4. Termodinamika suhoga zraka
|
|
- ÍΑἰνείας Ήφαιστος Κολιάτσος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti prvi stavak termodinamike (3.1.1): (đq / dt) dt = du + đw = m (c vd dt + pdα) = m (du + dw), (4.1.1) gdje je c vd specifični toplinski kapacitet suhoga zraka pri konstantnom volumenu, c vd = (đq /dt) vol=konst = 718 J kg -1 K -1, a du i dw su unutarnja energija i rad izraženi po jedinici mase. T je temperatura, p je tlak, a α je specifični volumen suhoga zraka. Podijelimo li jednadžbu (4.1.1) sa masom suhoga zraka m, dobivamo prvi stavak termodinamike izražen po jedinici mase: đq =c vd dt + pdα, (4.1.2) gdje je đq dodana toplina po jedinici mase. Kako se atmosferskim mjerenjima ne mjeri ni specifični volumen α, niti gustoća zraka (ρ = α -1 ), želimo jednadžbu (4.1.2) prikazati pomoću mjerljivih veličina. Stoga ćemo primijeniti jednadžbu stanja idealnog plina za suhi zrak (p α = R d T, gdje je R d specifična plinska konstanta suhoga zraka, R d = 287 J kg -1 K -1 ), koju ćemo najprije diferencirati: pdα + α dp = R d dt. (4.1.3) Odatle, uz ponovnu primjenu jednadžbe stanja idealnog plina, slijedi: pdα = R d dt - α dp = R d dt (R d T / p) dp. (4.1.4) Uvrstimo izraz (4.1.4) u (4.1.2): đq = c vd dt + R d dt (R d T / p) dp = (c vd + R d ) dt - α dp = c pd dt - α dp, (4.1.5) gdje je c pd specifični toplinski kapacitet suhoga zraka pri konstantnom tlaku, c pd = (đq /dt) p=konst = 1005 J kg -1 K -1, a jednakost c pd = c vd + R d je poznata kao Mayerova relacija. Jednadžba (4.1.5) predstavlja još jedan oblik prvog stavka termodinamike prikazan po jedinici mase suhoga zraka (koji se ponaša kao idealni plin). 1
2 4.2 Drugi stavak termodinamike, specifična entropija suhoga zraka i potencijalna temperatura suhoga zraka Krenimo od prvog stavka termodinamike (4.1.5), koji za čest suhoga zraka glasi: đq = c pd dt - α dp. Uvažimo činjenicu da se suhi zrak ponaša kao idealni plin - dakle, vrijedi jednadžba stanja idealnog plina (1.5.8), koja je za suhi zrak oblika: p = R d T. Odatle slijedi = R d T / p. Uvrstimo u prvi stavak termodinamike: đq = c pd dt - α dp = c pd dt - R d T dp / p. Zatim podijelimo tu jednadžbu s temperaturom T: đq / T = c pd dt / T - R d dp / p. (4.2.1) Član s lijeve strane jednak je prema drugom stavku termodinamike (3.2.1) jednak diferencijalu specifične entropije ds, gdje je ds = ds / m, S je entropija česti, a m je masa česti. Odatle jednadžba (4.2.1) prelazi u ds = c pd d( ln T ) - R d d (ln p ) = d ln (T c pd / p R d ) = đq / T. (4.2.2) Razmjena topline česti s okolišem ( đq = m đq) događa se zbog difuzije topline (titranja molekula). Brzina kojom se toplina u atmosferi širi vođenjem zbog titranja molekula vrlo je polagani proces. Istovremeno, brzine, kojima se same atmosferske česti gibaju, puno su veće od brzina kojima se toplina vodi zrakom (prosječna horizontalna brzina atmosferskih česti na sinoptičkoj skali je reda veličine ~ 10 m s -1 ). Stoga je đq / dt 0, pa je veliki dio atmosferskih procesa približno adijabatski: đq 0, odnosno takav da je u njima entropija sačuvana (to naravno ne vrijedi za procese koji su dugotrajni). Za adijabatske procese drugi stavak termodinamike (4.2.2) prelazi u đq / T = c pd d( ln T ) - R d d (ln p ) = 0. (4.2.3) Podijelimo jednadžbu (4.2.3) sa c pd i integriramo od početne temperature T 0 i početnog tlaka p 0 do krajnje temperature T i tlaka p. Dobivamo ln (T / T 0 ) = ln (p /p 0 ) R d /cpd. Nakon antilogaritmiranja dobivamo: T 0 = T (p 0 /p) R / c d pd, (4.2.4) gdje je p 0 proizvoljni konstantni (referentni) tlak. Uobičajeno je odabrati p 0 = 1000 hpa, a T 0 označiti sa d, gdje je d potencijalna temperatura suhoga zraka: d = T (p 0 /p) R d / c pd. (4.2.5) 2
3 Potencijalna temperatura suhoga zraka d je konzervativna veličina za adijabatske procese, d = konst. To je teorijska temperatura koju bi čest suhoga zraka imala kada bi se suhoadijabatskim procesom dovela sa tlaka p i temperature T na referentni tlak p 0. Adijabatski procesi (đq = 0) ujedino su i izentropni (ds = 0). To znači da se temperatura česti u adijabatskom procesu mijenja samo zbog kompresije ili ekspanzije česti, a ne zbog razmjene topline s okolišem. Da dokažemo da su adijabatski procesi izentropni, poći ćemo od Poissonove jednadžbe (4.2.5). Tu jednadžbu ćemo logaritmirati po bazi prirodnog logaritma i zatim diferencirati: d (ln d ) = d (lnt) + (R d / c pd ) d (ln p 0 ) - (R d / c pd ) d (ln p). (4.2.6) Pomnožimo jednadžbu (4.2.6) sa c pd i uvrstimo d (ln p 0 ) = 0. Dobivamo: Dobivamo c pd d (ln d ) = c pd d (lnt) - R d d (ln p) = c pd d (ln T) - R d d (ln p) = = c pd d T / T - R d dp/ p = ds = đq / T. (4.2.7) ds = c pd d (ln d ), (4.2.8) što znači da su izentropni procesi ujedino i adijabatski. Jednadžba (4.2.8) često se piše i ovako: ds / dt = c pd d (ln d ) / dt. (4.2.9) Konstante suhoga zraka imaju ove vrijednosti: - specifični toplinski kapacitet (specifična toplina) suhoga zraka pri konstantnom tlaku, c pd = 1005 J kg -1 K -1 ; - specifični toplinski kapacitet (specifična toplina) suhoga zraka pri konstantnom volumenu, c vd = 718 J kg -1 K -1 ; - specifična plinska konstanta suhoga zraka, R d = 287 J kg -1 K Entalpija suhoga zraka Promatramo suhu čest zraka. Ako česti po jedinici mase dodamo količinu topline q držeći tlak konstantnim ( q > 0, p = konst.), specifični volumen će se povećati od početnoga 1 do 2 ( 2 > 1 ). Pri toj ekspanziji jedinična masa suhoga zraka učini rad w = p α = p( 2-1 ), a specifična unutarnja energija (unutarnja energija po jedinici mase) se promijeni od početne vrijednosti u 1 do vrijednosti u 2. Primijenimo prvi stavak termodinamike (4.1.1), pišući ga za jediničnu masu suhoga zraka. Uvrstimo li w = p( 2-1 ), dobivamo q = (u 2 u 1 ) + p( 2-1 ) = (u 2 + p 2 ) (u 1 + p 1 ). (4.3.1) Primjenom definicije specifične entalpije (3.4.2) slijedi 3
4 q = h 2 h 1. (4.3.2) Odatle zaključujemo da izobarno dodavanje topline rezultira promjenom entalpije suhoga zraka. Krenimo ponovno od izraza za specifičnu entalpiju (3.4.2), kojeg ćemo najprije diferencirati dh = du + pd + dp. (4.3.3) Uvrstimo li u (4.3.3) prvi stavak termodinamike: đq = du + pd nakon preuređivanja dobivamo još jedan oblik prvog stavka pisan za jediničnu masu đq = dh - dp. (4.3.4) Usporedimo li jednadžbu (4.3.4) sa jednadžbom (4.1.5), koju smo izveli za pretpostavljajući idealni plin (dobro nam je poznato da se suhi zrak ponaša poput idealnog plina). Pri tom koristimo jednakost đq = c pd dt - α dp. Izjednačavanjem đq iz dviju jednadžbi, dobivamo diferencijal specifične entalpije za idealni plin dh = c pd dt. (4.3.5) Integracijom (4.3.5) od početne entalpije h = 0 i početne temperature T = 0 do entalpije h i temperature T dobivamo specifičnu entalpiju suhoga zraka (koji se ponaša kao idealni plin) h = c pd T. (4.3.6) Pretpostavimo sada da se čest suhoga zraka nalazi u hidrostatičkoj ravnoteži te da miruje. Tada mora vrijediti hidrostatička jednadžba (2.3.4a): p = -. Pokažimo najprije da je u stanju ravnoteže p = dp, odnosno da je u stanju ravnoteže parcijalni diferencijal tlaka jednak totalnom: p = dp. Ukupnu promjenu tlaka općenito možemo rastaviti na doprinose od promjena tlaka u x, y i z smjeru te na doprinos od vremenske promjene: dp = ( p / x) dx + ( p / y) dy + ( p / z) dz + ( p / t) dt. Međutim, kako čest suhoga zraka u stanju ravnoteže miruje, mora vrijediti Pascalov zakon (2.3.3): p / x = p / y = 0. Nadalje, ravnotežno stanje je stacionarno, pa nema promjena tlaka u vremenu. Stoga je ukupna (totalna) promjena tlaka u tom slučaju jednaka dp = ( p / z) dz. Drugim riječima, tlak u slučaju hidrostatičke ravnoteže ovisi samo o visini z: p = p(z), pa je p / z = dp / dz, odnosno p = dp. Stoga jednadžbu (2.3.4) možemo prikazati i ovako dp = - g dz (4.3.7) 4
5 Kako je veza između akceleracije sile teže i geopotencijala g = / z (2.2.4), to jednadžbu (4.3.7) možemo preurediti dp = - ( / z ) dz = - ( / z ) dz = - d, gdje je = 1 / je gustoća, a specifični volumen suhe česti. Tako dobivamo dp = d /. (4.3.8) Uvrstimo hidrostatičku jednadžbu (4.3.8) u prvi stavak termodinamike (4.3.4). Dobivamo đq = dh dp = dh d / dh d, odnosno đq = d (h ). (4.3.9) Jednadžba (4.3.9) pokazuje da je za adijabatski process suhoga zraka (đq = 0), koji se događa pri hidrostatičkoj ravnoteži, zbroj entalpije i geopotencijala sačuvan: h = konst. To strogo vrijedi samo za mirnu atmosferu. Međutim, u troposferi je kinetička energija zbog gibanja fluida općenito puno manja od ukupne energije, pa su odstupanja od h = konst. (~ %). Uvrstimo li u (4.3.9) izraz za specifičnu entalpiju idealnog plina (4.3.6) dobivamo prvi stavak termodinamike za suhi zrak (idealni plin) koji se nalazi u hidrostatičkoj ravnoteži đq = d (c pd T ). (4.3.10) Znamo da se suhi zrak može dobro aproksimirati idealnim plinom. Nadalje, hidrostatička aproksimacija dobro opisuje promjenu atmosferskog tlaka s visinom na sinoptičkoj skali 1. Stoga je jednadžba (4.3.10) dobro opisuje ponašanje suhoga zraka. 4.4 Suhoadijabatska stopa ohlađivanja Ako se suha čest zraka adijabatski giba duž vertikale, temperatura joj se mijenja. Takav proces nazivamo suhoadijabatskim procesom. Dizanjem čest dolazi na niži tlak 2 i zbog toga ekspandira. Pri ekspanziji čest obavlja rad, dakle troši energiju i zbog toga se ohlađuje. Pri adijabatskom spuštanju česti događa se suprotno. Spuštanjem čest dospijeva na veći tlak i zbog toga se komprimira, a kako je proces adijabatski, temperatura česti raste. Definiramo suhoadijabatsku stopu ohlađivanja (ili d ) kao iznos za koji se suha čest zraka hladi pri dizanju suhoadijabatskim procesom po jedinici visine: = (-dt /dz) dry, (4.4.1) gdje je dt /dz procesna promjena, a indeks dry ukazuje na to da se radi o procesu kojem je podvrgnuta suha čest. Da bi odredili iznos suhoadijabattske stope ohlađivanja krećemo od prvog stavka termodinamike pisanog za jediničnu masu (4.1.5): đq = c pd dt - α dp. Za adijabatski proces mora vrijediti đq = 0, pa tako dobivamo c pd dt = α dp. Uvrstimo 1 U poglavlju 2.3 izveli smo hidrostatičku jednadžbu uz pretpostavku da fluid miruje. U poglavlju 7.3 pokazati ćemo da hidrostatička aproksimacija vrijedi na sinoptičkoj skali čak i onda kada se fluid giba, dakle u uvjetima realne atmosfere. (Realna atmosfera ustvari nikada nije mirna, već uvijek postoje bar slaba gibanja uzrokovana gradijentima tlaka). 2 Tlak zraka eksponencijalno opada visinom u hidrostatičkoj atmosferi (vidi sliku 2.7). 5
6 hidrostatičku aproksimaciju (4.3.7) dp = - g dz i zatim dobivenu jednakost podijelimo s dz i sa (-c pd ). Dobivamo -(dt /dz) = g /c pd. Kako smo suhoadijabatsku stopu ohlađivanja definirali kao negativnu procesnu promjenu temperature -(dt /dz) u suhoadijabatskom procesu, to je = -(dt /dz) dry = g /c pd. (4.4.2) Uvrštavanjem g = konst. 10 m s -2 i c pd = 1005 J kg -1 K -1, dobivamo 1 C / 100 m. Zadaci 4.1. Uzorak suhoga zraka mase 100 g nalazi se na početku pri tlaku od 1010 hpa i temperaturi od 300 K. Zraku se izobarno dodaje toplina sve dok uzorak ne ekspandira. Pri ekspanziji volumen uzorka se poveća za 15% u odnosu na početni volumen. Izračunajte temperaturu uzorka na kraju procesa, rad učinjen tijekom ekspanzije te toplinu koja je dodana uzorku. (Rješenje: T 2 = 345 K; W = J, Q = J) 4.2. Pri temperaturi od 10 C i tlaku od 980 hpa uzorku suhoga zraka mase 10 g dodamo 20 J topline. Koliko će se pri tom promijeniti temperatura uzorka, ako se tlak smanji za 70 hpa? (Rješenje: T = Q / (m c pd ) + R d T p / (c pd p) = K) 4.3. Uzorak suhoga zraka mase 5 g u početku se nalazi na temperaturi od 15 C i tlaku od 1000 hpa. Koliko topline dobije uzorak, ako mu se nakon dodavanja topline tlak smanji za 40 hpa, a temperatura poraste za 2.7 C? (Rješenje: Q = 30.1 J) 4.4. Uzorak suhoga zraka mase 1 kg najprije dobije 3 kj topline pri konstantnom volumenu, a zatim izgubi 2 kj topline pri konstantnom tlaku. Kako se pri tom promijeni temperatura uzorka? (Rješenje: T = Q 1 / (m c vd ) + Q 2 / (m c pd ) = K) 4.5. Za koliko postotaka se promijeni prizemna temperatura suhoga zraka ako se prizemni tlak adijabatski smanji za 6%? (Rješenje: T / T = R d p / (c pd p) = %) 4.6. Koliko je topline potrebno da se temperatura suhoga zraka pri konstantnom tlaku povisi za 4.5 C? (Rješenje: q = J kg -1 ) 4.7. Koliki rad učini idealni plin mase m pri izotermnoj promjeni stanja? Kolika je pri tom razmjena topline s okolišem? (Rješenje: W = ; Q = W ) 4.8. Uzorak suhoga zraka mase 2 kg nalazi se na temperaturi od 273 K i tlaku od 980 hpa. Zbog razmjene topline s okolišem i zbog obavljenog rada temperatura uzorka se smanji za 5 K, a tlak padne za 50 hpa. Koliko se promijeni potencijalna temperatura zraka? (Rješenje: = T (p 0 / p) R d / c pd ( T / T R d p / (c pd p)) = K) 4.9. Pokaži da za suhi zrak, koji je podvrgnut adijabatskom procesu, vrijedi: p V c pd / c vd = konst., gdje je p tlak zraka, V je volumen, a c pd i c vd su specifični toplinski kapaciteti suhoga zraka pri konstantnom tlaku i volumenu Kolika je relativna pogreška pri određivanju potencijalne temperature suhoga zraka iz izmjerenih vrijednosti temperature i tlaka, ako je relativna pogreška pri mjerenju temperature 6
7 0.4%, a relativna pogreška pri mjerenju tlaka 0.8%? Što u tom slučaju više utječe na točnost pri određivanju potencijalne temperature, točnost mjerenja tlaka ili temperature? (Rješenje: d / d = T / T + R d p / (c pd p) ; d / d max = 0.4% % = %. Pogreška pri mjerenju temperature više utječe na točnost izračunate potencijalne temperature, nego pogreška pri mjerenju tlaka.) Izračunaj rad učinjen pri izotermnoj kompresiji 200 g suhoga zraka, ako je konačni volumen jednak polovici početnog, a temperatura zraka je 10 C. (Rješenje: diferencijal rada koji učini plin pri ekspanziji/kompresiji je dw = p dv = ρ R d T dv = m R d T dv / V, ako se na plinu obavi rad, odna je dw = - p dv = - m R d T dv / V. Kako se u ovom primjeru rad učini na plinu, to je W = = kj) Temperatura suhe česti na tlaku p = 1000 hpa iznosi -3 C. Nađi temperaturu česti na tlaku p = 850 hpa, ako čest na taj tlak dospije politropnim procesom. Pretpostavi politropni toplinski kapacitet c = 0.12 cal g -1 K -1. (Rješenje: vidi zadatak 3.1. Za suhi zrak mora biti T 2 = T 1 (p 2 / p 1 ) R d / (c pd c) = K) Nađi vezu između potencijalne temperature suhoga zraka i diferencijala specifične entropije. (Rješenje: Iz prvog stavka termodinamike [jednadžba (4.1.5)] đq = c pd dt - α dp dobije se za potencijalna temperatura [jednadžba (4.2.5)] d = T (p 0 /p) R / c d pd, koju smo izveli pretpostavljajući adijabatski proces đq = 0. Logaritmiramo d po bazi prirodnog logaritma i diferenciranjamo. Tako dobivamo prvu jednadžbu c pd d (ln d ) = c pd d (ln T) - R d d (ln p) [već smo je ranije izveli vidi (4.2.7)]. Drugu jednadžbu dobijemo polazeći od drugog stavka termodinamike ds = đq / T u kojeg uvrstimo prvi stavak đq = c pd dt - R d dp. Dobivamo ds = c pd d (ln T) - R d d (ln p) [ već smo je ranije izveli vidi (4.2.2)]. Izjednačavanjem prve i druge jednadžbe dobivamo vezu između potencijalne temperature suhoga zraka i specifične entropije c pd d (ln d ) = ds. Time smo pokazali da su adijabatski procesi ujedino i izentropski.) Koliko se pri dizanju ohladi suha čest zraka koja se adijabatski podigne a) s nadmorske visine Geofizičkog odsjeka PMF-a u Zagrebu ( m) do visine najvišeg vrha Medvednice (Sljeme, 1033 m); b) sa srednje razine mora do visine najvišeg vrha Velebita (Vaganski vrh, 1757 m)? (Rješenje: Čest se ohladi za a) 8.5 C; b) 17.5 C) 7
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραZadatci za vježbanje Termodinamika
Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPriprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu Toplina / Molekularno-kinetička teorija / Termodinamika 1. Temperatura apsolutne nule iznosi C. Temperatura od 37 C iznosi K. Ako se temperatura tijela povisi od 37 C na 39 C
Διαβάστε περισσότερα12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.
12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga
Διαβάστε περισσότεραTermodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραšupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE
PITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE 1. Što je temperatura i kako je mjerimo? 2. Na koji način se mjeri temperatura i kakva je Celzijeva termometrijska ljestvica? 3. Napišite i objasnite
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za fizikalnu kemiju ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE (interna zbirka odabranih poglavlja iz Fizikalne kemije za studente Fakulteta
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραPRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραTOPLINA I TEMPERATURA:
GEOMETRIJSKA OPTIKA 1. U staklenoj posudi s ravnim dnom nalazi se sloj vode (n v =1,33) debljine 5 cm, a na njemu sloj ulja (n u =1,2) debljine 3 cm. Iz zraka na ulje upada svjetlost pod kutom 45, prolazi
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότερα9. Vježbe. između fluida i remena za slučaj Q = 0.
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 9 Vježbe 4 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραKoličina topline T 2 > T 1 T 2 T 1
Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραUpotreba tablica s termodinamičkim podacima
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama
Διαβάστε περισσότερα