VVR,EF Zagreb. November 24, 2009
|
|
- Δελφίνια θάνα Καραβίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 November 24, 2009
2 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja
3 Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x, y) x + y definirana funkcija dviju varijabli, zbrajanje. Pišemo z = f (x, y) = x + y. Analogno, ako je (x, y, z) R 3 uredjena trojka realnih brojeva, onda je s (x, y, z) x + y + z definirana funkcija triju varijabli. Pišemo u = f (x, y, z) = x + y + z.
4 Zbrajanje nije jedina funkcija i mi općenito uredjenoj n-torki realnih brojeva, tj. za (x 1,..., x n ) R n definiramo funkciju n varijabli (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) i zovemo funkcija n realnih varijabli. Ako je f (x 1,..., x n ) R zovemo je realna funkcija od n realnih varijabli. Pišemo f : Ω R, Ω R n. Ako je funkcija f zadana formulom (izrazom), D(f ) je prirodno područje definicije za koje formula y = f (x) = f (x 1,..., x n )
5 ima smisla. Outline
6 Ako je na primjer zadana funkcija f formulom f (x, y) = 4 x 2 y 2 i f : D(f ) R, D(f ) R 2, onda je prirodno područje definicije D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} zatvoreni krug.
7 Graf funkcije Sa f (x, y) = x 2 + y 2 definirana je funkcija dviju varijabli, gdje je D(f ) = R 2. U pravokutnom koordinatnom sustavu promatramo skup G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D(f )} i nazivamo ga graf funkcije f. Graf G predstavlja plohu u prostoru R 3. Graf funkcije f (x, y) = x 2 + y 2 je... Općenito, graf funkcije od n varijabli je skup G = {(x 1,..., x n, f (x)) : x D(f )}.
8 Homogena funkcija Funkcija f je homogena stupnja homogenosti α ako vrijedi f (λx 1,..., λx n ) = λ α f (x 1,..., x n ). Ako je α = 1 funkcija se zove linearno homogena. To znači slijedeće: za λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = 1.01f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija ć e se povećati za 1%. Ako je stupanj homogenosti α = 2 i λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = f (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija će se povećati za 2.01%.
9 Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Razina (količina) proizvodnje Q ovisi faktorima proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje je gdje je 0 < α < 1 i 0 < β < 1. Ako je α + β = 1 imamo Q(L, C) = AL α C β Q(L, C) = AL α C 1 α.
10 Primjer: Poznata je Coob-Douglasova funkcija proizvodnje 1. Q(L, C) = 1.7L 0.6 C Q(L, C) = 1.7L 0.6 C 0.2 gdje je Q oznaka za razinu (količinu) proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Za koliko će se promijeniti ukupna proizvodnja ako se L I C povećaju za 6%? 1. α = 1 λ α = 1.06, pa ako L 6%, C 6% onda Q 6%. 2. α = 0.8 λ α = = , pa ako L 6%, C 6% onda Q 4.79%.
11 Parcijalne derivacije Prvo promatramo parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli. Neka je Ω R 2 otvoren skup i f : Ω R tj. f = f (x, y). Za svaku točku P 0 = (x 0, y 0 ) Ω imamo dvije funkcije (1) (x, y 0 ) Ω, x f (x, y 0 ) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla x, (2) (x 0, y) Ω, y f (x 0, y) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla y.
12 Sada teoriju koju smo razvili za funkciju jedne varijable primjenimo na proučavanje funkcije dviju varijabli. Medjutim, ako su funkcije (1) i (2) neprekidne, ne znači da je neprekidna funkcija z = f (x, y). Ako je funkcija x f (x, y 0 ) diferencijabilna za x = x 0, tj. postoji f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = x x 0 x x 0 f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) = lim x 0 x kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po x u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0)
13 ili Outline f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0 ).
14 Analogno, ako fiksiramo varijablu x, tj. x = x 0 i promatramo funkciju jedne varijable, y, odnosno y f (x 0, y) i ta je funkcija diferencijabilna za y = y 0, tj. postoji f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) lim = y y 0 y y 0 f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) = lim y 0 y kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po y u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0)
15 ili Outline f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0 ).
16 Primjeri: 1. Za funkciju f (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 parcijalne derivacije su f x = 2ax + 2by i f y = 2bx + 2cy.
17 2.Funkcija Outline ima prirodno područje definicije Njene parcijalne derivacije su f (x, y) = ln 1 x 2 y 2 D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. x f x = 1 x 2 y 2 i y f y = 1 x 2 y 2.
18 Pogledajmo geometrijsku interpretaciju danih parcijalnih derivacija. Označimo z 0 = f (x 0, y 0 ). Parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera (nagib) tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina y = y 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) ili y = y 0, z z 0 = f x (P 0 ) (x x 0 )
19 Analogno, parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina x = x 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) ili x = x 0, z z 0 = f y (P 0 ) (y y 0 )
20 Primjer: Ako je dana funkcija f (x, y) = x 2 + y 2 i točka P 0 = (1, 1), onda je Radi z 0 = f (x 0, y 0 ) = f (1, 1) = 2 f x = 2x, f x (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine y = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 1 = {(x, 1, x 2 + 1) : x R} je ili y = 1, z 2 = 2(x 1) y = 1, z = 2x.
21 Takodjer Outline f y = 2y, f y (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine x = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 2 = {(1, y, y 2 + 1) : y R} je ili x = 1, z 2 = 2(y 1) x = 1, z = 2y.
22 Za funkciju Outline y = f (x 1,..., x i,..., x n ) n varijabli kažemo da ima parcijalnu derivaciju po x i, (i = 1,..., n) u x = (x 1,..., x i,..., x n ) ako postoji f (x 1,..., x i + x i, x n ) f (x 1,..., x i,..., x n ) lim. x i 0 x i Označavamo je ili f x i (x) f xi (x)
23 ili Outline f i (x), (i = 1,..., n).
24 Parcijalna elastičnost Imamo funkciju potražnje q za nekom robom, gdje je q razina potražnje za promatranom robom. Ona ovisi o cijeni p 1 te robe cijeni p 2,..., p n drugih roba koje imaju utjecaj na potražnju promatrane robe dohotku k potrošača vremenu t. Dakle q = q(p 1, p 2,..., p n, k, t).
25 Zanima nas: kako na relativnu promjenu samo jedne od varijabli reagira potražnja? Mjera reagiranja potražnje dana je koeficijentima elastičnosti. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu te robe E q,p1 = p 1 q q p 1. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu neke druge robe ili koeficijent križne elastičnosti E q,pi = p i q q p i, i = 2, 3,..., n.
26 Koeficijent dohodovne elastičnosti E q,k = k q q k. Koeficijent elastičnosti potražnje prema tijeku vremena E q,t = t q q t.
27 Primjer 1: Funkcija potražnje za nekom robom je gdje je q(p 1, p 2 ) = p e 0.5p p 1 cijena te robe1. p 2 cijena neke druge robe2. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4. E q,p1 = 0.5 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe1. raste za 1% a cijena robe2.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10.1, p 2 = 4 potražnja za robom1. pada približno za 0.5%. E q,p2 = 0.5p 2 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe2. raste za 1% a cijena robe1.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4.04 potražnja za robom1. raste približno za 2% roba1 i roba2 su dobri supstituti.
28 Primjer2: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti. E Q,L = 0.7 tj. ako L 1%, C se ne mijenja, Q približno za 0.7%. E Q,C = 0.3 tj. ako C 1%, L se ne mijenja, Q približno za 0.3%.
29 Ako je Outline y = f (x 1,..., x n ) koeficijent parcijalne elastičnosti je E y,xi = x i y y x i = x i y y x i, i = 1,..., n.
30 Eulerov teorem: Ako je y = f (x 1,..., x n ) homogena funkcija stupnja homogenosti α i ima sve parcijalne derivacije f xi, (i = 1,..., n), onda vrijedi E y,x1 + + E y,xn = α. Primjer: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Ova funkcija je homogena stupnja homogenosti α = 1 pa je E Q,L + E Q,C = 1.
31 Neka je z = f (x, y) funkcija f : Ω R, Ω R 2 i neka je klase C 1 (Ω). Promatramo ravninu u kojoj leže pravci y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) i x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Eksplicitni oblik jednadžbe ravnine je z = ax + by + c. Kako tražena ravnina prolazi kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) vrijedi z 0 = ax 0 + by 0 + c pa je z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ).
32 Za y = y 0 imamo a = f x (x 0, y 0 ). Za x = x 0 imamo b = f y (x 0, y 0 ). Jednadžba te ravnine je sada ili z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) i uz pretpostavku da je f C 1 (Ω) ovu ravninu zovemo tangencijalna ravnina plohe ili grafa G kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Uz oznaku P 0 = (x 0, y 0 ) jednadžbu tangencijalne ravnine pišemo z = f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ).
33 Ovdje kontrolom samo dva smjera promjene funkcije f iz točke (x 0, y 0 ) u točku (x 0 + x, y 0 ) ili u točku (x 0, y 0 + y) kontroliramo i preostale smjerove (x 0 + x, y 0 + y) = (x, y). Sada je f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) ili f (P) f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 )
34 ako je točka P = (x, y) blizu točke P 0 = (x 0, y 0 ), tj. ako je ρ = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = d(p, P 0 ) malo. Označimo prirast funkcije s f = f (x 0, y 0 ) = f (x, y) f (x 0, y 0 ) = f (P) f (P 0 ). Ako je f C 1 (Ω) u izrazu f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = f x (P 0 )(x x 0 )+f y (P 0 )(y y 0 ) uvodimo oznake dx = x x 0 i dy = y y 0 i zovemo ga potpuni ili totalni diferencijal funkcije dviju varijabli u točki P 0 = (x 0, y 0 ) i označavamo ga s df = df (x 0, y 0 ) = df (P 0 ) pa je df = df (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy
35 ili Dakle Outline df = df (P 0 ) = f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy. df f. Diferencijal df zovemo još potpuni diferencijal prvog reda.
36 Primjer: Ako je f (x, y) = 3x 2 + xy y 2 + 1, odredite približnu vrijednost funkcije f u točki P = (x, y) = (1.1, 2.2) pomoću točke P 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 2). Kako je f x = 6x + y, f x (1, 2) = 8 i f y = x 2y, f y (1, 2) = 3 imamo jednadžbu tangencijalne ravnine u točki (1, 2) z = 2 + 8(x 1) 3(y 2).
37 Sada je vrijednost funkcije f u točki (1.1, 2.2) približno jednaka vrijednosti funkcije z u točki (1.1, 2.2), tj. f (1.1, 2.2) = Primjetimo da je f (1.1, 2.2) = 2.21.
38 Primjer: Izračunajte približno Ako uzmemo te imamo df = f x dx + f y dy = x 0 = 1, x = 0.02, y 0 = 2, y = 0.03, f (x, y) = x 3 + y 3 3x 2 2 x 3 + y 3 dx + 3y 2 2 x 3 + y 3 dy. Sada je f (1, 2) + f x (1, 2)dx + f y (1, 2)dy = = = 2.95.
39 Druge parcijalne derivacije Ako funkcija f : Ω R, Ω R 2 ima obje parcijalne derivacije f x i f y na Ω, time su definirane dvije nove funkcije i možemo promatrati njihove parcijalne derivacije f xx, f xy, f yx, f yy. Schwartzov teorem: Ako je funkcija f C 2 (Ω), onda su mješovite parcijalne derivacije drugog reda jednake, odnosno f xy = f yx.
40 Matricu Outline [ fxx f H = xy f yx f yy ] zovemo Hesseova matrica. Zbog f C 2 (Ω) imamo f xy = f yx pa je [ ] fxx f H = xy f xy f yy
41 se definira na konveksnom skupu i predstavlja jednu od osnovnih i najvažnijih funkcija primjenjene matematike. Skup Ω R n je konveksan ako pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke skupa Ω leži u skupu, tj ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] (1 α)x 1 + αx 2 Ω. Definicija: Funkcija f : Ω R, Ω R n konveksan skup, je konveksna ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Drugim riječima, pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke grafa G funkcije f je iznad grafa ili na grafu.
42 Takodjer vrijedi Teorem: Neka su f i g konveksne funkcije na konveksnom skupu Ω onda je i njihov zbroj h = f + g konveksna funkcija na Ω. Takodjer funkcija h = kf, gdje je k > 0 konstanta, je konveksna. Funkcija f definirana na konveksnom skupu Ω je konkavna ako je funkcija f na njemu konveksna. Kako je po definicije općenito teško provjeriti da li je funkcija konveksna ili nije, prelaz na diferencijabilne funkcije omogućava, u nekim slučajevima, jednostavniju karakterizaciju.
43 Funkcija f je konveksna na konveksnom skupu Ω ako je tangencijalna ravnina u svakoj točki grafa te funkcije na grafu ili ispod grafa. Ako je f C 2 (Ω), Ω R 2 konveksan, otvoren skup i f xx > 0, det H = f xx f yy f 2 xy > 0 onda je funkcija f konveksna na Ω.
44 Funkcija je konveksna jer je te det H = 4. Outline f (x, y) = x 2 + y 2 f x = 2x, f y = 2y f xx = 2 > 0, f xy = 0, f yy = 2
45 Funkcija je konveksna jer je te det H = e x e y > 0. Outline f (x, y) = e x + e y f x = e x, f y = e y f xx = e x > 0, f xy = 0, f yy = e y
46 Funkcija je konveksna jer je Outline f (x, y) = x 2 + 4xy + 5y 2 f x = 2x + 4y, f y = 4x + 10y f xx = 2 > 0, f xy = 4, f yy = 10 i H = [ ], det H = = 4 > 0.
47 Konkavna funkcija Funkcija f je konkavna ako je f xx < 0 det H = f xx f yy f 2 xy > 0. Primjer: Funkcija f (x, y) = ln x + ln y je konkavna jer je f xx = 1 x 2 < 0 det H = 1 x 2 y 2 > 0.
48 funkcije dviju varijabli Za funkciju f : Ω R, Ω R 2, δ okolina oko točke (x, y ) je otvoreni krug O(δ) = {(x, y) : (x x ) 2 + (y y ) 2 < δ}. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem.
49 Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) oko (x, y ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem.
50 Teorem: Ako je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω lokalni ekstrem, onda je Primjedba: f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0. (x, y ) Ω sa svojstvom f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0 zove se stacionarna točka. Stacionarna točka je kandidat za ekstrem. Uvjet izrečen u teoremu je nužan (potreban) za postojanje ekstrema.
51 Teorem: Neka je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = Ako je f konveksna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni minimum na Ω. 2. Ako je f konkavna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni maksimum na Ω.
52 Primjeri: Da li funkcije 1. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + x y f (x, y) = 2xy 3x 2 2y f (x, y) = 4(x y) x 2 y 2 4. f (x, y) = e x + e y imaju globalne ekstreme?
53 Teorem: Neka je f C 2 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = Ako je f xx (x, y ) > 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni minimum. 2. Ako je f xx (x, y ) < 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum. Primjedba: Ako je Ako je det H(x, y ) = 0, potrebna su daljnja ispitivanja. Ako je det H(x, y ) < 0, funkcija nema ekstrema.
54 Primjeri: 1. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Stacionarne točke su (0, 0) i (1, 1). Lokalni minimum je (1, 1) i f (1, 1) = Da li je (5, 6) lokalni minimum funkcije f (x, y) = x 3 + y 2 6xy 39x + 18y + 20? Daaaa...
55 Problem kojim se bavimo je iznalaženje lokalnog ekstrema funkcije f dviju varijabli uz ograničenje u obliku jednadžbe g(x, y) = 0. Metode Metoda supstitucije Metoda Lagrangeovih množitelja
56 Metoda supstitucije Ograničenje g(x, y) = 0 je implicitno zadana funkcija y = y(x) ili x = x(y). Ako je barem jednu od ove dvije funkcije moguće izraziti eksplicitno, tj y = y(x) ili x = x(y), onda koristimo metodu supstitucije na slijedeći način. Ako je y = y(x), formiramo funkciju F jedne varijable x i imamo i njoj odredimo ekstreme. F (x) = f (x, y(x))
57 Primjer: Funkciji f (x, y) = x 2 + y 2 treba naći lokalne ekstreme na skupu rješenja jednadžbe x + y 2 = 0. Rješenje: Za x = 1, y = 1 funkcija f dostiže najmanju vrijednost f (1, 1) = 2.
58 Metoda Lagrangeovih množitelja Formiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y). Lagrangeova funkcija je funkcija od tri varijable. Uvedena varijabla λ je Lagrangeov množitelj. Stacionarna točka Lagrangeove funkcije je kandidat za optimum.
59 Stacionarna točka Lagrangeove funkcije 1. Odredimo parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije L x, L y i L λ. 2. Riješimo sustav jednadžbi L x = 0, L y = 0 i L λ = Ako ovaj sustav ima rješenje (x, y, λ ), onda je (x, y, λ ) stacionarna točka. 2.2 Ako ovaj sustav nema rješenje, problem nema optimum. 3. Postojanje stacionarne točke je nužan (potreban) uvjet za postojanje optimuma.
60 Dovoljan uvjet Formiramo Hesseovu matricu Lagrangeove funkcije H = L xx L xy L xλ L yx L yy L yλ L λx L λy L λλ. 1. Ako je det H(x, y, λ ) > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije. 2. Ako je det H(x, y, λ ) < 0, onda je (x, y ) lokalni minimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije.
61 Primjer: Treba odrediti ekstreme funkcije f (x, y) = x + y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2. Rješenje: Dvije su stacionarne točke 1. (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) 2. (x, y, λ ) = ( 1, 1, 0.5) 1. (1, 1) je lokalni maksimum i f (1, 1) = ( 1, 1) je lokalni minimum i f ( 1, 1) = 2.
62 Interpretacija Lagrangeovog množitelja Primjer: Riješimo problem uz ograničenje max xy x + y = 2. Dobivamo (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) i f = f (x, y ) = f (1, 1) = 1. Ako je f (x, y) korist od dodijele dvije jedinice novčanih jedinica na dvije aktivnosti te se prvoj aktivnosti dodijeli jedna novčana jedinica (x = 1), drugoj, (y = 1), jedna novčana jedinica, dostiže se najveća korist f = 1.
63 Graf funkcije xy = 1 je krivulja konveksna (prema ishodištu) i svaka točka te krivulje opisuje jednu raspodjelu na aktivnosti pri kojoj je korist od raspodjele jednaka jedan. Raspodjela ograničenog budžeta je uvjet x + y = 2 i graf ove funkcije je pravac koji je tangenta krivulje xy = 1 u točki (1, 1).
64 Pri povećanju budžeta za jednu jedinicu, tj. ograničenje je x + y = 3 pa imamo novi problem uz ograničenje max xy x + y = 3. Ovaj problem ima novo optimalno rješenje i novu optimalnu vrijednost funkcije koristi koja je približno jednaka f λ, tj. f λ =
65 Optimalna vrijednost Lagrangeovog množitelja je λ = 0.5 a λ = 0.5 zovemo cijena u sjeni dualna cijena obračunska cijena. Približna promjena optimalne vrijednosti funkcije cilja (koristi) pri povećanju resursa za jedinicu je λ. λ je oportunitetni trošak, jer trošak dodatne jedinice resursa usporedjujemo s koristi dobivenom od tog povećanja, tj. da li se povećanje isplati ili ne.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal
Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότερα2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski
Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable
Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραQ(y) =100(300 2y) 1 3 y
2. Diferencijalni račun i primjene Rješenje. Dakle, problem se sastoji u maksimizaciji funkcije (2.222) uz ograničenje 50x + 100y = 15000. (2.223) Riješimo ga metodom supstitucije. Iz ograničenja (2.223)
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih
11 Funkcije dvije i više promjenljivih Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaa i B i njihove potražnje zavise o cijenamap A i p B Q A je potražnja za proizvodoma,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραPlohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE
3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 2
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Lekcije iz Matematike 2. 7. Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija.
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)
FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραPRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
. y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika
Διαβάστε περισσότερα! R. f : D. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R. f pridruen je jedan i samo jedan realan broj u 2 R:) (x; y) 2 D
3.3 Funkcije više varijabli Denicija 3.1 Neka je D R m R R: Funkciju f : D! R nazivamo realnom funkcijom od m realnih varijabla. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R (Svakoj
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni teoremi diferencijalnog računa
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραEkstremi funkcije jedne varijable
maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα