I. PROGRAMARE LINIARA. 4. Metoda simplex

Transcript

1 38 I. PROGRAMARE LINIARA 4. Metod simplex Deorece ştim că dcă progrmul în formă stndrd (P) re optim finit o soluţie optimă v fi cu necesitte o soluţie de bză şi deci v fi socită unei bze B*, este nturl să ne întrebăm cum găsim cestă bză optimlă B*.Trducând în termeni lgebrici procedeul geometric niv, descris în finlul secţiunii 3.2, rezultă următore procedură: se genereză tote bzele progrmului (P) şi se clculeză soluţiile socite cestor; se elimină soluţiile de bză nedmisibile şi dintre cele dmisibile se reţine ce soluţie cre oferă funcţiei obiectiv vlore mximă. Nu mi insistăm supr dezvntjelor şi lipsurilor cestei scheme deorece ele u fost dej menţionte în secţiune 3.2. Metod descrisă re o lterntivă cre, din fericire, s- dovedit fi deosebit de eficientă din punct de vedere prctic. Este vorb de metod simplex dtortă mtemticinului mericn G.B. Dntzig (1947). Acestă metodă este un procedeu de cercetre sistemtică soluţiilor dmisibile de bză le unui progrm linir în formă stndrd (P). E presupune cunoscută o semene soluţie, numită soluţie iniţilă su de strt şi în continure construieşte un şir de soluţii dmisibile de bză delungul cărui vlore funcţiei obiectiv creşte progresiv. Metod simplex oferă un test simplu de recunoştere optimlităţii unei soluţii de bză şi desemeni un test de recunoştere optimului infinit. Prctic numerică rătt că numărul soluţiilor dmisibile de bză efectiv generte este de regulă mult mi mic decât numărul totl l cestor. Cu numite precuţii, uşor de îndeplinit, metod simplex grnteză convergenţ procesului itertiv în sensul că o bză dmisibilă cercettă l un moment dt nu mi revine în iterţiile ulteriore (vezi secţiune 4.5). Cum numărul bzelor este finit, urmeză că într-un număr finit de pşi se junge fie l soluţi optimă fie l concluzi că progrmul re optim infinit. Fireşte, în cestă descriere succintă, m plect de l ipotez cunoşterii unei soluţii dmisibile de bză iniţile, dică de l premiz că (P) este un progrm comptibil. În secţiune 4.3 vom vede cum se fce recunoştere incomptibilităţii unui progrm linir.

2 4. Metod simplex Teoremele fundmentle le metodei simplex În prezentre fundmentelor teoretice le metodei simplex vom folosi notţiile introduse în secţiune 3.5. În mod constnt vom presupune că soluţi (3.5.10), socită bzei B, este dmisibilă, dică b 0, i I. Teorem A. Dcă toţi c j i 0, j J tunci soluţi (3.5.10) socită bzei B este optimă. Dcă în plus c j > 0, j J,tunci e este şi unic soluţie optimă progrmului (P). Demonstrţie: Fie y = (y 1,y 2,...,y n ) T A o soluţie dmisibilă rbitrr lesă. Deorece y 1 0, y 2 0,...,y n 0 vom ve: f( y) = f c y f = f( x) j J Ineglitte de mi sus rtă că, dintre tote soluţiile dmisibile le progrmului(p),soluţi x din (3.5.10) oferă funcţiei obiectiv f ce mi mre vlore posibilă. Dcă costurile reduse sunt pozitive şi y x tunci ineglitte de mi sus este strictă, fpt cre probeză unicitte soluţiei optime x. j j Teorem B. Presupunem că există indicele k J stfel că c k < 0 şi toţi k 0, i I ( A 0).Atunci progrmul (P) re optim infinit. ik Demonstrţie: Pornind de l soluţi x din (3.5.10) construim o soluţie dmisibilă vribilă după cum urmeză. Înlocuim în (3.5.7): x k = θ 0 ; x j = 0, j J, j k (4.1.1) Rezultă: x = b θ, i I (4.1.2) i i ik

3 40 I. PROGRAMARE LINIARA Notăm cu x(θ) soluţi le cărei componente sunt definite în (4.1.1) şi (4.1.2). Condiţi enunţului fce c x(θ) A, ( ) θ 0. Evluăm funcţi obiectiv în soluţi x(θ) : f( x( θ )) = f θ c k (4.1.3) Rezultă imedit că: f x θ = + lim ( ( )) θ c urmre (P) re optim infinit..deci f este nemărginită superior pe A şi Teorem C Presupunem că există k J stfel încât c k < 0 dr există şi indici i I cu ik > 0. Fie r I indicele determint prin formul: b r = bi min (4.1.4) ik ik i I >0 Atunci grupul de colone B' obţinut din B înlocuind colon A r cu colon A k este o bză dmisibilă progrmului (P) şi soluţi x socită ei este cel puţin l fel de bună c şi soluţi x socită bzei B, dică f( x ) f( x ). Demonstrţie: Din (4.1.4) rezultă că r k > 0. Din A k = B -1 A k vem: k k A = BA = A + A i I, i r Deorece 0 putem exprim A r în funcţie de A i, i r şi A k : ik i r A r ik i 1 = A + i I, i k A k Din teorem substituţiei rezultă că sistemul B', formt din colonele A i, i r şi A k, este o bză problemei (P). Să luăm în soluţi vribilă x(θ) construită în demonstrţi teoremei B: br θ= (4.1.5) Din formulele (4.1.1), (4.1.2) rezultă:

4 4. Metod simplex 41 br x k = ; xj = 0, j J, j k br xi = bi ik, i I Pentru i = r vem x rescrisă stfel: r br = br = 0 ş că soluţi de mi sus pote fi xj = 0, j J, j k; xr = 0 br b xi = bi ik, i I, i r; xk = r (4.1.6) Notăm cu x soluţi le cărei componente sunt definite în (4.1.6). Vom observ mi întâi că x este soluţie dmisibilă problemei (P), dică re tote componentele nenegtive. Într-devăr: - dcă ik 0 tunci xi 0; br bi br - dcă ik > 0 tunci bi ik 0 cre re loc ik conform legerii indicelui r (vezi (4.1.4)). În l doile rând remrcăm că x este soluţi socită bzei B'. Într-devăr, din (4.1.6) rezultă că în x tote vribilele secundre în rport cu bz B' u vlore 0. Afirmţi rezultă cum din unicitte soluţiei socite unei bze. Utilizând formulele (4.1.3) şi (4.1.5) obţinem: br f( x ) = f ck f = f( x) (4.1.7) În concluzie, x este cel puţin l fel de bună c şi x. Observţii: 1) Bzele B şi B' părute în enunţul teoremei C diferă un de lt printr-o singură colonă mtricii A. Două bze le progrmului (P) cu cestă propriette se vor numi în continure bze vecine şi tot vecine se vor numi şi soluţiile socite.

5 42 I. PROGRAMARE LINIARA 2) Teoremele B şi C firmă că dcă o soluţie de bză dmisibilă x nu stisfce criteriul de optimlitte l teoremei A tunci su (P) re optim infinit su, printre soluţiile vecine cu x există cel puţin un l fel de bună c şi x dcă nu chir mi bună. Recpitulând mterilul expus în cestă secţiune consttăm că testre optimlităţii soluţiei x socite bzei B presupune cunoştere formei explicite (3.5.7) problemei iniţile în rport cu bz B. Mi mult, dcă x nu verifică criteriul de optimlitte l teoremei A, construcţi soluţiei de bză mi bune x se fce cu jutorul elementelor celeişi forme (3.5.7). În consecinţă, testre optimlităţii soluţiei x socită bzei vecine B' v necesit cunoştere formei explicite problemei iniţile în rport cu nou bză B': mx f = f c jxj cr xr j J, j k xi + ij xj + ir xr = bi i I, i r ( P ' ) j J, j k B xk + kj xj + kr xr = bk j J, j k x1, x2,..., xn 0 (4.1.8) (Vom remrc fptul că unele elemente din (4.1.8) sunt dej evlute! Astfel, termenii liberi, dică vlorile noilor vribile bzice, sunt dţi de (4.1.6) în timp ce constnt f, cre este vlore funcţiei obiectiv în nou soluţie de bză x, fost obţinută în (4.1.7).) Fireşte, (4.1.8) se pote obţine c şi (3.5.7) prin înmulţire l stâng sistemului originl de restricţii Ax = b cu mtrice inversă (B') -1. Putem deduce (4.1.8) direct din (3.5.7) cu jutorul următorelor operţii: Din ecuţi r sistemului (3.5.7): x + x + x = b r rj j j k explicităm x k, împărţind relţi cu : k r

6 4. Metod simplex 43 rj 1 br x k + x j + xr = (4.1.9) j k Substituim x k dt de (4.1.9) în celellte ecuţii le sistemului din (3.5.7). Obţinem: x i rj ik br + ( ij ) x j xr = bi ik, i I, i r (4.1.10) j k Ecuţiile (4.1.9), (4.1.10) reprezintă sistemul Ax = b explicitt în noile vribile bzice x i i I,i r şi x k. Mi deprte substituim celşi x k şi în expresi funcţiei obiectiv din (3.5.7). Găsim: f b r rj ck = ( f ck) ( cj ck) xj + x r (4.1.11) j k Astfel, m exprimt funcţi obiectiv cu jutorul noilor vribile nebzice x j j J,j k şi x r. Prin urmre (4.1.9), (4.1.10), (4.1.11) constituie form explicită problemei originle în rport cu nou bză B'. Identificând coeficienţii din ceste ecuţii cu coeficienţii corespunzători din (4.1.8) rezultă formulele: ij = ij rj ik i I, i r j J, j k ik ; ir = i I, i r rj kj = j J, j k ; kr = 1 (4.1.12) b r rj c f = f ck ; c j = cj ck j J, j k ; cr = cunoscute şi sub numele de formule de schimbre bzei. k

7 44 I. PROGRAMARE LINIARA 4.2 Algoritmul simplex Rezolvre efectivă unui progrm linir în formă stndrd (P) se fce cu jutorul lgoritmului simplex. Acest este un pchet invribil de instrucţiuni logice şi de clcul cre, plicte unei soluţii dmisibile de bză progrmului (P), stbileşte dcă soluţi respectivă este optimă şi, în cz contrr, pune în evidenţă situţi de optim infinit su construieşte efectiv o soluţie dmisibilă de bză mi bună decât ce curentă. Să considerăm o bză dmisibilă B precum şi form explicită (P B ) progrmului (P) în rport cu cestă bză. (vezi notţiile secţiunii 3.5) În rport cu ceste dte de intrre, conţinutul unei iterţii simplex este următorul: Psul 1. (Test de optimlitte) Dcă toţi c j 0, j Jsoluţi de bză curentă (dică soluţi (3.5.10), socită bzei B) este optimă: STOP. Altminteri: Psul 2. Se lege indicele nebzic k J stfel c: c k = min (4.2.1) c j j J Psul 3. Dcă: 0, i I ( A 0) ik k progrmul (P) re optim infinit:stop. Altminteri: Psul 4. Se determină indicele bzic r I cu formul: b r = bi min (4.2.2) i I >0 ik ik Psul 5. Se construieşte form explicită progrmului (P) în rport cu bz B' dedusă din B prin înlocuire colonei A r cu colon A k. Se revine l psul 1 în cdrul unei noi iterţii.

8 4. Metod simplex 45 Observţii 1) L psul 2 vem cu necesitte c k < 0. Despre colon nebzică A k vom spune că intră în bz curentă. În demonstrţi teoremei C s- rătt că vriţi vlorii funcţiei obiectiv l schimbre colonei bzice A r cu colon A k este dtă de formul: br f( x ) f( x) = ck (4.2.3) r Cum b 0 (vezi (4.2.2)) urmeză că introducere în bză oricărei colone nebzice A j cu c j < 0 îmbunătăţeşte vlore curentă funcţiei obiectiv. Alegere colonei nebzice cre v intr în bz curentă după formul (4.2.1) sigură funcţiei obiectiv ce mi mre viteză de vriţie şi în generl conduce l terminre lgoritmului în mi puţine iterţii. 2) Se pote răt uşor că dcă situţi descrisă în psul 3 re loc tunci vectorul w = (w 1,w 2,...,w n ) T definit prin: w =, i I; w = 0, j J, j k; w = 1 (4.2.4) i ik j k este o rză extremă mulţimii poliedrle A P. 3) Despre colon bzică A r l cărei indice se determină cu formul (4.4.2) vom spune că părăseşte bz curentă. Alegere ei după formul mintită sigură dmisibilitte soluţiei socite noii bze B'. 4) Elementul, unde k este indicele colonei cre intră în bză ir r este indicele colonei cre iese din bză se numeşte pivot şi operţi de clculre elementelor formei explicite în rport cu bz B' din elementele formei explicite în rport cu bz veche B prin plicre formulelor de schimbre bzei (4.1.12) portă numele de pivotre gussină. 5) În principiu, problemele de minimizre se reduc l cele de mximizre în bz relţiei (1.3.1). Algoritmul simplex descris mi sus este plicbil şi problemelor de minimizre cu următorele mici modificări: în psul 1: soluţi curentă este optimă dcă c j 0, j J;

9 46 I. PROGRAMARE LINIARA în psul 2: pentru determinre indicelui colonei nebzice cre intră în bz curentă se v utiliz formul ck = mx cj j J De cestă dtă vom ve c k > 0. 6) Să presupunem că bz curentă B este optimlă (dică soluţi socită ei verifică testul de optimlitte) şi că există indici nebzici j J cu c j = 0. Formul (4.2.3) rtă că introducere în bz curentă oricărei colone A k pentru cre c k = 0 conduce l soluţii de bză l fel de bune c şi ce 1 2 curentă, deci optime. Se pote răt că dcă x, x,..., x, p 2 sunt tote soluţiile de bză optime le progrmului (P) tunci cest re o infinitte de soluţii optime cre u form: x = α x + α x α x cu α, α,..., α 0 si α + α α = p p 1 2 p 1 2 p (ltfel spus, orice soluţie optimă este o combinţie convexă soluţiilor optime de bză) 7) În rezolvre mnulă progrmelor linire (fireşte de mici dimensiuni) se utilizeză tbelele simplex (3.5.1) socite diferitelor bze cercette. Aceste tbele se deduc unul din ltul prin pivotre gussină. În continure vom plic lgoritmul simplex pe o problemă simplă, în două vribile, pentru pute ilustr grfic modul în cre cţioneză procedur. p

10 4. Metod simplex 47 Exemplul Considerăm progrmul: mx f = 2x1 + x2 ( P) x1 x2 4; 3x1 x2 18; x1 + 2x2 6 x1 0, x2 0 cărui mulţime de soluţii dmisibile A P este vizuliztă în figur x 2 S 3 : x 1 =42/5, x 2 =36/5 A S 2 : x 1 =7, x 2 =3 S 1 : x 1 =4, x 2 =0 x 1 S 0 : x 1 =0, x 2 =0 Figur Aducem (P) l form stndrd dăugând vribilele de btere x 3, x 4, x 5 : mx f = 2x1 + x2 x1 x2 + x3 = 4 ( FSP) 3x1 x2 + x4 = 18 x + x + x = xj 0, j= 1,..., 5 Se observă că mtrice A coeficienţilor formei stndrd (FSP) conţine bz unitră E = [ A 3,A 4,A 5 ] cărei soluţie socită: 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 4, x 4 = 18, x 5 = 6

11 48 I. PROGRAMARE LINIARA este dmisibilă. În continure sunt dte tbelele rezultte prin plicre lgoritmului simplex (tbelele ). În prte dreptă m indict formele explicite le problemei (FSP) în rport cu bzele cercette. În trei iterţii s- obţinut soluţi optimă x 42 1 = 5, x 36 2 = 5, vlore mximă funcţiei obiectiv fiind 24; vribilele de btere u în soluţi optimă vlorile 14 x =, x = x = c B B VVB A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 A x 1 - x 2 + x 3 = 4 0 A x 1 - x 2 +x 4 = 18 0 A x 1 +2x 2 +x 5 = 6 f * * * -2x 1 -x 2 +f = 0 22 A x 1 -x 2 + x 3 = 4 0 A x 2-3x 3 +x 4 = 6 0 A x 2 + x 3 +x 5 = 10 f 8 * -3 2 * * -3x 2 +2x 3 +f = 8 2 A /2 1/2 0 x 1-1/2x 3 +1/2x 4 = 7 1 A /2 1/2 0 x 2-3/2x 3 +1/2x 4 = 3 0 A /2-1/2 1 5/2x 3-1/2x 4 +x 5 = 7 f 17 * * -5/2 3/2 * -5/2x 3 +3/2x 4 +f = 17 2 A 1 42/ /5 1/5 x 1 +2/5x 4 +1/2x 5 = 42/5 1 A 2 36/ /5 3/5 x 2 +1/5x 4 +3/5x 5 = 36/5 0 A 3 14/ /5 2/5 x 3-1/5x 4 +2/5x 5 = 14/5 f 24 * * * 1 1 x 4 + x 5 +f = 24 Tbelele Soluţi Bz S 0 B 0 = [A 3, A 4, A 5 ] S 1 B 1 = [A 1, A 4, A 5 ] S 2 B 2 = [A 1, A 2, A 5 ] S 3 B 3 = [A 1, A 2, A 3 ] Componentele soluţiei de bză genertă de lgoritm Soluţi progrmului Vlore funcţiei x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (P) obiectiv (0, 0) (4, 0) (7, 3) 17 42/5 36/5 14/5 0 0 (42/5, 36/5) 24

12 4. Metod simplex 49 Tbelul Este util să recpitulăm într-un tbel soluţiile dmisibile de bză le progrmului (FSP), efectiv generte de lgoritm, împreună cu soluţiile progrmului (P), socite prin corespondenţ Φ din finlul secţiunii 3.3 (vezi tbelul 4.2.5). Urmărind imgine grfică (fig ), deducem sensul geometric l lgoritmului simplex: procedur plecă dintr-un vârf l mulţimii soluţiilor dmisibile poi se deplseză către un vârf vecin mi bun ş..m.d. până l găsire soluţiei optime. 4.3 Determinre unei soluţii dmisibile de strt După cum s- specifict, plicre lgoritmului simplex necesită cunoştere unei bze dmisibile de strt precum şi formei explicite socite cestei, celellte forme explicite deducându-se un din lt prin pivotre gussină. Chir şi pentru probleme de dimensiuni mici, găsire unei semene bze de strt prin simpl inspectre colonelor mtricii A, se dovedeşte fi o trebă complictă, ne mi vorbind de fptul că este posibil c problem să nu ibe soluţii dmisibile. În plus, să nu uităm că teori metodei simplex s- bzt esenţil pe ipotez că restricţiile problemei sunt linir independente, lucru irăşi greu de verifict în prctică. Pentru obţinere formei explicite iniţile vem nevoie de câtev pregătiri. Vom spune că progrmul în formă stndrd (P) este în formă bună dcă mtrice A conţine o submtrice unitte de ordinul m (= numărul restricţiilor) ir termenii liberi sunt nenegtivi. Dcă este ş, (P) stisfce condiţi (3.5.1) ir soluţi socită bzei unitre este dmisibilă şi pote fi considertă c soluţie de strt pentru plicre lgoritmului simplex. Dcă (P) nu este în formă bună, el se pote duce l cestă formă, nottă (FBP), în felul următor: În cz că unele restricţii le progrmului iniţil u termeni liberi negtivi înmulţim ceste restricţii cu -1; în cest fel toţi termenii liberi i restricţiilor problemei de rezolvt vor fi 0. Se duce problem l form stndrd dăugând vribile de btere în restricţiile ineglităţi. Dcă mtrice progrmului rezultt nu conţine tote colonele mtricii unitte de ordinul m, în numite restricţii se vor dăug noi vribile nenegtive pentru crere colonelor lipsă; ceste noi vribile se numesc

13 50 I. PROGRAMARE LINIARA vribile rtificile şi, spre deosebire de cele de btere, pr şi în funcţi obiectiv cu un coeficient comun, forte mre în vlore bsolută. Coeficientul v fi negtiv dcă funcţi obiectiv se mximizeză şi pozitiv în cz contrr. Se observă imedit că dcă progrmul iniţil (P) este comptibil, soluţiile sle dmisibile se identifică cu cele soluţii le formei bune în cre vribilele rtificile u vlore zero. Prin fptul că vribilele rtificile sunt însoţite în expresi funcţiei obiectiv de nişte penlizări forte mri, metod simplex este instruită să cute tocmi semene soluţii! Şi stfel, rezolvre formei bune ne conduce l unul din următorele czuri: 1. Form bună re optim infinit. Atunci şi progrmul iniţil re optim infinit. 2. Form bună re optim finit dr în soluţi optimă cel puţin o vribilă rtificilă re vlore nenulă. Atunci progrmul originl este incomptibil. 3. Form bună re optim finit şi în soluţi optimă tote vribilele rtificile u vlore zero. Ignorând vlorile cestor vribile se obţine soluţi optimă progrmului iniţil. Exemplul Considerăm următorul progrm împreună cu form s stndrd: (mx) f = 2x + 3x 1 2 (mx) f = 2x1 + 3x2 2x1 + x2 40 2x1 + x2 x3 = 40 ( P ) x1 + 3x2 30 ( FSP ) x1 + 3x2 x4 = 30 x1 + x2 30 x1 + x2 + x5 = 30 x1 0, x2 0 x j 0, j= 1,..., 5 Se consttă că (FSP) nu este în form bună neconţinând decât un singur vector l mtricii unitre de ordinul 3. Vom cree o semene mtrice introducând în primele două restricţii vribilele rtificile x 6 şi x 7. Obţinem progrmul:

14 4. Metod simplex 51 (mx) f = 2x1 + 3x2 Mx6 Mx7 2x1 + x2 x3 + x6 = 40 ( FBP ) x1 + 3x2 x4 + x7 = 30, M >> 0 x1 + x2 + x5 = 30 x j 0, j = 1,..., 7 Putem plic lgoritmul simplex progrmului (FBP) plecând de l bz unitră E = [A 6, A 7, A 5 ] şi de l soluţi socită cestei: x 1 = x 2 = x 3 =x 4 = 0 x 5 = 30, x 6 = 40, x 7 = 30 După trei iterţii (vezi tbelele ) se obţine soluţi optimă progrmului (FBP) în cre vribilele rtificile x 6, x 7 u vlore zero. Ignorând ceste vlori se obţine soluţi optimă formei stndrd (FSP) şi implicit soluţi optimă progrmului originl (P): x = 10 x = 20 f = 80 1, 2 mx vribilele de btere vând vlorile: x = 0, x = 40, x = M -M c B B VVB A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 -M A M A A f -70M -3M-2-4M-3 M M * * * -M A / / /3 3 A / / /3 0 A / / /3 f -30M+30-5/3M-1 * M -M/3-1 * * 4M/3+1 2 A /5 1///5 0 3/5-1/5 3 A /5-2/5 0-1/5 2/5 0 A /5 1/5 1-2/5-1/5 f 48 * * -3/5-4/5 * M+3/5 M+4/5 2 A A A f 80 * * 1 * 4 M-1 M Tbelele

15 52 I. PROGRAMARE LINIARA Punctele din R 2 corespunzătore celor ptru soluţii generte de lgoritm sunt S 0 = (0,0), S 1 = (0,10), S 2 = (18,4), S 3 = (10,20). x 2 S 3 : x 1 =10, x 2 =20 A S 1 : x 1 =0, x 2 =10 x 1 S 0 : x 1 =0, x 2 =0 S 2 : x 1 =18, x 2 =4 Figur Urmărind fig se consttă că punctele S 0 şi S 1, ce corespund unor soluţii le progrmului (FBP) în cre cel puţin o vribilă rtificilă re vlore nenulă, sunt în fr mulţimii A P în timp ce S 2 şi S 3, corespunzătore unor soluţii în cre x 6 = x 7 = 0, sunt vârfuri le cestei mulţimi. Pentru determinre unei soluţii dmisibile de bză de strt, în situţi în cre progrmul iniţil (P) nu este în formă bună, se pote plic şi ş numit metodă celor două fze: se introduc în restricţii vribile rtificile, bineînţeles colo unde este czul, în scopul formării unei bze unitre de strt (termenii liberi i restricţiilor se presupun fi nenegtivi); în fz I se minimizeză sum w vribilelor rtificile introduse. Deorece şi ceste vribile sunt supuse condiţiei de nenegtivitte, urmeză că (min)w 0. În cz că (min)w > 0 este clr că progrmul iniţil (P) este incomptibil; dcă (min)w = 0 se trece l:

16 4. Metod simplex 53 fz II-, în cre se optimizeză funcţi obiectiv progrmului iniţil (P) plecând de l soluţi de bză rezulttă l finele fzei I. (Atenţie, l începutul cestei fze, vom ve grijă să reclculăm costurile reduse c j în rport cu coeficienţii funcţiei obiectiv din (P)!) 4.4. Invers bzei curente. Soluţi optimă problemei dule Să considerăm un progrm linir (P) în formă bună. Renumerotând convenbil vribilele progrmului, mtrice coeficienţilor sistemului de restricţii re form: A = [A, E] unde E este mtrice unitte de ordinul m = numărul restricţiilor din (P). După cum m văzut, E se i c bză de strt în procesul rezolvării progrmului (P) prin lgoritmul simplex. Dcă B este o bză cercettă de lgoritm, tunci mtrice formei explicite socită bzei B v fi: B -1 A = [B -1 A, B -1 ] Cum mtrice B -1 A pre în corpul mre l tbelului simplex corespunzător bzei B, deducem următore concluzie importntă: L fiecre iterţie, lgoritmul simplex pune în evidenţă invers B -1 bzei curente. E este formtă din colonele A j corespunzătore colonelor unitre A j cre u formt bz de strt. Exemplul Ne referim l progrmul (P) rezolvt în exemplul Deorece bz de strt fost mtrice unitte E = [A 6,A 7,A 5 ], invers bzei optime B = [A 1,A 2,A 4 ] se citeşte din ultimul tbel simplex: B = [ A, A, A ] =

17 54 I. PROGRAMARE LINIARA O clitte remrcbilă lgoritmului simplex este cee că produce nu numi soluţi optimă problemei cărei i se plică ci şi soluţi optimă problemei dule. Să considerăm un cuplu de probleme în dulitte în cre un este în formă stndrd (vezi secţiune 2.2): mx f( x) = cx ( P ) Ax = b x 0 min gu ( ) = ub ( Q ) ua c u orecre Cu notţiile secţiunii 3.5 vem următore; Teorem Presupunem că (P) re o soluţie optimă x* socită unei bze B. Atunci: u* = c B B -1 (4.4.1) este o soluţie optimă problemei dule (Q). Demonstrţie: Vom răt că u* stisfce restricţiile ua j c j, j = 1,,n le problemei dule (Q). Într-devăr u*a j - c j =c B B -1 A j -c j = c j, conform (3.5.6). Avem c j 0, j = 1,,n, deorece x* este prin ipoteză soluţi optimă progrmului (P), stfel că u* este o soluţie dulei (Q). Mi deprte f(x*) = g(u*) = c B B -1 b. Concluzi teoremei decurge cum din teorem Prctic, pentru determinre soluţiei optime dule se procedeză stfel. Am rătt că rezolvre unei probleme în formă stndrd se reduce l rezolvre unei probleme de celşi tip cărei mtrice conţine o submtrice unitte vând ordinul egl cu numărul restricţiilor. Atunci invers bzei optimle B -1 se citeşte în tbelul simplex socit cestei bze pe colonele A j corespunzătore vectorilor cre u formt bz unitră de strt! Extrăgând B -1 din tbel se pote plic formul (4.4.1). Procedeul descris este vlbil şi pentru un cuplu generl de probleme în dulitte (P,Q). Într-devăr, după cum m văzut dej, ducere problemei (P) l o formă (P 1 ) convenbilă plicării lgoritmului simplex se fce prin dăugre

18 4. Metod simplex 55 de vribile: de btere şi/su rtificile. În consecinţă, dul (Q 1 ) problemei (P 1 ) v ve celeşi vribile şi ceeşi funcţie obiectiv c şi dul (Q) problemei iniţile(p), diferenţ constând în numărul restricţiilor şi în condiţiile impuse vribilelor. Se pote răt fără dificultte că cestă diferenţă nu însemnă ltcev decât două modlităţi de scriere unei şi celeişi probleme, ltfel spus (Q) şi (Q 1 ), în esenţă, coincid! În cest fel, teorem de dulitte este probtă. Exemplul Ilustrăm cele de mi sus, determinând soluţi optimă progrmului linir: min gu ( ) = 40u1 + 30u2 + 30u3 ( Q ) 2u1 + u2 + u3 2; u1 + 3u2 + u3 3 u1 0, u2 0, u3 0 cre este dulul progrmului (P) rezolvt în exemplul După dăugre vribilelor de btere şi celor rtificile, din (P) s- obţinut progrmul (P 1 ) = (FBP) l cărui dul este: min gu ( ) = 40u1 + 30u2 + 30u3 2u1 + u2 + u3 2 u1 + 3u2 + u3 3 u1 0 ( Q ) u 0 1 u 1 u 2 2 u, u, u u 3 0 M M f.r.s.

19 56 I. PROGRAMARE LINIARA Restricţi u 3 0 este de fpt condiţi de nenegtivitte impusă vribilei u 3 în (Q) ir -u 1 0, -u 2 0 însemnă u 1 0, u 2 0. Ultimele două restricţii din (Q 1 ) sunt superflue pentru că M este prin definiţie >>0. Prin urmre (Q) şi (Q 1 ) coincid. Din tbelul simplex extrgem invers bzei optimle comune B = [ A 1,A 2,A 4 ] progrmelor (P) şi (P 1 ) - vezi exemplul precedent - stfel că soluţi optimă probl;emei dule (Q) este : u = c B B 1 = dică: u = 1, u = 0, u = = 1 0 4] [ 2 3 0] [ Observţie: Folosind notţiile din 3.5 punem în evidenţă componentele vectorului linie c B B -1 : = c A = c j J π j B j i I i ij Pentru colonele unitre A i corespunzătore vectorilor A i din bz curentă punem: π i = c i i I Din (3.5.6) rezultă tunci că: c j =π j - c j j=1,,n şi deci mărimile π j sunt efectiv clculte în procesul evluării coeficienţilor c j! Acest este şi motivul pentru cre de multe ori mărimile π j sunt puse în evidenţă într-o linie seprtă plstă în tbelul simplex desupr liniei test. Cu ceste pregătiri, formul (4.4.1) rtă că: Soluţi optimă problemei dule este dtă de coeficienţii π j din tbelul simplex l problemei primle, corespunzători colonelor unitre cre u formt bz de strt. 4.5 Convergenţ lgoritmului simplex

20 4. Metod simplex 57 Se rtă uşor că dcă minimul din (4.2.2) nu este unic tunci nou soluţie de bză x este degenertă, dică re un număr de componente nenule < m. Acestă situţie este delictă prin fptul că pote implic neconvergenţ lgoritmului. Mi precis, este posibil c lgoritmul să genereze un şir de soluţii de bză neoptimle x 1, x 2,..., x p, delungul cărui vlore funcţiei obiectiv stţioneză, dică f( x 1 ) = f( x 2 ) = L = f( x p ), stfel încât x p = x 1!! Fenomenul descris, numit ciclre, deşi teoretic posibil, nu fost întâlnit în nici o plicţie prctică, existenţ lui fiind probtă dor prin câtev exemple rtificil construite. Exemplul [Bele] Se consideră progrmul linir: 1 x1 + 4 x4 8x5 x 6 + 9x7 = x2 + 2 x4 12x5 2 x6 + 3x7 = 0 x 3 + x 6 = (mx)f = 4 x4 20x5 + 2 x6 6x7 O bză dmisibilă de strt este B 0 = E = [A 1,A 2,A 3 ] cărei soluţie socită x 0 este degenertă. Într-devăr, vribilele bzice u vlorile: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 (tote celellte vribile fiind nule) Propunem cititorului să rte că succesiune de bze dmisibile: B 1 = [A 4,A 2,A 3 ], B 2 = [A 4,A 5,A 3 ], B 3 = [A 6,A 5,A 3 ], B 4 = [A 6,A 7,A 3 ] B 5 = [A 6,A 2,A 3 ], B 6 = [A 4,A 2,A 3 ] pote fi dedusă din B 0 prin plicre regulilor lgoritmului simplex. Se consttă fără dificultte că vlore funcţiei obiectiv în soluţiile de bză socite este zero şi că nici un din ceste soluţii, tote degenerte, nu verifică criteriul de optimlitte. Pe de ltă prte observăm că bz B 6 este identică cu bz B 1 şi deci lgoritmul intră într-un ciclu infinit fără pute determin soluţi optimă (cre există şi este unică după cum vom vede). Pentru problemele le căror soluţii de bză dmisibile sunt tote nedegenerte convergenţ lgoritmului este sigurtă de următore : Teorem Dcă progrmul în formă stndrd (P) este comptibil şi tote soluţiile sle dmisibile de bză sunt nedegenerte tunci plicre lgoritmului simplex descris în 4.2 se termină într-un număr finit de iterţii, fie cu găsire soluţiei optime, fie cu concluzi că progrmul re optim infinit.

21 58 I. PROGRAMARE LINIARA Demonstrţie: Fie x, x, x,...soluţiile cercette în cursul plicării lgoritmului, x fiind soluţi iniţilă. Avem f ( x ) f ( x ) f ( x )... Ipotez nedegenerării precum şi formul (4.2.3) rtă că de fpt f ( x ) < f ( x ) < f ( x )... şi deci nici o soluţie dmisibilă de bză nu v fi cercettă de două ori. Concluzi teoremei rezultă cum din fptul că numărul soluţiilor de bză este finit (vezi secţiune 3.5). Din fericire, există proceduri de evitre ciclării cre constu într-o mică modificre regulii (4.2.2). Ele sunt încorporte în orice pchet de progrme destint rezolvării problemelor de progrmre liniră. O semene metodă v fi descrisă în cele ce urmeză. Sunt necesre câtev pregătiri. Definiţie Spunem că vectorul x = (x 1,x 2,...,x n ) este lexicogrfic pozitiv şi scriem xf 0 dcă x 0 şi prim componentă nenulă lui x este pozitivă. În mulţime vectorilor din R n introducem relţi binră: Se verifică uşor firmţiile: xf y dcă x-y f 0 Dcă x f y şi y f z tunci x f z (trnzitivitte). Oricre r fi x, y R n un şi numi un din următorele relţii re loc: x = y, x f y, y f x. Prin urmre relţi f este o relţie de ordine totlă pe R n cre extinde relţi de ordine nturlă din R În plus e este comptibilă cu structur liniră spţiului R n în sensul că: x f y x+z f y+z x f y şi λ > 0 λ x f λ y Să considerăm cum problem de progrmre liniră în formă stndrd: Ax = b 0 ( P) x 0 (mx) f = cx

22 4. Metod simplex 59 Putem presupune că problem (P) este în formă bună, ltfel spus că mtrice A conţine o submtrice unitte de ordinul m, unde m este, c de obicei, numărul restricţiilor. Renumerotând convenbil vribilele problemei putem presupune că primele m colone din A sunt unitre, stfel că A re form A = [E, S]. Atunci tbelul simplex socit unei bze orecre B, nu nepărt dmisibilă, re următorul conţinut: VVB B b B -1 B -1 S Fie I mulţime indicilor vectorilor A i cre formeză bz B. Pentru fiecre i I notăm: B qi = bi, i1, i2,..., im] (4.5.1) unde,,..., m sunt componentele liniei i mtricii B -1. i1 i2 i [ Definiţie Vom spune că bz B este lexicogrfic dmisibilă dcă q B i f 0 pentru orice i I. Este clr că dcă B este lexicogrfic dmisibilă tunci B este dmisibilă în sensul de până cum dică b 0, i I. Reciproc, dcă B este dmisibilă şi i soluţi socită este nedegenertă, dică b lexicogrfic dmisibilă. ] i > 0, i I tunci evident, B este Bz de strt B 0 = E este lexicogrfic dmisibilă. Într-devăr: q 0 B i [ = b, 0,..., 1,... 0 i = 1,...,m i B şi este clr că toţi q 0 i f 0. Introducem vectorul q B = ( f, c ) în cre f este vlore funcţiei obiectiv în soluţi socită bzei B ir c este vectorul costurilor reduse corespunzătore (vezi secţiune 3.5). Definiţie Spunem că bz B' este lexicogrfic mi bună decât bz B (în sensul mximizării funcţiei obiectiv f ) şi vom scrie B' f B dcă q B' f q B. Evident B' fb este o relţie de ordine totlă în mulţime bzelor problemei (P). Se consttă imedit că dcă B' este lexicogrfic mi bună decât B tunci B' este cel puţin l fel de bună c şi B în sensul obişnuit dică f ' f.

23 60 I. PROGRAMARE LINIARA Idee de modificre lgoritmului simplex descris în 4.2 constă în plec de l o bză B 0 lexicogrfic dmisibilă şi de gener în continure numi bze lexicogrfic dmisibile B 1, B 2,... cre să fie din ce în ce mi bune în sens lexicogrfic, dică: B 0 p B 1 p B 2 p... Având în vedere că în şirul de mi sus nu pot exist două bze identice şi că numărul bzelor dmisibile este finit urmeză că idee de modificre lgoritmului simplex propusă mi sus grnteză convergenţ procedurii. Trecem cum l concretizre ideii de modificre. Fie B o bză lexicogrfic dmisibilă cre nu verifică criteriul de optimlitte l lgoritmului simplex. Determinăm cu criteriul (4.2.1) colon A k cre intră în bză şi presupunem că A k re şi componente pozitive (cu lte cuvinte nu suntem în czul optimului infinit). Pentru determinre indicelui colonei A r cre părăseşte bz curentă B, în locul criteriului (4.2.2) vom folosi formul: 1 1 q B 0 q r = minlex i, ik > ik B i (4.5.2) în cre q B, i I i sunt dţi de (4.5.1) ir minimul din membrul drept este lut în sens lexicogrfic. Acest minim se clculeză stfel: se determină mulţime I 0 indicilor r I stfel încât: br bi = min i, ik > 0 ik Dcă I 0 se reduce l un singur indice r tunci 1 q B r relizeză minimul lexicogrfic din (4.5.2). Prin urmre dcă minimul din (4.2.2) este unic cele două criterii de ieşire din bză (4.2.2) şi (4.5.2) coincid. Dcă I 0 se compune din cel puţin două elemente, se determină mulţime I 1 I 0 indicilor r cu propriette că: r1 i1 = min i I0 Dcă nici I 1 nu se reduce l un singur element, se determină în continure sub mulţime I 2 I 1 formtă din indicii r pentru cre: ik

24 4. Metod simplex 61 r2 i2 = min i I 1 ik ş..m.d. Se genereză stfel un şir de submulţimi: I 0 I 1 I 2... ultim din ele vând cu sigurnţă un singur element ce defineşte minimul lexicogrfic din (4.5.2). Într-devăr, dcă ultim mulţime genertă r conţine cel puţin doi indici diferiţi r şi r', cest v fi I m şi în consecinţă: ri = ri ' ' pentru toţi i = 1,...,m ceece r implic proporţionlitte două linii din mtrice B -1, fpt imposibil. Prin urmre, minimul din (4.5.2) este unic. Să rătăm cum că nou bză B' dedusă din B înlocuind A k cu A r : este lexicogrfic dmisibilă, dică: B' B' q f 0, i I, i r si q f 0; i este lexicogrfic mi bună decît B, dică q B' f q B. k În bz formulelor de schimbre bzei (4.1.12) putem scrie relţiile: q B' i B ik q q B i r q B' = q i r ; k = 1 B r Deorece prin ipoteză q tunci în mod clr q B' i B r f 0si > f 0. Dcă ik > 0 tunci: B' 0 rezultă q k f 0.Fie i r. Dcă ik 0 q B' i 1 q B 1 = q ik i ik B r f 0 B' B ck în virtute legerii lui r, conform (4.5.2). În fine: q q şi deorece q B = r B' B ck < 0 rezultă q f q.

25 62 I. PROGRAMARE LINIARA Aplicre în clculul mnul criteriului de ieşire din bză modifict (4.5.2) este forte simplă: Dcă minimul rportelor b i, ik > 0 din criteriul uzul de ieşire ik din bză nu este unic şi se tinge pe o submulţime de indici I 0 se cută minimul rportelor i1, i I0 în cre numărătorii sunt luţi din prim colonă ik inversei bzei curente. Dcă nici cest nu este unic şi se tinge pe o submulţime I 1 I 0 se cută minimul rportelor i2, i I1 cu numărătorii din ik dou colonă inversei bzei ş..m.d. După cum m văzut cest proces se termină într-un număr finit de pşi cu găsire unui unic indice r. Vectorul A r părăseşte bz. Considerţiile de mi sus vor fi plicte problemei din ex (vezi tbelele ) L prim iterţie intră în bză A 4. Se observă că: b1 b2 min, = min, { 0 0} nu este unic. Fie I 0 = {1,2}. Prim colonă inversei bzei curente este A 1 şi c urmre clculăm: min, = min, = 0 = În consecinţă vectorul A 2 părăseşte bz ş..m.d /4-20 1/2-6 c B B VVB A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 0 A / A / /2 3 0 A f 0 * * * -3/4 20-1/2 6 0 A / /4 15/2 3/4 A A f 0 * 3/2 * * 2-5/4 9/2 0 A 1 3/4 1-1/2 3/ /2 3/4 A /2 A

26 4. Metod simplex 63 f 5/4 * 3/2 5/4 * 2 * 9/2 4.6 Alte exemple numerice Tbelele Aceste exemple u rolul de ilustr diferitele fpte teoretice prezentte în secţiunile nteriore. Exemplul (Optim infinit, rze extreme). Vom consider progrmul (P) împreună cu form s stndrd (FSP): (mx) f = 3x + 4x 3x1 + 4x2 12 ( P) 2x1 + x2 2 x1 2x2 2 x1 0, x (mx) f = 3x1 + 4x2 3x1 + 4x2 + x3 = 12 ( FSP) 2x1 + x2 + x4 = 2 x 2x + x 2 = xj 0, j = 1,..., 5 Plecând cu bz unitră dmisibilă E = [A 3, A 4, A 5 ], în două interţii se junge l tbelul 4.6.1: C B B VVB A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 3 A 1 4/ /5-4/5 0 4 A 2 18/ /5-3/5 0 0 A 5 42/ /5-2/5 1 f 84/5 * * 11/5-24/5 * Tbelul Conform psului 3 l lgoritmului simplex progrmul (P) re optim infinit deorece: c 4 < 0 ir A 0 Vectorul w 1 =(4/5, 3/5, 0, 1, 2/5) T este o rză extremă mulţimii A FSP soluţiilor dmisibile le formei stndrd (FSP), vezi (4.2.4). Prin "proiecţie", vectorul w 1 =(4/5, 3/5) este o rză extremă mulţimii A P soluţiilor dmisibile le progrmului iniţil (P). Din fig rezultă că A P mi re o rză extremă w 2 =(2,1) T. Acestă rză se pote determin tot cu jutorul lgoritmului simplex 4

27 64 I. PROGRAMARE LINIARA cu condiţi c l prim interţie, în bză, să fie introdusă colon A 1. Propunem cititorulului să efectueze clculele necesre. x 2 v 1 +αw 1,α 0 v 1 A P w 1 =(4/5,3/5) w 2 =(2,1) v 2 v 2 +αw 2,α 0 x 1 Figur Exemplu (Incomptibilitte) Considerăm progrmul: (min) f = 6x1 + x2 2x 5x1 x2 + x3 6 ( P) 2x1 + x2 + 3x3 7 3x1 + x2 + 2x3 = 2 x1, x2, x3 0 După introducere vribilelor de btere x 4, x 5 şi vribilelor rtificile x 6 şi x 7 (în prim şi respectiv trei restricţie) se obţine progrmul în formă bună: (min) f = 6x1 + x2 2x3 + Mx6 + Mx7, M 0 5x1 x2 + x3 x4 + x6 = 6 ( FBP) 2x1 + x2 + 3x3 + x5 = 7 3x1 + x2 + 2x3 + x7 = 2 xj 0 1 j 7 3

28 4. Metod simplex 65 (Deorece funcţi obiectiv se minimizeză, vribilele rtificile u fost incluse în funcţi obiectiv cu un coeficient pozitiv M forte mre!) Pornind de l bz unitră E=[ A 6, A 5, A 7 ], în două iterţii lgoritmul simplex produce tbelul 4.6.2, ce conţine soluţi optimă progrmului (FBP) M c B B VVB A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 M A A 1 8/13 1-1/ /13 0-3/13-2 A 3 25/13 0 5/ /13 0 2/13 f M - 2/13 * - M - 29/13 * - M -M + 6/13 * - 22/13 Tbelul Deorece în cestă soluţie vribil rtificilă x 6 re vlore nenulă, progrmul în form stndrd şi implicit progrmul originl nu u soluţii dmisibile. Exemplul (Progrme linire cu vribile fără restricţie de semn) Condiţi de nenegtivitte impusă vribilelor unui progrm linir (P) nu este deloc restrictivă. Într-devăr să presupunem că în (P) r exist o vribilă x j ce pote lu orice vlore relă. Înlocuim x j cu diferenţ două vribile nenegtive: ' '' ' '' x = x x cu x 0, x 0 j j j j j În consecinţă, în locul colonei A j coeficienţilor vriţiei x j vor pre două colone: (A j )'=A j (A j ) '' = -A j ' '' ir în funcţi obiectiv coeficientul c j se înlocuieşte cu : cj = cj si cj = cj Deorece (A j )'+(A j )'' = 0, colonele (A j )' şi (A j )'' sunt linir dependente şi prin urmre nu vor pute pre simultn în nici o bză progrmului trnsformt. După rezolvre progrmului trnsformt, vlore vribilei originle x j în * ' * soluţi optimă v fi xj = ( xj) '' ( xj) vribile bzice vom ve: x * j *. Cum ' x j si x * = x ) u x * '' * ( ' 0 s = ( x ) 0după cum, în j j '' j j nu pot fi simultn

29 66 I. PROGRAMARE LINIARA ' '' soluţi optimă progrmului trnsformt x j, respectiv x, fost vribilă bzică. Pentru ilustrre să considerăm problem: j min f = 3x1 + 2x2 x1 + 2x2 2 ( P) 3x1 + x2 3 x fr restrictii de semn, x ' Înlocuim: x ' 1 = x ' 1 x1, dăugăm vribilele de btere x3, x 4 precum şi vribil rtificilă x 5 în scopul obţinerii unei bze unitre de strt. Rezultă următorul progrm trnsformt: min f = 3x1 3x1 + 2x2 + Mx5, M >> 0 x x x x ' x5 = 2 ( P ) 3x1 + 3x1 + x2 + x4 = 3 x1, x1, x2, x3, x4, x5 0 În continure dăm elementele ultimului tbel simplex: M C B B VVB (A 1 )' (A 1 )'' A 2 A 3 A 4 A 5 2 A 2 3/ /5-1/5 3/5-3 (A 1 ) '' 4/ /5 2/5-1/5 f - 6/5 0 * * - 9/5-8/5 9/5 - M Tbelul Soluţi optimă progrmului (P') este deci: * * 1 1 ' '' ( x ) = 0, ( x ) = 4/ 5, x = 3/ 5 f * 2 min = 6/ 5 Urmeză că soluţi optimă progrmului originl v fi : x * * 1 2 = 4/ 5, x = 3/ 5

30 4. Metod simplex Interpretre economică lgoritmului simplex Să considerăm czul în cre problem de mximizre în formă stndrd: mx f = cx Ax = b x 0 reprezintă modelul de optimizre ctivităţii unei firme (secţiune 1.1, exemplul 1). Se cere determinre combinţiei de bunuri ce urmeză fi relizte precum şi cntităţilor în cre ceste vor fi produse stfel încât venitul firmei să fie mxim cu condiţi consumării integrle resurselor disponibile. Ultim cerinţă nu este deloc restrictivă întrucât în list ctivităţilor productive putem include l nevoie un număr de ctivităţi fictive le căror nivele să reprezinte resursele neconsumte (ceste ctivităţi fictive corespund vribilelor de btere). O primă concluzie cre se desprinde din teori metodei simplex este cee că în orice soluţie optimă modelului numărul bunurilor ce vor fi efectiv relizte este cel mult egl cu numărul resurselor folosite. Acest rezultă din fptul că în orice soluţie de bză numărul componentelor nenule nu depăşeşte numărul restricţiilor. În consecinţă, relizre unor bunuri ce nu sunt incluse în "list optimă" implică dăugre unor noi restricţii în model, fpt cre duce l diminure optimului iniţil. Să considerăm cum un progrm de producţie "de bză", dică o soluţie dmisibilă de bză, socită unei bze B. Activităţile i corespunzătore colonelor A i din B vor fi numite în continure ctivităţi de bză, ir celellte ctivităţi secundre. Conform definiţiei, cest progrm nu prevede folosire ctivităţilor secundre ir cntităţile de bunuri relizte în ctivităţile de bză trebuie stfel dimensionte încât să se sigure consumre întregului stoc de resurse. În notţiile secţiunii 3.5 : Bx B = b, x S = 0 de unde x B = B -1 b = b După cum se vede, list ctivităţilor de bză determină în mod unic cntităţile de bunuri ce pot fi produse şi c tre detectre unui progrm mi bun se pote fce numi studiind oportunitte utilizării unor ctivităţi secundre cre

31 68 I. PROGRAMARE LINIARA să înlocuiscă o prte din ctivităţile bzice curente. Pentru cest vem nevoie de un criteriu cre să permită comprre unei ctivităţi secundre j cu grupul ctivităţilor de bză. Să exminăm colon A j tbelului simplex socit bzei B. Conform (3.5.3) A j = B -1 A j de unde A j = B. A j su: 1 2 în ipotez că B = [ A A A m ] j 1 2 m A = A + A A (4.7.1) 1 j 2 j mj,,...,. Sensul economic l eglităţii (4.7.1) este următorul: din punctul de vedere l consumului de resurse producere unei unităţi din bunul j este echivlentă cu producere cntităţilor 1j, 2 j,..., mj din bunurile ctivităţilor de bză. În consecinţă, dcă se doreşte producere unei unităţi din bunul j, producţi ctivităţilor de bză trebuie diminută cu cntităţile,,...,.anliz oportunităţii introducerii în fbricţie 1j 2 j mj bunului j se v fce prin comprre portului său l creştere venitului firmei cu portul vloric l cntităţilor,,..., j.astfel, relizre unei unităţi 1j 2 j m din bunul j determină creştere vlorii curente funcţiei obiectiv cu preţul său c j în timp ce renunţre l producere cntităţilor,,..., mj însemnă 1j 2 j diminure celeişi vlori cu sum c + c c.prin urmre dcă diferenţ: 1 1j 2 2 j m mj c = c + c + + c c j 1 1j 2 2 j... m mj j este 0 relizre bunului j nu este rentbilă deorece nu duce l creştere vlorii producţiei sigurte prin progrmul curent. Dcă c j 0 pentru tote ctivităţile secundre, progrmul de fbricţie curent este optim. Am regăsit stfel criteriul de optimlitte din teorem A secţiune 4.1. Dcă c j < 0, utilizre ctivităţii secundre j duce l o sporire venitului relizbil prin progrmul curent, vitez de creştere fiind - c j. Interpretre criteriului de intrre în bză (4.2.1) este cum clră: dcă mi multe ctivităţi secundre sunt rentbile în rport cu grupul ctivităţilor de bză este prefertă ctivitte cre sigură ce mi ridictă viteză de creştere vlorii curente producţiei.fie k cestă ctivitte. Ultim problemă constă în stbilire cntităţii din bunul k ce pote fi reliztă în condiţiile dte. Conform celor de mi sus producere unei cntităţi θ din cest bun implică micşorre producţiei din bunurile ctivităţilor de bză cu cntităţile θ, θ,..., θ : 1k 2k mk x = b θ k, x = b θ k,..., xm = bm θ mk

32 4. Metod simplex 69 Deorece desfăşurre unei ctivităţi l un nivel negtiv este lipsită de sens v trebui să vem b θ 0 = 1,..,m de unde: i ik i θ θ = min 0 i, > 0 ik bi ik (excludem czul optimului infinit, nesemnifictiv din punct de vedere economic). Dcă θ 0 = b r şi θ = θ 0 obţinem creştere mximă vlorii curente producţiei prin utilizre ctivităţii k. În cest cz ctivitte k nu mi br este folosită întrucât xr = br θ 0 = br = 0. Am obţinut din nou criteriul de ieşire din bză (4.2.2). 4.8 Versiune revizuită lgoritmului simplex Reluăm progrmul linir în formă stndrd (P): (mx) f = cx ( P) x 0 Ax = b cu notţiile şi terminologi introduse în secţiunile Considerăm o iterţie orecre lgoritmului simplex în cre se cerceteză soluţi socită unei bze B. Pentru efecture iterţiei sunt necesr următorele elemente: B 1 j 1) Costurile reduse: c = c B A c, j J j Dcă testul de optimlitte nu este îndeplinit se determină k J stfel c: j Colon A k intră în bz curentă. 2) Componentele colonei: c k = j J min c j k A = B 1 A 3) Vlorile vribilelor bzice curente x i, i I reunite în vectorul: k

33 70 b = B 1 b I. PROGRAMARE LINIARA Admiţând că nu re loc czul optimului infinit se determină i I stfel încât: b r = minbi ik > 0 ik Colon A k părăseşte bz curentă. După efecture operţiilor necesre evluării elementelor mintite, tbelul simplex curent se pivoteză cu pivotul.. Se observă că ceste mărimi numerice se pot clcul direct din dtele iniţile A, b, c le progrmului (P) cunoscând invers B -1 bzei curente. Dcă vem în vedere soluţionre problemelor prctice de progrmre liniră crcterizte în primul rând prin numărul mre de restricţii şi vribile următorele probleme trebuie să ne de de gândit: Din mulţime de colone clculte A j =B -1 A j, j J dor un este efectiv folosită l flre pivotului şi nume A k ; tote celellte servesc l clculul costurilor reduse conform formulei: c j =c B A j -c j, j J Cum în prctică problemele u multe vribile, stfel spus mtrice A re multe colone, evlure colonelor A j necesită timp şi efort de clcul. Exceptând primul tbel simplex, celellte se deduc unul din ltul prin pivotre gussină, fcilitând propgre şi mplificre erorilor de rotunjire inerente clculului cu numere rele. Este posibil c în finl ceste erori să compromită grv rezulttele (de exemplu o problemă comptibilă să fie declrtă incomptibilă). Chir dcă mtrice iniţilă A este rră (dică densitte elementelor nenule este mică), densitte elementelor nenule în tbelele simplex generte creşte vertiginos, cu efecte negtive supr vitezei de clcul. Este de l sine înţeles că ceste nejunsuri nu sunt vizibile în clculul mnul. Aceste probleme pr în contextul rezolvării progrmelor de dimensiuni mri când utilizre clcultorului este inevitbilă!

34 4. Metod simplex 71 Versiune revizuită lgoritmului simplex elimină în mre prte ceste nejunsuri. În esenţă, cestă versiune propune clculre mărimilor mintite mi îninte într-o ltă ordine şi pelre l dtele iniţile le problemei. L fiecre iterţie este necesră cunoştere inversei bzei curente. Fie B o bză progrmului (P). Componentele vectorului (linie): π=c B B -1 se numesc multiplictori simplex sociţi bzei B (vezi observţi din finlul secţiunii 4.4) Inserăm elementele B -1, π, b=b -1 b şi f=c B b=πb într-un tbel: numit tbel simplex redus. B b B -1 f f π Să presupunem cunoscută o soluţie dmisibilă de bză progrmului (P) şi tbelul simplex redus l cestei. Cu ceste pregătiri, conţinutul unei iterţii în versiune revizuită este următorul: Psul 1. Se clculeză costurile reduse: c j =πa j -c j, j J Dcă toţi c j 0 soluţi curentă este optimă. Altminteri: Psul 2. Se determină indicele nebzic k J cu propriette : ck = min cj ( ck < 0!) j J Colon A k intră în bz curentă. Se clculeză A k =B -1 A k Psul 3. Dcă A k 0 progrmul dt re optim infinit. Altminteri: Psul 4. Se determină indicele bzei r I cu propriette: b r = minbi ik > 0 ik

35 72 I. PROGRAMARE LINIARA Colon A r părăseşte bz curentă. Psul 5. Se pivoteză tbelul simplex redus curent cu pivotul > 0 (se presupune că l tbelul simplex redus curent u fost "tşte" colon A k şi costul redus c k ) Fţă de lgoritmul simplex stndrd, versiune revizuită re o serie de vntje: utilizre l fiecre iterţie dtelor iniţile le problemei (pentru clculre costurilor reduse c j şi colonei A k ) sigură un control mi bun supr propgării erorilor de rotunjire c şi o viteză de clcul mi mre dcă se re în vedere fptul că densitte elementelor nenule în mtrice A este de regulă mică (este ştiut fptul că o operţie de înmulţire se efectueză în clcultor numi dcă mbii opernzi sunt nenuli) volumul de clcule este în generl mi mic, mi cu semă în situţi în cre numărul vribilelor este cu mult mi mre decât cel l restricţiilor. Este evident fptul că ceste vntje depind de "clitte" inversei B -1 bzei curente. Într-devăr, inversele diferitelor bze cercette de lgoritmul revizuit se clculeză c şi în lgoritmul stndrd "un din lt" prin pivotre. Am mintit dej "riscurile numerice" cre decurg din cestă situţie ce nu pote fi evittă: pe de o prte propgre şi mplificre erorilor de rotunjire cu impct negtiv supr curteţii evluării diferitelor mărimi necesre efectuării unei iterţii şi pe de lt creştere timpului de clcul c urmre "îndesirii" elementelor nenule din B -1.În principiu, tenure cestor nejunsuri se fce prin reinversre periodică bzei curente şi "stocre" inversei B -1 sub form unui produs de mtrici forte simple c structură. Pentru determinre unei soluţii dmisibile de bză de strt, în situţi în cre progrmul iniţil (P) nu este în formă bună, se plică metod celor două fze (vezi secţiune 4.3), cu observţi că l începutul fzei II, vor trebui reclculţi multiplictorii simplex ce compun vectorul π=c B B -1 în rport cu coeficienţii funcţiei obiectiv din (P)! Următorul exemplu re menire de ilustr diferenţele de orgnizre clculelor introduse lgoritmul simplex revizuit şi nu de pune în evidenţă vntjele de ordin "numeric" în rport cu lgoritmul stndrd; este şi

36 4. Metod simplex 73 imposibil de făcut cest lucru deorece în clculul mnul se lucreză "exct". Oricum, în rezolvre mnulă progrmelor linire de dimensiuni mici se recomndă versiune stndrd. Exemplu Se consideră progrmul: (mx) f = 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 2x5+ x 2x1 4x3 + 2x4 2x6 5 (P) 2x1 4x2 + 4x4 2x5 + 2x6 1 x2 + x3 = 1 x4 + x5 + x6 = 1 xj 0, 1 j 6 Introducem vribilele de btere x 7, x 8 în primele două restricţii obţinând form stndrd după cre introducem vribilele rtificile x 9, x 10, x 11 în restricţiile 2, 3 şi 4 în scopul formării bzei unitre de strt. Obţinem sistemul linir: 2x1 4x3 + 2x4 2x6 + x7 = 5 2x1 4x2 + 4x4 2x5 + 2x6 x8 + x9 =1 x2 + x3 + x10 = 1 x4 + x5 + x6 + x11 = 1 xj 0, j = 1,..., 11 6 Fz I. Atşăm sistemului de mi sus funcţi obiectiv: w=x 9 +x 10 +x 11 pe cre o minimizăm. Luăm c bză de strt B=E=[A 7, A 9, A 10, A 11 ] cărei îi corespunde soluţi: x 1 =x 2 =x 3 =x 4 =x 5 =x 6 =x 8 =0, x 7 =5, x 9 =1, x 10 =1, x 11 =1. În rport cu cestă bză c B =[0,1,1,1] stfel că π=c B B -1 =[0,1,1,1], w=πb=3. Primul tbel simplex redus rtă stfel: A A A A w

37 74 I. PROGRAMARE LINIARA Tbelul Clculăm costurile reduse c j= πa j -c j. Costurile reduse corespunzătore diferitelor iterţii le fzei I sunt dte în tbelul 4.8.6; de fiecre dtă un cost încdrt rtă colon cre intră în bz curentă. (A 4 ) T A 4 A A A A w = c 4 Tbelul (A 2 ) T A 2 (A 3 ) T A 3 A 7 9/2 1-1/ A A 4 1/4 0 1/ A A A 10 1/4 0 1/ A 11 3/4 0-1/ A 2 3/4 0-1/ w 7/4 0-1/ = c 2 w 1/4 0 1/ = c 3 Tbelul Tbelul L prim iterţie intră în bză A 4. Clculăm A 4 =B -1 A 4 ; pentru cest (vezi tbelul cre coincide cu 4.8.1) scriem A 4 în linie, desupr tbelului c B (A 1 ) T A 1 0 A A A 3 1/4 0 1/ /2 4 A 2 3/4 0-1/ /2 w 0 f 21/4 0-3/ /2= c 1 Tbelul şi fcem produsele sclre le lui (A 4 ) T cu liniile mtricei B -1 ; rezulttele le înscriem în drept tbelului Tot în drept jos înscriem costul redus c 4. Prcurgând celellte etpe l lgoritmului găsim că A 9 părăseşte bz. Se efectueză pivotre tbelului cu pivotul încdrt şi se obţine tbelul (4.8.3). Tbelele si prţin desemeni fzei I.