Primjena ultrazvuka u medicini
|
|
- Βαρβάρα Μαγγίνας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Primjena ultrazvuka u medicini Marko Pecušak osiguranje kvalitete
2 PRIRODA ULTRAZVUKA Ultrazvucni valovi su valovi frekvencije iznad frekvencije cujnosti ljudskog uha. U medicinskoj dijagnostici se upotrebljava ultrazvuk frekvencije izmedu 3 i 10 MHz. U tijelu se ultrazvuk prvenstveno širi longitudinalnim valovima, kod kojih cestice sredstva (tkiva) titraju uzduž smjera širenja valova. U mekim se tkivima mogu širiti samo longitudinalni valovi, dok se u kostima mogu širiti i druge vrste valova, poput transverzalnih, ali se to u današnjoj klinickoj dijagnostici ne koristi. Najbitniji parametri koji opisuju val jesu : - valna duljina - frekvencija - brzina širenja - intenzitet Prve tri velicine povezane su medusobno formulom : v = fλ v - brzina širenja ultrazvuka (približno 1540 m/s u mekim tkivima), f - frekvencija u Hz λ - valna duljina u m Što je viša frekvencija, valna duljina je kraca. Intenzitet ultrazvuka je mjera gustoce energije koja protice kroz jedinicnu površinu u jedinicnom vremenu i mjeri se u W / m 2. U dijagnostici se upotrebljavaju prosjecni intenziteti reda velicine nekoliko milivata po kvadratnom centimetru. Dosad nije dokazana štetnost takvih intenziteta na sisavce. U medicinskoj ultrazvucnoj dijagnostici se upotrebljavaju kratki impulsi ultrazvuka, koji u sebi sadrže cijeli spektar frekvencija, dok se pod radnom frekvencijom podrazumijeva centralna frekvencija tog spektra. Ljudska tkiva nisu jednolicna u pogledu širenja ultrazvucnih valova, pa pri prolazu tih valova kroz tkiva dolazi do loma, refleksije, raspršenja, te apsorpcije energije. Refleksija ovisi o odnosu karakteristicnih akusticnih impedancija sredstava na cijoj se granici ultrazvuk reflektira. Karakteristicna akusticka impedancija je definirana kao odnos trenutnog zvucnog tlaka i brzine titranja cestica koje taj tlak izaziva. Kut loma valova na granici sredstava ovisi o odnosu brzina širenja u tim sredstvima. Medu mekim tkivima razlike impedancija i brzina su malene, ali dovoljne da omogucuju upotrebu odjeka za medicinsku dijagnostiku. Karakteristicna akusticka impedancija kostiju je dva do cetiri puta veca, a u plinovima nekoliko redova velicine manja nego u mekim tkivima. Brzina ultrazvuka u kostima je dva do tri puta veca nego u mekim tkivima, dok je u plinovima pet puta manja. Prigušenje ultrazvuka je oko deset puta vece u kostima i plucima (ispunjenim zrakom) nego u mekim tkivima. Sve to bitno utjece na prikaz kosti i organa u kojima ima plina.
3 Opcenito se može reci da se mogu prikazivati konture kosti i hrskavica, ali ne i unutrašnjost kosti. Naime, refleksivnost neke granice tkiva ovisi o razlici impedancija tih tkiva. Ako je ta razlika velika, onda se vecina energije odbije i ostane vrlo malo za prikaz unutrašnjosti kosti, a i taj se ostatak vrlo brzo prigušuje i nema dovoljno energije za povrat do sonde. Za mjehurice plinova ovi su efekti još drasticniji, i prakticki onemogucavaju prikaz unutrašnjosti organa ispunjenih plinovima. Cak bi i tanki sloj zraka izmedu sonde i kože pacijenta onemogucio pregled, pa stoga kožu pacijenta mažemo kontaktnim sredstvom (uljem ili gelom). Apsorpcija i raspršenje ultrazvuka rastu s porastom frekvencije, tj. niže frekvencije su prodornije. Zbog toga se za abdominalne preglede (jetra, bubrezi, gušteraca...) upotrebljavaju frekvencije od oko 3 MHz, za pretrage djece, vrata, dojke i slicno oko 5 MHz, neki put i 7 MHz. Viša frekvencija omogucuje bolje razlucivanje detalja u slici, te se u praksi upotrebljava najviša frekvencija koja je još dovoljno prodorna. Slika 1. Prikaz toka u arteriji transplantiranog bubrega B prikaz U današnjim medicinskim ultrazvucnim uredajima upotrebljavaju se informacije o vremenu i smjeru povratka ultrazvuka i amplitudi reflektiranog ultrazvuka. Ostali podaci, poput faze i kuta raspršenja se ne upotrebljavaju, iako su u svijetu u tijeku istraživanja mogucnosti da se ta svojstva upotrebe za karakterizaciju tkiva.
4 DOPPLEROV EFEKT Ova pojava, nazvana po znanstveniku koji ju je opisao, sastoji se u tome da prijemnik, koji se relativno krece prema pretvaracu, prima drugaciju frekvenciju od odaslane. Ako se prijemnik i odašiljac približavaju, frekvencija koju prima prijemnik viša je od odaslane, a ako se udaljavaju, primljena frekvencija je niža. Razlika odaslane i primljene frekvencije naziva se Dopplerovim pomakom, i upravo je proporcionalna brzini približavanja ili udaljavanja odašiljaca i prijemnika. U medicini se ovaj efekt primjenjuje tako, da se ultrazvuk usmjerava na pokretne reflektore (obicno eritrociti u pokretu) i mjeri se razlika odaslane i reflektirane frekvencije, iz cega se može odrediti brzina i karakteristike protoka krvi. Slika 2. Dopplerov efekt u promatranju vene M prikaz Važno je znati da Dopplerov efekt postoji samo ako se zbog kretanja mijenja udaljenost primopredajnika i reflektora. To znaci da nema Dopplerovog pomaka, ako je kretanje pod pravim kutom na ultrazvucni snop. Kretanje pod nekim drugim kutom mora se uzeti u obzir odgovarajucim proracunom.
5 SISTEMI ULTRAZVUCNIH UREÐAJA Kod upotrebe ultrazvuka u medicini u unutrašnjost tijela se odašilju kratki impulsi ultrazvuka (duljine trajanja manje od jedne mikrosekunde) i detektiraju se njihovi odjeci iz unutrašnjosti tijela. Isti pretvarac se upotrebljava kao odašiljac, pa zatim kao prijemnik ultrazvuka. Poznavajuci brzinu ultrazvuka, i mjereci vrijeme potrebno da se odjek vrati, odreduje se udaljenost reflektirajucih struktura u tijelu. Ultrazvucni impulsi se u unutrašnjost tijela odašilju približno 1000 puta u sekundi. Odjeci se na ekranu uredaja prikazuju: - A prikazom (Amplitude mode) - B prikazom (Brightness mode) - M prikazom (Motion mode) A prikaz - Odjeci se na ekranu prikazuju kao šiljci sa udubinama koje odgovaraju udaljenostima reflektirajucih struktura uzduž snopa. Udaljenost izmedu šiljaka na ekranu odgovara u nekom mjerilu udaljenosti reflektirajucih struktura u tijelu. Ovaj se prikaz upotrebljava u neurologiji, oftalmologiji i pregledu sinusa. B prikaz - Vraceni odjeci prikazuju se u obliku svijetlih tocaka. Položaj svijetlih tocaka na ekranu odgovara položaju odgovarajucih reflektora u tijelu, zahvaljujuci elektronickom sistemu koji u svakom trenutku odreduje položaj sa kojeg je odaslan ultrazvucni impuls, i smjer u kojem je odaslan. Sistem radi automatski, tako da se svijetle tocke slažu u memoriji uredaja, pa se dobivaju linije sastavljene od bliskih tocaka. Te linije predstavljaju ravninski prikaz sloja reflektivnih struktura u tijelu koje se nalaze u podrucju pretraživanja sonde sa pretvaracima. Debljina sloja ovisi o debljini ultrazvucnog snopa i u praksi efektivno iznosi izmedu 2 i 10 mm. M prikaz - Njime se najbolje mogu prikazati pokreti jace reflektivnih struktura u tijelu, obicno srcanih struktura. Ovom metodom se na ordinati prikazuje trenutna dubina nekog reflektora, a na apscisi, tekuce vrijeme. Tijekom mjerenja snop je stalno usmjeren u istom smjeru. Mjerenja brzine krvi pomocu Dopplerovog efekta prikazuju se spektrom Dopplerovih pomaka.
6 OSNOVNI DIJELOVI ULTRAZVUCNOG UREÐAJA Ultrazvucni uredaj se, u osnovi, sastoji od sonde, odašiljackog puls generatora, kompenzacijskog pojacala, upravljacke jedinice za fokusiranje, digitalnog procesora i sistema za prikaz. Uredaj funkcionira tako da se prema programu digitalnog racunala aktivira puls generator, ciji se elektricki impulsi, preko upravljacke jedinice (za usmjeravanje i fokusiranje) prenesu na pretvarac u sondi. Odjeci se primaju istom sondom, pojacavaju u kompenzacijskom pojacalu, gdje se istovremeno kompenzira i prigušenje ultrazvuka u tkivima, te se ti signali zapamte u memoriji i prikažu na sistemu za prikaz (obicno TV monitor). Rukovatelj uredajem mora sam podesiti kompenzacijsko pojacalo tako da kompenzira prigušenje ultrazvuka u podrucju tijela koje pretražuje. Slika 3. Ultrazvucni uredaj Primjenjuje se kod: abdominalnog, srcanog, porodiljskog, ginekološkog, urološkog i cerebrovaskularnog pregleda, pregleda dojki te malih dijelova tkiva kao i kod pedijatrijskih i operativnih pregleda.
7 PRETVARAC I ULTRAZVUCNI SNOP Pretvarac je naprava koja elektricke signale pretvara u mehanicke (ultrazvucne vibracije) i obratno. Kad se aktivirani pretvarac prisloni na tijelo, on u tijelo odašilje ultrazvucni snop. Snop nema jednolican intenzitet ultrazvuka po svojem poprecnom presjeku. Ako je snop fokusiran, onda je u podrucju žarišta sužen. Što je snop uži, to je lateralno razlucivanje (poprijeko na snop) bolje. U neposrednoj blizini pretvaraca snop je neravnomjeran zbog interferencije, to je tzv. blisko polje, a na vecim udaljenostima monotono opada (daleko polje). U pretrazi plitkih organa (štitnjaca, dojka, oko), neravnomjernost bliskog polja može zasmetati, pa se izmedu sonde i tijela stavljaju odstojne kupke (u improvizaciji to može biti kirurška rukavica ispunjena vodom). Ultrazvucni se valovi fokusiraju lecama, ultrazvucnim ogledalima i elektronicki, pomocu kašnjenja aktivacije višestrukih pretvaraca. Elektronicko fokusiranje je fleksibilno, i moguce je fokus smjestiti na mjesto po potrebi, dok je fokus lece ili ogledala fiksan (ali je sonda jeftinija). Slika 4. Prikazi stezanja i mlaza u vratnoj žili kucavici M prikaz ULTRAZVUCNE SONDE I SISTEMI PRETRAŽIVANJA Medicinska ultrazvucna sonda (ehoskopska sonda) je naprava koja se prislanja uz tijelo pacijenta i sadrži jedan ili više ultrazvucnih pretvaraca. U vecini slucajeva, sonda automatski, i to najcešce brže od tromosti oka, pretražuje unutrašnjost tijela (oko 20 slika u sekundi).
8 LINEARNE SONDE Ove sonde sadrže linearni niz pretvaraca. Oko 64 pretvaraca u obliku trake smješteno je jedan do drugog na duljini 5 10 cm. Svaki od tih pretvaraca može se posebice aktivirati putem svojeg kabela. Ako želimo dobro usmjereni snop, pretvarac mora biti znatno veci od valne duljine, pa se stoga u radu aktiviraju grupe pretvaraca, primjerice prvo pretvaraci 1 10, potom pretvaraci 2 11, potom 3 12, i tako do kraja sonde, tj. do grupe Tako dobivamo efekt kao da smo pretvarac širine 10 elemenata pomicali uzduž linearne sonde. Kod ove se sonde u jednoj ravnini upotrebljava elektronicko fokusiranje, a u drugoj (poprijeko na ravninu pretrage) se koristi fokusiranje lecom. SEKTORSKE SONDE Razlikujemo dvije vrste ovih sondi.prva vrsta ima rotirajuci mehanicki sektorski pretvarac, kod kojeg je nekoliko pretvaraca smješteno na obodu valjcica koji se okrece. Kad neki od pretvaraca dode pred akusticki prozor koji je usmjeren prema tijelu, onda se aktivira i stvara sliku. U sljedecem trenutku to se isto dogada sa sljedecim pretvaracem itd. Pojedine slike se medusobno preklapaju. Kod druge se vrste jedan pretvarac pokrece njišucim pokretima i pretražuje unutrašnjost tijela. Obje sonde daju približno trokutasti format slike, i nazivaju se sektorskim sondama. SONDE KOD KOJIH SE PRSTENASTIM PRETVARACEM IZVODI FOKUSIRANJE, A NJIŠUCIM OGLEDALOM PRETRAŽIVANJE Ove sonde imaju pretvarac sastavljen od koncentricnih prstenova koji se mogu neovisno aktivirati, cime se može ostvariti elektronicko fokusiranje. Pretraživanje unutrašnjosti tijela vrši se pokretnim ogledalom. KONVEKSNE SONDE Ovaj sistem naziva se konveksni niz i razlikuje se od linearne sonde po tome, što su trakasti pretvaraci smješteni na zakrivljenoj plohi, obicno luku, pa se dobiva nacin pretrage izmedu sektorskog i pravokutnog.
9 Pored ovih sustava postoji još i tzv. fazno upravljani pretvarac, koji je graden poput linearnog, ali su trakasti pretvaraci smješteni na vrlo uskom prostoru (1 2 cm), te se i upravljanje smjerom snopa vrši pomocu kašnjenja u vremenu aktivacije pojedinih pretvaraca. Svi navedeni tipovi sondi imaju svoje podrucje primjene i upotrebljavaju se u praksi. Linearni je najjeftiniji, i može se upotrebljavati na svim mjestima gdje je pristupni prozor u tijelo dovoljno velik. Ako je akusticki prozor uzak, ili se mora pretraživati u stranu (postrance), onda moramo upotrebiti sektorsko pretraživanje. Slika 5. Prikaz vratne žile kucavice sa prisutnim ovapnjenjem stijenki M prikaz Pri pretragama plitkih organa interferencijsko podrucje u blizini sonde (blisko polje) negativno utjece na kvalitetu slike, pa treba upotrijebiti odstojnu stazu (sloj vode ili gela). Tako stvoreni sloj pomoci ce pri izbjegavanju mjehurica zraka na putu valovima.
10 KOMPENZACIJA PRIGUŠIVANJA I SIVA SKALA Ultrazvuk se apsorbira i raspršuje u tijelu, pa su stoga odjeci od struktura dubljih u tijelu slabiji nego odjeci struktura bližih površini. Buduci da je za dijagnostiku važno da se jednaki reflektori prikažu jednakima na slici, prigušenje se mora kompenzirati elektronickim putem. Zbog toga se u kopmenzacionom pojacalu više pojacavaju odjeci od dubljih struktura, nego oni od plicih. Razlika u pojacanju za dublje i plice strukture može se mijenjati vanjskim kontrolama i bitno je da rukovatelj uredajem zna kako i zašto to radi. Ako je tkivo više apsorbirajuce, mora se razlika pojacanja prednjih i stražnjih odjeka uciniti vecom. Pored toga, postoji još i mogucnost da se mijenja ukupno pojacanje, dakle u jednakoj mjeri za prednje i stražnje odjeke. Posebno je moguce upravljati i rasponom velicina odjeka koji se na ekranu prikazuju sivom skalom. Jaci se odjeci prikazuju svjetlijim, a slabiji tamnijim tockama. Taj se raspon naziva dinamikom prikaza, i što je dinamika veca, slika je plasticnija. Slika uže dinamike je kontrastnija i pogodnija za geometrijska mjerenja. DOPPLER SISTEMI Doppler efekt se upotrebljava za mjerenje brzine protoka krvi na nekoliko nacina. Ultrazvuk se može kontinuirano odašiljati i primati, ili pak u kratkim impulsima. Ako se ultrazvuk odašilje kontinuirano, sistem odlicno mjeri sve brzine, ali nema dubinskog razlucivanja. Ako se upotrebljavaju impulsi, onda imamo dubinsko razlucivanje (možemo birati krvne žile po dubini), ali su moguce velike pogreške u mjerenju velikih brzina duboko u tijelu. Rezultati mjerenja se prikazuju spektrima na kojima je na ordinati prikazan Dopplerov pomak, a na apscisi tekuce vrijeme. Iz spektara se mogu izracunati apsolutne brzine protoka, ako poznamo kut izmedu snopa ultrazvuka i protoka. Ako taj kut nije poznat, a nije blizu 90 0, kad mjerenje nije moguce, ipak se mogu dobiti važni podaci o otporu i elasticnosti krvožilnog sustava. Za to su definirani posebni relativni indeksi. Ako se za Doppler mjerenje upotrijebe dvodimenzionalno rasporedeni impulsi, moguce je dobiti dvodimenzionalni semikvantitativni prikaz protoka kodiran u bojama. Protok prema sondi se prikazuje npr. tonovima crvene boje, a protok od sonde tonovima plave boje. Ovaj sistem znatno ubrzava snalaženje u mjerenju protoka.
11 NEKI PROBLEMI UPOTREBE ULTRAZVUCNIH UREÐAJA Bitnu ulogu u detaljnosti i tocnosti ultrazvucne dijagnostike igra razlucivanje detalja. Razlucivanje nekog ultrazvucnog uredaja (ehoskopa) može se definirati kao najmanja udaljenost dvaju reflektora u tijelu koji se na ekranu mogu prepoznati kao odvojeni. Slika 6. Pregled unutrašnjosti trbušne šupljine B prikaz Razlucivanje dijelimo na : lateralno (postranicno) aksijalno (dubinsko) Lateralno razlucivanje ovisi o debljini snopa. Na višim frekvencijama lakše je postici uski snop, ali je i prodornost smanjena. Za preglede djece se upotrebljavaju frekvencije 5 do 7 MHz, a za odrasle 3 do 5 MHz. Ako radimo smanjenom osjetljivošcu uredaja onda slabe reflektore (parenhim) gubimo iz slike, ali je lateralno razlucivanje za preostale, jace, reflektore bolje. Fokusiranje utjece na lateralno razlucivanje, pa kod uredaja gdje možemo podesiti fokus, treba fokus namjestiti na dubinu od interesa. Ako se radi sa sondama fiksnog fokusa, onda valja odabrati odgovarajucu sondu. U tome treba posebice voditi racuna pri nabavi ultrazvucnog uredaja, jer je cijena sonde bitni dio cijene uredaja. Aksijalna rezolucija je redovito znatno bolja od lateralne i za prikaz tankih struktura (primjerice tankih krvnih žila) treba sondu uvijek orjentirati tako da žila tece poprijeko na ultrazvucni snop.
12 Razlucivanje nije jednako za veliki kontrast prema okolini (cisticne tvorbe) i slabi kontrast prema okolini (solidne tvorbe). Tamo gdje se ciste od 4 mm sigurno mogu pronaci, solidne tvorbe dimenzije 9 mm se otkrivaju relativno teško. Cisticne tvorbe su podrucja ispunjena tekucinom ili zrakom unutar organa, te se uslijed promjene medija kroz koji prolazi snop bolje uocavaju. Kod danas uobicajenih ultrazvucnih uredaja za stvaranje slike se koristi samo amplituda (intenzitet) odjeka, dok se podaci o fazi i kutu raspršenja uglavnom gube. Ipak se iskustvom može razlikovati tekstura tkiva, te se tako provodi jednostavna karakterizacija tkiva. Ta se karakterizacija provodi u odnosu na ostale strukture na slici, i na osnovi klinickog iskustva, pa je stoga relativnog karaktera. U zadnje se vrijeme puno radi na istraživanju egzaktnijih metoda karakterizacije tkiva, na osnovi spektralnih karakteristika odjeka i mjerenjem raspodjele brzina širenja. Ova istraživanja još nisu dala prakticne rezultate. LITERATURA 1. Grupa autora: Prirucnik za tecaj trajnog usavršavanja lijecnika 2. Hitachi prospekti ultrazvucnih uredaja 3. Internet :
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
IV godina 2005/06 J.Brnjas-Kraljević siječanj 2006
V godina 005/06 J.Brnjas-Kraljević siječanj 006 Zvučni valovi zvučni val prijenos prijenos mehaničke energije kroz prostor - titranjem čestica elastičnog sredstva čujni zvuk - područje frekvencija 0 Hz
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Unipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Slika 2. Valna duljina i amplituda vala
Valovi i zvuk_intro Postanak i širenje vala u sredstvu, transverzalni i longitudinalni valovi, ovisnost brzine vala o svojstvima sredstva, faza točke vala i razlika u fazi dviju točaka vala, jednadžba
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji