KATALITIČKA OKSIDACIJA TOLUENA NA MIJEŠANIM METALNIM OKSIDIMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KATALITIČKA OKSIDACIJA TOLUENA NA MIJEŠANIM METALNIM OKSIDIMA"

Transcript

1 VJEŽBA 1. KATALITIČKA OKSIDACIJA TOLUENA NA MIJEŠANIM METALNIM OKSIDIMA Hlapljivi organski spojevi (VOC) Hlapljivi organski spojevi (eng. volatile organic compounds, VOC) velika su grupa organskih spojeva koji zbog svoje strukture lako isparavaju pri normalnim atmosferskim uvjetima temperature i tlaka. Osim ove općenite definicije, koja se koristi u znanstvenoj literaturi, postoji još nekoliko definicija koje pobliže određuju značajke ove grupe spojeva. Npr. Svjetska zdravstvena organizacija (WHO) svaku organsku komponentu, čije je vrelište u rasponu od ( C) do ( C), a tlak zasićenja pri 25 C veći od 100 kpa, svrstava u grupu hlapljivih organskih spojeva. Hlapljivost komponente dovodi se u vezu s temperaturom isparavanja, te je, ako je niže vrelište i hlapljivost komponente veća. Stoga se za definiciju i klasifikaciju organskih spojeva ponekad može koristiti točka vrelišta, kao što je to slučaj u direktivi Europske unije (VOC Solvent Emission Directive, 1993/13/EC), prema kojoj su hlapljivi organski spojevi definirani kao organski spojevi koji pri 293,15 K imaju tlak para veći ili jednak 0,01 kpa, odnosno spojevi koji imaju određenu hlapljivost pri određenim uvjetima uporabe. Novija direktiva Europske unije (Paints Directive, 2004/42/EC) donosi ograničenja emisija VOC koje nastaju upotrebom organskih otapala u određenim bojama, lakovima i proizvodima za završnu obradu vozila i definira hlapljive organske spojeve kao spojeve s početnom točkom vrenja manjom ili jednakom 250 C pri standardnom tlaku od 101,3 kpa. Hlapljivi organski spojevi se prema izvoru emisija dijele na antropogene i biogene hlapljive organske spojeve. Antropogeni izvori VOC emisija su ispušni plinovi automobila, industrijski procesi, isparavanje otapala i, u određenoj mjeri, spaljivanje biomase. Biogeni hlapljivi organski spojevi su spojevi koji sadrže ugljik i emitirani su prirodno sa Zemljine površine u atmosferu. Takva općenita kategorizacija uključuje širok raspon organskih tvari emitiranih iz vegetacije, tla i oceana, te isključuje metan, CO i CO 2. 1

2 Izvori emisija VOC Kao što je već spomenuto, emisije VOC mogu doći iz prirodnih izvora, ali većina emisija je uzrokovana ljudskim aktivnostima, tj proizlazi iz antropogenih izvora. U SAD-u oko 40% emisija hlapljivih organskih spojeva uzrokovano je prometnim aktivnostima, dok je ostalih 60% emisija podrijetlom iz stacionarnih izvora. Ti izvori uključuju izgaranje goriva, industrijsku proizvodnju i emisije otapala, a s obzirom na mjesto ispusta mogu biti unutarnji i vanjski. Neki primjeri komercijalnih operacija koje uzrokuju emisiju hlapljivih organskih spojeva u okoliš su: kemijska postrojenja, rafinerije nafte, proizvodnja automobila, zrakoplova, hrane i tekstila, tiskare, te proizvodnja elektroničkih komponenata. U svim tim proizvodnim procesima prisutni su organski materijali kao što su derivati nafte, kemikalije, otapala, pigmenti, premazi, boje, adhezivi ili sredstva za otpuštanje. Obično ti materijali napuštaju mjesto proizvodnje u obliku plinovitog efluenta koji sadrži niske koncentracije hlapljivih organskih spojeva i kao takav odlazi u atmosferu. U kućanstvima koriste se proizvodi koji također sadrže hlapljive organske spojeve kao uobičajene sastojke te onečišćuju zrak u zatvorenom prostoru. To se uglavnom odnosi na boje, lakove, otapala, odstranjivače boja, sredstva za čišćenje i dezinfekciju, aerosole u kozmetici, pesticide, građevinske materijale i namještaj, uredsku opremu poput pisača i kopirnih aparata, korektura i kopirnih papira bez ugljika. Svi ti proizvodi mogu otpustiti organske spojeve tijekom korištenja, a u određenom stupnju i tijekom skladištenja. Kada ti organski spojevi dospiju u atmosferu, predstavljaju ključni doprinos nastajanju troposferskog ozona. Toluen Toluen je hlapljivi organski spoj koji pripada skupini aromatskih ugljikovodika. Molekulska formula je C 7 H 8, a struktura molekule prikazana je na slici 1. Slika 1. Molekulska struktura toluena, C 6 H 5 CH 3 2

3 Toluen je pri sobnim uvjetima bezbojna kapljevina, hlapljiva, zapaljiva i eksplozivna u zraku. Nije korozivan i ne reagira kemijski s razrijeđenim kiselinama ili lužinama. U zraku reagira s hidroksilnim radikalima (OH ), atomnim kisikom (O), ozonom (O 3 ) i peroksilnim radikalima (RO 2 ) (gdje je R - alkilna ili arilna skupina), pri čemu nastaju različiti oksidacijski produkti. Čisti toluen (stupanj nitriranja) obično sadrži manje od 0,01% benzena, dok industrijski toluen može sadržavati i do 25% benzena. Najveći udio toluena (99,5%) proizvodi se iz frakcija nafte i to oko 94,5% toluena procesom katalitičkog reformiranja i 5% iz pirolitičkog benzina. Preostalih 0,5% toluena proizvodi se iz koksa. Toluen se primjenjuje kao intermedijer u proizvodnji benzena (50%) i toluen diizocijanata (9%), za namješavanje benzina (34%), otapala (5%) te za dobivanje raznih kemikalija (2%). Kao prikladno otapalo, toluen se upotrebljava u bojama, premazima, tintama, ljepilima, smolama, farmaceuticima i drugim formuliranim proizvodima koji zahtijevaju prijenosno otapalo (engl. ''solvent carrier''). Također se koristi kao otapalo za čišćenje, u površinskim premazima kao i pri tiskanju u kožnoj industriji. Uz benzen i toluen diizocijanat, derivati toluena su i benzojeva kiselina, benzil klorid, trinitrotoluen, vinil toluen, toluensulfonska kiselina, benzaldehid i toluensulfonil klorid. Toluen se može emitirati u atmosferu iz nekoliko mogućih antropogenih izvora: kao rezultat nenamjerne aktivnosti (65%) emisije ispušnih plinova iz motornih vozila i zrakoplova, gubici prilikom marketinških aktivnosti benzina, izlijevanje kemikalija te dim cigareta; tijekom procesa u kojima se toluen upotrebljava kao polazna sirovina (33%); tijekom procesa proizvodnje toluena (2%). Prema procjenama oko 86% proizvedenog toluena otpušta se u biosferu (primarno troposferu), pri čemu je njegov životni vijek u rasponu od 4 dana (na višim nadmorskim visinama tijekom ljeta), do nekoliko mjeseci (na nižim nadmorskim visinama tijekom zime). Prosječno vrijeme poluraspada toluena kao rezultat atmosferske oksidacije procijenjeno je na 12,8 sati. Toluen ispušten u vodu može se ukloniti postupcima pomoću aktivne razgradnje mulja, biodegradacije i/ili isparavanja. Očekivano vrijeme poluraspada toluena u vodi uslijed njegove hlapljivosti je približno 5 sati na dubini od jednog metra. Katalitička oksidacija VOC Progresivni porast emisija VOC u okoliš, kao i sve veća dostupnost informacija o njihovom štetnom učinku rezultirao je strogim propisima kojima se ograničava njihova emisija. Danas se 3

4 za tu svrhu primjenjuju postupci za smanjenje emisija VOC u okoliš, koji se općenito mogu svrstati u dvije skupine: Primarni ili preventivni postupci, koji uključuju postupke optimiranja procesa i dizajniranja procesne opreme, pri čemu se smanjenje emisija VOC postiže izmjenom/poboljšanjem procesne opreme, promjenom sirovina (uključujući i otapala) ili izmjenama procesa zbog primjene zelenih tehnologija; Sekundarni ili naknadni postupci odnosno postupci naknadne obrade ispušnih i/ili otpadnih procesnih i ostalih tokova. Primarni ili preventivni postupci obično su najučinkovitiji, s obzirom da se njima smanjuje ili izbjegava emisija VOC na samom izvoru. Ipak, primjena tih postupaka je ograničena. Postupci naknadne obrade obično se primjenjuju da bi se zadovoljile granične vrijednosti emisija VOC. Ti postupci koriste se za akumuliranje onečišćujućih tvari i/ili za njihovu razgradnju. Prema tome, možemo ih svrstati u dvije skupine: a) postupke kojima se hlapljivi organski spojevi uklanjaju iz procesnih tokova prije ispuštanja u okoliš, tj. postupke oporabe i b) postupci kojima se VOC prisutni u otpadnim tokovima izravno razgrađuju. U slučajevima kada je prihvatljiva oporaba VOC u cilju njihove ponovne primjene, na raspolaganju su metode separacije kao što su apsorpcija, adsorpcija, kondenzacija i membranska separacija. U slučaju kad ne postoji interes za oporabom VOC (ako nemaju uporabnu vrijednost), oni se razgrađuju procesom kemijske oksidacije (npr. plamenom, UV zračenjem, djelovanjem katalizatora) ili biološke oksidacije pomoću mikroorganizama (biorazgradnja). Odabir najpogodnije metode za smanjenje emisija VOC ovisit će o sljedećim kriterijima: željenom stupnju smanjenja emisije, učinkovitosti, svojstvima onečišćujućih tvari (hlapljivost, molekulska masa, ph, topljivost u vodi ili u drugim otapalima), svojstvima struje onečišćenog zraka (koncentracija, protok, tlak pare, temperatura, sadržaj topline, sadržaj vlage), sigurnosnim pitanjima (zapaljivost, eksplozivnost), vrijednosti obnovljenog materijala, itd. Kad govorimo o oksidaciji, dva su tipa procesa koji se najčešće provode za razgradnju VOC: katalitička oksidacija i toplinska oksidacija pri visokim temperaturama (ili visoko-temperaturna oksidacija). Kod potpune oksidacije, molekule hlapljivih organskih spojeva prelaze u CO 2 i H 2 O. Da bi došlo do potpune razgradnje molekula VOC potrebno je prevladati energiju aktivacije reakcije, za što je potrebna određena količina topline. Zbog toga se struja otpadnih plinova (najčešće zrak) koja sadrži molekule VOC mora nalaziti na dovoljno visokoj temperaturi, pri čemu ta temperatura može doseći i 1000 C. S obzirom da su reakcije izgaranja jako egzotermne, oslobođena toplina 4

5 može se koristiti za predgrijavanje ulaznih plinova. Na taj način smanjuje se energija potrebna na ulazu, a samim time niži su i troškovi pomoćnih goriva potrebnih za postizanje radne temperature. Temperature do 1000 C karakteristične su za toplinsku oksidaciju i rezultiraju visokim radnim troškovima. Ukoliko oksidacija nije potpuna, u reaktorima za toplinsku oksidaciju može doći do nastajanja opasnih sporednih produkata izgaranja, poput ugljikovodika, CO, NO x i dioksina. Zbog toga se javila potreba za istraživanjem tehnologija koje su ekonomski isplative (niža potrošnja energije) i dovode do učinkovite razgradnje onečišćujućih tvari. U tom kontekstu katalitička oksidacija pokazala se obećavajućom tehnologijom. U procesu katalitičke oksidacije, u reaktoru je prisutan sloj katalizatora na kojem dolazi do reakcije oksidacije putem adsorpcije reaktanta te naknadne reakcije kisika iz zraka za izgaranje i organske komponente na katalitički aktivnoj površini. U katalitičkom sloju odigrava se ista reakcija kao i kod toplinske oksidacije, međutim zbog prisutnosti katalizatora energijska barijera je niža, što snižava reakcijsku temperaturu za 320 do 540 C u odnosu na temperaturu potrebnu za reakciju u konvencionalnom toplinskom reaktoru. Zbog niže temperature u katalitičkom reaktoru, niže su i emisije NO x, a uslijed velikog intenziteta reakcije u poroznom katalizatoru, proces također rezultira nižim emisijama CO i ugljikovodika. Na izvedbu katalitičkog reaktora utječe nekoliko čimbenika: prostorna brzina, sastav i koncentracija VOC, svojstva katalizatora i prisutnost otrova/inhibitora u struji otpadnih plinova. Katalitička oksidacija obično se primjenjuje u zaštiti okoliša kad su koncentracije VOC relativno niske, tj. od nekoliko stotina do nekoliko tisućina ppm, iako se uglavnom primjenjuje za relativno niske koncentracije VOC (~10 ppm v ). U slučaju da otpadni plinovi sadrže visoke koncentracije VOC-a, kao prethodni stupanj za katalitičku oksidaciju može se koristiti toplinski oksidacijski reaktor. Velika prednost katalitičke oksidacije je i u mogućnosti njezine primjene za smanjenje emisija VOC iz pokretnih izvora. Poznato je da uslijed nepotpunog izgaranja goriva u motorima automobila dolazi do ispuštanja štetnih spojeva u atmosferu, poput već spomenutih ugljikovodika, CO i NO x. Razvojem katalitičkog pretvornika (tzv. konvertera), poznatog po nazivu TWC (engl. 'Three way catalyst'), smanjuju se emisije CO, NO x i VOC kemijskom pretvorbom tih spojeva u CO 2, H 2 O i N 2, te su danas svi noviji automobili opremljeni sa spomenutim pretvornicima. Kao i toplinska, katalitička oksidacija također ima određena ograničenja. Međutim, ekonomski čimbenici koji katalitičku oksidaciju čine atraktivnom metodom u ravnoteži su s negativnim čimbenicima, poput cijene i stabilnosti, odnosno životnog vijeka katalizatora. 5

6 Zahtjevi procesa i odabir katalizatora Ograničenja katalitičke oksidacije kao procesa za uklanjanje VOC iz otpadnih plinova ovise o ograničenjima katalitičkog sustava: životnom vijeku i cijeni katalizatora. Za opravdanu primjenu katalitičke oksidacije, zahtijeva se odgovarajuća toplinska, mehanička i kemijska stabilnost katalizatora. Poznato je da tijekom procesa oksidacije može doći do gubitka aktivnosti katalizatora, odnosno do njegove deaktivacije. Tri glavna procesa koji mogu uzrokovati katalitičku deaktivaciju su trovanje katalizatora, toplinska deaktivacija i sinteriranje. Ako aktivno mjesto katalizatora reagira s drugom kemikalijom, može doći do poboljšanja (dopiranje) ili smanjenja katalitičke aktivnosti (trovanje). Npr. u ispušnim plinovima postoje određeni kemijski spojevi, poput halogenida, silikona, fosfora, sumpora, žive, olova i kadmija, koji se smatraju katalitičkim otrovima. Osim toga, kada organska onečišćivala sadrže silikone, fosfor ili sumpor, oksidacijom dolazi do stvaranja njihovih oksida koji pokrivaju aktivna mjesta smanjujući aktivnost katalizatora. U slučaju kada dolazi do fizičkog blokiranja aktivnih mjesta i/ili pora katalizatora uslijed prisutnosti nečistoća dolazi do tzv. prljanja katalizatora. Najčešća nečistoća koja uzrokuje prljanje je koks koji nastaje neželjenim reakcijama organskih spojeva na površini katalizatora, a struktura mu može varirati od grafita do kondenziranih polimera. Takav tip deaktivacije je vrlo čest kod zeolitnih katalizatora. Katalizatori se često koriste na jako visokim temperaturama, pa s vremenom može doći i do toplinske deaktivacije katalizatora koja je uglavnom ireverzibilna. Visoke temperature mogu izazvati reakciju u krutom stanju između aktivne komponente katalizatora i nosača, pri čemu nastaje spoj niže ili zanemarive katalitičke aktivnosti. Također, pri visokom temperaturama može doći do rasta kristala ili komponente katalizatora mogu rekristalizirati, što dovodi do smanjenja aktivne površine. Takav oblik toplinske deaktivacije naziva se sinteriranje i uključuje preraspodjelu materijala u čvrstom stanju kako bi se smanjila energija površine. U trećem obliku toplinske deaktivacije dolazi do isparavanja katalizatora. Stoga je važno razviti niskotemperaturne katalizatore, a jedan od ciljeva istraživača koji se bave smanjenjem emisija iz pokretnih izvora je minimiziranje perioda za tzv. ''hladni start'' automobilskih motora, kad su emisije onečišćivala često i najveće. Prema tome, primjena katalizatora donosi određene probleme, koji su izazov za istraživače. Osim dobre aktivnosti, dobar katalizator mora biti otporan na različite temperaturne uvjete i mogućnost trovanja te imati nisku cijenu koštanja. Prije razmatranja izvedbi katalizatora, potrebno je napomenuti određene činjenice. Prvo, važno je znati da hlapljivi organski spojevi imaju različitu reaktivnost. Istraživanja su pokazala sljedeći poredak u reaktivnosti: alkoholi > 6

7 aldehidi > aromati > ketoni > alkeni > alkani. Stoga su za testiranje aktivnosti određene skupine katalizatora dobar izbor alkani, a njihova reaktivnost objašnjava činjenicu da se većina istraživanja procesa katalitičke oksidacije provodi upravo na molekulama metana. Drugo, u praksi struja otpadnog plina koju je potrebno obraditi najčešće sadrži smjesu različitih organskih spojeva što otežava sam izbor katalizatora. Mnoga istraživanja pokazala su da nije lako predvidjeti reaktivnost smjese prilikom oksidacije na temelju oksidacije pojedinačnih spojeva, jer na izvedbu katalizatora utječu brojni čimbenici. Neki autori navode da tijekom katalitičke oksidacije smjese VOC-a može doći do inhibiranja procesa, dok su drugi smatraju da se određene VOC molekule mogu aktivirati ako se nalaze u smjesi s drugim molekulama te da ponekad može doći do promjene u selektivnosti. Prema tome, vrlo je važno poznavati sve čimbenike koji određuju reaktivnost hlapljivih organskih spojeva tijekom provedbe katalitičke oksidacije. Pregled katalizatora za oksidaciju Za katalitičku oksidaciju primjenjuju se dvije skupine katalizatora: a) plemeniti metali sa ili bez nosača i b) prijelazni metali te oksidi prijelaznih metala. Od plemenitih metala kao katalizatori najčešće se upotrebljavaju Pt i Pd zbog njihove velike aktivnosti. Često su legirani s drugim metalima, poput Ru, Rh, Os i Ir te podržani na oksidu kao nosaču (Al 2 O 3, SiO 2 ). Nalaze široku primjenu u oksidaciji plinova koji sadrže ugljikovodike i oksigenirane spojeve Za oksidaciju ugljikovodika intenzivno su proučavani i uspješno upotrijebljeni Pt, Pd i Rh na Al 2 O 3, SiO 2 ili zeolitu kao potencijalnom nosaču katalitički aktivne komponente. Pri tome je ustanovljeno da je Pt najviše aktivan metal za oksidaciju ugljikovodika. Međutim, kod oksidacije kloriranih ugljikovodika plemeniti metali nisu dobar izbor, zbog njihove cijene i osjetljivosti na trovanje sa spojevima kao što su Cl 2 i HCl. Uspoređujući Pt i Pd, utvrđeno je da je Pd osjetljiviji na prisutnost sumpora i olova u onečišćenoj struji. Štoviše, nakon uklanjanja sumpora iz plinske struje, Pt se brzo regenerira. Također, nađeno je da je utjecaj sumpora pri visokim temperaturama na Pt i Pd pri oksidaciji ugljikovodika neznatan. Nasuprot tome, pri oksidaciji propana na Pt/γAl 2 O 3, SO 2 pokazuje učinak promotora, što je ustanovljeno i za Pd/HZSM-5 prilikom oksidacije naftalena. Reaktivacija katalizatora deaktiviranog uslijed trovanja ponekad se može provesti pri temperaturama od C. Uzimajući u obzir toplinsku postojanost, Pd je otporniji na sinteriranje u oksidirajućoj atmosferi nego Pt. Pd može biti dispergiran u obliku oksida na Al 2 O 3 pri temperaturama višim nego Pt, pri čemu interakcija 7

8 između PdO i Al 2 O 3 daje značajnu aktivnost Pd/Al 2 O 3 katalizatoru u oksidirajućoj atmosferi. Oksidi Pt i Pd nisu toliko hlapljivi u odnosu na RuO 2, OsO 4, Ir 2 O 3, koji su uz to i katalitički otrovi. Važno je primjenjivati niske koncentracije plemenitih metala u katalizatoru, ukoliko je to moguće, zbog njihove visoke cijene i ograničene dostupnosti. To podrazumijeva visoki stupanj njihove disperzije na nosaču, a također je ustanovljeno da za danu količinu Pt ili Pd postoji optimalna veličina čestica aktivne komponente. Iako plemenite metale kao aktivne faze karakterizira dobra stabilnost te visoka aktivnost pri relativno niskim temperaturama, njihova visoka cijena, osjetljivost na trovanje klorom i moguće nastajanje toksičnih polikloriranih spojeva pri oksidaciji kloriranih VOC, potaknulo je istraživače na izučavanje i pronalazak alternativnih katalizatora. Za tu svrhu nekoliko istraživanja provedeno je na prijelaznim metalima uz primjenu različitih nosača katalitički aktivne komponente. Donedavno se zlato, zbog kemijske inertnosti i otežanog postizanja visokog stupnja disperzije na nosaču, smatralo najmanje prihvatljivim katalitički aktivnim metalom. Prije 20-ak godina istraživači su utvrdili visoku aktivnost nanočestica zlata, nanesenih na metalnim oksidima poput Fe 2 O 3, Co 3 O 4 i Mn 2 O 3 za oksidaciju VOC. Proučavanjem katalitičke aktivnosti metala I B grupe na nosaču Fe 2 O 3 pri oksidaciji VOC-a, ustanovljen je sljedeći red aktivnosti: Au/Fe 2 O 3 >> Ag/Fe 2 O 3 > Cu/Fe 2 O 3 > Fe 2 O 3. Također je nađeno da je Au/Co 3 O 4 70 puta aktivniji od Pt/Al 2 O 3 pri oksidaciji dikloretana (CH 2 Cl 2 ). Istraživanjem prijelaznih metala na zeolitima ustanovljeno je da kationi prijelaznih metala povećavaju kiselost zeolita i kemisorpciju kisika, te na taj način poboljšavaju aktivnost zeolita za oksidaciju ugljikovodika. Kao druga alternativa plemenitim metalima upotrebljavaju se oksidi prijelaznih metala, i to najčešće oksidi Ag, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni i Cu. Oksidi prijelaznih metala su jeftiniji i, općenito gledano, otporniji na trovanje. Obično posjeduju veliki udio metala te istovremeno mogu imati veliku aktivnu površinu. Ti oksidi mogu biti jednostavni, složeni ili kombinirani. Kao katalizatori visoke aktivnosti pokazali su se jednostavni oksidi mangana (MnO x ), pri čemu je utvrđen i red aktivnosti: MnO 2 < Mn 2 O 3 < Mn 3 O 4. Neke kombinacije oksida pokazale su veću aktivnost u odnosu na okside pojedinačnih metala te usporedivu aktivnost sa onom plemenitih metala. Takve kombinacije katalizatora uključuju Cu-Mn, Cu-Cr, Cu-V, Mn-Ni, Ag-Mn, Ag-Co, Cr-Co, Co-Zn i Cu-Al. Značajno veća aktivnost kombiniranih metalnih oksida u odnosu na aktivnost pojedinačnih oksida ukazuje na sinergistički utjecaj dviju aktivnih faza. Primjer takvih istraživanja je oksidacija toluena provedena na miješanom katalizatoru 10CuO-60MnO i 8

9 oksidima pojedinačnih metala Cu i Mn, pri čemu je ustanovljeno da je aktivnost miješanog katalizatora 3-4 puta veća od aktivnosti pojedinačnih oksida (CuO i MnO). Neka istraživanja pokazala su da aktivnost oksida prijelaznih metala i njihovih binarnih smjesa pri potpunoj oksidaciji VOC ovisi o prirodi i morfologiji nosača te o tipu VOC čija se oksidacija istražuje. Ta ovisnost može se objasniti uzevši u obzir da su različita aktivna mjesta uključena u oksidaciju različitih VOC molekula, te da je reakcija značajno zavisna o elektronskim i geometrijskim učincima različitih komponenti katalizatora. S obzirom na već spomenuti velik udio metalnih oksida u katalizatoru, broj aktivnih mjesta je za jedan red veličine veći nego kod plemenitih metalnih katalizatora. Stoga su prijelazni metalni oksidi tolerantniji na otrove nego plemeniti metali, što je i utvrđeno u prisutnosti SO 2 u plinskoj struji. Otpornost na otrove, toplinska stabilnost i niža cijena koštanja metalnih oksida te visoka specifična aktivnost plemenitih metala dobre su značajke dviju skupina katalizatora za oksidaciju VOC. Dobar primjer različitosti, ali i komplementarnosti plemenitih metala i metalnih oksida odnosi se na istraživanje oksidacije trikloretilena na Cr 2 O 3, V 2 O 5, Pt i Pd; oksidi naneseni na TiO 2 -SiO 2 pokazali su veću aktivnost od plemenitih metala, dok su plemeniti metali Pt i Pd pokazali veću stabilnost i operabilnost pri višim temperaturama. Sva ta otkrića potaknula su istraživače da provedu oksidaciju VOC na smjesi spomenutih različitih skupina katalizatora. Utvrđeno je da plemeniti metali i prijelazni metalni oksidi pokazuju sinergističko djelovanje. Primjeri sinergističkog djelovanja su: dopiranje Pt s oksidima Co ili Cr, čime se sprječava trovanje katalizatora sumporom, zatim porast aktivnosti Pd za oksidaciju CH 4 dodavanjem Nioksida, itd. Mehanizam i kinetika oksidacije toluena Brojna istraživanja katalitičke oksidacije provode se na toluenu kao modelnoj komponenti, s obzirom da je toluen predstavnik aromatskih spojeva s odgovarajućim supstituentom za koji je karakteristična vrlo jednostavna struktura, jer posjeduje jednu metilnu skupinu na aromatskom prstenu. Općenito, glavne reakcije do kojih može doći pri oksidaciji toluena su nastajanje odgovarajućeg aldehida (tj. benzaldehida), potpuna oksidacija (pri kojoj dolazi do nastajanje CO i CO 2 ) te dealkilacija. Dealkilacija je obično beznačajna pri oksidaciji toluena. Oksidacija toluena može biti potpuna, pri čemu uglavnom nastaju CO i CO 2 te nepotpuna ili djelomična, pri čemu nastaje 9

10 većinom benzaldehid uz druge produkte (benzojeva kiselina, maleinski anhidrid). Kada oksidacijom dolazi do nastajanja točno određenog željenog produkta reakcije u mogućem reakcijskom nizu, tada se radi o selektivnoj katalitičkoj oksidaciji. Takva reakcija provedena je u reaktoru s nepokretnim slojem V 2 O 5 -Ag 2 O/ƞ-Al 2 O 3 katalizatora u prethodnim istraživanjima. U navedenom sustavu kao produkt dobiven je benzaldehid, kao i produkti duboke oksidacije (CO x ), iako u manjim količinama, što je prikazano sljedećom shemom paralelno-uzastopne reakcije (slika 2.): Slika 2. Pojednostavljeni prikaz mehanizma reakcije oksidacije toluena Prema shematskom prikazu prikazanom na slici 2., vidljivo je da uslijed djelomične oksidacije najprije dolazi do oksidacije toluena u benzaldehid (reakcija 1.1), koji se zatim oksidira u benzojevu kiselinu (reakcija 1.2). Zatim, dekarboksilacijom kiseline nastaje benzen (postoji i mogućnost da benzen nastane iz benzaldehida bez nastajanja benzojeve kiseline), čijom se oksidacijom stvara benzokinon koji zatim dovodi do nastajanja maleinskog anhidrida te CO i CO 2 (reakcije 1.4 i 1.5). Pritom su benzen i benzokinon intermedijeri, a ne konačni produkti reakcije. Utvrđeno je da su na površini oksida prisutne različite vrste specija kisika. Osim strukturne nukleofilne specije (O 2- ), detektirane su i elektrofilne anionske radikalske specije (O - 2, O - ) visoke reaktivnosti. U ranijim istraživanjima utvrđeno je da je nukleofilna specija (O 2- ) uglavnom odgovorna za djelomičnu oksidaciju, dok elektrofilne specije (O - 2, O - ) sudjeluju u potpunoj oksidaciji, koja dovodi do nastajanja CO x. Glavne reakcije do kojih dolazi tokom selektivne katalitičke oksidacije toluena u plinskoj fazi navedene su jednadžbama : C 7 H 8 (toluen) + O 2 C 7 H 6 O (benzaldehid) + H 2 O (1.1) 10

11 C 7 H 6 O + ½ O 2 C 7 H 6 O 2 (benzojeva kiselina) (1.2) C 7 H 6 O /2 O 2 7 CO H 2 O (1.3) C 7 H 8 + 3/2 O 2 C 6 H 6 (benzen) + CO 2 + H 2 O (1.4) C 6 H /2 O 2 6 CO H 2 O (1.5) Reakcije prikazane jednadžbama 1.4 i 1.5 su slobodno radikalske reakcije uzrokovane razgradnjom i oksidacijom u plinskoj fazi. Jednadžbom 1.3 prikazana je katalitička oksidacija, dok se reakcije (1.1) i (1.2) odnose na djelomičnu katalitičku oksidaciju. Redoks mehanizam, kojim se opisuje selektivna katalitička oksidacija prema Mars-VanKrevelenovom modelu, sastoji se od 2 stupnja. U prvom stupnju ugljikovodik se adsorbira na površinu katalizatora, a zatim reagira s atomom kisika na površini katalizatora pri čemu nastaje produkt reakcije, a istovremeno se katalizator reducira. U drugom stupnju katalizator se vraća u početno oksidacijsko stanje uz prevođenje molekulskog kisika, O 2, u elektrofilne anionske kisikove radikale O - i O 2- (jednadžba 1.6): O 2 (g) + e - + [ ] [O 2 - ] + e - + [ ] 2[O - ]+ 2e - 2[O 2- ] (1.6) Selektivna katalitička oksidacija toluena proučavana je i primjenom pojedinačnih V 2 O 5 i MoO 3 oksida, ali i njihovih kombinacija,v 2 O. 5 MoO 3. Nađeno je po prvi put da se selektivnost katalitičke oksidacije za prevođenje toluena u benzaldehid i benzojevu kiselinu smanjuje, dok selektivnost za pretvorbu toluena u maleinski anhidrid i produkte duboke oksidacije (CO x ) raste s porastom sposobnosti katalizatora koji sadrži vanadij da generira molekulski kisik. Nađeno je da najveću selektivnost za nastajanje benzaldehida pokazuje MoO 3. Isto tako, ustanovljeno je da s porastom temperature reakcije uz sva tri katalizatora raste udio produkata duboke oksidacije. Prema tome, oblik oksidacije ovisi o željenoj selektivnosti, uvjetima reakcije (temperatura) i upotrijebljenom katalizatoru. Za opisivanje kinetike oksidacije toluena u osnovi se mogu primijeniti tri osnovna tipa kinetičkih modela: 1. jednostavni empirijski modeli, npr. m n ra kpch po2 [mol/g s] (1.7) gdje CH označava molekulu ugljikovodika. 11

12 2. mehanistički Langmuir-Hinshelwoodov (LH) ili Eley-Ridealovi (ER) modeli, koji se zasnivaju na adsorpcijskoj ravnoteži između koncentracije reaktanta u plinskoj fazi i na površini katalizatora. 3. redoks modeli (modeli izmjene kisika), koji se još nazivaju i Mars-VanKrevelenovi (MVK) modeli prema istraživačima koji su ih prvi predložili (1954); ovi modeli temelje se ne pretpostavci da se ugljikovodik reducira na površini katalizatora koja se zatim reoksidira pomoću kisika iz plinske faze. Empirijski modeli su, kao što je i uobičajeno, primjenjivi u nekim slučajevima, ali u ograničenom području procesnih uvjeta. Stoga nisu osobito zanimljivi s fundamentalnog gledišta. LH, ER i MVK modeli zasnivaju se na pretpostavci stacionarnog stanja na površini katalizatora koje ovisi o lokalnim uvjetima (temperatura, koncentracije u plinskoj fazi). Razlika je u tome što je u prvom slučaju stacionarno stanje rezultat adsorpcijsko-desorpcijske ravnoteže, dok je u zadnjem slučaju rezultat dviju ireverzibilnih reakcija. Kod jednostavnog LH modela, uz pretpostavku površinske reakcije kao limitirajućeg stupnja, brzina reakcije može se opisati sljedećim izrazom: r A kkch K O2 p 1 K p CH CH n CH po2 n K O2 po2 (1.8) Ako ugljikovodik nije adsorbiran na površini katalizatora, nego reagira izravno iz plinske faze s adsorbiranim kisikom (Eley-Ridealov model) gornji izraz može se reducirati na sljedeći način: r A n kpch K O2 po2 (1.9) n 1 K O2 po2 Prema Mars-VanKrevelenovom redoks modelu pretpostavlja se da je brzina oksidacije reaktanta proporcionalna udjelu aktivnih centara (1 - θ) i parcijalnom tlaku ugljikovodika (PCH), dok je brzina reoksidacije katalizatora proporcionalna udjelu (slobodnih) centara na katalizatoru u reduciranom stanju (θ) i parcijalnom tlaku kisika (P n O2 ). Prema tome, slijedi izraz: n 1 k * / p ra kpch O2 (2.0) gdje je: 12

13 PCH parcijalni tlak ugljikovodika k konstanta brzine oksidacije ugljikovodika k* - konstanta brzine površinske reoksidacije - molovi O2 potrošeni po molu reagirajućeg ugljikovodika θ - udjel aktivnih centara u reduciranom stanju. Izraz 2.0 može se preurediti eliminacijom θ, pri čemu se dobiva: r A k * p n O2 1 1 kp CH (2.1) Prema tome, u prvom stupnju Mars-VanKrevelenovog mehanizma oksidirana površina metala (MeO) oksidira reaktant-molekulu ugljikovodika (R), dok se u drugom stupnju površina metala reoksidira, npr. s molekulom kisika iz plinske faze (jednadžbe ): MeO + R RO + Me (2.2) 2Me + O2 2MeO (2.3) 13

14 Zadatak Odrediti ukupnu konverziju toluena pri provedbi katalitičke oksidacije toluena na praškastom katalizatoru miješanih oksida prijelaznih metala (Mn-Ni, Mn-Fe ili Mn-Cu). a) Prikazati utjecaj temperature na konverziju toluena u reaktoru s nepokretnim slojem katalizatora pri provedbi reakcije na različitim vremenima zadržavanja reakcijske smjese uz konstantnu početnu koncentraciju reaktanta (toluena) (primjer 1). Prikazati zavisnost molarnog udjela toluena o bezdimenzijskom vremenu zadržavanja te provesti testiranje eksperimentalnih rezultata na pretpostavljeni kinetički model i pseudohomogeni model cijevnog reaktora (primjer 2) koristeći osnovne podatke o sustavu i radnim uvjetima. Procijeniti parametre modela (k) i vrijednosti korijena srednjeg kvadratnog odstupanja te izvesti zaključak o prihvatljivosti predloženog modela. Odrediti vrijednost energije aktivacije u ispitivanom temperaturnom području (primjer 3). b) Ispitati utjecaj unutarfazne difuzije na ukupnu brzinu reakcije primjenom odgovarajućeg modela. Odrediti parametre modela i izvesti zaključak o prihvatljivosti predloženog modela te odrediti energije aktivacije u ispitivanom temperaturnom području, primjenom pristupa opisanog u prethodnom dijelu zadatka (primjeri 5 i 6). Usporediti i objasniti rezultate dobivene primjenom oba modela (primjer 7). Izvedba mjerenja i opis aparature Ispitat će se katalitička oksidacija toluena u cijevnom reaktoru s nepokretnim slojem katalizatora pri atmosferskom tlaku, uz konstantnu masu katalizatora (0,05 g), konstantan omjer smjese N 2 / toluena i zraka (1:6) te p r i različitim prostornim vremenima i temperaturama reakcije ( C). Kao oksidans će se koristiti sintetski zrak. Vrijeme zadržavanja reakcijske smjese u reaktoru mijenjat će se promjenom ukupnog protoka reakcijske smjese ( cm 3 min -1 ) uz konstantnu masu katalizatora. Shematski prikaz aparature dan je na slici 3. Eksperimentalna aparatura sastoji se od katalitičkog reaktora, dva masena regulatora protoka (za smjesu N 2 /toluen te za zrak), sustava za mjerenje i regulaciju temperature (TC), plinskog kromatografa (GC) za analizu reakcijske smjese te sustava za prikupljanje i obradu eksperimentalnih podataka. 14

15 Slika 3. Shematski prikaz aparature Reakcijska smjesa, koja se sastoji od smjese N 2 /toluen i zraka prolazi od dna prema vrhu reaktora. Katalitički sloj smješten je između dva sloja kvarcne vune. Donji sloj ima ulogu nosača katalitičkog sloja, a gornji sloj kvarcne vune sprječava odnošenje katalizatora sa smjesom reaktanata. Temperatura u reaktoru određuje se pomoću termopara smještenog u centralnom dijelu reaktora iznad katalitičkog sloja, povezanog sa sustavom za mjerenje i regulaciju temperature. Analiza reakcijske smjese provodi se on-line primjenom plinske kromatografije (GC-2014, Shimadzu). Uvjeti plinsko- kromatografske analize navedeni su u tablici 2. Za analizu neizreagireanog reaktanta (toluen) koristi se plameno ionizacijski detektor (FID). Analiza reakcijske smjese provodi se pomoću programske podrške Shimadzu GCSolution u okviru koje se nalazi program za mjerenje i obradu podataka. Tablica 2. Uvjeti plinsko-kromatografske analize Model GC Shimadzu 2014 Kolona Carbowax 20M Dimenzije zrna punila 60/80 mesh (250/177 μm) Volume petlje za uzimanje uzorka/ cm 3 0,50 Temperature injektora/ C 150 Temperature kolone/ C 130 Temperature FID detektora/ C 250 Plin nosilac N 2 Protok plina nosioca/ cm 3 min

16 Upute za rad i obrada rezultata Reakcijska smjesa određenog sastava uvodi se u katalitički reaktor zagrijan na željenu radnu temperaturu. Traženi sastav reakcijske smjese postiže se podešavanjem protoka smjese N 2 /toluen i zraka uz održavanje konstantne koncentracije oksidansa (sintetskog zraka). Katalitička oksidacija toluena provodi se pri različitim temperaturama i vremenima zadržavanja reakcijske smjese u reaktoru. Tijek reakcije prati se mjerenjem početne koncentracije reaktanata (toluen) na ulazu i izlazu iz reaktora, odnosno određivanjem ukupne konverzije toluena prema sljedećem izrazu: n p 0 n p X p n p 0 (3.0) Analiza reakcijske smjese na izlazu iz reaktora provodi se do uspostavljanja stacionarnog stanja. Rezultate mjerenja potrebno je prikazati u obliku tablice 3. Tablica 3. Rezultati eksperimentalnih mjerenja v 0 (N 2 /toluen) cm 3 min -1 v 0 (zrak) cm 3 min -1 τ/τ max w(toluen), ppm T, C X(toluena)/%

17 Kinetička analiza Oksidacija toluena provodi se uz praškasti katalizator u cijevnom reaktoru. Kako su čestice katalizatora malog promjera, a ukupna masa katalizatora je malena proizlazi mala debljina katalitičkog sloja. Uz takve uvjete rada (velika brzina strujanja reakcijske smjese kroz katalitički sloj, mali promjer čestice katalizatora) mogu se uzeti u obzir sljedeće pretpostavke pri izvođenju modela: idealno strujanje, neznatan otpor međufaznom prijenosu tvari, reakcija oksidacije koja se može formalno aproksimirati empirijskim izrazom za reakciju prvog reda. U tablici 4. navedeni su osnovni podaci o sustavu i radnim uvjetima: Tablica 4. Podaci o reaktoru i praškastom katalizatoru veličina oznaka jedinica iznos promjer reaktora R cm 0,7 dužina katalitičkog sloja L cm 0,20 volumen sloja katalizatora V r cm 3 0,077 slobodni volumen (bez katalizatora) V s cm 3 0,071 specifična površina (A/V r ) a cm -1 15,67 masa katalizatora m g 0,05 nasipna gustoća (m/v r ) g cm -3 0,64 prava gustoća katalizatora (Mn-Ni) djelotvorni koeficijent difuzije u pore katalizatora (procijenjena vrijednost) g cm -3 6,86 k D e cm 2 min

18 a) Jednodimenzijski pseudohomogeni model cijevnog reaktora Uz pretpostavku da ne postoji otpor prijenosu tvari unutarfaznom difuzijom u pore katalizatora može se koristiti jednostavni jednodimenzijski pseudohomogeni model cijevnog reaktora: dca s u f ca ra b (3.1) dz te sljedeći kinetički model za reakciju prvog reda: Uvođenjem bezdimenzijskih veličina: r s s s b A A f c k c (3.2) y c / c A A A0 / * max (3.3) dobiva se sljedeći bezdimenzijski oblik: model reaktora: dy d A * max bkya (3.4) s reakcija prvog reda: r = k y (3.5) s b A Reaktorski prostor smatra se homogenim, a kako je brzina definirana s obzirom na masu katalizatora to se množenjem s nasipnom gustoćom prevodi u brzinu po volumenu reaktora. Jed. (3.4) može se riješiti analitički ili numerički. Pogodnije je rješavati numerički, jer se tada bez promjene osnovnog algoritma mogu testirati i drugi oblici kinetičkog modela. Na osnovi poznavanja konstanti brzine pri različitim temperaturama moguće je provjeriti i Arrheniusov izraz te odrediti značajku frekvencije, A r i energiju aktiviranja, E A. Temperaturna zavisnost specifične brzine reakcije, k općenito je dana Arrheniusovim izrazom: k E A R T Ar e (3.6) gdje je: E A energija aktiviranja, kj mol -1 i A r Arrheniusova značajka. Prema izrazu (3.6) pretpostavlja se da je energija aktiviranja stalna vrijednost u određenom rasponu temperatura, što je u realnim sustavima samo djelomično točno. Eksperimentalno se parametri Arrheniusovog izraza određuju izračunavanjem konstante brzine, k pri različitim temperaturama. Pogodnim numeričkim metodama dobivaju se optimalne vrijednosti parametara, a moguće je provesti i jednostavan grafički test na pravac. Ako se logaritmira Arrheniusov izraz (3.6) i grafički prikaže ovisnost ln k o 1/T, moguće je odrediti E A i A r u slučaju da dobivene točke leže na pravcu (primjer 4). 18

19 EA 1 ln k ln Ar (3.7) R T b) Model reaktora uz pretpostavku postojanja značajnog otpora prijenosu tvari unutarfaznom difuzijom i idealnog strujanja Na temelju ranije provedenih eksperimenata zaključeno je da reakcija uz praškasti katalizator može biti usporena značajnom unutarfaznom difuzijom bez obzira na relativno male dimenzije zrna katalizatora. Za provjeru ove tvrdnje može se primijeniti odgovarajući model reaktora uz pretpostavku postojanja značajnog otpora prijenosu tvari unutarfaznom difuzijom, ali bez značajnog utjecaja otpora međufaznom prijenosu tvari. Takav zaključak može biti opravdan činjenicom da su brzine strujanja kroz sloj čestica vrlo velike (oko 6 cm s -1 ). U tom slučaju odgovarajući model dan je sljedećim izrazom: R 2 ra () r 4r dr r 0 dca 1 d V (3.8) U izrazu (3.8) ukazuje se na činjenicu da je množina tvari u fluidu što se izmijeni u diferencijalnom vremenu (ili diferencijalnoj dužini) jednaka množini tvari koja nestane kemijskom reakcijom u česticama katalizatora unutar promatranog volumena. Da bi se mogla izračunati desna strana izraza (3.8) potrebno je odrediti brzine reakcije unutar zrna katalizatora, koje su funkcija polumjera (jer te brzine nisu iste zbog usporenja unutarfaznom difuzijom). Zbog toga je potrebno napisati odgovarajuću bilancu tvari za zrno katalizatora, odnosno: D e 2 dcas 2 dr 2 dc As ra 0 r dr Rubni uvjeti potrebni za rješavanje diferencijalne jednadžbe (3.9) su sljedeći: (3.9) za r R, c ( ) c (, R) (4.0) za r 0, 0 (4.1) dr Ovaj pristup pretpostavlja pseudostacionarno stanje za odsječak po vremenu zadržavanja. Jed. (3.9) rješava se numerički tzv. Shooting metodom (ili metodom pogađanja) te se dobiva profil brzina po polumjeru. Zatim se računa integral na desnoj strani jed. (3.8), a nakon toga i sama jed. (3.8) numerički ili analitički. Na taj način dobiva se profil koncentracija u fluidu po vremenu zadržavanja, odnosno po dužini reaktora. A dc As As Jednostavniji pristup sastoji se u tome da se bilanca postavlja za diferencijalni volumen reaktora (ili diferencijalno prostorno vrijeme) u cjelini. Tada vrijedi: 19

20 2 c A cas 2 c As De r 0 2 A r r r (4.2) Početni uvjet: 0, ca(0) ca0 (4.3) Rubni uvjeti: su isti kao ranije: r R, c ( ) c (, R) (4.4) A As c r 0, As 0 r (4.5) Bilanca, jed. (4.2) može se riješiti numerički metodom linija uz navedene početne i rubne uvjete. U svakoj se iteraciji po vremenu zadržavanja računaju brzine i koncentracije po polumjeru čestice, a također i koncentracija na površini čestice. Ujedno to je i nova vrijednost koncentracije u fluidu s kojom se ulazi u sljedeću iteraciju, što je posljedica rubnog uvjeta, jed. (4.4). U primjeru 5 navedeni su procijenjeni parametri modela dobiveni kao rezultati testiranja prema prethodno opisanom modelu te pripadajuće vrijednosti energije aktivacije, E A Arrheniusove značajke, A r i korijena srednjeg kvadratnog odstupanja, SD. Testiranje modela s eksperimentalnim rezultatima prema modelu s unutarfaznom difuzijom prikazano je u primjeru 6, a usporedba rezultata dobivenih testiranjem oba modela na eksperimentalne rezultate prikazana je u primjeru 7. 20

21 PRILOZI Slika 4. Utjecaj temperature na konverziju toluena u reaktoru s nepokretnim slojem katalizatora pri različitim vremenima zadržavanja reakcijske smjese uz konstantnu početnu koncentraciju toluena (primjer 1) Slika 5. Testiranje eksperimentalnih rezultata na jednodimenzijksi pseudohomogeni model. Zavisnost udjela toluena o bezdimenzijskom vremenu zadržavanja (primjer 2). 21

22 Tablica 5. Rezultati testiranja praškastog katalizatora primjenom pseudohomogenog modela cijevnog reaktora (primjer 3) Temperatura, 0 C konstanta, min -1 SD ,97 1, ,38 1, ,46 1, ,03 0,74 E A, kj mol ,3 A r, min -1 1, SD10 2 1, ln A r ln k nagib E A R 2 1 eksperimentalni podaci (praškasti) model (praškasti) 0 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 1/Temperatura, 1/K Slika 6. Grafički test Arrheniusovog izraza, određivanje E A i A r (primjer 4) 22

23 Tablica 6. Rezultati testiranja praškastog katalizatora uz unutarfaznu difuziju (primjer 5) Temperatura, 0 C konstanta, min -1 difuzivnost 10 4, cm 2 min -1 SD ,35 0,472 7, ,08 3,202 1, ,59 4,881 1, ,91 8,654 1,04 E A, kj mol ,3 A r, min -1 6, SD 1, Molarni udio toluena, - 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 403 K model 403 K eksperiment 413 K model 413 K eksperiment 423 K model 423 K eksperiment 448 K model 448 K eksperiment 473 K model 473 K eksperiment 548 K model 548 K eksperiment 0,2 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 τ, - Slika 7. Testiranje eksperimentalnih rezultata na model s unutarfaznom difuzijom. Zavisnost udjela toluena o bezdimenzijskom vremenu zadržavanja (primjer 6) 23

24 Slika 8. Usporedba rezultata dobivenih prema pseudohomogenom modelu i modelu s unutarfaznom difuzijom na primijenjenom katalizatoru. Zavisnost udjela toluena o bezdimenzijskom vremenu zadržavanja (primjer 7) 24

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

KATALITIČKA OKSIDACIJA TOLUENA NA MIJEŠANIM METALNIM OKSIDIMA

KATALITIČKA OKSIDACIJA TOLUENA NA MIJEŠANIM METALNIM OKSIDIMA KTLITIČK OKSIDCIJ TOLUEN N MIJEŠNIM METLNIM OKSIDIM Hlapljivi organski spojevi (VOC) Izvori emisija VOC Toluen Katalitička oksidacija VOC Zahtjevi procesa i odabir katalizatora Pregled katalizatora za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

REAKTORI I BIOREAKTORI

REAKTORI I BIOREAKTORI REKTORI I BIOREKTORI MODELI CIJEVNIH REKTOR Vanja Kosar, izv. prof. Reaktori i bioreaktori Modeli cijevnih reaktora Osnovne značajke cijevnih reaktoru su: Zavisnost parametara o prostornim koordinatama

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

KATALIZA I KATALIZATORI i REAKCIJSKO INŽENJERSTVO I KATALIZA

KATALIZA I KATALIZATORI i REAKCIJSKO INŽENJERSTVO I KATALIZA FKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTV I TEHNOLOGIJE Zavod za reakcijsko inženjerstvo i katalizu Savska c. 16, 10000 Zagreb KTLIZ I KTLIZTORI i REKCIJSKO INŽENJERSTVO I KTLIZ Skripta za laboratorijske vježbe Zagreb,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš 7. ZAGREBAČKI ENERGETSKI TJEDAN 2016 Utjecaj izgaranja biomase na okoliš Ivan Horvat, mag. ing. mech. prof. dr. sc. Damir Dović, dipl. ing. stroj. Sadržaj Uvod Karakteristike biomase Uporaba Prednosti

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Postupak rješavanja bilanci energije

Postupak rješavanja bilanci energije Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

C kao nukleofil (Organometalni spojevi)

C kao nukleofil (Organometalni spojevi) C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα