x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x"

Transcript

1 Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t Dobili smo traženu funkciju f() = Vježba 00 Odredi realnu funkciju f() ako je f( ) = Rezultat: f() = Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi inverznu funkciju f () ako je f ( ) = Rješenje 00 Napišimo zadanu funkciju tako da umjesto f() pišemo : = Sada u funkciji zamijenimo slova i :, = Iz dobivene funkcije trebamo izračunati nepoznanicu Prvo ćemo cijelu jednadžbu pomnožiti zajedničkim nazivnikom : / ( ) ( ) = = [ množi cijelu zagradu] = [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu ] = [izlučimo ] ( ) = / : ( ) = [jednadžbu logaritmiramo logaritmom po bazi ]

2 n = / log log = log log b a = n log b a, log b b = log = log = log = log Na kraju ponovno umjesto napišemo f () pa rješenje glasi: f ( ) = log Vježba 00 Odredi inverznu funkciju f () ako je Rezultat: f ( ) = log Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije 5 Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = sin : f ( ) = 5 f() = sin( π) Period funkcije sinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su 0, π, π, π,, tj kπ, k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u i iznosi Minimum funkcije je u i iznosi π π Zadana funkcija f() = sin( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije sinus: 0, π, π π π = 0 = π / : =, π = π = π π = π / : = π, π π = π = π π = π / : = Nultočke naše funkcije su: π π, π,

3 Funkcija sinus imala je maksimum u točki Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s pa je π π π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima maksimum u koji iznosi Analogno je za minimum: 5 5 π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima minimum u koji iznosi π 5π Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: f() = sin( π) Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : f() = cos( π) Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi

4 Zadana funkcija f() = cos( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: π π i π π π π π = = π = /: =, 5 5 π π π π π = = π = /: = π 5 π i Funkcija kosinus imala je maksimum u točkama 0 i π Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: π π = 0 = π /: =, π π = π = π π = π /: = Dakle, funkcija f() = cos( π) ima maksimume u π π i koji iznose Analogno je za minimum: π = π = π π = π /: = π Dakle, funkcija f() = cos( π) ima minimum u π koji iznosi Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije : f() = cos( π) Rezultat:

5 Zadatak 005 (Petra, gimnazija) Odredi temeljni period funkcije: f() = sin sin Rješenje 005 Funkcija f je periodička s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka, P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi f( P) = f() Broj P zove se period funkcije f Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f Ako je P period zadane funkcije, onda mora vrijediti: sin ( P) sin ( P) = sin sin Ova jednakost vrijedi za svaki pa specijalno za = 0 dobivamo: Zato pišemo: sin (0 P) sin (0 P) = sin 0 sin ( 0), [sin 0 = 0] sin P sin P = 0 Produkt dva broja jednak je nuli ako je barem jedan od brojeva jednak nuli sin P = 0, sin P = 0 Jednadžba sin P = 0 daje rješenja P = kπ Jednadžba sin P = 0 daje rješenja k π P = Broj k je prirodan broj Provjeravanjem za π π P= i P= vidimo da nisu periodi Temeljni period zadane funkcije je P = π Vježba 005 Odredi temeljni period funkcije: f() = cos Rezultat: P = π Zadatak 006 (Martina, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rješenje 006 Crtanje grafa funkcije pokazat ćemo kroz sve faze I DOMENA FUNKCIJE Moramo naći vrijednosti za koje funkcija f() nije definirana i njih izbaciti iz skupa R Budući da je to racionalna funkcija nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Domena je skup R, osim brojeva i Pišemo: D( f ) = R \{,} II PARNOST FUNKCIJE Provjerimo je li zadana funkcija parna, neparna ili nije ni jedno, ni drugo Za parne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene 5

6 Za neparne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene Računamo: ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) Funkcija f() je parna, a to znači da je njezin graf simetričan s obzirom na -os ili ordinatu III INTERVALI MONOTONOSTI FUNKCIJE Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() > 0 za a < < b, tada je f() monotono rastuća (uzlazna) Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() < 0 za a < < b, tada je f() monotono padajuća (silazna) Tražimo prvu derivaciju zadane funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 8 6 f '( ) = = = = 6 Ako je f '( ) > 0, slijedi > 0 ( ) Razlomak je pozitivan ako su brojnik i nazivnik oba pozitivni ili oba negativni U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da i brojnik mora biti pozitivan: 6 > 0 => > 0 Prema tome, za > 0 funkcija je monotono rastuća 6 Ako je f '( ) < 0, slijedi < 0 ( ) Razlomak je negativan ako je brojnik negativan, a nazivnik pozitivan ili ako je brojnik pozitivan, a nazivnik negativan U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da brojnik mora biti negativan: 6 < 0 => < 0 Prema tome, za < 0 funkcija je monotono padajuća IV NULTOČKE FUNKCIJE Nultočke funkcije jesu točke u kojima graf funkcije siječe -os ili apscisu Budući da je to racionalna funkcija brojnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Funkcija ima dvije nultočke N (, 0) i N (, 0) V EKSTREMI FUNKCIJE Ekstremi funkcije mogu biti maksimum ili minimum ili oboje Moramo najprije naći prvu derivaciju: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ' ' f '( ) = = = = Sada prvu derivaciju izjednačimo s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu 6 ( ) [ ] = 0 razlomak je jednak nuli, ako je brojnik jednak nuli 6 = 0 = 0 Rješenje je = 0 Ta se točka zove stacionarna točka Hoće li u njoj biti maksimum ili minimum, znat ćemo ako nađemo drugu derivaciju U drugu derivaciju uvrstimo = 0 Ako je druga derivacija pozitivna, funkcija ima minimum, ako je pak druga derivacija negativna, funkcija ima maksimum 6

7 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ' 6 ' f ''( ) = = = = Uvrstimo = 0: ( ) ( 0 ) f ''(0) = = = 6 0 Dakle, druga derivacija je pozitivna pa funkcija u točki = 0 ima minimum Vrijednost minimuma dobit ćemo tako da = 0 uvrstimo u zadanu funkciju: Minimum će biti u točki M(0, ) VI VERTIKALNE ASIMPTOTE Ako postoji takav broj a da je onda je pravac = a asimptota (vertikalna asimptota) Budući da je to racionalna funkcija: 0 0 f (0) = = = lim f ( ) =, a f ( ) = nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: = 0 = = /, = ± =, = Vertikalne asimptote su pravci: = i = VII KOSE ASIMPTOTE Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, f ( ) k = lim, [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (desna kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to desna horizontalna asimptota Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, k = lim f ( ), [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (lijeva kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to lijeva horizontalna asimptota Graf funkcije = f() (pretpostavljamo da je funkcija jednoznačna) ne može imati više od jedne desne (kose ili horizontalne) niti više od jedne lijeve (kose ili horizontalne)asimptote Tražimo koeficijent smjera k

8 f ( ) k = lim = lim ± ± lim lim k lim lim lim = = = = = = = = 0 ± ± ± ± ± 0 Računamo odsječak na -osi l 0 l lim [ f ( ) k ] lim 0 lim lim lim = = = = = = = = ± ± ± ± ± 0 Asimptota je pravac = Vježba 006 Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rezultat: Zadatak 007 (Darjan, medicinska škola) Nacrtaj graf funkcije 5π f ( ) = cos( ) Rješenje 007 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi 8

9 Zadana funkcija ima amplitudu što znači da će maksimum biti a minimum 5π f ( ) = cos( ), Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: 5π π π i 5π π π 5π π = = = = π, 5 5 π = π = π π = π = π π, π Funkcija kosinus je imala maksimum u točkama 0 i π (to će sada biti minimum zbog negativne amplitude) Sada argument 5π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: 5π 5π = 0 =, 5π 5π π = π = π = Dakle, funkcija 5π f ( ) = cos( ) ima minimum u 5π π i koji iznosi 9

10 Analogno je za maksimum: Dakle, funkcija ima maksimum u koji iznosi 5π 5π π = π = π = π Vježba 007 Nacrtaj graf funkcije: f ( ) = cos( ) Rezultat: Zadatak 008 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije f ( ) = 6 Rješenje 008 Domenu razlomljene linearne funkcije čine svi realni brojevi za koje je nazivnik različit od nule Zato ćemo polinom u nazivniku izjednačiti s nulom, riješiti jednadžbu i rješenje ''izbaciti'' iz skupa R: Vježba 008 Odredi domenu funkcije Rezultat: D f = R { } ( ) \ 6 = 0 => = 6 / : => = ( ) { } D( f ) = R \ f ( ) = 5 5 Zadatak 009 (Ivana, gimnazija) Prevedi u eksplicitni oblik: 5 = 0 Rješenje 009 Ako se funkcija može napisati u obliku = f() kažemo da ima eksplicitni oblik Iz zadane jednadžbe izračunamo : 5 = 0 => = 5 / ( ) => = 5 => 0

11 => ( ) = 5 / : ( ) => 5 => = Vježba 009 Prevedi u eksplicitni oblik: 5 7 = 0 5 Rezultat: = 7 Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije: log ( ) f ( ) = Rješenje 00 Domena logaritamske funkcije = log skup je svih pozitivnih realnih brojeva: D(log ) = 0, Budući da je u brojniku logaritamska funkcija, bit će: > 0, > / : > Znači da je domena funkcije log ( ) interval:, U nazivniku je polinom drugog stupnja Nazivnik ne smije biti jednak nuli ni za koji (jer se s nulom ne može dijeliti) Zato izraz u nazivniku izjednačimo s nulom, riješimo jednadžbu i rezultate ''izbacimo'' iz skupa R: Domena zadane funkcije je: ili Vježba 00 Odredi domenu funkcije: Rezultat:, \{ 7 } = 0 => ( ) = 0 => => [a b = 0 a = 0 ili b = 0 ili a = b = 0] => => = 0, = 0 => = 0, = ( 0, ) D( f ) =, \ { } D( f ) =,, log ( 6) f ( ) = 7 Zadatak 0 (Tonka, ekonomska škola) Za funkcije f() = 5 i g() = odredite f g Rješenje 0 Funkcija f zadana je analitičkim izrazom pa vrijedi: f() = 5,

12 f(a) = a 5a, f( b) = ( b) 5 ( b), f(a b) = (a b) 5 (a b), Slično je i za funkciju g: f(ab c) = (ab c) 5 (ab c), a a a f = 5, b b b g() =, g(a) = a, g( b) = ( b), g(a b) = (a b), g(ab c) = (ab c), g a a = b b Kompozicija funkcija f g tada je jednaka: (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 5 ( ) = = 6 Možemo računati i ovako: (f g)() = f(g()) = [g()] 5 g() = [ ] 5 ( ) = = = 6 Vježba 0 Za funkcije f() = i g() = odredite f g Rezultat: Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Koliki je zbroj nultočaka funkcije f ( ) =? Rješenje 0 Budući da je to polinom četvrtog stupnja, bit će četiri nultočke Najjednostavnije do rješenja dođemo uporabom Vièteovih formula: Neka je f() = n a n- a n- a n- a n- a n- a n polinom, a,,,, n njegove nultočke Tada vrijede Vièteove formule: n = a n n- n = a n- n- n = a n = ( ) n a n Ako polinom f() nije normiran, tj ako mu je najstariji koeficijent a 0, onda na desnim stranama umjesto a i a i treba pisati Za polinom četvrtog stupnja a0 f() = a a a a Vièteove formule glase: = a = a U našem zadatku koeficijenti su = a = a f ( ) =

13 pa je a =, a =, a =, a = = a = = Zbroj nultočaka jednak je Vježba 0 Koliki je zbroj nultočaka funkcije: f ( ) = 6 5 8? Rezultat: 6 Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Ako je = nultočka polinoma f() = 5 8, odredi njezinu kratnost Rješenje 0 Uvjerimo se da je = nultočka zadanog polinoma f(): f() = 5 8, f() = 5 8 = = = 0 Dobili smo f() = 0, što znači da je = nultočka polinoma f() Polinom f() = 5 8 može se napisati kao f() = ( ) ( ) ( ), gdje su,, nultočke zadanog polinoma Pišemo: 5 8 = ( ) ( ) ( ) Sada polinom f() = 5 8 podijelimo polinomom [Kako se dijele polinomi pogledajte [Zadatak 00 i Zadatak 00] 5 8 : = ( ) ( ) ± 8 ± 6 ± 0 Do polinoma možemo doći i na sljedeći način [uporabom teorema o jednakosti dva polinoma: Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] Napišimo: 5 8 = ( ) ( a b), 5 8 = a b a b, 5 8 = (a ) (b a) b,

14 Dakle polinom glasi Nađimo nultočke polinoma f() = a = 5 a = b a = 8 b = b = a b = = 0, b ± b ac ± 9 8 ±, = = = = =, = = a Ponovno je broj nultočka Dakle, = je nultočka kratnosti Vježba 0 Ako je = nultočka polinoma f() =, odredi njezinu kratnost Rezultat: Zadatak 0 (Matea, gimnazija) Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano: h( ) =, f ( ) =, g( ) = Rješenje 0 Teorija: Za zadane funkcije f i g i realne brojeve A i B funkcija h = A f B g, zove se linearna kombinacija funkcija f i g Realne brojeve A i B odredit ćemo metodom neodređenih koeficijenata Prema uvjetu zadatka treba odrediti realne brojeve A i B takve da vrijedi h() = A f() B g(), A B = Pomnožimo ovu jednakost izrazom : A B = / ( ) = A ( ) B ( ) Sređivanjem desne strane jednakosti dobije se: = A A B B, Prema stavku o jednakosti polinoma = (A B) (A B) [Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] mora vrijediti: A B = = ( A B) ( A B) 0 = ( A B) ( A B) A= A= B= A B = 0 Traženi rastav glasi: =, tj h = f g Vježba 0 Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano:

15 Rezultat: h( ) =, f ( ) =, g( ) = h = f g Zadatak 05 (Ines, gimnazija) Odredite područje definicije realne funkcije 0 f ( ) = Rješenje 05 Ponovimo! Područje definicije funkcije f ( ) = je 0 ili 0, jjmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Zato je: Uz zamjenu t = slijedi: t 0 t 0 0 t t t ( t ) Dobivenu nejednadžbu riješimo pomoću tablice Najprije provedemo diskusiju Pitamo se za koje t je nazivnik jednak nuli: t t = 0 t = 0 i t = ( ) Te rezultate moramo izbaciti iz skupa rješenja Sada rješavamo nejednadžbu: ( t) t ( t ) 0 0 Nađemo karakteristične točke tako da svaki faktor izjednačimo s nulom: 0 t = 0, t = 0, t = 0 => t = 0, t = 0, t = Karakteristične točke su: 0, i 0 Napravimo tablicu! t - t - t Produkt - - Rješenje nejednadžbe je: ili napisano pomoću znakova nejednakosti: Zbog supstitucije t = slijedi: t, 0, 0 ] t < 0 i < t 0 < 0, nema smisla, 5

16 ,5,5 0, ,5 - -,5 - < 0 < 0 / < 00 Područje definicije je:, 00 ] Vježba 05 Odredite područje definicije realne funkcije f ( ) = 0 Rezultat: 00, Zadatak 06 (Ines, gimnazija) Odredite kodomenu funkcije f() = Rješenje 06 Graf kvadratne funkcije f() = a b c je parabola s tjemenom u točki T = ( 0, 0 ), gdje su: b ac b 0 =, 0 = a a U točki 0 funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, a najveću vrijednost ako je a < 0 Graf kvadratne funkcije f() = je parabola =, pri čemu je: Koordinate tjemena su: a =, b =, c = = = 075, 0 = = T(075, -5) Skup vrijednosti funkcije (kodomena) je projekcija grafa funkcije na os ordinata Kodomena zadane funkcije je: 5, Vježba 06 Odredite kodomenu funkcije f() = Rezultat: 0, Zadatak 07 (Ines, Petra, gimnazija) Odredite inverznu funkciju funkcije Rješenje 07 inačica f ( ) = log(00 ) 6 = log(00 ) = log(00 ) / = log( 00 ) log a c b c b = = a = 00 /:00 = = = =

17 Vježba 07 Rezultat: = 0 = 0 / = 0 f ( ) = 0 inačica = log(00 ) = log(00 ) / = log(00 ) 6 6 log( ) = log log, log n = n log 6 6 = log00 log 6 6 = log log = 6 6 log = 8 6 /: log = = 0 f ( ) = 0 Odredite inverznu funkciju funkcije f ( ) = 0 f ( ) = log(00 ) 6 Zadatak 08 (A, hotelijerska škola) Za koju vrijednost argumenta (varijable) funkcija prikazana na slici prima vrijednost =? Rješenje 08 = - O = A Kroz točku (0, ) na osi povučemo usporednicu (paralelu) s apscisom ( osi) Sjecište usporednice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na apscisu i pročitamo apscisu = Dakle, funkcija prikazana na slici prima vrijednost = za = Vježba 08 Kolika je vrijednost funkcije prikazane na slici za =? Rezultat: = O = - A Kroz točku (, 0) na osi povučemo okomicu na apscisu Sjecište okomice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na ordinatnu os i pročitamo ordinatu = Dakle, funkcija prikazana na slici za = ima vrijednost = 7

18 Zadatak 09 (Marinko, tehnička škola) Provjeri je li funkcija f ( ) = log injekcija Rješenje 09 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): logaritamska funkcija je injektivna ( ) ( ) log log f = f = = log = log = Vježba 09 Rezultat: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) pomnožimo ukriž = = = = = /: = Provjeri je li funkcija f ( ) log ( 6) Funkcija je injekcija Zadatak 00 (Anastazija, gimnazija) Provjeri je li funkcija = injekcija f ( ) 6 = injekcija Rješenje 00 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): f ( ) = f ( ) 6 = 6 / 6 = 6 = Odavde ne slijedi nužno da je =, jer može biti i = Zaista, za = i = vrijedi: ( ) 6 ( ) f = = 7 f () = 6 = 7 Prema tome, pronašli smo točke za koje vrijedi f() = f() pa funkcija nije injektivna Vježba 00 Rezultat: Provjeri je li funkcija f ( ) Funkcija nije injekcija = injekcija 8

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci) Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5. Dio treci) Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja: Osnovni trigonometrijski identiteti) Tvrdnja:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz

Διαβάστε περισσότερα