STOCHASTICKÉ ANALÝZY FINANČNÝCH TRHOV MÁRIA BOHDALOVÁ, MICHAL GREGUŠ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STOCHASTICKÉ ANALÝZY FINANČNÝCH TRHOV MÁRIA BOHDALOVÁ, MICHAL GREGUŠ"

Transcript

1 !!

2

3 STOCHASTICKÉ ANALÝZY FINANČNÝCH TRHOV MÁRIA BOHDALOVÁ, MICHAL GREGUŠ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 2012

4 Stochastické analýzy finančných trhov Mária Bohdalová, Michal Greguš Vedecká monografia Vydavateľ: Tlač: Univerzita Komenského v Bratislave Alfa print, s.r.o. Martin Grafický návrh obálky: Technická spolupráca: Martin Bohdal RNDr. Róbert Bohdal, PhD. Ondrej Bohdal Bratislava 2012 Recenzenti: Prof. RNDr. Magdaléna Komorníková, CSc. Ing. Vladimír Valach, MBA c Mária Bohdalová, Michal Greguš, 2012 ISBN

5 Obsah 1 Finančné modelovanie od Lausanskej školy po súčasnosť Zásady investovania Arbitrážna teória Aktíva, portfólia a arbitrážne príležitosti Rozhodovanie s rizikom, rozhodovanie za neistoty Užitočnosť a preferencie Meranie výnosu Meranie rizika Úvod do teórie portfólia Výber portfólia pomocou analýzy Priemer-Rozptyl Diverzifikácia ako centrálna veta vo financiách Markowitzova analýza priemeru a rozptylu Matematická formulácia problému optimálneho portfólia Riešenie problému optimalizácie portfólia Vlastnosti optimálnej hranice efektívnej množiny Ďalšia analýza kovariancie Optimálne portfólio a bezrizikové aktíva Markowizov model a súčasnosť Využitie MPT v rozhodovaní o alokácii aktív Zovšeobecnenia základného modelu alokácie aktív Model oceňovania kapitálových aktív 89 iii

6 4.1 Prepojenie s hranicou portfólií Dotykové portfólio Model pre oceňovanie kapitálových aktív (CAPM) Odhad CAPM Dekompozícia rizika Modelovanie rizikových faktorov Teoretické vlastnosti faktorových modelov Exogénne faktory Modely založené na analýze hlavných komponentov Metóda hlavných komponentov PCA Markowitzov model a jeho varianty Black-Littermanov model Odvodenie Black - Littermanovho modelu Theilova metóda zmiešaných odhadov Špecifikácia modelu Použitie Black-Littermanovho modelu Výhody a nevýhody Black-Littermanovho prístupu Alternatívne prístupy k investovaniu Investovanie a dynamika trhov Behaviorálny prístup A Stochastické procesy v diskrétnom čase 157 B Miery 159 C Základné pojmy z teórie výberu 161 D Slovník symbolov a pojmov 165 Literatúra 167 Index 180

7 Predhovor Monografia je venovaná finančnému modelovaniu nielen z pohľadu teoretika, ale aj z pohľadu investora. Zároveň sa sústreďuje aj na metodický postup ako aplikovať modely stochastickej analýzy finančných trhov v reálnej praxi. Ešte donedávna bolo investovanie na finančných trhoch doménou inštitucionálnych hráčov, bánk, poisťovní, hedge fondov a spoločností, ktoré napríklad zaisťovali svoje menové riziko. Finančné trhy sa v uplynulých rokoch dramaticky otvorili a dnes ponúkajú zaujímavé investičné príležitosti nielen inštitucionálnym investorom, u ktorých niekedy nemožno poprieť pretrvávajúci trend ku konzervativizmu, ale i súkromným investorom, ktorí chcú vyskúšať svoje podnikateľské schopnosti na tomto dynamicky sa meniacom trhu a zároveň diverzifikovať svoje investície. Obzvlášť zaujímavým sa stal tento trh v súčasnom krízovom období posledných štyroch rokov, najmä kvôli extrémne zvýšenej rizikovosti v podnikaní na tomto trhu. Je známe, že zvýšené riziko často nesie so sebou v určitých situáciách aj potenciál vysokých ziskov. V tejto monografii sme sa snažili detailne popísať vybrané stochastické modely, ktoré sú vhodné na použitie pri výpočte rizika diverzifikovaných portfólií akcií a vysvetliť princípy a metodiku ich použitia v reálnych obchodoch na finančných trhoch. Monografia sa nezaoberá hybnými silami finančného sveta a ani neanalyzuje stratégie investovania na finančných trhoch. Samozrejme podstatnú rolu hrá vii

8 psychológia, preto by pri obchodovaní na finančných trhoch nemal investor podliehať emóciám a zmieriť sa s tým, že nie každý obchod musí byť ziskový. Priekopnícka práca Harry Markowitza v päťdesiatych rokoch, otvorila cestu sofistikovaným štatistickým a matematickým technikám do sveta financií a investičného manažmentu. Môže vzniknúť otázka, vzhľadom k súčasnému stavu ekonomiky, či sú matematické prístupy odôvodnené. Predsa len existuje veľa zákonov ekonomickej a finančnej teórie, vyjadrené v jazyku štatistiky a matematiky, ktoré majú vplyv na riadenie investícií a môžeme ich považovať za empiricky dobre zavedené a vedecky podložené. Dôsledkom toho je, že každý investor by mal byť oboznámený so štatistickými a matematickými technikami. Investiční manažéri musia správne chápať riziko a výnos, ktorý je spojený s investovaním. Čiže musia byť schopní získavať informácie napríklad aj z časových radov. Základné matematické modely musia byť jednoduché, ale zároveň musia vyjadrovať ekonomické pozadie problému. Zložitosť nástrojov sa stáva kľúčovou hnacou silou a to platí aj pre rastúce využívanie matematiky v oblasti financií. Je potrebné pochopiť za relatívne jednoduchých predpokladov pravdepodobnostné správanie sa základných premenných a toto následne preložiť do potenciálne veľmi zložitého pravdepodobnostného správania sa finančných produktov. Publikácia je navrhnutá tak, aby pokryla základy procesu finančného rozhodovania, jeho ekonomické a matematické základy. Prináša finančné modely a teórie, vrátane Markowitzovho modelu, CAPM, faktorových modelov, modelov založených na podmienených pravdepodobnostiach a Bayesovej štatistike a alternatívne prístupy k investovaniu. Mária Bohdalová Michal Greguš

9 Kapitola1 Finančné modelovanie od Lausanskej školy po súčasnosť Matematický rozvoj súčasnej hospodárskej a finančnej teórie začal v Lausanne, vo Švajčiarsku na konci devätnásteho storočia rozvojom matematickej teórie rovnováhy. Matematickú teóriu rovnováhy rozpracovali Leon Walras a Pareto Wilfred. Krátko potom, na začiatku dvadsiateho storočia, Louis Bachelier v Paríži a Filip Lundberg v Uppsale (Švédsko) napísali dva fundamentálne príspevky, v ktorých vyvinuli sofistikované matematické nástroje na opis náhodných cenových a rizikových procesov. Ich výskum však predstihol svoju dobu. Ďalší pokrok bol urobený oveľa neskôr, až v dvadsiatom storočí, vďaka rozvoju počítačov. Vďaka tomu, že pomocou počítačov sa dajú vypočítať približné riešenia zložitých problémov, je možné aplikovať matematické metódy na riešenie ekonomických a finančných problémov. Prvé kolo inovácií nastalo v rokoch 1950 až Kenneth Arrow a Georges Debreu zaviedli pravdepodobnostné modely pre trhy a definovali pojem podmienená pohľadávka. V roku 1952, Harry Markowitz popísal matematicky princípy investičného procesu pomocou optimalizácie úžitkovej hodnoty. V roku 1961, Franco Modigliani a Merton Miller objasnili podstatu ekonomickej hodnoty a spracovali dôsledky 9

10 FINANČNÉ MODELOVANIE OD LAUSANSKEJ ŠKOLY PO SÚČASNOSŤ absencie arbitráže. Medzi 1964 a 1966 William Sharpe, John Lintner a Jan Mossin vyvinuli teoretický model trhových cien, ktorý bol založený na princípoch finančného rozhodovania, tak ako ich formuloval Markowitz. Pojem efektívnych trhov zaviedol Paul Samuelson v roku 1965 a o päť rokov neskôr Eugen Fama jeho koncepciu ďalej rozvinul. Druhé kolo inovácií sa začalo koncom sedemdesiatych rokov minulého storočia. V roku 1973, Fischer Black, Myron Scholes a Robert Merton zistili, ako určiť ceny opcií pomocou spojitého zaistenia (continuous hedging). O tri roky neskôr, Stephen Ross zaviedol arbitrážnu teóriu cien (APT Arbitrage Pricing Theory). Oba výsledky boli fundamentálne a mali za následok formulovanie obecnej matematickej metodológie pre správu investícií a oceňovanie derivátových finančných produktov. Merton približne v rovnakom čase zaviedol spojitý intertemporálny dynamický optimalizačný model alokácie aktív. Výrazné zlepšenie metód matematickej optimalizácie a nové ekonometrické nástroje zmenili spôsob akým sú dnes investície spravované. Vďaka nedávnemu rozšíreniu používania elektronických transakcií sa tvoria obrovské množstvá dostupných empirických dát. Keďže tieto údaje sú voľne dostupné, vznikol predpoklad, že reálne ekonomické javy bude možné vysvetliť exaktnými vedeckými metódami. Vznikli nové vedné odbory ekonofyzika a veda o komplexných systémoch. Tieto disciplíny vznikli s očakávaním, že objasnia javy v ekonomike, ktoré sa doposiaľ nepodarilo klasickými metódami vysvetliť. Očakávania ekonómov a fyzikov boli založené na hypotéze, že ekonomické systémy by mohli byť študované ako fyzikálne systémy s a priori iba minimálnymi ekonomickými predpokladmi. Klasická ekonometria je založená na podobnom prístupe, ale kým sféra použitia klasickej ekonometrie je obmedzená na dynamické modely časových radov, ekonofyzika využíva všetky nástroje štatistickej fyziky a analýzy komplexných systémov, vrátane teórie interaktívnych multiagentných systémov. 10

11 Kapitola2 Arbitrážna teória 2.1 Aktíva, portfólia a arbitrážne príležitosti Uvažujme finančný trh sn+1 aktívami{a 0,A 1,...,A n } dostupnými v časetpričom uvažujeme o ich držbe do časut +τ. Pod aktívom rozumieme investičný nástroj, ktorý možno predávať alebo kupovať ((MOr05), str.35). Investičné nástroje môžu byť buď bezrizikové, napr. dlhopisy, termínované vklady alebo rizikové, napr. cenné papiere, komodity, meny a podobne. Ceny bezrizikových aktív popíšeme nezápornou funkciou B = {B(t),t = 0, 1,...,τ},B(0) = 1 ab(t)>0, t.b(t) je hodnota peňazí na trhu v časet, pričom v časet=0mali hodnotu jednej peňažnej jednotky. Naviac r(t;τ) = [B(t +τ) B(t)] B(t) (2.1) je výnos daného aktíva (v prípade bezrizikových aktív hovoríme o úrokovej miere) týkajúci sa časového obdobia (t,t +τ. Obyčajne predpokladáme, žer(t;τ) 0. Ak sa nebude úroková miera v priebehu časut = 0, 1,...,τ meniť, budeme ju označovať písmenomr. 19

12 ARBITRÁŽNA TEÓRIA Podmienka B(t) > 0 zodpovedá podmienke r(t;τ)> 1. Poznamenajme, že funkčné hodnotyb(0),b(1),...,b(τ) sú nezáporné reálne čísla, ktoré nezávisia od náhodných udalostí. Ceny rizikových aktív modelujeme adaptívnymi stochastickými procesmis ={S(t) :t=0, 1,...,τ} v pravdepodobnostnom priestore (Ω, F, P) ((Rie11), (EK05), (FS04)). Ω je konečnorozmerný priestor náhodných udalostí, všetkých možných stavov (konkrétnych situácií, scenárov) vývoja trhu. F je filter, ktorý zahŕňa informáciu o finančnom trhu dostupnú pre investora v čase t. P je pravdepodobnostná miera definovaná na Ω, pričom platíp(ω)>0, ω Ω (pozri prílohy A, B). Úlohou pravdepodobnostnej miery P je identifikovať udalosti, ktoré investori považujú za možné, avšak nemusia súhlasiť s jednotlivými pravdepodobnosťami daných udalostí. ProcesyS definujeme v obore reálnych čísel tak, že pre každé t = 0, 1,...,τ jes ω (t) nezápornáf t merateľná funkcia, definovaná na (Ω,F), s hodnotami z intervalu 0, ).S (ω) (t) je cena aktíva v čase t, ak nastal scenár ω. V ďalšom texte nebudeme uvádzať závislosť od ω, za účelom zjednodušenia zápisu. Z predpokladuf 0 ={, Ω} vyplýva, že cenai-teho rizikového aktívas i (0) je v časet=0známa a nezávisí odω Ω a teda je to dané reálne číslo. PodmienkaF t -merateľnosti funkcies i (t) odráža fakt, že cena i-teho rizikového aktíva v čase t závisí len od udalostí, ktoré sa stali v čase 0, 1,...,t;t τ. Ďalej budeme hovoriť, že stochastický process ={S(t) :t=0, 1,...,τ} je prispôsobený filtru F, ak v každom časovom okamihu t je náhodná premenná S(t) merateľná vzhľadom na informáciu obsiahnutú vf t os(t). Časτ < je konečný a nazývame ho investičný horizont investora. Investor nakupuje, alebo predáva aktíva v ľubovoľnom čase t {0, 1,...,τ 1}, skôr ako skončí daný obchodný cyklus dĺžkyτ (investičný horizont). Je zrejmé, že jeho rozhodnutie o kúpe alebo predaji aktíva v časetmôže závisieť len od informácií známych v minulosti a v súčasnosti. Napríklad v časet=1rozhoduje o svojej obchodnej stratégii len na základe informácií dostupných v čase t = 0 20

13 Kapitola3 Úvod do teórie portfólia 3.1 Výber portfólia pomocou analýzy Priemer-Rozptyl Dôležitým medzníkom v napredovaní kvantitatívneho manažmentu portfólia 1 sa stala práca Harryho Markovitza: Portfolio Selection, ktorú publikoval v roku 1952 v časopise Journal of Finance((Mar52)) 2. Myšlienky, ktoré Markowitz uviedol vo svojom článku, sú základom dodnes populárnej analýzy Priemer-Rozptyl (Mean-Variance analysis, M-V analýza), ktorá sa stala základom modernej teórie portfólia (MPT). Spočiatku Markowitzova teória nevzbudila veľký záujem vo finančných kruhoch, ale v súčasnosti je M-V analýza základom mnohých finančných modelov. M-V analýza mala najväčší vplyv na praktickú stránku spravovania portfólia ((Gue10)). Vo svojej najjednoduchšej forme, M-V analýza poskytuje rámec na výstavbu a výber portfólia na základe investorovho očakávania a jeho vzťahu k riziku. M-V analýza predstavila úplne novú terminológiu, ktorá je doteraz používaným štandardom v 1 Portfóliom cenných papierov rozumieme zásobu rôznorodých cenných papierov v držbe investora ((VM01)). 2 V roku 1959 bol článok vydaný v knižnej forme (Mar59) 55

14 ÚVOD DO TEÓRIE PORTFÓLIA oblasti správy investícií. Teória portfólia je normatívnou teóriou, v tom zmysle, že popisuje štandard alebo normu správania sa investora vytvárajúceho portfólio, na rozdiel od teórií, ktoré boli vytvorené neskôr a tiež sú aktuálne dodnes. Napríklad teória oceňovania aktív (Asset Pricing theory) známa ako Capital asset pricing model (CAPM), s ktorou sa budeme zaoberať v nasledujúcej kapitole, formalizuje vzťah, ktorý by mohol existovať medzi výnosom aktív a rizikom, ak investor skonštruuje a vyberie portfólio v súlade s M-V analýzou. Na rozdiel od normatívnej teórie M-V analýzy, CAPM je pozitívnou teóriou, t.j. teóriou, ktorá hypotézu ako sa správa investor nahradila hypotézou ako by sa mal investor správať. V súlade s touto hypotézou odvodíme CAPM, ktorý predpokladá odvodený očakávaný výnos. V tejto kapitole vysvetlíme princípy M-V analýzy a zavedieme formálne matematické základy pre určenie efektívneho portfólia. Rozšírime Markowitzovu formuláciu o predpoklad, že je na kapitálovom trhu dostupné bezrizikové aktívum. V dôsledku toho získame efektívne portfólio dominujúce na trhu efektívnych portfólii, skonštruovaných na kapitálových trhoch, na ktorých nie je dostupné bezrizikové aktívum. 3.2 Diverzifikácia ako centrálna veta vo financiách Známa múdrosť hovorí: Nedávajte všetky vajcia do jedného koša. Táto stará múdrosť sa stala základom pojmu. Markowitz kvantifikoval pojem diverzifikácia prostredníctvom štatistického pojmu kovariancie alebo korelácie. V podstate múdrosť hovorí, že investovanie všetkých peňazí v rovnakom čase do vysoko korelovaných aktív je nevhodná investičná stratégia, pretože môže viesť k slabej výkonnosti portfólia v dôsledku možného nepriaznivého vývoja jedného z korelovaných aktív. 56 Koncept diverzifikácie je tak intuitívny a tak silný, že neustále

15 Kapitola4 Model oceňovania kapitálových aktív V tejto kapitole budeme nadväzovať na Markowitzov prístup založený na priemere-rozptyle uvedený v predchádzajúcej kapitole. Zameriame sa na modely, pomocou ktorých je možné odvodiť ceny a/alebo výnosy aktív. Tieto modely môžeme zaradiť do nasledujúcich troch skupín: Všeobecná teória rovnováhy (ekvilibria). Cenové procesy sú určené ako rovnováha medzi ponukou a dopytom na trhu a sú ovplyvnené ekonomickou hybnou silou, ktorej správanie je známe. Všeobecná teória rovnováhy je skutočne ekonomická teória, ktorá vychádza z konkrétnych predpokladov o správaní sa hybných síl trhu. Poznáme nasledujúce modely všeobecnej rovnováhy: CAPM, podmienený CAPM, viacfaktorový CAPM, a konzumný CAPM. Arbitrážne cenové modely. Arbitrážna cena je relatívna cena až natoľko, že ceny aj výnosy aktíva závisia od iných procesov. Úvod do arbitrážnej teórie sme uviedli v kapitole 2. Širšie spracovanú problematiku arbitrážnych cien nájdeme v ((FF04), (LLL10) a iných). 89

16 MODEL OCEŇOVANIA KAPITÁLOVÝCH AKTÍV Ekonometrické modely. Jedná sa o štatistické modely cien alebo výnosov. Tieto modely modelujú ceny alebo výnosy ako endogénne javy a/alebo vytvárajú väzby medzi cenami, výnosmi a exogénnymi premennými. Ekonometrické modely sú empirické, to znamená, že sú platné pre vhodné empirické údaje. Nie sú odvodené z ekonomickej teórie hoci by sa mohlo zdať, že ekonomická teória ovplyvňuje ekonometrické modely. Napríklad teória Markovových prepínacích modelov (Markov switching models) má korene v teórii ekonomických cyklov. V tejto kapitole odvodíme najslávnejší model pre oceňovanie kapitálových aktív Capital Asset Pricing Model (CAPM). CAPM sformulovali nezávisle od seba William Sharpe ((Sha64)), John Lintner ((Lin65)) a Jan Mossin ((Mos66)). Ako sme vysvetlili v predchádzajúcej kapitole, teória výberu portfólia založeného na M-V analýze, je normatívnou teóriou, ktorá popisuje investičné správanie sa investorov na trhu, keď vytvárajú portfólia. Vzhľadom na ich investičné správanie sa, model oceňovania kapitálových aktív formalizuje vzťah, ktorý by mal existovať medzi výnosmi aktív a rizikom. CAPM je rovnovážny model pre ocenenie aktív, je odvodený na základe istých predpokladov, pomocou ktorých abstrahuje od reálnych svetových kapitálových trhov. Tieto predpoklady zjednodušujú realitu, a niektoré z nich sa môžu dokonca javiť ako nereálne. Avšak, tieto predpoklady sú potrebné pre jednoduchšie matematické vyjadrenie modelu. Predpoklady pre použitie CAPM sú nasledujúce 1 : P 1: Investori prijímajú investičné rozhodnutia na základe očakávaného výnosu a rozptylu výnosov. P 2: Investori sú racionálni a odmietajú riziko. P 3: Investori uplatňujú Markowitzov princíp diverzifikácie portfólia. P 4: Investori všetky investície investujú na rovnaké časové obdobie. 1 pozri (FF04), kapitola 17 90

17 Kapitola5 Modelovanie rizikových faktorov Vo vzťahu (4.9) sme ukázali na možnosť, že aktíva môžu byť ovplyvnené závažnými faktormi. Položme si otázku: Naozaj len trhové portfólio ovplyvňuje výber našich aktív? Uvažujme nasledujúce možnosti: Ak sa naše portfólio skladá z náhodne vybraných aktív z komoditného sektoru trhu, potom je dosť pravdepodobné, že vedúce (určujúce) aktívum v našom portfóliu je jedným z mnohých obchodovaných na burze komoditných indexov, ktoré sú navrhnuté na sledovanie ceny v danom odvetví. Ak naše portfólio obsahuje náhodne vybrané aktíva z rôznych odvetví (sektorov) trhu, tak existuje niekoľko vedúcich (určujúcich) faktorov, ktoré ovplyvňujú vývoj náhodných výnosov. Ak vezmeme do úvahy tieto dve možnosti, navrhneme alternatívny prístup k modelovaniu tak, že zovšeobecníme CAPM model pričom umožníme vybrať si vedúce faktory. V tejto kapitole zavedieme viacfaktorové modely, ktoré patria do širokej skupiny ekonometrických modelov. V podstate budeme uvažovať modely s viacerými premennými, ktoré pripúšťajú, že môžu byť 109

18 MODELOVANIE RIZIKOVÝCH FAKTOROV približne (alebo presne) vyjadrené ako funkcia iného viacrozmerného procesu s nižšou rozmernosťou. Všeobecná viacfaktorová formulácia modelu musí byť jasne odlíšená od ekonomickej teórie, ktorá by mohla byť v pozadí. V skutočnosti, môžu viacfaktorové modely vyjadrovať ekonomickú teóriu a súčasne byť výsledkom procesu znižovania rozmernosti. Napríklad, model oceňovania kapitálových aktív (CAPM) je všeobecnou teóriou rovnováhy, ktorá je zakotvená v jednofaktorovom lineárnom modeli (pozri (FF04), (Gue10), (LLL10), (Coc99)). Viacfaktorové modely predstavujú teóriu cien založenú na neexistencii arbitráže. Avšak vzhľadom k tomu, že pracujú s viacerými premennými, ekonometrické analytické techniky ponúkajú možnosť znížiť dimenziu problému. Treba poznamenať, že ide o čisto štatistický proces, ktorý nie je podporovaný ekonomickými teóriami. V tomto zmysle, často v literatúre nachádzame, že CAPM a APT ako faktorové modely môžu byť trochu zavádzajúce. Malo by však byť jasné, že oba modely vychádzajú z ekonomickej teórie všeobecnej rovnováhy a arbitrážnych cien. Je pravdepodobné, že v dlhodobom horizonte nie je možné sledovať všetky cenové procesy jediným spoločným trendom s výnimkou rušivých udalostí, ako sú bankroty alebo fúzie a akvizície. Toto trendové správanie je možné vykazovať komplexnými dynamickými štruktúrami, ktoré v priebehu investičného horizontu sledujú násobné trendy, body zvratu ( mean reversion procesy), respektíve štrukturálne zmeny v historických empirických údajoch. V tejto publikácii uvádzame klasické viacfaktorové modely, tak ako sú skonštruované a používané v investičnom manažmente. Problematiku dynamických faktorových modelov nájdeme napríklad v ((FF04)). Lineárny viacfaktorový model vo všeobecnom tvare môžeme zapísať nasledovne: E[r] =α +βe[f] kde 110 E[r it f t ] =α i +β i f t l r it =α i + β is f st +ǫ t, s=1 (5.1)

19 Kapitola6 Markowitzov model a jeho varianty V súvislosti s popularitou Markowitzovho modelu vzniká niekoľko otázok, pokiaľ ide o praktické implementácie tohto modelu. Hlavným problémom je citlivosť Markowitzovho modelu na zmeny vstupných údajov. Vzhľadom k tomu, že optimálne portfólio vytvorené pomocou M-V prístupu je vybrané medzi krajnými bodmi prípustnej oblasti, malé zmeny v odhadovaných parametroch pravdepodobnostných rozdelení jednotlivých aktív vstupujúcich do portfólií môžu viesť k radikálne odlišným optimálnym hodnotám odporúčaných váh pre optimálne portfólio. V dôsledku toho, pomerne malé chyby v odhade parametrov môžu potenciálne spôsobiť prudký pokles výnosu z investícií a výrazne zmeniť váhy všetkých ostatných aktív. Takáto vysoká citlivosť je nežiadúca najmä pre praktické aplikácie. Na prekonanie tohto nedostatku bolo navrhnutých veľa modelov. Populárne prístupy využívajú robustné odhady pre strednú hodnotu a rozptyl. Namiesto toho, aby sme použili objektívne odhady pre pravdepodobnostné rozdelenia, môžeme znížiť odhady chyby tým, že zmenšíme vzorku pre odhad strednej hodnoty a kovariancie pre štruktúrované odhady. Takto upravené metódy spracovali Jobson a Korkie ((JK81)), Jorion ((Jor86)), Pástor ((Pá00)), a Larsen a Resnick ((LR01)). V podobnom kontexte Black a Litterman ((BL90)) navrhli model, v ktorom sa berie do úvahy názor investora na správanie sa 127

20 MARKOWITZOV MODEL A JEHO VARIANTY trhu. V Black-Littermanovom modeli, investorov názor reprezentuje lineárny vzťah medzi očakávanými výnosmi jednotlivca a aktívami, pričom sa využíva Bayesovský prístup na dosiahnutie trhovej rovnováhy. Touto problematikou sa zaoberali aj Satchell a Scowcroft ((SS00a)), Idzorek ((Idz04)) a ďalší. Ďalšie alternatívne prístupy pre tvorbu optimálnych portfólií sú založené na prevzorkovacej, resp. simulačnej technike. V tomto prístupe, trhové parametre získame pomocou simulovania možných budúcich stavov trhu napríklad metódou Monte Carlo. Pre každú simuláciu získame váhy simulovaného optimálneho portfólia. Potom optimálne váhy navrhovaného portfólia sú priemernými váhami jednotlivých simulovaných optimálnych portfólií. Napríklad Michaud zaviedol model ((Mic98)), v ktorom generuje náhodné vzorky na základe odhadovanej strednej hodnoty a rozptylu, a tak získava nové množiny odhadov trhových parametrov simulovaných vzoriek. Efektívnu hranicu zodpovedajúcu danej simulácii vypočíta tak, že minimalizuje množinu rovnomerne rozdelených rozptylov portfólia. Opakovaním uvedeného postupu dostatočne veľa krát, získal inú vzorku optimálnych portfóliových váh. Na záver vzorky možných optimálnych váh spriemeroval a tak získal váhy optimálneho portfólia s rozptylom v tom istom rozsahu. V istom zmysle, týmto prístupom vyriešil citlivosť problému alokácie portfóliových váh pomocou spriemerovania výsledkov získaných simuláciou. Iný prístup poskytuje metóda robustného odhadu, pomocou ktorej je možné odhadnúť trhové parametre priamo zo vzorky historických trhových údajov. V oblasti robustných odhadov došlo k významnému zlepšeniu metódy alokácie optimálneho portfólia pomocou konvexných analýz, ktoré analyticky odrážajú neistotu v odhade trhových parametrov. Modely využívajúce tento prístup zvyčajne definujú množinu neistoty pre trhové parametre a následne formulujú optimálnu alokáciu ako konvexný optimalizačný problém tak, aby sa bral do úvahy aj najhorší možný prípad. Model s uvedenými vlastnosťami je v literatúre známy pod názvom robustný optimalizačný model ((FF04)). Napríklad, keď požadujeme, aby priemerný výnos alebo kovariancia ležala na elipsoide, potom môžeme problém M-V analýzy preformulovať na problém 128

21 Kapitola7 Alternatívne prístupy k investovaniu 7.1 Investovanie a dynamika trhov Žijeme v ére rastúcej finančnej nestability, v novej ére sveta privatizácie a deregulácie, čo umožňuje rozsiahlu úverovú expanziu založenú na dolári ako svetovej meny. Obchodovanie s derivátmi nie je regulované, a často sa používa ako prostriedok tvorby peňazí úplne mimo kontroly každej centrálnej banky. Štandardná ekonomická teória úplne vylučuje možnosť nestability. Pred druhou svetovou vojnou, rozšírenie meny a následná inflácia nebola možná, pretože bol dolár regulovaný množstvom zlata. Zlatý štandard bol v USA nakoniec úplne zrušený v roku Počas platnosti zlatého štandardu, zaisťovanie svetovej meny nebolo nutné. Našu súčasnú éru inflácie, úverov a vysokej úrovne spotreby s rastúcou finančnou nestabilitou trhu môžeme datovať od deregulácie dolára v roku Nie je náhoda, že Black-Scholesov model oceňovania opcií a legalizácia rozsiahlych možností obchodovania s derivátmi sa viažu k roku

22 ALTERNATÍVNE PRÍSTUPY K INVESTOVANIU Táto realita je v kontraste s výučbou rovnováhy podľa teórie rovnováhy štandardných akademických ekonomických textov, uvedených napríklad v populárnych knihách Stiglitza ((Sti02)), Morrisa ((Mor08)) a Sorosa ((Sor08)). Ekonómovia nás učia rovnováhe na trhu, ktorá je meradlom stability, aj keď skutočný svet ekonomiky je nestabilný. Implicitným predpokladom je, že trhy sú stabilné. Štandardná mikroekonomická teória je založená na deterministickej rovnováhe modelov, pričom sa predpokladá dokonalá znalosť budúcnosti na strane všetkých investorov. Táto rovnováha existuje za matematicky úplne nereálnych podmienok, avšak predpokladá sa, že hypotetická rovnováha je stabilná, hoci to nebolo nikdy dokázané. Na hypoteticky stabilných trhoch sa predpokladá, že ceny aktív sú stacionárne stochastické procesy, ktoré nazývame racionálne očakávania. Štandardné makroekonomické teórie sú založené na tomto predpoklade. Racionálne očakávania ako dominantná ekonomická filozofia súvisí s dereguláciou realizovanou v roku 1970 a 1980, a s regresnou analýzou ako nástrojom výberu pre modelovanie. Regresná analýza je založená na predpoklade stacionárneho bieleho šumu, pričom neexistuje žiadny empirický dôkaz o stacionarite akéhokoľvek druhu a na akomkoľvek známom trhu. Alternatívny prístup k tejto problematike poskytuje neoklasická ekonomická teória ekonofyzika, ktorá berie do úvahy nestabilitu trhov (pozri (MC09)). Každý investor by chcel vedieť, ako vybrať ziskové cenné papiere. Neexistuje však spoľahlivá matematická teória, a tak isto neexistuje zaručená kvalitatívna metóda, ktorá by viedla k úspechu 1. Ak máme nejaké rizikové aktívum, koľko by sme mali naň staviť? Podľa vety o zruinovaní hazardného hráča (ako dôsledku obecnejšej Huygensovej vety), mali by sme staviť celú sumu, ak je k prežitiu nevyhnutná výhra. Ak však máme k dispozícii časový horizont presahujúci bezprostrednú prítomnosť, potom možno čiastka, ktorú by sme mali staviť by mala byť nižšia, ako je množstvo potrebné pre prežitie v dlho- 1 Podľa Warrena Buffetta, sa dá povedať: Vyberte cenný papier, ktorý má dobré ziskové vyhliadky. Nebojte sa kupovať, keď je jeho cena na trhu nízka. Bojte sa kupovať, keď je cena cenného papiera na trhu vysoká. Táto rada je v rozpore s tým čo vyplýva z hypotézy efektívnych trhov (EMH). (pozri (MC09)) 152

23 Stochastické analýzy finančných trhov Mária Bohdalová, Michal Greguš 1. vydanie Za jazykovú úpravu, terminologickú a štylistickú stránku zodpovedajú autori. Všetky práva sú vyhradené. Publikácia, ani žiadna jej časť nesmie byť reprodukovaná bez súhlasu majiteľa práv. Bratislava 2012 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta managementu ISBN

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4

Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4 Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie menových kurzov V4 Podnikovohospodárska fakulta so sídlom v Košiciach Ekonomická univerzita v Bratislave Cieľ a motivácia Východiská Cieľ a motivácia Cieľ Kvantifikovať

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. Motivácia a definícia. Metódy výpočtu. Problémy a kritika. Spätné testovanie. Prípadová štúdia využitie v NBS. pre 1 aktívum pre portfólio

Obsah. Motivácia a definícia. Metódy výpočtu. Problémy a kritika. Spätné testovanie. Prípadová štúdia využitie v NBS. pre 1 aktívum pre portfólio Value at Risk Obsah Motivácia a definícia Metódy výpočtu pre 1 aktívum pre portfólio Problémy a kritika Spätné testovanie Prípadová štúdia využitie v NBS Motivácia Ako kvantifikovať riziko? Nakúpil som

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Modely portfólia vo finančnom manažmente Andrea Furková. Úvod Model CAPM Odvodenie modelu CAPM Testovanie CAPM...

Modely portfólia vo finančnom manažmente Andrea Furková. Úvod Model CAPM Odvodenie modelu CAPM Testovanie CAPM... Modely portfólia vo finančnom manažmente Andrea Furková OBSAH Úvod... 1 1. Model CAPM... 2 1.1 Odvodenie modelu CAPM... 6 1. 2 Testovanie CAPM... 10 2. Viacfaktorové modely oceňovania kapitálových aktív...

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Základy matematickej štatistiky

Základy matematickej štatistiky 1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do modelovania a simulácie, metóda Monte Carlo

Úvod do modelovania a simulácie, metóda Monte Carlo Úvod do modelovania a simulácie, metóda Monte Carlo Prednáška 4 využitie MS Excel 13.10.2015 Ing. Marek Kvet, PhD. Modelovanie a simulácia Venuje sa štúdiu skúmaných objektov hmotného sveta - existujúcich

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Oceňovanie firiem v investičnom procese private equity investície DIPLOMOVÁ PRÁCA

Oceňovanie firiem v investičnom procese private equity investície DIPLOMOVÁ PRÁCA Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Oceňovanie firiem v investičnom procese private equity investície DIPLOMOVÁ PRÁCA František Salamon Bratislava 2008 Oceňovanie

Διαβάστε περισσότερα

Základy metodológie vedy I. 9. prednáška

Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave

Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Diplomová práca Roman Žabka Bratislava, 2003 Value at Risk (Miera Rizika) Dipl. vedúci Diplomant p. Michal Filip Roman Žabka

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi

Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Čo sú kreditné deriváty

Čo sú kreditné deriváty Kreditné deriváty Čo sú kreditné deriváty Poistenie na kreditné riziko Finančné nástroje umožňujúce previesť kreditné riziko na niekoho iného (bez nutnosti preniesť celú expozíciu) Vznik: cca na začiatku

Διαβάστε περισσότερα

Trh výrobných faktorov

Trh výrobných faktorov Trh výrobných faktorov ZE PI Prednáška 4. Ako sa tvoria a od čoho závisia ceny VF? Zaujímajú nás ceny plynúce zo služieb VF tvorba cien VF Prepojenosť trhu VF s trhom SaS potreba vedieť typ konkurencie

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

Analýza hlavných komponentov

Analýza hlavných komponentov Analýza hlavných komponentov Motivácia Úloha: Navrhnite scenáre zmien výnosovej krivky pre účely stresového testovania v dlhopisovom portfóliu Problém: Výnosová krivka sa skladá z väčšieho počtu bodov,

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Makroekonomické agregáty. Prednáška 8

Makroekonomické agregáty. Prednáška 8 Makroekonomické agregáty Prednáška 8 Hrubý domáci produkt (HDP) trhová hodnota všetkých finálnych statkov, ktoré boli vyprodukované v ekonomike za určité časové obdobie. Finálny statok predstavuje produkt,

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Časová zložitosť Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Laický pohľad skutočne môže naznačovať, že efektívne algoritmy vôbec nepotrebujeme. Veď predsa každý rok sa výrobcovia počítačov predbiehajú

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Value-at-Risk: nástroj na meranie trhového rizika DIPLOMOVÁ PRÁCA

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Value-at-Risk: nástroj na meranie trhového rizika DIPLOMOVÁ PRÁCA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Value-at-Risk: nástroj na meranie trhového rizika DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2007 Matej Štalmach Value-at-Risk: nástroj na meranie

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή Αγοράς Αξιογράφου. Υποδείγματα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων

Γραμμή Αγοράς Αξιογράφου. Υποδείγματα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων Γραμμή Αγοράς Αξιογράφου Υποδείγματα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων Η Γραμμή Αγοράς Αξιογράφου (Security Market Line-SML) Αν ένα αξιόγραφο προστεθεί σ ένα καλά διαφοροποιημένο χαρ/κιο, ο κίνδυνος που

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Zlato komodita 21. storočia

Zlato komodita 21. storočia Ing. Ján Vravec, PhD. Katedra financií a účtovníctva Fakulta manažmentu, PU v Prešove vravec@gmail.com PhDr. Radovan Bačík, PhD. Katedra marketingu a medzinár. obchodu Fakulta manažmentu, PU v Prešove

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Medzinárodné financie. Prednáška Ing. Zuzana Čierna

Medzinárodné financie. Prednáška Ing. Zuzana Čierna Medzinárodné financie Prednáška 5 11.3.2009 Ing. Zuzana Čierna Parita úrokovej miery FISHEROV EFEKT Obsah prednášky: Obsah prednášky: Index odchýlky výmenného kurzu (ERDI) Reálny kurz a indexy reálneho

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

ŠTATISTICKÉ METÓDY VPRAXI

ŠTATISTICKÉ METÓDY VPRAXI TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH Strojnícka fakulta ŠTATISTICKÉ METÓDY VPRAXI Miriam Andrejiová Edícia vedeckej a odbornej literatúry Košice 2016 Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta Miriam

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003 Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium

Διαβάστε περισσότερα

PORTMANTEAU TESTY LINEARITY STACIONÁRNYCH RADOV MARIÁN VÁVRA ZACHARIAS PSARADAKIS NETECHNICKÉ

PORTMANTEAU TESTY LINEARITY STACIONÁRNYCH RADOV MARIÁN VÁVRA ZACHARIAS PSARADAKIS NETECHNICKÉ PORTMANTEAU TESTY LINEARITY STACIONÁRNYCH RADOV MARIÁN VÁVRA ZACHARIAS PSARADAKIS NETECHNICKÉ ZHRNUTIE Národná banka Slovenska www.nbs.sk Imricha Karvaša 1 813 25 Bratislava research@nbs.sk Apríl 2016

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MINIMAXNÉ OPTIMÁLNE NÁVRHY REGRESNÝCH EXPERIMENTOV DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Gabriel GROMAN UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα