Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb"

Ἀράμ Καζαντζής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti.

No prvci u prostoru mogu biti u još jednom meusobnom odnosu, oni mogu biti mimoilzni ili mimosmjerni. Dv mimoilzn prvc niti se sijeku niti su prlelni. Nek je zdn kock ABCDEFGH.

1 Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju zjednikih to- k esto se svrstv pod prlelnost prvc. Isto se proširuje i n odnose prvc u prostoru. No prvci u prostoru mogu biti u još jednom meusobnom odnosu, oni mogu biti mimoilzni ili mimosmjerni. Dv mimoilzn prvc niti se sijeku niti su prlelni. Nek je zdn kock ABCDEFGH. Prvci AB i EH su mimoilzni prvci. Uzmimo tetredr ABCD. Prvci AB i CD su mimoilzni prvci (pogledj sliku 1). Z svk dv prvc prostor koji se sijeku ili su prlelni postoji rvnin koj ih sdrži. Možemo tkoer reći kko dv prvc prostor koj se sijeku u jednoj toki ili su prleln (li se ne podudrju) jednoznno odreuju rvninu. Ne postoji rvnin koj sdrži dv mimoilzn prvc. Ov posljednj injenic mogl bi poslužiti i ko definicij: Mimoilzni prvci su prvci koji ne leže u istoj rvnini. O mimoilznim se prvcim u nstvi mtemtike govori mlo. Pojvljuju se u nstvi geometrije prostor već u 8. rzredu osnovne škole, potom i u. rzredu srednje škole, mogu se nći i Slik 1. 9

metodik u. rzredu srednje škole u zdcim veznim uz vektore u prostoru. I uvijek uenici imju teškoć pri rješvnju zhtjevnijih zdtk veznih uz ovo grdivo.

Udljenost mimoilznih prvc Udljenost mimoilznih prvc jednk je udljenosti prlelnih rvnin π i ρ.

2 metodik u. rzredu srednje škole u zdcim veznim uz vektore u prostoru. I uvijek uenici imju teškoć pri rješvnju zhtjevnijih zdtk veznih uz ovo grdivo. Zbog tog ćemo u ovom lnku posvetiti mlo više pžnje mimoilznim prvcim i n primjerim prikzti kko se rješvju neki nješći problemi vezni uz njih. Udljenost mimoilznih prvc Udljenost mimoilznih prvc jednk je udljenosti prlelnih rvnin π i ρ. Možemo reći d je udljenost mimoilznih prvc jednk duljini odsjek kojeg ti prvci odsijecju n njihovoj zjednikoj okomici. Slik. Rekli smo d ne postoji rvnin koj sdrži dv mimoilzn prvc, li mimoilzni prvci (slik ) leže u prlelnim rvninm. Z svk dv mimoilzn prvc p i q postoje prlelne rvnine π i ρ, tko d je p π i q ρ. Odberimo po volji toku A p i njome povucimo prvc q prleln s prvcem q (slik ). Rvnin π je odreen prvcim p i q, p π. Tkoer uzmimo bilo koju toku B q i njome povucimo prvc p prleln s prvcem q. Rvnin ρ odreen je prvcim q i p, q ρ. Te su dvije rvnine odreene dvm provim meusobno prlelnih prvc p su i one meusobno prlelne. Slik 4. Kko bismo odredili udljenost dvju mimoilznih prvc nimo prvo prlelne rvnine u kojim leže mimoilzni prvci p i q. To su rvnine π i ρ. Odberimo rvninu σ koj je n njih dvije okomit, prolzi prvcem p. T rvnin sijee prvc q u toki Q, njezin ortogonln projekcij n rvninu π je tok P. PQ je zjednik okomic mimoilznih prvc i njezin duljin PQ jednk je udljenosti d tih prvc (slik 4). Trženu udljenost možemo odrediti i ko udljenost prlelnih rvnin π i ρ tko d bilo gdje n prvcu p odberemo toku T, ztim nemo njezinu ortogonlnu projekciju T n rvninu ρ (slik 4). Tržen udljenost bit će jednk TT. Slik. Kod odreivnj prlelnih rvnin u kojim leže mimoilzni prvci, prvcem p povucimo rvninu π koj je prleln prvcu q, ztim prvcem q rvninu ρ koj je prleln s p ili s već konstruirnom rvninom π. Slik broj 41 / godin 9. / 007.

Tkoer možemo postupiti i ovko: nimo rvninu σ koj je okomit n prvc p i ztim odredimo ortogonlne projekcije prvc p i q n tu rvninu. Projekcij prvc p je tok P, prvc q je prvc q.

Ncrtj prvilnu etverostrnu pirmidu s osnovkom ABCD i vrhom V. Odredi udljenost prvc VV i BC, ko je duljin osnovnog brid pirmide 4 cm, bonog 0 cm.

Rješenje: I opet je prktino nći rvninu DBB 1 D 1 koj je okomit n prvc AC (prvc je okomit n rvninu ko je okomit n dv prvc koj joj pripdju ovdje su to prvci BD i SO) kojoj pripd dijgonl BD 1.

3 Tkoer možemo postupiti i ovko: nimo rvninu σ koj je okomit n prvc p i ztim odredimo ortogonlne projekcije prvc p i q n tu rvninu. Projekcij prvc p je tok P, prvc q je prvc q. Udljenost d mimoilznih prvc jednk je udljenosti toke P od prvc q (slik 5). Ov metod je prktin kod mimoilznih prvc koji su meusobno okomiti. Primjer 1. Ncrtj prvilnu etverostrnu pirmidu s osnovkom ABCD i vrhom V. Odredi udljenost prvc VV i BC, ko je duljin osnovnog brid pirmide 4 cm, bonog 0 cm. sti tih strn kocke i jednk je duljini brid kocke, dkle iznosi. Primjer. Odredi udljenost prostorne dijgonle BD 1 kocke ABCDA1B 1C1D 1 i dijgonle AC osnovke kocke, ko je duljin brid kocke jednk. Rješenje: I opet je prktino nći rvninu DBB 1 D 1 koj je okomit n prvc AC (prvc je okomit n rvninu ko je okomit n dv prvc koj joj pripdju ovdje su to prvci BD i SO) kojoj pripd dijgonl BD 1. Tržen udljenost jednk je udljenosti toke S (ortogonln projekcij prvc AC n rvinu DBB 1 D 1 ) od BD 1 (slik 8). Udljenost MS možemo izrunti iz slinosti trokut SMB i DD 1 B. Kko je SB d 6 =, td je d = DD 1 6. Slik 6. Rješenje: Rvnin osnovke ABCD okomit je n prvc VV. Ortogonln projekcij prvc VV je tok V (središte osnovke), prvc BC već pripd toj rvnini. Tržen udljenost d jednk je udljenosti toke V od prvc BC, tj. jednk je duljini polovine brid osnovke (slik 6) i iznosi 1. Primjer. Kolik je udljenost mimosmjernih bridov prvilnog tetredr ko mu je duljin brid? Rješenje: Zdtk ćemo njbrže riješiti ko tetredr smjestimo u kocku tko d mu bridovi leže n dijgonlm strn kocke (slik 7). Td je duljin brid kocke. ED i BG Slik 7. su mimoilzni bridovi tetredr. Oni leže n prlelnim strnm ADHE i BCGF kocke, p je udljenost mimoilznih bridov jednk udljeno- Slik 8. Primjer 4. Kolik je udljenost prvc kojim pripdju mimoilzne plošne dijgonle kocke BC 1 i DB 1 1? Rješenje: Konstruirjmo prlelne rvnine AB 1 D 1 i DBC 1 (rvnine su prlelne jer je AB1 DC1 i AD1 BC1) koje sdrže dijgonlu DB 1 1 odnosno BC 1. Povucimo prvc koji je okomit n te dvije rvnine i probd ih u tokm E, odnosno F to je prvc kojem pripd prostorn dijgonl AC 1 (AC 1 AE, AC 1 BD 1 1 tkoer AC 1 CF, AC 1 BD). Tržen udljenost jednk je duljini dužine EF. Iz slike 9 lko uoimo (slinost i sukldnost trokut): AE EF FC 1 = = =. 11

metodik Primjer 5. Odredi udljenost izmeu mimoilznih plošnih visin prvilnog tetredr duljine strnice. Rješenje: 1.

Tržen udljenost jednk je udljenosti toke O (koj pripd visini CD ) od rvnine SFE. Zto povucimo OK EF i spojimo vrh pirmide S s tokom K.

Duljin dužine OP je tržen udljenost dviju mimoilznih visin CD i SE. Iz slinosti trokut SO OK SOK i OPK izlzi OP =.

. Slino možemo nći udljenost izmeu plošnih visin CD i BN (slik 11). Povucimo prvc BF prleln visini CD. Rvnin NBF je prleln s CD.

Ponovo iz slinosti trokut i pripdnih element nemo OP 1 =. 10 10 Slik 11. Ponekd nm u rješvnju ovkvih problem može pomoći i vektorski run.

4 metodik Primjer 5. Odredi udljenost izmeu mimoilznih plošnih visin prvilnog tetredr duljine strnice. Rješenje: 1. Odredimo prvo udljenost visin CD i SE (slik 10). Kroz toku E povucimo prlelu EF s CD. CD je prleln s rvninom SFE. Tržen udljenost jednk je udljenosti toke O (koj pripd visini CD ) od rvnine SFE. Zto povucimo OK EF i spojimo vrh pirmide S s tokom K. Rvnine SFE i SOK su okomite ( EF OK i EF SK). Okomic iz O n rvninu SEF leži u rvnini SOK, probd SFE u toki P. Slik 9. Slik 10. Duljin dužine OP je tržen udljenost dviju mimoilznih visin CD i SE. Iz slinosti trokut SO OK SOK i OPK izlzi OP =. SK Kko je SO = 6, OK DF = = i SK = SO + OK =, tržen udljenost je 1 70 OP = 5.. Slino možemo nći udljenost izmeu plošnih visin CD i BN (slik 11). Povucimo prvc BF prleln visini CD. Rvnin NBF je prleln s CD. Konstruirmo rvninu NO1 G NBF. Spustimo okomicu iz O 1 n NG i ko presjek dobijemo toku P. Tržen udljenost je OP 1. Ponovo iz slinosti trokut i pripdnih element nemo OP 1 = Slik 11. Ponekd nm u rješvnju ovkvih problem može pomoći i vektorski run. Znmo d je psolutn vrijednost vektorskog umnoš- Slik 1. k jednk iznosu površine prlelogrm kojeg rzpinju t dv vektor, tj. P = b = bsinϕ (slik 1). Tkoer je psolutn vrijednost mješovitog umnošk triju vektor, b, c jednk obujmu prlelepiped kojeg rzpinju ti vektori tj. V = ( b) c = b c cosψ. Slik 1. 1 broj 41 / godin 9. / 007.

5 Pri tome je ψ kut kojeg ztvrju vektori b i c (slik 1). Tko zdtk iz primjer 5. pod 1. možemo riješiti n sljedeći nin: Dovoljno je konstruirti rvninu SFE prlelnu visini CD. Smjestimo tetredr u koordintni sustv ko n slici 14 tko d je ishodište u toki O, strnic BC y, AE pripd osi x. Vrh pirmide S pripd osi z. Sd odredimo koordinte tokm, p vrijedi: A B C, 00,, 6,, 0, 6,, 0 D E F 1, 4, 0, 00 6,,, 4, 8, 0 (D je polovište od AB, F polovište od DB), 6 S 00,,. Trženu udljenost OP možemo izrunti iz volumen pirmide FEOS. S jedne strne volumen pirmide izrunmo ovko: 1 1 V = OF OE SO 0 = OF OE 6 cos i 6 = j 8 S druge strne možemo g izrunti n ovj n- in: k 6 = k =. () Slik V = SF SE OP cos0 = SF SE OP i j k 1 6 = OP OP 1 6 = i + j + k OP 1 5 =. ( ) Iz jednkosti (1) i () izlzi OP = 5. Ako se ne želimo igrti koordintm tok i konstrukcijom rvnine prlelne prvcu CD možemo krenuti i drukijim putem. Nije nimlo lkši (u ovom primjeru) li je prktin u sluju ko su mimoilzni prvci u prostoru zdni koordintm toke i vektorom smjer (ili koordintm dviju to- k što se svodi n isto). Idej je sljedeć: Nek je PQ zjednik okomic prvc CD i SE (vidi sliku 15). Vrijedi: PQ = PO + OS + SQ. Odredimo vektorsku bzu trim linerno nezvisnim vektorim nek je = CB, b = CA i z treći vektor uzmimo c = OS koji je okomit n prethodn dv vektor. Td možemo pisti 1 1 CD = + b, SE 1 1 b c =. 6 1

6 metodik još jedino izrunti PQ PQ = b + c b c = ( ) = = Zdci z vježbu PQ = αpo + OS + βse = α + b c + + β b c 6 α β = + b c + α β + ( 1 β). 6 Iz uvjet okomitosti (sklrni produkt okomitih vektor je 0) dobivmo: α β PQ CD = + b c + α β + ( 1 β) b = 0, ( ) α β PQ SE = + b c + α β + ( 1 β) b c 6 = 0. ( 4) Iz () slijedi β = 6α (vidi tblicu).. b c 1 0 b 1 0 c 0 0 Slik 15. Iz (4) i koristeći β = 6α dobivmo α= , β= Td je PQ = b + c. Ostlo je Tok P je polovište brid BC kocke ABCDA1B 1C1D 1. Odredi udljenost prvc BD i BP 1 ko je duljin brid kocke jednk.. Osnovk trostrne prizme ABCA B C jednkostrnin je trokut ABC strnice. Boni brid AA 1 ztvr s bridovim AB i AC jednke kutove veliine α. Kolik je udljenost bridov AA 1 i BC?. U prostoru su dne toke A( 1,,, ) B( 15,,, ) C( 1,,,) D( 0,, ). Ni udljenost mimoilznih prvc AB i CD. 4. U trostrnoj pirmidi nsuprotni mimoilzni bridovi su meusobno jednki i njihove duljine iznose, b i c. Ni udljenost izmeu svkog pr mimoilznih bridov. 5. Polumjer osnovke jednkostrninog (v=r) usprvnog vljk je R. Tok n kružnici gornje osnovke spojen je s tokom kružnice donje osnovke tko d t spojnic s rvninom osnovke ztvr kut α (α 45 ). Kolik je njkrć udljenost spojnice ovih dviju tok od osi vljk? LITERATURA 1/ B. Dkić, N. Elezović, Mtemtik Anlitik Geometrij, Element, Zgreb, / M. L. Krjzmn, Udljenost izmeu mimoilznih prvc, Kvnt, 197, br. 11 / N. Elezović, Mtemtik udžbenik z. rzred gimnzije, Element, Zgreb, / B. Dkić, Mtemtik zbirk zdtk z. rzred gimnzije, Element, Zgreb, broj 41 / godin 9. / 007.

Σχετικά έγγραφα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz