7 PORUCHOVÁ METÓDA PRE ROZPTYLOVÉ STAVY. ROZPTYL ASTÍC NA STATICKOM SILOVOM POLI

Transcript

1 7 PORUCHOVÁ METÓDA PRE ROZPTYLOVÉ STAVY. ROZPTYL ASTÍC NA STATICKOM SILOVOM POLI 7. ÚVOD V tejto kapitole sa budeme veova pouchovej metóde pe výpoet stacioáych ozptylových stavov. Budeme sa zaobea špeciálym pípadom ozptylu astíc a statickom silovom poli opísaom poteciálou eegiou V(). S touto situáciou sa ajastejšie stetávaie v aplikáciách. Náš postup bude takýto: ajpv sa pozieme bližšie a fyzikálu fomuláciu úlohy a sfomulujeme píslušé okajové podmieky pe iešeie bezasovej Schödigeovej ovice. Skô však, ako zaeme s iešeím, uobíme odboku matematického chaakteu. Obozámime sa s Diacovou δ-fukciou a zopakujeme si iekoko pozatkov z teóie fukcií komplexej pemeej. Až potom pídeme k vlastej pouchovej metóde pe výpoet ozptylových stavov, kde využijeme spomíaé matematické pozatky. 7. FYZIKÁLNA FORMULÁCIA ROZPTYLOVÉHO PROBLÉMU Typický pípad expeimetu s ozptylom astíc možo opísa asledujúcim spôsobom. astice, ktoé hajú úlohu ozptylových cetie (pe uitos si pod imi môžeme pedstavi povedzme potóy) sa achádzajú v teíku, ozaeom ako T a ob. 7.. Na teík dopadá pibliže mooeegetický zväzok astíc typu B (povedzme elektóy), ktoé sa a teíku ozptýlia, a po ozptyle sú zachyteé detektomi R umiesteými okolo teíku. Pi expeimete pozáme tieto údaje: j hustotu púdu dopadajúcich astíc N poet astíc v teíku d poet astíc zaegistovaých uitým detektoom R za jedotku asu dω piestoový uhol pokytý týmto detektoom. Poet astíc d bude zejme úmeý hustote púdu dopadajúcich astíc, potu astíc v teíku a vekosti piestoového uhla pokytého daým detektoom, takže máme dσ d jn dω dω Výaz v zátvoke je koeficiet úmeosti ozaeý tadiým spôsobom. Teto koeficiet závisí od uhlov ϑ, ϕ. Rozme dσ/dω je m a peto ho azývame 9

2 difeeciálym úiým pieezom. O ozmee dσ/dω sa pesvedíme ýchlo, ak si uvedomíme, že 4 [d] s, [j] m s, [N], [dω] Vzah () platí za pedpokladu, že pi ozptyle ide vždy iba o iteakciu jedej astice dopadajúceho zväzu s jedou asticou tea. V paktických pípadoch je teto pedpoklad zväša dobe spleý. Ob. 7. Pi teoetickom opise sa peto zaujímame o ozptyl astíc zväzku a jediej teíkovej astici. Vzájomú iteakciu dopadajúcej a teíkovej astice budeme opisova poteciálou eegiou V() a pe jedoduchos budeme pedpoklada, že teíková astica je ovea ažšia ako dopadajúca a poas iteakcie ostáva fixovaá v zaiatku súadicovej sústavy. 5 Pi adekvátom kvatovomechaickom opise ozptylu astice a silovom cete by sme dopadajúcu asticu opisovali vlovým balíkom a sledovali asový vývoj tohto balíka iešeím asovej SchR. Pi takomto postupe sa však všetky fomulky stávajú epehadými. Ako sme už spomíali pi diskusii v láku 4.7, môžeme sa obmedzi a hadaie vhodých iešeí bezasovej SchR. Takéto iešeia v pípade pechodu astice cez baiéu obsahovali (v oblasti mimo baiéy) vlu dopadajúcu a baiéu z jedej stay, vlu odazeú od baiéy a vlu, ktoá pešla baiéou. V pípade ozptylu astice a silovom cete budeme hada také iešeia bezasovej SchR, ktoé vo vzdialeosti aleko od ozptylového ceta obsahujú 4 Niekedy sa ako ozme piestoového uhla dω beie steadiá a potom (dσ/dω) má ozme m (stead). 5 Tohto pedpokladu sa môžeme zbavi pechodom do súadicovej sústavy, v ktoej je ehybé ažisko dopadajúcej a teíkovej astice. Po techickej stáke je to to isté, o sme už uobili pi zavádzaí elatívej súadice v láku 4. a podobejšie sa k tomu ešte vátime v kapitole o ozptyle.

3 iba oviú vlu piadeú dopadajúcej astici a ozbiehavú guovú vlu opisujúcu ozptýleú as dopadajúcej vly. Hamiltoov opeáto pe asticu v poli silového ceta s daým V() je H ( ) m +V Bezasovú SchR potom píšeme v tvae H + V ( ) ψ ( ) Eψ ( ) () m a po zavedeí U() (m/ )V(), k (m/)e upavíme () a tva ( + k )ψ() U()ψ() () Fyzikály výzam veliiy k je jedoduchý. V ozptylovom expeimete je totiž eegia dopadajúcej astice ová tej eegii, ktoú jej udelilo uýchujúce zaiadeie (elektóové delo, uýchova at.). V oblasti aleko od teíka môžeme túto eegiu písa ako E p /m a pi zavedeí vlového vektoa p k ako E k /m. Veliia k v () je takto vlovým vektoom dopadajúcej astice v oblasti mimo dosahu síl zodpovedým za iteakciu. Riešeie ψ() bezasovej SchR, ktoé obsahuje dopadajúcu oviú vlu exp(ikz) a okem ej pi vekých hodotách iba ozptýleú vlu, spa podmieku ik ikz e ψ ( ) e + f ( ϑ, ϕ) (4) Toto tvdeie vyplýva z asledujúcej úvahy. Riešeie ψ() ovice () je vlastou fukciou opeátoa eegie. asová závislos takéhoto iešeia je, tak ako pi všetkých stacioáych stavoch, Φ(, t) ψ()e iωt ω E/ Poda (4) pe Φ(, t) dostaeme i( kz ωt ) f ( ϑ, ϕ) i( k ωt ) Φ(, t) e + e (5) Pvý le a pavej stae pedstavuje dopadajúcu oviú vlu, duhý sféickú ozbiehavú vlu, f(ϑ, ϕ) azývame amplitúdou ozptylu.

4 Hustotu púdu dopadajúcej vly spoítame poda zámeho vzahu j [ Φ* Φ Φ Φ*] (6) i m piom za Φ dosadíme iba le exp (ikz ωt) opisujúci dopadajúcu oviú vlu. ahko sa pesvedíme o tom, že j k j, jx j m z y Hustotu púdu ozbiehavej sféickej vly spoítame tak, že do (6) dosadíme za Φ výaz f(ϑ, ϕ) exp(ik iωt). Ak vyjadíme vo sféických súadiciach, dostaeme pe adiálu zložku hustoty púdu k m j f ( ϑ, ϕ) + ley úmeé Poet astíc d dopadajúcich za jedotku asu do detektoa pokývajúceho piestoový uhol dω je daý vzahom d j' dω (7) kde ds dω je vekos plochy detektoa kolmej a sme pohybu astíc ozptýleých daých smeom. Vzhadom a to, že detekto je v skutoých expeimetoch vemi vzdialeý od ozptylového ceta (/λ >> l, kde λ π/k, /a >> l, piom a je Bohov polome) môžeme v (7) uobi a pavej stae limitu a pe poet astíc egistovaých za jedotku asu detektoom dostávame d f(ϑ, ϕ) j dω Teto vzah teba poova s () pi N l (lebo teaz sme uvažovali ozptyl a jediej astici). Takto pichádzame k dôležitému výsledku dσ f ( ϑ, ϕ) dω Celkovým úiým pieezom azývame výaz (8) d σ σ dω (, ) f ϑ ϕ dω (9) dω To, o sme doteaz povedali možo zhú vemi jedoducho: výsledky ozptylového expeimetu sú chaakteizovaé difeeciálym úiým pieezom dσ/dω

5 teoetické pedpovede pe túto veliiu dostaeme tak, že ájdeme iešeie bezasovej SchR () i () s asymptotikou (4) a dσ/dω dostaeme potom pomocou (8). Skô ako zaeme ieši túto úlohu, musíme si v asledujúcich lákoch uvies iekoko evyhutých pozatkov matematického chaakteu. Nepôjde však iba o ejaké techické podobosti potebé výlue pe daý poblém. Teto matematický apaát využijeme podstate i eskô pi alšom budovaí fomalizmu kvatovej teóie. 7. DIRACOVA DELTA-FUNKCIA Delta fukciu δ() zaviedol Diac v tidsiatych okoch vo svojich pácach z kvatovej mechaiky a odvtedy sa vo fyzike beže používa. Z matematického hadiska však δ-fukcie eboli dlho dobe defiovaými objektami. Koektú teóiu δ-fukcií fomuloval eskô L. Schwatz v ámci teóie distibúcií. Tu si uvedieme le iekoko základých myšlieok a tvdeí teóie distibúcií, podobejšiu teóiu a pesé defiície možo ájs v liteatúe. 6 Zaeme však s jedoduchými píkladmi, ktoé ám ukážu, o to δ-fukcia je a kedy sa s ou vo fyzike stetávame. Poteciála eegia ozložeia áboja s hustotou ρ() vo vokajšom poli s poteciálom ϕ() je U ρ()ϕ()d () je Takisto je dobe záme, že poteciála eegia bodového áboja Q v bode U Qϕ( ) () Obe fomulky zejme hovoia o tej istej veci a tak sa ituitíve zdá, že () je špeciálym pípadom (), lebo bodový áboj ituitíve odpovedá áboju skocetovaému do vemi malého objemu. Ak sa ale pokúsime sfomulova vec pesejšie, aazíme a ažkosti. Staí ak sa spýtame a to, aké ozložeie hustoty áboja ρ() môžeme piadi bodovému áboju v bode. Odpove sa dá fomulova dvoma spôsobmi, ozaíme ich ako a a v duhom pípade uvedieme dva vaiaty. 6 Schwatz, L.: Matematické metódy ve fyzice. Paha 97. Gefad, I. M. Šilov, G. E.: Obobšeyje fukcii i dejstvija ad imi. Moskva 959.

6 . Pedstavíme si bodový áboj Q ako limitu postuposti piestoových ozložeí áboja. Napíklad takúto pe > a a ρ ( ) () Q(4πa /) pe < a piom a je istá veliia s ozmeom džky. Fyzikále je jasé, o obíme. Koštuujeme postupos gulí so stedom v bode a s polomemi a a/, ktoé postupe kovegujú k ule. Pe daé volíme hustotu áboja vúti gule tak vekú, aby vždy platilo ρ ()d Q (4) piom hustota áboja mimo daej gule je ulová. Pe takúto postupos platí limρ ()ϕ()d Qϕ( ) (5) o by sme ahko dokázali pomocou vety o stedej hodote (pedpokladáme pitom spojitos poteciálu ϕ()). Bodovému áboju takto pisudzujeme postupos fukcií poda schémy bodový áboj postupos fukcií Q v bode ( ) (6) Táto postupos má iektoé podivé vlastosti. V každom bode platí lim ρ () (7) ale v bode astie ρ ( )ad všetky haice. Pitom ale pe každé platí ovica (4). Odtia vido, že limitu postuposti ρ () teba zavádza vemi opate. Podivé vlastosti postuposti ρ () ás vemi epekvapujú, petože a otázku: aké ozložeie hustoty odpovedá bodovému áboju, sme iú odpove ai oakáva emohli. Táto otázka ai emá piamy fyzikály zmysel, lebo hustotu bodového áboja mea emôžeme. Fyzikály zmysel má ale eegia bodového áboja v poli vokajšieho poteciálu ϕ() a tej poda pedchádzajúceho piaujeme dobe defiovaý výaz stojaci a avej stae ovice (5). Takto síce bodovému áboju piaujeme vzahom (6) postupos fukcií ρ (), ale piadeie chápeme tak, že zmysel budú ma iba výazy typu avej stay v (5). Vo vemi voom jazyku, ktoý fyzici ajastejšie používajú, hovoíme, že postupos ρ () koveguje k (tojozmeej) δ-fukcii ásobeej ábojom Q ρ () Qδ ( ) (8) 4

7 a táto δ-fukcia má asledujúcu vlastos: δ ( )ϕ()d ϕ( ) (9) pe ubovolú spojitú fukciu ϕ(). Pitom ale teba zdôazi, že táto obazá temiológia zameá le to, o už bolo povedaé vyššie; teda to, že platí ovica (5). a. V tomto pístupe si od zaiatku uvedomíme, že emá zmysel hovoi podobe o hustote bodového áboja, peto mu piadíme od zaiatku iba symbol, ktoý bude vyzea fomále ako fukcia, ale ebude sa s ím da obi všetko to, o beže s fukciami obi môžeme. Jedotkovému bodovému áboju takto pisudzujeme symbol δ ( ), ktoý má zmysel jedie vo výazoch typu avej stay v (9) a tieto výazy defiujeme ovicou (9). b. Teto postup je zovšeobeceím pedchádzajúceho. Namiesto toho, aby sme zavádzali symboly pipomíajúce výzoom fukciu, zavádzame ovo pojem fukcioálu. Pod fukcioálom ozumieme zobazeie, ktoé každej fukcii z istej možiy piadí uité íslo. Bodový áboj Q umiesteý v bode by sme takto opísali fukcioálom, ktoý každému poteciálu ϕ() piadí íslo Qϕ( ). Teto postup je uite ajvšeobecejší a pomocou eho možo δ-fukcie zavies kozistetým, elegatým a všeobecým spôsobom. Ukazuje sa však, že oba spôsoby defiície δ-fukcie sú v istom zmysle ekvivaleté. V alšom uvedieme iekoko píkladov a postuposti fukcií kovegujúcich k δ-fukcii, alej uvedieme iekoko dôležitých aplikácií, potom uobíme pehad iektoých vlastostí δ-fukcie a apoko vemi stue spomeieme iektoé z myšlieok Schwatzovej teóie distibúcií. Budeme hovoi, že postupos fukcií {f (x)} koveguje k Diacovej δ-fukcii ak platí lim f ( x) ϕ ( x) dx δ ( x) ϕ( x) dx ϕ() () pe ubovoú spojitú fukciu ϕ(x), ktoá klesá ýchlo 7 k ule pe x. V oviciach () teba stedý le považova iba za skáteý a zjedodušeý zápis pvého lea. Dá sa ukáza (a ituitíve sa ám to vidí by pijateým, takže sa ebudeme pokúša o dôkaz), že požiadavka () je ekvivaletá podmiekam f lim ( x) dx (a) 7 Pesejšie pe každú fukciu ϕ(x) z možiy defiovaej alej. 5

8 b f a lim ( x) dx ak ( a, b) (b) Uvedieme teaz iekoko píkladov Píklad. Nech f ( x) pe x > /() pe x /() Podmieky (a) a (b) sú evidete spleé. Píklad. Nech ε h ε ( x) () π x + ε a uvažujeme limitu ε. O spleí (a) sa ahko pesvedíme a (b) je spleé tiež, lebo h ε (x) koveguje pe ε ovomee k ule v každom itevale a, b eobsahujúcom zaiatok. Píklad. Postupos g a a ( x) exp( a x ) () π koveguje pe a k δ(x). Pi dôkaze (a) staí využi Laplaceov itegál exp( x ) dx π Píklad 4. Defiujme fukciu f (x) vzahom ikx f ( x) e dx si( x) π (4) πx Pe táto postupos koveguje k δ(x). Podmieka (a) je ekvivaletá tvdeiu si t dt πt a teto výsledok je dobe zámy, dokazuje sa pomocou teóie fukcií komplexej pemeej. 8 8 Pozi ap. Fuchs, B. A. Sabat, B. V.: Fukcii kompleksogo peemeogo. Moskva,

9 Podmieka ( b) má v tomto pípade tva b lim a si( x)dx πx pe a, b (5) Toto tvdeie je špeciálym pípadom Riemaovej-Lebesgueovej vety z teóie fukcií eálej pemeej. Ituitíve ho možo vysvetli tým, že s astúcim fukcia si(x) osciluje oaz ýchlejšie a kladé a zápoé hodoty poditegálej fukcie sa pi avzájom zušia. Teaz si podobejšie všimeme dve situácie, v ktoých sa asto používajú delta fukcie. Úplé systémy fukcií a δ-fukcia Nech {ϕ (x)},,,,... je úplý otoomovaý systém fukcií a itevale (a, b). Platí teda b ϕ ( x) ϕ ( x) dx δ a každú 9 fukciu f(x) možo zapísa v tvae a * kde koeficiety c sú daé vzahom k N k f ( x) lim c ϕ ( x) (6) c N b a * ( Ak dosadíme (7) do (6) dostaeme ϕ y) f ( y) dy (7) kde b lim N a f ( x) K ( x, y) f ( y) dy (8) N Rovice (8) a (9) ukazujú, že platí K lim N N N ( x, y) ϕ *( x) ϕ ( x) (9) N ϕ *( x) ϕ ( x) δ ( x y) () 9 Túto špecifikáciu by bolo teba pi podobejšej aalýze upesi, ale ebudeme sa tým zaobea. 7

10 piom symbol δ(x y) je defiovaý vzahom f ( x) δ ( x y) f ( y) dy () b a Poovaie (8) a () je dôvodom pe vzah (). Fouieove itegály V láku.9 sme už videli, že súbo fukcií k ϕ ( x) π, L exp(ik L x), ±, ±, () tvoí úplý systém fukcií a úseke ( L/, L/). Iteval medzi dvoma susedými povoleými hodotami v k-piestoe je (π/l). Ak zväšujeme džku úseky, iteval medzi susedými hodotami k klesá a pichádzame k domieke (spávej), že úplý systém fukcií a ekoeom itevale (, ) je tvoeý všetkými fukciami typu exp(ikx), piom k môže by ubovoé eále íslo. Zovšeobeceím ozkladu f ( x) c ϕ ( x) platom a itevale ( L/, L/) je potom Fouieov itegál f ( x) c( k)e ikx dk π () kde výaz π je iba otázkou kovecie. Našou úlohou je teaz ájs koeficiety c(k) v ozklade (). Za tým úelom ásobíme obe stay ovice fukciou exp( iqx) a itegujeme od K po +K. Dostaeme tak K K f ( x)e -iqx K i( k q) x dx dk c( k) e dx π K si( k q) K dk c( k) π ( k q) (4) Poda diskusie okolo ovice (4) však výaz v zložeej zátvoke koveguje pe K k δ-fukcii δ(k q) a pavá staa v (4) potom bude dk c( k) δ ( k q) c( q) 8

11 a toto je koeý výsledok. Koeficiety c(k) vystupujúce v (4) sú teda daé vzahom iqx c( q) e f ( x)dx Pedchádzajúci agumet vlaste ukazuje, že systém fukcií q x iqx ψ ( ) e, q eále π je úplý a itevale (, ) a otoomovaý v zmysle (5) Niektoé vlastosti δ-fukcií Ak chápeme δ(x) ako limitu postuposti v zmysle ψ * ( x) ψ ( x)dx δ ( q k ) (6) q k δ(x) {f (x)} (7) x) ϕ( x) dx lim δ ( f ( x) ϕ( x)dx (8) N potom môžeme zavies piodzee aj alšie symboly obsahujúce δ-fukciu, apíklad symbolu δ'(x) piadíme postupos a defiujeme d ( x) ( x) δ δ { f ( x)} dx N N δ ( x) ϕ( x)dx lim f ( x) ϕ( x)dx (9) Itegál a pavej stae upavíme itegáciou po astiach; využijeme to, že f N (x) i ϕ(x) idú ýchlo k ule pe x a dostaeme f ( x) ϕ ( x)dx [ f ( x) ϕ( x)] f ( x) ϕ ( x) dx N a po dosadeí a pavú stau (9) máme N N δ ( x ) ϕ( x)dx ϕ () N 9

12 Podobým postupom sa môžeme pesvedi o tom, že δ-fukcia má asledujúce vlastosti δ ( x ) f ( x)dx f () (a) δ( x) δ(x) (b) δ ( ax) δ ( x), a (c) a δ ( x a ) { δ ( x a) + δ ( x + a)} (d) a Nech h (x) je astúcou fukciou x a ech h(x ), potom alej platí δ ( h( x)) δ ( x x ) (e) h ( x ) δ ( x a) δ ( x b)dx δ ( a b) (f) Napoko si všimeme podobejšie Schwatzovo zavedeie distibúcií, kvôli jedoduchosti le v jedoozmeom pípade. Nech je možia fukcií. Ak ku každej fukcii f piadíme íslo, ozaeé ako T[f] hovoíme, že a možie je defiovaý fukcioál T. Ak z f, f vyplýva c f + c f pe všetky ísla c, c hovoíme, že je lieáy piesto. Fukcioál T defiovaý a lieáom piestoe sa azýva lieáy, ak platí T[c f + c f ] c T[f ] + c T[f ] pe všetky f, f a všetky ísla c, c. Nech f(x) je defiovaá a itevale (, +). Možiu všetkých bodov, kde f(x) (pesejšie uzáve tejto možiy) azývame ositeom fukcie f. Ak fukcia f(x), defiovaá a celej eálej osi je ekoee mohokát difeecovateá a má koeý osite, hovoíme, že f(x) patí do možiy. Napíklad fukcia ϕ ( x), pe exp a x a >, pe x x < a Zvyšok láku možo pi pvom ítaí vyecha. 4

13 patí do možiy. Defiícia možiy aj píklad pochádzajú od L. Schwatza. Možia ie je taká chudobá, ako by sa mohlo zda. Napíklad ku každej spojitej fukcii f(x) s ohaieým ositeom a pe ubovoé ε > možo ájs fukciu g ε takú, že f(x) g ε (x) < ε pe všetky x. Kovegecia a možie je zavedeá asledove. Hovoíme, že postupos fukcií ϕ, ϕ,, ϕ,..., z ktoých každá patí do, koveguje k fukcii ϕ, (ϕ ϕ), ak ositele všetkých fukcií ϕ j ležia v istom itevale k, k, (l) a ak ϕ koveguje a tomto itevale pe ovomee k ϕ () pe ubovoé pevé l. Symbol ϕ (l) ozauje l-tú deiváciu ϕ, piom ϕ () ϕ. Defiícia: Fukcioál T[ϕ] je spojitý a možie, ak z ϕ ϕ vyplýva T[ϕ ] T[ϕ]. Schwatzova defiícia distibúcie je asledová: Distibúciou azývame každý lieáy spojitý fukcioál a možie. Ako píklad uvedieme Diacovu δ-fukciu, ktoá sa teaz objaví ako fukcioál, ktoý každej fukcii ϕ piadí jej hodotu v bode x T δ [ϕ] ϕ() ahko sa môžeme pesvedi o tom, že teto fukcioál je lieáy a spojitý, iže je distibúciou. alší píklad možo koštuova takto. Nech f(x) je fukcia defiovaá a itevale (, +) a ech f(x) je itegovateá a každom koeom itevale. Možo dokáza, že T f ( ϕ ) f ( x) ϕ( x) dx () je lieáym spojitým fukcioálom, iže tiež je distibúciou. Distibúcie, ktoé možo zapísa v tvae () sa azývajú eguláymi, všetky ostaté siguláymi. Výaz () má bežý tva skaláeho súiu, amiesto ozaeia T f [ϕ] sa peto asto používa T f [ϕ] (f ϕ) V piestoe distibúcií sa kovegecia defiuje asledove. Ak pe každú fukciu ϕ platí T [ϕ] T[ϕ], tak hovoíme, že postupos distibúcií T koveguje k distibúcii T. V tomto láku uvažujeme le eále fukcie. 4

14 Ukazuje sa, že každú distibúciu možo vyjadi ako limitu postuposti eguláych distibúcií. Ku každej distibúcii T možo ájs postupos fukcií f tak, že pe každé ϕ platí T[ϕ] lim (f ϕ) () Toto tvdeie je vlaste ávodom a to, ako sa piadeie δ-fukcie istej postuposti dá uobi matematicky koektým spôsobom. 7.4 INTEGROVANIE V KOMPLEXNEJ ROVINE V aplikáciách sa asto používa iekoko tikov s itegovaím v komplexej ovie. V tomto láku si ich vemi stue pipomeieme. Komplexú fukciu f(z) u(z) + i(z), kde u, v sú eále fukcie komplexej pemeej z x + iy azývame holomofou v oblasti, ak v každom bode tejto oblasti existuje deivácia f'(z) defiovaá ako limita f/ z pe z. Deivácia f'(z) ezávisí od smeu z a odtia (ak az vybeieme z x a az z i y) dostávame u + i u + i x i y a po limite máme Cauchyho-Riemaove podmieky u x y u y x (a) (b) Základá vlastos holomofej fukcie je obsiahutá v Cauchyho vete, ktoá tvdí, že itegál z holomofej fukcie f(z) po uzavetej kivke C, ktoá aj so svojím vútajškom leží v oblasti holomofosti fukcie f, je ový ule. f(z) dz () Toto tvdeie je ekvivaleté podmiekam (). Skutoe, ak pepíšeme () po dosadeí f u + i, dz dx + idy dostaeme pe eálu a imagiáu as () Pozi ap.. diel moogafie Gefada a Šilova, už citovaej v tomto láku. 4

15 c {u(x, y)dx (x, y)dy} c {(x, y)dx u(x, y)dy} (a) (b) Pepíšme pvú ovicu v ozaeí bežom pe fyzikov tak, že položíme A x (x, y) u(x, y), A y (x, y) (x, y). Máme potom c (A x dx + A y dy) c A. dl c ( A) z. ds (4) piom sme využili Stokesovu vetu pe fukcie eálej pemeej. Pe ( A) z máme he ( A) z A y x Ax y u x y a to sa ová ule poda podmieky (b). Cauchyho veta () vedie piamo k asto používaej vete o poítaí itegálov pomocou ezíduí. Uvažujme ajpv holomofú fukciu f(z) a itegál c f ( z) dz z kde c je kužica s malikým polomeom a so stedom v zaiatku. Na tejto kužici z e iϕ. Itegál ýchlo vyíslime a dostaeme c f ( z) dz πif () z Jedoduchým zovšeobeceím tohto výsledku dostaeme: Ak f(z) je holomofá v oblasti D, C je jedoduchá uzavetá kivka v tejto oblasti a bod a leží vúti ej, potom f ( z) dz πi f ( a) (5) c z a Namiesto pokusu o dôkaz uveme le to, že itegál po celej kivke a ob. 7. je ulový, lebo vúti ej je fukcia f(z)/(z a) holomofá. Peto pôvodý itegál cez kivku C sa ová itegálu cez kivku C', a vtedy môžeme použi pedchádzajúci agumet. Ak fukcia g(z) je holomofá v daej oblasti až a iekoko bodov a, a,..., a N v okolí ktoých platí Ri g( z) v okolí a i z a 4

16 potom zovšeobeceím pedchádzajúceho agumetu dostaeme g( z)dz πi Ri a to je tvdeie, ktoé sa ajastejšie používa v aplikáciách. c Ob GREENOVA FUNKCIA OPERÁTORA + q Pi iešeí mohých poblémov súvisiacich s difeeciálymi ovicami je asto výhodé použi fomalizmus Geeových fukcií. Teto fomalizmus ám umoží vemi jedoducho vyjadi pouchový ozvoj iešeia poblému ozptylu. Mohé fyzikále poblémy vedú ku Geeovým fukciám vemi piodzee. Matematický opis píslušej fyzikálej situácie má asto schematický tva DΦ J kde D je difeeciály opeáto, veliia F chaakteizuje odozvu uvažovaého systému a vokajší podet, vyjadeý pavou staou J. Geeovu fukciu dostaeme potom v špeciálom pípade ako odozvu sústavy a bodový vokajší podet J. Nebudeme sa tu saži ozvíja teóiu v takomto všeobecom tvae, amiesto toho si uvedieme jedoduchý kokéty píklad. Pipomeme si však ajpv iektoé pozatky z elektostatiky. Poteciál ϕ() budeý bodovým ábojom Q umiesteým v bode ' je daý vzahom Q ϕ( ) 4πε Poteciál spojitého ozložeia áboja s hustotou ρ(') je potom () ρ( ) d ϕ ( ) 4π () ε 44

17 a teto poteciál spa Laplaceovu ovicu ϕ( ) ρ( ) () ε ktoú dostaeme he zo vzahov. E ρ/ε, E ϕ. Ak bodovému áboju Q v bode ' piadíme hustotu opísaú výazom Qδ () ( '), potom pe bodový áboj máme z () ovicu Q () ϕ( ) δ ( ) ε a poovaím s () vidíme, že musí plati δ 4π () ( ) kde pôsobí iba a pemeú. Rovicu (5) by sme teaz mali poctivo dokáza, ale ebudeme to obi, lebo ju dostaeme ako špeciály pípad ieoho, o dokážeme eskô zatia budeme pedpoklada, že (5) skutoe platí. Ak ozaíme pepíšeme (5) do tvau (4) G (, ) (6) 4π () G (, ) δ ( ) (7) a máme matematické vyjadeie tvdeia: Geeova fukcia G(, ') je eakciou a bodový podet. Riešeie () ovice () potom píšeme ako ϕ( ) G (, ) ρ( ) d (8) ε teda ako súet eakcií a jedotlivé bodové podety. V alšom sa budeme zaujíma o iešeie ovice ( + q )ψ() χ() (9) Je zejmé, že všetky vzahy tohto typu teba chápa v zmysle distibúcií, t. j. zjedodušee povedaé výzam majú iba tvdeia typu () f ( )d δ ( ) f ( )d 4π kde f (') je ubovoá dostatoe slušá fukcia. 45

18 ktoá sa od Laplaceovej líši iba pítomosou q a avej stae. Pi iešeí budeme postupova tak, ako v pedchádzajúcom pípade ajpv ájdeie ψ() budeé bodovým podetom, potom ukážeme, že pi ebodovom χ() môžeme dosta iešeie ψ() ako súet iešeí pi bodových podetoch a apoko dopo- ítame iektoé veci, ktoé si cestou odložíme a eskô. Ozame teda symbolom G(, ') iešeie ovice s bodovým zdojom ( + q )G(, ') δ () ( ') () Pozameajme he, že iešeie G(, ') ie je takto špecifikovaé (bez ueia okajových podmieok) jedozae. Riešeím ovice () je i fukcia G(, ') + ψ () kde ψ () je ubovoé iešeie homogéej ovice ( + q )ψ () () V alšom budeme ma a mysli jedo ubovoé (ale fixovaé) iešeie ovice (). Jeho explicitý tva uvedieme eskô. Ukážeme si teaz, že ubovoé iešeie ovice (9) môžeme zapísa v tvae ψ() ψ () + G(, ')χ(') d ' () kde ψ () má opä pedchádzajúci výzam. Skutoe, ak pôsobíme opeátoom ( + q ) a pavú stau v (), dostaeme pi pôsobeí a ψ () ulu a pôsobeím a duhý le dostaeme {( + q )G(, ')}χ(') d ' δ () ( ')χ(') d ' χ() Vidíme, že fukcia ψ() v tvae () je aozaj iešeím ovice (9). Pe lieáe ovice platí vo všeobecosti, že dve ôze iešeia ehomogéej ovice sa môžu líši aajvýš o iešeie píslušej homogéej ovice, peto vo vzahu () sú už zahuté všetky iešeia ovice (9) avzájom sa líšiace vobou ψ (). To, aké ψ teba zvoli, je v kokétom pípade špecifikovaé apíklad okajovými podmiekami. 4 Ostáva ám už le ájs explicitý tva iešeia ovice (). Uobíme to dvoma spôsobmi. Pvý je jedoduchý a pedpokladá platos ovice (5) zámej z elektostatiky. Duhý je zložitejší, ale úplejší. Ideme teda ajpv dokáza, že iq e G + (, ) () 4π 4 V pedchádzajúcom píklade z elektostatiky je iešeie špecifikovaé požiadavkou, aby poteciál v epítomosti ábojov bol ulový, alebo okajovou podmiekou ϕ() pe. 46

19 je iešeím ovice (). Pe jedoduchos položíme ' a budeme dokazova Po ozpísaí ( a pe jedotlivé ley máme + q i e ) 4π q δ () ( ) + (4) iq iq iq iq e e + ( e ). e (5) 4πδ, () ( ), iq e iq e iq e iq iq q e iq (6) piom ostatý z ich dostaeme tak, že zapíšeme vo sféických súadiciach a využijeme to, že fukcia, ktoú deivujeme, ezávisí od ϑ, ϕ. Po dosadeí (6) do (5) a využití exp(iq)δ () () δ () () sa pesvedíme o spávosti (4). Pozameajme ešte, že a ovici () sa i ezmeí, ak uobíme zámeu q q. Odtia vido, že spolu s () bude iešeím ovice () aj fukcia iq e G (, ) (7) 4π O fyzikálych ozdieloch medzi iešeiami () a (7) budeme hovoi v asledujúcom láku. 5 Napoko ájdeme ešte Geeove fukcie G +, G piamo ako iešeie difeeciálej ovice (). Budeme pitom používa techiku Fouieových itegálov spomíaú v láku a itegovaie v komplexej ovie diskutovaé v láku. Použitím (.4) zapíšeme δ-fukciu a pavej stae () ako a fukciu G( ') zapíšeme ako δ () ( ') δ(x x')δ(y y')δ(z z') (π) ik.( ) d e k (8) ik.( ) G ( ) π g( k)e d k (9) ( ) 5 Fukcie G + a G pedstavujú dva možé (z hadiska paktických aplikácií užitoé) spôsoby špecifikácie Geeovej fukcie. alšie možé tvay možo dosta pidaím ubovoého iešeia homogéej ovice. 47

20 Ak dosadíme (9) a (8) do () a využijeme exp(ik. ) k exp(ik. ) dostaeme poovaím oboch stá a po dosadeí do (9) máme (fomále) g(k).(k q ) g( k ), pe k q k + q ik.( ) G ( ) π e d k () ( ) k q Pi itegovaí by sme aazili a ažkosti pi k q. Toto ai ie je pekvapujúce, lebo k iešeiu ovice () možo pida iešeie píslušej homogéej ovice a v paametizácii (9) to odpovedá páve leom, v ktoých k q, takže fukcia g(k) ebude ueá pe tie k, pe ktoé platí k q. Ueie dôsledkov tejto ejedozaosti si echáme až akoiec, zatia ažkos, a ktoú sme aazili obídeme tikom. Budeme zatia íslo q považova za komplexé s malou imagiáou asou, potom pi itegácii v () už eaazíme a pól, ktoý teaz leží mimo eálej osi. Ozame v () ( '), vybeme os z v k-piestoe v smee a pejdime v k-piestoe k sféickým súadiciam. Itegál cez uhol ϕ je tiviály, lebo itegad od eho ezávisí, itegál cez ϑ vypoítame s použitím a máme π ikcosϑ e siϑ dϑ [e ik G( ) (π) i k dk [e k ik ik e e ik ik ] ] k q Itegál ozdelíme a dva a v duhom z ich zameíme pemeé k Dostaeme tak ik e G( ) k dk i(π) k q Zatia je q stále komplexé. Zavedieme teaz dve Geeove fukcie tak, že v pvom pípade položíme q q + iε, kde q a pavej stae už chápeme ako eále íslo a ε > ; v duhom pípade položíme q q iε a apoko uobíme limitu ε. Pvú z týchto fukcií ozaíme G + (, '), duhú G (, '). Dostaeme ik e G( ) k dk 4π i ( q + iε k)( q + iε + k) () k. 48

21 Itegál a pavej stae vypoítaie pomocou vety o ezíduách z teóie fukcií komplexej pemeej. Pavda, v itegáli () emáme itegáciu po uzavetej kivke, iba po eálej osi. Možo si však pedstavi, že ide o eálu os v komplexej ovie pemeej k. Staí si potom uvedomi, že v hoej polovie je Imk > a teda exp(i(iimk).ρ) exp ( ρ.imk) a to pe ρ > je ýchlo klesajúca fukcia Imk. Ak teda doplíme itegaú dáhu o polkužicu s vekým polomeom (v limite s ekoeým polomeom) v hoej polovie komplexej pemeej k (ob. 7.), dostaeme uzavetú kivku. Itegál po polkužici je však v limite ulový, peto itegál po celej kivke je ový itegálu po eálej osi, ktoý chceme spoíta. Vúti itegaej kivky leží jede pól itegadu, a to v bode k q + iε. Pomocou vety o ezíduu ahko dostaeme (už po limite ε, ktoú uobíme až akoiec): iqρ e G + (, ), ρ () 4π ρ Ob. 7. Tým istým spôsobom vypoítame Geeovu fukciu G (, ') a pichádzame k výsledku iqρ e G (, ), ρ () 4π ρ Fyzikály ozdiel medzi G + a G vido piamo zo vzahov () a (). Fukcia G + má tva ozbiehavých guových ví šíiacich sa z miesta bodového podetu a fukcia G zodpovedá zbiehavým vlám šíiacim sa smeom do ceta. Váme sa teaz k ejedozaosti, a ktoú sme aazili pi iešeí ovice g(k). (k q ) (4) Pe k q sa edá ájs fukcia (v obvyklom zmysle) g(k) tak, aby vzah (4) bol spleý. V skutoosti však staí žiada, aby vzah (4) bol spleý iba v zmysle 49

22 distibúcií. Potom však distibúcia g(k) ie je vzahom (4) defiovaá jedozae. Ak si uvedomíme, že (k q ). δ(k q ) zistíme, že ak uitá distibúcia g(k) spa vzah (4), potom ho spa i distibúcia g(k) + f(k). δ(k q ) (5) kde f(k) je ubovoá slušá fukcia. ahko sa dá pesvedi o tom, že táto ejedozaos je pese tá, ktoú sme akali: ku Geeovej fukcii možo vždy pida iešeie homogéej ovice. Po toche ámahy s itegálmi v komplexej pemeej je možé pesvedi sa o tom, že dva ôze spôsoby špecifikácie distibúcie g(k) vedúce k fukciám G + a G sa pese odlišujú spôsobom ukázaým vo vzahu (5). Zhme teda a záve: Nejedozaosti v ueí Geeovej fukcie vzahom () vedú k utosti špecifikova ju iým vhodým spôsobom. Nie je to však a závadu, petože vo vzahu (), ktoý ukazuje paktické použitie Geeovej fukcie, aj tak vystupuje ejedozaos ovakého typu daá leom ψ (), ktoý teba ájs z podmieok (ap. okajových) kladeých a iešeie ψ(). V paxi je potom výhodé špecifikova Geeovu fukciu poda okajových podmieok úlohy tak, aby ájdeie ψ () bolo jedoduché, pípade aby stailo ψ (). 7.6 BORNOVO PRIBLÍŽENIE PRE ROZPTYL ASTICE NA POTENCIÁLI Po toch pevaže techických lákoch sa zas vátime aspä k fyzike. Budeme sa zaujíma o pibližý výpoet amplitúdy ozptylu a difeeciáleho úiého pieezu pe ozptyl astice a statickom poteciáli V(). Poda láku 7. amplitúdu ozptylu astice s eegiou E q /m a poteciáli V() dostaeme z toho iešeia ovice ( + q )ψ() U()ψ() () m U ( ) V ( ) ktoé má asymptotický tva iq iqz e ψ ( ) e + f ( ϑ, ϕ) () Takéto iešeie v pibližom tvae ahko dostaeme pomocou Geeovej fukcie iq G + (, ) e () 4π 5

23 ktoá spa ovicu ( + q )G + (, ') δ () ( ') (4) Najpv ukážeme, že difeeciála ovica () spolu s okajovou podmiekou () sú ekvivaleté jediej itegálej ovici ψ() e iqz + G + (, ')U(')ψ(')d ' (5) Skutoe, ak a obe stay pôsobíme opeátoom (V + q ) a avej stae dostaeme avú stau ovice (), z pavého lea a pavej stae (5) máme ulu, lebo (V + q ) exp (iqz) a z posledého lea v (5) máme ( + q )G + (, ')U(')ψ(')d ' δ () ( ')U(')ψ(')d ' a s využitím základej vlastosti δ-fukcie máme pavú stau v (). Asymptotická podmieka je tiež spleá. Pe >> ' totiž možo písa. kde, a pe fukciu G + dostaeme asymptotický tva pe iq e iq. G(, ) e pe 4π Po dosadeí do (5) dostaeme asymtotický tva pe ψ(). iq iqz e iq. ψ ( ) e U π e ( ) ψ ( )d (6) 4 kde je jedotkový vekto v smee (ϑ, ϕ). Poovaím so vzahom () vidíme iele to, že (6) má spávu asymptotiku, ale i to, že amplitúda ozptylu je daá vzahom m iq. f ( ϑ, ϕ) e V ( ) ψ ( ) d 4π kde sme od U() pešli aspä k V() a ozaili sme q' q, kde je jedotkový vekto v smee, v ktoom sa pohybuje ozptýleá astica. Aby fomulka (7) bola skutoe užitoá pe paktické výpoty, musíme ešte ájs pouchovú (alebo iú) metódu iešeia ovice (5). Pouchové iešeie ájdeme okamžite, ak zavedieme paamete λ a amiesto U píšeme v (5) λu. Záove s tým uobíme ozvoj (7) ψ() ψ + λψ + λ ψ + (8) 5

24 Po dosadeí do (5) a poovaí koeficietov pi jedotlivých mociách λ máme he iqx ψ e ψ ψ + G (, ) ψ ( )d + + G (, ) ψ ( )d Najižšie piblížeie pe amplitúdu ozptylu dostaeme, ak do (7) dosadíme a pavú stau za ψ() le ψ () e i q. kde q je vekto so smeom v osi z a q q. Tak dostaeme m iq. iq. f ( ϑ, ϕ) e V ( )e d 4π (9) o je pvá Boova apoximácia pe amplitúdu ozptylu a poteciáli. Pozameajme, že alšie piblížeia k vlovej fukcii ψ() dostaeme, ak dosadíme (8') do (8) a položíme λ. Takto máme ψ() ψ () + G + (, ')U(')ψ (')d' + + G + (, ')U(')G + (', '')U('') ψ (') d d'' () o iekedy zapisujeme symbolicky ako ψ ψ + G + Uψ + G + UG + Uψ + G + UG + UG + Uψ + + (8') ( G U ) ψ () Výazy () a () teba chápa le ako symbolické zápisy adu (). Vo fomálej teóii ozptylu sa s jedotlivými opeátomi pacuje staostlivejšie a potom chápeme U, G + ako opeátoy a ad v () môžeme fomále síta. Tu sa s tým ale ebudeme podobejšie zaobea. 7.7 RUTHERFORDOVA FORMULA V tomto láku spoítame amplitúdu ozptylu v ajižšom piblížeí pe ozptyl abitej astice a poteciáli budeom duhou abitou asticou achádzajúcou sa v zaiatku súadicovej sústavy. Poteciála eegia iteakcie oboch astíc je vtedy ee e e V ( ) () 4π ε 5

25 Pi výpote sa a jedom mieste vyskytujú fomále ažkosti, ktoé sa ašastie dajú odstái fyzikále dobe motivovaým spôsobom. V skutoosti aj v tom ajdokoalejšom vákuu je Coulombovská iteakcia dvoch ábojov tieeá polaizáciou postedia, takže ealistický tva poteciálej eegie je e e λ V ( ) e () kde λ >. Ak je vákuum aozaj dobé, potom môžeme pevies výpoty pe λ > a v koeých vzahoch uobi limitu λ. Poteciál typu () je však sám osebe zaujímavý v kotexte jadovej fyziky, kde sa V() v tvae µ V ( ) g e () azýva Yukawovým poteciálom, g sa azýva väzbou koštatou a /µ je dosahom jadových síl. Spoítame teda teaz Boovu apoximáciu a poteciáli () a potom v koeých výsledkoch sa zámeou g e'.e' a limitou µ dostaeme k výazu platému pe ozptyl astice a Coulombovom poteciáli. Ak vlový vekto v smee dopadajúcej astice ozaíme ako q a v smee ozptýleej astice ako q', máme poda pedchádzajúceho láku m f ( ϑ, ϕ) g 4π Pi itegovaí je užitoé ozai µ i( q q). e d κ q q' a použi sféické súadice (, Φ) v -piestoe s osou z v smee vektoa κ. Itegácia cez uhol Φ je tiviála, lebo poditegála fukcia od Φ ezávisí. Pe itegál cez uhol máme gm f ( ϑ) gm gm gm i κ e e e e µ µ µ µ d d d [e iκ d[e π iκ cosθ e e iκu iκ ( µ + iκ ) e du e e si ΘdΘ iκ ] ( µ iκ ) Tu sa objavuje spomíaá ažkos. Pi µ uvedeé itegály divegujú. Pi ] (4) (5) 5

26 µ itegál vykoáme ahko a máme gm f ( ϑ) (6) µ + κ Možo sa pesvedi o tom (staí si akesli obázok), že uhol ozptylu ϑ súvisí s κ q q' vzahom ϑ κ qsi (7) Staí si totiž uvedomi, že q q q' a uhol ϑ je uhol medzi vektomi q, q'. Po dosadeí (7) do (6) máme ( gm f ϑ) (8) µ + 4q si ( ϑ/) Coulombov pípad odtiato dostaeme zámeou g e' e' a limitou p. Ak avyše položíme q /m E, kde E je eegia dopadajúcej astice, máme Píslušý difeeciály úiý pieez je e e f ( ϑ) (9) 4E si ( ϑ/) dσ e e f ( ϑ) () 4 dω 4E si ( ϑ/) o je páve záma Ruthefodova fomula použitá pi klasických expeimetoch s ozptylom α-astíc a jadách zlata. Zhodou okolostí Ruthefodova aalýza založeá a klasickom výpote (ide o ok 9) vedie v tomto pípade k ovakému výsledku ako pvé piblížeie v kvatovej mechaike. Pe úplos ešte uvedieme výsledok pe celkový pieez ozptylu astice a Yukawovom poteciáli. Poda láku 7. platí σ f(ϑ) dω f(ϑ) siϑ dϑ dϕ Po dosadeí za f(ϑ) z ovice (8) a itegovaí cez dϕ máme kde gm σ (π) 4g π siϑ dϑ [ a + si ϑ / ] µ a 4q 54

27 Itegál spoítame substitúciou si (ϑ/) t a apoko dostaeme gm σ 4π [ µ + 4q ] µ () Pe coulombovský poteciál by sme mali uobi zámeu g e' e' a limitu m. Dostávame tak ekoeý úiý pieez, o súvisí s pomalým poklesom coulombovského poteciálu pe. 7.8 FORMFAKTOR V pedchádzajúcom láku sme skúmali ozptyl abitej astice a bodovom áboji. Teaz sa budeie zaobea s tocha zložitejším poblémom s ozptylom abitej astice a poteciáli budeom spojitým ozložeím áboja e ρ(). Pitom ozložeie hustoty áboja omujeme tak, aby platilo ρ()d () Poteciála eegia iteakcie dopadajúcej astice s ábojom e a daého ozložeia áboja bude Pe Boovu apoximáciu dostaeme m f ( q, q) 4π me e 4π ρ( V ( ) e e d () ) e i( q q). d ρ( ) V ( )d i( q q). e d V duhom itegáli a pavej stae pejdeme k ovej pemeej t substitúciou a dostaeme ' + t i( q q).t me q q. q q e i( ) e f (, ) π d e ρ( ) d t 4 t Pôvodý dvojý itegál takto pešiel a súi dvoch itegálov. Peditegále faktoy spolu s duhým z itegálov dávajú páve amplitúdu ozptylu a bodovom áboji, pvý z itegálov azývame fomfakto. F(q q') d 'e i(q q').' ρ(') () 55

28 Amplitúdu ozptylu môžeme písa ako súi f(q', q) f (q', q)f(q q') (4) kde f ozauje amplitúdu ozptylu a bodovom áboji daú ovicou (6.9) a duhý le je spomíaý fomfakto. Pe difeeciály úiý pieez máme aalogicky dσ dσ dω dω F( q q ) Piom idex opä ozauje veliiu vzahujúcu sa a bodový áboj. Táto jedoduchá aalýza má viaceo paktických aplikácií. Pvou z ich je možos získaia uitých expeimetálych ifomácií o ozdeleí áboja v ažkých atómoch. Ak totiž skúmame takýto ozptyl, ájdeme dσ/dω a pedelíme ho výazom (dσ/dω) dostaeme piamo duhú mociu fomfaktoa. Rozdeleie áboja v atóme sa skladá z dvoch astí: pvou je jado umiesteé v zaiatku súadicovej sústavy a jeho hustota áboja je opísaá výazom ezδ () (). alej máme elektóový oblak atómu s hustotou opísaou výazom ezρ(), kde ρ() je omovaé poda (). Pedchádzajúcu aalýzu môžeme teaz takme doslova zopakova a pídeme k vzahu (4) iba s týmito zmeami: Namiesto e' píšeme Ze' a amiesto F(q q') daého ovicou () dostaeme (5) F(q q') F(q q') l (6) kde duhý le je Fouieovým obazom δ () opisujúcej ozložeie áboja jada. Pe difeeciály úiý pieez a amplitúdu ozptylu staí ahadi vo vzahoch (4) a (5) fomfakto F fomfaktoom F. Zo štúdia ozptylu elektóov a atómoch potom môžeme získa ifomáciu o veliie d 'e iκ.' ρ(') (7) kde κ q q' je zmea vlového vektoa pi ozptyle. Ifomácia, ktoú takto môžeme o ozložeí áboja získa, závisí podstate od vlovej džky λ dopadajúcich elektóov. Veliia κ je totiž aj pi vekých uhloch ozptylu ádové ová l/λ a výaz κ. ' v expoete v (7) je potom ádovo ový a/λ, kde a je ozme atómu. Pi a/λ < l možo expoet ozviú a pi zachovaí pvých toch leov máme iκ. d e ρ( ) d [ + iκ. ( κ. ) ] ρ( ) d ( ) ρ( ) κ κ. 6 kde sme pi pvom lee využili omovaie ρ(), duhý le v haatej zátvoke dal ulu, lebo pedpokladáme sféicky symetické ozložeie áboja a pi teom 56

29 lee sme opä využili sféické ozložeie áboja a dostali sme d ( κ. ) ρ( ) κ d ρ( ) kde itegál a pavej stae ozauje stedý kvadatický polome ozložeia áboja elektóov. Pi ozptyle pomalých elektóov a atóme teda meiame fomfakto v piblížeí F ~ ( κ ) κ (8) 6 Na získaie podobejšej ifomácie peto potebujeme elektóy s kátkou vlovou džkou. Duhým a podstatým pedpokladom je to, aby atóm po ozptyle ostal v základom stave. Jedie v tomto pípade môžeme totiž považova ozptyl elektóu za ozptyl a statickom ozložeí áboja. 6 Na vemi podobom picípe boli založeá expeimety vykoaé Hofstädteovou skupiou v Stafode zaiatkom šesdesiatych okov. Skupia študovala ozptyl ýchlych elektóov a atómových jadách i a potóoch a eutóoch a získala ifomácie o tom, ako je v ich ozdeleý elektický áboj. Aalýza bola, samozejme, o osi zložitejšia, lebo elektó musel by opisovaý elativisticky, ale picíp bol ovaký. Od týchto pác je záme, že / pe potó je okolo,7. 5 m a toto bol jede z pvých agumetov v pospech eelemetáosti potóu. Pozameajme ešte, že aalýzou iých expeimetov s ozptylom elektóov a potóoch, t. j. štúdiom pípadov ozptylu, pi ktoom sa meí stav potóu (epužý ozptyl) bola tiež v Stafode kocom šesdesiatych a zaiatkom sedemdesiatych okov získaá ifomácia o tom, z oho sa asi potó skladá. Ale o tom tu hovoi ebudeme. 7.9 PRÍKLADY A PROBLÉMY. Vypoítajte itegály. Nájdite x dx + a π si x. δ x dx, 4 itegovaím v komplexej ovie. x x δ (e )dx 6 Aj vtedy zaedbávame tzv. výmeé efekty spoívajúce, zhuba povedaé, v tom, že dopadajúci elektó si vymeí úlohu s jedým z elektóov v atóme. 57

30 . Dokážte, že platí lim P iπδ ( x) x + x + iε x kde limitu chápeme v zmysle distibúcií, P má výzam hlavej hodoty itegálu. 4. V tejto kapitole sme sa podobe zaobeali iešeiami ovíc G (, ') δ () ( ') ( + q)g(, ') δ () ( ') kde + + je Laplaceov opeáto v tojozmeom piestoe. x y z Sfomulujte aalogický pípad pe jedoozmeú a dvojozmeú úlohu pe pvú z týchto ovíc a ájdite píslušé Geeove fukcie. Poozmýšajte aj o tom, ako by ste pistúpili k iešeiu duhej z uvedeých ovíc v jedo- a dvojozmeom pípade. 5. Nájdite amplitúdu ozptylu v Boovej apoximácii pe ozptyl a poteciálovej jame V() V pe a V() pe > a. 6. Nájdite Boovu apoximáciu pe amplitúdu ozptylu a Yukawovom poteciáli v situácii, ke džka vly dopadajúcej astice je ovea väšia ako dosah poteciálu. Poovajte výsledok s Boovou aplitúdou pe ozptyl a poteciáli V() Bδ () (). Možo v takýchto situáciách ui tva poteciálu z expeimetálych údajov o ozptyle pediskutujte fyzikálu stáku poblému. 7. Nájdite fomfaktoy píslušé k asledujúcim tom ozložeiam áboja a) ρ() ρ pe a; ρ() pe > a b) ρ() A exp( κ) c) ρ() Bexp( κ) 8. Pedstavte si, že máte avhú expeimet, v ktoom by sa pomocou ozptylu elektóu a atómoch daého pvku uoval pibliže polome ozdeleia áboja v atóme. K dispozícii máte uýchova elektóov, ktoý dodáva zväzok s itezitou elektóov za sekudu a eegiu zväzku môžete voli ubovoe, alej máte detekto v tvae valca o džke m a so základou s piemeom cm. Detekto uuje sme vyletujúceho elektóu a tiež jeho eegiu. Napoko máte ádobu, v ktoej môžete ma atómy študovaého plyu. Máte vhode vyba eegiu (pípade eegie) dopadajúceho zväzku, ozmey ádoby, v ktoej máte ply; hustotu plyu (tlak), uhly, pod ktoými budete detegova ozptýleé elektóy a dobu, poas ktoej budete mea poet astíc zachyteých detektoom za daých podmieok. Chyba v ueí potu elektóov egistovaých detektoom je N, kde N je poet egistovaých astíc (toto eplatí vždy, ale je zväša dobým odhadom). Uobte ajpv ýchle pibližé odhady a až potom ozmýšajte o tom, o všetko ste zaedbali, a o by bolo potebé upesi a domyslie. Zaite z toho, že atete oakávaé úié pieezy. 58