( x) ) 1 1. Radni materijali 5.5. L'HOSPITALOVO PRAVILO. lim. lim. + x. Primjer: Neodreñeni oblik 0

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( x) ) 1 1. Radni materijali 5.5. L'HOSPITALOVO PRAVILO. lim. lim. + x. Primjer: Neodreñeni oblik 0"

Transcript

1 55 L'HOSPITALOVO PRAVILO Neodreñeni oblik Ako su unkcije i g deinirane u okolini očke a, i vrijedi: lim ( ), lim g( ) a a i g imaju neprekidne prve derivacije u nekoj okolini očke a, osim možda u a Za iz e okoline a je g ( ) 4Posoji ( ) lim a g ( ) Tada je ( ) ( ) lim lim a g( ) a g ( ) Tvrdna vrijedi i za + a ( a ), odnosno + + ( ) Primjer: ln( + ) lim ln( + ) lim lim ( ln( + ) ) lim lim + lim ( ) + Neodreñeni oblik Ako su unkcije i g deinirane u okolini očke a, i vrijedi: lim ( ), lim g( ) a a i g imaju neprekidne prve derivacije u nekoj okolini očke a, osim možda u a Za iz e okoline a je g ( ) 4Posoji ( ) lim a g ( )

2 Tada je ( ) ( ) lim lim a g( ) a g ( ) Tvrdna vrijedi i za Obradii na vježbama + a ( a ), odnosno + + ( ) Neodreñeni oblici,,,, se rješavaju ako da ih svedemo na jedan od dva prehodno analizirana neodreñena oblika (ili ili ) Primjer: e e lim e lim, lime ( ) lim lim lim e 5 6 MONOTONOST - Ponovii pojam monoonosi unkcije - Geomerijska inerpreacija rasuće unkcije je sljedeća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno onda se vrijednosi ordinaa očaka na grau ne smanjuju - Geomerijska inerpreacija srogo rasuće unkcije je sljedeća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno vrijednos ordinaa očaka na grau se povećavaju - Kažemo da gra unkcije «rase» ili da se «penje» - Analogno za padajuću i srogo padajuću unkciju - Funkcija je padajuća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno onda se vrijednosi ordinaa očaka na grau ne povećavaju - Funkcija je srogo padajjuća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno vrijednos ordinaa očaka na grau se smanjuju - Kažemo da gra unkcije «pada» Monoonos i angena Za gra derivabilne srogo rasuće unkcije očio je da je angena u svim očkama graa akoñer srogo rasuća Iz analiičke geomerije je znamo da je koeicijen smjera pravca koji «rase» uvijek veći od nule j k > Promorimo li gra srogo padajuće unkcije uočavamo da je angena u svim očkama graa srogo padajuća j k < Na kraju primjeimo da u području gdje gra unkcije ne rase srogo, odnosno ne pada srogo, unkcija sagnira i njen je gra paralelan s osi Važno je uočii da su za e očke pripadne angene paralelne s -osi, j k Pojam rasa unkcije u očki Neka je () derivabilna unkcija Za unkciju kažemo: da srogo rase u očki c D ako je ( c) k ( c) > da srogo pada o očki c D ako je ( c) k ( c) <

3 da sagnira u očki c D ako je ( c) k ( c) Točku u kojoj unkcija sagnira zovemo sacionarna očka U sacionarnoj očki angena je paralelna s osi i njena jednadžba je (c) c c c Monoonos i derivacija Neka je unkcija () neprekidna na inervalu ( a, b) i derivabilna u svim očkama og inervala Tada vrijedi: Ako je unkcija () rasuća ( rase) na inervalu ( a, b) D, ada je ( ) za svaki ( a, b) Vrijedi i obra: Neka je unkcija derivabilna na inervalu ( a, b) onda je unkcija rasuća (rase) na inervalu ( a, b) D Pazi: ( a, b) D Ako je ( ), za svaki Ako je ( ) > ada unkcija srogo rase Obra ne vrijedi Na primjer: unkcija srogo rasuća iako je ( ) Područje rasa unkcije () je unija inervala u kojima je unkcija srogo rasuća ( ) je k gα ( ) > a b a b a b je rasuća ( ) ( ) > srogo rasuća srogo rasuća ne znači ( ) Ako je derivabilna unkcija () padajuća (pada) na inervalu ( a, b) D, ada je ( ) za svaki ( a, b) Neka je unkcija derivabilna na inervalu ( a, b) D Ako je ( ) za svaki ( a, b) onda je unkcija padajuća na inervalu ( a, b) D

4 Ako je ( ) < unkcija je srogo padajuća, obra ne vrijedi Područje pada unkcije () je unija inervala u kojima je unkcija padajuća gα ( ) < k a b a b c je padajuća ( ) ( ) < srogo padajuća srogo padajuća ne znači ( ) < Neprekidna unkcija može bii rasuća (padajuća) na inervalu ( a, b) iako posoji očka c ( a, b) u kojoj (c) nije deinirana Primjer: Odredie inervale rasa i pada unkcije ( ) + D R ( ) za, ' _ ( ) unkcija () ( ) unkcija () ( ) za i rase za (, ] [, + ) pada za [,] 4

5 57 LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJE Funkcija ima lokalni minimum ( lokalni maksimum) u očki ako da vrijedi ( ) ( ) < ( ( ) ( ) ) > za svaki iz e okoline D ako posoji okolina očke Zajedničkim imenom lokalni maksimum i lokalni minimum zovu se lokalni eksremi Kriična očka neprekidne unkcije je svaka očka očka) ili u kojoj ) nije deinirana Točka na grau ( ) ( Ako je () neprekidna unkcija na inervalu (, b) D u kojoj je ( ) ( sacionarna ( ) zove se kriična očka graa, ( a, b a i ) je očka lokalnog eksrema ada je kriična očka Ako je kriična očka neprekidne unkcije unkcija u očki ne mora imai eksrem ( ) je sacionarna očka ( ) ne posoji je kriična očka Derivacija i eksrem Neka je neprekidna unkcija u svim očkama inervala ( a, b), i neka je derivabilna u svim očkama og inervala osim možda u očki 5

6 Ako derivacija unkcije mijenja predznak od negaivnog do poziivnog prolazom kroz očku ( od vrijednosi manjih od do vrijednosi večih od ) ada unkcija ima lokalni minimum u očki m, ( )) je očka lokalnog minimuma graa unkcije ( m(,( ) ) a b '() < '() > Uočimo : za a, ) unkcija pada, za (, b) unkcija rase ( Ako derivacija unkcije mijenja predznak od poziivnog do negaivnog prolazom kroz očku (od vrijednosi manjih od do vrijednosi večih od ) ada unkcija ima lokalni maksimum u očki M, ( )) je očka lokalnog maksimuma graa unkcije ( M(, ( ) ) '()> '()< Uočimo : za a, ) unkcija rase, za (, b) unkcija pada ( Tes prve derivacije za lokalni eksrem () je neprekidna unkcija na inervalu ( a, b) D derivabilna u svakoj očki inervala ( a, b) osim možda u očki ( a, b) Neka je kriična očka unkcije Na donjim primjerima je ilusrirano kako pomoću predznaka prve derivacije u oklolini očke možemo zaključii da li unkcija ima ili nema lokalni eksrem Ako unkcija u očki ima lokalni eksrem ovim posupkom možemo uvrdii da li je o lokalni minimum ili maksimum '( ) ne posoji '( ) ne posoji '() '( ) ( _ ) a b sacionarna očka kriič na očka kriič na očka 6

7 '( ) ne posoji '() '( ) '( ) ne posoji _ ( ) a b sacionarna očka kriič na očka kriič na očka '( ) ne posoji '() '( ) ( ) a b sacionarna očka kriič na očka '() '( ) '( ) ne posoji ( ) a b sacionarna očka kriič na očka Tes druge derivacije Algoriam za odreñivanje eksrema unkcije Preposavimo da unkcija () u okolini očke ima neprekidnu drugu derivaciju () Ako je ( ) i ( ) > ada unkcija () ima lokalni minimum u očki Ako je ( ) i ( ) < ada unkcija () ima lokalni maksimum u očki Ako je ( ) i ( ) ada moramo provesi dodana ispiivanja (preko esa prve derivacije ili preko derivacija višeg reda) Primjer: Ispiaje ima li unkcija ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 5 lokalne eksreme 7

8 Prva derivacija je deinirana za svako R Ispiajmo da li ima sacionarnih očaka j riješimo jednadžbu ( ) ( )( + ), «Kandidai» za eksrem su i ( ) Ispiajmo predznak druge derivacije u sacionarnim očkama ( ) > je očka lokalnog minimuma ( ) < je očka lokalnog maksimuma Konkavnos, konveksnos i očka inleksije Za gra derivabilne unkcije kažemo da je konkavan ( konveksan) u inervalu ( a, b) ako se gra unkcije nalazi ispod ( iznad) angene u bilo kojoj očki iz inervala ( a, b) Još kažemo konkavna ili zakrivljena prema dolje, odnosno konveksna ili zakrivljena prema gore ( ) a konkavna b ( ) a konveksan b Zakrivljenos i prva derivacija Gra unkcije () konveksan je na inervalu ( a, b) ako je () rasuća unkcija Gra unkcije () konkavan je na inervalu ( a, b) ako je () padajuća unkcija Zakrivljenos i druga derivacija Ako je ( ) > za svaki ( a, b) unkcija je konveksna u inervalu ( a, b) Ako je ( ) < za svaki ( a, b) unkcija je konkavna u inervalu ( a, b) 8

9 ( ) a b ( ) a b U slučaju proučavanja zakrivljenosi unkcije zanimaju nas očke u kojima unkcija iz jedne vrse zakrivljenosi prelazi u drugu Točka inleksije (pregiba) Neka je unkcija () dva pua derivabilna Točka graa unkcije u kojoj dolazi do promjene zakrivljenosi nazivamo očkom inleksije ili očkom pregiba Pošo u očki inleksije dolazi do promjene zakrivljenosi, očio je da () mora promijenii predznak u oj očki Ako je očka inleksije mora vrijedii ( ) ili ( ) nije deinirano '' () _ ' ( ) i ' () > '' () _ ' ( ) i ' () < '' () _ ' ( ) i ' () < '' () _ ' ( ) nije deinirano i ' () < '' () _ ' ( ) i ' () > '' () _ ' ( ) nije deinirano i ' () > 9

10 5 8 ASIMPTOTE Asimpoa graa unkcije je pravac sa svojsvom da udaljenos očke na krivulji od og pravca eži k nuli kada očka po grau unkcije odmiče u beskonačnos ( j kad udaljenos od ishodiša očke na krivulji eži u beskonačnos) T (, () ) d S d TS d Verikalna asimpoa Ako je uvjea ada je pravac c očka prekida ili očka na rubu područja deinicije unkcije i vrijedi barem jedan od lim ( ) + c lim ( ) + + c ( ) ( ) c verikalna asimpoa graa unkcije c c c Napomena: Gra unkcije može imai više verikalnih asimpoa c c

11 Horizonalna asimpoa Ako za unkciju vrijedi: a, + D i lim ( ) A, ( ) ada je pravac + A desna horizonalna asimpoa graa unkcije A Ako za unkciju vrijedi: ( b) D, i lim ( ) B, ada je pravac B lijeva horizonalna asimpoa graa unkcije B B Napomena: Gra unkcije može imai naj više dvije horizonalne asimpoe obosrana horizonala dvije horizonalne

12 Kosa asimpoa ( ) Ako za unkciju vrijedi ( a, + ) D i lim ( ) + ( ), e ako posoji lim k i + + lim ( ) k, ada je pravac k + l desna kosa asimpoa graa unkcije + [ ] l k + l ( ), b D i lim ( ) + ( ), e ako posoji lim k i lim ( ) k, ada je pravac k + l lijeva kosa asimpoa graa unkcije Ako za unkciju vrijedi ( ) [ ] l k + l Napomena: gra unkcije može imai najviše dvije kose asimpoe k + l obosrana kosa asimpoa k + l gra ima desnu i lijevu kosu asimpou

13 5 9 TOK I GRAF FUNKCIJE Odredii područje deinicije unkcije Ispiai je li posoji sjeciše graa unkcije s osi odnosno s osi Ispiai ponašanje unkcije na rubovima područja deinicije 4 Ispiai ima li gra unkcije kose asimpoe 5 Odredii inervale monoonosi 6 Odredii očke lokalnih eksrema 7 Ispiai je li unkcija parna ili neparna 8 Napisai dijagram oka 9 Skicirai gra unkcije Gore navedeni redosljed pojedinih koraka je samo sugesija auora Svaki suden može posupii kako se njemu čini jednosavnije ili logičnije Posupak cranja graa unkcije se može pojednosavnii ukoliko suden iskorisi svoja znanja o svojsvima graa nekih vrsa unkcija (parna, neparna, periodična) Zadaak: Ispiaje ok i skiciraje gra unkcije R: Zadana unkcija je polinom rećeg supnja Područje deinicije unkcije: D R Sjeciše graa unkcije s koordinanim osima 6 ( ) 6 Nul očke unkcije odreñujemo iz uvjea () j 6 ( 6), pa je jedan korijen jednadžbe 9 ± + 4 Iz 6 4 ± slijedi, 5 4 Gra unkcije siječe -os u ri očke: 5 N,, N (, ), 4 N + 5 4, Sjeciše graa unkcije s osi ( ) Gra unkcije siječe os u očki T (,)

14 Ispiajmo ponašanje unkcije za + i ( rubovi područja deinicije) lim ( + lim ( Zaključak: Gra unkcije nema horizonalnih asimpoa 4 Ispiajmo ima li gra unkcije kose asmpoe? ( ) k l lim lim 6) + 6) 6 lim ( 6) + Gra unkcije nema lijevu kosu asimpou 6 ( ) k d lim lim lim ( 6) Gra unkcije nema desnu kosu asimpou Zaključak: Gra unkcije nema kosih asimpoa 5 Odredimo inervale monoonosi ( ) 6 Inervale rasa unkcije odreñujemo iz uvjea ( ) j Iz 6 Inervale pada unkcije odreñujemo iz uvjea ( ) j iz 6 Nejednadžbe možemo riješii graički ako da nacramo gra unkcije ( ) 6 ± 9 + 7, 6 ± 8 6 Inerval rasa unkcije je: ( ) (, + ) Inerval pada unkcije je (, ), ± 9, 6 4

15 6 Točke lokalnih eksrema: Odredimo sacionarne očke unkcije iz uvjea () j 6 Korjene ove jednadžbe smo već odredili i o su i Ispiajmo predznak druge derivacije ( ) u sacionarnim očkama j je očka lokalnog maksimuma unkcije ( ) 6 ( ) 6 ( ) 9 ( ) < Vrijednos unkcije u 7 M, je očka lokalnog maksimuma graa unkcije ( ) ( ) ( ) 6 ( ) je očka lokalnog minimuma unkcije ( ) ( ) ( ) m, Točka lokalnog minimuma graa unkcije: ( ) ( ) 6 9 ( ) > 7 Dijagram oka () () 7 / NT M NT m NT + 5

16 8 Gra unkcije M (-, 7/) 7/ m (, -) 6

17 PROVJERA ZNANJA (primjena derivacija) Ima gra unkcije ( ) lijevu kosu asimpou? DA NE Ako je ( ) unkcija () je padajuća DA NE Ako gra unkcije () u očki ima angenu, ada posoji () DA NE 4 Na slici je dan gra unkcije () Γ - - ( ) nije deinirano za ( ) za 5 Na slici je zadan gra unkcije () Γ ' (, ) ( ) rase za 6 Deiniraje sacionarnu očku unkcije 7 Gra unkcije može imai lijevu i desnu kosu asimpou DA NE 8 Gra unkcije može imai lijevu kosu i lijevu horizonalnu asimpou DA NE 9 Ako je D sacionarna očka unkcije ada je ( ) DA NE 7

18 Na slici je dan gra unkcije () Odredie sve kriične očke unkcije - Na slici je zadan gra unkcije () Koji od graova a), b) i c) je gra ()? Γ a) b) c) Za unkciju () vrijedi : D R, ( ) < za <, ( ) > za > i ( ) Funkcija u očki ima lokalni eksrem DA NE Za unkciju () vrijedi : D R, ( ) < za <, ( ) < za > i ( ) Funkcija u očki ima lokalni eksrem DA NE 4 Funkcija () u očki ima lokalni maksimum Koji predznak ima derivacija () za < a koji za >? 8

19 5 Pravac + je angena na gra unkcije u očki T (,) Funkcija pada prolazom kroz očku T DA NE 6 Zašo gra unkcije ( ) nema verikalnu asimpou u očki? + 9

20 ODGOVORI (primjena derivacija) NE NE DA 4, ( ), ( ) 5 Funkcija rase za (,) 6 Točka 7 DA 8 NE 9 NE je sacionarna očka ako je ( ) D i b) DA NE 4 ( ) > za < i ( ) < za > 5 DA 6 U očki unkcija je deinirana

21 RIJEŠENI ZADACI (primjena derivacija) Izračunaje: cos 4 a) lim lim cos 4 b) lim lim ( cos 4) ( ) ( ) cos 4 ( ) 4sin 4 lim 4sin 4 lim lim ( 4sin 4) ( ) 6cos 4 6 lim 8 5 e 5 5e 5 c) lim lim ln d) lim lim 5 arcg5 e) lim + arcg7 lim lim Izračunaje + 5 lim + 4 Elemenarno: + 5 lim + 4 lim + L'Hospialovo pravilio: : : lim lim + 4 lim ( + 5) ( 4 ) lim ( + 5) ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim 6 4 6

22 Procijenie šo je jednosavnije Nacraje sve asimpoe graa unkcije ( ) + ( ) + D (, ) (, + ) lim lim Gra unkcije ima verikalnu asimpou lim + lim + + Gra unkcije ima lijevu i desnu horizonalnu asimpou Nema kosih asimpoa - χ

23 4 Zadana je unkcija rasa i pada unkcije ( ) Odredie : a) područje deinicije, b) kriične očke, c) inerval ( ) a) D R nema očaka prekida ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kriične očke su one u kojima je ( ) ili () nije deinirano ( ) () nije deinirano za ( ) j za i Funkcija ima ri kriične očke (sacionarna očka), i c) Inervale monoonosi odreñujemo pomoću predznaka prve derivacije ( ) < za < j za <, pa je, inerval pada unkcije ( ) > za > j za >, pa je,+ inerval rasa unkcije 5 Na slici je zadan gra unkcije () a b c d e g h

24 odredie inervale rasa unkcije ; odredie inervale pada unkcije; odredie očke za koje je ( ) 4 odredie očke u kojima derivacija () ne posoji; 5 odredie očke lokalnog minimuma; 6 odredie očke lokalnog maksimuma Odgovori: ( a, b), ( d, ), ( g, h) ; ( b, d ), (, g) ; ( c), ( d ), ( ) ; 4 () ne posoji u očkama: b i g ; 5 očke lokalnog minimuma su: d i g ; 6 očke lokalnog maksimuma su: b i 6 Odredie inervale monoonosi unkcije ( ) + sin ( ) + cos + cos Γcos - π - π/ π/ π - - ( ) za R dakle unkcija je rasuća 7 Odredie sacionarne očke unkcije D [ + ), ( ) + ( ) 6 ( ) 7 + ( + ) Sacionarne očke odreñujemo iz uvjea ( ), koji će bii ispunjen ako je 7 4

25 + 6 ili ( + ) ( ) Odmah vidimo da je + ( ) ako je ( + ) ( ) ( ) odnosno +, 6 za Pa je prva sacionarna očka Izvršimo supsiuciju, ± osale dvije sacionarne očke su : i + 8 Nañie očke lokalnih eksrema graa unkcije ( ) ln D (, + ) ( ) ln + ln ( ) e e ( e ) > unkcija ima lokalni minimum u ln e e e e e 5

26 m, e e e 9 Odredie inervale monoonosi i sacionarne očke unkcije ( ) D R { } e e e + ( ) + + sacionarna očka e + e () + { < < za (,) + > za (, ) (, + ) Možemo zaključii: ( ) > za (,) () rase ( ) < za (, ) (, + ) () pada 6

27 Lopa je bačena u zrak s vrha zgrade Njena visina h u sopama nakon sekunda zadana je unkcijom h ( ) Nakon koliko sekunda će lopa udarii u zemlju? Skicirajmo gra unkcije Γ h h( ) , h () 96 m Gra unkcije promaramo za Lopa će udarii u zemlju kada je h ( ) Kako je o će se dogodii nakon sekunde Kojom brzinom će lopa udarii u zemlju? Prema kinemaičkoj inerpreaciji derivacije znamo da je v ( ) h ( ), j v ( ) + 6 Znamo da je lopa udarila u zemlju nakon sekunde, pa je brzina u om renuku bila v ( ) j 8 sopa na sa Koliko je visoka zgrada? Lopa je bačena s vrha zgrade Visina zgrade jednaka je visini lope u renuku, j Visina zgrade h( ) 96 sopa 4 Koju naj višu visinu će lopa dosegnui? Pogledaje sliku Očio je da će lopa dosegnui najveću visinu u očki lokalnog maksimuma unkcije h () h ( ) + 6 7

28 h sopa 4 Napišie dijagram oka i skiciraje gra unkcije ( ) Područje deinicije unkcije D R \{ } Nul očke unkcije, dvosruka nul-očka Ispiivanje parnosi i neparnosi Funkcija nije ni parna ni neparna 4 Ispiivanje ponašanja unkcije u okolini očke lim + + lim Pravac je verikalna asimpoa graa unkcije 5 Ispiivanj ponašanja unkcije za i za + lim + + lim 6 Kose asimpoe lim k d, l lim d + + Gra unkcije ima desnu kosu asimpou + Analogno možemo zakčljučii da gra unkcije ima lijevu kosu asimpou + 7 Odreñivanje inervala monoonosi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () rase za (, ] [, + ) pada za [, ] \ { } 8

29 8 Lokalni eksremi Sacionarne očke i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) < unkcija u očki ima lokalni maksimum, M (, ) ( ) > unkcija u očki ima lokalni minimum, m (, 4 ) 9 Tablica oka + () () Gra unkcije + 4-9

30 Na slici je zadan gra Γ derivacije neprekidne unkcije () Odredie: a) inervale monoonosi, b) kriične očke i c) jednadžbu angene na gra unkcije u očki T (,) Γ - - a) za (, ) (,), ( ) > rase za (,) (, + ), ( ) < pada b) kriična očka, i sacionarne očke c) s graa derivacije unkcije Γ možemo odredii da je ( ) j u očki T (,) koeicijen smjera angene je k Jednadžba angene + e 4 Ispiaje ok i skiciraje gra unkcije ( ) ( ) ( ) e Područje deinicije ( ) ( ) e R Funkcija je neprekidna D Možemo zaključii da gra unkcije nema verikalnih asimpoa, jer za svaki da je () konačan broj D R imamo Sjeciša graa s koordinanim osima: ( ) ( ) e, e Nuločka unkcije je

31 Gra unkcije siječe os u očki N (,) ( ) ( ) e Gra unkcije siječe os u očki T (, ) Ispiajmo ponašanje unkcije za : lim ( ) e ( ) neodreñeni oblik Radni maerijali ( e ) lim lim lim e e Gra unkcije ima lijevu horizonalnu asimpoumožemo zaključii da gra unkcije nema lijevu kosu asimpou Ispiajmo ponašanje unkcije za + : lim + ( ) e ( + + ) + Gra unkcije nema desnu horizonalnu asimpou 4 Ima li gra unkcije desnu kosu asimpou? k d lim + ( ) e lim e + Gra unkcije nema desnu kosu asimpou + 6 Inervali monoonosi i sacionarne očke ( ) e + ( ) e e + e e e ( ) e Sacionarna očka Za > vrijedi ( ) >, a za < vrijedi ( ) < + () + ( )

32 7 Da li unkcija ima lokalne eksreme? ( ) e + e ( + ) e ( ) > Funkcija ima lokalni minimum za Točka lokalnog minimuma graa unkcije je m (, ) 8 Tablica oka: + () + + () + m NT 9 Gra unkcije: m (, -)

33 ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (primjena derivacija) Odredie jednadžbu angene na gra unkcije ( ) Ispiaje koje asimpoe ima gra unkcije ( ) ln u očki T, e + ( ) + Odredie lokalne eksreme unkcija a) c) ( ) ln( + )), b) ( ) ln, ( ) 4 Odredie jednadžbu normale na gra unkcije ( ) ln u očki e ln 5 Izračunaje lim 6 Odredie inervale monoonosi unkcije ( ) e 7 Napišie jednadžbe svih asimpoa graa unkcije: a) 8 Odredie nul-očku unkcije ( ) ( ln( ) ) angenu u nul-očki? ( ) e, b) Da li gra unkcije ima g ( ) arcg 9 Na slici je zadan gra derivacije Γ neprekidne unkcije () Odredie a) inervale monoonosi, b) kriične očke, c) jednadžbu angene na gra unkcije u očki T (,) Γ e + Odredie područje deinicije unkcije ( ) Ima li gra unkcije verikalne e asimpoe? Pokažie da ima desnu horizonalnu asimpou

34 Pokažie da gra unkcije asimpoe ( ) ima verikalnu asimpou, a da nema horizonalne Ispiaje ima li unkcija ( ) + lokalni eksrem Ispiaje ok i skiciraje graove sljedećih unkcija: a) 6 ( ) + b) ( ) c) ( ) - ( -) d) ( ) e e) ( ) ( ) e 4

35 RJEŠENJA e + VA, KA a) lokalni minimum m, b) c) 4 4 T ( e, ), + e 5 6 D R za (,) rase, za (, +,) pada 7 a) LH, DH, VA b) OH π 8 NT, ima 9 a) za (, ) (,) rase, za (, ) (, + ) pada b) ( ), ( ), ( ) nije deinirana c) T (,), ( ), ( ) lim ( ) + verikalna asimpoa, nema horizonalne asimpoe jer je lim ( ) + lim + ( ) +, lim ( ) +, lim ( ) i Ne 5

36 a) 6 ( ) - R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: i 4 Asimpoe i Nema lokalnih eksrema b) ( ) R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: Asimpoe: i Lokalni minimum za

37 c) ( ) - ( -) R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: Asimpoe: i Lokalni minimum za - - e d) ( ) + R: Područje deinicije: R \ { } Asimpoe: i + Lokalni minimum za - e) ( ) ( ) R: e Područje deinicije: R Nuločke : Asimpoa: Lokalni eksremi za + i

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

DOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009.

DOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009. UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO DOMAĆA ZADAĆA 5 /Formulacije i rješenja zadaaka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA ak. 9/. Selma Grebović Sarajevo, Decembar 9. godine Zad.. Za realnu funkciju

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike) Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G / Sarajevo,

Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G / Sarajevo, Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Š.G. 006 / 007. Sarajevo, 08. 0. 007. IME I PREZIME STUDENTA :... BROJ INDEKSA :...

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα