4 JEDNODUCHÉ SÚSTAVY 4.1 ÚVOD 4.2 VIAZANÉ A ROZPTYLOVÉ STAVY

Transcript

1 4 JEDNODUCHÉ SÚSTAVY 4. ÚVOD V pedchádzajúcich kapitolách se videli že spoedzi ožných stavov fyzikálnej sústavy ajú význanú úlohu vlastné stavy opeátoa enegie. V tejto kapitole sa peto budee zaobea iešeniai bezasovej Schödingeovej ovnice pe niekoko jednoduchých jednoasticových sústav. Niektoé z týchto sústav sú saé osebe vei dôležité nap. ató vodíka i lineány haonický osciláto iné sú užitoný piblížení úloh ktoé sa vyskytujú v pai astica v potenciálovej jae pechod cez pavouhlú baiéu. Všetky tieto píklady budú slúži ako ilustácia eesla t. j. etód a techniky používaných pi iešení zložitejších pobléov. Znalos eesla je vei dôležitá petože fyzik pedsa len tocha yslí ukou páve tak ako alia i sochá a bez paktickej skúsenosti s iešení úloh a pobléov sotva ožno skutone ozuie fyzikálnej teóii. 4. VIAZANÉ A ROZPTYLOVÉ STAVY Riešenia bezasovej SchR ψ V ψ Eψ ôžee ozdeli do dvoch skupín. Pvá z nich odpovedá viazaný duhá ozptylový stavo. Tento ozdiel vystupuje aj v klasickej echanike. Uvažuje napíklad klasický pohyb telesa v silovo poli s potenciálnou enegiou V ob. 4.. Názone si ôžee pedstavi napíklad pohyb telies v centálno gavitano poli Slnka. Potenciálna enegia je všade záponá a pe áe V. Pe viazané stavy alebo ako sa v klasickej echanike hovoí pe finitný pohyb je celková enegia E telesa záponá E <. Takéto teleso sa pi svojo pohybe neôže vzdiali od zaiatku do ubovonej vzdialenosti. V každo bode dáhy telesa totiž platí E E kin V < a teleso sa neôže dosta do tých oblastí v piestoe ktoé by zodpovedali záponej kinetickej enegii. Na ob. 4. je znázonená vzdialenos za ktoú sa teleso 39

2 s enegiou E < už neôže dosta. V pípade ozptylového stavu v klasickej echanike astejšie nazývano infinitný pohybo je celková enegia E > t. j. väšia ako hodnota V pe. Takéto teleso sa ôže vzdiali ubovone aleko od silového centa. Ob. 4. V kvantovej echanike neožno použi pedchádzajúcu aguentáciu bez zeny petože poje tajektóie sa nedá aplikova na kvantovoechanický pohyb astíc. Napiek tou i v kvantovej echanike ostáva kvalitatívny ozdiel edzi viazanýi a ozptylovýi stavi. Viazanýi stavi v kvantovej echanike nazývae iešenia bezasovej SchR zodpovedajúce enegii E < V ozptylovýi stavi nazývae iešenia zodpovedajúce E > V. Na základe analógie s klasický pípado oakávae že stacionány viazaný stav v uito zysle zodpovedá finitnéu pohybu peto pe takýto stav ožno požadova splnenie noovacej podienky ψ* tψ td 3 ktoá hovoí že pavdepodobnos nájs asticu kdekovek v piestoe sa ovná jednej. Viazané stavy oke defininej podienky E < V sp ajú i alšiu podienku E > in V 3 Enegia viazaného stavu je teda vždy väšia ako iniu potenciálnej enegie. Tvdenie dokážee ahko. Nech ψ t je noované iešenie SchR p V ψ Eψ 4

3 Násobe túto ovnicu funkciou ψ* a integuje cez celý piesto. Pi úpave pvého lena využijee to že pˆ je heitovský opeáto a dostanee 3 3 { p ψ p yψ p zψ }d ψ * V ψ d E ke se zobali do úvahy noovanos funkcie ψ. Pvý len na avej stane je zeje kladný duhý je väší ako iniu potenciálnej enegie V. Odtia vyplýva vzah 3. Pi opise ozptylových stavov sa stetáe s obdobnýi ažkosai ako v pípade vlnovej funkcie vonej astice ktoý se diskutovali v lánku.. Aj tu ôžee postupova dvoa spôsobi. Pi pvo spôsobe sa obedzíe na veký no konený obje piestou a ozptylové stavy hadáe ako supepozície ovinných vn noovaných na konený obje..5. Pi duho spôsobe pacujee s nekonený objeo poto ale ozptylový stavo zodpovedajú obvyklý spôsobo nenoovatené vlnové funkcie. Znaená to že takéto vlastné funkcie opeátoa enegie nezodpovedajú ealizovatený stavo. Stacionáne ozptylové stavy nezodpovedajú teda ožný stavo eálnej fyzikálnej sústavy. Napiek tou je užitoné po foálnej stánke skúa ich vlastnosti petože eálne ozptylové stavy vlnové balíky ožno vyjadi ako ich supepozíciu. asto ožno poocou jednoduchého foalizu stacionánych stavov nájs intuitívny spôsobo iešenie nejakého dynaického pobléu ktoý by se pi igoózno postupe useli ieši poene koplikovane vo foalize vlnových balíkov poocou asovej Schödingeovej ovnice. S takýto pípado sa stetnee v tejto kapitole pi diskusii o tunelovo jave a neskô v teóii ozptylu. 4.3 NIEKTORÉ VLASTNOSTI RIEŠENÍ BEZASOVEJ SCHRÖDINGEROVEJ ROVNICE Potenciálna enegia v eálne postavenej fyzikálnej úlohe je vždy spojitou funkciou piestoových súadníc. asto však pe zjednodušenie ateatickej stánky úlohy je užitoné apoiova potenciál nespojitou funkciou. Ako píklad ožno uvies potenciál jadových síl ktoé sú veké v oblasti ádovo 5 a poto ýchlo klesajú k nule. Na ob. 4. je znázonený scheatický piebeh takejto potenciálnej enegie spojitá iaa aj s nespojitou apoiáciou peušovaná iaa. Podobne ožno v pvo piblížení považova potenciálnu enegiu elektónu viazaného v kove za nespojitú. Pe elektón vnúti kovu potenciálna enegia á konštantnú hodnotu V a io kovu tiež konštantnú hodnotu V. V toto lánku sa budee zaobea s nasledujúcii otázkai: ako sa spáva iešenie jednoozenej bezasovej SchR v okolí bodu kde je potenciálna enegia nespojitá? 4

4 ak ψ je iešení jednoozenej bezasovej SchR aké podienky pe ψ pi ± vyplývajú z požiadavky ψ d ak ψ je iešení tojozenej bezasovej SchR aké podienky pe spávanie ψ pi a pi vyplývajú z požiadavky integujee cez celý piesto? ψ t d 3 Ob. 4. Zanee teda s tý ako sa spáva iešenie jednoozenej bezasovej SchR v okolí bodu kde je potenciálna enegia nespojitá. Jednoozenú bezasovú SchR ožno pepísa na tva d ψ V ψ Eψ d 3 d ψ [ V E] ψ 4 d Ak V je spojitou funkciou tak poda ovnice 4 eistuje pe každé konená duhá deivácia ψ''. Peto ψ' a V budú spojité v každo bode skúaného intevalu. Ak potenciál V á nespojitos v bode pozi bod a na ob. 4.3 poto by bolo potebné pesnejšie špecifikova 7 ako chápee ovnicu 4 v bode 7 Ak ovnicu 4 chápee v zysle zovšeobecnených funkcií a deivácií poto dôkaz spojitosti ψ' je jednoduchý. Ak by ψ' ala v bode nespojitos poto na avej stane ovnice 4 by bola singulaita typu δ-funkcie ký pavá stana takúto singulaitu neá. 4

5 nespojitosti potenciálnej enegie. Fyzikálne však áe na ysli zhuba toto: Potenciálnu enegiu V si pedstavíe ako liitu postupností V n dostatone hladkých funkcií a hadanú funkciu ψ ako liitu postupností iešení ψ n píslušných k jednotlivý V n. Naznaíe teaz ako by sa postupovalo pi dôkaze toho že ψ je spojitá i so svojou pvou deiváciou v pípade že V je v okolí bodu ohaniená a teda aj skok V je konený. Integáciou ovnice 4 dostanee pe funkciu ψ n ψ ε ψ n n ε ε ε [ V E] ψ d Ak ψ je ohaniená poto vo výaze 5 ôžee uobi najpv liitu n poto liitu ε. Na pavej stane dostanee nulu peto ψ' usí by v bode spojitá. Tý skô bude spojitá aj funkcia ψ. Uvedený aguent neplatí ak skok V v bode je nekonene veký. Vtedy ψ v bode neusí by spojitá ale dá sa ukáza že ψ zostane spojitou. Budee peto vždy požadova aby pi nespojito V v pípade koneného skoku v bode bola spojitá saotná vlnová funkcia ψ aj jej pvá deivácia ψ'. Pi nekoneno skoku budee žiada len spojitos vlnovej funkcie. Podienka noovatenosti kladie uité obedzenia na spávanie vlnovej funkcie v oblastiach. Ak žiadae aby integál v ovnici konvegoval tak ako sa ožno ahko pesvedi ψ usí sp a podienku n 5 ψ pe ± 6 V tojozeno pípade noovacia podienka vyžaduje 3 ψ pe 7a 3 ψ pe 7b 4.4 JEDNOROZMERNÁ POTENCIÁLOVÁ JAMA Budee hada stacionáne stavy astice pohybujúcej sa v poli s potenciálnou enegiou pe > a V V < pe a Ak sa zaujíae o viazané stavy usíe ieši SchR ktoá á tva d ψ V ψ Eψ d 43

6 pio hodnoty enegie sp ajú neovnosti lánok 4. E < V ± 3 E > V in V 4 Poda lánku 4.3 požadujee pi iešení ovnice s potenciálnou enegiou spojitos ψ a dψ/d v celo intevale. Rozdee tento inteval na ti asti: a a a a a oísluje ich postupne ako I II a III. Intevaly spolu s tvao V sú vyznaené na ob V oblastiach I a III á SchR tva v oblasti II: d ψ β ψ d β E > 5 d ψ α ψ α V E > d 6 44 Riešenia týchto ovníc sú : Ob. 4.3 ψ I De β D'e β ψ I I A sin α B cos α ψ II I Ce β C'e β 7 Funkcia ψ I I I usí epezentova noovatené iešenie SchR v oblasti a. Ak C' tak ψ II I pe a iešenie neožno noova píslušný integál by divegoval. Peto usíe žiada aby sa C'. Z toho istého dôvodu D'. Polože teda C' D'. Z podienok spojitosti vlnovej funkcie ψ a jej pvej deivácie dψ/d v bodoch a a a ožno odvodi dve dvojice ovníc A sin αa C De β a 8 αa cos αa βc De β a 8'

7 B cos αa C De β a 9 αb sin αa βc De β a Z posledných ovníc vidie že eistujú dva typy iešení:. Ke A a C D. Rovnice 8 a 8' sú splnené identicky a ovnice 9 a 9' ožno splni len vtedy ak platí: 9' a tg αa β. Ke B a C D; ovnice 9 a 9' sú splnené identicky a ovnice 8 a 8' ožno splni len vtedy ak platí: a cotg αa β Všinie si najpv iešenie typu t. j. pokúse sa vyieši ovnicu. Ide zeje o tanscendentnú ovnicu ktoá sa najjednoduchšie ieši gaficky. Polože: Z vyjadení α a β v ovniciach 5 a 6 vyplýva a z ovnice dostanee: ξ αa η βa ξ η V a R ' ξ tg ξ η 3 Ob. 4.4 Na ob. 4.4 sú znázonené kivky uené ovnicai ' a 3. Sústava kiviek 3 je pevná a nezávisí od paaetov potenciálnej enegie V a. Poloe kužnice ' je daný paaetai potenciálnej enegie V R 4 a 45

8 Každéu pieseníku kužnice ' so sústavou kiviek 4 odpovedá uité iešenie bezasovej Schödingeovej ovnice. V situácii znázonenej na ob. 4.4 áe dve iešenia typu odpovedajúce pieseníko ξ ' η ' ξ ' η '. Diskétny hodnotá η n odpovedajú poda 5 a diskétne hodnoty E n E n η n 5 a Len pi týchto hodnotách enegie á bezasová Schödingeova ovnica iešenie. K diskétny hodnotá enegie by se pišli aj pi podobnejšo oveovaní iešení typu toto penecháe itateovi. 7 Pi pohade na výsledky iešení typu vznikajú hne dve fyzikálne otázky: a Peo je ieou potu viazaných stavov páve paaete R? b Peo pi každej teda aj kátkej alé a a plytkej alé V potenciálovej jae typu eistuje aspo jeden viazaný stav? Zanee s pvou otázkou. Odpove na u je naznaená už tvao v ktoo se zapísali R v 4. V itateli áe vekos potenciálnej enegie v enovateli áe kinetickú enegiu astice ktoej vlnová funkcia á neuitos v polohe ovnú ádové ozeu jay. Skutone ak položíe a áe zo vzahu neuitosti p p p p / a a píslušná kinetická enegia sa ovná enovateovi v 4. Paaete R takto udáva poe potenciálnej a kinetickej enegie astice ktoej vlnová funkcia je veká páve v jae. Ak je R alé potenciálová jaa viaže asticu slabo ak je R veké bude astica viazaná silnejšie a ôže vzniknú viac viazaných stavov. Pejdie teaz ku kvalitatívnej odpovedi na otázku b. Uvažuje vlnovú funkciu ψ ktoá je veká v intevale L L a alá io neho. Vnúti tohto intevalu vaka podienke noovania vlnovej funkcie platí ψ /L. Stedná hodnota potenciálnej enegie v takoto stave je Epot L ψ V d a V pe L>a 6 L V pe L a Stedná hodnota kinetickej enegie bude poda vzahu neuitosti E kin L L 7 Podobnejšiu analýzu viazaných stavov na potenciálovej jae ožno nájs v uebnici Foánek J.: Úvod do kvantové teóie as I st. 67. SPN Paha

9 a pe celkovú enegiu áe a E L V pe L > a 7a L L a V pe L a 7b L L Pe dostatone veké L je pavá stana v 7a záponá a pe dostatone alé L je pavá stana v 7b uite kladná. Funkcia EL á peto iniu pi nejakej hodnote L L a pi toto inie je EL <. Pavá stana 7a á iniu pi L L V a a R a ahko sa pesvedíe o to že pi alo R je to skutoné iniu funkcie EL. Píslušná hodnota enegie pi L L je EL R V 8 kde R je dané vzaho 4. Tento výsledok je teda kvalitatívny a ádový odhado enegie základného stavu pe jednoozenú potenciálovú jau. Poovnaje teaz kvalitatívny odhad 8 s tý o by se dostali z pesného iešenia pi R <<. Pe toto pesné iešenie platia ovnice ' a 3. Z ' a z ob. 4.4 vidno že pi alo R budú aj ξ η alé. Pe ξ << platí tg ξ ξ a naiesto 3 áe η ξ. Ak toto dosadíe do ' dostanee ξ ξ 4 R. Pi alo ξ odtia plynie ξ η R a po dosadení do 5 nájdee pe základný stav 4 E η R a a Po alej úpave obdžíe E V R o je identické so vzaho 8 získaný kvalitatívny odhado. Kvalitatívna analýza jasne ukazuje peo vzniká viazaný stav aj na plytkej a kátkej jae. Ak postupne zväšujee oze L vlnovej funkcie ψ poto stedná hodnota potenciálnej enegie pvý len na pavej stane 7a klesá ako L zatia o kinetická enegia klesá ako L. Pi istej hodnote L usí by celková enegia záponá. Tieto skutonosti vyplývajú zo vzahu neuitosti a pavdepodobnostnej intepetácie vlnovej funkcie. Všinie si že iešenia typu sp ajú podienku ψ ψ a iešenia typu podienku ψ ψ. V pvo pípade hovoíe o iešeniach 47

10 s kladnou v duho so záponou piestoovou paitou. Eistencia iešení s uitou paitou je dôsledko syetie potenciálnej enegie V pe ktoú platí V V. S otázkai syetie iešení SchR sa budee ešte zaobea alej. Typické ozdiely edzi kvantovou a klasickou echanikou pi opise viazaných stavov. Poda zákonov klasickej echaniky by sa astica s enegiou E < neohla dosta von z potenciálovej jay na ob V kvantovej echanike pavdepodobnos výskytu astice aj v týchto klasicky zakázaných oblastiach je konená. Pesakovanie do oblasti kde V > E je typický kvantovoechanický javo a á nohé vážne dôsledky tunelový jav. V uvažovano pípade potenciálovej jay vlnová funkcia v oblasti > a klesá eponenciálne k nule: ψ ~ e β β E/ / 9 Celko analogický postupo sa ožno pesvedi o to že pe potenciál V pe < a V V pe > a sa v oblasti > a budú iešenia spáva ako ψ ~ e γ γ [V E/ ] / Mechanizus kvantovania Po ateatickej stánke je jednoozená jaa naozaj jednoduchý poblé ale aj tu by sa ohlo sta že ateatika tocha zatení základný echanizus ktoý pichádzae k diskétny stacionány stavo a tý i ku kvantovaniu enegie. Pozie sa na tento poblé ešte az a pedstave si že se ho skúsili ieši vei hlúpou etódou na poítai aj hlúpe etódy ôžu by pouné. Metóda by spoívala v nasledujúco. Zvolili by se si uitú hodnotu enegie E z intevalu V < E < a spoítali by se poda 5 píslušnú hodnotu paaeta β. Teaz by se sa pozeli na tva iešenie v oblasti I daný vzaho 7 a položili by se D' aby se v oblasti I t. j. pe < a ali noovatenú vlnovú funkciu. Takto by se v oblasti I ali iešenie ψ I ~ De β a pe zaiatok by se ohli položi D l s tý že po skonení výpotu by se celú funkciu násobili ešte konštantnou vybanou tak aby iešenie ψ bolo spávne noované. S týto iešení by se postupovali od aleko naavo na íselnej osi seo k bodu a. Ta by se iešenie zošili s oscilujúci iešení ψ II A sin α B cos α 3 48

11 pio zo spojitosti ψ ψ' v bode a by se uili hodnoty A B paaete a je daný vzaho 6. Poíta by postupoval alej dopava až by pišiel k bodu a kde by zas zošil 3 s výazo typu ψ III Ce β C'e β 4 Podstatné je tu to že paaete C C' závisia pi D iba od enegie a sú jednoznane uené zošívacíi podienkai Pi náhodne zvoleno E s ktoý poítae je nanajvýš pavdepodobné že dostanee C C' ale to znaená že získané iešenie nie je ožné noova lebo as C' ep β v 4 eponenciálne vybuchuje pe. Postupne by se ohli vyba iné hodnoty E zopakova celý postup znova a dúfa že niekedy tafíe do spávnej hodnoty E pi ktoej bude C' a dostanee noovatené iešenie bezasovej SchR. Dva neúspešné b c a jeden úspešný pokus a sú znázonené na ob Vidno teda že výbe stacionánych stavov je daný sasti saotnou Schödingeovou ovnicou a sasti podienkai ψ pe ψ pe 5 ktoé zaisujú noovatenos funkcie. Keby se nepožadovali splnenie 5 ala by bezasová Schödingeova ovnica iešenie pi ubovonej hodnote paaetu E. Takéto iešenia by však uite nezodpovedali astici viazanej vnúti jay o vidno najjednoduchšie z toho ak si nakeslíe hustotu pavdepodobnosti ψ pe iešenie odpovedajúce b c na ob Navyše z takýchto iešení sa ani supepozíciou nedá vytvoi noovatený vlnový balík í sa odlišujú napíklad od iešení zodpovedajúcich ozptylový stavo ktoé saotné tiež nie sú noovatené ale supepozíciou ôžu vytvoi ealistický vlnový balík. Ob. 4.5 Píklady s ktoýi sa stetnee v nasledujúcich lánkoch sú síce zložitejšie ale túto vlastnos ajú spolonú s jednoozenou jaou. V pípade jay eistovali dva nebezpené body 7 a síce. Nebezpené boli peto 7 V alších lánkoch sa nebezpené body nazývajú singulányi bodi. 49

12 že v ich okolí eistuje jedno dobé iešenie typu ep{ β } a jedno zlé iešenie typu ep{β }. Ak á a výsledná funkcia ψ fyzikálny zysel poto koeficienty ped zlý iešení v oboch nebezpených bodoch usia by nulové. Tieto podienky sú páve tý o vybeá len diskétnu nožinu stacionánych stavov teda tý o kvantuje enegiu. 4.5 NEKONENE HLBOKÁ POTENCIÁLOVÁ JAMA V tejto uebnici se sa už dvakát zaobeali s pípado astice v nekonene hlbokej potenciálovej jae pvýkát pi kvalitatívnej diskusii stacionánych stavov v kap. a duhýkát v lánku.6. V lánku.6 se iešili bezasovú SchR pe vonú asticu na intevale L a ako okajové podienky pe iešenia se žiadali ψ ψl. Teaz nebudee tento píklad ieši znova ale všinee si iba pôvod týchto okajových podienok. Nekonene hlbokú potenciálovú jau ôžee chápa ako užitoné piblíženie pe enegie a vlnové funkcie stacionánych stavov nachádzajúcich sa blízko dna jay. Pesnejšie to ôžee sfoulova takto. Pedstave si asticu pohybujúcu sa po piake v poli síl opísaných potenciálnou enegiou V V pe < I V pe L II V V pe > L III Podobne ako v pedchádzajúco lánku sa ahko pesvedíe o to že vlnové funkcie stacionánych stavov v oblasti I a III ajú tva kde ψ I D ep { β } ψ III C ep { β } / V β E Ak V je vei veké poto ψ I a ψ III vei ýchlo klesajú s tý ako sa vzaujee od jay. V liite V pichádzae k situácii ke ψ pe io jay Z hadiska pohybu astice vnúti jay to ale znaená že ψ I ψ III L a toto sú okajové podienky ktoé se používali v lánku.6. 5

13 Nie je pekvapujúce že tieto podienky vedú ku kvantovaniu enegie lebo sú to vlastne dôsledky okajových podienok ktoé se používali v pípade konenej jay po liite V. Vlastné hodnoty opeátoa enegie a vlnové funkcie píslušné k týto hodnotá boli už uvedené v lánku.6 a tu ich nebudee opakova. 4.6 LINEÁRNY HARMONICKÝ OSCILÁTOR Mateatický opis lineáneho haonického oscilátoa je poene jednoduchý a oblas aplikácií neobyajne šioká. Pi lineáno haonicko oscilátoe je sila F piao úená výchylke a á opaný se. Platí F k. Petože F dv/d potenciálna enegia V je daná výazo V k /. Konštantu k je užitoné zapísa v tvae ω kde je hotnos a ω je vlastná kuhová fekvencia oscilátoa. Ak takéto V dosadíe do bezasovej SchR dostanee d ω ψ ψ Eψ d Petože in V ovnica bude a len iešenia s E >. Pe platí V a všetky iešenia budú a chaakte viazaných stavov. Peto budee v alšo považova za fyzikálne pijatené len noovatené iešenia ktoé zeje usia sp a podienku li ψ Naiesto peennej je užitoné zavies bezozenú peennú v ktoej nadobudne tva ξ ω ψ'' λ ξ ψ λ E/ω 4 Difeenciálna ovnica 4 patí k typu ktoý sa asto vyskytuje v úlohách ateatickej fyziky. Ide o lineánu hoogénnu difeenciálnu ovnicu duhého ádu s peennýi koeficienti. Pe ovnice tohto typu eistuje postup iešenia spoívajúci v podstate v to že najpv hadáe tva iešení v okolí singulánych bodov. 73 Túto as iešenia ožno / 73 Tento postup je len o tocha koplikovanejší ako ten ktoý se používali v pedchádzajúco lánku. Singuláne body sú nebezpené body teda také v okolí ktoých ôžee dosta nenoovatené tvay iešenia. Ako bude vidno hne v ovnici 6 aj tu eistujú v okolí sing. bodov dva typy iešení a podienka noovatenosti vyžaduje aby koeficient pi zlo iešení bol nulový c. 5

14 oddeli v ultiplikatívno tvae a zvyšnú as iešenia hladáe v tvae ocninového adu peennej alebo a kde a je vhodne zvolená konštanta. Koeficienty pi jednotlivých ocninách daného ocninového adu uíe piao z difeenciálnej ovnice. Skúaje najpv iešenie ovnice 4 pe veké ξ. Nebudee hada pesné iešenie ale len asyptotické iešenie. Pi toto iešení sa zaujíae len o hlavný len skutoného iešenia iže nap. v okolí bodu ξ zanedbáe /ξ voi ξ voi ξ a pod. V toto zysle ôžee pe veké ξ zanedba A voi ξ a pepísa ovnicu 4 na tva Asyptotický iešení ovnice 5 je funkcia ψ''ξ ξ ψξ 5 ψξ c e ξ / c e ξ / Skutone po dosadení do 5 dostanee 6 ψ''ξ ξ c e ξ / c e ξ / c e ξ / c e ξ / 7 Duhý len vpavo je pe veké ξ zanedbatený v pedtý uvedeno zysle voi pvéu a tak 6 je asyptotický iešení ovnice 5. V dôsledku usíe v ovnici 6 položi c. Poda naznaenej schéy iešenia oddelíe asyptotické iešenie ep ξ / a hadáe tentokát už pesné iešenie ovnice 4 v tvae ψ ξ υ ξ e ξ / υ ξ n a ξ Po dosadení 8 do 4 dostanee pe υξ difeenciálnu ovnicu υ''ξ ξυ'ξ λ υξ 9 Ak teaz dosadíe ozvoj pe υξ do ovnice 9 a poovnáe koeficienty pi jednotlivých ocninách ξ dostanee ekuentný vzah a n λ n n n a n n n Poda ad pe υξ ôže pati do jedného z toch a len týchto typov:. a a λ k k je piodzené a páne. V toto pípade υξ je polynó stup a k obsahujúci len páne ocniny ξ.. a a λ k k je piodzené a nepáne υξ je opä polynó stup a k ktoý obsahuje len nepáne ocniny ξ. 3. Rad pe υξ obsahuje nekonene noho nenulových koeficientov a n. Na konci tejto asti ukážee že iešenia takéhoto typu sú nepípustné lebo nesp ajú noovaciu podienku. 5

15 Všinie si bližšie hodnoty enegie ktoé zodpovedajú fyzikálne pípustný iešenia. a. typu. V obidvoch pípadoch platí: λ k k Poda 4 dostanee odtia pípustné hodnoty enegie pe lineány haonický osciláto E k ω k k Vlnové funkcie píslušné k týto hodnotá enegie ôžee piao skonštuova z ovnice 8 a z ekuentných vzahov. Tieto iešenia ajú tva ψ k ξ N k H k ξ e ξ / kde H k ξ sú polynóy k-teho stup a pi páno k obsahujú H k iba páne ocniny ξ a pi nepáno k iba nepáne ocniny. Konštanta N k v je uená noovacou podienkou ψ d 3 k Napíklad pe iešenie odpovedajúce základnéu stavu k zvoe a. Je to iešenie typu l teda a a z ekuentného vzahu poto dostanee a i pe i. Vlnová funkcia základného stavu á teda tva ψ ξ C'.ξ. e ξ / kde C' je noalizaná konštanta. Pvéu ecitovanéu stavu k l odpovedá iešenie typu a a napíklad a i pe i a dostanee ψ ξ C'.ξ. e ξ / kde C' je opä noalizaná konštanta. ahko ožno ukáza že pi vhodnej vobe noovania polynóy H k ξ sú totožné s Heitovýi polynóai ktoých vlastností sú v ateatike dobe znáe; najzákladnejšia infoácia o nich je uvedená v dodatku A. S využití vzahu A.4 by se ohli ui i všeobecný tva noovacej konštanty N k a dostali by se ω kde ξ. π ψ k /4 ω H k k π k! ξ e ξ / 53

16 Pavda noovacou podienkou 3 je konštanta N k uená až na fázový fakto typu e iα. Takýto fakto neá fyzikálny význa naša konvencia 4 odpovedá N k eálneu kladnéu. Váe sa teaz naspä k iešenia 3. typu. Ako se už spoínali tieto iešenia teba zaietnu petože nesp ajú noovaciu podienku. Ak totiž ad pe υξ á nekonený poet lenov tak υξ ep pe a funkcia uená ovnicou 8 sa zeje nedá noova. Bez podobného dôkazu uvediee len jednoduchý aguent ktoý obí tvdenie pijatený. Tayloov ozvoj funkcie ep je: ξ / k k ξ ξ bk k k! k k! k páne k e ξ k kde b k /k/! Pe veké k platí b b k k k a to je ten istý poe aký ajú pe veké k koeficienty ozvoja υξ pozi ovnicu. 4.7 TUNELOVÝ JAV. PRECHOD ASTICE CEZ BARIÉRU V lánku 4.4 se už videli že pi pohybe v jednoozenej jae v oblasti kde je potenciálna enegia V väšia ako celková enegia astice vlnová funkcia klesá eponenciálne ako ep{ γ } γ / V E. Takto v isto zysle astica pesakuje do oblasti ktoá je pe u poda klasickej echaniky zakázaná. Toto pesakovanie á viaceé význané dôsledky. Ukazuje sa totiž že astica dopadajúca na potenciálovú baiéu vyššiu ako je enegia astice ôže touto baiéou s istou pavdepodobnosou pejs. Teaz si ukážee na vei jednoducho píklade ako k tou dochádza. Sleduje pohyb astice v poli potenciálnej enegie V znázonenej na ob V V > pe pe < a > a Budee sa zaujía o takúto fyzikálnu situáciu: Nech zava seo k baiée sa pohybuje astica s enegiou < E < V. V klasickej echanike by sa takáto astica usela po náaze na baiéu odazi naspä. V kvantovej echanike však 54

17 s nenulovou pavdepodobnosou pejde baiéou a bude sa pohybova opä s enegiou E v oblasti III ob. 4.6 seo od baiéy. Našou úlohou je nájs píslušnú pavdepodobnos pechodu. Ob. 4.6 Už poda foulácie úlohy vidno že ide o dynaický nestacionány poblé ktoý by se ali ieši poocou asovej SchR. Postup by bol nasledovný. Zvolili by se v nejako ase t vhodnú vlnovú funkciu noovaný vlnový balík epezentujúci asticu dostatone lokalizovanú v oblasti I pohybujúcu sa seo k baiée. Poto by se iešili asovú SchR s takouto vlnovou funkciou ako zaiatonou podienkou. Získali by se tak tva vlnovej funkcie v dostatone neskošo ase t a vypoítali by se poocou tejto vlnovej funkcie pavdepodobnos nájs v ase t asticu v oblasti III za baiéou. Opísaný postup je poene koplikovaný ožno však dúfa že už peskúanie stacionáneho pobléu t. j. bezasovej SchR naznaí spávnu odpove. Realistický vlnový balík totiž ožno vyjadi ako supepozíciu stacionánych vlnových funkcií. Pi skúaní sa staí obedzi na také stacionáne iešenia o ktoých je ožné oakáva že v spoínanej supepozícii budú vystupova. Kvalitatívne ožno ahko uhádnu aké iešenia to asi budú. Z tvau potenciálnej enegie V vidno že v oblastiach aleko od baiéy budú a iešenia tva iešení pe vonú asticu budú to teda ovinné vlny. Z chaakteu V je zejé že ide o ozptylové stavy. Z fyzikálneho hadiska je zejé že v supepozícii vytváajúcej hadaný vlnový balík budú vystupova len také stacionáne iešenia ktoé v oblasti III ob. 4.6 budú a chaakte ovinnej vlny šíiacej sa v see kladnej osi teda v see od baiéy. Intuitívne je totiž zejé že v elevantných iešeniach nevystupuje ni o á chaakte vn dopadajúcich na baiéu spava. Budee sa zaujía o iešenia odpovedajúce enegii E z intevalu < E < V pe takéto hodnoty enegie totiž klasická astica neôže baiéou pejs. Riešenia bezasovej SchR d ψ V ψ Eψ d 55

18 ajú poto v intevaloch I II a III nasledujúci tva ψ I Ae ik Be ik k p/ [E/] / ψ II Fe α Ge α α [V E/] / 3 ψ III Ce ik De ik Ostáva uobi štandadnú pocedúu zoši iešenia na haniciach oblastí I II a III. Pipoe e si však že náš poblé nie je nájs všetky iešenia ovnice ale len také iešenia ktoé ajú v oblasti III chaakte vlny šíiacej sa v see od baiéy. Vo vyjadení ψ III vo vzahu 3 tieto vlny zodpovedajú lenu Ce ik ký len De ik epezentuje vlny dopadajúce na baiéu spava. Táto intepetácia je zejá totiž už z poovnania s tvao de Boglieho ovinných vn pe volné astice... Vlna typu e ik zodpovedá astici s pieeto hybnosti na os ovný k vlna typu e ik zodpovedá pieetu hybnosti k a teda astici pohybujúcej sa spava doava. Pe našu úlohu sú teda elevantné iba také iešenia ktoé ajú v oblasti III tva ψ III Ce ik 4 teda pe ktoé D. Môžee oakáva že iešenia ktoé ajú takýto tva by vhodnou supepozíciou vytvoili vlnu s chaakteo vlnového balíka zodpovedajúceho foulácii našej úlohy. Koeficient C nechaje zadal ubovoný. Z požiadavky spojitosti iešenia a jeho pvej deivácie v bodoch a a poto ahko dostanee pe koeficienty A B F G podienky A B F G Fe α a Ge α a Ce ika 5 ik A B αg F Ge α a Fe α a ik Ce ika 5a Z ovníc 5 už ožno ahko vyjadi štyi z koeficientov A B C F G poocou jedného z nich napíklad poocou A ktoý bude vystupova ako ultiplikatívny fakto. SchR je lineána hoogénna ovnica peto takýto ubovoný ultiplikatívny paaete v iešení je piodzený. Na jeho uenie neôžee využi noovaciu podienku ako je to obvyklé v pípade viazaných stavov. Naše iešenie á chaakte ozptylového stavu. Peto ako se už viackát hovoili sa nedá noova obvyklý spôsobo. Teaz by se sa ohli pokúsi poocou nájdených iešení skonštuova vlnový balík zodpovedajúci zadaniu úlohy a nájs hadanú pavdepodobnos pechodu. S tochou intuície však odpove už vidno piao z chaakteu nájdených stacionánych iešení. V spoínanej supepozícii by totiž zeje leny typu Ae ik pispievali do balíka epezentujúceho dopadajúcu asticu leny typu Ce ik asticu pejdenú baiéou. leny typu Be ik ktoé ajú chaakte vlny šíiacej sa 56

19 oblasti I v see záponej osi budú pispieva do balíka epezentujúceho asticu odazenú od baiéy. O tejto intepetácii svedí aj výaz pe hustotu púdu pavdepodobnosti. Ak ψ I dané ovnicou 3 dosadíe do 3..4 dostanee p j A B kde je ýchlos astice. Možno teda oakáva že v zysle pavdepodobnostnej intepetácie vlnovej funkcie veliiny p C B T R A A budú a význa pavdepodobnosti pechodu esp. pavdepodobnosti odazu astice od baiéy. Po dosadení výazov pe C a B získaných z ovníc 5 dostanee T R T V sinh αa 4E V E Podobne ožno vypoíta aj koeficient pechodu a odazu pe E > V. Výsledok je pozi nap. [8] V sinh β a T β [ V E/ 4E V E / Závislos koeficientu T od poeu E/V je na ob. 4.7 kde se peušovanou iaou naznaili aj koeficient pechodu astice pódia klasickej echaniky. ] 6 7 Ob

20 Vidíe že poda nej v pípade ak E < V astica neôže peniknú cez baiéu v pípade E > V penikne vždy. Dôležitý je najä piebeh kvantovoechanickej kivky pe E < V. Petože klasická astica sa v toto pípade neôže dosta cez baiéu dá sa obazne poveda že poda kvantovej echaniky eistujú akési tunely ktoýi astica pedsa len penikne. Peto sa jav nazýva tunelový javo. Pvýkát tento efekt použil G. Gaow na objasnenie enegetických spektie a pavdepodobností α ozpadu jadie. astica α je poene stabilný útva a ožno sa donieva že v isto zysle eistuje v jade už pedtý než z neho pi ozpade vyletí. Eistujú isté odhady potenciálu ktoý pôsobí jado na α asticu. Znázoníe scheaticky tento potenciál ako funkciu vzdialenosti od stedu jada na ob Enegie astíc α opúšajúcich jado boli však asto znane enšie ako aiu V oznaené V. Z klasického hadiska nebolo ožné efekt vysvetli. Gaow v oku 98 ukázal že poda kvantovej echaniky astice ôžu peniknú cez potenciálovú baiéu a kvalitatívne vysvetlil enegetické spektu astíc α pi ozpade jadie. Ob. 4.8 Ob. 4.9 Tunelový efekt sa pejavuje asto aj v polovodioch kde ôžu na styku dvoch ateiálov vznika koplikované potenciálové baiéy. Podobnosti nebudee ozobea spoeniee len názov tunelová dióda ktoý už sá poukazuje na súvislos s tunelový javo. V pedchádzajúco se skúali podobne pechod astice cez potenciálovú baiéu toho najjednoduchšieho typu. Uvee teaz ešte len vei intuitívny aguent pe spávanie sa vlnovej funkcie pod baiéou vo všeobecnejšo pípade baiéy koplikovanejšieho tvau. Kvôli tou sa vátie k diskusii lánku 4.4 a pipoeniee si že pe asticu v oblasti s E < V vlnová funkcia klesá ako 58

21 ep V / E Na úseku dlho sa takto aplitúda vlnovej funkcie zenší o / ep V E Toto platí iba pi konštantno potenciáli. Ak sa ale potenciál ení vei poaly ale stále platí E < V poto oakávanie že s astúci by vlnová funkcia klesala takto / / ep V E ep V E 8 kde... sú body v stede intevalov... na ktoé se ozdelili podbaiéovú oblas. Petože platí ep α i ep α i i i ôžee súin v 8 zapísa aj ako b / ep V E d 9 a kde a b sú kajné body podbaiéovej oblasti t. j. oblasti kde V > E. Oakávae teda že výaz 9 bude aspo hubý kvalitatívny piblížení pe zoslabenie aplitúdy vlnovej funkcie pi baiée typu V na ob Podobnejšia analýza ktoú tu však nebudee obi ukazuje že 9 je síce užitoný ale asto len vei hubý piblížení. 4.8 TROJROZMERNÝ HARMONICKÝ OSCILÁTOR. METÓDA SEPARÁCIE PREMENNÝCH Úlohy ktoé vedú k iešeniu jednoozenej SchR ajú znane obedzenú oblas použitia. astejšie sa stetávae s tojozenýi úlohai. V nohých a pe aplikácie najdôležitejších úlohách ožno asto pevies iešenie tojozenej úlohy na iešenie toch jednoozených úloh. Naiesto pokusu o všeobecný výklad si ukážee túto etódu tzv. etódu sepaácie peenných na jednoducho píklade tojozeného haonického oscilátoa. Jednoozený haonický osciláto je opísaný potenciálnou enegiou V ω /. Piodzený zovšeobecnení tohto V na tojozený 59

22 6 pipad je 3 z y z y V ω ω ω ktoý nazývae všeobecne potenciálo tojozeného anizotopného oscilátoa. Ak platí ω ω ω 3 ω tak hovoíe o izotopno haonicko oscilátoe. SchR pe pohyb astice v poli potenciálnej enegie bude: 3 z y E z y z y z y z y ψ ψ ω ω ω ψ Hadaje iešenie v sepaovano tvae odtia názov etódy y z ADy z 3 Ak 3 dosadíe do a výsledok delíe súino ADy z po jednoduchej úpave dostanee: d d 3 z y z y D z y z y D A A E ω ω ω 4 Podailo sa ná ozdeli ovnicu tak že avá stana v 4 závisí len od peennej a pavá stana len od y a z. Odtia však vyplýva že tak avá ako aj pavá stana v 4 sú konštantné. Oznae túto konštantu Ē a zapíše dve takto získané ovnice v tvae d d A E E A A ω 5 3 z y ED z y D z y z y D z y ω ω 6 Riešenie 6 ôžee opä hada v tvae Dy z ByCz a po zavedení vhodných konštánt E E E 3 nakoniec dostanee iešenie ovnice v sepaovano tvae y z A By Cz 7 kde funkcie A B C vyhovujú ovnicia

23 6 d d A E A A ω 8a d d y B E y B y y y B ω 8b d d 3 z C E z C z z z C ω 8c pio E E E E 3 8d Riešenie ovníc 8a 8b 8c však poznáe z lánku 4.6. Sú to iešenia difeenciálnej ovnice pe haonický osciláto. Každé z iešení závisí od piodzeného ísla n a á tva daný ovnicou 6.5. Riešenie ovnice ožno teda zapísa v tvae y z n n y n3 z 9 Píslušné hodnoty enegie sú: n n n E n n n ω ω ω Ostáva ná ešte zisti i oke nájdených iešení v sepaovano tvae neeistujú aj iné iešenia bezasovej SchR. Riešenia 9 však tvoia úplný systé funkcií peto žiadne alšie nezávislé iešenia už neeistujú a teda aj vzah udáva všetky vlastné hodnoty opeátoa enegie. Tojozený anizotopný osciláto s ktoý se sa zaobeali neá vea užitoných aplikácií ale etódu sepaácie peenných na o ožno deonštova bez vekého poítania. Ovea astejšie sa však používa etóda sepaácie peenných v iných než kateziánskych súadnicových systéoch pedovšetký vo sféických súadniciach. 4.9 VLASTNÉ HODNOTY A VLASTNÉ FUNKCIE OPERÁTOROV MOMENTU HYBNOSTI V alšo sa budee zaobea iešeniai SchR v tojozeno pípade so sféicky syetický potenciálo. Pi to budee používa etódu sepaácie peenných vo sféických súadniciach. Pv než pídee k týto otázka je užitoné peskúa vlastné funkcie a vlastné hodnoty opeátoov oentu hybnosti. Ukáže sa totiž že tieto vlastné funkcie budú udáva uhlovú závislos iešení zapísaných v sepaovano tvae R Yϑ ϕ kde Yϑ ϕ sú vlastné funkcie opeátoov oentu hybnosti.

24 Poda vzahov.. sú jednotlivý zložká oentu hybnosti piadené opeátoy L y.p z p z.y L y z.p p.z L z.p y p y. Ak si uvedoíe že poda..5 tieto opeátoy pi vyjadení vo sféických súadniciach ϑ ϕ pôsobia len na uhlové peenné ϑ a ϕ poto je zejé že pi hadaní ich vlastných funkcií sa staí obedzi na funkcie závislé len od týchto peenných typu ψϑ ϕ. Ak skonštuujee ešte opeáto duhej ocniny oentu hybnosti L L L y L z poto po jednoduchých výpotoch ktoé penechávae itateovi ožno zo vzahov a odvodi koutané vzahy [L L y ] il z [L y L z ] il [L z L ] il y 3 [L L ] [L L y ] [L L z ] Z koutaných vzahov 3 je zejé že z opeátoov L L y L z L ožno vyba najviac dva ktoé navzájo koutujú. Nech sú to napíklad opeátoy L a L z. Poda diskusie v lánku.6 je poto zejé že sa ožno pokúsi nájs spoloný systé vlastných funkcií týchto dvoch opeátoov. V sféických súadniciach poda..5 6 platí L z i 4 ϕ L sinϑ sinϑ ϑ ϑ sin ϑ ϕ Budee teda hlada vlastné funkcie Y l ϑ ϕ sp ajúce vzahy L z Y l ϑ ϕ Y l ϑ ϕ 5 L Y l ϑ ϕ ll Y l ϑ ϕ kde l sú zatia ubovoné eálne ísla Poznaenaje že vzahy 5 sú obvyklé vzahy platné pe vlastné funkcie ibaže píslušné vlastné hodnoty sú zapísané v nezvyklo tvae. Teba si uvedoi že ubovoné kladné íslo ožno zapísa nap. v tvae ll kde l je vhodné eálne íslo. Nezvyklý tva bude v alšo užitoný. 6

25 Riešenie ovníc 5 budee hada opä v sepaovano tvae Y l ϑ ϕ ϑφϕ ke se na pavej stane závislos od l eplicitne nevypisovali. Po dosadení do 5 dostanee ovnice d Φ iφ 6 dt Riešenie ovnice 6 á tva d d sinϑ l l Θ 7 sinϑ dϑ dϑ sin ϑ Funkcia Φϕ však usí by taká aby platilo Φ Ce iϕ 8 Φϕ π Φϕ 9 lebo fyzikálne dva body ktoých súadnica ϕ sa líši o π sú totožné otácia o π. Z podienky 9 a vzahu 8 je zejé že pe vlastné hodnoty usí plati: je celé íslo Ostáva teda ieši ovnicu 7 s obedzení sa na celé ísla a nájs funkcie ϑ ako aj vlastné hodnoty ll. Neuvediee si tu detailne celý postup len naznaíe spôsob iešenia. V ovnici 7 je užitoné uobi substitúciu cosϑ. Po jednoduchých úpavách dostanee d d l l d d Θ Hadáe eguláne iešenie tejto ovnice na intevale o odpovedá ϑ π. Postupo v zásade podobný ako pi haonicko oscilátoe 75 by se zistili že fyzikálne pijatené iešenie eistuje iba v pípade že l je celé nezáponé íslo pio platí V takoto pípade á poto iešenie tva l / 75 Odfaktoizovanie iešenia v okolí singulánych bodov l a l a následné hadanie iešenia v tvae ocninového adu. 63

26 kde je polynó stup a l. Riešenia ovnice tohto typu sú dobe znáe sú to pidužené Legendove funkcie P l. Ich definícia a niektoé vlastnosti sú uvedené v dodatku A3. Zekapitulujee získané výsledky: Vlastné funkcie Y l ϑ ϕ opeátoov L a L z sp ajúce vzahy 5 zodpovedajú hodnotá a sú dané vzaho l a celé 3 Y l C l P l cosϑ e iϕ 4 kde P l sú pidužené Legendove funkcie. Vlastné hodnoty opeátoov L a L z zodpovedajúce spoloný vlastný funkciá teda sú a ll l celé 5 l l celé 6 Noovací koeficient volíe konvenne tak aby funkcie Y l ϑ ϕ boli noované na guovej ploche jednotkového poloeu t. j. aby platilo π d ϕ π sin ϑ * d ϑ Y l Y l V obvyklej fázovej konvencii poto platí: Y l / l l! iϕ ϑ ϕ Pl cosϑ e 7 4π l! Y l ϑ ϕ Y* l ϑ ϕ pe < 8 Táto poene koplikovaná fázová konvencia je otivovaná požiadavkou aby Y l bolo eálne a kladné 9 a aby bol splnený dôležitý 76 ekuentný vzah L ± Y l [ll ± l] / Y l ± 76 Dôležitos tohto vzahu bude zejá až v kapitole. 64

27 kde L a L sú opeátoy definované vzaho L ± L ± il Uvediee ešte bez dôkazov niekoko alších vlastností funkcií Y l ϑ ϕ ktoý sa tiež hovoí sféické funkcie.. Sféické funkcie tvoia na jednotkovej guli úplný systé otonoovaných funkcií. Vzah otonoovanosti je π π d ϕ sinϑ dϑ * Y l ϑ ϕ Y l δ ll δ Vzhado na úplnos tohto systéu ôžee každú egulánu funkciu definovanú na jednotkovej guli ozvinú do adu poda sféických funkcií. Z toho tiež vyplýva že žiadne alšie nezávislé vlastné funkcie opeátoov L a L z už neeistujú. 77. Paita sféických funkcií je l to znaená že platí Y l π ϑ ϕ π l Y l ϑ ϕ 3 3. Y l l Y* l 4 4. Niekoko najnižších sféických funkcií 5 3 Y ϑ ϕ Y ϑ ϕ cos ϑ 4π 4π 3 iϕ 5 iϕ Y ϑ ϕ sinϑ e Y ϑ ϕ sinϑ cosϑ e 5 8π 8π 3 4π 5 3π iϕ ϑ ϕ cosϑ Y ϑ ϕ sin ϑ e Y Funkcie Y l ϑ ϕ pe l a pe < ožno získa z pedchádzajúcich poocou vzahu 4. Poznaenaje na záve že tento lánok bol poene technický hoci se nezachádzali do detailov. Hlbší fyzikálny pohad na túto pobleatiku bude ožné získa v kapitole venovanej všeobecnéu foalizu oentu hybnosti. Niektoé výsledky ktoé se tu získali poene naáhavo ako napíklad vlastné hodnoty 5 6 ta dostanee vei ýchlo a navyše ovea názonejšie. 77 A pioi totiž neusí by pavdou že etódou sepaácie peenných nájdee všetky vlastné funkcie. 65

28 4. SEPARÁCIA PREMENNÝCH V SFÉRICKÝCH SÚRADNICIACH Sféické súadnice ϑ ϕ sú viazané s kateziánskyi y z znáyi vzahi ktoé ožno ahko obáti na sinϑ cosϕ y sinϑ sinϕ z cosϑ y z sinϑ cosϕ ϑ accos z/ ϕ actg y/ pio deivácie v jedných peenných ožno pevies na deivácie v duhých poda vzahov typu a pod. Laplaceov opeáto ϑ ϕ y z ôžee pevies do sféických súadníc bu ažkopádny a naáhavý spôsobo poocou pedchádzajúcich vzahov alebo jednoduchšie poocou Laého 78 koeficientov. Obidvoi spôsobi pídee k nasledujúceu vyjadeniu kde ϑ ϕ ϑ ϕ sinϑ sinϑ ϑ ϑ sin ϑ ϕ 78 Pozi nap. Statton J. A.: Teoie elektoagnetického pole. Paha SNTL

29 67 Schödingeova ovnica pe sféicky syetický potenciál poto bude: ϕ ϑ ψ ϕ ϑ ψ ϕ ϑ ψ ϕ ϑ E V 3 Hadaje jej iešenie v sepaovano tvae ψ ϑ ϕ RYϑ ϕ 4 Ke budee postupova podobne ako v lánku 4.9 pe R a Y dostanee 79 d d d d R V E R λ 5 ϑ ϕ Yϑ ϕ λyϑ ϕ 6 Ak poovnáe ovnicu so vzaho 9.7 vidíe že platí L ϑ ϕ a peto ôžee 6 pepísa aj v tvae L Yϑ ϕ λyϑ ϕ 7 Vidíe že funkcie Yϑ ϕ ktoé sú iešení 7 budú sféickýi funkciai Y l ϑ ϕ a že λ v ovnici 7 ôže nadobúda len hodnoty l ll l 7' Po dosadení zo 7' do 5 dostanee: R l l V E R 8 Rovnica 8 sa nazýva adiálnou Schödingeovou ovnicou alebo pesnejšie ovnicou pe adiálnu vlnovú funkciu R. Rovnica pe Yϑ ϕ vôbec nezávisí od hodnoty E ani od tvau potenciálnej enegie V. Ak poznáe vlastnosti sféických funkcií Y l ϑ ϕ tak ich ôžee použi pe každý sféický syetický potenciál. Pi dano V staí vyieši ovnicu 8 z ktoej uujee aj povolené hodnoty enegie kvantové hladiny sústavy. 79 Postupujee tak že 4 dosadíe do 3 výsledok pedelíe súino R Yϑ ϕ a po alej úpave sa ná podaí ovnicu zapísa tak aby avá stana závisela iba od a pavá iba od peenných ϑ ϕ. Peto sa obe stany usia ovna konštante A ktoá nezávisí ani od ani od ϑ a ϕ.

30 Píina takejto univezálnosti spoíva v to že v pípade sféicky syetického potenciálu hailtonián koutuje s opeátoi oentu hybnosti teda že platí ako sa ožno pesvedi jednoduchý výpoto: [H L ] [H L y ] [H L z ] [H L ] Spolu s hailtoniáno teda áe poda pedchádzajúceho lánku tojicu koutujúcich opeátoov H L L z Možno peto nájs sústavu vlnových funkcií ktoé budú súasne vlastnýi funkciai všetkých toch opeátoov H L L z. Z pedchádzajúceho je zejé že etóda ktoá vedie k takéuto systéu vlastných funkcií je páve sepaácia peenných vo sféických súadniciach. Pedtý ako pistúpie k iešeniu ovnice 8 pe konkétne pípady V si ešte všinee význa lena ll l/ v adiálnej ovnici a odvodíe niektoé podienky pe adiálnu funkciu R vyplývajúce z noovacej podienky. Fyzikálny význa lena ll l/ v adiálnej ovnici. Rovnicu 8 ožno tiež zapísa v tvae kde R E V R l l V l V Posledný len v ovnici 9 ožno foálne intepetova ako potenciálnu enegiu píslušnú odstedivej sile. V klasickej echanike je odstedivá sila pe jednoduchos uvažujee pohyb po kuhovej dáhe daná ako F / L / 3 kde L p je oent hybnosti. Ak zavediee potenciál V od poocou vzahu F V od /d dostanee: L V od Duhý len na pavej stane ovnice 9 á páve tento tva len naiesto klasickej veliiny L stojí vlastná hodnota opeátoa L teda poda 9.5 výaz ll. Podienky noovania pe adiálnu vlnovú funkciu R. Ak zapíšee iešenie SchR v tvae 4 s tý že za Yϑ ϕ dosadíe Y l ϑ ϕ ôžee noovaciu podienku zapísa v tvae d R 9 d ϑ sin ϑ * d ϕ Y l Y l π π 68

31 Sféické funkcie sp ajú podienku 9. a noovacia podienka pe adiálne funkcie bude R d Podobne ako v 3.4 dostanee pe piebeh funkcie R v okolí bodov a ohanienia li 3/ R li 3/ R 3 Rovnice 3 boli odvodené len z podienky noovania nezávisia teda vôbec od tvau potenciálnej enegie V. Väšina V vyskytujúcich sa v paktických aplikáciách avšak sp a podienku V pe a pe takéto potenciály ožno spávanie sa adiálnej funkcie v okolí zaiatku peskúa bližšie. V ovnici 8 ožno v alo okolí bodu zanedba len [E V] voi ll l/ a ovnica pejde na tva Hadaje jej iešenie v tvae R l l R 4 R n a a a 5 Ak dosadíe 5 do 4 a poovnáe koeficienty pi najnižšej ocnine dostanee podienku: nn ll. Posledná kvadatická ovnica á dve iešenia: n l n l 6 Pe l l podienka 3 vyluuje ožnos n l a pe tieto hodnoty áe R ~ l pe 7 Podienka 3 však neôže vylúi jednu z ožností 6 pe l. Pípad R ~ však ožno vylúi nasledujúcou úvahou pozi [] VIII. kap.: pe l platí Y ϑ ϕ / 4 a peto ψ ϑ ϕ R Y sa spáva pe alé ako /. V SchR á poto v dôsledku ovnice V ψ Eψ 4πδ 8 69

32 pvý len singulaitu typu δ-funkcie zatia o duhé dva leny ju neajú. 8 Pe potenciály pe ktoé V pe platí teda 7 pe všetky l. 4. ATÓM VODÍKA Ató vodíka je sústava dos jednoduchá na to aby sa dala ateaticky zvládnu a dostatone bohatá v to zysle že obsahuje podstatné ty kvantovo-echanického opisu. E. Fei az vaj poznaenal že teóia eleentánych astíc by už bola v ovea pokoilejšo štádiu keby v tejto oblasti fyziky eistoval ató vodíka. V pvo piblížení ožno považova potón v jade atóu vodíka za nehybný a uiestnený v zaiatku súadnicovej sústavy. 8 Potenciálna enegia elektónu v poli potónu je kde se zaviedli oznaenie e e V 4πε e' e /4πε Pe adiálnu vlnovú funkciu dostávae poto z.8 ovnicu d d dr e d E l l R R V tejto asti sa budee zaobea len s viazanýi stavi ktoé vaka tou že V pe budú a záponé enegie. Zavediee bezozenú peennú a ovnicu ôžee pepísa na tva ρ α a [ 8E/ ] / 3 d dr β l l d ρ R ρ ρ dρ 4 ρ ρ 4 8 Pedchádzajúca ovnica je dobe znáa z elektostatiky. Pe bodový náboj v zaiatku súadnicovej sústavy bude hustota náboja ρ úená δ. Potenciál budený týto nábojo je l/. Staí teaz dosadi takéto ϕ a ρ do ovnice ϕ 4πρ. S tý že bodovéu náboju odpovedá ρ ~ δ kde δ je Diacova δ-funkcia sa ešte zoznáie podobnejšie neskô. Posíe itatea aby tvdeniu ped 8 uveil aj bez zatia zozuiteného aguentu. 8 Hotnos potónu je pibližne 84-kát väšia ako hotnos elektónu. Koekciai na pohyb potónu sa budee zaobea v nasledujúco lánku. 7

33 kde 4 / e E β 4' Singulányi bodi ovnice 4 sú ρ a ρ. Peskúae najpv spávanie sa Rρ v okolí pvého z nich. Ak pe veké ρ zachováe v 4 len doinantné leny dostanee asyptotický tva ovnice 4: d R R dρ 4 5 Pi úpave se ozpísali deivácie v 4 a zanedbali len obsahujúci fakto /ρ. Všeobecné iešenie 5 je Rρ C e ρ/ C e ρ/ Aby Rρ bolo noovatené usí sa C. Navyše pódia.7 platí: Rρ ~ ρ l pe ρ l Riešenie ovnice 4 hadáe peto v tvae l ρ/ e R ρ ρ L ρ L ρ ck ρ a k k Ak dosadíe 6 do 4 dostanee pe Lρ difeenciálnu ovnicu 6 d L dl ρ [ l ρ] β l L 7 dρ dρ Po dosadení ocninového adu pe Lρ do 7 dostanee ekuentný vzah edzi koeficienti c k c k l β k k l k c k Z ovnice 8 okažite vidie že pe β ôzne od celého kladného ísla bude c k /c k /k pe k. Taký istý poe koeficientov á aj ozvoj e ρ k bk ρ k k k! Ak teda ad pe Lρ obsahuje nekonený poet lenov tak pe ρ Lρ ep ρ a adiálna vlnová funkcia Rρ v toto pípade nie je ρ k 7

34 noovatená. 8 Fyzikálne pijatené iešenia dostanee vtedy ak ad pe Lρ sa edukuje na polynó koneného stup a. To sa stane len pe β n l kde nezáponé celé íslo n uuje stupe polynóu Lρ. íslo n nazývae adiálny kvantový íslo. To že pe β sú dovolené len uité diskétne hodnoty β n iplikuje poda 4' aj kvantovanie enegie ktoá ôže nadobúda len hodnoty E n 4 4 e e n n 3 l n 4πε n Tento výsledok je totožný so vzoco ktoý odvodil N. Boh už v áci staej kvantovej teóie. Ak za β dosadíe do ovnice 7 zistíe že polynóy Lρ sp ajú difeenciálnu ovnicu d d ρ [ l ρ] n l L ρ dρ dρ Takéto polynóy ožno poocou ekuentných vzahov 8 ahko skonštuova v ateatike sú dobe znáe a volajú sa Lagueove polynóy. Niektoé ich vlastnosti sú zhnuté v dodatku A4. V konvencii oznaenia poda A4. ajú iešenia ovnice tva 9 a iešenia úplnej SchR sú L ρ L l n l ρ kde 83 ψ nl ϑ ϕ N ρ/ nle l l n l ρ L ρ Y l ϑ ϕ ρ na a 4πε e Veliina a sa nazýva Bohov poloe. Poda toho o se už uviedli kvantové ísla n l ôžu nadobúda hodnoty n 3 l n l 3 l l l l 8 Tu sa opakuje podobná situácia ako pi lineáno haonicko oscilátoe. Ak ad neodthnee poto výaz Lρe ρ/ konveguje pe ρ zas k zléu iešeniu epρ/. 83 Dosadili se do 3 zo vzahu 9. 7

35 Vo vzahu je N nl noovacou konštantou. S využití vlastností Lagueových polynóov a sféických funkcií by sa ahko dalo ukáza že noované vlnové funkcie dostanee pe Výaz n l! 3/ N nl a 3 4 n [ n l!] ρ / l l R N e ρ L ρ 5 nl nl n l je v teinológii poda pedchádzajúceho odstavca adiálnou vlnovou funkciou noovanou poda.. Niekoko najnižších adiálnych funkcií vypíšee eplicitne. R R R 3/ / a / a.e 3/ /a / a / ae 6 3/ /a / a e a 3 Pe viaceé aplikácie je užitoné pozna stedné hodnoty ocnín poítané poda vzahu k k ψ* nl ϑ ϕψ nl ϑ ϕ d sinϑ dϑ dϕ Jednoduchýi ale zdhavýi výpotai ožno ukáza že platí [3n l l ] a [5n 3l l ] n n a l n 3 a a 7 Hustoty pavdepodobností pe niektoé stavy atóu vodíka sú znázonené na ob. 4.. Zekapituluje: Vlnové funkcie ψ nl ϑ ϕ sú súasne vlastnýi funkciai toch opeátoov 73

36 Ob. 4.. Duhé ocniny absolútnych hodnôt vlnových funkcií elektónov v s p a d stavoch. Páne iadky naznaujú klasické analógie a teba ich chápa ako poôcku na zapaätanie. 74

37 H L a L z. Pito platí: 4 e Hψ nl E n ψ nl E n n L ψ nl ll ψ nl 8 L z ψ nl ψ nl Zadanie toch ísiel n l jednoznane uuje funkciu ψ nl. Ako vidno z ovníc 8 hlavné kvantové íslo n uuje enegiu. íslo l nazývae obitálny kvantový íslo uuje vlastné hodnoty opeátoa duhej ocniny oentu hybnosti teda absolútnu vekos oentu hybnosti. íslo ktoé uuje pieet oentu hybnosti do seu osi z nazývae agnetický kvantový íslo. Ak sa totiž ató nachádza vo vonkajšo agneticko poli a ak vybeiee os z v see tohto vonkajšieho póla tak kvantové íslo bude uova inteakciu elektónu na danej hladine s vonkajší poo. Pauliho neelativistickú teóiu spinu aplikovanú na ató vodíka opíšee neskô. Súvis edzi staou a novou kvantovou teóiou je ilustovaný nasledujúci píklado. V Bohovo odeli atóu vodíka sa elektón v stave s najnižšou enegiou pohybuje po kuhovej dáhe s poloeo a. V novej kvantovej echanike je tento stav elektónu opísaný vlnovou funkciou 3/ / a ψ ϑ ϕ Y ϑ ϕ R a.e 4π Pi integovaní vo sféických súadniciach objeový eleent je dv 4π d pesnejšie: objeový eleent integovaný cez uhlové peenné ϑ a ϕ. Súin ρ 4π ψ ϑ ϕ 4 a 3 e /a 9 intepetujee ako hustotu pavdepodobnosti pe výskyt elektónu vo vzdialenosti od zaiatku súadnicovej sústavy. Gaficky je závislos ρ znázonená na ob. 4.. Z obázka páve tak ako z analytického tvau 9 vidno že ρ dosahuje aiu páve pe a. Ob

38 Degeneácia hladín enegie. Ak k jednej a tej istej hodnote enegie pislúcha niekoko ôznych vlnových funkcií hovoíe o degeneácii hladín enegie. Typický píklado pe degeneáciu sú iešenia SchR pe ató vodíka. Vlnová funkcia ψ je jednoznane uená toa celýi íslai: n l. Hodnoty n l sú viazané neovnosai l l n Enegia pislúchajúca danej vlnovej funkcii je však uená poda 8 len hlavný kvantový íslo n. Ku každej hodnote enegie pislúcha teda toko vlnových funkcií ψ nl koko celých ísiel sp a neovnosti pi pevno n. Ku každéu l ožno nájs l l ísiel sp ajúcich ; povolené hodnoty sú l l l... l. Poda duhej neovnosti k danéu n ôžee teda nájs N n 3 n n ôznych dvojíc l. Vo všeobecno pípade centálne syetického poa bude každá enegetická hladina l l-kát degeneovaná. Tvdenie vyplýva z tvau ovnice pe adiálnu as vlnovej funkcie.8 ktoá závisí len od l a od adiálneho kvantového ísla n ktoé sa zavádza v piebehu iešenia. Petože hodnota enegie vystupuje len v ovnici pe R a nie v ovnici pe Yϑ ϕ E nezávisí od agnetického kvantového ísla. Ku každej dvojici n l ožno však nájs l l hodnôt a teda iešenia budú l l-kát degeneované. Neskô ešte ukážee že degeneácia úzko súvisí s vlastnosai syetie V a Laplaceovho opeátoa. Tak nap. l l-násobná degeneácia v sféicky syeticko poli je páve dôsledko sféickej syetie. Opeáto enegie pe coulobovský potenciál úený l/ á špeciálne vlastnosti syetie 84 ktoé spôsobujú n -násobnú degeneáciu. Pi viacelektónových atóoch sa elektóny pohybujú v stedno poli jada a ostatných elektónov potenciál už nie je pesne coulobovský a n -násobná degeneácia sa stáca. Poznaenaje ešte na záve že teóiu atóu vodíka ožno piao aplikova na ióny podobné vodíku ktoé obsahujú jediný elektón ako He Li at. Staí všade nahadi e' výazo Ze' kde Z je náboj jada a uobi koekciu na pohyb jada o ktoej budee hovoi v nasledujúco lánku. 4. KOREKCIA NA POHYB JADRA Doteaz se považovali potón za fiovaný v zaiatku súadnej sústavy a elektón sa pohyboval v silovo poli tohto statického potónu. Takéto piblíženie by 84 Pozi nap. Baz A. I. ZeMovi J. B. Peeloov A. M.: Rassejanije eakcii i aspady v neeljativistskoj kvantovo] echanike Moskva

39 bolo celko koektné iba pe nekonene ažký potón. 85 V skutonosti á potón konenú hotnos p hoci v poovnaní s hotnosou elektónu e vei vekú; e / p /84. Môžee teda oakáva že výazy ktoé se odvodili pe enegiu atóu vodíka v pedchádzajúco lánku bude teba poopavi zapoítaní dôsledkov konenej hotnosti potónu. V klasickej fyzike je tento poblé jednoduchý. Viee že ažisko izolovanej sústavy je v kude a dve astice sa pohybujú tak že obiehajú okolo tohto ažiska. V kvantovej echanike poblé nie je ovea koplikovanejší. Pe dvojasticovú sústavu teba zase zavies súadnicu ažiska a elatívnu súadnicu a ieši píslušnú SchR. Ukazuje sa že túto ovnicu ožno sepaova a ako výsledok dostanee pe elatívny pohyb ovnicu vei blízku tej SchR ktoá opisuje pohyb astice v silovo poli nehybnej a nekonene ažkej astice. Teaz to idee pevies podobnejšie. Uvažujee sústavu skladajúcu sa z dvoch astíc; ich súadnice oznaíe a. Nech ich vzájoné silové pôsobenie opisuje potenciálna enegia V. Opeáto celkovej enegie sústavy sa bude sklada z opeátoov kinetickej enegie pvej astice kinetickej enegie duhej astice a potenciálnej enegie vzájoného pôsobenia. Máe teda kde H V y z a analogický význa á aj. Zavee teaz elatívnu súadnicu a súadnicu hotného stedu R vzahi R M M Po eleentánych výpotoch ôžee opeáto H vyjadi v súadniciach a R. Dostanee: ~ H V µ M kde µ je edukovaná hotnos µ 4 85 Pe neuitos polohy a hybnosti platí poda vzahu neuitosti p ~. Ak položíe p áe ~ / p. V liite p ôžee považova potón za lokalizovaný v zaiatku ~ a nehybný ~. 77