Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel

Transcript

1 Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Zagreb, Petra Deković Terezija Guzmić Danijel Kolarić Petra Korenić Nina Mikolaj Marin Žuvela

2 Ovom nastavnom cjelinom uvode se u petom razredu osnovne škole decimalni brojevi. Učenici su u nižim razredima radili samo unutar prirodnih brojeva, te kroz prethodnu nastavnu cjelinu upoznali novu vrstu brojeva, razlomke, te tako proširili skup brojeva s kojima znaju računati. Sada će upoznati decimalne brojeve, novi način zapisivanja razlomaka. Taj novi zapis pokazat će se vrlo korisnim. S njime se lako radi, s decimalnim se brojevima lako računa. Uspoređujemo, zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo decimalne brojeve onako kako to činimo s prirodnim brojevima, uz poštivanje odgovarajućih pravila o položaju decimalne točke u rezultatu. Dobro usvajanje ove cjeline doista je od velike važnosti, decimalni brojevi se javljaju i s njima se računa u svakodnevnom životu, kao i u drugim školskim predmetima.

3 UVOD (ponavljanje): Ponavljamo mjerne jedinice i prebacivanje mjernih jedinica. N: Svakodnevno se susrećemo s raznim mjerenjima. Što sve možemo mjeriti? Duljine, površine, vrijeme, obujam, temperaturu... N: Koje mjerne jedinice za duljinu znate?... N: Koliko 1 centimetar ima milimetara? 10 N: A koliko ima 1 milimetar centimetra, odnosno 1 mm je koji dio centimetra? 10 1 N: Koliko ima 1 metar centimetra, a koliko milimetara? 10, 100 N: Koje mjerne jedinice za tekućinu znate? cl, l, ml, dl N: Koliko 1 litra ima decilitra, a koliko centilitra, te mililitara? 10, 100, 1000 N: A koliki je 1 mililitar dio litre? Priprema: Na nastavni sat donesemo olovke različitih duljina i ravnala.učenike podjelimo u grupe po pet do šest učenika te im damo olovke i ravnala. N: Svatko od vas ima olovku. Uzmite svoje olovke i izmjerite duljinu svojih olovaka....djeca mjere. Učenici A, B, C, D. N: Kolika je duljina vaših olovaka u milimetrima? 187mm, 106mm, 173mm, 141mm N: Bravo! Evo i ja sam izmjerila duljinu moje olovke,a duljina moje olovke iznosi 100mm. Nacrtajmo sada brojevni pravac i označimo 100mm Koliko to cm označavamo? N: Evo čuli smo da Ana ima olovku duljine 106 mm.to označimo na brojevni pravac. Kako bismo 106 mm označili na pravcu? Kao prije, te dodamo još 6 mm

4 N: Zapišimo sada 106mm pomoću centimetara i milimetara. Podsjetimo se koliko smo centimetara nanijeli. 10. N: Također smo dodali i 6mm, pa tih 106mm možemo zapisat u sljedećem obliku: 106 mm = 10 cm + 6 mm N: Kako možemo taj zapis još napisat ako umjesto 10cm pišemo mm? 106 mm = 110 mm + 6 mm N: Znamo da je 1 milimetar desetina centimetra. Kako možemo 106mm zapisat koristeći samo centimetre? cm 10 N: Ponekad se taj broj kraće zapisuje izostavljajući znak +. Kako bi onda taj oblik glasio? 6 10 cm 10 N: Istina je da je to kraći zapis, ali je pomalo nespretan za pisanje. Postoji znatno češći, jednostavniji i prirodniji način zapisivanja. 6 Umjesto 10 + pišemo Zapisan broj čitamo deset cijelih i šest desetinki. U zapisu broja 10.6, broj 10 predstavlja broj jedinica (cijelih centimetra), a 6 broj desetinki (desetina jedinice, tj. desetina centimetra). Međusobno su odvojeni točkom, ta se točka naziva DECIMALNA TOČKA. Lijevo od (ispred) decimalne točke zapisan je broj jedinica (cijelih), a desno (iza) broj desetinki (desetina jedinica). Duljina olovke koju smo mjerili je broj, a 10.6 je samo zapis toga broja koji nazivamo decimalni zapis tog broja. Stavimo sada naslov Dakle, možemo pisati: DECIMALNI ZAPIS BROJA = Vidimo dakle da nije riječ o novim brojevima, već samo o novom načinu pisanja poznatih brojeva. N:Gdje ste sve vidjeli decimalni zapis broja? U trgovinama,na bankovnim računima,raznim sportskim disciplinama,na ambalaži sokova... 4

5 N: Rješimo sada neke primjere: 1) Zapiši sljedeće brojeve u decimalnom zapisu: 9 8 a) 6 + b) c) d) ) Pročitajte gornje dobivene decimalne brojeve. 3) Napiši decimalni zapis sljedećih brojeva: a) tri cijela i šest desetinki b) dvanaest cijelih i tri desetinke c) dvadeset cijelih i šest desetinki 4) Ove decimalne zapise brojeva zapiši kao zbroj prirodnog broja i razlomka s nazivnikom 10: a) 6.8 b) 7.5 c) 0.4 N: I sami ste rekli kako možemo decimalni zapis broja primijeniti i na mjerenju volumena izraženog u litrama i decilitrima Priprema: Donijeli smo boce različitih veličina:0.33 l, 0.5 l, 1 l, 1.5 l,.5 l. Učenici komentiraju odnose veličina boca, te tako uočavaju povezanost oznaka litara boca sa decimalnim brojevima. Kao drugi način možemo umjesto mjerenja duljina olovaka mjeriti količinu tekućine u boci ( menzuri )... N: Koliko se tekućine nalazi u boci? 1 litra i 4 decilitra. N: Koliko 4 decilitra ima litara? 10 4 litre. N: Dakle, kako možemo kraće zapisati 1l i 4dl samo preko litre? l 10 N: Recite mi decimalni zapis ovog broja sada u boci promijenimo količinu tekućine, stavimo 0.5. N: Koliko se sad tekućine nalazi u boci? 5 decilitra N: Koliko je to litara?

6 N: Kako u tom broju nemamo niti jednu cijelu litru zapisani broj možemo promatrati u sljedećem obliku: Sada lako možete odrediti decimalni zapis boja Kako dakle izgleda zapis broja? 0.5 N: Na isti način bismo zapisali i broj =0+ = Kako bi izgledali decimalni zapisi sljedećih brojeva? (primjeri takvog tipa) = = 0. 3 = 0. 4 = = = 0. 7 = 0. 8 = N: Izmjerili smo da je duljina jedne od olovaka 116 mm. Kolika bi bila njena duljina u dm? 106 mm = 100mm + 6mm = = 1 dm + 6mm = 6 6 = 1 dm + dm = N: Kako bi izgledao decimalni zapis tog broja? N: Bravo! Taj broj čitamo jedan cijelih i šesnaest stotinki. Kolika bi bila duljina te olovke u metrima? mm = 0 + m = N: Kako bi izgledao decimalni zapis tog broja? N: Gornji broj čitamo nula cijelih i sto šest tisućinki. Na isti način broj 1 1 = i čitamo jedna tisućinka. Kako bi izgledali decimalni zapisi sljedećih brojeva? = = = = = = = = (primjeri kako bi izvježbali naučeno) 6

7 N: Naučili smo da razlomke čiji je nazivnik 10, 100, 1000 možemo zapisati u decimalnom zapisu. Recite neke primjere. (navode mnoge primjere) N: Takve razlomke čiji je nazivnik 10, 100, 1000, zovemo decimalni razlomci. N: Kako bi izgledali decimalni zapisi sljedećih brojeva? (nastavnik zadaje bojeve a učenici odgovaraju na pitanje) = 3 + = = = N: Broj čitamo 16 cijelih i šest tisuća tristo dvanaest deset tisućinki. Kako bismo sada pročitali ostale gornje zapise brojeva? N: Zapišite kao zbroj prirodnog broja i decimalnog razlomka ove brojeve: = = N: Vidjeli smo da se neki brojevi mogu pisati u decimalnom zapisu. Takvi brojevi nazivaju se decimalni brojevi. Stavimo sada naslov: DECIMALNI BROJEVI N: kako biste zapisali broj 1 u decimalnom zapisu, tj. Kao decimalni broj? (slika s mandarinom) mandarine = * = = 0. 5mandarine 5 10 N: Prisjetimo se nečeg što smo ranije naučili. Kako zovemo broj 1873? Kako biste rastavili broj 1873 na zbroj tisućica, stotica, desetica i jedinica? 1873 zovemo prirodan broj. 1873=1*1000+8*100+7*10+3*1 N: Izvrsno! Na kojem je mjestu znamenka desetice a na kojem stotica ako taj broj gledamo s desna na lijevo? Na drugom je mjestu znamenka desetice(7), a na trećem znamenka stotice(8). N: Tako je! Ta mjesta na kojima dolazi pojedina znamenka prirodnog broja zovemo dekadska mjesta. Koliko dekadskih mjesta ima broj 1765? 4. N: Koliko dekadskih mjesta imaju sljedeći brojevi? 847, 16439, Koja je znamenka desetica, stotica, tisućica, deset tisućica tih brojeva? (odgovaraju na postavljena pitanja) 7

8 N: Na isti način u zapisu decimalnog broja lijevo od decimalne točke su dekadska mjesta, a desno od decimalne točke je znamenka 9. Što nam 9 pokazuje? Znamenka 9 nam pokazuje koliko naš boj ima desetinki. N: Tako je! Kako biste sada rastavili broj na zbroj tisućica, stotica, desetica i jedinica? = 1* * *10 + 5*1+ N: Koliko je 116mm metara? Rastavite broj na zbroj stotica, desetica i jedinica te preračunajte dijelom prvo u decimetre i centimetre, pa onda u metre. 116 mm = 100mm + 10mm + 6mm = 1dm + 1cm + 6mm = = m + m + m N: Dakle, metara jednako je + + metara a u decimalnom zapisu to je broj N: Na isti način vrijedi 0.1= +. Napišite u obliku zbroja sljedeće brojeve: , 0.735, (pišu odgovarajuće jednakosti) N: Prepišite ove jednakosti i popunite prazna mjesta: = = = = N: Kako biste rastavili broj 1.968? = N: Taj broj možemo još rastaviti i ovako: = Vidimo da je decimalni broj jednak 1 cijelih (jedinica) plus 9 desetinke plus 6 stotinke plus 8 tisućinke. Koja znamenka stoji na prvom mjestu iza decimalne točke, koja na drugom, a koja na trećem? Na prvom mjestu iza decimalne točke stoji znamenka 9, na dugom je znamenka 6, a na trećem 8. 8

9 N: Znamenka 9 je znamenka desetinki, znamenka 6 je znamenka stotinki, a znamenka 8 je znamenka tisućinki. znamenka desetinki znamenka stotinki znamenka tisućinki znamenka desetica znamenka jedinica decimalna točka Kako bismo zvali mjesta iza decimalne točke? Decimalna mjesta. N: Tako je, a znamenku koja piše na decimalnom mjestu zovemo decimala. Prvo decimalno mjesto je mjesto desetinki, drugo decimalno mjesto je mjesto stotinki, treće decimalno mjesto je mjesto tisućinki, četvrto decimalno mjesto je mjesto deset tisućinki itd. Znamenka desetinki je prva decimala, znamenka stotinki je druga decimala, znamenka tisućinki je treća decimala itd. Koliko dakle broj ima decimala? 3 decimale ima. (primjeri kojima vježbamo dekadska mjesta i decimale ) N: Kako se zovu mjesta na kojima se nalaze znamenke koje razdvaja decimalna točka? Decimalna točka razdvaja dekadska mjesta od decimalnih. N: Tako je. Lijevo od decimalne točke su dekadska mjesta, a desno od decimalne točke su decimalna mjesta decimalna točka dekadska mjesta decimalna mjesta 9

10 N: Vratimo se ponovno zbrajanju prirodnog broja i decimalnih razlomaka = N: Ali znamo da vrijedi = pa vrijedi: = (ovo imamo i na powerpoint-u) Idemo još malo zbrajati. (nastavnik zadaje još takvih primjera za rješavanje, primjeri sa 10 i 100 u nazivniku) (učenici uočavaju da su ta dva broja jednaka i na temelju mnogih primjera prepoznaju sljedeće pravilo ) Ako iza posljednje znamenke nekog decimalnog broja dopišemo nulu dobiveni se broj ne mijenja. (crtež na foliji) (sada provjeravamo drugi smjer) N: Zašto je točno napisati 15.5=15.50 Zato jer smo tako rekli u gornjem pravilu. N: Uvjerimo se zašto je to točno: = 15 + = 15 + = Riješimo još takvih zadataka: = 7 + = 7 + = 7 + = 7 + = (i ovo na foliji) N: Znači da vrijedi: 7.3 = 7.30 = = = =. N: Što uočavate? Mijenja li se broj ukoliko dopišemo nule? Ne! N: Zapišimo sada pravilo: Ako iza posljednje decimale nekog decimalnog broja dopišemo nulu dobiveni broj se ne mijenja. 10

11 N: Da li su sljedeća dva broja jednaka, tj. da li možemo i u ovom broju maknuti nulu? = = Ne možemo, jer razlomci nisu jednaki! N: A da li su ova dva broja jednaka? 5.0 = = Da! N: Zašto? Jer se nule mogu brisati iza zadnjeg decimalnog mjesta. N: Idemo to dokazati! = = = = N: Znači, znamo da vrijedi : 5 = 5.0 = 5.00 = = =... (ponavljanje prije uspoređivanja decimalnih bojeva) 1 km = 1000m km = 1m km = 10m km = 100m km = 1000m N: Koliko kilometara je u 550 metara? 0.55 N: Obrazložimo to. (ovo je i na powerpoint-u) m = km 550 *1m = km = 0. 55km *550 (dalje radimo isto za duge jedinice 1 1 m = 100cm m = 1cm 100 primjer: 3 cm =? m 1 1 m = 1000mm m = 1mm 1000 primjer: 7 mm =? m 1 1 l = 100cl l = 1cl 100 (ponavljanje mjera prije uspoređivanja razlomaka) 11

12 USPOREĐIVANJE DECIMALNIH BROJEVA N: Dva prirodna broja znamo usporediti Koji znak treba staviti između dva dana prirodna broja? <(strogo manje). N: Pogledajmo što se događa kod uspoređivanje decimalnih brojeva m 10.6 m Što možete na temelju slike zaključiti? O čemu ovisi da li je decimalni broj veći od drugoga, o cijelom ili o decimalnom dijelu? (pokažemo im još neke primjere) N: (odaberemo dva učenika koji se sami jave) Recite mi koliko ste visoki U1: 168cm. 153cm. N: Zapišimo sada vaše visine u metrima. Koliko je to metara? 168 cm = 1. 68m 153 cm = 1. 53m N: Vidimo da su cijeli dijelovi ova dva broja isti, kako ćemo onda odrediti koji je broj veći??? N: Ono što mi već dobro znamo je uspoređivanje prirodnih brojeva. Iskoristimo onda već naučeno i usporedimo 153 i 168. Koji od ta dva broja je veći? Veći je broj 168; N: Tako je. Možete li mi sada reći koji decimalni broj je veći? Veći je broj m = 153cm < 168cm = 1. 68m 1

13 N: Na potpuno isti način možemo usporediti i ostale decimalne brojeve i i < < Uočavate li neko pravilo uspoređivanja decimalnih brojeva? (učenici sugeriraju) N: Napišimo sada definiciju koju ste mi upravo rekli: Od dva decimalna broja veći je onaj koji ima veći cijeli dio. Ako su im cijeli brojevi jednaki, veći je onaj koji ima veću prvu decimalu broja (decimalu desetinki). Ako su im i one jednake, veći je onaj broj koji ima veću drugu decimalu (decimalu stotinki). Ako su i one jednake, uspoređujemo treće decimale. I tako dalje. (powerpoint prezentacija igra ) (uspoređivanje brojeva u tablici dužina olovaka) ZBRAJANJE DECIMALNIH BROJEVA N: Počnimo sljedećim zadatkom. Stolar je zabunom raspilio svoj radni stol na dva dijela. Jedan dio je bio duljine 5.87m,dok je drugi bio duljine.1 metara. Kolika je bila duljina stolareva radnog stola prije nego ga je raspilio? Što zapravo trebamo izračunati? Zbrojiti dva decimalna broja. Broj 5.87 i boj.1. N: Kako biste zbrojili ta dva broja? Obratite pozornost da je duljina stola izražena u metrima. Mogli bismo metre pretvoriti u centimetre i onda zbrojiti dva prirodna broja te potom dobiveni broj pretvorimo natrag u metre. N: Tako je. Učinimo sad to. Što dakle treba pisati? 5.87m = 587cm.1m = 1cm = Dakle, prije piljenja stol je bio duljine 7.99 metara. 13

14 (tu ide i folija sa crtežom) (naučimo učenike pravilnom potpisivanju decimalnih brojeva) (uputimo učenike da je zbrajanje decimalnih bojeva jednako zbrajanju prirodnih uz to da pazimo da je svaka jedinica ispod jedinice, svaka desetica ispod desetice, svaka stotica ispod stotice,, desetinka ispod desetinke, stotinka ispod stotinke, ) pokažimo im važnost decimalne točke sljedećim primjerom (u powerpointu): Pomičemo točku i pitamo učenike gdje u pribrojniku i zbroju stoji decimalna točka Pokažimo istu demonstraciju i za sljedeća dva broja: (sad kad su učenici uvidjeli pravilo zbrajanja cijelih brojeva zapišimo i pravilo) N: Pravilo zbrajanja decimalnih brojeva: Da bismo zbrojili dva decimalna broja, zapisujemo ih jedan ispod drugoga, okomito. I to tako da ista odgovarajuća dekadska i decimalna mjesta obaju pribrojnika budu jedno ispod drugoga. N: Koliko je : N: Što ako pribrojnici koje zbrajamo nemaju isti broj decimala, kao na primjer sljedeća dva broja: ??? N: Tada dopisujemo nule tamo gdje fale kako bismo izjednačili boj decimalnih mjesta u decimalnim brojevima. Dakle imamo: (ovo i na powepoint-u) 14

15 dajemo primjere sa 3 broja te trebamo primijetiti da vrijedi komutativnost = ODUZIMANJE DECIMANIH BROJEVA (isto kao kod zbrajanja najprije riješimo problem prebacivanja mjernih jedinica) N: ako je stolar od letve dugačke.13m otpilio 0.9m koliko je još letve ostalo? (sad isto kao kod zbrajanja uvodimo oduzimanje promjenom mjernih jedinica i pažljivim potpisivanjem).13m=13cm a 0.9m=90cm. Znaci: = N: Da li je pravilo isto kao i kod zbrajanja? Uvjerimo se da je Pomičemo točku i pitamo učenike gdje u umanjitelju i razlici stoji decimalna točka Pokažimo istu demonstraciju i za sljedeća dva broja:

16 N: Zapišimo sad pravilo oduzimanja decimalnih brojeva: Da bismo izračunali razliku dvaju decimalnih brojeva treba ih najprije zapisati jedan ispod drugoga, kao što činimo pri zbrajanju. Odgovarajuća dekadna i decimalna mjesta obaju brojeva moraju biti jedno ispod dugoga, tj. decimalna točka drugog broja (umanjitelja) ispod decimalne točke prvoga broja (umanjenika). Decimalna točka razlike dolazi ispod decimalnih točaka danih brojeva, a znamenke razlike računamo kao i kod oduzimamo prirodne brojeve(idući zdesna nalijevo, od nižih decimalnih mjesta prema višima). 16

17 MNOŽENJE I DIJELJENJE DECIMALNIH BROJEVA BROJEM 10,100, N: Danas sam bila u dućanu i kupovala sam papir za zamatanje poklona. Jedna rola bila je duljina 1.45 metara. Kupila sam 10 takvih rola. Kolika je ukupna duljina papira za zamatanje poklona koje sam kupila? Što mislite kako bi to izračunali? 10*1.45m N: Tako je. Znači, moramo izračunati koliko je 10*1.45 metara. Da bi nam bilo lakše pretvorimo metre u centimetre. Koliko je 1.45m centimetra? 145 cm. N: Dakle jedna rola je duljine 145 cm. Kolika je duljina 10 takvih rola? 10*145cm=1560cm. N: A koliko je 1450 cm metara? metara. N: Dakle: 10 *1.45m = 14.50m = 14. 5m Što sada možete zaključiti, kako se množe decimalni bojevi brojem 10? Pomakne se točka. N: Tako je. Kad množimo prirodan broj brojem 10 broju dodamo na kraj nulu, a kad decimalni broj množimo brojem 10, decimalnu točku pomaknemo u desno za jedno mjesto. N: Što mislite kolika bi bila ukupna duljina da sam kupila 100 rola. Kolika bi bila duljina za 100 rola u cm? Ukupna duljina bi bila cm. N: Koliko je to metara? 145 *100 = 14500cm cm = 145cm 100 N: Također imamo: 1.45m *100 = 145m Znači, množenjem decimalnog broja brojem 100 decimalnu točku pomičemo u desno za dva mjesta. Gdje smo izgubili decimalnu točku? Ona je sada nevidljiva, tj. ona postoji, ali ju ne pišemo. 1.45*100 = = 145 Koliko je 1.45*1000m=? 1.45m *1000 = 14540m N: Bravo. Recite mi sada kako se decimalni broj množi sa

18 Decimalni broj se množi sa 1000 tako da se decimalna točka pomakne za tri mjesta u desno. N: Točno. Da ponovimo: množenjem decimalnih brojeva sa 10, 100, 1000, pomičemo decimalnu točku udesno za odgovarajući broj mjesta. Vidjeli smo da je: 1.45*10 = :10= *100= :100=1.45 Što možete reći o dijeljenju decimalnih brojeva brojem 10? Pomičemo decimalnu točku za jedno mjesto u lijevo. N: Što možete reći o dijeljenju decimalnih brojeva brojem 100? Pomičemo decimalnu točku za dva mjesta u lijevo. N: U redu. A koliko bi bilo 14.1:10000=? Da vidimo. Dijelimo, znači pomičemo decimalnu točku za 4 mjesta četvrto mjesto treće mjesto drugo mjesto prvo mjesto Koje znamenke pišu ispred broja 14 na ovim linijama? Nule. N: Tako je. Znači dodajemo nule i dobivamo broj: (vježbanje takvih zadataka) :10000 =

19 MNOŽENJE DECIMALNIH BROJEVA PRIRODNIM BROJEM N: Naučili smo izračunati ukupnu duljinu papira za zamatanje ako sam kupila 10,100,1000 rola. A da sam kupila 7 rola? Kolika bi bila ukupna duljina papira za zamatanje? 7*1.45m N: Da, ali mene zanima koliko je to. Možemo li tu micati decimalnu točku u desno? Ne. N: Ne možemo. Probajmo izračunati to. Najprije pretvorimo metre u centimetre da dobijemo broj bez decimalne točke. Znači : 1.45m = 145cm Dakle imamo množenje prirodnih brojeva a to smo već naučili. 145*7 8715cm Sada centimetre pretvorimo u metre, 8715 cm = m 1.45* 7 = Koliko se decimalnih mjesta nalazi u decimalnom faktoru, tj. u 1.45? Dva. N: A u umnošku? Dva. N: Vidimo da decimalni faktor i umnožak imaju isti broj decimalnih mjesta. Da vidimo koliko ćemo decimalnih mjesta imati da sam kupila 18 rola. Izračunajte tako da najprije pretvorite metre u centimetre i obratno. 145 *18 = 410cm 1.45*18 = 4.10m 145* Dva decimalna u decimalnom faktoru i u umnošku. N: Iz primjera možemo zaključiti: (vježbanje) Decimalni broj se množi prirodnim kao da su oba broja prirodna, a onda u dobivenom umnošku stavljamo decimalnu točku. Broj decimalnih mjesta tj. decimala umnoška decimalnog broja i prirodnog broja jednak je broju decimala decimalnog faktora. 19

20 MNOŽENJE DECIMALNIH BROJEVA N: Neka je dan pravokutnik čije su duljine stranica a=.14dm i b=3.48dm. Izračunajte površinu pravokutnika! a=.14dm b=3.48dm Ima li netko ideju kako bi to izračunali ili je netko možda već izračunao? Do sada smo množili decimalne brojeve prirodnim brojem, a sad imate dva decimalna broja. Što sada? Najprije pretvorimo decimetre u milimetre..14dm = 1.4cm = 14mm 3.48dm = 34.8cm = 348mm Koliko iznosi površina u mm²? P = 14 *348 = 7447mm ² 14* N: U redu. Sad to pretvorite u dm² 7447mm²=7.447dm² N: Vidimo da je.14 *3.48 = Što možete reći o broju decimala u faktorima i umnošku? Faktori imaju dvije, a umnožak četiri decimale. N: Izračunajte sada površine pravokutnika sa stranicama a=3.4 dm i b=1.8 cm. 3.4dm = 340mm 1.8dm = 18mm 340*18 P = 340 *18 = 4350mm ² mm ²= 4.35dm ² *1.8 = 4.35dm ² 0

21 N: Pogledajte sada broj decimala u faktorima i umnošku. 1. faktor 1. faktor umnožak 3 N: Vidimo da je 1+=3, a u prethodnom primjeru je bilo +=4. Kako se množe dva decimalna broja? Kao prirodni, a decimalna mjesta se zbroje. N: Tako je. Dakle uočili ste sljedeće pravilo: Dva decimalna broja množe se kao da su oba broja prirodni brojevi, kao da nema decimalnih točaka, a onda u dobivenom umnošku stavljamo decimalnu točku. Broj decimalnih mjesta (decimala) umnoška dvaju decimalnih brojeva jednak je ukupnom broju decimala obaju faktora. (vježbanje) N: Izračunajte sad sljedeće: 1.4 * *1. 4 Usporedite rezultate. Što uočavate? Umnošci su im jednaki. N: Kod množenja decimalnih brojeva vrijede ista svojstva kao i kod množenja prirodnih brojeva. Dakle, komutativnost i distributivnost množenja prema zbrajanju i oduzimanju. (vježbanje) 1

22 DIJELJENJE DECIMALNOG BROJA PRIRODNIM BROJEM N: Dosada ste upoznali kako se decimalni broj dijeli sa 10, 100, 1000 Što se pritom događa sa decimalnom točkom? Pomičemo decimalnu točku za 1,, 3 decimalnih mjesta u lijevo. N: Evo danas sam kupio/la 3 bilježnice. Sve sam ih uzeo/la s iste hrpe, dakle, sve imaju istu cijenu. Račun je iznosio 36.5kn. Pomozite mi odrediti koliko je jedna bilježnica koštala? Kako bi izračunali cijenu jedne bilježnice? Podijelimo broj 38.5 sa 3. N: Tako je. Prije nego to učinimo ponovimo kako se zove broj kojim dijelimo, kako se zove broj sa kojim dijelimo i kako se zove rezultat dijeljenja. Broj kojeg dijelimo zove se djeljenik, broj s kojim dijelimo zovemo djelitelj, a rezultat dijeljenja zove se količnik. N: Podijelimo sada broj 38.5 sa 3. Znamo li to? Ne. N: Još uvijek nismo učili kako se decimalni brojevi dijele prirodnim brojem različitim od 10, 100, 1000 Kako bismo ipak mogli izračunati cijenu jedne bilježnice? Kune pretvorimo u lipe i onda imamo dijeljenje dva prirodna broja, a to znamo. N: Tako je. Učinimo sada tako. 38.5kn = 385lp 385 : 3 = Dakle, jedna bilježnica košta 175 lipa, tj. 1 kuna i 75 lipa : 3 = 1.75

23 N: Isto tako sam kupila 16 bananka i sve ih platila 19.68kn. Koliko je onda koštao jedan bananko? Kako ćemo to izračunati? 16 * Prvo pretvorimo kune u lipe i onda podijelimo dva prirodna broja. Na kraju dobiveni količnik pretvorimo u kune kn = 1968lp 1968 : 16 = Jedan bananko koštao je 13 lipe, a to je 1 kuna i 3 lipe. Znači: : 16 = 1.3 N: Uočavate li sada neko pravilo pri dijeljenju decimalnog broja prirodnim brojem? Što se događa sa decimalnom točkom u količniku u usporedbi sa položajem decimalne točke u djeljeniku? Djeljenik i količnik imaju jednak broj decimala što znači da iza decimalne točke u djeljeniku i količniku ima jednak broj decimalnih mjesta. N: Tako je. Do sada smo uvijek dijeljenje decimalnih brojeva prirodnim svodili na dijeljenje dva prirodna broja tj. prvo smo kune prebacili u lipe i tek onda dijelili. Kako bismo pismenim putem mogli odmah podijeliti decimalni broj prirodnim brojem? Što nam predstavlja problem? Decimalna točka. N: Rekli ste da je jedini problem decimalna točka. Dakle do nje postupamo isto. Kada naiđemo na nju u količniku odmah zapisujemo decimalnu točku i dalje imamo isti postupak kao i kod dijeljenja dvaju prirodnih brojeva. Napišite sada kako bi to dijeljenje pismenim putem izgledalo za oba primjera. 3

24 38.5 : 3 = Nakon što spustimo prvu znamenku iza decimalne točke djeljenika, dvojku, odmah u količniku dopišemo decimalnu točku. N: Bravo. Uspješno ste podijelili decimalni broj prirodnim brojem. Ponovite isti postupak i za drugi primjer, primjer sa banankićima : 16 = Nakon što spustimo prvu znamenku iza decimalne točke djeljenika, šesticu, odmah u količniku dopišemo decimalnu točku. N: Odlično. Sada ste podijelili decimalni broj prirodnim brojem, no kako biste mogli provjeriti da je dobiveni količnik točno rješenje? Za provjeru pomnožimo količnik i djelitelj te produkt koji tim množenjem dobijemo, ukoliko je količnik bio točan, mora biti jednak djeljeniku. djeljenik : djelitelj = količnik količnik * djelitelj = djeljenik 1.73 * * N: Kako bi sada opisali postupak dijeljenja decimalnog broja prirodnim brojem? (učenici uočavaju da je dijeljenje decimalnog broja prirodnim isto kao i kod dvaju prirodnih brojeva samo što u određenom trenutku u zapisu količnika zapisujemo decimalnu točku) N: Zapišimo sada postupak koji su učenici opisali: Decimalni broj dijeli se prirodnim brojem tako da ih dijelimo kao da su oba broja prirodna pri čemu decimalnu točku količnika zapisujemo kad završimo s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika. 4

25 N: Riješite sada sljedeće primjere: : 3 = : 3 = : 3 = 4.56 Kako biste podijelili broj sa 3. Koja je razlika u odnosu na primjere do sada? Cijeli dio djeljenika je veći od djelitelja. N: Koji dio broja ćemo prvo promatrati u pismenom računu prilikom dijeljenja sa 3? Broj 104. N: Tako je. No međutim vidimo da smo unutar broja u 104 već pokupili i prvu znamenku iza decimalne točke. Prema gornjem pravilu što bismo sada trebali učiniti? U količnik zapišemo decimalnu točku. N: A smijemo li to iako količnik još nema niti jednu znamenku? Smijemo, onda ispred decimalne točke dodamo broj 0 i dalje postupamo isto kao i do sada. N: Točno. Podijelite sada ta dva broja : 3 = N: Što sada možete zaključiti o dijeljenju decimalnog broja prirodnim ukoliko je decimalni broj manji od prirodnog? Kakav je tada količnik? Kada dijelimo decimalni broj prirodnim i pritom je decimalni broj veći od prirodnog količnik je manji od 1, tj. količnik započinje brojem 0. (vježbanje dijeljenja decimalnih bojeva prirodnim kao u promatranim primjerima) (grupni rad) N: Danas sam donio/la 4 bombona. Podijelite se u grupe tako da u svakoj grupi bude po 8 učenika. Svaka od grupa će dobiti po 1 bombona. Možete li bombone rasporediti tako da svaki učenik dobije isti broj bombona, a da se pritom podijele svi bomboni? Bombone ne možete prepoloviti. ( podijelimo bombone; učenici pokušavaju međusobno podijeliti bombone i shvate da ne mogu međusobno podijeliti bombone kao što im je rečeno da pokušaju) N: Zašto je to tako? Jer prirodni broj 1 ne možemo podijeliti sa 8 tako da dobijemo prirodan broj. N: Iako još ne znamo 1 podijeliti sa 8 rezultat znamo zapisati u jednom od oblika? Koji je to oblik i koji je to broj? 1 To je razlomak i riječ je o broju. 8 N: Kada bi stolar dobio zadatak da dasku duljine 1 metara prereže na 8 istih dijelova znači li to da on ne bi znao prerezati dasku? Ne. 5

26 N: Kako stolar zna prerezati dasku na 8 jednakih dijelova? Kalkulatorom podijeli 1 sa 8. N: Sada vi podijelite kalkulatorom i pročitajte mi broj koji dobijete. (računaju) 1 : 8 = 1.5 N: Vidimo da ste dobili decimalni broj. Imate li sada neku ideju kako bi podijelili 1 sa 8? Broj 1 zapišemo kao decimalni broj: 1=1.0 i onda dijelimo decimalni broj prirodnim, a to znamo. 1.0 : 8 = N: Da li smo i nekako drugačije mogli izračunati koliko je 1 : 8? 1??N: Znate da razlomačka crta zamjenjuje znak dijeljenja, dakle imamo. 8 Možemo li skratiti dani razlomak nekim brojem? Brojem 4. Možemo skratiti broj 1 i 8 sa 4 pa imamo: 1 8 = 3 = 3 : = 3.0 : = 1.5 (vježbanje pretvaranje razlomaka u decimalni broj. Izračunamo: 1 : ; 1:4 ; 1:5; 1:8; 3:4; 10:5; ) (igra uparivanja kartica) N: Iz promatranih primjera vidimo da razlomke možemo zapisati u decimalnom obliku, tj. kao decimalni broj, no to nije moguće za svaki razlomak. Naime, postoje razlomci koje ne možemo zapisati kao decimalni broj. O tome ćemo više govoriti u 8 razredu. N: Onih 4 bombona koje sam danas donio/la sam platio/la 1.6 kuna. Koliko je onda koštao jedan bombon? 6

27 1.6 : 4 = Do sada smo uvijek imali ostatak 0 a sada je ostatak 6 pa će sljedeći korak koji radimo biti da broj 1.6 zapišemo u drugačijem obliku:1.6=1.60. Sada vidimo da spuštamo : 4 = Po potrebi dodajemo nevidljive nule iza decimalne točke i pritom se stanje ne mijenja. (vježbanje takvih primjera kada moramo dopisivati 0, tj. spuštati nule koje ne vidimo) 7

28 DIJELJENJE DECIMALNOG BROJA DECIMALNIM BROJEM N: Najprije da ponovimo. Kako računamo površinu pravokutnika? POVRŠINA =? a Povšina pravokutnika je jednaka umnošku njegovih dviju susjednih stranica. b POVRŠINA = a * b a N: Ako nam je poznata površina pravokutnika koja iznosi m i duljina jedne njegove stranice koja je jednaka 5. m. Kako ćemo izračunati duljinu njegove druge stranice? b POVRŠINA = m a =? b = 5. m Tako da ćemo podijeliti površinu sa zadanom stranicom. N: Znači moramo odrediti količnik: : 5. Prema tome valja naučiti kako se decimalni broj dijeli decimalnim brojem. Bez imalo okolišanja odmah ćemo dati pravilo kako postupamo u takvoj situaciji. 8

29 N: Tri su koraka: 1) Najprije pomaknemo decimalne točke i u djeljeniku i u djelitelju UDESNO, i to za isti broj mjesta. ) Pomaknemo ih za toliko mjesta udesno kolko djelitelj ima decimala, znači za toliko mjesta koliko je potrebno da djelitelj postane prirodan broj. 3) Dalje dijelimo dobivene brojeve onako kako se dijeli decimalni broj prirodnim brojem. N: U našem primjeru, koliko naš djelitelj 5. ima decimala? Jednu decimalu. N: Za koliko decimalnih mjesta pomičemo točku i kome pomičemo točku? I u djeljeniku i u djelitelju pomičemo decimalnu točku za jedno mjesto. N: Na koju stranu pomičemo točku? Udesno. N: Kako izgledaju sada naš djeljenik i u djelitelj? : 5 N: I što sada činimo? Dijelimo onako kako se dijeli decimalni broj prirodnim brojem. N: Pokaži nam Ana kako ćemo podijeliti : 5 Ana: : 5 = N: Koliko smo dobili podijelivši : N: A što je 8.75 u našem primjeru? To je duljina susjedne stranice zadanog pravokutnika. N: Koliko onda iznose stranice našeg pravokutnika? 5. m i 8.75m N: A koliko bi to bilo u decimetrima? 5dm i 87.5dm 9

30 N: Kako ćete podijelit : 1.75? Pomaknut ćemo decimalnu točku za mjesta udesno jer djelitelj ima dvije decimale, odnosno: : Pa dobijemo: A kad to podijelimo: : : 175 = N: Što smo mi zapravo činili sa djeliteljem i djeljenikom kada smo mu micali decimalnu točku udesno? Kada još primjenjujemo to pravilo? Kada decimalni broj pomnožimo sa 10, 100,... N: Znači i djeljenik i djelitelj smo pomnožili istim prirodnim brojem. Što time vidimo? Količnik uvijek ostaje isti. N: Pokušajte sada podijeliti: 3 : 0.5 =? N: Koliko djelitelj ima decimala? Ima jednu decimalu što znači da ćemo pomaknuti i djeljeniku i djelitelju decimalnu točku za jedno mjesto udesno: 30 : 5 = 6 N: Znači količnik djeljenika 3 i njegovog djelitela 0.5 iznosi 6. Što tu primjećujete? 3 : 0.5 = 6 Da je količnik veći od djeljenika. N: Znači, kod dijeljenja decimalnih brojeva ukoliko je djelitelj manji od 1, tj. ako počinje sa 0 količnik će biti veci od djeljenika. N: Pogledajmo kako bismo rješili ove primjere: Izračunajte: a) : 5.3 b) 4 :.5 c) 8.75 : 0.5 vježbanje zadataka igrom bingo. 30

31 8.RAZRED N: Koja smo 3 skupa brojeva upoznali? N, Z, Q. N: Promotrimo jednadžbu oblika a + x = b. Ima li ona uvijek rješenje u skupu N? U : Nema. N : Dajte primjer. U : a = 8, b = 3 N :Dakle, što zaključujemo? Kada jednadžba takvog oblika ima rješenje? U : Kada je a < b. N: Čime smo proširili skup N da bi uvijek imali rješenje naše jednadžbe? U : Nulom i negativnim cijelim brojevima. N : Što smo time dobili? U : Skup Z. N : Pogledajmo sada jednadžbu oblika a * x = b, a 0, a,b Z. Ima li ona uvijek rješenje u skupu Z? U : Nema. N : Dajte primjer. U : a=1, b=3. N : U kojem skupu brojeva postoji rješenje za našu jednadžbu? U : U skupu racionalnih brojeva. N : Kako on izgleda? a U : Q = : a Z, b N. b N : Kako još možemo zapisati svaki prirodan i cijeli broj? U : Da u nazivnik zapišemo znamenku 1. N : Što zaključujemo? U : Svaki prirodan i svaki cijeli broj je ujedno i racionalni broj. N : Kako smo naučili zapisivati racionalne brojeve? U : U obliku razlomaka i u decimalnom obliku. 7 (Ovdje sa učenicima ponovimo dijeljenje decimalnih brojeva. Npr.: = 7 : 3 = 9 ; = 3: = 1.5; = : 5 = 0. 4 ; = 7 : 0 = ). 5 0 N : Koliki nam je ostatak pri dijeljenju u prethodnim primjerima? U : 0. N : Tako je! Ako pri dijeljenju brojnika nazivnikom dobijemo ostatak 0, onda dijeljenje završava, a zapis razlomka je cijeli broj ili konačan decimalni broj. Što ste u prethodnim primjerima primijetili u rastavu nazivnika na proste faktore? U : Da ti nazivnici sadrže samo proste faktore i 5. N: Dakle, kako možemo prepoznati kada do kraja skraćeni razlomak b a ima kao decimalni zapis konačan decimalni broj? U : Ako njegov nazivnik u svom rastavu na proste faktore sadrži samo faktore i 5. 31

32 N : Pogledajmo 1 = Koliko ovaj decimalni zapis razlomka ima znamenaka? 8 U : Konačno mnogo. N : A pogledajmo sada 1 = Što zamjećujemo? 3 U : Znamenka 3 se ponavlja u nedogled N : Pogledajmo nadalje primjere = 5 : 3 = , = 7 :11 = Da li njihovi nazivnici u svom rastavu na proste faktore sadrže faktor ili faktor 5? U : Ne! N : Zapamtimo tada da do kraja skraćeni razlomak b a ima kao decimalni zapis čisto periodički decimalni broj ako njegov nazivnik u svom rastavu na proste faktore ne sadrži ni faktor ni faktor Da li ima kao decimalni zapis čisto periodički decimalni broj? 33 U : Kako broj 33 u svom rastavu na proste faktore ne sadrži ni faktor ni faktor 5, 10 ima kao decimalni zapis čisto periodički decimalni broj N : Pogledajmo sada = 7 : 6 = , te = 8 :15 = Da li njihovi nazivnici u svom rastavu na proste faktore osim faktora i 5 sadrže i neke druge proste faktore? U : Da, jer 6 = *3 i 15 = 3*5. N : Zapamtimo da do kraja skraćeni razlomak b a ima kao decimalni zapis mješoviti periodički decimalni broj ako njegov nazivnik u svom rastavu na proste faktore sadrži osim faktora ili faktora 5 i neke druge proste faktore. Da li smo još nešto uočili u zadnjem primjeru? U : Da, neke se decimale ponavljaju, a neke ne ponavljaju. N : Tako je! Decimale koje se ne ponavljaju nazivamo pretperiodom, a decimale koje se ponavljaju nazivamo periodom mješovitog decimalnog broja.. N : Nadalje, zbog kratkoće ćemo pisati točke iznad onih znamenki koje se ponavljaju ili na prvu i zadnju znamenku skupine znamenaka koja se ponavlja: = 0.3; = 1.6; = 0.63; = 0.53 ; = Kako biste kraće zapisali =?.. U :

33 N : Evo primjera za vježbu : -Zapišite u decimalnom obliku slijedeće racionalne brojeve i svakome odredite period: =? ; =? ; =? Koji od njih su čisto periodički, a koji mješoviti periodički decimalni brojevi? N : Pogledajmo sljedeće decimalne zapise : Što vidimo? U : Da ima beskonačno znamenaka koje se ne ponavljaju periodički. N : Brojeve koji u decimalnom zapisu imaju beskonačno mnogo decimala koje se periodično ne ponavljaju nazivamo iracionalnim brojevima. Stavimo sada naslov: IRACIONALNI BROJEVI Recite mi još nekoliko primjera iracionalnih brojeva. U : 0, ; N : Promotrimo sljedeći primjer. Izračunajmo duljinu dijagonale kvadrata čija je duljina stranice 1cm. x 1cm x 1cm 1cm 1cm Računamo duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta čije su obje katete duljine 1 cm. Koji je rezultat prema Pitagorinom poučku? U : x = = x = N : Pokušajmo izračunati vrijednost. Znamo da je 1 = 1, a = 4. To znači da je 1 < <. Promotrimo dalje : 1.1 = = 1.44 = 1.69 = 1.96 =.5 To znači da je 1.4 < <

34 Nadalje : = =.0164 Dakle, 1.41 < < 1. 4 Nastavimo dalje : = = = = =.005 Tada je < < ( Napomena : sve gornje rezultate daju djeca). Ovakav postupak mogli bismo nastaviti bez kraja. Broj ima beskonačno mnogo decimala koje se ponavljaju periodično. Kakav je to broj? U : Iracionalan broj. N : Primijetimo da džepno računalo daje samo približnu vrijednost. Evo još nekoliko primjera iracionalnih brojeva : 5, 11, 18. Što ste uočili? U : Da brojevi pod korijenom nisu kvadrati nekog prirodnog broja. N : Bravo! a je iracionalan broj kad god je a prirodan broj koji nije kvadrat nekog prirodnog broja. Dajte još nekoliko primjera iracionalnih brojeva. 8, N : U 7. razredu smo naučili kako je za sve kružnice omjer opsega kružnice i duljine njezina promjera stalan, uvijek jedan isti broj. Taj broj se označava sa Π. Π je također iracionalan broj. Pogledajmo umnožak prirodnog i iracionalnog broja. Npr. i. Dobivamo *. Kakav je to broj? U : Iracionalan broj. N : Dakle, umnožak svakog prirodnog broja različitog od 0 i iracionalnog broja je iracionalan broj. Dajte primjere. U : 3,7 5,... N : Ponovili smo što je skup racionalnih brojeva i upoznali smo skup iracionalnih brojeva. Oni zajedno tvore skup realnih brojeva R. Vrijedi : N Z Q R Rješavanje primjera : Π koji su brojevi racionalni, koji iracionalni :,,3, Π,

35 POVIJEST DECIMALNIH BROJEVA Već su naši daleki preci koristili prirodne i cijele brojeve i računanje s njima. Također im nisu bili ni strani razlomci. Znali su ih zapisivati, ali im je samo računanje s njima zadavalo muke. Oko 1000.godine naše ere ljudi su upoznali decimalne razlomke. Decimalni razlomci upotrebljavali su se za zapis kvadratnih korijena, ali nisu ušli u svakodnevnu upotrebu. Simon Stevin( ) Rođen je u Belgiji, ali je cijeli svoj život proveo u Nizozemskoj, gdje je radio u vojsci i bavio se matematikom. Njegovo najpoznatije djelo je knjiga De Thiende prevedena kao Art of Tenths, tiskana u Nizozemskoj 1586.godine. U francuskom prijevodu nije imala više od 7 stranica. Namjera pisanja te knjige (pamfleta) bila je da objasni i pokaže lakše računanje s razlomcima. Objasnio je svoju ideju novog zapisivanja već poznatih brojeva. 49 Brojevima kao što su 5 pronašao je jednostavniji zapis = Broj ispred oznake 0 je cijeli broj, a nakon su pojedine znamenke koje on zove prva,druga,treća... Pomoću tog jednostavnijeg zapisa bilo je jednostavnije zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti... Primjer zbrajanja: Točku, kao znak za razdvajanje cijelog broja od decimala prvi upotrebljava Bartholomaeus Pitiscus( ), u čijim se trigonometrijskim tablicama 161.godine ona koristi. 35