Deformacija trdnih snovi

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Deformacija trdnih snovi"

Θυώνη Κητώ Δημαράς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Defomcij tdnih snovi Mežne točke (vozlišč) v kistlni meži tdne snovi definijo smo povpečno lego posmeznih tomov, ki sestvljjo kistl tdne snovi. Tko kot v plinu, tudi v kistlu tomi ne miujejo, mpk se temično gibljejo okog svoje vnovesne lege. Amplitude odmik so večje pi večji bsolutni tempetui T. il med sosednjim tomom tdne snovi v kistlni meži je odvisn od zdlje med njim in nšč z zdljo. podnj slik shemtsko pikzuje potencilno enegijo med dvem Wp tomom in ustezno silo =. Celotn sil je sestvljen iz pivlčneg in odbojneg del. Pivlčn sil med tomom je lhko n pime Coulombsk pivlčn sil med pozitivnim in negtivnim tomom, tko kot je to v kistlu NCl. Odbojn sil p je posledic Puli-jeveg izključitveneg nčel. Elektoni z enkimi kvntnimi števili gedo n višje enegijske nivoje, ko se dv tom pibližt. Posledično se med pibliževnjem dveh tomov njun enegij več, sil p postne odbojn (glejte sliko). W p odbojn sil pivlčn sil slik

2 Pi mjhnih odmikih od vnovesne lege ( << ) lhko potencilno enegijo med tomom v kistlni meži v okolici vnovesne zdlje poksimimo s pbolo (glejte še st. ): W p= k C, () kje je zdlj med dvem sosednjim tomom v kistlni meži (glejte sliko). Ustezn sil med tomom v bližini vnovesne zdlje je potem: W p = = k () Vidimo, d je v okolici vnovesne zdlje med sosednjimi tomi sil med sosednjim tomom lineno odvisn od zdlje med njim, zto lhko tomske sile med sosednjimi tomi kistlne meže tdne snovi ponzoimo z vijčnimi vzmetmi, ki povezujejo tome med seboj. slik Potencilno enegijo med dvem sosednjim tomom v kistlni meži p vzpoedimo s požnostno enegijo vzmeti. Model vijčnih vzmeti med tomi kistl pojsni tudi Hook-ov zkon. Ko nmeč n mkoskopsko telo deluje zunnj sil, se telo defomi, vnovesn (popečn) zdlj med sosednjimi tomi v kistlni meži ( ) p se zto spemeni n vednost. V novem vnovesju se zto sile med tomi kistl spemenijo. Linen spememb sile med tomi (enčb ()) = k () n mikoskopskem nivoju se odž tudi n mkoskopskem nivoju v lineni zvezi med ntezno (kompesijsko) silo in podljškom (skčkom) teles : σ = = E, (3)

3 kje je ε = eltivni podljšek (skček), σ = ntezn li kompesijsk npetost in povšin pesek n kteeg deluje v pvokotni smei sil. ozmenostni koeficient E (Youngov modul) je sozmeen mikoskopski konstnti k v enčbi (). Enčbo (3) imenujemo po Newtonovem sodobniku Robetu Hooku Hookov zkon. slik 3 Območje veljvnosti Hookoveg zkon območje požnosti območje plstičnosti območje sozmenosti (Hookov zkon) mej požnosti mej ntezne tdnosti mej sozmenosti slik V ndljevnju nštejemo poleg zgoj opisne ntezne (kompesijske) vzdolžne defomcije še nektee duge kkteistične defomcije z ktee velj linen zvez med npetostjo in defomcijo. 3

4 tižn defomcij ϑ V pimeu stižne defomcije deluje sil n zgonjo in spodnjo ploskev vzdolž ploskve, to je v smei pvokotno n nomlo ploskve: τ= = G ϑ, () kje je τ stižn npetost, G stižni modul, pomen defomcijskeg kot ϑ in povšine p je zviden iz zgonje slike. Vsestnsko stisknje (zpenjnje) slik 5 V = χ, (5) V V kje p= spememb tlk, ki deluje n povšino teles, eltivn spememb V volumn in χ stisljivost. Obtno vednost stisljivosti χ imenujemo stisljivostni modul.

5 Tozij ϕ= ϑ ϑ= ϕ d = π d ϕ d ϑ R slik 6 Tozij je poseben pime stižne defomcije (glejte sliko): d d = G ϑ, (6) kje je d= π d, ϑ= ϕ in G stižni modul, od kode sledi: d = Gϕ, (7) π d oziom: d πgϕ = d. (8) Izčunjmo nvo dm s kteim deluje sil d n cevsti izez plice s polmeom : π Gϕ M= = 3 d d d (9) Celoten nvo je potem: R π ϕ 3 M M G π Gϕ R = d = d =. () Vidimo toej, d je nvo, ki je poteben z tozijski zsuk plice z kot ϕ sozmeen kotu zsuk: M = Dϕ, () 5

6 kje je π G R D=. () Vednosti elstičnih konstnt z nektee tdne snovi in kpljevine * : NOV N m E(Young-ov modul) N m G (stižni modul) N m χ luminij jeklo 8. 6 vod - -. steklo živo sebo * kpljevine se zlikujejo od tdne snovi po tem, d ne penšjo stižnih npetosti Upogib nosilc Poznvnje defomcij in npetosti pi upogibu nosilcev je zelo pomembno pi konstukciji stojev in zgdb. Rvni nosilci (peklde) n vhodih, vtih in oknih so izpostvljeni velikim upogibnim npetostim, zto so že v ntičnih čsih pekldo ndomestili z lokom (obokom): pekld v Mikenh (st Gčij) sto imski lok gotski lok tudoski lok slik 7 Pi čistem upogibu nosilc obstj tko imenovn nevtln vnin, ki pi upogibni defomciji ohni svojo povšino. Nd nevtlno vnino se nosilec zteguje, pod nevtlno vnino p je izpostvljen stisknju. Pojv lhko opzujemo tudi pi upognjeni leskovi plici, kje se n notnji stni lok lubje ngub, n zunnji stni p npne. RAZTEGOVANJE TIKANJE slik 8 NEVTRALNA RAVNINA 6

7 Kot pime v ndljevnju nlizimo npetosti in defomcije v zelo lhkem nosilcu s kožnim pesekom s polmeom, ki je n levem koncu vpet v steno, n desnem koncu nosilc p je z lhko žico pitjen svetilk z mso m. nosilec sten svetilk slik 9 Izhodišče koodintneg sistem postvimo v sedišče. il teže svetilke nosilec. Vpliv lstne teže nosilc n njegov upogib znemimo. Zdi sile upogne v vnini, y izbneg koodintneg sistem. m g = m g upogib s s nosilec A l sten z y s lik = mg y Zto se zlični deli nosilc vzdolž osi y zlično ztegujejo. Znotj nosilc obstj n os y pvokotn plst, ki se ne ztegne li skči. Kot že omenjeno jo imenujemo nevtln plst (vnin). Vzdolž te vnine (plsti) meimo od koodinte odvisnost ukivljenost (glejte sliko ): C=, (3) R kje je R kivinski dij nevtlne vnine n mestu. Nd nevtlno plstjo se elementi vzdolžne plsti zdi nvo sile s ztegnejo (li skčijo), pod to plstjo p se skčijo (li ztegnejo), odvisno pč od pedznk ukivljenosti C( ) (glejte še sliko ): 7

8 ( R ) ϑ R dϑ ds ds + d d dϑ ε = =, () ds R R toej: ε = d = C d, (5) kje je d zdlj obvnvneg element nosilc od nevtlne vnine, ds in ds dolžini teg element ped oziom po upogibu nosilc, pomen kotov ϑ in dϑ p je zviden iz slike. Vednost d n sliki je pozitivn, če se vnin nhj pod nevtlno vnino in negtivn, če se obvnvn vnin nhj nd nevtlno vnino. Pi upogibu nosilc pod vplivom sile so od nič zlične tudi nektee stižne defomcije, ki p jih bomo v tej fzi npetostne nlize nosilc znemili. V ndljnji nlizi npetosti v nosilcu bomo pedpostvili, d Hookov zkon v obliki enčbe (3) velj tudi z posmezne zelo tnke elemente vzdolžnih plsti v nosilcu n izbni zdlji d od efeenčne plsti. Toej, če vstvimo ε iz enčbe (5) v Hookov zkon σ = Eε dobimo: σ = Eε = E C d, (6) kje je d pozitiven z plsti, ki se pi upogibu ztegnejo in negtiven z plsti, ki se pi upogibu skčijo. R dϑ ϑ d < d > ϑ d ds d s d dδ d s = R dϑ dδ tgϑ= d ( d s ) = ( d) + ( dδ) nevtln vnin slik Zdi upogib nosilc pod vplivom nvo sile se element nosilc z dolžino ds n zdlji d od nevtlne vnine ztegne n dolžino ds. imbol R oznčuje kivinski dij nevtlne vnine v izbni točki, δ p je vetiklni odmik izbne točke v nevtlni vnini od stnj v kteem je nvo sile s enk nič. 8

9 V vnovesju se mojo v vskem delu nosilc sile zdi notnjih npetosti uvnovesiti z zunnjimi silmi. Ke v smei -osi n nosilec ne deluje noben sil, mo biti vsot vseh sil zdi notnjih npetosti po peezu nosilc enk nič: σ d =, (7) kje je d infinitezimlni element povšine pesek nosilc v vnini y, z (glejte še sliko ): dy z z y d z dy z = y = slik Če vstvimo izz z σ iz enčbe (6) v enčbo (7) dobimo: d E C d = (8) s Iz enčbe (8) d d =. (9) Ob upoštevnju definicije d-j in definicije pedznk kivinskeg di R (glejte sliko ) tko iz enčbe (9) sledi: d = y, () sj zdi simetije velj (glejte sliki in ) y d =, () pi čeme se nevtln vnin ujem, z vnino. Elstične sile v pečnem peezu nosilc s povšino povzočjo nvo, ki im od nič zlično komponento smo v smei z-osi. Nvo elstičnih sil nmeč nspotuje zkivljnju nosilc zdi nvo sile, ki im tudi smo z-komponento zlično od nič. Nvo 9

10 elstičnih sil M skuš nosilec izvnti, zto g imenujejo tudi upogibni nvo elstičnih sil. pomočjo enčb (6) in () dobimo: d () σ d M = y A = y E C y = E C I kje smo upoštevli enčbo () in kje je = (3) I y d upogibni vztjnostni moment peez nosilc. Ke se ukivljenost nosilc vzdolž osi speminj, je tudi elstični upogibni nvo funkcij koodinte. Pečni pesek nosilc im obliko kog z diem, kteeg sedišče pvokotno pebd -os izbneg koodintneg sistem (glejte še sliki in ). Toej: + + I= y = y z y= y y y= π d d d. () Če iz enčbe () izženo ukivljenost M C =, (5) E I vstvimo v enčbo (6) te upoštevmo identiteto () dobimo: M σ = y. (6) I Poiščimo še eksplicitni izz z ukivljenost C( ). slike je zvidno, d je ds = R dϑ, (7') od kode sledi: dϑ C = =. (7) R s d Ke je = tgϑ in ( ds ) = d + dδ, iz enčbe (7) sledi d C = d dδ + d 3 (8)

11 Ke je ukivljenost nosilc zdi nvo sile s pi vseh zelo mjhn pibližno velj C = (9) d Dokz elcije (8) (glejte še sliko ): o ( δ) dδ ds= d + d = d + d dδ dδ = = d d d o tgϑ d( tgδ) (9) V izz dϑ C = s d dϑ= d cos ϑ d d dϑ= cos ϑ d d d d d dϑ= = + tg ϑ dδ + d (9b) vstvimo enčbi (9) in (9b) in dobimo enčbo (8): dϑ d C = = d s dδ + d 3 (8) Če kombinimo enčbi (5) in (9) dobimo: M =. (3) d E I Iz enčbe (3) izžen M z vstvimo v enčbo (6). Tko dobimo:

12 σ = E y. (3) d Ke je elstični upogibni nvo M funkcij koodinte se v peezu nosilc poleg ntezne sile pojvi tudi ezultntn stižn sil V, sj mo biti v vnovesju vsot nvoov, ki delujejo n izbn element nosilc dolžine d enk nič: M M + d + V d=, (3') d M M M + d + V d=, (3) d dm M + = M + d. d kje smo upoštevli ( d ) M( ) M( + d) V ( d ) V = V + = V= konst. d slik 3 Tudi vsot vseh sil v smei y osi mo biti enk nič, toej V = konst. (33) Iz enčbe (3) dobimo zvezo med V in M, dm V= (3) d pomočjo enčb (3), (33) in (3) p dobimo 3 dδ V= E I (35) 3 d in d E I δ =, (36) d kje smo upoštevli d V =, ke je V konstnt. Difeencilno enčbo (36) ešujemo z pime d pedstvljen n slikh 9 in. Enčbo (36) štiikt integimo n obeh stneh enčj: EIδ= α + α + α + α (37) 3 3

13 kje so α, α, α3 inα konstnte, ki jih določimo iz obnih pogojev. Iz obnih pogojev pi = : dδ δ ( = ) =, ( = ) =, (38) d sledi: α3= α= (39) Iz obneg pogoj pi =l, V = l + s =, () sledi: α s =. () 6 Levi pitjeni del nosilc pek peez deluje n desni del z nvoom M= E I d (enčb (3) in g skuš zvteti nvzgo. il ( l ) s : s p g želi zvteti nvzdol z nvoom + ( ) = M l s. () ( l ) s slik V enčbo () vstvimo M = E I iz enčbe (3) in dobimo: d E I + ( l ) s = (3) d Vstvimo δ iz enčbe (37) v enčbo (3): 3

14 6α α+ l s =, () z α vstvimo izz α s = (enčb ()) in dobimo: 6 α + l =, s oziom: α = s l (5) edj ko poznmo konstnte α, α, α3 inα lhko zpišemo celotno ešitev (enčb (37): δ s + l 6 = EI 3 s Od tod lhko izčunmo s pomočjo enčbe (3): s. (6) M = l (7) in s pomočjo enčbe (3): σ s y = I ( ) l, (8) kje je π I=. σ NATEGOVANJE TIKANJE s y

Σχετικά έγγραφα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije