1. Skup kompleksnih brojeva

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Skup kompleksnih brojeva"

Transcript

1 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva Skup kompleksnih brojeva Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva Kompleksno konjugirani brojevi. Dijeljenje u skupu C Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina Rješenjazadataka... 22

2 1. Skupovi brojeva 1.1. Skupovi brojeva Pri prebrojavanju raznovrsnih objekata iz naše okoline koristimo prirodne brojeve. Takoćemo reći da u razrednom odjeljenju ima 35 učenika, da u autobusu ima 52 sjedala, da stol ima 4 noge, da jedna godina ima sekunda i sl. Skup svih prirodnih brojeva označavamo slovom N ipišemo N = {1, 2, 3, 4,...}. Tijekom dosadašnjeg školovanja naučili smo zbrajati i oduzimati, množiti i dijeliti prirodne brojeve. Pri zbrajanju prirodnih brojeva uočili smo ova svojstva: 1. Zbroj dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj, tj. ako je x N i y N, tada je x + y N. 2. Zbrajanje je komutativna operacija, tj. x + y = y + x za svaki x, y N. 3. Zbrajanje je asocijativna operacija, tj. x +(y + z) =(x + y)+z za svaki x, y, z N. Za množenje prirodnih brojeva vrijede slična svojstva: 1. Umnožak dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj, tj. ako je x N i y N, tada je i x y N. 2. Množenje je komutativno, tj. x y = y x za svaki x, y N. 3. Množenje je asocijativno, tj. x (y z) =(x y) z za svaki x, y, z N. Zbrajanje i množenje vezani su svojstvom distributivnosti koje glasi: x (y + z) =x y + x z za svaki x, y, z N. Pri rješavanju problemskih zadataka obično se javljaju jednadžbe. Evo nekoliko primjera jednadžbi čiji su koeficijenti prirodni brojevi: 2 + x = 18, 3x = 27, 2x + 14 = 32. Riješiti jednadžbu u skupu N znači odrediti sve prirodne brojeve x koji uvršteni u tu jednadžbu daju istinitu jednakost. Tako je, na primjer, rješenje jednadžbe 2 + x = 18 broj x = 18 2 = 16 jer uvrstimo li 16 u jednadžbu, dobivamo = = 18, tj. dobili smo istinitu jednakost. Kažemodajeovajednadžba rješiva u skupu N. 2

3 1.1. Skupovi brojeva Promotrimo jednadžbu 10 + x = 7. Je li ona rješiva u skupu N? Drugim riječima, postoji li prirodni broj x koji zbrojen s 10 daje broj 7? Odgovor je niječan. Ne postoji prirodni broj koji je rješenje jednadžbe 10 + x = 7. Dakle, jednadžba a + x = b, a, b N nije uvijek rješiva u skupu prirodnih brojeva. Da bi takva jednadžba uvijek imala rješenje, skup N treba proširiti, tj. dopuniti ga nulom i negativnim cijelim brojevima. Tako dobivamo skup cijelih brojeva kojeg označavamo sa Z, tj. Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. Vidimo da je N Z. U skupu Z jednadžba 10 + x = 7imarješenje i ono glasi x = 7 10 = 3. Kažemo da je u skupu Z oduzimanje uvijek izvedivo. Pri ovom proširivanju računske operacije zbrajanje i množenje zadržavaju svoja svojstva. Opracije su komutativne i asocijativne, vrijedi i svojstvo distributivnosti, a zbroj, odnosno umnožak, dvaju cijelih brojeva je cijeli broj. U skupu Z svakajejednadžba a + x = b, a, b Z rješiva. Ali, postoje jednadžbe koje nisu rješive u Z. Evo nekoliko primjera takvih jednadžbi: 9x = 46, 5x + 1 = 0, 2(x 1) =7. Promotrimo prvu od njih. Njezino bi rješenje bio cijeli broj koji pomnožen s 9 daje 46, ali takav očito ne postoji. Dakle, jednadžba oblika ax = b, a, b Z općenito nije rješiva u Z. Zato se skup cijelih brojeva Z proširuje do skupa racionalnih brojeva Q koji sadrži omjere cijelih brojeva, tj. { a } Q = b : a, b Z, b 0. U skupu Q jednadžba 9x = 46 ima rješenje i ono glasi x = 46.Kažemo da je dijeljenje brojem različitim 9 od 0 uvijek izvedivo u skupu Q. I pri ovom proširivanju operacije zbrajanja i množenja zadržavaju svoja svojstva, ali dobivaju i neka nova koja smo opisali u 1. razredu. Je li postupak proširivanja skupova brojeva gotov? Nije, jer pokušamo li izračunati duljinu dijagonale jediničnog kvadrata, susrećemo se s kvadratnom jednadžbom. Naime, ako je x duljina dijagonale kvadrata, tada prema Pitagorinu poučku vrijedi x 2 = x 2 = x 2 = 2, tj. dobivamo kvadratnu jednadžbu x 2 = 2 čije rješenje očito postoji (to je duljina dijagonale kvadrata), a može se pokazati da to rješenje nije racionalan broj. Za rješenje te jednadžbe koristimo oznaku x = 2. Dakle, 2 nije racionalan broj već iracionalan. U osmom smo se razredu susreli s brojevima čiji decimalni zapis nije konačan niti sadrži neku skupinu znamenaka koja se periodički ponavlja. Racionalni i iracionalni brojevi zajedno čine skup realnih brojeva. Uz to vrijedi N Z Q R. Pritom se sva svojstva operacija zbrajanja i množenja koja su vrijedila u skupu Q prenose i na skup R. Istaknimo ovdje sva ta svojstva. 3

4 1. Skupovi brojeva Svojstva zbrajanja realnih brojeva Svojstva množenja realnih brojeva 1. Zatvorenost zbrajanja 1. Zatvorenost množenja Za svaki x, y R vrijedi x + y R. Za svaki x, y R vrijedi x y R. 2. Asocijativnost zbrajanja 2. Asocijativnost množenja Za svaki x, y, z R vrijedi Za svaki x, y, z R vrijedi x +(y + z) =(x + y)+z. x (y z) =(x y) z. 3. Komutativnost zbrajanja 3. Komutativnost množenja Za svaki x, y R vrijedi Za svaki x, y R vrijedi x + y = y + x. x y = y x. 4. Postojanje nule 4. Postojanje jedinice Za svaki x R vrijedi Za svaki x R vrijedi x + 0 = x. x 1 = x. 5. Postojanje suprotnog elementa 5. Postojanje recipročnog elementa Za svaki realni broj x postoji Za svaki realni broj x, različit od samo jedan realni broj x takav nule, postoji samo jedan realni da je x +( x) =0. broj x 1 takav da je x x 1 = 1. x 1 zovemo inverz ili recipročni broj broja x. 6. Distributivnost množenja prema zbrajanju Za svaki x, y, z R vrijedi x (y + z) =x y + x z. ZADACI Odredi koji je od danih brojeva cijeli: a 1; b 44 5 ; c π ; d 241; e 2003 ; f ; g 3.7 1; h Odredi koji je od danih brojeva racionalan: a ; b 0; c 351 ; d ; e π 3 ; f 2 + 1; g 821; h Odredi koji je od danih brojeva racionalan, a koji iracionalan: a ; b ; c 3. 7; d 4 3; 4

5 1.2. Skup kompleksnih brojeva e 227 ; f 2π ; g 4 2; h Riješi jednadžbe i napiši kojem skupu brojeva pripada rješenje svake od njih: a 120 x = 26 ; b 19 5x = 9; c 3(x 45)+37 = 49 ; d (5 + x) =17 ; e 7(2x + 1) =6(2 x) ; f 0.6(x 8) = ; g 12x 3(5 + x) =2(x 1) 3x ; h 30 3(x 7) =12x 7(2x 3). 5. Imaju li sljedeće jednadžbe rješenja u skupu N? a 4(5x+1) 3(6x 2)=5(x+5) ; b x 7 + x 8 = 15 ; c 5x = 3x Imaju li sljedeće jednadžbe rješenja u skupu Z? a 10x 3(x + 6) =16 2(19 7x) ; c 2 7 (x 2) = 1 (5x + 3). 11 b 5 2x 7 = x ; 7. Imaju li sljedeće jednadžbe rješenja u skupu Q? a 4(5x + 2) 3(6x 2) =5(x + 5) ; b x 7 x 8 = 12 ; c x 2 25 = 0; d x 2 3 = Nadi - sva rješenja jednadžbe (x 3)(x + 12) =0 u skupu a prirodnih brojeva; b cijelih brojeva. 9. Je li jednadžba x 2 = 1 rješiva u skupu R? 1.2. Skup kompleksnih brojeva Proučimo posljednji zadatak prethodnog poglavlja: Je li jednadžba x 2 = 1 rješiva u skupu R? Drugim riječima, postoji li realni broj x koji kvadriran daje negativan broj? Poznavajući svojstva kvadriranja, znamo da je kvadrat realnog broja ili pozitivan ili 0, tj. nikad nije negativan. Dakle, u skupu R jednadžba x 2 = 1 nemarješenja. Kao i nekoliko puta dosad, prilazimo proširivanju promatranog skupa brojeva na veći skup u kojem će promatrana jednadžba imati rješenje, uz očuvanje svojstava zbrajanja i množenja. Označimo s i rješenje jednadžbe x 2 = 1. Broj i zovemo imaginarna jedinica i za njega vrijedi i 2 = 1, tj. i = 1. Imaginarna jedinica Imaginarna jedinica je broj i za koji vrijedi i 2 = 1. 5

6 1. Skupovi brojeva Skup realnih brojeva R proširujemo do novog skupa kojeg nazivamo skup kompleksnih brojeva i označavamo s C. Skup C sadrži sve realne brojeve, zatim rješenje jednadžbe x 2 = 1, tj. sadrži broj i,ali ibrojeve a + i, bi, a + bi gdje su a i b R, jer zbrajanje i množenje moraju biti izvedivi u skupu C. Ukratko, skup kompleksnih brojeva je skup brojeva oblika a + bi, gdje su a i b realni brojevi. Skup kompleksnih brojeva C = {a + bi : a, b R}. Brojeve oblika bi, gdje je b R zovemo imaginarni brojevi. PRIMJER 1. Zapišimo brojeve 16, 25 9, 0.64, 7 kao imaginarne brojeve. 16 = 4i, 25 9 = 5 3 i, 0.64 = 0.8i, 7 = i 7. Ako je kompleksni broj z oblika z = a + bi, a, b R, tada broj a zovemo realni dio broja z ipišemo a = Re z,a b zovemo imaginarni dio broja z ipišemo b = Im z. PRIMJER 2. Odredimo realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva 4 + 5i, 7 12i, 3 7 i, 18. Re (4 + 5i) =4, Im (4 + 5i) =5; Re ( 7 12i) = 7, Im ( 7 12i) = 12; ( 3 ) ( 3 ) Re 7 i = 0, Im 7 i = 3 ; 7 Re(18) =18, Im (18) =0. Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im jednaki i realni i imaginarni dijelovi. Dakle, ako su z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i dva kompleksna broja, oni su jednaki ako i samo ako vrijedi a 1 = a 2 i b 1 = b 2. 6

7 1.3. Skup kompleksnih brojeva PRIMJER 3. Odredimo realne brojeve p i q tako da su kompleksni brojevi z 1 i z 2 jednaki, ako je a) z 1 = 2 + pi, z 2 = q i ; b) z 1 = 1 +(2p + 1)i, z 2 =(p + q) qi. a) Iz definicije jednakosti slijedi da je 2 = q i p = 3 2. b) Iz definicije jednakosti slijedi da je 1 = p + q i2p + 1 = q. Ovo je sustav s dvjema nepoznanicama p i q koji riješimo supstitucijom tako da iz druge jednadžbe izrazimo q = 2p 1 i uvrstimo u prvu jednadžbu: 1 = p + q,1= p +( 2p 1),1= p 2p 1, 1 = p 1, p = 1 1, p = 2. Sadje q = 2p 1 = 2( 2) 1 = 4 1 = 3. ZADACI Zapiši pomoću imaginarne jedinice: a 49 ; b 100 ; c 144 ; d 25 4 ; e ; f 0.36 ; g 1.69 ; h 0.04; i 2; j 5; k 1 3 ; l Odredi realni i imaginarni dio danih brojeva: a z = i ; b z = i ; c z = 13 7i ; d z = 4 5i ; e z = 3; f z = 5; g z = 8i ; h z = 14i ; i z = i 2; j z = 0; k z = 1 + i 3 2 ; l z = i Koliki mora biti broj m da bi kompleksni brojevi z 1 i z 2 bili jednaki? a z 1 = m + 4i, z 2 = 3 + 4i ; b z 1 =(2 m)+8i, z 2 = i ; c z 1 = 32 7mi, z 2 = i. 4. Odredi realne brojeve x i y tako da kompleksni brojevi z 1 i z 2 budu jednaki: a z 1 = x + 3i, z 2 = 7 + yi ; b z 1 = 1 x + 5i, z 2 = 18 yi ; c z 1 = 2 + 3x + 18i, z 2 = 20 +(7 y)i ; d z 1 = 10 +(5 x)i, z 2 = 2y 4 2i. 5. Odredi realne brojeve x i y tako da kompleksni brojevi z 1 i z 2 budu jednaki: a z 1 =(2 + x) 3i, z 2 = y +(1 x)i ; b z 1 =(3 + 2x)+yi, z 2 = 2 + y +(x 1)i ; c z 1 =(5x y)+(2 x)i, z 2 = 18 7yi ; d z 1 =(x + y) (x y)i, z 2 = 20 4i. 6. Odredi realne brojeve a i b iz jednadžbi: a 3a + 7i = 21 49bi ; b (a + b) 18i = 2 ai ; c a + 2i bi = 2; d a + b + 6i 14 = 4 + 4ib. 7

8 1. Skupovi brojeva 1.3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva U svim dosad promatranim proširenjima skupova brojeva računske operacije zbrajanja i množenja sačuvale su svoja osnovna svojstva. Tako će biti i sada. Dakle, u skupu kompleksnih brojeva zbrajanje i množenje je komutativno i asocijativno, te je množenje distributivno obzirom na zbrajanje. Uz to, vrijedi z + 0 = z i z 1 = z za svaki kompleksni broj z. Svaki kompleksni broj ima svoj suprotan broj, a ako je uz to broj različit od nule, tada ima i svoj inverz. PRIMJER 1. Zbrojimo brojeve z 1 = i i z 2 = 8 12i. z 1 + z 2 =(5 + 16i)+(8 12i) = i i =(5 + 8)+(16i 12i) = i. Dakle, dva kompleksna broja zbrajamo tako da posebno zbrojimo njihove realne dijelove, a posebno imaginarne dijelove. Drugim riječima, ako su z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i dva kompleksna broja, tada je z 1 + z 2 = a 1 + a 2 +(b 1 + b 2 )i. PRIMJER 2. Pomnožimo brojeve z 1 = 3 + 4i i z 2 = 2 3i. z 1 z 2 =(3 + 4i)(2 3i) = i + 4i 2 4i 3i = 6 9i + 8i 12i 2 = 6 9i + 8i 12 ( 1) = ( 9i + 8i) = 18 i. Dakle, dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i množimo kao što množimo dva binoma uz uvažavanje svojstva imaginarne jedinice da je i 2 = 1, te dobivamo z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 +(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i. Zbrajanje i množenje u C Ako su z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i dva kompleksna broja, tada vrijedi z 1 + z 2 = a 1 + a 2 +(b 1 + b 2 )i, z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 +(a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. 8

9 1.3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva PRIMJER 3. Oduzmimo brojeve z 1 = 3 4i i z 2 = 5 8i. z 1 z 2 =(3 4i) (5 8i) =3 4i 5 + 8i =(3 5)+( 4i + 8i) = 2 + 4i. PRIMJER 4. Izračunajmo (2z 1 z 2 )(z 1 + 3z 2 ) ako su z 1 = 1 + 3i i z 2 = 2 4i. Prvo izračunamo vrijednost svake zagrade posebno. 2z 1 z 2 = 2(1 + 3i) (2 4i) =2 + 6i 2 + 4i = 10i, z 1 + 3z 2 =(1 + 3i)+3(2 4i) =1 + 3i i = 7 9i. Sad je (2z 1 z 2 )(z 1 + 3z 2 )=10i(7 9i) =70i 90i 2 = 70i 90( 1) = i. PRIMJER 5. Izračunajmo z 2 ako je z = 5 + 8i. Zadatak rješavamo uporabom formule za kvadrat binoma: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. z 2 =(5 + 8i) 2 = i +(8i) 2 = i + 64i 2 = i 64 = i. PRIMJER 6. Popunimo tablicu: Potencija broja i i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9 Rezultat Što primjećujemo? 9

10 1. Skupovi brojeva Lako izračunamo da je i 3 = i 2 i = i, i 4 = i 3 i =( i) i = i 2 = 1, i 5 = i 4 i = i, i 6 = i 4 i 2 = 1, i 7 = i 4 i 3 = i 3 = i, i 8 = i 4 i 4 = 1, i 9 = i 8 i = i, pa ispunjena tablica izgleda ovako: Potencija broja i i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9 Rezultat i 1 i 1 i 1 i 1 i Vidimo da se skupina rezultata i, 1, i, 1 ponavlja. Dakle, svaka se četiri koraka pojavljuje rezultat i, tj. potencije i, i 5, i 9, i 13, i 17,...jednake su i.uočimo da eksponenti 1, 5, 9, 13, 17 pri dijeljenju s 4 daju ostatak 1 što je upravo eksponent od i. Rezultat 1 dobit ćemo kod potencija i 2, i 6, i 10, i 14, i 18 itd. Eksponenti 2, 6, 10, 14, 18 pri dijeljenju s 4 daju ostatak 2, što je upravo eksponent potencije i 2 koja daje rezultat 1. Rezultat i dobit ćemo kod potencija i 3, i 7, i 11, i 15, i 19 itd. Eksponenti 3, 7, 11, 15, 19 pri dijeljenju s 4 daju ostatak 3, što je upravo eksponent potencije i 3 čija je vrijednost i. Slično, rezultat 1 dobivamo kod onih potencija čiji su eksponenti djeljivi s 4. Dakle, potencije broja i su brojevi i, 1, i, 1 i to prema ovom pravilu: ako je ostatak pri dijeljenju eksponenta s 4 jednak 1, rezultat potenciranja je i ; ako je ostatak 2, rezultat je 1 ; ako je ostatak 3, rezultat je i ; ako je ostatak 0, rezultat je 1. To zapisujemo ovako i 4k+1 = i, i 4k+2 = 1, i 4k+3 = i, i 4k = 1. Tako je, na primjer, i 99 = i jer je 99 : 4 = 24 i ostatak 3. ZADACI Izračunaj: a (3 4i)+(5 + 18i) ; b (2 17i)+(5 7i) ; c ( i)+( 8 4.2i) ; ( 1 ) ( d ( i)+( i) ; e i + 7 ) i ; f (3 2 4i 3)+(7 2+11i 3). 2. Izračunaj z 1 + z 2, z 1 z 2 ako je a z 1 =3 4i, z 2 =4+3i ; b z 1 =5+6i, z 2 = 4 7i ; c z 1 =10 11i, z 2 =21+14i ; d z 1 = 2 18i, z 2 = 3 21i ; e z 1 =23+3i, z 2 =4 51i ; f z 1 = i, z 2= i ; g z 1 = i, z 2= i ; h z 1= i, z 2 = i ; i z 1 = 3+ 2i, z 2 = i Izračunaj 2z 1 3z 2, 2 z z 2 ako je a z 1 =5+6i, z 2 =1 i ; b z 1 =i, z 2 =14+15i ; c z 1 =31 45i, z 2 = 11 21i ; d z 1 = i, z 2 = 2.7+4i ; e z 1 = i, z 2= 5 2 +i ; f z 1= i, z 2= i. 10

11 1.4. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva 4. Ako je z 1 = 3 4i, z 2 = 5 + 7i,izračunaj: a z 1 +z 2 ; b z 1 z 2 ; c 2z 1 ; d 2z 1 +z 2 ; e 3z 1 +4z 2 ; f 3z 2 ; g z 1 3z 2 ; h 5z 1 10z 2 ; i 1 2 z 2 ; j 1 2 z z 2 ; k 3 4 z z 2 ; l 0.1z z Ako je z 1 = 2 i, z 2 = 5 + 3i, z 3 = 2 5i,izračunaj: a z 1 +z 2 +z 3 ; b 3z 1 z 2 z 3 ; c 8z 1 +10z 2 +2z 3 ; d 4z 1 2z 2 +7z 3 ; e z 1 2z z 1 3 ; f 2 z z z 3 ; g 5 8 z z z 3 ; h 2.1z z 2 1.8z 3 ; i 0.01z z z Izračunaj: a 12(4 7i) ; b 3( i) ; c (2 i)(2 + i) ; d (9 13i)(9 + 13i) ; e (7 2i)(8 + 4i) ; f (2 + i)(3 i) ; g (3 2i)( 5 4i) ; h ( 8 4i)( 2 i). 7. Izračunaj z w ako je: a z = 3 2i, w = 3 + 2i ; b z = i, w = 8 3i ; c z = i, w = i ; d z = 3 + 5i, w = i. 8. Izračunaj: a (2 i)(1 + 2i)(3 4i) ; b (1 + i)(2 + i)( 3 + i). 9. Ako je z 1 = 3 4i, z 2 = 2 + 5i,izračunaj: a z 1 z 2 ; b z 1 + z 1 z 2 ; c 1 z 1 z 2 ; d 2+11i z 1 z 2 ; e z 2 1 ; f z 2 2 ; g z 1 z 2 +z 1 z 2 ; h (z 1 +z 2 )(z 1 z 2 ). 10. Izračunaj z 2 ako je: a z = 2 + 3i ; b z = 1 i ; c z = 1 + i ; d z = 8 2i ; e z = i ; f z = 2 i. 11. Izračunaj z 2 3z + 5akoje: a z = 3 + 4i ; b z = 1 + i ; c z = 1 + 2i. 12. Koristeći formulu za kub binoma (x ± y) 3 = x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3 izračunaj z 3,akoje: a z = 1 i ; b z = 2 + 2i ; c z = 3 + i ; d z = 1 i 3; e z = 2 3i ; f z = 3 + 4i. 13. Izračunaj: a i 12 ; b i 21 ; c i 83 ; d i 141 ; e i 2002 ; f i Izračunaj: a i 2 +i 4 +i 6 +i 8 +i 10 ; b 1 i+i 2 i 3 ; c i 100 +i 101 +i 102 +i 103 ; d i 57 +i 59 +i 61 ; e (1+i 41 )(1+i 91 ) ; f (i 55 i 78 ) Izračunaj koliko je (1 + i) 2, (1 + i) 4, (1 + i) 6, (1 + i) 100, (1 + i)

12 1. Skupovi brojeva 1.4. Kompleksno konjugirani brojevi. Dijeljenje u skupu C Promotrimo li par brojeva z 1 = 3 2i i z 2 = 3+2i,uočavamo da su im realni dijelovi jednaki, a imaginarni su im dijelovi suprotni brojevi. Takve brojeve nazivamo kompleksno konjugirani brojevi. Dakle, ako je z = a + bi bilo koji kompleksni broj, njemu kompleksno konjugiran broj je z = a bi. PRIMJER 1. Odredimo kompleksno konjugirane brojeve brojeva z 1 = 4 3i, z 2 = 18i, z 3 = 7. z 1 = 4 + 3i, z 2 = 18i, z 3 = 7. PRIMJER 2. Izračunajmo z + z ako je z = 8 13i. z + z =(8 13i)+(8 + 13i) =8 13i i = 16. Uočimo da je 16 = 2 8 = 2 Re z. Dakle, zbroj dvaju me - dusobno kompleksno konjugiranih brojeva jednak je dvostrukom realnom dijelu tih brojeva. Kompleksno konjugiranje ima ova svojstva: Dokažimo prvo svojstvo: Ako je z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i,tadaje z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2. Analogno se dokazuje i drugo svojstvo. z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 )+(b 1 + b 2 )i =(a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 )i = a 1 b 1 i + a 2 b 2 i = z 1 + z 2. Promotrimo što je umnožak dvaju kompleksno konjugiranih brojeva. 12

13 1.4. Kompleksno konjugirani brojevi. Dijeljenje u skupu C PRIMJER 3. Izračunajmo umnoške i izvedimo zaključak o predznaku umnoška: a) (5 8i)(5 + 8i) ; b) (a + bi)(a bi). a) (5 8i)(5 + 8i) =5 2 (8i) 2 = 25 64i 2 = ( 1) = = 89 > 0; b) (a + bi)(a bi) =a 2 (bi) 2 = a 2 b 2 i 2 = a 2 b 2 ( 1) =a 2 + b 2 0. Dakle, umnožak dvaju kompleksno konjugiranih brojeva je uvijek nenegativan broj, i posebno, ako su ti brojevi različiti od 0, njihov je umnožak pozitivan broj. Ovo ćemo svojstvo koristiti pri dijeljenju kompleksnih brojeva. kompleksni brojevi. Pokažimo na primjeru kako se dijele PRIMJER 4. Izračunajmo z 1 z 2 ako je z 1 = 2 i, z 2 = 3 + 4i. Imaginarne se jedinice u nazivniku oslobodimo tako da razlomak z 1 je nazivnik tada z 1 z 2 =(a + bi)(a bi) =a 2 + b 2 realan broj. z 2 proširimo brojem z 2.Novi z 1 = 2 i z i = 2 i 3 + 4i 3 4i 3 4i (2 i)(3 4i) 6 8i 3i + 4i2 = = (3 + 4i)(3 4i) = 6 11i 4 = 2 11i = i. ZADACI Odredi broj kompleksno konjugiran broju: a 7 3i ; b 14 5i ; c i ; d i ; e 2i ; f 18i ; g 4; h 12.5; i 2 i ; j 2 + i ; k 1 π ; l 3 i Izračunaj z + z i z z ako je: a z = 2 3i ; b z = 4 + 5i ; c z= i ; d z = 10 ; e z = i ; f z = i. 3. Na brojevima z 1 = 3 4i i z 2 = 2 + 3i pokaži da vrijedi svojstvo z 1 z 2 = z 1 z 2. 13

14 1. Skupovi brojeva 4. Izračunaj: a d 5 + 3i ; b 10 + i ; 2i 8i c 14 3i ; e 10 ; 5i i f 5. Izračunaj: a f 2 1 i ; b i ; c i ; d 1 + 2i 3 2i i 1 i 6. Izračunaj: a ; g 3 + 2i 1 + i ; h 4 i 4 + i ; i 5 i 4 2i. 1 2 i i ; b i i ; c 7. Odredi realni i imaginarni dio sljedećih kompleksnih brojeva: a 8. Izračunaj: 7 2i ; 3i 12 + i. 2i ; e 4 + 5i 5 2i i i 8 + 3i 4 3i ; b 12 i 4 + i ; c 5 3i 5 + 3i. a 5 i 10 3i ; b 11 2i i ; c 1 1 i i ; d 2 i 2 + i 4 3 i.. ; 9. Izračunaj z + 1 z ako je: a z = 1 i ; b z = 2 + i ; c z = 1 + i ; d z = i. 10. Izračunaj realni dio broja 11. Izračunaj imaginarni dio broja 2 3i (3 + 4i)(1 + i). (3 4i)(1 + i) 2 + 3i 12. Odredi realni i imaginarni dio brojeva: ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 + i ) 2 ( 1 ) 3 a ; b ; c. d 3 + 4i 1 + i 1 i i 13. Izračunaj:. a i45 i 56 ; b i2007 i 2008 ( ) 2 + i i 2009 i 2010 ; c i 201 i ( i 78 i 87 ) 2 ; d ; i 307 i 98 i 101 ( 2 ) 28 ( e 1 3+i ) 2008 ( 1 i 81 ) 103 ( 1+i ) 1001 ; f ; g ; h. 3i 3 i 1+i 73 3 i 14

15 1.5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina 1.5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina Kao što smo vidjeli u prethodnoj temi, umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva je uvijek nenegativan realan broj, tj. ako je z = a + bi, imamo zz =(a + bi) (a bi) =a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 0. Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja z definira se kao kvadratni korijen iz broja a 2 + b 2. Apsolutnavrijednost ili modul kompleksnog broja z je broj z = a 2 + b 2. Drugim riječima, apsolutna vrijednost broja z jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata njegovog realnog i imaginarnog dijela, tj. z = (Re z) 2 +(Im z) 2. PRIMJER 1. Izračunajmo apsolutnu vrijednost brojeva: a) z = 3 + 4i ; b) z = 8i ; c) z = 12. a) Budući da je Re z = 3, Imz = 4, vrijedi z = ( 3) = = 25 = 5. b) Budući da je Re z = 0, Imz = 8, vrijedi z = = 8. c) Iz Re z = 12 i Im z = 0 slijedi z = ( 12) = 12. PRIMJER 2. Provjerimo da za brojeve z 1 = 3 + 4i, z 2 = 1 i vrijedi: z 1 z 2 = z 1 z 2 i = z 1 z 2. Izračunajmo umnožak z 1 z 2,količnik z 1 i odgovarajuće apsolutne vrijednosti. z 2 z 1 z 2 =(3 + 4i)(1 i) =3 3i + 4i 4i 2 = 7 + i, z 1 z 2 z 1 = 3 + 4i 1 + i 3 + 3i + 4i + 4i2 = z 2 1 i 1 + i = 1 + 7i, 2 15

16 1. Skupovi brojeva z 1 = = 5, z 2 = = 2, z 1 z 2 = = 50 = 5 2, z 1 ( z 2 = 1 2 ( 7 ) = 2) 2 4 = Sad je z 1 z 2 = 5 2 = z 1 z 2 i z 1 z 2 = 5 = 5 2 = z Svojstva z 1 z 2 = z 1 z 2 i kompleksne brojeve z 1, z 2. z 1 z 2 z 2 = z 1 vrijede, ne samo u ovom konkretnom slučaju nego i za sve z 2 Dokažimo prvo svojstvo. Neka su z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i.tadaje pa je Izračunajmo i z 1 z 2 z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 +(a 1 b 2 + a 2 b 1 )i z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) 2 +(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 = a 12 a 22 + b 2 1 b a 12 b a 22 b 2 1. z 1 z 2 = a 12 + b 12 = a 22 + b 2 2 = (a 12 + b 2 1 )(a 22 + b 2 2 ) a 12 a 22 + b 1 2 b a 12 b a 22 b 1 2. Očito je da vrijedi z 1 z 2 = z 1 z 2. Svaki se kompleksan broj z = a + bi u ravnini poistovjećuje s parom (a, b) Iz primjera 1.c) vidimo da se ovako definirana apsolutna vrijednost kompleksnog broja na skupu R podudara s pojmom apsolutne vrijednosti realnih brojeva koji smo usvojili u prethodnom razredu. Kao što realne brojeve prikazujemo na brojevnom pravcu, tako i kompleksni brojevi imaju svoj grafički prikaz. Njih prikazujemo u ravnini. Naime, kompleksni broj z = a+bi poistovjećujemo sure - denim parom (a, b) koji prikazujemo u Kartezijevom koordinatnom sustavu na uobičajeni način. Os apscisa koordinatnog sustava naziva se realna os, a os ordinata imaginarna os. Ravnina u kojoj se kompleksni brojevi prikazuju kao što smo opisali zove se kompleksna ili Gaussova ravnina. 16

17 1.5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina PRIMJER 3. Prikažimo u kompleksnoj ravnini brojeve z 1 = 2 + 4i, z 2 = 3 + 2i, z 3 = 3, z 4 = 3i. PRIMJER 4. Prikažimo u kompleksnoj ravnini broj z = 3 + 4i, a zatim izračunajmo njegovu udaljenost od ishodišta, te apsolutnu vrijednost. Udaljenost z od ishodišta izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka: d = = = 25 = 5. Apsolutnu vrijednost računamo prema formuli: z = a 2 + b 2 = = 5. Uočavamo da su apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = 3 + 4i i njegova udaljenost od ishodišta jednake. Promotrimo čemu je jednaka apsolutna vrijednost razlike dvaju kompleksnih brojeva. Neka su z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i dva kompleksna broja. Tada je z 1 z 2 =(a 1 a 2 )+(b 1 b 2 )i, pa je z 1 z 2 = (a 1 a 2 ) 2 +(b 1 b 2 ) 2. Dakle, z 1 z 2 jednako je udaljenosti izmedu - točaka (a 1, b 1 ) i (a 2, b 2 ), tj. to je udaljenost izmedu - brojeva z 1 i z 2 prikazanih u kompleksnoj ravnini. 17

18 1. Skupovi brojeva PRIMJER 5. Odredimo skup svih kompleksnih brojeva z za koje vrijedi: a) z = 2, b) z (1 + 2i) = 3. a) Tražimo one kompleksne brojeve z čija je udaljenost do ishodišta kompleksne ravnine jednaka 2. Dakle, radi se o točkama kružnice sa središtem u ishodištu i polumjera 2. b) Traženi brojevi su oni čija je udaljenost do broja z 0 = 1+2i jednaka 3. Svi takvi brojevi nalaze se na kružnici sa središtem z 0 = 1 + 2i i polumjerom 3. Ako taj uvjet prikažemo pomoću jednadžbe, tj. analitički, dobivamo: ako je z = x + yi,tadaje z (1 + 2i) = x + yi (1 + 2i) = (x 1)+(y 2)i = (x 1) 2 +(y 2) 2. Uvjet glasi: (x 1) 2 +(y 2) 2 =3, tj. (x 1) 2 +(y 2) 2 =9. To je analitički zapis kružnicesasredištem (1,2) i polumjerom 3. PRIMJER 6. Nacrtajmo u kompleksnoj ravnini skup točaka odre - den uvjetom: a) z 2 = z + 3 i, b) z i 2. a) Stavimo z = x + yi inademo - analitički zapis: x + yi 2 = x + yi + 3 i (x 2)+yi = (x + 3)+(y 1)i (x 2) 2 + y 2 = (x + 3) 2 +(y 1) 2 x 2 4x y 2 = x 2 + 6x y 2 2y + 1 y = 5x + 3 Dakle, traženi skup su točke pravca y = 5x + 3. To je, ustvari, simetrala dužine čije su rubne točke 2 i 3 + i. b) Skup točaka za koje vrijedi jednakost z i = 2su točke kružnicesasredištem i i polumjerom 2, a one za koje vrijedi znak su točke kruga istog središta i polumjera. 18

19 1.5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina PRIMJER 7. Prikažimo u kompleksnoj ravnini brojeve z 1 = 2 + i, z 2 = 3 + 2i i njihov zbroj z 1 + z 2. Izračunajmo zbroj: z 3 = z 1 + z 2 = 1 + 3i i nacrtajmo ga. Uočimo da je z 3 z 1 = z 2 i z 3 z 2 = z 1, pa vrijede jednakosti z 3 z 1 = z 2 0 i z 3 z 2 = z 1 0. Drugim riječima, točke 0, z 2, z 3 i z 1 odre - duju paralelogram čija je jedna dijagonala upravo spojnica točaka O i z 3. Povežemo li ovu sliku sa znanjem o vektorima i o zbrajanju vektora po pravilu paralelograma, vidimo da je Oz 3 = Oz 1 + Oz 2 Oz 3 vektori s početkom u O izavršnom točkom z 1, z 2 i z 3 redom. gdje su Oz 1, Oz 2 i ZADACI Izračunaj apsolutnu vrijednost kompleksnog broja z,akoje: a z = 3 + 4i ; b z = 1 3i ; c z = 5 12i ; d z = 1 2i ; e z = 1 + i ; f z = 10 ; g z = 12i ; h z = 14i ; i z = 21 ; j z = i ; k z = 3 2 i 2 ; l z = 2. Prikaži grafički kompleksne brojeve: a z 1 = 1 2i ; b z 2 = 2 + 3i ; c z 3 = 4 3i ; d z 4 = 6; e z 5 = 2i ; f z 6 = 3i. 3. Koji su kompleksni brojevi prikazani na slici? i. 19

20 1. Skupovi brojeva 4. Koji kompleksni brojevi odgovaraju točkama A( 3, 2), B(7, 8), C(0, 2), D( 4, 1), E(5, 2), F(3, 0)? Nacrtaj ih u kompleksnoj ravnini. 5. Nacrtaj u kompleksnoj ravnini dane brojeve i izračunaj im udaljenost od ishodišta: a z = 3 4i ; b z = 1 i ; c z = 2 + i ; d z = i. 6. Ako je z 1 = 3 4i i z 2 = i,izračunaj: a z 1 + z 2 ; b z 1 z 2 ; c z 1 z 2 ; d z 1 ; e z 2 ; f z 1 z 2 ; g z 1 ; h z 1 z 2 z 2 ; i Re z 1 + Im z 2 ; j z 1 Re z 2 ; k z 1 z 2 ; l 7. Izračunaj z 1, z 2, z 1 z 2 i z 1 z 2 ako je: a z 1 = 4+3i, z 2 = 5 12i ; b z 1 = 6 8i, z 2 = 15 8i ; c z 1 = 7i, z 2 = 3; d z 1 = 1+i, z 2 = 1 i. 8. Izračunaj z,akoje: z 1 + z 2 z 1 z 2. a z=(1+i)(1 i)(3+4i) ; b z=( 8+6i)(3 2i)( 3+2i) ; c z=( 3+i)( 1+ 3i)(4 3i) ; d z=(1+i) 7. e z=( 3 4i) 2 (1+ 3i) Izračunaj z,akoje: a z = 3 + 4i 8 15i ; b z = (1 + c z = 1 + i95 (1 2i)6 ; d z = 1 i95 ( 2 + 5i) 3. 2i)(1 + 3i) 1 + ; 5i 10. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka z za koje vrijedi uvjet: a z = 2; b z = 4; c z = 5; d z 1 = 2; e z 3 = 1; f z + 2 = 1; g z i = 2; h z + 3i = 1; i z 2 3i = Nacrtaj u kompleksnoj ravnini skup točaka odreden - uvjetom: a z 2 b z 1; c z + i 2; d z + 1 3i > 1; e z i < 2; f 1 < z Nacrtaj u kompleksnoj ravnini skup točaka odre - den uvjetom: a z 2 = z + 1 b z i = z + 2 ; c z = z 3 + 2i ; d z + 3i = z 4 + 2i. 13. Odredi skup točaka u kompleksnoj ravnini za koji vrijedi: a Im z = 2; b Re z = 3; c Im z = 0; d Im z = Re z. e Im z = 2Re z. f z z = Zadani su brojevi z 1 i z 2. Nacrtaj ih u kompleksnoj ravnini, te im po pravilu paralelograma odredi zbroj z 1 + z 2. Rezultat provjeri i računski. a z 1 = 2 + i, z 2 = 1 + 2i ; b z 1 = 1 i, z 2 = 2 + 3i ; c z 1 = 2 + 3i, z 2 = 4 2i ; d z 1 = 3 i, z 2 = 1 2i. 20

21 1.5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Kompleksna ravnina PREGLED GRADIVA Odnosi skupova brojeva N Z Q R C Skup kompleksnih brojeva C = {z = a + bi : a, b R}. Imaginarna jedinica i je broj za koji vrijedi i 2 = 1. Realni dio kompleksnog broja z = a + bi je realni broj a.označavamo: Re z = a. Imaginarni dio kompleksnog broja z = a + bi je realni broj b.označavamo: Im z = b. Broju z = a + bi kompleksno konjugiran broj je broj z = a bi. Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja z je broj z = a 2 + b 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 = z 1 z 2 z 1 z 2 je udaljenost brojeva z 1 i z 2 prikazanih u kompleksnoj ravnini. Potencije broja i : i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. z 2 21

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi u nastavi matematike

Kompleksni brojevi u nastavi matematike Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Lucija Kuna Kompleksni brojevi u nastavi matematike Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Vektori. 28. studenoga 2017.

Vektori. 28. studenoga 2017. Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina

Διαβάστε περισσότερα

AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)

AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα