Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G / Sarajevo,

Transcript

1 Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Š.G. 006 / 007. Sarajevo, IME I PREZIME STUDENTA :... BROJ INDEKSA :... JEDINSTVENI MATIČNI BROJ :... NASTAVNA GRUPA (BROJ) :... UPUTSTVO:. Za svaki od prva čeiri zadaka ponuđena su čeiri odgovora od kojih je samo jedan ačan. Riješie ove zadake, a zaim za svaki od zadaaka koji se riješili zaokružie redni broj pod kojim je naveden ačan odgovor za aj zadaak, pa aj broj upišie na odgovarajuće mjeso u dole navedenoj abeli. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i neačan odgovor. Svaki ačan odgovor za koji je dao odgovarajuće obrazloženje se boduje sa po,5 boda, a svaki neačan odgovor se vrednuje sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokruži nii jedan od ponuđena čeiri odgovora, kao i u slučaju kada za zaokruženi ačan odgovor nije dao zadovoljavajuće obrazloženje, za aj zadaak suden osvaruje 0 bodova.. Riješie dealjno pei zadaak, koji je s ovorenim odgovorom. Tačno urađen aj zadaak donosi 0 bodova. Boduju se i ačno urađeni dijelovi og zadaka (pri om bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova).. Nije dozvoljeno korišenje bilježaka, knjiga, kalkulaora, mobilnih elefona i bilo kakvih elekronskih uređaja, nii drugih pomagala, kao ni drugih papira osim uvezanih papira dobijenih za ovaj ispi. Takođe nije dozvoljen nikakav razgovor sa kolegama/sudenima i dežurnim na ovom ispiu, j. svaku izradu bilo kojeg od zadaaka na ovom parcijalnom ispiu mora svaki kandida samosalno uradii. Svaki od kandidaa koji prekrši bilo ša od ovdje navedenog, bi će isključen sa ovog ispia i ovaj njegov parcijalni ispi vrednovan sa 0 bodova. Rezulai drugog parcijalnog ispia iz IM: Zad Zad Zad Zad Zad Ukupan broj osvarenih bodova: Vlasoručni popis sudena: Predmeni nasavnik: Doc. Dr. Huse Fakić

2 Z A D A C I - Var. A : za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Izračunaje (ili usanovie da ne posoji) sljedeći limes funkcije koriseći asimposku relaciju a = +lna + o() ( o), (a > 0) : I.. II. 0. III. 0. IV. Dai limes ne posoji lim 0. Zad.. Izračunaje derivaciju funkcije + f ( ) : = d u ački =. I. f 0 0 ' =. II. f ' =. III. f ' =. IV. f ' =. Zad.. Izračunaje površinu lika kojeg ograničavaju: grafik funkcije ϕ zadane formulom = + d ϕ( ) ( g ), osa i ordinae u ačkama čije su apscise 0 i. I. ln ( + ). II. ln ( + ). III.. + IV.. + 0

3 Zad. 4. Zadana je funkcija f formulom I. III. 5 (. n = f( ) = n + n ) Ispiaje inegrabilnos zadane funkcije f, a zaim izračunaje inegral n = 5 ln ( + n ). II. n n = 4 4 ln ( + n ). IV. n n = 5 6 ln ( + n ). n n = 5 4 ln ( + n ). n 0 f () d. Zad. 5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana je formulom f ( ) : = sgn( ) ln( n ), gdje je n najmanja cifra Vašeg jedinsvenog maičnog broja koja je veća od 0. a) Odredie prirodni domen Dom ( f ) i ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ). b) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. c) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju f. d) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke grafika njene recipročne funkcije. f e) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. f) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f. Rješenje:

4 4 Z A D A C I - Var. B : za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Izračunaje (ili usanovie da ne posoji) sljedeći limes funkcije koriseći asimposku relaciju a = + lna + o() ( o), (a > 0) : I.. II. 60. III.. IV. Dai limes ne posoji lim 0. Zad.. Za realnu funkciju f jedne realne promjenljive zadanu formulom: f ( ) : = ( + ispiaje egzisenciju primiivne funkcije, a zaim izračunaje neodređeni inegral I ( ): = f( ) d. I. I( ) = sgnln( + + ) + C, R\[,0] ; II. I( ) = sgnln( + + ) + C, R\[,0] ; III. I( ) = sgn ( + + ) + C, R\[,0] ; IV. I( ) = sgnln( + ) + C, R\[,0]. ) Zad.. Izračunaje određeni inegral I. I = -0. II. I = 0. III. I = 0. IV. I = 0. + I : = e arcan d.

5 5 Zad. 4. Izračunaje limes I. l = +. II. l =. III. l = 0. IV. l = 5. l: = lim + 9 ( + 5) d. Zad. 5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana je formulom gdje je = + d ϕ( ) ( g ) 0 f(): = ϕ( ) g) Odredie prirodni domen Dom ( f ), a zaim ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ) i odredie njene evenualne asimpoe. h) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. i) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju f. j) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke njenog grafika. k) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. l) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f., Rješenje:

6 6 Z A D A C I - Var. C : za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Izračunaje (ili usanovie da ne posoji) sljedeći limes funkcije I. e. II. 0. III. Dai limes ne posoji. IV. e. lim 0 ( cos ). Zad.. Izračunaje derivaciju funkcije u ački =. I. ' () 4 f =. II. ' ( ) f =. IV. ' ( ) III. ' ( ) f () : = f = 7. f = 8. ( + 5 ) d Zad.. Kriva C zadana je jednačinom y =. Izračunai površinu P lika ograničenog lukom krive C i eivom koja spaja prevojne ačke (e krive). I. P = III. P =. II. P =.. IV. P =. Zad. 4. Nađie (prirodni) domen funkcije f zadane formulom f () : = n = n n ( ) n +, j. odredie skup svih realnih brojeva za koje zadani red konvergira.

7 7 I. [0, + ). II. (, + ). III. (-, + ). IV. (0, + ). Zad.5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana jeformulom f () : = +. m) Odredie prirodni domen Dom ( f ), a zaim ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ) i odredie njene evenualne asimpoe. n) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. o) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju f. p) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke njenog grafika. q) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. r) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f. Rješenje:

8 8 Z A D A C I - Var. D: za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Za realnu funkciju f jedne realne promjenljive zadanu formulom f () : = + odredie asimposku relaciju u slučaju ±. I. II. 4 + = + = + + o, ± = + = + + o, ± 9.. III. IV. + = + = + + o, ±. + = + = + + o, ±. Zad.. Za realnu funkciju f jedne realne promjenljive zadanu formulom: f ( ): = ( a cos + b sin ) (a, b R\{0}) nađie sve njene primiivne funkcije na njenom prirodnom domenu. ab n + ab I. F() = arcg( g) + C n ± = F ( ) n ± + C (n = ab + ). za (n ) < < (n + ), b n II. F() = arcg g + + C za (n ) < < (n + ), a a ab n ± = F ( ) n ± + C (n = ab + ). b n III. F() = arcg g + + C za (n ) < < (n + ), ab a ab n ± = F ( ) n ± + C (n = ab + ). b b n IV. F() = arcg g + + C za (n ) < < (n + ), a a ab n ± F ( n ± ) = + C (n = ab + ).

9 9 Zad.. Izračunaje inegral : sin cos I = d. I. I =. II. I = 4. III. I =. IV. I = 4. Zad. 4. Nađie skup svih realnih brojeva za koje konvergira red n = 0 n n + ( ) n+ +. I. [0, + ). II. (, + ). III. (-, + ). IV. (0, + ). Zad. 5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana je formulom f ( ) : = sgn( ) ln( + n ), gdje je n najmanja cifra Vašeg jedinsvenog maičnog broja koja je veća od 0. s) Odredie prirodni domen Dom ( f ) i ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ). ) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. u) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju f. v) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke grafika njene recipročne funkcije. f w) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. ) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f. Rješenje:

10 Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu Z A D A C I Z A DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska godina Sarajevo, IME I PREZIME STUDENTA :... BROJ INDEKSA :... JEDINSTVENI MATIČNI BROJ :... NASTAVNA GRUPA (BROJ) :... UPUTSTVO:. Za svaki od prva čeiri zadaka ponuđena su čeiri odgovora od kojih je samo jedan ačan. Riješie ove zadake, a zaim za svaki od zadaaka koji se riješili zaokružie redni broj pod kojim je naveden ačan odgovor za aj zadaak, pa aj broj upišie na odgovarajuće mjeso u dole navedenoj abeli. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i neačan odgovor. Svaki ačan odgovor za koji je dao odgovarajuće obrazloženje se boduje sa po,5 boda, a svaki neačan odgovor se vrednuje sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokruži nii jedan od ponuđena čeiri odgovora, kao i u slučaju kada za zaokruženi ačan odgovor nije dao zadovoljavajuće obrazloženje, za aj zadaak suden osvaruje 0 bodova.. Riješie dealjno pei zadaak, koji je s ovorenim odgovorom. Tačno urađen aj zadaak donosi 0 bodova. Boduju se i ačno urađeni dijelovi og zadaka (pri om bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova).. Nije dozvoljeno korišenje bilježaka, knjiga, kalkulaora, mobilnih elefona i bilo kakvih elekronskih uređaja, nii drugih pomagala, kao ni drugih papira osim uvezanih papira dobijenih za ovaj ispi. Takođe nije dozvoljen nikakav razgovor sa kolegama/sudenima i dežurnim na ovom ispiu, j. svaku izradu bilo kojeg od zadaaka na ovom parcijalnom ispiu mora svaki kandida samosalno uradii. Svaki od kandidaa koji prekrši bilo ša od ovdje navedenog, bi će isključen sa ovog ispia i ovaj njegov parcijalni ispi vrednovan sa 0 bodova. Rezulai drugog parcijalnog ispia iz IM: Zad Zad Zad Zad Zad Ukupan broj osvarenih bodova: Vlasoručni popis sudena: Predmeni nasavnik: Vanr. Prof. Dr. sci. Huse Fakić

11 Z A D A C I - Var. A : za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Aproksimiraje funkciju f zadanu formulom f ( ) : = Maclaurinovim polinomom čevrog sepena i procijenie grešku R 4 za 0, I. f ( ) III. 4 f ( ) II. f ( ) 4 5. IV. f ( ) Zad.. Izračunaje inegrale I : = + d, sin sh J : sin cos d =.. I. I = ln sin h + C, J =. III. I = ln g h + C, J = 4. II. I = ln g + h + C, J = 4. IV. I = 4 ln g ln h C + +, J =. + Zad.. Izračunaje derivaciju funkcije f ( ) : = d u ački = I. f ' = II. f ' = III. f ' = IV. f ' = Zad. 4. Kriva C zadana je jednačinom y = 8 4. Izračunai zapreminu ijela koje nasaje roacijom oko - ose lika (u y-ravni) ograničenog zadanom krivom C i pravom koja prolazi kroz prevojne ačke e krive I. V =. II. V = 8 ln 4. III. V = 8 ln. IV. V = 8 ln. Zad. 5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana je formulom ( ): arccg + f = n, gdje je n n najmanja cifra Vašeg jedinsvenog maičnog broja koja je veća od. a) Odredie prirodni domen Dom ( f ), a zaim ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ) i odredie njene evenualne asimpoe. b) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. c) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju. f d) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke njenog grafika. e) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. f) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f. Rješenje:...@...

12 Z A D A C I - Var. B : za drugi parcijalni ispi iz IM, Zad.. Izračunaje granične vrijednosi L (primjenom Taylorove formule) i L (pomoću određenog inegrala) n g(g ) sin (sin ) n ako je L : = lim, L : = lim. 0 g sin i = ( i ) + n I. L =, L =. II. 4 L =, L =. III. L =, L =. IV. L =, L =. 6 4 Zad.. Za sve ab, R\ { 0} odredie funkciju F ( ) ako da je ab, ( a cos + b sin ) d = F ( ) + C, gdje je C proizvoljna realna konsana. ab,. a I. F ab, ( ) = arc g a g n + za ( n ) < < ( n + ), ( ) F n ± b b ab ab, = n ± ; (n: = + ab ). b n II. Fab, ( ) = arc g g + za ( n ) < < ( n + ), ( ) F n ± ab a ab ab, = n ± ; (n: = + ab ). b b n III. Fab, ( ) = arc g g + za ( n ) < < ( n + ), ( ) F n ± a a a ab, = n ± ; (n: = + ab ). b n IV. F ab, ( ) = arc g g + za ( n ) < < ( n + ), ( ) F n ± ab a ab ab, = n ± ; (n: = + ab ). Zad.. Izračunaje derivaciju prvog reda funkcije f () : = ep( )d, ( R ), u ački = I. f ' (0 ) = 0. II. f ' (0 ) = e e. III. f ' (0 ) =. IV. f ' (0 ) =. 00 e e Zad. 4. Kriva C zadana je jednačinom y = 8 4. Izračunaje površinu P lika u ravni O y ograničenog lukom zadane krive C i eivom koja spaja prevojne ačke e krive II. P = 4 I. P =. III. P = 8. IV. P = n Zad. 5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive zadana je formulom f( ): = arccos n, gdje je n najmanja cifra Vašeg jedinsvenog maičnog broja koja je veća od. a) Odredie prirodni domen Dom ( f ), a zaim ispiaje ponašanje funkcije f na rubovima područja Dom ( f ) i odredie njene evenualne asimpoe. b) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) sa koordinanim osama i ispiaje znak zadane funkcije f. c) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za zadanu funkciju f i njenu recipročnu funkciju. f d) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema zadane funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke njenog grafika. e) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke zadane funkcije f. f) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik zadane funkcije f. Rješenje:...@...

13 Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu Z A D A C I S A POPRAVNOG (PRVOG PARCIJALNOG, DRUGOG PARCIJALNOG I INTEGRALNOG) ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska godina Sarajevo, IME I PREZIME STUDENTA :... BROJ INDEKSA :... JEDINSTVENI MATIČNI BROJ :... NASTAVNA GRUPA (BROJ) :... UPUTSTVO:. Za svaki od prva čeiri zadaka ponuđena su čeiri odgovora od kojih je samo jedan ačan. Riješie ove zadake, a zaim za svaki od zadaaka koji se riješili zaokružie redni broj pod kojim je naveden ačan odgovor za aj zadaak, pa aj broj upišie na odgovarajuće mjeso u dole navedenoj abeli. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i neačan odgovor. Svaki ačan odgovor za koji je dao odgovarajuće obrazloženje se boduje sa po,5 boda, a svaki neačan odgovor se vrednuje sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokruži nii jedan od ponuđena čeiri odgovora, kao i u slučaju kada za zaokruženi ačan odgovor nije dao zadovoljavajuće obrazloženje, za aj zadaak suden osvaruje 0 bodova.. Riješie dealjno pei zadaak, koji je s ovorenim odgovorom. Tačno urađen aj zadaak donosi 0 bodova. Boduju se i ačno urađeni dijelovi og zadaka (pri om bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova).. Nije dozvoljeno korišenje bilježaka, knjiga, kalkulaora, mobilnih elefona i bilo kakvih elekronskih uređaja, nii drugih pomagala, kao ni drugih papira osim uvezanih papira dobijenih za ovaj ispi. Takođe nije dozvoljen nikakav razgovor sa kolegama/sudenima i dežurnim na ovom ispiu, j. svaku izradu bilo kojeg od zadaaka na ovom parcijalnom ispiu mora svaki kandida samosalno uradii. Svaki od kandidaa koji prekrši bilo ša od ovdje navedenog, bi će isključen sa ovog ispia i ovaj njegov parcijalni ispi vrednovan sa 0 bodova. Rezulai prvog parcijalnog ispia iz IM: Rezulai drugog parcijalnog ispia iz IM: Zad Zad Zad Zad Zad Zad Zad Zad Zad Zad Vlasoručni popis sudena: Ukupan broj osvarenih bodova: Predmeni nasavnik: Huse Fakić V. Prof. Dr. Sci. Huse Fakić, dipl. ma.

14 Z A D A C I - Gr. A za popravni drugog parcijalnog ispia (ili drugog dijela inegr. ispia) iz IM, Sarajevo, Zad.. Nađie inverznu Laplaceovu ransformaciju funkcije F zadane formulom ω Fs (): = ln +. s I. ( ( F) ) () = (sin cos ) ω. III. ( ( F) ) () = ( cos ω ). II. ( ( F) ) () = (sin ω cos ω ). IV. ( ( F) ) () = (sin cos ω ). Zad.. Primjenom dvojnog inegrala nađie površinu P oblasi D u ravni Oy ograničene pravcima y =, y= i kružnicom y y + = ( ). I. P = +. II. 5 P = +. III. P = +. IV. P = +. Zad.. Izračunaje zapreminu v ijela V omeđenog s površi zadanoj formulom: ( ( ) + ( y ) ) + ( z ) = ( abc,, > 0). a b c I. abc abc abc v =. II. v =. III. v =. IV. v = 4 abc. Zad. 4. Neka je f* (zv. parabolic cup) funkcija dobivena kao - periodičko proširenje funkcije f zadane formulom f ( ) =, [, ]. Nacraje grafik e funkcije i razvije je u Fourierov red. I. n ( ) n ( ) + cos n. III. + cos n. n= n n= n II. n n ( ) ( ) + 4 cosn IV. 4 cos n +. n n= n n= Zad. 5. Neka je vekorsko polje zadano formulom : A: = (, yf( ), z( f ( ) )), () gdje je f realna funkcija jedne realne promjenljive. a) Odredie funkciju f ako da vekorsko polje zadano formulom () bude bezizvorno i da je f (0) =, f (0) = 0, a zaim nacraje grafik ako dobivene funkcije f. b) Nađie vekorsku liniju polja () koja prolazi ačkom A(,, ) i skiciraje njen grafik. c) Izračunaje fleksiju i orziju u ački A dobijene ( u b)) vekorske linije.

15 d) Ispiai da li posoji realna funkcija f jedne realne promjenljive akva da polje zadano formulom () bude poencijalno. Rješenje: : (Upua. Ovaj zadaak je bio na dodanom popravnom ispinom roku od iz IM (a i na nekim drugim ispinim rokovima iz IM)).

16 Z A D A C I - Gr. B za popravni drugog parcijalnog ispia (ili drugog dijela inegr. ispia) iz IM, Sarajevo, Zad.. Nađie inverznu Laplaceovu ransformaciju funkcije F zadane formulom F(p) = +, ( n N ). n ( p ) ( p + ) I. n ( F)( ) = e + (sin cos ( n )! ). II. n (F)( ) = e + ( sin cos ( n )! ). III. n (F)( ) = e + (sin cos ( n )! ). IV. n ( F)( ) = e + (sin cos ( n )! ). Zad.. Sa ili bez primjene Laplaceove ransformacije riješie diferencijalnu jednačinu y '' 9 y = e cos. I. 6 6 y = C e + C e + e sin cos. III. y = C e + C e + e sin cos II. y = C e + C e + e sin cos 7 7. IV. y = C e + C e + e sin cos 7 7. Zad.. Izračunaje zapreminu v ijela V omeđenog s površi: + y + z =, y= + z ( y + z ). I. v = (7 ). II. v = ( ). III. v = (8 7). IV. v = ( ). Zad. 4. Odredie konsane a, b, c ako da vekorsko polje F: = ( + y+ az) i + ( b y z) j + (4+ cy+ z) k bude poencijalno. Nađie (skalarni) poencijal dobijenog polja. I. a = 5, b =, c = -. u (, y, z) = y + z zy + y+ 4 z+ C, gdje je C pr. kons. II. a = 4, b = 4, c = -. u (, y, z) = y + z zy+ y+ z+ C, gdje je C pr. kons. III. a = 4, b =, c = -. u (, y, z) = y + z zy + y+ 4 z+ C gdje je C pr. kons. IV. a = 5, b =, c = -. u (, y, z) = y + z zy + y+ 4 z+ C gdje C pr. kons.

17 6 Zad. 5. Zadana je realna funkcija f jedne realne promjenljive formulom: f () = arc cos sin. a) Nacraje grafik zadane funkcije f i ispiaje da li joj se može pridružii Fourierov red koji konvergira ka oj funkciji na R. b) Razvije u Fourierov red zadanu funkciju f i ispiaje apsolunu i uniformnu konvergenciju dobijenog reda. c) Odredie (ili usanovie da se ne može odredii) Laplaceovu ransformaciju zadane funkcije f. d) Odredie (ili usanovie da se ne može odredii, odnosno usanovie da ne posoji) Fourierovu ransformaciju i Fourierov inegral zadane funkcije f i funkcije f definirane sa f ( ) = f( ) 0, R\ 0,. za svaki [ ] i f () = 0 za svaki [ ] Rješenje: Ovaj zadaak je kombinacija Zad.. i Zad.. sa Domaće zadaće 4 iz IM od (a i sa nekih prehodnih ispinih rokova iz IM)). N a p o m e n a : Upue, rješenja, rezulai i odgovori za ove ispine zadake ili za njihove analogone i neznane modifikacije mogu se vidjei u preporučenoj lierauri (posebno u Univerzieskoj knjizi [ Fakić, H. - Dragičević, V., Diferencijalni račun funkcija dviju i više promjenljivih, I.P. Svjelos, Sarajevo, 006.] i/ili u maerijalima za Predavanja iz Inženjerske maemaike (elekronska verzija univerzieskog udžbenika: FATKIĆ, H., Inženjerska maemaika, Sarajevo, 006. (hp://courses.ef.unsa.ba/)).

18 Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO:. Za svaki od prva čeiri zadaka ponuđena su čeiri odgovora od kojih je samo jedan ačan. Za svaki od prva čeiri zadaka koje dobijee na ispiu,nakon šo ga riješie na ispiu, zaokružie redni broj pod kojim je naveden ačan odgovor za aj zadaak. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i neačan odgovor. Svaki ačan odgovor se boduje sa po,5 boda, a svaki neačan odgovor se vrednuje sa po ( 0,5) bodova. Ukoliko se ne zaokruži nii jedan od ponuđena čeiri odgovora, za aj zadaak suden osvaruje 0 bodova.. Pei zadaak, koji dobijee na ispiu, je s ovorenim odgovorom i rebae ga riješii dealjno. Tačno urađen aj zadaak donosi 0 bodova. Boduju se i ačno urađeni dijelovi og zadaka (pri om bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova). Sarajevo, Predmeni nasavnik: Doc. Dr. Huse Fakić

19 P R I P R E M N I Z A D A C I : Zad.. Daa je familija ( f a : a 0) funkcija f a : R Ø R definiranih sa { α α, α, f a () : = 4, > α. Usanovie koja je od sljedeće čeiri izjave ačna: A. Svaka od funkcija f a (a 0) je neprekidna na R. B. Ni jedna od funkcija f a (a 0) nije neprekidna na R. C. Posoje dvije vrijednosi od a (a 0) za koje je f a neprekidna na R. D. Samo je jedna funkcija f a iz dae familije neprekidna na R. (Ili: Nađie a lim + b. Rezula: eb - a, (a, b R).) Zad.. Izračunaje (ili usanovie da ne posoji) sljedeći limes funkcije koriseći asimposku relaciju a = +lna + o() ( o), (a > 0) : A.. B. 60. C. 4. D. Dai limes ne posoji lim 0 (Ili: Napišie Maclaurinov razvoj funkcije f(): = sin(sin) po poencijama od do člana 4 4 sa osakom u Peanovoj formi. Rezula: Iz sin = + o( ) slijedi sin(sin ) = o( ) o( ) o( ) o( ) = + + = = + o( ),( 0).) Zad.. Izračunaje inegrale: I: = sin + cos d sin + cos ; J: = ( 0 ln + an ) d, (Upua: Pogodno je korisii b b f a bd.). a a relaciju f ( d ) = ( + - )

20 A. I = 5 ln sin + cos + C, J = ln. B. I = 5 + ln sin + cos + C, J = ln. 5 C. I = ln e sin + cos + C, J = ln. D. I = cos sin ln + C, J = ln 4. sin + cos Zad.4. Izračunaje limes A. l = +. B. l =. C. l = 0. D. l = 5. l: = lim + 0 ( e + 0) 0 e d d. (Ili: Primjenom Lagrangeove eoreme (o srednjoj vrijednosi) diferencijalnog računa nađie približnu vrijednos, ačnu na čeiri decimale, od arcg, Rezula: Iz arcg( + h)=arcg + h, za = i h = 0,00567, + + θ h ( ) < + 0,00567 za θ = 0, slijedi arcg, ,00567,j. 0,78775<arcg,00567 < > + za θ =, 4 +,00567 < 0,7878, pa približna vrijednos od arcg,00567, ačna na čeiri decimale, iznosi 0,787.) Zad.5. Daa ( je realna funkcija f jedne realne promjenljive sa: ) 5 e f(): = ( ili f(): = 4 + ili f(): = ( - a) e ). a) Odredie prirodni domen Dom (f) i ispiaje ponašanje dae funkcije f na rubovima područja Dom (f). b) Odredie evenualne presjeke grafika dae funkcije f sa koordinanim osama O i O y, a zaim ispiaje znak od f. c) Odredie evenualne horizonalne, verikalne i kose asimpoe dae funkcije f. d) Nađie eksreme i ablicu monoonosi za funkciju g dau sa f. g(): = ( ) e) Nađie ačke infleksije i ablicu konveksnosi i konkavnosi za funkciju g dau u d). f) Odredie sliku Im(g) i nacraje grafik funkcije g iz d)

21 P R I P R E M N I Z A D A C I : Zad.. Odredie red beskonačno male veličine α(): = g sin u odnosu na kad 0 i napišie odgovarajuću asimposku relaciju. A. α() je beskonačno mala veličina rećeg reda u odnosu na kad 0 i vrijedi asimposka relacija α ( ) ( 0). B. α() je beskonačno mala veličina drugog reda u odnosu na kad 0 i vrijedi asimposka relacija α ( ) ( 0). C. α() je beskonačno mala veličina isog reda kao i u odnosu na kad 0 α ( 0). i vrijedi asimposka relacija ( ) D. α() je beskonačno mala veličina rećeg reda u odnosu na kad 0 i vrijedi asimposka relacija α ( ) ( 0). (Ili: Izračunaje limes l: = lim 0 ( ) 0 +. Rezula: l = 0.) Zad.. Odredie minimalnu površinu rougla ABC čiji je vrh A(-,0), vrh B je dirališe angene krive dae sa y =, a vrh C je sjeciše e angene sa osi O. A.. B.. C.. D.. (Ili: Funkciju f dau izrazom f() = ln u okolini U() ačke aproksimiraje Taylorovim polinomom čevrog sepena i procijenie grešku aproksimacije za 9, 0 0. Rezula: f() = ln T 4 () = ( ) ( ) 4 + ( ) za svaki U(), gdje se za U() može uzei skup (0,+ ); Iz R 4 () = 5 ( ) ln ( + θ ( ) ) 8 5! + θ ( ( )) 9 za, 0 0 slijedi R 4 () < ln + 6, ln(+) za male vrijednosi argumena.) 8, jer je 4

22 Zad.. Izračunaje inegrale I: = A. I = ln sin anh + d sin sinh, + C, J =. J: = sin cosd. B. I = ln an anh + C, J = 4. C. I = ln an + anh + C, J = 4. D. I = ln an ln anh C + +, J = 4. d (Ili: Izračunaje inegrale I : =, J : = ( + ) ln + arcan + C, J = +.) 4 e d. Rezula: I = 0 Zad.4. Izračunaje derivaciju funkcije 0 f ( ) : = ep d u ački =. f ' A. ( ) 4 =. e =. e 0 =. e 0 =. e B. f ' ( ) 5 f ' C. ( ) 4 D. f ' ( ) 5 (Ili: Nađie najmanju i najveću vrijednos funkcije F ( ) : = 0, maf = F(0) = 0.) { }. Rezula: minf = min ( 0, ) (, ) ( ) 0 d na segmenu + F F F = F() = ln, 4 5

23 Zad.5. Realna funkcija f jedne realne promjenljive definisana je izrazom f(): = sgn() ln ( + ) (ili f(): = + arcsin ili f(): = arcan ). g) Odredie prirodni domen Dom (f ) dae funkcije f. h) Odredie evenualne presjeke grafika G( f ) funkcije f sa koordinanim osama. i) Ispiaje znak dae funkcije f. j) Odredie evenualne ačke prekida i singulariea i klasificiraje ih za dau funkciju f i njenu recipročnu funkciju f. k) Odredie inervale monoonosi i evenualne ačke lokalnog i apsolunog eksrema dae funkcije f, kao i evenualne prelomne i povrane ačke. l) Ispiaje konveksnos i konkavnos i odredie evenualne prevojne ačke dae funkcije f. m) Odredie sliku Im( f ) i nacraje grafik dae funkcije f. 6