β β g( x) και du=g (x)dx g( x)

Transcript

1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΑ Αν f συνεχής [α,] τότε. το ορισµένο ολοκλήρωµα f ( ) d,ισούται f ( ) d= F( ) F( ),όπου F µια αρχική της f 2. το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι πάντα αριθµός ετσι f ( ) d= c και ( f ( ) d) = 3. Ισχύει f ( ), [, ] f ( ) d 4. Ακόµη f ( ), [, ] και f οχι παντου µηδεν στο [α, ] f ( ) d> α 5. Είναι f ( ) d= α 6. Ακόµη f ( ) d= f ( ) d α< 7. τα ολοκληρώµατα γινοµένου συναρτήσεων υπολογίζονται µε κατά παράγοντες ολοκλήρωση f ( ) g( ) d= [ f ( ) g( )] f ( ) g ( ) d 8. τα ολοκληρώµατα σύνθετων συναρτήσεων υπολογίζονται συνήθως µε αντικατάσταση. τότε θέτω κατάλληλα επιλεγµένη παράσταση (π.χ για την h( ) = f ( g( )) θετω u= g( ) η άλλες φορές αντικαθιστώ µε u την παράσταση που κυριαρχεί εµφανιζεται δηλαδή τις περισσότερες φορές η άλλη κατάλληλα επιλεγµένη παράσταση) µε σκοπό να οδηγηθώ σε πιο εύκολη µορφή από αυτή που έχω.ετσι g( ) f ( g( )) g ( ) d= f ( u) duµε u= g( ) και du=g ()d. g ( ). Να θυµάµαι i. Θέτω u= g( ) ii. Αλλάζω διαφορικό du=g ()d iii. Αλλάζω όρια ολοκλήρωσης u = g( ), u 2 = g( ).Όταν αλλάζω µεταλητή στο καινούργιο ολοκλήρωµα πρέπει να υπάρχει µόνο η καινούργια µεταλητή. δηλαδή φεύγω από τη µεταλητή χ και πάω στη µεταλητή u Μιχάλης Γράας

2 2 iv. Το διαφορικό το αλλάζω η εκεί που το u ισούται µε µια παράσταση του,η εκεί που το ισούται µε µια παράσταση του u 9. για ολοκληρώµατα συναρτήσεων πολλαπλού τύπου σπάω κατάλληλα το ολοκλήρωµα σύµφωνα µε τα σηµεία αλλαγής τύπου αφού πρώτα δείξω ότι f είναι συνεχής.. ολοκλήρωµα αντίστροφης. θέτω b. f ( ) d u= f ( ) = f ( u) και ετσι d= f ( u) du = = f ( u) f ( u) = f ( κ) u = κ και αν f ( κ) = α = = f ( u) f ( u) = f ( λ) u = λ άρα και αν f ( λ) = λ λ κ κ κ λ f ( ) d= uf ( u) du= [ uf ( u)] f ( u) du. Εµαδά χωρίων. Γράφω σωστά το χωρίο που µου ζητανε,σαν ολοκλήρωµα και απαλλάσσοµαι από τις απόλυτες τιµές π.χ E= f ( ) d ρίσκω το πρόσηµο της f στο [α,]. b. Αν το ζητούµενο χωρίο ορίζουν οι c f,c g και o η άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτόν τότε το εµαδό υπολογίζεται σαν άθροισµα η διαφορά γνωστών εµαδών και καλό είναι να κάνω σχήµα. 2. Για να δείξω κ f ( ) d λ, κ, λ R µελετώ την f ως προς τα ακρότατα στο[α,] και ετσι m f ( ) M και ολοκληρώνω m d f ( ) d M d 3. για να δείξω f ( ) d< λ, λ R να σκέπτοµαι. µήπως ξέρω την κυρτότητα της f και µια εφαπτοµένη της ε οπότε αν f κοίλη f ( ) ε ε f ( ) µε το ίσον να ισχύει µόνο στο σηµείο επαφής άρα ( ε f ( )) d> Μιχάλης Γράας 2

3 3 b. ή µήπως ξερω ότι f παρουσιάζει µέγιστο στο [α,] το κ για = οποτε f ( ) κ = f ( ) κ f ( ) µε το ισον να ισχύει µονο για =. άρα ( κ f ( )) d> η εκµεταλλεύοµαι κάποια ανισοτική σχεση που µου δίνουν όπως f (4 ) + f ( ) 2 f (2) και ολοκληρώνω αφού τα φέρω στο πρώτο µέλος d. να θυµαµαι αν f ( ) g( ) f ( ) d g( ) d 4. ΠΡΟΣΟΧΗ αν θέλω να υπολογίσω το f ( ) d και κολλήσω να θυµάµαι. f ( ) d η b. Θετω u= f ( ) ή f ( ) d= f ( + ) d= ( f ( ) d+ f ( + ) d) 2 η d. Αν υπάρχει σχέση µε την f ( ) την εκµεταλλεύοµαι 5. Η συνάρτηση F( ) = f ( t) όταν f συνεχής στο διάστηµα και τότε. F παραγωγίσιµη µε F ( ) = ( f ( t) ) = f ( ) b. ηλαδή F( ) = f ( t) είναι µια αρχική της f στο Ακόµη παραγωγίσιµη είναι η συνάρτηση g ( ) F ( ) = ( f ( t) ) = f ( g( )) g ( ) d. Για την g ( ) F( ) = f ( t) είναι h( ) g ( ) g ( ) g ( ) h( ) F( ) = f ( t) = f ( t) + f ( t) = f ( t) f ( t) οπότε h( ) h( ) g ( ) h( ) F ( ) = ( f ( t) ) ( f ( t) ) = f ( g( )) g ( ) f ( h( )) h ( ) Μιχάλης Γράας 3

4 Πεδίο ορισµού της συνάρτησης F( ) f ( t). Πρέπει α και ανήκουν στο ίδιο υποδιάστηµα του πεδίου ορισµού της f t t 7. Για την F( ) = ( f ( u) du) θετω g( t) = f ( u) du αρα = t και ( ) = ( ( ) ) = ( ) = ( ) F( ) = ( f ( u) du) = g( t) αρα F ( ) = ( g( )) = ( f ( u) du) = f ( ) 8. για την F( ) = f ( ) g( t) = f ( ) g( t) είναι F g t g f u du F ( ) = ( f ( ) g( t) ) = f ( ) g( t) + f ( )( g( t) ) = f ( ) g( t) + f ( ) g( ) 9. Αν εχω. f ( t) θετω u= t= g( t), u= t du= ( t) = και u= t t= u. b. f ( t) θετω u= t= g( t).προσοχή να λέπω αν υπάρχει το = du αλλιώς περιπτώσεις i. = u ii. = duκαι u= t t= και ετσι εµφανιζεται το στα όρια ολοκλήρωσης και παραγωγίζω. 2. εύρεση τύπου συνάρτησης.αν η f ικανοποιεί µια ισότητα µε ολοκλήρωµα της µορφής f ( t). Να σκέφτοµαι να παραγωγίσω (αν το δίνει f παραγωγίσιµη)αλλιώς πρώτα το δείχνω και b. Να άζω =α για να κερδίζω f ( t) = Μερικές φορές από τα ίδια όρια ολοκλήρωσης µπορεί να µε συµφέρει να συµπτύξω τα ολοκληρωµατα 2. Ορια συναρτησης και ολοκληρωµατα Μιχάλης Γράας 4

5 5 b. lim( f ( t) ) = f ( t) 22. να µη ξεχνω f ( t) ( f ( t) ) lim lim = lim f ( ) f ( ) ( ) del' Hospitl = = f συνεχης lim ( f ( t) ) ±,µονοτονία f στο [-,] και κριτήριο παρεµολής + G( ) = f ( t) = F( + ) F( ) οπου F µια αρχική της f.ετσι και µπορω να την παραγωγίσω. + F ' = f G ( ) = ( f ( t) ) = ( F( + )) ( F( )) = F '( + )( + )' F '( ) f ( + ) f ( ) και εµφανιζω συνθήκες για ΘΜΤ για την f στο διάστηµα [,+] = Μιχάλης Γράας 5