HIDROMETEOROLOŠKI ZAVOD CRNE GORE -Hidrološki sektor-

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HIDROMETEOROLOŠKI ZAVOD CRNE GORE -Hidrološki sektor-"

Transcript

1 HIDROMETEOROLOŠKI ZAVOD CRNE GORE -Hidrološki sektor- Preliminarna ( gruba, aproksimativna, orijentaciona ) obrada hidropotencijala na pritokama glavnih vodotoka Pive i Lima, malih, mini ili mikro (mhe) u Crnoj Gori Odgovorni obrañivač: mr Milan Bošković, dipl.inž.grañ. Obrañivači: Nevzeta Alilović, dipl.inž.grañ. Mirjana Popović, dipl.inž.grañ. Saradnici: Slavica Micev, dipl.met. Novak Darmanović, hidr.teh. Časlav Mašković, hidr.teh. Direktor: Mr Luka Mitrović, Septembra, god. P o d g o r i c a

2 1. Uvod U bivšoj jugoslovenskoj javnost je dugi niz godina važilo mišljenje o našem, velikom energetskom bogatstvu. Energetske vrijednosti bivše zajedničke države su po glavi stanovnika bile 49 puta manje nego SSSR-u, 21 put manje nego u SAD, 18 puta manje nego u svim razvijenim zemljama Svijeta, te šest puta manje od svjetskog prosjeka. (B. Djordjević, Iskorišćenje vodnih snaga Osnove hidroenergetskog korišćenja voda, Beograd, 1981.) Taj prosjek ozbiljno narušava Crna Gora raspolažući istim potencijalom domicilnih voda kao Srbija, Hrvatska i Slovenija, te dvostruko većim od Makedonije. Jedino Bosna i Hercegovina ima duplo više vodnog potencijala od Crne Gore, ali sa gotovo četiri puta veće teritorije. Veliki energetski deficit koji postoji u Crnoj Gori može se riješiti samo izgradnjom velikih sistema obnovljivih vidova energije (hidropotencijala, te energija sunca, vjetra, biomase i td.). U Crnoj Gori izgradnjom malih postrojenja za korišćenje hidropotencijala, deficit ne može biti u potpunosti riješen. On može biti samo ublažen. Isti može biti prevazidjen samo izgradnjom velikih sistema, za sada na Morači i Pivi. Što se brže sa njihovom realizacijom krene utoliko bolje, jer je potražnja za energijom imperativ svega, a urbanizacija odnosno zaposjednutost rečnih dolina svakim danom sve veća. Da bi se ovaj deficit ublažio krenulo se sa odabiro energetskih profila u slivu Lima i Pive i osnivanjem hidroloških stanica. Za prvu fazu odabrano je 15 mjernih profila. Obezbijeñena je savremena oprema za daljinski prenos podataka (vodostaja), u realnom vremenu, u prostorijama Zavoda. Sve u cilju sagledavanja objektivnih pretpostavki o kvantitativnim karakteristikama za ove odabrane profile. Time su stvoreni uslovi da se na tender za dodjelu koncesija ( projektovanje, izgradnja i eksploatacija 30 godina hidropotencijala na tim pritokama) ide sa konkretnim podacima, o izdašnosti tih pritoka. U nedostatku istih išlo se gotovo potpuno proizvoljno, čak i bez navoñenja institucija i obrañivača tih podataka. Srećna je okolnost da se na ponovljeni Tender, ne ide improvizacijama, već prezentacijama konkretnih podataka. Taj dio obaveza je HMZ svojski odradio. U decembru 2007 godine Hidrometeorološki zavod je završio i predao Ministarstvu ekonomije elaborat ''Hidrološka obrada za profile malih, mini, mikro (mhe) na pritokama glavnih vodotoka u Crnoj Gori''. Elaborat se odnosio, kao što smo rekli na, prvi kontigent, pritoke u slivu Pive i Lima, (6 na Pivi i 9 na Limu). 2

3 Istražni radovi su trajali, uglavnom i više od 15 mjeseci, izvršeno je po 15 hidrometrijskih mjerenja na osnovu kojih su sastavljene krive protoka i dobijeni srednje dnevni proticaji za osmatrani period. Izračunate su krive trajanja srednje dnevnih proticaja i date hidrografske i fizičkogeografske karakteristike vodotoka. Odluka obrañivača da osmatrani period svede na kalendarsku godinu sada se pokazao kao ispravan jer nam je omogućio da sračunamo godišnju proizvodnju energije što se smatra standardom za ovu vrstu obrade. Sada se od Zavoda traži da izvrši orijentacionu procjenu hidropotencijala na tim mjernim profilima. Zavod u svojoj osnovnoj djelatnosti to ne radi. Ako investitor Ministarstvo za ekonomski razvoj pri Vladi Crne Gore, te podatke koristi za internu upotrebu, bez njihove prezentacije na tender, onda je ovaj rad odgovorio svojoj namjeni I za kraj ovog Uvoda, moramo istaći da su korekcije krivih trajanja u osnovnom Elaboratu, ostale korigovane za 30% na Pivi, odnosno 20% na Limu. Ipak, nakon temeljitije analize, ostali smo na strani sigurnosti, što smo predložili tu korekciju 15% na Pivi, odnosno 10% na Limu. Podsjetimo, ove korekcije su bile nužne, jer je period obrade za prvi kontigent mjernih profila; polovina polovina godine, bio najmanje sušan za navedene procente, u odnosu na njegove kvantile za višegodišnji period, što je bilo veoma važno. 2. Osnovne teorijske postavke o hidropotencijalima Medju prvim koracima u analizama elektropotencijala je analiza hidroenergetskog potencijala, kao obnovljivog vida energije, nekog vodotoka koji se može prikazati u sledećim vidovima: Kao ukupna sumarna veličina za neki sliv, vodotok ili dio sliva, Površinski specifični potencijal prikazan po jedinici površine, Specifični linijski potencijal duž razmatranog vodotoka, Bruto potencijal pregradnog mjesta, ukoliko se računa sa ukupnim proticajem bez ograničenja po instalisanosti i Kao tehnički iskoristiv potencijal pregradnog mjesta, računajući sa ograničenjem po instalisanosti postrojenja. Tehnički iskoristivi potencijal predstavlja onaj dio hidroenergetskog potencijala za koji je odgovarajućom tehničkom dokumentacijom utvrñeno da se može realizovati. Za odreñivanje tog potencijala potrebno je da su ispunjeni sledeći uslovi: 3

4 da je stepen istražne i projektne dokumentacije takav da omogućava pouzdano zaključivanje, da su razmatrani objekti hidroelektrana tehnički ostvarljivi i da su postrojenja energetski izučena do nivoa kada se može pouzdano odrediti prosječna moguća godišnja proizvodnja. I, što je posebno važno, da je zaoštravanje u iscrpljenosti energetskih resursa, naraslo do te mjere da biva glavna razvojna i najvitalnija komponenta, možda čak i biološkoga opstanka na našoj planeti. U najopštijem smislu snaga hidroenergije nekog vodotoka može se izraziti kao N = γ Q H odnosno, N = ρ g Q H, Izrazimo to u dimenzionalnom obliku, kg m 3 N = 1000 ( 3 ) g (9,81 2 ) Q ( m ) H ( m ) ili, m sec sec kg m sec kg m N = 9810 Q H ( 3 1N ( Njutn ) = 2 sec 2 ), kako je to se ima za snagu N m N = 9810 Q H ( sec ) jer je N m = J ( džul ) J a = W ( vat ) to je definitivno izraz za snagu s N = 9810 Q H (W) odnosno N = 9,81 Q H (KW) i to bi u teortskom smislu bila neka bruto snaga. Kako su mjerne jedinice (W) pa i (KW) relativno male, to se u našoj hidrotehničkoj praksi koriste veći prefiksi : za snagu teravat, gigavat i megavat za energiju teravatčas, gigavatčas i megavatčas ili, 1TW =10 3 GW = 10 6 MW = 10 9 KW odnosno, 1TWh =10 3 GWh = 10 6 MWh = 10 9 KWh. Znači - snaga definiše brzinu iskorišćenja energije, ili diferencijal energije po vremenu, ili bolje rečeno energija je integralna kriva krive snage u funkciji vremena, a ona je uobičajeno jedna godina, jer se svi bilansi godišnje proizvedene energije računaju u godišnjem okviru. 4

5 Ukoliko se razmatra dovoljno kratak interval vremena, u toku kojeg se vrijednost energije može smatrati konstantom, snaga se može definisati i kao energija u jedinici vremena. Bilo je to kratko podsjećanje na neke teoretske postavke snage i energije. N BR = 9,81 Q H BR, Neto snaga se dobija kada se bruto snaga pomnoži koeficijentom korisnog dejstva ( η ) i bruto pad zamijeni neto padom, kada se bruto pad umanji za iznos gubitaka na derivaciji: N NT = η 9,81 Q H NT, Dionica rečnog toka na kojoj je protok Q(m 3 /s), a denivelacija izmeñu ulaznog i izlaznog profila H(m) raspolaže snagom: N = γ Q H (kw) g zapreminska težina vode 9.81 kn/m 2 Q prosječni višegodišnji protok (m 3 /s) H denivelacija izmeñu ulaznog i izlaznog profila (m) Energija razmatrane dionice rečnog toka u nekom intervalu vremena T(h) iznosi: E = N T (kwh) Gornji izrazi predstavljaju teorijsku snagu i energiju bez gubitaka koji su neizbježni pri transformaciji energije u mehaničku i električnu. Tehnički iskoristiva energija vodotoka smanjena je zbog trenja u dovodima (cjevovod, tunel, cjevovod pod pritiskom), gubitka protoka što se definiše kroz neto pad Hn (neto pad = bruto pad (prirodni) gubici). Srednja iskoristiva snaga (neto snaga) koju hidroelektrana daje na priključcima generatora, može se odrediti iz jednačine: gdje je: N = 9.81 ηt µ g ηtr Q i H n (kw) η t - stepen korisnog dejstva turbine, η g stepen korisnog dejstva generatora, η tr stepen korisnog dejstva transformatora, 5

6 Q i - instalisani protok, H n raspoloživi neto pad (m). Koeficijent korisnog dejstva η se sastoji od multiplikacije tri koeficijenta η = η turb. x η gener. x η transf. Sada se postavlja pitanje odabira neto pada H NT. On je u direktnoj funkciji izbora tipa HE prema načinu stvaranja pada. Suština korišćenja vodnih snaga je u ostvarivanju koncentracije pada na jednom kratkom potezu vodotoka. Za stvaranje i koncentraciju pada HE postoje četiri osnovna načina i ona su: 1. pribranska shema, kada se potreban pad realizuje isključivo branom, kada je protok (Q) nešto veći, a pad (H) manji, 2. derivacionom shemom, kada se potreban pad stvara derivacijom toka, kanalima, tunelima i cjevovodima, kada je Q manje a H veće, 3. kombinovana shema, kada se pad H stvara podizanjem brana uz odgovarajuće derivacije, 4. shema sa spuštanjem donje vode u zoni hidroelektrane., što se u ovom času, na crnogorske uslove smatra manje aktuelnim, zbog konfigurativnog sklopa. Sledeći izuzetno važan korak je odabir instalisanog protoka a sa njim i instalisane snage. Iz kombinacije se, naravno, isključuje minimalni srednje dnevni protok (iako on najduže traje) jer bi se: dobila mala instalisana snaga i mala godišnja proizvodnja električne energije, praktično, jedna varijanta koja se ne analizira, praktično bi se raubovali vodni resursi, jer bi se godišnje koristila mala količina vode, bili bi prelivi ogromni a sa njima i veliki gubitak energije i očekivane dobiti, što se apsolutno ne želi, instalisana snaga (aritmetička suma ukupnih snaga generatora), instalisani proticaj Q i - predstavlja maksimalni proticaj koji HE može da koristi u normalnom pogonu imajući u vidu propusnu moć postrojenja. Vrlo su česti sjučajevi kada pojedini autori energiju izražavaju i preko zapremine, jer kada se protok Q(m 3 /sec.) pomnoži sa vremenom dobija se zapremina V(m 3 ) a preko neto pada Hn, sa prosječnim koeficijentom korisnog dejstva k.k.d. (η) ima se: E = V H n η /367 (Kwh), odnosno E = V H n η /470 (Kwh), za neto energiju. Kako ova procedura uglavnom važi za akumulacione HE, prvo potpisani ovih radova ju je temeljito primijenio u svom Magistarskom radu, (Optimizacija 6

7 višenamjenskog vodoprivrednog sistema, sa akumulacionim basenom, uz primjenu estimatora hidrološkog ulaza), na primjeru čeone akumulacije Andrijevica na Limu i njenog donjeg kompezacionog bazena Lukin Vir. Rad je uspješno odbranjen maja na fakultetu Gradjevinskih znanosti Sveučilištu u Zagrebu. 3. Neke koncepcijske dileme Obrañivači ovog rada, bez želje da prejudiciraju bilo kakvo rešenje, odlučili su se da u svim slučajevima pretpostave da se radi o derivacionim hidroekektranama, obzirom da će, sasvim izvjesno, njih biti i najviše. Kako se iz pomenutog elaborata može vidjeti (godišnjaci protoka za mjerne profile) srednji godišnji protoci kreću se od m 3 /s na Veličkoj rijeci, pa do 2.92 m 3 /s na rijeci Grlji. Iz teorije je jasno da tamo gdje imamo male protoke a velike padove uobičajeno je da se rade derivacioni tipovi HE, iako decidnija granica izmedju njih nikada nije postojala, pa su krajnje opredeljenje, najčešće, odlučivale dodtne ekonomske i ostale analize. Konačnu odluku o tome koji tip hidroelektrane usvojiti, za pojedine vodotoke, treba da da posebna energetska obrada sa mogućim tehničkim rešenjima, uz odgovarajuću ekonomsku analizu. To, svakao, prevazilazi okvire ovoga rada. Proglašenjem Crne Gore ekološkom državom, sada se posve zasluženo, pored energetike i ekonomoje uvodi i ekologija kao treća komponenta. To suštinski znači, odlučujuću ulogu će da odigraju, apsolutno ravnopravno, u prenosnom značenju 3E energetika, ekonomija, ekologija. Uz jedan neprevazidjen uslov; raspolagati valjanim i relevantnim kriterijumima koji će se poštovati. Što se ekonomije tiče u nju nijesmo zalazili, iako se zna za koeficijente vrijednosti hidroelektrana, uglavnom za velike sisteme, veoma reprezentativan parametar za ocjenu opravdanosti izgradnje hidroenergetskih postrojenja i, što je posebno važno, odredjivanja ranga prioriteta u redosledu njihove izgradnje. Suština je u uporedjivanju dobiti HE, od proizvodnje energije, garantovane i raspoložive vršne snage i ostalih ne energetskih koristi, sa troškovima izgradnje HE i valorizacijom ušteda usled ispadanja iz sistema ne obnovljivih izvora, prevashodno, energije iz termoelektrana. Dalje ovu proceduru obrazlagati, smatramo ne potrebnom, uz napomenu da je ona dosta duga, zametna i iziskuje veliki broj podataka, posebno za aktueliziranu - valorizovanu cijenu HE na kraju njenog vijeka trajanja (uobičajeno 50 god.) i tome slično. Izuzetno je mala vjerovatnoća da će koncesionari slijediti ovaj postupak, već će konfigurativni sklop postrojenja odredjivati sami, preko konsultantskih ili projektantskih kuća koje budu sami birali. 7

8 U ostalom, prema Javnom pozivu zainteresovanim investitorima za dodjelu koncesija po kombinovanom DBOT aranžmanu za istraživanje vodotoka i izgradnju mhe, u Crnoj Gori, oni na to imaju apsolutno pravo. U tom dokumentu nude se 43 mhe, sa pripadnošću: 2 u reonu akumulacije Piva, 3 na Komarnici, 20 na Limu, region Plava, 3 na Limu, opština Bijelo Polje, 6 na Morači, 1 na Ibru, 3 na Tari, 2 na Ćehotini, 1 na Zaslapnici, region Grahova, 1 na Zeti, 1 na Gračanici i 1 na Grahovskom jezeru. Da odmah istaknemo taj kontigent nije u saglasju sa 30 lokaliteta, koji se hidrološki istražuju (HMZ CG), prema donaciji norveške Vlade. I da podsjetimo, realizacija ugovora o Koncesijama će se ostvarivati u sljedećih 5 faza; I faza Istražni radovi, izrada Idejnog rješenja optimalnog korišćenja vodotoka i odredjivanje lokacija i parametara mhe, sa izradom Prethodne studije opravdanosti, rok 24 mjeseca. II faza - Izrada Projektne dokumentacije i pribavjanje gradjevinske dozvole, rok 12 mjeseci. III faza - Izgradnja objekata i postrojenja mhe, pribavljane vodne upotrebne dozvole i licence za proizvodnju električne energije, rok 24 mjeseca. IV faza - Eksploatacija objekata, rok 30 godina. V faza - Prenos objekata u vlasništvo države, po isteku Koncesionog ugovora. Ili kraće rečeno: istraži, isprojektuj, izgradi, eksploatiši, vrati. Što se tiče preliminarnog bilansa raspoložive energije i odgovarajuće snage potencijalnih lokaliteta za male, mini i mikro hidroelektrane (mhe), Elektroprivreda raspolaže sa podacima za čak 70 lokaliteta. U tom dokumentu je ekspicitno navedeno da je ukupna snaga za sve njih, gotovo nevjerovatnih, 232 MW a dobijena godišnja energija čak 644 GWh. Nama kao obrañivačima ovog rada, bez pretenzija da ulazimo u bilo kakvu analizu tog dokumenta, jer nikakvih dokaznica nema, se čini da su te vrijednosti pretjerano velike, pogotovo što je vićina njih dobijena uglavnom bez ikakvih mjerenih hidroloških podataka. Uz to još, se nigdje ne navode Institucije koje su to radile, njihovi obradjivači, za koga je i kada to radjeno. Ako se malo podrobnije zadje u taj dokument (jedna jedina tabela, sa kartom Crne Gore), možemo konstatovati da je bilo predvidjeno 70 mhe, bez 7 postojećih koje su još uvijek u pogonu. Po lokalitetima, sa ukupnom snagom (MW) i ukupnom energijom (GWh) bilo bi: 6 mhe u slivu Pive, N = 23,5 MW i E = 81,6 GWh; jedna na Ćehotini (Otilovići), N = 3,95 MW i E = 12,7 GWh; jedna na Bjelopoljskoj Bistrici, N = 4,1 MW i E = 26,7 GWh; 19 u slivu Lima (potez Zlorečica Lješnica), 8

9 N = 67,8 MW i E = 175,3 GWh; 15 na Limu u reonu Plava, N = 45,5 MW i E = 135,6 GWh; 17 u slivu Komarnice, N = 50.6 MW i E = 116,6 GWh; pet u slivu Zete, N = 11,2 MW i E = 49,9 GWh; i šest u slivu Morače, N = 27,8 MW i E = 57,7 GWh. Tu se samo navode lokaliteti sa nazivima postrojenja mhe, pripadni vodotoci, medju kojima većinu ne možemo ni na karti ponaći. Uz to, ilustracije radi na jednoj malenoj Bijeloj je bilo predvidjeno čak tri postrojenja, na Bukovici, nevjerovatnih šest, tri na Vrbnici, dva na malenom Mratinjskom Potoku, koji čak i presušuje, četiri na Komarači, tri na Ibrištici, tri na Kaludarskoj Rijeci, tri na Djuričkoj Rijeci, i dalje da ne nabrajamo. Kao što se da zapaziti diskrapanca izmedju broja potencijalnih lokaliteta koji bi mogli ići na tender, prema ta dva Dokumenta je prevelika, samo u kvantitativnom iznosu ona iznosi 27, uprkos činjenici da ih ima istovremeno navedenih u obadva. Neko naše vidjenje je da bi optimalan broj tih hidroenergetskih profila za mhe, na pritokama glavnih vodotoka u Crnoj Gori mogao biti maksimalno negde oko 50. Što se energetike tiče tu smo napravili odredjeni pomak, ako ništa drugo imali smo, za navedeni period hidroloških istraga, pored bilansa protoka i valjanu krivu trajanja, za period i duže od godine dana. Kada je u pitanju ekologija vodjeni smo poznatom krilaticom svaka je HE najmanje onoliko dobra koliko svojim stupanjem u EES, iz njega uspije da trajno izbaci, makar, dio energije proizvedene u termoelektranama. Tako su nas godinama učili, tako još uvijek mislimo i pri tome ostajemo i u buduće. Uz navedeno, od podloga smo imali samo još georeferencirane topografske karte 1: i praktično, bilo je to sve. Odmah, na startu, se postavilo pitanje kako usvojiti instalisani protok (Qi). Teoretski postupak se zna; izvršiti simulaciju za najmanje tri znalački odabrane vrijednosti za Qi i vrednovati ih po nekom upravljačkom kriterijumu, a njih može biti više, nakon čega se optimum brzo nameće. Za primjer uvedimo sledeće oznake: P fizčki obim proizvodnje, u našem slučaju energije, D bruto prihod, R bruto rashod, d=d-r čist prihod, itd. Ovi efekti se ostvaruju uz utrošak odredjenih resursa W-voda, I-investicije, Z- zemlja, L-ljudski rad itd. Zavisno od toga kakav se želi ostvariti efekat, i uz koliki utrošak pojedinih resursa, mogu se uspostaviti različiti kriterijumi za optimizaciju, kao što su: P/W max maksimizira proizvodnju uz što manji utrošak vode, R/P min - minimizira troškove proizvodnje po jedinici proizvoda, 9

10 P/Z max maksimizira prinos po jedinici površine itd.. Ukoliko je nedovoljna raspoloživa količina vode, valja odabrati kriterijum koji tu činjenicu uzima u obzir, d/w max maksimizacija čistog prihoda sa najmanjom količinom vode, analogno tome ukoliko je ograničeno zemljište imali bi; D/Z max, ili d/z max, ili R/L min, itd. Uopšteno, gore navedeno podrazumijeva višenamjensko korišćenje voda, što pojeftinjuje planirani zahvat, i pomaže hidroenergetici kao, gotovo redovno, vodećem korisniku da brže i lakše ostvari svoj plan. Kako HMZ CG za to ne raspolaže odgovarajućim softverima, u nastavku je uradio ono što je i jedino mogao. Najprostije rečeno, u iznudici, usvojili smo da to budu krive trajanja. Ideja vodilja je bila da u okviru godine, srednji protoci što duže traju, procentualno negde 25 do 45%, te su tako koeficijenti instalisanosti usvajani sve veći. Ovakvim izborom nastojali smo da neiskorišćene vode (prelivi), u približnim okvirima, ujednačeno dugo traju. Koliko smo u tome uspjeli, preostaje da revidenti procijene. Znali smo da bi bilo poboljšanje, da smo uz krive trajanja, uzeli u obzir dužine derivacija i bruto padove. No, u toj sferi nijesmo imali jasno izdiferencirane kriterijume za vrednovanje, pa u njih nijesmo ni zalazili. Znači, sumirajući, koeficijenti intalisanosti su se, u prosjeku, kretali 1,25 pa do 1,70 ili bolje rečeno Qi = (1,25 1,70) Qsr. Pravilo nepisano, ali ipak tako usvojeno. Drugi, ne manji, problem je bio sa kojim padovima ući u analizu. Za ovaj nivo obrade koji je, ponovićemo, aproksimativan i preliminaran, nosili smo se mišlju da čak udjemo sa bruto padovima. Smatramo da je, i jedna takva analiza dolazila u obzir, jer bi kriterijum vrednovanja za sve bio isti, a sa njime i osnovna uporedba moguća. Ipak, odlučili smo se da u analizu udjemo sa, donekle improvizovanim neto padovima, kako bi smo bili bliži nekom, u eksploataciji, objektivnijem stanju. Uspjeh bi bio veći da smo prethodno, imali generalni koncept energetskog iskorišćenja. Sledeći problem je bio kako, preliminarno, procijeniti neto padove. Tu smo najjednostavnije išli na procenat umanjenja bruto padova. Generalno, u opsegu umanjenja 25 do 60% bruto padova, zavisno od dužina derivacija. Odnosno H nt =(0,25-0,60) H bt. Bio bi to jedan sažeti opis usvojenih koncepata analize energetskih potencijala; snage N(MW) i energije E(GWh). Za svaki profil priložen je situacioni prikaz sa skinutim kotama gornje i donje vode (KGV i KDV), i dužinama derivacija (Ld). Na sledećim prilozima su krive trajanja, svedene na duži period, jer je period sa mjerenjima bio sušniji, koeficijenti korekcije su bili 1,15 za pritoke u slivu Pive, odnosno 1,10 za pritoke u slivu Lima, o čemu je već bilo riječi. 10

11 I konačno priložene su tabele za proračun snage i energije, po metodologiji Prof. Mihaila Serafimovskog. Naša stručna javnost, koliko je nama poznato, dugi niz godina je koristila izraz za neto snagu N = 8 Q H (MW), da izraz dimenzionalno ne ponavljamo, o njemu je bilo riječi u okviru tačke 2. Mi smo u ovom radu koristili nešto modifikovaniji izraz N = 8.5 Q H (MW), računajući da su proizvodne tehnologije uznapredovale, prevashodno u kompleksu turbina, da su k.k.d. (η) postali nešto veći, smatramo da i ovo nije neka posebna novost. Što se tabelarnih prikaza proračuna snage i energije tiče, oni su školski primjeri primijenjenog postupka, iza kojega debelo stojimo, a o ulaznim podacima i problemima u vezi sa njima, možda smo bili i preopširni. I na samom kraju, zavredjuje pažnju da se, ukratko, osvrnemo i na još nešto, što po našem mišljenju, ne bi smjelo proći nezapaženo: 4. Predlozi i zaključci 4.1. Mjerna mjesta, bolje rečeno, izbor lokacija za mjerne profile, (potencijalne lokacije vodozahvata) birali su stručnjaci Elektroprivrede. Taj izbor je uvažen onakav kakav jeste, po našem mišljenju, ne uvijek i najbolji, no, tu se sada ništa ispraviti ne može. Bilo je i koncepcijski promašenih izbora, kao što je odabir mjernog profila Ribnjak na Vrbnici, defakto na njenom ušću u akumulaciju Piva. Uzvodniji profil Stabna je zaista izvanredan. Odabirom profila Ribnjak bilo bi neophodno ukinuti postojeći Ribnjak Bilo je dosta i objektivnih smetnji, da pojedinim lokalitetima, zbog strmih litica nije bio moguć apsolutno nikakav pristup. Obraslost četinarima, listarima pa i ostalim silnim običnim šibljem, inače strmih litica, nije omogućavala pristup, možda, ćak ni helikopterom. Većina vodotoka zavredjuje, isklučivo u gornjim djelovima slivova, da na njima budu koncipirane barem jedna, možda čak i dvije mhe, ali na njima je prioritet svih prioriteta omogućiti pristup. Povoljna je okolnost štu tu nije neophodno formirati, skoro, nikakvu mjernu opremu. Jednostavno, treba obaviti barem 15-tak simultanih hidrometrijskih mjerenja (po mogućnosti, po amplitudi vodostaja što bolje odabranih) i korelativnim vezama sa donjim izučenim profilima provesti čitavu dalju proceduru Već smo rekli, da će na većini lokaliteta preovladati derivacije, tu ne vidimo ništa loše, ali ima i takvih sa vrlo malim padovima i zaista predugim derivacijama i preko 5 km (Tušinja, Bukovica i Bijela). Murinska i Velička Rijeka, imaju mali pad i malo vode. Uz to, dolina 11

12 Lima jeste, hidrografski najrazvijenija, ali je zato i najzaposjednutija, na njoj bi samo pripremni i ekspropriacioni troškovi bili preveliki, tu su sociološki, kulturološki i ostali aspekti jako izraženi. Usvojenim Prostornim planom CG do 2020 god., su i svi hidroenergetski objekti na samom Limu izbjegnuti, a razmišljanja u vezi kanalskih i protočnih HE na njemu, bi radije prepustili nekom drugom, budući da nizvodnije od Murine, po nama, Lim generalno nema nekih izražajnijih padova Glavni razlog, izmedju ostalih, zbog kojih je ova preliminarno aproksimativna analiza uopšte i radjena, po nama, je nedostatak bilo kakvih dokaznica za snagu i energiju pritoka crnogorskih vodotoka. Elektroprivreda CG, kao još uvijek titular svih njih, najvjerovatnije njima ne(raspolaže). Mi smo ih, u ovom radu, kakve-takve ponudili crnogorkoj javnosti na uvid, pa i samo one bi mogle biti velika njegova prednost. Povoljna je okolnost što su snaga i po njoj izvedena energija, na neki način, jednodimenzionalne veličine (skalari), to bi se promjenom neto pada (H nt ), iz bilo kojih razloga, novi iznosi za oba parametra lako dobili, jednostavno, iz odnosa novog i ovdje usvojenog pada, pomnoženog sa u ovom radu dobijenim veličina kako za snagu tako i za energiju Bilo bi korisno da ukoliko revidenti ovog rada imaju, predloga i sugestija koji bi mogli poboljšati njegov kvalitet, imajući u vidu ovaj nivo obrade, njih slobodno iznesu, što bi mi Obradjivači sa zadovoljstvom prihvatili. Prvo zbog nas samih i drugo što će, pretpostavljamo, ovakvih obrada biti još, u ostalom, ovo je tek prvi kontigent od samo 15 mhe. Nadamo se da će mo se složiti da bi broj agregata morao biti najmanje dva do tri, pa nadalje zavisno od kvantitativnog iznosa snage. Time bi se, na neki način, izvršila tipizacija opreme, što bi bilo korisno iz najmanje dva razloga, najprije što bi se umanjila cijena proizvodnje a potom što bi se eventualna rekonstrukcija, iz bilo kojih razloga, lakše izvela. U nastavku prelazimo na prikaz priloga, uz koje je moguć i još neki, dodatni, kraći komentar. Sastavio: mr Milan Boskovic, dipl.ing grañ 12

13 Okvirni proračun snage i godišnje energije za analizirane profile u slivu Pive U nastavku ovog rada prikazaćemo okvirno proračun snage i energije za analizirane profile u slivu Pive. Kao prilozi date su krive trajanja, usvojene poslije urañene Regionalne analize, nakon koje su osnovne uvećanne za 15%. Na njima je nanešen srednji i instalisani protok. Data je i karta vodotoka sa naznačenim vodozahvatom, položajem mašinske zgrade i derivacijom. 1. Rijeka Vrbnica, energetski profil "Stabna" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 940 mnm KDV: 720 mnm - Bruto pad: H br = = 220 m - Dužina derivacije L = 2,7 km - Neto pad H nt = H br 0,3 x Hbr = 0,7xH br = 154 m - Q sr =1.31m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x 1.31 =2.1 m 3 /s Kriva trajanja 5 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK: VR B N IC A EP : ST A B N A Po regionalnoj analizi Qi=2.1 m 3 /s 1.5 Qsr=1.31 m 3 /s dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje (%) Neiskorišćene vode traju 25%, ili 91 dan prosječno godišnje 13

14 Energetski profil Stabna sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS Stabna Sa raspoloživom krivom godišnjeg trajanja protoka, to smo dalji proračun proveli tabelarno, kako slijedi: Tabela 1 Trajanje (%) ,1 66,6 52,1 41,9 38, (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) 0,094 0,301 0,474 0,934 1,16 1,45 2,10 2,10 Srednji protok Q sr (m 3 /sec) 0,198 0,388 0,704 1,05 1,30 1,78 2,10 Snaga N (KW) 259,2 507,9 921,5 1374, Snaga N (MW) 0,26 0,51 0,92 1,37 1,70 2,33 2,75 (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) 567,8 379,4 1170,2 1216,6 489,6 2572, Sumarna energija E (GWh) 0,568 0,947 2,117 3,334 3,824 6,396 12,7 Snaga 2,75 MW Sumarna energija 12,7 GWh 14

15 Iz gornjeg se zapaža veoma velika primamljivost ovog vodotoka za izgradnju male HE sa izuzetno povoljnim performansama. Istovremeno, bez ulaženja u detaljnije analize, na lokalitetu treba ići sa četiri agregata sa nominalnom snagom 700 KW. 2. Rijeka Vrbnica, energetski profil "Ribnjak" Hidrometrijska mjerenja na ovom profilu unijela su veliku zabunu u čitav koncept iskorišćenja ovog profila za hidroenergiju. Kako je i objašnjeno u prvom elaboratu koncept hidrometrijskih mjerenja na tom profilu bio je usvojen potpuno pogrešano. Svi vodostaji su bili vezani za uzvodni profil " Stabna ", što je davalo neobjektivnu predstavu o stvarnim proticajima. Bolje rečeno kad su u profilu srednje do srednje velike vode, a ribnjak radi nadprosječno vodostaji su bivali umanjeni, što je u bilansu izazivalo velike neusaglašenosti, pa smo taj mjerni profil obradili preko Stabne uzimajući u obzir neporemećene uslove. Da bi se vode ovog profila mogle hidroenergetski iskoristiti postojeći ribnjak bi morao prestati sa radom. Druga važna činjenica je da se neposredno nizvodno od Ribnjaka, na koti 678 mnm nalazi maksimalni uspor za HE ''Mratinje'' na Pivi, pa je svaka dalja elaboracija o odabru ovog profila suvišna. Na ovakve i slične okolnosti, u ubudućnosti treba obratiti maksimalnu pažnju. 3. Rijeka Bukovica, energetski profil " Donja Bukovica " Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1260 mnm KDV: 1140 mnm - Bruto pad: H br = = 120 m - Dužina derivacije L = 5,8 km - Neto pad H nt = H br 0,4 x Hbr = 0,6 x H br = 72 m - Q sr =1.22 m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x 1.22 =1.95 m 3 /s Neiskorišćene vode traju prosječno 21% ili 77 dana godišnje. 15

16 Kriva trajanja 5 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK: B UKOVIC A EP : DONJA BUKOVICA Po regionalnoj analizi Q sr =1.95m 3 /s Qsr=1.22 m 3 /s % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje (%) Energetski profil Donja Bukovica sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije 16

17 Tabela 2 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1.19 MW Energija 4.69 MWh Cijenimo da na ovom profilu treba instalirati dva agregat snage od 600 kw. 4. Rijeka Bukovica, energetski profil "Timar" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1100 mnm KDV: 980 mnm - Bruto pad: H br = = 120 m - Dužina derivacije L = 3.1 km - Neto pad H nt = H br 0.3 x Hbr = 0.7 x H br = 84 m - Q sr =1.85 m 3 /s - Q i =1.5 x Q sr = 1.5 x 1.85 =2.78 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju oko 23% ili 84 dana godišnje. Pošto je hidrometrijski profil relativno blizu sastavaka Bukovice i Tušine (u daljem nastavku pod jedinstvenim nazivom Bukovica) to smo zahvat pomjerili uzvodno, obzirom da u meñuslivu nema značajnijih promjena dotoka. 17

18 Kriva trajanja 7 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK: B UKOV IC A EP : T IM A R 6 5 Po regionalnoj analizi 4 3 Q i =2.78 m3/s 2 Qsr=1.85m3/s dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje (%) Energetski profil: Timar sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije 18

19 Tabela 3 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1,99 MW Energija 9.53 GWh Smatramo da na ovom postrojenju treba instalirati četiri agregata snage od 500KW. 5. Rijeka Tušina, energetski profil "Sirovac" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1040mnm KDV: 980 mnm - Bruto pad: H br = = 60m - Dužina derivacije L = 5.5 km - Neto pad H nt = H br 0.4 x Hbr = 0.6 x H br = 36 m - Q sr =1.14 m 3 /s - Q i =1.5 x Q sr = 1.5 x 1.14 = 1.71 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju oko 25% ili 91 dan godišnje. 19

20 Kriva trajanja 6.0 KRIVA TRAJANJA VODOTOK: TUŠIN A E P : SIR OV A C Po regionalnoj analizi Q i =1.71 m3/s 1.0 Qsr=1.14 m 3 /s 365 dana 0.0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje (%) Energetski profil: Sirovac sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije 20

21 Tabela 4 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga MW Energija 2.47 GWh Po našem mišljenju na ovom lokalitetu treba instalirati dva agregata snage po 300 kw. 6. Rijeka Bijela, energetski profil "Gornja Bijela" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1015mnm KDV: 880 mnm - Bruto pad: H br = = 135m - Dužina derivacije L = 5.7 km - Neto pad H nt = H br 0.4 x Hbr = 0.6 x H br = 81 m - Q sr = 1.54 m 3 /s - Q i =1.3 x Q sr = 1.3 x 1.54 = 2.0 m 3 /s Neiskorišćene vode prosjećno traju 20% ili 73 dana. 21

22 Kriva trajanja 8 KRIVA TRAJANJA VODOTOK: BIJELA EP: GORNJA BIJELA 7 6 Po regionalnoj analizi Q i =2.0 m 3 /s Qsr=1.54 m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje u % Energetski profil: Gornja Bijela sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije 22

23 Tabela 5 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1.38 MW Energija 5.35 GWh Kako su energetske performanse za ovaj profil veoma primamljive, to na njemu treba računati sa instalacijom tri agregata po 500 KW. Ukupno Sliv Pive Snga (N) Energija (E) (MW) (GWh) Vrbnica - Stabna Bukovica - Donja Bukovica -Timar Tušina - Sirovac Bijela - Gornja Bijela Σ Pritoke na Pivi

24 Okvirni proračun snage i godišnje energije za analizirane profile u slivu Lima Ista metodologija, koja je primijenjena pri računanju snage i energije za profile u slivu Pive, primijenjena je i na profile u slivu Lima. Dati su svi prilozi kao u prethodnom slučaju stim što su krive trajanja uvećane za 10%, do čega se došlo nakon urañene Regionalne analize. 1. Rijeka Jelovica, energetski profil "Lubnice - uzvodni profil" Mjerni profil za ovaj vodotok izabran je nešto uzvodnije od njenog ušća u Lim, tako da je gornji dio sliva ostao neiskorišćen. Zato smo se odlučili da uzvodnije obradimo još jedan energetski profil. Kako za taj profil nijesmo raspolagali sa konkretnim podacima odlučili smo se da izvršimo prenos podataka sa izučenog profila (Lubnice) na neizučeni Lubnice - uzvodni profil. Dobili smo da izdašnost predloženog profila iznosi oko 70% od izdašnosti HS Lubnice. U tom smislu usvojen je srednji protok od 917 lit/s i na osnovu njega odabran instalisani protok od 1.28 m 3 /s. Kriva trajanja je korigovana za dobijene iznose, skinute su vrijednosti trajanja pojedinih proticaja koji su prikazani u tabeli. Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1290 mnm KDV: 1030 mnm - Bruto pad: H br = = 260 m - Dužina derivacije L = 4.8 km - Neto pad H nt = H br 0.4 x Hbr = 0.6 x H br = 156 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.4 x Q sr = 1.4 x = 1.28 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 25% ili 91 dan godišnje. 24

25 Kriva trajanja 8.0 Q(m3/s) 7.0 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK:JELOVIC A EP : LUB N IC E - uzvo dni pro fil 6.0 Po regionalnoj analizi Qi = 1.28 m3/s 1.0 Qsr = m3/s 365 dana 0.0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajanje(%) % Energetski profil: Lubnice uzvodni profil sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije 25

26 Tabela 1 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1.7 MW Energija GWh Cijenimo da na ovom profilu treba instalirati tri agregata snage po 600 KW. 1a. Rijeka Jelovica, energetski profil "Lubnice" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1030 mnm KDV: 970 mnm - Bruto pad: H br = = 60 m - Dužina derivacije L = 1.93 km - Neto pad H nt = H br 0.25 x Hbr = 0.75 x H br = 45 m - Q sr = 1.31 m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x 1.31 = 2.1 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 22% ili 80 dana. I na ovom profilu smo otišli nešto uzvodnije, obzirom da u meñuslivu nema bitnijih dotoka, a dobija se na padu. 26

27 Kriva trajanja 11 Q(m3/s) 10 KRIVA TRAJANJA VOD OTOK:JELOVIC A EP : LUB N IC E 9 8 Po regionalnoj analizi Qi = 2.11 m3/s Qsr = % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje(%) Energetski profil: Lubnice sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: LUBNICE 27

28 Tabela 1a Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga MW Energija 3.23 GWh Predlaže se instalacija dva agregata snage po 400 kw. 2. Rijeka Trepačka, energetski profil "Trepča" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1150 mnm KDV: 720 mnm - Bruto pad: H br = = 430 m - Dužina derivacije L = 3.1 km - Neto pad H nt = H br 0.3 x Hbr = 0.7 x H br = 301 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.5 x Q sr = 1.5 x = 1.15 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 23% ili 84 dana. I u ovom slučaju uslovi u slivu su nam dozvolili da sa vodozahvatom poñemo uzvodno i tako dobijemo uvećani bruto pad od čitavih 430 m. 28

29 Kriva trajanja 5.5 Q(m 3 /s) 5 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK:T R EP AČ KA R IJEKA EP : T R EPČ A Po regionalnoj analizi Qi=1.15 m3/s Qsr=0.764 m3/s dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajanje (%) % Energetski profil: Trepča sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: Trepča 29

30 Tabela 2 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 2.94 MW Energija 12.1 GWh Predlažemo instalaciju pet agregata snage po 600 KW. 3. Rijeka, Kraštica energetski profil "Kralje" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 840 mnm KDV: 760 mnm - Bruto pad: H br = = 90 m - Dužina derivacije L = 3.1 km - Neto pad H nt = H br 0.3 x Hbr = 0.7 x H br = 63 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.8 x Q sr = 1.8 x = 1.5 m 3 /s 30

31 Kriva trajanja 9 Q(m3/s) 8 KRIVA TRAJANJA V OD OT OK: KR A ŠT IC A E P : KR A LJE 7 6 Po regionalnoj analizi Qi = 1.5 m 3 /s Qsr = m 3 /s 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje(%) 365 dana Energetski profil: Kralje sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: KRALJE Neiskorišćene vode prosječno traju 23% ili 84 dana. 31

32 Tabela 3 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga MW Energija 3.1GWh Predlaže se instalacija dva agregata snage po 400 KW. 4. Rijeka, Velička energetski profil "Velika" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1000 mnm KDV: 880 mnm - Bruto pad: H br = = 120 m - Dužina derivacije L = 3.0 km - Neto pad H nt = H br 0.3 x Hbr = 0.7 x H br = 84 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x = m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 24% ili 88 dana godišnje. 32

33 Kriva trajanja 1.6 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK: VELIČ KA R IJEKA EP : VELIKA 1.4 Q(m3/s) Po regionalnoj analizi Qi =0.488 m3/s Qsr=0.305 m3/s % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje (%) Energetski profil: Velika sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: VELIKA 33

34 Tabela 4 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga MW Energija 1.52 GWh Predlaže se instalacija jednog agregata snage 400 KW. 5. Rijeka, Murinska energetski profil "Murino" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1000 mnm KDV: 860 mnm - Bruto pad: H br = = 140 m - Dužina derivacije L = 3.0 km - Neto pad H nt = H br 0.25 x Hbr = 0.75 x H br = 105 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x = m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 25% ili 91 dana godišnje. 34

35 Kriva trajanja 3.5 Q(m3/s) 3 KRIVA TRAJANJA VODOTOK: M URINSKA RIJEKA EP : M URINO 2.5 Po regionalnoj analizi Qi = m 3 /s Qsr = 0.512m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 % Trajanje (%) Energetski profil Murino sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: MURINO 35

36 Tabela 5 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) o o (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga MW Energija 3.02 GWh Predlaže se instalacija dva agregata snage po 400 KW. 5a. Rijeka, Murinska energetski profil "Murino-uzvodno" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1200 mnm KDV: 860 mnm - Bruto pad: H br = = 340 m - Dužina derivacije L = 3.6 km - Neto pad H nt = H br 0.35 x Hbr = 0.65 x H br = 221 m - Q sr = m 3 /s - Q sr = Q s 10%Q s = m 3 /s - Q i =1.6 x Q sr = 1.6 x = m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 25 % ili 91 dan godišnje. Uzvodni profil smo izabrali iz istih razloga kako je to ranije navedeno za prethodne profile. 36

37 Kriva trajanja 3 Q(m3/s) 2.5 KRIVA TRAJANJA VOD OT OK: M UR IN SKA R IJEKA EP : M UR IN O uzvo dno 2 Po regionalnoj analizi Qi = m 3 /s Qsr = 0.461m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajanje (%) % Energetski profil: Murino-uzvodno sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: MURINO 37

38 Tabela 5a Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1.39 MW Energija 5.78 GWh Predlaže se instalacija tri agregata snage po 500 kw. 6. Rijeka, Babinopoljska energetski profil "Babino polje" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1400 mnm KDV: 1060 mnm - Bruto pad: H br = = 340 m - Dužina derivacije L = 3.7 km - Neto pad H nt = H br 0.35 x Hbr = 0.65 x H br = 221 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.35 x Q sr = 1.35 x = m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 19 % ili 69 dan godišnje. 38

39 Kriva trajanja 10 KRIVE TRAJANJA I UČESTALOSTI VOD OT OK: B A B IN OP. R IJEKA EP : B A B IN O P OLJE Q(m3/s) Po regionalnoj analizi Qi=1.213 m 3 /s Qsr=0.817 m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajanje (%) % Energetski profil: Babino polje sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: BABINO POLJE 39

40 Tabela 6 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 2.28 MW Energija 8.24 GWh Predlaže se instalacija četiri agregata snage po 600 KW. 6. Rijeka, Komarača energetski profil "Jara" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1060 mnm KDV: 920 mnm - Bruto pad: H br = = 140 m - Dužina derivacije L = 3.7 km - Neto pad H nt = H br 0.35 x Hbr = 0.65 x H br = 91 m - Q sr = 2.35 m 3 /s - Q i =1.45 x Q sr = 1.45 x 2.35= 3.4 1m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 27 % ili 98 dana godišnje. 40

41 Kriva trajanja 16 Q(m3/s) 14 KRIVA TRAJANJA VODOTOK: KOMARAČA EP: JARA 12 Po regionalnoj analizi Qi =3.41 m 3 /s 2 Qsr=2.35 m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajane (%) % Energetski profil: Jara sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: JARA Neiskorišćene vode prosječno traju 27% odnosno, 98 dana godišnje. 41

42 Tabela 7 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 2.64 MW Energija 10.8 GWh Predlaže se instalacija pet agregata snage po 600 kw. 7. Rijeka, Trokutska energetski profil "Hoti" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1080 mnm KDV: 820 mnm - Bruto pad: H br = = 260 m - Dužina derivacije L = 2.1 km - Neto pad H nt = H br 0.25 x Hbr = 0.75 x H br = 195 m - Q sr = m 3 /s - Q i =1.5 x Q sr = 1.5 x = 0.815m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 20% odnosno 73 dana godišnje. 42

43 Uzvodni profil smo izabrali iz istih razloga kako je to ranije navedeno za prethodne profile. Kriva trajanja Q(m 3 /s) KRIVA TRAJANJA VOD OTOK:TR OKUTSKA RIJEKA EP : H OT I 3.5 Po regionalnoj analizi Qsr=0.543 m 3 /s Qi = m 3 /s dana 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Trajanje(%) Energetski profil Hoti sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: HOTI 43

44 Tabela 8 Trajanje (%) (dani) Neto pad H nt (m) Protok Q s (m 3 /sec) Srednji protok Q sr (m 3 /sec) Snaga N (KW) Snaga N (MW) (dana) (časova) Parcijalna energija E p (MWh) Sumarna energija E (GWh) Snaga 1.35 MW Energija 5.97 GWh Predlaže se instalacija tri agregata snage po 500 KW. 8. Rijeka, Grlja energetski profil "Donje Vusanje" Parametri potrebni za proračun: - KGV: 1000 mnm KDV: 930 mnm - Bruto pad: H br = = 70 m - Dužina derivacije L = 1.85 km - Neto pad H nt = H br 0.2 x Hbr = 0.8 x H br = 56 m - Q sr = 3.21 m 3 /s - Q i =1.3 x Q sr = 1.3 x 3.21 = 4.33 m 3 /s Neiskorišćene vode prosječno traju 23% odnosno 84 dana godišnje. 44

45 Kriva trajanja KRIVA TRAJANJA VODOTOK: GRLJA EP: VUSANJE Q(m 3 /s) Po regionalnoj analizi Qi=4.33 m 3 /s 2 Qsr=3.21 m 3 /s 365 dana 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100 Trajanje (%) % Energetski profil: Vusanje sa kotama gornje i donje vode i duzinom derivacije HS: GRLJA 45

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

MJESEČNI IZVJEŠTAJ SLUŽBE ZA TRŽIŠTE ELEKTRIČNE ENERGIJE. AVGUST god.

MJESEČNI IZVJEŠTAJ SLUŽBE ZA TRŽIŠTE ELEKTRIČNE ENERGIJE. AVGUST god. MJESEČNI IZVJEŠTAJ SLUŽBE ZA TRŽIŠTE ELEKTRIČNE ENERGIJE AVGUST 2016. god. Izvještaj je urađen korišćenjem podataka aplikacije Market management- COTEE, GoogleEarth 1 81 GWh GWh 38 GWh 43 GWh RAZMJENA

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovoi.zaata. Iz va velia otvorena rezervoara sa istim nivoima H=0 m ističe voa roz cevi I i II istih prečnia i užina: =00mm, l=5m i magisalni cevovo užine L=00m, prečnia D=50mm.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Obnovljivi izvori energije

Obnovljivi izvori energije Obnovljivi izvori energije i odrziv razvoj Energija vodenih tokova (hidroenergija) Energija plime i oseke Energija morskih struja Energija valova Obnovljivi izvori energije 1 EJ/god TWh/god Solarno zracenje

Διαβάστε περισσότερα