Energijske tehnologije
|
|
|
- Φωτινή Δαγκλής
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ograničenja pretvorbama i pretvorbe oblika energije u eksergiju (mehanički rad) Vladimir Mikuličić, Davor Grgić, Zdenko Šimić, Marko Delimar FER, 2013.
2 Teme: 1. Organizacija i sadržaj predmeta 2. Uvodna razmatranja 3. O energiji 4. Energetske pretvorbe i procesi u termoelektranama 5. Energetske pretvorbe i procesi u nuklearnim el. 6. Geotermalna energija 7. Energetske pretvorbe i procesi u hidroelektranama 8. Potrošnja električne energije 9. Prijenos i distribucija el. en. 10.Energija Sunca 11.Energija vjetra 12.Energija biomase, Gorivne ćelije i ostale neposredne pretvorbe 13.Skladištenje energije 14. Energija, okoliš i održivi razvoj : Organizacija i sadržaj predmeta 2
3 Sadržaj O mogućnostima pretvorbi oblika energije u mehanički rad (eksergiju) Drugi glavni stavak termodinamike Entropija i drugi glavni stavak termodinamike Entropija i nepovratljivost Promjena entropije sustava (idealnog plina, kapljevine i krutine) T,s dijagrami procesa s idealnim plinom Usporedba termičkih stupnjeva djelovanja Određivanje eksergije i anergije Eksergija toplinske energije (unutrašnje energije) Eksergija gj unutrašnje kaloričke energije gj (zatvorenog sustava) Eksergija entalpije (otvorenog sustava) Određivanje eksergije pomoću h,s - dijagrama Eksergija plina Eksergija vodene pare Ukratko Pi Primjeri i Što treba znati (naučiti) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 3
4 Perpetuum mobile druge vrste granica ZS dov dov dov DKP LJKP odv odv raspoloživ DKP LJKP MORE (HLADNI SPREMNIK) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 4
5 Mehanički rad zajedničkog rada kružnih procesa: ljevokretnog i desnokretnog : Ograničenja pretvorbama oblika energije 5
6 O mogućnostima pretvorbi oblika energije u mehanički rad (eksergiju) što će se dogoditi? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 6
7 O mogućnostima pretvorbi oblika energije u mehanički rad (eksergiju) što će se dogoditi? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 7
8 Što je zajedničko opisanim procesima (događanjima)? Početno nejednolika raspodjela gustoće akumulirane energije, zatim spontani (samonikli, samopoticajni, samopokretački, samoodržavajući) proces promjene nejednolike raspodjele gustoće energije u jednoliku. Očito, radi se o nejednolikoj raspodjeli gustoće oblika energije a ne o ukupnim količinama energije: gj : Ograničenja pretvorbama oblika energije 8
9 Nepovratljivi procesi izjednačavanja Procesi su izjednačavanja gustoća energije, čini se, jednosmjerni: j nepovratljivi i su. Što to znači?... trajna i zabilježiva promjena u sustavu ili okolici, i odnosno i u sustavu i okolici Procesi su uspostavljanja jednolike raspodjele gustoće ć energije, a to su zapravo jedini i procesi što se odvijaju u našem makroskopskom svijetu, nepovratljivi i procesi: procesi koji uzrokuju smanjivanje raspoloživih količina eksergije : Ograničenja pretvorbama oblika energije 9
10 Zašto se odvijaju nepovratljivi procesi? Zašto se u našem svijetu neprestano odvijaju (energetski) procesi uspostavljanja j jednolike raspodjele gustoće energije? Zbog toga jer je stanje jednolike raspodjele gustoće energije stanje veće vjerojatnosti od stanja nejednolike raspodjele gustoće energije. Kako to pokazati? Formulacija se spontana promjena nejednolike u jednoliku raspodjelu gustoće energije naziva drugim glavnim stavkom termodinamike. : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 10 tehnologije
11 Drugi glavni stavak termodinamike kako to da postoji problem opskrbe energijom ako je energija nestvoriva i neuništiva (oduvijek je bila tu i uvijek će biti)? je li moguće ć provoditi kružni proces sa samo jednim toplinskim spremnikom, je li je moguće svu (toplinsku) energiju dovedenu u (kružni) proces, ili neki sličan proces odnosno procese, trajno pretvarati u mehanički rad? je li moguće unutrašnju kaloričku energiju akumulirana u okolici (u podsustavima okolice: zraku vodi i tlu) pretvoriti u mehanički rad? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 11
12 Drugi glavni stavak termodinamike izvorne formulacije sažima iskustva i logička razmišljanja nije zakon jer ne može direktnim argumentima ništa potvrditi ili dokazati u osnovi odgovara na pitanje kako to da postoji problem opskrbe energijom kad se energija ne može ni stvoriti ni uništiti ne tvrdi da je nešto nemoguće već samo jako, jako, jako malo vjerojatno Toplina ne može sama od sebe prijeći od hladnijeg tijela na toplije, i to ni neposredno ni posredno. Nije moguće izgraditi periodički stroj koji ne bi proizvodio ništa drugo do dizanja nekog tereta (mehanički rad) uz odgovarajuće ohlađivanje jednog toplinskog spremnika. ( perpetuum mobile druge vrste ) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 12
13 Drugi glavni stavak termodinamike S obzirom na vladanje eksergije i anergije u povratljivim i i nepovratljivim i procesima vrijedi sljedeće: u svim se nepovratljivim (nepovratnim) procesima pretvara eksergija u anergiju (to bi ujedno mogla biti definicija nepovratljivih procesa: procesi u kojima se eksergija pretvara u anergiju) samo u povratljivim (povratnim) procesima ostaje eksergija konstantna (moguća definicija povratljivih procesa: procesi u kojima se eksergija ne pretvara u anergiju) nemoguće je anergiju pretvoriti u eksergiju; proces u kojem bi se anergija pretvarala u eksergiju je nemoguć : Ograničenja pretvorbama oblika energije 13
14 Entropija, veličina stanja - nedvosmisleno određivanje vrste procesa Zašto? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 14
15 Promjena entropije, povratljivost i nepovratljivost : Ograničenja pretvorbama oblika energije 15
16 Promjena entropije, povratljivost i nepovratljivost : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 16 tehnologije
17 Promjena entropije, povratljivost i nepovratljivost ostaje li entropija AS konstantna (ds AS = 0), za vrijeme energetskih procesa, u adijabatskom se sustavu odvijaju povratljivi procesi: sva eksergija ostaje sačuvana, č ništa se eksergije ne pretvara u anergiju raste li entropija AS (ds AS > 0), radi se o nepovratljivim procesima. Što je veći porast entropije, to je promatrani proces lošiji, dalje od povratljivog: više se eksergije pretvara u anergiju smanjuje je li se entropija AS (ds AS <0) 0), radi adiseo nemogućim procesima: pokušajima pretvaranja anergije u eksergiju (perpetuum mobile druge vrste) : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 17 tehnologije
18 Još neke formulacije : Ograničenja pretvorbama oblika energije 18
19 Još neke formulacije Svi su prirodni procesi nepovratljivi. Povratljivi su procesi samo idealizirani granični slučajevi nepovratljivih procesa. Entropija adijabatskog sustava raste s vremenom dosežući svoju maksimalnu vrijednost. (Povezivanje entropije s raspodjelom gustoće energije i s procesom izjednačavanja j početno nejednolike raspodjele gustoće energije u adijabatskom sustavu.) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 19
20 Entropija i nepovratljivost - rad trenja F konst. F 0 : Ograničenja pretvorbama oblika energije 20
21 Entropija i nepovratljivost prijelaz toplinske energije preko konačne razlike temperatura : Ograničenja pretvorbama oblika energije 21
22 Što je s energetskog stajališta porast entropije? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 22
23 Što je s energetskog stajališta porast entropije? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 23
24 Što je s energetskog stajališta porast entropije? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 24
25 Promjena entropije sustava : Ograničenja pretvorbama oblika energije 25
26 Promjena entropije sustava izohorni proces izobarni proces izotermni proces ds ds v p ds T c c v p dt T dt T dv R v R dp p adijabatski povratljivi proces naziva se izentropskim procesom: ds = 0 politropski proces ds n c n dt T : Ograničenja pretvorbama oblika energije 26
27 T,s dijagram KS(2) PS(1) dq q 12 KS(2) PS(1) Tds 0 1 ds 2 : Ograničenja pretvorbama oblika energije 27
28 Izotermni proces : Ograničenja pretvorbama oblika energije 28
29 Izentropski i adijabatski proces : Ograničenja pretvorbama oblika energije 29
30 Izohorni proces, određivanje specifične topline pomoću T,s s- dijagrama : Ograničenja pretvorbama oblika energije 30
31 Izohorni proces, određivanje specifične topline pomoću T,s s- dijagrama : Ograničenja pretvorbama oblika energije 31
32 Izobarni proces p 1 = konst. p 2 = konst. izo ohora izobara : Ograničenja pretvorbama oblika energije 32
33 Politropski proces (1 < n < κ c n <0) adijabata izohora izobara v = konst. n = izoterma politropa, 1 < n < κ β 0 c n : Ograničenja pretvorbama oblika energije 33
34 Kružni proces w = q dov - q odv : Ograničenja pretvorbama oblika energije 34
35 Usporedba termičkih stupnjeva djelovanja : Ograničenja pretvorbama oblika energije 35
36 Primjena 2. glavnog stavka termodinamike : Ograničenja pretvorbama oblika energije 36
37 Primjena 2. glavnog stavka termodinamike F konst. F 0 stanje okolice (mehanička i toplinska ravnoteža s okolicom) termodinamička ravnoteža : Ograničenja pretvorbama oblika energije 37
38 Određivanje eksergije i anergije 1. Kad možemo iz nekog sustava dobiti (dobivati) mehanički rad, odnosno, istovjetno pitanje, kad možemo iz neke energije dobiti eksergiju? 2. Koliko maksimalno rada možemo dobiti iz takvog sustava? (Kolika je eksergija energije?) 3. Kako se mora odvijati proces da iz takvog sustava dobijemo maksimalni rad (eksergiju)? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 38
39 Eksergija toplinske energije (unutrašnje energije) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 39
40 Eksergija toplinske energije (unutrašnje energije) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 40
41 Gubici eksergije pri prijelazu toplinske energije : Ograničenja pretvorbama oblika energije 41
42 Eksergijski gjs stupanj supa jdjeo djelovanja ja Prijelaz toplinske energije gj : Ograničenja pretvorbama oblika energije 42
43 Eksergija unutrašnje kaloričke energije (zatvorenog sustava) dov ok sustava CKP dov ok ok F konst. ok plina max ok : Ograničenja pretvorbama oblika energije 43
44 Eksergija unutrašnje kaloričke energije (zatvorenog sustava) T ok Legenda dq dov = T ok ds dq = T ds T 0 ds s = ds > 0 w pov = u 1 u 2 T ok (s 1 s 2 )+ +p ok (v 1 v 2 ) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 44
45 Eksergija unutrašnje kaloričke energije (zatvorenog sustava) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 45
46 Eksergija plinova izgaranja p ok 3 (T ok ) 1 (T 1 >> T ok ) x p 2 2 (T ok ) 0 v 3 v 1 v 2 v p ok p ok p ok p 2 << p ok p ok F konst. KS (3) PS (1) MS (2) : Ograničenja pretvorbama oblika energije 46
47 Eksergija entalpije (otvorenog sustava) dq dov DCKP dw CKP dq dw t u, p, v, h, c, z u ok, p ok, v ok, h ok, c ok, z ok w h h T s s 1 2 ok 1 2 : Ograničenja pretvorbama oblika energije 47 pov
48 Određivanje eksergije pomoću h,s - dijagrama h eks 1 = konst. eks 2 = konst. T 2 eks = 0 (pravac okolice) eks i = konst. h ok St ok T ok p ok 0 s ok s : Ograničenja pretvorbama oblika energije 48
49 Eksergija gj plina p 2 > p ok h 1 p 1 > p ok 2 T 1 = T 2 > T ok p 1 > p 2 eks 2 = h 2 h' 2 h 1 -h ok 2' h 2 -h ok eks 1 = h 1 h' 1 St ok T ok T ok (s 2 -s ok) h ok T ok (s 1 -s ok) p ok 1' pravac okolice 0 s 1 s ok s 2 s eks 1 -eks 2 =? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 49
50 Eksergija vodene pare proces isparivanja : Ograničenja pretvorbama oblika energije 50
51 Proces zagrijavanja isparivanja vode, pregrijanja pare : Ograničenja pretvorbama oblika energije 51
52 Toplinska energija za zagrijavanje, isparivanje i pregrijavanje K p pk e T isp b 2 vrela tekućina c 3 d 1 a MOKRA PARA područje isparivanja suha para q z q p s a s b (s') s c (s'') s d : Ograničenja pretvorbama oblika energije 52
53 h,s dijagram za vodu : Ograničenja pretvorbama oblika energije 53
54 Kosokutni h,s dijagram za vodu : Ograničenja pretvorbama oblika energije 54
55 Entalpija zagrijavanja, isparivanja i pregrijavanja q ae = q z + r + q p = (h b h a ) + (h d h b ) + (h e h d ) = (h e h a ) e p pk K q p d T isp c q ae pk isp r q z = h b -h a a b q z r = h d - h b q p = h e -h d q ae = q z + r + q p = h e -h a 0 s' s'' s : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 55 tehnologije
56 Entalpija zagrijavanja, isparivanja i pregrijavanja : Ograničenja pretvorbama oblika energije 56
57 Entalpija isparivanja u T,s dijagramu p K T K K p = konst. : Ograničenja pretvorbama oblika energije 57
58 Entalpija zagrijavanja, isparivanja i pregrijavanja, mehanički rad promjene volumena i promjena UKE za vrijeme procesa : Ograničenja pretvorbama oblika energije 58
59 Određivanje eksergije vodene pare iz h,s - dijagrama : Ograničenja pretvorbama oblika energije 59
60 Ukratko Govorili o smo o spoznajama a 2. glavnog ga stavka a termodinamike i odredili maksimalni mehanički rad koji se može dobiti iz različitih oblika energije. Pokazali smo kako se pomoću proračuna promjene entropije adijabatskog sustava određuju gubici mehaničkog rada (eksergije), uzrokovani odvijanjem realnih, nepovratljivih procesa, kao i kako se određuje, pomoću hs h,s dijagrama, eksergija energije akumulirane u fluidu. : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 60 tehnologije
61 Primjer 1. Adijabatski spremnik krutih stijenki podijeljen je adijabatskom pregradom u dva jednaka dijela, 0,5 m 3 svaki. U jednom je dijelu idealni plin (R=287,0 J/kgK, κ=1,4), a drugi je zrakoprazan. Podigne li se pregrada koliki će zbog toga biti gubitak mehaničkog rada po 1 kg plina? Temperatura je okolice 300K, a tlak 0,1 MPa. Rj. w gub = T ok δs AS [J/kg] : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 61 tehnologije
62 Primjer 1. ds AS dq du pdv dt c v T T T dv dv R R ( u konst. du 0) v v v 2v 2 1 s R ln Rln Rln 2 AS v v 1 1 w gub = Tok Rln2 [J/kg] = = 300K 287,0 J/kgK ln2 = ,97 J/kg : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 62 tehnologije
63 Primjer 2. U kondenzatoru termoelektrane odvodi se u okolicu 2000 MWh toplinske energije u jednom satu. Ukoliko je temperatura rashladne vode (okolice) 20 0 C, a temperatura kondenzata (pare odnosno vode u kondenzatoru) 27 0 C, koliko se anergije iz termoelektrane odvodi u okolicu u jednom satu? Rj. anergija = energija - eksergija : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 63 tehnologije
64 Primjer 2. Tok anergija q q (1 ) odv odv T kond T 293,15 q 1 1 ok odv T 300,15 kond 1.953,36MWh 2.000MWh : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 64 tehnologije
65 Primjer 3. Odredite maksimalni mehanički rad koji možemo dobiti iz 1 m 3 vakuuma. Tlak je okolice 100 kpa, a temperatura 300 K. Rj. Budući da vakuum ne sadrži masu, m = 0, to je U = mu = 0, S = ms = 0, dobivamo: Eks vakuuma = W max vakuuma = U U ok T ok (S S ok ) s + p ok (V V ok ) = =[ (1 0)] kj = 100 kj V ok =0: u stanju je okolice volumen vakuuma jednak nuli : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 65 tehnologije
66 Primjer 3. Objašnjenje: da bi se ostvario vakuum, pumpa za vakuum troši eksergiju (mehanički rad). Vakuum je dakle produkt obavljanja rada. Energija je neuništiva, taj mehanički rad (eksergija) ostaje pohranjen u vakuumu (u radom stvorenoj neravnoteži između đ vakuuma i okolice); vakuum posjeduje eksergiju ili radnu sposobnost. : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 66 tehnologije
67 Primjer 4. Akumulator automobila osigurava 5,2 MJ električne energije za pokretanje motora. Rad se akumulatora zamjenjuje j j s radom komprimiranog zraka tlaka 7 MPa i temperature 25 0 C. Temperatura je okolice isto 25 0 C, tlak okolice 100 kpa, a R zraka 287 J/kgK. Koliki mora biti obujam spremnika zraka, u idealnom slučaju, da bi rad zraka bio jednak 5,2 MJ? : Ograničenja pretvorbama oblika energije 67
68 Primjer 4. Odredimo eksergiju zraka tlaka 7 MPa i 25 0 C. (Zrak u spremniku smatramo sustavom.) eks w max u u ok T s s p v v u u ok = 0 (Temperatura je sustava jednaka temperaturi okolice.) s s ok = - δs s ok s ok vok ds s ok s Rln dt 0 v ok ok dq dt ds cv T T R ok dv v : Ograničenja pretvorbama oblika energije Energijske 68 tehnologije
69 Primjer 4. Dobivamo: s s ok R ln v v ok R ln p p ,287kJ / kgk ln 1, RT 0, ,15 3 v 0,0122m / kg p 7000 v RTok 0, ,15 3 k 0,856 m / p 100 / ok ok ok kg : Ograničenja pretvorbama oblika energije 69
70 Primjer 4. i dalje: eks = w max = 0 298,15 (-1,219) (0,0122 0,856) = 279,06 kj/kg. Da bismo dobili rad od 5,2 MJ, masa zraka mora biti: Eks 5200 Eks m eks m 18, 63 kg eks 279,1 a volumen zraka: V = mv = 18,63kg 0,0122 m 3 /kg = 0,227 m 3. : Ograničenja pretvorbama oblika energije 70
71 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( hr/predmet/enepre) analitički oblik drugog glavnog stavka termodinamike Clausiusova nejednakost (Clausiusova matematička definicija drugog glavnog stavka termodinamike) donja granična krivulja ki drugi glavni stavak termodinamike (neke od formulacija) eksergetski ki stupanj djelovanja j eksergija entalpije (otvorenog sustava) eksergija toplinske energije (unutrašnje energije) eksergija unutrašnje kaloričke energije (zatvorenog sustava) entalpija isparivanja u T,s dijagramu faktor realnosti : Ograničenja pretvorbama oblika energije 71
72 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( gornja granična krivulja gubitak eksergije izazvan trenjem gubitak eksergije pri prijelazu toplinske energije preko konačnih č razlika temperatura t gubitak eksergije u kondenzatoru gubitak eksergije zbog prijelaza toplinske energije preko konačnih razlika temperatura gubitak mehaničkog rada (eksergije) h,s dijagram isparivanje i vode i pregrijavanje j vodene pare uz konstantni t tlak prikaz u T,v dijagramu : Ograničenja pretvorbama oblika energije 72
73 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( kada je moguće energiju akumuliranu u nekom sustavu pretvoriti u mehanički rad (eksergiju) kritična izobara kitič kritična temperaturat kritično stanje (kritična točka) maksimalni ki likorisni imehanički rad (eksergija) zatvorenog sustava maksimalni rad (eksergija) vrućih plinova mokra para Mollierov dijagram nepovratljivost procesa s trenjem određivanje eksergije i anergije : Ograničenja pretvorbama oblika energije 73
74 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( hr/predmet/enepre) određivanje eksergije pomoću h,s dijagrama određivanje eksergije plina pomoću h,s dijagrama određivanje eksergije vodene pare iz h,s dijagrama određivanje entalpija zagrijavanja, isparivanja i pregrijavanja iz h,s dijagrama određivanje specifičnog toplinskog kapaciteta t pomoću ć T,s dijagrama parne tablice perpetuum mobile druge vrste (kombinirani rad desnokretnog i ljevokretnog kružnog procesa) povratljivi rad pravac okolice : Ograničenja pretvorbama oblika energije 74
75 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( pregrijana para primjeri promjene nejednolike raspodjele gustoće energije u jednoliku princip i rasta entropije promjena entropije sustava (idealnog plina, kapljevine i krutine) stanje okolice suha (zasićena ili suhozasićena) para što s energetskog stajališta predstavlja (znači) porast entropije T,s dijagram T,s dijagram kružnog procesa : Ograničenja pretvorbama oblika energije 75
76 Što treba znati (naučiti) 06 Ograničenja pretvorbama oblika energije u eksergiju ( T,s dijagram promjene stanja vode i vodene pare za vrijeme zagrijavanja, isparivanja i pregrijavanja T,s dijagrami procesa s idealnim plinom termodinamička ičk ravnoteža : Ograničenja pretvorbama oblika energije 76
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1
Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih
Drugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
Zadatci za vježbanje Termodinamika
Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Termodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
4. Termodinamika suhoga zraka
4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
TEHNIČKA TERMODINAMIKA
UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP
Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( )
Teorijski dio ispita iz Termodinamike I (08. 09. 2010.) Iz opće jednadžbe politrope pv n = konst. izvedite njezinu diferencijalnu jednadžbu u p,v koordinatama. Napišite izraz čemu je jednak eksponent politrope
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1
(Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Iz poznate entropije pare izračunat ćemo sadržaj pare u točki 2, a zatim i specifičnu entalpiju stanja 2. ( ) = + 2 x2
1. zadata Vodena para vrši promjene stanja po desnoretnom Ranineovom cilusu. Kotao proizvodi vodenu paru tlaa 150 bar i temperature 560 o C. U ondenzatoru je tla 0,06 bar, a snaga turbine je 0 MW. otrebno
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu Toplina / Molekularno-kinetička teorija / Termodinamika 1. Temperatura apsolutne nule iznosi C. Temperatura od 37 C iznosi K. Ako se temperatura tijela povisi od 37 C na 39 C
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
EKONOMIČNA PROIZVODNJA I RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE
List:1 EKONOMIČNA PROIZVODNJA I RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE NEKI PRIMJERI ZA RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE UTJECAJNI FATORI EKONOMIČNOSTI POGONA: Konstrukcijska izvedba energetskih ureñaja, što utječe
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio
Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio 1.2.3 Unutarnja energija Molekularno kinetička teorija nam tumači, da se molekule nekog tijela, ili tvari, nalaze u gibanju i pri tome se međusobno sudaraju. Zavisno
12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.
12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
odvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa
.vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
4. PRETVORBE OBLIKA ENERGIJE
4. PRETVORBE OBLIKA ENERGIJE 4.1. Uvod 4.2. Pretvorba kemijske energije u unutarnju termičku 4.3. Pretvorba unutarnje toplinske energije u mehaničku 4.4. Pretvorba potencijalne energije u mehaničku i obratno
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Idealno gasno stanje-čisti gasovi
Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim
TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.
1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj
Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA Energija i snaga Energija je sposobnost obavljanja rada. Energija se u prirodi javlja u različitim oblicima. Po zakonu o održanju energije: energija se ne može
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k