Limity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Limity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max"

Αρμονία Βασιλειάδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických fukcií 5 8 L Hospitlovo prvidlo 58 9 Nevlstý itegrál 66 Limit fukcie dvoch premeých 7 Litertúr 8

2 Limit okolo ás Limit okolo ás Úloh Druhá kozmická rýchlosť Akú rýchlosť musí dosihuť umelá družic, b dokázl opustiť grvitčé pole Zeme? Riešeie Rýchlosť, ktorú musíme udeliť družici, b s vmil z grvitčého poľ Zeme, zývme druhá kozmická rýchlosť Ozčme ju smbolom v II Ďlej ozčme T pohbovú (kietickú) eergiu družice, U polohovú (poteciálu) eergiu družice Počs celého letu pltí záko zchovi eergie, tj T + U koštt Odtiľ vplýv, že tkisto musí pltiť T (zčitočá) + U (zčitočá) T (koečá) + U (koečá) N zčitku pohbu je družic s hmotosťou m povrchu Zeme udelíme jej rýchlosť v To zmeá, že T (zčitočá) mv, U (zčitočá) V koečej fáze letu (v okmihu zstvei) zse pltí T (koečá), U (koečá) mgr, R rm kde g tižové zrýchleie (g 9,8 m/s ), R polomer Zeme (R 678 km), od povrchu Zeme Dosdeím do záko zchovi eergie dostávme odtiľ mv mgr R r m, r m vzdileosť družice v gr R rm Ak družici udelíme druhú kozmickú rýchlosť, uike z grvitčého poľ Zeme, tj doletí ekoeče ďleko od plét Zem Preto v II gr rm R r m

3 Limit fukcie Vet 9: Nech α, α R; ech pre všetk V ( ) ** pltí f f k, k R Potom α k Príkld Nech pltí f L Zrejme R {± }, súčse L R {± } Nájdite príkld pre kždú kombiáciu čísel, L Riešeie i) f L ; R, L R si si / π π π π π π π π ii) f L ; R, L / (*) 8 6 ** Smbolom V ( ) ozčujeme rýdze (prstecové) okolie bodu ; pltí V ( ) V ( ) { }

4 Limit fukcie Doplňme ešte dôkz pomocou Cuchho defiície it fukcie Predpokldjme, že eistuje si L Nech príkld L > Potom ku kždému okoliu U(L) (L ε; L + ε), ε >, musí eistovť tké okolie V( ) (δ; ), δ >, že pre všetk V( ) pltí g si U( L) Položme ε Potom v itervle (δ; ) eistuje ekoeče veľ čísel tvru π + kπ, k N, pre ktoré pltí g π si + kπ Tj pre všetk V( ) pltí g L ; L+ Podobe b sme ukázli, že emôže stť i prípd L Z vet 9 vplýv, že emôže stť i možosť L, resp L, ted eeistuje si Príkld Vpočítjte jedostré it v bode, k ) f, ; b) f ( ) ; c) f cos, ; d) f Riešeie, + e, ) Ak, dostávme itu tpu Podiel číslo lomeo ul koverguje do ekoeč (pozri vetu 6), musíme ešte určiť zmieko Čitteľ zlomku je kldý Ak +, meovteľ je kldý, tj pltí + Ak, rozdiel v meovteli je záporý, tj pltí b) Ak +, potom +, ďlej e +, dostávme + + e Ak, potom, ďlej e, dostávme + e c) Pre + pltí +, podobe pre pltí Limit fukcie kosíus v bodoch + resp eeistuje, tj eeistujú i it cos, + cos

5 Limit rcioálch fukcií b) ( t ) ( t ) t t t + 5 t t+ t+ + t+ 5 t + 8t t t+ 8 6 t t + 5t t t+ 5 t ; c) t t ( ) ( ) ( t ) ( t ) ( t ) t t+ t+ 5 t+ + 8 t+ t + t + 8 t t + t t t ( t+ ) t t+ t + t t + t t Cvičei Výpočtom ukážte, že pre dé it pltí: ( )( )( )( ) 9 ( ) 6 ( + ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( + 5) ( ) ( ) 5 ( + ) 7 ( ) ( + ) 8 6 ( 6 + 5) ( + )( + )( + ) 9 ; + ( + ) ( ) + N

6 Limit ircioálch fukcií t t t t t t t t+ t+ t t t b) Dá it je opäť tpu /, postupovť budeme ted logick ko v predošlom sžíme s o odstráeie ircioálch výrzov kovergujúcich k ule Ztiľ čo v čitteli opäť vužijeme formulu ( b)( b) b +, v meovteli použijeme vzorec b + b+ b b Potom: ( 6)( + 8) Iý postup: Zložkmi dej ircioálej fukcie sú j druhá treti odmoci Njmeším spoločým ásobkom čísel je číslo 6, to zmeá, že pri výpočte môžeme použiť substitúciu pomocou 6 možo vjdriť j 6 v tvre ( ) 6, resp ( ) pretrsformovť dú itu itu rcioálej fukcie Počítjme: ( t )( t + t+ ) t 6 t t t 6 t Totiž, čo ám umoží 8 t t t 8 t 8 t + t+ 6 t t t ( t )( t+ ) t+ c) Nšou shou opäť bude získť vhodými úprvmi itu rcioálej fukcie Teto krát budeme substituovť jediý ircioál výrz chádzjúci s v šom zlomku Potom: ( ) d) V predchádzjúcich prípdoch sme si pomocou vzorcov rozkld výrzu b, N, dokázli pordiť s druhou, treťou i tou odmociu Keďže terz s v čitteli chádzjú dve rôze odmoci s rôzmi zákldmi, musíme s dostť do predošlej situácie Preto dý čitteľ uprvíme odčítím pričítím čísl (it totiž musí zostť tpu / ) Ďlší postup je zrejmý:

7 Limit goiometrických fukcií Keďže OB, AC si, BD tg, z uvedeých erovostí dostávme resp po úprvách Potom pre + máme + si tg, si cos cos, tktiež + Z vet o ite troch fukcií (pozri vetu ) už vplýv, že Ďlej vužitím epárosti fukcie síus dostávme si + si u u si u si u si u u + u u u u + u + u + Záver: si Príkld Riešeie Dokážte, že pltí si Keďže fukci síus je ohričeá, okmžite dostávme Ďlej pltí, odkiľ už vplýv (vet ), že si ; > si Príkld Vpočítjte it fukcií ) si5 ; b) tg ; c) tg 8 cos ; d) rcsi Riešeie ) Sžíme s vužiť zákldú goiometrickú itu α ( ) si α α, tj vo všeobecosti v čitteli potrebujeme síus fukcie kovergujúcej k ule, tj si α(), ztiľ čo v meovteli potrebujeme práve túto fukciu α() Preto píšeme: si 5 5 si 5 si 5 α 5 si α α α α (v ďlších príkldoch ebudeme túto substitúciu vzčovť) b) Opäť ide o itu goiometrickej fukcie, tj budeme s sžiť získť zákldú goiometrickú itu Vužitím defiičého vzťhu fukcie tges dostávme:

8 Limit epoeciálch fukcií Príkld Vpočítjte itu fukcie ( ) ( b) l cos l cos ; R, b Riešeie Dá it je tpu / Pri riešeí si pomôžeme vtvoreím čísl e v čitteli i meovteli zlomku Potom máme: ( + ( b )) cos l ( + ( cos ) ) cos cos l cos l + cos l e cosb cos b l cosb l cos + b l e cos b l cos ( si ) cos cos cos + cosb + cos cosb cosb cos + cosb + cos b si b si ( ) ( ) ( b) ( b) si b b ( b) Cvičei Výpočtom ukážte, že pre dé it pltí: 6 e 6 e e e m e m ; m, N l l tg 5 5 l e e e 8 l ; > 9 + l c c l ; >, c R c c b l ;, b > b l ; >, b si b b ; > ; < < ; > + ; e e ;, b R si si b si9 b si e e 5 l + 6 l + l

9 Potom pltí L Hospitlovo prvidlo tg l si tg tg l si + si e e e + + Príkld Riešeie Vpočítjte itu si cos Opäť ide o itu tpu, teto krát všk postup z predošlého príkldu trochu modifikujeme Totiž k ozčíme g f, potom zrejme pltí l l f gl f Počítjme terz g l f g, tj v šom prípde si cos si l cos cos si si si si cos si l cos + si cos si si cos si + cos si + cos si + cos si cos+ si 6cos 6si cos Keďže pltí l, odtiľ už vplýv, že cos si e Príkld Vpočítjte itu Riešeie t e e dt Dá it je tpu /, preto môžeme pri jej výpočte použiť l Hospitlovo prvidlo Dostávme: t t t e dt e dt + e e dt e e e e e e + + * * Nech ƒ() je spojitá fukci defiová R, ech g(), h() sú diferecovteľé fukcie R Potom pltí: g g d d f () t dt f g g d, resp f () t dt f g g f h h d h

10 Nevlstý itegrál i) ) i) si d cotg + c ; kπ, k Z v) d rcsi + c ; < vi) rctg + ; R vii) + d c cotgh c ; sih + d rcsi + c ;, < d rctg + c ;, R + ii) sih d cosh + c ; R viii) iii) cosh d sih + c ; R i) iv) tgh c ; R ) cosh + d l + c ;, R + d l + +α + c ; α >, R +α f d l f ( ) + c ; ƒ > f Vet (Newtoov Leibizov vzorec): Nech fukci ƒ je itegrovteľá itervle ; b Nech fukci ƒ má itervle (; b) primitívu b b fukciu F, ktorá je spojitá itervle ; b Potom pltí f df F( b) F( ) Príkld Vpočítjte evlsté itegrál: ) Riešeie + d ; b) π cotg d ; c) si d ) Prvý itegrál je evlstý, pretože itegrujeme dú fukciu itervle ekoečej dĺžk (so sigulárou horou hricou) Počítjme: ξ ξ π π π d d rctg rctg rctg 8 + ξ + ξ ξ Výsledkom je vlsté reále číslo hovoríme, že evlstý itegrál ξ + d koverguje b) V tomto prípde hovoríme o evlstom itegráli, pretože itegrujeme eohričeú fukciu (teto rz so sigulárou dolou hricou) Počítjme: π π π cotg d cotg d d [ l si ] l si l si λ λ cos π si λ + λ + λ + λ + λ λ π

11 Limit fukcie dvoch premeých Postup Zvýrziť, že s k bodu W blížime v rôzch smeroch, pr po primkch, môžeme substitúciou k, k R * Potom pltí: ( k) ( k) k k k Keďže áš výsledok závisí od smeru, v ktorom sme s blížili k bodu W, + eeistuje Postup Neeisteciu tejto it môžeme ukázť logickou substitúciou αt, βt; α, β R ** Potom: αt α β β t ( αt) ( βt) ( α ) + ( β ) t + t t α +β t Argumetáci je rovká výsledok závisí od smeru, v kom sme s blížili k bodu W, tj + eeistuje Postup Počítjme: V prípde výsktu súčtu + býv čsto výhodá substitúci do polárch súrdíc *** rcosϕ ( rcosϕ) ( rsi ϕ) cos ϕ si ϕ r si ϕ cos ϕ + r ( cosϕ ) + ( si ϕ) ϕ+ ϕ r r r cos si Výsledok závisí od smeru (uhl ϕ), v kom sme s blížili k bodu W, tj + eeistuje Postup Ukázť, že uvedeá it eeistuje, môžeme j pomocou Heieho defiície it Ozčme f ( ) +, W[; ] Zvoľme dve postuposti X ;, Y ; Zrejme pltí X Y W * Všeobece v prípde počíti it f (, ) má táto substitúci tvr ** Všeobece v prípde počíti it f (, ) *** Všeobece v prípde počíti it f (, ) r b b k + b, má táto substitúci tvr +α t, b+β t, t má táto substitúci tvr + rcos ϕ, b+ rsi ϕ, b

12 Limit fukcie dvoch premeých 8 ( e ) l e 8 85 cos + e + Výpočtom overte, že pre dé dvojásobé it pltí: π 86 si + π 86 si + π 86 si + 6 π 865 si + 6 α ( + ) ; α R e α ( + ) ; α R e rcsi rcsi + π

Σχετικά έγγραφα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x