako
Διαβάστε περισσότεραDOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009.
UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO DOMAĆA ZADAĆA 5 /Formulacije i rješenja zadaaka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA ak. 9/. Selma Grebović Sarajevo, Decembar 9. godine Zad.. Za realnu funkciju
Διαβάστε περισσότερα4. Operacioni pojačavači i analogna algebarska kola
4. Operacioni pojačavači i analogna algebarska kola Operacioni pojačavač je elekronsko kolo sa diferencijalnim naponskim ulazom i jednim naponskim izlazom. Njegova osnovna namena je pojačavanje razlike
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVEČILIŠTE ZAGEB FAKLTET POMETNIH ZNANOSTI predme: Nasavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Auorizirana predavanja 2016. 1 jecaj nelinearnih karakerisika komponenaa na rad elekroničkih
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMAGNETNO SPREGNUTA KOLA
MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave
THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE
ELEKTRONSKI FAKULTET NIŠ KATEDRA ZA ELEKTRONIKU predmet: OSNOVI ELEKTRONIKE studijske grupe: EMT, EKM Godina 2014/2015 RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE 1 1. ZADATAK Na slici je prikazano električno
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu svi naponi i sve strue u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne funkcie vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučau različitim fazama
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI DIGITALNE ELEKTRONIKE (13S042ODE)
OSNO GTLNE ELEKTONKE (S4OE) ačunske ežbe ( časa nedeljno): dr Goran Saić saic@el.ef.rs hp://n.ef.rs/~siode kabine d Termini za konsulacije: posle časoa računskih ežbi, po dogooru. igialni signali magisrala
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMreže sa dva pristupa
Mreže sa dva pristupa 18. novembar 2015 Mreža sa dva pristupa je električna mreža sa dva para priključaka kojima se povezuje sa drugim mrežama (kolima), Slika 1. Dva priključka čine pristup ako je struja
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραr koje dejstvuju na tačku: m a F.
Drui Njunov zakon Proizvod između mase maerijalne ačke m i vekora njeno ubrzanja a r jednak je vekorskoj r sumi svih sila F r i r koje dejsvuju na ačku: m a F. Drui Njunov zakon je vekorski zakon ali oovo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSnage u kolima naizmjenične struje
Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOdredivanje odziva u električnim kolima
Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)
NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:
Διαβάστε περισσότεραSnage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE
O1 V10 V11 me i prezime: nde br: 1 9.1.015. 9. TORZJA GREDE 9.1 TORZJE GREDE KRUŽNOG PRSTENASTOG POPREČNOG PRESEKA orzije grede kružnog poprečnog preseka Slika 9.4 r (9.8) 0 0 r R 0 0 1 R (9.11) π (9.1)
Διαβάστε περισσότερα(a) Odrediti koeficijente prve, druge fundamentalne forme i Kristofelove simbole površi r.
Geomerija 3, 9... Ime i prezime, broj indeksa, grupa. Daa je površ paramerizacijom ru, v = cos u cos v + 3 cos v, cos u sin v + 3 sin v, sin u, u, v, π, π. a Odredii koeficijene prve, druge fundamenalne
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα