Tržišne strukture I: Savršena konkurencija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Tržišne strukture I: Savršena konkurencija"

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 9. travnja Tržišne strukture I: Savršena konkurencija i monopol Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-6 1. Uvod Cilj ovog predavanja je razjasniti studentima osnovne tržišne strukture, kroz objašnjenje sljedećih koncepata: determinante i osnovni tipovi tržišne strukture; model savršeno konkurentnog tržišta u kratkom roku; savršena konkurencija u dugom roku; model monopola u kratkom roku; regulirani monopol u dugom roku i društveni trošak monopola. Teme obrađene u ovom materijalu predaju se na šestom predavanju iz Inženjerske ekonomike, prema rasporedu koji se primjenjuje od akademske godine 2011/

2 2. Determinante i osnovni tipovi tržišne strukture U dosadašnjem tijeku nastave na Inženjerskoj ekonomici upoznali smo se, među ostalim, s modelom maksimalizacije profita, i rekli smo da racionalno poduzeće nastoji podesiti obujam proizvodnje, Q, tako da u danim uvjetima vlastitih troškova i tržišne potražnje ostvari najveći mogući profit. Osnovni uvjet za to jest postizanje jednakosti graničnog troška i graničnog prihoda. Dok su (u našem pojednostavnjenom modelu) funkcija graničnog troška, kao i funkcije prosječnog, odnosno prosječnog varijabilnog troška, interne osobine poduzeća, njegove tehnologije i učinkovitosti poslovnog upravljanja, dotle je funkcija graničnog prihoda, kao izvedenica funkcije potražnje, refleksija preferencija potrošne strane tržišta (opet, u našem pojednostavnjenom modelu). Stoga, u kontekstu modela kojima se bavimo, funkcije troškova nemaju mnogo veze s funkcijama graničnih prihoda 1. Njihov međusobni odnos, u općem slučaju, može biti bilo kakav. Upravo o tom odnosu ovise temeljne osobine tržišne strukture. Na sljedeće tri ilustracije nacrtani su osnovni tipovi tih odnosa: 1 U stvarnom svijetu potrošači utječu na proizvođače od kojih kupuju, i obratno, ali mi ćemo i dalje ostati na sasvim jednostavnim kanonskim modelima tržišta na kojem sudjeluju poduzeća koja proizvode samo jedan proizvod, kao i kupci koji kupuju upravo taj proizvod. 110

3 Na slici A zamijetit ćete tri krivulje nacrtane punom plavom linijom. To su krivulje prosječnog, prosječnog varijabilnog, te graničnog troška 2. Crtkanom tamnocrvenom linijom označena je funkcija cjelokupne tržišne potražnje (dakle, ne nečije rezidualne potražnje). S prošlog predavanja ćete se sjetiti da poduzeće određuje razinu proizvodnje koja je relativno bliska granici proizvodnog kapaciteta, osim kada je potražnja vrlo neelastična, u kojem slučaju poduzeće može imati i niži optimalan obujam proizvodnje. No, u svakom slučaju će optimalan obujam proizvodnje biti tu negdje, i u svakom slučaju će sigurno biti ograničen proizvodnim kapacitetom. Na slici A vidimo da funkcija tržišne potražnje siječe funkcije troškova unutar granice proizvodnog kapaciteta (što znači da ih krivulja graničnog prihoda siječe na još manjim vrijednostima). To znači da će, uz tehnologiju prikazanu ovim krivuljama troškova (u tehnologiju ubrajamo, pored svega ostalog, i tehnologiju poslovnog upravljanja), i uz tržišnu potražnju prikazanu crtkanom krivuljom, jedno poduzeće moći zadovoljiti cjelokupne potrebe tržišta. U takvim uvjetima uspostavit će se prirodni monopol, tj. monopol koji nije administrativno nametnut od strane države, nego onaj koji egzistira zato što je najučinkovitije da samo jedan proizvođač proizvodi za čitavo tržište. Naime, kad bi na takvo tržište ušao još jedan proizvođač, uz npr. ravnomjernu podjelu tržišnog udjela, rezidualna potražnja za svakoga od njih, a zbog toga i funkcija graničnog prihoda, bila bi smještena u području većih prosječnih troškova, uz sve jaču dominaciju fiksne komponente. (Zamislite da se na grafikonu A krivulja potražnje uvuče nalijevo, dvostruko bliže ordinatnoj osi.) Zbog toga bi prosječan trošak proizvodnje svake jedinice proizvoda postao veći nego u slučaju postojanja samo jednog proizvođača. To znači da bi ukupna društvena alokacija resursa postala manje učinkovita, jer bi se ista količina ukupna količina dobra proizvodila uz više troškove. Za vježbu, objasnite si sami da bi pod okolnostima ilustracijom A i svaka druga raspodjela tržišnog udjela dovela do povećanja prosječnih troškova proizvodnje. Važno je zapamtiti da postoje takve gospodarske djelatnosti i s njima asocirana tržišta proizvoda ili usluga, na kojima je odnos tehnologije proizvodnje i tržišne potražnje takav, da je društveno najučinkovitije da postoji samo jedan proizvođač. Takva vrsta tržišne strukture naziva se prirodnim monopolom. Prema tome, monopol sam po sebi nije nužno štetna pojava, nego je ponekad društveno najučinkovitiji oblik organizacije industrije. Uz određene aktivne i razumne mjere kontrole od strane države, o kojima ćemo govoriti malo kasnije, u poglavlju 6., društvo se može zaštititi od monopolske moći i uživati proizvode i usluge monopola na društveno zadovoljavajući način. Snažna averzija prosječnog građanina prema monopolistima proizlazi najviše iz činjenice da je sve donedavno najveći broj država na svijetu, koristeći svoju političku i zakonodavnu moć, održavao administrativne monopole čak i u 2 Zbog preglednosti na grafikonu ne piše koja je koja, no to biste s do sada savladanim gradivom trebali znati odrediti i sami. 111

4 industrijama u kojima je postojanje monopola ekonomski neučinkovito. Takvi monopoli bili su ustanovljeni i održavani silom zakona, a ne silom ekonomske logike, i ne mogu se smatrati prirodnim monopolima 3. Slika B ilustrira situaciju u kojoj je međuodnos tehnologije proizvodnje i tržišne potražnje takav, da je zbroj proizvodnih kapaciteta nekoliko proizvođača takav, da je ukupna količina koju oni mogu ekonomski učinkovito proizvesti u području kroz koje, pri razinama prosječnih troškova tih poduzeća, prolazi tržišna funkcija potražnje. Drugim riječima, horizontalni zbroj funkcija troškova nekoliko proizvođača pada u područje kojim prolazi tržišna funkcija potražnje, kao što je ilustrirano na slici B. Tada govorimo o tržišnoj strukturi koju nazivamo oligopolom (oligo, grčki: nekoliko) 4. U toj tržišnoj strukturi dominira nekoliko proizvođača, od kojih svaki ima tržišni udio koji nije nužno sam za sebe dominantan, ali sigurno nije zanemariv u odnosu na ostale tržišne igrače, pa stoga svaki proizvođač na oligopolnom tržištu ima mogućnost određenog strateškog utjecaja na tržišne cijene i obujme proizvodnje ostalih konkurenata. Iz tog razloga, modeliranje interakcija poduzeća u oligopolu nije posve jednostavno, i traži uključivanje matematičkog aparata poznatog kao teorija igara, pa ćemo ga ostaviti za sljedeće predavanje. Slika C prikazuje slučaj u kojem je međuodnos tehnologije proizvodnje i tržišne potražnje takav, da je zbroj proizvodnih kapaciteta mnogo proizvođača takav, da je ukupna količina koju oni mogu ekonomski učinkovito proizvesti u području kroz koje, pri razinama prosječnih troškova tih poduzeća, prolazi tržišna funkcija potražnje. Drugim riječima, horizontalni zbroj funkcija troškova mnogih proizvođača pada u područje kojim prolazi tržišna funkcija potražnje, kao što je ilustrirano na slici C. Ovakvu tržišnu strukturu karakterizira velika konkurencija na strani ponude. Malo kasnije ćemo obraditi ekstremni model tržišta s velikom konkurencijom, tzv. savršeno konkurentno tržište. Recimo nekoliko riječi i o konkurenciji na strani potražnje. Naime, i potrošači se, u neku ruku, nadmeću za proizvodima koji su im potrebni, naročito kad je riječ o esencijalno važnim i teško zamjenjivim proizvodima. U najvećem broju slučajeva, pojedinačnih potrošača (tj. ekonomskih agenata koji donose vlastite odluke o potrošnji) ima vrlo mnogo. Tada je njihova množina karakterizirana tržišnom funkcijom potražnje, koja je, zbog različitosti njihovih preferencija, padajuća. Ponovimo, ako je riječ o esencijalnim dobrima, potražnja je izrazito 3 Prepoznavši taj problem, države zapadne hemisfere započele su u recentnoj povijesti opsežne procese deregulacije, kojima se nastoji eliminirati sve monopole koji nisu prirodni, a preostale prirodne monopole podvrgnuti učinkovitoj i fer regulaciji, kontroliranoj od strane neovisnih regulatornih agencija. Prva značajna deregulacija odigrala se u SAD-u sedamdesetih godina prošlog stoljeća, kada su industrije kamionskog i zračnog prijevoza liberalizirane za ulazak nove konkurencije. Osamdesete godine obilježene su naročito liberalizacijom financijskog sektora i proizvodnje telekomunikacijske opreme, a kao predvodnici svjetskog procesa deregulacije profilirale su se administracije američkog predsjednika Ronalda Reagana i britanske premijerke Margaret Tatcher. Devedesetih godina liberalizirana je cjelokupna industrija elektroničkih komunikacija, koja je naročito potaknuta do tada rijetko zabilježenom tehnološkom revolucijom, koja je obuhvatila masovnu digitalizaciju komunikacijskih mreža, a zatim i razvoj te masovnu komercijalizaciju mobilnih komunikacijskih sustava i Interneta. Prva dekada 21. stoljeća donijela je deregulaciju elektroenergetskog i plinskog sektora. 4 U posebnom slučaju, kada na tržištu egzistiraju samo dva proizvođača, govorimo o duopolu. 112

5 neelastična, a ako se radi o lako zamjenjivim i ne naročito važnim dobrima, potražnja je izrazito elastična. Ponekad je za kupovinu nekog dobra zainteresirano samo nekoliko velikih kupaca, pa čak možda i samo jedan. Na primjer, u svakoj normalnoj državi na svijetu, borbene avione, tenkove, i ostalu tešku vojnu opremu kupuje samo jedan kupac država sama. Drugi primjer je nuklearno gorivo za proizvodnju električne energije u većini država na svijetu koje imaju nuklearne elektrane, postoji samo jedno poduzeće koje kupuje takav proizvod, a u velikim državama može biti tek nekoliko takvih poduzeća. Često puta, na razini nacionalnih tržišta ni broj proizvođača takve robe nije velik, ili čak ne postoji niti jedan. Situacije u kojima je broj ponuditelja i kupaca mali teške su za modeliranje i analizu, zbog toga što svi ponuditelji i svi kupci imaju mogućnost strateškog utjecaja na takvom tržištu. No ipak, načelno govoreći, bez obzira na naše subjektivne poteškoće u modeliranju, ravnoteža na njemu postoji i može biti jednoznačna (u smislu da tržišni odnosi određuju koliko tko proizvodi, koliko tko kupuje, i koje se pritom naplaćuju cijene). Posebno su interesantne dvije situacije: kad na tržištu postoji piše ponuditelja, a samo jedan kupac, govorimo o monopsonu. Evidentno je da će u takvoj strukturi kupac imati mogućnost strateškog utjecaja na cijene i količine koje nude proizvođači. Međutim, tržišna struktura u kojoj postoji samo jedan proizvođač i samo jedan potrošač, koju nazivamo bilateralnim monopolom, sigurno nema jednoznačnu točku ravnoteže, a tržišna igra razrješava se bilateralnim dogovorom proizvođača i kupca. Taj je dogovor pod utjecajem ostalih okolnosti u kojima oba aktera posluju. Na primjer, ako se radi o esencijalno važnoj robi (a uvijek se u takvim slučajevima radi), proizvođač ima neku svoju rezervacijsku cijenu, ispod koje neće htjeti prodavati proizvod, barem ne dugotrajno, jer neće moći nadoknaditi troškove (pošto mu kupac ujedno čini i čitavo tržište). S druge strane, kupac ima neku svoju rezervacijsku cijenu, koja je određena sredstvima raspoloživim za trošenje na taj konkretan proizvod (drugog ograničenja u biti nema, jer nema raspoložive konkurencije ni supstitucije). Gdje će se takvi poslovni partneri naći u smislu cijene i količine, ovisi samo o njihovom međusobnom dogovoru. Interesi kojima se rukovode kupac i proizvođač mogu biti raznoliki. Pretpostavimo li da uprave tih poduzeća nemaju kriminalne nakane, svejedno je činjenica da se kupcu dugoročno ne isplati kupovati prejeftino, zato jer će time potkopati financijsko stanje jedinog proizvođača, koji zato može propasti ili zanemariti razvoj proizvoda i tehnološki napredak. S druge strane, proizvođaču dugoročno nije u interesu prodavati svoju robu preskupo, jer će time financijski iscrpiti i upropastiti svog jedinog kupca. Stoga će se racionalni i pošteni menadžeri naći negdje na sredini, što god to značilo. Međutim, bilateralni monopol je tržišna struktura koja najviše od svih omogućuje pojavu korupcije. Za vježbu, temeljem do sada rečenog, objasnite zašto! Također, navedite par primjera bilateralnih monopola. Kako bi ste Vi, da ste u prilici, namjestili bilateralni monopol u nekoj, recimo, javnoj nabavi? 113

6 3. Model savršeno konkurentnog tržišta u kratkom roku Sada ćemo ukratko opisati zamišljeni model savršeno konkurentnog tržišta u kratkom roku. Ništa na svijetu nije savršeno, pa ni konkurencija ni na kakvom tržištu to ne može biti. No, kako bismo spoznali temeljne osobine tržišta na kojem vlada vrlo velika konkurencija proizvođača, u pretpostavke modela uvest ćemo određena, doduše vrlo velika, pojednostavnjenja: na ponudbenoj strani tržišta djeluje beskonačan broj proizvođača, od kojih svaki pojedinačno ima beskonačno mali tržišni udio, tako da nema mogućnost strateškog utjecaja na količine i cijene na tržištu, pa mora prihvatiti tržišnu cijenu kao varijablu zadanu vanjskim faktorima, uslijed čega je za svakog proizvođača rezidualna potražnja savršeno elastična; svi potrošači i proizvođači su savršeno informirani, ali ne surađuju; svi potrošači i proizvođači su racionalni; ne postoje transakcijski troškovi. Sjetimo se od ranije sljedećih činjenica: Kod savršeno elastične potražnje, krivulja potražnje je horizontalni pravac. Ako je funkcija potražnje pravac, funkcija graničnog prihoda također je pravac s istim hvatištem na ordinati i dvostruko strmijim padom. To znači da je uz savršeno elastičnu potražnju graf funkcije graničnog prihoda identičan horizontalno položenom pravcu funkcije potražnje. Uvjet prvog reda za maksimalizaciju profita zahtijeva jednakost graničnog troška i graničnog prihoda. Uvjet drugog reda za maksimalizaciju profita zahtijeva da u točki ravnoteže krivulja graničnog troška ima pozitivniji nagib od krivulje graničnog prihoda. Krivulja graničnog troška ima udubljen oblik, te siječe redom odozdo udubljene krivulje prosječnog varijabilnog, te prosječnog, troška, i to u njihovim minimumima. Sljedeća slika prikazuje ravnotežu čitave industrije, kao i pojedinačnog proizvođača, te njihov međuodnos: 114

7 Kad sagledavamo čitavu industriju (lijeva slika), njena ravnoteža je u točki u kojoj se sijeku tržišne krivulje ponude i potražnje. Ranije smo na ovom predmetu već naučili da je tržišna funkcija potražnje padajuća, dok je tržišna funkcija ponude rastuća, i da je to posljedica nehomogenih preferencija potrošača, odnosno proizvođača, koji sudjeluju na tržištu. Zbog pretpostavke našeg modela, da tržište snabdijeva beskonačan broj proizvođača, od kojih svaki proizvodi zanemarivo (infinitezimalno) malu količinu u odnosu na ukupan volumen tržišta, kao i zbog pretpostavke da pojedinačni proizvođači ne surađuju, niti jedan od njih ni na koji način ne može utjecati na točku ravnoteže industrije, tako da svi moraju prihvatiti zdravo za gotovo tržišnu cijenu P0 zadanu 5. Stoga je rezidualna funkcija potražnje za proizvodnom svakog pojedinačnog proizvođača horizontalan pravac s jednadžbom P(Q) = P0, odnosno, rezidualna potražnja je beskonačno elastična. S obzirom na pretpostavku da na tržištu djeluje beskrajno velik broj proizvođača, jasno je da će količina proizvoda koja se trži u cjelokupnoj industriji kada je ona u ravnoteži (Q0,ind.) daleko veća od količine Q0, koju proizvodi bilo koji pojedinačni proizvođač. Prema tome, kratkoročnu ravnotežu cjelokupne industrije i pojedinačnog poduzeća u uvjetima savršene konkurencije karakterizira ista jedinična cijena, P0, te sljedeći odnos: Q0,ind. >> Q0. Svaki će pojedini proizvođač u opisanim uvjetima odabrati onaj obujam proizvodnje, pri kojem su za njega zadovoljeni uvjeti maksimalizacije profita prvog i drugog reda. Primijetite da se krivulje graničnog prihoda i graničnog troška poduzeća na desnoj slici sijeku u dvije točke. Poduzeće odabire upravo točku (P0,Q0) na uzlaznom dijelu krivulje graničnih troškova, jer su jedino u njoj zadovoljena oba uvjeta. Dakle, u uvjetima savršene konkurencije poduzeće je prisiljeno raditi u uvjetima rastućih graničnih troškova, tj. pri granici proizvodnog kapaciteta. Drugim riječima, konkurentno tržište ne trpi neiskorištene proizvodne kapacitete. Zbog savršeno elastične rezidualne potražnje, količina proizvoda koju bilo koje pojedinačno poduzeće isporučuje na ovakvo tržište ovisi o njegovim (i samo njegovim) funkcijama troškova. Ostali ne mogu strateški utjecati na njegovu količinu, kao ni on na njihovu. Kako su u našim krajnje simplificiranim modelima tržišta funkcije troškova neovisne o funkciji potražnje i graničnog prihoda, te dvije grupe krivulja mogu stajati u bilo kakvom međusobnom odnosu. Jedan od mogućih odnosa nacrtan je na gornjoj slici. Na njoj se minimum funkcije prosječnih troškova ( točka pokrića ) nalazi ispod pravca potražnje, odnosno graničnih prihoda. Stoga poduzeće koje posluje u točki ravnoteže ostvaruje profit π0, označen sivo osjenčanim pravokutnikom: π0 = Q0 (P0 CA(Q0)). To je najveći mogući iznos profita promatranog poduzeća u danim kratkoročnim okolnostima. Kad bi se tržišna cijena smanjivala (na što poduzeće na savršeno 5 Poduzeća koja zbog svoje nemogućnosti strateškog utjecaja moraju prihvatiti tržišnu cijenu zdravo za gotovo nazivaju se u anglosaksonskoj literaturi price takers, ili prihvatitelji cijene. 115

8 konkurentnom tržištu nema nikakav utjecaj), maksimalan mogući iznos profita, π0, također bi se smanjivao, a u točki pokrića konačno bi postao jednak nuli 6. S druge strane, kad bi tržišna cijena P0 rasla, maksimalan mogući profit poduzeća očito bi također rastao, ceteris paribus. Stoga zaključujemo da je funkcija ponude poduzeća izloženog savršeno konkurentnom tržištu jednaka njegovoj funkciji graničnog troška, od točke prestanka proizvodnje prema višim iznosima obujma proizvodnje. Koliki će ono ostvarivati obujam proizvodnje, ovisi o tržišnoj cijeni, i (samo) o njegovoj strukturi troškova. Troškovno učinkovitija poduzeća prodavat će više i ostvarivat će veći profit. 4. Savršena konkurencija u dugom roku Sada se moramo zapitati, što se događa na savršeno konkurentnom tržištu u dugom roku. Da bismo to analizirali, uvest ćemo sljedeće pretpostavke: na ponudbenoj strani tržišta djeluje beskonačan broj proizvođača, od kojih svaki pojedinačno ima beskonačno mali tržišni udio, tako da nema mogućnost strateškog utjecaja na količine i cijene na tržištu, pa mora prihvatiti tržišnu cijenu kao varijablu zadanu vanjskim faktorima, uslijed čega je za svakog proizvođača rezidualna potražnja savršeno elastična; svi proizvođači imaju identične funkcije troškova (što u stvari znači da promatramo osobine dugoročne ravnoteže prosječnog proizvođača); svi potrošači i proizvođači su savršeno informirani, ali ne surađuju; svi potrošači i proizvođači su racionalni; ne postoje troškovi ulaska na tržište, kao ni troškovi izlaska s njega. Važna dopunska karakteristika ovog modela u odnosu na prethodni je nepostojanje troškova prilikom početka i prestanka rada proizvođača 7. Ta osobina modela vodi ka jednom od najvažnijih zaključaka mikroekonomske teorije, naime da na savršeno konkurentnom tržištu u dugom roku nema profita. Štoviše, kad je profit maksimaliziran, onda je jednak nuli! Sljedeća slika pruža argumentaciju za takav zaključak. Zamislimo najprije da je dugoročna ravnoteža za sva poduzeća definirana u točki pokrića, tj. u točki minimuma funkcije prosječnog troška 8. Drugim riječima, sva su se poduzeća tehnološki prilagodila tržišnim uvjetima, minimizirajući troškove upravo na razini tržišne cijene. Kako je u toj točki tržišna cijena jednaka prosječnom trošku, poduzeće ostvaruje profit točno jednak nuli. 6 Ispod točke pokrića poduzeće bi još moglo servisirati svoje varijabilne troškove, što bi mu omogućilo preživljavanje neko kraće vrijeme, do konačne propasti, ili pak do poslovnog restrukturiranja i ponovne uspostave profitabilnog poslovanja. 7 U stvarnosti uistinu postoje djelatnosti u kojima nije skupo pokrenuti posao, kao ni izaći iz njega. Za vježbu, pokušajte nabrojati nekoliko primjera. 8 Sjetite se od ranije da su u dugom roku svi troškovi varijabilni. Zbog toga funkcija prosječnog troška na ovoj slici izgleda kao funkcija prosječnog varijabilnog troška na prethodnoj. 116

9 Sada zamislimo da se zbog promjene preferencija potrošača poveća potražnja. To se na lijevoj slici vidi kao pomak krivulje potražnje nadesno. Zbog toga će se tržišna cijena povećati s P0 na P0 #, pa će se i rezidualna funkcija potražnje promatranog poduzeća podići s razine P0 na P0 # (desna slika). Ravnoteža poduzeća će se pomaknuti po krivulji graničnog troška (jer poduzeće nastoji maksimalizirati profit) prema desno i gore. U tom području nova tržišna cijena bit će veća od prosječnog troška. Stoga će ovo poduzeće (i sva ostala, jer smo na početku pretpostavili da su sva ista) početi ostvarivati profit. Pojava profita potaknut će ulazak novih proizvođača na tržište. No, pojava novih proizvođača dovest će do povećanja ponude, tj. do pomaka krivulje ponude nadesno, pa će se ravnotežna cijena vratiti natrag na razinu P0, a i rezidualna funkcija potražnje vratit će se također na tu razinu. Stoga će se poduzeće vratiti točno u raniju točku ravnoteže, u kojoj mu je profit jednak nuli. Zbog pretpostavljene savršene informiranosti svih aktera, i beskrajne lakoće ulaza novih proizvođača, sve će se odigrati vrlo brzo. Primijetite što je zapravo rezultat povećanja potražnje: Sva poduzeća ostala su i dalje u istoj točki ravnoteže u kojoj su bila i ranije, što znači da im se nisu promijenili ni prihodi (tržišna cijena), niti troškovi. Ravnoteža čitave industrije pomaknula se prema većem ukupnom obujmu proizvodnje (Q0,ind.* > Q0,ind.), ali je tržišna cijena, P0, ostala nepromijenjena. Za vježbu, nacrtajte grafikone, po uzoru na ove upravo objašnjene, kojima ćete pokazati da će i poremećaj tržišne cijene prema dolje, ka razini nižoj od P0, također biti vrlo brzo eliminiran, i poduzeće će se vratiti u točku dugoročne ravnoteže. Evo zašto: Ako se, primjerice, zbog promjene preferencija potrošača potražnja smanji, pa krivulja potražnje ode nalijevo, tržišna cijena će zbog toga pasti. Zbog toga će i razina horizontalnog pravca potražnje pasti za isti iznos. Poduzeće će sada raditi uz prodajnu cijenu nižu od prosječnog troška proizvodnje, pa će ostvarivati ekonomski gubitak. Kako je po pretpostavci modela izlaz iz tržišta vrlo jednostavan (tj. besplatan), poduzeća će početi izlaziti, kako ne bi gomilala gubitke. To će dovesti do smanjenja ponude, pa će se i krivulja ponude pomaknuti nalijevo, a ravnoteža će se vratiti, što se tiče tržišne cijene, na raniju razinu, P0. No, ukupan obujam proizvodnje čitave industrije će se smanjiti. Dakle, model savršene konkurencije u teoriji, a tržišta s vrlo velikom, premda nesavršenom, konkurencijom u praksi, djeluju stabilizirajuće na cijene. 117

10 Izostanak privatnog profita vlasnika poduzeća glavno je obilježje savršene konkurencije. Pored toga, potrošači su uz savršenu, ili barem vrlo veliku, konkurenciju zaštićeni od promjene cijena. Stoga mnogi ekonomisti smatraju slobodno tržište sa savršenom konkurencijom najboljim mehanizmom društvene alokacije resursa. Za proizvodnju dobara se troši točno koliko treba, i nikakav višak ne odlazi vlasnicima kompanija 9. Iz istog razloga, iznos graničnog troška doktrinarno se smatra idealom fer i društveno učinkovite tržišne cijene, a iz te ideje proistekao je pokret marginalista, u okviru teorije i prakse državne regulacije tržišta (o time malo kasnije). Činjenica je, međutim, da cijene na razini graničnih troškova kod poduzeća koja su izložena konačno elastičnoj potražnji ne omogućavaju nadoknadu svih njihovih troškova, pa time ni profitabilno poslovanje. To ćemo vidjeti već na primjeru našeg sljedećeg ekstremnog tržišnog modela, monopola. Nije teško pronaći stvarne primjere tržišta s vrlo velikom konkurencijom na ponudbenoj strani. Da biste se uvjerili u to, pokušajte procijeniti, primjerice, koliko u gradu veličine Zagreba ima pekara. Dalje, usluge zračnog prijevoza izložene su žestokoj konkurenciji između operatorskih kompanija. Mnoge vrste hrane i prehrambenih kultura, poput žitarica, banana, kave, kakaovca, itd. izloženi su također bespoštednoj konkurenciji. Što mislite, kako globalizacija, u aspektu ukidanja carinskih barijera međunarodnoj razmjeni, utječe na stupanj konkurencije nekih roba? Zabilježite poneki primjer. 5. Model monopola u kratkom roku Monopolist, prepušten sam sebi, donosi odluke o obujmu proizvodnje i prodajnoj cijeni rukovodeći se vlastitim interesom maksimalizacije profita. Pogledajmo na slici kako to izgleda, uz odnos tehnologije proizvodnje i tržišne potražnje koji je karakterističan za prirodni monopol: 9 Razumije se da su i plaće za rad svih radnika i direktora već sadržane u troškovima proizvodnje. 118

11 Ova je konstrukcija vrlo jednostavna. Ravnoteža monopola određena je sjecištem krivulja graničnog troška i graničnog prihoda, u kojoj obujam proizvodnje iznosi Q0. Cijena P0, koju monopolist naplaćuje, određuje se tako da se na tržišnoj funkciji potražnje pronađe vrijednost koja odgovara količini Q0. Naime, monopolist je po definiciji samo jedan, pa je njegova rezidualna funkcija potražnje ujedno jednaka tržišnoj funkciji potražnje. U modelu savršene konkurencije, cijena koju su potrošači plaćali bila je točno jednaka graničnom trošku proizvodnje zadnje jedinice proizvoda. Kod monopola situacija je bitno različita: jedinična cijena znatno je viša, dok je obujam proizvodnje znatno manji, od onog koji bi se ostvarivao kad bi se proizvodila količina proizvoda koju bi potrošači željeli kupovati po cijeni jednakoj graničnom trošku. Monopolist radi ispod granice proizvodnog kapaciteta, a uskrata proizvedene količine, zbog konačno elastične potražnje, vodi k tome da je jedinična cijena proizvoda relativno visoka. Drugim riječima, monopol prepušten sam sebi dovest će do ishoda tržišne igre, u kojem će proizvod biti isporučivan u znatno manjoj količini od one za koju monopolist ima dostatan proizvodni kapacitet, te po cijeni koja je znatno iznad graničnog troška. Devijacija monopolske cijene u odnosu na granični trošak kojeg monopolist ostvaruje pri istom obujmu proizvodnje mjeri se jednim standardnim pokazateljem, koji se naziva Lernerovim indeksom (Abba Lerner, britanski ekonomist ruskog porijekla, ): ( ) ( ) ( ) Taj indeks opisuje monopolsku moć. Naime, ako je granični trošak zanemarivo mali u odnosu na monopolsku cijenu, L će biti jednak 1. Tada smatramo da je monopolska moć vrlo velika, jer je monopolist u stanju zaračunati cijenu daleko veću od graničnog troška proizvodnje. S druge strane, ako je cijena pri kojoj monopolist maksimalizira svoj profit sasvim bliska iznosu graničnog troška, indeks L bit će blizak nuli. To ukazuje na malu monopolsku moć, jer monopolist očito nije bio u stanju podići cijenu znatno iznad graničnog troška proizvodnje. No, o čemu ovisi monopolska moć? Odgovor na to pitanje daje konstrukcija Lernerovog indeksa. Naime, njegova definicijska formula nije nastala slučajno, pa niti samo zato što se Lerner domislio da bi baš takva numerička mjera mogla biti korištena za mjerenje monopolske moći. Evo o čemu se radi: Sjetimo se od ranije da je funkcija graničnog prihoda jednaka derivaciji funkcije potražnje po Q, pa vrijedi: ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] 119

12 Uvjet prvog reda za maksimalizaciju profita glasi: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) Riješimo sada ovu jednadžbu po 1/ED(Q0): ( ) ( ) ( ) ( ) Prema tome, Lernerov indeks jednak je negativnoj recipročnoj vrijednosti elastičnosti potražnje u točki ravnoteže monopola. Drugačije rečeno, apsolutna vrijednost elastičnosti potražnje u točki monopolske ravnoteže jednaka je recipročnoj vrijednosti Lernerovog indeksa. Lernerov indeks i apsolutnu vrijednost elastičnosti najzgodnije je promatrati na zajedničkom grafičkom prikazu, kao funkcije omjera graničnog troška i cijene u točki ravnoteže monopola, CM0/P0: Obratite pažnju da su mjerila za ove dvije krivulje različita. Zona velike monopolske moći nalazi se na lijevoj strani ovog grafikona, pri malim apsolutnim vrijednostima elastičnosti potražnje, odnosno pri velikim vrijednostima Lernerovog indeksa. Na prvi pogled se čini da Lernerov indeks ima jednu urođenu manu: ne omogućuje ocjenu monopolske moći ako je apsolutna vrijednost elastičnosti manja od 1, tj. ako je potražnja neelastična, jer omjer CM0/P0 ne može nikad biti negativan. Kako granični prihod može biti negativan, a granični trošak ne može, zaključujemo da monopolist ne može maksimalizirati profit ako je potražnja neelastična. To je vrlo važan zaključak, čije ćemo posljedice proučiti na sljedećoj slici: 120

13 Na njoj je nacrtana jedna linearna tržišna krivulja potražnje i njoj odgovarajuća krivulja graničnog prihoda. Sjetite se s ranijih predavanja da je pravcem modelirana potražnja elastična u njegovoj gornjoj/lijevoj polovici, a neelastična u donjoj/desnoj. Stoga, ako je tržišna potražnja približno linearno padajuća, monopolist može postići ravnotežu samo uz male količine i visoke cijene. Primijetite i da ista logika vrijedi i za bilo koje poduzeće koje nije monopolist, s tim da se onda računa s njegovom rezidualnom potražnjom i njoj odgovarajućom funkcijom graničnog prihoda. Sada ćemo hvatište funkcija potražnje i graničnog prihoda na ordinatnoj osi nacrtati daleko više nego što je bilo na prethodnoj slici: Dobili smo vrlo strme padajuće pravce, od kojih na slici vidimo samo donji (neelastični) dio, a ostatak je negdje daleko izvan okvira ove stranice. Takvim prikazom modeliramo izrazito neelastičnu potražnju. Krivulja potražnje tako je strma, da potrošači traže količinu označenu s QD, a njihova reakcija na porast cijene je vrlo slaba ili skoro nikakva. Međutim, monopolist će, prepušten sam sebi, nastojati maksimalizirati vlastiti profit, uslijed čega je sasvim sigurno da na tržište neće plasirati više od QD/2. Dakle, na tržištu će vladati manjak ponuđene količine proizvoda ili usluge monopolista od barem 50%. 121

14 Cijena koju će ovakav monopolist naplaćivati također će biti vrlo visoka. Naime, čak i da je granični trošak jednak nuli, pa se sjecište funkcija graničnog troška i graničnog prihoda nalazi u točki (QD/2,0) na našoj slici, iznos funkcije potražnje u toj točki, P(QD/2), bit će vrlo visok zbog izrazite strmosti te funkcije. Pretpostavimo da država, želeći staviti monopolsku moć pod kontrolu, zakonom naredi monopolistu da potrošačima zaračunava neku razumnu cijenu za svoj proizvod, bitno nižu od monopolske, te da na tržište stavi količinu koja će zadovoljiti potražnju pri toj cijeni. U takvim uvjetima, svako povišenje cijena koje monopolist uspije ishoditi, ceteris paribus, vodi ka povećanju profita jer, bez obzira na intervenciju države, stvarna točka optimuma profita monopolista i dalje se nalazi lijevo i gore, u području znatno manjih količina i viših cijena. 6. Regulirani monopol u dugom roku i društveni trošak monopola Monopol nije nužno štetan. U suvremenim državama, bivši zakonski monopoli su uglavnom liberalizirani, s ciljem da na tržištu preostanu samo prirodni monopoli. Oni snabdijevaju društvo vrlo korisnim proizvodima i uslugama. Često se radi o temeljnoj društvenoj infrastrukturi, poput javnih cesta, električnih, plinskih, naftovodnih, vodovodnih, komunikacijskih i drugih mreža, i tako dalje. Stoga je velika zabluda, s kojom su možda mnogi od Vas došli na fakultet, da je monopol štetan i da ga treba suzbijati. Naprotiv, država mora štititi javni interes, s jedne strane, kontrolom monopola, a s druge, omogućavanjem njegovog stabilnog rada i razvoja. Mnoge industrije u kojima postoje prirodni monopoli u dugom roku ostvaruju stalan rast. Na primjer, potrošnja električne energije ili plina u dugom roku raste. Isto tako, količina komunikacijskih sadržaja koji se prenose telekomunikacijskim mrežama neprestano raste. Stoga je vrlo čest slučaj da monopolist praktički stalno investira u proširenje svojih proizvodnih kapaciteta, pa se, sa stanovišta teorijskog modeliranja, nalazi stalno u dugom roku. Takvom poduzeću svi proizvodni faktori su varijabilni, pa su mu također i svi troškovi varijabilni. Na sljedećoj slici skicirana je dugoročna ravnoteža monopolista. Zbog bolje preglednosti, sve funkcije su modelirane kao linearne. Glavna karakteristika dugoročnog modela je izostanak fiksnih troškova. Stoga prosječni trošak kreće iz iste točke na ordinatnoj osi kao i granični trošak, što je u kratkoročnim modelima karakteristika prosječnog varijabilnog troška. Ovakav međusobni oblik krivulja prosječnog i graničnog troška implicira da poduzeće radi uz mali stupanj iskorištenja proizvodnog kapaciteta, uslijed čega je prosječni trošak pri svakoj razini proizvodnje, Q, u promatranom opsegu vrijednosti još uvijek veći od graničnog troška. Ravnoteža i sve u vezi s njom na ovom se dijagramu određuje klasično. Sve počinje traženjem sjecišta funkcija graničnog prihoda i graničnog troška. 122

15 To sjecište ima apscisu Q0. Zatim na krivulji potražnje nalazimo odgovarajuću vrijednost P0 = P(Q0). To je cijena koju bi monopolist zaračunavao kad bi bio prepušten sam sebi, pri čemu bi ostvarivao profit jednak π0 = Q0 (P0 CA(Q0)). Pogledajmo sada sjecište krivulja potražnje i graničnog troška, koje ima koordinate (QM,PM). Sa stanovišta društvene alokacije resursa, optimalno bi bilo kada bi proizvod koštao onoliko koliki je granični troška proizvodnje njegove zadnje jedinice, a to je upravo PM. No, kako je kod modeliranog monopola prosječni trošak viši od graničnog, pa stoga i od cijene PM, monopolist će ostvarivati gubitak jednak: πm = QM (PM CA(QM)), pa će propasti i izaći iz posla. Država ne može dopustiti propast monopolista koji obavlja djelatnost od javnog interesa. Stoga mu mora osigurati dovoljan priljev novca za namirivanje svih troškova u dugom roku. Stoga će država, kroz sustav državne regulacije, tj. posredstvom regulatornih agencija, odrediti cijenu proizvoda monopolista na razini Preg, čemu će s obzirom na potražnju odgovarati količina Qreg. Pritom će profit u dugom roku, πreg, biti jednak nuli. Treba objasniti što to točno znači. Osim samog operativnog vođenja poslova (na svakodnevnoj bazi), koje iziskuje novac za plaćanje operativnih troškova proizvodnje u poduzeću koje je već izgrađeno do neke razine proizvodnog kapaciteta, opisani infrastrukturni monopolist će stalno morati investirati u proširenje proizvodnih kapaciteta, što pak neprestano generira troškove kapitala. Naime, da bi investiralo, poduzeće mora dobaviti kapital, bilo zaduživanjem u bankama, bilo emisijom vrijednosnih papira, kao što su obveznice i dionice 10. Svi oblici kapitala traže prinos, inače nitko ne bi ulagao svoj kapital u nešto što ne donosi nikakav prinos. Taj prinos, 10 Korporativne obveznice je najlakše, u prvoj aproksimaciji, smatrati nekom vrstom privatnog kredita. Naime, kupci obveznica daju poduzeću novac, kojega, uvećanog za stopu prinosa ( kamatu ), primaju natrag od poduzeća po njihovom dospijeću. Dionice pak ne jamče nikakvu stopu povrata, ali ih kupci ne bi kupovali, kad ne bi dobivali prinos koliki očekuju s obzirom na stupanj rizičnosti vrijednosti dionica. Stoga, želi li poduzeće da itko kupi njegove dionice prilikom njihove prve emisije, i tako ga dokapitalizira gotovim novcem, ono ipak mora osigurati očekivanu stopu prinosa i za vlasnike dionica. 123

16 isplaćen bankama, vlasnicima obveznica, ili pak vlasnicima dionica, predstavlja trošak koji je vezan za dugoročno investiranje. Isplata prinosa znači ostvarivanje dobiti onoga tko je donio kapital u poduzeće. Tako banke i vlasnici obveznica ostvaruju dobit iz kamate, ali i (su)vlasnici poduzeća (dioničari) ostvaruju dobit iz dividendi na dionice. Stoga, kad kažemo da je profit dobro reguliranog monopolista u dugom roku jednak nuli, podrazumijevamo i da su vlasnici kapitala dobili svoj profit. Dakle, tu nemamo situaciju potpunog izostanka privatnog profita, kao u modelu savršene konkurencije, već osiguravanje razumne stope povrata na uloženi kapital za vlasnike kapitala uključujemo u kategoriju podmirivanja normalnih dugoročnih troškova poduzeća. Država mora osigurati dostatnu cijenu, Preg, kako bi ukupan prihod, Qreg Preg, mogao pokriti sve troškove poduzeća u jednom obračunskom razdoblju, pa i maločas opisane troškove vezane za dobavu kapitala za investicije. O državnoj regulaciji poslovanja govorit ćemo detaljnije nešto kasnije u ovom predmetu, pa ćemo se na ovom mjestu zaustaviti na temeljnim pojmovima koje smo upravo opisali. Na kraju ovog izlaganja reći ćemo nekoliko riječi o načinu mjerenja alokacijske neučinkovitosti, kojeg ćemo primijeniti u kontekstu maločas razmotrenog modela monopola u dugom roku. Sjetimo se od ranije koncepata potrošačevog i proizvođačevog probitka, ili viška, kako se to ponekad kaže. Prisjetimo se i da je slobodno i potpuno konkurentno tržište optimalan mehanizam alokacije resursa, odstupanja u nekoj promatranoj tržišnoj strukturi od sume probitaka potrošača i proizvođača nazvat ćemo gubitkom mrtvog tereta (engl. deadweight loss). Na sljedećoj slici pogledat ćemo kako to izgleda na našem primjeru monopola. Da se radi o savršeno konkurentnom tržištu, njegova bi ravnoteža bila u točki C, u kojoj su tržišna cijena i granični trošak jednaki, a probitak potrošača bio bi predstavljen površinom trokuta ABC. Probitak proizvođača na savršeno 124

17 konkurentno tržištu sastoji se od svega što proizvođači uspiju naplatiti iznad razine svojih graničnih troškova. Na našoj slici, kada bi tržište bilo u ravnoteži u točki C, to bi odgovarao površini trokuta FBC. No, zamijetite da bi probitak proizvođača bio negativan zbog padajućeg tijeka funkcije graničnog troška (tj. zbog malog iskorištenja proizvodnog kapaciteta). Stoga je njegova vrijednost jednaka FBC. Naravno, ravnoteža monopola nije u točki C, nego je zapravo u točki D. Pogledajmo koliko je probitka potrošača i proizvođača zbog toga izgubljeno. Najprije, lako ćemo konstatirati da je potrošačima preostao samo probitak koji odgovara površini trokuta AKD. S druge strane, probitak proizvođača iznad razine graničnog troška sada je predstavljen površinom četverokuta KFHD. Rezimirajmo: mrtav teret u opisanom modelu monopola iznosi: To odgovara osjenčanoj površini na gornjoj slici. Posve istom logikom možemo zaključiti da će gubitak mrtvog tereta u slučaju državne regulacije odgovarati površini trokuta IJC. Naravno, što se obujam proizvodnje više primiče ka količini QM, koju bi poduzeće isporučivalo na savršeno konkurentnom tržištu, to je mrtav teret manji. Konačno, mrtav teret u točki ravnoteže savršeno konkurentnog tržišta bio bi jednak nuli. Ako gubitak mrtvog tereta označimo simbolom LDW, možemo skraćeno zapisati: LDW,nereg.monopol < LDW,reg.monopol < LDW,savrš.konkur., s tim da je, naravno, LDW,savrš.konkur. = 0. Općenito, ako je Q* bilo koja količina neke robe ili usluge koja se na tržištu prodaje po cijeni P* = P(Q*), te ako je količina QM ona kod koje su tržišna cijena i granični trošak proizvodnje zadnje jedinice te robe ili usluge jednaki, PM = P(QM) = CM(QM), tada gubitak mrtvog tereta iznosi: ( ) ( ( ) ( )) Zaključno, regulacijom monopola država može reducirati gubitak mrtvog tereta na društveno prihvatljivu mjeru, ali ga nikako ne može, i ne treba, posve eliminirati. 125

18 7. Pitanja i zadaci za provjeru znanja Sve što je potrebno da biste odgovorili na postavljena pitanja nalazi se u tekstu. Glede zadataka, naznačena je metoda rješavanja, bez grafičkog prikazivanja problema. Grafikoni u ovom materijalu dovoljni su Vam da si predočite zadane podatke. Preporučamo Vam da prilikom rješavanja sami konstruirate grafičke prikaze. Zadaci slični ovima mogli bi biti zadani na kontrolnim zadaćama i ispitima. Također, provjere znanja mogu sadržavati i složenije zadatke, za čije rješavanje će biti potrebno, među ostalim, i znanje gradiva iz ovog materijala. Za sve što Vam nije jasno i ne možete se domisliti sami ili pomoću literature, pitajte nastavnika nakon predavanja, ili pošaljite s pitanjem i/ili zahtjevom za konzultacijama na adresu: dubravko.sabolic@gmail.com. Pitanja: 1. Objasnite pojam prirodnog monopola. Zašto on nastaje? Koja je razlika između administrativnog i prirodnog monopola? 2. Kakva je rezidualna funkcija potražnje poduzeća na savršeno konkurentnom tržištu? Zašto? 3. Objasnite pretpostavke modela savršeno konkurentnog tržišta u kratkom roku. Koja je razlika u odnosu na pretpostavke dugoročnog modela? 4. Objasnite uvjete maksimalizacije profita na savršeno konkurentnom tržištu u kratkom roku. O čemu ovisi obujam proizvodnje pojedinačnog poduzeća. 5. Objasnite koliki je, i zašto, dugoročan profit na savršeno konkurentnom tržištu. 6. Objasnite ravnotežu monopola uz izrazito neelastičnu potražnju. Navedite nekoliko primjera industrija u kojima postoje prirodni monopoli i neelastična potražnja. 7. Jedna od pretpostavki dugoročnog modela savršene konkurencije je da ulaz i izlaz s tržišta ne košta ništa. Drugim riječima, poduzeća vrlo lako ulaze i izlaze s konkurentnih tržišta. Što mislite, kakva je situacija glede toga na tržištima s prirodnim monopolom? Objasnite to na primjeru sustava autocesta, odnosno na primjeru mreža za prijenos električne energije. Zadaci 1. U zamišljenom modelu tržišta s prirodnim monopolom, tržišna funkcija potražnje modelirana je pravcem P(Q) = a bq. Granični trošak je u nama zanimljivom rasponu vrijednosti približno konstantan, i iznosi CM. Promatra se monopol u dugom roku. Koliko iznose: probitak potrošača, SC, probitak proizvođača, SP, trošak mrtvog tereta, LDW, te profit proizvođača, 0? Skica postupka rješavanja: Prvo, pronađite funkciju graničnog prihoda. To je jednostavno, ako je funkcija potražnje linearna. Monopol se nalazi u ravnoteži tamo gdje je granični trošak jednak graničnom prihodu. Nađite obujam proizvodnje, Q0, kod kojeg se to ostvaruje. Zatim pomoću jednadžbe krivulje potražnje izračunajte P0 kao P(Q0). Kako je monopol u dugom roku, fiksnog troška nema. Cjelokupan trošak je varijabilan. Iskoristite to da iz zadanog pronađete koliki je ukupni trošak, a potom i koliki je prosječni trošak. Kad od ravnotežne cijene odbijete prosječni trošak, i to pomnožite s ravnotežnom količinom, dobit ćete profit. Za izračunavanje mrtvog tereta recept imate na prethodnoj stranici, a za izračunavanje probitaka potrošača i proizvođača ponovite gradivo Inženjerske ekonomike od ranije! 126

19 2. Na tržištu s monopolom, promatranom u dugom roku, tržišna funkcija potražnje modelirana je kao P(Q) = 9 2Q. Funkcija graničnog troška ima jednadžbu: CM(Q) = 0,5Q 2 2Q + 3. Koliki je profit nereguliranog monopolista, a koliki bi on bio kad bi ga država podvrgla regulaciji? Koliki je gubitak mrtvog tereta u slučaju nereguliranog, odnosno reguliranog, monopola? Skica postupka rješavanja: Najprije morate izvesti izraz za granični prihod, što je lako. Zatim morate izvesti izraz za prosječni trošak. Napravite to tako da zadanu formulu graničnog troška integrirate, kako biste dobili izraz za ukupni trošak. Kad taj izraz podijelite s Q, dobit ćete prosječni trošak. Za izračunavanje konstante integracije pomoći će Vam činjenica da u dugom roku nema fiksnog troška, što znači da je prosječni trošak za Q = 0 jednak graničnom. Monopol je u ravnoteži kad je granični trošak jednak graničnom prihodu. Iz toga izračunajte Q0, a zatim, pomoću jednadžbe funkcije potražnje, i P0. Sada, koristeći još i dobiveni izraz za prosječni trošak, odredite koliki je profit uz opseg proizvodnje Q0. Koliki je profit u slučaju reguliranog monopola, odredite sami (potražite odgovor u ovom materijalu). Odredite i količinu, Qreg, koju će regulirani proizvođač morati proizvoditi. Da biste izračunali tražene gubitke mrtvog tereta, sa i bez regulacije, potrebno Vam je još odrediti količinu QM, koju ćete pronaći kao sjecište krivulja potražnje i graničnog troška. Recept za računanje mrtvog tereta nalazi se na prethodnoj stranici. Za rješavanje ovog zadatka možda će Vam trebati kalkulator, iako, ako ste vješti u aritmetici, možete proći i bez njega. 3. Neka je monopol u dugom roku zadan na sljedeći način: Funkcija potražnje modelirana je kao P(Q) = 5 5Q. Granični trošak je padajući (poduzeće radi s malim iskorištenjem kapaciteta proizvodnje), i iznosi CM(Q) = 2 0,2Q. Izračunajte profit monopola koji nije izložen regulaciji, te gubitak mrtvog tereta. Koliki bi bio profit ovog monopola, kad bi ga država natjerala da mu opseg proizvodnje bude jednak onome kod kojeg je granični trošak jednak tržišnoj cijeni QM? Skica postupka rješavanja: Da biste odgovorili na ova pitanja, morate najprije izvesti izraze za granični prihod (što je trivijalno) i prosječni trošak (što ćete napraviti na isti način kao u prethodnom zadatku). Nakon toga, sve je više-manje jasno, i također je već opisano u prethodna dva zadatka. Obratite pažnju na to da je cijena PM = P(QM) niža od odgovarajućeg prosječnog troška. Kako će se to odraziti na predznak profita uz opseg proizvodnje od QM? 4. Funkcija kratkoročnog graničnog troška poduzeća koje djeluje na savršeno konkurentnom tržištu ima oblik: CM(Q ) = (1/3)Q 2 2Q + 5. Pronađite funkcijsku zavisnost kratkoročnog profita takvog poduzeća od njegovog opsega proizvodnje, ako je fiksni trošak zanemariv, a tržišna cijena iznosi P0 = 5? (Ovu ovisnost ne morate nužno izvesti analitički, ali možete. Bitno je da vidite kako ona izgleda, pa makar i samo u nekoliko točaka prikladno izabranih lijevo i desno od ravnotežne točke, Q0). Koliki je najveći mogući profit kojeg može ostvariti ovo poduzeće u opisanim uvjetima? Koliki će biti minimalan opseg proizvodnje? Skica postupka rješavanja: Ovo je vrlo jednostavan zadatak. Ako ste išta shvatili iz do sada iznesenog gradiva i riješenih zadataka, oko ovoga ne biste smjeli imati nikakvih problema. 127

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Maksimalizacija profita

Maksimalizacija profita Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

D. Čičin-Šain, viši pred. 1

D. Čičin-Šain, viši pred. 1 Tržišna moć: monopol i monopson Predavanje iz Mikroekonomije Monopol kao jedini proizvođač nekog proizvoda, monopolist ima jedinstvenu poziciju ako monopolist odluči povisiti cijenu proizvoda, ne treba

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Ponuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod

Ponuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 17. ožujka 2013. Ponuda i potražnja Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić 1. Uvod Cilj ovog predavanja

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Određivanje cijene i tržišna moć

Određivanje cijene i tržišna moć Osvajanje potrošačevog viška Određivanje cijene i tržišna moć Predavanje iz Mikroekonomije sve strategije za određivanje cijena imaju jednu stvar zajedničku: one su sredstvo za osvajanje potrošačevog viška

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan

Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα