INFRACRVENA TERMOGRAFIJA (TERMOVIZIJA) PRAVI IZBOR ZA REDOVNO ODRŽAVANJE
|
|
- Νέφθυς Λαιμός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Konferencija ODRŽAVANJE 2010 Zenica, B&H, juni INFRACRVENA TERMOGRAFIJA (TERMOVIZIJA) PRAVI IZBOR ZA REDOVNO ODRŽAVANJE Krešimir Petrović, Ing.el.teh., Level 2 termografist kostelgrad@kostelgrad.hr REZIME Infracrvena tehnologija našla je svoje mjesto u industriji za osiguranje i održavanje kvalitete neophodne na današnjem globalnom tržištu. Primjenjuje se i u medicini, astronomiji, građevinarstvu, znanstvenoj djelatnosti, u održavanju kao novi alat za održavanje po stanju. U okviru zaštite od požara, termografski se sustavi koriste za otkrivanje latentnih požara, pronalaženje osoba u objektu zahvaćenom požarom, kod testiranja elemenata na otpornost od požara. Koristi za i pri nadzoru objekata i prostora, prometa, zagađenja okoliša. U zgradarstvu je njezina primjena kod ispitivanja kvalitete izolacije objekta, utvrđivanje mjesta s povećanom vlagom. Termografskim snimanjem zgrada, te kasnijom stručnom interpretacijom moguće je locirati nedostatke konstrukcije i usmjeriti zahvate na rekonstrukciji prema optimalnom poboljšanju energetske efikasnosti sustava zgrade (energetske iskaznice zgrada). Posebno je naglašena primjena IC termografije kasnije pri održavanju i korištenju objekta. Pri zaštiti lokaliteta kulturne baštine IC tehnologija vrši kontrolu bez razaranja. Ključne riječi: infracrvena (IC) termografija, IC uređaj (IC kamera), termovizija, temperatura, emisivnost, IC zračenje, elektromagnetski (EM) valovi 1. O ČEMU SE ZAPRAVO RADI?! IC termografija je beskontaktna metoda mjerenja temperature i njezine raspodjele na površini tijela. Temelji se na mjerenju intenziteta infracrvenog zračenja s površine promatranog tijela. Da bi se temperatura na daljinu uopće mogla mjeriti, potrebna je neka informacija o toj temperaturi. Ta informacija sadržana je u fizičkom zakonu prema kojemu sva tijela odašilju energiju: W = f ( ε, T ), gdje je ε koeficijent sposobnosti odašiljanja (emisije) i ovisi o kemijskom sastavu materijala, a T je temperatura u K. Iz ovog zakona je vidljivo, s obzirom da 0 K odgovara temperaturi od 273,3 C (apsolutnoj nuli), da na toj temperaturi nema zračenja energije. No ovakve niske temperature nalaze se u dalekom svemiru i može se reči da sve što nas okružuje odašilje energiju u obliku topline. Poznato je i da sva tijela iznad temperature apsolutne nule zrače, ovisno o kretanju svojih molekula kao posljedicom djelovanja temperature, to zračenje je veće ili manje. Naravno niti svi materijali ne zrače istim intenzitetom. Znane su točne ovisnosti koliko energije zrače pojedini materijali ovisno o svojoj temperaturi. Odašiljanje te energije događa se u obliku elektromagnetskih valova i to je dobro poznata pojava s obzirom da elektromagnetske valove koristimo u životu u raznim 327
2 oblicima. Dakle, nositelj energije je elektromagnetski val valne duljine od 2 μm do 13 μm. Iste takve valove, ali valne duljine od 0.4 μm do 0.75 μm mi vidimo kao optičku svjetlost, dok nam valna duljina određuje boju. Da valne duljine zamjećujemo i u infra spektru bili bismo zaslijepljeni - energijom, jer sva tijela odašilju energiju. I sada je jasno da je uloga IC kamere da nam prenese sliku iz oku nevidljivog područja u vidljivu sliku. Elektroničkim putem stvara se termička slika promatranog objekta u realnom vremenu pri IC uređaju - kameri, a tu se jedan dio spektra elektromagnetskih valova oku nevidljiv (onaj od 2 μm do 13 μm) koji sadrži velik broj informacija o promatranom, premješta u oku vidljivo područje (ono od 0,4 μm do 0,75 μm). Tako dobivenu sliku moguće je analizirati kao emitiranu toplinsku energiju objekta, snagu zračenja prispjelu na detektor IC kamere, a uz primjenu poznatih zakonitosti fizike. Za ovu tehniku mjerenja znani su i nazivi IC radiometrija u medicini ili termovizija za kvalitativna praćenja. Jednostavno, IC mjerenja možemo podijeliti i u dvije grupe: kvalitativna i kvantitativna. Za prva je važno da registriramo i uočimo, za druga da precizno mjerimo. Dakle s jedne strane imamo zahtjeve na preciznu i dobru vidljivost (optiku) u IC spektru EM valova (vojska, policija, vatrogastvo, službe spašavanja), a s druge pak strane zahtjevi su za preciznim i umjerenim instrumentom koji je u stanju registrirati temperaturne promjene u tisućinkama stupnja kelvina ( K) odnosno celzijusa ( C), doznačenih i reflektiranih od objekta ka detektoru IC kamere. Za otkriće infracrvenog (IC) zračenja zaslužan je fizičar Sir William Herschel ( ). On je godine 1800-te već bio poznat po svom otkriću planeta Urana, koji je bio prvi planet otkriven pomoću teleskopa. Herschel je zapazio kako svijetlo koje prolazi kroz različito obojene filtere različito zagrijava stvari, pa je odlučio napraviti eksperiment kako bi testirao svoje zapažanje. Upotrijebio je prizmu da razluči bijelu svijetlost u boje spektra. Termometar je stavio na jednu od razlučenih boja spektra, dok su ostali termometri bili bez utjecaja svjetla. Oni su mu služili kao kontroleri eksperimenta. Mjereno u jednakim vremenskim intervalima primjetio je da su dobivene vrijednosti sve veće kako ide prema crvenoj svijetlosti, npr. zelena svjetlost činila je termometar toplijim nego plava svjetlost, žuta svjetlost činila je termometar toplijim nego zelena svjetlost, dok je crvena svjetlost učinila termometar najtoplijim. Zainteresiran tim rezultatom odlučio je postaviti termometar izvan razlučenog spektra odmah uz crvenu boju. Postavljeni termometar postigao je maximalnu vrijednost, a Herschel je zaključio da postoji još neko zračenje izvan oku vidljivog spektra, kojemu su priroda i svojstva jednake svjetlosti, nazvao ga infracrveno zračenje. 2. INFRACRVENO ZRAČENJE Infracrveno (IC) zračenje dio je elektromagnetskog (EM) spektra i počinje ispod vidljivog dijela spektra, a proteže se do preko 200 µm, kada IC zračenje prelazi u mikrovalno područje koje je gornji nivo radio valova. Za praktičnu primjenu u termografiji IC spektar je prihvatljiv u području 2µm do 13 µm. Za vrijednosti ispod 2µm, pa do gornje granice oku vidljivog područja, kažemo da ulaze u blisko infracrveno područje (NIR - near infrared), područje u kojem postoje posebni NIR IC uređaji i koriste se za medicinsku i farmaceutsku dijagnostiku, dijagnostiku hrane i agrokemijsku kontrolu kvalitete, te pri istraživanju izgaranja. 328
3 Slika prikazuje primjenu spektra elektromagnetskih valova sa naglaskom na nama korisno područje za infracrvena mjerenja (IR). Kada bi govorili o stupnju informacija koje nam ono daje i donosi, onda bi jednostavno mogli kazati da se tu nalazi izuzetno velik broj korisnih podataka, ali našim očima nedostupnih. Vidljivo X-Valovi UV IR Mikrovalovi Radiovalovi NIR 10nm 100nm 1µm 10µm 100µm 1mm 10mm 100mm 1m 10m 100m 1km 2µm 13µm Kao što vrijedi za vidljivi dio spektra, i IC zračenje se pokorava osnovnim zakonima koji vrijede za elektromagnetsko zračenje. Ono se razlikuje samo po valnoj duljini i frekvenciji. Kako IC zračenje nije vidljivo, za praktičnu primjenu mora se pretvoriti u neki drugi oblik energije: električnu, mehaničku ili kemijsku. Ta pretvorba odvija se dakle u tim posebnim IC uređajima uz upotrijebu detektora koji pak uključuju termoparove, termometre, bolometre, fotografske ploče ili fotočelije. Za korisnika je svakako primjena od primarnog interesa, a način konverzije je sporedan. Danas proizvedeni uređaji za detekciju IC zračenja svrstavaju se u dvije kategorije: one za mjerenje temperature (radiometrija) i one za snimanje raspodjele temperature na površini objekata (termografija). 3. UREĐAJI ZA DETEKCIJU IC ZRAČENJA (IC KAMERE) Primjena infracrvenog zračenja, tkzv. infracrvena tehnika počela se značajnije razvijati tek u drugom svjetskom ratu. Posebno se razvila primjena u vojne svrhe, za snimanje terena iz aviona ili umjetnih satelita, te za industrijsku kontrolu. Od sredine 60-ih godina postoje na komercijalnom tržištu razni tipovi kamera. Početni tipovi kamera bili su vrlo spori, dok se današnji tipovi kamera kvalitetom slike mogu izjednačiti sa TV-om. Svi tipovi kamera koriste tkzv. optomehaničko skeniranje, te se zovu još i IC skeneri (u početku su bili skeneri dio IC sistema, kao i dio za pohranu slike, računalo ili procesor). Današnje kamere ujedinjuju sve funkcije u sebi. U drugoj polovici 80-ih javljaju se za razliku od ranijih tipova koji imaju samo jedan detektor i gdje se slika stvara mehanički, tkzv. kamere koje koriste više detektora. Naime slika sa objektom prenosi se preko optike na matricu detektora koja se sastoji od stotinu linija, a svaka linija od stotinu detektorskih elemenata koji pokrivaju čitavu površinu na koju se projecira slika. Takav tip detektora zove se FPA (Focal Plane Array). To stvaranje slike mehanički, tkzv. tehnologijom rotirajućih prizmi, zahtijevalo je posebno hlađenje uređaja tekućim dušikom što je ograničavalo dodatnu mobilnost uređaja, pa se IC kamere upotrebljavaju laboratorijski. Tek daljnji razvoj tehnologije hlađenja detektora omogućio je da i IC kamere budu pokretne poput klasične video kamere i polako uđu i u komercijalnu primjenu, prvotno u sustave održavanja elektroenergetskih postrojenja. 329
4 Pioniri IC snimanja (kompanije AGA i Bofors) Današnja IC kamera firme FLIR IC kamera uzima u obzir koeficijent emisije, udaljenost objekta, temperaturu okoline, te sve te podatke obrađuje u svom procesoru i kao rezultat daje točnu temperaturu površine mjerenog objekta. Znači, primjena infracrvene termografija moguća je tamo gdje se na temelju temperaturne razlike prema referentnom uzorku može napraviti analiza mjerenoga. To znači pak da nije dovoljno samo snimiti objekt IC kamerom, već je potrebno i snimljeno analizirati posebnom PC opremom i programskom aplikacijom te izradi protokol IC snimanja. 4. ODRŽAVANJE UZ PRIMJENU IC UREĐAJA Za svakog korisnika IC termografije, snimka se obraduje računalom posebnom programskom aplikacijom za analizu IC zapisa, a završno se izdaje Protokol - Izvješće (ili nalaz - atest) snimljenog sa naznakom defekta i preporukom sanacije. Upravo je definiranje i prepoznavanje graničnih vrijednosti otkrivenih nepravilnosti predmet izučavanja i poznavanja pojedine grane djelatnosti i svakako zahtijeva stručne analize koje se stječu kroz obvezno školovanje termografista i naravno iskustvo u raznim radnim uvjetima. Kao bezkontaktna temperaturna mjerna metoda infracrvena termografija omogućuje korisniku otkrivanje raznolikih potencijalnih grešaka i to bez potrebe prekida procesa proizvodnje i troškova koji su povezani tim prekidom! Pojava zagrijavanja u mnogim slučajevima ukazuje na stanje kvara. Termografskim se uređajima mogu vrlo dobro pratiti stanja elemenata za prijenos električne energije, rashladnih postrojenja, transformatorskih stanica, kao i same proizvodnje električne energije. Jednako tako može se pratiti stanje izolacije, mreže cjevovoda u procesnoj industriji, vrelovoda u toplinarstvu, kvalitete obloga peći za taljenje, rotacijskih peći u cementnoj industriji, stanje ležajeva na strojevima. U okviru zaštite od požara, termografski se sustavi koriste za otkrivanje latentnih požara, pronalaženja osoba u objektu zahvaćenom požarom, ispitivanja elemenata na otpornost od požara. Nadalje, IC termografija se koristi za nadzor objekata, prostora, prometa i zagađenja okoliša. U zgradarstvu se primjenjuje kod ispitivanja kvalitete izolacije objekta, utvrđivanja mjesta s povećanom vlagom, itd. Primjenjuje se i u medicini, znanstveno-istraživačkom radu iz područja provođenja topline, mehanike fluida, kontrole bez razaranja zaštite kulturne baštine. Primjenu ove tehnologije u vojne svrhe nije potrebno naglašavati IC termografija pri kontroli elektroenergetskih (ee) postrojenja Pomoću primjene IC termografske tehnike i IC uređaja moguće je kako je spomenuto za normalnog pogonskog stanja, bez ostvarivanja kontakta s objektom kojeg se ispituje, otkrivanje povišenog zagrijavanja električkih i mehaničkih komponenti, čime se sprječavaju ozbiljni kvarovi odnosno ukazuje se na lošu ili neodgovarajuću toplinsku izolaciju. Na taj način smanjuje se broj neplaniranih ispada pogona. Izravni učinci očituju se u ubrzanju postupka dijagnosticiranja kvara i provjeri poduzetih zahvata, uštedi energije, zaštiti kapitalne opreme, kao i smanjenju premija osiguranja (za sada u EU). Maksimaliziranjem raspoloživosti opreme, uz potvrdu njene pouzdanosti, ali i ukazujući na moguća kritična 330
5 mjesta, povećava se i ukupno vrijeme rada, odnosno proizvodnje. Ispitivanje električne opreme najčešće ukazuje na probleme uzrokovane odnosima struje i napona. Općenito, "toplo mjesto" u električnom strujnom krugu pojavljuje se kao posljedica npr. nedovoljno pritegnutog, oksidiranog ili korodiranog spoja, ali i nepravilnog rada samog aparata. Zato i IC termografija nalazi primjenu u područjima kao: proizvodnja el. opreme, preventivno održavanje postrojenja (u proizvodnji el. energije, u prijenosu i distribuciji, u industriji i transportu). Stanje ee opreme na kojoj je uočeno povećanje temperature (prema novoj klasifikaciji) može se po Joule-ovom zakonu procijeniti temeljem kriterija prema poznatoj referentnoj i korektnoj temperaturi, gledano pod istim radnim uvjetima, i uzimanjem u obzir dobivene temperaturne razlike izražene kroz delta t : Delta T preko 30 C ili ako je apsolutna temperatura preko 80 C.... Klasa 'A' Zahtjeva HITNU intervenciju! Delta T od 5 C do 30 C..... Klasa 'B' Zahtjeva intervenciju kod prvog zaustavljanja pogona! Delta T do 5 C..... Klasa 'C' Zahtijeva praćenje stanja i planiranje skore intervencije! Ova klasifikacija stanja el. opreme urađena je prema "itc"-u (Infrared Training Center). Da bi se odredilo nazivno povišenje temperature kod opterećenja koja su manja od 100% - tnog, koristimo dakle za izračun Jouleov zakon, što je također predmet spomenutog školovanja termografista. Preporuča se za kontrolu i inspekciju ee postrojenja uvođenje tzv. "ciklusa održavanja" pomoću IC praćenja stanja el. opreme, a koji se može prilagoditi gotovo svakoj industrijskoj sredini. Tako se npr. mogu dobiti podaci: o tipovima popravaka, o broju komponenti koje su zamijenjene, o potrebnom broju rezervnih dijelova, o ostalim važnostima za pogonsku spremnost postrojenja. Moguće je izvršiti ocjenu efikasnosti urađenih popravaka kao i njihovog periodičkog praćenja, a koje ima za cilj smanjenje kvarova, posebno onih najtežih. Ovako generirani podaci omogućavaju povratnu vezu koja je nužna u stvaranju efikasnog sustava održavanja postrojenja. To je upravo pravi razlog uvođenja preventivnih pregleda metodom IC termografije. Daljnjom detaljnom analizom, koliko opada broj godišnjih kvarova s brojem godišnjih kontrola IC termografijom, došli bi do izuzetnih rezultata: ako je godišnji broj kvarova nekog energetskog postrojenja 100, onda već kod primjene jedne IC termografije on iznosi 85, kod dvije primjene godišnje to je 45, a kod tri IC termografije godišnje (znači svaka četiri mjeseca) pada na fantastičnih 28! Naveden je dijagram kako bi to grafički mogli prikazati: Nekoliko primjera IC termografijom registriranih nepravilnosti ee postrojenja: Izlaz 10kV iz TS na dalekovod Dosjed VN osigurača u RO pri VN dijelu TS 331
6 Dosjed osigurača u RO pri NN dijelu TS Spoj VN kabla na 10kV strani transformatora 4.2. IC termografska kontrola gubitaka toplinske energije Pomoću IC opreme moguće je na daljinu mjeriti temperaturu objekta, vidjeti gdje nastaju gubici toplinske energije iz zgrada, procesnih postrojenja i slično, toplovodnih ili parovodnih cijevnih instalacija i elemenata (podzemnih i nadzemnih), kontrolirati požare. Pojava zagrijavanja u mnogim slučajevima ukazuje na greške. Termografskim se uređajima vrlo dobro mogu pratiti stanja izolacije, mreže cjevovoda u procesnoj industriji, vrelovoda u toplinarstvu pri distribuciji tople vode i pare, kontrolirati izmjenjivače topline i kotlove, kvalitetu obloga peći. Pri kontroli podzemnih instalacija mreže vrelovodnih cijevi (raznih presjeka) u gradskoj distribuciji od toplane do toplinskih stanica u stambenim objektima, IC termografija zauzima sve značajniju ulogu. Uz pomoć IC kamere moguće je pratiti podzemnu instalaciju cijevi i na osnovu računalne IC analize, te usporedbe sa izvedbenom tehničkom dokumentacijom, vrlo precizno odrediti mjesto defekta - propusta, odnosno mjesto otvaranja (podzemne vrelovodne instalacije nalaze se na dubini od 0.80m i do više od 2.00m). Ponekad dokumentacija nije potrebna jer je puknuće cijevi toliko da se nepravilno grije veća površina iznad defekta. Važno je pri ovakvom praćenju paziti na "vanjske utjecaje" koji mogu toliko "iskriviti" IC sliku da dovedu do krivih rezultata interpretacije (npr. utjecaj sunčevih zraka na mjerenu površinu, prije parkirano vozilo na trasi prolaza cijevi vidljivo je vise sati, drveće uz trasu, okolne kanalizacijske cijevi i propusti kanalizacije, refleksije ulične rasvjete, vlažnost površine, utjecaj vjetra i dr.). Zato pri završnoj analizi IC zapisa i pri kreiranju protokola za toplinske podzemne mreže snimane u raznim godišnjim dobima, danju ili noću, o "vanjskim utjecajima" i njihovoj emisiji treba posebno voditi računa. Ponekad je potrebno koristiti i druge metode dijagnostike, npr. prislušni uređaj poznat i pod nazivom echo-sonder, i usporediti dobivene rezultate. Naravno zbog hitnosti takovih intervencija neophodno je dobro poznavanje svih mogućih metoda, a posebno IC tehnike. Kako je ovo nova metoda praćenja stanja vrelovodnih podzemnih instalacija neophodno je snimiti "početno stanje" za kontinuirano praćenje i uredno ažurirati svaku promjenu (zahvat pri otklonu kvara). Tako se mogu registrirati podaci o kvaliteti izolacije, pa čak i definirati gubici. Samo praćenje moguće je organizirati na više načina. Za napomenu je da se najbolji rezultati postižu snimanjem iz zraka! Nekoliko primjera IC termografijom registriranih nepravilnosti: Propust magistralnog podzemnog Pogled iz helikoptera na propust Propust instalacije ispod Vrelovoda magistralnog vrelovoda tram. tračnica 332
7 4.3. IC termografija u zgradarstvu IC mjerenjem fasadne izolacije zgrade dolazi se do podataka o kvaliteti toplinske izolacije, a time i do spoznaje o uštedi energije. Mjeri se postojanje "toplih mjesta", mjesta rasipanja energije. Kod mjerenja propusta krovne izolacije traže se područja vlaženja. Ovdje pak treba paziti pri izdavanju završne analize jer se propusti javljaju na jednome mjestu, a stvarno "curenje" se događa sasvim na drugome mjestu. Zato je obvezna tehnička dokumentacija objekta za ispravno tumačenje snimljenog, ili pak veliko iskustvo termografista. Infracrvena termografija je dakle izuzetno korisna metoda za vizualizaciju toplinskih gubitaka kroz elemente konstrukcije kod istraživanja i unapređivanja energetske efikasnosti zgrada. Pomoću termografskih snimaka elemenata građevne konstrukcije moguće je u njima, neagresivnom metodom prepoznati nedostatke vezane uz toplinske karakteristike. Sposobnost termografskog uređaja (IC kamere) da brzo i efikasno registrira male razlike temperature čine ga pogodnim za određivanje diskontinuiteta temperaturne razdiobe na površini građevinske opne. Termografskim snimanjem zgrada, te kasnijom stručnom interpretacijom moguće je locirati nedostatke konstrukcije i usmjeriti zahvate na rekonstrukciji prema optimalnom poboljšanju energetske efikasnosti sustava zgrade. Od 01. listopada u Republici Hrvatskoj stupio je na snagu «Zakon o prostornom uređenju i gradnji» koji prihvaća IC termografska mjerenja u građevinarstvu kao metodu pri analizi energetske učinkovitosti objekata (pronalaženje toplinskih mostova ovojnice objekta, propusta pri izolaciji objekta), a kao mjerna metoda bez razaranja omogućuje i pronalaženje mjesta propustnosti hidroizolacije i vlaženja u prostor. Pri održavanju i korištenju objekata ukazuje se na mjesta nepravilnosti, propusta ili puknuća položenih instalacija: podnih, zidnih, stropnih! A od 31. ožujka ove godine, u svrhu energetske učinkovitosti objekata, Republika Hrvatska počela je sa primjenom regulative o energetskoj certifikaciji zgrada i izdavanju energetskih iskaznica u zgradarstvu za sve javne objekte površine veće od 1000 m 2, te za sve objekte koji su predmet prodaje, najma ili leasinga. IC termografija uključena je kao metoda u energetske preglede! Nekoliko primjera IC termografijom registriranih nepravilnosti u zgradarstvu Loša izvedba izolacije, dolazi do kondenzacije i vlaženja Loša izolacija vrata, veliki gubici toplinske energije Nema izolacije pročeljnih površina, veliki gubici topline 333
8 Kameni svod oko prozora ukazuje na nekadašnji kolni ulaz (pročelje kompletno uređeno i restaurirano zgrada Općine Varaždin, ali se zbog različitih materijala IC nazire ugrađeni nekoliko stotina godina stari kamen) 4.4. IC termografija za detekciju propusnosti plina i plinskih instalacija Primjenom najnovije tehnologije za detekciju propusnosti plina i plinskih instalacija, kako nadzemnih tako i podzemnih, moguća je detekcija više vrsta plinova, što ovisi o ugrađenom IC detektoru u samu kameru i o njegovoj selektivnoj karakteristici u IC području elektromagnetskih valova. Ta tehnološka novost zove se GasFindIR kamera i dolazi od prvog svjetskog proizvođača IC uređaja firme FLIR. 5. ZAKLJUČAK Često je teško procijeniti velike gubitke nastale oštećenjem uređaja i postrojenja u radu, npr. zbog prekida el. energije ili pregrijavanja motora u procesu proizvodnje, velike gubitke toplinske energije zbog npr. nepoznatog propusta podzemne vrelovodne instalacije ili pak zbog loše izvedene toplinske izolacije u zgradarstvu, odnosno njenog propusta. Također je prilično teško kvantitativno izmjeriti dobitke od pravovremenog programa preventivnog održavanja. No kada se predaju tehnički izvještaji o neplaniranom prekidu procesa proizvodnje, mimo planiranog i kalkuliranog redovnog održavanja, dolazi se do velikih iznosa. Poznato je da broj kvarova, pogotovo u procesnoj industriji, predstavlja jako velike troškove pa su i uštede koje se postižu uvođenjem i primjenom IC termografije izuzetno velike. Uz redovitu i svakako ispravnu primjenu pri održavanju, IC termografija maximalno će se zaštititi uređaje i njihovu ispravnost, otkriti finese potencijalnih kvarova i uvijek omogućiti popravak u najpovoljnijem trenutku za korisnika. Sigurno je da će se redovitim uvođenjem i primjenom IC termografije pojavljivati i sve više aplikacija i mogućnosti njene primjene kao bezkontaktne mjerne metode i metode ispitivanja bez razaranja, a uvođenjem tkzv. ciklusa održavanja IC praćenjem stanja opreme, koje se može prilagoditi gotovo svakoj industrijskoj sredini, ostvarit će se povratna veza između održavanja i planiranja tog održavanja koja je nužna u stvaranju učinkovitog sustava održavanja postrojenja. No treba znati da će se paralelno sa uvođenjem IC termografije u sustav redovnog održavanja pojaviti potreba za školovanim termografskim kadrom i da je neophodna kvalitetna organizacija i pristup toj izobrazbi prema važećim i propisanim pravilima i normama. U Republici Hrvatskoj osnovana je g. Udruga za infracrvenu termografiju (HUICT) koja je g. primljena u punopravno članstvo EU nacionalnih udruga i koja vodi evidenciju ovlaštenja termografista i sudjeluje u provedbi školovanja na međunarodnoj razini, osnovanom pri Građevinskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu. Korištena dokumentacija i IC slike KOSTELGRAD-a. Fotografije kamere od firme FLIR Systems. Objavljeno i na internet stranicama:
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPrimjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina
Primjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina Dr.sc. Lovre Krstulović-Opara, red. prof. Edo Modun, dipl. oecc. Katedra za konstrukcije Fakultet elektrotehnike strojarstva i brodogradnje
Διαβάστε περισσότεραTROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Διαβάστε περισσότεραIC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI
IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI STUDIJ: USTANOVA: POSLIJEDIPLOMSKI FILOZOFSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Pripremili: Prof.dr.sc. Srećko Švaić, dipl.ing. Doc.dr.sc. Ivanka
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραINFRACRVENA TERMOGRAFIJA
Laboratorijska vježba: INFRACRVENA TERMOGRAFIJA STUDIJ: KOLEGIJ: DODIPLOMSKI STUDIJ Laboratorijski rad USTANOVA: SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Pripremili: Prof.dr.sc. Srećko Švaić, dipl.ing. Doc.dr.sc. Ivanka
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραH07V-u Instalacijski vodič 450/750 V
H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραInfracrvena termografija
Primjena termografije Infracrvena termografija građevinarstvo preventivno održavanje ispitivanje kvalitete proizvoda traganje, spašavanje, vojne svrhe, medicinska dijagnostika,. 1 2 Primjena termografije
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραAlarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότερα