OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

Transcript

1 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja = 00 ( ) = 00 = UKUPNO 4 BODA : ( ) = = = UKUPNO 4 BODA 3. Svaka knjiga ima po korice pa je ukupan broj korica 6, a njihova ukupna debljina mm. Ukupan broj stranica je odnosno 30. Zato je ukupna debljina svih stranica jednaka 30:0 odnosno 3 mm. Na kraju, debljina svi knjiga zajedno je + 3 odnosno 47 mm.... UKUPNO 4 BODA 4. Najveći jednoznamenkasti broj je 9, a najveći dvoznamenkasti broj je 99 pa je 999 = = Dakle, treba dodati 0 puta... UKUPNO 4 BODA. Znamenka 7 se pojavljuje u brojevima 7, 7, 7, 37, 47, 7, 67, 70, 7, 7, 73, 74, 7, 76, 77, 78, 79, 87 i 97. Dakle, znamenka 7 je napisana 0 puta... UKUPNO 4 BODA 6. Ana Beata, Ana Cvijeta, Ana Danijela, Ana Ema Beata Cvijeta, Beata Danijela, Beata Ema Cvijeta Danijela, Cvijeta Ema Danijela Ema Poklone mogu razmijeniti na 0 načina. ( za svaku razmjenu bod ). UKUPNO 0 BODOVA 7. U utorak je obojio 4 letvice više nego u ponedjeljak, u srijedu 8 letvica više, u četvrtak letvica više, u petak 6 letvica više i u subotu 0 letvica više nego u ponedjeljak. Kako je = 60, to znači da je obojio ukupno 60 letvica više nego da je svaki dan obojio kao u ponedjeljak. S obzirom da je = 86 i 86 : 6 = 3, onda je u ponedjeljak obojio 3 letvicu. U srijedu je obojio 8 letvica više nego u ponedjeljak odnosno 39 letvica... UKUPNO 0 BODOVA 8. A B C D E Dužine su:. ( za svaku dužinu bod )... UKUPNO 0 BODOVA

2 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00.. razred-rješenja. 8 ima 6 djelitelja:,, 3, 6, 9 i 8. 4 ima 8 djelitelja:,, 3, 4, 6, 8, i ima 3 djelitelja:, 7 i 49. Najviše djelitelja ima broj 4.. Kako su razlike uzastopnih članova 7 =, 7 7 = 0 i 37 7 = 0, te je 0 : = i 0 : 0 =, onda sljedeća razlika treba biti 0 = 40, a zatim 40 = 80. Zato u nizu slijedi broj = 77 odnosno = 7 Dva broja koji nastavljaju niz su 77 i UKUPNO 4 BODA 3. U zadanom vremenskom razdoblju sat će se oglasiti 87 = 86 puta. Dijeljenjem 86 :, dobit ćemo 7 i ostatak. Sat je u tom vremenu napravio 7 ciklusa tik, tak, tok, bim, bam te proizveo još jedan zvuk. Sljedeći po redu nakon tik jest zvuk tak = = = = Ako je najmanji od tih brojeva, srednji po veličini je 3, a najveći 3 3 = 9. Uvjete zadatka opisuje jednadžba = 48. Tada je 3 = 48, odakle je = 48 : 3 = 37. Traženi brojevi su 37, i Prirodni broj je djeljiv s ako je djeljiv i s 3 i s. Da bi bio djeljiv s, zadnja znamenka mu mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbroj znamenaka mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj četvorki djeljiv s 3 je Traženi broj je broj UKUPNO 0 BODOVA

3 7. Traženi su brojevi oblika abcde, pri čemu znamenke zadovoljavaju uvjete: b je iz skupa {3,, 7} pa je biramo na 3 načina, c je iz skupa {6, 8, 9}te je biramo na 3 načina, d je bilo koja od zadanih znamenaka pa je biramo na 8 načina, e je iz skupa {0, 6, 8}, no zbog a = e mora biti e 0 što znači da je biramo na načina i a je određena znamenkom e. Ukupan broj brojeva koji zadovoljavaju uvjet je = 44. UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je duljina kraće stranice pravokutnika izražena u centimetrima. Tada je duljina dulje stranice 4. Opseg tog pravokutnika je ( + 4) = 0 pa je = 0 = 4 BODA Stranica kvadrata dugačka je 4 = 8 cm pa je površina 64 cm. 4 BODA UKUPNO 0 BODOVA

4 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. Kako je 0. i 3 0, onda i Dalje je 3 odnosno.... UKUPNO 4 BODA. Neka je ukupan broj kuglica u kutiji. Kako je 7, crvene i plave kuglice čine 7 ukupnog broja kuglica Preostale kuglice su zelene pa ih ima. S obzirom da zelenih kuglica ima 0, vrijedi 0. Dakle, 0 : 4. U kutiji su ukupno 4 kuglice..... UKUPNO 4 BODA 3. Neka je traženi broj. Prema uvjetima zadatka možemo pisati (4 ) 8(9 ) Traženi broj je UKUPNO 4 BODA 4. Neka je veličina kuta uz osnovicu tog trokuta. Tada je + 0 veličina kuta među krakovima tog trokuta. Zato vrijedi = 80 Dalje je = 80, odnosno 3 = 60, pa je = 3 0'. Kutovi trokuta su veličine 3 0', 3 0' i 73 0'..... UKUPNO 4 BODA. Neka je količina dovezenog krumpira. Kako je 3 7 količina prodanog krumpira, onda je 3 4 ostatak. 7 7 Zato vrijedi Dalje je odnosno Na kraju je = 470. Dostavljač je na tržnicu dovezao 470 kg krumpira.

5 6. Neka je broj boca od 0.8 l. Tada je 78 broj boca od 3 4 l. 3 Zato vrijedi 0.8 (78 ) Rješavanjem jednadžbe slijedi = BODA Napunjeno je 30 boca od 0.8 l i 48 boca od 3 4 l..... UKUPNO 0 BODOVA c vc a b 7. Površinu pravokutnog trokuta računamo: c c.4 6 c = m.... UKUPNO 0 BODOVA 8. F D C G E A B Prema uvjetima zadatka je AC = BC = b (to su kraci jednakokračnog trokuta). Nadalje je CD = CF = b (stranica kvadrata). Konačno, ACD = ACB + BCD = γ + 90 i BCF = BCA + ACF = γ + 90, pa vrijedi ACD = BCF. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta zaključujemo da je ΔACD ΔBCF. Iz dokazane sukladnosti slijedi AD = BF. UKUPNO 0 BODOVA

6 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. y y A B S B S D C C Sjecište dijagonala kvadrata je u točki S(, ). Dijagonale kvadrata su okomite i jednakih duljina, a točka S je njihovo zajedničko polovište. Tada je A(, 8) i D(7, )... UKUPNO 4 BODA. : = 4 cm : 80 km = 4 cm : cm Traženo mjerilo je : UKUPNO 4 BODA 3. Iz uvjeta zadatka moguće je sastaviti jednakost Nakon što Hrvoje napusti skupinu jednakost glasi Oduzimanjem druge jednakosti od prve dobivamo da je 6 = Dakle, Hrvoje ima 4 godinu... UKUPNO 4 BODA 4. Neka je c početna cijena krumpira. To znači da domaćica raspolaže s 0c kn. Nakon sniženja će nova cijena biti c 0%c = 0.8c. Ako je količina krumpira kojeg može kupiti po novoj cijeni, onda vrijedi 0.8c = 0c. Rješavanjem jednadžbe slijedi =. Po novoj cijeni se može kupiti kg... UKUPNO 4 BODA. Prva osoba za jedan dan obavi posla, a druga osoba posla. 6 Oni skupa za jedan dan mogu obaviti 3 posla. 6 4 Dakle, za cijeli posao im treba 4 dana... UKUPNO 4 BODA

7 6. D y C A y B Označimo dimenzije početnog pravokutnika s i y. Vrijedi: BC = 3y, AB = DC = + y, AD =. Kako je BC = AD, onda je 3y = odnosno =.y. Neka je p površina početnog pravokutnika. Tada je p = y =.y y Dalje je p ABCD = p = 7.y y = 70 odnosno y y = 0 pa je y = 0 cm. Slijedi = cm. AB = + y = cm BC = 3y = 30 cm Na kraju,o ABCD = AB + BC = 0 cm... UKUPNO 0 BODOVA 7. Produljeni razmjer a : b : c = : 3 : 3. možemo pisati u obliku a : b : c = 30:80 :48, odnosno a : b : c = : 40 : 4. Tada vrijedi a =, b = 40 i c = 4,. Prema uvjetu zadatka je c = b 8 km, tj. 4 = Iz posljednje jednadžbe nalazimo da je = 0.. Udaljenosti tvornica A, B i C od luke su redom 7. km, 0 km i km... UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je s odnosno s duljina puta od mjesta A do mjesta B odnosno duljina puta u povratku. Neka je t odnosno t vrijeme provedeno u vožnji od mjesta A do mjesta B odnosno u povratku. Neka je v odnosno v prosječna brzina na putu do mjesta B odnosno u povratku Tada je s s 0.6s 0.74s, t i t s s Dalje je v i v t t 37 s 6 s s s t Zato vrijedi v: v : t t t s s Dakle, v : v = 4 : UKUPNO 0 BODOVA

8 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. Količnici uzastopnih članova su, 4, 8. Kako je 4 : = i 8 : 4 =, onda sljedeći količnik treba biti 8 = 6, a zatim 6 = 3. Zato u nizu slijedi broj 9 6 = 307, odnosno = UKUPNO 4 BODA. Potrebno je uočiti da je = (0 4 ) Iz toga slijedi jednakost (0 4 ) 9999 = Dakle, iza znamenke biti će nula, pa će broj imati znamenaka... UKUPNO 4 BODA 3. Površina romba je jednaka polovini umnoška duljina njegovih dijagonala p p p 4 Površina romba iznosi 4 cm... UKUPNO 4 BODA 4. 4a 4ab a 3 ab 4 a ( a b) = a ( a b ) = = 4 a ( a b) a a b a b = 4 = a b.. UKUPNO 4 BODA. Vrijedi a 4a + 00 = a a = (a ) Za a = najmanja vrijednost je UKUPNO 4 BODA 6. Iz a : b = 8 : slijedi da je a = 8 i b =,. Primjenom Pitagorina poučka dobiva se c = (8) + (), tj. c = 89. Duljina hipotenuze je c = 7. Opseg trokuta je 00 cm pa je = 00. Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo =.. Duljine stranica trokuta su a = 0 cm, b = 37. cm i c = 4. cm.... UKUPNO 0 BODOVA

9 7. Broju n prethodnik je broj n,a sljedbenik n +. Iz uvjeta zadatka slijedi jednadžba: n 49 = 3(n ) (n + ) n 49 = 3(n n + ) (n + n +) n 49 = 3n 6n + 3 n 4n 0n = 0 n = Traženi broj je, a njegov sljedbenik UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka su AD visina na krak BC i CE visina na osnovicu AB. Kako je BC < AB, onda je AD > CE. To znači da je AD = 4 cm, a CE = 0 cm. AB CE BC AD Kako je p, onda vrijedi 0 AB = 4 BC 6 odnosno AB BC. AB Primijenimo li Pitagorin poučak na ΔBCE, slijedi 0 BC, odnosno nakon sređivanja BC = cm i AB = 30 cm. 4 BODA Na kraju, o = AB + BC = 30 + = 80 cm.... UKUPNO 0 BODOVA